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Modelos teóricos de infiltração em meios porosos: equação de Richards e suas aplicações 253
hidráulica quase constante (PARLANGE et al., 2002). A equação que relaciona a lâmina infiltrada
adimensional com o tempo adimensional, para o caso de Talsma-Parlange, é expressa
por (TALSMA e PARANGE, 1972):
t *
= I *
+ exp (–I *
) –1 (8)
Da mesma maneira que se procedeu com a Equação (4), após manipulações algébricas,
a Equação (8) pode ser reescrita como:
(I *
– t *
– 1) exp (I *
– t *
– 1) + exp (–t *
– 1) = 0 (9)
A comparação entre as Equações (3) e (9) fornece:
W (–exp (–t *
–1) = (I *
–t *
–1) (10)
Por inspeção da Equação (10), é visível que dois casos de solução são possíveis, quais
sejam: quando I *
> t *
, o ramo correspondente é o ramo 0; por outro lado, quando I *
< t *
, a
solução se encontra no ramo -1. Há que se avaliar o comportamento das funções I *
, dada
pela Equação (8), e da função identidade I d
= t *
. Considere-se, assim, a derivada implícita da
Equação (8) em relação a t *
:
Note-se que a derivada na Equação (11) é sempre maior do que um. A função expressa
implicitamente na Equação (11) tem seu crescimento sempre mais rápido que a função identidade;
assim, caso haja um ponto de igualdade entre as duas funções, a partir deste a função
dada na Equação (11) será sempre maior que a identidade. Sabe-se, no entanto, que o único
ponto de igualdade no intervalo I *
≥ 0 é seu limite inferior, ou seja, quando I *
= 0. Dessa forma,
pode-se dizer que I *
≥ I d
=t *
, e o único ramo possível é o ramo 0. Finalmente, o resultado, que
está em consonância com aquele obtido por Parlange et al. (2002), é:
De modo semelhante ao caso de Green-Ampt, a equação de Talsma-Parlange tem sua
solução exata em termos da função especial W de Lambert.
(11)
(12)
6 Função W de Lambert e a equação de Richards
Há uma vasta gama de métodos de solução de equações diferenciais parciais, dentre os
quais cabe citar a aplicação de transformadas integrais, aplicação de transformação de variáveis,
utilização de integração direta, aplicação de séries, entre outros. No presente esforço,
uma abordagem mista de transformação de variáveis e de integração direta, semelhante à
adotada por Barry et al. (1993), será utilizada.
Barry et al. (1993) adotaram algumas premissas simplificadoras em sua dedução de maneira
a inviabilizar a aplicação de sua solução a outros casos de interesse. Por outro lado, uma
abordagem mais ampla será dada à questão, de maneira que a solução de Barry et al. (1993)
será um caso particular do resultado aqui apresentado.