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Análise numérica de processos de infiltração em mesoescala 295
dade macroscópica fornecida pela Equação (5) pode ocorrer em qualquer direção em função
da ponderação pelo número de partículas que escoa em cada direção discreta.
Os processos de propagação e colisão, que caracterizam o MLB, em cada intervalo de
tempo Δt, podem ser representados pelas seguintes equações:
f i
(x + c i
Δt, t + Δt) – f i
(x, t) = Ω i
(6)
Ω i
= 0; Ω i
c i
= 0
(7)
iΣ iΣ
em que Ω i
é denominado de operador de colisão. Esse operador deve ser escolhido de forma
a conservar a massa e o momento linear, além da energia total em problemas não isotérmicos,
Eq. (7).
A forma mais simples de considerar o efeito das colisões entre partículas é utilizar o operador
BGK (BhATNAGAR et al., 1954). Esse operador descreve a colisão como um processo
de relaxação em direção de um estado de equilíbrio local, por exemplo, a condição hidrostática,
o estado de fluxo estacionário, etc. A expressão que descreve este operador é dada pela
Equação (8), em que τ é denominado de tempo de relaxação e f eq
i é a função de distribuição
de equilíbrio na direção i.
Ω i
= – 1 τ
eq
( f i
– f i
) (8)
Combinando as Equações (6) e (8), a equação mesoscópica governante para o MLB pode
ser escrita como:
1
eq
f i
(x + c i
Δt, t + Δt) = f i
(x, t) – ( f i
(x, t) – f i
(x, t))
(9)
τ
O comportamento macroscópico pode ser determinado com a escolha adequada da distribuição
de equilíbrio,
eq
f i
(ρ, v), para resgatar a dinâmica de fluidos regida pelas ENS. Para
esse fim, de acordo com Qian et al. (1992), a distribuição de equilíbrio é dada por:
Δt
em que c= = 1 lt tu –1
Δx
f i
eq
[
3c
= ρw i
1 + i
∙ v 9 (c
+ i
∙ v) 2 3 (v ∙ v)
–
2
c 2 2c 4 2c 2
[
(10)
e w i
são pesos associados com cada direção de velocidade i. Para
o modelo D2Q9, os pesos são dados por w 1
= w 2
= w 3
= w 4
= 1 9 , w 5 = w 6 = w 7 = w 8 = 1 36 e
w 0
= 4 . Esses pesos são escolhidos de forma a garantir isotropia macroscópica e invariância
9
Galileana (QIAN et al., 1992).
No modelo D2Q9, a viscosidade do fluido pode ser associada com o tempo de relaxação
por meio da Equação (11). Dessa forma, simulações pelo MLB podem estimar o tempo de
relaxação a partir da viscosidade.
v =
1
(τ –
1
)
3 2
Os passos básicos na simulação pelo MLB são mostrados no algoritmo da Figura 8.
(11)