Escoamento de Gases

Condutância de orifício no regime molecular de escoamentoConsideremos dois recipientes com pressões P 1 > P 2 interligados por um orifício de paredesfinas de área A, como ilustrado na Fig. 2.4.P 1 P 2Q 21QQ 12Fig. 2.4: Fluxo através de um orifícioEstabelece-se um escoamento do recipiente 1 para o recipiente 2 porque existe uma diferença depressão P 1 – P 2 entre os dois lados do orifício, e, se P 1 e P 2 são constantes, a diferença de pressãotambém o é, e o escoamento é estacionário. Para calcular o escoamento, vamos levar emconsideração que o fluxo de moléculas do lado 1 para o 2 é dado por (ver eq. 11, Cap. 1)Q 12 k T 1 A 1 4 k T n 1v A , enquanto o fluxo reverso é dado porQ 21k T 2A 1 4 k T n 2 v A . O fluxo líquido Q é dado pela diferença destes dois fluxos, ouseja, QQ 12Q 21 1 4 k T v A n 1n 2 (19). Utilizando a equação de estado dos gases ideais,temos que n 1 P 1kT , n 2 P 2kT , e portanto, Q 1 4 v A P 1 P 2 (20). Ou seja, a condutânciado orifício será dada por C QP 1 P 2 1 4 v A(21). Utilizando a expressão da velocidademédia (eq. 5, Cap. 1), essa condutância pode ser escrita: C QP 1 P 2k T2 m A (22).Substituindo os valores numéricos para o ar, obtemos C 3,64TM AM em gramas e A em cm 2 e C em litro/s. Para o ar a 20 o C, temos a fórmula prática(24), com A em cm 2 e C em litros/s.(23), com T em Kelvin,C 11,8 ACondutância de tubo no regime molecularVamos considerar inicialmente tubos longos. A condutância é obtida de considerações sobrea transferência de momentum do gás para as paredes do tubo e de forças que atuam no gás devido a6

diferenças de pressão (ver Roth), seguindo argumentos de Knudsen. O resultado para a condutânciade tubo de secção cilíndrica com diâmetro D e comprimento L grande comparado com D é dadapor:C m 83 2 k TmD 3Lexpressão como C m 3,81(25), com m a massa da molécula. Para o ar podemos colocar estaTMD 3L(26), com T em Kelvin, M em gramas, D e L em cm e C mem litros/s. Para T = 20 o C, esta expressão torna-se C m12,1 D 3(27), que é uma fórmulaLprática para o cálculo de condutâncias de tubos cilíndricos longos no regime molecular.No caso de tubos curtos é necessário introduzir uma correção para dar conta do efeito doorifício na ligação do tubo com a câmara (Roth), e a expressão para a condutância de tubos curtosficaC m,curtoC m1 43DL(28). Se o tubo é longo, ou seja, se D P 2 ligados por umorifício de paredes finas de área A, e com os valores de pressão tais que o livre caminho médio émuito menor que as dimensões dos recipientes, ou seja, o escoamento será no regime viscoso. Nestasituação, a vazão de massa é dada por (Lewin):Q 2 R TM 1r 11 r P 1A (29), com r P 2,P 1 c pc v. Como C QP 1 P 2, a7

condutância o orifício fica: C 9,3111 r r 2 T 11 r A (30), onde se colocou R =M 162,36 torr.litro/K. Para o ar a 20 o C, γ = 1,44 e M = 29 g, e a eq. 30 pode ser escrita comoC 76,61 r r 0,712 1 r 0,286 A (31). Esta equação é válida para r ≥ 0,52. Para r ≤ 0,52, vale aexpressão C 20 A1 r(32), e no caso especial em que r ≤ 0,1 esta expressão se reduz aC 20 A (33). É preciso notar que a condutância do orifício é função das pressões em ambos oslados, e somente fica independente das pressões no limite r ≤ 0,1.Condutância de um tubo de secção circular no regime viscosoA condutância de um tubo de secção circular no regime viscoso será dada pela equação dePoiseuille, que é válida para escoamento lamelar e fluidos incompressíveis. Para o caso de gases,esta aproximação será suficiente desde que seja obedecida a condição Q 10312 D 2 P v s, emque v s é a velocidade do som em cm/s, D é o diâmetro em cm e P é a pressão em torr. A condutânciade um tubo longo será dada porC v 128D 4 L P(33). Nesta equação D é o diâmetro, L ocomprimento do tubo, P é a pressão média do gás no tubo e η é a viscosidade do gás. Uma formaprática desta equação é:C v 3,2710 2 D 4 L P (34), para a qual C é em litro/s, D e L em cm, P em torr e η em poise.Para o caso de um tubo curto, a expressão da condutância deve ser corrigida, ficandoLC v 3,2710 2 D 411 7,3110 4 M Q (35). T LPO tubo será considerado longo quando 7,3110 4 M Q 1 , caso em que as equações 34 e 35 T Lsão aproximadamente iguais. A Tabela 2.I dá a viscosidade de diversos gases a 20 o C, e faz acomparação com a viscosidade do nitrogênio.8

Tabela 2.I: Viscosidade de alguns gases a 20 o CGás η (µpoise) C gas /C NN 2 175 1O 2 203 0,86Ar 182 0,96H 2 88 2He 196 0,89Argônio 222 0,79CO 2 147 1,2H 2 O 94 1,9Hg 235 0,75Condutância de tubos longos no regime intermediárioKnudsen colocou a seguinte relação entre a condutância no regime intermediário e ascondutâncias nos regimes viscoso e molecular:C K C v Z C m (36), para a qual C v e C m são dadas pelas equações 34 e 25, respectivamente, e oparâmetro Z é dado por11,25 D Z 11,55 D (37), com o livre caminho médio correspondente àpressão média. A equação 36 vale em todos os regimes de escoamento. No regime viscoso,DD 1 , e o valor de Z é ≈ 0,8. No regime molecular, 1 , e o valor de Z é ≈ 1. Ou seja, 0,8 Z 1 . A equação 36 pode ser escrita na forma C K C m C ZvC mequações 25 e 34 para o parênteses, obtemosC K C m 0,074 D Z que no regime molecular C K ≈ C m . Re-escrevendo a equação 36 na forma. Utilizando as(38), de onde se concluiC K C v 1 Z C mC vpodemos concluir, por um procedimento análogo ao usado para a equação 38, que no regimeviscoso C K ≈ C v .As expressões acima colocadas permitem-nos calcular a condutância de orifícios e tubos desecção circular em todos os regimes de escoamento, com fórmulas práticas para o caso do ar. Noentanto, outras geometrias de tubos, e também outros elementos de vácuo podem ser calculados.Estes cálculos, mais complexos, estão fora do escopo desta apostila. O leitor interessado poderáconsultar os livros de Roth e de Wutz para estes outros cálculos de condutâncias.9