Apostila Completa (Atualizada até Capítulo 3) - Unesp

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTACampus Universitário de BauruFACULDADE DE ENGENHARIA DE BAURUDEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICATópicos Especiais em Fluido-TérmicaMétodos Numéricos em Fluido TérmicaBuild:08-2007Autor: VICENTE LUIZ SCALON

SUMÁRIO1 Equações Diferenciais e Métodos Numéricos 12 Introdução aos Sistemas Matlab/GNU Octave 72.1 Operações Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Definições e operações com matrizes e vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.1 Funções e operações especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Definição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Montagem de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Operações lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 Diferenças básicas entre o Matlab e o Octave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Métodos para a solução de Eq. Diferenciais Ordinárias 193.1 Método de Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.1 Implementação da solução no Gnu-Otave . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26i

SUMÁRIOii3.2 Soluções de sistemas de equações diferenciais ou equações diferenciais de ordemsuperior utilizando Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.1 Procedimento de solução usando o octave . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Condição de Contorno Deslocada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.1 Procedimento de solução usando o octave . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 Solução de Sistema de Equações Lineares 424.1 Métodos iterativos de solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Métodos de inversão direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 Equações Diferenciais Parciais - Caracterização e Métodos de Discretizaçãoe Solução 485.1 Subdivisão das equações diferenciais parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2 Formas de solução de equações diferenciais parciais . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3 Discretização do domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 Método dos Elementos Finitos 556.1 Princípios gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.1.1 Aproximação por funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.1.2 Aproximação nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.2 Aproximação por Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2.1 Definição geométrica dos elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2.2 Regras para a discretização de domínios através de elementos finitos . . . 626.3 Elementos de referência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

SUMÁRIOiii6.4 Propriedades das funções de aproximação u(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.5 Construção das funções de interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.6 Transformação de operadores diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.6.1 Montagem do Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.6.2 Transformação de uma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.7 Coordenadas nodais e conectividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.8 O método dos resíduos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.8.1 Transformação integral: a integral por partes . . . . . . . . . . . . . . . . 786.8.2 Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.9 Tratamento das condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.9.1 Implementação da condição de contorno generalizada . . . . . . . . . . . 816.10 Integração Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.11 Exemplos de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847 Método de Diferenças Finitas 947.1 Aplicação da formulação de diferenças finitas em sistemas de equações diferenciais 978 Aplicação do Método de Diferenças Finitas em Problemas Bidimensionais eTransientes 1028.1 Solução de problemas bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.2 Solução de problemas transientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.2.1 Formulação Explícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.2.2 Formulação Totalmente Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

SUMÁRIOiv8.2.3 Formulação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

CAPÍTULO 1Equações Diferenciais e Métodos NuméricosUma grande parcela dos problemas de engenharia depende, para a obtenção de resultados,da solução de uma única ou até de um sistema de equações diferenciais. Até a primeirametade deste século buscou-se, de forma intensa, a solução analítica destas equações utilizandouma grande gama de ferramentas matemáticas como transformadas, solução por séries, etc.Com este esforço concentrado foram obtidos alguns resultados e muitas equações diferenciaispuderam ser resolvidas. No entanto, quase todas estas respondem por problemas físicos simplese não representam uma amostra significativa dos problemas de engenharia que normalmentetem geometria e condições de contorno complexas.Desta forma, a partir da segunda metade do século XX, este panorama foi completamentemodificado. Deixou-se de buscar a solução puramente analítica para estes problemas e passousea trabalhar com os métodos numéricos na tentativa da obtenção de soluções aproximadas.Embora a grande maioria dos métodos numéricos sejam conhecidos a bastante tempo, a suautilização em massa só ocorreu graças a um acontecimento: o grande avanço dos computadores.No passado quando se tentava resolver um problema, mesmo um extremamente simples, atravésde métodos numéricos este processo demandava um enorme tempo em cálculos e, muitas vezes,envolvia uma equipe de pessoas. Esta dificuldade praticamente inviabilizava a sua utilização atéo aparecimento dos computadores de grande porte e, mais recentemente, os super computadores.Esta situação se inverteu completamente e nos dias de hoje são os métodos numéricos que1

Tóp. Esp. Fluido-Témica 2respondem praticamente pela totalidade dos problemas complexos em engenharia. Além distoo barateamento ocorrido em termos de custo/hora do tempo de CPU tem tornado-a, cada vezmais, acessível a um número maior de pessoas. Um exemplo disto é citado por (Maliska, 1995)em seu livro: a solução de um escoamento supersônico usando computadores do tipo IBM 704,existente na década de 60, consumiria um tempo de computação de 30 anos a um custo dealguns milhões de dólares enquanto o mesmo problema é resolvido hoje com alguns minutos deCPU a um custo de algumas centenas de dólares.Apesar de tudo isto que foi dito aqui os métodos analíticos ainda têm grandes utilidades.Em primeiro lugar, não tem muito sentido resolver um problema numericamente se a suasolução analítica é conhecida e pode fornecer a valores para todo o domínio, ao contrárioda solução numérica que só só fornece a solução para os pontos considerados. Além distoa solução analítica é, muitas vezes, utilizada como padrão e até mesmo fonte de inspiraçãona resolução de problemas com métodos numéricos. Em outras vezes ainda, um modelo étestado em determinadas condições nas quais existe solução analítica para poder confrontar osresultados e, só depois do sucesso nesta consideração, é que o mesmo é estendido para casosonde a solução analítica não é conhecida.Quando não existe solução analítica que permita esta verificação do método numérico outraferramenta é então utilizada: os ensaios experimentais. Da mesma forma que os métodosanalíticos os métodos experimentais foram, e diria até que ainda são, muito utilizados nasolução de problemas de engenharia. Isto se deve ao fato que a simulação pode ser feita sobreas condições desejadas (ou próximas dela) sem se preocupar sequer com as condições contorno outipo de equações diferenciais. Embora os métodos experimentais tenham os seus atrativos, têmtambém um grande problema: o seu elevado custo. Tanto a instrumentação necessária, comoa montagem do experimento e a mão de obra necessária necessitam de um alto investimento,o que dificulta grandes desenvolvimentos nesta área. Além do mais a presença de sondas paratomada de medidas ou quaisquer outros objetos físicos, tendem a alterar as condições ideais paraa retirada de medidas de um experimento, tornando muitas vezes o experimento impraticável.Um grande exemplo deste fato é a indústria aeronáutica que tem substituído grande parte dosseus ensaios em túnel de vento por simulações numéricas com excelentes resultados. Da mesmaforma que a solução analítica muitas vezes são utilizados resultados experimentais para validarresultados de métodos numéricos, dispensando a partir de então a repetição da experiência paracasos similares.Para a solução de equações diferenciais por métodos numéricos, da mesma forma que quandosão resolvidas por métodos analíticos, é conveniente o conhecimento de alguns preceitos sobreequações diferenciais:

Tóp. Esp. Fluido-Témica 3a) E.D.O. - Sistema Massa Mola b) E.D.P. - Eq. da quantidade de movimentoFigura 1.1: Exemplos de E.D. ordinárias e parciais.Equação Diferencial Ordinária: onde a função que é a solução da equação diferencial édependente de uma única variável. O exemplo clássico deste tipo de equação é a primeiralei de Newton, comumente aplicada em problemas envolvendo vibrações, como mostradona figura (??a):mu ′′ (t) = F [t, u(t), u ′ (t)]onde todas as variáveis são direta ou indiretamente função de t. Um grande número deproblemas recai em equações diferenciais deste tipo.Equação Diferencial Parcial: é aquela em que as funções solução para a equação diferencialsão dependentes de mais de uma variável.A maior parte dos problemas envolvendogeometrias bi e tri dimensionais e análise de transientes em corpos com gradientes internosrecai neste tipo de equação diferencial. Tomando como exemplo utilizar-se-á a equaçãoda quantidade de movimento linear, bidimensional e em coordenadas cartesianas, paraum fluido newtoniano na direção x:( ∂uρ∂t + u ∂u∂x + v ∂u )∂y= − ∂P ( )∂ 2∂x + µ u∂x + ∂2 u2 ∂y 2Um exemplo de aplicação desta equação seria para a obtenção do perfil de velocidadesem torno de uma asa, como mostrado na figura (??b).Equação Diferencial Linear: é o tipo de equação diferencial onde aparece uma composiçãolinear da função e suas derivadas. Exemplo disto é a equação da condução de calor, parasubstâncias isotrópicas e com propriedades físicas admitidas independentes da tempera-

Tóp. Esp. Fluido-Témica 4a) E. D. Linear - Conduçã numa placa b) E.D. não linear - Eq. do pênduloFigura 1.2: Exemplos de E.D. linear e não linear.tura:∂ 2 T∂x + ∂2 T2 ∂y = 0 2A distribuição de temperaturas em uma placa plana mostrada na figura (??a), é umexemplo típico deste tipo de aplicação.Equação Diferencial Não Linear: é aquela a função não aparece de forma linear na equaçãodiferencial, mas sim com termos quadráticos ou através de outras funções não lineares. Umexemplo deste tipo de equação é a equação de um pêndulo que, com base na figura (??b),pode ser dada como:d 2 θdt + g 2 l sin θ = 0que tem formas de solução bem complexa. Prova disto é a própria expressão acima, queé quase sempre resolvida através da linearização da equação (trabalhando-se com ângulospequenos sin θ ≈ θ):d 2 θdt 2 + g l θ = 0Equação Diferencial Homogênea: é aquela em que o termo independente não se apresentacomo função de nenhuma variável, ou melhor:y ′ (x) = f(x, y)é homogênea se f(x, y) for uma constante ou uma expressão que permita uma transformaçãode variável que a deixe independente da variável transformada (normalmenteum f(y/x)). Um exemplo de equação diferencial homogênea:y ′′ (x) = y ′ (x) + y(x) =⇒ y ′′ (x) − y ′ (x) − y(x) = 0

Tóp. Esp. Fluido-Témica 5Equação Diferencial Não Homogênea: é a contraposição da da definição acima ou seja,quando o termo independente é necessariamente função de uma das variáveis do problemae não se conhece transformação de variáveis que o deixe homogêneo. Exemplo de equaçãodiferencial não homogênea:y ′′ (x) − y ′ (x) − y(x) = cos(x)Ordem de uma Equação Diferencial: representa o índice de derivação da maior derivadadas que compõe a equação diferencial. Veja por exemplo a expressão:y ′′′ + 2 y ′ − 3y = 0que é uma equação de terceira ordem e que, conseqüentemente, precisa de pelo menostrês condições de contorno para ser resolvida. Esta é na realidade a grande vantagemdesta metodologia de classificação de equações diferenciais: indicar instantaneamente onúmero de condições de contorno necessárias para resolver o problema.Estas classificações indicam características principais da equações diferenciais e forneceminformações sobre como estas podem ser resolvidas.Não existe uma forma imediata paraafirmar que uma equação diferencial tem solução exata pois até mesmo o tipo de condiçãode contorno pode influir sobre este aspecto. Um exemplo disto é a equação de condução bidimensionalque tem solução analítica para temperaturas de parede dadas, mas não tem seuma das paredes está sujeita a um processo de convecção, por exemplo. Assim sendo a únicamaneira de descobrir sobre a existência da solução analítica para uma dada equação diferencial,caso você não saiba de antemão, é consultando um livro sobre o assunto.Mas é importante ressaltar que as características acima são importantes também para identificarqual o método numérico de solução que deve ser utilizado na solução de um problema.Vejamos por exemplo o tipo de solução mais utilizados segundo a natureza das equações diferenciais:⎧⎪⎨ Método de EulerEq. Diferenciais Ordinárias Método de Passos Múltiplos (ou Preditor-Corretor)⎪⎩Método de Runge Kutta 1⎧⎪⎨ Método de Diferenças FinitasEq. Diferenciais Parciais Método de Volumes Finitos⎪⎩Método de Elementos Finitos1 Muitas vezes este método também é utilizado na solução da parcela envolvendo o tempo de Eq. DiferenciaisParciais

Tóp. Esp. Fluido-Témica 6É importante ressaltar que nada impede que se utilize esquemas de solução para Eq. DiferenciaisParciais em Eq. Diferenciais Ordinárias, uma vez que o seu procedimento é genérico,no entanto a recíproca não é verdadeira. Normalmente se adotam esquemas diferenciados parasolução de equações diferenciais ordinárias, pois estes podem ser um pouco mais simples ouentão mais precisos permitindo uma maior acuracidade na solução.

CAPÍTULO 2Introdução aos Sistemas Matlab/GNU OctaveExistem uma série de ambientes matemáticos propícios para a solução de algumas tarefas aserem realizadas cotidianamente em cálculos da Engenharia: Matlab, Mathemathica, GNU Octave,SciLab, Maxima, etc. Alguns destes são capazes, inclusive, de trabalhar com manipulaçãosimbólica como o caso do Máxima, Mathemathica, Matlab (versões posteriores à 5.0), SAGEe o próprio octave se utilizando de pacotes adicionais.Entretanto, para o caso de utilização emsimulação numérica a manipulação simbólica não represbta um fator decisivo.Este capítulo, basicamente, ficará restrito ao uso dos sistemas Matlab/GNU Octave sendoo primeiro um sistema licensiado e o segundo uma alternativa livre de ambientes matemáticos.Embora similares em grande número de comandos existem algumas diferenças entre os comandosem cada um dos sistemas. Na maioria das vezes octave suporta tanto a sua sintaxeespecífica como aquela que seria utilizada pelo Matlab. O SciLab também é considerado umaboa alternativa livre ao uso do Matlab, mas o seu uso não será abordado neste material.Existem uma série de referências que podem complementar as informações aqui fornecidas,dentre as quais destaco os materiais de (Domingues & Mendes, 2002) e (Eaton, 2006). Outraimportante fonte de ajuda é o próprio programa, onde uma série de informações a respeito deum comando podem ser obtidas utilizando-se help -i nome_do_comando.Inicialmente, será visto simplesmente algumas operações fundamentais com matrizes e ve-7

Tóp. Esp. Fluido-Témica 8tores que não apresentam variação entre estes sistemas. Com estas informações já são possíveisrealizar uma série de procedimentos do nosso curso.2.1 Operações FundamentaisNeste tipo de plataformas estão contemplados todos os tipos de operadores, tanto paraoperação com reais com inteiros. Assim são possíveis a soma(+), subtração(-), divisão(/),multiplicação (*) divisão reversa (\) e exponencial (ˆ). Operações com inteiros são tambémpossíveis como a divisão, utilizando o truncamento dos decimais (floor), e resto (mod ou rem).Assim:octave>mod(5,2)ans =1octave> rem(5,2)ans =1octave> floor(5/2)ans =2octave> disp(5**2), disp(’ ou ’),disp(5^2)25ou25O disp é um comando utilizado para escrever na tela e converte a saida para caracteres.Comandos para arredontamento como round ou ceil também estão disponíveis no Octave.Além disto, existe uma extensa biblioteca matemática pré-implementada que permite ocálculo de uma série de funções hiperbólicas (exp, log, sinh, etc.), trigonométricas (sin, cos,tan, etc.), de Bessel (besselj , besselk, besseli, etc.) e uma infinidade de outras.2.2 Definições e operações com matrizes e vetoresAntes de mais nada é possível criar vetores e matrizes através de um valor inicial, um valorfinal e incrementos constantes do tipo:

Tóp. Esp. Fluido-Témica 9octave> 1:10ans =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10octave> 1:2:10ans =1 3 5 7 9ou então se estabelecendo não o incremento, mas sim o número de componentes da matriz:octave> linspace(1,10,5)ans =1.0000 3.2500 5.5000 7.7500 10.0000Para criar uma matriz ou um vetor incluindoos valores de cada posição e armazená-lo numavariável, o procedimento também é simples, basta inseri-lo da maneira mostrada abaixo:octave> a=[1 2; 4 7]a =1 24 7ou ainda utilizando um , ao invés do ”; ”, para indicar mudança de linha:octave> b=[3 6> 9 4]b =3 69 4Definidas as matrizes pode-se realizar operações entre elas. Veja por exemplo como realizaruma adição entre as matrizes a e b, definidas anteriormente.octave> a+bans =4 813 11Da mesma maneira pode-se utilizar uma resposta anterior, mesmo que não armazenada emvariável nenhuma utilizando da variável ans. Como exemplo disto, veja como apresentar asegunda coluna da matriz resposta anterior:

Tóp. Esp. Fluido-Témica 10octave>c =811c=ans(:,2)sendo que para isto é bastante útil o ”:”da maneira apresentada. Ele pode representar, quandousado desta maneira, todas as linhas ou colunas de uma matriz. Caso desejasse mostrar apenasum componente da matriz, bastaria colocar o seu endereço ente parênteses:octave> a(2,1)ans = 4Da mesma maneira que a adição, outras operações entre as matrizes poderiam ser realizadas,como por exemplo a multiplicação:octave> a*bans =21 1475 52Outra forma desta operação, a chamada multiplicação termo a termo, pode também sernecessária e neste caso ela pode ser realizada através da forma:octave> a.*bans =3 1236 28sendo ainda existente uma operação equivalente a esta para a divisão termo a termo, representadapelo operador ”.”.2.2.1 Funções e operações especiaisSão ainda possíveis uma série de outras operações com matrizes, sendo destacadas aqui:• Determinante (det):

Tóp. Esp. Fluido-Témica 11octave>ans = -1det(a)• Matriz Inversa (inv):octave> inv(b)ans =-0.095238 0.1428570.214286 -0.071429• Matriz Transposta (’):octave> b’ans =3 96 4• Matriz nula de qualquer tamanho (zeros):octave> zeros(4)ans =0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0ou ainda para qualquer matriz não quadrada definindo-se o numero de linhas e colunas:octave> zeros(1,7)ans =0 0 0 0 0 0 0• Matriz Unitária também pode ser montada de dorma análoga (ones):octave:1> ones(3,2)ans =1 11 11 1• Matriz de números aleatórios (rand): com todos os números aleatórios variando entre 0e 1.octave> rand(2,4)ans =0.539648 0.061666 0.070065 0.3248830.569649 0.023215 0.673922 0.419023

Tóp. Esp. Fluido-Témica 12Em função do exposto se o interesse é por uma matriz cujo o valor máximo é 10, bastamutiplicar o resultado anterior pelo valor máximo.• Matriz Identidade de qualquer tamanho (eye):octave> eye(4)ans =1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1que é uma operação bastante útil se você estiver interassado em montar uma linha qualquercom um valor ”1”na posição da diagonal principal e o restante zeros:octave> eye(10)(5,:)ans =0 0 0 0 1 0 0 0 0 0• Matriz Diagonal genérica a partir de um vetor (diag):octave> a=[1 2 3]a =1 2 3octave> diag(a)ans =1 0 00 2 00 0 3O vetor diagonal também pode ser usada para montar uma diagonal secundária da matriz,para isto basta fornecer como segundo argumento inteiro que representa a sua posiçãona matriz. Números negativos podem ser usados para representar diagonais secundáriasabaixo da posição atual:octave> diag(a,-2)ans =0 0 0 0 00 0 0 0 01 0 0 0 00 2 0 0 00 0 3 0 0Se aplicado em uma matriz bidimensional, o comando diag retorna a respectiva diagonalindicada na forma de vetor, como se fizesse uma operação inversa da anteriormentedemonstrada:

Tóp. Esp. Fluido-Témica 13octave:18> b=[8 5 5 6 7; 0 3 4 1 5; 1 2 2 4 0;3 9 7 8 6 ]b =8 5 5 6 70 3 4 1 51 2 2 4 03 9 7 8 6octave:19> diag(b,1)’ans =5 4 4 6• Operações com as colunas de componentes de uma matriz: no caso da soma (sum)octave>5 9sum(a)e ainda existem outros comandos que permitem a obtenção da média(mean), o produtodos termos(prod), o valor máximo (max), o valor mínimo (min) e a ordenação de matrizes(sort). Todos estes comandos realizam estas operações entre os elementos pertencentes àmesma coluna.Deve-se lembrar ainda que mesmo nos ambientes deste tipo não existe a comutatividade emoperações com matrizes assim:octave> c*c’ans =64 8888 121é diferente de:octave> c’*cans = 185como era de se esperar.Bem este texto serve como uma referência básica para o tratamento de matrizes e vetoresnos referidos sistemas entretanto existem ainda uma série de diferentes comandos relacionadosa este que podem ser encontrados em documentações mais aprofundadas e através do Help dosprogramas.Existem uma série de outras operações que permitem operações básicas com vetores, principalmentecom relação à união de vetores (union) e a idendificação de posições que obedeçcama características definidas (find).

Tóp. Esp. Fluido-Témica 142.3 Definição de funçõesPara definir funções no octave nomalmente é indicado criar um arquivo com extensão .m nodiretório corrente obedecendo a uma estrutura básica:i. a primeira linha deve conter a palavra chave function, em seguida a variável que armazenao valor a ser retornado que, por sua vez, é igualada ao nome da função seguida da sequênciade parâmetros de entrada. É fundamental que o nome da função seja idêntico ao fornecidoao arquivo .m.ii. na linha a seguir são definidas as variáveis globais, se existirem.iii. depois vem o corpo da função com a sua sequência de comandos.iv. o procedimento é finalizado com a palavra end.Veja por exemplo a criação de uma função do tipo sinal de um número. Desta forma seráeditado um arquivo sinal.m do tipo:# funç~ao sinalfunction ret=sinal(x)if (x!=0) ret=x/abs(x);else ret=0;endifendA partir deste ponto existe uma função pronta no octave de nome sinal que pode ser chamadaem qualquer instante. Cabe ressaltar entretanto que esta função deve estar no diretório correnteou no diretório de funções do octave. Assim:octave>ans= 1octave>ans=- 1octave>ans = 0sinal(100)sinal(-10)sinal(0)Esta mesma função poderia ser criada simplesmente digitando a sequência de comandos apresentadano octave dispensando, assim, a necessidade da criação de um novo arquivo. O incovenientedesta forma é que a mesma só estaria disponível depois de carregada para a memóriado octave em cada seção.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 15Quando se trata de funções mais simples, que envolve o seu cálculo diretamente a partirde parâmetros fornecidos o comandoinline pode ser uma boa alternativa. Sofre das mesmaslimitações de quando se define a função no interior de um script, entretanto sua definição é bemmais simples:octave> f=inline("2*x.^2-3*x+4")f =f(x) = 2*x.^2-3*x+4octave> f(2)ans = 6sendo que neste caso todos os parâmetros envolvidos na função seriam também argumentos damesma dificultando, assim, definições mais complexas. Existem alternativas para personalizaresta definição uma vez que este comando pode ser utilizado com maior número de parâmetros.Maiores detalhes podem ser encontrados com a utilização da ajuda da função.2.4 Montagem de gráficosPara elaboração de gráficos o octave se utiliza de um programa externo denominado ”GNU-PLOT”. Existem comandos internos do próprio gnuplot que muitas vezes são utilizados paradefinir parâmetros preliminares dos gráficos. Para um bom conhecimento destas funções sugereseuma leitura do manual do próprio programa.Com relação ao comando para plotagem plot ele pode ser utilizado com a entrada de pelomenos dois vetores (x, y), mas sua forma geral permite a utilização de um formato em sequênciaidentificando como vai ser a linhaApenas para ilustrar, foi feito um gráfico personalizado alterando algus parâmetros maisimportantes do gnuplot via gset e utilizando-se de um script do octave:octave> x1=0:0.1:pi; %define vetor xoctave> a=cos(x1); %define o primeiro vetor yoctave> b=sin(x1); %define o segundo vetor yoctave> __gnuplot_set__ xlabel "x" % define nome do eixo xoctave> __gnuplot_set__ ylabel "y" % define nome do eixo yoctave> __gnuplot_set__ key outside box % define legenda% do lado de fora do grafico e com bordaoctave> plot(x1,a,"-;cos(x);",x1,b,"-;sin(x);")

Tóp. Esp. Fluido-Témica 16Figura 2.1: Gráfico gerado no octavee com isto foi criado o gráfico mostrado na figura (2.1). Deve-se ressaltar que em versões antigasdo programa utilizava-se substiturir o comando __gnuplot_set__ por gset.Um dos aspectos mais complexos é a utilização de estilos de linhas e pontos neste tipode plotagem. Além de escolher o título da legenda da curva é ainda possível nestes gráficos,escolher tanto a cor como a forma das linhas ou pontos da curva. Para tanto é interessanteconhecer os esquemas a serem utilizados:• - define a curva na forma de linhas;.• ., +, *, o e x define a curva na forma de diferentes estilos de pontos;• ^ define gráfico de impulsos;• L define gráfico de ”steps”;• ‘n’ ou ‘c’, definem a cor a ser utilizada de forma:Num. Letra Cor0 k preto1 r vermelho2 g green3 b azul4 m magenta5 c cyanAlém destas cores pode-se ainda utilizar o w para o branco e os números maiores quecinco para outras variações.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 17Cabe ressaltar ainda que o comando fplot pode ser utilizado diretamente para a elaboraçãode gráficos a partir de funções diretamente. Ele pode ser utilizada de maneira análoga ao plot,excetuando-se pelas mudanças de formatos anteriormente demonstradas.octave> __gnuplot_set__ xlabel "x" % define nome do eixo xoctave> __gnuplot_set__ ylabel "y" % define nome do eixo yoctave> fplot("[cos(x), sin(x)]", [0,pi])2.5 Operações lógicasÉ possível realizar uma série de operações lógicas e testes usando o Octave. As operaçõesmais usuais são maior (>) ou maior ou igual (>=), menor( if (mod(a,2)==0) disp(\"Numero par\") else disp(\"Numero impar\") endifNumero paroctave>3a=3;octave> if (mod(a,2)==0) disp(\"Numero par\") else disp(\"Numero impar\") endifNumero impar• while utilizado para o caso de repetições onde o teste é feito por diversas vezes a cadainteração do problema.octave> z=1;octave> while (z for z=1:2:4 disp(z); endfor13

Tóp. Esp. Fluido-Témica 18• switch permite a seleção de uma alternativa entre diversas. Pode ser substituido por umconjunto de if s em cascata.octave> nlados=3;octave> switch (nlados)> case (3) disp("Tri^angulo")> case (4) disp("Quadrado")> case (5) disp("Pentágono")> otherwise disp("Figura n~ao classificada")> endswitchTri^anguloEm todos os comandos acima o final endif , endwhile, endfor e endswitch pode ser substituidopor end sem comprometer o funcionamento do script (e mantendo compatibilidade como Matlab)2.6 Diferenças básicas entre o Matlab e o OctaveAlgumas diferenças básicas que podem afetar a compatibilidade entre ambos são:• o nome de algumas funções são diferentes• o comentário no Matlab é % e no Octave também é aceito o #• no Matlab, os blocos formados por while, if e for e as “functions“ necessariamente terminamcom end. No octave pode-se usar, opcionalmente, endwhile, endif , endfor eendfunction.• no Matlab a única forma aceita para a desigualdade é o ˜=. O != é aceito apenas noOctave.• operadores incrementais ++ e - - não são aceitos no Matlab.

CAPÍTULO 3Métodos para a solução de Eq. DiferenciaisOrdináriasOs problemas envolvendo as Equações Diferenciais Ordinárias são normalmente subdivididosem dois grandes grupos:Problemas de Valor Inicial: que são aqueles onde as condições de contorno são estabelecidasem um ponto inicial, e partir destas vão sendo calculados os valores para posiçõessubseqüentes. Este procedimento é normalmente caracterizado por procedimento de marcha(os transientes são os melhores exemplos deste tipo de problemas).Problemas de Valor de Contorno: são aqueles onde as condições de contorno são estabelecidasem posições diferentes dentro de um problema, o que implica em uma solução queenvolva todo o domínio.Para exemplificar melhor cada um dos problemas, imagine um caso de condução unidimensionalem um sólido de condutividade térmica independente da temperatura com geração decalor. A equação diferencial para este problema é:T ′′ (x) = − ˙q k19

Tóp. Esp. Fluido-Témica 20Imaginando que a uma das temperaturas das faces é conhecida e T (x = 0) = T 0 . Se alémdela, for conhecido o fluxo de calor que está entrando por esta face ou seja, na mesma posiçãoq(x = 0) = kT ′ (0) = q 0 este problema será um problema de valor inicial e o procedimento demarcha poderá ser adotado.Por sua vez se, ao invés disso, forem conhecidas as duas temperaturas de parede em ambasas faces T (x = 0) = T 0 e T (x = L) = T L este problema passa a ser um problema de valor decontorno.3.1 Método de Runge KuttaExistem diversos graus para o método de Runge Kutta, será mostrada aqui a deduçãopara o método de segunda ordem, para os métodos de ordem superior o procedimento é análogo.Sabe-se que por série de Taylor é possível expressar o valor qualquer ponto a partir de umponto conhecido:y(x + ∆x) = y(x) + ∆x y ′ (x) + ∆x2 y ′′ (x) + · · ·2!que pode ser escrito para um sistema discreto com espaçamento ∆x = h na forma:y n+1 = y n + h y ′ n + h22! y′′ n + · · ·Suponhamos que uma dada equação diferencial pode ser manipulada de forma a obter umaexpressão para a derivada primeira de forma que:y = f ′ (x, y) =⇒ y ′ n = f(x n , y n )No caso da derivada de uma função qualquer em relação a x é conveniente lembrar da regrada cadeia:ddx f(x, y) = f x(x, y) + f y (x, y) dydxsendo que os índices x ou y da função representam a derivada parcial da função em relação atal derivada.Reescrevendo a expansão por Taylor, mas levando em conta esta informação tem-se agorauma expansão para funções de duas variáveis :y n+1 = y n + hf(x n , y n ) + h22! [f x(x n , y n ) + f y (x n , y n )y ′ n] + · · ·

Tóp. Esp. Fluido-Témica 21ou ainda:y n+1 = y n + hf(x n , y n ) + h22! [f x(x n , y n ) + f(x n , y n )f y (x n , y n )] + · · · (3.1)O método de Runge Kutta se baseia no princípio de que existe um ponto em um determinadointervalo cuja a derivada fornece exatamente a tangente para o cálculo do ponto no extremodeste intervalo. Esta derivada pode ser expressa como uma composição linear na forma:y n+1 = y n + (a 1 y n ′ + a 2 y ∗)h ′ (3.2)sendo y ∗ ′ um valor previsto para a derivada para o ponto genérico (x n + b 1 h, y n + b 2 y nh).′Assim o valor para y ′ ∗:y ′ ∗ = f(x n + b 1 h, y n + b 2 y ′ nh)que pode ser ainda expandida numa série de Taylor de primeira ordem (envolvendo os termosde h)f(x n + b 1 h, y n + b 2 y nh) ′ = f(x n , y n ) + b 1 f x (x n , y n )h + b 2 y nhf ′ y (x n , y n )= f(x n , y n ) + b 1 f x (x n , y n )h + b 2 hf(x n , y n )f y (x n , y n )Substituindo o valor da expansão de y ′ ∗ na equação (3.2) tem-se que:y n+1 = y n + {a 1 f(x n , y n ) + a 2 [f(x n , y n ) + b 1 f x (x n , y n )h + b 2 hf(x n , y n )f y (x n , y n )]}hQue rearranjada resulta em:y n+1 = y n + (a 1 + a 2 )f(x n , y n )h + a 2 b 1 f x (x n , y n )h 2 + a 2 b 2 f(x n , y n )f y (x n , y n )h 2 (3.3)Finalmente, comparando-se as equações (3.1) e (3.3) obtém- se o seguinte sistema deequações:a 1 + a 2 = 1a 2 b 1 = 1 2a 2 b 2 = 1 2Este sistema tem mais incógnitas que equações e a sua família de soluções é dada por:a 2 = 1 − a 1b 1 =12 − 2a 1b 2 =12 − 2a 1

Tóp. Esp. Fluido-Témica 22❡❡✉y n+1K 12K 22❡h/2❡❡K 4x n+1K 3x nhFigura 3.1: Esquema de funcionamento do Runge Kutta de 4 a ordemUma solução comum para o sistema seria dada se a 1 = a 2 que implica em a 1 = a 2 = 1/2 eb 1 = b 2 = 1 que igualaria ao método de Runge Kutta ao Método de Euler. Maiores detalhesdesta dedução e do método de Euler podem ser encontrados em (Ruggiero & Lopes, 1988).Exercício:Resolva a equação diferencial para um problema de condução onde a geração deenergia é função da temperatura dada por:dTdx = x + 2 Tutilizando o Runge Kutta de 2 a ordem numa placa de 2 m (0 ≤ x ≤ 2) e usando um incrementoh = 0.4. A temperatura numa face da parede é dada e é igual 10 ◦ C. (x = 0 → T = 10).A figura (3.1) mostra graficamente como funciona a aproximação mais utilizada deste tipode esquema: O Runge Kutta de 4 a ordem. São aproximadas tanto as retas tangentes como ospontos utilizados para os cálculos intermediários. É apresentada também na figura o valor doponto calculado numericamente utilizando as escalas dos Ks.As expressões que são utilizadas para o Runge Kutta de 4 a ordem na aproximação de umproblema y ′ (x) = f(x, y) são:

Tóp. Esp. Fluido-Témica 23K 1 = h f(x n , y n )K 2 = h f(x n + h/2, y n + K 1/2)K 3 = h f(x n + h/2, y n + K 2/2)K 4 = h f(x n + h, y n + K 3 )sendo que o valor posterior é calculado na forma:y n+1 = y n + 1 6 (K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) (3.4)Exemplo de Aplicação: Determinar o tempo de resposta de um termômetro de mercúriode vidro quando este instrumento é utilizado na leitura de um ambiente cuja temperatura variade forma senoidal com o tempo: T ∞ = 40 + 22.48 sin(2πt) sendo o tempo t dado em horas.Admitir que o coeficiente global de transferência de calor entre o termômetro e o fluido é de25 kcal/h m 2◦ C. O termômetro pode ser idealizado como um cilindro de mercúrio de 25 mmde comprimento e 6 mm de diâmetro e sua temperatura inicial de 15 ◦ C.Dados:ρmerc = 13600 kg/m 3cmerc = 0.0325 kcal/kg ◦ CVolmerc = 7.07 × 10 −7 m 3Solução:Pelo balanço térmico tem-se que:[ Qtde de calorarmazenada notermômetro]⎡= ⎣Qtde de calortransferida pelofluido⎤⎦ρmerc cmerc Volmerc dTdt = h A (T ∞ − T ) (3.5)sendo que a área de transferência de calor por convecção é: A = πdL = π(0.006)(0.025) =4.71 × 10 −4 m 2 .Substituindo os valores na equação (3.5) tem-se:13600 × 0.0325 × (7.07 × 10 −7 ) dTdt = 25 × (4.71 × 10−4 ) (T ∞ − T )

Tóp. Esp. Fluido-Témica 24ou de forma rearranjada tem-se:dTdt = 37.681 × (T ∞ − T )Como o valor de T ∞ = 40 + 22.48 sin(2πt):dTdt= 37.681[40 + 22.48 sin(2πt) − T ] (3.6)que é uma expressão na forma T ′ = F (t, T ).A condição inicial do problema também é conhecida e é dada por t = 0 ⇒ T = 15 ◦ C.Para resolver este problema basta aplicar o método de Runge-Kutta ou então resolver estaexpressão analiticamente. A solução exata para este problema pode ser encontrada em (Kreith,1977) e é dada por:T = 40 + 22.17 sin(2πt − 0.165) − 21.36 exp(−37.17 t) (3.7)Aplicando-se Runge Kutta para o problema em intervalos de tempo de 2 min (h = 0.03333 h)tem-se que:• t = 0 : T=15 ◦ C• t = 0.03333K 1 = h F (0, 15) = 0.03333{37.681[40 + 22.48 sin(2π0) − 15]} = 31.401K 2 = h F (0 + 0.03333/2, 15 + 31.401/2) = 0.03333F (0.01667, 30.700) = 14.632K 3 = h F (0 + 0.03333/2, 15 + 14.632/2) = 0.03333F (0.01667, 22.316) = 25.163K 4 = h F (0 + 0.03333, 15 + 25.163) = 0.03333F (0.03333, 40.163) = 5.666T 2 = T 1 + 1 6 (K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) ⇒isto implica em que T 2 = 34.44 ◦ C.T 2 = 15 + 1 (31.401 + 2.14.632 + 2.25.163 + 5.66)6Utilizando a solução analítica para o problema a temperatura indicada pelo termômetro,para o mesmo tempo, é de 34.80 ◦ C. Isto equivale a um erro de cerca de 1%, indicando aboa precisão do método.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 25A tabela (3.1) mostra a solução para este problema para vários valores de tempo. Elafornece os valores da temperatura calculada pela solução analítica e por Runge Kutta, além defornecer o valores para os Ks em cada tempo.A figura (3.2) mostra o comportamento das temperaturas lidas pelo termômetro, exata enumérica, e a temperatura real do banho. Pela figura é possível mostrar a boa concordânciaentre o resultado numérico e o resultado exato.Tabela 3.1: Tabela de resultados para o exemplo 1Tempo (h) T exata T numérica K 1 K 2 K 3 K 40.00000 14.999 15.0000.03333 34.797 34.443 31.401 14.632 25.163 5.6660.06667 43.776 43.560 12.851 7.635 10.910 4.7610.10000 49.389 49.285 7.013 5.242 6.354 4.1440.13333 53.665 53.613 4.934 4.132 4.636 3.4980.16667 57.075 57.043 3.885 3.305 3.669 2.7460.20000 59.661 59.635 3.046 2.475 2.834 1.8880.23333 61.365 61.340 2.192 1.580 1.964 0.9520.26667 62.129 62.104 1.277 0.630 1.036 −0.0250.30000 61.924 61.900 0.317 −0.344 0.071 −0.9990.33333 60.760 60.737 −0.653 −1.302 −0.894 −1.9300.36667 58.688 58.668 −1.593 −2.202 −1.820 −2.7770.40000 55.800 55.783 −2.464 −3.006 −2.666 −3.5020.43333 52.222 52.208 −3.227 −3.679 −3.395 −4.0750.46667 48.109 48.099 −3.849 −4.191 −3.976 −4.4690.50000 43.641 43.637 −4.302 −4.519 −4.383 −4.6680.53333 39.015 39.015 −4.568 −4.651 −4.599 −4.6620.56667 34.432 34.437 −4.634 −4.578 −4.613 −4.4530.60000 30.092 30.102 −4.497 −4.306 −4.426 −4.0500.63333 26.185 26.199 −4.164 −3.846 −4.046 −3.4690.66667 22.882 22.900 −3.649 −3.217 −3.488 −2.7370.70000 20.327 20.348 −2.974 −2.448 −2.778 −1.8850.73333 18.632 18.654 −2.170 −1.572 −1.947 −0.9510.76667 17.870 17.894 −1.270 −0.627 −1.031 0.0250.80000 18.076 18.100 −0.315 0.345 −0.070 0.9990.83333 19.240 19.263 0.653 1.302 0.895 1.9300.86667 21.312 21.332 1.594 2.202 1.820 2.7770.90000 24.200 24.217 2.464 3.006 2.666 3.5020.93333 27.778 27.792 3.227 3.679 3.395 4.0750.96667 31.891 31.901 3.849 4.191 3.976 4.4691.00000 36.359 36.363 4.302 4.519 4.383 4.668

Tóp. Esp. Fluido-Témica 266560Sol. AnaliticaSol. NumericaTemperatura do banho5550Temperatura [oC]45403530252015100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tempo[h]Figura 3.2: Temperaturas do termômetro e banho no exemplo 13.1.1 Implementação da solução no GNU-OtavePara arepresentar o problema será escolhida a solução da relação entre a temperatura deum termômetro e de seu banho apresentada na apostila. Neste caso a equação do problema édada por:T ′ (t, T ) = 37.681(40 + 22.48 sin(2πt) − T )sendo a condição de partida a temperatura inicial do termômetro T (0) = 15.Para definir esta equação do problema é preciso criar um arquivo representando esta função,sendo que ambos (a função e arquivo) devem ter o mesmo nome. No caso será criado o arquivodert.m, composto por:function dr=dert(tempo,temper)dr=37.681*(40+22.48*sin(2*pi*tempo)-temper);endfunctione a partir dele é possível calcular o valor da função para qualquer par ordenado T ′ (t, T ). Porexemplo:octave> dert(0.15)ans = 942.02

Tóp. Esp. Fluido-Témica 27Cabe ressaltar aqui que no Matlab não existe o comando endfunction, sendo que o mesmonão precisa ser incluido no caso de arquivos deste tipo.Entretanto o objetivo principal é a solução desta equação diferencial, portanto é precisoresolvê-la. Para tanto será montado uma outra função runge.m na qual será implementado ométodo de Runge-Kutta. A função referida que utilizará a dert.m, anteriormente definida.function resp=runge(tempo,temper,h)k1=h*dert(tempo,temper);k2=h*dert(tempo+h/2, temper+k1/2);k3=h*dert(tempo+h/2, temper+k2/2);k4=h*dert(tempo+h, temper+k3);resp=temper+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;endfunctionCom esta função agora é possível realizar a marcha do processo de solução. Caso se desejassea temperatura após decorridos 2 min, é possível obtê-la usando a função recém definida:octave> runge(0.15,2/60)ans = 34.443Para a obtenção da solução completa é preciso repetir este procedimento por diversas vezeseste procedimento e armazenar a solução em vetores. Para isto, a sequencia de comandos abaixopode ser implementada diretamente ou via arquivo e a solução armazenada nos valores de tee TT:dt=2/60;te=0:dt:1;TT=zeros(1,31);TT(1)=15;for i=2:31TT(i)=runge(te(i-1),TT(i-1),dt);endforque se executado no octave. Deve-se observar que o comando te0:2/60:1;= cria um vetor comtodos os termos de 0 a 1, incrementados em intervalos de 2/60.Feita esta análise implementar ainda solução analítica do problema e a evolução da temperaturado banho em funções distintas (t exata.m e tbanho.m). O resultado obtido destasfunções são armazenadas em variáveis:

Tóp. Esp. Fluido-Témica 28function tex=t_exata(t)tex=40+22.17*sin(2*pi*t-0.165)-21.36*exp(-37.681*t);endfunctionefunction tba=tbanho(t)tba=40+22.48*sin(2*pi*t);endfunctionDefinidas as funções pode-se avaliar as soluções e armazená-los nas variáveis texv e tba,a partir das quais, pode-se plotar os resultados. Estes valores estão mostrados no gráfico emfunção do tempo armazenado na variável te, e o resultado está mostrado na figura (3.3). Paracomparação uma tabela de saída de dados foi montada com base nos resultados obtidos. Destaforma é possível uma análise dos valores numéricos de cada caso:octave> [te’ TT’ texv’ tba’]ans =0.00000 15.00000 14.99853 40.000000.03333 34.44279 34.90197 44.673850.06667 43.55979 43.83592 49.143440.10000 49.28485 49.41487 53.213410.13333 53.61306 53.67464 56.705900.16667 57.04284 57.07827 59.468250.20000 59.63482 59.66188 61.379750.23333 61.34022 61.36521 62.356850.26667 62.10423 62.12881 62.356850.30000 61.89951 61.92357 61.379750.33333 60.73686 60.75968 59.468250.36667 58.66766 58.68836 56.705900.40000 55.78252 55.80022 53.213410.43333 52.20758 52.22153 49.143440.46667 48.09910 48.10870 44.673850.50000 43.63665 43.64147 40.000000.53333 39.01527 39.01510 35.326150.56667 34.43692 34.43177 30.856560.60000 30.10170 30.09180 26.786590.63333 26.19909 26.18487 23.294100.66667 22.89964 22.88172 20.531750.70000 20.34756 20.32672 18.620250.73333 18.65439 18.63154 17.643150.76667 17.89412 17.87027 17.643150.80000 18.09998 18.07617 18.620250.83333 19.26298 19.24024 20.531750.86667 21.33229 21.31162 23.294100.90000 24.21747 24.19977 26.786590.93333 27.79242 27.77847 30.856560.96667 31.90090 31.89130 35.326151.00000 36.36335 36.35853 40.00000

Tóp. Esp. Fluido-Témica 29Figura 3.3: Gráfico gerado no GNU-OctaveNeste gráfico estão mostradas a solução numérica e exata do problema, além da temperaturado banho. O comando utilizado para plotagem, considerando-se as avriáveis anteriormentedefinidas é dado por:xlabel "Tempo [horas]"ylabel "Tempertura [C]"plot(te,texv,"-;Sol Analitica;",te,TT,"*;Sol Numerica;",te,tban, "-;Temp. Banho;");Solução usando comandos preexistentes no GNU-OctaveEmbora o procedimento acima possa ser realizado sem maiores problemas ele depende,como foi mostrado, da elaboração de uma rotina para a solução do problema, no caso usandoo procedimento de Runge-Kutta. Existe uma alternativa um pouco mais simples que consistena utilização do procedimento de solução já implementado no octave usando o comando lsode.Este comando consiste na utilização do algoritmo de Hindmarsh, um algoritmo um poucomais recente que o de Runge-Kutta e otimizado para sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias.Para a solução do problema anteriormente proposto é preciso conhecer o uso de:lsode(”nome da função”, condição, domínio)sendo que:nome da função é o nome do arquivo que contem a expressão da função a ser integrada e cujonome vem entre” . Embora esta seja basicamente igual à definida anteriormente deve-se

Tóp. Esp. Fluido-Témica 30tomar o cuidado de que a função deve ser chamada sempre com o primeiro argumentosendo o vetor da grandeza a ser calculada e o segundo o do parâmetro da solução.Nestas condições a função utilizada na solução do problema do termômetro, chamada dedert2.m deve ser redefinida como:function dr=dert2(temper, tempo)dr=37.681*(40+22.48*sin(2*pi*tempo)-temper);endfunctioncondição são a(s) condição(ões) de partida necessárias para a solução do problema.domínio representa a faixa de valores para os quais a solução vai ser obtida. Neste caso deve-seestabelecer a forma de um vetor do tipo início: passo: fim ou forma equivalente.Para o caso do exemplo anterior pode-se utilizar:octave> sol2=lsode("dert2",15,te);considerando o dominio do problema anteriormente definido por te. Depois disto a soluçãopoderia ser plotada e comparada com as anteriores ou mesmo verificado a diferença entre anova solução e a anterior.Um procedimento similar a este poderia ser elaborado usando-se o Matlab para obter asolução deste problema com as seguintes diferenças:• existem uma série de funções que permitem a solução de odes no Matlab, sendo a maisutilizada a ode45, que normalmente substituir o lsode.• a chamada da função dentro do ode45 se dá com um @ na frente do nome e não entre ”.• o domínio pode ser estabelecido através de um vetor na forma [início final], além dasformas anteriormente apresentadas.EXERCÍCIO: Repita o procedimento anteriormente apresentado agora para um termopar,cuja capacidade térmica e, por consequência, o tempo de resposta são bem menores. Supondoque as condições do banho são as mesmas propostas para o caso do termômetro e que aspropriedades físicas do termopar são: ρ = 7600 kg/m 3 ; c = 0.12 kcal/kg K; D = 0.0008m.Considere neste caso que o volume submerso é igual ao diâmetro total do par termoelétrico.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 31Solução: Neste caso a EDO do problema seria dada por:T ′ (t, T ) = 137.06(40 + 22.48 sin(2πt) − T )e a solução analítica do problema seria dada por:T (t) = 40 + 22.46 sin(2πt − 0.0458) − 23.97 exp(−137.06t)Agora apresente a solução numérica deste problema e compare-a com a resposta obtida a partirda solução analítica.3.2 Soluções de sistemas de equações diferenciais ou equaçõesdiferenciais de ordem superior utilizando RungeKuttaO mesmo procedimento mostrado anteriormente pode ser estendido para equações diferenciaisde ordem superior, mas para isto é necessário algumas adaptações no esquema. Aadaptação utilizada é converter a E.D. (Equação Diferencial) em um sistema. Este fato é melhorexplicado tomando-se uma E.D. como exemplo:y ′′ + y ′ − y + 2 x = 0 =⇒ y ′′ = −y ′ + y − 2 xEsta equação diferencial é análoga ao sistema abaixo:y ′ = Zy ′′ = −Z + y − 2 xO procedimento para a solução de sistemas é idêntico ao método de solução de uma únicaequação desde que seja tomado o cuidado de calcular os Ks em paralelo para todas as equações.Isto é muito importante e deve ser respeitado e implica que antes de calcular qualquer K 2 osvalores de K 1 devem ter sido calculados para todas as equações.Para ilustrar a forma de utilização deste procedimento será apresentado um exemplo aseguir.Exemplo de Aplicação: Considere uma aleta circular sobre um duto de de 12 cm dediâmetro e 0.5 cm de espessura e feita de alumínio (k = 215 W/m 2◦ C). A aleta troca calorcom um ambiente a 25 ◦ C e com coeficiente de película de 50 W/m 2◦ C. Sabendo que a base

Tóp. Esp. Fluido-Témica 32da aleta trabalhará há uma temperatura de 50 ◦ C e que deve dissipar uma quantidade de calorde 120 W pergunta-se qual o comprimento mínimo que esta aleta deverá ter?Obs: O calor trocado pela ponta da aleta pode ser desprezado.Solução:Fazendo um balanço térmico em um anel de espessura dr nesta aleta tem-se que:q r = q r+dr + qconv−k(2π r t) dTdr ∣ = −k(2π (r + dr) t) dTrdr ∣ + h 2 (2πr dr) (T − T ∞ )r+drFazendo a a aproximação da derivada (dT/dr) r+dr por série de Taylor na forma:dTdr ∣ = dT∣ r+drdr ∣ + d2 T ∣∣∣rdrrdr 2e ainda simplificando a equação obtém-se:r dT( )dTdr = (r + dr) dr + d2 Tdr dr − 2 h r dr (T − T 2 ∞ )k tNote que os valores de avaliação da derivada deixaram de aparecer uma vez que todas agorapassam a ser avaliadas na posição r. Expandindo a expressão:r dTdr = r dTdr + r d2 T dTdr + drdr2 dr + d2 Tdr 2 dr2 − 2 h r drk tDesprezando-se o termo de ordem O(dr 2 ) e simplificando a expressão:(T − T ∞ )ou rearranjadad 2 Tdr 2 + 1 rd 2 Tdr 2dTdr − 2 hk t (T − T ∞)= 2 hk t (T − T ∞) − 1 rdTdrSubstituindo pelos valores numéricos:d 2 Tdr 2= 93.02 (T − 25) − 1 rdTdr(3.8)Esta equação está sujeita às condições de contorno:r = R, T = T b na base da aleta a temperatura é conhecida. Substituindo os valores tem-seque neste caso: T=50 ◦ C.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 33r = R, q = q b o fluxo de calor na base também é conhecido. No entanto é importante ressaltarque o fluxo de calor tem que ser adaptado para se tornar uma condição de contorno:q b = −k 2 π R t dTdr ∣ =⇒ dTr=Rdr ∣ = −q br=R2 π k R tSubstituindo os valores:dTdr120∣ = −r=R2 π 215 0.06 0.005 = −296.10Feito isto pode-se partir para a solução da equação propriamente dita. Para questão denomenclatura utilizar-se-a o sistema de equações na forma:G(r, T, G) = GF (r, T, G) = 93.02 (T − 25) − 1 r Gsendo que T ′′ = F (r, T, G) e T ′ = G(r, T, G)• r = 0.06 T 1 = 50; e G 1 = −296.1.• r = 0.07 adotar-se a o segundo sub-índice 1 para os valores da integração da função e oíndice 2 para a integração da sua derivada, assimK 1,1 = h ∗ G(0.06, 50, −296.1) = 0.01 ∗ −296.1 = −2.96K 1,2 = h ∗ F (0.06, 50, −296.1) = 0.01 ∗ [93.02 (50 − 25) − 1 − 296.1] = 72.610.06K 2,1 = h ∗ G(0.06 + 0.01/2, 50 − 2.96/2, −296.1 + 72.61/2) = −2.60K 2,2 = h ∗ F (0.065, 48.52, −259.8) = 61.85 1K 3,1 = h ∗ G(0.06 + 0.01/2, 50 − 2.60/2, −296.1 + 61.85/2) = −2.65K 3,2 = h ∗ F (0.065, 48.70, −265.17) = 62.84K 4,1 = h ∗ G(0.06 + 0.01, 50 − 2.65, −296.1 + 62.84) = −2.33K 4,2 = h ∗ F (0.07, 47.35, −233.26) = 54.111 Os valores dos parâmetros de F e G são os mesmos para a mesma posição e foram somente apresentadosde maneira diferente: sendo indicados em G e calculados em F .

Tóp. Esp. Fluido-Témica 34E agora é possível calcular os valores desejados:T 2 = T 1 + 1 6 (K 1,1 + 2 K 2,1 + 2 K 3,1 + K 4,1 ) =50 + 1 (−2.96 − 2 2.60 − 2 2.65 − 2.33) = 47.376G 2 = G 1 + 1 6 (K 1,2 + 2 K 2,2 + 2 K 3,2 + K 4,2 ) =−296.1 + 1 (72.61 + 2 61.85 + 2 62.64 + 54.11) = −233.416Este mesmo procedimento pode ser repetido por diversas vezes até que o fluxo de calor G seanule, que é quando a aleta deixa de transferir calor. Os resultados para este problema podemser encontrados na tabela (3.2).A solução analítica para este problema também pode ser obtida no entanto ele envolvefunções de Bessel e pode ser dada na forma:T (r) = 25 + 5.472I 0 (9.645 r) + 23.648K 0 (9.645 r)T ′ (r) = 26.388[I −1 (9.645 r) + I 1 (9.645 r)] − 114.04[K −1 (9.645 r) + K 1 (9.645 r)]sendo ainda que os valores calculados por estas funções também estão presentes na tabela (3.2).Um ponto importante no que tange ao cálculo da eficiência da aleta é descobrir o pontoonde a derivada se anula. Utilizando a solução analítica obtém-se r = 0.16408, e fazendo umaregressão linear na tabela para os resultados numéricos obtém-se r = 0.16413 que equivale aum erro de 0.03%.Deste resultado é possível avaliar a eficiência da aleta:η = q realq ideal=12050 2 π (0.1641 2 − 0.06 2 ) (50 − 25) = 120183.22 = 65.49%3.2.1 Procedimento de solução usando o GNU-OctaveTambém no caso da EDO de segunda ordem é possível utilizar estes métodos. Como foivisto a saída é converter a solução para um sistema de equações diferenciais em que cadauma representa uma ordem diferente. Uma solução implementando a técnica de Runge Kuttaapresentada anteriormente poderia ser vista, entretanto, aqui só será apresentada a técnica quese utiliza da função pré-implementada no octave lsode.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 35Tabela 3.2: Tabela de solução para o exemplo resolvido 2r T T exata G = dT/dr Texata′0.06 50.00 50.00 −296.10 −296.10k1,1 k1,2 k2.1 k2,2 k3,1 k3,2 k4,1 k4,20.07 47.37 47.37 −233.42 −233.42 −2.96 72.61 −2.60 61.85 −2.65 62.84 −2.33 54.110.08 45.28 45.28 −185.70 −185.70 −2.33 54.15 −2.06 47.23 −2.10 47.82 −1.86 42.060.09 43.62 43.62 −148.02 −148.02 −1.86 42.08 −1.65 37.38 −1.67 37.75 −1.48 33.750.10 42.30 42.30 −117.38 −117.38 −1.48 33.77 −1.31 30.44 −1.33 30.69 −1.17 27.820.11 41.26 41.26 −91.84 −91.84 −1.17 27.83 −1.03 25.40 −1.05 25.58 −0.92 23.460.12 40.45 40.45 −70.07 −70.07 −0.92 23.47 −0.80 21.66 −0.81 21.79 −0.70 20.210.13 39.85 39.85 −51.15 −51.15 −0.70 20.21 −0.60 18.84 −0.61 18.94 −0.51 17.740.14 39.42 39.42 −34.39 −34.39 −0.51 17.74 −0.42 16.70 −0.43 16.78 −0.34 15.870.15 39.15 39.15 −19.26 −19.26 −0.34 15.87 −0.26 15.08 −0.27 15.14 −0.19 14.450.16 39.03 39.03 −5.37 −5.37 −0.19 14.45 −0.12 13.85 −0.12 13.90 −0.05 13.380.17 39.04 39.04 7.61 7.604 −0.05 13.39 0.01 12.95 0.01 12.99 0.08 12.61

Tóp. Esp. Fluido-Témica 36Bem para isto é necessário definir uma função que represente a equação diferencial doproblema que foi apresentada anteriormente, sendo:T ′′ (r, T, T ′ ) = 93.02(T − 25) − 1 r T ′que será representada através da função sol ale1.m, que tem como parâmetros de entrada umvetor que armazena T e suas derivadas e uma variável para armazenar a posição radial r.function temr=sol_ale1(temper, raio)temr=zeros(2,1);temr(1)=temper(2);temr(2)=93.02*(temper(1)-25)-1/raio*temper(2);endfunctiononde a variável temr (1) e (2) representam as expressões para a primeira e segundas derivadasde T nos pontos considerados, respectivamente.Feito isto a solução pode ser obtida estabelecendo a região do domínio para a qual seriasolucionada (raios rr), as condições iniciais) e executando a chamada do lsode, como mostrao script a seguir.octave> saida=lsode("sol_ale1", [50 -296.1], rr=[0.06:0.01:0.2]);octave> xlabel "Tempo [horas]"octave> ylabel "Temperatura [C]"octave> plot(rr,saida(:,1),"-*; Sol. Numerica;")octave> figure(2)octave> xlabel "Tempo [horas]"octave> ylabel "Grad. Temper [C/h]"octave> gset key left topoctave> plot(rr,saida(:,2),"-*; Sol. Numerica;")que apresentaria a solução do problema na tela e o armazenaria na variável saida. A partirdestes dados, poderia ser traçar os gráficos da forma que se mostrasse adequada e tambémidentificar o tamanho real da aleta, a partir do ponto em que a derivada se anula. A figura (3.4),mostra o comportamento da solução.3.3 Condição de Contorno DeslocadaAté agora foi visto apenas casos onde as condições iniciais eram conhecidas de antemão.No entanto existem casos onde se deseja satisfazer condições que estejam deslocadas em relaçãoao ponto inicial. O procedimento de Runge Kutta funciona bem também neste caso, no entanto

Tóp. Esp. Fluido-Témica 37Figura 3.4: Temperatura e gradientes no caso da aletaé necessário utilizar-se de um procedimento iterativo repetindo-o para diferentes condiçõesiniciais até obter a condição deslocada desejada. Este procedimento é usado como uma maneirade contornar as limitações do método utilizando-o na solução de um problema de contorno.Embora este acerto na condição de contorno possa ser feito por tentativa e erro existemprocedimentos mais otimizados para a busca dos valores iniciais: são eles os métodos de buscade zero de funções (método da bipartição, secante e Newton-Raphson). O método que tende aser mais eficiente para este procedimento é o Método de da Secante, que é uma adaptação dométodo de Newton-Raphson. Para tanto é apresentada a seguir uma breve revisão a respeitodos métodos.Método de Newton Raphson:forma básica é:é um método que permite achar a raiz de expressões. Suax n+1 = x n − f(x n)f ′ (x n )Método da Secante:é uma adaptação do Método de Newton-Raphson que procura expressara derivada da função de forma discreta. Relembrando a definição de derivada é:f ′ f(x + ∆x) − f(x)(x) = lim∆x→0 ∆xNo caso da expressão pela Método da Secante é tomada a expressão discreta para a derivada

Tóp. Esp. Fluido-Témica 38utilizando-se dos dois pontos anteriormente calculados, ou seja, fazendo ∆x = x n −x n−1 e assim:x n+1 =f(x n )x n −f(x n ) − f(x n−1 )(x n − x n−1 )ouf(x n )x n+1 = x n −f(x n ) − f(x n−1 ) (x n − x n−1 )Esta mesma expressão pode ser reagrupada na sua forma mais usual que é:x n+1 = f(x n) x n−1 − f(x n−1 ) x nf(x n ) − f(x n−1 )(3.9)Esta expressão permite o cálculo de forma a obter valores estimados para as condiçõesiniciais no caso de condição de contorno deslocada.Exemplo de Aplicação:Considere uma aleta circular sobre um duto de de 12 cm dediâmetro e 0.5 cm de espessura e feita de alumínio (k = 215 W/m 2◦ C). A aleta troca calorcom um ambiente a 25 ◦ C e com coeficiente de película de 50 W/m 2◦ C. Sabendo que a baseda aleta trabalhará há uma temperatura de 50 ◦ C pergunta-se qual máximo fluxo de calor quepoderá ser dissipado pela aleta, independente do seu comprimento?Solução:A aleta terá a sua máxima dissipação de calor se o seu comprimento tender a infinito. Maspara que o seu comprimento tenda a infinito é preciso respeitar a condição de contorno:dTdr ∣ = 0r→∞No caso da solução numérica, é preciso estipular um valor para este infinito, neste casoestipulou-se como infinito o valor de 2 m.A outra condição de contorno é dada pela temperatura na base da aleta, ou seja T (r =0.06) = 50 ◦ C.Como este problema é similar ao exemplo anterior tomou-se inicialmente a condição decontorno para a derivada, já calculada anteriormente, T ′ (r = 0.06) = −296.1. Depois deleadotou-se um valor arredondado para o T ′ (r = 0.06) = −300. Os valores obtidos para aderivada em x = 2 m é mostrada a seguir:

Tóp. Esp. Fluido-Témica 39dT/dx| x=0dT/dx| x=∞2-296.1 307617.567-300 296887.049Tomando por base estes dois valores é possível aplicar a expressão do método da secante,equação (3.9), e obter uma estimativa do valor que vai anular o fluxo afastado da base da aleta.Assim:x n+1 =(−296.1)(296887.049) − (−300)(307617.567)296887.049 − 307617.567= 4377014.78−10730.52 = −407.903415Este é o novo valor que deve ser utilizado de forma a buscar a condição de contorno desejada.Executando o Runge Kutta com este valor inicial obtém-se o resultado mostrado abaixo:.dT/dr| r=0.06dT/dr| r→∞2-407.903415 -2.688E-09Isto indica que o máximo fluxo de calor que poderá ser dissipado por uma aleta deste tipoe sujeita às condições pré-estabelecidas é:dTq = −k A bdr ∣ = −215 (2π 0.06 0.005) (−407.903415) = 165.31 Wr=0.06A solução exata para este problema também é obtida em termos de função de Bessel e édada por:T (r) = 25 + 31.019 K 0 (9.645 r)dTdr= −149.589 (K −1 (9.645 r) + K 1 (9.645 r))Desta forma pode-se calcular o fluxo de calor máximo transmitido:dTdr ∣ = −409.23 =⇒ q b = 165.86 Wr=0.06Desta forma é possível verificar que o valor calculado através de Runge Kutta, praticamentecoincide com o exato.2 O valor para o ∞ foi adotado como sendo 2 m

Tóp. Esp. Fluido-Témica 403.3.1 Procedimento de solução usando o octaveOs problemas de ordem superior nem sempre fornecem as condições necessárias para apartida do processo de marcha, ou seja, o valor da função e de sua derivada no ponto. Em umgrande número de situações serão conhecidos o valor da função, ou mesmo da função e derivadas,em dois pontos distintos. Imagine o caso da aleta anterior, se conhece o valor da temperaturana base e a da temperatura na ponta, ou mesmo a temperatura na base e as condições deconvecção na ponta, o problema não poderia ser resolvido da maneira apresentada.Para obter-se a solução neste caso é necessário o procedimento iterativo, onde admite-se osvalores da função e suas derivadas no ponto e busca-se os outros valores nos pontos desejados.Desta forma imagine o caso resolvido na apostila onde deseja-se saber o fluxo máximo decalor que pode ser dissipado por uma aleta com estas características. Admitindo-se que ocomprimento infinito seja uma aleta de 2 m, busca-se o valor da derivada na base que obtenhafluxo de calor nulo nesta ponta.Calcula-se os valores inicialmente para duas ”estimativas”da derivada na base da aleta,usando-se a seguinte sequência de comandos:octave> rr=0.06:0.01:2;octave> fx1=-296.1;octave> fx2=-300;octave> saida=lsode("sol_ale1", [50 fx1], rr);octave> y1=saida(end,2)y1 = 1.1202e+09octave> saida=lsode("sol_ale1", [50 fx2], rr);octave> y2=saida(end,2)y2 = 1.0816e+09onde os valores fx1 e fx2 são os valores da derivada da temperatura no ponto r = 2 m.A partir destes valores utiliza-se o método da reta tangente mostrado no texto da apostilapara encontrar a nova (neste caso, terceira) estimativa para o dT/dx| r=6 cm.octave> fx3=(y2*fx1-y1*fx2)/(y2-y1)fx3 = -409.26Esta é a nova estimativa da derivada na base da aleta, com a qual podem ser reefetuadosos cálculos sucessivas vezes até que seja encontrado um valor para a derivada da temperaturanula na posição desejada. Seguindo o procedimento abaixo:

Tóp. Esp. Fluido-Témica 41octave> fx1=fx2;octave> fx2=fx3;octave> saida=lsode("sol_ale1", [50 fx2], rr);octave> y2=saida(end,2)y2 = -5744.3octave> fx3=(y2*fx1-y1*fx2)/(y2-y1)fx3 = -409.25que resulta num valor para a derivada na base de −409.2547 K/m, e que pode tranquilamenteser convertido para o valor do fluxo de calor na base q = 164.23 W. O comportamento dográfico da derivada da temperatura ao longo da posição pode ser visto utilizando um script deplotagem similar ao proposto anteriormente na página (36).Um procedimento similar a este, embora utilizando-se do comando pré-implementado noGNU-Octave, o fsolve (equivalente ao fzero no Matlab), para encontrar zero de funções podetambém ser utilizado. Para tanto será necessária a definição de uma função que se anule quandoo resultado esperado de derivada nula em x = 2 m ocorra. A implementação foi realizada nafunção ale inf.m, onde o parâmetro de entrada x é o vetor com o chute inicial da derivada eo valor retornado é a derivada da temperatura no ponto afastado da base, como mostrado aseguir:function rr=ale_inf(x)raio=0.06:0.01:2;y=lsode("sol_ale1",[50 x], raio);rr=y(length(y),2);endfunctionDefinida esta função a mesma pode ser facilmente solucionada buscando-se o valor de x quezera a função acima:octave:65> solu=fsolve("ale_inf", -300)solu = -409.25octave:66> printf("%15.8f\n",solu);-409.25472132obtendo-se com isto um resultado similar ao anterior e o gráfico dos valores de tempertura esua derivada também podem ser montados a partir do valor correto encontrado em solu.

CAPÍTULO 4Solução de Sistema de Equações LinearesDiversos métodos se apresentam como eficientes na solução de sistemas de equaçõeslineares. Destacam-se dois grandes grupos que, neste caso, são os métodos iterativos de soluçãoe os métodos diretos de solução. Neste capítulo apresentaremos os dois grupos com dois dosmétodos mais usuais, sendo um representante de cada grupo.4.1 Métodos iterativos de soluçãoO grupo dos métodos iterativos de solução tem como característica comum o uso deprocedimentos que vão sucessivamente se repetindo, cada vez com novos argumentos, até aobtenção da solução final (dentro de uma certa tolerância).São representantes destes métodos: Método da Sucessiva Sobre-Relaxação, Método deGauss-Jacobi, Método de Gauss-Siedel, etc. O mais utilizado dentre todos é o método deGauss-Siedel, cujo o procedimento pode ser descrito em alguns passos:1. isolar em todo o sistema de equação, em cada linha a variável correspondente à diagonalda matriz (elemento central).2. admitir uma solução de partida, em função da qual serão calculadas as soluções posteri-42

Tóp. Esp. Fluido-Témica 43ores.3. substituir em cada uma das equações o valor atual para cada uma das variáveis obtendo,desta forma, um novo valor para cada variável.4. repetir o passo 3 até que a oscilação da solução atinja um valor inferior à tolerânciaadotada.5. adotar a solução obtida como solução do sistema de equações.Tanto o método de Gauss-Jacobi como o método da sucessiva sobre-relaxação (S.O.R.) temprocedimento similar ao descrito. No entanto convém ressaltar que o método de Gauss-Jacobitem uma menor velocidade de convergência para a solução do sistema pois atualiza os valores dasvariáveis somente ao final de cada iteração. O método S.O.R. também é um método eficiente,no entanto o seu maior complicador é o cálculo do valor da sobre-relaxação, que depende dascondições dos sistema linear. Na maior parte dos casos a sua convergência é até mais rápidaque a de Gauss-Seidel. Maiores detalhes a respeito destes métodos podem ser encontrados em(Ruggiero & Lopes, 1988) e (Maliska, 1995).Exemplo:Resolva o sistema linear mostrado abaixo:4 x 1 + 3 x 2 = 102 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 193 x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 = 292 x 3 + 8 x 4 + 2 x 5 = 483 x 4 + 5 x 5 + 4 x 6 = 61x 5 + 4 x 6 + 2 x 7 = 432 x 6 + 3 x 7 + x 8 = 412 x 7 + 6 x 8 = 62Solução:

Tóp. Esp. Fluido-Témica 44Se isolarmos o elemento central de cada nó obtém-se:x 1 = 1(−3 x 4 2 + 10)x 2 = 1(−3 x 4 3 − 2 x 1 + 19)x 3 = 1(−2 x 5 4 − 3 x 2 + 29)x 4 = 1(−2 x 8 5 − 2 x 3 + 48)x 5 = 1(−4 x 5 6 − 3 x 4 + 61)x 6 = 1(−2 x 4 7 − x 5 + 43)x 7 = 1(−x 3 8 − 2 x 6 + 41)x 8 = 1(−2 x 6 7 + 62)Partindo de um chute inicial onde x i = 0 para 1 < i < 8 tem-se, aplicando os conceitos deGauss-Seidel, que:x 1 = 1 (10) = 2, 54x 2 = 1 (−2 2.5 + 19) = 3, 54x 3 = 1 (−3 3, 5 + 29) = 3, 75x 4 = 1 (−2 3, 7 + 48) = 5, 0758x 5 = 1 (−3 5, 075 + 61) = 9, 1555x 6 = 1 (−9, 155 + 43) = 8, 4614x 7 = 1 (−2 8, 461 + 41) = 8, 0263x 8 = 1 (−2 8, 026 + 62) = 7, 6586Repetido o procedimento por diversas vezes encontra-se as soluções mostradas na tabela (4.1),e a solução foi buscada até 30 iterações, mas notem que para parar neste ponto foi necessáriouma tolerância superior a 10 −3 .Chute Número de Iterações Soluçãoinicial 1 2 3 4 5 10 20 30 Exata0.000 2.500 -0.125 0.972 0.735 0.990 0.953 0.985 0.995 10.000 3.500 2.037 2.353 2.014 2.106 2.055 2.018 2.007 20.000 3.700 2.548 3.158 2.866 2.917 2.963 2.987 2.995 30.000 5.075 3.074 4.314 4.049 4.009 4.010 4.004 4.002 40.000 9.155 3.586 4.939 5.047 5.039 4.996 4.996 4.998 50.000 8.461 5.840 5.905 5.944 5.967 6.000 6.002 6.001 60.000 8.026 7.220 7.088 7.047 7.027 7.000 6.999 6.999 70.000 7.658 7.927 7.971 7.984 7.991 8.000 8.000 8.000 8Tabela 4.1: Resultados obtidos com o método de Gauss-Siedel

Tóp. Esp. Fluido-Témica 45⎡⎢⎣⎤A 1 B 1 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0C 2 A 2 B 2 0 · · · 0 0 0 · · · 0 00 C 3 A 3 B 3 · · · 0 0 0 · · · 0 0· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 0 · · · C i A i B i · · · 0 0⎥· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ⎦0 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · C n A nFigura 4.1: Esquema de uma matriz triangular4.2 Métodos de inversão diretaEstes métodos diferem dos demais por não necessitar de procedimento iterativo paraa busca da solução, eles buscam uma forma de solucionar diretamente o sistema. Dentreestes métodos destacam-se Método de Triangularização de Gauss, Método de Fatoração LU,etc. Existem ainda alguns métodos específicos para matrizes especiais, o caso típico (e muitoutilizado pela peculiaridade de que na matriz cada ponto está relacionado somente aos seu doisvizinhos) é o TDMA (TriDiagonal Matrix Algorithm) ou Método Linha a Linha. Este métodoé extremamente útil principalmente quando se trabalha com Diferenças Finitas, como veremosposteriormente, que geram matrizes como estas.O método TDMA se baseia na triangularização de Gauss, mas feita para uma matriz Tridiagonal.A figura (4.1) mostra a forma geral deste tipo de matriz.O procedimento para utilização do TDMA é um pouco mais complexo que o de Gauss Siedel,imaginemos que uma linha qualquer do sistema pode ser expressa por:A i x i + B i x i+1 + C i x i−1 = D iRepare que para obedecer as condições do sistema é necessário que C 1 e B n sejam nulosresultando em um sistema composto por n incógnitas expresso através de uma matriz quadrada.O sistema pode, com isto, ser resolvido através da expressão:x i = P i x i+1 + Q ionde:P i =−B iA i + C i P i−1Q i = D i − C i Q i−1A i + C i P i−1

Tóp. Esp. Fluido-Témica 46De acordo com as condições já descritas C 1 = 0 logo:P 1 = −B 1A 1Q 1 = D 1A 1e a partir deles é possível calcular todos os outros até os valores P n e Q n .No entanto para obter o campo de temperaturas é preciso começar pela última linha e irregredindo até a primeira. Sabe-se que B n = 0 e portanto P n = 0. Desta forma:x n = Q ndonde é possível calcular todos os demais valores para a solução. Uma descrição mais detalhadado método e sua utilização pode ser encontrada em (Maliska, 1995).Exemplo:abaixo:Resolva o sistema linear, idêntico ao solucionado por Gauss-Seidel, mostrado4 x 1 + 3 x 2 = 102 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 193 x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 = 292 x 3 + 8 x 4 + 2 x 5 = 483 x 4 + 5 x 5 + 4 x 6 = 61x 5 + 4 x 6 + 2 x 7 = 432 x 6 + 3 x 7 + x 8 = 412 x 7 + 6 x 8 = 62Solução:Este mesmo sistema pode ser expresso matricialmente na forma:⎡⎤ ⎧ ⎧4 3 0 0 0 0 0 0 x 1 102 4 3 0 0 0 0 0x 2 190 3 5 2 0 0 0 0x 3 290 0 2 8 2 0 0 0⎪⎨⎫⎪ x ⎬ ⎪⎨4 480 0 0 3 5 4 0 0=x 5 610 0 0 0 1 4 2 0x 6 43⎢⎣ 0 0 0 0 0 2 3 1⎥⎦ x 7 410 0 0 0 0 0 2 6⎪⎩ ⎪x ⎭ ⎪⎩8 62⎫⎪⎬⎪⎭e repare na sua formação Tridiagonal.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 47Os valores para A, B, C e D são retirados diretamente de cada linha do sistema de equaçõese podem ser vistos na tabela (4.2), assim sendo os valores de P 1 e Q 1 são:P 1 = −B 1A 1= − 3 4 = −0, 75 Q 1 = D 1A 1= 104 = 2, 5E os próximos valores de podem ser calculados através da expressão:P 2 =−B 2A 2 + C 2 P 1=−34 + 2 (−0, 75) = −1, 2Q 2 = D i − C i Q i−1A i + C i P i−1=19 − 2 2, 54 + 2 (−0, 75) = 5, 6sendo todos os demais P e Q calculados da mesma forma. O resultado para os mesmos nestecaso pode ser encontrado na tabela (4.2).Calculados todos os valores de P e Q é possível voltar calculando a solução para o sistemade equações. Para a última linha sabe-se que:x 8 = Q 8 = 8Com este resultado pode-se calcular o valor de x 7 através da expressão:x 7 = P 7 x 8 + Q 7 = −0, 607 8 + 11.857 = 7e assim sucessivamente até obter a solução para todas as variáveis. A solução completa está adisposição na tabela (4.2), exceto pela solução exata que é idêntica à obtida pelo TDMA.Linha A B C D P Q x1 4 3 0 10 -0.750 2.500 12 4 3 2 19 -1.200 5.600 23 5 2 3 29 -1.429 8.714 34 8 2 2 48 -0.389 5.944 45 5 4 3 61 -1.043 11.261 56 4 2 1 43 -0.676 10.735 67 3 1 2 41 -0.607 11.857 78 6 0 2 62 -0.000 8.000 8Tabela 4.2: Resultados obtidos através do método TDMA

CAPÍTULO 5Equações Diferenciais Parciais - Caracterizaçãoe Métodos de Discretização e SoluçãoAté agora foi visto métodos de solução de equações diferenciais ordinárias, a partir deagora começaremos a ver as formas de solução numérica das equações diferenciais parciais. Naintrodução desta apostila já foram discutidos alguns aspectos deste tipo de solução e a partirde agora será feito um aprofundamento nestes aspectos com a introdução de alguns conceitosnovos.5.1 Subdivisão das equações diferenciais parciaisDa mesma forma que as equações diferenciais ordinárias, as E.D. parciais também podemser subdivididas em subgrupos. Embora estes grupos sejam de interesse eminentementematemático é importante conhecer as suas características principais e assim poder identificaras características de suas soluções. No caso de problemas físicos não se deve preocupar-se tantocom a natureza de uma equação diferencial como um todo, que é calculada a partir dos valoresdos coeficientes dos termos da equação diferencial, mas sim como se comportam cada uma dascoordenadas da mesma.48

Tóp. Esp. Fluido-Témica 49❝ ✲(c)✛ ❝✲(b)Ponto P❝✲(a)Figura 5.1: Figuras ilustrativas dos tipos de equações diferenciaisQuanto à classificação pode-se dizer que as equações diferenciais se dividem em:Equação Diferencial Parabólica: é um tipo de equação diferencial em que existe umadireção definida para a a propagação de uma dada perturbação, vide figura (5.1a). Este tipode equação é a mais simples de ser solucionada numericamente pois a solução de cada passo dependebasicamente do conhecimento do passo anterior. Um bom exemplo da parcela parabólicade uma equação diferencial é a coordenada que envolve o tempo, cujo o comportamento é puramenteparabólico. Veja por exemplo que para se conhecer a situação em um determinadotempo basta conhecer como este se encontrava no instante anterior. Embora este seja o melhorexemplo de comportamento deste tipo existem uma série de outros problemas que podem terparcelas deste tipo (equações de camada limite, por exemplo).Equação Diferencial Elíptica é a mais comuns das formas das equações diferenciais, eneste tipo cada ponto está ligado a todo o domínio e só se pode resolver o problema a partirdo conhecimento da solução de todo o domínio, vide figura (5.1b). Todos os problemas quenecessitam de condições de contorno em dois pontos recaem em situações deste tipo, assim ogrande exemplo de equação diferencial elíptica são as coordenadas envolvendo o espaço.Equação Diferencial Hiperbólica é aquela em que a perturbação também tem uma direçãopreferencial, no entanto esta direção preferencial não é conhecida, depende dos conhecimento,muitas vezes da própria solução do problema, vide figura (5.1c). Desta a solução deste tipoé praticamente um misto das outras, quando a direção preferencial é conhecida ela pode ser

Tóp. Esp. Fluido-Témica 50resolvida como uma equação parabólica, quando não ela é resolvida como uma elíptica. Exemplosde equações deste tipo são a parcela convectiva das equações de transporte, equações deonda, etc.5.2 Formas de solução de equações diferenciais parciaisAs formas básicas de solução de equações diferenciais parciais já foram discutidas naintrodução. A respeito do seu uso não existe propriamente um consenso e várias discussões seapresentam. Embora não deva ficar apenas nisto vou transcrever aqui um trecho da referência(Maliska, 1995), cujo o autor é um dos mais respeitados da área numérica de todo o país. Éimportante notar que se trata apenas da opinião do autor e não propriamente de um consenso.”Com o grande desenvolvimento experimentado pelos métodos numéricos e a conseqüentepenetração dos mesmos na engenharia, não raramente se travam discussões acaloradas a respeitoda eficiência do método das diferenças finitas (MDF) e elementos finitos (MEF). Minhaintervenção neste ponto polêmico deve-se ao fato de ter observado, ao longo dos últimos 10 anos,que muitas afirmações acerca desses métodos são oriundas do desconhecimento desta natureza.Um breve histórico é importante para o entendimento. 0 MDF sempre foi empregado pelosespecialistas da área de escoamento de fluidos, enquanto o MEF o foi para área estrutural, nasolução de problemas da elasticidade. Os problemas, do ponto de vista físico, são completamentediferentes. Os de escoamento são altamente não-lineares (equações de Navier-Stokes),enquanto os de elasticidade não possuem os termos convectivos, não-lineares, e assemelham-sea problemas puramente difusivos de transferência de calor. Foi natural, portanto, o fato de ospesquisadores do MDF terem se concentrado na tentativa de dominar as não-linearidades dostermos convectivos e no problema do difícil acoplamento entre as equações, dificuldades nãoencontradas em problemas de elasticidade. Por muito tempo foi deixado para segundo plano oproblema do tratamento de geometrias complexas, e o MDF teve todo o seu desenvolvimentobaseado nos sistemas coordenados ortogonais, como o cartesiano, o cilíndrico e o esférico. Poresta razão, muitas pessoas ainda vinculam o MDF com malhas cartesianas, equivocadamente,uma vez que ele pode ser aplicado a qualquer tipo de malha, mesmo a não-estruturada usadaem elementos finitos.Por outro lado, o MEF sempre teve a vantagem de usar malhas não-estruturadas, o quepermite que problemas em geometrias complexas possam ser resolvidos. 0 MEF não tevepenetração forte na área de fluidos por muito tempo, porque se acreditava que a equaçãodiferencial a ser resolvida necessitava de um princípio variacional para que o método pudesseser aplicado. Como a equação de Navier-Stokes não tem esta propriedade, a aplicação do MEF

Tóp. Esp. Fluido-Témica 51em fluidos foi retardada.Até o inicio da década de 70, tinha-se, portanto, o MDF com grande experiência na área defluidos, mas sem habilidades para tratar geometrias complexas; e o MEF, hábil no tratamentoda geometria, mas sem ferramentas para tratar os termos convectivos presentes nas equações domovimento. Mesmo suplantando a questão do princípio variacional, através do uso do métodode Galerkin e outras variantes, o MEF não teve sucesso imediato em problemas de fluidos,uma vez que o método de Galerkin (que é equivalente ao uso de diferenças centrais no MDF)é adequado apenas para problemas puramente difusivos.0 uso do método de Galerkin em elementos finitos é equivalente ao uso de diferenças centraisem diferenças finitas, ambos produzindo instabilidade em problemas de convecção dominante.Este e outros problemas similares, que possuem a adequada interpretação física pelonão-funcionamento, motivaram pesquisas para o aprimoramento do método dos volumes finitos(MVF), no qual as equações aproximadas são obtidas através de balanços de conservação dapropriedade envolvida (massa, quantidade de movimento, entalpia, etc.) no volume elementar.A observação do caráter físico de cada termo da equação diferencial permitiu que métodosmais robustos fossem desenvolvidos. A possibilidade de associar a interpretação física com amatemática influiu de modo considerável para que praticamente todos os analistas envolvidoscom o MDF passassem a usar o MVF, visto que ambos, por serem equivalentes para uma sériede problemas, levam muitas pessoas a confundi-los. Importantes desenvolvimentos foram entãorealizados no MVF, mas ainda em coordenadas ortogonais, principalmente cartesianas.Uma grande transformação, motivada pelo aparecimento de equipamentos mais velozes,processou-se na década de 70. Em meados dessa década, os sistemas coordenados ortogonaisconvencionais começaram a ceder espaço para os sistemas coordenados generalizados coincidentescom a fronteira do domínio, e o MVF passou a resolver problemas de fluidos em geometria,irregulares. Nos últimos 15 anos, foi espantoso o crescimento experimentado pelo MVF em coordenadascoincidentes com a fronteira. Praticamente todos os grandes pacotes hoje disponíveisno mercado para a solução de problemas de escoamento de fluidos com transferência de calorempregam coordenadas generalizadas no âmbito do MVF.Paralelamente, o MEF passou a empregar outras funções de interpolação para permitir otratamento adequado dos termos convectivos não-lineares. As funções do tipo Petrov-Galerkin,que nada mais são do que a ponderação entre os efeitos difusivos e convectivos, semelhantesaos esquemas híbridos empregados em volumes finitos, possibilitaram um expressiva avaliaçãodo MEF na área de escoamento de fluidos. Recentes formulações, onde estas funções sãodesenvolvidas ao longo da linha de corrente, também equivalentes aos esquemas skew usadosem volumes finitos, permitiram que o MEF passasse, também, a tratar problemas de fluidos

Tóp. Esp. Fluido-Témica 52minimizando os efeitos de difusão numérica.Atualmente, um grande esforço de pesquisa está sendo dedicado ao desenvolvimento demétodos em volumes finitos, usando malhas não-estruturadas, semelhantes, portanto, aquelasusadas em elementos finitos.No panorama atual, observa-se que ambos os métodos (MVF e MEF) estão resolvendoproblemas altamente convectivos, inclusive com ondas de choque, em geometrias arbitrárias,mostrando que existe entre eles uma forte semelhança em termos de generalidade. Se olharmosdo ponto de vista matemático, isto poderia ser diferente, uma vez que todos os métodosnuméricos podem ser derivados do método dos resíduos ponderados, empregando-se diferentesfunções peso. Por exemplo, o MDF surge quando a função peso é feita igual à função delta noponto em consideração; o MVF aparece quando esta função peso é feita igual a 1 no volumeelementar, e a zero em todos os outros volumes elementares, já o MEF-Galerkin surge quandoestas funções peso são feitas iguais às funções tentativas. Logo, não existe sentido em argumentarque um determinado método é sempre superior a outro, visto que eles são derivadosdo mesmo principio e diferem apenas na forma de minimização escolhida. 0 que se tem, naprática, são diferentes graus de experiência dos diversos métodos para diferentes problemas.A preferência pessoal deste autor pelo método dos volumes finitos (MVF) para problemasde escoamento de fluidos é justificada primeiro pela escola seguida na sua formação e, segundo,pelo fato de o MVF, ao criar suas equações aproximadas, estar realizando um balanço da propriedadeem nível de volumes elementares. Se o que se busca com o método numérico é a soluçãoda equação diferencial que representa a conservação da propriedade em invés de ponto (infinitesimal),parece lógico que as equações aproximadas (que formam o sistema linear) representema conservação em nível de volumes elementares (discreto). A depuração de um programa computacionaltambém fica mais fácil quando o analista tem etapas a serem conferidas. Como noMVF os balanço de conservação devem ser satisfeitos em nível de volumes elementares, paraqualquer tamanho de malha, todos os princípios de conservação podem ser checados em umamalha bastante grosseira. Ou seja, quase tudo pode ser feito manuseando-se poucos resultadosem execuções rápidas no computador. Em outros métodos, pode-se apenas conferir a soluçãocom uma malha refinada.Recentes desenvolvimentos mostram também o MEF aplicado em nível de volumes elementares,sendo denominado método dos elementos finitos baseado no volume de controle,conhecido na literatura internacional como CVFEM - Control Volume Finite Element Method,cujo objetivo é obter as equações aproximadas em nível de volumes elementares em uma basede elementos finitos. Muitos autores, principalmente aqueles ligados ao MEF clássico, não consideramo CVFEM como um MEF. Entretanto, foge do nosso escopo aprofundar esta e outras

Tóp. Esp. Fluido-Témica 53questões específicas.Um outro método que vem ganhando destaque e espaço é o método dos elementos nocontorno (Boundary Element Method - BEM da literatura internacional). Sua vantagem é apossibilidade de tratar apenas com a discretização da fronteira, sem necessidade de discretizaro domínio interno. 0 método é aplicado quando é possível transferir a influência do operador dodomínio para a fronteira. Apesar de atraente, é um método que ainda está longe de responderas solicitações dos problemas complexos resolvidos pelos outros métodos. Sem dúvida é umaárea de pesquisa que merece esforços.”Depois desta discussão toda o método que será estudado mais a fundo é o método dediferenças finitas (MDF) por se tratar de um método tradicional, ainda amplamente utilizadoe, que segundo o próprio texto mostra, não difere muito dos demais.5.3 Discretização do domínioComo já foi discutido a solução numérica não gera soluções contínuas como as analíticasmas sim valores para pontos determinados. Trata-se portanto de uma etapa fundamental nasolução numérica de um problema a escolha dos pontos para os quais vai se obter solução, oque é determinado pela discretização do domínio. Muitas vezes se obtém valores para pontosfora dos pontos da malha, mas estes valores são obtidos por interpolação da solução original, oque não garante a correção do seu valor, embora este procedimento forneça bons resultados namaior parte dos casos.Um dos grandes exemplos onde este procedimento falha é quando se tem um problemade solidificação ou fusão. Entre o ponto um ponto da malha que é sólido e outro líquido háuma forte descontinuidade, e uma simples interpolação linear neste caso não fornecerá bonsresultados, embora a solução para cada ponto esteja correta.A escolha da malha também pode influir decisivamente na solução de um problema numérico.Um grande exemplo disto é que a utilização de dois pontos muito próximos numa malha onde adistância média entre os pontos é significativamente maior pode induzir em erros significativosna solução final do problema. Isto é explicável pela inclusão de uma quase-singularidade namatriz (dois pontos que respondem pela mesma equação), dificultando a solução do sistema.Recentemente tem sido desenvolvidas muitas técnicas de geração automática de malhas, em(Maliska, 1995) pode ser encontrada descrição de uma série destes métodos. Este procedimentoé um conforto necessário pois, a medida que as geometrias dos problemas vão se tornando mais

Tóp. Esp. Fluido-Témica 54complexas, o tempo necessário para gerar uma malha manualmente aumenta numa proporçãomuito maior. É importante ressaltar que para se trabalhar com a formulação de diferenças aser apresentada nesta apostila é necessária que a malha seja ortogonal 1 .Existem formulações alternativas para diferenças finitas e volumes finitos que trabalhamcom malhas ortogonais. O método de elementos finitos não requer malhas ortogonais.1 Malha ortogonal é o tipo de malha em que cada ponto tem seus vizinhos diretos numa direção normal outangencial.

CAPÍTULO 6Método dos Elementos FinitosSerá mostrado neste capítulo todos os princípios da formulação de um problema atravésdo método dos elementos finitos. Serão apresentados, de forma sucinta, os princípios da metodologiade elementos finitos, todos os passos a serem cumpridos na formulação de um problemadesde a discretização até solução final do problema.6.1 Princípios gerais6.1.1 Aproximação por funçõesO princípio fundamental de elementos finitos consiste em utilizar funções, de diferentesordem, para aproximar a solução dentro do domínio do elemento (subdomínio do problema).Normalmente quando se tem uma determinada quantidade expressa em termos de uma variação,espacial ou temporal, pode-se determinar uma equação de aproximação. A qualidade destaaproximação pode ser determinada através de um desvio expresso por:e(x) = u(x) − u ex (x)sendo e(x) o desvio, u(x) a aproximação e u ex o valor exato desta aproximação para este mesmoponto.55

Tóp. Esp. Fluido-Témica 56Para construir uma aproximação exata é necessário escrever a aproximação de u(x) emfunção da posição e dos parâmetros de aproximação:• escrever uma função contendo n parâmetros a i como, por exemplo u(x) = a 1 + a 2 x +a 3 x 2 + · · · + a n x n − 1, ou qualquer outra função onde:u = f(x, a 1 , a 2 , a 3 , · · · a n )• determinar os parâmetros a i da aproximação usando uma determinada regra. Esta regrapode ser a de mínimos quadrados, ou ainda, a mais comum para determinação das funçõesde elementos finitos, a função em que o desvio e(x) = 0, nos pontos considerados.Desta forma obtém-se uma função que simplesmente aproxima o comportamento da variávelao longo do domínio. Com esta aproximação podem ser obtidas, dentre outras coisas,:• um expressão simples para uma função complexa ou difícil de ser manipulada, válida paraum certo número de pontos que se deseje ou ainda com boa aproximação dentro de umacerta região;• solução para equações diferenciais parciais ou ordinárias (normalmente associadas a problemasfísicos).Exemplo Aproximação da quantidade física: Suponha que deseja-se obter a distribuição detemperatura numa dada região e sabe-se que esta é uma função contínua (sem ressaltos) e sãoconhecidos os seus valores em três pontos:x u ex (x)0,0 20 ◦ C0,5 25 ◦ C1,0 22 ◦ CPode-se determinar uma expressão para as temperaturas entre os pontos 0 e 1, utilizando ao desvio nulo (e(x) = 0) nos pontos conhecidos e uma aproximação polinomial quadrática:u ex (x) ≈ u(x) = a 1 + a 2 x + a 3 x 2

Tóp. Esp. Fluido-Témica 57assim:u ex (x = 0) = u(x = 0) = a 1 = 20u ex (x = 0, 5) = u(x = 0, 5) a 1 + 0, 5 a 2 + (0, 5) 2 a 3 = 25u ex (x = 1) = u(x = 1) a 1 + 1 a 2 + (1) 2 a 3 = 22Se resolvido o sistema com três equações e três incógnitas obtém-se que:a 1 = 20; a 2 = 18; a 3 = −16;que resulta em u(x) = 20 + 18 x − 16 x 2 e representa uma aproximação do u ex (x). Por exemplo,para uma aproximação da temperatura na posição x = 0, 7 pode ser usado:u(x = 0, 7) = 20 + 18 × 0, 7 − 16 × (0, 7) 2 = 20 + 12.6 − 7, 84 = 24.76Exemplo: Solução aproximada de uma equação diferencial: Supondo que se tem um problemade condução com a geração de energia variando com a posição. Neste caso, a equaçãodiferencial que rege o problema seria do tipo:e sabendo que:d 2 u= −f(x) para 0 ≤ x ≤ 1dx2 x f(x)0,25 10,75 0,25Tem-se, ainda, que as temperaturas nas extremidades do problema seriam conhecidas. Nestecaso, as condições de contorno adotadas são:⋆ x = 0 : a temperatura u = 0⋆ x = 1 : a temperatura u = 0Para a obtenção da solução também se faz necessário a escolha de uma função que obedeçaas condições de contorno. Assim, foi escolhida a seguinte aproximação:u ex (x) ≈ u(x) = a 1 sin(π x) + a 2 sin(2 π x)

Tóp. Esp. Fluido-Témica 58Normalmente em soluções deste tipo é mais difícil encontrar uma solução que satisfaça ascondições de contorno do que partir dela, e encontrar a solução do problema, propriamentedita. Desta forma tem-se que para este caso, nos dois pontos considerados:e para os pontos analisados:d 2 udx 2 ∣∣∣∣x=xi= −a 1 π 2 sin(π x i ) − 4a 2 π 2 sin(2 π x i )d 2 udx 2 ∣∣∣∣x=0,25= a 1 π 2 sin(0.25 π) − 4a 2 π 2 sin(0.5 π) = −1d 2 udx 2 ∣∣∣∣x=0,75= a 1 π 2 sin(0.75 π) − 4a 2 π 2 sin(1.5 π) = −0.25Resolvendo o sistema composto por duas equações e duas incógnitas, obtém-se:que implica numa solução:a 1 = 54 √ 2u(x) = 54 √ 21π 2 ; a 2 = 3 321π 2 sin(π x) + 3 321π 2 ;1sin(2 π x)π2 Pode-se utilizar ainda a expressão para avaliar a temperatura, ou outra variável de interesse,em qualquer ponto. Por exemplo para a posição x = 0, 25, tem-se:u(x = 0, 25) = 23321= 0, 0728π2 6.1.2 Aproximação nodalEste mesmo procedimento pode ser utilizado para expressar uma função para umavariável genérica em função dos pontos nodais. Para isto, note primeiro que nos casos anteriorespoderia se fazer uma aproximação em função das variáveis a 1 , · · · , a n , bastando paraisto:u(x) = P 1 (x) a 1 + P 2 (x) a 2 + · · · + P n (x) a nsendo P i chamada de função básica de interpolação (basis function).Imagine que se tenha um domínio qualquer e se conheça os valores de uma função qualquerem pontos determinados. Pode-se montar uma função que represente o comportamento davariável em função do seu valor nestes pontos. Para uma função u(x) tem-se que para uma

Tóp. Esp. Fluido-Témica 59série de pontos nodais x 1 , x 2 , · · · , x n os valores da função são, respectivamente, u 1 , u 2 , · · · , u n .Pode-se desta forma fazer a aproximação nodal:ou ainda numa forma matricial:u(x) = N 1 (x) u 1 + N 2 (x) u 2 + · · · + N n (x) u n⎧⎪⎨u(x) = [N 1 (x) N 2 (x) · · · N n (x)] =⎪⎩u 1u 2⎫⎪ ⎬= [N] · u.⎪ ⎭u nsendo N i chamada de função de interpolação (interpolation function)Assim sendo, é possível notar que(a) como u(x i ) = u i , as funções de interpolação assumem os valores::{0 sei ≠ jN j (u i ) =1 sei = j(b) o erro da aproximação nos pontos nodais é nulo.e(x) = 0 se x = x iExemplo Aproximação para quatro pontos: Considere a situação onde são escolhidos quatropontos alinhados para solucionar o problema unidimensional. Desta forma a aproximação nodalé dada por:u(x) = N 1 (x) u 1 + N 2 (x) u 2 + N 3 (x) u 3 + N 4 (x) u 4Neste caso é adotada como função de interpolação que respeite as condições anteriormenteexpostas: a função de Lagrange de terceiro grau,N i (x) =4∏j=1j≠i(x − x j )(x i − x j)(6.1)Tomando o exemplo de N 1 (x) tem-se:N 1 (x) = (x − x 2)(x − x 3 )(x − x 4 )(x 1 − x 2 )(x 1 − x 3 )(x 1 − x 4 )

Tóp. Esp. Fluido-Témica 601,00,80,60,4N 1(x)0,20,0-0,2-0,41 2 3 4 5 6 7xFigura 6.1: Comportamento da função N 1 (x) na região consideradaAssim se x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 5 e x 4 = 7 tem-se que:N 1 (x) = − 1 (x − 2) (x − 5) (x − 7)24que se substituídox 1 1,5 2 3 4 5 6 7N 1 (x) 1 − 771920 − 1 3− 1 40160O comportamento desta função pode ser visto para todos os pontos na figura (6.1).Raciocínio análogo é usado para as demais funções:N 2 (x) = (x − x 1)(x − x 3 )(x − x 4 )(x 2 − x 1 )(x 2 − x 3 )(x 2 − x 4 ) = 1 (x − 1) (x − 5) (x − 7)15N 3 (x) = (x − x 1)(x − x 2 )(x − x 4 )(x 3 − x 1 )(x 3 − x 2 )(x 3 − x 4 ) = − 1 (x − 1) (x − 2) (x − 7)24N 4 (x) = (x − x 1)(x − x 2 )(x − x 3 )(x 4 − x 1 )(x 4 − x 2 )(x 4 − x 3 ) = 1 (x − 1) (x − 2) (x − 5)60Assim, considerando a interpolação da própria variável espacial, ou seja u 1 = 1, u 2 = 2,u 3 = 5 e u 4 = 7: tem se que a função de interpolação u(x) é dada por:

Tóp. Esp. Fluido-Témica 61u(x) = N 1 (x) u 1 + N 2 (x) u 2 + N 3 (x) u 3 + N 4 (x) u 4= − 1 24 (x − 2) (x − 5) (x − 7) + 2 (x − 1) (x − 5) (x − 7) −15524 (x − 1) (x − 2) (x − 7) + 7 (x − 1) (x − 2) (x − 5)60= xque resulta com isto na solução exata: u(x) = x.Este é apenas um exemplo unidimensional, no entanto na maior parte dos problemas que sãotratados em elementos finitos, tem-se duas ou mais dimensões, e as novas funções de interpolaçãopassam a ser função de todas as variáveis espaciais:u ex (x, y, z) = u ex (⃗x)ou ainda⎧⎪⎨u(⃗x) = [N 1 (⃗x) N 2 (⃗x) · · · N n (⃗x)] =⎪⎩u 1u 2⎫⎪ ⎬= [N] · {u}.⎪ ⎭u n6.2 Aproximação por Elementos FinitosA construção das funções de aproximação u(x) vão se tornando mais difíceis a medidaque o número de nós aumenta. Uma maior complexidade ainda é verificada quando o domínioV é irregular ou possui condições de contorno mais complexas. Por outro lado, as aproximaçõesnodais de sub-domínio simplificam a obtenção da solução u(x) e são extremamente fáceis deserem implementadas em um computador. Este procedimento consiste, basicamente, dos seguintespassos:• divisão do domínio principal V em sub-domínios V e ;• a escolha de uma aproximação nodal adequada para cada subdomínio. De maneira geral,ela depende das dos pontos nodais e aproximações utilizadas nas vizinhanças. O métododos elementos finitos é apenas um tipo de aproximação nodal por sub-domínio, sendosuas características principais:– a aproximação nodal dentro do sub-domínio depende apenas dos nós do próprioelemento;

Tóp. Esp. Fluido-Témica 62– a aproximação elementar u e (x) deve garantir um mínimo de continuidade entre doiselementos assim como nas suas fronteiras.Algumas definições importantes:Nós: são os pontos do sub-domínio onde a função é avaliada;Coordenadas nodais: são as coordenadas geométricas dos pontos avaliados.Variáveis nodais: são valores da função de interesse, u(x), nos nós.6.2.1 Definição geométrica dos elementos.Imagine o problema genérico aproximado por elementos compostos pelos nós 1, 2, 3 e 4 ecompreendendo o domínio total entre x 1 e x 4 . Os três elementos lineares seriam responsáveispelo seguintes domínios:Elemento 1 V 1 x 1 < x < x 2Elemento 2 V 2 x 2 < x < x 3Elemento 3 V 3 x 3 < x < x 4Utilizando para cada um destes elementos de dois nós a função Lagrange tem-se que paracada elemento:u i (x) = N 1 u 1 + N 2 u 2sendo N i dado pela expressão de Lagrange, equação (6.1). Deve-se notar que no exemploanteriormente resolvido, utilizava-se um polinômio de Lagrange de quarta ordem, enquanto nocaso de elementos de dois nós utiliza-se apenas o polinômio de segunda ordem.6.2.2 Regras para a discretização de domínios através de elementosfinitosA subdivisão de um domínio V em sub-domínios V e deve obedecer a algumas regras.(a) deve haver sempre uma fronteira comum entre os elementos adjacentes onde estarão osúnicos pontos comuns entre os elementos. Estas fronteiras podem ser compostas porpontos, linhas ou áreas.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 63(a) Overlapping(b) HoleFigura 6.2: Anomalias comuns na discretização de um domínio através de malhas.(b) não é permitida a existência de regiões comuns a mais de um elemento (overlapping) e nemregiões dentro do domínio que não pertençam a região alguma (holes). Estas anomaliasestão mostradas na figura (6.2).(c) quando a fronteira do domínio do problema não coincidem inclui-se uma anomalia (hole)que acarreta em um erro que não pode ser mensurado. Entretanto, estes erros, denominadospor erros geométricos, podem ser minimizados utilizando-se elementos menoresou elementos de maior ordem, que melhor se adequam à fronteira. Estes procedimentossão melhores compreendidos quando discretiza-se uma fronteira do tipo mostrado nafigura (6.3).Note que na fig. (6.3a) a discretização é feita com elementos grosseiros e não é possívelrepresentar a fronteira de forma adequada, apresentando maiores vãos (holes), nestasregiões. Na fig. (6.3b) utiliza-se elementos menores e a fronteira já pode ser melhor representada.E, finalmente, na figura (6.3c), nota-se que foi obtida uma boa representação dafronteira mesmo com elementos mais grosseiros, desde que estes sejam de ordem superiore suas fronteiras possam ser deformadas para se ajustar ao domínio do problema.(a) Malha Linear Grosseira (b) Malha mais refinada (c) Malha com elementosde maior ordemFigura 6.3: Erro comum na discretização do domínio.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 64Figura 6.4: Transformação do domínio elementar.6.3 Elementos de referênciaQuando se trabalha com elementos finitos existem dois tipos básicos de sistemas decoordenadas. A metodologia de elementos finitos usa ferramentas matemáticas para efetuar atransformação (τ) de um sistema de coordenadas para outro. A figura (6.4) mostra o sistemasde referência para um elemento triangular. Os sistemas de coordenadas que coexistem nestecaso são:Sistema de coordenadas local: é aquele que existe dentro do elemento ideal e cujas coordenadassão expressas em termos de ξ e η.Sistema de coordenadas global: que existe no sistema físico real e expresso em termos decoordenadas globais para todos os elementos.Pode-se expressar a transformação de um sistema de coordenadas em outro através daexpressão:τ e : ξ =⇒ x e (ξ)onde o ponto ξ representa um ponto no sistema de coordenadas local e x o ponto no sistemaglobal.Esta mesma expressão pode ser escrita em termos de variáveis nodais sendo expressa naforma:τ e : ξ =⇒ x e (ξ) = N(ξ) · {x e }Para que esta transformação seja feita de maneira adequada são necessárias algumas condições:

Tóp. Esp. Fluido-Témica 65• o sistema de transformação deve ser biunívoco (um ponto em cada conjunto tem correspondênciaa outro único ponto do outro sistema).• cada nó local do sistema de coordenadas corresponde a um nó do sistema generalizado evice-versa.• da mesma forma que os nós cada fronteira do elemento corresponde a uma fronteira global.Neste sistema de coordenadas pode-se utilizar as próprias coordenadas para verificar asfunções de interpolação. Desta forma:x(ξ, η) = N 1 (ξ, η) · x i + N 2 (ξ, η) · x j + N 3 (ξ, η) · x k = [N] · {x}y(ξ, η) = N 1 (ξ, η) · y i + N 2 (ξ, η) · y j + N 3 (ξ, η) · y k = [N] · {y}sendo N as funções de interpolação.Estes conceitos de transformação de coordenadas podem ser vistos mais detalhadamentequando se realiza uma transformação para o elemento triangular, originalmente proposta nafigura (6.4), assim:⃗P | = ⃗ R + ⃗r⃗r = ξ · i ξ + η · i η⃗R = X ii ξ = X j − X ii η = X k − X iP = X i + ξ · (X j − X i ) + η · (X k − X i )P = (1 − ξ − η) · X i + ξ · X j + η · X k⎧ ⎫⎪⎨ X i ⎪⎬P = {(1 − ξ − η) ξ η} X j⎪⎩ ⎪ ⎭X kÉ possível notar que para que a transformação de coordenadas seja adequada é precisoconsiderar as amplitudes da transformação, assim como a múltipla composição de dimensões(η, por exemplo, apresenta derivadas tanto na direção x como y).é necessário conhecer o Jacobiano [J] da transformação.expressão:[J] =[∂x∂ξ∂x∂η∂y∂ξ∂y∂η]=[]x j − x i y j − y ix k − x i y k − y idet[J] = (x j − x i )(y k − y i ) − (x k − x i )(y j − y i )Para corrigir este fatorO Jacobiano pode ser dado pela

Tóp. Esp. Fluido-Témica 66É importante notar que o valor do determinante do Jacobiano resulta em duas vezes a áreado mesmo.6.4 Propriedades das funções de aproximação u(x)Propriedade Fundamental: o valor da função deve coincidir com os respectivos valores nodais.Com base na expressão geral:n∑u(x) = N 1 (x) x 1 + N 2 (x) x 2 + · · · N n (x) x n = N i (x) x item-se que a propriedade é atendida se sobre o ponto nodal considerado j tem-se:{0 se i ≠ jN j (x i ) =1 se i = jContinuidade no elemento: as funções N i (x) devem ser contínuas em todo elemento, assimcomo as derivadas até a ordem s considerada.Continuidade entre elementos: tanto os valores da função como de suas derivadas devemser os mesmos nas fronteiras de elementos adjacentes, sejam eles calculados por um ououtro elemento.Função polinomial completa O erro de truncamento é minimizado com a diminuição doelemento. Por muitas outras razões é necessário diminuir o erro das derivadas e da funçãode aproximação. Além do mais, é necessário que para que se resolva um problema elepossua pelo menos a mesma ordem (s) de derivadas contínuas na função de interpolação.Caso contrário a função seria automaticamente anulada e não se conseguiria os resultadosdesejados para o problema.i=1Além disto existem algumas definições importantes que devem ser destacadas:• se uma função é contínua pelas suas fronteiras ele é classificada com C 0 , se a função e aprimeira derivada são contínuas, ela é classificada de C 1 , e assim sucessivamente.• se a transformação de coordenadas e as funções de aproximação se utilizam das mesmasfunções de interpolação, o elemento é chamado de isoparamétrico.• se as funções de interpolação são diferentes podem haver dois tipos de transformação:pseudo-paramétrico: se as funções são diferentes mas utilizam a mesma base.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 67subparamétrica: quando as funções de interpolação da geometria são de ordem inferiorà da variável de interesse.• o número de variáveis nodais associados a cada um dos nós de cada elemento é denominadopor grau de liberdade do sistema.6.5 Construção das funções de interpolaçãoEscolha da base polinomial: está diretamente associada ao número de pontos nodais doelemento, sendo que quanto maior o número de pontos, maior a base polinomial. A tabela (6.1)mostra a base associada ao número de pontos do elemento.Tabela 6.1: Base polinomial para elementos de até duas dimensões.Dimensão Grau do Base Polinomial NósPolinômioBase completa1 1 < 1 ξ > (linear) 21 2 < 1 ξ ξ 2 > (quadrático) 32 1 < 1 ξ η > (linear) 32 2 < 1 ξ η ξ 2 ξ η η 2 > (quadrático) 3Base incompleta2 2 < 1 ξ ξ η η > (quadrático) 3n dPara a construção do polinômio é utilizada a propriedade básica da função de interpolação,ou seja, o fato de que no ponto nodal o valor resultante é igual ao próprio valor da função.Sabendo que a transformação de sistemas é dada na forma:u(ξ) =< P (ξ) >< a(x) > (6.2)sendo < P (ξ) > a base polinomial e < a > as variáveis generalizadas para montagem da funçãode interpolação. A expressão apresentada na eq. (6.2) representa a aproximação generalizada,diferenciada da aproximação nodal.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 68Relação entre o sistema generalizado e nodal: é dada pela aproximação avaliada noponto nodal:⎡⎤< P 1 (ξ 1 ) P 2 (ξ 1 ) · · · P n (ξ 1 ) >{u n } =< P 1 (ξ 2 ) P 2 (ξ 2 ) · · · P n (ξ 2 ) >⎢⎣· · · · · ·⎥⎦ {a} = [P n]{a}< P 1 (ξ n ) P 2 (ξ n ) · · · P n (ξ n ) >ou ainda invertendo a matriz dos polinômios:{a} = [P n ] −1 {u n } (6.3)Expressões analíticas para as funções de interpolação: podem ser obtidas a partir dosresultados anteriores com respeito da base polinomial e o vetor a. Se substituir-se a eq. (6.3)na eq. (6.2), obtém-se:u(ξ) =< P (ξ) > [P n ] −1 {u n }que implica em dizer que as funções de interpolação para a aproximação nodal:u(ξ) =< N(ξ) > {u n } =< P (ξ) > [P n ] −1 {u n }ou ainda as funções de aproximação nodal são dados por:< N(ξ) >=< P (ξ) > [P n ] −1 (6.4)Derivadas de u(ξ):podem ser obtidas diferenciando em relação a cada uma das variáveisgeométricas, como no caso unidimensional:{ } [ ][ ]u ξ < P ξ >=[P n ] −1 < N ξ >{u n } ={u n } = [B ξ ] {u n }u η < P η >< N η >Exemplo: Construção das funções de interpolação para um elemento quadrilateral de quatronós: Serão utilizados agora os preceitos fornecidos para a obtenção das funções de interpolaçãode um elemento linear de quatro nós, como mostrado na figura (6.5).Escolha da base polinomial: já que o elemento possui quatro nós, é preciso escolher umabase de acordo com este tamanho. Já que não existe nenhuma base completa para quatronós a melhor escolha, que respeita as condições de de simetria e inter-continuidade doselementos é:〈P 〉 = 〈 1 ξ η ξ · η 〉

Tóp. Esp. Fluido-Témica 69Figura 6.5: Elemento bidimensional, linear e isoparamétrico.Montagem da matriz P n : é montada com base na avaliação da base polinomial nos quatronós possíveis (com seus respectivos valores de ξ e η:⎧ ⎫ ⎧−1⎪⎨1⎪⎬ ⎪⎨ξ = , η =1⎪⎩−1⎪⎭ ⎪⎩⎡⎤1 −1 −1 1[P n ] =1 1 −1 −1⎢⎣ 1 1 1 1⎥⎦1 −1 1 −1−1−111⎫⎪⎬⎪⎭Inversão de P n : neste caso a matriz é inversível:⎡[P n ] −1 = 1 4 [P n] T = 1 4 ⎢⎣1 1 1 1−1 1 1 −1−1 −1 1 11 −1 1 −1⎤⎥⎦Obtenção das expressões de 〈N〉: a partir da multiplicação da base polinomial pela inversade [P n ]

Tóp. Esp. Fluido-Témica 70⎡⎤1 1 1 1〈N〉 = 〈P 〉 · [P n ] −1 = { 1 ξ η ξ · η } · 1−1 1 1 −14 ⎢⎣ −1 −1 1 1⎥⎦1 −1 1 −1〈〉〈N〉 = N 1 (ξ, η) N 2 (ξ, η) N 3 (ξ, η) N 4 (ξ, η)〈N〉 = 1 〈〉1 − ξ − η + ξη 1 + ξ − η − ξη 1 + ξ + η + ξη 1 − ξ + η − ξη4〈N〉 = 1 〈〉(1 − ξ)(1 − η) (1 + ξ)(1 − η) (1 + ξ)(1 + η) (1 − ξ)(1 + η)4O elemento determinado é isoparamétrico e portanto as mesmas funções utilizadas para ainterpolação de uma quantidade genérica podem ser utilizadas para as variáveis espaciais (x ey no caso deste elemento bidimensional):⎧⎪⎨x(ξ, η) = 〈N〉 ·⎪⎩x 1x 2⎫⎪ ⎬, y(ξ, η) = 〈N〉 ·x 3⎪x ⎭4⎧⎪⎨⎪⎩y 1y 2y 3y 4⎫⎪ ⎬⎪ ⎭6.6 Transformação de operadores diferenciaisAs equações que governam os fenômenos físicos envolvem normalmente não somente asfunções u, mas também as suas derivadas. Como já foi destacado, a aproximação no espaçoreal é sempre complexa devendo ser dada preferência para se trabalhar no domínio elementar.Isto implica na utilização das funções de aproximação no espaço ξ:u ex ≈ u(ξ) = 〈< N(ξ)〉{u n }sendo possível a obtenção da solução através da transformação de coordenadas. Normalmente atransformação é complexa, como já foi enfatizado. De qualquer forma, quando é preciso avaliaruma derivada da referida função, seja qual for a transformação desejada, esta é feita através doprincípio da regra da cadeia, que numa forma matricial poderia ser expressa por:⎧ ⎫ ⎡⎤ ⎧ ⎫∂x ∂y ∂z⎪⎨ ⎪⎬ ∂ξ ∂ξ ∂ξ⎪⎨ ⎪⎬⎪⎩ ⎪⎭ = ⎢ ∂x ∂y ∂z ⎥⎣∂η ∂η ∂η⎦ ·⎪⎩ ⎪⎭ =⇒ {∂ ξ} = [J] · {∂ x }∂∂ξ∂∂η∂∂ζsendo [J] o Jacobiano da matriz de transformação.∂x∂ζ∂y∂ζ∂z∂ζ∂∂x∂∂y∂∂z

Tóp. Esp. Fluido-Témica 71De forma análoga pode-se enfatizar que transformação inversa respeita a mesma regra:⎧⎪⎨⎪⎩∂∂x∂∂y∂∂z⎫ ⎡⎪⎬⎪⎭ = ⎢⎣∂ξ∂x∂ξ∂y∂ξ∂z∂η∂x∂η∂y∂η∂ze que nos permite afirmar que [j] = [J] −1 .∂ζ∂x∂ζ∂y∂ζ∂z⎤⎥⎦ ·⎧⎪⎨⎪⎩∂∂ξ∂∂η∂∂ζ⎫⎪⎬⎪⎭ =⇒ {∂ x} = [j] · {∂ ξ }Com isto é possível obter qualquer matriz de transformação, desde que esta seja biunívocae, portanto, gere matrizes inversíveis.Alguns Jacobianos e seus inversos• Unidimensional:[J] = J 1,1 [j] = [J] −1 = 1J 1,1• Bi-dimensional:[J] =[]J 1,1 J 1,2J 2,1 J 2,2[[j] = [J] −1 = 1det[J]]J 2,2 −J 1,2det[J] = J 1,1 · J 2,2 − J 2,1 · J 1,2• Tri-dimensional:⎡⎤J 1,1 J 1,2 J 1,3⎢⎥[J] = ⎣ J 2,1 J 2,2 J 2,3 ⎦J 3,1 J 3,2 J 3,3⎡[j] = [J] −1 = 1 ⎢⎣det[J]⎤J 2,2 J 3,3 − J 2,3 J 3,2 −J 1,2 J 3,3 + J 1,3 J 3,2 J 1,2 J 2,3 − J 1,3 J 2,2⎥−J 2,1 J 3,3 + J 2,3 J 3,1 J 1,1 J 3,3 − J 1,3 J 3,1 −J 1,1 J 2,3 + J 1,3 J 2,1 ⎦J 2,1 J 3,2 − J 2,2 J 3,1 −J 1,1 J 3,2 + J 1,2 J 3,1 J 1,1 J 2,2 − J 1,2 J 2,1det[J] = J 1,1 (J 2,2 J 3,3 − J 2,3 J 3,2 ) + J 1,2 (J 3,1 J 2,3 − J 2,1 J 3,3 ) + J 1,3 (J 2,1 J 3,2 + −J 3,1 J 2,2 )6.6.1 Montagem do JacobianoConsiderando a matriz de transformação de variáveis entre um espaço real x e um espaçoelementar ξ tem-se que a aproximação nodal se apresenta na forma:{ x y z } = 〈N〉[ {x} n {y n } {z n } ]

Tóp. Esp. Fluido-Témica 72E o Jacobiano pode ser montado a partir das próprias derivadas da função:⎧ ⎫⎡ ⎤⎪⎨ ⎪⎬ { }[]⎢ ⎥[J] =x y z = ⎣ ⎦ {x n } {y n } {z n }⎪⎩ ⎪⎭∂∂ξ∂∂η∂∂ζ∂〈N〉∂ξ∂〈N〉∂η∂〈N〉∂ζExemplo: Jacobiano para o elemento de quatro nós:⎡ ⎤x[] 1 y 1[J] = 1 −(1 − η) (1 − η) (1 + η) −(1 + η)×x 2 y 24 −(1 − ξ) −(1 + ξ) (1 + ξ) (1 − ξ)⎢⎣ x 3 y⎥3 ⎦y 4que após realizada a multiplicação resulta em:⎡⎤[J] = 1 −x 1 + x 2 + x 3 − x 4 + η (x 1 − x 2 + x 3 − x 4 ) −y 1 + y 2 + y 3 − y 4 + η (y 1 − y 2 + y 3 − y 4 )⎢⎥⎣⎦4−x 1 − x 2 + x 3 + x 4 + ξ (x 1 − x 2 + x 3 − x 4 ) −y 1 − y 2 + y 3 + y 4 + ξ (y 1 − y 2 + y 3 − y 4 )sendo que o determinante da matriz pode ser calculado através da expressão:e onde:det[J] = A 0 + A 1 ξ + A 2 ηA 0 = 1 8 [(y 4 − y 2 )(x 3 − x 1 ) − (y 3 − y 1 )(x 4 − x 2 )]A 1 = 1 8 [(y 4 − y 3 ) (x 1 − x 2 ) − (y 2 − y 1 )(x 3 − x 4 )]A 2 = 1 8 [(y 1 − y 4 )(x 2 − x 3 ) − (y 2 − y 3 )(x 1 − x 4 )]x 46.6.2 Transformação de uma integralSupondo agora que se deseje realizar uma integração de uma função genérica f nodomínio elementar, muito mais simples, e transformá-la para o domínio real. Para realizar esteobjetivo é preciso analisar a natureza da integração. Para uma integração sobre um determinadovolume no espaço real tem-se que:dV = (dx × dy) · dzsendod⃗x = J 1,1 · dξ ⃗ + J 2,1 · d⃗η + J 3,1 · dζ⃗d⃗y = J 1,2 · dξ ⃗ + J 2,2 · d⃗η + J 3,2 · dζ⃗d⃗z = J 1,3 · dξ ⃗ + J 2,3 · d⃗η + J 3,3 · dζ⃗

Tóp. Esp. Fluido-Témica 73que implica que esta mesma função dV pode ser representada na forma:dV = det[J] · dξ · dη · dζ6.7 Coordenadas nodais e conectividadeCom os nós numerados de forma seqüencial de 1 até n e expresso num sistema decoordenadas global (generalizado), pode-se montar um descrição com todos os pontos em umatabela. No caso bidimensional devem constar na tabela o número do nó e sua respectivacoordenada x e y.A união de alguns nós faz surgir os elementos que também podem ser numerados seqüencialmentede 1 até m (m < n). Estes elementos podem ser descritos através do número dos nósque o compõem, e que podem ser associados ainda à tabela anterior, que possui as coordenadasdos pontos. Esta tabela que apresenta as conexões entre os nós de cada elemento é chamadade conectividade.A formulação por elementos finitos exige alguns cuidados sendo o principal deles o fatoque a mesma deve obedecer uma seqüência de conexão entre os elementos, não podendo serapresentada em uma ordem aleatória. Normalmente é utilizado um ponto como referênciainicial e um sentido de numeração, horário ou anti-horário, para expressar a conectividade.Considerando todo o procedimento não faz diferença qual o ponto que se adota como origempara o elemento e nem o sentido de rotação, no entanto, para todos os elementos deve seradotado o MESMO sentido de rotação.Um exemplo da montagem da tabela de coordenadas dos nós e de conectividade, pode servisto no exemplo que se segue.Exemplo Numérico: Considere o volume total de chuva que incide sobre uma determinadaregião de área A e na qual são lidos uma série de pontos u i . Os pontos numerados de 1 a 10estão mostrados na tabela (6.2) e figura (6.6) sendo apresentados suas coordenadas x e y e osníveis de chuva medidos sobre o ponto.O total de chuva Q pode ser definido como sendo:∫Q = u(x, y) · dAsendo que u(x, y) representa o nível de precipitação.A

Tóp. Esp. Fluido-Témica 74Figura 6.6: Discretização do problema em elementosCom estes dados determine o valor total da precipitação sobre a região considerada e oíndice médio de precipitação (u med ).Tabela 6.2: Nível de precipitação em diversos pontos selecionadosNo x[km] y[km] u n [cm]1 0 33, 3 4, 622 13, 2 62, 3 3, 813 39, 3 84, 5 4, 764 22, 2 30, 1 5, 455 49, 9 57, 6 4, 906 78, 8 78, 2 10, 357 39, 3 10, 0 4, 968 59, 7 34, 3 4, 269 73, 9 36, 2 18, 3610 69, 8 5, 1 15, 69Solução: A primeira etapa consiste na montagem da tabela de conectividade para representarcomo os pontos estão interconectados. Esta tabela está representada na tabela (6.3).Aproximação nodal:

Tóp. Esp. Fluido-Témica 75Tabela 6.3: Tabela de ConectividadeElemento 1 2 3 41 1 4 5 22 2 5 6 33 4 7 8 54 5 8 9 65 7 10 9 8⎧〈〉 ⎪⎨u(ξ, η) = N 1 (ξ, η) N 2 (ξ, η) N 3 (ξ, η) N 4 (ξ, η) ·= 1 4〈⎪⎩u 1u 2u 3u 4⎫⎪ ⎬⎪ ⎭(1 − ξ)(1 − η) (1 + ξ)(1 − η) (1 + ξ)(1 + η) (1 − ξ)(1 + η)⎧〉 ⎪⎨⎪⎩u 1u 2u 3u 4⎫⎪ ⎬⎪ ⎭Integração:∫∫Q = u(x, y) · dx · dy = u(ξ, η) · det [J] · dξ · dηou, na forma matricial:AAQ = 1 4∫ 1 ∫ 1−1 −1(A 0 + A 1 ξ + A 2 η)〈(1 − ξ)(1 − η) (1 + ξ)(1 − η) (1 + ξ)(1 + η) (1 − ξ)(1 + η)〉dξ · dη⎧⎪⎨⎪⎩u 1u 2u 3u 4⎫⎪ ⎬⎪ ⎭que depois de integrada:〈Q = − 1A 3 1 + A 0 − 1A 3 213 A 1 + A 0 − 1 3 A 213 A 1 + A 0 + 1 3 A 2 − 1 3 A 1 + A 0 + 1 3 A 2⎧〉 ⎪⎨⎪⎩u 1u 2u 3u 4⎫⎪ ⎬⎪ ⎭

Tóp. Esp. Fluido-Témica 76que na forma polinomial pode ser escrita como:(Q = − 1 3 A 1 + A 0 − 1 ) ( 13 A 2 u 1 +3 A 1 + A 0 − 1 3 A 2)u 2 +( 13 A 1 + A 0 + 1 3 A 2)u 3 +(− 1 3 A 1 + A 0 + 1 )3 A 2 u 4e depois de reagrupada resulta em:Q = A 0 (u 2 + u 1 + u 4 + u 3 ) + A 13 (−u 1 − u 4 + u 3 + u 2 ) + A 23 (u 3 − u 2 − u 1 + u 4 )ou ainda representado na forma:sendo:Q = A 0 U 1 + A 13 U 2 + A 23 U 3U 1 = u 2 + u 1 + u 4 + u 3U 2 = −u 1 − u 4 + u 3 + u 2U 3 = u 3 − u 2 − u 1 + u 4Para o primeiro elemento tem-se que:Nó 1 ⇒ x 1 = 0, y 1 = 33, 3, u 1 = 4, 62Nó 4 ⇒ x 2 = 22, 2, y 2 = 30, 1, u 2 = 5, 45Nó 5 ⇒ x 3 = 49, 9, y 3 = 57, 6, u 3 = 4, 90Nó 2 ⇒ x 4 = 13, 2, y 4 = 62, 3, u 4 = 3, 81Utilizando das definições anteriormente obtidas para elementos de quatro nós:A 0 = 1 8 [(y 4 − y 2 )(x 3 − x 1 ) − (y 3 − y 1 )(x 4 − x 2 )] ⇒ A 0 = 228, 19A 1 = 1 8 [(y 4 − y 3 ) (x 1 − x 2 ) − (y 2 − y 1 )(x 3 − x 4 )] ⇒ A 1 = 1, 638A 2 = 1 8 [(y 1 − y 4 )(x 2 − x 3 ) − (y 2 − y 3 )(x 1 − x 4 )] ⇒ A 2 = 55, 04Conseqüentemente a vazão para o elemento 1 pode ser representada por:Q 1 = A 0 (u 2 + u 1 + u 4 + u 3 ) + A 13 (−u 1 − u 4 + u 3 + u 2 ) + A 23 (u 3 − u 2 − u 1 + u 4 ) ⇒Q 1 = 4261, 5 cm km 2

Tóp. Esp. Fluido-Témica 77Quanto ao cálculo da área, tem-se que:∫ ∫A = dx · dy = det [J] · dξ · dηA =A∫ 1 ∫ 1A = 4 · A 0A(A 0 + A 1 ξ + A 2 η) dξ · dη =∫ 1−1 −1−1(2 · A 0 + 2 · A 2 η)dηque implica em que:A 1 = 4 · A 0 = 4 · 228, 19 = 912, 76 km 2Tabela 6.4: Resumo dos resultados do exemplo.Média =x 1 y 1 u 1 x 2 y 2 u 2 x 3 y 3 u 3 x 4 y 4 u 41 0,0 33,3 4,62 22,2 30,1 5,45 49,9 57,6 4,90 13,2 62,3 3,812 13,2 62,3 3,81 49,9 57,6 4,90 78,8 78,2 10,35 39,3 84,5 4,763 22,2 30,1 5,45 39,3 10,0 4,96 59,7 34,3 4,26 49,9 57,6 4,904 49,9 57,6 4,90 59,7 34,3 4,26 73,9 36,2 18,36 78,8 78,2 10,355 39,3 10,0 4,96 69,8 5,1 15,69 73,9 36,2 18,36 59,7 34,3 4,26A 0 A 1 A 2 U 1 U 2 U 3 Q Área1 228,19 1,64 55,04 18,78 1,92 -1,36 4261,41 912,742 241,65 -5,70 12,99 23,82 6,68 6,40 5771,07 966,593 217,56 -25,18 -14,01 19,57 -1,13 -1,25 4272,97 870,244 182,79 -65,72 29,70 37,87 7,37 19,55 6954,45 731,175 159,37 15,94 -66,85 43,27 24,83 1,97 6983,87 637,47∑Qi∑Ai= 6, 86 cmSoma 28243,78 4118,216.8 O método dos resíduos ponderadosConsidere a resolução de um sistema físico qualquer, do qual se conhece a equaçãodiferencial. Trata-se de uma equação em termos de derivadas parciais ou totais, linear ou nãolinear e de ordem m e pode ser expressa na forma:L(u) + f v = 0 em todo o domínio V.e sujeita às condições de contorno:C(u) = f s no contorno S.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 78sendo u a variável principal do problema e varia de acordo com a posição no espaço. Define-sea função residual como sendo:R(u) = L(u) + f vO método dos resíduos ponderados é normalmente expresso em sua forma integral:∫∫W (u) = 〈ψ〉{R(u)}dV = 〈ψ〉{L(u) + f v }dV (6.5)VVsendo ψ uma função peso dentre as possíveis e u a solução para o problema que satisfaz ascondições de contorno C(u).6.8.1 Transformação integral: a integral por partesAs transformações integrais são utilizadas para reduzir a ordem das equações diferenciais.Relembrando ainda que para uma integração genérica:∫ ∫∫∫u · v = u · dv + v · du =⇒ u · dV = − v · du + u · vVVVVCaso se aplique este mesmo preceito para a equação integral de resíduos ponderados,eq. (6.5), este mesmo preceito quando esta acompanha uma derivada têm-se a forma fracada equação, que é dada por:• Unidimensional∫ x2x∫1x2x 1ψ dudx · dx = − ∫ x2x 1ψ d2 udx 2 · dx = − ∫ x2x 1dψdx u · dx + (ψ u)|x 2dψdx(dudx · dx + ψ dudxx 1(6.6))∣ ∣∣∣x 2(6.7)x 1• Bidimensional (vide figura 6.7)∫A( ∂uψ∫∫ψ ∂u∂x∫A· dx dy = − ∂ψ∂x∮Su · dx dy + (ψ u) · dyψ ∂u∂y∫A· dx dy = − ∂ψ∂y∮Su · dx dy + (ψ u) · dx)∫ ( ∂ψ· dx dy = −∂x + ∂ψ )∮u · dx dy + (ψ u n ) · dS (6.8)∂yAA∂x + ∂u∂yAS

Tóp. Esp. Fluido-Témica 79∫ ( )∂ 2 ∫ (uψA ∂x + ∂2 u∂ψ ∂u· dx dy = −2 ∂y 2 A ∂x ∂x + ∂ψ ) ∮∂u· dx dy +∂y ∂y∮ (sendo que ψ ∂u ) ∫ (· dS = ψ ∂u ) ∫ (· dx + ψ ∂u )· dy∂⃗n∂y∂xSSSS(ψ ∂u )· dS (6.9)∂⃗nA forma fraca da equação, obtida a partir da integração por partes mostrada anteriormente,apresenta algumas características e requisitos diferenciados:(a) a ordem da maior derivada de variável de interesse u é reduzida, o que relaxa a condiçãode continuidade necessária para a convergência;(b) algumas das condições de contorno aparecem diretamente na expressão geral;(c) reduz a ordem necessária para a função de interpolação entre os nós;(d) aumenta a ordem necessária para a função peso da solução.6.8.2 Método de GalerkinExistem várias opções de escolha para a função peso, sendo que cada uma pode apresentarmelhores ou piores resultados de acordo com o tipo de problema a ser solucionado. Estaescolha pode ser auxiliada com a utilização de referências básicas de elementos finitos, como(Dhatt & Touzot, 1984).No entanto existe um esquema de escolha de função peso que se destaca pela grande utilizaçãonos mais diversos tipos de problemas. Este esquema de solução, conhecido como oFigura 6.7: Composição vetorial para integral sobre a superfície

Tóp. Esp. Fluido-Témica 80método de Galerkin, se utiliza da mesma função usada na interpolação da variável principal(u) para a função de interpolação (ψ), ou seja:ψ = 〈N〉6.9 Tratamento das condições de contornoO tratamento das condições de contorno através do método dos elementos finitos não éuma tarefa simples, ele vem acompanhado de uma série de operações que não são imediatas.Para simplificar esta tarefa será utilizado neste estudo um tratamento simplificando, vide (Patankar,1980), das condições de contorno onde é definida uma condição de contorno genéricana forma:∂u∂n = α c u + β c (6.10)Esta equação é capaz de representar qualquer condição de contorno usual (das três espécies)e outras ainda podem ser aproximadas. Para esta representação é necessário que:Condição de contorno da primeira espécie onde o valor da variável u é especificado nafronteira. Isto é possível de se obter substituindo os valores constantes na eq. (6.10) por:α c → −∞ e β c → ∞×u e sendo u e o valor especificado para a variável u na fronteira. Esteesquema pode ser facilmente explicado indicando uma tendência de para qualquer valorresultante da derivada (∂u/∂⃗n),o valor de u estará muito próximo do valor especificadou e .Uma outra possibilidade para este tipo de condição de contorno, e até mesmo mais comumno tratamento de condições deste tipo é a substituição da linha da matriz equivalente aonó pela respectiva igualdade, ou sejam, u i = u e onde i é o número do nó considerado.Condição de contorno de segunda espécie onde o valor conhecido é a taxa de variação,ou fluxo, da variável considerada. Neste caso substitui-se os valores da eq. (6.10) por:α c = 0 e β c = u ′ e onde u ′ e é o valor da derivada na fronteira considerada, não se esquecendode considerar o sinal da derivada, que deve estar de acordo com o sentido de ⃗n.Condição de contorno de terceira espécie é uma condição típica de transmissão de calorcom a condição de convecção e deve expressar a igualdade (caso em que se trata de umafronteira final de x):−k ∂T∂x = h(T − T ∞) =⇒ ∂T∂x = −h k T + h T ∞k

Tóp. Esp. Fluido-Témica 81Figura 6.8: Tipos de fronteira para a discretização da C.C. de terceira espécie.e se igualarmos esta expressão à eq. (6.10) obtém-se que:α c = − h keβ c = h T ∞kÉ importante ressaltar que caso se trate de uma fronteira inicial de x, como mostrada nafigura (6.8), ⃗n e ⃗i tem direções opostas, no entanto o sinal também Da expressão paraconvecção também se inverte pela posição da fronteira. Desta forma, o resultado final ésempre o mesmo e independe de se tratar de uma fronteira inicial ou final.6.9.1 Implementação da condição de contorno generalizadaVejam o caso de implementação desta condição de contorno num elemento quadrilateralsimples, figura (6.5), e cuja função de interpolação já foi obtida sendo:〈N〉 = 1 〈〉(1 − ξ)(1 − η) (1 + ξ)(1 − η) (1 + ξ)(1 + η) (1 − ξ)(1 + η)4Desta forma, a variável de interesse u pode ser expressa em termos da função de interpolaçãoatravés da aproximação nodal:〈〉 ⎪⎨u(ξ, η) = N 1 (ξ, η) N 2 (ξ, η) N 3 (ξ, η) N 4 (ξ, η) ·= 1 4〈⎧⎪⎩u 1u 2u 3u 4⎫⎪ ⎬⎪ ⎭(1 − ξ)(1 − η) (1 + ξ)(1 − η) (1 + ξ)(1 + η) (1 − ξ)(1 + η)⎧〉 ⎪⎨⎪⎩u 1u 2u 3u 4⎫⎪ ⎬⎪ ⎭

Tóp. Esp. Fluido-Témica 82Pode-se escolher qualquer uma das fronteiras para realizar a integração sobre a fronteira,mudando apenas o sentido da derivada e os pontos considerados e a direção sobre a qual é feitaa derivada (ξ ou η).∂ 〈N〉∂ξ∂ 〈N〉∂η= 1 ∂〈〉(1 − ξ)(1 − η) (1 + ξ)(1 − η) (1 + ξ)(1 + η) (1 − ξ)(1 + η)4 ∂ξ= 1 〈〉−1 + η 1 − η 1 + η −1 − η4= 1 ∂〈〉(1 − ξ)(1 − η) (1 + ξ)(1 − η) (1 + ξ)(1 + η) (1 − ξ)(1 + η)4 ∂η= 1 〈〉−1 + ξ −1 − ξ 1 + ξ 1 − ξ4Para a face superior do elemento quadrado (η = 1) unindo os nós 3 e 4, a derivada normalpassa a ser ∂u/∂η e a integral sobre a superfície passa a ser:∮S(ψ ∂u )dS =∂⃗n= α 16= α 16∫ 1ξ=−1∫ 1ξ=−1∫ 1ξ=−1ψ · (αu + β) · dξ =∫ 1ξ=−1〈14002 · (1 + ξ)〉(αu + β) · dξ2 · (1 − ξ)⎧0u〈 〉 100 〈 〉 ⎪⎨⎫⎪u ⎬20 0 2(1 + ξ) 2(1 − ξ) dξ + β ∫ 1 〈 〉0dξ2 (1 + ξ)u 34 2 (1 + ξ)2 (1 − ξ)⎪⎩ ⎪u ⎭ξ=−14 2 (1 − ξ)⎡⎤⎧10 0 0 0u 10⎧⎪ 0 0 0 0⎨⎫⎪ ⎢⎣ 0 0 (2 + 2ξ) 2 (2 + 2ξ) (2 − 2ξ)⎥⎦ dξ u ⎬2+ β ⎪⎨⎫⎪0 ⎬u 34 2ξ + ξ 20 0 (2 + 2ξ) (2 − 2ξ) (2 − 2ξ) 2 ⎪ ⎩ ⎪u ⎭ ⎪⎩ ⎪4 2ξ − ξ 2 ⎭−1

Tóp. Esp. Fluido-Témica 83∮S⎡⎤1⎧0 0 0 0(ψ ∂u )dS = α 0 0 0 0∂⃗n 16 ⎢⎣ 0 0 1 (2 + 6 2ξ)3 − 4 3 ξ3 + 4ξ⎥ + β ⎪⎨⎦ 40 0 − 4 3 ξ3 + 4ξ − 1 (2 − ⎪⎩6 2ξ)3 −1⎡⎤ ⎧ ⎧ ⎫0 0 0 0 u 1 0= α 0 0 0 0⎪⎨⎫⎪ u ⎬ ⎪⎨2 0⎪⎬16 ⎢⎣ 0 0 32 16 ⎥ + β3 3 ⎦ u 3 10 0 16 32⎪⎩ ⎪u ⎭ ⎪⎩3 34 1⎪⎭⎡⎤ ⎧ ⎧ ⎫0 0 0 0 u 1 0=0 0 0 0⎪⎨⎫⎪ u ⎬ ⎪⎨2 0⎪⎬⎢⎣ 0 0 2α α ⎥ +3 3 ⎦ u 3 βα 2α0 0⎪⎩ ⎪u ⎭ ⎪⎩3 34 β⎪⎭⎧⎫ ⎧ ⎫00⎪⎨0⎪⎬ ⎪⎨0⎪⎬=23⎪⎩αu 3 + 1αu +3 4 β1αu 3 3 + 2αu ⎪⎭ ⎪⎩3 4 β⎪⎭0044⎫⎪⎬⎪⎭Considerando o comprimento total l sendo representado por ξ variando entre -1 e 1 (2unidades), tem-se:∮S(ψ ∂u )dS =∂⃗n⎛⎧⎪⎨⎜⎝⎪⎩0023 αu 3 + 1 3 αu 413 αu 3 + 2 3 αu 4⎫⎪⎬ ⎪⎨+⎪⎭⎧⎪⎩00ββ⎫⎞⎪⎬⎟⎠⎪⎭l2 = l 6⎧⎪⎨⎪⎩002αu 3 + αu 4 + 3βαu 3 + 2αu 4 + 3β⎫⎪⎬⎪⎭6.10 Integração NuméricaAté agora todas as integrais a serem resolvidas o foram analiticamente, no entanto nãopode deixar de se considerar a integral numérica como ferramenta importante neste tipo desolução. Da forma já vista anteriormente pode-se dizer que a integral a ser solucionada é:∫∫ 1∑n s∑n s∑n s∑n sg(x) · dx = G(ξ, η) · dξdη ≈ ω k G(ξ j , η k ) = ω j ω k G(ξ j , η k )ω j−1ej=1 k=1j=1 k=1Os pontos de integração são obtidos assim como a função peso para diversas geometrias sendo asmais comuns a quadratura de Gauss e o método de Newton-Cotes para elementos quadrilaterais

Tóp. Esp. Fluido-Témica 84Esquema Num. pontos Posições Peso4 ±1/ √ 3, ±1/ √ 3 131/6, 1/62/3, 1/61/6, 2/3 1/6Figura 6.9: Pontos de integração para elementos triangulares e quadrangulares.e o método de Gauss-Radau para elementos triangulares. Existem uma série de pontos deintegração escolhidos com funções peso também determinadas. Dentre estas possibilidadesestão mostradas na figura (6.9) as mais utilizadas que são as de 4 pontos para elementosquadrangulares e 3 pontos para elementos triangulares.6.11 Exemplos de AplicaçãoUm grande forno industrial é suportado por uma longa coluna de tijolos refratários com1 m por 1 m de lado. Durante a operação em regime estacionário, as condições são tais que quetrês superfícies da coluna são mantidas a 500 K e a outra superfície é exposta há uma correntede ar com T ∞ = 300 K e o coeficiente de película h = 10 W/m 2 K. Usando uma malha comδx = δy = 0.25 m, determine a distribuição bidimensional de temperatura bem como a taxade calor transmitida ao ar por unidade de comprimento da coluna. (problema apresentado por(Incropera & DeWitt, 1999), pg 101)Solução:Para a solução deste problema será utilizada uma malha relativamente grosseiracom 16 nós e 8 elementos, mostrada a seguir:

Tóp. Esp. Fluido-Témica 85Se trata de um problema de condução simples em um meio isotrópico e a equação geral querege o problema é dada por:∂ 2 T∂x + ∂2 T2 ∂y = 0 2Considerando a sua forma de resíduos ponderados, tem-se que:∫ ( )∂ 2 TΨ∂x + ∂2 TdV 2 ∂y 2 e = 0ee reduzida à sua forma fraca resulta em:∫ ( ∂Ψ ∂T−e ∂x ∂x + ∂Ψ ) ∮ (∂TdV e + Ψ ∂T )dS e = 0∂y ∂ye ∂nUsando a aproximação nodal e multiplicando a expressão por (-1):∫ ( )∮ (∂Ψ ∂ ∂Ψ ∂〈N〉 +∂x ∂x ∂y ∂y 〈N〉 dV e · {T } − Ψ ∂T )dS e = 0∂nee depois, aplicando Galerkin:∫ ( ∂∂x {N} ∂∂x 〈N〉 + ∂ ∂y {N} ∂ )∮∂y 〈N〉 dV e · {T } −eee({N} ∂T )dS e = 0∂nque é a expressão geral para o problema e que pode ser representada, em termos matriciais, naforma:∫e({N} [ ∂∂x[∂∂] · ∂x∂y ∂∂y] )∮〈N〉 dV e · {T } −e({N} ∂T )dS e = 0∂nPelas propriedades matriz transposta, sabe-se que:][∂∂x∂∂y[〈N〉 = [B] =⇒ [B] T = {N}∂∂x∂∂y]

Tóp. Esp. Fluido-Témica 86e portanto a representação matricial pode ser feita através da expressão:∫∮ ([B] T · [B] dV e · {T } + {N} ∂T )dS e = 0∂neeSendo que para os elementos internos a integral de superfície é desprezada resultandoem:∫[B] T · [B] dV e · {T } = 0que em termos de variáveis locais se reduz a:∫ 1 ∫ 1−1 −1e[B] T · [B] det[J] · dξ · dη · {T } = 0onde a matriz [B] é escrita como:[ 〈 ∂N〉 ]∂x[B] = 〈 〉 =∂N∂y[∂ξ∂x∂ξ∂y∂η∂x∂η∂y] ⎡ ⎣〈〈〉∂N∂ξ∂N∂η〉⎤⎦ = [J] −1 · [B ξ ] = [Q] · [B ξ ]∫ 1 ∫ 1Reescrevendo a expressão acima em termos de variáveis locais tem-se:([Q] [B ξ ]) T [Q] [B ξ ] det[J]·dξdη·{T } = 0 ⇒∫ 1 ∫ 1−1 −1−1 −1[B ξ ] T [Q] T [Q] [B ξ ] det[J]·dξdη·{T } = 0Para elementos quadriláteros as funções de aproximação são dadas por:〈〈N〉 = 1〈 〉 4∂N= 1 〈∂ξ 4〈 〉 ∂N= 1 〈∂η 4[[B ξ ] = 1 4(1 − ξ)(1 − η) (1 + ξ)(1 − η) (1 + ξ)(1 + η) (1 − ξ)(1 + η)〉−1 + η 1 − η 1 + η −1 − η〉−1 + ξ −1 − ξ 1 + ξ 1 − ξ]−1 + η 1 − η 1 + η −1 − η−1 + ξ −1 − ξ 1 + ξ 1 − ξ〉Quanto ao Jacobiano, ele pode ser representado a partir da matriz [B], na forma:⎡ ⎤x 1 y 1[J] = [B ξ ] ·x 2 y 2⎢⎣ x 3 y⎥ e [Q] = [J]−13 ⎦y 4x 4

Tóp. Esp. Fluido-Témica 87O procedimento descrito até aqui é genérico e é idêntico para qualquer problema de conduçãosimples. A partir de agora o procedimento passa a representar não só as características doproblema, como também as características de malha e discretização representados pelo númerode nós e tipo e número de elementos.Para o problema considerado, é necessário montar uma tabela com o número de nós, quepode ser dada por:Nó x y1 0 02 0,25 03 0,5 04 0 0,255 0,25 0,256 0,5 0,257 0 0,58 0,25 0,59 0,5 0,510 0 0,7511 0,25 0,7512 0,5 0,7513 0 114 0,25 115 0,5 1E também é necessário montar uma tabela que represente como estes nós estão associadospara formar os elementos, é a chamada tabela de conectividade:elem. 1 2 3 41 1 2 5 42 2 3 6 53 4 5 8 74 5 6 9 85 7 8 11 106 8 9 12 117 10 11 14 138 11 12 15 14

Tóp. Esp. Fluido-Témica 88Feita a conectividade é possível notar que todos os elementos são iguais e a solução de umserá idêntica a todos os demais. Assim, tomando o elemento 1 tem-se:1. Integração Numérica: é feita sobre a equação anteriormente obtida, no domínio elementartransformando-se a integral em uma soma, avaliada nos pontos determinados e com afunção peso adequada:∫ 1 ∫ 1−1−1n p n∑ ∑ p[B ξ ] T [Q] T [Q] [B ξ ] det[J]·dξdη·{T } =sendo que neste caso foram escolhidos quatro pontos de integração:i=1j=1• Ponto 1: ω i = 1, ω j = 1, ξ = 1/ √ 3, η = 1/ √ 3[B ξ ] = 1 4[=e o Jacobiano para este elemento:()ω i ω j [B ξ ] T [Q] T [Q] [B ξ ] det[J] ·{T }[√ √ ]−1 + 3√ 1 3 1 −13 3 1 +13 3 −1 −13√3√ √ √−1 + 3√ 1 3 −1 −13 3 1 +13 3 1 −13 3]−0. 105 66 0. 105 66 0. 394 35 −0. 394 35−0. 105 66 −0. 394 35 0. 394 35 0. 105 66⎡ ⎤⎡⎤x 1 y 10 0[][J] = [B ξ ] ·x 2 y 2⎢⎣ x 3 y⎥3 ⎦ = −0. 105 66 0. 105 66 0. 394 35 −0. 394 350.25 0−0. 105 66 −0. 394 35 0. 394 35 0. 105 66⎢⎣ 0.25 0.25⎥⎦x 4 y 4 0 0.25[0. 125 0=0 0. 125 sendo o valor do det [J] = 1. 562 5 × 10−2 e o [J] −1 8.0 0= Q =0 8.0]e assim⎡⎤−0. 105 66 −0. 105 66[ ][B ξ ] T [Q] T [Q] [B ξ ] =0. 105 66 −0. 394 358.0 0⎢⎣ 0. 394 35 0. 394 35⎥·⎦ 0 8.0−0. 394 35 0. 105 66[ ] [8.0 0 −0. 105 66 0. 105 66 0. 394 35 −0. 394 35·0 8.0 −0. 105 66 −0. 394 35 0. 394 35 0. 105 66⎡⎤1. 429 1. 952 2 −5. 333 4 1. 952 2=1. 952 2 10. 667 −7. 286 1 −5. 333 4⎢⎣ −5. 333 4 −7. 286 1 19. 906 −7. 286 1⎥⎦1. 952 2 −5. 333 4 −7. 286 1 10. 667]

Tóp. Esp. Fluido-Témica 89Que se usada toda a expressão para o primeiro ponto de integração resulta em:[V i ] = ω i ω j [B ξ ] T [Q] T [Q] [B ξ ] det[J]sendo⎡[V 1 ] = 1 · 1 ·⎢⎣⎡=⎢⎣⎤1. 429 1. 952 2 −5. 333 4 1. 952 21. 952 2 10. 667 −7. 286 1 −5. 333 4−5. 333 4 −7. 286 1 19. 906 −7. 286 1⎥ · 1. 562 5 × 10−2⎦1. 952 2 −5. 333 4 −7. 286 1 10. 6672. 232 8 × 10 −2 3. 050 3 × 10 −2 −8. 333 4 × 10 −2 3. 050 3 × 10 −23. 050 3 × 10 −2 0. 166 67 −0. 113 85 −8. 333 4 × 10 −2−8. 333 4 × 10 −2 −0. 113 85 0. 311 03 −0. 113 853. 050 3 × 10 −2 −8. 333 4 × 10 −2 −0. 113 85 0. 166 67⎤⎥⎦• Ponto 2: ω i = 1, ω j = 1, ξ = 1/ √ 3, η = −1/ √ 3 obtém-se det [J] = 0.015625⎡⎤0. 166 67 −0. 113 84 −8. 333 1 × 10 −2 3. 050 2 × 10 −2[V 2 ] =−0. 113 84 0. 311 02 −0. 113 84 −8. 333 1 × 10 −2⎢⎣ −8. 333 1 × 10 −2 −0. 113 84 0. 166 67 3. 050 2 × 10 −2 ⎥⎦3. 050 2 × 10 −2 −8. 333 1 × 10 −2 3. 050 2 × 10 −2 2. 232 8 × 10 −2• Ponto 3: ω i = 1, ω j = 1, ξ = −1/ √ 3, η = −1/ √ 3⎡0. 311 02 −0. 113 84 −8. 333 1 × 10 −2 −0. 113 84[V 3 ] =−0. 113 84 0. 166 67 3. 050 2 × 10 −2 −8. 333 1 × 10 −2⎢⎣ −8. 333 1 × 10 −2 3. 050 2 × 10 −2 2. 232 8 × 10 −2 3. 050 2 × 10 −2−0. 113 84 −8. 333 1 × 10 −2 3. 050 2 × 10 −2 0. 166 67• Ponto 4: ω i = 1, ω j = 1, ξ = −1/ √ 3, η = 1/ √ 3⎡0. 166 67 3. 050 2 × 10 −2 −8. 333 1 × 10 −2 −0. 113 84[V 4 ] =3. 050 2 × 10 −2 2. 232 8 × 10 −2 3. 050 2 × 10 −2 −8. 333 1 × 10 −2⎢⎣ −8. 333 1 × 10 −2 3. 050 2 × 10 −2 0. 166 67 −0. 113 84−0. 113 84 −8. 333 1 × 10 −2 −0. 113 84 0. 311 02⎤⎥⎦⎤⎥⎦E se feita a somatória resulta na matriz elementar:⎡4∑[V i ] =⎢⎣i=12⎤− 1 − 1 − 1 3 6 3 6− 1 2− 1 − 1 6 3 6 3− 1 − 1 2− 1 ⎥3 6 3 6 ⎦− 1 − 1 − 1 26 3 6 3

Tóp. Esp. Fluido-Témica 902. O mesmo procedimento deve ser repetido para todos os elementos. Neste caso, entretanto,tem-se o fato conveniente de que todos os elementos se encontram na mesma disposição etem as mesmas características geométricas e, portanto, esta matriz encontrada vale paratodos os elementos.3. A próxima etapa consiste na montagem da matriz global a partir das matrizes elementares.Neste caso utiliza-se a tabela de conectividade para converter da numeração local para anumeração global, e cada linha e coluna da numeração local passam a responder por umaoutra na numeração global. Vejamos para como exemplo para o primeiro elemento (ondea matriz global A ainda está vazia):numeração local 1 2 3 4numeração global 1 2 5 4⎡A =⎢⎣⎤0 + 0. 666 69 0 − 0. 166 68 0 0 − 0. 166 68 0 − 0. 333 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 − 0. 166 68 0 + 0. 666 69 0 0 − 0. 333 33 0 − 0. 166 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 − 0. 166 68 0 − 0. 333 33 0 0 + 0. 666 69 0 − 0. 166 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 − 0. 333 33 0 − 0. 166 68 0 0 − 0. 166 68 0 + 0. 666 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎥0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎦0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Tóp. Esp. Fluido-Témica 91que depois de incluídos todos os elementos resulta em:⎡2− 1 0 − 1 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 6 6 3 − 1 4− 1 − 1 − 1 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 06 3 6 3 3 3 0 − 1 20 − 1 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 06 3 3 6 − 1 − 1 40 − 1 0 − 1 − 1 0 0 0 0 0 0 06 3 3 3 6 3 − 1 − 1 − 1 − 1 8− 1 − 1 − 1 − 1 0 0 0 0 0 03 3 3 3 3 3 3 3 3 0 − 1 − 1 0 − 1 40 − 1 − 1 0 0 0 0 0 03 6 3 3 3 6 0 0 0 − 1 − 1 40 − 1 0 − 1 − 1 0 0 0 06 3 3 3 6 3[A] =0 0 0 − 1 − 1 − 1 − 1 8− 1 − 1 − 1 − 1 0 0 03 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 − 1 − 1 0 − 1 40 − 1 − 1 0 0 03 6 3 3 3 6 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 40 − 1 0 − 1 − 1 06 3 3 3 6 3 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 − 1 − 1 8− 1 − 1 − 1 − 1 3 3 3 3 3 3 3 3 30 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 0 − 1 40 − 1 − 1 3 6 3 3 3 60 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 20 − 1 06 3 3 6⎢⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 − 1 − 1 4− 1 3 3 3 6 3 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 0 − 1 23 6 6 3⎤⎥⎦4. Deve-se então incluir as condições de contorno que de acordo com a proposição geral podeser expressa na forma da eq.() e respeitando a tabela abaixo(lembrando que l = 0.25 m):Nó 1 Nó 2 α β − α·l − α·l3 61 2 − 10 10·300110. 833 33 0. 416 67 3752 3 − 10 10·300110. 833 33 0. 416 67 3754 7 10 6 500 × 10 6 8. 333 3 × 10 4 4. 166 7 × 10 4 6. 25 × 10 77 10 10 6 500 × 10 6 8. 333 3 × 10 4 4. 166 7 × 10 4 6. 25 × 10 710 13 10 6 500 × 10 6 8. 333 3 × 10 4 4. 166 7 × 10 4 6. 25 × 10 713 14 10 6 500 × 10 6 8. 333 3 × 10 4 4. 166 7 × 10 4 6. 25 × 10 714 15 10 6 500 × 10 6 8. 333 3 × 10 4 4. 166 7 × 10 4 6. 25 × 10 7sendo que na linha relativa a cada condição devem ser somados os respectivos valores.Veja o exemplo para uma condição i-j:β·l2ijij− α·l − α·l3 6− α·l − α·l6 3= β·l2β·l2Implementando numa matriz teríamos:

Tóp. Esp. Fluido-Témica 922−[C] =640.833333 0.416667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00.416667 1.66667 0.416667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0.416667 0.833333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 83333.3 0 0 41666.7 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 41666.7 0 0 166667. 0 0 41666.7 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 41666.7 0 0 166667. 0 0 41666.7 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 41666.7 0 0 166667. 41666.7 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 41666.7 166667. 41666.70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 41666.7 83333.3⎧⎪⎨{B c } =⎪⎩3757503756.25 × 10 7001.25 × 10⎫⎪ 8⎬001.25 × 10 8001.25 × 10 81.25 × 10 86.25 × 10 7 ⎪ ⎭375E a matriz final:[M] = [A] + [C]231.5 0.25 0 − 1 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 06 3 0.25 3. 0.25 − 1 − 1 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 03 3 3 0 0.25 1.5 0 − 1 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 03 6 − 1 − 1 0 83334.7 − 1 0 41666.5 − 1 0 0 0 0 0 0 06 3 3 3 − 1 − 1 − 1 − 1 8− 1 − 1 − 1 − 1 0 0 0 0 0 03 3 3 3 3 3 3 3 3 0 − 1 − 1 0 − 1 40 − 1 − 1 0 0 0 0 0 03 6 3 3 3 6 0 0 0 41666.5 − 1 0 166668. − 1 0 41666.5 − 1 0 0 0 03 3 3 =0 0 0 − 1 − 1 − 1 − 1 8− 1 − 1 − 1 − 1 0 0 03 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 − 1 − 1 0 − 1 40 − 1 − 1 0 0 03 6 3 3 3 6 0 0 0 0 0 0 41666.5 − 1 0 166668. − 1 0 41666.5 − 1 03 3 3 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 − 1 − 1 8− 1 − 1 − 1 − 1 3 3 3 3 3 3 3 3 30 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 0 − 1 40 − 1 − 1 3 6 3 3 3 60 0 0 0 0 0 0 0 0 41666.5 − 1 0 166667. 41666.5 03 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 − 1 741666.5 166668. 41666.53 3 3 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 − 1 0 41666.5 83334.3 6

Tóp. Esp. Fluido-Témica 93Tabela 6.5: Soluções diversas obtidas para o exemplo considerado.Num. Solução T 2 T 31 Diferenças finitas ((Incropera & DeWitt, 1999)) 357,0 339,12 Elementos finitos (15 pontos) 340,9 331,03 Elementos finitos (91 pontos) 346,8 336,54 Elementos finitos (231 pontos) 346,8 336,75 Idem a 2, mas utilizando T 1 = 500 330,2 338,4A matriz de carga {B}, não sofre alterações neste caso já que ela é alterada apenas pelascondições de contorno (sendo nula para a matriz elementar). A solução do sistema ficasendo:T 1 → 341.57, T 2 → 340.933, T 3 → 331.023, T 4 → 499.999, T 5 → 417.765, T 6 → 405.08, T 7 → 500,T 8 → 468.708, T 9 → 454.805, T 10 → 500, T 11 → 488.392, T 12 → 483.626, T 13 → 500, T 14 → 500, T 15 → 500Não existe solução analítica para este problema e não existe forma de determinar o valorexato da temperatura para estes pontos, no entanto o refinamento da malha tende a fornecersoluções mais próximas da solução real. São mostradas na tabela (6.5) uma série de soluçõesobtidas para este problema.

CAPÍTULO 7Método de Diferenças FinitasO método de diferenças finitas foi, durante muito tempo, o único método numéricoutilizado para problemas fluido-térmicos. Embora recentemente este venha perdendo espaçopara outros métodos ainda é muito utilizado nesta área.A solução de qualquer problema em diferenças finitas se baseia no princípio da série deTaylor em que um ponto qualquer pode ser expresso em função dos seu pontos próximos, ouseja:f(x + ∆x) = f(x) + df(x)dxque é na realidade uma série infinita.∆x + d2 f(x) (∆x) 2+ d3 f(x) (∆x) 3+ · · ·dx 2 2! dx 3 3!Para exemplificar esta aproximação imaginemos que a aproximação de pontos T i e T i+1 apartir de ponto T i . Imaginando que eles são igualmente espaçados e a distância entre os pontosé ∆x. Neste caso:T i+1 = T i + ∂T∣ ∂x ∣ ∆x + ∂2 T ∣∣∣i (∆x) 2i∂x 2 2!∣+ ∂3 T ∣∣∣i (∆x) 3+ O(∆x) 4 (7.1)∂x 3 3!e o outro ponto, considerado na direção negativa de x, pode ser expresso por:T i−1 = T i − ∂T∣ ∣ ∂x ∣ ∆x + ∂2 T ∣∣∣i (∆x) 2− ∂3 T ∣∣∣i (∆x) 3+ O(∆x) 4 (7.2)i∂x 2 2! ∂x 3 3!Como se tratam de séries infinitas, pode-se fazer a aproximação com a ordem do erro que sedesejar. Grande número de trabalhos envolvendo a primeira derivada foram resolvidos através94

Tóp. Esp. Fluido-Témica 95de esquemas de primeira ordem (O(∆x) 2 ), mas atualmente são muito utilizados os esquemasde segunda ordem 1 . A obtenção das expressões discretas é fácil a partir dai.No caso das aproximações acima, se utilizarmos até o termo de primeira ordem somente,cada uma pode resultar em aproximações para a primeira derivada. No caso da equação (7.1):∂T∂x ∣ = T i+1 − T i(7.3)i∆xque é conhecida como a derivada avançada. Da mesma forma utilizando-se da expressão (7.2)pode-se chegar numa outra expressão, denominada por aproximação recuada:∂T∂x ∣ = T i − T i−1(7.4)i∆xEstas duas expressões são aproximações de primeira ordem e portanto, em condições normais,apresentam piores resultados que as expressões de segunda ordem, as mais utilizadas. Asexpressões de segunda ordem são as mais utilizadas, principalmente em problemas lineares, porfornecerem melhores resultados. A expressão para a primeira derivada considerando os termosde até segunda ordem pode ser obtida trabalhando-se com as expressões, basicamente fazendoa subtração da equação (7.2) da (7.1). Desta forma obtém-se:T i+1 − T i−1 = 2 ∂T∂x ∣ ∆xique rearranjada resulta em:∂T∂x ∣ = T i+1 − T i−1i2 ∆x(7.5)Como se está trabalhando com os termos de até segunda ordem pode-se obter também umaexpressão para a segunda derivada. Isto é possível fazendo a soma das equações (7.1) e (7.2),donde obtém-se:que rearranjada na forma desejada resulta em:∣T i+1 + T i−1 = 2 T i + 2 ∂2 T ∣∣∣i (∆x) 2∂x 2 2!∂ 2 T∂x 2 ∣ ∣∣∣i= T i+1 − 2 T i + T i−1(∆x) 2 (7.6)Como pode ser visto este procedimento é extremamente genérico e pode ser utilizado emesquemas de ordem superiores sem maiores problemas, dependendo apenas da utilização de ummaior número de pontos. Repare que para chegar nas expressões de primeira ordem, apenas umadas expansões em Série de Taylor precisava ser conhecida, a partir das expressões de segundaordem já são necessárias duas equações para resolver o problema (tanto as aproximações deT i+1 como T i−1 ). Este mesmo raciocínio continua valendo para expressões de ordem superior.1 esquemas de ordem superiores também tem sido motivos de estudos recentemente.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 96Exemplo:A partir de uma malha irregular como a mostrada a seguir obtenha as expressõesde segunda ordem para a primeira e segunda derivadas.∆x 2 ∆x 1❡ ❡ ❡T i−1 T i T i+1Solução: Expandindo cada um dos pontos por série de Taylor, a partir do ponto i:T i+1 = T i + ∂T∣ ∂x ∣ ∆x 1 + ∂2 T ∣∣∣i (∆x 1 ) 2+ O(∆x) 3i∂x 2 2!T i−1 = T i − ∂T∣ ∂x ∣ ∆x 2 + ∂2 T ∣∣∣i (∆x 2 ) 2+ O(∆x) 3i∂x 2 2!A partir desta expansão é possível obter a expressão para a primeira derivada fazendo-se asoma da primeira equação multiplicada por (∆x 2 ) 2 e da segunda multiplicada por −(∆x 1 ) 2 :T i+1 (∆x 2 ) 2 = T i (∆x 2 ) 2 + ∂T∣ ∂x ∣ ∆x 1 (∆x 2 ) 2 + ∂2 T ∣∣∣i (∆x 1 ∆x 2 ) 2i∂x 2 2−T i−1 (∆x 1 ) 2 = −T i (∆x 1 ) 2 + ∂T∣ ∂x ∣ ∆x 2 (∆x 1 ) 2 − ∂2 T ∣∣∣i (∆x 2 ∆x 1 ) 2i∂x 2 2T i+1 (∆x 2 ) 2 − T i−1 (∆x 1 ) 2 = T i (∆x 2 2 − ∆x 2 1) + ∂T∂x ∣ (∆x 1 ∆x 2 2 + ∆x 2 ∆x 2 1)iRearranjando a expressão de forma a isolar o valor da primeira derivada obtém-se:∂T∂x ∣ = T i+1 (∆x 2 ) 2 − T i−1 (∆x 1 ) 2 + T i (∆x 2 1 − ∆x 2 2)i∆x 1 ∆x 2 (∆x 2 + ∆x 1 )Da mesma forma pode se obter a expressão para a segunda derivada, mas agora penamultiplicando a expansão em Série de Taylor de T i+1 por ∆x 2 e a de T i−1 por ∆x 1 . Assim:T i+1 ∆x 2 = T i ∆x 2 + ∂T∣ ∂x ∣ ∆x 1 ∆x 2 + ∂2 T ∣∣∣i ∆x 2 1 ∆x 2i∂x 2 2T i−1 ∆x 1 = T i ∆x 1 − ∂T∣ ∂x ∣ ∆x 2 ∆x 1 + ∂2 T ∣∣∣i ∆x 1 ∆x 2 2i∂x 2 2∣T i+1 ∆x 2 + T i−1 ∆x 1 = T i (∆x 1 + ∆x 2 ) + ∂2 T ∣∣∣i ∆x 1 ∆x 2 (∆x 2 + ∆x 1 )∂x 2 2E desta forma a expressão final para a segunda derivada fica:∣∂ 2 T ∣∣∣i= 2 T i+1 ∆x 2 − T i (∆x 1 + ∆x 2 ) + T i−1 ∆x 1∂x 2 ∆x 1 ∆x 2 (∆x 2 + ∆x 1 )

Tóp. Esp. Fluido-Témica 97Repare que estas duas expressões obtidas se reduzem às expressões (7.5) e (7.6) respectivamentequando ∆x 1 = ∆x 2 = ∆x.7.1 Aplicação da formulação de diferenças finitas em sistemasde equações diferenciaisA utilização da metodologia de diferenças finitas em equações diferenciais em um dadosproblema é bastante simples, consistindo basicamente das seguintes etapas:1. Discretização do domínio, que implica na escolha dos pontos onde serão obtidos valorespara a solução.2. Substituição das derivadas por sua aproximação calculada a partir de uma série de Taylorpara um ponto genérico i. A aproximação central de segunda ordem para uma derivadade primeira ordem é dada pela equação (7.5), por exemplo. Outras aproximações já forammostradas.3. Transformação das equações diferenciais em sistema de equações baseados nos valores dospontos discretos. Para isto é necessário a utilização da equação genérica para o ponto i,obtida no passo anterior para cada um dos pontos discretos.4. Discretização e aplicação das condições de contorno nos pontos da fronteira do domínioe, com isto, obter equações discretizadas neste ponto.5. Solução do sistema de equações obtido.Exemplo:Obtenha a equação geral discretizada para a equação de condução bidimensional:∂ 2 T∂x + ∂2 T2 ∂y = 0 2Solução: Utilizando as aproximações centrais para a segunda derivada em cada uma dasdireções, equação (7.6) têm-se que:∂ 2 T= T i+1,j − 2 T i,j + T i−1,j∂x 2 (∆x) 2∂ 2 T= T i,j+1 − 2 T i,j + T i,j−1∂y 2 (∆y) 2

Tóp. Esp. Fluido-Témica 98Desta forma a equação geral fica:T i+1,j − 2 T i,j + T i−1,j(∆x) 2+ T i,j+1 − 2 T i,j + T i,j−1(∆y) 2 = 0ou rearranjada na forma de mostrar os coeficientes de cada termo:( 2(∆x) + 2 )T 2 (∆y) 2 i,j = 1(∆x) T 2 i+1,j + 1(∆x) T 2 i−1,j + 1(∆y) T 2 i,j+1 + 1(∆y) T 2 i,j−1Por curiosidade repare que se ∆x = ∆y, a expressão anterior fica:T i,j = T i+1,j + T i−1,j + T i,j+1 + T i,j−14Exemplo: Resolva o problema proposto anteriormente para a aleta com fluxo de calor nabase conhecido, resolvido por Runge Kutta, e compare os resultados com os obtidos através dométodo de diferenças finitas (problema da página 32).Solução: A equação diferencial da aleta foi obtida no exemplo anterior e é dada por:d 2 Tdr 2que discretizada pela aproximação central:T i+1 − 2 T i + T i−1(∆r) 2Rearranjando a expressão tem-se:( 1(∆r) + 1 )T 2 i+1 −2 r i ∆r= 2 hk t (T − T ∞) − 1 r( 2(∆r) + 2 h2 k tdTdr= 2 hk t (T i − T ∞ ) − 1 T i+1 − T i−1r i 2 ∆r) ( 1T i +(∆r) − 1 )T 2 i−1 = − 2 h2 r i ∆rk t T ∞Considerando os valores de incremento de raio constante ∆r iguais ao usados no RungeKutta de 0,01 m e que o r 0 = 0, 06 m e os valores são idênticos ao do exercício anterior:(10000 + 50 )(T i+1 − 20093, 02T i + 10000 − 50 )T i−1 = −2325, 6 (7.7)r i r iTêm-se também que as condições de contorno são conhecidas:T = 50 ◦ C em r = 6 cm =⇒ T 1 = 50q = 120 W em r = 6 cm=⇒ ∂T∂r = − 120π.0, 12.0, 005.215= −296, 10Discretizando a condição de contorno do fluxo de calor especificado pela discretizaçãoavançada da primeira derivada tem-se que:dTdr ∣ = T 2 − T 1= −296, 10 =⇒ T 2 − T 1 = −2, 96 =⇒ T 2 = 47, 04r=6∆r

Tóp. Esp. Fluido-Témica 99Tabela 7.1: Resultados para o problema da aleta finita com fluxo de calor na base conhecidor T T exata dT/dr 2 dT/dr exata0.06 50.00 50.00 -296.10 -296.100.07 47.04 47.37 -237.49 -233.420.08 44.66 45.28 -192.33 -185.700.09 42.74 43.62 -156.45 -148.020.10 41.18 42.30 -127.22 -117.380.11 39.90 41.26 -102.90 -91.840.12 38.88 40.45 -82.27 -70.070.13 38.05 39.85 -64.49 -51.150.14 37.41 39.42 -48.90 -34.390.15 36.92 39.15 -35.01 -19.260.16 36.57 39.03 -22.46 -5.37Utilizando agora a equação (7.7) para o ponto 2 (r = 0, 07) tem-se:(10000 + 50 )(T 3 − 20093, 02 47, 04 + 10000 − 50 )50 = −2325, 60, 070, 07que implica em:10714.3 T 3 = 945175, 7 − 464285, 7 − 2325, 6 =⇒ T 3 = 44, 66Aplicando-se esta temperatura na equação do ponto 3 é possível calcular a temperatura doponto 4 e assim sucessivamente. A tabela (7.1) mostra os resultados para este caso.Comparando estes resultados com os obtidos pela solução exata percebe-se um desvio. Estedesvio tende a diminuir com a redução do espaçamento da malha. No entanto é convenienteressaltar que através de Runge Kutta foram obtidos resultados muito mais precisos. Isto jáera esperado uma vez que foi utilizado um procedimento de 4 a ordem contra o esquema de 2 ausado no caso de diferenças finitas.Na tabela (7.2) são mostrados resultados do valor obtido para a temperatura quando r =0.15 m em diferentes malhas e o ponto nodal onde a derivada se inverte. Obviamente que háuma melhora na precisão quando se utiliza malhas mais densas.Exemplo:Resolva o problema anterior para o caso onde o fluxo de calor que passa pela baseé desconhecido, mas a aleta é infinita.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 100Solução:É o mesmo caso do exemplo resolvido para Runge-Kutta na página 38. A equaçãodiferencial, e conseqüentemente a sua discretização, não mudam em nada do obtido no exemploanterior, assim como a condição de temperatura prescrita na base. A única condição modificadafoi a de fluxo de calor na base que deixou de existir, passando agora para:∂T∂r = 0 quando r → ∞Estipulando o valor em que o fluxo de calor como nulo a 1 m da base (r=1,06 m). Destaforma utilizando ∆r = 0, 1, será obtido um sistema com 100 incógnitas.Desta forma a nova equação de contorno fica:dTdr ∣ = T 101 − T 100= 0 =⇒ T 101 − T 100 = 0r=1.06∆rUtilizando-se a equação (7.7) o sistema de equações fica sendo:T 1 = 50 (Condição de Contorno)10714, 3 T 3 − 20093, 02T 2 + 9285, 7 T 1 = −2325, 610625 T 4 − 20093, 02T 3 + 9375 T 2 = −2325, 610555, 6 T 5 − 20093, 02T 4 + 9444, 4 T 3 = −2325, 6.10047, 6 T 101 − 20093, 02T 100 + 9952, 4 T 99 = −2325, 6T 101 − T 100 = 0 (Condição de Contorno)Este sistema de equações deve ser resolvido por TDMA ou por Gauss-Seidel. Neste casoo sistema foi resolvido por TDMA e o resultado para os primeiro 20 pontos e os últimos 10encontra-se na tabela (7.3).Comparando o fluxo de calor dissipado pela base calculado por diferenças finitas com ocalculado por Ruge Kutta, percebe-se novamente uma diferença significativa (q b = 175, 96 WTabela 7.2: Comparação do caso da aleta com fluxo de calor na base conhecido para diversasmalhas∆r 0,01 0,005 0.001 0.0001 ExatoT (r = 0.15) 36,92 38,03 38,93 39,13 39,15x ∗ i 0.19 0.175 0.1660 0.1640 0.16408∗ Posição nodal onde o sinal da derivada se inverte.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 101Tabela 7.3: Resultados para o problema da aleta infinitar A B C D P Q T dT/dx −kAdT/dx0.06 1.00 50.00 -0.00000 50.000 50.00 -367.51 175.960.07 -20093 10714.29 9285.71 -2325.50 0.53323 23.223 46.32 -300.00 167.570.08 -20093 10625.00 9375.00 -2325.50 0.70392 14.578 43.32 -248.66 158.740.09 -20093 10555.56 9444.44 -2325.50 0.78510 10.413 40.84 -208.53 149.760.10 -20093 10500.00 9500.00 -2325.50 0.83105 8.014 38.75 -176.48 140.830.11 -20093 10454.55 9545.45 -2325.50 0.85973 6.482 36.99 -150.47 132.080.12 -20093 10416.67 9583.33 -2325.50 0.87875 5.436 35.48 -129.07 123.590.13 -20093 10384.62 9615.38 -2325.50 0.89188 4.689 34.19 -111.28 115.430.14 -20093 10357.14 9642.86 -2325.50 0.90119 4.137 33.08 -96.35 107.630.15 -20093 10333.33 9666.67 -2325.50 0.90791 3.718 32.12 -83.72 100.210.16 -20093 10312.50 9687.50 -2325.50 0.91280 3.394 31.28 -72.99 93.180.17 -20093 10294.12 9705.88 -2325.50 0.91638 3.139 30.55 -63.80 86.550.18 -20093 10277.78 9722.22 -2325.50 0.91899 2.937 29.91 -55.91 80.300.19 -20093 10263.16 9736.84 -2325.50 0.92088 2.775 29.35 -49.09 74.430.20 -20093 10250.00 9750.00 -2325.50 0.92222 2.643 28.86 -43.20 68.940.21 -20093 10238.10 9761.90 -2325.50 0.92315 2.536 28.43 -38.07 63.800.22 -20093 10227.27 9772.73 -2325.50 0.92376 2.449 28.05 -33.61 58.990.23 -20093 10217.39 9782.61 -2325.50 0.92413 2.377 27.71 -29.71 54.520.24 -20093 10208.33 9791.67 -2325.50 0.92431 2.318 27.42 -26.29 50.350.25 -20093 10200.00 9800.00 -2325.50 0.92435 2.269 27.15 -23.30 46.48.................0.97 -20093 10051.55 9948.45 -2325.50 0.91290 2.178 25.00 -0.01 0.060.98 -20093 10051.02 9948.98 -2325.50 0.91285 2.179 25.00 -0.01 0.060.99 -20093 10050.51 9949.49 -2325.50 0.91280 2.180 25.00 -0.01 0.051.00 -20093 10050.00 9950.00 -2325.50 0.91275 2.181 25.00 -0.00 0.041.01 -20093 10049.50 9950.50 -2325.50 0.91271 2.182 25.00 -0.00 0.031.02 -20093 10049.02 9950.98 -2325.50 0.91266 2.184 25.00 -0.00 0.021.03 -20093 10048.54 9951.46 -2325.50 0.91261 2.185 25.00 -0.00 0.021.04 -20093 10048.08 9951.92 -2325.50 0.91257 2.186 25.00 -0.00 0.011.05 -20093 10047.62 9952.38 -2325.50 0.91253 2.187 25.00 0.00 -0.001.06 -1 0.00 1.00 0 0.00000 25.001 25.00contra q = 165, 31 W, no caso da aproximação de 4 a ordem e 165,86 W da solução exata. Aúnica forma de contornar esta diferença na precisão é utilizando malhas mais refinadas.

CAPÍTULO 8Aplicação do Método de Diferenças Finitas emProblemas Bidimensionais e TransientesFoi visto no capítulo anterior a forma de discretização geral através de diferenças finitas.Embora o procedimento em si não mude tanto os problemas bidimensionais como transientesapresentam certos detalhes que serão tratados separadamente.Além disto estes são os grupos onde há uma maior utilização deste tipo de discretizaçãouma vez que, nos casos vistos até agora, o método de Runge Kutta poderia ser aplicado comsucesso. De agora para frente isto não mais acontece pois as equações diferenciais tanto numcaso como no outro são equações diferenciais parciais.8.1 Solução de problemas bidimensionaisA solução de problemas tridimensionais não envolve grandes dificuldades em termos deformulação, o seu único inconveniente é o fato de que o sistema de equações obtidos não éTridiagonal e portanto não pode ser resolvido por TDMA. Desta forma a única possibilidadede solução para o sistema é o método de Gauss Seidel, dentre os vistos até agora.No entanto será apresentado a seguir um procedimento denominado por ADI, sigla em inglês102

Tóp. Esp. Fluido-Témica 103para direção alternadamente implícita. Este método nada mais é do que uma forma de convertero sistema de equações para um sistema tridiagonal e, portanto, possível de ser solucionado peloTDMA.A metodologia é simples e consiste em tratar uma das direções implicitamente, enquanto aoutra é tratada de forma explícita. É mostrado a seguir um exemplo desta forma de solução.Exemplo: Resolva o problema o problema de condução em uma placa plana de alumínioonde os seus lados estão submetidos a temperaturas especificadas de 100, 200, 100, 200 ◦ C,rotacionalmente. Considere a placa quadrada com lados de 2 m. Utilizando a discretizaçãomostrada na figura abaixo obtenha o valor das temperaturas nos pontos.Dados: k alumínio = 215 W/m ◦ C.✻T = 200 ◦ C❡ ❡ ❡ ❡4,1 4,2 4,3 4,4❡ ❡ ❡ ❡∂T/∂x = 03,1 3,2 3,3 3,4T = 100 ◦ C❡ ❡ ❡ ❡2,1 2,2 2,3 2,4❡ ❡ ❡ ❡ ✲1,1 1,2 1,3 1,4∂T/∂y = 0Solução: A equação de condução bidimensional já foi discretizada em exemplo anterior(página 97), e neste caso onde a malha é uniforme foi mostrado que a expressão para a temperaturagenérica i, j é dada por:T i,j = T i+1,j + T i−1,j + T i,j+1 + T i,j−14ou na forma matricial:T i+1,j4+ T i,j+14− T i,jT i−1,j4+ T i,j−14= 0Considerando o procedimento ADI é preciso adotar valores iniciais para a solução T i,j =150 ◦ C, para todos os valores de i e j fora das condições de contorno.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 104É importante ressaltar que a presença de condições de simetria no interior da placa é equivalenteà existência de uma linha ou coluna idêntica à do lado oposto. No caso, por exemplo,da linha de simetria inferior é equivalente à existência de uma linha idêntica à linha 2 do ladoinferior à linha 1. Fato similar ocorre na superfície direita onde é equivalente a existir dolado esquerdo da coluna 1 uma coluna idêntica à 2. Quando nos utilizamos desta condição desimetria a expressão geral do problema passa a valer também para estes pontos no contorno.Adotando como primeira direção a ser resolvida implicitamente a direção x têm-se que aequação para o ponto i, j fica sendo:T i+1,j4− T i,j + T i−1,j4= − T ∗i,j+14− T ∗i,j−14onde ∗ indica a utilização dos valores admitidos, ou calculados na iteração anterior. Repare queneste ponto a matriz já se tornou uma tridiagonal e pode ser resolvida através do algoritmoTDMA.No caso deste problema o sistema de equações fica:2 T 2,1 + 2 T 1,2 − 4 T 1,1 = 0T 1,3 + 2 T 2,2 − 4 T 1,2 + T 1,1 = 0T 1,4 + 2 T 2,3 − 4 T 1,3 + T 1,2 = 0T 1,4 = 1002 T 2,2 + T 3,1 − 4 T 2,1 + T 1,1 = 0T 2,3 + T 3,2 − 4 T 2,2 + T 2,1 + T 1,2 = 0T 2,4 + T 3,3 − 4 T 2,3 + T 2,2 + T 1,3 = 0T 2,4 = 1002 T 3,2 + T 4,1 − 4 T 3,1 + T 2,1 = 0T 3,3 + T 4,2 − 4 T 3,2 + T 3,1 + T 2,2 = 0T 3,4 + T 4,3 − 4 T 3,3 + T 3,2 + T 2,3 = 0T 3,4 = 100T 4,1 = 200T 4,2 = 200T 4,3 = 200T 4,4 = 200Adotando a direção x como a primeira a ser resolvida implicitamente, o primeiro sistema

Tóp. Esp. Fluido-Témica 105tridiagonal a ser resolvido fica:2 T 1,2 − 4 T 1,1 = −300T 1,3 − 4 T 1,2 + T 1,1 = −300T 1,4 − 4 T 1,3 + T 1,2 = −300T 1,4 = 1002 T 2,2 − 4 T 2,1 = −300T 2,3 − 4 T 2,2 + T 2,1 = −300T 2,4 − 4 T 2,3 + T 2,2 = −300T 2,4 = 1002 T 3,2 − 4 T 3,1 = −350T 3,3 − 4 T 3,2 + T 3,1 = −350T 3,4 − 4 T 3,3 + T 3,2 = −350T 3,4 = 100T 4,1 = 200T 4,2 = 200T 4,3 = 200T 4,4 = 200Resolvendo por TDMA obtém-se a seguinte solução para o campo de temperaturas:T 1,1 T 1,2 T 1,3 T 1,4 T 2,1 T 2,2 T 2,3 T 2,4148,07 146,15 136,53 100 148,07 146,15 136,53 100T 3,1 T 3,2 T 3,3 T 3,4 T 4,1 T 4,2 T 4,3 T 4,4172,12 169,23 154,81 100 200 200 200 200De posse desta nova solução é possível partir para a próxima etapa tratando explicitamenteos termos na direção x e implicitamente os da direção y. Desta forma o novo sistema de equaçõesfica:2 T 2,1 − 4 T 1,1 = −292, 3T 3,1 − 4 T 2,1 + T 1,1 = −292.3T 4,1 − 4 T 3,1 + T 2,1 = −338, 5T 4,1 = 200

Tóp. Esp. Fluido-Témica 1062 T 2,2 − 4 T 1,2 = −284, 6T 3,2 − 4 T 2,2 + T 1,2 = −284, 6T 4,2 − 4 T 3,2 + T 2,2 = −326, 9T 4,2 = 2002 T 2,3 − 4 T 1,3 = −246, 2T 3,3 − 4 T 2,3 + T 1,3 = −246, 2T 4,3 − 4 T 3,3 + T 2,3 = −269, 2T 4,3 = 200T 1,4 = 100T 2,4 = 100T 3,4 = 100T 4,4 = 200Resolvendo por TDMA obtém-se a seguinte solução para o campo de temperaturas:T 1,1 T 2,1 T 3,1 T 4,1 T 1,2 T 2,2 T 3,2 T 4,2150 143,84 173,07 200 146,15 150 169,23 200T 1,3 T 2,3 T 3,3 T 4,3 T 1,4 T 2,4 T 3,4 T 4,4126,92 130,76 150 200 100 100 100 200Resolve-se diversas vezes este mesmo procedimento, e sempre utilizando-se dos valores obtidosdo passo anterior, a solução final será obtida quando os valores do campo de temperaturadeixem de variar (ou sua variação atinja um limite admitido como tolerável). As diversassoluções obtidas para este caso estão mostradas na tabela (8.1) até a convergência.8.2 Solução de problemas transientesAté agora tratamos de problemas onde o buscado era simplesmente o estado estacionário(ou regime permanente), mas existe uma parcela muito grande de problemas em engenharia emque o interesse maior recai sobre o tempo necessário até que o regime estacionário (ou algumoutro fenômeno) ocorra. Nestes casos é preciso considerar o regime transiente do problema.O estudo do transiente em si não apresenta grandes problemas, ele apenas inclui novostermos relacionados à variação da variável em relação ao tempo na equação diferencial. Oproblema passa a ser, desta forma, uma composição de diversas soluções intermediárias quefuncionam como fotos do problema em cada instante estudado.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 107Tabela 8.1: Valores das iterações para o caso de condução numa placa planaPosi- Valores Iteração 1 Iteração 2 Iteração 3 Iteração 4ção Iniciais Linha Coluna Linha Coluna Linha Coluna Linha Coluna1,1 150.00 148.08 150.00 148.82 150.00 150.27 150.00 149.94 150.001,2 150.00 146.15 146.15 143.79 143.79 144.33 144.33 144.21 144.211,3 150.00 136.54 126.92 126.33 126.92 127.06 126.92 126.89 126.921,4 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.002,1 150.00 148.08 153.85 156.21 156.21 155.67 155.67 155.79 155.792,2 150.00 146.15 150.00 150.89 150.00 149.80 150.00 150.05 150.002,3 150.00 136.54 130.77 131.95 131.95 131.68 131.68 131.74 131.742,4 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.003,1 150.00 172.12 173.08 172.49 173.08 173.21 173.08 173.05 173.083,2 150.00 169.23 169.23 168.05 168.05 168.32 168.32 168.26 168.263,3 150.00 154.81 150.00 149.70 150.00 150.07 150.00 149.98 150.003,4 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.004,1 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.004,2 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.004,3 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.004,4 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00Além de tudo isto os problemas transientes trazem junto consigo uma série de novas definiçõesna bagagem, de acordo com a forma que é feita a sua discretização. A seguir apresentaremosalgumas das mais importantes.8.2.1 Formulação ExplícitaA formulação explícita é aquela que mais se aproveita do caráter parabólico da soluçãotransiente, como já foi discutido em capítulos anteriores. Ela se utiliza de uma solução numinstante anterior já conhecida para calcular a solução posterior desejada. Utilizando-se desteprocedimento ela não depende da inversão de matrizes tornando-se extremamente fácil e rápidapara ser aplicada, pois o a obtenção dos resultados depende única e exclusivamente das temperaturascalculadas para o instante anterior.No entanto, esta facilidade tem o seu custo: este tipo de formulação não é incondicionalmenteestável. Isto implica em que há determinadas condições que devem ser satisfeitas para que seconsiga obter uma solução para problema. No caso, por exemplo da equação de calor, a condição

Tóp. Esp. Fluido-Témica 108a ser satisfeita é:α ∆t∆x ≤ 1 2 2onde ∆t é o incremento de tempo, ∆x o menor valor de espaçamento da malha e α a difusividadetérmica.Exemplo: Considere uma placa de aço carbono com 1,6 cm de espessura que inicialmente seencontra há uma temperatura uniforme de 600 ◦ C. A placa num instante t = 0, num banho de15 ◦ C. O coeficiente transmissão de calor é adotado igual a 10.000 W/m 2◦ C. As propriedades doaço carbono podem ser adotadas como constantes (k = 40 W/m ◦ C e α = 1×10 −5 m 2 /s). Calculeo tempo necessário para que a temperatura do centro da placa atinja 100 ◦ C e a temperaturade um plano situado a 0,2 cm de uma das superfícies da chapa neste instante.Solução: A equação diferencial para o problema transiente de condução unidimensional é:∂T∂t = Tα∂2 ∂x 2que se discretizada na forma explícita fica:forma:T m+1i∆t− T mi= α T i+1 m − 2Tim + Ti−1m∆x 2No caso da formulação explícita o único termo desconhecido é o do instante m + 1 e desta(T m+1i = 1 − 2 α ∆t )T m∆x 2 i + α ∆t∆x T m2 i+1 + α ∆t∆x T m2 i−1Adotando um espaçamento de malha regular e igual a 0,2 cm obtém-se 5 pontos no domíniocomo mostra a figura (8.1), e neste caso o valor máximo para o incremento de tempo é:α ∆t∆x = 1 × ∆t2 10−5(2 × 10 −3 ) = ∆t2 0, 4 ≤ 1 =⇒ ∆t ≤ 0, 22Adotando o valor máximo possível para o ∆t = 0, 2 s a equação geral fica sendo:T m+1i= 1 2 T mi+1 + 1 2 T mi−1No caso deste problema temos condição de simetria no centro da placa. Podemos adotarneste ponto também a origem do eixo de coordenadas, vide figura (8.1). Isto implica que acondição de contorno nesta face é dada por:∂T∂xm+1T2 − T1m+1= 0 =⇒∆x= 0 =⇒ T1 m+1 = T2m+1

Tóp. Esp. Fluido-Témica 109❡2✉ ✉ ✉ ✉ ✉1 2 3 45✲Figura 8.1: Malha na placa considerando a simetria.A outra condição é dada na superfície e implica que o fluxo de calor que sai por convecçãoé igual ao que chega por condução:−k A ∂T∂x ∣ = h A (T p − T ∞ )pque pode ser divida por A e discretizada na forma:T5 m+1 − T4m+1∆x= h k (T ∞ − T m+15 ) →(1 + h ∆xk)T5 m+1 = T4 m+1 + h ∆x T ∞kou substituindo os valores (h = 1 × 10 4 W/m 2◦ C, ∆x = 2 × 10 −3 m e k = 40 W/m ◦ C):1, 5 T5 m+1 = T4 m+1 + 0, 5T ∞ −→ T5 m+1 = T 4 m+1 + 0, 5T ∞1, 5Desta forma de posse da equação geral para os pontos internos e das duas condições decontorno, pode-se partir dos valores iniciais e marchar rumo a solução desejada. Neste caso atemperatura da placa é inicialmente uniforme em 600 ◦ C, podemos calcular o campo de temperaturasem t = 0, 2 s:T 1 2 = T 0 1 + T 0 32T 1 3 = T 0 2 + T 0 42T 1 4 = T 0 3 + T 0 52e aplicando as condições de contorno:T 1 1 = T 1 2 = 600600 + 600= = 6002600 + 600= = 6002600 + 600= = 6002T 1 5 = T 1 4 + 0, 5 T ∞1, 5=600 + 0, 5 151, 5= 405A tabela (8.2) mostra os resultados obtidos para as iterações. Para economia de espaço apartir de t = 2.0 s são mostrados apenas resultados em intervalos de 1 s.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 110Tabela 8.2: Transiente numa placa plana.t T 1 T 2 T 3 T 4 T 50.0 600.00 600.00 600.00 600.00 600.000.2 600.00 600.00 600.00 600.00 405.000.4 600.00 600.00 600.00 502.50 340.000.6 600.00 600.00 551.25 470.00 318.330.8 575.63 575.63 535.00 434.79 294.861.0 555.31 555.31 505.21 414.93 281.621.2 530.26 530.26 485.12 393.41 267.281.4 507.69 507.69 461.84 376.20 255.801.6 484.76 484.76 441.94 358.82 244.211.8 463.35 463.35 421.79 343.08 233.722.0 442.57 442.57 403.22 327.76 223.503.0 352.59 352.59 321.40 261.91 179.614.0 281.50 281.50 256.88 209.91 144.945.0 225.38 225.38 205.94 168.87 117.586.0 181.08 181.08 165.73 136.47 95.987.0 146.10 146.10 133.99 110.89 78.928.0 118.50 118.50 108.93 90.70 65.468.8 100.66 100.66 92.74 77.65 56.779.0 96.70 96.70 89.15 74.76 54.8410.0 79.50 79.50 73.54 62.17 46.4511.0 65.91 65.91 61.21 52.24 39.8312.0 55.19 55.19 51.48 44.40 34.60Muito embora tenha sido obtido o resultado ele está ainda um pouco afastado da soluçãoanalítica que prevê que a temperatura do centro alcançará os 100 ◦ C em 11,6 s (contra os 8,8 sda solução numérica). Neste mesmo instante esperava-se obter uma temperatura de 73,6 ◦ C a0,2 cm da superfície contra os 77,65 ◦ C obtidos numericamente. Detalhes da solução analíticapodem ser vistos em (Bejan, 1996), página 137. Embora este erro tenha valores significativos,principalmente no que se refere ao tempo é possível minimizar os seus valores com o refinamentoda malha. Vejamos por exemplo as soluções obtidas para diversas malhas.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 111Malha Tempo para Temperatura a 0,2 cm(∆t × ∆x) o centro atingir 100 ◦ C da superfície da placa0, 2 × 0, 2 8,8 s 77,65 ◦ C0, 05 × 0, 2 8,85 s 76,98 ◦ C0, 05 × 0, 1 10,2 s 75,10 ◦ C0, 0125 × 0, 05 10,86 s 74,53 ◦ C8.2.2 Formulação Totalmente ImplícitaAo contrário da formulação explícita, este tipo se utiliza das temperaturas no próprioinstante de tempo a ser calculado para avaliar as derivadas. Desta forma o grau de complexidadedo problema aumenta consideravelmente, uma vez que a solução do campo de temperaturas sópode ser obtida através da solução de um sistema linear de equações.Este aumento na complexidade da solução do problema, no entanto, apresenta em contrapontouma vantagem, o esquema torna-se totalmente estável. Desta forma o incrementode tempo utilizado se torna independente da malha, permitindo uma melhor otimização dosparâmetros de solução.8.2.3 Formulação ImplícitaEste tipo de formulação é qualquer uma em que estejam envolvidos termos na posiçãode tempo atual. Vejamos por exemplo se utilizamos uma aproximação genérica para o campode temperaturas onde:temos que através desta expressão genérica que se:Ti θ = θ T m+1i + (1 − θ)Ti m(8.1)θ = 0 o esquema recai na formulação explícita;θ = 1 o esquema recai na formulação totalmente implícita;0 < θ < 1 o esquema recai na formulação implícita.É óbvio que a escolha do valor de θ influirá nas características do sistema a ser solucionado.Um grande exemplo disto é a estabilidade, a formulação implícita só é incondicionalmenteestável para valores de θ ≥ 1/2.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 112❡✸❡✻ ❦❡m + 1❡❡Esquema Explícito❡m❡✲✸❡ ✛✻ ❦❡m + 1❡❡Esquema Implícito❡m❡ ✲ ❡ ✛ ❡ m + 1✻❡❡❡Esquema Totalmente ImplícitomFigura 8.2: Interrelação entre os pontos em cada esquema de discretização de transientes.Existem diversos valores de θ utilizados comumente na solução de problemas transientese, de acordo com a escolha do valor de θ o esquema recebe um nome diferente. De todosestes esquemas o mais difundido e também, que apresenta melhores resultados, é o de Crank-Nicholson, obtido quando se toma θ = 1/2. Este esquema é muito utilizado pois funciona comoum tipo de aproximação de segunda ordem em relação ao tempo, e é altamente recomendadoquando se está estudando problemas transientes onde se deseja acompanhar o tempo de evoluçãode um dado fenômeno.A figura (8.2) mostra esquemas dos valores utilizados em cada iteração pelos métodosexplícito, implícito e totalmente implícito. Esta figura é bastante ilustrativa e permite entendero relacionamento existente entre os pontos em um dado instante para cada um dosesquemas.Exemplo: Considere uma placa de aço carbono com 1,6 cm de espessura que inicialmente seencontra há uma temperatura uniforme de 600 ◦ C. A placa num instante t = 0, num banho de15 ◦ C. O coeficiente transmissão de calor é adotado igual a 10.000 W/m 2◦ C. As propriedades doaço carbono podem ser adotadas como constantes (k = 40 W/m ◦ C e α = 1×10 −5 m 2 /s. Calculeo tempo necessário para que a temperatura do centro da placa atinja 100 ◦ C e a temperaturade um plano situado a 0,2 cm de uma das superfícies da chapa neste instante.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 113Solução: Este problema é idêntico ao resolvido anteriormente utilizando-se da formulaçãoexplícita, no entanto agora nos utilizaremos da discretização genérica, equação (8.1):∂T∂t = Tα∂2 ∂x 2que se discretizada na forma genérica fica:T m+1i∆t− T mi= α T m+θi+1 − 2T m+θi + T m+θi−1∆x 2Adotando a formulação de Crank-Nicholson, temos que θ = 1/2:T m+1i∆t− T mie as temperaturas podem ser admitidas como:= α T m+1/2i+1 − 2T m+1/2i + T m+1/2i−1∆x 2T m+1/2 = 1 2 T m + 1 2 T m+1Substituindo os valores na expressão e reagrupando os termos de forma a deixar os no tempom + 1 no primeiro termo da equação:(1 + α ∆t )T m+1∆x 2 i − − α ∆t2 ∆x T m+12i+1 − α ∆t2 ∆x T m+12i−1 =(1 − α ∆t )T m∆x 2 i + α ∆t2 ∆x T m2 i+1 + α ∆t2 ∆x T m2 i−1Adotando um espaçamento de malha regular e igual a 0,2 cm obtém-se 5 pontos no domínioe um incremento de tempo de 0,2 s a equação geral fica sendo:1, 5 T m+1i − 0, 25 T m+1i+1 − 0, 25 T m+1i−1 = 0, 5 Tim + 0, 25 Ti+1 m + 0, 25 Ti−1mNo caso deste problema temos condição de simetria no centro da placa. Podemos adotarneste ponto também a origem do eixo de coordenadas, vide figura (8.1). Isto implica que acondição de contorno nesta face é dada pela existência de um ponto idêntico ao ponto 4:T1 m+1 = T2m+1que se substituirmos na equação geral para o problema:1, 5 T m+11 − 0, 5 T m+12 = 0, 5 T m 1 + 0, 5 T m 2

Tóp. Esp. Fluido-Témica 114A outra condição é dada na superfície e implica que o fluxo de calor que sai por convecçãoé igual ao que chega por condução:−k A ∂T∂x ∣ = h A (T p − T ∞ )pque pode ser divida por A e discretizada na forma:T5 m+1 − T4m+1∆x= h k (T ∞ − T m+15 ) →(1 + h ∆xk)T5 m+1 = T4 m+1 + h ∆x T ∞kou substituindo os valores (h = 1 × 10 4 W/m 2◦ C, ∆x = 2 × 10 −3 m e k = 40 W/m ◦ C):1, 5 T m+15 − T m+14 = 0, 5T ∞Desta forma é possível montar o sistema de equações para o primeiro passo no tempoconsiderando-se as duas condições de contorno e o valor inicial uniforme para a temperaturade 600 ◦ C:1, 5 T1 m+1 − 0, 5 T2 m+1 = 6001, 5 T2 m+1 − 0, 25 T3 m+1 − 0, 25 T1 m+1 = 6001, 5 T3 m+1 − 0, 25 T4 m+1 − 0, 25 T2 m+1 = 6001, 5 T4 m+1 − 0, 25 T5 m+1 − 0, 25 T3 m+1 = 6001.5 T5 m+1 − T4 m+1 = 7, 5A tabela (8.3) mostra os resultados obtidos para as iterações. Para economia de espaço apartir de t = 0, 1 s são mostrados apenas alguns resultados.Relembrando do exercício anterior onde se viu que o tempo para que a temperatura docentro atinja 100 ◦ C e a temperatura a 0,2 cm da superfície no mesmo instante, obtidos atravésde métodos analíticos, são respectivamente 11,6 s e 73,6 s. Comparando-se com os resultadosobtidos através deste método percebe-se que estes se aproximam bem mais da solução exataque o método explícito (11 s e 73,1 ◦ C). Estes resultados podem ser ainda melhorados com orefinamento da malha, veja por exemplo se reduzirmo o ∆t para 0,1 s e a malha para ∆x =0, 4 mm obtém-se o tempo para chegar a 100 ◦ Cigual a 11,5 s e a a 0,2 cm da superfície de73.3 ◦ C. Refinamentos maiores fornecerão resultados melhores.A tabela (8.4) mostra a evolução transiente da temperatura na posição central da placautilizando-se ∆t = 0, 2 s e ∆x = 2 mm utilizando-se dos três esquemas: explícito, totalmenteimplícito e Crank-Nicholson. Esta tabela permite uma comparação de como funciona cada umdos esquemas.

Tóp. Esp. Fluido-Témica 115Tabela 8.3: Solução por Crank-Nicholson do transiente numa placa plana.t T 1 T 2 T 3 T 4 T 50.0 600.00 600.00 600.00 600.00 600.000.2 599.62 598.86 593.51 562.22 379.810.4 597.39 593.70 573.95 501.88 339.590.6 591.38 583.07 548.30 463.24 313.830.8 580.99 568.53 524.34 434.61 294.741.0 567.18 552.03 502.60 411.73 279.491.2 551.28 534.63 482.68 392.48 266.651.4 534.29 516.95 464.18 375.65 255.431.6 516.86 499.34 446.80 360.51 245.341.8 499.40 482.01 430.34 346.59 236.062.0 482.17 465.10 414.67 333.61 227.413.0 402.81 388.23 345.54 277.86 190.244.0 336.21 324.10 288.66 232.57 160.055.0 280.99 270.95 241.60 195.15 135.106.0 235.25 226.94 202.63 164.17 114.457.0 197.38 190.50 170.37 138.52 97.358.0 166.02 160.32 143.65 117.28 83.199.0 140.05 135.33 121.53 99.69 71.4610.0 118.54 114.64 103.21 85.13 61.7511.0 100.74 97.50 88.04 73.07 53.7112.0 86.00 83.32 75.48 63.08 47.06

Tóp. Esp. Fluido-Témica 116Tabela 8.4: Comparação da solução do transiente para uma placa plana utilizando-se de trêsmétodos para discretização no tempo.EsquemasTempo Explícito Tot. Implícito Crank-Nicholson(s) θ = 0 θ = 1 θ = 1/20.00 600.00 600.00 600.000.20 600.00 597.55 599.620.40 600.00 591.59 597.390.60 600.00 582.24 591.380.80 575.63 570.15 580.991.00 555.31 556.08 567.181.20 530.26 540.74 551.281.40 507.69 524.64 534.291.60 484.76 508.21 516.861.80 463.35 491.73 499.402.00 442.57 475.40 482.173.00 352.59 399.25 402.814.00 281.50 334.55 336.215.00 225.38 280.56 280.996.00 181.08 235.67 235.257.00 146.10 198.37 197.388.00 118.50 167.37 166.029.00 96.70 141.61 140.0510.00 79.50 120.20 118.5411.00 65.91 102.42 100.7412.00 55.19 87.64 86.00

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