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Modelos teóricos de infiltração em meios porosos: equação de Richards e suas aplicações 263
9 Teorema da inversão de Lagrange e a equação de três parâmetros
Considere-se a seguinte forma alternativa de apresentação da Equação (47)
T α – hT + a = 0, (54)
em que T = exp(I *
), h = α exp(t *
(α–1)) e a = α –1. Considere-se, ainda, a troca de variáveis T –1
= i. Assim, a Equação (54) se torna:
Novamente, ao aplicar a troca de variáveis s = i α–1 , obtém-se:
Nota-se na Equação (56) que a variável de interesse s está implicitamente
definida. A partir do teorema da inversão de Lagrange, tomando-se
, a seguinte relação pode ser obtida:
(55)
(56)
(57)
Ao desfazer as trocas de variáveis, pode-se expressar explicitamente o valor da lâmina
infiltrada acumulada adimensional, I *
, como:
(58)
A partir da aplicação do teste da razão para convergência de séries, pode-se mostrar
que a série da Equação (58) converge para 0 < α < 1, ou seja, nesse intervalo, a Equação (58)
fornece a solução analítica exata para a Equação (47). De acordo com a precisão necessária,
podem-se tomar tantos termos quanto se queiram na Equação (58). A título de verificação,
sabe-se que, quando α=1/2, a Equação (47) tem solução em termos de funções elementares.
Segundo Barry et al. (1993), o referido caso especial pode ser descrito por:
(59)
Ao substituir α =1/2 na Equação (58), obtém-se, para a lâmina infiltrada acumulada
adimensional:
(60)