CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES

Resistência dos Materiais XI
CÍRCULO DE
MOHR
PARA
TENSÕES

Estado Plano de Tensões
Num certo ponto da superfície de um corpo carregado
são conhecidas as tensões em dois planos
perpendiculares
y
σ y
z
σ x
σ y
τ yx
τ xy
σ x
x

Trace um eixo horizontal para marcar as tensões normais σ
τ
Representação Gráfica das
Tensões no Plano de Mohr
σ
Trace um eixo vertical para marcar as tensões tangenciais τ

τ
Marque as tensões normais de
tração à direita da origem
0
σ
Marque as tensões normais de
compressão à esquerda da origem

τ
Marque para CIMA as
tensões tangenciais que giram
o elemento no sentido
HORÁRIO
0
σ
Marque para BAIXO as
tensões tangenciais que giram
o elemento no sentido
ANTI-HORÁRIO

y
Plote Exemplo no plano 1: σ x = σ + x50MPa; τ os valores σ y = - 10MPa; das tensões τ xy = τ yx apresentadas
- 40MPa
x
τ
40
-10
-40
50 50
-40
-10
-10
50
σ
40

Unindo os dois pontos obtém-se a posição do centro do círculo
de Mohr σ C = ½ (σ x + σ y )
τ
40
Observe o
triângulo
assinalado
20
-10
C
50
σ
40
Trace o círculo
com centro em
C e passando
pelos dois
pontos

τ
Os catetos do triângulo valem:
40
τ xy = 40 τ xy = 40
20
-10
C
50
σ
½ (σ x – σ y ) = ½ [50-(-10)] = 30
½ (σ x – σ y ) = ½ [50-(-10)] = 30
40

τ
A hipotenusa valerá:
40
τ xy = 40 τ xy = 40
[ ( − )] +
1
σ
2 2
x σ y τ xy
2
2 2
30 + 40 > 50
-10
50
σ
½ (σ x – σ y ) = ½ [50-(-10)] = 30
½ (σ x – σ y ) = ½ [50-(-10)] = 30
40

A hipotenusa é o raio R do Círculo de Mohr
τ
40
PORTANTO:
σ mín mín = σ cc --R
= -30
τ máx máx = R = 50
σ máx máx = σ c c + R
= 70 70
-10
20
50
σ
40

As tensões principais ficam assim determinadas:
σp1 = σc + R = ½ (σx + σy ) + [½ (σx - σy )] 2 + (τxy) 2 = 20+50=70
σp1 = σc + R = ½ (σx + σy ) + [½ (σx - σy )] 2 + (τxy) 2 = 20+50=70
σp2 = σc – R = ½ (σx + σy ) - [½ (σx - σy )] 2 + (τxy) 2 = 20-50=-30
σp2 = σc – R = ½ (σx + σy ) - [½ (σx - σy )] 2 + (τxy) 2 = 20-50=-30
τmáx = τmáx
[½ (σx - σy )] [½ (σx - σy )]
2 + (τxy) 2 = 50 50

40
Ponto Ponto que que
representa representa o o
estado estado de de tensão tensão
no no plano plano que que tem tem
o o eixo eixo “y” “y” como como
perpendicular
perpendicular
y
10
τ
-10
Observe ainda na figura formada:
40
40
x
50
Ponto Ponto que que
representa representa o o
estado estado de de tensão tensão
no no plano plano que que tem tem
o o eixo eixo “x” “x” como como
perpendicular
perpendicular
20 50 σ
40

40
y
10
A interseção direção que dessas une o direções pólo ao é ponto chamado círculo
PÓLO
correspondente à tensão σ 21 é a direção 21
40
40
x
τ
50
-10
20
50
σ
-20
70
1
2
40

40
y
10
τ
Observe ... é igual que à metade o ângulo do inscrito, ângulo central entre as
direções “1” e assinalado: “x”, mostrado na figura :
40
40
x
θ 1
50
τ xy
2θ 1
-10
20
50
σ
½ (σ x – σ y )
Sendo: tg 2θ 1 = τ xy / ½ (σ x – σ y )
70
1
40

40
y
10 No caso em estudo: τ xy = - 40, σ x = 50 e σ x = -10
τ
40
θ 1
tg θ2θ 1 = 1 −29,5 = −59,0
29,5º
59,0º
−1,33
40
x
50
-10
20
50
σ
40

Para o estado de tensão em análise teremos portanto
θ = − 29,5º 74,5º
50
-40
-10
y
-10
-40
50
x
θ = 0
20
70
-30
-30
50
P
τ
20
20
40
70
50
20
-20 -10 20 50
40
σ
70

Alguns exemplos de estados de tensão comuns
τ
τ
Tração
Pura
σ
Semi
σ
hidrostático
τ
τ
Compressão
Pura
σ
σ
Vaso de
pressão
τ
τ
Corte
Puro
σ
σ
Tubo sob
pressão e
torção
τ
Flexão
Simples
σ
Tarefa: em cada caso exemplificado
indique a posição ocupada pelo pólo.

Exercício proposto: para o estado de tensões esquematizado
na figura e utilizando o Círculo de Mohr, pede-se:
z
y
30º
P
48 MPa
36 MPa
72 MPa
x
1) As tensões máximas de tração e
de compressão. Indicar os planos
onde ocorrem;
2) As tensões máximas de
cisalhamento. Indicar os planos
em que ocorrem;
3) As componentes normal e
tangencial da tensão ocorrente no
plano “P” assinalado na figura

fim