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UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE – UNESCCURSO DE ESPECIALIZAÇÃO “LATO SENSU” EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICAPAULO ROBERTO FREDERICOLOGARITMOSMIRIFICI LOGARITHMORUM AD AETERNUMMARAVILHOSOS LOGARITMOS PRA SEMPRECRICIÚMA, AGOSTO DE 2008

PAULO ROBERTO FREDERICOLOGARITMOSMIRIFICI LOGARITHMORUM AD AETERNUMMARAVILHOSOS LOGARITMOS PRA SEMPREMonografia apresentada ao Setor de Pósgraduaçãoda Universidade do Extremo SulCatarinense- UNESC, para a obtenção do títulode especialista em Educação Matemática.Orientador: Profª.MSc. Viviane Raupp Nunesde AraújoCRICIÚMA, AGOSTO DE 2008

Pelos incentivos na vida, pela paciência eamor que me dedica, por ter meacompanhado em todos os momentos dedificuldades e felicidades, dedico a minhaesposa, uma mulher maravilhosa JadnaValéria da Silva Frederico, e as colegasmusas inspiradoras, Flavia B., Janaina, eLaiza.

“Hubiera preferido que me educaransexualmente, a que me enseñaran loslogaritmos porque de los logaritmos hagotan poco uso....”Autor Argentino desconhecido“A musica é um exercício de aritméticasecreto e aquele a que a ela se entrega àsvezes ignora que maneja números.”Gottfried Leibniz

RESUMOEsta pesquisa foi desenvolvida com professores de matemática de duas escolaspúblicas, uma no Município de Içara e outra no Município de Morro da Fumaça,ambas no Estado de Santa Catarina. Tem como objetivo responder às dúvidaspresentes sobre o tema Logaritmos, considerando seus aspectos aritméticos ealgébricos, bem como encontrar repostas para o seguinte questionamento: quedificuldades são encontradas pelos professores de matemática e física paramediarem os conhecimentos de logaritmos? Onde estão os logaritmos hoje?Inicialmente, estabelecemos contato com a direção e os professores de Matemáticado Ensino Fundamental e Ensino Médio das Escolas que faziam parte da pesquisa.É importante salientar que os dados coletados para o desenvolvimento destetrabalho foram obtidos através de conversas informais, (sala dos professores) e dosquestionários respondidos pelos profissionais que participaram da pesquisa. Paraque pudéssemos analisar os dados obtidos, efetuamos uma série de leiturasreferente ao objeto pesquisado, com o intuito de adquirirmos fundamentação teóricaadequada, objetivando compreender e analisar tais informações com maioraproximação possível e assim nos aproximarmos das considerações finais dareferida pesquisa. Dentro deste contexto são apresentados o histórico dodesenvolvimento dos conceitos logarítmicos, definições e abordagens nos livrosdidáticos em uso nas escolas pesquisadas, bem como a abordagem da PropostaCurricular de Santa Catarina. Foi pesquisado como os professores abordam talconteúdo, quais dificuldades, e em que situação seus conceitos são apresentados.Por fim ilustramos os encontros e desencontros entre a Proposta Curricular de SantaCatarina e as abordagens dos livros didáticos, bem como as dificuldadesencontradas pelos professores mediante o processo ensino aprendizagem desteconceito.Palavras-chave: Logaritmos; Logaritmação; Educação Matemática; Matemática;Aritmética..

SUMÁRIO1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................082 O CONCEITO DE LOGARITMOS: DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO,PESQUISAS ATUAIS E ALGUMAS BIBLIOGRAFIAS COMPLEMENTARES ......112.1 Epistemologia e história do desenvolvimento do conceito de logaritmos ...................................112.2 Pesquisas sobre o processo de ensino- aprendizagem dos logaritmos ......................................132.2.1 Logaritmos: proposta de uma seqüência de ensino utilizando a calculadora......................132.2.2 Uma seqüência de ensino para o estudo de logaritmos......................................................142.3 Algumas bibliografias complementares........................................................................................152.3.1 Os logaritmo na Cultura Escolar Brasileira...........................................................................152.3.2 Aprenda Álgebra brincando..................................................................................................162.3.3 Fundamentos da matemática elementar ..............................................................................172.3.4 Função Logarítimica Coleção Arithimos...............................................................................173 O LOGARITMO NA ESCOLA................................................................................183.1 A abordagem e as definições do conceito de logaritmos nos livros didáticos adotados naescolas pesquisadas .........................................................................................................................183.1.1 Abordagem do conceito de logaritmos no Ensino Fundamental...........................................183.1.2 Abordagem do conceito de logaritmos no Ensino Médio ......................................................193.1.2.1 Volume do Primeiro ano ..................................................................................................193.1.2.2 Volume do Segundo ano .................................................................................................193.1.2.3 Volume do Terceiro ano ..................................................................................................223.2 Análise da Proposta Curricular do Estado de Santa Catarina para o ensino de Matemática eFísica no Ensino Médio ......................................................................................................................224 METODOLOGIA ....................................................................................................255 O PROCESSO ENSINO-APRENDIZAGEM DOS LOGARITMOS:APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS..........................................................265.1 Levantamento de dados com professores de matemática sobre o conceito de logaritmos .......265.1.1 Análise da formação acadêmica e experiências pedagógicas ............................................265.1.2 Análise das respostas objetivas ..........................................................................................275.1.3 Análise das respostas dissertativas ....................................................................................315.2 A contextualização do conceito de logaritmos em sala de aula ..................................................345.3 Estudos entre a proposta de ensino do conceito de logaritmo do livro didático e a propostacurricular de Santa Catarina ..............................................................................................................355.4 Sugestões de novas abordagens para o ensino de professores de Matemática com plano deunidade de Logaritmos ......................................................................................................................365.4.1 Propostas de ensino para formandos de Matemática com plano de unidades ..................365.4.2 Exemplos de questões avaliativas para diversos tipos de verificação de aprendizado paraalunos de licenciatura em matemática ..............................................................................................505.4.2.1 Sugestões de questões tipo dissertativa.........................................................................505.4.2.2 Questão objetiva de múltipla escolha tipo aberta............................................................506 CONCLUSÃO ........................................................................................................53REFERÊNCIAS.........................................................................................................55APÊNDICES .............................................................................................................57

Portanto, objetivamos pesquisar de que modo podemos diminuir asdificuldades encontradas pelos professores do ensino médio mediante o processoensino-aprendizagem do conceito de logaritmo.Para tal analisaremos:1. As aplicações do conceito de função logarítmica na solução de problemas dodia-a-dia;2. A abordagem/processo ensino aprendizagem do conceito de logaritmo nasescolas, particularmente na Escola de Educação Básica Professora SaleteScotti dos Santos de Içara e na Escola de Educação Básica Princesa Isabelde Morro da Fumaça, ambas mantidas pelo governo do Estado de SantaCatarina.3. A situação entre o que propõe o livro didático de matemática para o ensino delogaritmos e a proposta curricular de Santa Catarina;4. As dificuldades práticas encontradas pelos professores ao mediarem oprocesso ensino-aprendizagem dos conceitos de logaritmos;Com base nos dados expostos até aqui, sobre logaritmos e seuarcabouço de significados, começamos a nossa pesquisa.Inicialmente, estabelecemos contato com a direção e os professores deMatemática do Ensino Fundamental e Ensino Médio das Escolas de EducaçãoBásica Professora Salete Scotti dos Santos e Princesa Isabel, pertencentes,respectivamente, aos Municípios de Içara e Morro da Fumaça. É importante salientarque os dados coletados para o desenvolvimento deste trabalho foram obtidosatravés de conversas informais, (sala dos professores) e dos questionáriosrespondidos pelos profissionais que participaram da pesquisa.Para que pudéssemos analisar os dados obtidos, efetuamos uma série deleituras referentes ao objeto pesquisado, com o intuito de adquirirmosfundamentação teórica adequada, objetivando compreender e analisar taisinformações com maior aproximação possível para que identificássemos as maioresdificuldades encontradas pelos professores mediante o ensino do conceito delogaritmos. Tais leituras deram origem aos capítulos 2 e 3, os quais representam oreferencial teórico que norteou as análises dos dados coletados.O capítulo 4 é destinado à explanação dos procedimentos metodológicosdos quais seguimos com o intuito de organizar esta pesquisa.9

Em continuidade, destinamos o capitulo 5, intitulado: “O processo deensino aprendizagem dos logaritmos: apresentação e análise dos dados”, paramelhor elucidar os dados obtidos/analisados no decorrer do trabalho. Em seguidaapresentamos as conclusões da pesquisa, seguida das referências bibliográficas edos apêndices.10

2 O CONCEITO DE LOGARITMOS: DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO,PESQUISAS ATUAIS E ALGUMAS BIBLIOGRAFIAS COMPLEMENTARES112.1 Epistemologia e história do desenvolvimento do conceito de logaritmosOs logaritmos foram apresentados no século XVI, por John Napier,escocês, matemático prático, que no desempenho de suas funções comoadministrador de terras e bens, tinha necessidade de cálculos com conceitos que naépoca ele chamou de logaritmos (do grego logos=números, arritmos (ritmos), um deseus estudos, foi por ele denominado: Mirifici logarithmorum canonis descriptio(Descrição da maravilhosa lei dos logaritmos).Desde então foram usados na matemática e em todas as ciências naturaisde modo crescente e permanente. O mecanismo do logaritmo foi aperfeiçoado porBriggs, que desenvolveu os logaritmos com base dez. Nos séculos vindourosdiversos matemáticos transformaram estes conhecimentos em função logarítmica.Briggs e Neper foram contemporâneos, e ao se encontrarem após longaviagem de Briggs, entre Inglaterra e Escócia que disse:Empreendi esta longa viagem com o fim exclusivo de vê-lo, e ficar sabendocom o auxílio de que engenhoso processo, e de arte se valeu paraconceber esse admirável recurso para os astrônomos: os logaritmos. E,sem dúvida o que mais me admira é que ninguém os tivesse achado antes,pois que, até certo ponto, parecem simples, depois que os conhece.(PERRELMANN, 2001, p.167)Durante mais de 100 anos, o mundo científico e técnico, viveu do uso econhecimento aritmético dos logaritmos. Nesta época, com o desenvolvimentomatemático de funções, do calculo infinitesimal, do avanço das derivadas e integrais,se fez necessário o uso da função logarítmica, um dos problemas resolvidos foi doslogaritmos de números negativos, que ficam no campo dos imaginários, e asfunções transcendentes de Gauss, Leibniz e Euler, ficaram mais consistentesresolvendo diversos problemas algébricos. As funções algébricas dos logaritmosfizeram um rompimento com a escola cartesiana, produzindo esta nova situação,que veria a dar sustentação a vários fatos naturais, de ciências farmacêuticas ebioquímicas, em cultivo de bactérias e multiplicação de células, na química emestudos de ph, na física, em distribuição de forças, intensidade de acontecimentoscomo terremotos, ruídos, luminosidade, entre outros.

12No século XIX, os logaritmos passam a ser tratados por uma grandecorrente de matemáticos como a sétima operação matemática, além da junção deP.A e P.G de forma ordenada (aritmética), e na forma de variação das funções deexponenciação e de radiciação, para assumir de modo definitivo seu lugar naálgebra-funcional.O último grande salto na matemática proporcionado pelos logaritmos foiquando se resolveu que a expressão y = log x, era algébrica, pois não seassemelhava ao que era aceito analiticamente como álgebra, que tinha expressõesax + bdo tipo y = ax²+bx+c, ou y = , (MIORIN; MIGUEL, 2002, p. 92).cx + dCom esta situação, Leibniz, propôs um conjunto de curvas (equações) queclassificou de “percorrentes”. Mais tarde, especificamente em 1748, Euler em seutrabalho “Introdution à l’analyse dês infinement petits” classifica as funções emalgébricas e algébricas transcendentes, que foram aquelas entre outras, surgidascom os logaritmos onde o “x”, é um expoente variável, que conduz a soluções quepodem estar no campo de números imaginários (complexos), e que consolidaram osconceitos que estavam propostos no Cálculo Diferencial e Integral. (MIORIN;MIGUEL 2002, p. 92)Na atualidade, os logaritmos possuem uso presente e permanente, mascom o advento e uso crescente de calculadoras científicas, de CLP (Centro lógico deprogramação) e computadores, na maioria das vezes sua utilização não ficaexplícita.O logaritmo passou a ser utilizado na matemática a partir do século XVI,pois se tinha a compreensão de que era necessário dar aos cientistas, navegadores,astrônomos condições de calcular a solução de seus problemas matemáticos comprecisão e consumindo um tempo muito menor para obter os resultados. Nestetempo foi desenvolvido as réguas de cálculo, instrumento que facilitava asmultiplicações, divisões, foram também um local prático que continham os senos,tangentes, e todas funções trigonométricas. Hoje as réguas de cálculo que já foramobjeto de ensino-aprendizagem estão em desuso, bem como os compêndioschamados Tábuas de Logaritmos, podemos dizer que não havia matemática semestas tábuas. É importante dizer que Briggs levou mais de 30 anos calculando suastábuas, e não completou até o valor de 100.000. Hoje com computadores, seria

possível qualquer pessoa com conhecimentos mínimos de matemática publicar umatabela completa, de mesmo tamanho em questão de horas. Que diferença!É isto que tem feito mudanças no uso e aplicações de logaritmos naatualidade.132.2 Pesquisas sobre o processo ensino-aprendizagem dos logaritmos2.2.1 Logaritmos: proposta de uma seqüência de ensino utilizando acalculadoraEste trabalho foi desenvolvido por Mônica karrer em 1999, na PUC – SP,para obtenção de titulo de mestrado e por ela escrito: “... por finalidade estudar umtema matemático desenvolvido na primeira série do ensino de nível médio: oslogaritmos.”(KARRER, 1999). Ela observa que além das várias aplicações queenvolvem aplicações financeiras, valorização e desvalorização de bens, problemasreferentes a crescimentos populacionais tanto humanos como de outros seres vivos.Existem várias outras possibilidades de trabalhar com situações próximas cotidianoescolar, tais como soluções de equações exponenciais, e do uso de várias funçõesde calculadoras tipo científicas que estão disponíveis por até por R$ 3,00 nocomercio local.Ela observa, experimenta e analisa, com base na psicologia cognitiva e dadidática da matemática francesa os vários problemas no ensino-aprendizagem dosconceitos de logaritmos, além de fornecer neste trabalho uma visão geral da origeme desenvolvimento do logaritmo, enfim procura analisar “...obstáculosepistemológicos da construção deste saber, a fim de observar se os mesmosfornecem parâmetros para compreender e interpretar as dificuldades apresentadaspelos nossos alunos.”(KARRER, 1999, p.10). Seus estudos usam duas idéias deJean Piaget, “o individuo constrói o conhecimento a partir de sua ação sobre oobjeto....” e “....com dois aspectos: o Figurativo, no qual o indivíduo descreve oobjeto pelo uso da percepção e memória, e o Operativo no qual o sujeito já temcondições de agir sobre o objeto utilizando o pensamento lógico”. (KARRER, 1999,p.10).

Tem continuidade com L. S. Vygotsky, que considera além dodesenvolvimento mental, o fator social do construtivismo, de modo que Karrer (1999,p.11) utiliza “....três noções importantes para nortear o nosso trabalho: a noção deferramenta cultural como mediadora da situação, a idéia de Zona deDesenvolvimento Proximal (ZDP) e sua teoria sobre a formação de conceitos,incluindo ai a classificação de conhecimentos espontâneos e não espontâneos.”O terceiro formador de teorias do conhecimento usado por Karrer (1999,p.17), é Gerard Vergnaud, que tem influência dos dois autores anteriores, contudo,levando em consideração que “...destaca a importância de se trabalhar comsituações-problemas para tornar um conceito matemático significativo.”Ela procura em seu trabalho seguir esta idéia, fazendo com que assituações problemas tenham um papel central, pois cria um ambiente favorável paraque o conceito de logaritmo tenha um diferente significado para o aprendiz.Seu trabalho, de forma consistente desenvolve o tema “O ensino delogaritmos na Escola”, analisando vários autores de livros didáticos, e faz um estudodo resultado do aprendizado de grupos de alunos em relação a um grupo padrão.142.2.2 Uma seqüência de ensino para o estudo de logaritmosA tese de dissertação que tem como tema “Uma seqüência de ensino parao estudo de logaritmos usando a engenharia didática” de Ronize Lampert Ferreira,foi apresentada em 2006 no curso de Mestrado em Ensino de Física e deMatemática do Centro Universitário Franciscano de Santa Maria- RS. No trabalhoprocurou-se estabelecer um elo entre o ensino de logaritmos e a engenhariadidática, que traz proposições no sentido de criação de uma metodologia onde sãoprivilegiados os mecanismos de engenharia com observância de lógica. Foi usado osoftware WIMPLOT, para construção de gráficos e auxílio nas interpretações.A autora concluiu que todas estas situações foram positivas permitindo oentendimento dos conceitos propostos da função logarítmica como inverso dafunção exponencial, possibilitando aos alunos compreender diversos fenômenos domundo real. A autora apresenta um levantamento histórico dos logaritmos, e faz

análises de livros didáticos e do aprendizado destes conceitos no Colégio Militar deSanta Maria, onde a autora é professora de matemática.152.3 Algumas bibliografias complementares2.3.1 Os logaritmos na cultura escolar brasileiraNa série Textos de História da Matemática (Volume IX), encontramos deMiorin, Maria Ângela, Miguel e Antônio, este compêndio, que se pode dizer umtratado ímpar, para estudo da evolução do conhecimento dos logaritmos. Ali ficamossabendo como foram colocados nos diversos tempos, desde o desenvolvimento deNapier e Briggs, e outras considerações históricas de como foram iniciados os usosdos maravilhosos logaritmos. Primeiramente, foi feito uma pesquisa por questionáriosobre o conhecimento deste tema por participantes de um curso de pós- graduaçãoem Educação Matemática da Faculdade de Educação na UNICAMP. Esta pesquisa,que em parte foi repetida neste trabalho, com os professores das Escolas deEducação Básica Princesa Isabel e Professora Salete Scotti dos Santos, para umaanálise atual, deram a eles um panorama da situação daquele momento.O trabalho deles é muito conciso desenvolvido em três capítulos, sendoum dedicado “A Concepção Aritmética dos Logaritmos”, que trata dodesenvolvimento inicial e seus usos históricos para facilitação de cálculosaritméticos sobre navegação marítima, movimentação de corpos celestes, emovimentos de corpos onde existam necessidades de verificação de rotascirculares, ou esféricas (trigonometria).O segundo capítulo diz respeito “A Concepção Algébrico-Funcional dosLogaritmos”, e trata desde o nascimento desta concepção, atribuída na página 77 aotrabalho “Opus Geometricum Quadraturae Circuli et Section Coni” (Obra Geométricasobre a quadratura do Círculo e de secções cônicas) de Gregory St Vicent, e poroutros as obras de Alfonso Antônio de Sarasa. A paternidade desta concepção foiobjeto de estudos desde a época das publicações até a atualidade, entretanto podeseconsiderar que ambos tiveram participações no desenvolvimento inicial destesconhecimentos.

Depois são analisadas as proposições de Pierre de Fermat, com asaplicações de Cálculo Diferencial e Integral de Leibniz. O trabalho de WilliamGardner, cerca de 140 anos após Napier, propôs uma definição estritamentealgébrica para os logaritmos. Houve também trabalhos de Johann Bernoulli, e JohnWallis, que conduziram a estas concepções.Na seqüência e para um conhecimento definitivo, devido a experiênciascom a atmosfera, vários físicos e matemáticos deram uma forma definitiva para oslogaritmos algébrico-funcionais, entre eles, Torricelli, Pascal, Boyle, Mariotte, eHuygens. Disto sabemos hoje da ligação definitiva de acontecimentos naturais evariações logarítmicas.Para esta concepção, houve as preocupações e estudos de Newton,Euler, Leibniz, entre outros que levaram as proposições de “transcendências”matemáticas, que foram iniciadas com as funções exponenciais, com os logaritmosalgébrico-funcionais, “os logaritmos forneceram o primeiro modelo ao dissiparem aestreiteza de visão filosófica mantida pela universalidade aparente da álgebracartesiana. Graças a eles, passou-se a saber que as modalidades de cálculo podemser diversificadas e cristalizadas ao redor de novos pólos” (NAUX, 1971, Tome II,p.81, apud, MIORIM;MIGUEL, 2002 p.95).No capítulo 3 são colocados dois usos sociais dos logaritmos, sendo oprimeiro “A quantificação de níveis de intensidade sonora: “Os logaritmos e osdecibéis”, e outro uso, de mesma motivação “A relação entre a altura e a freqüênciados sons emitidos por notas musicais: Os logaritmos e as teclas do piano”.É uma obra de importância ímpar para quem estuda logaritmos, suacriação, seu desenvolvimento, e as maneiras que foram ensinados no decorrer dostempos nas escolas brasileiras.162.3.2 Aprenda álgebra brincandoEntre os vários autores de livros textos (paradidáticos) que se debruçaramsobre o ensino de logaritmos, está Perrelmann que em “Aprenda Álgebra

Brincando”, os logaritmos são discorridos após a potenciação, e ele classifica como“a sétima operação matemática”, sendo esta o inverso da potenciação, pois se:17a b = c, b = log a c, considerando sempre que log a a= 1John Neper desenvolveu os logaritmos para acelerar e simplificar oscálculos aritméticos.A estrutura dele é para pessoas que tenham no mínimo uma baseelementar de álgebra, e mais para o desenvolvimento de iniciados, mostra muitascuriosidades e procura colocar os vários conceitos algébricos, inclusive oslogaritmos com aplicações cotidianas.2.3.3 Fundamentos da matemática elementar volume 2- LogaritmosEm “Fundamentos da Matemática Elementar volume 2 – Logaritmos”, deGelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Carlos Murakami é um livro que busca levar alunosdo ensino médio a um aprofundamento das funções logarítmicas mais consistentespara concursos, e para universitários que necessitem rever a matemática elementar,é um livro para pessoas que buscam rever e aprofundar seus conhecimentosmatemáticos.2.3.4 Função Logarítmica Coleção ArithimosNa coleção Arithmos da Universidade de Blumenau, encontramos o livrotexto Função Logarítmica, desenvolvido por José Valdir Floriani, de fácil acesso, temmuitas aplicações de logaritmos no cotidiano. É bastante interessante, tanto parainiciantes, ou para quem busca um aprofundamento.

183 O LOGARITMO NA ESCOLA3.1 A abordagem e as definições do conceito de logaritmos nos livrosdidáticos adotados nas escolas pesquisadasOs livros didáticos adotados nas duas escolas pesquisadas do Estado deSanta Catarina, diga-se, Escola de Educação Básica Princesa Isabel, e Escola deEducação Básica Professora Salete Scotti dos Santos os seguintes:• Matemática fazendo à diferença - 5ª a 8ª do Ensino FundamentalBONJORNO, José Roberto; BONJORNO, Regina Azenha; OLIVARES, Airton. 1ª ed,São Paulo: FTD, 2006.3.1.1 Abordagem do conceito de logaritmos no Ensino FundamentalNestes livros didáticos são desenvolvidos os conceitos que dão origem aoconteúdo de logaritmos nas suas várias dimensões; seja como interpolação deseqüências, como ferramenta de solução de exponenciações ou de radiciações.Contudo estes conceitos que podem ser considerados básicos e da mesma formapreliminares, são propostos, mas em nenhum momento é citado o logaritmo, alogaritmação ou função logarítmica como ponto de generalização aritmética oualgébrica do que foi anunciado no livro didático.Acreditamos que o correto seria citar os conceitos logarítmicos, tanto nafunção aritmética, como na algébrica, salientando que tal conceito será abordado emestudos futuros, fazendo referência a que, sejam com tabelas ou principalmente nosdias de hoje, com calculadoras eletrônicas, todos terão um modo fácil e objetivo deconseguir resultados de quaisquer cálculos de expoentes ou de raízes.Com esta afirmativa não estamos criticando a organização do livro didáticoou vislumbrando uma mudança na grade curricular, assunto este que além de nãoser o objetivo da pesquisa, não nos cabe abordar no momento. Estamos na verdadepreocupados com o desenvolvimento conceitual dos logaritmos, que por sua vez, se

20• Capítulo 7 – Função exponencial1. Introdução2. Revisão da Potenciação3. Simplificação de expressões4. Função exponenciais5. Equações exponenciais6. Inequações exponenciais7. As funções f (x) = a x e g (x) = a -x8. O número irracional e a função exponencial e x• Capítulo 8 – Logaritmos e Função LogarítmicaFinalmente no capítulo 8, do mesmo livro, encontramos:1. Logaritmo2. Função LogarítmicaA análise imediata que podemos fazer está relacionada ao início docapítulo 8 do qual foi apresentado pelo autor de forma direta e descontextualizada,ou seja, não tem nenhum preâmbulo, como este autor costuma fazer em todos osexemplares de sua obra didática.Apenas na página 130, é colocado um exemplo rápido de crescimentopopulacional para a América Latina atrelado a uma tabela dirigida e sem maioresexplicações, ou motivações para o estudo do conceito em questão. Desta forma,apresenta uma situação em que a população será dobrada em x anos, conforme arelação:P x = 2 P 0sendo P x a população após x anos, e a proposição é que dobra neste tempo.Com esta explicação, é colocado que não é possível uma solução com osconhecimentos científicos apropriados até aqui, e propõe desenvolver para asolução deste tipo de situação a noção de logaritmo (DANTE, 2006, p.131).O tempo considerado adequado para iniciar as mediações dos conceitosde logaritmos é no 2º ano do Ensino médio, e no compêndio adotado pelos

professores de Matemática das escolas em análise, é assim que acontece, destemodo bastante seco e direto.Ao compararmos a abordagem do conceito de logaritmos neste livro emrelação aos demais conteúdos também nele explícitos, podemos ver que é o menoselaborado, o mais direto, o menos contextualizado.Na seqüência da página 131, é proposto então situações com expoentesna forma direta:21a) Qual o número que se deve elevar o número 2, para obter resultado 8?x2 = 81e qual deve-se elevar o numero 3, para obter ? 81x3 =181É então apresentada uma comparação entre as formas exponenciais elogarítmicas para as duas soluções.Na seqüência, seguem exercícios de fixação, são abordadas as condiçõesde existência de logaritmos e apresentadas às conseqüências da definição delogaritmo juntamente com suas propriedades operatórias.Na página 141, é colocado um item sobre logaritmos com calculadoraseletrônicas, que pode ser considerado muito interessante. Contudo, fica claro a faltade contextualização e abordagem do contexto histórico do conceito atrelado aouso.Os logaritmos de base decimal e base natural (neperiana), e odesenvolvimento histórico da função logarítmica, serão desenvolvidos no capítuloseguinte em que ocorre a definição de função, com seu domínio e imagem. Paraabordagem do conteúdo são utilizados gráficos da função logarítmica,estabelecendo relações entre estas e suas propriedades. Tal caracterização aparecena página 150 seguida dos conceitos de equações logarítmicas, sistemas deequações e inequações, com seus usos e aplicações.

Na parte final do capítulo (páginas de 157 a 159), é apresentada paraleitura, uma nota Histórica, com aplicações dos logaritmos nas leis de Weber, ErnestHeinrich 1795-1878, e Fechner, Gustav Threodor 1801-1887. A explanação éconveniente, mas poderia fazer parte da introdução do capítulo do livro.Em se tratando dos meios de abordagem do conceito de logaritmos noslivros didáticos adotados pelas escolas pesquisadas isto é tudo.Isto significa dizer que faltam correlações, situações que permitam aosalunos fazer inferências com outros conteúdos matemáticos, em especial com atrigonometria, com a geometria, com os fatos naturais da evolução do conhecimentomatemático que permitiu sair de tábuas de logaritmos e ir para as réguas de cálculo,chegando à tecnologia com as calculadoras e aos computadores.223.1.2.3 Volume do 3º anoNo terceiro volume, o qual corresponde ao 3º ano do Ensino Médio, nadaé escrito sobre logaritmos.Entretanto, de acordo com nossa pesquisa, o conceito de logaritmospoderia ser abordado em consonância com a apresentação de outros conteúdos.Como exemplo, podemos citar a exposição dos Números Complexos,capítulo 9, onde é feito a apresentação do pensamento matemático de Euler, i²= -1,visto que o estudo dos logaritmos de números negativos e respectivamente de suafunção é que levaram a consolidação do conjunto de números complexos, compartes reais e imaginárias.3.2 Análises da Proposta Curricular do Estado de Santa Catarina para o ensinode Matemática e Física no Ensino MédioA Proposta Curricular do Estado de Santa Catarina para matemática éinteressante, pois faz uma convocação ao efetivo desenvolvimento de umaEducação Matemática, pretendendo romper com a prática pedagógica vigente. Na

proposta “A função do professor, enquanto mediador no processo ensinoaprendizagem,comprometido com a construção da cidadania do aluno, consiste emcriar, em sala de aula, situações que permitam estabelecer uma postura crítica ereflexiva perante o conhecimento historicamente situado dentro e fora daMatemática” (PROPOSTA, 1998 p.107). Na proposta há incentivo para que sejamoportunizadas “e realizadas as operações de diversos modos: cálculo oral, escrito,utilizando máquinas de calculadoras e outros instrumentos” (PROPOSTA, 1998p.109), bem como devem ser explorados os cálculos estimativos, aproximados, eoutras estratégias diferentes.Na seqüência do texto na página 110, tem uma proposição muitocoerente, que citamos a seguir juntamente com a única vez que aparece umareferência direta aos logaritmos, referindo-se a logaritmação como uma dasoperações a serem exploradas e mediadas:“A calculadora como um instrumento tecnológico utilizado socialmente,deve ser explorada didaticamente em sala de aula com vistas a:a) Apropriação dos recursos tecnológicos deste tempo,fundamental para a formação do cidadão desta sociedade;b) Compreensão do processo realizado pela calculadora e;c) Compreensão das várias formas de cálculo.Este trabalho deve se dar estreitamente articulado ao estudo lógicohistóricodos sistemas de numeração, focalizando sobretudo o sistema decimal, bemcomo a exploração dos conceitos, e seus respectivos significados sócios-culturais ecientíficos, de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação e dalogaritmação”Na Proposta Curricular de Santa Catarina, são colocadas grades naspáginas 108 e 109, em que nenhuma vez aparece de modo explícito logaritmos,nem nos campos numéricos (antiga aritmética), nem entre os campos algébricos,campos geométricos, e estatística e probabilidades.Conclusão: apesar de ser uma proposta bem elaborada, acreditamos quepoderia ser mais explicitado a necessidade de conhecimentos da logaritmação23

incluindo indicações mínimas onde devem ser iniciados e aplicados os conceitos delogaritmos, enfim quais séries e anos deverão ser mediados.Analisando a mesma Proposta, para as disciplinas de Biologia, Física eQuímica, não há nenhuma referência aos fenômenos em que os logaritmos e suafunção são fundamentais para a compreensão, tais como, variação de quantidadede energia em acontecimentos climáticos, terremotos, crescimento de culturas debactérias e mesmo de árvores, células, animais. Na química, alem do óbvio, que sãoos cálculos de ph, as variações de energia de reações térmicas, químicas, nuclearesnão têm entendimento adequado sem levar em consideração os conceitos objeto daanálise deste trabalho.24

254 METODOLOGIAEsta pesquisa será quali-quantitativa, serão buscados parâmetros deavaliações, das causas que provocam o “desaparecimento” da importância dafunção logarítmica bem como das contextualizações destes conceitos.Ela será sustentada nos princípios da fenomenologia que estão naSociologia Compreensiva proposta por Minayo (2004, p.19) “temos que nosaprofundar nas obras dos diferentes autores que trabalham com temas que nospreocupam, inclusive dos que trazem propostas com as quais ideologicamente nãoconcordamos”.Os dados serão analisados a partir do referencial adotado. As entrevistasserão realizadas nas Escolas: E.E.B Professora Salete Scotti dos Santos (código75200013493-0) de Içara - SC, situada na rua Duque de Caxias, 147 CEP 88820-000, fone/fax (48)3432-3538, sendo a diretora geral a professora Lílian Inácio daSilva, e E.E.B Princesa Isabel (código 7520001495-8) de Morro da Fumaça - SCsituada na rua XV de Novembro 407, fone/fax (48)3434-1686, sendo seu diretorgeral professor Edilon de Almeida, ambas as escolas são mantida pelo Governo doEstado de Santa Catarina e pertencentes à 21ª GEREDH.As perguntas dos questionários serão semi-estruturadas. Conforme Neto eMinayo (2004, p.58) “são entrevistas que articulam as duas modalidades”, mas comofoi definido por entrevistas-questionários, mantivesse a mesma situação tendo entãoperguntas definidas, e perguntas abertas ou não estruturadas que se busca opensamento livre de cada participante. Para Demo (1995, p.247) a avaliaçãoqualitativa exige também disciplina de campo, coleta cuidadosa de material esistematização do conhecimento.As observações serão anotadas, todos os procedimentos e resultados doque foi lido, ouvido e visto nas escolas onde ocorreram os trabalhos executados. Emalguns casos será procurada independência, em outros haverá participação.

5 O PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM DOS LOGARITMOS:APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS265.1 Levantamento de dados com professores de matemática sobre o conceitode logaritmosEsta pesquisa foi feita com questionários entregues aos professores dematemática no mês de Agosto 2008 das respectivas escolas: EEB Princesa Isabelde Morro da Fumaça - SC, e da EEB Professora Salete Scotti dos Santos de Içara -SC. O levantamento foi iniciado com a verificação das situações dos docentes, tendosido encontrado que os efetivos são em número de três e quatro, num total de sete,sendo que neste mês dois professores entraram em licença prêmio, uma professoraestá em licença para tratamento de saúde, e outra solicitou licença sem vencimentopara tratar de assuntos particulares, o que acarretou a entrada de vários ACTs, trêsna EEB Princesa Isabel, e outros três na EEB Professora Salet Scotti dos Santos,não tendo sido possível entrevistas com todos.5.1.1 Análise da formação acadêmica e experiências pedagógicasOs professores que participaram desta pesquisa estão na seguintesituação em relação à formação e tempo de experiência. Os professores receberamcódigos. A identidade dos que não autorizaram divulgação foi preservada, para osdemais está escrito o nome após o código, e são os seguintes:PI 01 – Graduação em 2000 em Ciências e Matemática, com especialização LatuCenso, em Didática e Metodologia de Ensino Superior em 2001. Efetiva, comexperiência superior a 10 anos. Professora Fabiana da Boit R. Inácio.PI 02 – Graduação em 2006 em Engenharia Ambiental, ACT, sem experiênciadidática, após algumas tentativas de responder pediu para ser “dispensado” daresponsabilidade, e foi então eliminado da pesquisa. Não autorizado o nome.

PI 03 – Graduação em 1998 em Ciências e Matemática 1º grau, Graduação plenaem Matemática 2º grau em 2000, e Graduação plena em Biologia em 2003.Especialização Latu Sensu em Educação Matemática em 2004. Efetiva, comexperiência superior a 10 anos. Professora Alexandra Pereira Goulart.SSS 1 – Graduação em 1991 em Ciências Físicas e Biológicas – Matemática em1991, Especialização Latu Sensu em Educação Matemática em 1993. Efetiva comexperiência superior a 10 anos. Professora Rose Helena F. Arceno.SSS 2 – Graduação ano 2005 em Licenciatura em Matemática, Especialização LatuSensu em Educação Interdisciplinar em 2006. ACT com experiência inferior a 3anos. Professora Rosani da S. Viana.SSS 3 – Graduação em 2007 em Licenciatura em Matemática, Especialização LatuSensu em Psicopedagogia em 2008. ACT com experiência inferior a 3 anos. Nãoautorizado o nome.SSS 4 – Graduação em 1982 em Ciências Físicas e Biológicas – Matemática.Especilização Latu Sensu em Educação Matemática em 1991. Efetivo, comexperiência superior a 10 anos. Professor José Arceno Filho.275.1.2 Análise das respostas objetivasNesta pesquisa foi utilizado como orientação uma pesquisa feita por M.AMiorim, e A. Miguel no livro “Os logaritmos na cultura Escolar Brasileira, da sérieTextos de História da Matemática, SBHMAT 2002, onde foi apresentado uma tabelapara professores de matemática responderem:. Dos seguinte itens, assinale aquelesque você acredita ter alguma relação com Logaritmos, com duas alternativas: Sim eNão. Foi acrescentado mais uma coluna nesta pesquisa aqui apresentada, que é acoluna SR (Sem Resposta). O resultado para ser analisado é o seguinte:Quadro 1: Resultado das Respostas dos ProfessoresNº Item S.R. Sim Não01 Índice pluviométrico anual médio de uma região 2 3 1

2802 Determinação do volume de um cone 1 3 203 Crescimento de bactérias - 5 104 Representação gráfica de funções - 6 -05 Eletrocardiograma 2 3 106 Potenciação - 6 -07 Intensidade sonora 1 3 208 Resfriamento de um corpo 1 3 209 Função exponencial - 6 -10 Movimento retilíneo uniformemente variado 2 3 111 Simplificação de cálculos aritméticos trabalhosos - 6 -12 Juros compostos 1 3 213 Comprimento de um arco de parábola - 4 214 Área de uma faixa sob uma hipérbole 1 3 215 Cartografia 2 2 216 Tábuas trigonométricas 2 2 217 Jogos de azar 2 2 218 Sons emitidos pelas teclas de um piano 2 2 219 Progressões aritméticas e geométricas 1 4 120 Movimento circular uniforme 3 2 121 Luminosidade de estrelas 1 3 222 Energia cinética de um corpo 2 2 223 PH de uma solução química 1 3 224 Luminosidade de uma lâmpada elétrica 1 4 125 Desintegração radioativa 1 4 126 Linearização de curvas 2 2 2

2927 Intensidade de Terremotos 1 4 128 Cálculo de crescimentos da população humana de - 5 1regiões29 Taxas anuais de inflação - 5 130 Réguas de cálculos 1 4 1Fonte: Questionários devolvidos – coleta de dados da PesquisaOs itens foram escolhidos para saber quais as concepções e usos doslogaritmos estão presentes nos seus conhecimentos, que serão usados nasmediações destes conceitos, e nos podem indicar também qual a formação deles aeste respeito. Os itens aleatórios foram agrupados da seguinte forma, de Miorim;Miguel (2002, p. 9), sendo consideradas somente as respostas SIM:1. Os que relacionam com a concepção aritmética de logaritmo. E são eles:10, 11, 14, 16, 19, 30.2. Aqueles que se relacionam com a concepção algébrico-funcional. E sãoeles: 4, 6, 9, 26.3. Aqueles que manifestam algum uso social dos logaritmos. E são eles:3, 7, 8, 12, 15, 18, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29.4. Aqueles que não estão ligados a um uso social dos logaritmos. E são eles:1, 2, 5, 13, 17, 20, 22.A tabulação dos resultados foi construída a partir da consideração que ositens do Quadro 1 estão classificados do seguinte modo já colocado:Quadro 2 – Resultado das respostas SIM.Concepção1N°RespostasConcepção2N°RespostasConcepção3N°RespostasConcepção410 3 4 6 3 5 1 311 6 6 6 7 3 2 314 3 9 6 8 3 5 316 2 26 2 12 3 13 4N°Respostas

3019 4 15 2 17 230 4 18 2 20 221 3 22 223 324 425 427 428 529 561,1% 22 83,3% 20 59,0% 46 45,2% 19Fonte: Questionários devolvidos – coleta de dados da PesquisaOs percentuais obtidos foram calculados sobre o número de respostasSIM, em relação ao total possível de respostas para aquele conjunto de proposições.Da mesma forma que o levantamento de Miorim; Miguel, a concepçãopredominante foi a de algébrico-funcional, e os usos que pertencem ao cotidiano sãomenos lembrados, que estão abrangidos na Concepção 3, “Aqueles que manifestamalgum uso social dos logaritmos”. Quando se estuda a natureza e logaritmos demodo mais intenso, podemos sempre observar que qualquer fato que tenham pornatureza duas seqüências uma aritmética, e outra geométrica, os logaritmos estarãopresentes, por exemplo uma variável aritmética tempo, a outra variável geométrica,crescimento da população, juros compostos, inflação, ou qualquer outra, todas sósão bem explicadas e compreendidas com logaritmos, e isto deve ficar bem claropara todos envolvidos no processo ensino-aprendizagem.O quadro mostra que a situação dos professores não é confortável, e hánecessidade de muito aprimoramento.Podemos observar que mesmo os assuntos mais tradicionais como ph(Concentração hidrogênio iônica) de soluções químicas não é de conhecimento detodos, sendo que só 3 professores assinalaram que os logaritmos estavampresentes. A primeira unanimidade dos professores foi no item 4, representaçãográfica de funções, e acredita-se que por causa das facilidades dos novos softwaresgráficos, onde são construídas com muita facilidade estas representações (noGraph, no Derive, e no Cabri-Géomètre, etc). Também chamou atenção que asimplificação de cálculos aritméticos manualmente trabalhosos (item 11),Potenciação (item 6), e Função exponencial (item 9), todos responderam que sãoconceitos ligados aos de logaritmos, a novidade é o item 11, pois estamos na era

das calculadoras eletrônicas e dos computadores. Os demais itens são ligados àconcepção algébrico-funcional, mais estudada na atualidade.315.1.3 Analises das respostas dissertativasA primeira questão recebeu o nº 7: “Você faz mediação dos conteúdosmatemáticos da sétima operação, conhecida como logaritmação?Todos professores que ensinam no 2º ano do Ensino Médio responderamsim (4), e colocam que gostariam de saber mais sobre este conceito afim depromoverem ainda mais mediações (PI 03).A proposição nº 8: Historicamente os logaritmos foram usados primeirocomo conceito aritmético, basicamente, com a verificação que duas seqüências,uma PA, e outra PG, correspondentes, o que facilitava os cálculos aritméticos. Hojecom os recursos de calculadoras eletrônicas e CPUs, há necessidade de seuensino, por que?-Sim, “para saber como as coisas funcionam, e para que funcionam” (PI 03).-Nem sempre temos estes recursos disponíveis, por isto devemos estudar(SSS 2).-Sim, pois esses recursos é fundamento para o seu ensino-aprendizado.Uma ferramenta como auxilio” (SSS 3).Conclusão, todos estão conscientes da necessidade que todos tenhamacesso às novas ferramentas disponíveis eletrônicas, e isto é muito bom.A questão 9: Após século XVIII, com Newton, Leibniz, Euler, entre outros,surgiu a função logarítmica, e muitos acontecimentos naturais só são explicadoscom o auxílio desta função, com esta consideração, qual sua opinião sobre o ensinode logaritmos no ensino médio?As respostas foram no sentido positivo, com o alerta de que:-Pode ser muito produtivo se ensinarmos para a resolução de problemasrelacionados a diversas profissões, pois este é o maior questionamento dosalunos: “Em que usaremos?”.Na proposição 10: Quando deve ser iniciado o ensino aprendizagemdestes conteúdos, e suas premissas?

também foi dito:Houve um consenso de seguir a seqüência do planejamento (PI 01), mas-Desde os primeiros anos de escolaridade deve-se oportunizar ao aluno aapropriação deste conceito “(SSS 4).Na questão 11: Que conteúdos você considera importante para que osdiscentes tenham entendimentos básicos sobre logaritmos?Foram considerados pelos diversos professores:32-Potenciação, Exponenciais, vários segmentos da Matemática Básica (SSSl), acrescidos por P.A., P.G. e até mesmo funções de 1º e 2º graus (PI 03)A pergunta 12: Qual a importância que você dá a função logarítmica?Obtivemos respostas do tipo:Se eu tivesse mais conhecimento nas aplicações cotidianas usando afunção logarítmica com certeza eu valorizaria bem mais (PI 03), e é umafunção que possibilita resolver grandes cálculos (SSS 2).conceitos?A análise da proposição 13: Como você faz para contextualizar estesUma resposta interessante foi:Utilizo os exemplos que os livros trazem, geralmente sobre crescimento depopulações, pH, de uma solução química, Escala Richter [....]” (PI 01), masnão é a situação padrão, alguns sequer responderam, e outros ficamdigamos, aguardando sugestões.A partir deste ponto as perguntas se referem às preocupações em relaçãodas praticas pedagógicas e aspectos legais como a questão 14: A propostacurricular de Santa Catarina diz: [....] Educação Matemática entendida como umapostura político-ideológica de quem se propõe a ensinar Matemática, o que implicana compreensão de que todos tem o direito de se apropriar do conhecimentomatemático sistematizado e de que é dever da Escola a sua socialização(PROPOSTA, p. 106). Comente a respeito dessa colocação.Nos comentários PI 01 escreveu:Ensinar cálculo pelo cálculo não será muito proveitoso [...] Mas oaproveitamento do que cada um sabe e a relação disso com os conteúdose a sua re-elaboração e aplicação será de maior valor para todos.

33Outra opinião:[...] Não concordo com o fato de no Ensino Médio os alunos terem tãopoucas aulas por semana. (SSS 2).Por ultimo uma síntese feita:Isso seria perfeito, mas não é a realidade vista na mioria das escolas, poisse o aluno não vai bem, o problema é do professor e não de todo osistema (PI 03).A questão 15 é uma continuação dos conceitos da proposição anterior:Em outro trecho diz “Este trabalho deve se dar estreitamente articulado ao estudológico-histórico dos sistemas de numeração, focalizando sobretudo o sistemadecimal, bem como a exploração dos conceitos, e seus respectivos significadossócios-culturais e científicos, de adição, subtração, multiplicação, divisão,potenciação, radiciação, e da logarítmação” (p.110). Comente a respeito destacolocação.Algumas respostas remetem às contextualizações históricas, o quedemonstra estas preocupações, mas de um modo geral dos que responderam todosconcordam com a “pregação” que todos os conceitos devem ser desenvolvidos, poistodos são importantes, inclusive a logaritmação.Para a pergunta 16: O que pode ser feito para facilitar o ensinoaprendizagemdos conceitos de logaritmos?As respostas foram no sentido de:E também um alerta:[...] trabalhar com cálculos de potências, explicar a equivalência das formaslogarítmica e exponencial (PI 01).[...] deverá ser trabalhado na graduação... para facilitar o nosso trabalho etermos exito na aprendizagem do aluno (PI 03).Na questão 17: Como os alunos recebem estes conhecimentos? De suasopiniões antes e depois do contato inicial, e após todas as mediações.Para PI 03:Recebe muito artificial, somente o básico do conceito e resolução [...] Naminha opinião seria que, antes eu administrava esse conteúdo comoaprendi, meio superficial, agora vejo que deverá ser bem mais trabalhado,

pois se buscarmos mais conhecimento como aplicar o “log” teremos maissucesso no ensino-aprendizagem de nossos alunos.De início nem todos apresentam interesse. Depois surgem perguntas,comparações, exemplos, e a maioria se integra de forma satisfatória noprocesso (PI 01).E finalizam com colocação nº18: Comentário Final:34Um conteúdo “rico” como logaritmo não pode ser passado como um cálculo“chato”, sem que saibam o quanto está envolvido com situações diversas(PI 01).Foi solicitado na proposição nº 19: Qual sua opinião sobre este trabalho?Os colegas professores acharam boa a idéia desta pesquisa, dasreflexões que fizeram, pois o trabalho de ensino-aprendizagem deve continuar. E foimuito bom para repensarmos nossas ações no processo ensino-aprendizagem paraajudarmos na socialização do conhecimento matemático.Para concluir, neste trabalho estão várias propostas para solução destesproblemas, para que o convívio com os conceitos dos logaritmos sejammaravilhosos e para sempre (Mirifici Logharitmorum ad aeternum).5.2 A contextualização do conceito de logaritmos em sala de aulaNosso levantamento e análises, indicam que podemos considerar alogaritmação como a última operação matemática, e partindo do provérbio chinêsque “qualquer jornada que se pretenda fazer, é sempre necessário o primeiropasso”, e este passo é fundamental. Quando deve ser iniciado o ensino delogaritmos? Não vamos exagerar que é logo na primeira aula que um aluno iniciasua jornada escolar no primeiro ano, mas está logo ali, e não podemos perder estefoco em nenhum momento. Explicando melhor, no decorrer das séries iniciais,sempre que seja colocadas seqüências, probabilidades, expoentes, raízes,fenômenos naturais, os logaritmos estão ali, seja no conceito aritmético, ou a partirda 6ª série no conceito algébrico. É importante que os professores tenham noçãoque todas estas operações, e os fatos naturais são mais facilmente compreendidosquando a ferramenta logaritmo está disponível. Atualmente com a generalização decalculadoras eletrônicas é fácil você demonstrar a facilidade que este conhecimentofacilita a vida moderna. Pode-se dizer, em várias oportunidades no decorrer de aulas

sobre raízes, ou expoentes, que um professor de matemática resolva estasoperações de outra forma com logaritmos para “atiçar” a curiosidade deles no futuro.Estamos vivendo as Olimpíadas de Pequim (Beijing) 2008, e já naabertura se vê que sem conhecimento e técnica não seria possível aquela lindaabertura, bem como nós vermos simultaneamente os fatos sem tecnologia.Tecnologia é aplicação de conhecimentos matemáticos, portanto de logaritmos.A vida moderna como ela é não é mais possível sem que todos tenhamconhecimentos que permitam, não só evoluir, mas também manter o “status quo”.355.3 Estudo entre a proposta de ensino do conceito de logaritmo do livrodidático e a Proposta Curricular de Santa CatarinaA Proposta Curricular de Santa Catarina, no que diz respeito a logaritmos,só tem instruções muito genéricas, que deixam subentendido que é importante, masnão coloca nenhum parâmetro ou objetivo sobre o assunto, o que deixa os livrosdidáticos muito livres para tratar do assunto. Pode-se dizer, se o assunto foi tratadoestá muito bem. Só receberia uma crítica se não houvesse nenhuma menção emnenhum tempo. Conforme já analisamos no capítulo anterior, a proposta pode sermodificada fazendo instruções mais explícitas, de forma a contemplar este conceitojá na 6º ao 9º anos, nesta fase, bem brando, só indicando como uma ferramenta dofuturo, e no Ensino Médio, os logaritmos devem ser tratados nos livros didáticos deforma a abranger todas as formas, fazendo o ensino-aprendizagem comcalculadoras, computadores que tenham softwares matemáticos que construamgráficos, cálculos de áreas, e que permitam as compreensões das formasaritméticas, e algébricas destes conteúdos. É de grande importância que osconteúdos sejam colocados visando um entendimento social histórico, e quepermitam que os acontecimentos naturais tais como, crescimentos populacionais,inflação por períodos anuais, juros, luminosidade, sonoridade, etc.Pode-se concluir que todos os livros didáticos atendem a PropostaCurricular de Santa Catarina, mas se ela colocar melhor seus objetivos alguns

poderão ser considerados fracos, pois tratam de modo superficial, e às vezes muitoseco e não ou pouco contextualizados.365.4 Sugestões de novas abordagens para o Ensino LogaritmosA situação do ensino de logaritmos para ser alterada, deve ser pensada apartir da formação do corpo docente, na graduação de professores licenciados emMatemática, por isto, com base nesta pesquisa propomos que seja adotado plano deunidade de aulas para este tema como na proposta que segue:5.4.1 Propostas de ensino para formandos de Matemática com Plano deUnidadesEste plano foi apresentado como Planejamento de aulas sobre umassunto do Curso de Matemática da UNESC apresentado como requisito paraaprovação na disciplina: Didática e Metodologia do Ensino Superior solicitado pelaprofessora Msc. Zélia Medeiros da Silveira.E o plano que foi sugerido é o seguinte:1 NOME DA DISCIPLINAFundamentos de Matemática Elementar II, do curso de Matemática da UNESC.2 CARGA HORÁRIA E EMENTANossa proposição é para 16 (dezesseis) horas-aula da disciplina de nomeFundamentos de Matemática Elementar II: que tem no semestre um total de 72horas aula, sendo oferecida no 2º período do curso de Licenciatura em Matemática,os outros assuntos anteriores serão considerados já mediados e de entendimento jáobtido pelos participantes.

373 CONTEÚDOSA história da criação dos logaritmos;O contexto histórico das taboas de Logaritmos;O uso dos logaritmos no conceito aritmétic;Os logaritmos na trigonometria e na geometria;A historia da função algébrica funcional dos logaritmos com o contexto histórico;Os principais matemáticos para esta função;As propriedades e os usos da função logarítmica;Os usos dos logaritmos com calculadoras eletrônicas científicas;Os instrumentos da informática para logaritmos;Uso de logaritmos no nosso cotidiano.4 OBJETIVOSGeral• Compreender de modo claro, objetivo, e contextualizado os conhecimentosda humanidade sobre os Logaritmos, sua criação histórica, seus usos atravésdos tempos, as transformações das concepções.• Aplicar os logaritmos como instrumento de conhecimento, sua situação atualcomo função algébrica, e principalmente onde eles estão no dia-a-dia com osusos de calculadoras eletrônicas, equipamentos de análises, computadores,etc...Específicos• Compreender as situações históricas dos logaritmos;• Aplicar os usos dos logaritmos como instrumento aritmético, e comcalculadoras eletrônicas.• Identificar os vários usos da função logarítmica, da interação com radiciação epotenciação.

• Criar por meio de situações problemas soluções que envolvam logaritmos,principalmente com as novas situações com os novos instrumentos dainformática.• Apresentar os logaritmos nas interações geométricas, que possam auxiliar ascompreensões lógicas com construção de figuras ilustrativas.• Analisar como são introduzidos os conceitos de logaritmos pelos livrosescolares nos cursos regulares, e estabelecer mecanismo para a melhoropção.385 METODOLOGIAAs aulas serão desenvolvidas de acordo com cada etapa. Serão 4(quatro) encontros de 4 (quatro) horas aula onde serão observadas os preceitos deCelso de Vasconcelos com as três etapas fundamentais:1º) Mobilização para o conhecimento contextualizado.2º) Construção do conhecimento3º) Elaboração e expressão da síntese do conhecimentoSerão aulas expositivas dialogadas, com uso de literatura sobre os temas,de instrumentos que mostrem os contextos históricos, com uso de calculadorascientíficas, ferramentas da informática.Serão usados também data-show, e retro projeção.Primeiro Encontro• Apresentação do Professor Mediador• Para mobilização serão entregues para os alunos livros praticamente sem usode Tabuas de Logaritmos, e réguas de cálculos antigas. Após, breveexplicação da ementa, que em princípio os alunos já conhecem.• A construção do conhecimento será feita com a mediação da Historia dosLogaritmos, com isto deverão ter uma idéia do que representou os livrosagora em desuso das Taboas de Logaritmos. Será falado sobre a criação

histórica dos logaritmos seu desenvolvimento, aplicações práticas, e usosatuais.• Alguns professores do Ensino Médio não dispõe de informações que facilitemestas colocações, isto é, da importância dos logaritmos. Desejamos que osnovos professores de matemática possam dar respostas para as perguntasdo tipo:• Por que surgiram os logaritmos?• O que são logaritmos?• Por que são importantes na matemática?• Onde são aplicados na nossa vida cotidiana?• Nesta situação será proposto a solução de algumas situações problemas semuso de logaritmos, cálculos estes impossíveis de serem resolvidos durante aaula. É importante que sintam as dificuldades, mas a solução é totalmentesecundária.• Serão propostas algumas situações que sem o uso de logaritmos as soluçõessão impraticáveis, e por que não dizer até sem lógica, com enorme custo(dificuldades de cálculos) para pouco benefício.• Uma das proposições sobre nosso objeto de estudo é que nós humanostemos dificuldades de entender e mensurar e comparar números grandes,bilhões, trilhões, 10 10 , 10 20 , 10 30 , estes números para nós ficam todosparecidos, e prefere-se pensar e comparar quantidades de 0 a 10, ou 0 a 100,onde é mais simples de se visualizar os resultados, e para isto a funçãologarítmica é perfeita.• Explicar brevemente (relembrar) os conceitos de característica, e mantissa.Os mesmos problemas serão resolvidos com o uso de Tabuas de Logaritmose/ou réguas de cálculos.• (Serão gastos alguns minutos com explicação do uso de Taboas deLogaritmos e das réguas de calculo). (Não será permitido nesta etapa o usode calculadoras, num próximo encontro os mesmos exercícios serãoresolvidos em segundos com estes equipamentos). É importante que todossintam as dificuldades, isto é, é mais fácil do que sem tabelas, mas continuaselevando horas para efetuar as operações.39

• Nesta etapa será apresentado as calculadoras eletrônicas científicas, e entãotodos problemas serão resolvidos em segundos.• Propõem-se então, com textos previamente preparados estudos sobre acriação histórica dos logaritmos com as bibliografias indicadas.• As avaliações serão efetuadas durante as aulas, e parte deverão estar noTrabalho final deste conteúdo, em forma de relatório, ou de exposição emavaliações onde estas aulas serão objetos de inquisições e análises, quecompletarão a síntese dos conhecimentos adquiridos.40Segundo EncontroNeste encontro a ênfase será sobre as concepções Algébricas Funcionaisdos Logaritmos, e para isto serão entregues textos para análises das situaçõeshistóricas vividas por diversos matemáticos, tais como Euler, Leibniz, Newton,Bernoilli, Cramer, entre outros.• A História dos LogaritmosNão é possível falar de logaritmos sem falar de expoentes, da funçãoexponencial, é para solução de cálculos exponenciais que a ferramenta logaritmo éa solução.John Napier, 1550-1617, foi o grande criador, seu nome está associado aologaritmo de base natural, também chamado de neperiano (em português maissonoro do que naperiano). Seu trabalho foi chamado de Mirifici logarithmorumcanonis descriptio (Descrição da maravilhosa lei dos logaritmos). Nele Napierobservou duas seqüências:1ªSeqüência2ªSeqüênciaX 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Observando-as ele constatou que o produto de dois termos quaisquer daprimeira seqüência, por exemplo X 3 . X 4 = X 3+4 tinha resultado X 7 que ocupa omesma posição da soma de iguais termos na segunda seqüência.Está é a idéia do logaritmo. Usar a 2ª seqüência para calcular osresultados da primeira seqüência.Contemporâneo de Napier, Henry Briggs, após ler a obra, propôs que ologaritmo de 1 seria Zero, e que o logaritmo de 10 (dez) fosse uma potenciaconveniente, por exemplo 1 (um). Desta forma criaram os logaritmos de base10(dez).Com o desenvolvimento dos conhecimentos de astronomia, deengenharia, e da navegação, em especial a partir do século XV, os cálculosmatemáticos para por exemplo órbitas de planetas ou da Lua exigiam horas sem fimde contas. Para por exemplo verificar que posição um planeta estaria no dia ou nasemana seguinte, ou no ano seguinte. Quando iriam ocorrer eclipses tanto da Lua,como do Sol. Eram cálculos intermináveis. Com o desenvolvimento dos logaritmosisto tudo foi facilitado, mas naquela época sem computadores, as muitas contaseram feitas manualmente. Para prevermos um ponto no espaço onde estará umobjeto ou corpo celeste, devemos levar em consideração que estamos emmovimento de rotação e translação, os corpos celestes também, e em geral emvelocidades diferentes, por isto as dificuldades. Não menos importantes na épocaeram as navegações, cada vez mais presentes para o comercio. A navegação exigiacálculos cada vez mais complexos.Por exemplo, imagine que um cientista, ou navegador necessitassecalcular com freqüência no século XV diversas operações do tipo:41X=2,021953 x 3,061958.logaritmos.Ou dividir números semelhantes, serão horas de calculo sem os• A Função LogaritmoSerão expostas as cinco propriedades dos logaritmos:

1ª Propriedade: O logaritmo do produto de dois fatores em uma mesmabase é igual a soma dos logaritmos desses fatores na mesma base.42log a (x 1 ∗ x 2 ) = log a x 1 + log a x 22ª Propriedade: O logaritmo do quociente de dois fatores em uma mesmabase é igual a diferença entre os logaritmos do dividendo e do divisor dos logaritmosdesses fatores na mesma base.log a x 1 = log a x 1 - log a x 2x 23ª Propriedade: O logaritmo de base (a) da potencia x y é igual ao produtodo expoente pelo logaritmo de x na mesma base:log a x 1 y = y ∗ log a x 14ª Propriedade: O logaritmo da raiz enésima de um numero em uma dadabase é igual ao produto do inverso de n pelo logaritmo do numero naquela mesmabase:log an√ X = 1n∗log a x5ª Propriedade: Troca de bases: O logaritmo em uma base qualquer (b) eum numero n é igual o quociente dos logaritmos de n e de (b) na nova baselog b n =log a nlog a banteriormente:Com estas propriedades, podemos resolver o exercício proposto

• Uma avaliação pode ser feita com análise dos relatórios apresentados porescrito de cada equipe.Nota: Como e Estado está propiciando livros para serem entregues paraos alunos, sem custo direto para eles, este tipo de análise é muito importante.44Terceiro Encontro• Este encontro será dedicado a situação atual dos logaritmos, a responder aquestão: Ubi sunt logarithmum hodie? (Onde estão os logaritmos hoje)Entre muitas coisas, hoje é impossível viver com qualidade de vida sem oslogaritmos, pois eles estão em todas partes da ciências, e das coisas naturais, e jáestão incorporados no nosso cotidiano.Existe por parte de matemáticos a discussão sobre se a operação doslogaritmos é uma das fundamentais, seria a sétima (adição, subtração, multiplicação,divisão, radiciação, exponenciação, e logaritmação), ou se são só seis, (as seisprimeiras), e a logaritmação estaria contida nas 5ªs, e 6ªs operações. Controvérsiasà parte, consideramos que são sete operações, já que os logaritmos tem uma vidaprópria, podemos considerar que a radiciação e exponenciação são casosparticulares da logaritmação.Já são peças de museus, tanto os livros de Taboas de Logaritmos, bemcomo Réguas de Cálculos, pois os computadores, equipamentos com CLPs, tantode medição como de execução, e então podemos apresentar o seguinte:• Lei de Weber e escalas de FechnerO estudo matemático das análises de Weber, Ernest H.(1795-1878),fisiologista alemão, sobre estímulos ao ser humano e as respostas a eles,desenvolveram uma ligação direta entre natureza e logaritmos. Das váriasobservações, ele notou que só era percebido uma variação de intensidade deluminosidade de um ambiente para outro quando esta tinha variação superior a 2%,e só eram distinguidas soluções salinas com teor de variação superior a 25% entreoutras.

Fechner, Gustav T. (1801-1887), físico e matemático propôs uma soluçãopara a Lei de Weber. Sendo i a taxa de variação de intensidade do estímulo quepermite discriminação da resposta, e x 0 a resposta de nível zero, pode-se propor quecada variação da taxa i no nível do estímulo, aumenta-se uma unidade na medida donível da resposta. Sendo y a resposta e x a intensidade do estímulo, tem-se comoresultado da proposição:45a) x = x 0 (1 + i) y e,b) y = a∗log x + b, com a = 1/log(1 + i), e x 0 = 1/(1 + i) bCom esta proposição Fechner participou de várias simplificações paraentendimentos comparativos mais simples para todos, como por exemplo:• Brilho Aparente de EstrelasO brilho de uma estrela é uma sensação, ou seja, uma resposta a umestímulo que é a energia luminosa recebida pelo olho. Os astrônomos medem obrilho por intermédio de uma escala Fechner assim apresentada:m=c – 2,5 ∗ log I, sendo quem = medida do brilho (magnitude aparente)I = Energia luminosa recebida pelo olho.c = constante.• Calculo do Nível de Ruídos (Sons)O nível de ruídos é calculado por uma escala de Fechner, que foi temcomo unidade no Brasil o Decibel (em homenagem a Alexander G. Bell, inventor dotelefone), e que tem a forma seguinte:

46NR = 12 + log IWatts/m².Onde NR = Nível de Ruídos e I = Intensidade sonora, medida em• Calculo da Intensidade Sonora HumanaPara o ser humano, os sons possuem uma faixa de audição, e dois limites,o limiar da audibilidade, e o limiar da dor, o primeiro é igual a 10 -12 W/m², e osegundo 1 W/m². Para estabelecer o nível sonoro (NS), modifica-se a escalaFechner para:NS = 10∗ log 1/IOnde: I = Intensidade sonora em W/m².Curiosidade: Com NS superior a 80 dB (decibéis) o ouvido humanocomeça a sofrer danos, e se for por tempo exagerado os danos são irreversíveis.• Logaritmos e TerremotosOutra aplicação da escala Fechner foi feita por Charles Richter doInstituto de Tecnologia da Califórnia em 1935. A formula era:M = a + log IOnde a = constante, e I, a intensidade de energia liberada pelo terremotoem milhões de Joules. Como os terremotos são acompanhados em todo mundo porSismógrafos que registram o tempo (∆t), e a amplitude (A), e com estes dados

etirados de um registro sismográfico e com a formula, desenvolvida a partir daequação geral já apresentada em 5.3, a magnitude do evento pode ser estabelecidacom a equação:47Magnitude = log A (mm) + 3 ∗ log [8∗∆t (s)] – 2,92de sismográfico:Que no caso que analisaremos veremos a seguir extraído de um registroAmplitude = 23 milimetrosTempo = 24 segundosAplicando na formula de RichterMagnitude = log 23 + 3 ∗ log (8∗24)] – 2,92 = 1,36 + 3 x log 192 – 2,92M = 1,36 + 3 x 2,28 – 2,92 = 1,36 + 6,84 – 2,92 = 5,28Quadro 3: Tabela Richter de Magnitudes de TerremotosMagnitudeM < 3,5 É registrado, mas não é sentido.3,5< M < 5,4 Às vezes é sentido, mas não causa danos.5,5< M < 6,0 Causa pequenos danos, e pode destruir casas mau construídas.6,1< M < 6,9 Poder destrutivo até 100 km do epicentro.

7,0< M < 7,9 Grande terremoto, sérios danos em ampla área.M > 8 Enorme terremoto danos até áreas a centenas de km do epicentro.Fonte: Editoria de Arte/Folha Online48Na atualidade, sabe-se que no Brasil existem terremotos diários, combaixa intensidade, mas alguns ao notados, com nível nesta escala de 5.2, o quetorna este estudo muito contextualizado.Para terminar este encontro podemos dizer que:Pode-se concluir que os logaritmos são usados amplamente naatualidade.Como está difundido o uso de calculadoras eletrônicas, e hoje já nãousamos mais as réguas de cálculos, nem as tabelas de logaritmos, mas elas estãopresentes diuturnamente nas nossas vidas.Poderia ser proposto fazer um levantamento dos terremotos dos últimos 3anos, e estudos de quantidades de átomos dissolvidos em soluções ácidas, ebásicas, estudos econômicos, populacionais entre outros onde são aplicadas asfunções logarítmicas, pois além das já expostas, estas todas são funçõeslogarítmicas.Com isto, esperamos ter respondido as quatro questões problemaspropostas.Quarto Encontro• Neste encontro, será iniciado com colocações de extrema importância para acompreensão da importância dos logaritmos, que são suas aplicações sobreTrigonometria, onde serão apresentadas situações históricas de astronomia,e de navegação marítima, pois nos séculos XV, a XIX, e parte do XX, paracalcular trajetória de um cometa, era necessário meses de cálculos, mesmocom Taboas de Logaritmos, pois as situações eram as seguintes, nossoplaneta gira em torno de si, e em torno do sol, que está em movimento. Umplaneta ou cometa, tem as mesmas características, portanto, sem uso detrigonometria não era possível determinar velocidades, rotas, etc. Estes

cálculos que em alguns casos levam até anos, hoje, com os supercomputadores,são feitos e conferidos em milésimos de segundo.• Neste momento serão colocados vídeos sobre movimentação de corposcelestes com cálculos de velocidades e rotas. (Pode ser desenhos animados,filmes de ficção, ou filmes técnicos, da Nasa por exemplo)• Para analise final será apresentado que na era das calculadoras eletrônicas edos computadores há uma dificuldade de entendimento de algumasferramentas matemáticas como é o caso dos LOGARITMOS, que foramdesenvolvidas no passado, em outras situações históricas, com inúmerasdificuldades técnicas operacionais.• O desenvolvimento e domínio dos logaritmos facilitaram e tiveramfundamental importância no desenvolvimento do pensamento filosófico ematemático humano, e nos dias de hoje com as facilidades técnicasdisponíveis aparentemente não esta sendo dado o valor devido.• Os logaritmos que são um instrumento de fácil uso, que veio simplificarenormemente os cálculos matemáticos, para alguns agora é visto uma fontede tortura e de dificuldades, em especial para o Ensino Médio, onde eles sãoconsiderados elementos alienados, desprovidos de utilidade no momento.• Os professores de Matemática, Física e Química, sabem que isto não éverdade, e assim sendo com este trabalho procura-se colocar historicamenteos logaritmos, suas aplicações, o que ele facilitou, e por conseqüência quaisas implicações na atualidade, que com os computadores e calculadoraseletrônicas foram muito simplificados, mas os logaritmos estão ali.• Serem apresentados os novos instrumentos da informática para logaritmostanto na função aritmética, como na função algébrica, para isto serão levadosos alunos para uma sala de informática onde já estarão disponível em rede ossofts CABRI, Graph, e Equations. Para cada um serão apresentados suaslógicas, seus usos, e suas aplicações. Os alunos farão exercícios inicialmentede forma simples, e crescendo até desafios.• Serão propostas avaliações e análises e conclusões finais.496 Avaliações

As avaliações serão processuais e continuadas, já sendo propostasdurantes as aulas, que serão colocadas em relatórios, alguns individuais, e outrosem equipe, que contemplarão a expressão da síntese dos conhecimentos mediados.Além disto serão propostas atividades para que sejam executadas comestes conhecimentos, durante as duas ultimas horas aula.Também será analisado, verificado e avaliado a compreensão, e domíniodos instrumentos de informática, que serão em ambiente virtual, aproveitando aestrutura existente na Universidade.505.4.2 Exemplos de questões avaliativas para diversos tipos de verificação deaprendizado para alunos de licenciatura em matemáticaNeste trabalho os exemplos são de questões para situações variadascomo, perguntas contextualizadas em que as respostas tenham parâmetros clarosde aferição bem definidos, e as questões objetivas tenham possibilidades dedesenvolvimento de análises alem do simples X na resposta considerada correta,como estas:5.4.2.1 Sugestões de questões tipo dissertativaExemplo de Questão dissertativa:Nas últimas três semanas, estudamos logaritmos nas suas diversascondições, sua importância e aplicações. Para isto, é importante o conhecimentodas propriedades matemáticas desta função. De acordo com nossos estudos,descreva pelo menos três das propriedades dos logaritmos e dê um exemplo paracada uma delas.5.4.2.2 Questão objetiva múltipla escolha tipo abertaExemplo de Questão Objetiva – Múltipla escolha: (Com respostaspossíveis diversas, e com uma analise da previsão dos acontecimentos reais)

Uma das aplicações dos logaritmos é a comparação entre intensidades deterremotos. Charles Richter propôs uma tabela, onde os resultados da aplicação deuma fórmula com magnitudes dimensionadas, são determinados do seguinte modo:51Magnitude (M) = log A + (3log 8.∆t)– 2,92Aplicando estes conceitos no registro sismográfico abaixo, determine osestragos esperados de acordo com a escala Richter e assinale a alternativa correta.Dados: Amplitude (A) em milímetros = 23 mm;Tempo (∆t) em segundos = 24 s.Para responder use as informna tabela abaixo:Considerando os conceitos expostos resolva e assinale a resposta corretaQuadro 4: Tabela Richter de Magnitudes de TerremotosAlternativas MagnitudeA M < 3,5 É registrado, mas não é sentido.B 3,5< M < 5,4 Às vezes é sentido, mas não causa danos.C 5,5< M < 6,0 Causa pequenos danos, e pode destruir casas mauconstruídas.D 6,1< M < 6,9 Poder destrutivo até 100 km do epicentro.E 7,0< M < 7,9 Grande terremoto, sérios danos em ampla área.F M > 8 Enorme terremoto danos até áreas a centenas de km doepicentro.Fonte: Editoria de Arte/Folha Online

As propostas apresentadas, visam algumas interferências pedagógicaspara a sala de aula e significam mais uma das várias contribuições/sugestões comvistas a melhoria da qualidade do ensino das disciplinas de Matemática e Física,bem como a formação de profissionais que possam realmente contribuir para assignificações conceituais dos logaritmos.52

536 CONCLUSÃOEsta pesquisa teve objetivo de propor algumas respostas para a perguntaoriginal Ubi sunt Iogarithmorum hodie?(Onde estão os logaritmos hoje)Desta forma, foram feitas várias colocações e apontadas soluções paraos problemas encontrados. A leitura leva as reflexões que nos remete a soluções. Éimportante que os alunos “tenham mente crítica”. Eles devem ser capazes deraciocinar sobre questões das quais jamais ouviram falar — no exato momento queelas se apresentam.Verificamos que a aprendizagem mecanizada fundamentada somente emtécnicas operatórias gera mentes domesticadas e, desta forma, alunos que sãotreinados para só fazerem o que aprendem nunca serão cidadãos plenos.É neste sentido que devemos olhar os conteúdos de logaritmos, poisestes são um corolário da matemática, em sendo a 7ª e última das operações, eseus usos estão em pleno vigor, pois as atividades da natureza que possam seracompanhadas por seqüências aritméticas e geométricas, por progressõesaritméticas e geométricas estão presentes sempre os logaritmos, que são mais doque uma ferramenta, são uma essência.Uma constatação sobre a evolução do conhecimento humano está no fatoque um grande matemático Henry Briggs, (que trabalhou os conhecimentos iniciaisda forma aritmética dos logaritmos), propondo tabelas com base 10, calculoudurante mais de 30 (trinta) anos conseguindo calcular os logaritmos de 1 a 20.000, ede 90.000 a 100.000. Atualmente um computador e uma impressora, em questão dehoras imprimem todas as Tábuas de Logaritmos de 1 a 100.000. Isto mais por umacuriosidade, porque todas calculadoras científicas possuem estas tabelas e atémaiores para o acesso o uso de frações de segundos.Esta é a situação dos Logaritmos hoje.Com relação ás maiores dificuldades encontradas pelos professores paramediarem o conceito de logaritmos, verificamos alguns desconfortos que denunciamuma formação fragilizada e, um tanto precária, no que tange aos significadosconceituais do conteúdo em questão.Isto significa dizer que o processo ensino aprendizagem deste conceitoainda acontece de forma mecanizada e pouco contextualizada. Tal fato deve-se não

só pela atuação dos professores em sala de aula, mas também pela abordagem doconteúdo nos livros didáticos do Ensino Fundamental e Médio. No EnsinoFundamental nada se comenta ou aborda com relação aos logaritmos, porém váriosconteúdos são propostos com as idéias conceituais em questão. Sendo assim, o queseria uma ótima oportunidade para o desenvolvimento do pensamento logarítmicodo aluno, perde-se em técnicas operatórias que pouco ou nada contribuem parauma aprendizagem significativa de logaritmo. No Ensino Médio, poucascontextualizações são feitas pelos livros didáticos.Percebemos, desta forma, uma incoerência entre o que está exposto naProposta Curricular de Santa Catarina e os livros didáticos adotados nas escolaspesquisadas.A Proposta Curricular de santa Catarina (1998), nos diz que o ensino daMatemática não se baseia somente em cálculos, mas em uma realidade ampla erica que visa não só formar alunos, mas seres humanos comprometidos com a vida,agentes da história, construtores de uma nova sociedade. Visa à educação plena doaluno, a formação de valores fundamentais através da busca do metafísico e dadescoberta do sentido mais profundo da existência da Matemática.Em contrapartida, nossos estudos apontam para direção contrária ao setratar de abordagem conceitual de logaritmos nos livros didáticos. O assuntoaparece pouco contextualizado e com nível baixo de significância e cientificidade.Cabe-nos então o seguinte questionamento: que cidadão pleno é esteque se pretende formar? Existe formação plena de cidadania sem o acesso aosconhecimentos científicos produzidos e sistematizados historicamente? Como casarteoria, (que também se manifesta com falhas, desde os Projetos PolíticoPedagógicos até a Proposta Curricular), com a tão sonhada prática pedagógicaconstituída de sólida fundamentação teórica alicerçada em pressupostos filosóficoscoerentes?Com certeza, a busca destas respostas se dará em estudos futuros.Contudo, cabe-nos ainda um último comentário no que tange ao conteúdode logaritmos: o que mais deu fama a John Napier, a ponto de ser considerado umdos maiores matemáticos, foi o trabalho inicial desta operação matemática(logaritmação), concomitante a criação do nome da função, realmente uma palavrade origem grega belíssima.54

55REFERÊNCIASBARRETO FILHO, Benigno; SILVA, Cláudio Xavier da. Matemática aula por aula.São Paulo: FTD, 2000DANTE, Luiz Roberto. Matemática 2ª série. São Paulo: Ática, 2004DEMO, Pedro. Metodologia científica em ciências naturais. 3 ed. São Paulo:Atlas, 1995.EEB PROFª. SALETE SCOTTI DOS SANTOS. Projeto Político Pedagógico, Içara:2006.FERREIRA, Ronize Lampert – Uma Seqüência de ensino para o estudo deLogaritmos usando a Engenharia Didática, Dissertação, Santa Maria: UNIFRA,2006FLORIANI, José Valdir. Função logarítmica, Coleção Arithmos Blumenau: Editorada Furb, 1999.IEZZI, Gelson et al. Matemática, ciência e aplicações. São Paulo: Saraiva, 2004.IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos – Fundamentos dematemática 2 elementar – logaritmos. 8. ed. São Paulo: Atual, 1993.KERRER, Mônica – Proposta de uma seqüência de ensino utilizando a calculadora,Dissertação, São Paulo: PUC-SP, 1999LAKATOS, Eva Maria; MARCONI, Marina de A. Fundamentos de metodologiacientífica. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2001.LONGEN, Adilson. Matemática atividade humana. Curitiba: Base Editora, 2003.MARCONDES DOS SANTOS, Carlos A; GENTIL, Nelson; GRECO Sergio E.Matemática. São Paulo: Atica, 2000.MINAYO, Mª. Cecília de Souza (Org.); et al. Pesquisa Social: Teoria Método eCriatividade. 23ª ed. Petrópolis: Vozes, 2004.PAIVA, Manoel. Matemática 1ª série. São Paulo: Moderna, 2005MIGUEL, Antonio e MIORIM, Maria Ângela. Os logaritmos na cultura escolarbrasileira.Volume IX – Natal: Editora da SBHMAT, 2002.PERRELMANN, I. Tradução de RODRIGUES, Milton da Silva. Aprenda álgebrabrincando. Curitiba: Hemus, 2001.

PIERO NETTO, Scpione di; ALMEIDA, Nilze Silveira. Matemática cursofundamental. São Paulo: Scipione, 1994.SANTA CATARINA. Secretaria de Estado da Educação. Proposta Curricular.Florianópolis: IOESC, 1998.56SANTOS, Carlos A. Marcondes dos; GENTIL, Nelson; GRECO, Sérgio E.Matemática. São Paulo: Ática, 2000.

APÊNDICES57

58Apêndice 1 – Questionário nº_____Questionário aplicado aos professores da EEB Princesa Isabel – Morro da FumaçaSC. Os dados serão tabulados (por nº do quationário) e serão sigilosos, podendo sercitado somente se houver AUTORIZAÇÂO.1) Nome:Autorização do uso do Nome: Autorizo Sim ( ), Não ( )Ass:______________________2)Formação Universitária:Graduação: CursoAno Conclusão:Pós GraduaçãoAno Conclusão:MestradoAno Conclusão:DoutoradoAno Conclusão:3)Quanto tempo está no magistério?De 0 a 3 anos De 4 a 10 anos Mais de 10 anos4)Quanto tempo leciona no Ensino de Matemática?De 0 a 3 anos De 4 a 10 anos Mais de 10 anos5)Quanto tempo trabalha no Ensino Médio?De 0 a 3 anos De 4 a 10 anos Mais de 10 anos

6) Questionário do livro “Os logaritmos na cultura Escolar Brasileira, de M. A.Miorim, e A. Miguel, da série Textos de História da Matemática, SBHMAT 2002.Dos seguinte itens, assinale aqueles que você acredita ter alguma relação comLogaritmos:Nº Item Sim Não01 Índice pluviométrico anual médio de uma região02 Determinação do volume de um cone03 Crescimento de bactérias04 Representação gráfica de funções05 Eletrocardiograma06 Potenciação07 Intensidade sonora08 Resfriamento de um corpo09 Função exponencial10 Movimento retilíneo uniformemente variado11 Simplificação de cálculos aritméticos trabalhosos12 Juros compostos13 Comprimento de um arco de parábola14 Área de uma faixa sob uma hipérbole15 Cartografia16 Taboas trigonométricas17 Jogos de azar18 Sons emitidos pelas teclas de um piano19 Progressões aritméticas e geométricas20 Movimento circular uniforme21 Luminosidade de estrelas22 Energia cinética de um corpo23 Ph de uma solução química24 Luminosidade de uma lâmpada elétrica25 Desintegração radioativa26 Linearização de curvas27 Intensidade de Terremotos59

6028 Calculo de crescimentos da população humana deregiões29 Taxas anuais de inflação30 Réguas de cálculos7)Você faz mediação dos conteúdos matemáticos da 7ª operação matemáticaconhecida como logaritmação?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________8) Historicamente os logaritmos foram usados primeiro como conceito aritmético,basicamente, com a verificação que duas seqüências, uma PA, e outra PG,correspondentes, o que facilitava os cálculos aritméticos. Hoje com os recursos decalculadoras eletrônicas e CPUs, há necessidade de seu ensino, por que?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________9) Após século XVIII, com Newton, Leibtniz, Euler, entre outros, surgiu a funçãologarítmica, e muitos acontecimentos naturais só são explicados com o auxilio destafunção, com esta consideração, qual sua opinião sobre o ensino de logaritmos noensino Médio?______________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6110) Quando deve ser iniciado o ensino aprendizagem destes conteúdos, e suaspremissas?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________11)Que conteúdos você considera importante para que os discentes tenhamentendimentos básicos sobre logaritmos?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________12)Qual a importância que você dá a função logarítmica?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6213)Como você faz para contextualizar estes conceitos?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________14)A proposta curricular de Santa Catarina diz: “....Educação Matemática entendidacomo uma postura político-ideológica de quem se propõe a ensinar Matemática, oque implica na compreensão de que todos de que tem o direito de se apropriar doconhecimento matemático sistematizado e de que é dever da Escola a suasocialização” (p. 106). Comente a respeito dessa colocação.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________15)Em outro trecho diz“Este trabalho deve se dar estreitamente articulado aoestudo lógico-histórico dos sistemas de numeração, focalizando sobretudo o sistemadecimal, bem como a exploração dos conceitos, e seus respectivos significadossócios-culturais e científicos, de adição, subtração, multiplicação, divisão,potenciação, radiciação, e da logarítmação” (p.110).Comente a respeito desta colocação._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6316)O que pode ser feito para facilitar o ensino-aprendizagem dos conceitos delogarítmos?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________17)Como os alunos recebem estes conhecimentos? De suas opiniões antes edepois do contato inicial, e após todas mediações.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________18)Comentário Final:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6419) Por favor, fique à vontade e escreva qual sua opinião sobre este trabalho?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________