Termodinâmica I - FMT 159

Termodinâmica I - FMT 159
Segunda prova: 30/11/2009
Noturno
ATENÇÃO: JUSTIFIQUE todas as suas respostas. Não destaque a folha de rascunho.
Tempo de prova: 100 minutos.
NOME:
1. (3,0) Em uma máquina térmica o agente é um gás ideal de coeciente adiabático γ, que executa
o ciclo da gura abaixo, onde BC é uma adiabática e CA é uma isoterma.
(a) (0,25) Em que etapas do ciclo o gás recebe calor? Em que etapas cede calor? Em que
etapas realiza trabalho? em que etapas trabalho é realizado sobre o sistema? Justique suas
respostas!
(b) (0,75) Calcule o calor trocado e o trabalho realizado/recebido em cada uma das etapas.
Lembre que: ∆U = Q − W; ∆U = n c v ∆T.
• Etapa AB:
Nessa etapa W = 0 (pois V = constante) =⇒ ∆U = Q = n c v ∆T; Como ∆T > 0
temos Q > 0; o sistema recebe calor.
• Etapa BC:
Nessa etapa Q = 0 (adiabática) =⇒ ∆U = −W =⇒ = W = −n c v ∆T; Como ∆T < 0
temos W > 0; o sistema realiza trabalho.
• Etapa CA:
Nessa etapa T = constante =⇒ ∆U = 0 e portanto Q = W; como o volume diminui,
W < 0 (o sistema recebe trabalho) e Q < 0 (o sistema cede calor).
∫ Vf
∫ Vf
dV
Nesse caso W =
N R T A
V = NRT A ln(V f /V i ) = Q.
V i
p(V ) dV =
V i
1

(c) (1,00) Calcule o rendimento, em função das variáveis c p , c v , γ, r, R, T A ou T B (nem todas
podem ser necessárias.)
η = W Q 1
=
Em uma adiabática, T V γ−1 = constante; portanto
( )
W = 1 − Q nRT
CA
A ln VA
VC
= 1 −
Q AB Q AB n c v (T B − T A ) ,
( )
T γ−1
B VB
= ,
T C V C
sabemos também que V A = V B e que T A = T C portanto
( )
V 1/(γ−1)
A TB
=
= 1 V C T A r
(1)
η = 1 − R ln (T B /T A ) 1/(γ−1)
, (2)
c v (T B /T A − 1)
(d) (1,00) Exprima o resultado primeiro em função de γ e r, e depois apenas em função da
razão ρ = T A /T B entre as temperaturas extremas. (Lembre-se que a log(x) = log(x a ).)
Usando o resultado do item anterior, podemos escrever c v e c p em função de R e γ, com
R/c v = (γ − 1). Substituindo na expressão anterior temos
η = 1 − (γ − 1) ln (T B/T A ) 1/(γ−1)
. (3)
T B /T A − 1
substituindo V A = V B = V e V C = rV na equação (1) teremos
η = 1 − ln (T B/T A )
T B /T A − 1 . (4)
( )
T B 1 (γ−1)
= ,
T A r
T B
= 1 T A ρ , (5)
substituindo as expressões acima na equação (4) teremos respectivamente
η = 1 +
(γ − 1) ln r
r (1−γ) − 1 ,
η = 1 + ρ ln ρ
1 − ρ . (6)
2

2. (2,0) Demonstre que duas adiabáticas nunca podem se cortar. Sugestão: suponha que isso fosse
possí vel, complete o ciclo com uma isoterma e mostre que a segunda lei da termodinâmica
seria violada se um tal ciclo existisse.
Solução:
p
A
Q=0
B
T
Q=0
Q=0
C
V
Note que no processo isotérmico AB temos ∆U AB = 0, então o calor é absorvido, tal que
Q AB = W AB > 0.
Além disso, nos outros dois processos BC e CA, ambos adiabáticos, temos que
Q BC = Q CA = 0.
Portanto, tal ciclo constituiria uma máquina térmica miraculosa, onde o único efeito seria absorver
uma quantidade de calor Q AB > 0 de uma fonte quente e realizar uma certa quantidade
de trabalho (correspondente à área dentro do ciclo) também > 0, violando a segunda lei da
termodinâmica (enunciado de Kelvin).
3

3. (2,0) Um recipiente de paredes adiabáticas contém 2 l de água a 30 o C. Coloca-se nele um bloco
de 500 g de gelo.
(a) (0,5) Calcule a temperatura nal do sistema. Considere 80 cal/g para o calor latente de
fusão do gelo.
(b) (1,5) Calcule a variação de entropia do sistema.
Solução:
(a) Como a energia é conservada ∆U total = 0 e como nenhum trabalho é realizado no processo
W total = 0, portanto Q total = 0. Dessa forma, o calor absorvido pelo gelo é igual em modulo
pelo calor cedido pela água líguida portanto
Q g + Q l = 0, (7)
m g L fusão + m g c (T f − T ig ) + m l c (T f − T il ) = 0, (8)
T f = m gL fusão − c (m g T ig + m l T il )
c (m l + m g )
onde c é o calor especíco da água = 1,0 cal/g o C, m g é a massa do gelo, m l é a massa da água
na fase líguida, T ig é a temperatura inicial do gelo, T il é a temperatura inicial da água na fase
líguida. Fazendo as contas teremos
(b) A variação de entropia do sistema é dada por
∆S = m gL fusão
T
∆S = m gL fusão
T
substituindo os dados do problemas obtemos
(9)
T f = 281, 23 K ≃ 8 o C (10)
T f
∫
+ m g c
T ig
dT
T + m lc
∫T f
T il
dT
T , (11)
( ) ( )
Tf
Tf
+ m g c ln + m l c ln , (12)
T ig T il
∆S = 10, 9 cal/K. (13)
4

4. (3,0) Dois litros de ar (γ = 1, 4), inicialmente à pressão de 1,0 atm e à temperatura de -73 o C
sofrem uma expansão isobárica até chegar a um volume 50% maior que o inicial, seguido de
um resfriamento, a volume constante, até chegar à pressão de 3/4 atm. Suponha que o ar se
comporte como um gás ideal.
(a) (0,5) Desenhe a transformação em um diagrama P-V; Calcule o número de moles de ar
contidos nos 2 l, a temperatura depois da expansão isobárica, bem como a temperatura nal
do ar.
(b) (0,5) Calcule a capacidade térmica molar a pressão e a volume constantes (c p e c v ), para
esse gás. Deixe o resultado na forma de fração.
(c) (1,0) De quanto varia a entropia do sistema? (Não se esqueça de especicar em que unidades
essa variação foi calculada.)
(c) (1,0) Suponha que a expansão se dê através do contato com um reservatório térmico a 300
K e que o resfriamento se dê através do contato com um outro reservatório térmico a 200 K.
Qual a variação de entropia dos reservatórios? O que é possí vel falar sobre a reversibilidade
ou irreversibilidade do processo? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA!
Solução:
p(atm)
1,00
T A
0,75
T B
TC
V 1,5V
(a) o número de moles de ar contidos nos 2 l, pode ser obtido através dos dados iniciais do gás
n = pV
RT = (1, 0 atm) (2 l)
(8 × 10 −2 = 0, 1249 mols (14)
atm.l/mol.K) (200, 15 K)
As temperaturas são calculadas usando a lei dos gases ideais tal que
T B =
( 3
2 V A
T = pV
nR =⇒ T A = V A
= 200, 15 K (15)
nR
) 1
nR = 3 2 T A e T C = 3 4
( 3
2 V A
) 1
nR = 9 8 T A (16)
(b) A capacidade térmica molar a pressão e a volume constantes (c p e c v ), para esse gás.
γ = c p
c v
= 1, 4 = 7 5 =⇒ c p = 7 5 c v, (17)
5

usando
obtemos
(c) A variação de entropia no sistema é dada por
c p − c v = R, (18)
c v = 5 2 R, e c p = 7 2 R (19)
∆S total = ∆S isob + ∆S isov (20)
( )
VB
∆S total = nc p ln + nc v ln
V A
∆S total = n
( 7
5 c v
)
ln
∆S total = nc v
[ 7
5 ln ( 3
2
(
TC
( 3
2)
+ nc v ln
∆S total ≃ 0, 52 J K
)
T B
( 3
4)
) ( 3
+ ln
4)]
(d) A variação de entropia dos reservatórios é, em modulo, igual ao calor trocado com o sistema
dividido pela temperatura do respectivo reservatório.
∣ ∆S viz = −
Q isob ∣∣∣ ∣ −
T 300K
∣
Q isov
(21)
(22)
(23)
(24)
T 200K
∣ ∣∣∣
, (25)
o sinal negativo representa o fato da quantidade do calor absorvido(cedido) pelo reservatório é
a quantidade contrária ao calor cedido(absorvido) pelo sistema.
[ ncp (T B − T A )
∆S viz = −
+ nc ]
v (T C − T B )
, (26)
T 300K T 200K
∆S viz = −
A entropia do universo é então
mostrando que o processo é irreversível!
[
n
7
5 c ( 3
v 2 T )
A − T A
+ nc ( 9
v 8 T A − 3 2 T ]
A)
T 300K
T 200K
[ 7 1
∆S viz = −nc v T A
10 300 K − 3 1
8 200 K
, (27)
]
, (28)
∆S viz ≈ −0, 23 J K , (29)
∆S univ = ∆S total + ∆S viz = 0.29 J K > 0 (30)
6

FORMULÁRIO
R = 8 × 10 −2 atm.l/mol.K = 8 J/mol.K = 2 cal/mol.K ;
1 cal = 4 J; 1 atm.l = 100 J = 24 cal
1 atm = 10 5 P a; 1 mmHg = 133 P a.
1 l = 10 −3 m 3 ;
1 mol ocupa 22,4 l nas condições normais de temperatura e pressão.
γ = c p /c v , e c p − c v = R.
Para um gás ideal: P V = nRT, ∆U = n C v ∆T;
em uma adiabática, as expressões P V γ , T V γ−1 , e T/P (γ−1)/γ são constantes;
Para a água: calor latente de fusão = 80 cal/g; calor latente de vaporização = 540 cal/g; calor
especíco da água = 1,0 cal/g o C.
∫ V f
V i
C V (1−γ)
f
∫ Vf
V i
dV
V γ = V (1−γ)
f
− V (1−γ)
i
1 − γ
dV
V
− V (1−γ)
i
1 − γ
= ln V f
V i
= P f V f − P i V i
1 − γ
; Se o processo é adiabático (PV γ = C), então
RASCUNHO - devolva esta folha GRAMPEADA junto com sua prova.
7