Matemática

MATEMÁTICA
3

Coordenação editorial: Estúdio Conejo, Zênite.
Preparação de texto: Zênite, Wildeberg Fernandes, Carlos César Xavier.
Coordenação de design e projetos visuais: Pedro Yañez.
Revisão: Geisa Teixeira.
Impressão: Gráfica Brasil.
Organizador: Estúdio Conejo
Obra coletiva concebida, desenvolvida
e produzida pelo estúdio Conejo, Zênite.
Editor Executivo:
Pedro Yañez.
Livro dos professores:
WILDEBERG FERNANDES
CARLOS CÉSAR XAVIER
4

Este livro foi realizado com a intenção de ajudar os leitores no estudo
da matemática e é uma ferramenta indispensável para a pessoa que pretende
aprofundar na matéria. Trata-se de um manual de consulta rápida,
envolvendo uma revisão do ensino fundamental e assuntos do ensino
médio .
Neste manual coloquei sugestões a respeito da forma de resolver alguns
dos problemas apresentados como exercícios propostos . Os exercícios
escolhidos são , segundo meu ponto de vista , aqueles mais práticos e
interessantes para o entendimento do leitor em cada assunto proposto
. Procurei também colocar uma linguagem clara que facilita o entendimento
dos conceitos e que contribui para a resolução das questões .
Espero que esta obra seja um guia valioso e agradável em seu estudo de
Matemática e consiga contribuir para enriquecer o seu conhecimento
na matéria .
Bom estudo!
;)
5

SUMÁRIO
MATEMÁTICA BÁSICA ...........................................................
CONJUNTO ...............................................................................
PLANO CARTESIANO .............................................................
FUNÇÃO ....................................................................................
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1 º GRAU ...................................
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ...................................
FUNÇÃO EXPONENCIAL ........................................................
LOGARÍTMO ............................................................................
FUNÇÃO MODULAR ...............................................................
SUCESSÃO ................................................................................
PROGRESSÃO ARITMÉTICA .................................................
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA ................................................
ANÁLISE COMBINATÓRIA .....................................................
BINÔMIO DE NEWTON ..........................................................
MATEMÁTICA FINANCEIRA .................................................
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA .....................................................
GEOMETRIA PLANA ...............................................................
GEOMETRIA ESPACIAL ..........................................................
GEOMETRIA ANALÍTICA .......................................................
MATRIZES .................................................................................
DETERMINANTES ...................................................................
SISTEMAS LINEARES ..............................................................
TRIGONOMETRIA ...................................................................
NÚMEROS COMPLEXOS .........................................................
POLINÔMIOS ...........................................................................
9
47
63
65
77
88
100
109
128
136
140
147
154
187
209
242
261
322
356
381
389
397
410
434
447
7

MATEMÁTICA BÁSICA
I - NÚMEROS PRIMOS
Qualquer número natural não nulo é divisível pelo número 1(unidade) e por si próprio. Quando um número natural
admitir apenas dois divisores distintos (ele próprio e a unidade ) , será , então , denominado número primo.
I. 1 - Decomposição em fatores primos:
Um número composto qualquer pode ser decomposto em fatores primos, utilizando-se para tanto, as divisões sucessivas.
Ex 1 : 42 2 Logo: 42 = 2 . 3 . 7
21 3
7 7
1
I. 2 - Divisores positivos de um número:
Através da decomposição de um número natural em fatores primos, é possível determinar todos os seus divisores positivos.
Ex 2 : Decompor o nº 120 Divisores pos. do nº 120
1
120 2 120 2 2
60 2 60 2 4
30 2 30 2 8
15 3 15 3 3,6,12,24
5 5 5 5 5,10,20,40,
1 1 15,30,60,120
D(120) = { 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120 }
I. 3 - Quantidade de divisores positivos:
É possível determinar o número total de divisores de um número natural. Isso é feito a partir dos expoentes dos fatores
primos de um número.
Ex 3 : Determinar o número de divisores pos. de 120 .
120 2 Logo : 120 = 2 3 . 3 1 . 5 1
60 2 n = (3+1) . (1+1) . (1+1)
30 2 n = 4 . 2 . 2
15 3 n = 16 divisores positivos
5 5
1
Se Liga: Se x é divisor de um número, então x é um número inteiro não nulo .
Ex 4 : D (6) = { 1, 2, 3, 6}
9

EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (Olimpíada Goiana) Suponha que um número natural n seja fatorado do seguinte modo: n = 2 2 . 3 2 . 5 3 . 7. Quantos
divisores positivos possui o número n?
I. 4 - Números Primos entre si.
Dois números são primos entre si, se o único divisor comum for a unidade (unidade 1).
Ex 5 : 8 e 9
I. 5 - Máximo Divisor Comum (M.D.C.).
O máximo divisor comum entre dois números naturais é obtido a partir da intersecção dos divisores dos números.
EXERCÍCIOS DE SALA:
2. O m.d.c. dos números 144, 192 e 216 é:
a) 12
b) 24
c) 28
d) 30
e) 32
I. 6 - Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C):
Obter o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais consiste em determinar o menor elemento não nulo
da intersecção entre os conjuntos dos múltiplos desses números.
Ex 5 : Obter o m.m.c. entre os números 12 e 18 .
M(12) = { 0,12,24,36,48,60,72,84,... }
M(18) = { 0,18,36,54,72,... }
M(12)M(18) = { 0,36,72,108,... } = M(36)
Se liga 1 : É possível determinar o m.m.c. entre números naturais a partir da decomposição simultânea em fatores primos;
Se liga 2 : O m.m.c. será o produto de todos os fatores primos, considerado uma única vez e de maior expoente;
Se liga 3 : O m.m.c. entre dois números é igual ao produto destes dois números divididos pelo seu m.d.c.
( )
( )
10

EXERCÍCIOS DE SALA:
3. Se x, y e z são números naturais em que m.m.c(z, y, x) = 10 e m.d.c(z, y, x) = 10, então:
a) x = y = z
b) x + y + z = 20
c) x + y + z = 10
d) x · y · z = 20
e) x · y · z = 100
4. (Funcab-2012) Sendo D o Maior Divisor Comum entre os números 525 e 1120, e M o Mínimo Múltiplo Comum entre
eles, determine o valor de M – 250.D.
a) 8050
b) 8750
c) 16000
d) 16835
e) 16765
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. (CESPE-2011) O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de
mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de
modo que tenham a maior dimensão possível.
Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir:
a) mais de 30 cm.
b) menos de 15 cm.
c) mais de 15 cm e menos de 20 cm.
d) mais de 20 cm e menos de 25 cm.
e) mais de 25 cm e menos de 30 cm.
2. (VUNESP-2014) No estoque de uma papelaria, há uma caixa com várias borrachas iguais e, para facilitar as vendas, o
dono dessa papelaria decidiu fazer pacotinhos, todos com a mesma quantidade de borrachas. Ao fazer isso, notou que era
possível colocar 3 ou 4 ou 5 borrachas em cada pacotinho e, assim, não sobraria borracha alguma na caixa. O menor
número de borrachas que essa caixa poderia conter era:
a) 80.
b) 65.
c) 60.
d) 70.
e) 75.
11

3. (SAP-2013) Uma pizzaria funciona todos os dias da semana e sempre tem promoções para seus clientes. A cada 4 dias, o
cliente tem desconto na compra da pizza de calabresa; a cada 3 dias, na compra de duas pizzas, ganha uma mini pizza doce,
e uma vez por semana tem a promoção de refrigerantes. Se hoje estão às três promoções vigentes, esse ocorrido voltará a
acontecer daqui a quantas semanas?
a) 40.
b) 12.
c) 84.
d) 22.
e) 7.
4. Se x e y são números naturais em que m.m.c(y, x) = 115 e m.d.c(y, x) = 214, podemos dizer que o resto da divisão de xy
por 107 é:
a) é divisível por 2
b) é divisível por 11
c) é divisível por 1.568
d) é divisível por 11.280
e) todas as alternativas anteriores
5. (UESB) Um paciente deve tomar três medicamentos distintos, em intervalos de 2h, 2:30h e 3:20h respectivamente. Se
esse paciente tomou os três medicamentos juntos às 7h, então deverá voltar a tomar os três, ao mesmo tempo às:
a) 10:00h
b) 12:50h
c) 15:00h
d) 16:30h
e) 17:00h
6. (UEFS) Para uma campanha eleitoral gratuita na TV, estabeleceu-se que o número de aparições diárias não seria
necessariamente igual para todos os partidos, porém o tempo de aparição de todos eles seria o mesmo e o maior possível. Sabendo
que os partidos A, B e C tiveram direito, diariamente, a 80s, 140s e 220s, respectivamente, pode-se afirmar que a soma do número
total de aparições diárias desses partidos, na TV, foi de:
a) 15 vezes
b) 18 vezes
c) 20 vezes
d) 22 vezes
e) 25 vezes
12

7. (UEFS) O vencedor de uma prova de atletismo dava uma volta completa na pista em 50 segundos, enquanto o segundo
colocado levava 1 min para completar uma volta. Quando o vencedor completou as 30 voltas da competição, o vicecampeão
havia completado apenas:
a) 24 voltas
b) 25 voltas
c) 26 voltas
d) 27 voltas
e) 28 voltas
8. (UESB) Um comerciante possui dois rolos de fios que têm 60 m e 72 m de comprimentos. Pretende cortar todo o fio dos
dois rolos e formar novos rolos, todos com a mesma metragem de fio. O menor número de rolos que ele poderá obter é:
a) 6
b) 7
c) 11
d) 13
e) 16
GABARITO:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 * A C B E E D B C
13

II - FRAÇÕES:
a
Dados os números a N e b N*, chamamos de Fração a todo número sob a forma x , onde a é chamado
b
antecedente e b chamado de consequente.
II. 1 - TIPOS DE FRAÇÕES:
a) Equivalente: São frações obtidas a partir da multiplicação simultânea do numerador e do denominador por um mesmo
número inteiro.
1 2 6 10 13 40
Ex 1 : ...
2 4 12 20 26 80
b) Fração Própria : É a fração que possui numerador menor que o denominador.
2 10 4 1
Ex 2 : , , , , ...
3 13 5 50
c) Fração Imprópria : É a fração que possui o numerador maior que o denominador.
3 13 5
Ex 3 : , , ,50, ...
2 10 4
II. 2 - NÚMERO MISTO:
É o número obtido a partir de uma fração imprópria.
18 2 . 7 4 4
4
Ex 4 : 2 , ou seja 2
7 7 7
7
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Calcule as expressões:
a)
b)
14

2. Do dinheiro que possuía, João gastou 1/3 com um ingresso de cinema. Do dinheiro que restou, João gastou 1/4
comprando pipoca. Que fração do dinheiro total que João possuía foi gasta com a pipoca? Que fração do dinheiro sobrou
depois desses gastos?
3. A expressão representa um número compreendido entre:
a) 2 e 3
b) 3 e 4
c) 4 e 5
d) 5 e 6
e) n.d.a .
1 19 2 1
. 3
2 7
4 6
II. 3 - Dízima Periódica:
São números que possuem infinitas casas decimais com um mesmo número que se repete num período. Toda dízima
periódica representa sempre uma fração. Para transforma-la em fração seguem-se os passos abaixo:
1º passo: Destacar a parte que repete.
2º passo: Separar, em forma de soma, a parte inteira da parte decimal, se possível.
3º passo: Transformar, em fração, a parte decimal da seguinte maneira:
Colocar no antecessor da fração toda parte decimal subtraído, quando possível, do número que não repete.
Colocar no consequente da fração um número formado por vários algarismos nove (9) orrespondente a quantidade
de algarismos da parte que repete e, quando possível, completa-lo com vários algarismos zero (0) correspondente a
quantidade de algarismos da parte que não repete.
4º passo: Resolver a soma e simplifica-la, quando possível, a fração.
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Obtenha a fração geratriz de cada dízima :
a) 0,333...
b) 0,2121...
c) 1,222...
d) 3,2566...
e) 2,2111...
f) 1,15757...
15

2. Considere a expressão efetuando as operações, obtemos :
a) 9 / 10
b) 2
c) 19 / 10
d) 15 / 9
e) 1
1 1
0,999...
5 3
3 1
5 15
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. (UNEB) Hoje, as idades de X, de seu pai, P, e de seu avô, A, somam 111 anos. Sabe-se que X tem a quarta parte da
idade de A, que, por sua vez, tem 3
5 da idade de P. Nessas condições, pode-se afirmar que X completará 22 anos daqui a:
a) 6 anos.
b) 7 anos.
c) 8 anos.
d) 9 anos.
e) 10 anos.
2. (FGV-2013) Três piratas acharam um tesouro em uma ilha, mas como já era noite e eles estavam cansados, resolveram
pernoitar em uma cabana e, após fazer uma avaliação do tesouro encontrado, dividi-lo igualmente na manhã seguinte. Os
três piratas eram “honestos”, mas nenhum deles confiava nos outros dois. Assim, durante a noite, em momentos diferentes
e sem perceber as ações dos outros dois, cada um deles se levantou, fez uma avaliação do tesouro que encontrou naquele
momento, pegou 3. 1 do que havia e deixou a ilha. Após a saída dos três piratas, uma fração do tesouro original ficou
abandonada na ilha. A fração do tesouro abandonada na ilha foi:
a)
b)
c)
d)
e)
16

3. (UFOP MG/2009/Julho). O valor simplificado da expressão
a) 1,7
b) 2
c) –3,025
d) –4
4
3,4
5
4 32
0,0048: ( 0,1999...)
é:
5
7
4. (CONSULTEC) Efetuando-se 2 30 x 2 , obtém-se :
10 8
a) – 7/10
b) – 13/20
c) – 7/20
d) – 13/40
e) 1/40
5. (CONSULTEC) Uma pessoa para revelar a sua idade, comparou-a com a de um garoto de 16 anos, afirmando o seguinte:
“Quando eu viver mais um sexto do que até agora vivi , se eu dividir minha vida por três , obterei a sua idade atual mais
a dízima periódica 0,333... ”. Com base nessa informação, pode-se concluir que a idade, em anos dessa pessoa é igual:
a) 30
b) 42
c) 48
d) 49
e) 54
GABARITO:
* 0 1 2 3 4 5
0 * 02 D B C C
17

III. Produtos Notáveis.
III. 1 Quadrado da soma:
( )
III. 2 Quadrado da diferença:
( )
III. 3 Produto da soma pela diferença:
( )( )
III. 4 Cubo da soma:
( )
III. 5 Cubo da diferença:
( )
Se liga: ( )
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Se x + y =3 e x.y = 7, então x² + y² é igual a :
a) 3
b) -5
c) -3
d) 5
e) 9
x x
x
2. (MAUÁ) Se 2 2 a , dar o valor de 8 8
x
.
18

3. (IBMEC) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual:
a) à diferença dos quadrados dos dois números.
b) à soma dos quadrados dos dois números.
c) à diferença dos dois números.
d) ao dobro do produto dos números.
e) ao quádruplo do produto dos números.
4. (Pucmg) A diferença entre os quadrados de dois números ímpares, positivos e consecutivos é 40. Esses números
pertencem ao intervalo:
a) [3, 9]
b) [4, 10]
c) [8, 14]
d) [10, 15]
e) [11, 14]
5. (Ufmg) A diferença dos cubos de dois números naturais consecutivos é 91. Esses números pertencem a:
a)
b)
c)
d)
19

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. (Ufba) Na questão a seguir escreva nos parênteses a soma dos itens corretos.Sendo m = x + 1, n = x 2 - x, p = x 2 - 1, podese
afirmar:
(01) m 2 = n . p
(02) m + n = p
(04) Se x 1 e x -1, então
(08) Se x = 1/2, então o valor numérico de m.n é 1/8.
(16) O grau da expressão m.n.p é um número inteiro, pertencente ao intervalo [0,7].
2. (Fatec) Efetuando-se (579865) 2 - (579863) 2 , obtém-se
a) 4
b) 2 319 456
c) 2 319 448
d) 2 086 246
e) 1 159 728
3. (Fatec) A sentença verdadeira para quaisquer números a e b reais é:
a) (a - b) 3 = a 3 – b 3
b) (a + b) 2 = a 2 + b 2
c) (a + b) (a - b) = a 2 + b 2
d) (a - b) (a 2 + ab + b 2 ) = a 3 – b 3
e) a 3 - 3ª 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a + b) 3
4. (FGV) Seja N o resultado da operação 375 2 -374 2 . A soma dos algarismos de N é:
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
20

5. (Unesp) Por hipótese, considere
Multiplique ambos os membros por a
a = b
A 2 = ab
Subtraia de ambos os membros b 2 a 2 – b 2 = ab – b 2
Fatore os termos de ambos os membros
Simplifique os fatores comuns
Use a hipótese que a = b
Simplifique a equação e obtenha
(a + b)(a - b) = b(a - b)
(a + b) = b
2b = b
2 = 1
A explicação para isto é:
a) a álgebra moderna quando aplicada à teoria dos conjuntos prevê tal resultado.
b) a hipótese não pode ser feita, pois como 2 = 1, a deveria ser (b + 1).
c) na simplificação dos fatores comuns ocorreu divisão por zero, gerando o absurdo.
d) na fatoração, faltou um termo igual a -2ab no membro esquerdo.
e) na fatoração, faltou um termo igual a +2ab no membro esquerdo.
GABARITO:
* 0 1 2 3 4 5
0 * 16 B D C C
21

IV. Fatoração:
A fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um produto de diversos fatores.
Vejamos alguns exemplos:
1. 2x + 2y = 2(x + y)
2. xy + xw + zy + zw = x(y + w) + z(y + w) = (x + z)(y + w)
3. x 2 – 5 2 = ( x + 5)(x – 5)
4. (a + b)(a 2 –ab + b 2 ) = a 3 + b 3
5. (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 - b 3
6. ax 2 + bx + c = a(x – x 1 )(x – x 2 )
EXERCICIO DE SALA:
1. (Puccamp) Considere as sentenças a seguir:
I. (3x - 2y) 2 = 9x 2 - 4y 2
II. 5xy + 15xm + 3zy + 9zm = (5x + 3z). (y + 3m)
III. 81x 6 – 49a 9 = (9x 3 – 7a 4 ) . (9x 3 + 7a 4 )
a) I é verdadeira.
b) II é verdadeira.
c) III é verdadeira.
d) I e II são verdadeiras.
e) II e III são verdadeiras.
2. (Fatec) A expressão
, para , é equivalente a:
a)
b)
c)
d)
e)
3. (Ufes) O número N = 2002 2 × 2000 - 2000 × 1998 2 é igual a:
a) 2 × 10 6
b) 4 × 10 6
c) 8 × 10 6
d) 16 × 10 6
e) 32 × 10 6
22

4. (Puc-rio) O produto (x+1)(x 2 - x +1) é igual a:
a) x 3 -1
b) x 3 + 3x 2 - 3x + 1
c) x 3 + 1
d) x 3 - 3x 2 + 3x - 1
e) x 2 + 2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. (UESB-05) A expressão algébrica
a) x
x
b) x 3
c) x + 3
d) x – 3
6x 12
x 9
2
2
x x 6 x 6x 9
2
com x –3, e x 2, é equivalente a:
e)
2. (VUNESP) O valor da expressão
4x
8 3x
3
2
2
x 3x
2 x 1
, para x 1
e x 2
, é equivalente a:
4 4
x y
x y xy
3. (MACK) O valor de
3 2 2 3
a) 215
b) 223
c) 1
d) –1
e) 214
x
y
para x = 111 e y = 112 é:
23

4. (FATEC) simplificando-se a expressão
m.n 0, obtém-se :
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
5(
m n)
e)
3mn
m n
m n m n
n m
m n m n
m
1
n
m
n
1
4mn
n
. 1
m
, com m R, nR, m n
e
2
5. (PUC-SP) Simplificar a expressão
2
x
2
2x
x
2
1
x
2
x
3
x
2
6. (UNIFOR CE/) O número real
3 2 2
3x 3x 6x x 4x 4
y é equivalente a:
2
2
x 4 x 2x
a)
3 2
3x 2x 4
x.(x 2)
b)
3 2
3x 2x 4x 4
x.(x 2)
3x
6x 21
c)
4
d)
3x
2 2x 2
2.(x 1)
3x
2 2x 4
e) 2x
24

7. (UFC CE/2009/Janeiro) O expoente do número 3 na decomposição por fatores primos positivos do número natural 10 63
– 10 61 é igual a:
a) 6.
b) 5.
c) 4.
d) 3.
e) 2.
8. (UEPB) Os sinais das operações aritméticas são hoje de fácil identificação e aplicação graças ao grande mestre alemão
Michael Stifel (1487-1567) que no início do século XVI começou a empregar os símbolos + e como sinais das operações
3 3
a b
usadas atualmente. A fração
, quando a 193 e b 192, é igual a:
2 2
a ab b
a) 0
b) 193 2 – 192 2
c) 1
d) 101
e) 385
GABARITO
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 * 01 C B D x²-3x+2 B E B
25

VI. POTENCIAÇÃO:
A potenciação ou exponenciação é a operação de elevar um número ou expressão a uma dada potência.
VI.1 Potências de Base Real com Expoente Inteiro.
Nestas condições há quatro situações em particular que iremos tratar. A saber, quando o expoente é maior que um, quando
é igual a um, quando é igual a zero e quando é negativo.
VI. 1.1 Expoente é maior que 1.
De forma geral:
b n = b......b, isto é multiplicação de n fatores igual a b.
Ex.:
2 3 = 2.2.2 = 8
3 4 = 3.3.3.3 = 81
VI.1.2 Expoente é igual a 1
Todo número elevado a 1 é igual ao próprio número:
Ex.:
5 1 = 5
12 1 = 12
b 1 = b
VI1.3 Expoente igual 0
Todo número, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1:
Ex.:
4 0 = 1
15 0 = 1
b 0 = 1
VI1. 4 Expoente Negativo
Qualquer número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso deste número elevado ao oposto do
expoente:
Ex.:
VI. 2 Propriedades das Potências de Base Real
Multiplicação de Potências de Mesma Base.
Ex.: 3 4 . 3 5 = 3 4+5 = 3 9
VI2.1 Divisão de Potências de Mesma Base
26
Ex.:

VI. 3 Potência de um Produto
A potência do produto de dois ou mais fatores é igual ao produto de cada um destes fatores elevados ao expoente em
questão:
( )
mEx.:
( )
VI. 4 Potência de um Quociente
Vamos proceder de forma semelhante ao que fizemos no caso da multiplicação, mas neste caso os divisores não podem ser
iguais a zero:
( )
Ex.: ( )
VI. 5 Potência de um Expoente Fracionário
Transformamos uma potência com expoente fracionário em um radical:
Ex.:
VI. 5 Potência de uma Potência
Para uma base diferente de zero podemos expressar a seguinte igualdade:
Ex.: ( )
( )
Se liga: ( )
EXERCÍCIO DE SALA:
1. (Uel) Para todo x real, a expressão 3 x + 3 x + 1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 + 3 x + 4 + 3 X + 5 é equivalente a
a) 3 6x + 15
b) 5 . 3 x
c) 6 . 3 x
d) 243 x
e) 364 . 3 x
27

2. ( MACK)
3150
a)
17
b) 90
1530
c)
73
17
d)
3150
5
3
2
2
0
2 2
3
3
1 1
5 2
é igual a :
e) –90
13 16
2 2
3. (ESPM) Simplificando a expressão
15
a) 2
b) 1,5
c) 2,25
d) 2
e) 1
2
, obtemos
4. (UEFS) O valor numérico da expressão
a) –5,25
b) –4,75
c) –0,05
d) 0,45
e) 0,65
5
1
2
( 2)
3
é igual a:
5. (UESC) Considerando-se a expressão E =
a) –100
b) –10
c) 0,1
d) 10
e) 100
10
2
100
1
2
10
3
( 10)
1
, pode-se afirmar que E é igual a:
28

EXERCÍCIOS PRPOSTOS:
1. (UESC) Considerando-se a expressão M =
a) 14
b) 2
c) 0,5
d) –2
e) –14
2
2
0,25
2
1
2
3
2
2
, pode-se afirmar que M é:
33
2
2. (UFPE/2007) Simplificando 31 2
3
10
a) 2 7
b) 2 8
c) 2 9
d) 2 10
e) 2 11
obtemos:
3. (UEPB/2010) Seja n > 1 um número natural. O valor da expressão n
9
a) 9
b) 9 2n
c) 9 n
d) n 9
e) 1
72
2 n 22n
3
quando simplificada é:
4. (UEL PR/2011) Assinale a alternativa que indica corretamente entre quais números inteiros consecutivos está o valor da
expressão a seguir.
1
6
1
1,2 2
30 0,4
5
5 3,7
13
a) 1 e 2
b) 3 e 4
c) 5 e 6
d) 7 e 8
e) 9 e 11
29

5. (MACK SP/2006/Julho) A fração
a) 1
11
b)
6
c) 2
5
d)
2
7
e)
4
98 50 34
2 4 8
99 20 101
2 32 2
é igual a
6. Se A = e B = , então, para todo x real, o valor de A² – B² é :
a) 0
b) 1
c) – 1
d) − 2
e) 2
3
3
2
x x
3
x
3
2
x
2
1
1
3 2 0,111...
7. O VALOR numérico da expressão
18 é:
2
0,333... 4
2 2 3 27 16
1
a)
3
b) - 2
c) 1
d)
e) 3
1
9
2
8. Simplificando-se a expressão , obtém-se :
a)
b) 2
c) 4
2
2
d) 4
e) n.d.a.
1
2
4
1
2
30

9. Simplificando-se a expressão 9 . ( 8 0,5 + ) 1 , obtém-se :
a) 1,5
b) 0,5
c) 0,75
d) 0,4
e) n.d.a.
2
2
2
2
2
10. O valor da expressão 9 2,5 1024 0,1 é :
a) 83
b) 81
c) 241
d) 243
e) n.d.a.
GABARITO:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 * 01 D A B B B C A A C
31

VII. RADICIAÇÃO:
É a operação inversa da exponenciação.
VII. Raízes de Radicando Real com Índice Não Nulo
A raiz enésima de a é igual a x, se e somente se x elevado a enésima potência for igual a:
VII.1 Propriedades da Radiciação
As propriedades que vamos estudar são consideradas no conjunto dos números reais positivos ou nulos.
VII1 1.1 A Raiz de uma Potência é uma Potência com Expoente Fracionário
Asim como de uma potenciação podemos chegar a uma radiciação, desta podemos chegar a uma potenciação:
Ex.:
VII1.2 Mudança de Índice pela sua Multiplicação/Divisão e do Expoente do Radicando por um Mesmo número Não Nulo.
Se multiplicarmos ou dividirmos tanto o índice do radical, quanto o expoente do radicando por um mesmo número
diferente de zero, o valor do radical continuará o mesmo:
Ex.:
VII1.3 Raiz de uma Potência
A raiz n de uma potência de b elevado a m, é a potência m da raiz n de b:
Ex.:
VII1.4 Produto de Radicais de Mesmo Índice
O produto de dois radicais de mesmo índice é igual à raiz deste índice do produto dos dois radicandos:
Ex.:
VII1.5 Divisão de Radicais de Mesmo Índice
O quociente de dois radicais de mesmo índice é igual a raiz deste índice do quociente dos dois radicandos:
Ex.:
32

EXERCÍCIOS DE SALA:
33
2
1. (UFPE/2007) Simplificando 31 2
3
10
a) 2 7
b) 2 8
c) 2 9
d) 2 10
e) 2 11
obtemos:
2. (Cpcar- 2012) Considere os números reais
x 2,7
1
3
y
0,25 16
4
z
2
3 3 5 2 1
2 3
2
2 2 5
2
7
1
2
É FALSO afirmar que:
a) z
3
y 2
1
b) xy
5
c) xz
0
3. (CFTMG/2012) Simplificando a expressão
a) 12 x
b) 6 5
x .
c) 12 x 5 .
d) 6 x.
x
3
2
3 4
x
,
na qual
obtém-se
33

4. (Enem 2012) Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a relação entre medidas de diferentes partes do corpo
humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície corporal de uma pessoa relaciona-se com a sua massa m
2
pela fórmula A k
m 3 , em que k e uma constante positiva.
Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por quanto será
multiplicada a área da superfície corporal?
a) 3 16
b) 4
c) 24
d) 8
e) 64
5. (IFAL/ 2011) O número
N
1
1
32 10 7 32 10 7
é um decimal ilimitado periódico. Se N for escrito sob a
forma da fração irredutível a b então a b é igual a:
a) 11.
b) 12.
c) 13.
d) 14.
e) 15.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. (CFTMG/2011) Sendo
n
2
a)
3
n
b) 2
c) 4
d) 16
n4 n2 n1
2 2 2
A
n2 n1
2 2
1n
3
e B n , com n
N* , então, o valor de A+B é igual a
1n
3
34

2. (CFTMG/2010) Considerando as seguintes afirmações que envolvem propriedades de potenciação e radiciação
8
I) a a a a a,(a 0)
II) a b 2 ab a b, (a b 0)
2
III)( a b) ab,(a 0 eb 0)
IV) ab a b, (a 0 eb 0),
pode-se concluir que são corretos apenas os itens:
a) I e II.
b) I e IV.
c) II e III.
d) II e IV.
3. (MACK) O valor de 2 3. 18 é igual a :
a) 56
b) 108
c) 2 54
d) 6 6
2 1
3
e) 3
4. O número 18 8 2 é igual a :
a) 8
b) 4
c) 0
d) 10
e)
18
2
6
GABARITO:
* 0 1 2 3 4
0 * D D E C
35

VIII. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Racionalização de denominadores consiste em se obter uma fração equivalente com denominador racional, para
substituir uma outra com denominador irracional.
VIII.1 Quando o Denominador é uma Raiz Quadrada:
Então quando temos um radical de índice dois, podemos eliminá-lo multiplicando-o por ele mesmo.
Ex.:
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Racionalize os denominadores:
a)
b)
VII1.2 Quando o Denominador é uma Raiz Não Quadrada o fator racionalizante de um denominador
a .
é igual
Ex.:
2. Racionalize os denominadores:
a)
b)
VIII1.3 Quando o Denominador é uma Soma ou Diferença de Dois Quadrados o fator racionalizante de um
denominador será e vice-versa.
Ex.:
3. Racionalize os denominadores:
a)
b)
36

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. (FUVEST) O valor da expressão
3 1
3 1
3 1
3 1
é :
a) 2
b) 5
c) 1
d) 3
e) 4
2. (FUVEST)
2
5
3
2
3
2
a) 5 + 3 + 3 4
b) 5 + 3 - 3 2
c) 5 - 3 - 3 2
d) 5 + 3 - 3 4
e) 5 - 3 - 3 4
3. (UFCG PB/2009/1ª Fase) Sobre o número 3
20091009
2009
2 -1009
2
, é verdade afirmar que:
a) É um número irracional.
1
b) É um número menor do que . 100
c) É um número racional com infinitas casas decimais não nulas.
1
d) Vale . 10
e) É um número maior do que 30 2 .
37

4. (UEL PR/2011). Assinale a alternativa que indica corretamente entre quais números inteiros consecutivos está o valor da
expressão a seguir.
1
6
1
1,2 2
30 0,4
5
5 3,7
13
a) 1 e 2
b) 3 e 4
c) 5 e 6
d) 7 e 8
e) 9 e 11
5. (UFOP MG/2009/Julho). O valor simplificado da expressão
a) 1,7
b) 2
c) –3,025
d) –4
4
3,4
5
4 32
0,0048: ( 0,1999...)
é:
5
7
6. (ESPM SP/2011/Julho). O valor da expressão
2 1
2 1
2 1
2 1
é igual a:
a) 2 2
b) 2 2
c) 0
d) 4 2
e) 4 2
7. (PUC RJ/1996/Janeiro). Considere os números
a) a < b < c;
b) b < c < a;
c) c < a < b;
d) b < a < c;
e) a < c < b.
a
1 ,
2 1
b
2 e
3 2
c
3
. Então:
4 3
38

5
3
8. (CFTMG 2011) Se m e 1 1 1, então, o valor de n é
22 m n
a)
4
3
13
b) 2
3
c)
1
3
10
d)
4 3
13
2 3 3 2
9. (UESB) Sendo x =
3
6 , pode-se afirmar que x é um número:
a) inteiro negativo.
b) inteiro positivo.
c) racional não inteiro positivo.
d) racional não inteiro negativo.
e) irracional.
GABARITO:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 * E D D B B E E A 04 C
39

IX. EQUAÇÃO IRRACIONAL
É toda equação que tem variável no radicando.
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Resolva. Em R, as seguintes equações:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
X. EQUAÇÃO BIQUADRADAS
São polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x 4 , um termo em x 2 e um termo constante.
EXERCÍCIOS DE SALA:
4 2
1. (FACESP) O conjunto solução , no campo real, da equação z 13z
36 0 é :
a) S = {-3,-2,0,2,3}
b) S={-3,-2,2,3}
c) S= {-2,-3}
d) S={0,2,3}
e) S= {2,3}
40

2. (CESGRANRIO)O produto das raízes positivas d e
a) 2 3
b) 3 2
c) 4 3
d) 4 2
e) 2 3
4
x - 11x² + 18 = 0 vale:
3. (ANGLO) O produto das raízes da equação x 2 x 3 x 2 x
a) 2
b) -2
c) 3
d) -3
e) 8
3 2 3 2 0 , é:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. (FGV-2013) Juliano e Mário começaram recentemente suas coleções de selos. Se Juliano der 11 de seus selos para
Mário, a quantidade de selos de Mário passará a ser o triplo da quantidade de selos de Juliano. Por outro lado, se Mário der
14 de seus selos para Juliano, a quantidade de selos de Juliano passará a ser o dobro da quantidade de selos de
Mário. Juliano e Mário têm juntos:
a) 48 selos.
b) 56 selos.
c) 60 selos.
d) 72 selos.
e) 84 selos
41

2. (FGV-2012) João comprou em uma loja de roupas esportivas uma bermuda e duas camisetas iguais pagando por tudo
R$40,00. Sabese que a bermuda custou R$4,00 a mais do que uma camiseta. O preço de uma camiseta é:
a) R$6,00.
b) R$10,00.
c) R$12,00.
d) R$14,00.
e) R$16,00.
3. (FGV-2013) Fernando comprou uma luminária com a lâmpada incluída por R$ 62,00. A luminária sem a lâmpada custa
R$ 46,00 a mais do que o preço da lâmpada. O preço da lâmpada é:
a) R$ 4,00.
b) R$ 6,00.
c) R$ 8,00.
d) R$ 12,00.
e) R$ 16,00.
4. Um colecionador de cartões postais comprou vários exemplares de um cartão para presentear seus amigos, gastando 180
reais. Ganhou 3 cartões a mais de bonificação e com isso cada cartão ficou 3 reais mais barato. O número de cartões que ele
comprou foi:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
42

5. (UEFS-09.1) Na divisão das despesas da família, cabe ao Sr. X pagar, mensalmente, R$850,00 do aluguel do
apartamento em que a família reside e, à Sra. X, pagar, mensalmente, R$400,00 relativos à taxa do condomínio. Sabendo-se
que a renda mensal líquida do casal é igual a R$7820,00 e que, efetuando os pagamentos citados, restará, à Sra. X, 4/5 do
valor restante ao Sr. X, pode-se afirmar que a diferença entre as rendas do Sr. e da Sra. X, em reais, está entre
a) 700 e 800
b) 800 e 900
c) 900 e 1000
d) 1000 e 1100
e) 1100 e 1200
6. (UFG-GO) Todos os funcionários de uma empresa irão contribuir igualmente para fazer um bolão da ega Sena, cujo
valor é R$ 2.700,00. Na hora de recolher o dinheiro para fazer o bolão, dois funcionários da empresa desistiram de
participar e, com isso, a cota que cada participante deveria pagar sofreu um aumento de R$ 8,00, para manter o valor total
do bolão. Dessa forma, calcule o numero total de funcionários dessa empresa.
a) 27
b) 28
c) 29
d) 30
e) 31
7. (UNEB) Hoje, as idades de X, de seu pai, P, e de seu avô, A, somam 111 anos. Sabe-se que X tem a quarta parte da
idade de A, que, por sua vez, tem 3
5 da idade de P. Nessas condições, pode-se afirmar que X completará 22 anos daqui a:
1) 6 anos.
2) 7 anos.
3) 8 anos.
4) 9 anos.
5) 10 anos.
43

8. (UESB-07) Um cabeleireiro de um salão de beleza unissex recebeu por 17 cortes femininos e 14 masculinos R$860,00 e
por 15 cortes femininos e 20 masculinos R$950,00. Considerando-se m o preço do corte masculino e n o preço do corte
feminino, em reais, pode-se concluir que o valor de m + n é igual a:
1) 35
2) 40
3) 45
4) 50
5) 55
9. (UESB-06) Em uma empresa, 1, entre 3 funcionários ganha mensalmente 2 salários mínimos, 2, entre 5 funcionários,
ganham 4 salários mínimos e os demais funcionários ganham mensalmente 5 salários mínimos. Se essa empresa possui 45
funcionários, então o gasto com o pagamento mensal desses salários é igual, em salários mínimos, a:
1) 130
2) 162
3) 180
4) 212
5) 235
10. (UESB-2005) Para fazer uma viagem ao exterior, uma pessoa foi a uma instituição financeira comprar dólares. Nesse
dia, um dólar estava sendo colado a 0,85 euros e um real estava sendo cotado a 0,25 euros. Com base nesses dados, pode-se
afirmar que, para comprar 500 dólares, essa pessoa gastou, em reais:
1) 1700,00
2) 1640,00
3) 1520,00
4) 1450.00
5) 1360.00
44

11. Marcela precisava ler um livro de 350 páginas. No primeiro dia leu
10
3 do livro. No segundo dia leu
5
3 das páginas
restantes. O número de páginas que Marcela precisa ler para CONCLUIR a leitura é:
1) 105
2) 147
3) 98
4) 252
5) 45
12. (UNEB) Devido à ocorrência de casos de raiva, a Secretaria de Saúde de um município promoveu uma campanha de
vacinação de cães e gatos. Em um bairro desse município, foram vacinados, durante a campanha, 0,9 dos cães e 0,7 dos
gatos. Sabendo-se que, no total, foram vacinados 0,82 dos cães e gatos existentes no bairro, pode-se concluir que o número
de cães corresponde:
1) a um terço do número de gatos.
2) à metade do número de gatos.
3) a dois terços do número de gatos.
4) a três meios do número de gatos.
5) ao dobro do número de gatos.
13. (UESB-2008) Uma associação de moradores recebeu certa quantidade de alimentos para ser distribuída com as famílias
carentes da comunidade. Os produtos foram acomodados em 50 caixas, contendo 55 pacotes de 1kg de cada alimento:
arroz, feijão e textura de soja. Sabendo-se que cada caixa contém 3kg de feijão a mais que de textura de soja e 2k de feijão
a mais que de arroz, pode-se afirmar que a quantidade de arroz distribuída na comunidade foi igual, em
quilogramas, a:
1) 580
2) 850
3) 900
4) 1000
5) 2750
45

14. (UESC-2006) Cem maçãs foram distribuídas em 11 caixas e em alguns sacos, de modo que todas as caixas receberam a
mesma quantidade de maçãs, e o número de maçãs colocadas em cada saco foi igual ao dobro das maçãs colocadas em cada
caixa. Nesse caso, pode-se afirmar que o número de sacos pertence ao conjunto:
1) {4, 10, 13}
2) {5, 11, 14}
3) {5, 8, 11}
4) {6, 8, 12}
5) {7, 8, 13}
46
GABARITO:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 * C C C C E A 02 05 02 01 C 04 03 05

CONJUNTO
1. INTRODUÇÃO:
Como o próprio nome indica, conjunto dá uma idéia de coleção . Assim , toda coleção de objetos ,
ou coisas constitui um conjunto . Ou seja , conjunto é a reunião de n elementos .
Ex 1 : a) conjunto dos alunos;
b) conjunto das vogais;
c) conjunto dos números;
d) conjunto dos meses do ano,etc.
pessoas , animais
Seliga: Os conjuntos são representados por letras maiúsculas.
REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO:
Um conjunto pode ser representado por três maneiras, as quais enunciaremos a seguir.
Por Extensão (ou listagem). Enumerando-se seus elementos por chaves e separando-os por vírgulas. Ou seja, na forma
explícita.
Ex 2 : a) A = { a , e , i , o , u }
B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , ... }
Por Compreensão.
O conjunto será representado por meio de uma propriedade que caracteriza seus elementos. Ou seja, na forma implícita.
Ex 3 : a) A = { x / x é vogal }
B = { x N / x é ímpar }
Por Figuras.
Toda figura utilizada para representar um conjunto é chamada Diagrama de Venn.
Ex 4 :
TIPOS DE CONJUNTOS:
CONJUNTO VAZIO
É todo conjunto que não possui elementos.
Ex 1 : a) A = { } =
B = { x N / x < 0 }
3.2- CONJUNTO UNITÁRIO
É todo conjunto que possui um, e somente um, elemento.
Ex 2 : a) A = { 2 }
B = { x / x é primo e x é par }
C = { x N / x < 1 }
3.3- CONJUNTO FINITO
É todo conjunto que podemos contar ou classificar todos os seus elementos.
Ex 3 : a) A = { a , e , i , o , u }
B = { 1 , 4 , 7 , 10 , ... , 58 }
47

3.4- CONJUNTO INFINITO
É todo conjunto que não podemos nem contar e nem classificar todos os elementos.
Ex 4 : a) A = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . }
B = { x R / 1 < x < 3 }
SUBCONJUNTOS:
Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B se cada elemento do conjunto A é, for também, um
elemento do conjunto B.
Ex.: O conjunto B = { 5, 6 } é um subconjunto do conjunto A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 }, pois cada elemento pertencente ao
conjunto B também pertence ao conjunto A.
Se liga: O conjunto é subconjunto de qualquer outro conjunto .
CONJUNTO DAS PARTES:
Conjunto das partes é o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A, sendo indicado por P(A).
Ex 1 : Dado A = { 1 , 2 , 3 }, teremos :
P(A) = { ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} }
Se liga.: Se o conjunto A tem n elementos, então o conjunto das partes de A terá 2 n elementos. Ou seja:
n( P(A) ) = 2 n(A)
Ex 2 : Se A tem 3 elementos, então P(A) terá 2 3 = 8 elementos. Ou seja, A possui 8 subconjuntos.
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Dados A = { 0 , 2 , 4 } e B = { 2 , 3 }, calcule:
a) P(A)
b) P(B)
c) n( P(A))
2. (UEFS2) Um conjunto C contém n elementos distintos. Acrescentando-se um novo elemento a C, o número de
subconjuntos de C x C aumenta x vezes. O valor de x é:
a) 2
b) 2 n
c)
2 n+1
d)
2 2n
e) 2 2n+1
48

6. OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS:
6.1 INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS ( )
A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são comuns a A e a B, isto é, pelos
elementos que pertencem a A e também a B.
6. 2 UNIÃO DE CONJUNTOS ( )
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou pertencem a B.
Se liga 2 : n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
Se liga 2 : Dois conjuntos são ditos disjuntos quando sua intersecção é vazio , ou seja A B =
6. 3 SUBTRAÇÃO DE CONJUNTOS ( – )
A diferença entre dois conjuntos A e B é um conjunto que possui os elementos de A e que não pertencem a B.
49

6. 4 DIFERENÇA SIMÉTRICA ( )
A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B é um conjunto que possui os elementos que pertencem somente a A ou
somente a B. Isto é:
A
B
( A B ) ( A
B )
( A B ) ( B A)
6.5 - COMPLEMENTAR
Se B A a diferença A – B denomina-se complementar de B em relação a A e indica-se:
A B ; quado B
A .
C B A
B
C A
Logo, não existe , pois B A .
Se liga 3 : Quando o complementar de A for em relação ao Universo , escrevemos da seguinte maneira :
C
A
A
C
A U A
50

EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Dados A = { 0 , 2 , 3 , 4 }, B = { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 } , C = { 0 , 3 } e U = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }, determine:
a) A B
b) B A
c) A ( B – C )
d) A – ( A B )
e) A B
C
f) C A
A
g) C B
h) A B
2. ((UEFS) A tabela expressa o número de cursos oferecidos, em uma faculdade, por turno:
Turno
n o de cursos
Matutino 10
Vespertino 9
Noturno 6
matutino e vespertino 5
matutino e noturno 4
vespertino e noturno 4
matutino, vespertino e noturno 3
Da análise da tabela, pode-se afirmar que essa instituição oferece um total de cursos é igual a:
a) 25
b) 22
c) 20
d) 15
e) 10
51

3. (UESB) Um teste composto por duas questões, valendo 1,0 ponto cada uma, foi corrigido por um professor que não
considerou questões parcialmente corretas, de modo que um aluno só poderia obter uma das três notas: zero, 1,0 ou 2,0.
Sabendo-se que:
• 20 alunos tiveram 1,0;
• 15 alunos tiveram 2,0;
• 30 alunos acertaram o segundo problema;
• 22 alunos erraram o primeiro problema.
Pode-se afirmar que o número.total de alunos que fizeram o teste foi igual a:
1) 35
2) 42
3) 50
4) 65
5) 72
4. (UESC) Analisando-se a parte hachurada representada no diagrama e as afirmações:
I. A B
C
II. A B
C
III. A B
C
IV. A B
C
U
A
B
C
Pode-se concluir que a alternativa correta é a:
1) I
2) III
3) IV
4) I e II
5) II e IV
52

7. CONJUNTOS NUMÉRICOS:
É todo conjunto que possui seus elementos constituídos por números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais
os chamados conjuntos numéricos fundamentais.
CONJUNTOS NUMÉRICOS FUNDAMENTAIS
7.1.1- NATURAIS ( N )
Número natural é todo conjunto que pode ser obtido através da contagem natural .
Ex 1 : N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . . . }
7.1.2- INTEIROS ( Z )
É o conjunto que compreende os naturais e seus opostos ( simétricos ).
Ex 2 : Z = { . . . , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . }
7.1.3- RACIONAIS ( Q )
É o conjunto de todos os números que podem ser escritos em forma de razão entre dois números inteiros, onde o
denominador é diferente de zero. Ou seja , Q = { x = p / q / p Z e q Z* } .
Ex 3 : Q = { 2 / 3 ; 0,333... ; –2 ; –1,52323... }
Obs.: ( * ) exclui o zero , ( + ) exclui os números negativos e ( ) exclui os números positivos .
Ex 4 : Z + = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . } = N
7.1.4- IRRACIONAIS ( Q’ )
É o conjunto dos elementos que não podem ser colocados na forma de fração .
Ex 5 : Q’ = { 2 + 3 ; ; 2 ; . . . }
7.1.5- REAIS ( R )
É a reunião entre os números irracionais ou racionais .
Ex 6 : R = Q Q’
7. 1.6- IMAGINÁRIOS ( I )
É o conjunto formado por todos os números que não são reais, ou seja, todo número negativo dentro de uma raiz de índice
par; logo: “ ” .
7.1.7- COMPLEXOS ( C )
É o conjunto formado por todos os números reais ou imaginários, ou seja: z = a + bi .
7. 1.8- REPRESENTAÇÃO GRÁFICA :
53

8. RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA:
É toda relação existente entre elemento e conjunto
Se liga: Na relação de pertinência retiram-se as chaves do lado direito .
Ex.: A = { a , {b} , { } , c }
Observe que : Enquanto que :
a A
{ a } A
{ b } A b A
A
{ } A
9. RELAÇÃO DE INCLUSÃO:
É toda relação existente entre um conjunto e outro conjunto
Se liga: Na relação de inclusão retiram-se as chaves de ambos os lados .
Ex.: { 1 , 3 , 4 , 5 } { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
{ 1 , 2 , 4 } { 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }
{ 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } { 5 , 7 }
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (UEFS) Sendo) M = [50,85] e T = (x M Z, x é divisível por 2 e por 3}, pode-se afirmar que número de elementos do
conjunto T é:
a) 6
b) 7
c) 9
d) 11
e) 12
54

2. (CONSULTEC) Sendo M = {x N; x = 3k, k N} e S = {x N; x =
conjunto M S é igual a:
30 , n N * }, o número de elementos do
n
a) 1
b) 3
c) 4
d) 6
e) 7
3. Sejam os conjuntos P = { x / x N e 0 x 4 } e Q = { x / x Z e – 2 x 3 }. O número de subconjuntos do
conjunto ( Q – P ) ( P Q ) é :
a) 3
b) 5
c) 6
d) 8
e) 32
55

10. INTERVALOS:
Denomina-se intervalo a qualquer subconjunto dos números reais.
Se liga 2 :
*
o
o
o
o
o
*
o
o
o
o
o
o
o
*
o
o
o
o
o
o
o
56

EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (UEFS-07.1) Considerem-se os conjuntos:
A = {x N; –1 x 5}, B = {x Z; x 2 – 3 < 1} e
C = {x R; | x – 2 | 1}.
A B C é:
O conjunto
a) {–1, 0}
b) {–1}
c) {0}
d) [–1, 0]
e) [–1, 0]
2. Se A = { xR / 2 x 5 } e B = { xR / x 7}, então o complementar de A em relação a B é ?
EXERCÍCIOS DE PROPOSTOS:
1. UESC-06) Numa cidade existem 2 clubes A e B, tais que o número de sócios do clube B é 20% maior do que o número
de sócios do clube A. O número de pessoas que são sócias dos dois clubes é igual a 25% do número de pessoas que são
sócias somente do clube A. Se y é o número de pessoas que são sócias do clube A ou do clube B e x é o número de sócios
somente do clube A, pode-se afirmar que:
1) y = 2,2x
2) y = 2,3x
3) y = 2,5x
4) y = 2,7x
5) y = 3x
57

2. (UESB) Um teste composto por duas questões, valendo 1,0 ponto cada uma, foi corrigido por um professor que não
considerou questões parcialmente corretas, de modo que um aluno só poderia obter uma das três notas: zero, 1,0 ou 2,0.
Sabendo-se que:
• 20 alunos tiveram 1,0;
• 15 alunos tiveram 2,0;
• 30 alunos acertaram o segundo problema;
• 22 alunos erraram o primeiro problema:
Pode-se afirmar que o número.total de alunos que fizeram o teste foi igual a:
1) 35
2) 42
3) 50
4) 65
5) 72
3. (UEFS) Dentre os candidatos a um emprego que fizeram o teste de seleção, verificou-se que:
150 acertaram a 1 a ou a 2 a questão;
115 não acertaram a 1 a questão;
175 não acertaram a 2 a questão;
Quem acertou a 1 a questão não acertou a 2 a .
Com base nessas informações, pode-se concluir que a quantidade de candidatos que fizeram o teste foi igual a:
a) 200
b) 220
c) 265
d) 265
e) 345
4. (UESB) Dos conjuntos A e B, sabe-se que A – B tem 3 elementos, B – A, 4 elementos e A x B, 30 elementos. A partir
dessas informações, pode-se concluir que o número de elementos de A B é igual a:
1) 7
2) 8
3) 9
4) 10
5) 12
58

5. (UDESC SC/2012/Janeiro) Considere em um conjunto universo, com 7 elementos, os subconjuntos A, B e C, com 3, 5 e
7 elementos, respectivamente. É correto afirmar que:
a) (A B) C tem no máximo 2 elementos.
b) (A B) C tem no mínimo 1 elemento.
c) B C tem 3 elementos.
d) A C tem no mínimo 2 elementos.
e) A B pode ser vazio.
6. (ACAFE SC/2012/Janeiro) Sobre os conjuntos abaixo, analise as afirmações a seguir.
A={x N * / x < 200}
B={x A/ x é múltiplo de 8}
C={x A/ x é múltiplo de 3}
I. O conjunto BUC possui 90 elementos.
II. O conjunto C possui 65 elementos.
III. O conjunto dos múltiplos naturais de 3 e 8 menores que 200 possui 8 elementos.
IV. A soma dos elementos contidos em AUB é igual a 8169.
Assinale a alternativa correta.
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas II e III são verdadeiras.
c) Apenas a afirmação III é verdadeira.
d) Apenas III e IV são verdadeiras.
7. Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas operações aritméticas não eram fechadas dentro dos
conjuntos em que eram realizadas. Assim, por exemplo, o conjunto dos números inteiros surgiu como extensão do
conjunto dos números naturais. Embora a adição de dois números naturais resulte sempre em um número natural (a adição
é fechada no conjunto dos números naturais), a subtração não é (a subtração de dois números naturais nem sempre resulta
em um número natural). Assinale a afirmação verdadeira:
a) Os números naturais são fechados em relação à divisão.
b) Os números inteiros são fechados em relação à adição..
c) Os números inteiros são fechados em relação à divisão.
d) A adição de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional.
e) A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional.
59

8. (FAVIP PE/2012) Dos 700 estudantes de uma escola, 130 jogam futebol, 90 jogam vôlei, e 80 jogam basquete. Se 25
estudantes jogam exatamente dois, dentre os três esportes, e 12 estudantes jogam os três esportes, quantos estudantes da
escola não jogam nenhum dos três esportes?
a) 440
b) 443
c) 446
d) 448
e) 449
9. (FUVEST SP/2013/1ª Fase) As propriedades aritméticas e as relativas à noção de ordem desempenham um importante
papel no estudo dos números reais. Nesse contexto, qual das afirmações abaixo é correta?
a) Quaisquer que sejam os números reais positivos a e b, é verdadeiro que a b a b .
b) Quaisquer que sejam os números reais a e b tais que a 2 – b 2 = 0, é verdadeiro que a = b.
c) Qualquer que seja o número real a, é verdadeiro que a 2 a .
d) Quaisquer que sejam os números reais a e b não nulos tais que a < b, é verdadeiro que 1/b < 1/a.
e) Qualquer que seja o número real a, com 0 < a 1, é verdadeiro que a 2 < a .
10. (UEFS) Além do aspecto lúdico, os jogos de tabuleiro possibilitam o desenvolvimento do raciocínio, disciplina e poder
de concentração dos jogadores, promovendo também a socialização entre os participantes. Em um grupo de 20 pessoas que
apreciam jogos de tabuleiro, 12 jogam xadrez, 15 jogam damas, 6 jogam gamão e 3 jogam xadrez, damas e gamão.
Considerando-se, em relação às pessoas desse grupo, as afirmações:
I. Dez pessoas jogam mais de uma modalidade,
II. Todas as pessoas que jogam xadrez também jogam damas,
III. Se, das pessoas que jogam damas, oito jogam xadrez, então uma única pessoa joga apenas gamão,
Pode-se concluir:
a) Apenas I é verdadeira.
b) Apenas II é verdadeira.
c) Apenas I e III são verdadeiras.
d) Apenas II e III são verdadeiras.
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
60

11. (UEFS) Sobre um grupo de 40 analistas de sistema e programadores que atuam em uma grande empresa de Informática,
sabe-se que:
• 80% dos programadores trabalham em tempo integral,
• 40% dos analistas trabalham em tempo parcial,
• apenas 5 programadores trabalham em tempo parcial.
Com base nesses dados, é possível afirmar que o total de:
a) analistas é igual a 12.
b) programadores é igual a 29.
c) 15 programadores trabalham em tempo integral.
d) 9 analistas trabalham em tempo integral.
e) 13 pessoas desse grupo trabalham em tempo parcial.
12. (UFG-GO) Foi aplicado um teste contendo três questões para um grupo de 80 alunos. O gráfico abaixo representa a
porcentagem de acerto dos alunos por questão. Suponha que 52 alunos acertaram pelo menos duas questões e 8 alunos não
acertaram nenhuma. O número de alunos que acertaram as três questões é:
a) 44
b) 40
c) 12
d) 20
e) 30
61

13. (FUVEST) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de um determinado produto apresentou
os seguintes resultados:
A - 48% A e B - 18%
B - 45% B e C - 25%
C - 50% A e C - 15%
nenhuma das 3 - 5%
a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas A, B e C?
b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das três marcas?
14. (Unirio-1998) Considere três conjuntos A, B e
a) 3
b) 10
c) 20
d) 21
e) 24
GABARITO:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
a) 11%
0 * 03 02 B 03 B C B E E C D C
B
b) 57%
62

PLANO CARTESIANO
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL:
É um sistema constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si . Sendo que o eixo x é denominado eixo das
abscissas ( “abixixas” ) e o eixo y é denominado eixo das ordenadas ( “ordynadas” ) . Estes eixos dividem o plano
cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes.
Pares Ordenados
Par Ordenado é um par de elementos (x, y) onde o primeiro elemento, x, é chamado de abscissa e o segundo elemento, y, é
chamado de ordenada.
SIMETRIA
É a equidistância oposta e alinhada entre dois entes geomètricos.
Simetria do par ordenado P(a,b) , são :
Em relação ao eixo OX , y = 0 P’ ( a , – b )
Em relação ao eixo OY , x = 0 P’ ( – a , b )
Em relação à origem , ( 0 , 0 ) P’ ( – a , – b )
Em relação à 1ª bissetriz , y = x P’ ( b , a )
Em relação à 2ª bissetriz , y = – x P’ ( – b , – a
PRODUTO CARTESIANO:
Dados dois conjuntos não vazios A e B , denomina-se produto cartesiano de A por B o conjunto formado por todos os
pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B ; Ou seja : A x B = { ( x ; y ) / x
A e y B } .
Se liga.: Cuidado com os seguintes casos :
1- Se A = ou B = , então AxB = .
2- Se A = B , então AxB = AxA = A² = B² .
3- Sendo A e B não vazios e A B , temos : A x B B x A .
4- n( A x B ) = n( A ) . n( B )
RELAÇÃO BINÁRIA:
Sejam A e B conjuntos, não vazios. Chama-se relação binária, R, de A em B qualquer subconjunto de AxB, isto é, R
AxB. Para indicar que um par (a, b) pertence à relação R, utilizaremos a seguinte notação aRb.
Se liga.: Como a relação de A em B é um subconjunto de A cartesiano B , então :
n[
R ( A x B )]
2
n ( A x B )
63

DOMÍNIO , IMAGEM e CONTRADOMÍNIO de uma RELAÇÃO:
DOMÍNIO:
É o conjunto formado por todos os elementos do conjunto de partida que estão sendo relacionados .
IMAGEM:
É o conjunto formado por todos os elementos do conjunto de chegada que estão sendo relacionados .
CONTRADOMÍNIO:
É o conjunto formado por todos os elementos do conjunto de chegada .
RELAÇÃO INVERSA:
Dada a relação R: A B , temos que R –1 : B A ou seja , se (a,b) R então (b,a) R – 1
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Sendo A = {x Î N; 1 < x < 4} e B = {x Î Z; 5 < x < 10}, o conjunto imagem da relação
S = {(x,y) Î AXB; x + y = 9} é:
a) {4,5,6}
b) {6,7}
c) {5,6,7}
d) {7}
e) {1}
64
2. (UFBA) Sejam: A = { 1 , 5 } ; B = { -1 , 0 , 1 }; R = {(x , y) Î AxB } e
F = conjunto dos pontos do plano, simétricos aos pontos de R em relação à primeira bissetriz. Dos conjuntos e relações
dados, pode-se afirmar:
I) A imagem da relação inversa de R é o conjunto A.
II) O domínio de F é o conjunto B.
III) R tem 5 elementos.
IV) Em F há pontos pertencentes ao eixo Ox.
V) Existe um único ponto de R que pertence à primeira bissetriz.
São verdadeiras:
a) todas
b) nenhuma
c) III e IV
d) I, II e V
e) somente I

FUNÇÃO
1- DEFINIÇÃO:
Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B (F: A B) , essa relação f é uma função de A em B
quando cada elemento x do conjunto A está associado a um e somente um elemento y do cconjunto B.
2. RECONHECIMENTO DE FUNÇÃO
2.1 Em Diagramas:
Determinamos uma função quando todos os elementos do conjunto de partida estiverem relacionados só e somente uma
vez.
2.2- Em Gráficos:
Para reconhecer se um gráfico representa uma funçãp, basta traçar retas paralelas ao eixo Oy e estas só podem tocar no
gráfico apenas uma vez.
DOMÍNIO , IMAGEM e CONTRADOMÍNIO:
3.1- Domínio:
O domínio de uma função são todos os elementos do conjunto de partida.
3.2- Imagem:
A imagem de uma função são todos os elementos do conjunto de chegada que estiverem relacionados.
3.3- Contradomínio:
O contradomínio de uma função é todo o conjunto de chegada.
65

ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA RELAÇÃO:
Para estudar o domínio de uma relação , temos quatro casos particulares :
Se f é uma relação do tipo f(x) = g(x) , temos :
D(f) = R
Se f é uma relação do tipo f(x) = g(x) , temos :
h(x)
D(f) = { x R / h(x) 0 }
Se f é uma relação do tipo f(x) = , temos :
R , se n for ímpar.
D(f) =
x R / g(x) 0 , se n for par.
n
g ( x)
Se f é uma relação do tipo f(x) = , temos :
n
g(
x)
h(
x)
x R / h(x) 0 , se n for ímpar.
D(f) =
x R / h(x) > 0 , se n for par.
4. VALOR NUMÉRICO DA FUNÇÃO:
O valor numérico de uma função ao valor de y quando atribuirmos determinado valor a x.
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Se f(x) = 2x 2 5, determine :
a) f( -2 )
b) f( 3 )
c) f( x - 1 )
x 1
1
2. (UEFS) Dada a função real f (x) , com x –1 então f é igual:
2
x x
x
2
x 1
a)
2
x x
b) 1 – x
c) 1 + x
1 x
d)
x
x 1
e)
x
2
66

3. (UEFS) Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x 2 + l) = –2x 2 + 2, para todo x R, pode-se afirmar que
a
b
é igual a:
a) 2
3
b) 2
c) 2
1
1
d)
3
e) –3
5. TIPOS DE FUNÇÃO:
5.1 Função Sobrejetora .
Seja
Se liga: () ()
5.2 Função injetora
Uma função F é injetora se e somente se para qualquer valor então ( )
( )
Ex.:
Se liga: () ()
67

5.3 Função Bijetora.
Uma função é bijetora se e somente se for ao mesmo tempo sobrejetora e injetora.
Ex.:
Se liga: () ()
Quando uma função não for classificada como Sobrejetora e nem como Injetora , dizemos que é denominada como função
simples .
5.4. Função Par
Uma função é par se e somente se ()
Ex.: ()
()
Se liga: O gráfico de uma função par é simetrico em relação ao eixo Oy.
5.5 Função ímpar
Uma função é ímpar se e somente se ()
Ex.: ()
()
Se liga: O gráfico de uma função ímpar é simetrico em relação à origem.
68

5.6 Função crescente
Uma função é crescente se e somente se e e ( ) ( )
Ex.:
5.7 Função decrescente
Uma função é decrescente se e somente se e e ( ) ( )
Ex.:
5.8 Função constante
Uma função é constante se e somente se e e ( ) ( )
Ex.:
5.9 Função composta
Dadas as funções f e a função , chamamos H de função coposta de g em f tal que: ()
()() ().
69

EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Dadas as funções () e () detremine:
a) ()
b) ()
c) ()
d) ()
2. (UESB) Se f e g são funções de R em R tais que f(x) = x – 3 e f(g(x)) = 2x + 2, então g(f(3)) é igual a:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
3. (UEFS) Se f(x) e g(x) são funções reais tais que para todo x R, f(x) = x 3 + 1 e fog(x) = x 2 , então g(3) é igual a:
a)
3
9 1
b) 2
c) 3 10
d) 3
e) 26
70

5.10 Função inversa
Dada uma função f: A B , bijetora , pode-se obter uma função de invertendo-se a ordem dos pares ordenados
de f . Essa função é chamada inversa de f e indica-se por f – 1 .
Se liga: ( ) ( ) .
2. Uma função admite inversa quando forbijetora .
3. Os gráficos de e são simétricos em relção à bissetriz.
4. () ()
5. A função inversível é a função que admite inversa.
EXERCÍCIOS DE SALA:
1.(UEFS) A função real inversível f tal que f(2x – l) = 6x + 2 tem inversa f –1 (x) definida por:
3x
5
a)
2
x 5
b)
3
c) 3x – 15
d) 5x – 3
d) 3x + 5
2. (UESB) Se f(x + 4) = 3x – 1, x R, então f –1 (8) é igual a:
01) –3
02) 6
03) 0
04) 7
05) 2
71

x
3. (UEFS) Sendo f(x) = f (x) , x 3
uma função real e g a sua função inversa, pode-se concluir que
x 3
igual a:
a) – 3
b) – 2
c) 0
d) 1
e) 2
g( 2)
1
g( 2)
3
é
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. UEFS) Sendo f(x) = 2 3x–2 1
g(x) funções reais, tais que f(g(x)) = x, pode-se afirmar que g pertence ao conjunto:
8
5
a) 3 , , 2
2
8 3
b) , , 1
5 2
1 1
c) , , 0
5 3
d)
e)
1
,
4
1
,
3
1
,1
3
2, 3
2.(UEFS) Sendo as funções reais f e g, tais que
f(x) = x + 1, g(x) = x
1 , x 0, então a função h = f –1 + (gof) é definida por:
01) h(x) =
02) h(x) =
03) h(x) =
04) h(x) =
05) h(x) =
x 2
x 1
, x R – {1}
x 2
2x 2
, x R – {–1}
x 1
x 2
x 1
, x R – {1}
2
x 1
, x R – {–1}
2
x 1
, x R – {1}
72

3. (UNEB) Considerando a função real f(x) = x
1 assinale com V as afirmativas verdadeiras e com F, as falsas.
( ) x = 0 pertence ao conjunto-imagem de f.
( ) Se x é um número real não nulo, então f -1 (x) = x
1 .
1
( ) Existe um único número real x tal que f
= f(x).
x
A alternativa que indica a seqüência correta, de cima para baixo, é a:
01) V F F
02) F V F
03) F V V
04) V F V
05) V V V
4. (UEFS-03.2) Sendo f : R R uma função ímpar tal que f(2) = 1 e f(6) = 2, pode-se afirmar que o valor de 3 fof ( 6)
é
igual a:
a) –2
b) – 3 2
c) –1
d) 3 2
e) 2
5. (UEFS-07.1) Sobre a função f : R R representada no gráfico, é correto afirmar:
y
2
f
0 x
a) f é injetiva e seu conjunto-imagem é [0, 2].
b) f é sobrejetiva e o número 3 pertence ao conjunto-imagem.
c) f é uma função ímpar.
d) f é injetora e par.
e) f é não sobrejetora e o número 1 é imagem de apenas dois números reais.
73

6. (UNIFOR CE/2007/Julho) Seja f uma função tal que f(x 1) 2. f(x)- f(x - 1) , para todo x real. Se f(-1) 3 e f(0) 1 ,
o valor de f(2) é
a) 6
b) 3
c) 0
d) –3
e) –6
7. (IME RJ/2007) Seja f :R R , onde R é o conjunto dos números reais, tal que:
f (4) 5
f (x 4) f (x) f (4)
O valor de f(4) é:
4
a)
5
1
b)
4
1
c)
5
1
d) 5
e) 5
4
3
8. (FEI SP/2008) Se f (x) 3x 2x x 1, então f(-2) é igual a:
a) -13
b) -33
c) 13
d) 19
e) -29
2
74

9. (UNIMONTES MG/2008) Todas as afirmações abaixo são corretas, EXCETO:
a) Toda função crescente é injetora.
b) Toda função decrescente é injetora.
c) Toda função injetora é crescente.
d) Existem funções injetoras que são decrescentes.
10. (ENEM/2012) Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a relação entre medidas de diferentes partes do
corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície corporal de uma pessoa relaciona-se com a sua
2
massa m pela fórmula A k m
3
, em que k é uma constante positiva.
Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por quanto será
multiplicada a área da superfície corporal?
a) 3 16
b) 4
c) 24
d) 8
e) 64
11. (ENEM/2010) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições
teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo
alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura,
uma variável de dimensões lineares.
As fórmulas que determinam esses índices são:
massa(kg)
altura(cm)
IMC
RIP
2
[altura(m)]
3
massa(kg)
ARAUJO. C. G. S.; RICARDO, D.R. índice de Massa Corporal:
Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq.
Bras. Cardiologia, volume 79, n.º 1, 2002 (adaptado).
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m 2 , então ela possui RIP igual a
a) 0,4 cm/kg 1/3 .
b) 2,5 cm/kg 1/3 .
c) 8 cm/kg 1/3 .
d) 20 cm/kg 1/3 .
e) 40 cm/kg 1/3 .
75

12. Se M (-1, a) e P (b,
25
6
a)
25
5
b)
3
9
c)
25
1
d)
3
9
e)
25
3
5
9 ) são pontos do gráfico da função definida por f x ,
x
quanto vale b – a?
GABARITO:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0 * C 01 02 C E D D E C B E D B
76

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1 º GRAU
INTRODUÇÃO:
É toda função da forma f(x) = ax + b, com a 0; onde a é chamado de coeficiente angular e b , coeficiente linear .
Ex.: ()
GRÁFICO:
A representação gráfica de uma função do 1° grau é um segmento de reta.
ESTUDO DOS COEFICIENTES:
Coeficiente Angular (a):
Este coeficiente determina a inclinação da reta ou seja , classifica o seu crescimento .
Se a > 0 , a função do 1º grau é crescente .
Se a < 0 , a função do 1º grau é decrescente .
Se a = 0 , a função é constante ; ou seja , não é uma função do 1º grau .
Coeficiente Linear (B):
Este coeficiente determina onde a reta corta o eixo das ordenadas .
Se b > 0 , a função corta o eixo O y acima da origem .
Se b < 0 , a função corta o eixo O y abaixo da origem .
Se b = 0 , a função corta o eixo O
y na origem .
ZEROS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU:
Denomina-se zero ou raiz de uma função f(x) = ax + b o valor de x que anula uma função , isto é , torna f(x) = 0 .
77

EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (ENEM/2010) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar
figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da
quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura?
a) C = 4Q
b) C = 3Q + 1
c) C = 4Q – 1
d) C = Q + 3
e) C = 4Q – 2
2. (ENEM/2010) Uma torneira gotejando diariamente é responsável por grandes desperdícios de água. Observe o gráfico
que indica o desperdício de uma torneira:
Se y representa o desperdício de água, em litros, e x representa o tempo, em dias, a relação entre x e y é
a) y = 2x
1
b) y x
2
c) y = 60x
d) y = 60x + 1
e) y = 80x + 50
78

3. (UEFS) A expressão que define a função g, inversa da função f, representada no gráfico, é:
a) g(x) = –2x + 3
b) g(x) = —3x + 2
c) g(x) = 2x + 3
d) g(x) = 3x – 2
e) g(x) = 2x – 3
-1 0
y
3
f
x
-2
4. (UEFS-04.1) Sabendo-se que f(2 – x) = 4x – 6, pode-se afirmar que o gráfico que melhor representa a função f(x) é:
a) d)
b) e)
e)
79

ESTUDO DO SINAL:
Estudur do sinal da função do 1º grau é determinar a condição de x para y ser : zero , negativo e positivo .
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
É toda isentença aberta por uma desigualdade.
Ex.:
SISTEMA DE INEQUAÇÕES DO 1° GRAU:
É todo sistema que possui pelo menos duas inequações do 1º grau .
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Resolva , em R , a seguinte inequação :
4x
6 2x
4
3 2x
5 4x
INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS:
É toda inequação do 1º grau que possui dois ou mais sinais de desigualdade , simultaneamente .
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Resolva , em R , as seguintes inequações :
3x 5 < x + 1 2x
80

INEQUAÇÕES PRODUTO:
É toda inequação do 1º grau que possui duas ou mais funções do 1º grau que se multiplicam entre si .
Se liga.: Para resolvermos estas inequações do 1º grau , precisamos fazer o estudo do sinal da função do 1º grau .
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Resolva , em R , as seguintes inequações :
( x – 4 ) . ( 2 – x ) > 0
INEQUAÇÕES QUOCIENTE:
É toda inequação do 1º grau que possui uma razão entre duas ou mais funções do 1º grau .
Se liga.: Para resolvermos estas inequações do 1º grau , precisamos fazer o estudo do sinal da função do 1º grau .
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Resolva , em R , as seguintes inequações:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. (UEFS BA/2012)
P
A Organização Mundial de Saúde (OMS) utiliza o índice de massa corporal (IMC), que é dado pela fórmula IMC = , na
h 2
qual P é o peso, em quilogramas, e h é a altura, em metros, do indivíduo, para avaliar se o seu peso está normal, abaixo ou
acima do peso ideal.
Sabe-se, ainda, que para calcular o peso ideal P, em quilogramas, de uma pessoa adulta em função de sua altura (a), em
centímetros, usa-se a expressão
a 150
P(a) = (a – 100) – , c = 2 para mulheres e c = 4 para homens. (O ÍNDICE..., 2011).
c
81

O ÍNDICE de massa corporal.
Disponívelem:. Acesso em: 5 nov. 2011. Adaptado.
Se uma mulher adulta casada pesa, atualmente, 64,5kg identificou, pela expressão, que está 7,5% acima do seu peso ideal,
então sobre seu marido, que é 20cm mais alto e pesa 46% a mais do que ela, pode-se afirmar que, de acordo com a OMS e
a tabela, ele está
a) normal.
b) levemente obeso.
c) obeso grau I.
d) obeso grau II.
e) obeso grau III.
2. (UESB) O valor de certo automóvel decresce linearmente com o tempo t, conforme o gráfico.
V(milhares de reais
28
6
0 1 12 t(anos)
Sabendo-se que t = 0 corresponde à data de hoje, pode-se afirmar que o automóvel valerá R$19000,00 de hoje a:
01) 4 anos e meio.
02) 5 anos,
03) 5 anos e meio.
04) 6 anos.
05) 7 anos.
3. (ENEM/2012) Certo vendedor tem seu salário mensal calculado da seguinte maneira: ele ganha um valor fixo de R$
750,00, mais uma comissão de R$ 3,00 para cada produto vendido. Caso ele venda mais de 100 produtos, sua comissão
passa a ser de R$ 9,00 para cada produto vendido, a partir do 101.º produto vendido.
Com essas informações, o gráfico que melhor representa a relação entre salário e o número de produtos vendidos é
a)
82

)
c)
d)
e)
4. (ENEM/2012) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que
vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas
podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam,
respectivamente, representadas pelas equações:
QO = –20 + 4P
QD = 46 – 2P
em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto.
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja,
quando QO e QD se igualam.
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?
a) 5
b) 11
c) 13
d) 23
e) 33
83

5. (ENEM/2011) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi
aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n),
acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído (n),
acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços
prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada.
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a
prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?
a) 100n + 350 = 120n + 150
b) 100n + 150 = 120n + 350
c) 100(n + 350) = 120(n + 150)
d) 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000)
e) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000)
6. (ENEM/2011) O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo
registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento
de 4 300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores com carteira assinada.
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano.
Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses,
janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades
nesses meses é
a) y = 4 300x
b) y = 884 905x
c) y = 872 005 + 4 300x
d) y = 876 305 + 4 300x
e) y = 880 605 + 4 300x
7. (ENEM/2010) Certo município brasileiro cobra a conta de água de seus habitantes de acordo com o gráfico. O valor a ser
pago depende do consumo mensal em m 3 .
84
Se um morador pagar uma conta de R$ 19,00, isso significa que ele consumiu
a) 16 m 3 de água.
b) 17 m 3 de água.
c) 18 m 3 de água.
d) 19 m 3 de água.
e) 20 m 3 de água.

8. (ENEM/2010) Em fevereiro, o governo da Cidade do México, metrópole com uma das maiores frotas de automóveis do
mundo, passou a oferecer à população bicicletas como opção de transporte. Por uma anuidade de 24 dólares, os usuários
têm direito a 30 minutos de uso livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estação e devolver em qualquer outra e, se
quiser estender a pedalada, paga 3 dólares por hora extra.
Revista Exame. 21 abr. 2010.
A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras nesse
período é
a) f(x) = 3x
b) f(x) = 24
c) f(x) = 27
d) f(x) = 3x + 24
e) f(x) = 24x + 3
9. (ENEM/2010) Uma torneira gotejando diariamente é responsável por grandes desperdícios de água. Observe o gráfico
que indica o desperdício de uma torneira:
Se y representa o desperdício de água, em litros, e x representa o tempo, em dias, a relação entre x e y é
a) y = 2x
1
b) y x
2
c) y = 60x
d) y = 60x + 1
e) y = 80x + 50
10. (FGV /2012/Julho)
2x 6
O número de soluções inteiras da inequação 0
14
2x
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) infinito
é:
85

11. O gráfico a seguir representa a função f.
Uma das possíveis leis de definição de f é:
12. (UNESP) 0 gráfico mostra o resultado de uma experiência relativa à absorção de potássio pelo tecido da folha de um
certo vegetal, em função do tempo e em condições diferentes de luminosidade.
86

Nos dois casos, a função linear y = mx ajustou-se razoavelmente bem aos dados, daí a referência a m como taxa de
absorção (geralmente medida em moles por unidade de peso por hora). Com base no gráfico, se m 1 é a taxa de absorção no
claro e m 2 a taxa de absorção no escuro, a relação entre essas duas taxas é:
a) m 1 = m 2
b) m 2 = 2m 1
c) m 1 . m 2 = 1
d) m 1 . m 2 = -1
e) m 1 = 2m 2
13. (FUVEST) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é:
a) f(x) = x – 3
b) f(x) = 0,97x
c) f(x) = 1,3x
d) f(x) = – 3x
e) f(x) = 1,03x
GABARITO:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0 * B 03 E B A D B D C C B E B
87

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
DEFINIÇÃO:
É toda função da forma f(x) = ax² + bx + c , com a R* e b,c R ; onde a , b e c são os coeficientes de f(x) .
Ex.: ()
ZEROS DA FUNÇÃO DO 2º GRAU:
Denomina-se zero ou raiz de uma função f(x) = ax² + bx + c o valor de x que anula f(x) ; isto é , torna f(x) = 0 .
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Calcule os zeros das seguintes funções :
a) ()
b) ()
2. Sabendo que a função f(x) = x² + kx + t admite 2 como raiz e f(3) = 7 , calcule :
a) k + t
b) ()
3. Calcule m sabendo que e são as raízes da função f(x) = 2x² + 4x – 2m + 5 e que
.
88

A representação gráfica de uma função polinomial do 2º grau é uma parábola .
( )
Estudo dos coeficientes:
1. Coeficiente a Indica a concavidade da parábola.
concavidade volatda para cima.
concavidade voltada para baixo.
2. Estudo do coeficiente b Indica a posição do vértce.
, possuem sinais iguais.
, possuem sinais contrários.
Se liga: Se gráfico tocar o eixo Oy subindo entao e se tocar o gráffico descendo
89

3. Estudo do coeficiente c Indica o local de interseção com o eixo Oy.
intercepta o eixo Oy acima da origem.
intercepta o eixo Oy abaixo da origem.
intercepta o eixo Oy na origem.
Estudo do discrimenate
ESTUDO DO SINAL:
Fazer o estudo do sinal da função do 2º grau é determinar o valor de x quando y for : zero , negativo e positivo .
Se liga:: Se dizemos que a parábola é secante.
Se dizemos que a parábola é tangente.
90

ESTUDO DA FUNÇÃO DO 2° GRAU:
1.
()
.
.
enta o .
2.
()
.
admitir valor maximo representa o
.
.
91

EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (FDC-2009.2) Durante um período de experiências, observou-se que duas das cobaias que estavam sendo utilizadas, se
movimentavam simultaneamente, a partir de um mesmo ponto, porém fazendo percursos distintos. Para representar
graficamente esses percursos em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas, levou-se em consideração os seguintes
dados:
escrita pelo gráfico da função y= - x2
imeira cobaia atingiu uma distância
máxima em relação à horizontal.
Com base nessas informações, pode-se concluir que a representação gráfica da trajetória da segunda cobaia é um segmento
de reta que faz com o eixo das abscissas um ângulo cujo seno é igual a
01)
02)
03)
04)
05)
2. (UEFS) Considerem-se as afirmações:
I. O trinômio x 2 + 5x + 4 é positivo para todo real x.
II. O domínio da função f x
2
1
x
é R – {2}.
2
x x 2
III. A função f(x) = (m – 1)x 2 + 2mx + 3m assume valores estritamente positivos se, e somente se
a) Apenas I é verdadeira.
b) Apenas III é verdadeira.
c) Apenas II e III são verdadeiras.
d) As afirmações I e III são verdadeiras.
e) As afirmações II e III são falsas.
3
m .
2
3. (UEFS) Em uma partida de futebol, o goleiro repôs a bola em jogo com um chute tal que a bola descreveu uma trajetória
1
parabólica de equação y x
2 6x
com x e y expressos em metros. A distância percorrida pela bola e a altura máxima
2
atingida por ela, desde o local do chute até o ponto em que ela toca o solo, foram, respectivamente, iguais, em metros, a:
a) 6 e 12
b) 12 e 18
c) 3 e 18
d) 18 e 12
e) 12 e 6
92

4. (UNEB) Da análise do gráfico onde estão representadas as funções f(x) = –x + 2 e g(x) = x 2 , pode-se concluir que o
f (x)
conjunto-solução da inequação 1 é:
g(x)
01) ] –2, 1 [ – {0}
02) ]–1, 2 [ – {0}
03) R – [ –1, 1]
04) R – [ –1, 2 ]
05) R – [ –2, 1]
5. (UEFS-) Ovérticedaparáboladeequação f(x) = –x 2 + 2x – 4k é um ponto da reta y = 2. Portanto, a parábola corta o ixo Ou no
ponto de ordenada.
a) –1/4
b) 0
c) 1
d) 2
e) 4
6. (UEFS) Se a função real f(x) = –x 2 1
1
+ ax é crescente no intervalo , e decrescente em
2
, , então a é igual a
2
a) –2
b) –1
c) 1
d) 2
e) 3
7. (UEFS) O valor máximo de C para que o gráfico da função f(x) = x 2 + 3x + C intercepte o eixo Ox é:
9
a)
2
b) 4
c) 3
9
d)
4
3
e)
2
93

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. (UESB) Na figura, estão montadas as parábolas de equação y = x 2 - 4x + 2 e uma reta que passa pela origem dos eixos
coordenados, pelo vértice V e pelo ponto A da parábola. Com base nessas informações, pode-se concluir que as
coordenadas cartesianas do ponto A são:
1 1
01) ,
3 3
1 1
02) ,
2 4
03) (1, –1)
3 7
04) ,
2 4
05) (2, –2)
2. (UEFS) Seja f uma função do 2 o grau.Se o gráfico de f é uma parábola de vértice V = (2,1) e intercepta um dos
eixos coordenados no ponto (0,3), então a expressão f(x) é igual a:
x
a) f (x) 3x 3
2
b) f(x)
2x² 2x 3
2
x
c) f (x) 2x 3
3
d) f(x)
x² 3x
3
2
x
e) f (x) 2x 3
2
2
3. (UESC) Sendo b R uma constante, e x 1 e x 2 as abscissas dos vértices das parábolas y = x 2 + bx + 2 e y = x 2 + (b + 2)x
+ 2, respectivamente, conclui-se que
01) x 2 = x 1 – 1
02) x 2 = x 1 + 1
03) x 2 = x 1 + 2
04) x 2 = 2x 1 – 1
05) x 2 = 2x 1 + 1
4. (UEFS) Considere a função f(x) = ax 2 + bx + c tal que:
f(x) = f(–x), para todo x R;
seu conjunto-imagem é o intervalo ]–, 3];
Nessas condições, pode-se concluir que f(2) é igual a:
94
a) –9
b) –6
c) –3
d) 0
e) 3

5. (UNEB) Os gráficos representamas f:RR; f(x) = mx + n e g: R R; g(x) = ax 2 + bx + c.
y
y
1
1
-1 0
x
1 2 3
x
-3
A partir da análise desses gráficos, conclui-se que a função f(g(x)) é definida por:
01) x 2 – 4x + 2
02) x 2 – 4x + 4
03) –x 2 + 4x + 4
04) –x 2 + 4x – 2
05) –x 2 – 4x – 4
6. (UEFS) Considere-se a função real f(x) = ax 2 + 4 3x a . Se o maior valor de f(x) é 1, então a constante a R é igual
a:
a) – 4
b) – 3
c) – 3
d) 3
e) 4
7. (UNEB) Um segmento AB, paralelo ao eixo oy, tem extremidades A e B sobre as curvas de equações f(x) = –x 2 + x e
g(x) = 1, respectivamente. O menor comprimento possível de AB é igual, em u.c., a:
01) 2
1
02) 3
2
03) 4
3
04) 5
4
05) 4
5
95

8. (UEL) Um terreno retangular tem 84 m de perímetro. O gráfico que descreve a área y do terreno como função de um
lado x é:
9. (FUVEST) A equação do 2° grau ax2– 4x – 16 = 0 tem uma raiz cujo valor é 4. A outra raiz é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) –1
e) –2
10. (UFV - 2007/ 2009 - adaptada) O nível de óleo num reservatório varia com o tempo t, contado em horas, a partir das 7h
30 min., conforme a expressão N = - 0,35 t² + 0,7t - 0,4. O instante em que o reservatório está MAIS cheio é precisamente:
a) 8h 45 min.
b) 8h 30 min.
c) 9h 15 min.
d) 7h 45 min.
11. Sobre a função f ( x)
x²
2x,
x
pode-se AFIRMAR CORRETAMENTE que:
a) é crescente em todo o seu domínio.
b) uma de suas raízes é negativa e a outra positiva.
c) a função possui um ponto de máximo.
d) Sua imagem é [-1, [.
e) o valor de f(5) = 0.
96

12. (UFPB – PSS 2008) Dois jóqueis, A e B, ao treinarem com seus cavalos para uma competição de hipismo, fizeram dois
percursos. O jóquei A fez o percurso representado pelo gráfico da função f(x) = x² - 1, - 2 ≤ x ≤ 2, e o jóquei B fez o
percurso representado pelo gráfico da função g(x) = f (x – 2) + 1. Nesse contexto, o percurso feito pelo jóquei B está
melhor representado pelo gráfico:
13. (UERJ – 2010) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme
representado no sistema de eixos ortogonais:
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D. A equação de uma dessas parábolas é y =
x² 2x
. Se a abscissa de D é 35 m, a DISTÂNCIA do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a:
75 5
A) 38
B) 40
C) 45
D) 50
97

14. (UNEMAT – 2009 Durante um torneio de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso tabelado: a altura (y) do
peso em função de sua distância horizontal (x), medida em relação ao ponto de lançamento).
Seja y(x) = ax² + bx + c a função que descreve a trajetória (parabólica) do peso. Alguns valores da distância e da altura são
fornecidos na tabela a seguir.
A ALTURA MÁXIMA alcançada pelo peso foi:
a) 2,6 m
b) 3,2 m
c) 3,6 m
d) 2,2 m
e) 5,2 m
Distância
(metros)
Altura
(metros)
1 2,0
2 2,7
3 3,2
15. (UESB) Um fio de 24cm de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a área de
um deles seja quatro vezes a área do outro.
Com base nessas informações, é correto afirmar que a soma das áreas, em cm 2 . Desses quadrados é igual a
01) 16
02) 18
03) 20
04) 24
05) 30
16. (CONSULTEC) As raízes da equação 6x 2 5x + 1 = 0 são os inversos das raízes da equação x 2 + mx + n 1 = 0 ,
com m,n R . O valor de m + n é :
a) 12
b)
2
1
c)
d) 2
e) 6
98

17. (CONSULTEC) O domínio da função f(x) =
a) ( 1 , )
b) ( , 2 ) ( 2 , 1 )
c) ( , 2 ( 1 , 2
d) ( , 1 ) 2 , )
e) ( , 1 )
2
4
x
x 1
é :
18. (CONSULTEC) Se a imagem da função real f(x) = x 2 + 4x 2m é ( , 2 ] , então m é igual a :
a) 4
b) 2
c) 0
d) 1
e) 2
19. (CONSULTEC) O maior valor da função y = x² 3x + k 1 é 2 , se k é igual a :
a) 1
b) 0,75
c) 0
d) 0,75
e) 1
20. (UESB) Sobre a função de R em R definida por y = x 2 – x – 6 , é verdade que :
a) y < 0 se x < 3
b) y < 0 se – 2 < x < 3
c) y = 0 se x = 2
d) y > 0 se 0 < x < 1
e) y > 0 se 1 < x < 2
GABARITO:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 * 03 E 01 A 04 B 03 A E B D A B C 03 D C D D B
99

FUNÇÃO EXPONENCIAL
1. REVISÃO DE POTENCIAÇÃO:
Para estudarmos a função exponencial é preciso relembrarmos de alguns conceitos sobre Potenciação.
1.1 Potência com expoente inteiro:
a n = a . a . a . ... . a , para n > 1 ;
n fatores
a 1 = 1 / a , se a 0 ;
a n = 1 / a n , se a 0 ;
a 0 = 1 , se a 0 ;
a 1 = a .
1.2 Propriedades:
a m . a n = a m + n
a m : a n = a m n , com a 0
( a . b ) n = a n . b n
( a : b ) n = a n : b n , com b 0
( a m ) n = a m . n
2. REVISÃO DE RADICIAÇÃO:
Para estudarmos a função exponencial é preciso relembrarmos de alguns conceitos sobre Radiciação.
2.1 Potência com expoente racional:
n n m
a a , com a R* + e n N* .
2.2 Propriedades:
n n n
a . b a.
b
, com b 0
n
(
m
a :
n
b
n
a:
n
a
)
m
n
a
m
b
n m a
n.
m
a
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Resolva:
a)
b)
c)
d)
100

4. FUNÇÃO EXPONENCIAL:
Consideramos uma função f como função exponencial a toda função f(x) = a x + b , com a R* + { 1 } e x,b R ; sendo
que a é denominado de base da função exponencial e b o termo independente.
O crescimento de uma função exponencial é determinado da seguinte maneira :
1º) Se 0 < a < 1 , é denominada de decrescente .
2º) Se a > 1 , é denominada de crescente .
5. EQUAÇÃO EXPONENCIAL:
É toda equação onde figura no expoente uma incógnita .
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Resolva as seguintes equações:
a)
b)
c)
d) 2 x . 8 = 4
e) 9 x+3 = 27 x1
3
4
f) 3 x + 3 x+1 = 36
g) 3 x 3 2x = 8
h) 4 x + 6 x = 2.9 x
101

6. INEQUAÇÃO EXPONENCIAL:
É toda inequação onde figura no expoente uma variável . Para resolvermos uma inequação exponencial utilizamos o
mesmo raciocínio de equação exponencial sendo que devemos observar o crescimento da função em questão , pois :
se a função for crescente , conserva-se o sinal da desigualdade .
se a função for decrescente , inverte-se o sinal da desigualdade .
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Resolva , em R , as seguintes inequações :
a)
b) 2 x + 3 8
c)
3x1
2 2 x
16
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (UEFS BA/2012). O conjunto-solução da inequação
a) {xR; –2 x 2
3 }
4
x 1
é
x
2 2
2
b) {xR; x –2 ou x 2
5 }
5
c) {xR; x x 2}
2
5
d) {xR; x ou x 2}
2
e) R
2. (Unifacs BA/2012/Janeiro) Sendo k um número real não nulo e considerando-se as funções f(x) = 22x+3 e
2
g(x)
3
2x3
k
, representadas no gráfico, pode-se afirmar que g(f(–2)) pertence ao intervalo
102
01) [–3, –2[
02) [–2, –1[

03) [–1, 0[
04) [0, 1[
05) [1, 2]
3. (UNIMONTES MG/2010) Se 4 x – 4 x – 1 = 24, então (2x) x é igual a
a) 2
5 .
b) 25 5 .
c) 5 5 .
d) 125.
4. (FDC-2010.2)
(P em milhares de pessoas)
Dados divulgados pelo IBGE relativos à evolução da população brasileira de 80 anos ou mais, a partir de 1980 com
projeção até 2050, sugerem um crescimento exponencial dessa população.
Suponha-se que uma boa aproximação desses números possa ser obtida através P(t) = kat em que t é dado em dezenas de
2
Com base no gráfico, pode-se estimar que, referente a essa população.
01) houve um aumento de 300 mil pessoas entre 2000 e 2005.
02) houve um aumento de 500 mil pessoas entre 2005 e 2010.
03) houve um aumento de 900 mil pessoas entre 2000 e 2010.
04) haverá um aumento de 1 milhão de pessoas entre 2010 e 2020.
05) haverá um aumento de 1,2 milhões de pessoas entre 2005 e 2020.
103

5. (UEFS1) Numa região da Terra, logo após a queda de um meteoro contendo uma grande quantidade de um elemento
radioativo X, verificou-se que havia M0 gramas desse elemento para cada unidade de área, valor que corresponde a
1.000.000 vezes a quantidade suportável pelo ser humano.
Admitindo-se que, em cada instante t após a queda, dado em anos, a quantidade de gramas por unidade de área do elemento
X foi igual a M = M0 .(0,1)2t , conclui-se que o tempo, em anos, para que a quantidade do elemento retomasse ao nível
aceitável pelo ser humano foi de;
a) 3
b) 5
c) 8
d) 12
6. (UEFS1) Se 5 2 – n = 75, então 3 . (5 n ) é igual a:
1
a)
3
3
b)
5
c) 1
d) 3
e) 5
1
2
x1
7. (UESC) Se S é o conjunto-solução da equação 3
3 , com x R, é:
01) S {–1, 0, 3, 2}
02) S {–1/2, 0, 1, 3}
03) S {–2, –1/3, 0, 3}
04) S {–1, –2, 1/3, 1}
05) S {–2, 1/3, 1, 2, 3}
104
8. (UEFS) Se a função exponencial f : R R definida pela equação f(x) = a x é tal que seu gráfico passa pelo ponto (–2, 8),
então:
a) f(4) = 16
1
1
b) f(x) =
12
2
c) f(x) =
2
d) f(2) . f(–2) = –1
e) f(–1) = 2 2
2

9. (UEFS) Estima-se que daqui a t anos a população de uma cidade seja igual a 4500.2 t habitantes. Com base nessa
informação, pode-se concluir que, após 3 anos o aumento de habitantes, dessa cidade, em relação à população atual, será
igual a:
a) 13500
b) 18000
c) 27000
d) 31500
e) 36000
10. (UEFS-05.1) Observa-se que, a partir do momento em que uma rodovia sofre danos e não é recuperada, o custo da
recuparação aumenta exponencialmente com o tempo t, o custo, portanto é dado por uma função exponencial C = C o . a t .
Se de 2001 até 2004, não houve nenhuma ação para recuperar uma rodovia, e, em 2002, o custo para a sua recuperação era
de R$ 1200000,00 e, em 2003, esse custo subiu para R$ 1320000,00, então, a recuperação dessa rodovia, em 2004, em
reais.
a) 1440000,00
b) 1452000,00
c) 1462000,00
d) 1465000,00
e) 1470000,00
11. (UEFS) Em uma população com P habitantes, a partir do instante t = 0, em que surge um boato sobre um ato de
corrupção no governo, o número de pessoas t que ouviram o boato até o instante t horas é dado por Q(t) = P – P . 2 5 1
.
Dessa forma, o tempo t, em horas, para que 4
3 da população saibam do boato é igual a:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
12. (UESC) Suponha que, t minutos após injetar-se a primeira dose de uma medicação na veia de um paciente, a
t
180
quantidade dessa medicação existente na corrente sangüínea seja dada, em mililitros, pela função Q(t) = 50 . 2 e que o
1
paciente deva receber outra dose, quando a medicação existente em sua corrente sangüínea for igual a da quantidade
4
que lhe foi injetada. Nessas condições, o intervalo de tempo, em horas, entre a primeira e a segunda dose da medicação,
deverá ser igual a:
01) 2
02) 4
03) 6
04) 8
105

13. (UEFS) Numa região da Terra, logo após a queda de um meteoro contendo uma grande quantidade de um elemento
radioativo X, verificou-se que havia M o gramas desse elemento para cada unidade de área, valor que corresponde a
1000000 vezes a quantidade suportável pelo ser humano. Admitindo-se que, em cada instante t após a queda, dado em
anos, a quantidade de gramas por unidade de área do elemento X foi igual a M = M o (0,1) 2 t , conclui-se que o tempo, em
anos, para que a quantidade do elemento retornasse ao nível aceitável pelo ser humano, foi de:
a) 3
b) 5
c) 8
d) 12
e) 16
14. (UEFS)
35840
bactérias
17920
0 1 2 3 4 5 6 7 horas
Suponha que o gráfico represente o aumento da população de uma colônia de bactérias, em casa hora n, durante 8 horas, e que
esse aumento seja dado pela expressão A(n) = k . a n , sendo k e a constantes reais. Nessas condições, pode-se concluir que, na
oitava hora, o aumento do número de bactérias da colônia é igual a:
a) 6720
b) 3360
c) 1680
d) 840
e) 280
106

15. (UESC) Uma droga é injetada na corrente sangüínea de um paciente e, simultaneamente, parte da droga que já se
encontra presente na sua corrente sangüínea, é retirada, de modo que em cada instante t, a quantidade presente é dada por y(t)
= – 2 t , para e constantes positivas. Entre os gráficos a seguir, o que melhor representa essa situação é:
a) y
d)
y
0
t
0
t
y
b) e)
y
0
t
0
t
c)
y
0
t
16. (UESB) Sobre a função f(x) = 1 – 3 –x , pode-se afirmar:
a) É decrescente em R.
b) É uma função par.
c) Tem como domínio [0, +[.
d) Tem como função inversa f –1 (x) = 1 + log 3 x.
e) Tem para conjunto-imagem ]–, 1[.
107

17. (UEFS)
y
0
x
A figura representa o gráfico da função f(x) = ax, a > 0. Com base nessa análise do gráfico e supondo-se f(2) + f(–2) = 2
5 ,
pode-se concluir que:
a) 0 < a < 2
1
b) 2
1 < a < 1
c) 1 < a < 2
d) 2 < a < 3
e) a > 3
GABARITO:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
0 * A 02 B 01 A C 03 E A B C 03 A E 02 05 B
108

LOGARÍTMO
DEFINIÇÃO:
Sejam a e números reais positivos com
à base b de tal modo que .
, denominamos de logaritmo de a na base b o expoente ao qual de deve elevar
Se liga.:
x é o logaritmo .
b é o logaritmando ou antilogaritmo .
a é a base .
EXERCÍCOS DE SALA:
1.
a)
b)
c)
d)
( )
109

CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO:
A partir da definição de logarítmo, podemos afirmar que :
1.
Ex.:
2.
Ex.:
3.
Ex.:
4.
Ex.:
Ex.:
6.
Ex.:
EXRCÍCIOS DE SALA:
1. (FIPMOC-2013)Uma pediatra, após estudar o crescimento médio das crianças de determinada região de nossa cidade,
com idades que variam de 1 a 12 anos, obteve a fórmula h = log (10 0,8 . ), em que h é a altura ( em metros) e i é a idade (
em anos).
Sobre uma criança de 10 anos, é correto afirmar que terá uma altura de:
A) 125 cm.
B) 120 cm.
C) 123 cm.
D) 130 cm.
2. (UESC) Uma fórmula para se medir a sensação de ruído, em decibéis (dB), é dada por L = 120 +10 log(l) , sendo l
intensidade sonora, medida em watt/m2. Se a sensação máxima de ruído provocada por um piano é de L = 94dB, então a
intensidade sonora máxima alcançada pelo piano é igual, em watt/m2, a:
01) 10 0,26
02) 10 -,0,26
03) 10 -2,6
04) 0,26 -10
05) 0,24 -10
110

3. (UESB) A equação 2 x–1 = 6 é verdadeira para x igual a:
01) log 2 12
02) log 3 12
03) 2 + log 2 6
04) 1 + log 3 12
05) 2 . log6
4. (UNEB) O valor da expressão
log 2 – log
01) 3
02) 4
03) 10
04) 11
05) 15
1
0,0001
+ log 5 + log 8 2
é igual a
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS:
São as propriedades que serão úteis na resolução de alguns cálculos numéricos:
P 1 : Logaritmo do Produto
( )
P 2 : Logaritmo do Quociente
MUDANÇA DE BASE:
111

EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (FIPMOC-2013) O tremor de terra ocorrido na cidade de Montes Claros, no dia 18 de abril de 2013 teve amplitude de
1000 micrômetros.
Fonte: Portal G1. Disponível em:
O sismógrafo mede a amplitude e a frequência dessas vibrações. A magnitude (Ms) do terremoto pode ser calculada pela equação logarítmica:
Ms = log(A.f) + 3,3
onde A é a amplitude, dada em micrômetros e f é a frequência, dada em Hertz (Hz).
O referido tremor teve uma frequência de:
A) 10 -0,4 Hz.
B) 10 -3,3 Hz.
C) 10 -2,6 Hz.
D) 10 -1,2 Hz.
2. (CONSULTEC) O pH é um índice de extrema importância para a manutenção da vida na superfície da Terra e é
utilizado para determinar a acidez de uma substância, tendo o seu valor calculado através da expressão pH =
, em
que [H+ ] representa a concentração de íons de hidrogênio nessa substância.
Considerando-se os dados da tabela, as substâncias A, B e C ordenadas, em função
do valor crescente dos respectivos pH, são
01) A, C, B
02) C, A, B
03) C, B, A
04) B, C, A
05) B, A, C
112

3. (Uepa-2008) O pH de uma solução química mede a acidez da mesma e é definido como
representa a concentração de íons H + .
Devido às secas registradas na região nordeste do País, a escassez de água tornou-se uma calamidade pública em algumas
cidades. Como atendimentos de urgência, caminhões pipas distribuíram águas retiradas diretamente de açudes entre as
famílias atingidas, com pH baixíssimo, tornando-as vulneráveis à contaminação com determinadas bactérias prejudiciais à
saúde humana. Numa amostra dessas águas foi detectado que [H + ] = 2,5.10 −9 .
De acordo com o Texto acima, e considerando log(5) = 0,70 , o pH dessa água foi de:
A) 9,70
B) 9,68
C) 9,73
D) 8,87
E) 8,60
4. (FDC-2011.2) O hábito de automedicação no Brasil é visto de forma natural por larga parcela da população, muito
embora se saiba, que não é uma prática recomendável a compra de remédios sem uma prescrição feita a partir de consulta e
diagnóstico médicos. Tal comportamento é influenciado pelas propagandas feitas nos meios de comunicação tradicionais e,
ultimamente, para quem acessa a internet, via e-mails.
Suponha que determinada empresa farmacêutica, ao lançar um novo produto em 2000, se utilizou de estratégias
publicitárias para inseri-lo no mercado, com a perspectiva de que suas vendas tivessem um crescimento médio anual de
12%.
Sendo esse índice de crescimento mantido e considerando-se log2 = 0,30 e log7 = 0,84, pode-se estimar que o total das
vendas realizadas em 2000 será quadruplicado em
01) 2016
02) 2015
03) 2014
04) 2013
05) 2012
5. (UNEB) Sabendo-se que 3log 27 log 1/ 9
01) -1
02) 0
03) 3
04) 9
05) 7
log
2
x
2
2
, pode-se concluir que 3
x
log é igual a
113

2
6. (UNEB) Sabendo-se que xR é tal que 32
x
pertence ao intervalo
1
27
e considerando-se log 2 = 0,30, pode-se afirmar que log x
01) ] - , -3]
02) ] –3, –2]
03) ]–2, 0]
04) ]0, 1]
05) [1, [
Se liga.:
0 é característica e 301 é mantissa
Se a característica é igual a quantidade de algarismos da parte inteira de a menos 1.
EXERCÍCIOS DE SALA:
(UNEB) DANOS DE ALIMENTOS ÁCIDOS
O esmalte dos dentes dissolve-se prontamente em contato com substâncias cujo pH (medida da acidez) seja menor do que
5,5. Uma vez dissolvido, o esmalte não é reposto, e as partes mais moles e internas do dente logo apodrecem. A acidez de
vários alimentos e bebidas comuns é surpreendentemente alta; as substâncias listadas a seguir, por exemplo, podem causar
danos aos seus dentes com contato prolongado. (BREWER. 2013, p. 64).
114

1. A acidez dos alimentos é determinada pela concentração de íons de hidrogênio [H + ], em molL − . Em Química, o pH é
definido por pH = colog[H + − + ].
Sabendo-se que uma amostra de certo alimento apresentou concentração de íons de hidrogênio igual a 0,005molL − e
2 − -se afirmar que, de acordo com a tabela ilustrativa, a amostra corresponde a
01) SUCO DE LIMÃO/LIMA.
02) CAFÉ PRETO.
03) MAÇÃ.
04) MAIONESE/MOLHO DE SALADA.
05) CHÁ PRETO.
C.
e
k.
t
2. (ITA) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece a função
, onde X(t) é o número de
bactérias no tempo t 0 ; C e k são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando-se que o número
inicial de bactérias X(0), duplica em 4 horas, quantas se pode esperar no fim de 6 horas?
a) 3 vezes o número inicial
b) 2,5 vezes o número inicial
c) 2 2 vezes o número inicial
2 3
2 vezes o número inicial
d)
e) nenhuma das respostas anteriores
X
t
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Definimos como função logarítmica a toda função inversa da função exponencial e que é representada por f(x) = log b x ,
com x R* + e b R* + { 1 }.
Ex.: ()
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA(DOMÍNIO):
Considerando a função logarítmica () , dizemos que f existe quando :
115

EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Determine a função inversa de cada função a seguir :
a) () ( )
b) ()
2. Determine, em R, o domínio de cada função abaixo :
a) () ( )
b) () ( )
O crescimento de uma função logarítmica ()
é determinado do seguinte modo:
1. Se , é denominada de crescente .´
116

2. Se é denominada de decrescente .
Equação logarítmica:
É toda equação que a incógnita está presente no logaritmando ou na base do logaritmando.
Ex.:
Inequação logarítmica:
É toda desigualdade cuja incógnita aparece no logaritmando ou na base de ao menos um dos logaritmos.
Ex.:
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (FUVEST-SP) O número x>1 tal que 2 log x
a)
2
4
b)2
2
c)
d)2
e)4
2
2
2
log , é:
x 4
117

2. (Uneb-BA) O número real x, tal que
é
)
)
)
)
)
3. (FUVESP-SP) A figura abaixo mostra o gráfico da função logaritmo na base b. O valor de b é:
a) ¼
b) 2
c) 3
d) 4
e) 10
4. (UNEB) Sendo f(x) = 3 –x , pode-se afirmar que f(–1 + log 3 2) pertence ao conjunto:
a)
b)
c)
d)
e)
1 2
,
9 3
1 3
,
3 2
3 3
,
8 4
4
1
,
3
9
3
,
2
118

5. (UEFS) O gráfico que melhor representa a função f(x) = log 2 (4 x ) é:
a)
b)
c)
d)
e)
119

EXECÍCIOS PROPOSTOS:
1. (UESB) A equação 2 x–1 = 6 é verdadeira para x igual a:
01) log 2 12
02) log 3 12
03) 2 + log 2 6
04) 1 + log 3 12
05) 2 . log6
2. (ENEM-2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma
amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da
população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à
metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é
calculada pela expressão
M(t) = A · (2,7) kt , onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa.
Considere 0,3 como aproximação para .
Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?
a) 27
b) 36
c) 50
d) 54
e) 100
3. (UNEB) Sendo log2 = 0,3010 e log3 = 0,477, pode-se afirmar que log (0,06) é igual a:
01) –2,222
02) –1,222
03) –0,778
04) 1,222
05) 1,778
4. (UEFS) Considerando-se log2 = 0,30 e log3 = 0,47, pode-se afirmar que x = log 2 30 é um número tal que:
a) 2 < x < 3
b) 3 < x < 4
c) 4 < x < 5
d) 5 < x < 6
e) 6 < x < 7
120

5. (UNEB) Sabendo-se que log 2 x = 3log 2 27 + log 2
9
1 , pode-se concluir que log3 x é igual a:
01) –1
02) 0
03) 3
04) 9
05) 7
6. (UEFS) A única solução real da equação log 9 (x + 1) = log 3 (2x) é um número:
01) inteiro divisível por 6.
02) inteiro divisível por 9.
03) racional não inteiro.
04) primo.
05) irracional.
7. (UESB) Se log 2 2 x + log 4 (x) = 0, então log 2
(2x) é igual a:
01) 2 2
02) 2
03) 2
04) 1
05) 0
8. (UNEB) Se as raízes da equação ax² + bx + c = 0 são x 1 = a . log b a e x 2 = c . log b c então é verdade que:
a) a a + c c = 0
b) a a . b b = c c
c) a a + b b = c c
d) (ab) c = 1
e) a a . c c = b b
121

9. (UEFS) Considerando-se log a = x, log b = y e log c = z, é correto afirmar que o valor de
11 2
a) 3x
y z
9 9
11 2
b) 3x
y z
9 9
11 2
c) 3x
y z
9 9
11 2
d) 3x
y z
9 9
11 2
e) 3x
y z
9 9
log
3
a
b
4
2 3
ab
bc
2
é:
10. (UESB) Se
9
x1
2
x
3 1
, então x é igual a:
2
01) log 5 3
1
02) log 5 3
2
03) log 3 5
04) log 3 2 – log 3 10
05) log3 – log5
3 2
x
11. (UEFS) Considerando-se log2 = 0,30 e log3 = 0,48, pode-se afirmar que um valor real de x tal que 5
2
3
pertence ao intervalo:
a) ]–, –3]
b) ]–3; –2]
c) ]–2; 0]
d) ]1; 2[
e) [2; + [
12. (UNEB) Sabendo-se que x R é tal que
pertence ao intervalo:
3
(2
2
x ) 1
e considerando-se log 2 = 0,30, pode-se afirmar que log |x|
27
122
01) ]–, –3]
02) ]–3, –2]
03) ]–2, 0]
04) ]0, 1]
05) [1, [

13. (UEFS-04.2) A expressão
a)
b)
1
2
1
log 2x
3
1
c)
1
log3
2
d) 1 + log 3 2
e) log 3 2x
log3
x
log x
6
é equivalente a:
3 2 1
14. (UEFS-03.1) Se 2 , então x 2 é igual a:
log2
x log3
x log5
x
a) 80
b) 120
c) 260
d) 320
e) 360
15. (UESC) Uma fórmula para se medir a sensação de ruído, em decibéis (dB), é dada por L = 120 + 10log(I), sendo I
intensidade sonora, medida em watt/m². Se a sensação máxima de ruído provocada por um piano é de L = 94dB, então a
intensidade sonora máxima alcançada pelo piano é igual, em watt/m², a:
a) 10 0,26
b) 10 –0,26
c) 10 –2,6
d) 0,26 –10
e) 0,24 –10
16. (UEFS1) Se log 9 2 = m, então
a)
3m 2
2 m
b)
3m 1
2 m
c)
3m 2
4 2m
d)
m 2
2 m
m 2
e)
3
m
log3
2 log9
18
81
log9
2
é igual a:
123

17. (UESC) O gráfico que melhor representa a função f(x) =
2
log3 (x ) 4 , definida para x
*
R , é:
2
01)
02)
03)
04)
05)
18. (UESB-04) O gráfico representa a função real f(x) = log a (x + 2), para x > –2.
y
-2 0
-2
7
x
124

Sendo assim, o valor de a é:
01)
2
7
02)
1
3
03)
2
3
04)
1
2
05) 3
1
19. (UESC) A melhor representação gráfica da função f(x) =
log 1 é:
3
x
01) 02)
y
y
1
0 1
x
0
1
3
x
03) y
04)
y
2
3
0 1 x
2
0
3
x
05)
y
1
2
0
3
x
125

20. (UEFS) Se f é uma função real definida por f(x) = a x , a > 0, então o valor de x 0 , tal que
f(x – x 0 ) = 4 . f(x + x 0 ) é:
01) –log a
2
1
02) –log 2 a
03) log 2 a
04) log a
2
1
05)
1
log
2
a
21. (UNEB) O número de soluções inteiras da inequação log 3 (2x – 9) 1 é:
01) 0
02) 1
03) 2
04) 3
05) 4
22. (UEFS) O conjunto X = {x Z; log 6 (2 x – 2) 1} está contido em:
01) {1, 2}
02) {0, 1, 3}
03) {0, 2, 3}
04) {0, 2, 4}
05) {0, 3, 4}
23. (UESC) De acordo com uma pesquisa realizada na comunidade, após t anos da constatação da existência de uma
20000
epidemia, o número de pessoas por ela atingidas é expresso por N(t) =
. Considerando-se o log2 = 0,3, podese
afirmar que em x meses, aproximadamente, o número de pessoas atingidas por essa epidemia será igual a 4000. Nessas
2t
2 15.4
condições, o valor de x é:
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
e) 3
126

24. (UESB-2013) Considere-se a função definida por () n .
Sabendo-se que () e
pode-se afirmar que o valor de ()
01) 3
02) 9
03) 30
04) 90
05) 300
25.(FUVEST) Sendo P = (a, b) um ponto qualquer da circunferência de centro na origem e raio 1, que satisfaça b > 0,
a b e pode-se afirmar que
a) 0
b) 1
c) –logb
d) log b
e) 2 logb
3 4
b a
log
2 2 4
a b b
1
vale:
GABARITO:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 * 01 E 02 A 05 E 04 05 B 04 C 04 D C 03 B 04 02 05 D
21 22 23 24 25
03 C 01 05 C
127

FUNÇÃO MODULAR
MÓDULO DE UM NÚMERO:
Dizemos que o módulo de um número x é o valor absoluto de x que se indica por x e definimos da seguinte maneira :
x,
sex0
x
x,
sex0
Ex.: 17 = 17
12 = 12
FUNÇÃO MODULAR :
Definimos como função modular a toda função definida por f(x) = x, de R em R, onde :
f(x) =
x,
sex0
x,
sex0
Ex.: ()
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Considerando a função f() ) calcule:
a) ()
b)
c) ( )
GRÁFICO DE FUNÇÃO MODULAR:
Como uma função modular é definida por duas sentenças , o gráfico desta função é representado como função definida
por várias sentenças:
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Esboce os gráficos das seguintes funções dando o seu domínio e sua imagem:
a) ()
128

) ()
c) ()
d) ()
e) ()
f) ()
g) ()
h) ()
129

EQUAÇÃO MODULAR :
É toda equação em que aparecem módulos de expressões que contém incógnita.
1º caso : Se x = k e k um número real , então :
x = k , se k > 0
x = 0 , se k = 0
não existe x , se k < 0
2º caso : Se x = k e k uma função , então :
x = k .
3º caso : Se x = k , então :
x = k .
Se liga.:
EXERCÍCIO: DE SALA:
1. Encontre o conjunto solução das equações:
a)
b)
c)
d)
e)
130

f)
g) ( )
h)
i)
j)
131

INEQUAÇÃO MODULAR:
É toda inequação incógnita aparece em módulo. Para resolver seguimos os casos abaixo :
1º caso : Se x > k , então x > k ou x < k .
2º caso : Se x k , então x k ou x k .
3º caso : Se x < k , então k < x < k .
4º caso : Se x k , então k x k .
Se liga.: Caso k seja um número real e não positivo temos que :
se k = 0 , então :
x
x
x
x
0 x 0
0 xR
0 xR
0 x 0
se k < 0 , então :
x
x
x
x
k
k
k
k
xR
xR
xR
x R
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Resolva, em R, as seguintes inequações:
a)
b)
c)
132

d)
e)
f)
EXRCÍCIOS DE SALA:
1. (UEFS) O conjunto {x R; –3 < x < 2} está contido em:
a) {x R; |x| 1}
b) {x R; |x| > 1}
c) {x R; |x| < 1}
d) {x R; |x| 2}
e) {x R; |x| 3}
2. (UNEB) Para consertar uma engrenagem, é necessário substituir uma peça circular danificada por outra, cujo raio r, em
u.c., deve satisfazer à relação |r – 0,5| 0,01. Assim, só poderão ser utilizadas, na reposição, peças com um raio, no
mínimo, igual a:
01) 0,26u.c.
02) 0,30u.c.
03) 0,34u.c.
04) 0,37u.c.
05) 0,49u.c.
133

3. O maior valor assumido pela função é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
4. O gráfico da função f de R em R, dada por () , intercepta o eixo das abscissas nos pontos (a,b) e (c,d),
com . Nestas condições o valor de d + c - b - a é:
a) 4
b) -4
c) 5
d) -5
e) 0
5, -
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
6.
2
- 6 = 0:
a) são positivas
b) tem soma igual a zero
c) tem soma igual a um
d) tem produto igual a seis
e) tem produto igual a menos seis
134

7. (Ufsc) 1. Considere a função f : IR ë IR dada por ()
Determine a soma dos números associados às proposições CORRETAS.
01. f é injetora.
02. O valor mínimo assumido por f é zero.
04. O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0,5).
08. O gráfico de f é uma reta.
16. f é uma função par.
8. (FGV) Relativamente à função f, de IR em IR, dada por f(x)=|x|+|x-1|, é correto afirmar que
a) o gráfico de f é a reunião de duas semi-retas.
b) o conjunto imagem de f é o intervalo
c) f é crescente para todo
d) f é decrescente para todo
e) o valor mínimo de f é 0
Gabarito:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 * E 05 B A D B 06 B
135

SUCESSÃO
SUCESSÃO:
Todo conjunto com elementos dispostos em uma certa ordem é denominado como sucessão ou sequência.
Ex.: ( )
Se liga.: Uma sucessão pode ser classificada como finita ou infinita.
SEQUÊNCIA NUMÉRICA:
É toda sequência formada por números e que são representadas por ( a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . ) , com
Se liga.: Quando uma sequência numérica é finita dizemos que o termo a n é o último termo.
EXRCÍCIOS DE SALA:
1. Determine o 5º termo de uma sequência , sabendo que a 1 = 2 , a 2 = 5 e a n+1 = 2 . a n 3n . a n1 , com n N / n 2.
2. Determine os três primeiros termos de uma sucessão, onde a soma dos n primeiros termos é representada por S n = 4 + 2n²
.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. (ENEM) Uma pessoa decidiu depositar moedas de 1, 5, 10, 25 e 50 centavos em um cofre durante certo tempo. Todo dia
da semana ela depositava uma única moeda, sempre nesta ordem: 1, 5, 10, 25, 50, e, novamente, 1, 5, 10, 25, 50, assim
sucessivamente.
Se a primeira moeda foi depositada em uma segunda-feira, então essa pessoa conseguiu a quantia exata de RS 95,05 após
depositar a moeda de
A) 1 centavo no 679º dia, que caiu numa segunda-feira.
B) 5 centavos no 186º dia, que caiu numa quinta-feira.
C) 10 centavos no 188º dia, que caiu numa quinta-feira.
D) 25 centavos no 524º dia, que caiu num sábado.
E) 50 centavos no 535º dia, que caiu numa quinta-feira.
136

2. (FGV-2008) A soma de todos os inteiros entre 50 e 350 que possuem o algarismo das unidades igual a 1 é
(A) 4566
(B) 4877
(C) 5208
(D) 5539
(E) 5880
3. (ESPM-2007) Uma competição esportiva é realizada de n em n anos (n inteiro e maior que 1). Sabe-se que houve
competição nos anos de 1931, 1959 e 1994. Assinale a alternativa que apresenta a próxima data dessa competição a partir
deste ano.
a) 2010.
b) 2012.
c) 2011.
d) 2008.
e) 2009.
4. (UNESP) Os coelhos se reproduzem mais rapidamente que a maioria dos mamíferos. Considere uma colônia de coelhos
que se inicia com um único casal de coelhos adultos e denote por an o número de casais adultos desta colônia ao final de n
meses. Se o número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do
quinto mês será
A)13.
B) 8.
C) 6.
D) 5.
E) 4.
5. (MACK-2010) Em uma sequência numérica, a soma dos n primeiros termos é com n natural não nulo. O oitavo
termo da sequência é
a) 36
b) 39
c) 41
d) 43
e) 45
137

6. (FCC/2007) Assinale a alternativa que substitui corretamente a interrogação na seguinte seqüência numérica: 8 12 24 60?
(A) 56
(B) 68
(C) 91
(D) 134
(E) 168
7. (FCC/2007ª) Os números abaixo estão dispostos de maneira lógica. 8 1 12 10 14 11 ...... 3 7 5 16 9
A alternativa correspondente ao número que falta no espaço vazio é
(A) 51
(B) 7
(C) 12
(D) 6
(E) 40
8. (FCC/2007) Em relação à disposição numérica seguinte, assinale a alternativa que preenche a vaga assinalada pela
interrogação:
2 8 5 6 8 ? 11
(A) 1
(B) 4
(C) 3
(D) 29
(E) 42
9. (FCC - 2004) Observe atentamente a tabela.
138
De acordo com o padrão estabelecido, o espaço em branco na última coluna da tabela deve ser preenchido com o número:
(A) 2
(B) 4
(C) 3
(D) 5
(E) 6

10. . (FCC- 2006) Assinale a alternativa que completa a série seguinte: 9, 16, 25, 36, ...
(A) 45
(B) 49
(C) 61
(D) 63
(E) 72
11. (UESC) Um censo realizado em uma cidade revelou que, o número de fumantes, durante o ano de 1995, sofreu um
aumento de 200 indivíduos e que, de 1996 até 1999, o aumento desse número, a cada ano, foi igual ao do ano anterior mais
30 fumantes. A partir de 2000, o número de fumantes ainda continuou crescendo, mas, com a proibição da propaganda de
cigarro, esse aumento foi reduzido a 100 fumantes por ano. Nessas condições, pode-se concluir que o aumento do número
de fumantes, desde o início de 1995 até o final de 2002, foi igual a:
01) 2010
02) 1800
03) 1730
04) 1600
05) 1500
Gabarito:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
40 * D E D D E E D B C B 04
139

PROGRESSÃO ARITMÉTICA
É toda seqüência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é igual a soma do antecesssor com a uma constante “r”
chanada de razão da P.A., ou seja .
Ex.: ( )
Propriedades:
Em toda P.A. o termo do meio é igual a média aritmética entre o antecessor e o sucessor.
Ex.: , temos que:
....
Em toda P.A. finita a soma dos termos extremos é igual a soma dos termos equdistantes desses extremos.
Ex.: temos que
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (FDC) A sequência
é uma P.A. de termos positivos. Seu quarto termoe é:
2. Calcule a razão de uma P.A. de modo que os números ( ) ( )( ) formem , nessa ordem , uma P.A.
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.:
A partir de um dos termos de uma P.A., podemos escrever o termo geral:
( )
Ex.:
SOMA DOS n TERMOS DE UMA P.A.:
A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é dada pelo produto entre a média aritmética dos dois extremos e o número de
termos, ou seja:
140

( )
Se liga.:
3 termos em P.A., temos ( )
5 termos em P.A., temos ( )
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (CONSULTEC) Em 2003, as idades de 3 irmãos, são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de
razão 4 e, daqui a 5 anos, s soma dessas idades será igual a 60. Nessas condições, pode-se afirmar que atualmente a idade
do mais
a) jovem é 10 anos
b) jovem é 11 anos
c) velho é 12 anos
d) velho é 14 anos
e) velho é 15 anos
2. (CONSULTEC) Um certo tipo de loteria paga, ao acertador, um prêmio equivalente a 100 vezes o valor apostado. Na
primeira vez que jogou, uma pessoa apostou R$ 1,00 e, nas vezes seguintes, acrescentou sempre mais R$ 3,00 à aposta
anterior. Tendo acertado na décima jogada, decidiu parar. Levando-se em conta o que foi gasto nas apostas e o valor
recebido como prêmio, pode-se concluir que essa pessoa teve um lucro, em reais, igual a:
a) 2800
b) 2655
c) 2100
d) 1548
e) 1000
3. (CONSULTEC) Um personal trainner sugeriu a um jovem iniciante em atividades físicas que seguisse o seguinte
programa de condicionamento físico, durante um mês, e que, depois, faria uma avaliação.
Corrida
Caminhada
1 o dia 500m 1000m
2 o dia 600m 1250m
3 o dia 700m 1500m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
141

Com base nos dados, pode-se afirmar que, ao final de 15 dias , o jovem tinha totalizado, em caminhada e em corrida:
a) 40,50km
b) 44,25km
c) 59,25km
d) 82,50km
e) 90,00km
5. (CONSULTEC) Considere-se n N*, tal que 1 + 2 + 3 + ... + n = 16n. Com base nessa informação, pode-se concluir
que n é igual a:
a) 15
b) 17
c) 31
d) 32
e) 33
5. (CONSULTEC) Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada pela expressão S n = n² – 6n
então o décimo quinto termo dessa progressão é um elemento do conjunto:
a) {10, 15, 20}
b) {11, 16, 21}
c) {12, 17, 22}
d) {13, 18, 23}
e) {14, 19, 24}
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. (CONSULTEC) Numa cidade, a cada ano, o número de novos profissionais de uma certa área é de 10 a mais do que o
número de novos profissionais do ano anterior. Se, durante 9 anos, o número de profissionais dessa área teve um aumento
de 396 profissionais, pode-se afirmar que, no 3 o ano, o número de novos profissionais foi igual a:
01) 15
02) 24
03) 35
04) 40
05) 45
142

2. (UEFS) Um motorista comprou um automóvel por R$ 14400,00 e o vendeu no momento em que o total gasto com sua
manutenção era igual a 1/3 dessa quantia. Sabendo-se que, no primeiro ano, após tê-lo comprado, o motorista gastou R$
300,00 com a sua manutenção e, a partir daí, a cada ano seguinte, o custo com a manutenção foi de R$ 200,00 a mais do
que no ano anterior, conclui-se que o tempo, em anos, que o motorista permaneceu com o automóvel foi igual a:
01) 4
02) 5
03) 6
04) 7
05) 8
3. (UESC) Três positivos estão em progressão aritmética. A soma deles é 12 e o produto é 28. A soma dos quadrados
desses termos é:
01) 66
02) 64
03) 58
04) 54
05) 24
4. (UESB) Um auditório possui 15 poltronas da primeira fila, 17 na segunda e 19 na terceira; as demais filas se compõem
na mesma seqüência. Sabendo-se que esse auditório tem 735 poltronas em n filas, pode-se afirmar que o valor de n é igual
a:
01) 21
02) 42
03) 56
04) 63
05) 65
5. (UEFS1) Se, em uma P.A., a soma dos três primeiros termos é igual a zero, e a somados dez primeiros termos é igual a
70, então a razão dessa progressão é:
01) –3
02) –2
03) 2
04) 3
05) 4
143

6. (UEFS) Na figura, a soma das medidas das áreas dos quadrados é igual a 12u.a., e essas medidas estão em progressão
aritmética. Se a medida da área do quadrado menor é numericamente igual ao comprimento do lado do quadrado maior,
então a área do quadrado menor mede, em u.a.:
a) 2,0
b) 2,5
c) 3,0
d) 3,5
e) 4,0
7. (UNEB) O primeiro termo positivo da progressão aritmética (–75, –67, –59, ...) é:
01) 3
02) 4
03) 5
04) 8
05) 9
8. (UESB) Em certo país, no período de 1994 a 2000, a produção nacional de petróleo cresceu anualmente segundo os
termos de uma progressão aritmética. Se em 1994 a produção foi de 40 milhões de metros cúbicos e a soma da produção de
1997 com a de 1998 foi igual a 90,5 milhões de metros cúbicos, o número de milhões de metros cúbicos de petróleo
produzido em 2000 foi:
01) 47
02) 47,5
03) 48
04) 48,5
05) 49
9. (UESC) Numa via de trafego, a velocidade máxima permitida é 80 km/h. Para o motorista que desrespeita essa lei,
aplica-se o seguinte sistema de penalidade: na primeira infração, o motorista apenas recebe uma advertência; na segunda,
paga uma multa de R$ 150,00 e, a partir da terceira, para uma multa igual à anterior, acrescida de R$ 20,00. Sabendo-se
que o motorista tem sua carteira apreendida após ter infringido dez vezes essa lei, conclui-se que, quando esse fato
acontecer, o motorista terá pago pelas multas, um total, em reais, igual a:
144
01) 2.400,00
02) 2.070,00
03) 1.980,00
04) 1.830,00
05) 1.420,00

10. (FIPMOC-2011) Na compra a prazo de uma TV, o total pago por uma pessoa foi de R$ 672,00. A entrada teve valor
correspondente a um sexto do total, e o restante foi pago em quatro parcelas, cujos valores formam uma progressão
aritmética crescente de razão R$ 40,00. Qual foi o valor da última prestação?
A) R$ 205,00
B) R$ 210,00
C) R$215,00
D) R$ 200,00
11. (FIPMOC-2013) Uma casa noturna na cidade de Montes Claros, que só abre aos sábados, foi inaugurada no dia 23 de
abril de 2012, quando recebeu 600 clientes. A partir daí, o número de clientes que passaram a frequentar esse
estabelecimento aumentou à razão de 120 pessoas por semana, até atingir a capacidade máxima de 2400 pessoas, que se
tem mantido.
Sem contar o da inauguração, o número de sábados transcorridos, até que a capacidade máxima fosse atingida pela primeira
vez, foi:
A) 9
B) 15
C) 11
D) 13
12. (FIPMOC-2013) A representação abaixo é conhecida como sequência dos números triangulares.
Quantas bolinhas terá a 15ª figura?
A) 105
B) 120
C) 240
D) 226
145

13. (UESB-2013) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de R$2500,00 e vai devolvê-la com juros, que totalizam
R$850,00. O pagamento será em 10 prestações, sendo cada uma delas R$15,00 maior do que a anterior.
Assim, é correto afirmar que o valor da 5a prestação, em reais, é
01) 267,50
02) 270,00
03) 327,50
04) 332,50
05) 350,00
146
Gabarito:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0 * 02 C 01 01 C A 03 A 02 D B B 03

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.):
É toda seqüência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do antecessor com uma constante “q”
chamada de razão da P;G., ou seja .
Ex.: ( )
.
Propriedades:
Em toda P.G. o termo do meio é igual a média geométrica entre o antecessor e o sucessor:
Em toda P.G. finita o produto dos termos extremos é igual ao produto dos termos equdistantes desses extremos.
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (UEFS) Adicionando-se a mesma constante a cada um dos número 3, 6 e 10, nessa ordem, obtém-se uma progressão
geométrica de razão igual a:
a) 5
2
b) 3
4
c) 2
d) 2
5
e) 3
2. (UESB-05) Somando-se um valor constante k a cada um dos termos da seqüência (2, 1, 3), obtém-se, nessa
mesma ordem, uma nova seqüência, que é uma progressão geométrica. A soma dos termos dessa progressão é igual a:
a) 9
b) 6
c) 5
d) 3
e) 1
147

3. Calcule o quinto termo de uma P.G. sabendo que os três primeiros termos são os números x , e log 2 10x .
Se liga.: Uma progressão geométrica pode ser classificada como:
a1
0e q 1
crescente
a1
0e0
q 1
cons tante
q 1
a1
0e q 1
decrescente
a1
0e0
q 1
alternante q 0
x
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.G.
A partir de um dos termos da P.G., podemos escrever o termo geral da seguinte forma:
Ex.:
P.G. FINITA:
É toda P.G. onde podemos determinar quais ou quantos são todos os termos de uma P.G. . Para calcular a sua soma
utilizamos a expressão:
( )
P.G. INFINITA:
É toda P.G. onde não podemos determinar quais e nem quantos são todos os termos de uma P.G.. Para calcular a sua soma
utilizamos o raciocínio de limite através da expressão:
Se liga.:
3 termos em P.G.. temos
5 termos em P.G., temos
148

EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (FDC-2009.2) O número de decibéis do eco de um determinado som é do número de decibéis desse som.
Sabendo-se que cada eco resulta em outro eco e considerando log 2 = 0,30, pode-se afirmar que o número máximo de ecos
que o ouvido humano médio pode ouvir, até 16dB, a partir e um som de 80dB é
01) 4
02) 5
03) 6
04) 7
05) 8
2. (CONSULTEC) Para que a soma dos termos da sequência 2 –5 , 2 –4 , 2 –3 , ..., 2 k , k Z, seja igual a
ser igual a:
255 , o valor de k deve
32
a) –1
b) 0
c) 2
d) 5
e) 8
3. (CONSULTEC) As sequências (a 1 , a 2 , a 3 , ...) e, com a 1 = 2 e b 1 = 4
1 , são progressões geométricas crescentes de razão q
e q², respectivamente. Sendo b 5 = 2a 5 , o número inteiro n para o qual a n = 2b n é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 7
4. (UESB-2013) Um técnico, utilizando um microscópio, constatou que cada célula de uma determinada bactéria se
subdivide em três ao final de cada 15 minutos.
Com base nessa informação, pode-se concluir que o total de células produzidas a partir de apenas uma célula, no final de 3
horas, é igual a
01)
02)
03)
04)
05)
149

5. (FIPMoc-2012) Um cientista iniciou o estudo de uma população. Oito anos após, observou que a população era de 8000
indivíduos; dois anos mais tarde, era de 16000 indivíduos. Desse modo, pode-se afirmar que a população inicial estudada
era de:
A) 250
B) 512
C) 1024
D) 500
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. (UESB) Uma pessoa investiu R$ 5000,00 em uma aplicação financeira, por um prazo de 4 anos, ao fim do qual teve um
saldo total de R$ 20000,00. Sabendo-se que, durante esse período, essa pessoa não fez saques nem depósitos e que a
aplicação teve rendimento anual segundo uma progressão geométrica, pode-se afirmar que o rendimento, em reais, obtido
no primeiro ano foi de, aproximadamente,
a) 950,00
b) 1500,00
c) 1620,00
d) 2000,00
e) 2500,00
2. (UEFS) Se a soma dos 10 termos da seqüência (3, 6, 12, ...) vale R e a soma dos infinitos termos da seqüência (1; 0; 3; 0;
1, ...) vale S, S 0, então o valor de R/S é:
a) 1023
b) 1024
c) 2046
d) 3000
e) 3069
3. (UEFS) A quantidade de cafeína presente no organismo de uma pessoa decresce a cada hora, segundo uma progressão
geométrica de razão 1/8. Sendo assim, o tempo t para que a cafeína presente no organismo caia de 128mg para 1mg é tal
que:
a) 0 < t < 1
b) 1 < t < 2
c) 2 < t < 4
d) 4 < t < 6
e) 6 < t < 8
150

4. (UEFS) A figura é composta por oito triângulos retângulos isósceles, sendo a área do triângulo menor igual de 1 u.a. A
partir dessa informação, pode-se afirmar que as áreas dos oitos triângulos formam uma progressão geométrica de razão
igual a:
a) 2, e a soma de todas elas é igual a 255u.a.
b) 2, e a soma de todas elas é igual a 128u.a.
c) 2 , e a soma de todas elas é igual a 128u.a.
d) 2 , e a soma de todas elas é igual a 128 2 u.a.
e) 2 2 , e a soma de todas elas é igual a 128 2 u.a.
5. (UNEB) Um carro foi testado durante 10 dias para verificar o bom desempenho e poder ser lançado no mercado com
bastante sucesso. No primeiro dia do teste, ele percorreu 80km e, nos dias subseqüentes, houve um aumento de 5% da
quilometragem rodada em relação à quilometragem do dia anterior. Nessas condições, pode-se afirmar que a
quilometragem total rodada pelo carro no período de teste é dada pela expressão:
A) 4((1,05) 10 –1)
B) 1600((1,05) 10 –1)
C) 80(1,05) 9
D) 1600((1,05) 9 –1)
E) 40((1,05) 9 –1)
6. (UEFS) Um homem pesando 256 kg se submete a um regime alimentar, de modo que, a cada 3 meses, seu peso fica
reduzido em 25%. A completar 1 ano de regime, ele pesa Pkg, tal que:
a) 120 < P 140
b) 100 < P 120
c) 80 < P 100
d) 60 < P 80
e) 40 < P 60
151

7. (UESC) Considere-se um quadrado de lado l. Com vértices nos pontos médios dos seus lados, constrói-se um segundo
quadrado. Com vértices nos pontos médios dos lados do segundo quadrado, constrói-se um terceiro quadrado e assim por
diante. Com base nessa informação e no conhecimento de seqüências, é correto afirmar que o limite da soma dos
perímetros dos quadrados construídos é igual a:
a) 4l . (2 + 2 )
b) 4l . (2 – 2 )
c) 8l . (2 + 2 )
d) 4l . (1 + 2 )
e) 8l . (1 + 2 )
8. (UNEB) A partir do triângulo ABC retângulo em A, de catetos iguais a 1 u.c., é construído um primeiro triângulo ABC 1 ,
sendo C 1 ponto médio de AC, um segundo triângulo ABC 2 , sendo C 2 ponto médio de AC 1 , um terceiro triângulo ABC 3 ,
sendoC 3 ponto médio de AC 2 , e assim sucessivamente. O quadrado da medida da hipotenusa do quinto triângulo assim
construído é igual a
1
01)
512
1
02)
1024
1
03)
2048
1025
04)
1024
1023
05)
1024
9. (Fuvest) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os
seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética
excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
152

10. (Uflavras) Sabendo-se que os números a 0 , a 1 , 75, a 3 e 1875 estão em progressão geométrica, o valor de a 3 é
a) 100
b) 1500
c) 225
d) 375
e) 1125
Gabarito:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 * 04 C C A 02 C 01 04 D D
153

ANÁLISE COMBINATÓRIA
FATORIAL:
Definimos como fatorial de um número “n”, sendo n um número natural, como o produto de todos os naturais menores ou
iguais a ele até a unidade e representado por “ n! ” , ou seja:
( ) ( ) ( )
Ex.:
Se liga.:
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Calcule o valor de:
a)
b)
c)
d)
154

2.Simplifíque as expressões:
a)
()
b)
()
()
c)
()
d) ()
()
e) ()
()
3. Resolva as seguintes equações :
a) ( ) ( ) ( )
155

)( )
c) (PUC-RS) Se
()
()
então n é igual a:
d) ()
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1, (UFF-RJ) O produto é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
156
2,. (Uniube-MG) Considere os seguintes números naturais pares 4, 6, 8, ..., 100.

Efetuando-se a soma 4! + 6! + 8! + ... + 100! , o algarismo que ocupa a ordem das unidades dessa soma é igual a
a) 4.
b) 2.
c) 6.
d) 8.
3. A solução da equação ()()
()()
é um número natural
a) par.
b) cubo perfeito.
c) maior que 10.
d) divisível por 5.
e) múltiplo de 3.
4. (UESC) O valor de x N, tal que
01) 6
02) 5
03) 4
04) 2
05) 3
x
2!.
2x
2
2x
1 !.
x
1
!
40 , é:
x!
5. (CONSULTEC) Se
()()
, então:
01) n = 2
02) n = 12
03) n = 5
04) n = 7
05) n = 10
6. Qual a soma das raízes da equação (5x – 7)! = 1
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
157

7. Qual a solução da equação (2x – 3)! = 120
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
8. Simplificando a expressão
a)
b)
c) 1
d) ( )
e) ( )
(n 2)! (n 1) .(n -1)!
(n 1) .(n -1)!
obtém-se:
9. O valor de n na equação 1 2 3 4 ... n 1
é:
(n 1)!
240
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 2
10. (UFRN) Se (x+1)! = 3(x!), então x é igual a :
a) 1
b) 4
c) 2
d) 3
158
Gabarito:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 * D A A 04 03 C D E A C

PROBLEMAS DE CONTAGEM:
Análise Combinatória é a parte da Matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrer um determinado evento,
sem necessariamente descrever todas as possibilidades . Os problemas de contagem são resolvidos através da árvore das
possibilidades que mostra todas as possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento.
mais deumelemento Q
Qou A(
mudar osen
tido )
apenas um elemento
C ( não mudar osen
tido )
Qquadrinhos,
Aarranjo,
C
combinação
Se liga.: Só não poderão utilizar esses quadrinhos para resolver os problemas de contagem quando os problemas tiverem
uma única especialidade e ao mudarmos a ordem dos elementos em questão , não mudar o sentido da questão .
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números, com algarismos distintos, existem entre 700 e 1000?
2. A quantidade de números pares de 4 algarismos, sem repetição, que podemos formar com os dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7, e 8 é
igual a:
a) 480
b) 240
c) 960
d) 120
e) 2800
3. A quantidade de números de três algarismos que têm pelo menos dois algarismos repetidos é x. O valor de x é:
a) 762
b) 252
c) 648
d) 810
e) 452
159

4. De quantas maneiras podemos arrumar 5 livros de Matemática e 3 de Física em uma estante? Se desejarmos que os livros
de mesma disciplina fiquem juntos, de quantas maneiras eles poderão ser arrumados?
5. (PUC-MG/2009) As portas de acesso de todos os apartamentos de certo hotel são identificadas por meio de números
ímpares formados com 3 elementos do conjunto M = {3, 4,6,7,8}. Nessas condições, é correto afirmar que o número
máximo de apartamentos desse hotel é:
a) 24
b) 36
c) 44
d) 50
6. (UESC) Seis pessoas formam uma fila indiana para percorrer uma trilha em uma floresta. Se uma delas é medrosa e não
quer ser nem a primeira nem a última da fila, então o número de modos que essa fila pode ser formada é:
01) 120
02) 480
03) 600
04) 720
05) 930
7. (UEFS) Em uma estante, devem-se arrumar 9 livros, dos quais 5 são de Matemática. A quantidade máxima de maneiras
que se pode colocar, em ordem, tais livros na estante, de modo que os livros de Matemática fiquem sempre juntos, é:
a) 4! 4!
b) 5! 4!
c) 4! 5!
d) 5! 5!
e) 14!
160

8. (UNEB) Um empresário, visando proteger o sistema de segurança de sua firma, deseja criar senhas constituídas de
seqüências de quatro dígitos distintos, sendo os dois primeiros vogais e os dois últimos algarismos. O número de senhas
distintas, do tipo descrito, que podem ser formadas é igual a:
01) 180
02) 200
03) 800
04) 1600
05) 1800
9. (UEFS) A quantidade de números inteiros x, formados pelos algarismos 0, 1, 3, 4, 5, sem repeti-los, tais que 100 < x <
1000 e, x é múltiplo de 5, é igual a:
a) 21
b) 24
c) 40
d) 120
e) 125
10. (UEFS) Uma senha dele ser formada escolhendo-se 4 algarismos de 0 a 9, sem que haja algarismos repetidos. Portanto,
o número máximo de senhas que satisfazem a essa condição é:
a) 840
b) 1210
c) 3420
d) 5040
e) 6100
161

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. (UESC) As senhas de acessos dos usuários de uma INTRANET (rede interna de computadores) são da forma:
X m m + 1 m + 2 n
sendo x a inicial do nome do usuário; m, m + 1, m + 2 e n, dígitos escolhidos dentre 0,1,2, ... , 9, sem repetição. Com base
nessas informações, conclui-se que o número máximo de testes que será preciso fazer para descobrir a senha da usuária
Maria é:
01) 2340
02) 90
03) 1456
04) 63
05) 56
2. (FIPMOC-2014) Em um acidente de trânsito, após ouvir várias testemunhas, conclui-se que o motorista culpado do
acidente dirigia um veículo cuja placa era constituída de duas vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o
algarismo das unidades era o dígito 2.
O número de veículos suspeitos desse acidente é:
A) 1.080
B) 14.400
C) 10.080
D) 12.600
3. (UEFS) A figura ilustra um bloco de um código de barras, utilizado por uma empresa para cadastrar os preços dos
produtos que comercializa.
Cada bloco é formado por 12 barras verticais separadas por 11 espaços podendo ser usadas barras de três larguras distintas
e espaço de duas larguras distintas. Nessas condições, o número máximo de preços que podem ser cadastrados através
desse sistema é:
a) 3¹² . 2¹¹
b) 12³ . 11²
c) 12³ + 11²
d) 3 + 6¹¹
e) 3¹² + 6¹¹
162

4. (Ufam) As cidades A, X, Y, Z e B estão interligadas por rodovias indicadas conforme a Figura a seguir. De quantos
modos uma pessoa pode sair da cidade A e chegar na cidade B, passando apenas uma vez por cada cidade em cada caminho
escolhido?
a) 90
b) 92
c) 94
d) 95
e) 102
5. (UFPB-20011) A prefeitura de certo município solicitou ao Governo Federal uma verba para a execução das seguintes
obras:
• saneamento básico;
• calçamento de ruas;
• construção de uma escola;
• construção de uma creche;
• construção de casas populares.
O Governo Federal aprovou a concessão da verba solicitada, na condição de que fosse estabelecida uma ordem na execução
das obras, de modo que, tendo sido liberada a verba para a primeira obra, a verba para a segunda só seria liberada após a
conclusão da primeira, e assim sucessivamente até a execução da última obra. Nesse contexto, considere o planejamento
feito pela prefeitura:
• a primeira obra escolhida foi a construção das casas populares;
• o calçamento das ruas só poderá ser executado com o saneamento básico concluído.
Atendendo às condições estabelecidas pelo Governo Federal e ao planejamento da prefeitura, é correto afirmar que o
número de maneiras possíveis e distintas para a realização dessas 5 obras é:
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
163

6. (UNEB) A quantidade de maneiras distintas que 4 moças e 4 rapazes podem se sentar em uma fila de 8 assentos, de
modo que nunca haja nem dois rapazes vizinhos e nem duas moças sentadas uma ao lado da outra, é igual a:
01) 2304
02) 1152
03) 576
04) 380
05) 256
7. (ENEM-2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira.
Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em
um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual
cômodo da casa o objeto foi escondido.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre
distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta,
ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
8. (ENEM-2012) O designer português Miguel Neiva criou um sistema de símbolos que permite que pessoas daltônicas
identifiquem cores. O sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primárias (azul, amarelo e
vermelho). Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que é o
amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é
cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os símbolos que representam preto e branco também podem estar
associados aos símbolos que identificam cores, significando se estas são claras ou escuras.
Folha de São Paulo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 18 fev. 2012 (adaptado).
De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto?
a) 14
b) 18
c) 20
d) 21
e) 23
164

9. Há 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisas verdes, 3 com camisas amarelas, 2 com camisas azuis e 2 com camisas
brancas.
De quantos modos podemos perfilar todas essas 10 pessoas de modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem
juntos?
a) 336
b) 2436
c) 1358
d) 3456
10. Quantos números de telefones com prefixo 231 existem em Natal, com todos os dígitos distintos e o último dígito igual
ao dobro do penúltimo? Considere que os telefones de Natal têm números com sete dígitos.
a) 12
b) 15
c) 20
d) 8
11. Um banco cria senhas distintas alfa-numéricas com 5 dígitos para todos os seus clientes. Sabendo que essas senhas
possuem necessariamente 2 letras e 3 números, qual a QUANTIDADE MÁXIMA de senhas que podem ser criadas?
a) 598 000
b) 616 300
c) 625 000
d) 676 000
e) 757 600
165

12. (UFRN- 2009 - Adaptada) Uma pessoa foi ao dentista e constatou que estava com cinco cáries, cada uma em um dente.
Ficou decidido que seria restaurado um dente cada vez que ela voltasse ao consultório. O dentista combinou que marcaria
as datas em cinco semanas seguidas, um dia a cada semana. Considerando-se apenas os dias úteis e sabendo-se que, nesse
período, ocorreriam, ao todo, dois feriados, em semanas diferentes, o número de maneiras distintas para se programar o
tratamento do paciente seria:
a) 3.125
b) 1.875
c) 1.600
d) 2.000
e) 2 150
13. Uma prova tem cinco questões com quatro alternativas cada. De QUANTAS MANEIRAS diferentes pode-se marcar
gabarito dessa prova?
a) 16
b) 64
c) 128
d) 256
e) mais de mil
14. João anotou o número de telefone de uma menina que ele conheceu num pedaço de papel e colocou no bolso de sua
calça. Desavisada, sua mãe lavou a calça e não retirou o papel. Desesperado, João tenta decifrar os números. Ele conseguiu
decifrar quase todos os números, exceto os dois finais: um que não faz a mínima idéia e outro que ficou em dúvida se é 4
ou 9. Então ele resolveu fazer uma lista com todos os números de telefones possíveis. QUANTOS números de telefones ele
listou?
a) 9
b) 11
c) 12
d) 18
e) 20
166

15. A equipe de vôlei do Colégio “Somos os Melhores” possui 5 modelos de camisas (brancas, verdes, amarelas e pretas) e
4 tipos de shorts (branco, preto, azul e cinza). Sabendo-se que o time monta o uniforme com blusa e short de cores
diferentes, o NÚMERO MÁXIMO de possibilidades que esse time tem para escolher o uniforme é:
a) 144
b) 20
c) 15
d) 14
e) 9
16. Veja o anúncio:
Relógios Flex
Seu relógio para todas as ocasiões!
Agora com três cores de mostruários: prata,
branco e preto. Além das cinco cores de pulseiras:
branco, lilás, preto, vermelho e amarelo.
De QUANTAS maneiras é possível montar o relógio sem repetir o conjunto?
a) 15
b) 16
c) 20
d) 22
e) 24
Gabarito:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 * 05 A C D C 02 A C D C D d D E D A
167

NÚMERO BINOMIAL
Dado dois números naturais e com chamamos de número binomial todo número que pode ser escrito na forma:
( )
Ex.:
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Resolva:
a)
c)
d)
Propriedades:
Ex.:
Ex.:
:
Ex.:
Ex.:
168

Números binomiais complementares:
Ex.
Ex.:
Relação de Stiffel:
Ex.:
EXERCIOS DE SALA:
1. . Determine m que verifique:
a)
12 12
;
2m
1
m
4
10 10
m 3
3m
5
b) .
2. Utilize as propriedades e calcule os binomiais:
0 1 2
a) C C
2 3
C4
169

0 1 2 3
b) C C C
7 8 9
C10
c)
10
7
10
11
12
8 9 10
13
10
x
y
3. Sabendo que 28
x
e 56
y 1
x 1
, calcule o valor de .
y 1
4. Se um número natural n é tal que
10
10
11
12
, então n é:
2
5 6 7 n
2
a) igual a 6 ou – 6
b) um número par
c) um quadrado perfeito
d) divisor de 15
170

5. Os valores de x que satisfazem a igualdade
são:
a) 1 ou 4
b) 1 ou 3
c) 3 ou 4
d) 2 ou 3
e) 1 ou 5
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. (UEPG PR/2009) Em relação a números binomiais, assinale o que for correto.
01. Se
n n n n
...
64
0
1
2
n
, então n=8
02.
11
10
10
3
3 2
04. Se
14
14
,
2x
5 x
então x=5 ou x=3
8
08.
9
9
9
9
...
2
1
2
3
8
16. Se
5
5
6
, então x=5
4
5
x 2
2. (FGV /2005) Se
a) 4
b) 6
c) 9
d) 5
e) 8
n
1
n
1
n
5
6
2
2
n
, então n é igual a:
171

3. Obtenha o conjunto solução da equação = .
a) S = {4}
b) S =
c) S = {6}
d) S = {4 ; 6}
e) S = {3 ; 7}
4. Resolva a equação, ou seja, obtenha o valor de x que torna verdadeira a sentença matemática:
172
Gabarito:
* 0 1 2 3 4
0 * 06 E B 3 ou 5

COMBINAÇÃO SIMPLES
Combinação simples de elementos distintos tomados e com , é qualquer agrupamento não ordenado formado
por elementos escolhidos entre esses elemntos, indicamos a quantidade de combinações simples por:
( )
ARRANJO SIMPLES
Arranjo simples de elementos distintos tomados e com , é qualquer agrupamento ordenado formado por
elementos escolhidos entre esses elemntos, indicamos a quantidade de arranjos simples por:
( )
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Pernutação simples de elementos distintos é qualquer agrupamento ordenado formado por esses elementos. Pelo
princípio funda,emtal da contagem, a quantidade de permutações simples de elementos Que é indicado por:
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
A quantidade de permutações de elementos, em o primeiro deles se repete a vezes, o segundo b vezes e assim
sucessivamente, é dada por:
Se liga.: COMBINAÇOM REPETIÇÃO
( )
DISPOSIÇÃO CIRCULAR
( )
173

EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (UESC) Em um grupo de 15 professores, existem 7 de Matemática, 5 de Física, e 3 de Química. O número máximo de
comissões que pode se formar com 5 professores, cada uma delas constituída por 2 professores de Matemática, 2 de Física
e 1 de Química, é igual a:
01) 34
02) 65
03) 120
04) 630
05) 2520
2. (UESB) O número máximo de anagramas da palavra UESB que não apresenta duas vogais juntas é:
01) 6
02) 8
03) 12
04) 18
05) 24
3. (UEFS) Se todos os anagramas obtidos através das permutações das cinco letras da sigla UEFS forem ordenados como
em um dicionário a sigla que ocupará a 17º posição será:
01) FSUE
02) SEUF
03) SUEF
04) UEFS
05) UFES
4. (UESB) De um grupo de 8 pessoas, deve-se escolher 4 para formar uma comissão. Quantas comissões distintas podem
ser formadas:
01) 1680
02) 830
03) 520
04) 140
05) 70
174

5. (UNEB) Colocando-se em ordem crescente todos os numero inteiros de cinco algarismos distintos formados com os
elementos do conjunto {2, 4, 5, 6, 7},a posição do número 62754 é:
01) 56º
02) 64º
03) 78º
04) 87º
05) 91º
6. (UEFS) A diretoria de uma empresa é constituída por seis brasileiros e por três japoneses. Nessa diretoria, o número de
comissões que podem ser formadas com três brasileiros e dois japoneses é igual a:
01)120
02) 108
03) 60
04) 54
05) 30
7. (UEFS) Para elaborar uma prova, pretende-se criar uma comissão entre os 7 professores de Matemática de uma escola. O
número de possibilidades para formar essa comissão, de modo que ela contenha, pelo menos, dois professores, é igual a:
a) 42
b) 120
c) 128
d) 150
e) 210
8. (UESB) A Câmara Municipal de um pequeno município tem exatamente 13 vereadores, sendo que 8 apóiam o prefeito e
os demais são da oposição. Uma comissão constituída de 3 vereadores da situação e 4 da oposição será escolhida. Com
base nessas informações, pode-se afirmar que o número de comissões distintas do tipo descrito é igual a:
a) 5
b) 56
c) 120
d) 140
e) 280
175

9. (UEFS) Em uma concessionária, certo modelo de automóvel pode ser encontrado em seis cores, com quatro itens
opcionais diferentes. O número de escolhas distintas, com um item opcional, pelo menos, que uma pessoa tem, ao comprar
um automóvel desse modelo, nessa concessionária, é igual a:
a) 15
b) 30
c) 45
d) 64
e) 90
10. (UESC) O número máximo de maneiras distintas para se formar uma roda com 7 crianças, de modo que duas delas A e
B fiquem juntas, é igual a:
a) 60
b) 120
c) 240
d) 1200
e) 1440
11. (UNEB) Com 8 flores distintas, sendo 3 alvas e 5 rubras, um artesão vai arrumar um ramalhete contendo 6 dessas
flores, em que, pelo menos, uma seja alva. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número máximo de
ramalhetes distintos que ele ode confeccionar é igual a:
a) 28
b) 18
c) 15
d) 10
e) 3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. (FDC-2011.2) O estado de saúde de pacientes internados em UTIs costuma ser
Informado aos familiares por meio de boletins, escritos ou transmitidos pessoalmente por profissionais que atuam na UTI.
Esses últimos são mais satisfatórios, pois o contato direto propicia a certeza de que as informações dadas serão
compreendidas corretamente, as dúvidas esclarecidas e possíveis erros de interpretação corrigidos.
Suponha que, no horário estabelecido por um hospital, seis familiares de pacientes internados nas UTIs aguardam a equipe
médica, que falará sobre o estado clinico de cada doente. Para tanto, é utilizada uma sala que possui duas fileiras de
poltronas com cinco cadeiras em cada uma delas.
Considerando-se que a equipe médica é composta pelo chefe de UTI, que ficará de pé, e de dois assistentes, que deverão
obrigatoriamente ocupar assentos na mesma fileira, pode-se afirmar que o número máximo de formas distintas que as
cadeiras poderão ser ocupadas é igual a:
176

01) 6A 5,2
02) 8C 5,2
03) 2A 5,2 A 8,6
04) 3A 5,2 C 8,2
05) C 10,8 C 5,2
2. (FDC-2009/2ª FASE) Para desenvolver um trabalho intensivo de combate a dengue, a Secretaria de Saúde de
determinado município decidiu formar grupos, com o mesmo número de agentes de saúde, para serem distribuídos nos
bairros mais afetados desse município, de modo que cada um desses grupos atuasse em um único bairro. Sabe-se que, se
cada grupo fosse formado por 11 pessoas sobrariam oito agentes, mas se cada grupo fosse formado por 16 pessoas, dois
bairros não receberiam grupo algum, contrariando o objetivo de que todos os agentes requisitados participassem do
trabalho e de que todos os bairros fossem atendidos.
Com base nessas informações, determine
O número de grupos necessários.
O número de componentes de cada um desses grupos.
A expressão que permite calcular o número máximo de formas distintas para compor esses grupos.
(FDC-2010/2ª FASE) Segundo o neurolinguística americano Gary Small, uma dieta rica em frutas e legumes antioxidantes,
azeite de oliva, aves e peixes oferece 50% de mais chance de viver mais.
Com base nessa informação, uma pessoa resolve se submeter a uma reeducação alimentar através de uma dieta, que
também preconiza a compatibilidade dos diferentes alimentos, classificando-os por grupos:
Sabe-se que é permitido misturar alimentos do grupo A com alimentos do grupo B, alimentos do grupo B com alimentos do
grupo C, mas alimentos do grupo A e do grupo C não devem ser misturados.
A pessoa, ao iniciar a dieta, opta por utilizar apenas 3 alimentos do grupo A, 5 alimentos do grupo B e 4 alimentos do
grupo C.
Nessas condições, calcule o número de cardápios distintos que pode ser preparado contendo, no máximo, 1 alimento do
grupo A, exatamente dois alimentos do grupo B e no mínimo, dois alimentos do grupo C.
177

3. (FDC-2012.1)
O questionário foi publicado ao final de uma reportagem da revista isto é, Ed. 2189, de 26/10/2011, sobre a satisfação do
brasileiro relativamente ao trabalho exercido.
Segundo a revista, ao responder todos os itens, uma pessoa pode ser considerada infeliz no trabalho, se sua pontuação for
até 9 pontos; na tangente (oscilando entre momentos de felicidade e infelicidade), se sua pontuação variar de 10 até 15
pontos; feliz, se sua pontuação exceder 15 pontos.
Uma pessoa respondeu a todos os itens do questionário, atribuiu o mesmo valor a quatro deles e, de acordo com o critério
estabelecido, foi considerada feliz no trabalho. Sabendo-se que essa pessoa poderia ter respondido a todo o questionário de
n formas distintas, pode-se afirmar que o valor máximo de n é:
01) 56
02) 112
03) 168
04) 224
05) 280
4. (ENEM-2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido
da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A,
foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio
campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de
escolhas dos times do jogo de
Abertura pode ser calculada através de:
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
d) duas combinações.
e) dois arranjos.
178

5. QUANTOS anagramas podem ser formados com as letras da palavra SOSSEGADO?
a) 9!
a)
b)
c)
d)
9!
2!
9!
3!.2!
9!
5!.2!
9!
3!
6. (UFRN- 2009 - Adaptada) Uma pessoa foi ao dentista e constatou que estava com cinco cáries, cada uma em um dente.
Ficou decidido que seria restaurado um dente cada vez que ela voltasse ao consultório. O dentista combinou que marcaria
as datas em cinco semanas seguidas, um dia a cada semana. Considerando-se apenas os dias úteis e sabendo-se que, nesse
período, ocorreriam, ao todo, dois feriados, em semanas diferentes, o número de maneiras distintas para se programar o
tratamento do paciente seria:
a) 3.125
b) 1.875
c) 1.600
d) 2.000
e) 2 150
7. (UFPA-2007) No cartão da mega-sena existe a opção de aposta em que o apostador marca oito números inteiros de 1 a
60. Suponha que o apostador conheça um pouco de Análise Combinatória e que ele percebeu que é mais vantajoso marcar
um determinado número de cartões, usando apenas os oito números, de modo que, se os seis números sorteados estiverem
entre os oito números escolhidos, ele ganha, além da sena, algumas quinas e algumas quadras. Supondo que cada aposta
seja feita usando apenas seis números, a quantidade de cartões que o apostador deve apostar é:
a) 8
b) 25
c) 28
d) 19
e) 17
8. (UFU-2008) Uma comerciante de bijuterias necessita comprar alguns objetos que servirão como material para a
montagem de suas peças. Ela dispõe de R$100,00 e deseja gastar todo o dinheiro na aquisição de 100 objetos dentre os
tipos A, B e C. Se cada objeto do tipo A custa R$5,00, do tipo B R$3,00 e 3 unidades do tipo C custam, no total, R$1,00,
então, a quantidade de diferentes maneiras de efetuar a compra é igual a:
a) 6
b) 2
c) 5
d) 4
179

9. (Mackenzie-2008) Para se cadastrar em um site de compras, cada cliente digitava uma senha com quatro algarismos.
Com o objetivo de aumentar a segurança, todos os clientes foram solicitados a adotar novas senhas com cinco algarismos.
Se definirmos o nível de segurança como a quantidade possível de senhas, então a segurança nesse site aumentou em:
a) 10%
b) 25%
c) 125%
d) 900%
e) 1100%
10. (PUC-RS/2008) O número de anagramas da palavra CONJUNTO que começam por C e terminam por T é:
a) 15
b) 30
c) 180
d) 360
e) 720
11. (UFSCAR-2008) Considere o conjunto C = {2, 8, 18, 20, 53, 124, 157, 224, 286, 345, 419, 527}.
O número de subconjuntos de três elementos de C que possuem a propriedade “soma dos três elementos é um número
ímpar” é
a) 94.
b) 108.
c) 115.
d) 132.
e) 146.
12. (UNIFESP-2008) Quatro pessoas vão participar de um torneio em que os jogos são disputados entre duplas. O número
de grupos com duas duplas, que podem ser formados com essas 4 pessoas, é
a) 3.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 12.
180

13. (FATEC-2008) Para mostrar aos seus clientes alguns dos produtos que vende, um comerciante reservou um espaço em
uma vitrine, para colocar exatamente 3 latas de refrigerante, lado a lado. Se ele vende 6 tipos diferentes de refrigerante, de
quantas maneiras distintas pode expô-los na vitrine?
a) 144
b) 132
c) 120
d) 72
e) 20
14. (FGV-2008) O número de permutações da palavra ECONOMIA que não começam nem terminam com a letra O é
a) 9400
b) 9600
c) 9800
d) 10200
e) 10800
15. (Fuvest 2004) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada
trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser
distribuídos os trabalhos?
a) 12
b) 18
c) 36
d) 72
e) 108
16. (Unesp) Um turista, em viagem de férias pela Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, havia
três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B até uma outra cidade, C, havia duas rodovias e duas ferrovias. O número
de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando rodovia e trem
obrigatoriamente, mas em qualquer ordem, é:
a) 9.
b) 10.
c) 12.
d) 15.
e) 20.
181

17. (UNESP) Um certo tipo de código usa apenas dois símbolos, o número zero (0) e o número um (1) e, considerando
esses símbolos como letras, podem-se formar palavras. Por exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 são algumas palavras de uma,
duas e três letras desse código. O número máximo de palavras, com cinco letras ou menos, que podem ser formadas com
esse código é:
a) 120
b) 62
c) 60
d) 20
e) 10
18. (Ufes 2001) Em um grupo de 60 mulheres e 40 homens existem exatamente 25 mulheres e 12 homens que tocam algum
instrumento musical. De quantas maneiras podemos formar uma dupla de um homem e uma mulher de modo que pelo
menos uma das pessoas do duplo toque algum instrumento?
a) 300
b) 720
c) 1.000
d) 1.420
e) 1.720
19. (ESAF- 2009) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano.
Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas
que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a:
a) 16
b) 28
c) 15
d) 24
e) 32
20. (ESAF-2008) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana
só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões?
a) 3003
b) 2980
c) 2800
d) 3006
e) 3005
182

21. (2010/ESAF) O departamento de vendas de imóveis de uma imobiliária tem 8 corretores, sendo 5 homens e3 mulheres.
Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma
mulher?
a) 15
b) 45
c) 31
d) 18
e) 25
22. (ESAF) A senha para um programa de computador consiste em uma sequência LLNNN, onde “L” representa uma
letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não
ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o
programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é dado por:
a) 2 26 . 3 10
b) 26 2 . 10 3
c) 2 26 . 2 10
d) 26! . 10!
e) C 26,2 . C 10,3
23. (ESAF-2002) Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01,
02, ... , 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as
seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35,
45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza
matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:
a) 8
b) 28
c) 40
d) 60
e) 84
24. (ITA - SP) - Quantos números de três algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9?
a) 60
b) 120
c) 240
d) 40
e) 80
183

25. (FGV - SP) - Um restaurante oferece no cardápio duas saladas distintas, quatro tipos de pratos de carne, cinco
variedades de bebidas e três sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma
sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?
a) 90
b) 100
c) 110
d) 130
e) 120
26. (FGV) De quantas formas podemos permutar as letras da palavra ELOGIAR de modo que as letras A e R fiquem juntas
em qualquer ordem?
a) 360
b) 720
c) 1080
d) 1440
e) 1800
27. (Ueg 2005) A UEG realiza seu Processo Seletivo em dois dias. As oito disciplinas, Língua Portuguesa- Literatura
Brasileira, Língua Estrangeira Moderna, Biologia, Matemática, História, Geografia, Química e Física, são distribuídas em
duas provas objetivas, com quatro disciplinas por dia. No Processo Seletivo 2005/2, a distribuição é a seguinte:
- primeiro dia: Língua Portuguesa-Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna, Biologia e Matemática;
- segundo dia: História, Geografia, Química e Física.
A UEG poderia distribuir as disciplinas para as duas provas objetivas, com quatro por dia, de:
a) 1.680 modos diferentes.
b) 256 modos diferentes.
c) 140 modos diferentes.
d) 128 modos diferentes.
e) 70 modos diferentes.
28. (Fgv 2005) Um fundo de investimento disponibiliza números inteiros de cotas aos interessados nessa aplicação
financeira. No primeiro dia de negociação desse fundo, verifica-se que 5 investidores compraram cotas, e que foi vendido
um total de 9 cotas. Em tais condições, o número de maneiras diferentes de alocação das 9 cotas entre os 5 investidores é
igual a:
a) 56.
b) 70.
c) 86.
d) 120.
e) 126.
184

29. (Pucmg 2003) Um bufê produz 6 tipos de salgadinhos e 3 tipos de doces para oferecer em festas de aniversário. Se em
certa festa devem ser servidos 3 tipos desses salgados e 2 tipos desses doces, o bufê tem x maneiras diferentes de organizar
esse serviço. O valor de x é:
a) 180
b) 360
c) 440
d) 720
30. (UESB-2013) Considerando-se que existem n maneiras distintas de convidar uma ou mais pessoas de um grupo
constituído de 5 pessoas para jantar, pode-se afirmar que o valor de n é
01) 5
02) 10
03) 15
04) 16
05) 31
31. (UNEB) Com 8 flores distintas, sendo 3 alvas e 5 rubras, um artesão vai arrumar um ramalhete contendo 6 dessas
flores, em que pelo menos, uma seja alva.
Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número máximo de ramalhetes distintos que ele pode confeccionar é
igual a:
01) 3
02) 10
03) 15
04) 18
05) 28
32. (ESAF-2008) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico cliente. Ele - o cliente - exige que uma
das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes, ou
seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores disponíveis, então o número de diferentes maneiras que
a parede pode ser pintada é igual a:
a) 56
b) 5760
c) 6720
d) 3600
e) 4320
185

33. (ESAF-2010) Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clínica um programa de reabilitação para 10 pacientes. Para
obter melhores resultados neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em três salas diferentes, de modo
que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3pacientes e na sala 3 fiquem, também, 3 pacientes. Assim, o número de
diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir seus pacientes, nas três diferentes salas, é igual a:
a) 2.440
b) 5.600
c) 4.200
d) 24.000
e) 42.000
Gabarito:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0 * 03 96 05 A C D C D D C C A C E C B B D
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
A A D B B B E D E B D 05 05 C
186

BINÔMIO DE NEWTON
DESENVOLVIMENTO DE UM BINÔMIO:
Dado o binômio ( ) , podemos desenvolver esse binômio seguindo os passos abaixo:
O número de termos é igual a
decresce de n a 0;
cresce de 0 a n;
coeficientes basta multiplicar o expoente de pelo respectivo coeficiente e dividir pela ordem do termo.
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Desenvolva os seguintes binômios:
a) ( )
b) ( )
c) ( )
187

FÓRMULA DO TERMO GERAL:
Dado o binômio ( )
definida por:
para determinarmos um termo qualquer desse binômio utilizamos a fórmula do termo geral
Onde :
n é o expoente do binômio , com n N .
a é o primeiro termo do binômio .
b é o segundo termo do binômio .
k é um número natural , menor ou igual a n , que depende do termo pedido.
Se liga 1 : Só existe termo médio em um binômio com expoente n, quando n for par.
Se liga 2 : O termo médio é representado por
SOMA DOS COEFICIENTES DE UM BINÔMIO
Para somar os coeficientes de um binômio não é necessário fazer todo o desenvolvimento pelo binômio de newton, basta
saber a seguinte dica:
troque qualquer letra do binômio por 1
calcule o valor que ficará dentro dos parênteses, e pronto, basta elevá-lo à n.
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Calcule a soma ddo binômio ( ) é:
2. Determine a fórmula do termo geral no desenvolvimento do binômio ( )
188

3. Considerando o desenvolvimento do binômio , determine :
a) o segundo termo .
x²
2
x
10
b) o termo médio .
c) o penúltimo termo .
d) o termo x 10 .
4. (UEFS) A diferença entre os coeficientes de x e x³ no binômio (x + k) 5 é igual a 15. Sabendo que k é um número real,
pode-se afirmar que k é um número:
01) irracional.
02) racional não inteiro.
03) primo.
04) múltiplo de 4.
05) múltiplo de 5.
189

5. (UESC) O valor do termo independente de x no desenvolvimento
01) 345
02) 455
03) 545
04) 554
05) 645
1
x²
15
x
é:
6. (UESB) No desenvolvimento do binômio
01) x –4
02) 38x –3
03) 70x –4
04) x 4
05) 70x 4
x
2
8
2
2
, o termo central é:
x
7. Qual o termo independente de x na expansão de
01) 52
02) 53
03) 54
04) 55
05) 56
8
5 1
x³
x ?
190

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. O coeficiente do termo em x -2 no desenvolvimento de
01) 84
02) 70
03) 252
04) 20
05) 90
8
1
x é igual a
x
2. (UNICAP PE) Considere o binômio (x + 2) 6
01. O desenvolvimento do binômio é um polinômio composto por 6 monômios.
02. O monômio 60x4 pertence à expansão binomial.
03. A expansão binomial possui um monômio cujo coeficiente é maior que 200.
04. Na expansão binomial, todos os coeficientes são divisíveis por 2.
05. A soma dos coeficientes do primeiro e último termo é um número múltiplo de 5.
3. (PUC PR) O valor da expressão 103 4 – 4 . 103 3 . 3 + 6 . 103 2 . 3 2 – 4 . 103 . 3 3 + 3 4 é igual a:
a) 10 14
b) 10 12
c) 10 10
d) 10 8
e) 10 6
4. (UEPG PR) Em relação ao desenvolvimento do binômio
afirmar:
segundo potências decrescentes de x, é correto
01. A soma de seus coeficientes é
02. Um de seus termos é independente de x.
04. O termo médio é
08. Tem 4 termos.
16. O coeficiente do termo em x 5 −2
191

5. (ITA SP) O termo independente de x no desenvolvimento do binômio
a) )
b)
é:
c)
d)
e)
6. (MACK SP) Um dos termos no desenvolvimento de (x + 3a) 5 é 360x 3 . Sabendo-se que a não depende de x, o valor de a
é:
a) ±1
b) ±2
c) ±3
d) ±4
e) ±5
7. (UFOP MG) Para que se tenha um dos termos do desenvolvimento de (x + a) 11 igual a 1386x 5 , o valor de a deve ser:
a)
b)
c)
d) 3
e)
8. (UFU MG) No desenvolvimento de sendo n um número natural positivo, temos um termo independente de
x:
a) se n é par.
b) se n é ímpar.
c)
d) se n é divisível por 5.
e) se n é múltiplo de 8.
192

9. (UEPG PR) Considerando o Binômio assinale o que for correto.
01. Se n é um número par, o desenvolvimento desse Binômio tem um número ímpar de termos.
02. Se a soma dos coeficientes do desenvolvimento desse Binômio é 256, então .
04. Se o desenvolvimento desse Binômio possui seis termos, a soma de seus coeficientes é 32.
08. Se n = 4, o termo médio desse Binômio é independente de x.
16. O produto do primeiro termo do desenvolvimento desse Binômio pelo seu último termo é x n , para qualquer valor de
nN*.
10. (UFAL) Analise as afirmativas que seguem.
01. Se () então n é um quadrado perfeito.
02. O 29 o termo no desenvolvimento de (x + 1) 30 segundo potências decrescentes de x é igual a 30x.
03. O número de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra MACEIÓ, de modo que as consoantes não
fiquem juntas é igual a 480.
04. O número de segmentos de reta orientados determinados pelos vértices de um decágono regular é 90.
05. O número de triângulos determinados pelos vértices de um decágono regular é 720.
Gabarito:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 * 02 07 D 17 E B A D 23 05
193

PROBABILIDADE
TEORIA DAS PROBABILIDADES:
É a teoria que possibilita calcular o percentual de possibilidades de ocorrer um determinado número de eventos.
()
()
()
Onde:
P(e) é a razão entre o número de elementos possível de ocorrer um evento e o número total de
elementos.
A unidade de P(e) é : %
n(p) é o número de elementos possível de ocorrer um evento.
n(t) é o número total de elementos.
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (UESC7) No conjunto A = {x N, 7 x 1006}, um número é sorteado ao acaso. A probabilidade de o número ser
divisível por 5, dado que é par, é igual a:
01) 0,25
02) 0,20
03) 0,15
04) 0,10
05) 0,05
2. (UNEB) Sorteando-se um número de 1 a 20, a probabilidade de que ele seja par ou múltiplo de 3 é igual a:
a) 70%
b) 65%
c) 50%
d) 20%
e) 10%
3. (UESB) Um estudante arrumou, de forma aleatória, numa prateleira, cinco livros de Matemática, cada um versando
sobre um assunto diferente – Teoria dos Conjuntos, Álgebra, Geometria, Trigonometria e Análise Combinatória. Com base
nessa informação, a probabilidade de os livros de Álgebra e de Trigonometria não estarem juntos é de:
01) 3
1
02) 5
2
03) 5
3
04) 4
3
05) 3
2
4. (UNEB) Um motoboy deve entregar quatro pizzas, P 1 , P 2 , P 3 e P 4 , de sabores distintos, em endereços diferentes, E 1 , E 2 ,
E 3 e E 4 . Se a entrega for feita aleatoriamente, a probabilidade de a pizza P 1 não ser entregue no endereço E 1 é igual a:
01) 6
1
02) 9
2
03) 3
1
04) 4
3
05) 4
1
5. (UESB) Em um curso, a avaliação do desempenho de cada aluno foi dada pelos conceitos A, B, C, D e E. Sabe-se que, obtendo A,
B ou C, o aluno estaria aprovado e, D ou E estaria reprovado. A tabela amostra a distribuição dos conceitos obtidos por uma turma de
40 alunos.
Conceito A B C D E
Freqüência 9 5 14 8 4
Com base nessas informações, pode-se concluir que o percentual de alunos que obtiveram conceito A, em relação ao úmero
total de alunos aprovados é, aproximadamente, igual a:
01) 22,5
02) 28,0
03) 32,1
04) 46,0
05) 68,2
194

6. (UCS-RS) Dois dados são jogados simultaneamente uma única vez.
A probabilidade de que a soma dos números mostrados nas faces que ficam voltadas para cima seja igual a 6 é:
a)
b)
c)
d)
e)
7. (CESPE) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro
estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003.
A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na
tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue
os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima.
01) A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão é
superior a 0,2.
02) A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%.
04) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente
nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é superior a 0,5.
08) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a
probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranhão é superior a
0,27.
16) A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um
dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%.
195

8. (UNEB) Em um grupo de cinco adolescentes, dois têm idade de 15 anos e três de 16 anos. Sorteando-se,
simultaneamente, dois adolescentes do grupo, a probabilidade de que tenham a mesma idade é igual a:
4
01)
25
6
02)
25
3
03)
10
04)
5
1
05)
5
2
9. (UNEB) Em um município, uma pesquisa revelou que 5% dos domicílios são de pessoas que vivem sós e, dessas 52%
são homens.
Com base nessas informações, escolhendo-se ao acaso uma pessoa desse município, a probabilidade de que ela viva só seja
mulher é igual a:
01) 0,530
02) 0,240
03) 0,053
04) 0,048
05)0,024
10. Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. A probabilidade de o cartão
retirado ser um número primo é de:
a) 32%
b) 30%
c) 42%
d) 45%
196

EXERCÍCIOS PRPOSTOS:
1. Uma empresa de logística faz revista dos carros que saem do pátio de forma aleatória. No portão principal, o porteiro
estende ao motorista que sai uma sacola contendo duas bolas pretas e três brancas (todas de mesmo tamanho) para que o
motorista retire duas, uma por vez, sem reposição. Se o motorista retira duas bolas pretas, ele tem seu carro revistado.
CALCULE a probabilidade de um funcionário ter seu carro revistado.
a) 10%
b) 16,66%
c) 5%
d) 20%
e) 25%
2. (FDC-2009.2) 16% dos voluntários ingleses e 40% dos voluntários brasileiros possuíam o gene do otimismo.
Considerando-se, dentre os voluntários, um grupo de 500 pessoas na razão de três ingleses para cada dois brasileiros e
escolhendo-se aleatoriamente um voluntário desse grupo, a probabilidade de ser inglês ou ter o gene do otimismo é igual a:
01) 9,6
02) 16,0%
03) 49,6%
04) 56,0%
05) 76,0%
3. (FDC-2010.2) Segundo dados divulgados pelo IBGE em 2009, a expectativa de vida no Brasil cresceu 3,3 anos de 1998
a 2008, chegando à média de 73 anos. A situação é mais favorável às mulheres, que aumentaram a expectativa de vida de
73,6 para 76,8, enquanto a dos homens foi de 65,9 para 69,3 anos. Sabe-se também que o aumento da esperança de vida
reflete diferenças regionais marcantes.
Supondo-se que, em determinada região, 40% de todos os homens com menos de 60 anos e 45% de todas as mulheres com
menos de 60 anos alcançarão 80 anos de idade e, escolhendo-se aleatoriamente um casal que vive nessa região, ambos com
55 anos de idade, a probabilidade de que apenas um deles chegue aos 80 anos é de:
01) 22%
02) 27%
03) 47%
04) 49%
05) 53%
197

4. (UESB-2013) Em uma consulta a um grupo de eleitores, constatou-se que 16% dos eleitores, 20% das mulheres e 10%
dos homens votarão no candidato A.
Escolhendo-se uma pessoa desse grupo, a probabilidade de ser mulher é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
5. (Unemat 2010) Numa das salas do concurso de vestibular, há 40 candidatos do sexo masculino e feminino, concorrendo
aos cursos de Matemática e de Computação, distribuídos conforme o quadro abaixo:
Matemática Computação
Masculino 15 10
Feminino 10 05
Antes do início da prova, será sorteado um candidato para abrir o envelope lacrado.
Com base na distribuição do quadro acima, assinale a alternativa correta.
a) A probabilidade de o candidato sorteado ser da Computação e Feminino é de 2 .
8
b) A probabilidade de o candidato sorteado ser da Matemática ou Feminino é de 1 .
4
c) A probabilidade de o candidato sorteado ser da Matemática ou Feminino é de 3 .
4
d) A probabilidade de o candidato sorteado ser da Matemática é de 5 .
4
e) A probabilidade de o candidato sorteado ser da Computação ou Feminino é de 3 .
8
198

6. (FDC-2011.1) Muitos hospitais pediátricos têm tido apoio de grupos de voluntários que, reunidos em projetos similares
aos “Doutores da Alegria”, desenvolvem ações, particularmente junto às enfermarias desses hospitais, visando amenizar o
sofrimento da internação infantil através da alegria e do bom humor.
Inspirados nesse modelo, um grupo de 12 estudantes se dispôs a viabilizar um projeto semelhante, sendo o grupo
subdividido segundo as suas habilidades, como indicado na tabela.
Supondo-se que cada equipe atue com cinco pessoas, tendo representantes de B, C e, pelo menos, dois representantes de A,
ao se escolher aleatoriamente uma dessas equipes, a probabilidade de ela ter 2 componentes de C é igual a
01)
02)
03)
04)
05)
7. (ENEM-2013) Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas
estrangeiras, inglês e espanhol.
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês qual a probabilidade de que esse aluno
fale espanhol?
a)
b)
c)
d)
e)
199

8. afael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural,
Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das
“ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31ºC. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:
FONTE: EPA.
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja
adequada às recomendações médicas é
a) 15
b) 14
c) 25
d) 35
e) 34
9. (FUVETS-2011) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada
lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a
probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b?
a) 4/27
b) 11/54
c) 7/27
d) 10/27
e) 23/54
200

10. (ENEM-2010) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de
um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos
desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos
defeituosos?
a) 2×(0,2%) 4 .
b) 4×(0,2%) 2 .
c) 6×(0,2%) 2 ×(99,8%) 2 .
d) 4×(0,2%).
e) 6 × (0,2%) × (99,8%).
11. (CESGRANRIO-2008) Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que se obtenha 6 pela
primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é:
a) 150/216
b) 91/216
c) 75/216
d) 55/216
e) 25/216
12. (UFSCAR) untam-se 27 cubos brancos, cada um com 1cm3 de volume, formando um cubo de 27cm 3 . Em seguida,
pinta-se de preto cada uma das seis faces do cubo de 27cm 3 , como indica a figura 1.
201

Separa-se novamente os 27 cubos. Aleatoriamente e de uma única vez, 2 desses cubos são sorteados. Com os cubos
sorteados, deseja-se formar um paralelepípedo de 2cm 3 com cinco faces brancas e apenas uma preta, da forma indicada na
figura 2.
A probabilidade de que esse paralelepípedo possa ser formado com os cubos sorteados é igual a
a) 2/3
b) 17/39
c) 29/117
d) 2/9
e) 5/117
13. (FUVEST) Dois triângulos congruentes, com lados coloridos, são indistinguíveis se podem ser sobrepostos de tal modo
que as cores dos lados coincidentes sejam as mesmas. Dados dois triângulos equiláteros congruentes, cada um de seus lados
é pintado com uma cor escolhida dentre duas possíveis, com igual probabilidade. A probabilidade de que esses triângulos
sejam indistinguíveis é de:
a) 1/2
b) 3/4
c) 9/16
d) 5/16
e) 15/32
202

14. (ENEM-2012) Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as
quantidades de bolas de cada cor em cada urna.
or Urna 1 Urna 2
Amarela 4 0
Azul 3 1
Branca 2 2
Verde 1 3
Vermelha 0 4
Uma jogada consiste em:
1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2;
2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão;
3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2;
4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo.
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?
a) Azul.
b) Amarela.
c) Branca.
d) Verde.
e) Vermelha.
15. (ENEM-2103) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro,
fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico:
Questão com probabilidade no Enem de 2013
203

A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B. Qual a
probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012?
a.
b.
c.
d.
e.
16. (ENEM-2009) A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas
da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente
quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto
{01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50.
Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das
seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas
de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque
a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente,
a) vez menor.
b) vezes menor.
c) 4 vezes menor.
d) 9 vezes menor.
e) 14 vezes menor.
17. (UNEB-2014)
204

De acordo com o texto, se Cebolinha lançar a sua moeda dez vezes, a probabilidade de a face voltada para cima sair cara,
em pelo menos oito dos lançamentos, é igual a:
01)
02)
03)
04)
05)
18. (ENEM-2013) Considere o seguinte jogo de apostas:
Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão
sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele
numa mesma cartela. O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.
Quantidade de números
Preço da cartela (R$)
escolhidos em uma cartela
6 2,00
7 12,00
8 40,00
9 125,00
10 250,00
Cinco apostadores, cada um com R$500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:
- Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos;
- Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos;
- Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos;
- Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos;
- Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos.
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são
a) Caio e Eduardo.
b) Arthur e Eduardo.
c) Bruno e Caio.
d) Arthur e Bruno.
e) Douglas e Eduardo.
205

19. (ENEM-2012) José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há um
número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José acredita que, após jogar seus dados, os números
das faces voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita
que sua soma será igual a 8.
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é
a) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas.
b) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 4
possibilidades para a escolha de Paulo.
c) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 2
possibilidades para a escolha de Paulo.
d) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3
possibilidades para formar a soma de Paulo.
e) Paulo, já que sua soma é a menor de todas.
20. (Enem 2010) A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada
número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada,
Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao o ponto B, passando pela
estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.
Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto
com a menor probabilidade de engarrafamento possível.
O melhor trajeto para Paula é
a) E1E3.
b) E1E4.
c) E2E4.
d) E2E5.
e) E2E6.
206

21. (Enem 2ª aplicação 2010) Um experimento foi conduzido com o objetivo de avaliar o poder germinativo de duas
culturas de cebola, conforme a tabela.
Germinação de sementes de duas
culturas de cebola
Germinação
Culturas
Não TOTAL
Germinaram
Germinaram
A 392 8 400
B 381 19 400
TOTAL 773 27 800
BUSSAB, W. O; MORETIN, L. G. Estatística para as ciências agrárias e biológicas (adaptado).
Desejando-se fazer uma avaliação do poder germinativo de uma das culturas de cebola, uma amostra foi retirada ao acaso.
Sabendo-se que a amostra escolhida germinou, a probabilidade de essa amostra pertencer à Cultura A é de
a)
b)
c)
d)
e)
8
27
19
27
381
773
392
773
392
800
22. (Enem -2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente
por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta-corrente pela internet.
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários,
solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do
alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão
minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo
número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é:
6
62
a)
6
10
b) 62!
10!
62! 4!
c)
10! 56!
d) 62! 10!
6 6
e) 62 10
207

23. (Enem- 2011) O gráfico mostra a velocidade de conexão à internet utilizada em domicílios no Brasil. Esses dados são
resultado da mais recente pesquisa, de 2009, realizada pelo Comitê Gestor da Internet (CGI).
Escolhendo-se, aleatoriamente, um domicílio pesquisado, qual a chance de haver banda larga de conexão de pelo menos 1
Mbps neste domicílio?
a) 0,45
b) 0,42
c) 0,30
d) 0,22
e) 0,15
208
Gabarito:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0 * A 05 04 C C 05 A E C B C B D E A C 02 A
19 20 21 23
D D D D

MATEMÁTICA FINANCEIRA
RAZÃO
É a relação entre grandezas da mesma espécie . Denominamos de razão entre os números racionais a e b , com b 0, o
quociente é dado por:
a
b
ou
a : b
O número a é denominado antecedente (numerador) e b é ceonsequente (denominador) .
Ex..:
A razão entre 27 e 9 é
é 3.
RAZÕES INVERSAS
Duas razões são inversas entre si quando o produto delas for igual a 1.
Ex.:
são razões inversas, logo
RAZÕES EQUIVALENTES
São razões que multiplicando-se ou dividindo-se os termos por um mesmo número racional (diferente de zero), obtém-se
uma razão equivalente.
Ex.:
PROPORÇÃO
Denominamos de proporção uma igualdade de duas razões , isto é :
a
b
c
d
ou
a : b
c : d
(Lê-se a está para b assim como c está para d)
Ex.:
Se liga.:
Na proporção
os termos a e d são chamados de extremos, e os termos b e c são chamados meios.
209

PPROPORÇÃO CONTÍNUA
Uma proporção é denominada contínua quando os seus meios são iguais.
Se liga.: Em uma proporção contínua, o valor dos meios é chamado de média proporcional ou média geométrica dos
extremos.
Ex.:
NÚMEROS PROPORCIONAIS
A sequência numérica (a, b, c) é diretamente proporcional à sequência numérica (x, y, z) se, e somente se:
logo
Onde k é a constante de proporcionalidade.
NÚMEROS INVERSAMENTES PROPORCIONAIS
A sequência numérica (a, b, c) é inversamente proporcional à sequência numérica (x, y, z) se, e somente se:
logo
Onde k é o constante de proporcionalidade.
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas a e b são diretamente proporcionis se, e somente se, tem-se:
então em k é a constante de proporcionalidade.
210
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAL
Duas grandezas a e b são inversamente proporcionis se, e somente se, tem-se:
em que k é constante de proporcionalidade.

REGRA DE TRÊS
É uma regra que permite comparar duas grandezas, a e b, ou seja permite relacionar dois valores (a 1 e b 1 ) da grandeza A
com dois valores (a 2 e b 2 ) da grandeza B.
Logo:
Regra de três simples direta
a e b são grandezas diretamente proporcionais. Temos:
Regra de três inversa
a e b são grandezas inversamente proporcionais. Temos:
Regra de três composta
É uma regra que é utilizada na resolução de problemas que envolvem várias grandezas proporionais.
Passos a ser seguidos na resolução de uma regras de três composta.
direta ou inversa;
-se o produto das razões das outras
grandezas, sabendo que se há proporção inversa em relação a uma grandeza, deve-se inverter os elementos dessa grandeza.
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Divida o número 184 em partes diretamente proporcionais a
1
,
2
2 3
e .
3 4
2. Divida o número 260 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.
211

3. (ENEM) Uma mãe recorreu à bula para verifi car a dosagem de um remédio que precisava dar a seu fi lho. Na bula,
recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2kg de massa corporal a cada 8 horas.
Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu fi lho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de
a) 12kg.
b) 16kg.
c) 24kg.
d) 36kg
e) 75kg..
4. (UNEB) Ao completarem, respectivamente, 4, 5 e 2 meses de trabalho numa revendedora de automóveis, os funcionários
A, B e C receberam juntos uma gratificação de R$ 5.500,00. Sabendo-se que a quantia recebida por cada funcionário foi
diretamente proporcionai ao tempo de serviço de cada um na empresa, pode-se afirmar que o funcionário B recebeu, em
reais:
01) 2700
02) 2500
03) 2300
04) 2200
05) 2000
5. (UESB) Para fazer uma viagem ao exterior, uma pessoa foi a uma instituição financeira comprar dólares. Nesse dia, um
dólar estava sendo colado a 0,85 euros e um real estava sendo cotado a 0,25 euros. Com base nesses dados, pode-se afirmar
que, para comprar 500 dólares, essa pessoa gastou, em reais:
01) 1700,00
02) 1640,00
03) 1520,00
04) 1450.00
05) 1360.00
6. Uma máquina produz 1200 peças em 4 horas. Quantas máquinas iguais a essa devem funcionar juntas durante 3 horas
para que sejam produzidas 8.100 peças no total:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
212

7. Um construtor utilizando 16 operários trabalhando 6 horas por dia constrói uma determinada obra em 180 dias. Quantos
operários podem executar a mesma obra trabalhando 8 horas por dia no prazo de 120 dias?
a) 23
b) 25
c) 28
d) 18
e) 20
8. Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um muro, quantos homens serão necessários para
construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias?
a) 25
b) 27
c) 24
d) 22
e) 20
9. (Enem) Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a
cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20
hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário de
cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias,
com gasto inferior a R$ 25.000,00. Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das
máquinas seja constante, a cooperativa deveria:
a) manter sua proposta.
b) oferecer 4 máquinas a mais.
c) oferecer 6 trabalhadores a mais.
d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.
e) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.
213

EEXRCÍCIOS PROPOSTOS:
1. (ENEM) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para
doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas
diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e
passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta
tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:
a) 920kg
b) 800kg
c) 720kg
d) 600kg
e) 570kg
2. (ENEM) Pneus usados geralmente são descartados de forma inadequada, favorecendo a proliferação de insetos e
roedores e provocando sérios problemas de saúde pública. Estima-se que no Brasil, a cada ano, sejam descartados 20
milhões de pneus usados. Como uma alternativa para dar uma destinação final a estes pneus, a Petrobrás, em sua unidade
de São Matheus do Sul, no Paraná, desenvolveu um processo de obtenção de combustível a partir da mistura dos pneus com
xisto. Esse procedimento permite a partir de 1 tonelada de pneu, um rendimento de cerca de 530 Kg de óleo. Considerando
que uma tonelada corresponde em média a 200 pneus, se todos os pneus descartados anualmente fossem utilizados no
processo de obtenção de combustível pela mistura com xisto, seriam então produzidas:
a) 5,3 mil toneladas de óleo
b) 53 mil toneladas de óleo
c) 530 mil toneladas de óleo
d) 5,3 milhões de toneladas de óleo
e) 530 milhões de toneladas de óleo
3. Se 10 carros consomem em 6 dias a quantidade de 1000 litros de gasolina, quantos carros usaremos para consumir
somente 500 litros de gasolina no espaço de 2 dias?
a) 15
b) 17
c) 18
d) 20
e) 16
214

4. Um bloco de mármore de 3m de comprimento, 1,50m de largura e 0,60m de altura pesa 4350kg. Calcule quanto pesará
um bloco do mesmo mármore cujas dimensões são: Comprimento: 2,20; Largura: 0,75m; Altura: 1,20m
a) 2190kg
b) 2300kg
c) 3190kg
d) 3400kg
e) 3200 kg
5. (CESGRANRIO) Três profissionais fazem 24 peças em 2 horas, e quatro aprendizes fazem 16 peças em 3 horas. Em
quantas horas 2 profissionais e 3 aprendizes farão 48 peças?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
6. (VUNESP) Numa editora, 8 digitadores, trabalhando 6 horas por dia, digitaram 3/5 de um determinado livro em 15 dias.
Então, 2 desses digitadores foram deslocados para um outro serviço, e os restantes passaram a trabalhar apenas 5 horas por
dia na digitação desse livro. Mantendo-se a mesma produtividade, para completar a digitação do referido livro, após o
deslocamento dos 2 digitadores, a equipe remanescente terá de trabalhar ainda:
a) 18 dias
b) 16 dias
c) 15 dias
d) 14 dias
e) 12 dias
215

7. (ENEM) Um comerciante contratou um novo funcionário para cuidar das vendas. Combinou pagar a essa R$120 por
semana, desde que vendas se mantivessem em torno dos R$600 semanais e, como um estímulo, também propôs que na
semana na qual ele vendesse R$ 1200, ele receberia R$200, em vez de R$120.
Ao término da primeira semana, esse novo funcionário conseguiu aumentar as vendas para R$990 e foi pedir ao patrão um
aumento proporcional ao que conseguiu aumentar nas vendas. O patrão concordou e, após fazer algumas contas, pagou ao
funcionário a quantia de:
a) R$160
b) R$165
c) R$172
d) R$180
e) R$198
8. Um automóvel parte de Brasília e corre com a velocidade média de 48 km/h. Depois de 3 horas parte um outro que
alcança o primeiro 8 horas após. Qual a velocidade média do segundo automóvel?
a) 64 km/h
b) 66 km/h
c) 68 km/h
d) 76 km/h
9. (ENEM) A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias
de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1:150.
216

Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da
folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter?
a) 2,9 cm x 3,4 cm
b) 3,9 cm x 4,4 cm
c) 20 cm x 25 cm
d) 21 cm x 26 cm
e) 192 cm x 242 cm
10. (ENEM) No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficara o maior telescópio da superfície
terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro,
“o maior olho do mundo voltado para o céu”.
Disponivel em htttp://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede
aproximadamente 2,1 cm. Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o
diâmetro do espelho primário do telescópio citado?
a) 1:20
b) 1:100
c) 1:200
d) 1:1000
e) 1:2000
11. (ENEM) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade
B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a
distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm.
Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de
a) 1:250
b) 1:2500
c) 1:25000
d) 1:250000
e) 1:25000000
217

12. (ENEM) Os calendários usados pelos diferentes povos da Terra são muito variados. O calendário islâmico, por
exemplo, é lunar, e nele cada mês tem sincronia com a fase da lua. O calendário maia segue o ciclo de Vênus, com cerca
de 584 dias, e cada 5 ciclos de Vênus corresponde a 8 anos de 365 dias da Terra.
MATSUURA, Oscar. Calendários e fluxo do tempo. Scentific American Brasil. Disponível em http://uol.com.br. Acesso em 14 out 2008 (adaptado)
Quantos ciclos teria, em Vênus, um período terrestre de 48 anos?
a) 30 ciclos
b) 40 ciclos
c) 73 ciclos
d) 240 ciclos
e) 384 ciclos
13. (ENEM) O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual e o limite do corpo
humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean
Karnazes, cruzando sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas. Um professor de
Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma
pista reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido.
Disponivel em: http://veja.abril.com.br.Acesso em 25 jun. 2011 (adaptado)
Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo professor e a
percorrida pelo atleta?
a) 1:700
b) 1:7000
c) 1:70000
d) 1:700000
e) 1:7000000
14. O operário A pode fazer um trabalho em 15 dias e o operário B , que é mais eficiente pode executar o mesmo trabalho
em 10 dias. Os dois trabalhando juntos poderão realizar o mesmo trabalho, em quantos dias?
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
e) 3
15. Duas garotas realizam um serviço de datilografia. A mais experiente consegue fazê-lo em 2 horas, a outra em 3 horas.
Se dividirmos esse serviço de modo que as duas juntas possam fazê-lo no menor tempo possível, esse tempo será:
a) 1,5h
b) 2,5h
c) 72min
d) 1h
e) 9,5min
218

16. Uma torneira enche um tanque em 12 minutos, enquanto uma segunda torneira gasta 18 minutos para encher o mesmo
tanque. Com o tanque inicialmente vazio, abre-se a primeira torneira durante x minutos; ao fim desse tempo fecha-se essa
torneira e abre-se a segunda, a qual termina de encher o tanque em (x + 3) minutos. Nestas condições, o tanque ficará cheio
em quantos minutos?
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
e) 15
17. (CESPE) Carlos e Paulo são funcionários de uma empresa e seus salários brutos mensais, em reais, são diretamente
proporcionais aos números 3 e 5. Além disso, o salário de Paulo supera o salário de Carlos em R$ 2.640,00. Com base
nessa situação, julgue o iten a seguir.
1. A soma dos salários de Carlos e Paulo é igual a R$ 10.560,00.
18. (ENEM/2009) A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela
primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos
epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros
consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir.
Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS
Summer Course – 1992 (adaptado).
De acordo com as informações do gráfico,
a) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais.
b) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam.
c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais.
d) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão.
e) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem
proporcionalidade.
219

19. (ENEM/2009) O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma brasileiro.
biomas área
área / total
continentais aproximada
Brasil
brasileiros
2
(km )
A mazônia 4.196.943 49,29%
C errado 2.036.448 23,92%
MataA tlântica 1.110.182 13,04%
C aatinga 844.453 9,92%
Pampa
176.496 2,07%
Pantanal 150.355 1,76%
Á reaTotalBrasil 8.514.877
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso
em: 10 jul. 2009 (adaptado).
É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um campo de futebol (com as
medidas de 120 m 90 m) para auxiliar a visualização de áreas consideradas extensas. Nesse caso, qual é o número de
campos de futebol correspondente à área aproximada do bioma Pantanal?
a) 1.400
b) 14.000
c) 140.000
d) 1.400.000
e) 14.000.000
20. (ENEM/2010) A resistência elétrica e as dimensões do condutor
A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vários
experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre:
resistência (R) e comprimento (), dada a mesma secção transversal (A);
resistência (R) e área da secção transversal (A). dado o mesmo comprimento ()
comprimento () e área da secção transversal (A), dada a mesma resistência (R).
Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica
utilizando as figuras seguintes.
Disponível em: http://www.efeitojoule.com.
Acesso em: abr. 2010 (adaptado)
220

As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento (), resistência (R) e área da
secção transversal (A), e entre comprimento () e área da secção transversal (A) são, respectivamente,
a) direta, direta e direta.
b) direta, direta e inversa.
c) direta, inversa e direta.
d) inversa, direta e direta.
e) inversa, direta e inversa.
21. (ENEM/2010) Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de
jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10
litros de óleo poderão contaminar 10 milhões (10 7 ) de litros de água potável.
Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055),
Claudia (ed. 555), National Geographic (ed. 93)
e Nova Escola (ed. 208) (adaptado).
Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras através dos encanamentos e consomem 1 000
litros de óleo em frituras por semana.
Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade?
a) 10 –2
b) 10 3
c) 10 4
d) 10 6
e) 10 9
22. (ENEM/2010) O hábito de comer um prato de folhas todo dia faz proezas para o corpo. Uma das formas de variar o
sabor das saladas é experimentar diferentes molhos. Um molho de iogurte com mostarda contém 2 colheres de sopa de
iogurte desnatado, 1 colher de sopa de mostarda, 4 colheres de sopa de água, 2 colheres de sopa de azeite.
DESGUALDO. P. Os Segredos da Supersalada. Revista Saúde. Jan. 2010.
Considerando que uma colher de sopa equivale a aproximadamente 15 mL, qual é o número máximo de doses desse molho
que se faz utilizando 1,5 L de azeite e mantendo a proporcionalidade das quantidades dos demais ingredientes?
a) 5
b) 20
c) 50
d) 200
e) 500
221

23. (ENEM/2011) Em 2010, um caos aéreo afetou o continente europeu, devido à quantidade de fumaça expelida por um
vulcão na Islândia, o que levou ao cancelamento de inúmeros voos.
Cinco dias após o início desse caos, todo o espaço aéreo europeu acima de 6 000 metros estava liberado, com exceção do
espaço aéreo da Finlândia. Lá, apenas voos internacionais acima de 31 mil pés estavam liberados.
Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 21 abr. 2010 (adaptado).
Considere que 1 metro equivale a aproximadamente 3,3 pés.
Qual a diferença, em pés, entre as altitudes liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias após o
início do caos?
a) 3 390 pés.
b) 9 390 pés.
c) 11 200 pés.
d) 19 800 pés.
e) 50 800 pés.
24. (ENEM/2012) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por
exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por
bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).
Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca
de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica?
a) 24 litros
b) 36 litros
c) 40 litros
d) 42 litros
e) 50 litros
25. (ENEM/2012) José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram
dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de
laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto José, Carlos e Paulo
dividiram as laranjas na proporção 6 : 5 : 4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as
laranjas na proporção 4 : 4 : 2, respectivamente.
Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e
Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?
a) 600, 550, 350
b) 300, 300, 150
c) 300, 250, 200
d) 200, 200, 100
e) 100, 100, 50
222

26. (UESB-2013) Com a redução do IPI, o consumo aumentou. Um empresário, pensando em aumentar a produção de sua
fábrica, necessita diminuir o tempo de empacotamento de sua produção diária.
Para isso, adquire uma máquina com capacidade de empacotar sua produção diária em (4) quatro horas. A máquina antiga,
para o mesmo trabalho, empregava (6) seis horas.
Considerando-se que as duas máquinas juntas empacotam a produção diária em x horas e y minutos, pode-se afirmar que o
valor de x + y é:
a) 24
b) 25
c) 26
d) 27
e) 28
Gabarito:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0 * A B A C C B C B D E E A E E C E C E
19 20 21 22 23 24 25 26
E C E C C B B 03
223

PORCENTAGEM
Chamamos porcentagem ou percentagem a toda razão cujo denominador é 100.
Ex.:
P
P(%)
(lê-se p cento)
100
EXERÍCIOS DE SALA:
1. Em um viveiro há várias araras.
60% das araras são azuis,
40% das araras são vermelhas,
40% das araras azuis têm bico branco,
30% das araras vermelhas têm bico branco.
Que PORCENTAGEM das araras do viveiro tem bico branco?
a) 10%
b) 12%
c) 24%
d) 36%
e) 40%
2. (FCC-2006) Em 65% das residências de um bairro, os moradores assistem televisão toda noite, de segunda a segunda. A
emissora X é campeã de audiência no horário noturno, concentrando diariamente a atenção de 45% dos televisores do
bairro. Se há 2.400 residências no bairro, em quantas delas os televisores ficam ligados a noite na emissora X?
a) 1.560
b) 1.320
c) 1.080
d) 912
e) 702
224

3. (PUC-MG/2009) Pensando em aumentar seus lucros, um lojista aumentou os preços de seus produtos em 25%. Como, a
partir desse aumento, as vendas diminuíram, o comerciante decidiu reduzir os novos preços praticados em 25%. Com base
nessas informações, é correto afirmar que, após essa redução, as mercadorias
dessa loja passaram a:
a) ter o preço original.
b) ser 5% mais caras.
c) ser 10% mais caras.
d) ser mais baratas.
4. (FDC-2010.1) O aumento da pluviosidade, associado às condições de pobreza acentuada, à eficiência de estrutura
urbana, ao saneamento e à habitação, encontrados na periferia das grandes cidades, tem sido fator determinante na
recorrência de epidemias, como dengue e leptospirose.
Da tabela constam dados da leptospirose, referentes ao Estado da Bahia, desde 2005 até o primeiro semestre de 2009.
Com base nessas informações, pode-se afirmar:
01) Dos casos notificados em 2007, menos de 50% foram confirmados.
02) Sendo 85% do total de casos confirmados em pessoas do sexo masculino, o número de casos confirmados de pacientes
do sexo feminino é maior que 90.
03) O índice de letalidade no primeiro semestre de 2009 é equivalente ao de 2005.
04) a média do número de óbitos ocorridos de 2005 a 2008 é igual a 15.
05) Escolhendo-se aleatoriamente um dentre todos os casos notificados em 2006, a probabilidade de esse caso ter sido
confirmado é igual a 0,81.
5. (FDC-2010.2) Após se aposentarem, três amigos, X, Y e Z, resolveram aplicar suas economias na fundação de uma
empresa e investiram no primeiro ano do seu funcionamento, respectivamente R$ 50.000,00, R$ 45.000,00 e R$ 55.000,00.
Se, ao final desse ano, a empresa teve um lucro líquido de R$ 60.000,00 a ser dividido entre os sócios, na proporção direta
do capital investido por cada um, então
01) X recebeu o equivalente a 30% do valor que investiu.
02) Y recebeu o equivalente a 60% do valor que investiu.
225

03) Z recebeu R$ 5.000,00 a mais que X.
04) Cada sócio recebeu mais de R$ 18.000,00.
05) Nenhum dos sócios recebeu mais de R$ 22.000,00.
6. (UNEB) O preço da laranja teve dois aumentos consecutivos: 10% e 20%. Se hoje o cento da laranja custa R$ 5,28,
antes dos aumentos, custava, em reais,
01) 5,00
02) 4,30
03) 4,00
04) 3,50
05) 3,00
7. (UNEB) Analisando-se a delegação olímpica de um determinado país nas Olimpíadas, em Atlanta-96 e Sydney-2000,
observou-se que, em Atlanta, a delegação tinha 225 atletas, dos quais 20% eram mulheres; em Sydney, a delegação foi
reduzida em 1/3 em relação à Atlanta, e o número de mulheres dobrou. Assim sendo, pode-se concluir que o percentual de
homens na delegação de Sydney correspondeu a
01) 30%
02) 40%
03) 50%
04) 60%
05) 70%
226
8. (UNEB) O fabricante de determinada marca de papel higiênico fez uma “maquiagem” no seu produto, substituindo as
embalagens com quatro rolos, cada um com 40 metros, que custava R$1,80, por embalagens com quatro rolos, cada um
com 30 metros, com custo de R$1,62.
Nessas condições, pode-se concluir que o preço do papel higiênico foi:
01) aumentado em 10%
02) aumentado em 20%
03) aumentado em 25%
04) reduzido em 10%
05) mantido o mesmo

9.(UNEB) Os salários dos funcionários de uma empresa têm a seguinte composição:
40% correspondem ao salário-base.
60% correspondem à gratificação.
Sabendo-se que o salário-base foi reajustado em 20% e a gratificação, em 10%, pode-se afirmar que o ajuste dos salários
dos funcionários foi igual, em percentual, a:
01) 32
02) 20
03) 15
04) 14
05) 10
10. (UNEB) Os preços anunciados dos produtos A e B são, respectivamente, R$ 2.000,00 e R$ 3.500,00. Um cliente
conseguiu um desconto de 10% sobre o preço do produto A, x% sobre o preço do produto B e pagou R$ 4.600,00 na
compra dos dois produtos.
Nessas condições, pode-se afirmar que x é igual a
01) 25
02) 20
03) 18
04) 15
05) 12
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. (UNEB) Sabe-se que 15 costureiras trabalhando 4 horas por dia, durante 6 dias, confeccionam um determinado número
de camisetas. Para que o mesmo número de peças possa ser produzido em exatamente 4 dias, é suficiente aumentar o
número de
01) costureiras em 100%.
02) costureiras em 20%.
03) horas de trabalho por dia em 200%.
04) horas de trabalho por dia em 100%.
05) horas de trabalho por dia em 50%.
2. (UNEB) Um cantor lançou no mercado, simultaneamente, um CD e um DVD de um show, gravados ao vivo. Sendo o
preço do DVD 30% maior que o preço do CD,pode-se afirmar que o preço do CD é menor do que o preço do DVD,
aproximadamente,
01) 20%
02) 23%
03) 25%
04) 28%
05) 30%
227

3. (UNEB) A assinatura de uma linha telefônica custava R$ 30,00, e cada unidade de conversação custava R$ 1,50. Sabe-se
que houve um reajuste de 4% nas tarifas e que um cliente pagou, após o reajuste uma fatura no valor de R$ 54,60.
Considerando-se n o número de unidades de conversação dessa fatura, pode-se afirmar que n é igual a:
a) 12
b) 15
c) 18
d) 20
e) 25
4. (UESB) Uma prova é composta por quarenta questões objetivas. Sabendo-se que cada questão correta vale 0,25 e que
cada três questões erradas anulam uma certa, pode-se afirmar que a nota de um aluno que errar 15% das questões será igual
a:
01) 8,5
02) 8,0
03) 7,5
04) 7,0
05) 6,5
5. (UESB) Do total das despesas mensais de uma família, o gasto com alimentação e com mensalidades escolares
corresponde a 40% e 25% respectivamente. Se o gasto com alimentação sofrer um aumento de 5% e as mensalidades
escolares aumentarem 10%, então o total das despesas mensais, dessa família, sofrerá um aumento de:
a) 15%
b) 8%
c) 7,5%
d) 5,5%
e) 4,5%
6. (UESB) Um cliente pagou 40% de uma dívida de x reais. Sabendo-se que R$ 300,00 correspondem a 20% do restante a
ser pago, é correto afirmar que o valor de x é igual a:
a) 3750
b) 3000
c) 2750
d) 2500
e) 2050
228

S
7. (UEFS2) Para melhorar o fluxo de veículos numa determinada área, representada na figura, foi feito um monitoramento
desse fluxo, através do qual se verificou que, em média, dos veículos que:
R
Q
M
A partir desses dados, pode-se concluir que a média percentual dos automóveis que, entrando por M, saem por R é igual a:
a) 35%
b) 38%
c) 45%
d) 49%
e) 53%
8. (UESB) Uma loja oferece a seus clientes um desconto de 24%, no pagamento à vista, sobre o valor que exceder a R$
500,00 em compras. Duas amigas fizeram compras individuais num total de R$ 420,00 e R$ 280,00, mas reuniram esses
valores uma única nota fiscal, pois assim economizaram, respectivamente e em valores proporcionais a cada compra:
a) R$ 31,20 e R$ 16,80
b) R$ 30,00 e R$ 16,00
c) R$ 29,40 e R$ 16,60
d) R$ 28,80 e R$ 19,20
e) R$ 28,60 e R$ 16,40
9. (UEFS) Se uma loja vende um artigo à vista por R$ 540,00 ou a prazo, mediante uma entrada de R$ 140,00 e mais 3
parcelas mensais de R$ 140,00, então a loja está cobrando, sobre o saldo que tem a receber, juros simples de:
a) 4,3%
b) 5,0%
c) 6,2%
d) 8,0%
e) 9,5%
229

10. (UESB) Sabe-se que o preço de custo de um produto é P. Se esse produto for vendido por R$ 126,00, haverá, em
relação a P, um prejuízo de 10%, mais, se for vendido por R$ 161,00, haverá, em relação a P, um lucro de:
a) 30%
b) 26%
c) 22%
d) 18%
e) 15%
11. (UEFS) Dois revendedores A e B, que já vinham dando um desconto de R$ 1.500,00 no preço X de determinado tipo de
carro, resolveram dar mais um desconto, de 18%, e calcularam os novos preços da seguinte forma:
passou a dar, sobre X, o desconto de R$ 1.500,00, seguido do desconto de 18%, resultando X A .
B passou a dar, sobre X, o desconto de 18%, seguido do desconto de R$ 1.500,00, resultando X B .
Com base nessas informações, pode-se concluir que:
a) X a – X B = R$ 270,00
b) X A – X B = R$ 320,00
c) X B – X A = R$ 270,00
d) X B – X A = R$ 320,00
e) X A = X B
12. (UESC) Em determinado dia, o boletim econômico traz a seguinte notícia: “!o valor do dólar em relação ao real, sofreu
uma redução de 2% e o do euro, em relação ao dólar, um aumento de 4%. Com base nessa informação, pode-se concluir
que o valor do euro, em relação ao real, sofreu:
01) um aumento de 2,13%
02) um aumento de 2%
03) um aumento de 1,92%
04) uma redução de 2,13%
05) uma redução de 1,92%
230

13. (ENEM/2010) Uma empresa possui um sistema de controle de qualidade que classifica o seu desempenho financeiro
anual, tendo como base o do ano anterior. Os conceitos são: insuficiente, quando o crescimento é menor que 1%; regular,
quando o crescimento é maior ou igual a 1% e menor que 5%; bom, quando o crescimento é maior ou igual a 5% e menor
que 10%; ótimo, quando é maior ou igual a 10% e menor que 20%; e excelente, quando é maior ou igual a 20%. Essa
empresa apresentou lucro de R$ 132 000,00 em 2008 e de R$ 145 000,00 em 2009.
De acordo com esse sistema de controle de qualidade, o desempenho financeiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser
considerado
a) insuficiente.
b) regular.
c) bom.
d) ótimo.
e) excelente.
14. (ENEM/2009) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios
avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o
paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo
agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento,
de acordo com o risco que o paciente pretende assumir.
Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o
tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?
a) 3 doses.
b) 4 doses.
c) 6 doses.
d) 8 doses.
e) 10 doses.
15. (ENEM/2009) O gráfico a seguir mostra a evolução, de abril de 2008 a maio de 2009, da população economicamente
ativa para seis Regiões Metropolitanas pesquisadas.
Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenação
de Trabalho e Rendimento, Pesquisa Mensal de Emprego.
Disponível em: www.ibge.gov.br.
231

Considerando que a taxa de crescimento da população economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja de 4%, então o
número de pessoas economicamente ativas em 06/09 será igual a
a) 23.940.
b) 32.228.
c) 920.800.
d) 23.940.800.
e) 32.228.000.
16. (ENEM/2010) Um grupo de pacientes com Hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que 40% desses
pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma
quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram
curados e, no segundo, 45%.
Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de
a) 16%.
b) 24%.
c) 32%.
d) 48%
e) 64%.
17. (ENEM/2010) Em 2006, a produção mundial de etanol foi de 40 bilhões de litros e a de biodiesel, de 6,5 bilhões. Neste
mesmo ano, a produção brasileira de etanol correspondeu a 43% da produção mundial, ao passo que a produção dos
Estados Unidos da América, usando milho, foi de 45%.
Disponível em: planetasustentavel.abril.com.
Acesso em: 02 maio 2009.
Considerando que, em 2009, a produção mundial de etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados Unidos produzirão
somente a metade de sua produção de 2006, para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados Unidos continue
correspondendo a 88% da produção mundial, o Brasil deve aumentar sua produção em, aproximadamente,
a) 22,5%.
b) 50,0%.
c) 52,3%.
d) 65,5%.
e) 77,5%.
232

18. (ENEM/2010) Um dos estádios mais bonitos da Copa do Mundo na África do Sul é o Green Point, situado na Cidade
do Cabo, com capacidade para 68 000 pessoas.
CENTAURO. Ano 2, edição 8, mar./abr, 2010.
Em certa partida, o estádio estava com 95% de sua capacidade, sendo que 487 pessoas não pagaram o ingresso que custava
150 dólares cada.
A expressão que representa o valor arrecadado nesse jogo, em dólares, é
a) 0,95 × 68000 × 150 – 487
b) 0,95 × (68000 – 487) × 150
c) (0,95 × 68000 – 487) × 150
d) 95 × (68000 – 487) × 150
e) (95 × 68000 – 487) × 150
19. (ENEM/2011) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma
aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB
(certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:
POUPANÇA
CDB
Rendimento
mensal (%)
0,560
0,876
IR (impostode
renda)
ISENTO
4% (sobreo ganho)
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é
a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.
b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.
c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.
d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.
e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.
233

20. (ENEM/2011) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento
e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3
800,00 gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de:
a) R$ 4 222,22.
b) R$ 4 523,80.
c) R$ 5 000,00.
d) R$ 13 300,00.
e) R$ 17 100,00.
234
Gabarito:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0 * 01 02 02 04 05 04 A 04 B E A 01 C B D B C C
19 20
D C

JUROS
É a remuneração recebida pela aplicação de um capital durante um certo tempo.
JUROS SIMPLES
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal.(capital).
J = juros
C = Principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de perídos
MONTANTE
É a soma entre o capital e o juro. Ou seja:
Se liga.: A taxa e o tempo devem ser dados em medidas iguais.
JUROS COMPOSTOS
Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal(capital) para o cálculo dos juros do período seguinte.
( )
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (UNEB) Duas pessoas fizeram um empréstimo de uma mesma quantia por dois meses, nas seguintes condições:
2
Sabendo-se que, ao quitar à dívida, as duas pagaram o mesmo valor, conclui-se que x é igual a
01) 2,01
02) 2,02
03) 2,20
04) 4,04
05) 4,40
235

2. (UNEB) Uma pessoa tomou empréstimo de R$ 5.000,00 a juros compostos de 5% ao mês. Dois messes depois, pagou
R$ 2.512, 50 e, no mês seguinte, liquidou sua dívida.
Portanto, o valor do último pagamento foi igual, em reais, a:
01) 3.150,00
02) 3.235,00
03) 3.350,25
04) 3.405,50
05) 3.353,00
3. (UNEB) A taxa de juros de débito de um cartão de crédito é de, aproximadamente, 10% ao mês, calculando
cumulativamente.
Se uma divida for paga três meses após a data de vencimento, então terá um acréscimo de aproximadamente,
01) 30,3%
02) 31,2%
03) 32,3%
04) 33,1%
05) 34,3%
4. (UNEB) Um investidor fez uma aplicação a juros simples de 10% mensal. Depois de dois meses, retirou capital e juros e
os reaplicou a juros compostos de 20% mensal, por mais dois meses e, no final do prazo, recebeu R$ 1728,00. Pode-se
afirmar que o capital inicial aplicado foi de:
01) R$ 1000,00
02) R$ 1100,00
03) R$ 1120,00
04) R$ 1200,00
05) R$ 1144,00
5. (CESGRANRIO) A aplicação do capital C é realizada a juros compostos de taxa 10% a.m. por 4 meses. Para se obter o
mesmo montante, devemos aplicar o capital C, pelo mesmo prazo, a juros simples, à taxa mensal mais próxima de:
a)11,6%
b)11,5%
c)11,0%
d)10,5%
e) 10,0%
236

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. (CESGRANRIO-2011) Uma aplicação de R$ 23.390,00 resultou, em quatro meses, no montante de R$ 26.383,92. A
taxa mensal de juros simples que permitiu esse resultado foi:
a) 4,14%
b) 3,20%
c) 3,18%
d) 3,10%
e) 2,88%
2. (CESGRANRIO-2011) Um investidor aplicou R$ 50.000,00 pelo prazo de 4 meses em um CDB que rende 2,0% ao mês
de juros compostos. O montante obtido no vencimento da aplicação, em reais, foi:
a) 52.020,00
b) 53.060,40
c) 54.121,61
d) 60.123,56
e) 60.15591
3. (CESGRANRIO-2011) Um investidor aplicou a quantia de R$ 15.000,00, por um período de 4 meses, a uma taxa de
juros compostos de 3% ao mês. O valor dos juros obtidos nessa aplicação, em reais, é;
1) 1165,32
2) 1667,79
3) 1882,63
4) 2003,33
5) 2182,83
4. (CESGRANRIO-2011) Um equipamento pode ser adquirido com o pagamento de uma entrada de 30% do valor à vista e
mais uma prestação de R$ 1.386,00 para 60 dias. Se a taxa de juros simples cobrada no financiamento é de 5% ao mês, a
valor, à vista, em reais é de:
a) 1.800,00
b) 2000,00
c) 2100,00
d) 2200,00
e) 2500,00
237

5. (CESGRANRIO-2011) O valor, em reais, mais próximo do montante da aplicação de R$ 2.000,00 a juros compostos de
taxa mensal 4% por dois meses é
a) 2.040
b) 2.080
c) 2.160
d) 2.163
e) 2.180
6. (CESGRANRIO-2009) Marcelo emprestou certa quantia a Augusto, cobrando juros simples de 4% ao mês. Cinco meses
mais tarde, Augusto pagou o empréstimo, e Marcelo recebeu R$ 420,00. Qual foi, em reias, a quantia que Marcelo
emprestou a Augusto?
a) 320,00
b) 336,00
c) 350,00
d) 382,00
e) 400,00
7. (UFBA) Uma pessoa tomou um empréstimo de R$6000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e saldou a
dívida da seguinte maneira:
· 2 anos após ter contraído a dívida, pagou R$2260,00;
· 2 anos após o primeiro pagamento, pagou mais R$3050,00;
· 1 ano após o segundo pagamento, quitou a dívida.
Nessas condições, pode-se afirmar:
(01) Depois do primeiro pagamento, a pessoa ficou devendo R$4340,00.
(02) Após o segundo pagamento, a dívida correspondia a 50% do valor do empréstimo.
(04) No momento em que a pessoa quitou o empréstimo, a dívida correspondia a
R$3300,00.
(08) O montante pago pelo empréstimo foi igual a R$9000,00.
(16) O valor pago pelos juros da dívida correspondeu a 43,5% do valor do empréstimo.
8. (MACKENZIE ) Ao comprar um objeto, para pagamento em parcelas iguais, uma pessoa foi informada de que a parcela
paga até a data do vencimento teria um desconto de 20% e aquela paga com atraso teria um acréscimo de 20%. Se a
primeira parcela foi paga no vencimento e a segunda com atraso, o segundo pagamento teve, em relação ao primeiro, um
acréscimo de:
a) 40%
b) 48%
c) 50%
d) 20%
238

9. (FUVEST ) Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preço de venda de uma mercadoria e, mesmo assim,
conseguiu um lucro de 20% sobre o preço que pagou pela mesma. Se o desconto não fosse dado, seu lucro, em
porcentagem, seria:
a) 40%
b) 45%
c) 50%
d) 55%
e) 60%
10. (VUNESP) Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa
modalidade de aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1000 reais nessa aplicação.
Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito, é:
a) 1000 + 0,15n.
b) 1000 × 0,15n.
c) 1000 × 0,15 n .
d) 1000 + 1,15 n .
e) 1000 × 1,15 n .
11. (FTC) Num edifício residencial, são gastos R$ 4000,00 mensalmente com a companhia fornecedora de água. Para
reduzir essa despesa, seus moradores pretendem mandar construir um poço, o que deve reduzir em 30% essa conta. O custo
para instalação do poço é igual a R$9 000,00 e esse custo deve ser compensado com a redução na conta da água.
O número mínimo de meses necessários para que o total da redução na conta de água compense o custo com a instalação do
poço é igual a:
01) 5
02) 6
03) 7
04) 8
05) 9
12. (FAVIC) Dois capitais produziram os mesmos juros, colocados à mesma taxa, um durante 6 meses e 20 dias e o outro,
durante 4 meses e 20 dias.
Se a diferença entre os capitais é de R$54,00, a soma deles é igual a:
01) 306
02) 320
03) 400
04) 420
05) 508
239

13. (FDC) Durante o ano de 2001, o preço de certo produto sofreu um acréscimo mensal linear. Se em março esse produto
custava R$34,00 e em julho custava R$52,00, seu preço em dezembro era:
01) R$66,75
02) R$80,70
03) R$71,40
04) R$74,50
05) R$76,65
14. (UFBA) Um carro que custa R$ 30.000,00 pode ser adquirido em duas concessionárias nas seguintes condições:
Concessionária A: 50% de entrada e o restante ao final de 2 meses, com juros compostos de 10% ao mês.
Concessionária B: R$ 10.000,00 de entrada e uma parcela de R$ 24.000,00 ao final de 2 meses.
De acordo com as informações acima, pode-se afirmar:
(01).O valor da parcela a ser paga à concessionária A, ao final de 2 meses, será igual a R$ 18.150,00
(02).O valor dos juros do financiamento, na proposta da concessionária A, corresponde a 10% do preço do carro.
(04).A taxa de juros compostos cobrada pela concessionária B é de 10% ao mês.
(08).O valor financiado, na proposta da concessionária B, corresponde a 3
2 do preço do carro.
(16).O pagamento à vista, com 1% de desconto, será mais vantajoso para o comprador do que o financiamento proposto
pela concessionária A, se a maior taxa de juros compostos que ele conseguir para aplicar seu dinheiro for de 10% ao mês.
15.. ( FABAC ) A cada ano, o valor de um determinado imóvel aumenta 5% em relação ao seu valor do ano anterior.
Sendo R$45000,00 o valor desse imóvel no primeiro ano, pode-se afirmar que o seu valor, no n-ésimo ano, será igual, em
reais, a:
45000 0,05
n - 2
01)
n 1
02) 45000 0,
05 n - 2
03) 45000 1,05 n -1
04) 45000 1,05 05) 45000 1,05 n
240

16. ( UESC) Calcule o tempo para que um capital de R$500,00, aplicado à taxa de juros simples a 12%a.t., triplique o seu
valor.
17. (FTC ESPECIAL) Os capitais R$8000,00, R$6000,00 e R$3500,00 foram aplicados todos na mesma data, a taxas de
juros simples de 4% a.m., 2,5%a.m. e 2%a.m., respectivamente.
Com base nessa informação, pode-se concluir que a taxa média mensal do rendimento desses capitais é igual a:
01) 2,64%
02) 2,83%
03) 2,95%
04) 3,08%
05) 3,25%
Gabarito:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0 * B C C C D 04 22 C C E 04 01 04 25 04 50 04 C
19 20
D C
241

NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
Estatística é a ciência da análise de dados que trabalha com elemntos de pesquisa ou com modelos prababilísticos. A
estatística é responsável pela coleta, organização, resumo, apresentação e análise de dados, visando também a tomada de
decisões.
População: É qualquer conjunto (finito ou infinito) de elementos que tenham entre si, pelo menos uma característica
comum.
Ex.: Conjunto dos números naturais.
Amostra: É uma parte da população que preserva as características eesenciais(subconjunto da população).
Rol: É uma tabela de valores dispostos numa determinada ordem. Nela, pode-se calcular fatores importantes da estatística,
por exemplo, a amplitude de rol ou amplitude total, que é a diferença entre o maior e o menor valor.
Exemplo: Vamos considerar as notas de 40 alunos de uma classe de 2º grau, já no rol.
1 1,5 2 2,5 3 3 4 4 4 4,5
5 5 5,5 5,5 6 6 6 6 6 6,5
6,5 6,5 7 7 7 7,5 8 8 8 8
8 8,5 9 9 9 9 9 9 10 10
No caso, a amplitude do rol é igual a .
FREQUÊNCIA
É o número de vezes que um determinado valor se repete. Do exemplo anterior, temos:
NOTAS
FREQÜÊNCIA
1 1
1,5 1
2 1
2,5 1
3 2
4 3
4,5 1
5 2
5,5 2
6 5
6,5 3
7 3
7,5 1
8 5
8,5 1
9 6
10 2
FREQÜÊNCIA RELATIVA OU PERCENTUAL ( Fr )
A freqüência de cada classe associa-se o percentual que esta representa em relação à freqüência total.
242

FREQÜÊNCIA ACUMULADA ( Fa )
É dada pela soma das freqüências de todas as classes desde a primeira até a classe considerada.
FREQÜÊNCIA COM INTERVALO DE CLASSE
NOTAS FREQÜÊNCIA FR FA
0 2 2 5% 2
2 4 4 10% 6
4 6 8 20% 14
6 8 12 30% 26
8 10 14 35% 40
HISTOGRAMA :
Representa uma distribuição de freqüências sendo formado por retângulos justapostos, sendo o número de retângulos igual
ao número de intervalos de classe.
Freqüência
14
12
08
04
02
0 2 4 6 8 10
Nota ( Intervalo de classe )
243

OGIVA
Trata-se de um gráfico de linha, onde são consideradas as freqüências acumuladas ( Fa ).
Fa
40
26
14
06
02
0 2 4 6 8 10
Nota ( Intervalo de classe )
GRÁFICO DE SETORES :
Os dados são representados em setores circulares que são proporcionais aos valores. Fazemos corresponder a uma volta do
círculo ( 360º ) o total ( 100% ) dos dados e estabelecemos através de uma regra de três o ângulo relativo ao setor
circular de acordo com cada valor.
(Dados: As letras são os setores e os números a freqüência)
A = 2
B = 4
C = 8
D = 12
E = 14
MÉDIA ARITMÉTICA ( M a )
É o quociente da divisão entre a soma dos valores pelo número de elementos.
MÉDIA PONDERADA ( M P )
A média aritmética ponderada de um conjunto de números x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n cuja importância relativa ("peso") é
respectivamente p 1 , p 2 , p 3 , ..., p n é calculada da seguinte maneira:
244

MÉDIA GEOMÉTRICA ( M G )
A média geométrica de um conjunto de números positivos é definida como o produto de todos os membros do conjunto
elevado ao inverso do número de membros.
A média geométrica de um conjunto de números é sempre menor ou igual à média aritmética dos membros desse conjunto
(as duas médias são iguais se e somente se todos os membros do conjunto são iguais). Isso permite a definição da média
aritmética-geométrica, uma mistura das duas que sempre tem um valor intermediário às duas.
MODA ( M O )
A moda de um conjunto de elementos é o elemento que ocorre com maior freqüência.
Um conjunto de elementos pode ter moda, mais de uma moda ou não ter moda.
MEDIANA ( M d )
Dispondo os elementos de um conjunto em ordem crescente ou decrescente, a mediana é o valor intermediário ou a média
aritmética dos valores intermediários.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
DESVIO ( d )
O desvio de um determinado valor é a diferença que ele possui em relação à média aritmética.
DESVIO MÉDIO ( d m )
O desvio médio de um conjunto de elementos é a média aritmética de todos os desvios.
VARIÂNCIA ( v )
É a média aritmética dos quadrados dos desvios.
DESVIO PADRÃO ( d p )
É a raiz quadrada do valor da variância dos elementos de um conjunto.
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (UNEB) Em um curso de Inglês, as notas atribuídas variam de 0 a 5. a tabela abaixo mostra a distribuição das notas da
avaliação de uma turma de 20 alunos.
Notas 0 1 2 3 4 5
Freqüência 1 2 2 8 3 4
Com base nessas informações pode-se afirmar:
01) A média aritmética das notas é menor que a mediana.
02) A média aritmética das notas é igual à moda.
03) A média aritmética das notas é maior que a moda.
04) A moda das notas é maior que a mediana.
05) A mediana das notas é igual à média aritmética.
245

2. (UNEB)
O gráfico representa o resultado de uma pesquisa feita em um município, no mês de junho de 2001, a fim de analisar a
redução do consumo de energia em residências, tendo-se em vista a meta fixada pelo governo, e com base na seguinte
pergunta: “Qual a redução conseguida em relação à meta”?
A partir dessa informação e sabendo-se que o percentual para cada resposta é proporcional à área do setor que o representa,
o ângulo do setor correspondente à resposta “Menor” é igual a:
01) 108,3º
02) 118,8º
03) 142º
04) 151,2º
05) 160º
3. (UNEB)
O gráfico representa a distribuição de freqüência do numero de gols que um time de futebol fez por partida, nos doze jogos
de que participou em um campeonato.
Com base nessas informações, a média do numero de gols feitos, por partidas, por esse time, nesse campeonato, foi igual a:
01) 3,00
02) 2,75
03) 2,25
04) 2,20
05) 2,00
246

4. (UNEB)
Se o gráfico representa a distribuição das medidas aritméticas (Ma) obtidas por um grupo de alunos em uma prova, então a
média aritmética dessas notas é, aproximadamente, igual a:
01) 4,43
02) 4,86
03) 5,85
04) 6,20
05) 6,58
5. (UNEB)
O gráfico de setores ilustra o resultado de uma pesquisa, feita com um grupo de 1280 eleitores, sobre a manutenção do
horário político no rádio e na TV em período que antecedem as eleições.
Se o setor A corresponde às 576 pessoas que acham que o horário político deve acabar, o setor B corresponde ao número de
pessoas que acham que esse horário deve continuar, e o setor C corresponde ao número de pessoas que não têm opinião
formada, então o número de pessoas que compõem o setor C é igual a
01) 224
02) 342
03) 386
04) 458
05) 480
247

6. (UNEB) A tabela registra as alturas dos alunos de uma turma composta por 50 estudantes.
Altura 1,56 1,68 1,75 1,80 1,85
Frequência 12 10 8 10 10
Chamando Ma a média aritmética das alturas; Me, a mediana das alturas e Mo, a moda das alturas, pode-se afirmar que:
01) Ma < Me < Mo
02) Mo < Me < Ma
03) Me < Ma < Mo
04) Me < Mo < Ma
05) Mo < Ma < Me
7. (UNEB) Na revisão do texto, contido em 10 páginas de um trabalho escolar, foram identificados erros de digitação, de
acordo com a tabela:
Número de erros Freqüência
1 2
2 3
4 3
5 2
A variância do número de erros é igual a:
01) 2,0
02) 2,2
03) 3,0
04) 3,2
05) 4,0
248

8. (UESB-2013) Analisando-se o gráfico apresentado, que informa o tempo de permanência de subgrupos de um grupo de
turistas em um determinado museu, pode-se afirmar que o tempo médio de cada visita foi de
01) 1h06min.
02) 1h09min.
03) 1h12min.
04) 1h15min.
05) 1h18min.
9. (FUVEST-2014) Cada uma das cinco listas dadas é a relação de notas obtidas por seis alunos de uma turma em uma
certa prova. Assinale a única lista na qual a média das notas é maior do que a mediana.
a) 5, 5, 7, 8, 9, 10
b) 4, 5, 6, 7, 8, 8
c) 4, 5, 6, 7, 8, 9
d) 5, 5, 5, 7, 7, 9
e) 5, 5, 10, 10, 10
10. (ENEM/2010) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para a classificação no concurso o candidato
deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em
favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática,
Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.
Dados dos candidatos no concurso:
249

O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é:
a) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
b) Marco, pois obteve menor desvio padrão.
c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português.
d) Paulo, pois obteve maior mediana.
e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. (ENEM/2009) A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de
toneladas produzidas.
Produção Emissãodedióxidodecarbono
(em toneladas)
(em partespor milhão- ppm)
1,1
2,14
1,2
2,30
1,3
2,46
1,4
2,64
1,5
2,83
1,6
3,03
1,7
3,25
1,8
3,48
1,9
3,73
2,0
4,00
Cadernos do Gestar II, Matemática TP3.
Disponível em: www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009.
Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção
(em toneladas) é:
a) inferior a 0,18.
b) superior a 0,18 e inferior a 0,50.
c) superior a 0,50 e inferior a 1,50.
d) superior a 1,50 e inferior a 2,80.
e) superior a 2,80.
250

2. (ENEM/2009) Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe
escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas
pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos,
seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não
pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8;
10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.
Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe:
a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.
b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.
d) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno.
e) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9.
3. (ENEM/2010)
Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme gráfico, da chamada Amazônia Legal,
integrada por nove estados.
Disponível em: www.folhaonline.com.br.
Acesso em: 30 abr. 2010 (adaptado).
Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento médio por
estado em 2009 está entre:
a) 100 km 2 e 900 km 2 .
b) 1 000 km 2 e 2 700 km 2 .
c) 2 800 km 2 e 3 200 km 2 .
d) 3 300 km 2 e 4 000 km 2 .
e) 4 100 km 2 e 5 800 km 2 .
251

4. (ENEM/2009) Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em
Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.
Mês
Outubro
Novembro
Dezembro
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Cotação
R$ 83,00
R$ 73,10
R$ 81,60
R$ 82,00
R$ 85,30
R$ 84,00
R$ 84,60
Ano
2007
2007
2007
2008
2008
2008
2008
De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a:
a) R$ 73,10.
b) R$ 81,50.
c) R$ 82,00.
d) R$ 83,00.
e) R$ 85,30.
5. (ENEM/2010) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da
esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número
de gols.
Golsmarcados
0
1
2
3
4
5
6
Quantidadede
partidas
5
3
4
3
2
2
1
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então:
a) X = Y < Z.
b) Z < X = Y.
c) Y < Z < X.
d) Z < X < Y.
e) Z < Y < X.
252

6. (ENEM/2011) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente,
sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. esse tipo de procedimento é
frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao
longo dos meses e anos.
As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro:
Dia do mês
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
Temperatura (em ºC)
15,5
14
13,5
18
19,5
20
13,5
13,5
18
20
18,5
13,5
21,5
20
16
Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a:
a) 17 °C, 17 °C e 13,5 °C.
b) 17 °C, 18 °C e 13,5 °C.
c) 17 °C, 13,5 °C e 18 °C.
d) 17 °C, 18 °C e 21,5 °C.
e) 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C.
7. (ENEM/2011) A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP)
aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual de medalhistas de ouro, por região, nas edições da OBMEP de 2005 a
2009:
Região
2005
2006
2007
2008
2009
Norte
2%
2%
1%
2%
1%
Nordeste
18%
19%
21%
15%
19%
Centro- Oeste
5%
6%
7%
8%
9%
Sudeste
55%
61%
58%
66%
60%
Sul
21%
12%
13%
9%
11%
Disponível em: http://www.obmep.org.br. Acesso em: abr. 2010 (adaptado).
253

Em relação às edições de 2005 a 2009 da OBMEP, qual o percentual médio de medalhistas de ouro da região Nordeste?
a) 14,6%
b) 18,2%
c) 18,4%
d) 19,0%
e) 21,0%
8. (ENEM/2012) O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de
janeiro de 2010 a outubro de 2010.
Disponível em: www.mte.gov.br. Acesso em: 28 fev. 2012 (adaptado)
Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é:
a) 212 952.
b) 229 913.
c) 240 621.
d) 255 496.
e) 298 041.
9. (ENEM/2012) Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constando,
entre outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de suas propriedades. Os talhões têm a
mesma área de 30 000 m 2 e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as
informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare (10 000 m 2 ).
A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare) 2 e;
a) 20,25.
b) 4,50.
c) 0,71
d) 0,50.
e) 0,25.
254

10. (UNEB-2014)
De acordo com o gráfico, a diferença entre a altura mediana e a média das alturas desses seis jogadores, em cm, é
aproximadamente igual a:
01) 0,93
02) 1,01
03) 1,09
04) 1,17
05) 1,25
11. (UESB) O gráfico mostra a distribuição de salários dos funcionários de uma microempresa. Com base nessas
informações, pode-se afirmar que a média de salário dos funcionários dessa empresa, em reais, é igual a:
01) 950
02) 920
03) 910
04) 830
05) 820
255

12. (UESB) Uma microempresa tem 32 funcionários, sendo um deles demitido e substituído por outro de 25 anos de idade.
Se, com essa demissão, a média das idades dos funcionários diminui 1 ano, então a idade do funcionário demitido é igual a;
01) 65 anos.
02) 57 anos.
03) 52 anos.
04) 49 anos.
05) 45 anos.
13. Um professor de Estatística costuma fazer duas avaliações por semestre e calcular a nota final fazendo a média
aritmética entre as notas dessas duas avaliações. Porém, devido a um problema de falta de energia elétrica, a segunda prova
foi interrompida antes do tempo previsto e vários alunos não conseguiram terminá-la. Como não havia possibilidade de
refazer essa avaliação, o professor decidiu alterar os pesos das provas para não prejudicar os alunos. Assim que Amanda e
Débora souberam da notícia, correram até o mural para ver suas notas e encontraram os seguintes valores:
Qual foi o peso atribuído à segunda prova?
a) 0,25
b) 0,30
c) 0,33
d) 0,35
e) 0,40
14. (UEFS) Um professor resolveu regraduar as notas de uma prova, considerada difícil, mantendo a nota máxima, ainda
como 10 e a nota 5 passando a ser 6, de modo que o ponto (x, y), em que x é a nota original e y a nota regraduada, esteja
sobre uma reta. Com base nessas informações, se, na nova graduação, 7 é a nota mínima para aprovação, então a nota para
aprovação, correspondente na graduação original, é:
a) 5,75
b) 6,00
c) 6,25
d) 6,50
e) 7,00
256

15. (UESC) Para ser aprovado num curso, um aluno deve alcançar média mínima igual a 7,0, calculada como a metade da
soma das notas de duas provas. Um aluno obteve média igual a 6,5 e estima que, se mantida a nota que obteve em uma das
duas provas, então, para ser aprovado, precisaria ter obtido, na outra prova, uma nota, pelo menos, 20% maior do que a nota
que de fato obteve naquela prova. A partir dessa informação, pode-se concluir que a maior das duas notas obtidas pelo
aluno foi igual a:
01) 5,0
02) 6,5
03) 7,0
04) 8,0
05) 9,5
16. (UEFS) O gráfico representa a quantidade de desempregados numa região, a partir de determinado dia. Sabendo-se que
os segmentos MN e PO são paralelos, pode-se concluir que o número de pessoas desempregadas, 6 anos após o início das
observações, é igual a:
a) 5000
b) 4800
c) 4200
d) 3580
e) 3200
17. (UESB Para avaliar os resultados de um curso, foi feito um levantamento estatístico relativo à freqüência dos alunos
matriculados e verificou-se que:
8% dos alunos não freqüentaram as aulas;
20% dos alunos que freqüentaram as aulas não obtiveram a freqüência mínima necessária para serem aprovados;
dos demais alunos, apenas 75% foram aprovados.
Sabendo-se que apenas 69 dos alunos matriculados foram aprovados, pode-se concluir que o número de alunos reprovados
foi igual a:
01) 39
02) 45
03) 48
04) 50
05) 56
257

18. (UNIFASC-2012)
Com base nas informações da tabela, pode-se afirmar:
01) O número mediano de cursos públicos é inferior ao número médio de cursos privados.
02) Os números de cursos privados existentes nos anos de 1999, de 2004 e de 2009 cresceram segundo uma progressão
aritmética.
03) Os números totais de cursos de medicina existentes nos anos de 2001 a 2003 cresceram segundo uma progressão
aritmética de razão 6.
04) O crescimento anual do número de cursos privados foi superior ao crescimento anual do número de cursos públicos.
05) A taxa percentual de crescimento do número de cursos privados foi aproximadamente igual ao triplo da taxa percentual
de crescimento do número de cursos públicos.
19. (UESB-2013) Analisando-se o gráfico apresentado, que informa o tempo de permanência de subgrupos de um grupo de
turistas em um determinado museu, pode-se afirmar que o tempo médio de cada visita foi de
01) 1h06min.
02) 1h09min.
03) 1h12min.
04) 1h15min.
05) 1h18min.
258

20. (UNIFACS-2014) Seu local de residência pode fazer diferença?
A Universidade Erasmus, de Roterdã, desenvolveu o Banco de Dados da Felicidade Mundial com base em pesquisas
científicas sobre “a apreciação subjetiva da vida” em quase 100 países. Os mais felizes, de acordo com quantos nativos
apreciam a vida de forma geral, em uma escala de 0 a 10, são os seguintes (veja tabela; estatísticas baseadas em dados de
2009).
Considerando-se que M, Me e Mo são, nessa ordem, a média, a mediana e a moda das pontuações obtidas pelos países
indicados na tabela, no Banco de Dados da Felicidade Mundial, pode-se afirmar que:
01)
02)
03)
04)
05)
21. (UESB2010) Um grupo de 5 estudantes teve dois de seus integrantes substituídos. A soma das idades desses dois
estudantes era 45 anos. Com a chegada dos substitutos a media das idades do grupo aumentou 2 anos.
Considerando-se 30 anos a idade de um dos novos estudantes, pode-se afirmar que a idade do outro, em anos, era igual a:
01) 39
02) 35
03) 25
04) 22
05) 20
259

22. (UFV-MG) Em uma faculdade, o critério de avaliação de uma disciplina é efetuado através de três provas, valendo cada
uma 100 pontos. Por esse critério: estarão aprovados na disciplina aqueles alunos cuja média aritmética das três notas, N 1 ,
N 2 e N 3 , for maior ou igual a 70; os alunos com média inferior a 50 pontos estarão reprovados; e aqueles que estiverem com
média entre 50 e 69 poderão fazer a prova final, cujo valor total é N= 100 pontos. A média final, M F , desse grupo de
alunos é efetuada através do seguinte cálculo:
O quadro abaixo indica as notas e a média de quatro alunos dessa disciplina.
Com base na tabela acima, é CORRETO afirmar que a + b + c é igual a:
a) 225,5
b) 205,5
c) 195,5
d) 215,5
e) 235,5
260
Gabarito:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0 * D D C D E B C B E 04 03 02 C C 04 A 05 05
19 20 21 22
03 01 03 C

GEOMETRIA PLANA
É a parte da geometria que estuda as figuras contidas em um plano. Pertencentes a esse plano temos : o ponto e a reta.
PONTO E RETA:
O ponto e a reta possuem conceitos primitivos no estudo da Geometria e não possuem definição.
Ex.:
Ponto A
SUBCONJUNTOS DA RETA:
Toda reta possui os seguintes subconjuntos:
SEMI-RETAS:
retas
início.
Ex.:
SEGMENTO DE RETAS:
retas
Ex.:
261

MEDIDA DE SEGMENTO :
Sendo o segmento AB , chamamos de medida de AB e representamos por AB ou m(AB).
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Considere os pontos A , B , C , D e E , pertencentes , nessa ordem , à reta r . Se AE = 15cm , AD = 12cm , CE =
AB BC AB
7cm e = 3. , quanto mede ?
ÂNGULO
É o conjunto formado pela união de duas semi-retas de mesma origem .
Ex.:
262
TIPOS DE ÂNGULOS:
Os ângulos se subdividem em:
Ângulo agudo- é o ângulo cuja medida é menor que 90°.
Ângulo reto- é o ângulo cuja medida é igual a 90°.
Ângulo obtuso- é o ângulo ceja medida é maior que 90°.
Ângulo raso- é o ângulo cuja medida é igual a 180°.
Ângulos complementares- dois ângulos complementares se a soma de suas medidas é igual a 90°, ou seja:
Ângulos suplementares- dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é igual a 180°, ou seja:
Ângulos replementares- dois ângulos são replementares se a soma de suas meidas é igual a 360°, ou seja:
Ângulos consecutivos- dois ângulos são consecutivos quando possuem mesmo vértice e um lado em comum.
Ângulos adjacentes- são ângulos consecutivos que não possuem pontos internos em comum.
Ângulos opostos pelo vértice- dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retsa opostas
aos lados do outro.

Ex.:
MEDIDA DE UM ÂNGULO:
Os ângulos são medidos da seguinte forma :
* Graus ( º )
* Radianos ( rad )
* Grados ( gr )
Se liga.:
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Clcular a medida de dois ângulos complementares sabendo que a diferença entre elses é igual a 36°.
2. (UEFS) O triplo do complemento de um ângulo é igual a terça parte do suplemento desse ângulo. Esse ângulo mede?
a) 175°30´
b) 56°15´
c) 315°
d) 78°45´
e) 112°30´
263

ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL
Podemos classificar os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal de acordo com a posição
desses ângulos.
Ângulos internos são ângulos que estão entre as retas pararlelas, os outros são ângulos externos.
Ângulos colaterais são ângulos suplementares que estão de um mesmo lado da reia tranversa.
Ângulos alternos são ângulos que estão em lados alternados , um à direita ouotro à esquerda da reta pransversal.
264

Ângulos corespondentes são ângulos colaterais e congruentes.
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (UESB)
Considerem-se as retas r, s e t, tais que r || s || t.
O valor do ângulo x representado na figura é igual, em graus, a:
01) 90
02) 80
03) 70
04) 60
05) 50
265

2. (UESB)
r
140 o
s
120 o
Da análise da figura, considerando-se as retas r, s e t paralelas, pode-se concluir que os ângulos , e medem,
respectivamente:
01) 100°, 140º e 120°.
02) 100°, 120º e 140°.
03) 110°, 120º e 130°.
04) 110°, 130º e 120°.
05) 120°, 120º e 120°.
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
Os ângulos na circunterência se subdividem em:
ÂNGULO CENTRAL
É o ângulo que possui vértice no centro e seu valor é sempre igual ao arco limitado por seus lados .
266

ÂNGULO INSCRITO
É o ângulo que possui o vértice sobre a circunferência e seu valor é sempre a metade do arco limitado por seus lados.
ÂNGULO EXCÊNTRICO
INTERNO:
É o ângulo que possui vértice no interior da circunferência e seu valor é a semi-soma dos arcos limitados por seus lados .
EXTERNO
É o ângulo que possui vértice no exterior da circunferência e seu valor é a semi-diferença dos arcos limitados por seus
lados.
267

EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (UNEB)
Em un círculo de centro O, figura acima, está inscrito o ângulo . Se o ângulo AOB mede 80º, então mede
01) 30º
02) 40º
03) 45º
04) 50º
05) 60º
2. (FGV-SP) A medida do ângulo ADC
^
inscrito na circunferência de centro O é:
a) 125º
b) 110º
c) 120º
d) 100º
e) 135º
A
D
35º
O
C
B
3. (UFAL) Seja a circunferência de centro O, representada na figura abaixo. A medida do ângulo assinalado é:
a) 30º
b) 40º
c) 50º
d) 60º
e) 70º
100º
O
20º
268

POLÍGONOS
LINHA POLIGONAL
É a união de dois ou mais segmentos de retas e é classificada como:
ABERTA:
FECHADA:
DEFINIÇÃO
Definimos como polígono a toda linha poligonal fechada, cujos lados não se cruzem .
POLÍGONO CONVEXO
É todo polígono que qualquer segmento de reta estiver contido inteiramente em eu interior.
POLÍGONO CÔNCAVO OU NÃO CONVEXO
É todo polígono que possui um ângulo interno maior que 180°.
269

NOMENCLATURA
Nomeamos um polígono de acordo com seu número de lados.Veja a seguinte tabela.
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS( )
A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados é dada por:
( )
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS( )
NÚMERO DE DIAGONAIS()
( )
POLÍGONOS REGULARES
Um polígono é regular se e somente se todos os seus lados e ângulos internos forem congruentes.
Ex.; quadrado
Se liga.: ângulos congruentes polígono equiângulo.
lados congruentes polígono equilátero.
270

ÂNGULO INTERNO( )
Em um polígono regular cada ângulo interno é dado pela razão entre a soma dos ângulos e o número de lados, ou seja:
( )
ÂNGULO EXTERNO( )
Em todo polígono regular cada ângulo externo é dado pela razão entre a soma dos ângulos externos e o número de lados.
Se liga.: Número de diagonais que pasa pelo centro.
diagonais passam pelo centro.
lados for ímpar , logo nenhuma diagonal passa pelo centro.
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. -(MACK-SP) O polígono regular convexo cujo ângulo interno é 7 2
a) icoságono
b) dodecágono
c) decágono
d) ebeágono
e) octógono
do seu ângulo externo é:
2. FGV-SP) A soma das medidas dos ângulos internos de um eneágono é:
a) 900°
b) 1080°
c) 1260°
d) 1800°
e) 2340°
3. (MACK-SP) O número de diagonais do polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é 1440º, é:
a) 20
b) 27
c) 35
d) 4
e) Nra
271

ELEMENTOS DE POLÍGONO REGULAR
Considerando o hexágono regular ABCDEF abaixo e as circuferências inscrita e circunscritas.
e são raios da circunferência circunscrita.
amos apótema de um polígono regular ao o ploono ao ponto médio de um de seus lados formando com este um
ângulo reto. Sendo assim o segmento marcado no polígono acima representa um dos apótema desse hexágono.
POLÍGONOS REGULARES MAIS COMUNS
O triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular são os polígonos regulares mais comuns por apresentarem os
ângulos de 30°, 45° e 60°.
POLIGONOS REGULARES MAIS COMUNS INSCRITOS
APÓTEMA
LADO
272

EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Em uma circunferência de raio encontra-se um quadrado inscrito na mesma. Calcule o lado e o apótema do
quadrado.
2. Um hexágono regular encontra-se inscrito em uma circunferência de raio 10 cm. Calcule o lado e o apótema desse
hexágono.
3. Calcule o lado de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 6 m.
TRIÂNGULO
É a figura geométrica formada pela união de três pontos não-colineares (pertencente a um plano, por três segmentos de reta.
Elementos de um triângulo
.
273

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
A soma dos ângulos internos é igual a 180°
Em todo triângulo cada lado é maior que a soma dos outros dois em módulo e menor que a soma.
Se liga.:
Em todo triângulo o ângulo externo é igual a soma dos outros dois internos não djacentes.
Em todo triângulo o maior lado é oposto ao maior ângulo.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
QUANTO AOS ÂNGULOS
Acutângulo: três ângulos agudos ;
Retângulo: um ângulo reto ;
Obtusângulo: um ângulo obtuso .
- QUANTO AOS LADOS
Equilátero : três lados congruentes;
Isósceles : pelo menos dois lados congruentes ;
Escaleno : três lados de medidas diferentes .
274

PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO
MEDIANA
Segmento que vai do vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto.
Se liga 1: Baricentro(G) é o ponto de encontro das três medianas de um triângulo.
logo
ALTURA
È o segmento perpendiculare aos lados , tomados a partir dos respectivos vértices opostos.
Se liga 2: Ortocentro é o ponto de intersecção entre as alturas de um triângulo.
MEDIATRIZ
È a reta perpendiculare ao lao passando pelo seu ponto médio.
Se liga 3: Circuncentro é o ponto de intersecção entre as mediatrizes de um triângulo.
275

BISSETRIZ INTERNA
É o segmento que dividem o ângulo interno em dois outros congruentes.
Se liga : Incentro é o ponto de intersecção entre as bissetrizes internas de um triângulo.
Se liga.: Teorema da bissetriz interna
“A bissetriz interna de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em dois segmentos respectivamente proporcionais
aos outros dois lados desse triângulo.”
Se liga 1 .:Em todo triângulo isósceles a mediana, a altura, a bissetriz e a mediatriz são coincidentes em relçaõ à base.
Se liga.: Em todo triângulo equiláteto o baricentro, o ortocentro, o incentro e o circuncentro coincidem.
r = raio da circunferênci inscrita
R = raio da circunferênci cicunscrita
276

TRIÂNGULOS SEMELHANTES
Dois triângulos são semelhantes quando possuem seus ângulos congruentes e como consequência as suas medidas são
proporcionais.
TEOREMA DE TALES
Um feixe de retas paralelas determina , sobre duas transversais , segmentos respectivamente proporcionais.
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Nas figuras, a // b // c, calcule o valor de x.
a)
277

)
c)
2. . Uma reta paralela ao lado BC de um triângulo ABC determina o ponto D em AB e E em AC . Sabendo – se que
AD = x, BD = x + 6, AE = 3 e EC = 4, determine o lado AB do triângulo.
278

3. A figura abaixo nos mostra duas avenidas que partem de um mesmo ponto A e cortam duas ruas paralelas. Na primeira
avenida, os quarteirões determinados pelas ruas paralelas tem 80 m e 90 m de comprimento, respectivamente. Na segunda
avenida, um dos quarteirões determinados mede 60 m. Qual o comprimento do outro quarteirão?
4. No triângulo ao lado, DE // BC . Nessas condições, determine:
a) a medida de x.
b) o perímetro do triângulo, sabendo que BC = 11 cm.
279

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Considerando o triângulo retângulo ABC abaixo:
Temos:
Pela semelhança de triângulos:
O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.(Teorema de Pitágoras).
A medida de qualquer cateto é igual a medida proporcional ou geométrica das medidas da hipotenusa e da projeção de cada
cateto sobre ela.
A medida da altur relativa à hipotenusa é igual à média geopmétrica entee as medidas dos segmentos que ela determina
sobre à hipotenusa.
280
O produto das medidas dos catetos é igual ao produto das medidas da hipotenusa pela altura relativa a ela.

EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Em um triângulo retângulo, um cateto mede 10cm e sua projeção sobre a hipotenusa mede 5 cm. Nessas condições,
determine a medida:
a) da hipotenusa
b) do outro cateto
c) da altura relativa à hipotenusa.
2. No triângulo EMA suponha que MA = 3cm, AE=4cm e ME=5cm. Calcule a medida x.
3. Num triângulo retângulo, um dos catetos mede 24 cm e a sua projeção sobre a hipotenusa mede 14,4 cm. Determine:
a) a medida da hipotenusa
b) a medida do outro cateto
c) a medida da altura relativa à hipotenusa
281

ÁREAS DE TRIÂNGULOS
Área em função de um lado e de sua altura relativa.
A área A de um triângulo é dada pelo semiproduto das medidas de base e da altura.
Área em unção de dois lados e do ânhulo compreendido entre eles.
A área A de um triângulo é dada pelo semiproduto das medidas dos dois lados e do seno formado entre eles.
.
Área em função dos lados: Fórmula de Heron.
A área A de um triângulo em função dos lados é dada pela fórmula de Heron.
( ) ( ) ( )
282

Área em função do raio da circunferência inscrita.
A área A de um triângulo em função do raio de uma circuferência inscrita é dada pelo produto da medida do semíperímetro
e o raio da circunferência inscrita.
Se liga.: A relação é válida para qualquer
pológono desde que cicunscrito.
Área em função do raio da circunferência cicunscrita.
A área A de um triângulo em função do raio da circunferência circunscrita é dada pelo quociente enntre o produto das
medidas dos três lados e qrádruplo da medida do raio da circunferência circunscrita.
Àrea de um triângulo equilátero.
A área A de triângulo equilátero em função da medida de seu lado é dada pelo produto do quadrado da medida do lado
pela constante
.
283

Se liga.: Hexágono regular
A área A de hexágono regular é obtida multiplicando a área de um trlângulo equilátero por 6.
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (PUC-RIO 2007) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o perímetro mede 22 cm. A área do triângulo
(em cm²) é:
a) 50
b) 4
c) 11
d) 15
e) 7
2. (UFRJ)A área do triângulo retângulo no qual a medida da hipotenusa é 13cm e a de um dos catetos é 5cm é igual a:
a) 128 cm 2
b) 65 cm2
c) 30 cm2
d) 39 cm2
e) 60 cm2
3. (FUVEST) O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe-se que A e B são extremidades de um
diâmetro e que a corda BC mede 6cm. Então a área do triângulo ABC, em cm2 , vale:
a) 24
b) 12
c) 5
d) 62
e) 23
4. Um triângulo eqüilátero está inscrito num círculo de raio 9 cm. Marque V, se verdadeira ou F, se falsa as seguintes
afirmações:
( ) o laoo do triângulo mede 9cm.
( ) a medida do apótema é da medida da aaltura do triângulo.
( ) a altura do triângulo é o dobro da medida do raio do círculo.
( ) a área do triângulo é
6. (Ufmg 2010) Nesta figura plana, há um triângulo equilátero, ABE, cujo lado mede a, e um quadrado, BCDE, cujo
lado também mede a :
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a área do triângulo ABC é:
a) a)
b) b)
c) c)
d) d)
2
a
3
2
a
4
2
3a
4
2
3a
8
284

TRIÂNGULO RETÂNGULO
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Consideremos o triângulo retângulo ABC, retângulo em C, temos:
Podemos afirmar, para o ângulo ou de um triângulo retângulo, temos:
( )
( )
( )
De modo semelhante, definimos:
Na tabela abaixo temo o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos notáveis:
285

EXERCÍCIO DE SALA:
1. (UNEB) Considere um arquipélago formado por quatro pequenas ilhas. Um barco sai da ilha A e navega, sempre em
linha reta, 3km ao norte até a ilha B, depois mais 2km a leste até a ilha C e, finalmente, mais 3km ao norte até a ilha D.
Com base nessas informações, pode-se concluir que, entre as ilhas A e D, há, em quilômetros, uma distancia compreendida
entre:
01) 4,5 e 5,0.
02) 5,0 e 5,5.
03) 5,5 e 6,0
04) 6,0 e 6,5
05) 6,5 e 7,0
2. (UNEB)
Na figura, o valor de sen é igual a
01)
2
1
02)
03)
04)
05)
1
2
1
3
1
5
1
2 5
286

3. (UNEB)
Se, no triângulo ABC, representado na figura, a altura relativa à base AB mede 4u.c., então o lado AB mede, em u.c.,
01) 4(1 3 3)
02) 4(1
2 3)
03) 4(1 3)
04) 4(1
3
)
3
05) 4
3
3
4. (UNEB) Sendo A = tg30°, B = sec45° e C = sen60°, é verdade que:
01) C < B < A
02) B < C < A
03) B < A < C
04) A < C < B
05) A < B < C
287

5. (FDC-2009.2) Um robô posicionado em um ponto P, origem do sistema de coordenadas cartesianas, e de frente para o
lado positivo do eixo Ox, está programado para executar dois tipos de movimentos – dar um passo de exatamente 20cm à
frente ou girar exatamente 45o (no sentido horário ou anti-horário); para deslocá-lo do ponto P até um ponto Q, foram
executados consecutivamente os seguintes movimentos:
Dar um passo a frente;
o no sentido anti-horário;
o no sentido anti-horário;
Querendo reprogramar o robô para que ele se desloque de P até Q, através de um número mínimo de movimentos, será
preciso girar exatamente:
01) 30 o no sentido anti-horário e dar um passo à frente de exatamente (20 + 10 ) cm.
02) 45 o no sentido anti-horário e dar um passo à frente exatamente (20 + 20) cm.
03) 135 o no sentido anti-horário e dar um passo à frente de exatamente 20cm.
04) 30 o no sentido horário e dar um passo à frente de exatamente (20 + 10 ) cm.
05) 45 o no sentido horário e dar um passo à frente de exatamente 60cm.
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Lei dos cossenos
O triângulo abaixo não é retângulo, então, não é possível a aplicação do teorema de Pitágoras para estabelecer uma relação
entre os lados:
Lei dos senos
A lei dos senos também se aplica a qualquer triângulo. É uma relação estabelecida entre cada lado do trio ângulo oposto a
esse lado.
No triângulo abaixo, a lei dos senos é dada por:
288

EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (UNEB)
Na figura, x e y são os valores das medidas dos lados do triângulo de área igual a 18 u.a. O valor de
01) 24
02) 36
03) 30 – 12 2
04) 30 – 12 3
05) 30 + 12 3
y 2
x
é igual a
2. (UNEB)
Na figura, o vértice A do retângulo ABCD é o ponto médio do segmento EC. Se DC 2 3 u.c. e AD 3u.c., então o
segmento DE mede, em u.c.,
01) 4 3
02) 4 2
03) 2 6
5 3
04)
2
2 6
05)
3
289

3. (UESB-2013)
Na figura, o polígono ABC representa uma praça que tem forma de triângulo equilátero de lado medindo 400m. Essa praça
foi dividida por um segmento de reta PM, sendo M ponto médio de AC e P, ponto de AB, que dista 300m de A. Assim
sendo, pode-se afirmar que o perímetro do quadrilátero PBCM é, em metros, igual a:
01)
02)
03)
04)
05)
QUADRILÁTEROS
È o polígono que possui quatro lados.
290

QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
PARALELOGRAMO
É o todo quadrilátero que possui dois pares de lados paralelos.
//
//
Propriedades:
Os ângulos opostos são congruentes;
: Os ângulos adjacentes ao mesmo lado são suplementares;
: Os lados opostos são congruentes:
: As diagonais se interceptam no seu ponto médio.
CLASSIFICAÇÃO:
Os paralelogramos são classificados em: retângulo, losango e quadrado.
Retângulo
Possui o ângulos congruentes (paralelogramo equiângulo).
Se liga.: As diagonais são congruentes.
Losango
Possui lados congruentes (paralelogramo equilátero).
Se liga.: As diagonais são perpendiculares e bissetrizes dos
ângulos internos.
291

Quadrado
Possui ângulos e lados congruentes (paralelogramo equiângulo equilátero).
Se liga.: As diagonais são congruentes, perpendiculares e bissetrizes dos
ângulos internos.
Trapézio
É o quadrilátero que possui um par de lados paralelos.
()
CLASSIFICAÇÃO
Os trapézios podem ser classificados em escaleno, isósceles e retângulo
Trapézio escaleno
As medidas dos lados transversais são diferentes , isso é , .
Note que tanto os ângulos da base maior quanto os ângulos da base menor têm medidas diferentes.
292

Trapézio isósceles
As medidas dos lados transversais são iguais , isso é , .
Note que as medidas são iguais no ângulos da base maior, nos ângulos da base menor e nas diagonais e
Trapézio retângulo
Um dos lados transversais é perpendicular às duas bases.
Note que o lado AD apresenta a mesma medida da altura.
Trapezóide
É todo quadrilátero que não possui lados paralelos.
Se Liga.:
Em todo quadrilátero circunscrito, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois.
293

=
Em todo quadrilátero inscrito, a soma de dois ângulos opostos é igual a 180º.
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (UNEB) Na figura, as retas r e s são paralelas, e a altura do triangulo eqüilátero ABC mede 6 3 u.c.
Com base nessas informações, pode-se concluir que a área sombreada mede, em u.a.,
01) 6 3
02) 6 3
03) 8 3
04) 8 3
05) 12 3
294

2. (UNEB)
Na figura, a soma das áreas dos três quadrados é 34u.a. A área do quadrado maior é igual a
01) 13
02) 14
03) 17
04) 18
05) 20
3. (Unicamp-SP) Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo ABCD, conforme
mostra a figura, e as seguintes dimensões:: AB =25 m, BC = 24 m, CD = 15m.
Se cada metro quadrado desse terreno vale R$ 50,00, qual é o valor do terreno?
4. (ENEM/2009) O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no
mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD,
BC
em que AB , Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo com
2
AB
o desenho, no qual AE é lado do quadrado.
5
295

Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele
a) duplicasse a medida do lado do quadrado.
b) triplicasse a medida do lado do quadrado.
c) triplicasse a área do quadrado.
d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
e) ampliasse a área do quadrado em 4%.
5. (UEFS)
y
x
A
B
C
D
Um terreno de forma retangular, com largura igual a y u.c. e comprimento igual a x u.c., está dividido nos quadrados A, B,
C e D, conforme a figura. Nessas condições, a razão x
y é igual a:
01) 20
02)
5
3
03)
4
3
04)
3
2
05) 1
296

6. (ENEM/2009) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns
trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a
forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m 3 /s. O
cálculo da vazão, Q em m 3 /s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m 2 , pela
velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av.
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.
Disponível em: www2.uel.br.
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta?
a) 90 m 3 /s.
b) 750 m 3 /s.
c) 1.050 m 3 /s.
d) 1.512 m 3 /s.
e) 2.009 m 3 /s.
CIRCUNFERENCIA
É um conjunto de potos do pkano equdistantes de detrminado ponto.
297

Elementos
corda e o segmento de reta que liga dois pontos distintos quasiquer de uma circunferência.
diâmetro é a corda que passa pelo centro da circunferência.
arco é uma parte da circuferência dividida por dois de seus pontos.
Comprimento de uma circunferência(C)
RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
Relação entre duas cordas
Em uma circunferência de centro O e um ponto P no seu interior passam duas cordas concorrentes que interceptam a
circunferência em A,B, C, e D, temos:
Relação entre duas secantes
Em uma circunferência e um ponto R no seu exterior se duas semiretas secantes que interceptam a circunferência em Q, P,
S e T, temos:
298

Relação entre uma secante e uma tangente
Em uma circunferência e um ponto P no seu exterior, se uma semireta secante e outra tangente que interceptam a
circunferência em A, B, e T, temos:
Relação entre duas tangentes
Em uma circunferência e um ponto P no seu exterior, se duas semiretas tangentes que interceptam a circunferência em A e
B, temos:
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Na circunferência da figura de centro O e raio igual a 9m, sabe-se que a tangente PB 2PA
. A distância do ponto P à
circunferência é:
a) 12 m
b) 24 m
c) 6 m
d) 3 m
e) n.r.a.
299

2. Na figura, AB = 7 m, AD = 6 m, DE = 4 m. Então, BC é igual a:
24
a) m
7
b) 5 m
c) 12 m
d) 11 m
e) n. r. a.
3. O valor de x na figura abaixo é:
a) 20/3
b) 3/5
c) 1
d) 4
e) 15
4.
Na figura anterior, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD = 4 cm e o ponto O é o centro da circunferência. O perímetro do triângulo
AOC mede, em cm:
a) 36
b) 45
c) 48
d) 50
e) 54
300

CÍRCULO
é o conjunto dos pontos internos de uma circunferência.
SETOR CIRCULAR
É a região compreendida entre dois raios e um arco.
SEGMENTO CIRCULAR
É a região compreendida entre um setor circular e um tiângulo.
301

COROA CIRCULAR
É região compreendida entre dois círculos.
( )
EXERCICIOS DE SALA:
1. (UNEB)
Na figura, a área da região hachurada mede, em u.a.,
01) 60 - 16
02) 45 - 4
03) 30 - 4
04) 30 - 16
05) 15 - 4
302

2. (UNEB)
A figura representa um círculo de centro em C e área medindo 25π
cm 2 .
Considerando-se que a corda AB mede 5cm, pode-se afirmar que a área do triângulo ABC, em cm 2 , é igual a:
01)
02)
03)
04)
5 3
4
5 3
2
25 3
4
25 3
2
05) 25 3
3. (UESB) Na figura todas as circunferências têm raio r = 1u.c., e a circunferência central passa pelos pontos de tangência
das demais. Com base nessa informação, pode-se concluir que a área sombreada mede, em u.a.:
01) 4 – 1
02) 4 – 2
03) + 4
04) 2 + 4
05) 3 + 4
303

4. Calcule a área hachurada na figura abaixo sabendo que o raio do círculo mede 2 cm.
5. A área da região hachurada vale:
a. 12 - 2
b. 16 - 2
c. 9 -
d. 8 - 2
e. 4 -
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. (UESB)
D
C
C
P
A
B
A
Q
B
Uma folha de papel quadrado de lado 12cm dobrada de modo que o seu vértice D fique sobre o lado AB, sendo Q a nova
posição do vértice D, conforme a figura. Sabendo-se que o ângulo mede 30°, pode-se concluir que o segmento AQ, mede,
em cm,
01) 5
02) 3 2
03) 6
04) 4 3
05) 7
304

2. (UEFS) Um fazendeiro comprou um terreno de forma retangular, com 30 m de perímetro, notando que o triplo da
medida do menor lado é igual ao dobro da medida do lado maior. Resolveu plantar grama em todo o terreno, exceto em
uma semi-circunferência cujo diâmetro coincide com o lado menor. Considerando-se que o valor aproximado de = 3,14 e
que o m 2 da grama custa R$ 40,00, pode-se afirmar que o fazendeiro gastou, aproximadamente:
a) R$ 245,76
b) R$ 405,40
c) R$ 1.390,36
d) R$ 1.440,00
e) R$ 1.594,80
3. (UEFS) Da figura, composta por 5 círculos, sabe-se que:
O círculo maior tem centro na origem dos eixos coorde-nados e o raio mede 2;
Os círculos médios são tangentes entre si, na origem dos eixos coordenados, e tangentes ao círculo maior;
Os círculos menores são tangentes aos círculos médios e ao círculo maior.
O raio dos círculos menores mede, em u.c.,
01) 9
1
02) 9
2
y
03) 3
1
04) 3
2
x
05) 4
3
4. (UEFS) Na figura, tem-se uma circunferência de raio r e centro O e três losangos em que a diagonal maior é o dobro da
menor. Nessas condições, pode-se concluir que a área da região sombreada mede, em u.a.,
a) ( – 0,75) . r²
b) ( – 1) . r²
c) ( – 1,5) . r²
d) ( – 1,8) . r²
e) ( – 3) . r²
305

5. (UEFS) A razão entre o lado do quadrado inscrito e o lado do quadrado circunscrito, em uma circunferência de raio r, é:
a) a) 4
1
b) b) 2
1
c) c)
d) d)
e) 2
1
3
1
2
6. (UNEB) A reta e parábola, representadas no gráfico, têm equações iguais, respectivamente, a 2x – 3y + 12 = 0 e y =
4 16
2 x 2 x
3 3
.
3
Da análise do gráfico, conclui-se que a área da região sombreada mede, em u.a.:
01) 10
y
02) 11
03) 13
04) 15
0 x
05) 18
7. (UESC) Na figura, tem-se um quadrado com x unidades de área e um triângulo, em que um lado coincide com um dos
lados do quadrado, e os outros dois medem 2u.c. e 5u.c.. Nessas condições, pode-se afirmar que x pertence ao intervalo:
01) ]3, 7[
02)
3 , 7
03) ]9, 49[
04) ]4, 25[
05) 2 , 5
5 u.c.
2 u.c.
306

7. (UESC-07) Se o lado do quadrado da figura mede x cm, então a área, em cm 2 , da região sombreada é igual a:
x 2
01) 3
3 2
12
x 2
02) 3
3 2
12
x 2
03) 3
3
12
x 2
04) 3
3
4
x 2
05) 3
3
4
9. (Upe 2014) Um triângulo UPE é retângulo, as medidas de seus lados são expressas, em centímetros, por números
naturais e formam uma progressão aritmética de razão 5. Quanto mede a área do triângulo UPE?
a) 15 cm 2
b) 25 cm 2
c) 125 cm 2
d) 150 cm 2
e) 300 cm 2
10. :(Unicamp 2014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão
aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a:
a) 3,0 m 2 .
b) 2,0 m 2 .
c) 1,5 m 2 .
d) 3,5 m 2 .
307

11. Fuvest 2014) O triângulo AOB é isósceles, com OA OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida do ângulo
AOB, ˆ pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se:
Dados os valores aproximados:
tg 140,2493 , tg 150,2679
tg 200,3640 , tg 280,5317
a) a) 14θ
28
b) b) 15θ
60
c) c) 20θ
90
d) d) 25θ
120
e) e) 30θ
150
12. :(Ufsc 2014) No livro A hora da estrela, de Clarice Lispector, a personagem Macabéa é atropelada por um veículo cuja
logomarca é uma estrela inscrita em uma circunferência, como mostra a figura.
Se os pontos A, B e C dividem a circunferência em arcos de mesmo comprimento e a área do triângulo ABC é igual a
2
27 3 cm , determine a medida do raio desta circunferência em centímetros.
13. (Uece 2014) O palco de um teatro tem a forma de um trapézio isósceles cujas medidas de suas linhas de frente e de
fundo são respectivamente 15 m e 9 m. Se a medida de cada uma de suas diagonais é 15 m, então a medida da área do
palco, em m 2 , é:
a) 80.
b) 90.
c) 108.
d) 1182.
308

14. (Fuvest 2014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares
congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura
abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.
a) 1.600 m 2
b) 1.800 m 2
c) 2.000 m 2
d) 2.200 m 2
e) 2.400 m 2
15. (Enem 2013) Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se
construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O.
A imagem que representa a nova figura é:
a)
309

)
c)
d)
e)
16. (Enem 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de
comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e
BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os
segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.
310
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?

a) a) 1m
b) b) 2m
c) c) 2,4 m
d) d) 3m
e) e) 2 6m
17. (Enem 2013) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centímetros. Essas placas
são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas.
Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu
reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada.
A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a:
a) N 9
b) N 6
c) N 3
d) 3N
e) 9N
18. (Enem 2013) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados
dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância
de 10cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a
figura:
311

Utilize 1,7 como aproximação para 3.
O valor de R, em centímetros, é igual a:
a) 64,0.
b) 65,5.
c) 74,0.
d) 81,0.
e) 91,0.
19. (Enem 2013) Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com base quadradas. Todos os copos desse
restaurante têm o formato representado na figura:
Considere que
7
AC BD e que é a medida de um dos lados da base da bandeja.
5
Qual deve ser o menor valor da razão
BD
para que uma bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de
uma só vez?
a) a) 2
b) b) 14 5
c) c) 4
d) d) 24
5
e) e) 28
5
312

20. (Enem 2012) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de
quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da
medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da
figura, que custa R$ 30,00 o m 2 , e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m 2 .
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
a) R$ 22,50
b) R$ 35,00
c) R$ 40,00
d) R$ 42,50
e) R$ 45,00
21. (Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira
lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do
encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é
(5 – x) (3 – y).
Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por:
a) 2xy
b) 15 – 3x
c) 15 – 5y
d) –5y – 3x
e) 5y + 3x – xy
313

22. (Enem 2012) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no
inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora)
de gás propano e cobre 35 m 2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m 2 de área. O
fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai
instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada
encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos é um trapézio).
Avaliando-se todas as informações, serão necessários:
a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B.
b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B.
c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B.
d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B.
e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B.
23. (Enem 2012) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma
medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o
equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do
evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estatua.
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida?
a) R L/ 2
b) R 2L/
c) R L/
d) R L/2
e) R L/ 2 2
314

24. (ENEM/2009) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km 2 km que
contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo
da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo
que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde,
aproximadamente, a (considere 3 0, 58 ): 3
a) 50%.
b) 43%.
c) 37%.
d) 33%.
e) 19%.
25. (ENEM/2009) Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal
de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d r
sobre a circunferência.
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por:
d
a) r 1
sen
r
d
b) r 1
cos
r
d
c) r 1
tg
r
r
d) rsen
d
r
e) r cos
d
315

26. (ENEM/2010) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de
comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros
foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um
triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em
que as estacas foram indicadas por letras.
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.
Nessas condições, a área a ser calçada corresponde:
a) à mesma área do triângulo AMC.
b) à mesma área do triângulo BNC.
c) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
d) ao dobro da área do triângulo MNC.
e) ao triplo da área do triângulo MNC.
27. (ENEM/2010) O jornal de certa cidade publicou em uma página inteira a seguinte divulgação de seu caderno de
classificados.
Para que a propaganda seja fidedigna à porcentagem da área que aparece na divulgação, a medida do lado do retângulo que
representa os 4%, deve ser de aproximadamente
a) 1 mm.
b) 10 mm.
c) 17 mm.
d) 160 mm.
e) 167 mm.
316

28. (ENEM/2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último
domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região.
O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a
medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br.
Acesso em: 02 maio 2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob
um ângulo de 60º; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido,
conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30º.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
29. (ENEM/2010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o
formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal
peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces
laterais, conforme mostra a figura.
O raio da perfuração da peça é igual a
a) 1 cm.
b) 2 cm.
c) 3 cm.
d) 4 cm.
e) 5 cm.
317

30. (ENEM/2010) Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura
mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio maior.
Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou
folgas, quatro tubos cilíndricos internos.
Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para
produzir tubos maiores, com raio da base igual a:
a) 12 cm
b) 12 2 cm
c) 24 2 cm
d) 6(1 + 2 )cm
e) 12(1 + 2 )cm
31. (ENEM/2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a
partir de um ponto A, mediu o ângulo visual fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo
sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo
visual 2. A figura ilustra essa situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo = 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a
distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto
fixo P será:
a) 1 000 m.
b) 1 000 3 m.
c) 2 000 3
3 m.
d) 2 000 m.
e) 2 000 3 m.
318

32. (UESB-2010) Uma escuna, navegando em linha reta pela Baía de Todos os Santos, passa, sucessivamente , pelos
pontos M, N e P. Um observador, quando está em M, localiza o farol F e constata que o ângulo FMP mede 30°. Após
navegar 8 milhas até o ponto N, verifica que o ângulo FNP mede 75°.
Com base nessas informações, pode-se afirmar que a distância do farol ao ponto N, em milhas ,é igual a:
01)
02) 2
03) 3
04) 4
05)
33. (UESB-2010) Um fio de 24cm de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a
área de um deles seja quatro vezes a área do outro. Com base nessas informações, é correto afirmar que a soma das áreas,
em cm2, desses quadrados é igual a:
01) 16
02) 18
03) 20
04) 24
05) 30
34. (UNIFENAS-2011) O dobro do complemento de um ângulo é igual à quinta parte do suplemento do mesmo ângulo.
Determine o seu replemento.
a) 80°
b) 200°
c) 224°
d) 280°
e) 160.
319

35. (ITA/01) Num trapézio retângulo circunscritível, a soma dos dois lados paralelos é igual a 18 cm e a diferença dos dois
outros lados é igual a 2 cm. Se r é o raio da circunferência inscrita e a é o comprimento do menor lado do trapézio, então a
soma (em cm) é igual a:
a) 12
b) 11
c) 10
d) 9
e) 8
36. (UNEB-2011) A conversão de capim-elefante em energia não polui. Mesmo o gás carbônico, CO2,emitido durante a
queima da biomassa utilizada é menor do que o consumido pela gramínea durante todo o seu crescimento.
320
do setor circular, associado a energia hidrelétrica na composição da
composição da matriz energética nacional com a contribuição potencial do capim-elefante.
(VARGAS, 2010, p. 112-114).

-
01)
02)
03)
04)
05)
Gabarito:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0 * 04 E D A D 05 03 03 D C E 6 C A E C A C
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
D B E C A E B E D C B D B 04 03 D C 02
321

GEOMETRIA ESPACIAL
PRISMAS
Prisma é um poliedro convexo tal que duas faces são polígonos congruentes situados em planos paralelos e as demais
faces são paralelogramos.
Elementos
Nomenclatura
Os prismas recebem nomes de acordo com os polígonos das bases.
Assim,
Um prisma é triangular quando suas bases são triângulos;
Um prisma é quadrangular quando suas bases são quadriláteros;
Um prisma é pentagonal quando suas bases são pentágonos.
Prismas Regulares
São prismas cujas bases são polígonos regulares.
Exemplos:
322

Cálculo de Áreas e Volumes
EXERCÍCIOS DE SALA
1. (UNICAMP) A figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos
medem 5 cm cada um e a altura do prisma mede 10 cm.
Calcule o volume desse prisma.
2. (UFF) Uma piscina tem a forma de um prisma reto, cuja base é um retângulo de dimensões 15m e 10m. A quantidade
necessária de litros de água para que o nível de água da piscina suba 10cm é:
a) 0,15 L
b) 1,5 L
c) 150 L
d) 1.500 L
e) 15.000 L
323

3. (UFMG) As dimensões de uma caixa retangular são 3cm, 20mm e 0,07m.O volume dessa caixa, mililitros, é:
a) 0,42
b) 4,2
c) 42
d) 420
e) 4200
4) (PUC-SP) Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a seguir,
são dadas as dimensões do prisma em metros.
O volume desse tanque em metros cúbicos é:
a) 50
b) 60
c) 80
d) 100
e) 120
5. (FGV–SP)Em uma piscina retangular com 10 m de comprimento e 5 m de largura, para elevar o nível de água em 10 cm
são necessários:
324
a) 500 l de água
b) 5 000 l de água
c) 10 000 l de água
d) 1 000 l de água
e) 50 000 l de água

PARALELEPÍPEDO
É todo prisma na qual suas faces são paralelogramos. Um paralelepípedo tem ainda seis faces, sendo que duas a duas são
paralelas e idênticas entre si.
( )
EXERCÍCIOS DE SALA
1. (PUC-SP) Um bloco maciço de ferro tem a forma de um paralelepípedo retângulo com dimensões de 15cm de
comprimento, 7,5cm de largura a 4cm de altura. Quantos gramas tem esse bloco, se a densidade do ferro é 7,8g/cm³?
a) 35,1
b) 234
c) 351
d) 2340
e) 3510
2. (UNESP) A água de um reservatório na forma de um paralelepípedo retângulo de comprimento 30m e largura 20m
atingia a altura de 10m. Com a falta de chuvas e o calor, 1800 metros cúbicos da água do reservatório evaporaram. A água
restante no reservatório atingiu a altura de
a) 2 m.
b) 3 m.
c) 7 m.
d) 8 m.
e) 9 m.
325

3. (Fatec) A diagonal da base de um paralelepípedo reto retângulo mede 8 cm e forma um ângulo de 60° com o lado menor
da base. Se o volume deste paralelepípedo é 144 cm³, então a sua altura mede, em centímetros:
a)
b)
c)
d)
e)
4. (UFC-CE) As dimensões da base de um paralelepípedo retângulo P são 3 m e 5 m, respectivamente, e o seu volume é 60
m³. O comprimento, em metros, do maior segmento de reta que une dois pontos de P é igual a:
a)
b)
c) 4
d)
e)
5. (Fac. Ruy Barbosa-BA) Um bloco usado em construção tem a forma de um paralelepípedo reto de dimensões cm,
cm e cm, sendo transpassado por 6 furos, também na forma de paralelepípedos retos de base quadrada de lado x.
Nessas condições, o volume do material usado para fabricar o bloco é dado pela expressão:
a) ( )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
e) ( )
326

CUBO
É o poliedro regular onde as faces são quadrados.
EXERCÍCIOS DE SALA
1. (UEFS-BA) Seis cubos iguais são colocados empilhados, um sobre o outro, formando um paralelepípedo retângulo de
volume igual a 4.374 m³.O perímetro, em metros, de uma das faces do cubo, é:
a) 18
b) 36
c) 48
d) 72
e) 81
2. (FGV-SP) Um cubo tem 96 m² de área total. De quanto deve ser aumentada a sua aresta para que seu volume se torne
igual a 216 m³?
a) 1 m
b) 0,5 m
c) 9 m
d) 2 m
e) 3 m
327

3. (UEL-PR) Afigura abaixo representa um hexaedro regular. A área da secção (ABCD) é m². O volume do sólido, em
m³, é:
a)
b)
c)
d) d)
e) 3
4. (UFC-CE) Os cinco cubos idênticos e justapostos formam uma cruz cuja área é 198 cm². Então, o volume, em cm³, de
cada cubo é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
5. (MACKENZIE) No cubo da figura a seguir, a distância do vértice A à diagonal PQ é . Então, o volume do cubo é:
a) 9
b) 8
c) 27
d) 64
e) 125
328

CILINDRO
É o sólido obtido pela rotação, em torno de uma reta , uma região retangular, obtendo assim um prisma de base circular.
Se Liga.: Um cilindro é dito equilátero quando sua seção meridiana é um quadrado.
329

EXERCÍCIOS DE SALA
1. (UNESP) Num tonel de forma cilíndrica, está depositada uma quantidade de vinho que ocupa a metade de sua
capacidade. Retirando-se 40 litros de seu conteúdo, a altura do nível do vinho baixa de 20%. O número que expressa a
capacidade desse tonel, em litros é:
a) 200.
b) 300.
c) 400.
d) 500.
e) 800.
2. (FATEC) Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de altura 6m e raio da base 3m. O nível da água nele
contida está a 2/3 da altura do tanqu então a quantidade de água, em litros, que o tanque contém é:
a) 113 040
b) 169 560
c) 56 520
d) 37 680
e) 56 520
3. . (UFBA) L + 2 é o volume de um cilindro cuja área lateral é L. O raio do cilindro é igual a:
a) ( )
b) ()
c)
d)
e)
330

4. (Mackenzie-SP) A altura de um cilindro é 20. Aumentando-se o raio desse cilindro de 5, a área lateral do novo cilindro
fica igual à área total do primeiro. O raio do primeiro cilindro é igual a:
a) 10
b) 8
c) 12
d) 5
e) 6
5. (UCSal-BA) Um recipiente tem a forma de um cilindro reto cujo raio da base mede 20 cm.Ao colocar-se uma pedra
nesse tanque, o nível da água subir 0,8 mm, o volume dessa pedra será de, aproximadamente:
a) 101,5 cm³
b) 100,5 cm³
c) 97,5 cm³
d) 95,8 cm³
e) 94,6 cm³
CONE
É todo sólido de revolução obtido pela rotação, em torno de uma reta, de uma região triangular.
331

Se liga.: Um cone é dito equilátero quando a sua seção meridiana é um triângulo equilátero.
TRONCO DE CONE
É o sólido obtido após seccionar-se um cone por um plano paralelo a sua base.
( )
( )
( )
( ( )) ( )
( ) (
)
( ) ( )
332

EXERCÍCIOS DE SALA
1. Fuvest – SP) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a
figura.
A razão 2
cone.
2. (UNIFOR-CE) Em um cone reto
centímetros cúbicos, é:
a) 2
b)
c)
d)
e)
3. (Mackenzie) No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e AE = BE = . O volume desse sólido é:
333

a)
b)
c)
d)
e)
4. (Fuvest) Uma caixa d'água tem a forma de um cone circular reto como ilustrado na figura a seguir. 7329 litros de água
foram retirados da caixa ocasionando um abaixamento de um metro no nível da água. Quantos litros de água existiam
inicialmente na caixa? Para os cálculos use = 3,141
5. (Mackenzie) O setor circular da figura a seguir é a superfície lateral de um cone cuja base tem diâmetro 4 e área igual a
k% da área total do cone. Então k vale:
a) 20.
b) 25.
c) 30.
d) 35.
e) 40.
334

6. (Fuvest) As bases de um tronco de cone circular reto são círculos de raio 6cm e 3cm. Sabendo-se que a área lateral do
tronco é igual à soma das áreas das bases, calcule:
a) a altura do tronco de cone.
b) o volume do tronco de cone.
7. (Ufrrj) Uma taça em forma de cone tem raio da base igual a 5cm e altura 10cm. Coloca-se champanhe em seu interior até
que a altura, a partir do vértice da taça, atinja 5cm, conforme mostra a figura 1. Tampando-se a taça e virando-a para baixo,
conforme mostra a figura 2, pergunta-se: Em que altura (h), a partir da base do cone, ficará o nível do champanhe nessa
posição?
Considere = 1,91
335

8. (Ufg) A figura a seguir representa um tronco de cone, cujas bases são círculos de raios de 5cm e 10cm, respectivamente,
e altura 12cm
Considerando-se esse sólido,
( ) a área da base maior é o dobro da área da base menor.
( ) o volume é menor que 2000cm¤.
( ) o comprimento da geratriz AB é 13cm.
9. (Cesgranrio) Uma ampulheta é formada por dois cones de revolução iguais, com eixos verticais e justapostos pelo
vértice, o qual tem um pequeno orifício que permite a passagem de areia da parte de cima para a parte de baixo. Ao ser
colocada para marcar um intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima e, 35 minutos após, a altura da areia na
parte de cima reduziu-se à metade, como mostra a figura. Supondo que em cada minuto a quantidade de areia que passa do
cone de cima para o de baixo é constante, em quanto tempo mais toda a areia terá passado para a parte de baixo?.
336
a) 5 minutos.
b) 10 minutos.
c) 15 minutos.
d) 20 minutos.
e) 30 minutos.

10. (Ufrrj) Considerando um lustre de formato cônico com altura e raio da base igual a
0,25m, a distância do chão (H) em que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma de círculo com área de
2
a) 12m.
b) 10m.
c) 8m.
d) 6m.
e) 5m
PIRÂMIDE
É todo sólido na qual sua base é um polígono e suas faces laterais são triângulos.
337

Relações na pirâmide
( ) ( ) ( )
(
) ( )
TRONCO DE PIRÂMIDE
Um tronco de pirâmide é obtido após seccionar-se uma pirâmide por um plano paralelo a base.
(
(
) (
)
( ) (
)
338

EXERCÍCIOS DE SALA
1. (Pucsp) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede 8 cm. Se as arestas laterais da pirâmide medem
17cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:
a) 520.
b) 640.
c) 680.
d) 750.
e) 780.
2. (Uece) Numa pirâmide quadrangular regular, uma aresta da base mede cm e uma aresta lateral mede cm. O
volume dessa pirâmide, em cm³, é:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
3. (Ita) A razão entre a área da base de uma pirâmide regular de base quadrada e a área de uma das faces é 2. Sabendo que o
volume da pirâmide é de 12m³, temos que a altura da pirâmide mede (em metros):
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
4. (Fuvest) Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular de lado a. Sejam E e F os pontos médios de e
respectivamente. Então, o valor de EF é:
a)
b)
c)
d)
e)
339

5. (Uel) Considere o tronco de uma pirâmide regular de bases quadradas representado na figura a seguir. Se as diagonais
das bases medem 10 cm e 4 cm, a área total desse tronco, em centímetros quadrados, é:
a) 168
b) 186
c) 258
d) 266
e) 284
6. (Ufmg) Uma pirâmide regular tem altura 6 e lado da base quadrada igual a 4. Ela deve ser cortada por um plano paralelo
à base, a uma distância d dessa base, de forma a determinar dois sólidos de mesmo volume. A distância d deve ser:
a)
b)
c)
d)
7. (Ufrj) Uma pirâmide regular tem base quadrada de área 4. Ela é seccionada por um plano paralelo à base de modo a
formar um tronco de pirâmide de altura 2 e de base superior de área 1.Determine o valor da aresta lateral do tronco de
pirâmide.
340

ESFERA
Esfera é toda região do espaço na qual o conjunto de todos os pontos P têm a mesma distância da origem.
EXERCÍCIOS DE SALA
1. (Unitau) Uma esfera de raio R está inscrita em um cilindro. O volume do cilindro é igual a:
a)
b)
c) .
d)
e)
2. (Fuvest) Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do centro da
superfície esférica, determinando uma circunferência.
O raio desta circunferência, em cm é:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
341

3. (Mackenzie) A razão entre os volumes das esferas circunscrita e inscrita a um mesmo cubo é:
a)
b) 2
c) 3
d)
e)
4.(Pucmg) Uma esfera de raio r = 3 cm tem volume equivalente ao de um cilindro circular reto de altura h = 12 cm. O raio
do cilindro, em cm, mede:
a) 1
b) 2
c)
d) 3
e)
5. . (Mackenzie) A razão entre a área lateral do cilindro eqüilátero e da superfície esférica, da esfera nele inscrita, é:
a) 1
b) 1/2
c) 1/3
d) 1/4
e) 2/3
342
EXERCÍCIOS DE PROPOSTOS::
1. (ITA-22 2
o volume deste cone medem, em cm² e cm³, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)

2. (UESB-2010) Uma lata cilíndrica está completamente cheia de determinado suco. Esse líquido deve ser totalmente
distribuído em x copos cilíndricos, cuja altura é um quarto da altura da lata e o raio dois quintos do raio da lata.
Considerando-se que os copos ficaram totalmente cheios, pode-se afirmar que o valor de x é:
01) 9
02) 16
03) 18
04) 25
05) 30
3. (UESB-2008) Seccionando-se uma pirâmide quadrangular regular, com um plano paralelo à base, obtém-se um tronco de
pirâmide cujas arestas da base medem 20u.c. e 50u.c.,respectivamente, e cuja altura mede 45cm.Com base nas informações,
é correto afirmar que a área lateral dessa região é igual, em u.a., a:
01) 2080
02) 2100
03) 2120
04) 2180
05) 2200
4. (UESB-) Um reservatório em forma de cilindro circular reto é interceptado por um plano — paralelo ao seu eixo e a 6
dm de distância desse eixo — que determina uma seção meridiana retangular ABCD com área igual a 8dm².
Sendo iguais a altura e o raio da base do cilindro, pode-se afirmar que a capacidade do reservatório é igual, em litros, a:
01) 0,2
02) 1,6
03) 2
04) 16
05) 16
5. (UNIFENAS-2011) Certo exemplar de uma revista possui 100 folhas com as seguintes dimensões: 50 cm de
comprimento, 15 cm de largura e 1,5 cm de espessura. Qual é o volume de uma folha, em cm3?
a) 15
b) 7,25
c) 11,25
d) 400
e) 10.
343

6. (UNIFENAS-2011) Considere um tronco de cone obtido pela revolução de um triângulo retângulo, cujas dimensões são
6, 8 e 10, ao longo de um eixo acoplado ao cateto menor. Pede-se a área da seção transversal do cone, quando o corte se
distar a 3 do vértice do cone.
a) 12
b) 16
c) 8
d) 2;
e) 16.
7. (UNIFENAS-2011) Um sorvete cônico de raio 3 cm, altura 4 cm, foi seccionado transversalmente. O corte aconteceu a
uma altura de 2 cm, em relação à base. Quais são os volumes obtidos, ou seja, o volume do cone pequeno e do tronco de
cone obtidos, em relação ao volume total, designado por V?
a) e
b)
e
c) e
d)
e)
e
e
8. (Unicamp/) A base de uma pirâmide é um triângulo eqüilátero de lado L = 6 cm e arestas laterais das faces A = 4 cm.
a) Calcule a altura da pirâmide.
b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide?
344

9. (UNEB-2010) De um cubo maciço de aresta x, retiram-se três blocos — dois prismas retos de base triangular e um
paralelepípedo reto — obtendo-se um sólido em forma de U, de volume V = kx³ u.v., kR,representado na figura.
O valor de k é:
01) 0
02)
03)
04)
05)
10. (UNEB-2011) Navegar é preciso, observou certo dia o poeta português Fernando Pessoa. Boiar, também.
Pelo menos é no que acreditam os engenheiros responsáveis pelo projeto e construção de três imensas balsas. Cada uma
delas mede 142 metros de comprimento, tem 3,5 metros de diâmetro e pesa 700 toneladas. As estruturas cilíndricas
flutuadoras, chamadas Pelamis, lembram banana-boats. Foram construídas na Escócia pela Pelamis Wave Power, uma
firma de engenharia de Edimburgo.
(MOON, 2010).
De acordo com essas informações, o volume de cada uma das Pelamis é aproximadamente igual a:
01) 415m³
02) 420m³
03) 425m³
04) 430m³
05) 435m³
345

11. (ENEM/2009) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um
cubo, para transportá-las.
Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm 3 , então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em
uma caixa é igual a:
a) 4.
b) 8.
c) 16
d) 24.
e) 32.
12. (ENEM/2010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de
um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para
substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram
que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.
Considere:
V
esfera
4 3 1 2
R
e Vcone
R
h
3
3
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que
deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de:
a) 1,33.
b) 6,00.
c) 12,00.
d) 56,52.
e) 113,04.
346

13. (ENEM/2009) Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano.
Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces
pentagonal.
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?
a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas
arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.
b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face
em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim,
se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados.
d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de
faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.
e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de
arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados.
14. (ENEM/2009) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e
6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas
e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base
inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na
base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?
a) 156 cm 3 .
b) 189 cm 3 .
c) 192 cm 3 .
d) 216 cm 3 .
e) 540 cm 3 .
347

15. (ENEM/2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo
volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4
cm de espessura.
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de
cubo é igual a:
a) 5 cm.
b) 6 cm.
c) 12 cm.
d) 24 cm.
e) 25 cm.
16. (ENEM/2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de
peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na
figura que segue.
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza:
a) massa.
b) volume.
c) superfície.
d) capacidade.
e) comprimento
17. (ENEM/2010) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três
tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular
reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um
semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na
figura.
348

A escolha do bebedouro. In: Biotemas. V.22, nº. 4, 2009 (adaptado).
Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o
bebedouro 3?
a)
b)
c)
d)
e)
349

18. (ENEM/2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se
encontram numa reunião na sala. Para fazer o café Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos,
também cilíndricos.
Com o objetivo de não desperdiçar café a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os
vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá:
a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
19. - (ENEM/2010) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O
cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de:
a) 12 cm 3 .
b) 64 cm 3 .
c) 96 cm 3 .
d) 1 216 cm 3 .
e) 1 728 cm 3 .
350

20. - (ENEM/2010) Uma empresa de refrigerantes, que funciona sem interrupções, produz um volume constante de 1 800
000 cm 3 de líquido por dia. A máquina de encher garrafas apresentou um defeito durante 24 horas. O inspetor de produção
percebeu que o líquido chegou apenas à altura de 12 cm dos 20 cm previstos em cada garrafa. A parte inferior da garrafa
em que foi depositado o líquido tem forma cilíndrica com raio da base de 3 cm. Por questões de higiene, o líquido já
engarrafado não será reutilizado.
Utilizando 3, no período em que a máquina apresentou defeito, aproximadamente quantas garrafas foram utilizadas?
a) 555
b) 5 555
c) 1 333
d) 13 333
e) 133 333
21. - (ENEM/2010) O administrador de uma cidade, implantando uma política de reutilização de materiais descartados,
aproveitou milhares de tambores cilíndricos dispensados por empresas da região e montou kits com seis tambores para o
abastecimento de água em casas de famílias de baixa renda, conforme a figura seguinte. Além disso, cada família envolvida
com o programa irá pagar somente R$ 2,50 por metro cúbico utilizado.
Uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês pagará a quantia de
(considere 3):
a) R$ 86,40.
b) R$ 21,60.
c) R$ 8,64.
d) R$ 7,20.
e) R$ 1,80.
351

22. (UNEB) Quatro quadrados iguais são recortados dos cantos de um papelão retangular de 30 cm de comprimento por 20
cm de largura. Dobrando-se as abas para cima, tem-se uma caixa, sem tampa, cujo volume é uma função da largura dos
quadrados recortados. O domínio dessa função é:
01) {x R; x > 15}
02) {x R; x > 10}
03) {x R; 10 < x < 15}
04) {x R; 0 < x < 15}
05) {x R; 0 < x < 10}
23. (UESB) Uma empresa prepara caixas em forma de cubos, com volume V = 343cm 3 . Para economizar espaço, elas
ficam desmontadas e guardadas em uma gaveta, como mostra a figura. Nessas condições, pode-se concluir que a área da
base da gaveta, em cm 2 é igual a:
01) 588
02) 441
03) 392
04) 294
05) 96
24. (UESC) Um cone circular reto possui raio da base e altura iguais a 3cm e 4cm respectivamente. É correio afirmar
que a área lateral, em cm2, de um cilindro circular reto de raio da base igual à terça parte do raio da base do cone e que
comporta o mesmo volume do cone é igual a:
01) 12
02) 24
03) 12
04) 14
05) 24
352

25. (UEFS) Um lojista pretende colocar uma logomarca em bexigas esféricas de r cm de raio para enfeitar sua loja. As
1.000 bexigas são encomendadas a uma empresa que personaliza cada bola por R$ 0,0r. Para saber o raio de cada bexiga, o
lojista verifica que, ao inseri-la em um cilindro de 216 cm 2 de área total, a bexiga o tangencia nas laterais e nas bases do
cilindro. De acordo com tais condições, pode-se afirmar que o lojista gastará, em reais:
a) 6,00
b) 12,00
c) 18,00
d) 60,00
e) 120,00
26. (UEFS) Um reservatório na forma de um paralelepípedo reto retangular, que tem 10m de comprimento, 15m de largura
e 3m de altura. está completamente cheio de água. Após serem utilizados 180000 litros, o nível da água restante no
reservatório atingirá a altura de:
a) 1,20m
b) 1,60m
c) 1,80m
d) 2,10m
e) 2,40m
27. (UESB-06) Pretende-se construir uma caixa para embalagem de um produto na forma de uma pirâmide reta, de volume
96u.v., com base quadrada, de modo que a soma do comprimento da sua altura com o comprimento do lado da base é igual
a 14u.c.. Sabendo-se que existe uma pirâmide nessas condições, cuja altura é igual a 8.u.c., pode-se concluir que existe
também uma outra pirâmide cuja altura x dada em unidade de comprimento é tal que:
01) x N e x < 3
02) x N e x < 4
03) x N e 4 < x < 7
04) x N e x > 8
05) x N e x > 10
353

28. (UEFS) Um frasco de remédio tem a forma de um cilindro circular reto com raio de 3cm e altura de 10cm e contém
xarope em 2/3 de seu volume total. Se uma pessoa tomar, todos os dias, de 12 em 12 horas, 15ml desse xarope, então a
quantidade de xarope existente no frasco é suficiente para, aproximadamente:
a) 4 dias
b) 5 dias
c) 6 dias
d) 7 dias
e) 8 dias
29. (UNEB) A razão entre o volume de um cubo e o volume de um cilindro circular reto inscrito nesse cubo é igual a:
4
01)
2
02)
1
03)
04)
05)
1
2
1
4
30. (UNEB-03) Sobre a pirâmide VABC, da figura, tem-se:
V
A
B
C
A aresta VA é perpendicular ao plano da base.
A base é um triângulo eqüilátero de lado igual a 1 u.c..
3
O volume é igual a u.v..
12
Com base nessa informação, pode-se concluir que a área da face VBC mede, em unidades de área:
354

01)
02)
03)
04)
05)
3
3
3
4
2
3
7
2
7
4
31, (UEFS) A razão entre a área da base de um cilindro circular reto e a sua área lateral é igual a 2. Assim, se o volume do
cilindro mede 128m 3 , a altura mede, em metros:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 2
8. a)
b)
Gabarito:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0 * A 04 02 05 C B C * 01 05 b B C B B B E A
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
D 05 B 01 01 05 D D D C 01 D E
355

GEOMETRIA ANALÍTICA
A Geometria Analítica tem por objetivo conciliar os fatos geométricos com as relações algébricas . Permite , assim , um
entrelaçamento da Álgebra com a Geometria , possibilitando um estudo sistemático das figuras geométricas ou ,
reciprocamente , a interpretação geométrica das relações algébricas .
Historicamente , seu criador foi o matemático e filósofo René Descartes que fixou as bases de seu trabalho em dois eixos
fixos , que se interceptam em um ponto , na qual introduz a noção de coordenadas .
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS:
Dados dois pontos ( ) e ( ) dizemos que a distância entre A e B é representada por d(A,B) e determinada da
seguinte forma:
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO:
Dados dois pontos ( ) e ( ), dizemos que o ponto médio entre A e B é o ponto
determinada pela média aritmética das coordenadas de A e B ; ou seja:
( ) e que é
356

BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO:
O baricentro G de um triângulo ABC é o ponto de encontro das medianas . Dados os pontos A( x 1 , y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) e C(
x 3 , y 3 ) , dizemos que o baricentro desse triângulo é o ponto G( x G , y G ) e que é determinada pela média aritmética das
coordenadas de A , B e C ; ou seja :
ÁREA DE UM TRIÂNGULO:
Considerando os pontos A( x 1 , y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) e C( x 3 , y 3 ) como vértices do triângulo ABC , dizemos que a área desse
triângulo é definida por:
Se liga.: Quando 0 dizemos que os pontos A , B e C não estão alinhados .
ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
Dizemos que três pontos estão alinhados quando o determinante D é nulo; ou seja, D = 0.
EXERCICIOS DE SALA:
1. (UESB A área de um triângulo, cujos vértices são os pontos A(1, 3), B(3, 2) e C(2, 1), mede, em u.a.,
01) 4,5
02) 2,3
03) 1,5
04) 1,4
05) 0,5
357

2. (UEFS) O maior valor real de k para que a distância entre os pontos A = (k, 1) e B = (2, k) seja igual a é:
a) –1
b) 0
c) 2
d) 3
e) 4
3. Determine x para que o ponto ( ) seja equidistante dos pontos ( ) e ( )
4. Calcule x e y , sabendo que o ponto ( ) é o ponto médio do segmento de extremidades ( ) e ( )
ESTUDO DA RETA
Podemos considerar uma reta como um conjunto de infinitos pontos, logo definimos uma equação que seja válida para
todos os pontos ( ) dessa reta.
Equação reduzida da reta
Com os pontos e ( ) e um ângulo é possível determinar uma única reta. Analisando o gráfico abaixo,
temos:
( )
Definimos
a equação pode ser escrita do seguinte modo:
358
Coeficiente linear( ) – indica o ponto de enterseção entre a reta e o eixo y.

Coeficiente angular ( ) – inddica a inclinação da reta. Isso permite analisar a inclinação da reta a partir de ..
Se liga.: Como não existe a tangente de 90° , as retas verticais não podem ser representadas por equações reduzidas.
Equação geral da reta
Toda reta pode ser escrita na sua equação geral, ou seja:
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Encontre a equação da reta que passa pelos pontos ( )( )
2. (Puccamp-SP) Na figura abaixo tem-se representada, em um sistema de eixos cartesianos ortogonais, a rota de uma
aeronave, de uma cidade M a uma cidade N, passando sobre as pequenas cidades A e B.
359

Se os quatros pontos pertencem à reta de equação
entre as cidades A e B, em quilômetros, é de aproximadamente:
, a distância
a) 50
b) 500
c) 800
d) 5 000
e) 8 000
3. (Unama-AM) O período de incubação do cólera pode ser de algumas horas a até 5 dias, porém sua disseminação ocorre
com mais facilidade onde as condições de higiene são precárias. Analisando uma colônia de vírus do cólera, um
pesquisador registrou a disseminação do número desses vírus durante algumas horas e verificou um crescimento
linear conforme o gráfico abaixo, o qual apresenta duas dessas observações. Esse registro poderia também ser feito através
da equação dessa reta, que é:
a)
b)
c)
d)
4. (UFSCar-SP) No plano cartesiano, seja r uma reta de equação Sabendo- se que ( ) é um
ponto de r, determine:
a) o valor de a
b) o coeficiente angular de r
360

POSIÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS
Dadas duas retas quaisquer no plano cartesiano, só existem duas posições relativas que elas podem assumir.
Retas paralelas
Para que duas retas sejam paralelas elas deven formar o mesmo ângulo com o eixo das abscissas. Sabendo que o
coeficiente angular de uma reta é dado por , logo para que duas retas r e s sejam paralelas, devemos ter
Retas concorrentes
Para que duas retas sejam concorrentes elas devem ter um ponto em comum. Logo, duas retas r e s são concorrentes se
Retas perpendiculares: um caso particular de retas concorrentes
Como os dois ângulos internos são complementares, é válida a seguinte
relação:
INTERSECÇÃO DE RETAS
Dadas duas retas concorrentes dizemos que essas retas se interceptam no ponto
( ) quando .
Ãngulo formado por duas retas
Dadas duas retas r e s , tais que dizemos que o ângulo agudo entre essas duas retas,
indicado na figura abaixo, é tal que:
361

Distância de um ponto a uma reta
È a menor distância entre esse ponto e a reta.
Na figura, procure obter a distância entre o ponto e a reta pela
equação geral o:
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (UNIFOR CE/2010/Janeiro) Considere as retas r e s definidas por kx – (k+2)y = 2 e ky – x = 3k respectivamente.
Determine o valor de k de modo que as retas r e s sejam paralelas:
a) k = –1 ou k = 1
b) k = –1 ou k = 2
c) k = 1 ou k = 2
d) k = 0 ou k = 2
e) k = –2 ou k = 2
362

2. (UFOP MG/2007/Janeiro) Num sistema de coordenadas cartesianas, localizam-se o ponto P (3,4) e a reta r de equação
x+ y – 3 = 0. Seja Q o ponto de r cuja abscissa é o dobro da ordenada. A distância de P até Q é:
a) 10
b) 10
c) 4
d) 2 2
3. (UFV MG/2010/Janeiro) O gráfico da equação
que passa pelo ponto (1, 4) é:
2
2
(x 2) (x 2)
y é uma reta r. A equação da reta perpendicular a r
16 16
a) y = –2x + 8
b) y = –2x + 6
c) y = 2x + 2
d) y = 2x + 4
4. (FGV /2010/RJ) No plano cartesiano, a reta que passa pelo ponto P(6,9) e é paralela à reta de equação 2x + 3y = 6
intercepta o eixo das abscissas no ponto:
a) (13, 0)
b)
35
, 0 2
c) (18, 0)
d)
39
, 0 2
e) (23, 0)
363

5. (FGV /2010/RJ) A reta (t) passa pela intersecção das retas 2x – y = –2 e x + y = 11 e é paralela à reta que passa pelos
pontos A(1,1) e B(2, –2).
A intersecção da reta (t) com o eixo y é o ponto:
a) (0,18)
b) (0,17)
c) (0,16)
d) (0,15)
e) (0,14)
CIRCUNFERÊNCIA
É o conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo, o centro,; a medida do raio r é a distância constante de qualquer
ponto da circunferêmcia até o centro.
Equação reduzida da circunferência
Equação geral da circubferência
( ) ( )
Desenvolvendo a equação reduzida da circunferência temos:
( ) ( )
364

PONTOS INTERNOS E EXTERNOS A UMA CIRCUNFERÊNCIA
Uma circunferência por ser uma figura fechada, divide a plano em duas regiões, por issio determina pontos internos e
externos.
Ponto interno à circunferência
Se um ponto é interno a uma circunferência, logo a sua distância ao centro é menor que o raio.
Ponto externo à circunferência
Se um ponto é externo a uma circunferência, logo a sua distância ao centro é maior que o raio.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA
Reta secante
A distância entre o centro e a reta é menor que o raio da circuferência, logo:
Reta tangente
365

A distância entre o centro e a reta é igual ao raio da circuferência, logo:
Reta exterior
A distância entre o centro e a reta é maior que o raio da circuferência, logo:
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Duas circubferências pode assumir entre si, diversas posições.
Consideremos duas circuferências, uma de raio R e outra de raio r, com
Não se interceptam
Quando as circunferências não possuem internos em comum.
Circunferências externas
A distância entre os centros é maior que a soma das medidas dos raios, logo:
366

Circunferências internas
A distância entre os centros é menor que a diferença das medidas dos raios, logo:
Circunferências concêntricas
São circunferêncais que possuem o mesmo centro.
Tangentes
Duas circunferências são tangentes que possuem um ponto em comum.
Tangentes internas
Os centros são exteriores, uma em relçaõa à outra.
A distância entre os centros é igual a soma das medidas entre os raios, logo:
Tangentes internas
367

O ceeentro de uma é iterior à outra circunferência.
A distância entre os centros é igual a sdiferença das medidas entre os raios, logo:
Secantes
São circunferências que possuem dois pontos distintos em comum.
Nas circunferências tangentes temos:
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (UNEB) Sobre a reta s de equação y – 2x – 1 = 0 e a circunferência C de equação x 2 + y 2 – 2x + y – 1 = 0, afirma-se:
I. C tem centro no ponto O=(1, -1/2).
II. s é tangente a C.
2 5
III. s determina com o eixo das abscissas sen .
5
Para essas afirmações, pode-se garantir que é verdadeira a alternativa
01) apenas I.
02) apenas II.
03) apenas I e III.
04) apenas II e III.
05) I, II e III.
368

2. (UNEB) A reta 3x + 4y – 6 = 0 determina na circunferência x 2 + y 2 – 2x – 4y + 1 = 0 uma corda MN de comprimento
igual, em u.c., a
01) 6
02) 2 3
03) 3
04) 2 2
05) 3
3. (UNEB) Se (m, n) são as coordenadas do centro da circunferência x 2 + 2 3 x + y 2 – 6y + 7 = 0, então (-3m + 3 n) é
igual a:
01) 6 3
02) 1
03) 0
04) 3
05) – 3
4,. (UNEB) . Na circunferência de equação (x – 1) 2 + (x – 2) 2 = 9, o ponto que tem menor abscissa pertence à reta r que é
paralela à reta x – y – 5 = 0 e que tem como equação:
01) y = - x + 1
02) y = - x + 2
03) y = x – 1
04) y = x + 2
05) y = x + 4
369

5. (UNEB) Se M(-1, 4) é o ponto médio de uma corda AB da circunferência x 2 + y 2 – 4y – 5 = 0, então a equação da reta
que contém A e B é dada por:
01) y = 2x + 7
02) y = 1/2x + 9/2
03) y = 1/2x + 3
04) y = -2x + 6
05) y = -2x + 5/2
6. (UNEB) Sabe-se que a circunferência de equação x 2 + y 2 – 4x – 6y + 11 = 0 é inscrita no quadrado ABCD.
A partir dessa informação, pode-se concluir que a diagonal desse quadrado mede, em u.c.,
01) 1
02) 2
03) 3
04) 2
05) 4
7. (UNEB) A circunferência de equação x 2 + y 2 - 4x - 2y + 1 = 0 tem:
01) centro no ponto (1, 2) e intercepta o eixo Oy em dois pontos.
02) centro no ponto (2, 1) e tangencia o eixo Ox.
03) raio igual a 2u.c. tangencia o eixo Ox.
04) raio igual a 2u.c. e tangencia o eixo Oy.
05) raio igual a 4u.c. e não intercepta os eixos coordenados.
370

EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. (UEFS) O maior valor real de k para que a distância entre os pontos A = (k, 1) e B = (2, k) seja igual a 5 é:
a) –1
b) 0
c) 2
d) 3
e) 4
2. (UEFS) Se o ponto C = (x, –x), x R, é o centro de uma circunferência que passa pelos pontos A = (3,1) e B = (5, –3),
então o raio dessa circunferência mede, em u.c.:
a) a) 3
b) 2
c) 3
d) d) 10
e) 10
3. (UEFS) Na figura, tem-se um losango que possui dois lados paralelos a Oy. O vértice P tem, portanto, coordenadas:
a) (4, 10)
b) (4, 9)
c) (4, 8)
d) (4, 7)
e) (4, 6)
y
P
4
0 1 4
x
371

4. (UESC) Na figura, tem-se a reta r, de equação y = 2x + 4, e o paralelogramo ABCD.
y
r
D
C
A 0 B
x
Se B = (3, 0), então o perímetro de ABCD mede, em u.c.:
01) 5 + 2 5
02) 5 + 4 5
03) 10 + 2 5
04) 10 + 4 5
05) 2 + 10 5
5. (UESC) Considere duas retas do plano xOy de equações iguais a x + y = –b e 4x = b 2 y = b 2 – 2b, paralelas e não
coincidentes. A partir dessas informações e sabendo-se que b R, pode-se concluir que o valor de b é igual a;
01) – 4
02) – 2
03) 0
04) 2
05) 4
6. (UESB) A circunferência C, de centro no ponto M(1, –3), é tangente à reta de equação 3x + 4y – 26 = 0. Com base nessa
informação, é correto afirmar que a medida do raio de C, em u.c., é igual a:
01) 3
02) 3 2
03) 5
04) 3 3
05) 7
372

7. (UESB) Num sistema de eixos ortogonais de origem O, considere a reta r de equação 3x – y + 2 = 0 e o ponto A = (–1,–
2). A equação da reta t, que passa por A e é paralela à rela r é:
a) 3x - 3y + 2 = 0
b) 3x + 2y –1 = 0
c) 3x – 2y + 1 = 0
d) 3x + y – 1 = 0
e) 3x – y + 1 = 0
8. (UNEB) Se M(–1, 4) é ponto médio de uma corda AB da circunferência x 2 + y 2 – 4y – 5 = 0, então a equação da reta que
contém A e B é dada por:
5
01) y 2x
2
02) y = –2x + 6
1
03) y x 3
2
1
04) y x
2
05) y = 2x + 7
9
2
9. (UESC) Na figura, o quadrilátero OABC é um trapézio, tal que A = (3,4) e B = (1,5).Então, pode-se afirmar que o ponto
C possui coordenadas:
01) (0,3)
02) (0,11/3)
03) (0,4)
04) (0,13/3)
05) (0,5)
373

10. (UESC) Considere-se, na figura, r a reta suporte de uma mediana do triângulo de vértices A(3,4). B(1,1) e C(7,3). Com
base nessa informação, pode-se concluir que uma equação de r é:
01) 2x + y = 10
02) 2x + y = 11
03) 5x + 2y = 23
04) 5x + 2y = 26
05) 5x + 2y = 17
11. (UEFS) Um pássaro voa em linha reta de uma árvore A até pousar em um ponto P de um fio reto r. A partir daí voa,
ainda em linha reta, até o telhado de uma casa C. Considerando-se, no sistema de coordenadas cartesianas, A = (0,3), r : y –
x – 1 = 0, C = (2,5) e sabendo-se que o pássaro fez tal percurso pelo caminho de menor comprimento, pode-se afirmar que
a soma das coordenadas de P é igual a:
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) 11
12. (UEFS) A medida, em graus, do ângulo agudo formado pelas retas de equações y = –x e y = 3 x, é:
a) 75 o
b) 60°
c) 45 o
d) 30 o
e) 15 o
374

13. (UEFS) Os lados AB e BC de um ângulo reto ABC estão sobre as retas r 2x – y + 6 = 0 e s : ax + by + c = 0, com a e b
constantes reais. Sendo P(1, 1) um ponto da reta s, pode-se afirmar:
a) a < b < c
b) a < c < b
c) b < c < a
d) c < a < b
e) c < b < a
14.(UESB) Se os pontos O = (0,0), A = (6,0) e B =(3,3
contém a bissetriz do ângulo OAB é:
3 ) são vértices de um triângulo, então uma equação da reta que
01) y = –
3
3
x 2 3
02) y = –
3 2
3
03) y = – 3 x + 6
04) y =
3
3
x 2 3 x-2y3
05) y = 3 – 6
15. (UESB) O valor da constante m, para que a reta y = – 2x + m seja tangente à circunferência de equação x 2 + y 2 –2x – 4y
= 0, está entre:
01) –6 e –2. .
02) –2 e 2.
03) 2 e 6.
04) 6 e 10
05) 10 e 14.
375

16. (UESC) A equação de uma das circunferências, situadas no 2 o quadrante, tangentes à reta de equação 4y – 3x – 12 = 0 e
aos eixos coordenados, é:
01) (x – 1) 2 + (y – 1) 2 = 1
02) (x – 6) 2 + (y – 6) 2 = 36
03) (x + 1) 2 + (y – 2) 2 = 1
04) (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 1
05) (x + 6) 2 + (y + 6) 2 = 36
17. (UESB) Sabe-se que, na figura, OM e MN têm a mesma medida, MN é paralelo ao eixo OY e M (4,3). Nessas
condições, pode-se afirmar que uma equação da circunferência que circunscreve o triângulo OPN é:
01) (x + 4) 2 + (y – 2) 2 = 20
02) (x + 2) 2 + (y – 4) 2 = 20
03) (x – 4) 2 + (y – 2) 2 = 20
04) (x – 2) 2 + (y – 4) 2 = 80
05) (x – 2) 2 + (y – 4) 2 = 20
y
N
M
0 P
x
18. (UNEB) A circunferência de equação x 2 + y 2 – 4x – 2y + 1 = 0 tem:
01) centro no ponto (1, 2) e intercepta o eixo Ou em dois pontos.
02) centro no ponto (2, 1) e tangencia o eixo Ox.
03) raio igual a 2 u.c. e tangencia o eixo Ox.
04) raio igual a 2 u.c. e tangencia o eixo Oy.
05) raio igual a 4 u.c. e não intercepta os eixos coordenados.
376

19. (UEFS) Seja P o ponto de intersecção das circunferências C 1 : x 2 + y 2 + 6x – 1 = 0 e C 2 : x 2 + y 2 – 2x – 1 = 0 que possui ordenada
positiva, e O 2 o centro da circunferência C 2 . As coordenadas do outro ponto de intersecção da reta que passa por P e O 2
com a circunferência C 1 são:
a) (–2; 3)
b) (0, –1)
c) (1; 0)
d) (2; 3)
e) (1; 3)
20. (UNEB) Sabe-se que a circunferência de equação x 2 + y 2 – 4x – 6y + 11 = 0 é inscrita no quadrado ABCD. A partir
dessa informação, pode-se concluir que a diagonal desse quadrado mede, em u.c.:
01) 4
02) 2
03) 3
04) 2
05) 1
21. (UEFS) As retas paralelas r e s são tangentes à circunferência de equação x 2 + y 2 – 6x – 2y = 0. Sendo dr a distância da
reta r a origem do sistema de coordenadas cartesianas e ds, a distância da reta s a esse mesmo ponto, pode-se afirmar que dr
+ ds é igual a:
a) 3
b) 3 3
c) 6
d) 2 10
e) 6 2
22. (UNEB) A circunferência circunscrita ao triângulo de vértices A(0,0), B(6,0) e C(0,8) tem uma equação na forma x² +
y² + ax + by + c = 0. Nessas condições, a + b+ c é igual a:
01) –14
02) –8
03) 2
04) 6
05) 8
377

23. (UEFS) O valor da constante positiva k para o qual a rela y = k é tangente à circunferência de equação (x – 1) 2 + (y +
2) 2 = 9 é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
24. (UNEB) Na figura, a reta r de equação y = ax + 6 é tangente à circunferência de equação x 2 + y 2 = 9, no ponto T.
Nessas condições, pode-se afirmar que o ângulo a que r faz com o eixo das abscissas mede, em graus:
01) 120
02) 110
03) 100
04) 90
05) 80
y
r
T
0
x
25. (UESB) O segmento AB é um diâmetro de uma circunferência. Sabendo-se que A = (1,1) e B = (3, –3), pode-se
concluir que os pontos de interseção dessa circunferência com o eixo Ox têm abscissas iguais a:
01) –4 e 0
02) –4 e 2
03) –2 e 1
04) 1 e 2
05) 0 e 4
378

26. (UEFS) A circunferência representada na figura tem equação x 2 + y 2 – 2 3 x –1 = 0. A área da região sombreada
mede, em u.a.:
a)
b)
c)
d)
e)
1 (2 – 3
3 3 )
2 ( –
3 3 )
1 (3 – 2
3 3 )
1 (2 –
2 3 )
1 (3 –
2 3 )
y
x
27. (UESC) A diagonal do retângulo de área máxima, localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos
cartesianos e um vértice na reta y + 4x – 5 = 0, mede:
01)
02)
03)
04)
05)
5
17
2
5 2
4
5 17
4
5
2
5 17
8
28. (ENEM/2011) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares,
delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo
quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.
379

A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e
outras regiões da cidade. No ponto P = (-5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de
planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não
fosse maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já
estava prevista a construção de uma estação no ponto:
a) (–5, 0).
b) (–3, 1).
c) (–2, 1).
d) (0, 4).
e) (2, 6).
29. (UEB-2013) Considerando-se o quadrado ABCD inscrito na circunferência de equação ( ) ( ) e A(3,
-1), pode-se afirmar que uma equação da reta que contém a diagonal BD é:
01) 2x + y = 0
02) 2x - y = 4
03) 2y - x + 5 = 0
04) 2y + x + 3 = 0
05) 3x - 2 −
380
Gabarito:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D D 04 01 05 E 02 04 02
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
01 B A D 01 04 04 05 04 A
21 22 23 24 25 26 27 28 29
01 D 01 A 01 A 05 B 01

MATRIZES
É toda disposição retangular formada com um número m de linhas ( horizontais ) e um número n de colunas ( verticais ) .
Se liga: Uma matriz qualquer A , é definida por :
Se liga: Dada uma matriz qualquer
; dizemos que essa matriz é de ordem . Para determinarmos o
número de elementos dessa matriz, basta resolvermos a operação m . n
Se liga Dada uma matriz qualquer
; com m = n; dizemos que essa matriz é de ordem n .
Se liga: Uma matriz qualquer A , é representada por um par de parênteses , um par de colchetes ou um par de barras
duplas .
Ex.:
* por parênteses
3
4
A 16
7
2
3
10 2
11 10
2 3
3
1
10
5
4
5
8
0
* por colchetes
3
4
A
16
7
2
10
11
2
3
2
10
3
3
1
10
5
4
5
8
0
* por barras duplas
3
2
3
4 10 2
A
16 11 10
7 2 3
3
1
10
5
4
5
8
0
381

EXERCÍCIO DE SALA
1. Dada a matriz B = ( b ij ) 3x5 e b ij = , determine :
a) b 24
b) b 21
c) b 33
d) b 42
e) a matriz B
i j , sei j
j
i , sei j
i j , sei j
IGUALDADE DE MATRIZES :
Duas matrizes de mesma ordem são iguais quando os elementos correspondentes são iguais. Ou seja, as matrizes
e ( ) são iguais quando
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Determine o valor de x para que as matrizes A e B sejam iguais :
A
4 3
3
x
e B
x²
2 1
3
2
382

TIPOS DE MATRIZES
Matriz linha
Definimos como matriz linha a toda matriz que possui uma única linha e que possui a ordem igual a , ou seja
Ex.: ()
Matriz coluna
Definimos como matriz coluna a toda matriz que possui apenas uma única coluna e que possui a ordem igual a ; ou
seja,.
Ex.;
Matriz nula
Definimos como matriz nula a toda matriz onde todos os seus elementos são nulos; ou seja, a matriz
é
nula, se e somente se,
Ex.:
Matri quadrada
Uma matriz é dita quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. Ou seja, a matriz
quadrada quando e daí podemos dizer que a matriz A é de ordem n.
é
Se liga: Denomina-se como diagonal principal ( DP ) ao conjunto dos elementos de uma matriz A quadrada , aos
elementos a ij onde .
Se liga: Denomina-se como diagonal secundária ( DS ) ao conjunto dos elementos de uma matriz A quadrada de ordem n
, aos elementos a ij onde .
Ex.;
Matriz diagonal
Definimos como matriz diagonal é toda matriz quadrada onde todos os elementos abaixo e acima da diagonal principal
são nulos ; ou seja
, onde
Ex.;
Matriz escalar
Definimos como matriz escalar a toda matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são iguais; ou seja, é toda
matriz quadrada onde todos os elementos abaixo e acima da diagonal principal são nulos e os elementos da diagonal
principal são iguais entre si; ou seja,
onde
Ex.:
383

Matriz identidade( )
Definimos como matriz identidade ou unidade a toda matriz escalar onde os elementos da diagonal principal são iguais a
um; ou seja, é toda matriz quadrada onde todos os elementos abaixo e acima da diagonal principal são nulos e os
elementos da diagonal principal são iguais a um; logo,
A
onde
Ex.:
Matriz transposta
A matriz transposta da matriz A
à matriz que é obtida permutande-se linhas e colunas de mesma ordem.
Ex.:
Matriz simétrica
Definimos como matriz simétrica a toda matriz quadrada onde os elementos opostos à diagonal principal são iguais; ou
seja,
Ex.:
Se liga.: Em toda matriz simétrica temos que
Matriz antisimétrica
Definimos como matriz anti-simétrica a toda matriz quadrada onde os elementos opostos à diagonal principal são
simétricos e os elementos da diagonal principal são nulos; ou seja,
Ex.:
Se liga.: Em toda matriz simétrica temos que .
Matriz triangular
Definimos como matriz triangular a toda matriz quadrada onde todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal
são nulos; ou seja, A
.
Ex.:
384

EXERCÍCIOS DE SALA:
3 4 y 1
A x 2 10
8 z 5
2. Marque a alternativa verdadeira :
0 8 3
A 2x
2y
1
2
3 2 0
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição e subtração
1. Calcule o valor de x + y + z , para que a matriz seja simétrica
a) Toda matriz linha é também uma matriz coluna .
b) Toda matriz diagonal é uma matriz escalar .
c) Uma matriz triangular inferior é também uma matriz simétrica .
d) A transposta de uma matriz linha é também uma matriz linha .
e) Uma matriz diagonal é também uma matriz simétrica .
3. Determine x y , em C , para que a matriz seja anti-simétrica.
Para adicionarmos ou subtrairmos matrizes de mesma ordem, basta somar ou subtrair os elementos correspondentes ou
seja, dadas as matrizes A
, B ( ) e C
, se ,
Ex.:
385

Produto de uma matriz por um número real
Para multiplicarmos uma matriz por um escalar real, basta multiplicar esse número por todos os elementos dessa matriz;
ou seja, dada a matriz A
se,
Ex.:
Se liga.: Duas matrizes, de mesma ordem, são opostas, quando os elementos correspondentes são opostos; ou seja, dada a
matriz A
, se então
Ex.:
Multiplicação de matrizes
Para multiplicarmos duas matrizes A e B é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número
de linhas da segunda matriz, e com isso a ordem da matriz resultante terá o número de linhas da primeira e o número de
colunas da segunda . A partir daí, o produto delas será realizado através do produto das linhas da primeira matriz pelas
colunas da segunda matriz ; ou seja, dada as matriz A
, B ( ) e C
se
( )
Ex.:
EXERRCÍCIOS DE SALA:
1
A
3
4
5
5
B
3
2
0
1
C
2
0
6
1. Determine a matriz X , sabendo que , , e
.
386

2. (ENEM/2012) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as
entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando
produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir:
Matemática
Português
Geografia
História
1º
bimestre
5,9
6,6
8,6
6,2
2º
bimestre
6,2
7,1
6,8
5,6
3º
bimestre
4,5
6,5
7,8
5,9
4º
bimestre
5,5
8,4
9,0
7,7
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por:
1
1 1 1
a)
2 2 2 2
1
1 1 1
b)
4 4 4 4
c)
d)
e)
1
1
1
1
1
1 2
1 2
1 2
2
1
1 4
1 4
1 4
4
3. (UNEB) Sabendo-se que as funções horárias de dois corpos que se deslocam em movimentos retilíneos uniformes,
segundo uma mesma trajetória, são definidas matricialmente por
corpos se encontrarão no instante t igual a:
01) 4,6seg
02) 3,8seg
03) 3,5seg
04) 2,4seg
05) 2,0seg
2 5
x
16
3 5
t 6
, pode-se afirmar que esses dois
387

1
2
1
3
4. (UNEB) Sendo as matrizes A = e B = b ) ,
1
1
(
ij 3x2
b = i - j, o determinante da matriz 2AB é igual a
ij
01) -2
02) -1
03) 3
04) 6
05) 12
5. (UNEB) Sejam A = (a ij ) 3x2 e B = (b ij ) 3x2 definidas por a ij ij = 1, se i = j e b ij ij = 2i –
j, se i = j. Então A + B é igual a
01)
1
2
4
3
2
0
02)
03)
04)
05)
4
2
2
2
3
4
2
1
1
1
3
4
5
3
2
3
3
5
1
6
1
4
3
5
388

DETERMINANTES
A toda e qualquer matriz quadrada de ordem ()pode se determinar um número real associado a essa matriz e que é
denominado de determinante. O determinante de uma matriz quadrada A é representado da seguinte forma:
Determinante de uma matriz de ordem 1 ou 1ª ordem
O determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento dessa matriz; ou seja:
Ex.: ()()
()
Determinante de uma matriz de ordem 2 ou 2ª ordem
O determinante de uma matriz de ordem 2 é a diferença do produto dos elementos da diagonal principal pelo produto dos
elementos da diagonal secundária, ou seja, se a matriz
, logo:
()
Ex.: ()
Determinante de uma matriz de ordem 3 ou 3ª ordem
REGRA DE SARRUS
Dada a matriz A de ordem 3 , podemos encontrar o seu determinante aplicando a regra de Sarrus. Para isso, segue-se os
casos abaixo:
1º passo: Escrever a matriz A.
2º passo: Repetir , ordenadamente, as duas primeiras colunas.
3º passo: Multiplicar as três diagonais principais e somar os seus resultados. (Desce)
4º passo: Multiplicar as três diagonais secundárias e somar os seus resultados. (Sobe)
5º passo: O determinante será a diferença entre o resultado do 3º caso e o resultado do 4º caso; ou seja,
()
Ex.:
1º caso:
1
2
3
1
2
3
1
4
5
5
1
4
6
5
0
6
5
0
2º caso:
1
2
3
1
4
5
6
5
0
1
2
3
1
4
5
389

3º caso :
1 1 6 1 1
2 4 5 2 4
3 5 0 3 5
Desce =
0+ 15+ 60 = 75
Sobe =
72 25 +0 = 97
1 1 6 1 1
2 4 5 2 4
3 5 0 3 5
4º caso :
5º caso: ()
() ()
()
()
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE ORDEM N
Menor complementar()
O menor complementar() de uma matriz quadrada é o determinante da matriz resultante após eliminarmos a linha i e a
coluna j.
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. Considerando a matriz
a)
b)
c)
, calcule:
390

Cofator()
O cofator() é um número real que se obtém multiplicando-se () pelo menor complementar de () , ou seja:
()
Se liga.: Podemos determinar o cofator da seguinte forma:
A
ij
M
M
ij
ij
, se i j
for par
, se i j for ímpar
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Considerando a matriz calcule:
a)
b)
c)
CÁLCULO DE DETERMINANTE:
Escolhe-se uma linha ou uma coluna de uma matriz quadrada, o determinante dessa matriz será a somatória do produto de
cada elemento dessa linha ou coluna pelo seu respectivo cofator; ou seja, se A é uma matriz de ordem n, então:
EXERCÍCIO DE SALA:
n
n
a ij
. A ij
a ij
. A ij
() = ou () = .
i 1
1. Calcule o determinante da matriz
j 1
391

MATRIZ INVERSA
Definimos como matriz inversa da matriz A, quadrada de ordem n, a matriz , tal que:
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Encontre a matriz inversa da matriz
Se liga 2 : Uma matriz quadrada é denominada de matriz inversível quando admitir inversa.
Se liga 3 : Uma matriz quadrada é denominada de matriz não-inversível ou singular quando não admitir inversa.
Se liga 1 : Dada uma matriz quadrada A de ordem n, dizemos que o determinante da matriz inversa de A é o inverso do
determinante de A, se esse determinante não seja nulo; ou seja
PROPRIEDADE DOS DETERMINANTES
1ª PROPRIEDADE :
Quando uma linha ou uma coluna de uma matriz quadrada for toda nula , então seu determinante será nulo.
Ex 1 :
*
2
3
0
0
0
*
5
0
2
3
0
1
4
0
7
0
2ª PROPRIEDADE :
Quando uma linha ou uma coluna de uma matriz quadrada for toda nula , então seu determinante será nulo.
Ex 2 :
*
2
3
0
0
0
392
*
5
0
2
3
0
1
4
0
7
0

3ª PROPRIEDADE :
Se duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada forem proporcionais , então seu determinante será nulo.
Ex 3 :
*
2
3
6
9
0
*
1
0
2
2
5
4
3
7
6
0
4ª PROPRIEDADE :
Quando mudarmos de posição duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada , então o determinante da matriz
resultante será o simétrico do determinante da matriz anterior.
Ex 4 :
2
7
* e
3
1
2
3
2
2
1
7
1 2 3
1
1
3
22
* e
1
2 1
2
1
2
1
1
1
3
3
1
22
5ª PROPRIEDADE :
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Ex 5 :
*
2
3
0
7
14
*
1
0
0
0
5
0
0
0
8
40
6ª PROPRIEDADE
O determinante de uma matriz A de ordem n é igual ao determinante da sua transposta.
Ex 6 :
*
1
1
2
1
3
0
1
2
5
10
*
1
1
1
1
3
2
2
0
5
10
393

7ª PROPRIEDADE :
Se multiplicarmos uma linha ou uma coluna de uma matriz quadrada por um escalar , então seu determinante também será
multiplicado pelo próprio escalar.
Ex 7 : Considerando , temos :
2
6
* ( 1 . C 2 )
1
3
2
5
2
5
22
11
2
6
2
5
22
* ( 0,5 . C 1 )
Se liga.: Quando multiplicarmos toda uma matriz quadrada , de ordem n , por um escalar , então seu determinante será
determinado por:
( )
()
EXERCÍCIOS DE SALA:
x
1. (UNEB) A solução da equação 0 4 2
x1 3 é um número
01) inteiro negativo.
02) real entre 0 e 1.
03) real entre 1 e 2.
04) real entre 3 e 4.
05) inteiro maior que 4.
1
0
1
1
1
1
1
2
1
3
2. UNEB) Sendo as matrizes A = e B = b ) ,
01) -2
02) -1
03) 3
04) 6
05) 12
1
1
(
ij 3x2
b = i - j, o determinante da matriz 2AB é igual a
ij
394

3. (UNEB) Se
x
A
2x
x 1
1
, det(A) = 1 e B
x
2
0
1
1
, então a matriz AB é igual a
3
01)
1
4
0
1
1
5
02)
1
4
0 2
3 5
03)
1
4
0
1
1
5
04)
1
0
1
4
1
5
05)
1
0
2
4
3
5
2
x 2 x
4. (UNEB) O número de elementos inteiros do conjunto-solução da inequação det
0 é
1
x
01) 0
02) 1
03) 2
04) 3
05) 4
5. (UNEB) Considerando-se a matriz
x 2 é
x 1
0 1
A 0 1 x e sabendo-se que det A = 4x, pode-se afirmar que o valor de
0 0 x 1
01) 4
1
02) 2
1
03) 1
04) 2
3
05) 2
395

6. (UNEB) Sendo
M
log
x
2
2
4
2
log
2x
diagonal principal é igual, em módulo, a
01) 7
02) 6
03) 5
04) 4
05) 3
uma matriz não inversível, pode-se afirmar que a soma dos termos da
7. (UESC) Se
é igual a:
a
1 a 2 a
3
a a a
1 3 2
A
a 4 a 5 a 6
é uma matriz tal que det(A) = 3, então x = det
a a a
1
4 6 5 x A det2A
a 7 a 8 a 9
a 7 a 9 a 8
01) 8
02) 9
03) 17
04) 23
05) 25
396

SISTEMAS LINEARES
Equação linear
É toda equação escrita na forma
em que:
Se liga.: Denomina-se equação linear homogênea a toda equação linear que tiver o termo independente nulo.
Sistema Linear
a , a , a ,..., a
1
x , x , x ,..., x
1
2
2
são os coeficient es
são as incógnitas de 1º grau
b é o termo independente de x
reais
, bR
É todo sistema constituído por m equações lineares e é representado da seguinte forma :
a
a
am
11
21
1
3
3
x a
x1
a
.
.
.
x a
1
1
12
22
m2
n
n
x
x
.
.
2
.
x
2
2
a
a
a
13
23
x
.
.
m3
x
3
3
.
x
3
n
...
a
...
a
.
.
1n
.
...
a
2n
mn
x
x
n
n
x
n
b
b
.
.
1
2
.
b
m
Se liga: Um sistema linear é denominado de sistema linear homogêneo quando é formado apenas por equações lineares
homogêneas.
Se liga: Dois sistemas lineares são ditos equivalentes quando possuem a mesma solução.
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Dê o conjunto solução do sistema abaixo:
2x
3y
13
x 5y
13
3x
y k²
9
x 2y
k
3
2. Calcule k , sabendo que o sistema seja homogêneo.
397

3x
y k²
9
x 2y
k
3
3. Calcule k , sabendo que o sistema seja homogêneo.
RESOLVENDO UM SISTEMA LINEAR PELA REGRA DE CRAMER:
É utilizada para resolver um sistema de ordem n. Suponhamos que uma das incógnitas desse sistema seja representada por
h, para determinar o valor de h utilizamos o seguinte raciocínio:
1º Passo: Devemos encontrar o determinante principal() desse sistema. O determinante principal de um sistema
ordenado de ordem n é o determinante da matriz P definida através dos coeficientes das incógnitas .
2º Passo: Devemos encontrar o determinante de cada letra() desse sistema. O determinante de cada incógnita de um
sistema ordenado de ordem n é o determinante da matriz H definida após substituirmos a coluna dos termos independentes
no lugar da coluna de H .
3º Passo: O valor de cada letra, é encontrado através do quociente entra o determinante da respectiva letra pelo
determinante principal; ou seja,
EXERCÍCIO DE SALA:
1. Resolva os sistemas abaixo, utilizando a regra de cramer .
a)
3x
4y
1
x 3y
9
b)
2x
y 4z
3
x 3y
z 10
3x
2y
2z
2
398

CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR:
Um sistema linear pode ser classificado em: Possível ou Impossível.
O sistema possível determinado(SPD) é todo sistema que admite uma única solução e seu conjunto solução é representado
por ( ) e ocorrerá quando o determinante principal não for nulo ; ou seja
O sistema possível indeterminado(SPI) é todo sistema que admite infinitas soluções e seu conjunto solução é representado
por e ocorrerá quando o determinante principal for nulo e todos os determinantes das respectivas incógnitas
também forem nulos; ou seja: .
O sistema impossível(SI) é todo sistema que não admite solução e seu conjunto solução é representado por { }
e ocorrerá quando o determinante principal for nulo e pelo menos um dos determinantes das respectivas
incógnitas não for nulo; ou seja; o
Se liga.: Todo sistema homogêneo é possível.
Se o sistema homogêneo for possível ele admite a solução trivial ( )
RESUMINDO:
EXERCÍCIOS DE SALA:
1. (Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear
x
y z 1
3x
y 2z
3
y
kz 2
é compatível e determinado?
399

2. (ESAF) Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma
solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de “indeterminado” quando houver infinitas
soluções.
ma
3mb
0
2a
mb 4
Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que:
a) 2
b) se m=0, o sistema é impossível.
c) se m=6, o sistema é indeterminado.
d) 2
e)
3. (FGV – SP) O sistema
2x
3y
z 0
x
2y
4z
0
x
14z
0
é:
a) determinado.
b) Impossível
c) Determinado e admite como solução (1, 1, 1).
d) Indeterminado.
e) N.D.A.
4. (FCC – BA) O sistema linear
a 1 e a 1
x
y a
2
a
x y 1
é impossível se e somente se:
b) a 1 ou a = –1
c) a 1
d) a 1
e) a R
400

EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. .(UESC-05) Se A =
+ d é igual a:
a 2
4
c
a 2
d
é uma matriz inversível tal que A = –A t , sendo A t matriz transposta de A, então c
01) 4
02) 2
03) 1
04) –2
05) –4
2. (UESB) O elemento a 23 da matriz A, tal que 3A +
01) –3
02) –1
03) 0
04) 2
05) 3
1
0
1
2
3
1
=
2
1
0
2
1
, é:
2
3. (CONSULTEC) Sendo as matrizes
01) –2
02) –1
03) 3
04) 6
05) 12
1
1 1
A
e B = (b
ij ) 3x2 , b ij = i – j, o determinante da matriz 2AB é igual a:
2
1 3
4. (UNEB) Considerando-se a matriz
x 2 é:
x 1
0 1
A
0 1 x
e sabendo-se que detA = 4x, pode-se afirmar que o valor de
0 0 x 1
01) 4
1
02) 2
1
03) 1
04) 2
3
05) 2
401

5. (CONSULTEC) Se A =
x
2
x 1
, det(A) = 1 e B =
x
1
2
0
1
1
, então a matriz AB é igual a:
3
1
01)
4
1
02)
4
1
03)
4
1
04) 0
1
1
05) 0
2
0 1
1
5
0 2
3 5
0 1
1 5
4
1
5
4
3
5
6. (C0NSULTEC) Se a matriz
a:
k 1
0
A é tal que A 2 = 2A e o determinante de A é diferente de zero, então k é igual
0 2
01) 2
02) 3
03) 4
04) 5
05) 6
7. (CONSULTEC) Se a matriz A =
m
n 2
n 2
0
é tal que A 2 = A, e A é uma matriz não nula, então m – n é igual a:
01) 2
02) 1
03) 0
04) –1
05) –2
402

8. (UESC) Se
é igual a:
a
1 a 2 a
3
a a a
1 3 2
A
a 4 a 5 a 6 é uma matriz tal que det(A) = 3, então x = det
a a a
1
x A det2A
4 6 5
a 7 a 8 a 9
a 7 a 9 a 8
01) 8
02) 9
03) 17
04) 23
05) 25
9. (UESB) Sendo
que xy é igual a:
1 x
A
e
2 3
y 0
B
matrizes reais, tais que det(A + B) = 0 e det(AB) = 1, pode-se afirmar
2 1
01) –2
02) –1
03) 0
04) 4
05) 6
10. (UESB) Considerando-se que
de X é igual a:
01) –1
02) 0
03) 1
04) 2
05) 3
1 1
A
,
3 2
3 0
B
e AX = B, pode-se afirmar que a soma dos elementos
1
5
11. (UESB) Existe um inteiro positivo n para o qual a matriz
pode-se afirmar que n é igual a:
n!
2
3n
1
é não inversível.Com base nessa informação,
01) um número primo maior que 3.
02) um número quadrado perfeito.
03) múltiplo de 3.
04) divisor de 6.
05) igual a 1.
403

0
x
x
1
x 0 1 x
12. (UESC) Os valores de x para os quais 3
tais que:
x 1 0 x
1
x
x
0
1
01)
2
1
02) x > 2
x
1
2
03) –1 < x < 1
04) x < –2 ou x > 2
1 1
05) x < ou x >
2 2
ax 2y 1
13. (UESC) O sistema bx 4y 5
b
01) a = 2
tem solução determinada se, e somente se,
b
02) a
2
b
03) a 2
b
04) a =
2
05) a = 2b
14. (UFBA) Considere as matrizes A =
1
1
2
B, determine 12y 11 - 4y 12 , sendo Y = (y ij) = X -1
2
1
1
e B =
3
2
3
1
0
1
.Sabendo-se que X é uma matriz simétrica e que AX =
404

a
b
2
-1
- 2 3
15. (UFBA) Dadas as matrizes A = B C
c
d 1 3 4 1
Pode-se afirmar:
(01) se A -1 = B, então b+c = 0
10
13
9
7
(02) C t + B.C =
(04) A matriz B é uma matriz simétrica
(08) O produto da matriz A por sua transposta só é possível porque A é uma matriz quadrada
3
é igual a zero
(16) a soma dos termos da matriz X, tal que BX =
2
2
3
x
1
16. (UFBA) Sendo . 5 7
y
3
, determine x – 5y:
17. (UFBA)Considere as matrizes A = ( aij) 3x2 =
C =
1
x
1
0
uma matriz simétrica
Indique as afirmativas verdadeiras:
1
1
0
2
0
1
a
B = (b ij ) 2x3, sendo b ij =
a
ij
, se i j
ji
, sei
j
I - a soma dos elementos da diagonal principal de C –1 tem módulo 1
II – Existe a matriz S = B t . A t + C
III- A + B t =
IV- det AB = 0
2
2
0
4
0
2
1
1 0
V- B =
2
0 1
e BA é uma matriz quadrada
e x = -1
(01) apenas as afirmativas I II e IV são verdadeiras
(02) apenas as afirmativas I III e IV são verdadeiras
(04) apenas as afirmativas I III e V são verdadeiras
(08) apenas as afirmativas II III e V são verdadeiras
(16) apenas as afirmativas II IV e V são verdadeiras
405

18. (UFBA)O sistema
3x
5y
1
2x
z 3
5x
py z 0
É impossível para um nº real p. Determine m = 3p:
2 3
19. (UFBA)Dadas as matrizes A = (a ij ) 2x2 e B = (b ij ) 2x2 , sendo A =
1
4
4 3
(01) o produto da matriz M = [2 -1] pela matriz A é a matriz
2 4
1 5
(02) a soma da matriz A com a matriz transposta de B é a matriz
1
5
2
0
(04) a matriz C = (c ij ) 2x2 onde c ij = a ij se i =j e c ij = b ij se i j é
2
4
a
3
(08) a matriz M = é simétrica da matriz A se a = -2 e b = 4
1
b
(16) a soma dos termos da matriz A = (a ij ) 2x2 e (b ij ) 2x2 tais que i < j é 5
(32) o determinante da matriz B é igual a 2
1
0
(64) a matriz inversa da matriz B é
2 1
e B =
1
2
0
1
, pode-se afirmar:
20. (UFBA) Considere o sistema
x
2y
az 0
bx
3z
1
x
3y
2z
2
E sejam A: a matriz incompleta formada pelos coeficientes das incógnitas
B: a matriz completa associada ao sistema
C: a matriz dos termos independentes
Nessas condições, pose-se afirmar:
(01) sendo a = 1 e b = 2, A é uma matriz simétrica
(02) se a = b = -1 então o determinante de A = -5
406

(04) a matriz transposta de B é
1
2
a
0
b
0
3
1
1
3
2
2
(08) para a = b = -1, a soma dos termos da 3ª coluna da matriz inversa de A é igual a –3/2
(16) A .C =
2(
a 1)
6
7
(32) se S = ( m,n,p) é a solução do sistema para a = b = -1
então m+n+p = 19/4
21. (ITA-SP)Dadas as matrizes reais A=
A = B se x=3 e y=0
2
y
1
x
8
3
0
2
1
e B=
2
0
x
3
8
3
y
2
x 2
Analise as afirmações:
A+B=
A .
4
1
3
0
1
0
=
E conclua:
5
16
6
1
3
3
1
4
1
se x=1
se x=2 e y=1
a) apenas a afirmação II é verdadeira
b) apenas a afirmação I é verdadeira
c) as afirmações I e II são verdadeiras
d) todas as afirmações são falsas
e) apenas a afirmação I é falsa.
407

22. (UFBA) Dado o sistema S=
3x
y 4z
0
x y 3z
b
2x
3y
z 0
conclui-se:
(01) x - é divisível por 5 , se b = -5
(02) 0 valor se x no sistema Z se b = -5
(04) y = 0 se b = 0
(08) o sistema admite solução (0, 0 ,0 ) se b = 0
(16) sendo M a matriz dos coeficientes das incógnitas de S e C =
2
1
3
(32) sendo M a matriz dos coeficientes das incógnitas de S e B é a matriz
7
5
0
3
7
3
2
13
3
, então M . C não está definido.
2
3
2
1
4
0
0
5
2
tem-se M t – 2B =
23. (ITA)Considere o sistema P =
x
z w 0
2
x ky
k w 1
x
( K 1)
z w 1
x
z kw
2
Podemos afirmar que P é possível e determinado quando:
a) k 0
b) k 1
c) k - 1
d) k 0 e k - 1
e) n.d.a
408

a
3
1
24. (ITA) Seja a R e considere as matrizes reais 2x2, A = a
1
3
O produto AB será inversível se somente se :
e B =
a
7
7
1
8
a3
2
3
a) a 2 –5a +6 0
b) a 2 – 2a +1 0
c) a 2 –5a 0
d) a 2 –2a 0
e) a 2 – 3a 0
25. (ITA)Analisando o sistema
3x
2y
z 7
x
y z 0
2x
y 2z
1
concluímos que este é:
a) possível e determinado com xyz = 7
b) possível e determinado com xyz = -8
c) possível e determinado com xyz = 6
d) possível e indeterminado
e) impossível
Gabarito
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
01 02 05 03 01 02 04 04 01 03
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
02 03 02 4 19 7 02 35 78 13
21 22 23 24 25
A 45 E D C
409

TRIGONOMETRIA
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Em um triângulo retângulo podemos perceber que a razão entre as medidas dos lados não depende do tamanho do
triangulo , mas sim das medidas dos ângulos agudos.
Onde:
;
;
.
Se Liga.: Podemos definir ainda as razões trigonométricas inversas :
;
;
;
( );
( ).
Se Liga.: Relação Fundamental da Trigonometria
Se Liga.: Relações derivadas da fundamental
;
.
Se Liga.: ÂNGULOS NOTÁVEIS
SENO
COSSENO
TANGENTE
30º 45º 60º
410

RADIANO
O radiano é uma outra forma de medir ângulos. Para determinação utilizamos uma regra de três tal que:
rad-------------------- 180º
1 rad--------------------x
O CICLO TRIGONOMÉTRICO
É todo construção na qual temos uma circunferência, de raio unitário, cujo centro está localizado na origem do sistema
cartesiano.
Isolando o triangulo retângulo percebemos que:
;
.
Assim, podemos perceber que o ponto (
representado pelo e pelo .
Extremidades e Quadrantes
) passou a ser
411

EXERCÍCIOS DE SALA
1. (UEL) Um relógio marca que faltam 20 minutos para o meio-dia. Então, o menor ângulo formado pelos ponteiros das
horas e dos minutos é:
a) 90º
b) 100º
c) 110º
d) 115º
e) 125º
2. (UPE) Na figura a seguir, estão representados o ciclo trigonométrico e um triangulo isósceles OAB.
Qual das expressões abaixo corresponde à área do triângulo OAB em função do ângulo ?
a)
b)
c)
d)
e)
412

3. (Cefet – PR) A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo de
30º. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na avenida Teófilo Silva a 4 000 m do citado cruzamento. Portanto,
determine em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros?
Arcos Côngruos
São arcos que possuem extremidades num mesmo ponto mas diferem em voltas no ciclo trigonométrico.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
As funções trigonométricas são definidas a partir de razões do triângulo retângulo.
Função Seno
Define-se a função seno com sendo , tal que ()
.
0º
SENO 0 1 0 -1 0
Crescente: No 1º Quadrante e no 4º Quadrante;
Decrescente:No 2º Quadrante e no 3º Quadrante;
Positiva:1º Quadrante e 2º Quadrante;
Negativa:3º Quadrante e 4º Quadrante;
Domínio (D): Real;
413

Imagem (Im): ;
A função seno é periódica e o seu período é
, onde k é o número que acompanha x;
A função é ímpar, logo ()
.
Função Cosseno
Define-se a função cosseno com sendo , tal que ()
.
0º
COSSENO 1 0 -1 0 1
Crescente: No 3º Quadrante e no 4º Quadrante;
Decrescente:No 1º Quadrante e no 2º Quadrante;
Positiva:1º Quadrante e 4º Quadrante;
Negativa:2º Quadrante e 3º Quadrante;
Domínio (D): Real;
Imagem (Im): ;
A função cossseno é periódica e o seu período é
,onde k é o número que acompanha x;
A função é par, logo () .
414

Função Tangente
Define-se a função tangente como sendo , tal que () .
0º
Tangente 0 0 0
É crescente;
Positiva:1º Quadrante e 3º Quadrante;
Negativa:2º Quadrante e 4º Quadrante;
Domínio (D):
Imagem (Im):
A função tangente é periódica e o seu período é
,onde k é o número que acompanha x;
A função é ímpar, logo () .
415

Função Cossecante
Define-se função cossecante como sendo ,tal que () .
0º
Cossecante
Crescente:2º Quadrante e 3º Quadrante;
Decrescente:1º Quadrante e 4º Quadrante;
Positiva:1º Quadrante e 2º Quadrante;
Negativa:3º Quadrante e 4º Quadrante;
Domínio (D):
Imagem (Im):
A função tangente é periódica e o seu período é
,onde k é o número que acompanha x;
A função é ímpar, logo () .
416

Função Secante
Define-se função secante como sendo , tal que ()
0º
Secante 1
Crescente:1º Quadrante e 2º Quadrante;
Decrescente:3º Quadrante e 4º Quadrante;
Positiva:1º Quadrante e 4º Quadrante;
Negativa:2º Quadrante e 3º Quadrante;
Domínio (D):
Imagem (Im):
A função secante é periódica e o seu período é
,onde k é o número que acompanha x;
A função é par , logo ()
.
417

Função Cotangente
Define-se função cotangente como sendo , tal que () .
0º
Cotangente
É decrescente;
Positiva:1º Quadrante e 4º Quadrante;
Negativa:2º Quadrante e 3º Quadrante;
Domínio (D):
Imagem (Im):;
;
A função cotangente é periódica e o seu período é
,onde k é o número que acompanha x;
A função é ímpar , logo ()
.
418

EXERCÍCIOS DE SALA
1. A função trigonométrica equivalente a ()
é:
a)
b)
c)
d)
e)
2. (FCC) Seja a função f, definida por () , e .
O valor de () é :
a)
b)
c)
d)
e)
3. (PUC-RS) Para resolver uma discussão entre dois alunos sobre a definição da função cossecante, um deles foi à
Biblioteca Central. Como resultado da pesquisa, ele encontrou a definição de cossecx, que é:
a)
b)
c)
d)
e)
se
se
se
se
se
4. (FGV-SP) Em certa cidade litorânea, verificou-se que a altura da água do mar em um certo ponto era dada por ()
, em que representa o número de horas decorridas a partir de zero hora de determinado dia e a altura f(x) é
medida em metros.
Em que instantes, entre 0 e 12 horas, a maré atingiu a altura de 2,5m naquele dia?
a) 5 e 9 horas
b) 7 e 12 horas
c) 4 e 8 horas
d) 3 e 7 horas
e) 6 e 10 horas
419

REDUÇÃO AO 1° QUADRANTE
1.Redução do 2° para o 1° quadrante
2.Redução do 3° para o 1° quadrante
3.Redução do 4° para o 1° quadrante
Quadrante
Quadrante
Quadrante
SOMA E SUBTRAÇÃO DE ARCOS
( ) ;
( ) ;
( ) ;
( ) ;
( )
( )
Arco Dobro
;
.
()
()
()
;
;
.
Arco Metade
;
;
.
EXERCÍCIOS DE SALA
1.Sendo
, com , o valor de () é:
a)
b)
c)
d)
e)
420

2. (Udesc) A expressão
()
é equivalente a:
a)
b)
c)
d)
e)
3. (UEPB) Sabendo que
, o valor da é igual a:
a)
b) b)
c) c)
d)
e)
4. (Udesc) A expressão () () pode ser escrita como:
a)
b)
c)
d)
e)
()()
()()
TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO
;
;
;
.
421

EXERCÍCIOS DE SALA
1. (IME-RJ) O valor de é:
a)
b)
c)
d)
e)
2.(Fatec) Da trigonometria sabe-se que quaisquer que sejam os números reais p e q,
. Logo, a expressão é idêntica a:
a)
b) ( )
c) ( )
d) ( )
e) ( )
3. A medida, em graus, do menor ângulo positivo para os quais é igual a:
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 55
422

EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
É toda equação em que aparecem razões trigonométricas como arco de medida desconhecida.
Exemplos:
1)
2)
3)
4)
INEQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA
É toda inequação em que aparecem razões trigonométricas com arco de medida desconhecida.
Exemplos:
1)
2)
3)
EXERCÍCIOS DE SALA
1.Determine o número real k tal que
()
2. (UECE) Se x é um arco do primeiro quadrante e
então é igual a:
a)
b) b)
c)
d)
423

3. Resolva os sistemas, sendo .
a)
b)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. (UEFS) Os ponteiros de um relógio medem, respectivamente, 3cm e 5cm. A distância entre suas extremidades, quando o
relógio estiver marcando 4 horas, mede, em cm:
a) 5,3
b) 5,8
c) 6,3
d) 6,5
e) 7,0
2. (UEFS) Sendo
5
M sen ,
6
N = cos
5
6
e
5
P tg
6
é verdade que:
a) M < N < P
b) N < M < P
c) N < P < M
d) P < M < N
e) P < N < M
424

3. (UEFS) O valor de sen(1120º) – cos(610º) é:
a) cos(10º)
b) sen(10º)
c) sen(–10º)
d) cos(20º)
e) sen(20º)
4. (UEFS) Se 3cos(x) + sen(x) = –1, com x , então o valor real do sen(x) é:
2
a) –1
4
b)
5
3
c)
5
3
d) 5
e)
4
5
5. (UESC) Deseja-se construir uma escada, conforme indicado na figura, tendo comprimento igual a 10cm, com degraus de
mesmo tamanho, tal que a largura do degrau não seja menor que 30cm e também não exceda a 40cm. Nessas condições, o
número, x, de degraus que a escada deve ter é tal que:
01) 15 < x 20
02) 20 < x 30
03) 30 < x 35
04) 35 < x 45
05) 45 < x 50
60 o
10cm
425

6. (UNEB-06) Se, no triângulo ABC, representado na figura, a altura relativa à base AB mede 4u.c., então o lado AB mede,
em u.c.:
01) 4.
1
3 3
02) 4.
1
2 3
03) 4.
1
3
04)
4 . 1
3
3
60
A
o
B
3
05) 4 .
3
7. (UESB) A figura mostra uma rampa de 50m de comprimento que forma com o plano vertical um ângulo de 60º. Uma
pessoa sobe a rampa inteira e eleva-se x metros. Com base nessa informação, pode-se concluir que o valor de x é igual a:
01) 15
02) 20
03) 25
04) 25 3
05) 30 3
60 o
x
8. (UEFS) Uma pessoa corre em uma planície, com velocidade de 350m/min, em direção a um penhasco. Em determinado
ponto, avista o cume do penhasco sob um ângulo de 30º e, após correr durante 4 minutos, o avista sob um ângulo de 45º.
30 o 45 o
50m
45 o
C
426
Com base nesses dados, pode-se concluir que a altura do penhasco, em metros, é aproximadamente, igual a:
a) 1200
b) 1500
c) 2000
d) 2200
e) 2400

9. (UESC) Considerando-se a representação gráfica da função f(x) = b . cos(mx), na figura, com 0 < x < , pode-se afirmar
que os valores de b e de m são, respectivamente:
01) 3 e –3
02) 3 e –2
03) 3 e 0,5
04) –2 e 3
05) 2 e 3
y
-3
3
x
4
x
2
3
4
x
x
10. (UESB) Sabendo-se que 0 x , pode-se afirmar que o menor valor que a função
f(x) = cos(2x) + 2cos(x) + 1 pode assumir é:
01) –2
02) – 2
1
03) 0
04) 2
1
05) 1
11. (UEFS) Um garoto que mede 1 m de altura mira de um ponto, em uma rua plana, o topo de um poste, situado no
mesmo terreno, sob um ângulo a = 45 o . Um outro garoto, que tem 1,3m de altura, colocando-se no mesmo lugar do
primeiro, mira o topo do poste sob um ângulo cuja tangente é igual a 0,9. Com base nessas informações, pode-se afirmar
que o poste mede, em m:
01) 2,3
02) 2,7
03) 3,0
04) 3,7
05) 4,0
427

cos 3(x) sen(3x)
12. (UEFS) A expressão trigonométrica0020 , para 0 < x < , é equivalente a:
cos(x) sen(x)
2
a) –2
b) 0
c) 2
d) cos(x) – sen(x)
e) g(x) = 2cossec(2x)
13. (UEFS) A função real f(x) = tg(x) + cotg(x) é equivalente à função:
a) g(x) = cossecx
b) g(x) = cossecx + 2secx
c) g(x) = cossec(2x)
d) g(x) = sec(2x)
e) g(x) = 2cossec(2x)
14. (UEFS) Considere às funções reais f e g definidas por f(x) = –x 3 + x e g(x) = cosx. Assim sendo, pode-se afirmar que
fog(x) é:
a) sen 2 . cos x
b) cos(–x 3 = x)
c) senx . cos 2 x
d)
senx – senx 3
e) sen(–x 3 + x)
15. (UEFS) Uma escada, representada na figura pelo segmento AC, mede 10 u.c. e está apoiada no ponto C de uma
parede, fazendo, com o solo plano, um ângulo a tal que tg() = 2.
C
A
428

Uma pessoa que subiu
3
2 dessa escada está a uma altura, em relação ao solo igual, em u.c., a:
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
5
2
4 2
3
4 3
3
3 5
2
16. (UESB) O número de soluções da equação 4 . (1 – sen2x) . (sec2x –1) = 1, no intervalo [0.2], é igual a:
01) 0
02) 1
03) 2
04) 3
05) 4
17. (UESC) O conjunto-solução da equação sen(x) = sen(4x), no intervalo 0 < x < , possui número de elementos igual a:
01) 1
02) 2
03) 3
04) 4
05) 5
18. (CONSULTEC) Se (senx – cosx) 2 – ysen2x = 1, x R, então y é igual a:
01) –2
02) –l
03) 0
04) 1
05) 2
429

Questões 19 e 20
Considere-se a função real f(x) = 2 + 3 . sen
19. (UEFS) O conjunto-imagem de f é:
x
3 2
.
a) [–1,1]
b) [1,3]
c) [–1,5]
d) [–2,2]
e) [2,3]
20. (UEFS) Sobre f, pode-se afirmar que é uma função:
a) par e periódica de período 3.
b) par e periódica de período 6.
c) ímpar e periódica de período 4.
d) ímpar e periódica, de período /3.
e) não par e não ímpar.
21. (UESB) Se x e y são números reais tais que y =
a) – cossecx
b) sec2x
c)
1
cos x
1
cos x
d)
1
sen2x
1
sen2x
e)
1
sen2x
1
sen2x
1
tgx
1
tgx
então y é igual a:
22. (UNEB) A partir da análise do triângulo retângulo representado, pode-se afirmar que o valor da expressão
π
sen 2π
cos
2
é igual a:
2
10 (sen cos 2
01)
10
02)
03)
04)
05)
10
2
10
5
10
5
10
10
1 u.c.
3 u.c.
430

23. (URFS2) O ponto P, na figura, tem abscissa 5
3 e 20 é um ângulo cujo cosseno é igual a:
a) – 0,28
b) – 018
c) – 008
d) 0,18
e) 0,28
-1
y
1
0
0
1
x
-1
24. (UESC) O conjunto-solução da equação tg 3 (x) + tg(x) . tg(–x) – tg(x) = –tg 2
(x) em x
,
2 2
é:
01) ,0,
6 6
02)
,0,
4 4
03)
,
4 4
04)
,
4 3
05)
, ,
3 3 6
25. (UFPI –2008) A ÁREA da figura abaixo é:
1
a)
2 3 cm ²
16
1
b)
12 3 cm ²
16
1
c)
2 3 cm ²
6
3
d)
12 cm ²
6
8
3
1
e)
12 18 cm ²
4
431

26. (PUC-RS- 2007) Um ponto se movimenta sobre um plano onde está situado um referencial cartesiano. Seu trajeto
percorre a circunferência de equação x² + y² = 1 e seu deslocamento é feito a partir do ponto (1,0) no sentido anti-horário
até a primeira interseção dessa circunferência com a reta y = x.
Essa INTERSEÇÃO é dada pelo ponto:
a) (cos 0º, sen 0º)
b) (sen 30º, cos 30º)
c) (cos 45º, sen 45º)
d) (sen 60º, cos 60º)
e) (sen 90º, cos 90º)
7
27. (PUC Rio – 2009) Se cos 2
25
a)
4
5
b)
3
5
c)
5
3
d)
5
7
e)
3
2
28. (UNESP – 2008) Dois edifícios, X e Y, estão um em frente ao outro, num terreno plano. Um observador, no pé do
edifício X (ponto P), mede um ângulo á em relação ao topo do edifício Y (ponto Q). Depois disso, no topo do edifício X,
num ponto R, de forma que RPTS formem um retângulo e QT seja perpendicular a PT, esse observador mede um ângulo â
em relação ao ponto Q no edifício Y.
Sabendo que a altura do edifício X é 10 m e que 3 tg = 4 tg , a altura h do edifício Y, em metros, é:
a)
40
3
b)
50
4
c) 30
d) 40
e) 50
432

29. (UNICAMP – 2008 - Adaptada) Uma ponte levadiça, com 50 metros de comprimento, estende-se sobre um rio. Para
dar passagem a algumas embarcações, pode-se abrir a ponte a partir de seu centro, criando um vão A B , conforme mostra a
figura abaixo. Os pontos A e B têm alturas iguais, não importando a posição da ponte e o tempo gasto para girar a ponte
em 1º ( um grau ) equivale a 30 segundos.
O tempo necessário para elevar os pontos A e B a uma altura de 12,5m com relação à posição destes quando a ponte está
abaixada é
a) 22 min 50 seg.
b) 22 min 30 seg.
c) 15 min 30 seg.
d) 15 min.
e) 12 min.
Gabarito:
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0 * E C A E 02 04 03 C 02 02 E A A A A 05 05 02
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
C B D 04 A 02 D C A D D
433

NÚMEROS COMPLEXOS
Os números complexos, dentre outras aplicações, são utilizados para resolver equações que não possuem raízes reais. Para
isso, foi definida uma unidade imaginária , tal que:
FORMA ALGÉBRICA NÚMEROS COMPLEXOS
Qualquer número complexo pode ser escrito na forma:
em que
é denominado parte real de z e indicado por ();
é denominado parte imaginária de z e indicado por ().
Se Liga.: Se () e () , dizemos que é um número imaginário puro;
Se () , temos , que é um número, então todo número real é um complexo;
Dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e partes imaginárias são, respectivamente iguais.
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Chamamos conjugado do número complexo ao número complexo , cuja parte real é igual à de e
cuja parte imaginária é oposta à parte imaginária de .
PROPRIEDADES DE CONJUGADOS
Dados os números complexos e , temos as seguintes propriedades:
()
() com
OPERAÇÕES NA FORMA ALGÉBRICA
Dados os números complexos e , com , são definidas as seguintes operações:
Adição: ( ) ( );
Subtração: ( ) ( );
Multiplicação: ( ) ( );
Divisão:
POTÊNCIAS DE:
Vejamos a seguir a sequência de potências de expoentes naturais da unidade imaginária.
() ()
De modo geral, para todo , sendo o resto da divisão de por 4.
434

EXERCÍCIOS DE SALA
1. (UCMG) - O número complexo , tal que é:
2. . (UCSal) - Para que o produto ( ) ( ) seja real qual deve ser o valor de “a”?
3. (UFBA) Sendo , e , calcule o valor de .
4. (IME-RJ) Determine o número natural n tal que () ( ) .
5. (UEFS) Se ( ) ( ), calcule os valores de e .
435

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
Para cada número complexo , corresponde um único ponto ( ) no plano cartesiano no marcamos sobre
o eixo e , respectivamente, a parte real e a parte imaginária de .Chamamos esse plano de plano de Argand-Gauss e
o plano complexo.
Temos que:
é o afixo ou a imagem geométrica de ;
pode ser indicado por ( );
é o módulo de e é o seu argumento.
Módulo de é a distância de seu afixo ( ) à origem ( ) do plano complexo. Indicado por ou por ,
é dado por:
Argumento de é o ângulo de medida , sendo , formado pelo segmento e o eixo das abscissas, medido no
sentido anti-horário. É indicado por () e determinado por:
e
PROPRIEDADES ENVOLVENDO MÓDULO
;
;
.
FORMA TRIGONOMÉTRICA
A forma trigonométrica ou polar de um número complexo
seu argumento do seu seguinte modo:
não nulo é dada pela função de seu módulo e de
( )
436

OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Dados os números complexos ( ) e ( ), podemos realizar as seguintes
operações:
Multiplicação: ( ) ( )
Divisão:
(
) ( )
Potenciação: () ()
Radiciação: as raízes enésimas de são tais que , que são dadas por:
, sendo
EXERCÍCIOS DE SALA
1. (ITA-SP) Os complexos u e I, de módulo igual a 1, são representados no plano de Argand-Gauss por dois pontos
simétricos em relação ao eixo real. Vale então a relação
a)
b)
c)
d)
e) n.r.a
2. (CESGRANRIO-RJ) O módulo do complexo z, tal que z 2 = i, é:
a)
b)
c) 1
d)
e) 2
3. (UFMG) Se ( ) é um número complexo na forma trigonométrica, mostra-se que ()
() para todo . Essa fórmula é conhecida como fórmula de De Moivre.
Determine todos os valores de , , para os quais seja imaginário puro.
437

EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. (UESB) Considerando-se o número complexo z = (– 2i + 3) + (3x + i) – (2 – 3xi) um imaginário puro, pode-se afirmar
que o valor de x é:
a) 3
b)
c)
d) 0
e)
2. (UEFS) Considerando-se z = 1 + t, pode-se afirmar que a seqüência de números complexos
(z 2 , z 4 ,...,z 2n ,...) com n inteiro positivo:
a) é uma progressão aritmética de razão i.
b) é uma progressão aritmética de razão 2i.
c) é uma progressão geométrica de razão i.
d) é uma progressão geométrica de razão 2i.
e) não é progressão aritmética nem geométrica
3. (UNEB) Considere-se o número complexo z = 1 + 2i. Sobre o argumento principal, , e o módulo, w = (z + i) . (z – i), podese
afirmar:
3
01) 2
2
e w 2
3
02)
2
e w 2 5
3
03)
2
e w 1
04)
2
e w 2 5
05)
2
e w 1
438

4. (UESC) Na forma trigonométrica, o número complexo z =
(1 i)
1
i
2
é representado por:
01)
02)
03)
04)
05)
2
2
2
2
2
. cos
. cos
. cos
. cos
. cos
π
4
π
4
5π
4
3π
4
7π
4
i . sen
i . sen
i . sen
i . sen
i . sen
π
4
π
4
5π
4
3π
4
7π
4
4
4
5. (UEFS) Considerando-se os números complexos z 1 2 . cos
i . sen
e z 2 2 . cos
i . sen
, é
3 3 4 4
2
correto afirmar que o valor de
a) 1
3 i 1
3
b) 1
3 i 1
3
1
3 i 1
3
c)
1
3 i 1
3
d)
e) 1
3 i 1
3
2
2
2 . z
z
2
1
é:
6. (UESB) Se f(x) = x 3 + 2x 2 – 3x + 2 , então f(i) é um número complexo cujos argumento principal módulo são,
respectivamente:
01) 4
e 4
02) 3
e 1
03) e 4
04) e 2
3
05) e 4
2
439

7. (UESC) Sendo i C, o valor da soma S = 1 + i + i 2 + i 3 + ... + i 330 é:
01) –i
02) 1 – i
03) 1
04) i
05) 1 + i
8. (UESC) Na figura, as imagens dos números complexos 0, Z = 1 + 2i e w estão representadas no plano complexo e são
vértices de um triângulo retângulo de área 5u.a.. Se o número complexo u é tal que u . z = w, então u é igual a:
01)
2 2 i
2 2
02)
2 5
i
5
i
03) 2
w
i
z
2 10 2 10
04) i
5 5
05) 2i
0 r
9. (UEFS) O número complexo z, representado na figura, é uma das raízes do polinômio P(x) = x 3 + bx 2 + cx – 8, com b e c números
reais. Sabendo-se que = 60 o e OM = 2, pode-se afirmar que a única raiz real de P(x) = 0 é:
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 2
0
z
M
440

10. (UEFS) No plano complexo, o conjunto S dos pontos representados na figura, constituído pela origem do sistema de
coordenadas e pelos pontos da circunferência, é o conjunto-solução da equação:
a) z 2 – 9
b) z . z
9z
c) z . z
9z
d) z . z 9
e) z . z
9
z
y
0 3 x
11. (UEFS) Considerando-se o número complexo z
1 3
i , pode-se afirmar que z 7 é igual a:
2 2
a) z
1 3
i
2 2
b)
1 3
z - i
2 2
c) z -
3 1
i
2 2
d) z -
3 1
i
2 2
e)
1 3
z - i
2 2
12. (UESB) Os pontos P e Q na figura, são afixos dos números complexos z 1 e z 2 . Sabendo-se que OP = 2u.c. e que OQ = 4u.c.,
z 2
pode-se afirmar que o argumento principal e o módulo de são, respectivamente:
z1
01) 0 o e 3
02) 30º e 2
03) 45º e 4
04) 90º e 2
05) 120º e 3
441

13. (UNEB) Na figura, estão representados, no plano complexo, os pontos, M, N e P, afixas dos números complexos m, n e
p. Sabendo-se que |m| = |n| = |p| = 1 e que = 45º, pode-se afirmar que m – n + 2p é igual a:
01) – 2
02) 2 – 2i
03) 1 – 2
04) 2 – i
05) 2 – 2i
14.. (UEFS) O afixo de um número complexo z = a + bi é um ponto da reta x + y = 1. Sendo |z| = 5 , pode-se concluir que |a
– b| é igual a:
a) 5 – 1
b)
c) 2
d) 3
e) 5
5
3
15. (UESC) Na figura, está representado, no plano complexo, o número Z C. Com base na análise do gráfico, pode-se
afirmar que |Z 2 | é igual a:
01)
4
cos
02)
4
sen
03)
4
2
tg
04)
05)
2
2
cos 2
4
sen 2
4
442

16. (UNEB) O número complexo z = a + bi, a, b R, b > 0 , é tal que z 2 = z . Nessas condições, pode-se concluir que o
argumento principal de z mede, em radianos:
01) 6
02) 3
2
03)
3
04)
7
05)
6
17. (UEFS) Considere o número complexo z 2 2 i . O menor número natural não nulo, n, tal que z n tem parte
imaginária nula é igual a:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
18. (UESB) O argumento principal do número complexo z = 3 – i é:
a) 330º
b) 310º
c) 250 o
d) 60 o
e) 30 o
19. (ITA) Seja a equação em C . Qual dentre as alternativas a soma de duas das raízes dessa equação?
a) 2
b)
c)
d)
e)
443

20.(ITA) Assinale a opção que indica o módulo do número complexo
, .
a)
b)
c)
d)
e)
21. (Fuvest) Dado o número complexo qual é o menor valor do inteiro para o qual é um número real?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
22. (UFRRJ) A soma de um número complexo z com seu conjugado é igual a 3 vezes a parte imaginária de z e o produto de
z pelo seu conjugado vale 52.
Determine z, sabendo que sua parte real é positiva.
23. (Uel) Uma das raízes complexas da equação é:
a)
b)
c)
d)
e)
444

24. (UEL) A potência ( ) é igual a:
a) a)
( )
b)
( )
c)
( )
d) d)
( )
e)
( )
25.(UFRRJ) Sendo e , o valor de é:
a)
b)
c)
d)
e)
26. (UESB-2013) Considerando-se que os números reais x e y satisfazem a equação 2 − 7i,
pode-se concluir que:
−
2 −
03) xy = 35
04)
05) x2 = 16
GABARITO
1 2 3 4 5 6 7 8
05 E 03 03 A 05 04 05
9 10 11 12 13 14 15 16
E B A 04 05 D 01 B
17 18 19 20 21 22 23 24
C A D E C * C C
25 26
B 03
22*:
445

POLINÔMIOS
Chamamos de polinômio ,ou função polinomial, a função definida por ()
+ , onde x é uma variável complexa e .Ainda temos que:
são coeficientes;
é o termo independente;
Se liga.: O grau de um polinômio é dado pelo maior exponente da variável x.
RAIZ DE UM POLINÔMIO
É todo o valor de para o qual o polinômio () = 0.
Se liga.: A soma dos coeficientes de um polinômio é dada por ();
O termo independente de um polinômio é dado por ().
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
Adição e Subtração
Em uma adição e subtração fazemos a soma dos termos de mesma potência da variável.
Multiplicação
Para multiplicar polinômios aplicaremos a propriedade distributiva, e depois somaremos os termos de mesma potência da
variável.
Divisão
Dividir um polinômio () por outro () significa determinar dois outros polinômios tais que :
Ou ainda, ()
() () ()
Se Liga.: Dizemos que um polinômio é divisível por outro, quando o polinômio resto da divisão for zero.
O algoritmo de Briot-Ruffini
O algoritmo de Briot-Ruffini é um método utilizado para dividir um polinômio () por um binômio do tipo ( ).
O teorema de D’Alembert
Diz-nos que o resto da divisão de um polinômio (), com grau maior que 1 , por um polinômio da forma ( ) é dado
por ( ), em que é raiz desse polinômio.
446

EXERCÍCIOS DE SALA
1. (Mack) O polinômio () é divisível por e por . Então a soma dos
números reais a , b e c é:
a) 2
b) -2
c) 3
d) -3
e) zero
2. (UESB) Considerando-se os polinômios () ( ) e () ( )
divisíveis por , pode-se afirmar que o resto da divisão de Q(x) por ( ) é :
01)
02)
03)
04)
05)
3. (UEL) O polinômio é divisível por:
a) e
b) e
c) e
d) e
e) e
447

MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ
Consideremos um polinômio () tal que () ( ) , ou seja , o polinômio admite como raiz de
multiplicidade
RAÍZES COMPLEXAS
Se é raiz de multiplicidade de um polinômio, então o seu conjugado também o será;
A quantidade de raízes complexas de um polinômio, de coeficientes reais, é sempre um número par.
RELAÇÕES DE GIRARD
Dado um polinômio (), existem algumas relações entre suas raízes tal que:
;
;
()
()
.
Onde
representa a soma das raízes tomadas k a k .
EXERCÍCIOS DE SALA
1. (Unitau) Sabe-se que 1, 2 e 3 são raízes de um polinômio do terceiro grau
P(x) e que P(0) = 1. logo, P(10) vale:
a) 48.
b) 24
c) -84.
d) 104.
e) 34.
2. (Fuvest) O grau dos polinômios f, g e h é 3. O número natural n pode ser o grau do polinômio não nulo f(g+h) se e
somente se:
a)
b)
c)
d)
e)
448

3. (FGV - SP) O valor de m , de modo que –1 seja raiz da equação x ³ + (m+2)x² + (1-m)x - 2 = 0, é igual a:
a) 0
b) -1
c) 1
d) –2
e) 2
4. ( FGV - SP ) Na equação x 4 + px³ + px² + p = 0, sabendo-se que 1 é raiz, então:
a) p = -1/4
b) p = 0 ou p = 1
c) p = 0 ou p =-1
d) p = 1 ou p = -1
e) p = -1/3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. (UEFS) Os valores de K, L e M que tornam verdadeira a igualdade
3x 1
x(x
2
4)
K
x
LX M
x
2
4
, x R – {–2, 0, 2} são
tais que:
a) K < L < M
b) K < M < L
c) L < M < K
d) L < K < M
e) M < L < K
2. (UEFS) Sobre a divisão do polinômio P(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2 pelo polinômio Q(x) = x + 1, é correto afirmar:
a) O resto da divisão é igual a –7 – k.
b) A divisão é exata para k = –1.
c) O quociente é igual a x² – 2x + 2 para k = –3.
d) O resto da divisão é positivo para k > 5.
e) O polinômio P(x) tem um zero igual a 2, quanto k = 0.
449

3. (UESB) A divisão do polinômio P(x) por D(x) = x 2 – x + 1 tem quociente Q(x) = 2x 2 + x - 1 e resto R(x) = 4x + 1. Portanto, o
resto da divisão de P(x) por x + 1 é igual a:
01) –3
02) –2
03) 0
04) 1
05) 2
4. (UEFS) Considerando-se os polinômios P(x) = x 3 – 3x 2 + bx + c, M(x) = x 2 – 4x + 5 e Q(x) = x + 1 e sendo a relação entre os
P(x)
polinômios Q(x)
verdadeira, então b + c é igual a:
M(x)
a) 0
b) 2
c) 4
d) 5
e) 6
5. (UNEB) Sabendo-se que –1 é uma das raízes do polinômio P(x) = x 3 – x 2 + x + 3, pode-se afirmar que a soma dos
módulos das outras raízes é igual a:
01) 6
02) 4 3
03) 3
04) 2 3
05) 3
6. (UEFS) Dividindo-se o polinômio P(x) = x 3 – x 2 + 2x + n por D(x) = x – 2
1 , obtém-se resto igual a – 8
1 e quociente
Q9x) = x 2 + mx + 4
7 . Com base nesses dados, pode-se concluir:
a) m Z + e n Z -
b) m Z - e n Z +
c) m Q – Z e n Z -
d) m Z + e n Q – Z
e) m Q – Z e n Q – Z
450

7. (UEFS) Sendo o polinômio P(x) = 2x 3 + ax 2 + bx + c, com a, b, c R, divisível por D(x) = x – 1, pode-se concluir que a + b +
c é igual a:
a) 5
b) 3
c) 0
d) –2
e) –3
8. (UEFS) Considere o polinômio P(x) = x 4 – 2x 3 + ax + b com a, b e c R. Se P(x) é divisível por (x + 1) e tem 2 como
raiz, então a . b é:
a) – 4
b) – 3
c) – 2
d) 2
e) 3
9. (UEFS) Sabendo-se que o polinômio P(x) = 2x 3 + mx 2 + nx – 1 é divisível por Q(x) = x 2 – 1, pode-se concluir
que sua decomposição em um produto de fatores do grau é:
a) (2x + 1) . (x – 1) . (x + 1)
b) (2x – 1) . (x – 1) . (x + 1)
c) (–2x + 1) . (x – 1) . (x + 1)
d) (x – 2) . (x – 1) . (x + 1)
e) (x – 2) . (x – 1) . (x – 1)
10. (UEFS) Sabendo-se que a soma de duas raízes do polinômio p(x) = x 3 + 4x 2 – 11x – k é –7, é correto afirmar que o
conjunto-solução de p(x) = 0 é:
a) {2, 3, 5}
b) {–5, 2, 3}
c) {–2, 3, 5}
d) {–5, –2, 3}
e) {–5, –3, –2}
451

11 .(UESB) Se o polinômio P(x) = x 3 – 4x 2 + mx – 4 é tal que suas raízes x 1 , x 2 , x 3 satisfazem a
então a constante m é igual a:
01) –6
02) – 3
03) 2
04) 3
05) 6
1
x
1
1 1 3
,
x x 2
2
3
12. (UESC) A soma dos valores de m e n, de modo que o polinômio P(x) = 2x 4 + 3x 3 + mx 2 – nx – 3 seja divisível pelo
polinômio Q(x) = x 2 – 2x – 3 é:
01) –19
02) – 4
03) 42
04) 23
05) 4
13. (UESC) Sejam os polinômios P(x) (m 2 – 2)x 4 +
m
2
3
x
- x 2 – 1 e Q(x) = x 4 –
x 3
+10x – n sendo m e n números reais
2
tais que o grau de P(x) + Q(x) é igual a 3, e 1 é uma raiz de P(x) + Q(x). Com base nesses dados, pode-se afirmar que m + n é
igual a:
01) 4
02) 5
03) 6
04) 7
05) 8
14. (UNEB) Se o polinômio P(x) = 8x 3 – 12x 2 + mx + n tem uma raiz real de multiplicidade 3, então o resto da divisão de
P(x) por (mx + 3n) é:
01) –8
02) –1
03) 0
04) 1
05) 8
452

15. (UEFS) Os números 1 e i são raízes de um polinômio P(x), com coeficientes reais e grau 3. Sabendo-se que P(–1) = –6,
pode-se concluir que P(3) é igual a:
a) –1
b) 0
c) 12
d) 22
e) 30
16. (UESC) O produto de duas das raízes do polinômio x 3 – 5x 2 + 8x – 6 é igual a 2 e x 3 ,a outra raiz.
Nessas condições, é correto afirmar que:
01) x 3 Z e x 3 < – 1
02) x 3 Q – Z
03) x 3 N e x 3 4
04) x 3 R – Q e x 3 5
05) x 3 R
17. (UEFS) Sabe-se que o polinômio P(x) = x 3 + 2x 2 + x + 2 possui uma raiz inteira. Com base nessa informação, pode-se
afirmar que a raiz inteira e todas as raízes complexas pertencem ao conjunto:
a) {–2, 1, –2i, i, 2i}
b) {1, 2, 3, –i, i}
c) {1, 2, 3, –2i, 2i}
d) {–1, 1, 3, –i, i}
e) {–2, 1, 3, –i, i}
18. (UESB) Dividindo-se o polinômio P(x) por x 2 – 1 obtém-se o quociente 4x e resto 3x + k, em que k é constante real. Se
x = 0 é uma das raízes do polinômio, pode-se afirmar que as outras raízes de P(x) são números:
01) pares
02) ímpares
03) racionais não inteiros
04) irracionais
05) complexos conjugados
453

19. (UNEB) Sobre as raízes r 1 , r 2 e r 3 do polinômio px x
2
x ax
2
os possíveis valores da constante a são números:
01) inteiros de mesmo sinal.
02) inteiros de sinais opostos.
03) racionais não inteiros.
04) irracionais de mesmo sinal.
05) irracionais de sinais opostos.
2 2
a
, sabe-se que 2 2 2
r r r 10 . Assim,
1 2 3
20. Para QUAL valor de m o polinômio P( x ) = x³ + ( 2m +1 ) x² - mx - 6 é divisível por x – 2?
a) -1
b) 1
c)
-2
d)
2
e)
-3
21. Considere os seguintes polinômios:
P( x ) = x 3 + x + 1 e Q( x ) = P( x 4 ). O RESTO da divisão de Q(x) por P(x) é:
a) 1
b) 2
c) x 4 + 2
d) 3x² - 2x -2
e) - 3x² + 4x + 2
22. (UFMG) – Sabe-se que a equação x 4 – 6x 3 +15x 2 – 18x + 10 = 0 admite as raízes complexas 1 – i e 2 + i. Quais as
demais raízes dessa equação?
a) -1 – i e –2 + i
b) 1 + i e 2 + i
c) -1 + i e –2 – i
d) 1 – i e 2 – i
e) 1 + i e 2 – i
454

23. (PUC – SP) – Qual dos números abaixo é raiz da equação 15x 3 + 7x 2 – 7x + 1 = 0 ?
a) 7/15
b) 1/2
c) 2/3
d) 3/5
e) 1/3
24. . (UFRN) – A equação (x + 1) (x 2 + 4) = 0 tem :
a) Duas raízes reais e uma imaginária;
b) Uma raiz real e uma imaginária;
c) Duas raízes reais e duas imaginárias;
d) Uma raiz real e duas imaginárias;
e) Apenas raízes reais.
25. . (ITA – SP) – A equação (1 – x) (1 – x).x = 1 – x 2 tem :
a) Três raízes reais;
b) Uma raiz dupla igual a 1;
c) Não tem raízes complexas;
d) S = {1; i ; - i};
e) Nda.
26. .(CEFET – PR) – Os valores de p e q para que i seja raiz da equação 2x 3 + px 2 + qx + 2= 0, são respectivamente:
a) 2 e 2
b) -1 e 0
c) 1 e –1
d) 1/2 e 2
e) 1/2 e 0
455

27. (MACK – SP) – A equação 2x 4 – 3x 3 – 13x 2 + 37x – 15 = 0 tem uma raiz igual a 2 + i. As outras raízes da equação são :
a) 2 – i; - 3; 1/2
b) 2 + i; 3; -1/2
c) 3 – i; -3; 1/2
d) 3 + i; - 1 ;-3/2
e) 2 – i; 1; 3/2
28. . (ITA – SP) – A equação 4x 3 – 3x 2 – 4x – 3 = 0 admite uma raiz igual a i (unidade imaginária).Deduzimos que :
a) Tal equação não admite raiz real menor que 2;
b) Tal equação admite como raiz um número racional;
c) Tal equação não admite como raiz um número positivo;
d) Tal equação não possui raiz da forma bi, com b < 1;
e) Nda
Gabarito:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
E A 01 C 04 C D C A D
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
05 05 03 03 E 03 E 03 01 A
21 22 23 24 25 26 27 28
D E E D D A A B
456

SÍMBOLOS DE MEDIDAS
GRANDEZA Símbolo UNIDADE Símbolo
Massa M quilograma kg
Distância, comprimento d, l metro m
Tempo t, , T segundo s
Corrente elétrica I ampère A
Quantidade de matéria N moles mol
Temperatura T kelvin K
Intensidade luminosa I candela cd
Densidade ,
quilograma por metro
cubico
Carga elétrica q, Q coulomb C
Período T segundo s
Freqüência F hertz Hz
kg.m -3
Velocidade v, c metro por segundo m.s -1
Velocidade angular radiano por segundo rad.s -1
Aceleração
A
metro por segundo ao
quadrado
Força F newton N
Energia E joule J
Quantidade de calor Q joule J
Trabalho joule J
Potência P watt W
Pressão p, P pascal Pa
Calor específico
C
joule por kelvin e por
quilograma
m.s -2
J.kg -1 .K -1
Capacidade calorífica C joule por kelvin J.K -1
Calor latente L joule por quilograma J.kg -1
Tensão elétrica U, V volt V
Resistência elétrica R, r ohm
Resistividade ohm metro .m
Condutividade , siemens por metro S.m -1
Impedância Z ohm ,
Campo magnético B tesla T
Fluxo magnético , weber Wb
Indutância L henry H
Capacidade eleétrica C farad F
457

ALFABETO GREGO
Alfa
Beta
Gama
Delta
Epsílon
Dzeta
Eta
Teta
Iota
capa
Lambda
Mi
Ni
csi
Ômicron
Pi
Rô
Sigma
Tau
Ípsilon
Fi
Qui
Psi
Ômega
458

459

460

461

462
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O CÓDIGO E CONHEÇA
O MUNDO ZÊNITE