Termodinâmica I - FMT 159
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<strong>Termodinâmica</strong> I - <strong>FMT</strong> <strong>159</strong><br />
Segunda prova: 30/11/2009<br />
Noturno<br />
ATENÇÃO: JUSTIFIQUE todas as suas respostas. Não destaque a folha de rascunho.<br />
Tempo de prova: 100 minutos.<br />
NOME:<br />
1. (3,0) Em uma máquina térmica o agente é um gás ideal de coeciente adiabático γ, que executa<br />
o ciclo da gura abaixo, onde BC é uma adiabática e CA é uma isoterma.<br />
(a) (0,25) Em que etapas do ciclo o gás recebe calor? Em que etapas cede calor? Em que<br />
etapas realiza trabalho? em que etapas trabalho é realizado sobre o sistema? Justique suas<br />
respostas!<br />
(b) (0,75) Calcule o calor trocado e o trabalho realizado/recebido em cada uma das etapas.<br />
Lembre que: ∆U = Q − W; ∆U = n c v ∆T.<br />
• Etapa AB:<br />
Nessa etapa W = 0 (pois V = constante) =⇒ ∆U = Q = n c v ∆T; Como ∆T > 0<br />
temos Q > 0; o sistema recebe calor.<br />
• Etapa BC:<br />
Nessa etapa Q = 0 (adiabática) =⇒ ∆U = −W =⇒ = W = −n c v ∆T; Como ∆T < 0<br />
temos W > 0; o sistema realiza trabalho.<br />
• Etapa CA:<br />
Nessa etapa T = constante =⇒ ∆U = 0 e portanto Q = W; como o volume diminui,<br />
W < 0 (o sistema recebe trabalho) e Q < 0 (o sistema cede calor).<br />
∫ Vf<br />
∫ Vf<br />
dV<br />
Nesse caso W =<br />
N R T A<br />
V = NRT A ln(V f /V i ) = Q.<br />
V i<br />
p(V ) dV =<br />
V i<br />
1
(c) (1,00) Calcule o rendimento, em função das variáveis c p , c v , γ, r, R, T A ou T B (nem todas<br />
podem ser necessárias.)<br />
η = W Q 1<br />
=<br />
Em uma adiabática, T V γ−1 = constante; portanto<br />
( )<br />
W = 1 − Q nRT<br />
CA<br />
A ln VA<br />
VC<br />
= 1 −<br />
Q AB Q AB n c v (T B − T A ) ,<br />
( )<br />
T γ−1<br />
B VB<br />
= ,<br />
T C V C<br />
sabemos também que V A = V B e que T A = T C portanto<br />
( )<br />
V 1/(γ−1)<br />
A TB<br />
=<br />
= 1 V C T A r<br />
(1)<br />
η = 1 − R ln (T B /T A ) 1/(γ−1)<br />
, (2)<br />
c v (T B /T A − 1)<br />
(d) (1,00) Exprima o resultado primeiro em função de γ e r, e depois apenas em função da<br />
razão ρ = T A /T B entre as temperaturas extremas. (Lembre-se que a log(x) = log(x a ).)<br />
Usando o resultado do item anterior, podemos escrever c v e c p em função de R e γ, com<br />
R/c v = (γ − 1). Substituindo na expressão anterior temos<br />
η = 1 − (γ − 1) ln (T B/T A ) 1/(γ−1)<br />
. (3)<br />
T B /T A − 1<br />
substituindo V A = V B = V e V C = rV na equação (1) teremos<br />
η = 1 − ln (T B/T A )<br />
T B /T A − 1 . (4)<br />
( )<br />
T B 1 (γ−1)<br />
= ,<br />
T A r<br />
T B<br />
= 1 T A ρ , (5)<br />
substituindo as expressões acima na equação (4) teremos respectivamente<br />
η = 1 +<br />
(γ − 1) ln r<br />
r (1−γ) − 1 ,<br />
η = 1 + ρ ln ρ<br />
1 − ρ . (6)<br />
2
2. (2,0) Demonstre que duas adiabáticas nunca podem se cortar. Sugestão: suponha que isso fosse<br />
possí vel, complete o ciclo com uma isoterma e mostre que a segunda lei da termodinâmica<br />
seria violada se um tal ciclo existisse.<br />
Solução:<br />
p<br />
A<br />
Q=0<br />
B<br />
T<br />
Q=0<br />
Q=0<br />
C<br />
V<br />
Note que no processo isotérmico AB temos ∆U AB = 0, então o calor é absorvido, tal que<br />
Q AB = W AB > 0.<br />
Além disso, nos outros dois processos BC e CA, ambos adiabáticos, temos que<br />
Q BC = Q CA = 0.<br />
Portanto, tal ciclo constituiria uma máquina térmica miraculosa, onde o único efeito seria absorver<br />
uma quantidade de calor Q AB > 0 de uma fonte quente e realizar uma certa quantidade<br />
de trabalho (correspondente à área dentro do ciclo) também > 0, violando a segunda lei da<br />
termodinâmica (enunciado de Kelvin).<br />
3
3. (2,0) Um recipiente de paredes adiabáticas contém 2 l de água a 30 o C. Coloca-se nele um bloco<br />
de 500 g de gelo.<br />
(a) (0,5) Calcule a temperatura nal do sistema. Considere 80 cal/g para o calor latente de<br />
fusão do gelo.<br />
(b) (1,5) Calcule a variação de entropia do sistema.<br />
Solução:<br />
(a) Como a energia é conservada ∆U total = 0 e como nenhum trabalho é realizado no processo<br />
W total = 0, portanto Q total = 0. Dessa forma, o calor absorvido pelo gelo é igual em modulo<br />
pelo calor cedido pela água líguida portanto<br />
Q g + Q l = 0, (7)<br />
m g L fusão + m g c (T f − T ig ) + m l c (T f − T il ) = 0, (8)<br />
T f = m gL fusão − c (m g T ig + m l T il )<br />
c (m l + m g )<br />
onde c é o calor especíco da água = 1,0 cal/g o C, m g é a massa do gelo, m l é a massa da água<br />
na fase líguida, T ig é a temperatura inicial do gelo, T il é a temperatura inicial da água na fase<br />
líguida. Fazendo as contas teremos<br />
(b) A variação de entropia do sistema é dada por<br />
∆S = m gL fusão<br />
T<br />
∆S = m gL fusão<br />
T<br />
substituindo os dados do problemas obtemos<br />
(9)<br />
T f = 281, 23 K ≃ 8 o C (10)<br />
T f<br />
∫<br />
+ m g c<br />
T ig<br />
dT<br />
T + m lc<br />
∫T f<br />
T il<br />
dT<br />
T , (11)<br />
( ) ( )<br />
Tf<br />
Tf<br />
+ m g c ln + m l c ln , (12)<br />
T ig T il<br />
∆S = 10, 9 cal/K. (13)<br />
4
4. (3,0) Dois litros de ar (γ = 1, 4), inicialmente à pressão de 1,0 atm e à temperatura de -73 o C<br />
sofrem uma expansão isobárica até chegar a um volume 50% maior que o inicial, seguido de<br />
um resfriamento, a volume constante, até chegar à pressão de 3/4 atm. Suponha que o ar se<br />
comporte como um gás ideal.<br />
(a) (0,5) Desenhe a transformação em um diagrama P-V; Calcule o número de moles de ar<br />
contidos nos 2 l, a temperatura depois da expansão isobárica, bem como a temperatura nal<br />
do ar.<br />
(b) (0,5) Calcule a capacidade térmica molar a pressão e a volume constantes (c p e c v ), para<br />
esse gás. Deixe o resultado na forma de fração.<br />
(c) (1,0) De quanto varia a entropia do sistema? (Não se esqueça de especicar em que unidades<br />
essa variação foi calculada.)<br />
(c) (1,0) Suponha que a expansão se dê através do contato com um reservatório térmico a 300<br />
K e que o resfriamento se dê através do contato com um outro reservatório térmico a 200 K.<br />
Qual a variação de entropia dos reservatórios? O que é possí vel falar sobre a reversibilidade<br />
ou irreversibilidade do processo? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA!<br />
Solução:<br />
p(atm)<br />
1,00<br />
T A<br />
0,75<br />
T B<br />
TC<br />
V 1,5V<br />
(a) o número de moles de ar contidos nos 2 l, pode ser obtido através dos dados iniciais do gás<br />
n = pV<br />
RT = (1, 0 atm) (2 l)<br />
(8 × 10 −2 = 0, 1249 mols (14)<br />
atm.l/mol.K) (200, 15 K)<br />
As temperaturas são calculadas usando a lei dos gases ideais tal que<br />
T B =<br />
( 3<br />
2 V A<br />
T = pV<br />
nR =⇒ T A = V A<br />
= 200, 15 K (15)<br />
nR<br />
) 1<br />
nR = 3 2 T A e T C = 3 4<br />
( 3<br />
2 V A<br />
) 1<br />
nR = 9 8 T A (16)<br />
(b) A capacidade térmica molar a pressão e a volume constantes (c p e c v ), para esse gás.<br />
γ = c p<br />
c v<br />
= 1, 4 = 7 5 =⇒ c p = 7 5 c v, (17)<br />
5
usando<br />
obtemos<br />
(c) A variação de entropia no sistema é dada por<br />
c p − c v = R, (18)<br />
c v = 5 2 R, e c p = 7 2 R (19)<br />
∆S total = ∆S isob + ∆S isov (20)<br />
( )<br />
VB<br />
∆S total = nc p ln + nc v ln<br />
V A<br />
∆S total = n<br />
( 7<br />
5 c v<br />
)<br />
ln<br />
∆S total = nc v<br />
[ 7<br />
5 ln ( 3<br />
2<br />
(<br />
TC<br />
( 3<br />
2)<br />
+ nc v ln<br />
∆S total ≃ 0, 52 J K<br />
)<br />
T B<br />
( 3<br />
4)<br />
) ( 3<br />
+ ln<br />
4)]<br />
(d) A variação de entropia dos reservatórios é, em modulo, igual ao calor trocado com o sistema<br />
dividido pela temperatura do respectivo reservatório.<br />
∣ ∆S viz = −<br />
Q isob ∣∣∣ ∣ −<br />
T 300K<br />
∣<br />
Q isov<br />
(21)<br />
(22)<br />
(23)<br />
(24)<br />
T 200K<br />
∣ ∣∣∣<br />
, (25)<br />
o sinal negativo representa o fato da quantidade do calor absorvido(cedido) pelo reservatório é<br />
a quantidade contrária ao calor cedido(absorvido) pelo sistema.<br />
[ ncp (T B − T A )<br />
∆S viz = −<br />
+ nc ]<br />
v (T C − T B )<br />
, (26)<br />
T 300K T 200K<br />
∆S viz = −<br />
A entropia do universo é então<br />
mostrando que o processo é irreversível!<br />
[<br />
n<br />
7<br />
5 c ( 3<br />
v 2 T )<br />
A − T A<br />
+ nc ( 9<br />
v 8 T A − 3 2 T ]<br />
A)<br />
T 300K<br />
T 200K<br />
[ 7 1<br />
∆S viz = −nc v T A<br />
10 300 K − 3 1<br />
8 200 K<br />
, (27)<br />
]<br />
, (28)<br />
∆S viz ≈ −0, 23 J K , (29)<br />
∆S univ = ∆S total + ∆S viz = 0.29 J K > 0 (30)<br />
6
FORMULÁRIO<br />
R = 8 × 10 −2 atm.l/mol.K = 8 J/mol.K = 2 cal/mol.K ;<br />
1 cal = 4 J; 1 atm.l = 100 J = 24 cal<br />
1 atm = 10 5 P a; 1 mmHg = 133 P a.<br />
1 l = 10 −3 m 3 ;<br />
1 mol ocupa 22,4 l nas condições normais de temperatura e pressão.<br />
γ = c p /c v , e c p − c v = R.<br />
Para um gás ideal: P V = nRT, ∆U = n C v ∆T;<br />
em uma adiabática, as expressões P V γ , T V γ−1 , e T/P (γ−1)/γ são constantes;<br />
Para a água: calor latente de fusão = 80 cal/g; calor latente de vaporização = 540 cal/g; calor<br />
especíco da água = 1,0 cal/g o C.<br />
∫ V f<br />
V i<br />
C V (1−γ)<br />
f<br />
∫ Vf<br />
V i<br />
dV<br />
V γ = V (1−γ)<br />
f<br />
− V (1−γ)<br />
i<br />
1 − γ<br />
dV<br />
V<br />
− V (1−γ)<br />
i<br />
1 − γ<br />
= ln V f<br />
V i<br />
= P f V f − P i V i<br />
1 − γ<br />
; Se o processo é adiabático (PV γ = C), então<br />
RASCUNHO - devolva esta folha GRAMPEADA junto com sua prova.<br />
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