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CALCULO
Volume 11

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP}
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Stew"rt, James
Cálculo, volume 2 / James s::ewart; tradução
Antonio Carlos Horetti, Antonio Carlos Gilli Nart:ms,
- São Paulo: Thomson Lear-ning, 2007,
1. reimp. da S. ed. de 2006
Titulo or-iginal: Calculus.
ISBN 85-211-0484-0
l. Cálculo t. Titulo
05-811'
CDD-515
Índice para catálogo sistemático:
1. Cálculo Matemático. 543

"
CALCULO
Volume 11
Sª edição
JAMES STEWART
McMaster University
Tradução
Antonio Carlos Moretti
Doutor em Engenharia Industrial pelo Georgia Institute of Technology
e Professor Livre-Docente do Imecc - Unicamp
Antonio Carlos Gilli Martins
Doutor em Matemática pela Unicamp e Professor Doutor do Imecc - Unicamp
Tlc!OMSON
Austrália
Brasil
Canadá Cingapura Espanha Estados Unidos México Reino Unido

THOIVISON
Gerente Editorial:
Dulcy Grisolia
Editora de Desenvolvimento:
Ada Santos Seles
Supervisara de Produção Editorial:
Patricia La Rosa
Produtora Editorial:
Ligia Cosmo Cantarelli
Produtora Gráfica:
Fabiana Alencar Albuquerque
Copidesque:
Sandra Ferraz Brazil
Revisão:
Sílvana Gouveia
lná de Carvalho
Diagramação:
ERJ - Composição Editorial e Artes
Gráficas Ltda.
Capa:
FZ.Dáblio Design Studio
Título Original:
Calculus - Early Transcendentais,
sth ed.
ISBN 0-534-39321-7
Tradução Técnica:
Antonio Carlos Gilli Martins
Antonio C ar! os Moretti
COPYRIGHT © 2003 de Brooks!Cole
Publishing Inc., uma divisao da
Thomson learning.
COPYRIGHT © 2006
para a Língua Portuguesa adquirido
por Thomson Learning Edições Ltda.,
uma divisão da Thomson Learning, Inc.
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registrada aqui utilizada sob licença.
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106 e 107 da Lei nº 9.610, de 19 de
fevereiro de 1998.
Dados Internacionais de Catalogação
na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP,. Brasil)
Stewart, James
Cálculo, volume 2/ James Stewart;
tradução
Antonio Carlos Moretti, Antonio Carlos
Gilli Martins. - São Paulo: Thomson
Learning, 2007.
1. reimp. da 5. da ed. de 2006
Títuio original: Calculus.
ISBN 85-211-0484-0
1. Cálculo !. Título
05-8117 CDD-515
Índice para catálogo sistemático:
1. Cálculo : Matemática 543

Para meus alunos, antigos
e presentes
v

Prefácio
Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema,
mas há urna semente de descoberta na solução de qualquer
problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar
sua curiosidade e fizer funcionar sua capacidade inventiva, e caso
você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o
prazer do triunfo da descoberta.
George Polya
A arte de ensinar, segundo Mark van Doren, é a de tomar parte em descobertas. Tentei escrever
um livro que tome parte na descoberta do cálculo pelos estudantes - por seu aspecto
prático, bem como por sua surpreendente beleza. Nesta edição, como nas quatro anteriores,
pretendi transmitir aos estudantes um sentido de utilidade do cálculo e desenvolver competência
técnica, mas também me empenhei em dar uma avaliação da beleza intrínseca do
assunto. Newton sem dúvida experimentou uma sensação de triunfo no momento de suas
grandes descobertas. Eu gostaria que os estudantes partilhassem dessa emoção.
A ênfase está na compreensão dos conceitos. Penso que todos concordam que essa deve
ser a meta principal no ensino do cálculo. De fato, o ímpeto para o atual movimento de
reforma do cálculo vem da Conferência de Tulane, de 1986, que formulou como recomendação
fundamental:
Focalizar na compreensão conceitual.
Tentei implementar essa meta através da Regra de Três: "Tópicos devem ser apresentados
geométrica, numérica e algebricamente". Visualização, experimentação numérica e gráfica e
outras abordagens mudaram radicalmente a forma de ensinar o raciocínio conceitual. Mais
recentemente, a Regra de Três foi expandida tornando-se a Regra de Quatro com o acréscimo
do ponto de vista verbal ou descritivo.
O Que É Novo Nesta Edição
Enquanto preparava a quinta edição deste livro, passei um ano na Universidade de Toronto
ensinando Cálculo utilizando a edição anterior. Eu ouvia atentamente as perguntas de meus
alunos e as sugestões de meus colegas. E, cada vez que preparava uma aula, ficava pensando
se algum exercício a mais era necessário ou se uma frase deveria ser melhorada ou, ainda, se
uma seção deveria ter mais exercícios de um certo tipo. Além disso, prestei muita atenção às
sugestões enviadas por vários leitores e aos comentários dos meus revisores.
Uma fonte não muito comum de problemas novos foi um telefonema de um amigo
meu, Richard Annstrong. Richard é sócio de uma firma de consultoria em engenharia e
orienta os clientes que controem hospitais e hotéis. Ele me disse que, em certas partes do
mundo, os sistemas de sprinklers de prédios grandes são abastecidos de água por compartimentos
localizados nos tetos desses prédios. Naturalmente ele sabia que a pressão da água
diminui quando o nível de água decresce, mas queria quantificar esse decréscimo de maneira
que seus clientes pudessem garantir uma certa pressão durante um dado período.
vi i

viii c CÁlCULO Editora Thomson
Eu ihe disse que poderia resolver esse problema usando as equações diferenciais sepk
ráveis, porém ocorreu-me que esse problema poderia gerar um bom projeto de pesquisa
quando combinado com outras idéias. (Veja o projeto na página 605).
A estrutura desta edição permanece praticamente a mesma da anterior, no entanto, há
vários melhoramentos, pequenos e grandes:
Duas seções no Capítulo 10 foram combinadas em uma só.
Eu reescrevi a Seção 12.2 para dar mais ênfase à descrição geométrica dos vetores.
Novas frases e notas de rodapé foram inseridas no texto para dar mais clareza à
exposição.
V árias trabalhos de arte foram redesenhados.
Os dados em exemplos e os exercícios foram atualizados no tempo.
Foram incluídos alguns sites a mais em alguns dos exemplos já existentes.
Cerca de 25% dos exercícios em cada capítulo são novos. Aqui estão alguns dos
meus favoritos:
Exercícios
9.1 11-12
1!.12 35
Página
588
782
14.5 15-16 936
Exercícios
10.3 47-48
I 3.3 32-34
Página
674
868
Exercício
11.9 40
14.3 5-6
Página
Foram adicionados novos problemas nas seções Problemas Quentes. Veja, por exemplo,
os Problemas 20 e 22 na página 790.
758
918
Características
Exercícios Conceituais
Conjuntos Gradativos de Exercícios
A maneira mais importante de encorajar a compreensão conceitual é por meio dos problemas
que prescrevemos. Com essa finalidade, delineei vários tipos de novos problemas.
Alguns conjuntos de exercícios começam com questões exigindo a explicação do significado
do conceito básico da seção. (Veja, por exemplo, os exercícios nas Seções 11.2. 14.2
e 14.3.) Analogamente, todas as seções de revisão começam por uma verificação conceitual
e um teste do tipo verdadeiro-falso. Outros exercícios testam a compreensão
conceitual através de gráficos e tabelas. Veja os Exercícios 1-2 na Seção 13.2, Exercício 27
na Seção 13.3, Exercícios 1, 2, 5 e 31-34 na Seção 14.1, Exercícios 1, 2 e 36 na Seção 14.6,
Exercícios 3-4 na Seção 14.7, Exercícios 5-10 na Seção 15.1, Exercícios 11-18 na Seção
16.1, Exercícios 17, 18 e 43 na Seção 16.2 e Exercícios 1, 2, 11 e 23 na Seção 16.3. Eu
particularmente valorizo problemas que combinam e comparam abordagens gráficas,
numéricas e algébricas (veja o Exercício 2 na Seção 9.5).
Mais do que 30% dos exercícios são novos. Cada conjunto de exercícios é cuidadosamente
graduado, progredindo desde exercícios conceituais básicos e problemas destinados a
desenvolvimento de habilidades até problemas mais desafiantes envolvendo aplicações e
provas.

James Stewart PREFÁCIO !":1 i:x
Dados do Mundo Real
Projetos
Tecnologia
Meu assistente e eu gastamos um bom tempo em bibliotecas, contatando companhias e
agências governamentais e procurando na Internet por dados do mundo real para introduzir,
motivar e ilustrar os conceitos do cálculo. Como resultado, muitos de nossos exemplos
e exercícios tratam de funções definidas por tais dados numéricos ou gráficos.
Funções de duas variáveis são ilustradas por uma tabela de valores do fator de resfriamento
do vento como urna função da temperatura do ar e da velocidade do vento (Exemplo 2 da
Seção 14.1). As derivadas parciais são introduzidas na Seção 14.3, em que é examinada
uma coluna na tabela de valores do índice de calor (temperatura do ar sentida) como uma
função da temperatura real e da umidade relativa. Esse exemplo é aprofundado em
conexão com as aproximações lineares (Exemplo 3 da Seção 14.4). Derivadas direcionais
são introduzidas nas Seções 14.6 usando curvas de nível para estimar a taxa de variação da
temperatura em Reno em direção a Las Vegas. Integrais duplas são usadas para estimar a
média de queda de neve no Colorado durante o dia 24 de dezembro de 1982 (Exemplo 4
da Seção 15.1). Campos vetoriais são introduzidos na Seção 16.1 pela representação do
padrão de ventos na baia de São Francisco.
Uma maneira de envolver os estudantes e então tomá-los aprendizes ativos é fazê-los trabalhar
(talvez em grupos) em projetos de extensão, que dão um grande sentimento de realização
quando finalizados. Isso inclui quatro tipos de projetos: a) Projetos Aplicados, que
envolvem aplicações destinadas a apelar para a imaginação dos estudantes. O projeto que
segue a Seção 9.3 indaga se uma bola atirada para cima leva mais tempo para atingir sua
altura máxima ou para cair até sua altura original. (A resposta poderá surpreendê-lo.) O
projeto que segue a Seção 14.8 usa multiplicadores de Lagrange para determinar as massas
dos três estágios do foguete de tal forma a rrúnirnizar a massa total enquanto lhe permite
atingir a velocidade desejada. b) Projetos de Laboratório, que envolvem tecnologia.
O projeto que segue a Seção 10.2 mostra como usar as curvas de Bézier para desenhar formas
que representam letras para uma impressão a laser. c) Projetos Escritos, que pedem
aos estudantes que comparem métodos atuais com aqueles usados pelos fundadores do
cálculo - por exemplo, o método de Fermat para encontrar tangentes. São fornecidas referências.
d) Projetos Descobertas, que antecipam resultados que serão discutidos posteriormente
ou encorajam a descoberta através do reconhecimento do padrão. Outros exploram
aspectos da geometria: tetraedro (após a Seção 12.4), hiperesferas (após a Seção 15.7) e a
intersecção de três cilindros (após a Seção 15.8).
A disponibilidade de tecnologia torna ainda mais importante compreender claramente os
conceitos que fundamentam as imagens na tela. Quando usados adequadamente, calculadoras
gráficas e computadores são ferramentas valiosas na descoberta e compreensão
desses conceitos. Este livro pode ser usado com ou sem tecnologia, e usei dois símbolos
especiais para indicar quando um tipo especial de máquina for necessário. O íconeiiJi indica
um exemplo ou exercício que requer o uso de tal tecnologia, mas isso que não significa
que ela não possa ser usada também em outros exercícios. O símbolo é reservado
para os problemas em que é requerida toda a capacidade de um sistema algébrico computacional
(como Derive, Maple, Mathematica ou TI-92). Todavia, a tecnologia não torna
obsoletos o lápis e o papel. Cálculos à mão e esboços são freqüentemente preferíveis à tecnologia
para ilustrar e reforçar alguns conceitos. Professores e estudantes precisam desenvolver
a habilidade para decidir quando é mais apropriado a máquina ou a mão.

X c CÁlCULO Editora Thomson
Conteúdo
Capítulo 9
Equações Diferenciais
Capítulo 10
Equações Paramétricas e
Coordenadas Polares
Capítulo 11
Seqüências Infinitas e Séries
Capítulo 12
Vetores e a Geometria do Espaço
Modelagem é o tema que unifica este tratamento introdutório das equações diferenciais.
Campos de direção e o método de Euler são estudados antes das equações separáveis, e as
equações lineares são resolvidas explicitamente; assim, é dado o mesmo peso para as abordagens
qualitativa, numérica e analítica. Esses métodos são aplicáveis aos modelos exponencial,
logístico e outros para o crescimento populacional. As cinco primeiras seções
deste capítulo servem como uma boa introdução às equações diferenciais de primeira
ordem. A seção final, opcional, usa os modelos predador-presa para ilustrar os sistemas de
equações diferenciais.
As seções em áreas e tangentes para curvas paramétricas e comprimento de arco e área de
superfície foram alinhados e combinados como Cálculo com curvas paramétricas. Projeto
de laboratório; os dois projetos apresentados aqui envolvem farru1ias de curvas e as curvas
de Bézier. Um breve tratamento de seções cônicas em coordenadas polares prepara o caminho
para as Leis de Kepler do Capítulo 13.
Agora os testes de convergência têm justificações intuitivas (veja a página 723), bem como
provas formais. As estimativas numéricas das somas das séries estão baseadas no teste
usado para provar a convergência. A ênfase está em séries de Taylor e polinomiais e sua
aplicação à física. Estimativas de erro incluem aquelas para recursos gráficos.
O material em geometria analítica em três dimensões e vetores foi dividido em dois capítulos.
Este capítulo trata dos vetores, dos produtos escalar e vetorial, retas,_ planos, superfícies
e coordenadas cilíndricas e esféricas.
Capítulo 13
Funções Vetoriais
Capitulo 14
Derivadas Parciais
Capítulo 15
Integrais Múltiplas
Capítulo 16
Cálculo Vetorial
Capítuio 17
Equações Diferenciais
de Segunda Ordem
Este capítulo cobre as funções a valores vetoriais, suas derivadas e integrais, o comprimento
e a curvatura de curvas espaciais e a velocidade e aceleração ao longo de curvas
espaciais, culminando nas leis de Kepler.
Funções de duas ou mais variáveis são estudadas dos pontos de vista verbal, numérico,
visual e algébrico. Em particular, introduzi derivadas parciais observando uma coluna
específica em uma tabela de valores do índice de calor (temperatura do ar sentida) como
uma função da temperatura real e da umidade relativa. Derivadas direcionais são estimadas
a partir de curvas de nível da temperatura, pressão e precipitação da neve.
Curvas de nível e Regra do Ponto Médio são utilizadas para estimar a precipitação média
de neve e a temperatura média em uma dada região. As integrais duplas e triplas são usadas
para computar probabilidades, áreas de superfícies e (nos projetos) volumes de hiperesferas,
e ainda, o volume da interseção de três cilindros.
São introduzidos os campos vetoriais através de gráficos de velocidade mostrando os padrões
de ventos da Baia de San Francisco. As similaridades entre o Teorema Fundamental para os
Integrais de Linhas, o Teorema de Green, o Teorema de Stokes e o Teorema da Divergência
são enfatizadas.
Como as equações diferenciais de primeira ordem são estudas no capítulo 9, este último capítulo
trata das equações diferenciais lineares de segunda ordem, sua aplicação às cordas
vibrantes e circuitos elétricos, e soluções em série.

Jarnes Stewart PREFÁCIO L xi
A preparação desta e das edições anteriores envolveu um bom tempo gasto na leitura
dos ponderados conselhos de um grande número de revisores. Apreciei profundamente o
tempo gasto por eles para entender a minha motivação na abordagem escolhida. De cada
um deles aprendi alguma coisa. Sou grato a todos: Barbara Cortzen, Philip S. Crooke,
Matthias K. Gobbert, Leonard Krop, F. J. Papp e Paul M. Wright.
Além disso, quero agradecer a George Bergman, Bill Ralph, Harvey Keynes, Doug
Shaw, Saleem Watson, Lothar Redlin, David Leep, Gene Hecht e Tom DiCiccio, por suas
recomendações e ajuda; a Andy Bulman-Fleming e Dan Clegg, por suas pesquisas em bibliotecas
e na Internet; a Kevin Kreider, por sua crítica aos exercícios aplicados; a Fred
Brauer, por sua pernússão para usar seus manuscritos em equações diferenciais; e a Dan
Clegg pelo preparo do manuscrito das respostas. Dan Clegg atuou como meu assistente em
todo o trabalho; ele leu e marcou todos os erros, deu sugestões e contribuiu em muitos
dos novos exercícios.
Agradeço ainda a Brian Betsill, Stephanie Kuhns, Kathi Townes, Sandy Senter, Jamic
Sue Brooks, Carolioe Crolcy, Debra Johnston e Caro] Ann Benedict.
Fui muito afortunado por ter trabalhado com alguns dos melhores editores de matemática
dos últimos vinte anos: Ron Munro, Harry Campbell, Craig Barth, Jeremy Hayhurst e
Gary W. Ostedt. Sou particularmente grato a meu atual editor, Gary W. Ostedt, por tomar
mais fácil minha vida colocando a minha disposição uma equipe talentosa de pessoas que
me assistiram na feitura deste livro.
JAMES STEWART

Sumário
9 Equações Diferenciais 582
9.1 Modelagem com Equações Diferenciais 583
9.2 Campos de Direção e o Método de Euler 589
9.3 Equações Separáveis 597
Projeto Aplicado Quão Rápido um Tanque Esvazia 605
Projeto Aplicado. O Que É Mais Rápido: Subir ou Descer 606
9.4 Crescimento e Decaimento Exponencial 607
Projeto Aplicado Cálculo e Beisebol 618
9.5 A Equação Logística 619
9.6 Equações Lineares 628
9.7 Sistemas Predador-Presa 634
Revisão 640
Problemas Quentes 644
Paramétricas e Coordenadas Polares 646
10.1 Curvas Definidas por Equações Paramétricas 647
Projeto de Laboratório Rolando Círculos ao Redor de Círculos 655
10.2 Cálculo com Curvas Paramétricas 655
Projeto de Laboratório Curvas de Bézier 644
10.3 Coordenadas Polares 665
10.4 Áreas e Comprimentos em Coordenadas Polares 675
10.5 Seções Cônicas 680
10.6 Seções Cônicas em Coordenadas Polares 687
Revisão 692
Problemas Quentes 696
Seqüências Infinitas e Séries 698
11.1 Seqüências 699
Projeto de Laboratório Seqüências Logísticas 711
11.2 Séries 711
11.3 O Teste da Integral e Estimativas de Somas 721
11.4 Os Testes de Comparação 728
11.5 Séries Alternadas 733
1 1.6 Convergência Absoluta e os Testes da Razão e da Raiz 738
11.7 Estratégia para Testar as Séries 7 45

James Stewart SUMÁRIO U xv
14.7 Valores Máximo e Mínimo 951
Projeto Aplicado Projeto de uma Caçamba 961
Projeto Descoberta Aproximação Quadrática e Pontos Críticos 962
14.8 Multiplicadores de Lagrange 963
Projeto Aplicado Ciência dos Foguetes 970
Projeto Aplicado Otimização de uma Turbina Hidráulica 971
Revisão 972
Problemas Quentes 976
151' Integrais Múltiplas 978
-~-

xvi o CÁlCUlO Editora Thomson
17 Equações Diferenciais de Segunda Ordem 1137
17.1 Equações Lineares de Segunda Ordem 1138
17.2 Equações Lineares Não-Homogêneas 1144
17.3 Aplicações das Equações Diferenciais de Segunda Ordem 1151
17.4 Soluções em Série 1159
Revisão 1163
Apêndices
F Provas de Teoremas A2
G Números Complexos AS
H Respostas dos Exercícios de Números Ímpares Al3
Índice Analítico
A45

Ao Estudante
Há uma diferença entre ler um texto de cálculo e um jornal ou um romance ou até mesmo
um livro de física. Assim, não desanime se tiver de ler uma passagem mais de uma vez para
poder entendê-la. Você deve ter lápis, papel e uma calculadora à mão para esboçar um diagrama
ou fazer um cálculo.
Alguns estudantes começam a fazer suas tarefas de casa e lêem o texto somente quando
empacam em algum exercício. Sugiro que leia e tente compreender uma seção do texto
antes de começar os exercícios. Em particular, você deve examinar as definições para
entender o significado exato dos termos. E antes de ler cada exemplo, sugiro que você
cubra a solução e tente resolver o problema por seus próprios meios. Fazendo isto,
você aprenderá muito mais do que simplesmente olhando para a solução.
Parte dâ meta deste curso é treiná-lo a pensar logicamente. Aprender a escrever a
solução dos exercícios de uma forma conexa, passo a passo e com sentenças explicativas -
e não uma fileira de equações desconexas ou fórmulas.
As respostas dos exercícios de número ímpar estão no fim do livro. Alguns deles pedem
uma explicação verbal, uma interpretação ou uma descrição. Em tais casos, não existe uma
maneira única de dar a resposta; logo, não se preocupe em obter a resposta definitiva. Além
disso, há várias formas de expressar uma resposta numérica ou algébrica; assim, se sua
resposta for diferente da minha, não conclua imediatamente que a sua está errada. Por
exemplo, se a resposta dada no fim do livro for /2 - I e você obtiver !/(I + /2), então
você está certo, e racionalizando o denominador veremos que as respostas são iguais.
O ícone li indica que definitivamente um exercício requer o uso de uma calculadora
gráfica ou um computador com software gráfico. (A Seção 1.4 do Volume I discute o uso
desses recursos e de algumas falhas que você poderá encontrar.) Porém, isso não significa
que recursos gráficos não possam ser usados para verificar seu trabalho em outros exercícios.
O símbolo está reservado para problemas em que se faz necessário o uso de um
sistema algébrico computacional (como Derive, Maple, Mathematica ou TI 89-92). Você
vai encontrar também o símbolo [I_, que o adverte sobre a possibilidade de cometer um
erro. Esse símbolo aparece em situações nas quais observei que um grande número de
estudantes tende a cometer o mesmo erro.
O cálculo- muito justamente- é considerado um dos maiores feitos do intelecto humano.
Espero que você descubra que ele não é somente útil, mas também intrinsecamente belo.
JAMES STEWART

xviii O CÁLCULO
Editora Thomson
Erros de Aproximação"
Se x' for uma aproximação para x, então:
E=lx-x'l
O número E é chamado de erro absoluto na aproximação.
~~ Se I x - x' l :::; 1 o~p, então x' aproxima x com um erro de no máximo 1 o-P.
• Se I x- x' I:$ 5.10-p, então x' aproxima x até a (p + 1)-ésima casa decimal, ou até o
1/(!0Y'' mais próximo.
Exemplos:
• Se l x- x' l :$ 0,5, então x' aproxima x até o inteiro mais próximo.
• Se I x- x' I:$ 0,005, então x' aproxima x até a segunda casa decimal, ou até o centésimo
mais próximo.
Além disso, se x' aproxima x até a (p + 1)-ésima casa decimal, dizemos que a
aproximação x' é correta até a (p + 1)-ésima casa decimal, ou que a aproximação x'
tem (p + 1) casas decimais de precisão.
Arredondamento'
Dado um número racional a 1 a2a 3 a 4 ... am b 1 b2b 3 ... bmbm+l> então arredondamos param
casas decimais de acordo com a regra:
• Se 5 :$ bm+J :$ 9, então o número fica a 1 aza3.-·am b1b2b3 ... [(bm) + 1].
• Se O:$ bm+I :$ 4, então o número fica a 1 a 2 a3 ... am b 1 hzb3---bm.
A expressão "usado correto até determinada casa decimal" implica que, se a correção
for, por exemplo, até a décima casa decimal, o erro começará na décima primeira casa
decimal.
Exemplos:
• 1,41 < j2 < 1,42; 1,4 correta com uma casa decimal.
• 1,414 < [2 < 1,415; 1,41 correta com duas casas decimais.
*Nota do tradutor.

~
CALCULO
Volume 11

9
Equações
Diferenciais
Pela análíse de pares de equações
diferenciais, podemos entender
melhor os ciclos populacionais de
predadores e presas, tais como o
lince canadense e a lebre da neve.

Talvez a aplicação mais importante do cálculo sejam as equações diferenciais.
Quando os físicos ou cientistas sociais usam o cálculo, em geral o fazem para
analisar uma equação diferencia! surgida no processo de modelagem de algum
fenômeno que eles estão estudando. Embora seja freqüentemente impossível
encontrar uma fórmula explícita para a solução de uma equação diferencial, veremos
que as aproximações gráficas e numéricas fornecem a informação necessária.
Modelagem com Equações Diferenciais
-- Agora é uma boa hora para ler (ou
reler) a d1scussao sobre o modelo
matemático da pág'1na 25 do Volume L
Na descrição do processo de modelagem na Seção 1.2 (Volume I) falamos a respeito da
formulação de um modelo matemático de um problema real através de raciocínio intuitivo
sobre o fenômeno ou por meio de uma lei física baseada em evidência experimentaL O modelo
matemático freqüentemente tem o formato de uma equação diferencial, isto é, uma
equação que contém uma função desconhecida e algumas de suas derivadas. Isso não surpreende,
porque em um problema real normalmente notamos que as mudanças ocorrem e
queremos predizer o comportamento futuro com base na maneira corno os valores presentes
variam. Vamos começar examinando vários exemplos de como as equações diferenciais
aparecem quando modelamos um fenômeno físico.
Modelos de Crescimento Populacional
Um modelo para o crescimento de uma população baseia-se na premissa de que uma população
cresce a uma taxa proporcional ao tamanho da população. É razoável presumir
isso para uma população de bactérias ou animais em condições ideais (meio ambiente
ilimitado, nutrição adequada, ausência de predadores, imunidade a doenças).
Vamos identificar e denominar as variáveis nesse modelo:
t =tempo
(a variável independente)
P = número de indivíduos da população (a variável dependente)
A taxa de crescimento da população é a derivada dP / dt. Assim, nossa premissa de que a
taxa de crescimento da população é proporcional ao tamanho da população é escrita como
a equação
dP
-=kP
dt
onde k é a constante de proporcionalidade. A Equação 1 é nosso primeiro modelo para o
crescimento populacional; é uma equação diferencial porque contém uma função desconhecida
P e sua derivada dP/dt.
Tendo formulado um modelo, vamos olhar para suas conseqüências. Se desconsiderannos
uma população nula, então P(t) > O para todo t. Dessa forma, se k > O, então a
Equação I mostra que P'(t) > O para todo t. Isso significa que a população está sempre
aumentando. De fato, quando P(t) aumenta, a Equação I mostra que dP/ dt torna-se maior.
Em outras palavras, a taxa de crescimento aumenta quando a população cresce.
583

584 o CÁlCULO Editora Thomson
-------- - - __ ,
FIGURA 1
//
p. ... · /
A família de soluções de dP/dt = kP
o
FIGURA 2
A fanu1ia de soluções de P(t) = Cekr
cornC>Oet~O
FIGURA 3
Soluções da equação logística
/
soluções de
equilíbrio
Vamos tentar pensar em uma solução para a Equação 1. Essa equação nos pede para
achar uma função cuja derivada é um múltiplo constante dela mesma. Sabemos que as
funções exponenciais têm essa propriedade. De fato, se fizennos P(t) = Cek 1 , então
P'(t) ~ C(ke'') ~ k(Ce'') ~ kP(t)
Portanto, qualquer função exponencial da forma P(t) ~ Ce'' é urna solução da Equação
l. Quando estudarmos essa equação em detalhes na Seção 9.4, veremos que não existe
outra solução.
Se f1zermos C variar em todos os números reais, obtemos urna família de soluções
P(t) ~ Ce'' cujos gráficos são mostrados na Figura l. Mas as populações têm apenas valores
positivos e assim estamos interessados somente nas soluções com C > O. E estamos
provavelmente preocupados com valores de t maiores que o tempo inicial t = O. A Figura
2 mostra as soluções com significado físico. Fazendo t ~ O, temos P(O) ~ Ce'WJ ~ C;
logo, a constante C torna-se a população inicial, P(O).
A Equação I é apropriada para a modelagem do crescimento populacional sob
condições ideais, mas devemos reconhecer que um modelo mais realístico deve refletir o
fato de que um dado ambiente tem recursos limitados. Muitas populações começam
crescendo exponencialmente, porém o nível da população estabiliza quando ela se aproxima
sua capacidade de suporte K (ou diminui em direção a K se ela excede o valor de K).
Para um modelo considerar ambos os casos, estabelecemos duas premissas:
dP
• - = kP se P for pequeno (inicialmente a taxa de crescimento é proporcional a P).
dt
dP
• - < O se P > K (P diminui se excede K).
dt
Uma expressão simples que incorpora ambas as premissas é dada pela equação
dP ~ kP(l - !_)
dt
K
Note que, se Pé pequeno quando comparado com K, então P/K está próximo de O e, portanto,
dP/dt = kP. Se P > K, daí I - P/K é negativo e assim dP/dt O e a população aumenta. Se a população ultrapassa a capacidade
de suporte (P > K), então l - P/K é negativo; assim dP/dt K), então dP/dt-> O, o que significa que a população estabiliza. Dessa forma,
esperamos que as soluções da equação diferencial logística tenham gráficos que se
pareçam com aqueles da Figura 3. Observe que os gráficos se distanciam da solução de
equi!Jbrio P ~ O e se aproximam da solução de equilíbrio P ~ K.

James Stewart CAPÍTUlO 9 EOUAÇÔES DIFERENCiAIS O 585
Um Modelo para o Movimento de uma Mola
posição de
equilíbrio
Vamos olhar agora para um modelo físico. Considenunos o movimento de um objeto com
massa m na extremidade de uma mola vertical (como na Figura 4). Na Seção 6.4 do Volume
I discutimos a Lei de Hooke, que diz que, se urna mola for esticada (ou comprimida) x
unidades a partir de seu tamanho natural, então ela exerce urna força que é proporcional a x:
força elástica = -kr:
FIGURA 4
onde k é uma constante positiva (chamada constante da mola). Se ignorarmos qualquer
força externa de resistência (devido à resistência do ar ou ao atrito), então, pela segunda
Lei de Newton (força é igual à massa vezes a aceleração), temos
d 2 x
m-d 1
r
=-kx
Esse é um exemplo do que chamamos equação diferencial de segunda ordem, porque
envolve as derivadas segundas. Vamos ver o que podemos deduzir da solução diretamente
da equação. Podemos reescrever a Equação 3 na forma
k
--x
m
que diz que a derivada segunda de x é proporcional a x, mas tem o sinal oposto.
Conhecemos duas funções com essa propriedade, as funções seno e co-seno. De fato, todas
as soluções da Equação 3 podem ser escritas como combinações de certas funções seno e
co-seno (veja o Exercício 3). Isso não é surpreendente; esperamos que a mola oscile ao
redor de sua posição de equilíbrio e, assim, é natural pensar que funções trigonométricas
estejam envolvidas.
Equações Diferenciais Gerais
Em geral, uma equação diferencial é aquela que contém uma função desconhecida e uma ou
mais de suas derivadas. A ordem de uma equação diferencial é a mesma da derivada mais alta
que ocorre na equação. Dessa maneira, as Equações 1 e 2 são as de primeira ordem e a Equação
3 é uma de segunda ordem. Em todas as três equações, a variável independente é chamada t e
representa o tempo, mas, em geral, a variável independente não precisa representar o tempo.
Por exemplo, quando consideramos a equação diferencial
y' =xy
entendemos que y seja a função desconhecida de x.
Uma função f é denominada solução de uma equação diferencial se a equação é satisfeita
quando y ~ f(x) e suas derivadas são substituídas na equação. Assím,Jé uma solução
da Equação 4 se
f'(x) ~ xf(x)
para todos os valores de x em algum intervalo.

586 c CÁLCULO Editora Thomson
Quando nos pedem para resolver uma equação diferencial, espera-se que encontremos
todas as soluções possíveis da equação. Já resolvemos algumas equações diferenciais par~
ticularmente simples; a saber, aquelas da forma
y' ~ f(x)
Por exemplo, sabemos que a solução geral da equação diferencial
é dada por
x4
y~-+ c
4
onde C é uma constante arbitrária.
Mas, em geral, resolver uma equação diferencial não é uma tarefa fáciL Não existe uma
técnica sistemática que nos pennita resolver todas as equações diferencias. Na Seção 9.2, contudo,
veremos como esboçar os gráficos das soluções mesmo quando não temos uma fónnula
explícita. Também aprenderemos como achar as aproximações numéricas para as soluções.
Mostre que todo membro da fanu1ia de funções
y~
1 - cer
é uma solução da equação diferencial y' ~ j(y 2 - 1).
SOLUÇÃO Usamos a Regra do Quociente para diferenciar a expressão em relação a y:
y' ~ _,_(1:...._-_:c.:..e'_,_)("-ce:.._':_) ---'("-1_,+,--c::.;.e_:')..o..( -_c::.:e-'-')
(1 - ce') 2
cer- c 2 e 21 + ce 1 + c 2 e 21
(l - ce') 2
(1
O lado direito da equação diferencial toma-se
! 2 _
1 ~_1_[(1 +ce')' -l] ~_1_[(1 +ce')'-(1_-ce')']
•(y ) 2 1 - ce' 2 (1 - ce')"
4ce' 2ce'
2 (1 - (l - ce') 2
Portanto, para todo valor de c, a função dada é uma solução da equação diferencial.

James Stewart CAPÍTULO 9 EOUAÇÓES DIFERENCIAIS U 587
A Figura 5 ilustra os gráfiCOS de sete
membros da tamília do Exemplo 1
A equaçao diferencml mostra que
se y =-::i, então y' -"'o_ Isso é
apresentado visivelmente pelo
achatamento dos gráficos próximo
dey= J ey= ~1.
5
I
Quando aplicamos as equações diferenciais, geralmente não estamos tão interessados
em encontrar uma família de soluções (a solução geral) quanto em encontrar uma
solução que satisfaça algumas condições adicionais. Em muitos problemas físicos precisamos
encontrar uma solução particular que satisfaça uma condição do tipo
y(to) = yo. Esta é chamada condição inicial, e o problema de achar uma solução
da equação diferencial que satisfaça a condição inicial é denominado problema de
valor inicial.
Geometricamente, quando impomos uma condição inicial, olhamos para uma
família de curvas-solução e escolhemos uma que passe pelo ponto (to, y 0 ). Fisicamente,
isso corresponde à medida do estado de um sistema a um tempo to e ao uso da solução
do problema de valor inicial para prever o comportamento futuro do sistema.
DttMPUJ 2 --· Encontre uma solução da equação diferencial y' = ~(y 2 - 1) que satisfaça
a condição inicial y(O) = 2.
FIGURA 5
SOLUÇÃO Substituindo os valores t = O e y = 2 na fórmula
1 + ce'
y=---
1 - ce 1
do Exemplo I, obtemos
2=
I + c
l -c
Resolvendo essa equação para c, temos 2 - 2c = 1
solução do problema de valor inicial é
l
+ c, o que fornece c = 3. Assim, a
1 + ~e'
y = 1 - }e 1
Exercícios
1. Mostre que y = x - x- 1 é uma solução da equação diferencial
xy' + y=2x.
2. Verifique que y = sen x cos x - cos x é uma solução para o
problema de valor inicial
y' + (tg x) y = cos 2 .x y(O) ~ -l
no intervalo -
7r/2 < x < TC/2.
}3.'2 (a) Para quais valores não-nulos de k a função y = sen kt
satisfaz a equação diferencial y" + 9y = O
(b) Para aqueles valores de k, verifique que todo membro da
família de funções
é também uma solução.
y =A senkt+Bcoskt
4. Para quais valores de r a função y = e'' satisfaz a equação
diferencial y" + y' - 6y = O

588 c CÁlCUlO Editora Thomson
!i Quais das seguintes funções são soluções da equação
diferencial y" + 2y' + y =O
(a) y ~ e'
(c) y ~te~'
(b) y ~e'
(d) y ~ t 2 e
6. (a) Mostre que cada membro da família de funções
y = Cex~f2 é uma solução para a equação
diferencial :v' = xy.
(b) Ilustre a parte (a) plotando vários membros da fanu1ia de
soluções na mesma tela.
(c) Encontre a solução da equação diferencial y' = xy que
satisfaça a condição inicial y(O) = 5.
(d) Encontre a solução da equação diferencial y' = xy que
satisfaça a condição inicial y( l) = 2.
'7.:· (a) O que você pode dizer da solução da equação y' = -y 2
apenas olhando a equação diferencial
(b) Verifique que todos os membros da família
y = l/(x + C) são soluções da equação na parte (a).
(c) Você pode pensar em uma solução da equação diferencial
y' = que não seja membro da família na parte (b)
(d) Encontre uma solução para o problema de valor inicial
y (0) ~ 0,5
8. (a) O que você pode dizer sobre o gráfico de uma solução da
equação y' = xy 3 quando x está próximo de O E se x for
grande
(b) Verifique que todos os membros da família
y = (c - x 1 ) - 112 são soluções da equação diferencial
y' = xy3.
(c) Plote vários membros da família de soluções na mesma
tela. Os gráficos confirmam o que você predisse na
parte (a)
(d) Encontre uma solução para o problema de valor inicial
y(O) ~ 2
Uma população é modelada pela equação diferencial
dP ~ 1,2(1 - _P_)
dt 4.200
(a) Para quais valores de P a população está aumentando
(b) Para quais valores de P a população está diminuindo
(c) Quais são as soluções de equilíbrio
10. A função y(t) satisfaz a equação diferencial
dy ' - -
- ~ y - 6y' + Sy'
dt
(a) Quais são as soluções constantes da equação
(b) Para quais valores de y a função está aumentando
(c) Para quais valores de y a função está diminuindo
Explique por que as funções cujos gráficos são dados
a seguir não podem ser soluções da equação diferencial
dy
- ~ e'(y- I)'
dt
(a) Y l
I
It;
I /\
/{ I
' f
/'
;I
12. A função, cujo gráfico é dado a seguir, é uma solução de uma
das seguintes equações diferenciais. Decida qual é a equação
correta e justifique sua resposta.
(a)y' =I +xy
(b) y' = -2 xy
(c) y' = I - 2 xy
{*1.3: Os psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam
as curvas de aprendizado. Uma curva de aprendizado é o
gráfico de uma função P(t), o desempenho de alguém
aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de
treinamento t. A derivada dP/ dt representa a taxa na qual
o desempenho melhora.
(a) Quando você acha que P aumenta mais rapidamente O
que acontece a dP/ dt quando t aumenta Explique.
(b) SeM é o nível máximo de desempenho do qual o aprendiz
é capaz, explique a razão pela qual a equação diferencial
dP
dt ~ k(M- P)
k uma constante positiva
é um modelo razoável para o aprendizado.
(c) Faça um esboço de uma possível solução para a equação
diferencial.
14. Suponha que você tenha acabado de servir uma xícara de café
recém~coado com uma temperatura de 95 °C em uma sala
onde a temperatura é de 20 °C.
(a) Quando você acha que o café esfria mais rapidamente O
que acontece com a taxa de resfriamento com o passar do
tempo Explique.
(b) A Lei de Newton do Resfriamento estabelece que a taxa de
resfriamento de um objeto é proporcional à diferença de
temperatura entre o objeto e sua vizinhança, desde que essa
diferença não seja muito grande. Escreva uma equação
diferencial para expressar a Lei de Newton do Resfriamento
nessa situação particular. Qual a condição inicial Tendo em
vista sua resposta na parte (a), você acha que essa equação
diferencial é um modelo apropriado para o resfriamento
(c) Faça um esboço para o gráfico da solução do problema de
valor inicial na parte (b).

-------------------
James Stewart CAPÍTULO 9 EOUAÇÓES DIFEREtJCIAIS CJ 589
Infelizmente é impossível resolver a maioria das equações diferenciais no sentido de obter
uma fórmula explícita para a solução. Nesta seção, mostraremos que, mesmo sem uma
solução explícita, podemos ainda aprender muito sobre uma solução através de uma abordagem
gráfica (campos de direção) ou de uma abordagem numérica (método de Euler)o
Campos de Direção
Suponha que nos peçam para esboçannos o gráfico da solução do problema de valor inicial
y' =X+ y y(O) ~ 1
Não conhecemos uma fórmula para a solução, então como é possível que esbocemos seus
gráficos Varnps pensar sobre o que uma equação diferencial significa. A equação
y' = x + y nos diz que a inclinação em qualquer ponto (x, y) no gráfico (chamado curvasolução)
é igual à sorna das coordenadas x e y no ponto (veja a Figura 1). Em particular,
como a curva passa pelo ponto (0, 1), sua inclinação ali deve ser O + 1 = 1. Assim, uma
pequena porção da curva de solução próximo ao ponto (0, 1) parece um segmento de reta
curto através de (0, l) com inclinação 1 (veja a Figura 2)0
Yt
Inclinação em
l i //lnclinação em
(xl, Yd é 00 . (x2, ]2) é
' ~',/ x~ + v~.
X1 + Yt· ~
'
· ~
'l Inclmaçao em (0, l)
(0,11, é O+l~L
X
o
X
FIGURA 1
Uma solução de y' = x + y
FIGURA 2
Início da curva solução através de (0, 1)
Como um guia para esboçar o restante da curva, vamos desenhar pequenos segmentos
de reta em um número de pontos (x, y) com inclinação x + y. O resultado, denominado
campo de direções, é mostmdo na Figura 3o Por exemplo, o segmento de reta no ponto (I, 2)
tem inclinação 1 + 2 = 30 O campo de direções nos permite visualizar o formato geral das
curvas de solução pela indicação da direção na qual as curvas prosseguem em cada ponto.
FIGURA 3
FIGURA4
Campo de direções para y' = x + y A curva de solução através de (0, 1)
~"'----0~'-----
-----""'---

590 CÁLCULO
Editora Thomson
y
I I 2
I I ' I I
'
I ;- -/
í I - "'- "'--
i
FIGURA 5
-l o l
I I I I I
I I /-2 1 í I
' i
I
I
I - "'- "'-- I
! I /-'1 / I
í
JX
I
Agora podemos esboçar a curva de solução pelo ponto (0, 1) seguindo o campo de
direções como na Figura 4. Note que desenhamos a curva de modo a tomá-la paralela aos
segmentos de reta vizinhos.
Em geral, suponha uma equação diferencial de primeira ordem do tipo
y' = F(x, y)
onde F(x, y) é alguma expressão em x e y. A equação diferencial diz que a inclinação da
curva-solução no ponto (x, y) na curva é F(x, y). Se desenharmos pequenos segmentos de
reta com inclinação F(x, y) em vários pontos (x, y), o resultado será chamado campo de
direções (ou campo de inclinações). Esses segmentos de reta indicam a direção na qual
urna curva-solução está seguindo, assim o campo de direções nos ajuda a visualizar o formato
geral dessas curvas.
I
I
~i-tZ-+-~~~~~~~
- I
!/I
{l/--1 -/
I I I I I
/-2
' i
FIGURA 6
I
'
EXEMPlO
(a) Esboce o campo de direções para a equação diferencial y' ~ x' + y 2 -
(b) Use a parte (a) para esboçar a curva-solução que passa pela origem.
SOLUÇÃO
(a) Podemos começar calculando a inclinação em vários pontos na seguinte tabela:
L
Agora podemos desenhar pequenos segmentos de reta com essas inclinações nesses
pontos. O resultado é o campo de direções mostrado na Figura 5.
(b) Podemos começar na origem e mover para a direita na direção do segmento de reta (que
tem inclinação -1). Continuamos a desenhar a curva-solução de maneira que ela se mova
paralela aos segmentos de reta próximos. A curva-solução resultante é exposta na Figura 6.
Voltando para a origem, desenhamos a curva-solução para a esquerda da mesma maneira
Quanto mais segmentos desenharmos no campo de direções, mais clara se tomará a
figura. É claro que é tedioso calcular as inclinações e desenhar segmentos de reta para um
número muito grande de pontos manualmente, mas os computadores são muito bons para
essa tarefa. A Fígura 7 apresenta um campo de direções mais detalhado, desenhado por um
computador, para a equação diferencial no Exemplo L Isso nos pennite desenhar, com
uma precisão razoável, as curvas-solução exibidas na Figura 8 com interceptas y iguais a
-2,-1,0, 1 e2.
'-,
I i! 1
3 3
{')"
! I I
í! I
'!I
'i I
FIGURA 7
FIGURA 8

James Stewart CAPÍTUlO 9 EQUAÇÕES DiFERENCiAiS 591
FIGURA 9
R
interruptor
L
Depois disso vamos ver como campos de direções dão uma compreensão das situações
físicas. O circuito elétrico simples, mostrado na Figura 9, contém uma força eletromotriz
(geralmente uma pilha ou gerador) que produz uma voltagem de E(t) volts (V) e uma corrente
de /(t) amperes (A) em um tempo t. O circuito também possui um resistor com
resistência de R ohms (Ü) e um indutor com indutância de L henrys (H).
A Lei de Ohm fornece a queda na voltagem devido ao resistor como Ri. A queda de
voltagem devido ao indutor é L(dl/dt). Uma das leis de Kirchhoff diz que a sorna das
quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida E(t). Então temos
di
L-+ RI~ E(t)
dt
que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente I no tempo t.
EXEMPLO 2 c: Suponha que no circuito simples da Figura 9 a resistência seja 12 ü, a
indutância de 4 H e a pilha forneça uma voltagem constante de 60 V.
(a) Desenhe um campo de direções para a Equação I com esses valores.
(b) O que você pode dizer sobre o valor limitante da corrente
(c) Identifique quaisquer soluções de equilíbrio.
( d) Se o interruptor for fechado quando t = O de forma que a corrente comece com
/(O) ~ O, use o campo de direções para esboçar a curva solução.
SOLUÇÃO
(a) Se fizermos L~ 4, R~ 12 e E(t) ~ 60 na Equação I, obteremos
di
4- + l2I~ 60
dt
ou
dl - 3
- ~ J)- I
dt
O campo de direções para essa equação diferencial é mostrado na Figura 100
:t
\
2
\ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \
...._ ...._ ...._ ...._ ...._ ...._ ...._ ...._ ...._ ...._ ...._ ...._
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
/ / / / / / / / / / /
/ I
/ I I
I
J
FIGURA 10
OI 2 3 t
I
(b) Do campo de direções pareee que todas as soluções se aproximam do valor 5 A, isto é.
lim I(t) ~ 5
,~c
(c) Parece que a função constante I(t) ~ 5 é uma solução de equilíbrio. De fato,
podemos verificar isso diretamente da equação diferencial. Se I(t) ~ 5, então o lado
esquerdo é di/ dt ~ O e o lado direito é 15 - 3(5) ~ O.

592 CJ CÁLCULO Editora Thomson
(d) Usamos o campo de direções para esboçar a curva-solução que passa por (0, 0),
como indicado na Figura 11.
lj
-~
4, /
{
', ', ',
~ ~ ~ ~ ~
~ / / / /
,__
--
~
/ / / fi / /
"'
~
--
-,
2
FIGURA, 11
OI
'I 2 3
{
Note que na Figura 10 os segmentos de reta ao longo de qualquer reta horizontal são
paralelos. Isso ocorre porque a variável independente t não aparece do lado direito da
equação I' ~ 15 - 3[, Em geral, uma equação diferencial do tipo
y' ~ f(y)
em que a variável independente não aparece do lado direito, é chamada autônoma. Para
tal equação, as inclinações correspondentes a dois pontos diferentes com a mesma coordenada
y devem ser iguais. Isso significa que, se conhecermos uma solução para uma
equação diferencial autônoma, então poderemos obter infinitas outras apenas pelo deslocamento
do gráfico da solução conhecida para a esquerda ou para a direita. Na Figura 11,
mostramos as soluções que resultam do deslocamento da curva-solução do Exemplo 2,
uma ou duas unidades em segundos para·a direita. Elas correspondem ao fechamento do
interruptor quando t = l ou t = 2,
Método de Euler
curva solução
0! X
FIGURA 12
Primeira aproximação de Euler
A idéia básica por trás dos campos de direções pode ser usada para encontrar aproximações
numéricas para as soluções das equações diferenciais. Ilustramos o método no
problema de valor inicial que utilizamos para introduzir os campos de direções:
y' ~ x + y y(O) = 1
A equação diferencial nos conta que y'(O) ~O + 1 = 1; dessa forma, a curva-solução tem
inclinação 1 no ponto (0, 1), Como uma primeira aproximação para a solução, poderiarnos
usar uma aproximação linear L(x) ~ x + L Em outras palavras, poderíamos usar a reta tangente
em (0, 1) como uma aproximação grosseira para a curva-solução (veja a Figura 12),
A idéia de Euler era melhorar essa aproximação prosseguindo apenas uma pequena distância
ao longo da reta tangente e, então, fazer uma correção no meio do caminho, mudando
a direção, como indicado pelo campo de direções. A Figura 13 mostra o que acontece se
começamos ao longo da reta tangente, mas paramos quando x ~ 0,5, (Essa distância horizontal
percorrida é denominada passo,) Como L(0,5) ~ 1,5, temos y(0,5) = 1,5 e
tomamos (0,5, l ,5) como o ponto de partida para um novo segmento de reta, A equação
diferencial nos diz que y'(0,5) ~ 0,5 + 1,5 ~ 2, assim, usamos a função linear
y ~ 1,5 + 2(x - 0,5) ~ 2x + 0,5
como uma aproximação para a solução para x > 0,5 (veja o segmento azul na Figura 13),
Se diminuirmos o passo de 0,5 para 0,25, obteremos uma aproximação de Euler melhor
(veja a Figura 14),

James Stewart CAPÍTUlO 9 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 593
yl ~/
I /
I /
l /~~
I ~~~,_,~- I
oi
I I 1,5
FIGURA 13
1
os
/f,/
X
yj
FIGURA 14
Aproximação de Euler com o passo 0,5 Aproximação de Euler com o passo 0,25
0,25
J
Em geral, o método de Euler diz para começannos no ponto dado pelo valor inicial c
prosseguirmos na direção indicada pelo campo de direções. Pare após um pequeno espaço
de tempo, olhe para a inclinação na nova localização e prossiga naquela direção. Continue
parando e mudando de direção de acordo com o campo de direções. O método de Euler não
produz a solução exata para um problema de valor inicial. I\1as, pela diminuíção do passo
(e, portanto, aumentando o número de correções no meio do caminho), obtemos sucessivamente
melhores aproximações para a solução exata. (Compare as Figuras 12, 13 e 14.)
Para o problema de valor inicial de primeira ordem geral y' ~ F(x, y), y(x 0 ) ~ yo,
nosso objetivo é encontrar valores aproximados para a solução em números igualmente
espaçados x 0 , x 1 = x 0 + h, x 2 = x 1 + h, ... , onde h é o passo. A equação diferencial nos
conta que a inclinação em (xo, Yo) é y' = F(xo, yo), assim a Figura 15 nos mostra que o
valor aproximado para a solução quando x = x1 é
Y> ~ Yo + hF(xo, Yo)
Sirnilannente,
y 2 = y 1 + hF(x,, y,)
FIGURA 15
Em geral,
EXEMPUl 3 - Use o método de Euler com o passo 0,1 para construir uma tabela de
valores aproximados para a solução do problema de valor inicial
y'=x+y y(O) = I
SOLUÇÃO Nos é dado que h= 0,1, x 0 =O, y 0 = I e F(x, y) ~ x + y. Desse modo, temos
y, ~ Yo + hF(xo, Yo) = I + 0,!(0 + I) = 1,1
y, ~ y, + hF(x,, y,) = 1,1 + 0,1(0,1 + 1,1) ~ 1,22
Y2 ~ y, + hF(x,, y,) ~ 1,22 + 0,1(0,2 + 1,22) = 1,362
Isso significa que, se y(x) é a solução exata, então y(0,3) = 1,362.
Prosseguindo com cálculos similares, temos os valores na tabela:
lí
n I '
x, I
y, li
n .:r" I
:v,,
l O,l l.lOOOOO 6 0.6 I
li
1,943122
2 0,2 1,220000 li 7 0,7 2,197434
I
\'i
3 0,3 !,362000 8 0,8 2,487178
4 0,4
5 0,5 1,721020 lO 1,0
li
I 3,187485
I 1,528200 li
9 0,9 2,8!5895

594 o CÁLCULO Editora Thomson
Para uma tabela com valores mais precisos no Exemplo 3, poderíamos diminuir o
tamanho do passo. Contudo, para um número grande de pequenos passos a quantidade de
cálculos é considerável e, assim, precisamos programar uma calculadora ou um computador
para fazer os cálculos. A seguinte tabela mostra os resultados da aplicação do método de
Euler com diminuição do tamanho do passo para o problema de valor inicial do Exemplo 3.
_ Pacotes computacionais que
produzem aproximações numéricas
para as soluções de equações
diferenciais usam métodos que são
refinamentos do método de Euler
Embora o método de Euler seja
simples, ele não é preciso, mas é a
idéia básica na qua! os métodos mais
precisos se baseiam.
0.500
0,250
O. JOO
0,050
0,020
O,OJO
0,005
0.001_
Estimativa de Euler paru .Y {\ 51
1 ,5000(){}
\,625000
721020
l ,7577/:!,9
Lnt212
l

James Stewart CAPÍTUlO 9 EQUAÇÕES DIFEREI-..JCIAIS C' 595
h 2,55 + O,l(l5 - 3 · 2,55) ~ 3,285
!, 3,285 + 0,!(!5- 3, 3,285) ~ 3,7995
! 5 ~ 3,7995 + 0,1(15 - 3 · 3,7995) 4,15965
Assim a corrente após 0,5 s é
/(0,5) = 4,16 A
'lllf2 Exercícios
1. Um campo de direções para a equação diferencial
y' ~ y( 1 - h') é mostrado.
(a) Esboce os gráficos das soluções que satisfazem as
condições iniciais dadas.
(i) y(O) ~ I
(iii) y(O) ~ -3
(ii) y(O) ~ - I
(iv) y(O) ~ 3
(b) Ache todas as equações de equilíbrio.
\ ~~ \ \ I \ \ \ I \ I \ \ < \ \ \ \ \
,,,,,,,,, '' ,,,,,,
////~~~~; ~~~~~////
//////// //////'//
////////,..-1 /////////
,,,f,,,,
,,,,,,,,~ ·'''''''''
,,,,,,,,, ,,,,,,,,,
/////. ~/. ~;~/;::.~.~~~~
r i I ! ! i i ! I I / I I
I I I ! 1-/3 i I f 1 ! ! i i
2. Um campo de direções para a equação diferencial
y' = x sen y é mostrado.
(a) Esboce os gráficos das soluções que satisfazem as
condições iniciais dadas.
(i) y(O) ~ 1 (ii) y(O) ~ 2 (iii) y(O) = 1r
(iv) y(O) = 4 (v) y(O) = 5
(b) Ache todas as soluções de equilíbrio.
YJ
il///--5 ~'..'\\\
/(///- ~'-.\\\
i/////"-'-.'\\\
/////-4, ~-...·,, \
::~~~~~;1"~~~~~/::
'""'- -///
\ ' \ ' ~ - / / /
..
>\'.'~2T_/
i
~~;~~~t~~~~////
-3 -I X
3~5 Ligue a equação diferencial a seu campo de direções (I-IV).
Dê as razões para sua resposta.
3. y' = y- I
5. y' = Y2 - x2
yl
2 ' ' i
i i i I I I' '
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6. y' = J} x3
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I \ \ I I \ \ \ \ I \ \ \ I I I
\\i I\\\\ \I\ i\\
I I I I\\ -\-2 I I I I I\ I I
1. Use o campo de direções I (para os Exercícios 3-6) para
esboçar os gráficos das soluções que satisfazem as condições
iniciais dadas.
(a) y(O) ~ l (b) y(O) ~O (c) y(O) = -!
8. Repita o Exercício 7 para o campo de direções III.
9-10 :::J Esboce o campo de direções para a equação diferenciaL
Use-o para esboçar três curvas-solução.
9. y' = 1 + y
11-14 :::; Esboce o campo de direções das equações diferenciais
dadas. Use-os para esboçar a curva-solução que passa pelo
ponto dado.

596 u CÁLCULO Editora Thomson
11. y' ~ y ~ 2x (1, 0)
13. y' ~ y + X\' (0. I)
12. y' l ~ xy (0, 0)
14. y' ~x~xy (!,0)
15-·-,t; Use um sistema algébrico computacional para desenhar
um campo de direções para a equação diferencial dada. Obtenha
uma impressão e esboce uma curva-solução que passe por (0, 1 ).
Use o CAS para desenhar a curva-solução e compare o
resultado com seu esboço.
15. y' = y sen 2x 16. ~v' = sen(x + y)
17. Use um sistema a!gébríco computacional para desenhar um
campo de direções para a equação diferencial y' = y 3 - 4y.
Obtenha uma impressão e esboce as soluções que satisfazem a
condição inicial y(O) = c para os diversos valores de c. Para
quais valores de c o limite lim, .-x y(t) existe Quais são os
possíveis valores para esse limíte
18. Faça o esboço de um campo de direções para a equação
diferencial autônoma y' = j(y), onde o gráfico de f é como o
exibido. Corno o componamento-linüte das soluções depende
do valor de y(O)
19; (a)
(b)
(c)
j[y)
-2 y
Use o método de Euler com cada um dos passos dados
para estimar o valor de y(0,4), onde y é a solução do
problema de valor inicial y' = y, y(O) = L
(i) h~ 0,4 (ii) h~ 0,2 (iii) h~ 0,1
Sabemos que a solução exata do problema de valor inicial
na parte (a) é y = e". Desenhe, o mais preciso que você
puder, o gráfico de y = e"', O -::s:; x .:::::::; 0,4, junto com as
aproximações de Euler usando os passos da parte (a).
(Seus esboços devem se parecer com as Figuras 12, 13 e
14.) Use seus esboços para decidir se suas estimativas na
parte (a) estão abaixo ou acima.
O erro no método de Euler é a diferença entre o valor
exato e o valor aproximado. Calcule os erros na parte (a)
usando o método de Euler para estimar o verdadeíro valor
de y(O, 4); a saber, eü,4. O que acontece com o erro cada
vez que o passo cai pela metade
20. Um campo de direções para uma equação diferencial é
apresentado. Desenhe, com uma régua, os gráficos das
aproximações de Euler para a curva-solução que passa
peJa origem. Use os passos h= 1 e h= 0,5. As estimativas
de Euler estarão acima ou abaixo Explique.
21. Use o método de Euler com o passo 0,5 para calcular os
valoreS aproximados de y, )' 11 Y:·, .r·_, e Y~ para a solução do
problema de valor inicial y' = y - 2x, y(l) = O.
22. Use o método de Euler com o passo 0,2 para estimar y(l),
onde y(x) é a solução para o problema de valor inicial
y' ~ I ~ xy, y(O) ~ O.
23. Use o método de Euler com o passo O, I para estimar y(O, 5),
onde y(x) é a solução do problema de valor inicial
y'= y + xy, y(O) =L
24. (a) Use o método de Euler com o passo 0,2 para estimar
y(l, 4), onde y(x) é a solução do problema de valor inicial
y' ~ x ~ xy, y(J) = O.
(b) Repita a parte (a) com o passo O, L
25. (a)
(b)
(c)
26. (a)
Programe uma calculadora ou um computador para usar o
método de Euler para calcular y(l), onde y(x) é a solução
para o problema de valor inicial
(i) h ~ 1
(iii) h~ 0,01
y(O) ~ 3
(ii) h~O,l
(iv) h ~ 0,001
Verifique que y = 2 + e-x' é a solução exata da equação
diferencial.
Encontre os erros ao usar o método de Euler para calcular
y(l) com os passos da parte (a). O que acontece com o erro
quando o passo é dividido por 10
Programe seu sistema algébrico computacional usando o
método de Euler com o passo 0,01 para calcular y(2), onde
y é a solução do problema de valor inicial
y(O) ~ l
(b) Verifique seu trabalho usando o CAS para desenhar a
curva-solução.
27. A figura mostra um circuito contendo uma força eletromotriz,
um capacitor com capacitância de C farads (F) e um resistor
com resistência de R ohms ( fl ). A queda de voltagem no

James Stewart CAPÍTUlO 9 EQUAÇÕES DIFERENCIAiS 597
capacitor é Q!C, onde Q é a carga (em coulombs);
nesse caso a Lei de Kirchhoff fornece
Mas f= dQ/dt, assim temos
RI+Q~E(t)
c
dO I
R~+~O~E(t)
dt c-
Suponha que a resistência seja 5 [l, a capacitância seja 0,05 F
e a pilha forneça uma voltagern constante de 60 V.
(a) Desenhe um campo de direções para essa equação diferenciaL
(b) Qual é o valor-limite da carga
c
(c) Existe uma solução de equílíhrio'
(d) Se a carga inicial for Q(O) = O C, use o campo de dircçôcs
para esboçar a curva-solução.
(e) Se a carga inicia! for Q(O) =O C, use o método de
Euler com o passo O, 1 para estímar a carga depois
de meio segundo.
28. No Exercício 14 na Seção 9.1 consideramos uma xícara de
café a 95 oc em uma sala com temperatura de 20 "C
Suponha que o café esfrie a uma taxa de 1 oc por minuto
quando sua temperatura for 70 oc.
(a) Como se toma a equação diferencial nesse caso
(b-) Desenhe um campo de direções e use-o para esboçar a
curva-solução para o problema de valor inicíaL
Qual é o valor-limite da temperatura
(c) Use o método de Euler com o passo h= 2 minutos para
estimar a temperatura do café após 10 minutos<
Equações Separáveis
Temos olhado para as equações diferenciais de primeira ordem a partir de um ponto de vista
geométrico (campos de direções) e a partir de um ponto de vista numérico (método de Euler).
E do ponto de vista simbólico Seria bom ter uma fórmula explícita para uma solução de uma
equação diferencial. Infelizmente ísso não é sempre possível. Mas, nesta seção, examinaremos
um tipo de equação diferencial que pode ser resolvida explicitamente.
Uma equação separável é aquela diferencial de primeira ordem na qual a expressão
para dy/dx pode ser fatorada como uma função de x vezes uma função de y. Em outras
palavras, pode ser escrita na forma
dy
- ~ g(x)f(y)
dx
O nome separável vem do fato de que a expressão do lado direito pode ser "separada" em
uma função de x e uma função de y. De modo equivalente, se f(y) yf O, podemos escrever
IIl
dy
dx
g(x)
h(y)
onde h(y) ~ 1/f(y). Para resolver essa equação a reescrevemos na forma diferencial
h(y) dy ~ g(x) dx
c A técnica para resolver as equaçóes
diferenciais separáveis foi primeiro
usada por James Bernoulli {em 1690)
para resolver um problema sobre
pêndulos e por Leibniz (em uma
carta para Huygens em 1691). John
Bernoulli explicou o método gerai em
um artigo publicado em 1694.
assim todos os y estão em um lado da equação e todos os x estão do outro lado. Então integramos
ambos os lados da equação:
f h(y) dy ~ r g(x) dx
. .
A Equação 2 define y implicitamente como uma função de x. Em alguns casos, poderemos
resolver para y em termos de x.

598 o CÁlCUlO Editora Thomson
A justificativa para o passo na Equação 2 vem da Regra de Substituição: se h e y
satisfazem (2), então
~ (I h(y) dy) = ~(I g(x) dr)
logo
e
-. d ( I • h(y) dy ) -· dr = g(x) .
dy • dx
dy
h(y)- = g(x)
dx
Portanto, a Equação 1 é satisfeita.
A Figura 1 ilustra o gráfico de vários
membros da tamilía de soluções da
equação diierenc·lal do Exemplo 1.
A soiução do problema com valor
iniciai da parte {b) é mostrada em azul.
dy
(a) Resolva a equação diferencial dx
l'
(b) Ache a solução dessa equação que satisfaça a condição inicial y(O) = 2.
SOLUÇÃO
(a) Escrevemos a equação em termos diferenciais e integramos os dois lados:
X
fldy = frdr
b,3 = jxJ +C
onde C é uma constante qualquer. (Poderíamos ter usado uma constante C1 no lado
esquerdo e outra constante C 2 no lado direito. Mas decidimos combiná-los em uma só
constante no lado direito. fazendo c= c, - c,.)
Resolvendo para y, obtemos
y = ~x 3
+ 3C
FIGURA 1
Poderíamos deixar a solução dessa maneira ou podemos escrevê-la na forma
onde K = 3C (Pois C é uma constante qualquer e assim será K)
(b) Se fizermos x =O na equação geral da g.arte (a), temos y(O) = '{K, Para satisfazer a
condição inicial y(O) = 2, devemos fazer ~K e assim temos K = 8.
Portanto, a solução do problema com valor inicial é
y = ~x' + 8
EXEMPLO 2
d
6 x 2
Resolva a equação diferencial dxy = _ _:::_:___
2y + cosy ·

James Stewart CAPÍTUlO 9 EQUAÇÕES DIFERENCIAiS U 599
_, AJguns sistemas algébricos
computacionais podem plotar as
curvas definidas por equações
implícitas. A Figura 2 mostra os
gráficos de vários membros da família
de soluções da equação diferencial no
Exemplo 12. Olhando as curvas da
esquerda para a direita, os vaiores
de C são 3, 2, 1, O, -1, -2 e -3
4
SOLUÇÃO
Escrevendo a equação em uma forma diferencial e integrando ambos os lados, temos
(2y + cos y) dy ~ 6x 2 dx
J (2y + cos y) dy = J 6x'dx
)' 2 + seny = 2x 3 +C
onde C é uma constante. A Equação 3 fornece uma solução geral implícita. Nesse
caso é impossível resolver a equação para expressar y explicitamente como uma
função de x.
EXEMPlO 3 Resolva a equação y' = x 1 y.
SOLUÇÃO Primeiro reescrevemos a equação usando a notação de Leibniz:
FIGURA 2
dy o
- =x-y
dx
Se y # O, podemos reescrevê-la em uma notação diferencial e integrá-la:
~ Se uma solução y é uma função que
satisfaça y(x) #- O para algum x,
ela provém de um teorema de
existência e unidade para soluções
de equações diferenciais em que
y(x) #-O para todo x.
• dy f "
J -. y
~
•
x"dx
x'
In IYI ~-+C
3
Essa equação define y implicitamente como uma função de x. Mas, nesse caso, podemos
resolver explicitamente para y, como a seguir
Assim
Notamos que a função y ~ O é também uma solução da equação diferencial dada. Dessa
forma, podemos escrever a solução geral na forma
onde A é uma constante arbitrária (A ~e c ou A= -e c ou A~ 0) .
A Figura 3 aponta o campo de
direções para a equaçáo diferencial do
Exemplo 3. Compare-o com a Figura 4,
na qual utilizamos a equaçáo y = Aex'n
para mostrar as soluções com valores
diferentes de A. Se usar os campos de
direções para esboçar as curvassolução
com as abcissas 5, 2, L -1 e
-2, você obterá as curvas da Figura 4.
.
i: ;;.----j-----/1
.'I/;,--~ --z_- -/.//
~~~~~===f===:~
"";_2'. ..... -
"'-!-- _Q!- - - -.l-
:~~~:=~0:1-=-==:
\\\\'.--...--4---...._-.,_
\ \'-.-~+----...\
\'.-- ---.....\
'"""i""''
\\---6 - ..... ',\
FiGURA 3 . FIGURA 4

600 L:J CÁLCUlO Editora Thomson
FIGURA 5
interruptor
EXEMPLO 4 Na Seção 9.2, modelamos a corrente l(t) no circuito elétrico mostrado na
Figura 5 pela equação diferencial
dl
L-+ RI~ E(t)
dt
'
Encontre uma expressão para a corrente em um circuito onde a resistência é 12 fl, a
indutância é 4 H, a pilha fornece uma voltagem constante de 60 V e o interruptor é
ligado quando t = O. Qual o valor-limite da corrente
SOLUÇÃO Com L~ 4, R~ 12 e E(t) ~ 60, a equação toma-se
dl
4-+ 12/~60
dt
ou
e o problema de valor inicial é
di
dt
15 - 3/
di
dt
15 - 31 /(O) ~ O
Reconhecemos essa equação como separável e a resolvemos da seguinte forma:
f
f
. dl ~ dt
' 15 - 31 •
-ilnll5- 311 ~t+ C
115 - 3/l ~ e- 3 I•+Cl
(15 - 31 r-' Oj
I= 5- ~Ae- 31
Como 1(0) ~O, temos 5 -
jA ~ O, assim A ~ 15 e a solução é
lJ A Figura 6 revela como a soluçao no
Exemplo 4 (a corrente) aproxima seu
valor-limite. A comparação com a
Figura 11 na Seção 9.2 mostra que
pudemos desenhar uma curva-solução
bem precisa a partir do campo de
direçôes.
6
I(t) ~ 5 - 5e- 1 '
A corrente-limite, em amperes, é
lim I(t) ~ lim (5 - 5e- 3 ') ~ 5 - 5 lim e- 3 '
/-'oCO f---'oOO [-->(;

James Stewart CAPiTUlO 9 EQU;J...CÕES DiFERENCIAIS 601
FIGURA 7
trajetória
ortogonal
Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas x = k .... /, onde k é
uma constante arbitrária.
SOLUÇÃO As curvas x = ky 2 formam uma família de parábolas cujo eixo de simetria é o
eixo x. A primeira etapa é encontrar uma equação diferencial única que é satisfeita por
todos os membros da fmm1ia. Se diferenciarmos .r= ky 2 , obteremos
dy
~2kydt
ou
dy ~­
dx 2ky
Essa é uma equação diferencial que depende de k, mas precisamos de uma equação que
seja válida para todos os valores k simultaneamente. Para eliminar k notamos que, da
equação geral da parábola dada x = ky 2 , temos k = x/i 2 , e assim a equação diferencial
pode ser escrita como
dy ~-~--
dx 2ky X
2-y
y2 ~
X
ou
dy
dx
2x
FIGURA 8
Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto (x, J') em uma das
parábolas é y' = y/(2x). Em uma trajetória ortogonal a inclinação da reta tangente deve
ser o inverso dessa inclinação. Portanto, as trajetórias ortogonais devem satisfazer a
equação diferencial
dy 2x
dt
y
Essa equação diferencial é separável e a resolvemos como segue:
X
2
~c
FIGURA 9
onde C é uma constante arbitrária positiva. Então as trajetórias ortogonais são a farru1ia
de elipses dada pela Equação 4 e esboçada na Figura 9.
As trajetórias ortogonais ocorrem em vários ramos da física. Por exemplo, em um
campo eletrostático, as linhas de força são ortogonais às linhas de potencial constante.
Também as linhas de fluxo em aerodinâmica são trajetórias ortogonais às curvas de velocidade
eqüipotenciais.
Problemas de Misturas
Um problema típico de mistura envolve um tanque de capacidade fixa preenchido com
urna solução completamente misturada de alguma substância (digamos, sal). A solução
de urna dada concentração entra no tanque a urna taxa fixa e a mistura, bem agitada, sai a

602 u CÁlCULO Editora Thomson
uma taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada. Se y(t) denota a quantidade de
substância no tanque no tempo t, então ~v'(t) é a taxa na qual a substância está sendo adicionada
menos a taxa na qual ela está sendo retirada. A descrição matemática da situação
freqüentemente leva a uma equação diferencial de primeira ordem separáveL Podemos usar
o mesmo tipo de raciocínio para modelar uma variedade de fenômenos: reações químicas,
descarga de poluentes em um lago, injeção de medicamentos na corrente sangüínea.
EXEMPLO 6 Um tanque contém 20 kg de sal dissolvido em 5.000 L de água. A água
salgada com 0,03 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25 Llmin. A solução
é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Qual a quantidade de sal que
permanece no tanque depois de meia hora
SOLUÇÃO Seja y(t) a quantidade de sal (em quilogramas) depois de t minutos. Nos foi
dado que y(O) ~ 20 e queremos encontrar y(30). Fazemos isso encontrando uma
equação diferencial que é satisfeita por y(t). Note que dy/ dt é a taxa de variação da
quantidade de sal, assim
dv .
-·- ~ (taxa de entrada) - (taxa de saída)
dt
onde (taxa de entrada) é a taxa na qual o sal entra no tanque e (taxa de saída) é a taxa na
qual o sal deixa o tanque. Temos
taxa de entrada ~ ( 0,03 {) ( 25 ~n )
kg
~0,75-.
mm
c_: A Figura 1 o mostra o gráfico da
função y(t) do Exemplo 6. Note que,
com o passar do tempo, a quantidade
de sal se aproxima de 150 kg.
Yt
i
150t----------
!OOj // ""~~
///
50/
oi 200
FIGURA 10
400
O tanque sempre contém 5.000 L de líquido, então a concentração no tempo t é
y(t)/5.000 (medida em quilogramas por litro). Como a água salgada sai a uma taxa
de 25 Llmin, obtemos
Então, da Equação 5, temos
taxa de saída ~ (_Bt:L kg) (zs _!::_)
5.000 L min
_dy ~ o 7 5 - _y(_t) ~ -=15::.::0-::c-:c:")"-''(é!...t)
dt ' 200 200
Resolvendo essa equação diferencial separável, obtemos
t
-In liSO- Yl ~-+C
200
Como y(O) ~ 20, temos -In 130 ~ C, logo
t
-In IJ50- Yl ~-- ln 130
200
y(t) kg
200 min
Portanto
1150 - y I ~ l30e-•f200

James Stewart CAPÍTULO 9 EQUAÇÕES DIFERENCAIS 603
Como y(t) é contínua, y(O) = 20 e o lado direito nunca é zero, deduzimos que
. 150- y(t) é sempre positiva. Então.ll50- vi~ !50- y e dai
y(t) ~ 150
130e ·~ t/20o
A quantidade de sal depois de 30 minutos é
y(30) ~ 150- l30e-W 200 = 38,1 kg
Exercícios
Resolva a equação diferencial.
dy ~L dy e2x
1. 2.
dx X dx 4y'
3. (x2 + l)y' = xy 4. y' =y 2 senx
du J +
5. (! + tg y) y = _\:_1 + l 6.
dr 1 +
dy te'
XV
7. 8. y' ~-·-
dt yy'l + y2 2 1ny
9.
du
-=2+2u + t +tu 10. dz + el-'-z
~o
dt
dt
-r;~ífl ~-; Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a
condição inicial dada.
11. dy ~ -~ y· + l y(l) ~ o
dx •
12.
dy ~
dx 1 +
COS X
y(O) ~ l
13. X COS X ~ (2y + e 3 Y)y', y(O) ~ 0
dP =
14. dt ~ ,;Pt, P(l) ~ 2
i\ll!,
du
dt
dy .
16. dt ~ te', y(l) ~ O
17. y' tg x = a + y, y(1T/3) ~a, O< x < 1T/2
18. xy' + y ~ y 2 , y(l) ~-I
19. Encontre uma equação da curva que satisfaça dy/dx = 4x 3 y e
cujo intercepto y é 7.
20. Determine uma equação da curva que passa pelo ponto ( 1, 1) e
cuja inclinação em (x, y) é y2jx 3 •
21. (a) Resolva a equação diferencial y' = 2.-t jl - j.
(b) Resolva o problema de valor inicial y' = 2x ~~ - /,
y (0) = O e faça um gráfico de solução. __
(c) O problema de valor inicial y' ~ 2x /I - y', y (0) ~ 2
tem solução Explique.
22. Resolva a equação e -yy' + cos x = O e plote vários membros
da família de soluções. Como a curva-solução muda quando a
constante C varia
23. Resolva o problema de valor inicial y' = (sen x)/sen y,
y(O) = 71"/2. e plote a solução (se seu CAS fizer gráficos
implícitos).
24. Resolva a equação y' = xyx 2 + 1/(yeY) e plote vários
membros da famílià de soluções (se seu CAS fizer gráficos
implícitos). Como muda a curva-solução quando a constante
C varia
(a) Use um sistema algébrico computacional para desenhar
um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o
e esboce algumas curvas~solução sem resolver a equação
diferencial.
(b) Resolva a equação diferencial.
(c) Use o CAS para desenhar vários membros da família de soluções
obtida na parte (b). Compare com as curvas da parte (a).
25. y' ~ 1/y 26. y' ~ x 2 /y
21-

604 o CÁlCULO Editora Thornson
34. Em uma reação químíca elementar, as moléculas únicas de
dois reagentes A e B formam a molécula do produto C:
A + B ........,.. C. A lei de ação das massas estabelece que a taxa de
reação é proporcional ao produto das concentrações de A e B:
d[C) ~ k[A)[B)
dt
(Veja o Exemplo 4 na Seção 3.3. no Volume L) Então, se as
concentrações iniciais forem [A] = a mols!L e [B] = b mols/L
e escrevermos x = [CJ, então teremos
dx
- ~ k(a - x)(b x)
dt
(a) Assumindo que a : h, encontre x como urna função de t.
Use o fato de que a concentração inicial de C seja O.
(b) Encontre x(t) assumindo que a= b. Como essa expressão
para x(t) é simplificada se soubermos que [C] = a/2
depois de 20 segundos
35. Em contraste com a situação do Exercício 34, as experiências
mostram que a reação H 2 + Br 2 ~ 2 HBr satisfaz a lei de troca
d[~~r)
~ k[H 1 )[Br 1 ]'"
e, portanto, para essa reação a equação diferencial torna~ se
dx ~ k(a - x)(b- x)"'
dt
onde x = [HBr] e a e b são concentrações iniciais de
hidrogênio e bromo.
(a) Escreva x como uma função de t no caso onde a = b.
Use o fato de que x (O) = O.
(b) Se a > b, escreva t como uma função de x. (Dica: ao
efetuar a integração, faça a substituição u = Jb ~ x .)
36. Uma esfera com raio de 1 m está a uma temperatura de l5°C.
Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2 m e
temperatura de 25 "C A temperatura T(r) a uma distância r do
centro comum das duas esferas satisfaz a equação diferencial
d 2 T 2 dT
-+--~o
dr 2 r dr
Se fixarmos S = dT!dr, então S satisfaz uma equação
diferencial de primeira ordem. Encontre urna expressão
para a temperatura T(r) entre as duas esferas.
37. Urna solução de glicose é administrada por via intravenosa na
corrente sangüínea a uma taxa constante r. À medida que a
glicose é adicionada, ela é convertida em outras substâncias e
removida da corrente sangüínea a uma taxa que é proporcional
à concentração naquele instante. Então um modelo para a
concentração C = C(t) da solução de glicose na corrente
sangüínea é
dC
-~r-kC
dt
onde k é uma constante positiva.
(a) Suponha que a concentração no tempo t =O é Co,
Determine a concentração em um tempo qualquer t
para resolver a equação diferenciaL
(b) Assumindo que Co< r/k, calcule !im,~x C(t) e interprete
sua resposta.
38. Um pequeno país tem$ W bilhões em papel-moeda em
circulação e a cada dia $ 50 milhões chegam nos bancos
daquele lugar. O governo decide introduzir uma nova moeda,
fazendo que os bancos troquem notas velhas por novas sempre
que a moeda antiga entrar nos bancos. Denote por x = x(t)
a quantidade de moeda nova em circulação no tempo t,
com x(O) ~O.
(a) Fmmule um modelo matemático na fOJma de um problema
de valor inicial que represente o "fluxo" da nova moeda
em circulação,
(b) Resolva o problema de valor inicial encontrado na pa11e (a),
(c) Quanto tempo levará para a nova moeda representar 90'1<
da moeda em circulação
39. Um tanque contém LOOO L de água salgada com 15 kg de sal
dissolvido. A água pura entra no tanque a uma taxa de
I O Llmín. A solução é mantida bem misturada e sai do tanque
na mesma taxa. Quanto sal permanece no tanque (a) depois de
t minutos e (b) depois de 20 minutos
40. Um tanque contém 1000 L de água pura, A água salgada com
0,05 kg de sal por litro de água entra no tanque a uma taxa de
5 Umin. A água salgada com 0,04 kg de sal por litro de água
entra no tanque a uma taxa de lO Llmin. A solução é mantida
completamente misturada e sai do tanque a uma taxa de
15 L!min. Quanto sal está no tanque (a) depois de t minutos e
(b) depois de uma hora
41. Quando uma gota de chuva cai, ela aumenta de tamanho; assim.
sua massa em llii1 tempo 1 é uma função de t, m(t). A taxa do
aumento da massa é km(t) para alguma constanle positiva k.
Quando aplicamos a Lei do Movimento de Newton à gota de
chuva, obtemos (mv)' = gm, onde v é a velocidade da gota
de chuva (dirigida para baixo) e g é a aceleração da gravidade. A
velocidade tenninal da gota de chuva é lim,._."' v(t). Encontre
uma expressão para a velocidade terminal em termos de g e k,
42. Um objeto de massa m está se movendo horizontalmente
através de um meio que resiste ao movimento com uma força
que é uma função da velocidade; isto é,
d 2 s dv
mdt' ~ mdr ~f( v)
onde v = v(t) e s = s(t) representam a velocidade e a posição
do objeto no tempo t, respectivamente. Por exemplo, pense em
um barco se movendo pela água.
(a) Suponha que a força de resistência seja proporcional à
velocidade, isto é, j(v) = -kv, k uma constante positiva.
(Esse modelo é apropriado para os valores pequenos de v)
Sejam v( O) = v 0 e s(O) = s 0 os valores iniciais de v e s.
Determine v e s em um tempo qualquer t. Qual é a distância
total que o objeto percorre a partir do tempo t = O
(b) Suponha que a força de resistência seja proporcional ao
quadrado da velocidade, isto é, f(v) = -kv 2 , k > O. (Este
modelo foi pela primeira vez proposto por Newton.) Sejam
v 0 e s 0 os valores iniciais de v e s. Determine v e sem um
tempo qualquer t. Qual é a distância total que o objeto
percorre nesse caso

James Stewart CAPÍTULO 9 EOUAÇÜES DIFERENCIAiS U 605
43. Seja A(t) a área de uma cultura de tecido em um tempo t c seja
M a área tinal do tecido quando o crescimento está completo.
A maioria das divisões celulares ocorre na periferia do tecido,
e o número de células na periferia é proporcional a vÃ(i).
Assim, um modelo razoável para o crescimento de tecido é
obtido assumindo-se que a taxa de crescimento da área seja
proporcional a .yA(t-) em conjunto com M - A(t).
(a) Formule uma equação diferencial e use-a para mostrar
que o tecido cresce mais rápido quando A(t) = M/3.
(b) Resolva a equação diferencial para encontrar uma
expressão para A(t). Use um sistema algébrico
computacional para fazer a integração.
44. De acordo com a Lei de Newton da Gravitação Universal, a
força gravitacional de um objeto de massa m que tenha sido
lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é
mgR'
F ~ -;-( x"'+"'-'-::R ):,-'
onde x = x(t) é a distância do objeto acima da superfície no
tempo t; R, o raio da Terra; e g, a aceleração da gravidade.
Também, pela Segunda Lei de Newton, F = ma = m(dvj dt) e
dessa forma
dv
m-~
dt
mgR 2
(x + R)'
(a) Suponha que um foguete seja lançado verticalmente para
cima com uma velocidade inicial v 0 . Seja h a altura máxima
acima da superfície alcançada pelo objeto. Mostre que
vo~)R+h
[Dica: Pela Regra da Cadeia, m (dv/dt) ~ mv (dv/dx).)
(b) Calcule Ve = limn-.oo v 0 • Esse limite é chamado
velocidade de escape da Terra.
(c) Use R= 3.960 milhas e g = 32 pés/s 2 para calcular Ve em
pés por segundo e em milhas por segundo.
2. O modelo teóricO dado pel2.-:EqÚ-ação muitO preciso; se levarmos em conta a rotação e
viscosidade do líquido. Ao contrário, o modelo -
é o mais usado e a constante k (a qual depende das propriedades físicas do líquido) é determinada
a partir dos dados relacionados com o vazamento do tanque.

606 o CÁlCUlO Editora Thomson
(~) liuponbaque

James Stewart CAPÍTUlO 9 EOUAÇOES OIFERHJCiAIS L~ 607
O Na !)1odelagem da Jorça devido a
resistência do ar, várias funções têm
sido Usadas, dependendo daS
caractérísticas físicas e da velocidade
da bola. Aqui nós usamos um
modelo linear, ~pv, mas um modelo
quadrático (~pv~ na subida e pv 2 na
descida) é outra possibilidade para
velocidades mais altas (veja Exercício
42 na Seção 9.3). Para uma bola de
golfe, experimentos têm mostrado
que um bom mode!o é
na ascendência e pj v I u na
descendência. Mas não importa qual
função força ~j(v) seja usada [AQUI
f(v) >O para v> O e j(v) $t .. ~J~ no tempo i
N~. sullida e na_.~esci~a;. a força t-ú!Í;ag~1!.,~~:p.gta ~-.~P!.! ·-'-.jng~··.(Du~~e _a·sp:Çt_i~· v(t) é
positiva e a resi,t~ncia ~ge par~(-~~Xo; d~~-~~,~- _d~scida, . v(t) é _negat{v~ ~-a resiStência a~e
para cima.) AsSiii~ pela Segundá_Ld de N~o~, a équação:de :movi~er.t9. é ,
:: ·:. ,
.· mv~-H-.f;~~ ~ -~ -:;·r-.r~~'''f' ..
Resolva essa equação diferencial para mos.trar.que a velqddade.é
v(t) ~(v,+ ':)e~p,/m-
2. Mostre que a altura da bola, até ela atingir o chão, é
':
y(t) ~ (vo + mg) E:_ (I- e"f'fm)- mgt
p p p
3. Seja t 1 o tempo que a bola leva para alcançar sua altura máxima. Mostre que
_~t~_ 1
t1- n
p
(mg+pvv)
Calcule esse tempo para uma bola com massa 1 kg e velocidade inicial 20 m/s. Suponha que a
força de resistência do ar seja~ da velocidade.
4. Seja t2 o tempo no qual a bola volta para a Terra. Para a bola do Problema 3, estime t 2 usando
um gráfico da função altura y(t). O que é mais rápido: ir para cima ou voltar para baixo
5. Em geral, não é fácil encontrar t 2 porque é impossível resolver a equação y(t) = O
explicitamente. Podemos, entretanto, usar um método indireto para estabelecer se a
subida ou a descida é mais rápida; detenninamos se y(2tt) é positivo ou negativo.
Mostre que
mg
2
y(2t,) ~ 7
m g ( x--:;-- I 21nx )
onde x = eP'u'"'. Então determine que x > 1 e a função
I
f(x) ~ x - -
X
- 21n x
é crescente para x > I. Use esse resultado para decidir se y(2t 1 ) é positiva ou negativa. O que
você pode concluir A subida ou a descida é mais rápida
Crescimento e Decaimento Exponencial
. ·. ''' '''... ·~~~~······· '.~. . ·•· ·~···········~~~···~·~············ ....... .. .
····· .... .
Um dos modelos para o crescimento populacional que consideramos na Seção 9.1
baseava-se na premissa de que a população cresce a uma taxa proporcional ao tamanho da
população:
dP
-=kP
dt
Essa é uma premissa razoável Suponha uma população (de bactérias, por exemplo) com
tamanho P = 1.000 que esteja crescendo a uma taxa de P 1 = 300 bactérias por hora.
Agora tomemos outras 1.000 bactérias do mesmo tipo e as coloquemos com a primeira
-""----'---

608 o CÁlCUlO Editora Thomson
população. Cada metade da nova população estava crescendo a uma taxa de 300 bactérias
por hora. Esperaríamos que a população total de 2.000 aumentasse a uma taxa de 600 bactérias
por hora inicialmente (desde que houvesse espaço e nutrientes suficientes). Assim,
se dobrarmos o tamanho, dobraremos a taxa de crescimento. Em geral, parece razoável que
a taxa de crescimento deva ser proporcional ao tamanho.
A mesma premissa também se aplica em outras situações. Na física nuclear, a massa de
uma substância radioativa decai a uma taxa proporcional à massa. Na química, a taxa de uma
reação de primeira ordem unimolecular é proporcional à concentração da substância. Em
finanças, o valor de uma conta de poupança com juros compostos continuamente aumenta
a uma taxa proporcional àquele valor.
Em geral, se y(t) é o valor de uma quantidade y a um tempo t e se a taxa de mudança
de y em relação até proporcional a seu tamanho y(t) em um tempo qualquer, então
dy
-~ky
dt
onde k é uma constante. A Equação 1 é algumas vezes chamada lei do crescimento natural
(se k > 0) ou lei do decaimento natural (se k < 0). Uma vez que essa é uma
equação diferencial separável, podemos resolvê-la pelos métodos da Seção 9.3:
fdy~fkdt
y ,
!nlyi~kt+C
y = Aekt
onde A(= ±e c ou 0) é uma constante arbitrária. Para vermos o significado da constante
A, observamos que
Portanto A é o valor inicial da função.
Como a Equação 1 ocorre muito freqüentemente na natureza, resumimos o que
acabamos de provar para uso futuro.
A solução do problema de valor inicial
dy
-=ky
dt
y(O) ~ Yo
é
y(t) ~ yoe"
Crescimento Populacional
Qual o significado da constante de proporcionalidade k No contexto de crescimento populacional,
podemos escrever

James Stewart CAPÍTUlO 9 EOUAÇÓES DiFERENCIAIS 609
dP
-=kP
dt
ou
l dP
--=k
p dt
A quantidade
l dP
p dt
é a taxa de crescimento dividida pelo tamanho da população; é denominada taxa de crescimento
relativo. De acordo com (3 ), em vez de dizermos "a taxa de crescimento é proporcional
ao tamanho da população", poderíamos dizer ''a taxa de crescimento relativo é
constante". Então (2) diz que uma população com uma taxa de crescimento relativo constante
deve crescer exponencialmente. Note que a taxa de crescimento relativo k aparece
como o coeficiente de t na função exponencial y 0 ekr_ Por exemplo, se
dP
- = OOP
dt , -
e t é medido em anos, então a taxa de crescimento relativo é k :;:;.: 0,02 e a população cresce
a uma taxa de 2% ao ano. Se a população no tempo O for P 0 , então a expressão para a população
é
TABELA 1
Presumindo que a taxa de crescimento seja proporcional ao tamanho da
população, use os dados da Tabela l para modelar a população do mundo no século XX.
Qual é a taxa de crescimento relativo Como o modelo se ajusta aos dados
SOLUÇÃO Medimos o tempo tem anos e fazemos t =O no ano 1900. Medimos a
população P(t) em milhões de pessoas. Então P(O) = 1.650. Estamos pressupondo que a
taxa de crescimento é proporcional ao tamanho da população; assim, o problema de valor
inicial é
dP
-=kP
dt
P(O) = 1.650
De (2) sabemos que a solução é
5. 1.8ü
P(t) =
l.650e''
Uma maneira de estimar a taxa de crescimento relativo k é usar o fato de que a
população em 1910 era de 1.750 milhões. Portanto
P(lO) = 1.650ek( 101 = 1.750
Resolvemos essa equação para k:
IOk 1.750
e =--
1.650
l 1.750
k = lO ln 1. 650
= 0,005884

610 o CÁLCULO Editora Thomson
TABELA 1
Então a taxa de crescimento relativo é cerca de 0,6% ao ano e o modelo torna-se
A Tabela 2 e a Figura 1 nos permitem comparar as previsões desse modelo com os dados
reais. Você pode ver que as previsões tornam-se imprecisas depois de cerca de 30 anos e
estão subestimadas por um fator de quase 2 em 2000.
FIGURA 1
Um modelo possível para o
crescimento da população mundial
População
(em milhões)
6.000 I
t t_- ------p;;-~::-;l~.6~5~0~e~o.:oo:5':84:
1
20 40 60 80
Anos a partir de 1900
100 f
Outra possibilidade para estimar k seria usar a população dada para o ano de 1950,
por exemplo, em vez de 1910. Então
P(50) ~ !650e 50 k ~ 2560
__ Na Seção 1.5, do Volume I,
modelamos os mesmos dados com
uma função exponencial, mas lá
usamos o método dos mínimos
quadrados.
I 2560
k ~-In--= O 0087846
50 1650 ,
A estimativa para a taxa de crescimento relativo é agora 0,88% ao ano, e o modelo é
P(t) = 1.650eo.oosn4"
As previsões com esse segundo modelo são mostradas na Tabela 3 e na Figura 2. Esse
modelo exponencial é mais preciso ao longo de um período maior.
TABELA 3
6 000
pl
20
;_0
Popolação .
(em milhões)
1t_'
1
f
oi 20
p == !.óSOe o.oosS-401
I }
40 60 80 wot
Anos a partir de 1900
FIGURA 2
Outro modelo para o crescimento da população mundial

James Stewart
CAPÍTUlO 9 EQUAÇÕES DIFERENCiAIS
611
LJ Use os dados da Tabela 1 para modelar a população do mundo na
segunda metade do século XX. Utilize o modelo para estimar a população em 1993 c
para prever a população no ano 201 O.
SOLUÇÃO Aqui ternos t = O em 1950. Então o problema de valor inicial é
e a solução é
dP
-=kP
dt
P(r) = 2560ek'
Vamos estimar k usando a população em 1960:
P(O) = 2.560
P(l O) = 2.560c '"' = 3.040
l 3040
k=-ln--= 0017185
- !O 2560 '
A taxa de crescimento relativo é cerca de 1,7% ao ano e o modelo é
P(t) = Z.S60eO,Ol7185r
Estimamos qne a população mundial em 1993 era
P(43) = 2.560e 0 ,üi 71851431 = 5.360 milhões
O modelo prediz que a população em 2010 será
P(60) = 2.560e 0 • 0 ' 71851601 = 7.179 milhões
O gráfico na Figura 3 mostra que o modelo é bem preciso; assim, para 1993, a estimativa
é bem confiáveL Mas a previsão para 2010 é mais arriscada.
População
(em milhões)
p;:;;; 2 . 560
eo.ol7i851
FIGURA 3
Um modelo para o crescimento
populacional na segunda metade
do século XX
20 40
Anos a partir de 1950
Decaimento Radioativo
As substâncias radioativas decaem pela emissão espontânea de radiação. Se m(t) é a massa
remanescente da massa inicial mo da substância depois de um tempo t, então a taxa de
decaimento relativo
l dm
m dt

---------------------------------
-------------------------
612 CÁLCULO Editora Thomson
foi determinada experimentalmente corno constante. (Cmno dm/ dt é negativo, a taxa de
decaimento é positiva.) Segue-se que
dm
-=km
dt
onde k é uma constante negativa. Em outras palavras, as substâncias radioativas decaem a
uma taxa proporcional à massa remanescente. Isso significa que podemos usar (2) para
mostrar que a massa decai exponencialmente:
m(t) ~ moek'
Os físicos expressam a taxa de decaimento em termos de meia-vida, o tempo necessário
para metade de qualquer quantidad~ decair.
, A meia-vida do rádio-226 ( 'i~Ra) é de 1.590 anos.
(a) Urnp. amostra de rádio-226 tem uma massa de 100 mg. Encontre uma fórmula para a
massa de 2 ~~Ra que permanece após t anos.
(b) Calcule a massa depois de 1.000 anos, com precisão de 1 miligrama.
(c) Quando a massa será reduzida a 30 mg
SOLUÇÃO
(a) Seja m(t) a massa de rádio-226 (em miligramas) que permanece após t anos. Então
dm/dt ~ km e y(O) ~ 100; logo, (2) fornece
m(t) ~ m(O)e'' ~ lOOe''
Para determinar o valor de k, usamos o fato de que y(L590) ~ j(JOO). Então
lOOe L590k ~ 50 assim e l.S90k = !
e
1.590k ~ In l ~ -ln 2
In 2
k~---
1.590
Portanto
m(t) =
lOOe ~un 2/ls9oJr
Poderíamos usar e 1 n 2 = 2 para escrever a expressão m(t) em uma forma alternativa
m(t) ~ 100 X 2-VL590
(b) A massa depois de 1.000 anos é
m(lOOO) = 100e-(!nl/JS90J!OOO = 65 mg
(c) Queremos encontrar um valor de t tal que m(t) ~ 30, isto é,
100e-(ln2/L590)r = 30 ou
e~-(b2/Ls9oJ: =
0 _ 3
Resolvemos essa equação para t tomando o logaritmo natural em ambos os lados:
ln 2
---t~ ln03
1.590 '

James Stewart CAPÍTULO 9 EOUAÇÓES DiFERENCIAIS 613
!50
Então
ln 0,3
t = -].590 Jn2 = 2.762 anos
[)
FIGURA 4
4.01XJ
Para verificar nosso trabalho no Exemplo 3, usamos um dispositivo gráfico para
desenhar o gráfico de m(t) na Figura 4 junto com a reta horizontal m = 30. Essas curvas
se interceptam quando t = 2.800 e isso está de acordo com a resposta na parte (c).
Lei do Resfriamento de Newton
A Lei do Resfriamento de Newton para estabelece que a taxa de resfriamento de um objeto
é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua redondeza, dado que essa
diferença não seja muito grande. (Essa lei também se aplica ao aquecimento.) Se denotarmos
T(t) como temperatura do objeto no tempo t e Ts como a temperatura em sua
redondeza, então podemos formular a Lei de Newton para resfriamento como uma
equação diferencial
dT
- = k(T- T)
dt
s
onde k é uma constante. Podemos resolver essa equação como uma equação diferencial
separável usando o método da Seção 9.3, mas um método mais fácil seria fazer uma troca
de variável y(t) = T(t)- T,. Como T, é constante, temos y'(t) = T'(t)e assim a equação
torna-se
dy
-=ky
dt
Podemos usar (2) para encontrar uma expressão para y, da qual acharemos T.
HEMPLO 4 - Uma garrafa de soda limonada em temperatura ambiente (72 °F) é
colocada em um refrigerador onde a temperatura é de 44 °F. Depois de meia hora a soda
está resfriada a uma temperatura de 61 °F.
(a) Qual é a temperatura da soda depois de mais 30 minutos na geladeira"
(b) Quanto tempo demoraria para a soda atingir 50 'F
SOLUÇÃO
(a) Seja T(t) a temperatura da soda após t minutos. A temperatura da redondeza
é T, = 44 'F, logo, a Lei de Newton para Resfriamento estabelece que
dy
dt = k(T- 44)
Se fizermos y = T - 44, então y(O) = T(O) - 44 = 72 - 44 = 28, portanto, y é a
solução do problema de valor inicial.
e por (2), temos
dy
-=ky
dt
y(O) = 28
y(t) = y(O)é' = 28é'
Nos foi dado que T(30) = 61, assim sendo, y(30) = 61 - 44 = 17 e
28e 301 = l7 eJok = ~

-----------------------------------
614 o CÁLCULO
Editora Thomson
Aplicando logaritmo em ambos os lados, obtemos
Portanto,
( i")
ln i
k~- 2 - 8 =-001663
30 ,
y(t) = 2Se-ü.Ol663r
T(t) = 44 + 28e-o_olooJ•
T(60) ~ 44 + 28e-o,oi66J(oo, = 54,3
Logo, após outra meia hora a soda terá se resfriado a uma temperatura aproximada de 54 °F
(b) Temos T(t) = 50, quando
44 + 28e"" 0,DJ663I = 50
e -0,016631 = 2
28
t~
ln(fs) = 92 6
-0,01663 ,
A soda se resfriará a 50 op depois de 1 hora e 33 minutos.
Observe que no Exemplo 4, temos
T
72
lim T(t) ~ lim (44 + 28e- 0 ' 01663 ') ~ 44 + 28 , O~ 44
[--'>-:C
!--'>

James Stewart CAPÍTUlO 9 EQUAÇÕES DiFERENCIA!$ 615
Por exemplo, depois de três anos com juros de 6% um investimento de $ 1.000 valerá
$ 1.000(1,06)3 ~ $ Ll91,02 com composição anual
$ 1.000(1,03)6 ~ $ 1.194,05 com composição semestral
$ 1.000(!,015)12 ~ $ Ll95,62 com composição trimestral
$ 1.000(1,005)36 ~ $ 1.196,68 com composição mensal
o 06 ) 36 5-3
$1.000 1 + 3,65 = $!.197,20 com composição diária
(
Você pode ver que os juros pagos sobem com o aumento do número de períodos de
composição (n). Se fizermos n __,.. oo, então estaremos compondo os juros continuamente,
e o valor do investimento será
( r)"' [( r)" 1 A(t) = ,!i~ Ao l + 7; = ,!i~ Ao 1 + 7; ']"
=Ao!~ [ ( 1 +;; r)"!']"
J )m]n
=Ao [ l~ ( 1+~ (onde 1/l 0 "' 11/ r)
Mas o limite nessa expressão é igual ao número e (veja a Equação 3.8.6 no Volume l).
Desse modo, com composição contínua de juros a uma taxa r, a quantidade depois
de t anos é
Se diferenciarmos essa equação, teremos
A(l) = Aoe"
dA
- = rAoe" = rA(t)
dt
que diz que, com a composição contínua de juros, a taxa de aumento de um investimento
é proporcional a seu tamanho.
Retomando ao exemplo de $ 1.000 investidos por três anos com juros de 6%, vemos
que, com a composição contínua de juros, o valor do investimento será
A(3) = $1.000e(O.oo}o
= $l.OOOe 0 • 18 = $!.197,22
Note quão próxima essa quantidade está daquela que calculamos para a composição
diária, $ 1.197,20. Mas a quantidade é mais facilmente calculada se usarmos a
composição contínua.

616 O CÁLCULO Editora Thomson
Exercícios
1. Uma população de protozoários se desenvolve com uma taxa
de crescimento relativo constante de O, 7944 por membro por
dia. No dia zero, a população consiste em dois membros.
Calcule o tamanho da população depois de seis dias.
2. Um habitante comum do intestino humano é a bactéria
Escherichia coli. Uma célula dessa bactéria em um meio
nutriente se divide em duas células a cada 20 minutos.
A população inicial da cultura é de 60 células.
(a) Encontre a taxa de crescimento relativo.
(b) Ache uma expressão para o número de células depois
de t horas.
(c) Calcule o número de células depois de oito horas.
(d) Estabeleça a taxa de crescimento depois de oito horas.
(e) Quando a população alcançará 20.000 células
3. Uma cultura de bactérias começa com 500 bactérias e cresce a
uma taxa proporcional a seu tamanho. Depois de três horas
existem 8.000 bactérias.
(a) Encontre uma expressão para o número de bactérias depois
de t horas.
(b) Calcule o número de bactérias depois de quatro horas.
(c) Estipule a taxa de crescimento depois de quatro horas.
(d) Quando essa população alcançará 30.000
4. Uma cultura de bactérias cresce com uma taxa de crescimento
relativo constante. A contagem era 600 depois de duas horas e
75.000 depois de oito horas.
(a) Qual a população inicial da cultura
(b) Encontre uma expressão para a população depois de t horas.
(c) Ache o número de célula após cinco horas.
(d) Encontre a taxa de crescimento após cinco horas.
(e) Quando a população será de 200.000
·s; A tabela fornece estimativas da população mundial, em
milhões, por dois séculos:
(a) Utilize o modelo exponencial e os números da população
em 1750 e 1800 para prever a população mundial em 1900
e 1950. Compare com os dados reais.
(b) Use o modelo exponencial e os dados populacionais para
1850 e 1900 para prever a população mundial em 1950.
Compare com a população reaL
(c) Empregue o modelo exponencial e os dados populacionais
para 1900 e 1950 para prever a população mundial em
2000. Compare com a população real e tente explicar
a discrepância.
6. A tabela fornece a população dos Estados Unidos, em milhões.
para os anos 1900-2000.
(a) Use o modelo exponencial e os dados do censo para 1900
e 1910 para prever a população em 2000. Compare com os
dados reais e tente explicar a discrepância.
(b) Utilize o modelo exponencial e os dados do censo para
1980 e 1990 para prever a população em 2000. Compare
com a população reaL Então use esse modelo para prever
a população nos anos 2010 e 2020.
(c) Desenhe um gráfico mostrando ambas as funções
exponenciais das partes (a) e (b) juntas com o gráfico
da população real. Esses modelos são razoáveis
7. Experimentos mostram que, se a reação química
for realizada a 45 °C, a taxa de reação do pentóxido de
nitrogênio é proporcional a sua concentração, como a seguir:
d[dtO,] ~ 0,0005[N,O,)
(Veja o Exemplo 4 na Seção 3.3 no Volume L)
(a) Encontre uma expressão para a concentração de [N 2 0 5 ]
depois de l segundos se a concentração inicial for C.
(b) Quanto tempo de reação levará para reduzir a concentração
do N 2 0 5 para 90% de seu valor original
8. O bismuto~210 tem uma meia-vida de cinco dias.
(a) Se uma amostra tem massa de 800 mg, encontre uma
fórmula para a massa que restará depois de t dias.
(b) Calcule a massa depois de 30 dias.
(c) Quando a massa será reduzida para 1 mg
( d) Esboce o gráfico da função massa.
A meia-vida do Césio-137 é de 30 anos. Suponha que tenhamos
uma amostra de 100 mg.
(a) Ache a massa que restará após t anos.
(b) Quanta massa a amostra terá após 100 anos
(c) Depois de quanto tempo teremos apenas 1 mg da amostra
10. Depois de três dias uma amostra de radônio-222 decaiu para
58% de sua quantidade originaL
(a) Qual a meia-vida do radônio-222
(b) Quanto tempo levará para a amostra decair para 10% de
sua quantidade original

James Stewart CAPÍTUlO 9 EOU.AÇÓES DIFERENCi!\IS , , 617
11. Os clentistas podem determinar a idade de um objeto
antigo por um método chamado datação de carbono-14.
O bombardeamento da atmosfera superior por raios cósmicos
converte o nitrogênio em um isótopo radioativo de carbono,
14
C, com uma meia-vida de cerca de 5.730 anos. A vegetação
absorve o dióxido de carbono pela atmosfera e os animais
assimilam o 14 C através das cadeias alimentares. Quando uma
planta ou animal morre, ele pára de repor seu carbono, e a
quantidade de 14 C diminui através do decaimento radioativo.
Portanto o nível de radioatividade também deve decair
exponencialmente. Um pedaço de tecido foi descoberto tendo
cerca de 74% de 14 C radioativo em relação às plantas terrestres
nos dias de hoje. Estime a idade do pedaço de tecido.
12. Uma curva passa pelo ponto (0, 5) e tem a propriedade de que
a inclinação da curva a cada ponto P é duas vezes a
coordenada y de P. Qual é a equação da curva
13. Um peru assado é retirado do forno quando sua temperatura
alcança 185 °F e é colocado em uma mesa onde a temperatura
é de 75 op_
(a) Se a temperatura do peru for de 150 °F depois de meia
hora, qual será a temperatura dele após 45 minutos
(b) Quando terá o peru se resfriado a uma temperatura de 100 °F
14. Um termômetro é levado de um cômodo no qual a temperatura
é de 20 °C para o lado de fora onde a temperatura é 5 oc.
Depois de um minuto a leitura do termômetro é de 12 °C.
(a) Qual será a leitura do termômetro depois de mais
um minuto
(b) Quando a leitura do termômetro será de 6 °C
15. Quando uma bebida gelada é retirada de um refrigerador, sua
temperatura é de 5 oc Depois de 25 minutos em um ambiente
a 20 oc, sua temperatura aumenta para 1 O oc.
(a) Qual é a temperatura da bebida após 50 minutos
(b) Quando sua temperatura será de 15 °C
16. Uma xícara de café fresco tem uma temperatura de 95 oc em
um ambiente de 20 °C. Quando sua temperatura for de 70 °C
sua taxa de resfriamento será de l oc por minuto. Quando
isso ocorre
17. A taxa de mudança da pressão atmosférica P em relação à
altitude h é proporcional a P, desde que a temperatura seja
constante. A 15 oca pressão é 101,3 k:Pa ao nível do mar e
87,14 kPa a h~ !.000 rn.
(a) Qual é a pressão a uma altitude de 3.000 m
(b) Qual é a pressão no topo do monte McKinley, a uma
altitude de 6.187 m
18. (a) Se$ 500 são emprestados a 14% de juros, calcule as
quantidades devidas no final de dois anos se os juros forem
compostos
(i) anualmente, (ii) trimestralmente, (iii) mensalmente,
(iv) diariamente, (v) por hora e (vi) continuamente.
(b) Suponha que$ 500 sejam emprestados e os jurüs sejam
compostos continuamente. Se A(t) for a quantidade devida
depois de t anos, onde O ~ t ~ 2, plote A(t) para cada uma
das taxas de juros 14%, 10% e 6% na mesma tela.
19. (a) Se$ 3.000 são investidos a uma taxa de juros de 5%.
calcule o valor do investimento no final de cinco anos se
os juros forem compostos (i) anualmente, (ii)
semestralmente, (iii) mensalmente, (iv) semanalmente, (v)
diariamente e (vi) continuamente.
(b) Se A(t) for a quantidade de investimento no
tempo t para o caso de composição contínua,
escreva uma equação diferencial e uma condição inicial
satisfeita por A(t).
20. (a) Quanto tempo levará um investimento para dobrar seu
valor se a taxa de juros for 6% composta continuamente
(b) Qual é taxa equivalente de juros anual ·
21. Considere uma população P = P(t) com taxas de natalidade c
mortalidade relativas constantes a e f3, respectivamente, e uma
taxa de emigração constante m, onde a, {3 em são constantes
positivas. Assuma que a > f3. Então a taxa de variação da
população em um tempo t é modelada pela equação diferencial
C~--
dP
~=kP~m
dt
onde k=a-{3
(a) Encontre a solução dessa equação que satisfaça a condição
inicial P(O) = P 0 •
(b) Qual condição sobre m levará a uma expansão exponencial
da população
(c) Qual condição sobrem levará a uma população constante
E ao declínio da população
(d) Em 1847, a população da Irlanda era cerca de 8 milhões, e
a diferença entre as taxas relativas de natalidade e
mortalidade era 1,6% da população. Por causa da fome
da batata na décadas de 1840 e 1850, cerca de 210.000
habitantes por ano emigraram da Irlanda. A população
estava crescendo ou diminuindo naquela época
Seja c um número positivo. A equação diferencial, do tipo
dv
1 .L
_:::_ = ky 'c
dt
onde k é uma constante positiva, é chamada equação do juizo
final porque o expoente na expressão ky 1 + ~ é maior que
aquele para o crescimento natural (isto é, ky).
(a) Determine a solução que satisfaça a condição inicial
y(O) ~ Yo-
(b) Mostre que existe um tempo finito t = T (juízo final), de
forma que lim 1 ...,.r y(t) = oo.
(c) Uma raça especialmente prolífica de coelhos tem o termo
de crescimento kyl,Ol. Se dois desses coelhos cruzam
inicialmente e a coelha tem 16 coelhos depois de três
meses, quando será o jufzo final

618 c CÁLCUlO Editora Thomson
Cálculo e Beisebol
Neste projeto C-Xploraremos três das muitas aplicações do cálculo ao beisebol.. !:~~:~:~~='1ã~
físicas dojogo,!especiàlmente a coLiS&o da bola com o tacp. sãO complexas e s1
disc~tidos em detalhes no livro de Robçrt Adair, The Physid Of #aseball, 3. -ed. (Nova Yoik:
HarperPerennial. 2002).
1. Pode surpreendê:lo saber que a colisão entre bola de beisebol e o· tico dura apenas', Cercà'de
um milésimo de segundo. Aqui estabéleceremos a força média no taco durante essa cOliSão
calculando primeiro a mudança no mámento da bola.
O momento p de um objeto é o produto de sua massa m e sua velocidade v; isto ~. p =. 'mv.
Suponha que um objeto se movendo ao longo de uma linha reta seja influenciado por uma
força F= F(t), que é uma função contínua do tempo.
(a) Mostre que a mudança no momento no intervalo de tempo [to, t 1 ] é igual à integtàl de F
de to a t 1 ; isto é, mostre que
Uma vista superior da posição de um
taco de beisebol, mostrada a cada
qüinquagésimo de segundo durante
um movimento típico (adaptado de
(The Physics of Basebal[).
p(t 1 ) -
p(t 0 ) ~ ['• F(t) dt
..,
Essa integral é chamada impulso da força no intervalo de tempo.
(b) Um lançador joga uma bola rápida a 90 milh para o rebatedor, que a rebate diretamente de
volta ao lançador. A bola está em contato com o taco por 0,00 l s e deixa o taco com a
velocidade de 110 milh. Uma bola de beisebol pesa 5 onças e, em unidades imperiais, sua
massa é medida em slugs; m = w/g onde g = 32 pés/s 2 •
(i) Calcule a mudança no momento da bola.
(ii) Determine a força média no taco.
2. Neste problema calculamos o trabalho necessário para um lançador arremessar uma bola
rápida a 90 inilh primeiro considerando a energia cinética.
A energia cinética K de um objeto de massa me velocidade v é dada por K = ~mv 1 •
Suponha que um objeto de massa m se movendo em linha reta seja influenciado por uma força
F= F(s) que depende de sua posição s. De acordo com a Segunda Lei de Newton
dv
F(s) ~ma~ m- dt
onde a e v denotam a aceleração e a velocidade do objeto.
(a) Mostre que o trabalho realizado para mover o objeto de uma posição so para uma posição
s1 é igual à variação na energia cinética do objeto; isto é, mostre que
.. ,
W = ('' F(s) ds = tmv[ - ~mvJ
onde vo = v(s 0 ) e v 1 = v(s 1 ) são as velocidades do objeto nas posições s 0 e s 1 • Dica: Pela
Regra da Cadeia,
dv dv ds dv
mdt=m ds -;;;=mv ds
(b) Quantas libras-pés de trabalho são necessárias para jogar uma bola de beisebol a 90 mi/h
3. (a) Um outfielder (jogador que ocupa o campo externo) apanha uma bola de beisebol a 280
pés do home plate e a joga diretamente para o pegador com uma velocidade inicial de
100 pés/s. Presuma que a velocídade v(t) da bola depois de t segundos satisfaça a equação
diferencial dv/ dt = -v/ 1 O por causa da resistência do ar. Quanto tempo leva para a bola
atingir o home plate (Ignore qualquer movimento vertical da bola.)
(b) O diretor do time se pergunta se a bola alcançaria o home plate mais rápido se ela fosse
revezada por um infielder (jogador da parte central do campo). O shortstop (jogador que
fica entre a segunda e a terceira bases) pode se posicionar diretamente entre o outjielder e

James Stewart CAPÍTUlO 9 EQUAÇÕES DiFERENCiAiS 619
o home plate, pegar a bola jogada pelo outfielder, girar e jogá-la para o pegador com uma
velocidade inicial de 105 pés/s. O diretor cronometrao tempo de revezamento do short"
stop (pegar, girar, jogar) em metade de um segundo. A que distância do home plate deve
se posicionar o shortstop para minimizar o tempo total para a bola atingir a base
O diretor deve encorajar uma jogada direta ou uma jogada revezada O que aconteceria se
o shortstop pudesse jogar a bola a 115 pés/s
(c) Para qual veloC-idade de arremesso do shortstop a jogada revezada leva o mesmo tempo
que a direta
Nesta seção discutiremos em detalhe um modelo para o crescimento populacional, o modelo
logístico, que é mais sofisticado que o de crescimento exponencial. Fazendo isso,
usamos todas as ferramentas à nossa disposição: campos de direções e método de Euler da
Seção 9.2 e a solução explícita das equações diferenciais separáveis da Seção 9.3. Nos
exercícios, investigaremos outros modelos possíveis para o crescimento populacional,
alguns dos quais levam em conta a colheita e o crescimentO sazonaL
O Modelo Logístico
Como discutimos na Seção 9.1, uma população com freqüência cresce exponencialmente
em seus estágios iniciais, mas eventualmente se estabiliza e se aproxima de sua capacidade
de suporte por causa dos recursos limitados. Se P(t) for o tamanho da população no tempo
t, assumimos que
dP
-=kP
dt
se P for pequeno
Isso diz que a taxa de crescimento inicialmente está próxima de ser proporcional ao
tamanho. Em outras palavras, a taxa de crescimento relativo é praticamente constante
quando a população é pequena. Mas também queremos refletir sobre o fato de que a taxa
de crescimento relativo diminui quando a população P aumenta e torna-se negativa quando
P ultrapassa sua capacidade de suporte K, a população máxima que um ambiente é capaz
de sustentar a longo prazo. A expressão mais simples para a taxa de crescimento relativo
que incorpora essas premissas é
J_dP =k(l-~)
P dt K
Multiplicando por P, obtemos o modelo para o crescimento populacional conhecido como
a equação diferencial logística:
,------~~---~~
'--------
~ = kP(!- ;) I
-~~---l
Note na Equação 1 que, se P for pequeno comparado com K, então P/K é próximo de O,
e dessa forma dP/dt = kP. Contudo, se P -o- K (a população aproxima sua capacidade de
suporte), então P/K-> I, assim dP/dt _,.O. Podemos deduzir informações sobre quando
as soluções aumentam ou diminuem diretamente da Equação 1. Se a população P estiver
entre O e K, então o lado direito da equação é positivo, desse modo dP/dt >O e a população
aumenta. Mas se a população exceder a capacidade de suporte (P > K), daí
l - P/K é negativo, portanto dP/dt

620 o CÁLCULO Editora Tilomson
Campos de Direções
Vamos começar nossa análise mais detalhada da equação diferencial logística olhando para
um campo de direções.
EXEMPlO 1 0 Desenhe um campo de direções para a equação logística com k = 0,08 e
capacidade de suporte K = 1.000. O que você pode deduzir sobre as soluções
SOLUÇÃO Nesse caso a equação diferencial logística é
FIGURA 1
Campo de direções para a equação
logística no Exemplo 1
dP = 0,08(1- _P_)
dt !.000
Um campo de direções para essa equação é mostrado na Figura L Mostramos apenas
o primeiro quadrante porque as populações negativas não têm significado e estamos
interessados apenas no que acontece depois de t = O.
Pj
1400+
1.20Di
l.OO~ ~ ~ ~ -..._ ~ ~ ~..___ ~
--t- -------- -------- -------- ~ ~--- -------- ----
soof ..---- ; ...--- _.--- / ...---· /
6001 /
),/ ////
-J / ~ / ~ ~ ~ / ~
2~ / / / / / / / /
~- ~ -------- ~ ~ ~ -------- ~ ~
oi 20 40 60 sot
I
--~-~~-----+-----4~------+---~·-
A equação logística é aUlônoma (dP/ dt depende apenas de P, não de t); assim, as
inclinações são as mesmas ao longo de qualquer reta horizontal. Como esperado,
as inclinações são positivas para O < P < 1.000 e negativas para P > 1.000.
As inclinações são pequenas quando P está próximo de O ou 1.000 (a capacidade de
suporte). Observe que as soluções se distanciam da solução de equilíbrio P = O e se
aproximam da solução de equilíbrio P = 1.000.
Na Figura 2 usamos o campo de direções para esboçar as curvas-solução com
populações iniciais P(O) = 100, P(O) = 400 e P(O) = 1.300. Note que as curvas~
solução abaixo de P = 1.000 estão aumentando, e aquelas que começam acima de
P = 1.000 estão diminuindo. As inclinações são maiores quando P = 500, portanto as
curvas-solução que começam abaixo de P = 1000 têm pontos de inflexão quando
P = 500. De fato, podemos provar que todas as curvas-solução que começam abaixo de
P = 500 têm um ponto de inflexão quando Pé exatamente 500 (veja o Exercício 9).
FIGURA 2
Curvas-solução para a equação
logística no Exemplo 1

James Stewart CAPÍTULO 9 EQUAÇÕES DIFERENCihiS 621
Método de Euler
A seguir usaremos o método de Euler para obter estimativas numéricas para as soluções
da equação diferencial logística em tempos específicos.
EXEMPLO 2 e; Use o método de Euler com passos 20, 10, 5, I e O, I para estimar os
tamanhos da população P(40) e (80), onde Pé a solução do problema de valor inicíal
dP ( P )
dt = 0,0 8 P I - LOOO P(O) = 100
SOLUÇÃO Com o passo de tamanho h = 20, t 0 = O, P 0 =
F(t, P) = 0,08( 1 -
obtemos, utilizando a notação da Seção 9 .2,
P, = 100 + 20F(O, 100) = 244
L~OO)
P, = 244 + 20F(20, 244) = 539,14
100 e
P, = 539,14 + 20F(40, 539,14) = 936,69
P, = 936,69 + 20F(60, 936,69) = L031,57
Então, nossas estimativas para os tamanhos da população nos tempos t = 40 e t = 80 são
P(40) = 539
P(80) = L032
Para os passos de tamanhos menores, precisamos programar uma calculadora ou um
computador. A tabela fornece os resultados.
Passo
I Esr1manva de Euler para PJ40; I E

622 u CÁlCUlO Editora Thomson
A Solução Analítica
A equação logística (1) é separável e podemos resolvê-la explicitamente usando o método
da Seção 9.3. Como
temos
f
dP ~ kP(! - !:'_)
dt
K
dP
P(! - P/K)
Para avaliar a integral no lado esquerdo, escrevemos
•
~ kdt
K
P(! - P/K) P(K- P)
Usando frações parciais (veja a Seção 7.4, no Volume I) temos,
K I I
-::Pc;c(K0"-_-:Pc-) ~ P + -K---p
Isso nos permite reescrever a Equação 2:
•(J I ) ..
p K- p ,
J
-+-- dP~ jkdt
In IPI- ln IK- Pl ~ kt +C
j
K-P
---=Ae-kr
p
onde A~ ±e-e. Resolvendo a Equação 3 para P, obtemos
K
-- 1 =Ae-kl
p
p
K
I+
assim
K
P~l+Ae''
Encontramos o valor de A colocando t =O na Equação 3. Se t ~ O, então P ~ Po (a po·
pulação inicial); portanto,
K- Po ~Ae' ~A
Po

James Stewart CAPÍTUlO 9 EOUAÇÓES DiFERENCiAIS 623
Então, a solução para a equação logística é
K
P( t) ~ - 1 -+_:.:_~ onde K- Po
A~
Po
Usando a expressão para P(t) na Equação 4, vemos que
que é esperado.
!im P(t) ~ K
t-C,;.c;
EXEMPLO 3 c~-
Escreva a solução para o problema de valor inicial
dt
dP
~
( P )
0,08P 1 - l.OOO P(O) ~ 100
e use-a para encontrar os tamanhos da população P(40) e P(80). Quando a população
alcançará 900
SOLUÇÃO A equação diferencial é uma equação logística com k = 0,08, capacidade de
suporte K = 1.000 e população inicial Po ~ 100. Assim, a Equação 4 fornece a
população no tempo t como
_.:.:,1.,:::00:::0~
P(l) ~ 1 + Ae ~o.os,
1.000 - 100
ondeA= ~9
100
Então
1.000
P(l) ~ 1 + 9e o.os,
:::: Compare esses valores com as
estimativas de Euler do Exemplo 2:
(40) ~ 731 (80) ~ 985
Assim, o.s tamanhos da população quando 1 = 40 e 80 são
P(40) ~ --' 1 000 :.c:· c::. -=-= = 73l.6 P(SO) ~
1 +
1.000
64
1 + 9 e ·
= 985,3
A população alcançará 900 quando
1.000
-=:::__~ = 900
+ 9
e~o,os1
c-J Compare a curva soluçáo na Figura 4
com a curva solução mais baixa que
desenhamos no campo de direções na
Figura 2.
Resolvendo essa equação para t, temos
+ 9e ~o,osr = ~
1
e~o,ost
= J_
81
-0,081 = In i\ = -In 81
o
FiGURA 4
p !.000
- 1
+ 9 e-o.os1
80
In 81
t ~ 0,08 = 54,9
Dessa forma, a população atinge 900 quando 1 é aproximadamente 55. Como uma
verificação de nosso trabalho, plotamos a curva-população na Figura 4 e observamos
onde ela intercepta a reta P = 900. O cursor indica que t = 55.

~
624 c; CÁLCULO Editora Thnrnson
Comparação do Crescimento Natural com os Modelos Logísticos
Nos anos 1930, o biólogo G. F. Gause conduziu um experimento com o protozoário
Paramécio e usou urna equação logística para modelar seus dados. A tabela fornece suas
contagens diárias da população de protozoários. Ele estimou a taxa relativa de crescimento
inicial como 0,7944 e a capacidade de suporte como 64.
EXEMPLO 4 Encontre os modelos exponencial e logístico para os dados de Gause.
Compare os valores previstos com os valores observados e comente o ajuste.
SOLUÇÃO Dadas a taxa de crescimento relativo k = 0,7944 e a população inicial Po = 2, o
modelo exponencial é
Gause usou o mesmo valor de k para seu modelo logístico. [Isso é razoável porque
P 0 = 2 é pequeno comparado com a capacidade de suporte (K = 64). A equação
--- IdPl =k (]-- 2) =k
Po dt ,~o 64
mostra que o valor de k para o modelo logístico é muito próximo do valor para o modelo
exponenciaL]
Então a solução da equação logística na Equação 4 fornece
P(t) =
K
1 + Ae ''
64
+ Ae o.7944t
onde
A
K- Po
Po
64 ~.c__-.:::_2
- = 31
2
Assim
64
P(t) = 1 + 3le ·0.7944<
Usamos essas equações para calcular os valores previstos (arredondados para o inteiro
mais próximo) e os comparamos na tabela.
t (dias)
.
I
I
o I I
P (observados) I 2 !i 3
I
-------·------~
P (modelo logistico) j 2 I 4
F (modelo ;xpon-~ncial~l I 2 ~~-4
I
I 2 I 3 i 4 5 6 7 8 9 I 10 l1 i2 í3 14 15 16
22 ! J 6 i 39 52 54 47 50 76 69 51 57 70 53 59 57
9 l7 28
I
40 51 57 61 62 63 64 64 64 64 64 64
w I 22 48 106 I I i
I
Notamos na tabela e no gráfico da Figura 5 que, para os primeiros três ou quatro dias,
o modelo exponencial fornece resultados comparáveis àqueles do método logístico mais
sofisticado. Para t ~ 5, contudo, o modelo exponencial é muito impreciso, mas o modelo
logístico se ajusta bem às observações.

James Stewart CAPÍTUlO 9 EQUAÇÕES DIFERENC!i'\IS c_; 625
FIGURA 5
Os modelos exponencial e logístico
para os dados do Paramécio
Outros Modelos para o Crescimento Populacional
A Lei do Crescimento Natural e a equação diferencial logística não são as únicas equações
propostas para modelar o crescimento populacionaL No Exercício 14 veremos a função
crescimento de Gompertz e nos Exercícios 15 e 16 investigaremos os modelos de crescimento
sazonal.
Dois dos outros modelos são modificações do modelo logístico. A equação diferencial
dP = kP(l - !_) -c
dt
K
tem sido usada para modelar as populações que estão sujeitas à "colheita" de urna maneira
ou de outra. (Pense em uma população de peixes sendo capturada a uma taxa constante.)
Essa equação é explorada nos Exercícios 11 e 12.
Para algumas espécies existe um nível rrúnimo populacional m abaixo do qual as espécies
tendem a se extinguir. (Os adultos podem não encontrar pares adequados.) Essas populações
têm sido modeladas pela equação diferencial
~ = kP( 1 - : )( 1 - ; )
onde o fator extra, 1 - m/P, leva em conta as conseqüências de uma população esparsa
(veja o Exercício 13).
Exercícios
f%lJ$ Suponha que uma população se desenvolva de acordo com a
equação logística
dP ~ 0,05P - 0,0005 2
dt
onde t é medido em semanas.
(a) Qual é a capacidade de suporte Qual é o valor de k
(b) Um campo de direções para essa equação é mostrado à
direita. Onde as inclinações estão próximas de O Onde
elas são maiores Quais soluções são crescentes Quais
soluções são decrescentes
(c) Use o campo de direções para esboçar as soluções para as
populações iniciais de 20, 40, 60, 80, 120 e 140. O que essas
Pt
l50t
lOOi
sot
1
oi
I
'
' ' ' '
' ' ' ' ' ' ' '
20
' ' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' ' '
40 60
I

626 L-' CÁLCUlO Editora Thomson
soluções têm em comum Como elas diferem'
Quais soluções têm pontos de intlex.ão A que nívd
populacional elas ocorrem
(d) Quais são as soluções de equilíbrio Como as outras
soluções estão relacionadas a essas soluções
2. Suponha que uma população cresça de acordo com o modelo
logístico com capacidade de suporte 6.000 e k:::;; 0,0015 por ano.
(a) Escreva a equação diferencial logística para esses dados.
(b) Desenhe um campo de direções (ou à mão ou com um
sistema algébrico computacional). O que ele lhe diz sobre
as curvas-solução
(c) Use o campo de direções para esboçar as curvas-solução
para as populações iniciais de 1.000, 2.000, 4.000 e 8.000.
O que você pode dizer sobre a concavidade dessas curvas
Qual o significado dos pontos de inflexão
(d) Programe uma calculadora ou um computador para usar o
método de Euler com passo h = l para estimar a população
depois de 50 anos se a população inicial for 1.000.
(e) Se a população inicial for 1 .000, escreva uma fórmula para a
população depois de t anos. Use-a para calcular a população
depois de 50 anos e compare com sua estimativa na parte (d).
(f) Plote a solução da parte (e) e compare com a curvasolução
que você esboçou na parte (c).
,-,a. O cardume de atum do Pacífico foi modelado pela equação
diferencial
onde y(t) é a biomassa (massa total dos membros da
população) em quilogramas no tempo t (medido em anos), a
capacidade de suporte é estimada como K = 8 X 1 O 7 kg, e
k = 0,71 por ano.
(a) Se y(O) = 2 X 10' kg, calcule a biomassa um ano depois.
(b) Quanto tempo levará para a biomassa alcançar 4 X 1 O
7 kg
4. A tabela fornece o número de células de levedura em uma
cultura nova de laboratório.
(a) Plote os dados e use o gráfico para estimar a capacidade de
suporte para a população de levedura.
(b) Use os dados para estimar a taxa de crescimento inicial
relativo.
(c) Encontre um modelo exponencial e um modelo logístico
para esses dados.
(d) Compare os valores previstos com os valores observados,
na tabela e nos gráficos. Compare como seus modelos se
ajustam aos dados.
(e) Utilize seu modelo logístico para estimar o número de
células de levedura depois de sele horas.
5. A população mundial era cerca de 5,3 bilhões em 1990.
A taxa de natalidade na década de 1990 variou entre 35 c 40
milhões por ano, e a taxa de mortalidade variou entre 15
e 20 milhões por ano. Vamos supor que a capacidade de
suporte para a população mundial seja 100 bilhões.
(a) Escreva uma equação diferencial logística para esses
dados. (Como a população inicial é pequena comparada
à capacidade de suporte, você pode tomar k como uma
estimativa da taxa de crescimento relativo inicial.)
(b) Utilize o modelo logístico para prever a população mundial
em 2000 e compare a população real de 6,1 bilhões.
(c) Use o modelo logístico para prever a população mundial
nos anos 2100 e 2500.
( d) Quais seriam as suas previsões se a capacidade de suporte
fosse de 50 bilhões
6. (a) Faça uma suposição para a capacidade de suporte da
população dos Estados Unidos. Use-a, e também o fato de
que a população era de 250 milhões em 1990, para fonnular
um modelo logístico para a população norte-americana.
(b) Determine o valor de k em seu modelo usando o fato de que
a população norte-americana em 2000 era de 275 milhões.
(c) Use seu modelo para prever a população dos Estados
Unidos nos anos 2100 e 2200.
(d) Utilize seu modelo para prever o ano no qual a população
ultrapassará 300 milhões.
Um modelo para a propagação de um boato é que a taxa de
propagação é proporcional ao produto da fração y da
população que ouviu o boato e a fração que não ouviu o boato.
(a) Escreva uma equação diferencial que seja satisfeita por y.
(b) Resolva a equação diferenciaL
(c) Uma cidade pequena tem 1.000 habitantes. Às 8 horas
80 pessoas tinham ouvido o boato. Ao meio-dia metade da
cidade tinha ouvido o boato. A que horas 90% da
população terá ouvido o boato
8. Os biólogos colocaram em um lago 400 peixes e estimaram a
capacidade de suporte (a população máxima de peixes daquela
espécie no lago) como 10.000. O número de peixes triplicou
no primeiro ano.
(a) Presumindo que o tamanho da população de peixes
satisfaça a equação logística, encontre uma expressão
para o tamanho da população depois de t anos.
(b) Quanto tempo levará para a população aumentar para
5.000
(a) Mostre que, se P satisfizer a equação logística (1), então
(b) Deduza que a população cresce mais rapidamente quando
ela atinge a metade de sua capacidade de suporte.

James Stewart CAPÍTULO 9 EQUAÇÕES DIFEREf'..lCLAiS U 627
10. Para um valor fixo de K (digamos K = 10), a família de
funções logísticas dada pela Equação 4 depende do valor
inicial P 0 e da constante de proporcionalidade k. Plote vários
membros dessa família. Como muda o gráfico quando P 0
varia Como muda o gráfico quando k varia
11. Vamos modificar a equação logística do Exemplo 1 como a
seguir:
dP ( P )
-~0,08 !-~~ -15
dt !.000
(a) Suponha que P(t) represente uma população de peixes no
tempo t, onde t é medido em semanas. Explíque o
significado do termo-15.
(b) Desenhe um campo de direções para essa equação diferenciaL
(c) Quais são as soluções de equilíbrio
(d) Use o campo de direções para esboçar várias curvassolução.
Descreva o que acontece à população de peixes
para várias populações iniciais.
(e) Resolva essa equação diferencial explicitamente, usando
frações parciais ou com um sistema algébrico
computacionaL Use as populações iniciais de 200 e 300.
Plote as soluções e compare com seus esboços na parte (d).
12 Considere a equação diferencial
;'i~;
dP ~ 0,08(1 - ~p~)
dt !.000
-c
como um modelo para uma população de peixes, onde t é
medido em semanas e c é uma constante.
(a) Use um CAS para desenhar campos de direções para
diversos valores de c.
(b) A partir dos campos de direções na parte (a), detennine os
valores de c para os quais há pelo menos uma solução de
equilíbrio. Para quais valores de c a população de peixes
sempre desaparece
(c) Use uma equação diferencial para provar o que você
descobriu graficamente na parte (b).
(d) Qual sua recomendação para o limite de pesca semanal
para essa população de peixes
Existe evidência considerável para apoiar a teoria de que, para
algumas espécies, existe uma população núnima m de forma
que as espécies se tornam extintas quando o tamanho da
população cai abaixo de m. Essa condição pode ser incorporada
à equação logística pela introdução do fator ( 1 -
m/ P). Então o
modelo logístico modificado é dado pela equação diferencial
~ ~kP(!- ;)(1- ;)
(a) Use a equação diferencial para mostrar que qualquer
solução é crescente sem < P < K e decrescente se
O< P

628 CÁLCULO Editora Thomson
Lineares
Uma equação diferencial linear de primeíra ordem é aquela que pode ser escrita na forma
dy
- + P(x)y ~ Q(x)
dx
onde P e Q são funções contínuas em um dado intervalo. Esse tipo de equação ocorre freqüentemente
em vários ramos da ciência, corno veremos.
Um exemplo de uma equação linear é ..\)7 1 + y = 2x porque, para x # O, esta pode ser
escrita na forma
' I 2
y + -y ~
X
Note que essa equação diferencial não é separável, porque é impossível fatorar a expressão
para y' como uma função de x vezes uma função de y. Mas ainda podemos resolver a
equação notando que, pela Regra do Produto,
e assim podemos escrever a equação como
(xy)' ~ 2x
Se integrannos ambos os lados dessa equação, obteremos
X}'= x 2 + C
ou
c
y~x +­
X
Se nos tivesse sido dada a equação diferencial na fonna da Equação 2, teríamos de fazer
uma etapa preliminar multiplicando cada lado da equação por x.
Decorre que toda equação diferencial linear de primeira ordem pode ser resolvida de
uma maneira similar pela multiplicação de ambos os lados da Equação I por uma função
adequada I(x) chamada fator integrante. Tentamos encontrar I de modo que o lado esquerdo
da Equação I, quando multiplicado por I(x), toma-se a derivada do produto I(x)y:
/(x)(y' + P(x)y) ~ (I(x)y)'
Se pudermos encontrar tal função I, a Equação I ficará
Integrando ambos os lados teríamos
assim a solução seria
(I(x)y)' ~ /(x)Q(x)
l(x)y ~ r l(x)Q(x) dx + c
y(x) ~ - 1 - [J- l(x)Q(x) dx + c]
l(x)

James Stewart CAPÍTUlO 9 EQUAÇÕES DIFERE~KI.r\1~- 629
Para encontrarmos esse I, expandimos a Equação 3 e cancelamos os termos:
I(x)y' + I(x)P(x)y = (I(x)y)' = l'(x)y + i(x)y'
I(x)P(x) = I'(x)
Essa é uma equação separável para i, que resolvemos como a seguir:
,• di .
j- = j P(x) dx
. I
In li I= J P(x) dx
I= Ae.l.f'lx)th
onde A = :::!:: e c_ Estamos olhando para um fator "de integração particular. não o rnms
comum; assim, tomamos A = 1 e usamos
Então, a fórmula para a solução geral da Equação 1 é fornecida pela Equação 4, onde I é
dado pela Equação 5. Em vez de memorizar essa fórmula, contudo, apenas lembramos a
fonna do fator integrante.
Para resolver a equação diferencial linear y' + P(x)y = Q(x), multiplique ambos
os lados pelo fator integrante I(x) = eiPC•>d• e integre ambos os lados.
l
dy • •
EXEMPlO l Q Resolva a equação diferencial dx + 3x"y = 6r.
SOLUÇÃO A equação dada é linear porque ela tem a forma da Equação 1 com
P(x) = 3x 2 e Q(x) = 6x 2 Um fator integrante é
= A Figura 1 mostra os gráficos de
vários membros da família de soluções
no Exemplo 1. Note que todos eies se
aproximam de 2 quando x- x.
Multiplicando ambos os lados da equação diferencial por ex', obtemos
6
ou
d ( ' ) ' ;
- ex y = 6.x-e·'
dx
Integrando ambos os lados, temos
FIGURA 1
C=-2
-3

630 o CÁlCUlO Editora Thomson
EXEMPlO 2 ·~
Encontre a solução para o problema de valor inicial
x>O y(l) ~ 2
SOLUÇÃO Devemos primeiro dividir ambos os lados pelo coeficiente de y' para colocar a
equação diferencial na forma-padrão:
1
y' + -y
X
x>O
O fator integrante é
l(x) = C·l íl/.r)dx = elr. X
= X
A multiplicação de ambos os lados da Equação 6 por x fornece
xy'
I
+ y=­ ou (xv) ' ~-
1
x
. X
A solução do problema de valor
inicial no Exemplo 2 é mostrada na
Figura 2.
5
Então
e assim
Como y(l) ~ 2, temos
- 1
xy ~ j-dx ~ lnx +C
• X
y=
lnx +C
X
o L1 ~=======
~~
I
FIGURA 2
4
·.:J Embora as soluções da equação
diferencial no Exemplo 3 sejam
expressas em termos de uma integral,
elas ainda podem ser plotadas por
um sistema aigébrico computacional
(Figura 3).
-2,5
2,5
Logo, a solução para o problema de valor inicial é
EXEIIIIPUJ 3 c Resolva y' + 2xy ~ L
y~
lnx + 2
SOLUÇÃO A equação dada está na forma-padrão para uma equação linear. Multiplicando
pelo fator integrante
obtemos
ou
Portanto
'
Lembre-se da Seção 7 .5, do Volume I, que r e' dx não pode ser expressa em termos de
funções elementares. Apesar disso, é uma flinção perfeitamente boa e podemos deixar a
resposta como
X
FIGURA3
~2,5

James Stewart CAPÍTULO 9 EOU.AÇÓES DIFERENCIAiS 631
Outra maneira de escrever a solução é
(Qualquer número pode ser escolhido para o limite inferior de integração.)
R
interruptor
L
Aplicação a Circuitos Elétricos
Na Seção 9.2 consideramos o circuito elétrico simples mostrado na Figura 4: urna força
eletromotriz (geralmente uma pilha ou gerador) produz uma voltagem de E(t) volts (V) e
uma corrente de l(t) amperes (A) em um tempo t. O circuito também contém um resistor
com uma resistência de R ohms (fl) e um indutor com urna indutância de L henrics (H).
A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem devido ao resistor é RI. A queda de vol·
tagem devido ao indutor é L(di/dt). Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas
de voltagem é igual à voltagem fornecida E(t). Então temos
FIGURA 4
di
L-+ RI~ E(t)
dt
que é urna equação diferencial linear de primeira ordem. A solução fornece a corrente 1 no
tempo t.
EXEMPlO 4 c: Suponha que no circuito simples da Figura 4 a resistência seja 12 í1 e a
indutância seja 4 H. Se uma pilha fornecer urna voltagem constante de 60 V e o interruptor
for fechado quando t ~ O, então a corrente começa com I( O) ~ O. Encontre (a) /(1), (b)
a corrente depois de 1 se (c) o valor-limite da corrente.
A equação diferencial no Exemplo 4
é linear e separável; assim, um método
alternativo é resolvê-la como uma
equação separável {Exemplo 4 na
Seção 9.3). Se trocarmos a pilha por
um gerador, contudo, obteremos uma
equação que é linear. mas náo é
separável {Exemplo 5)_
SOLUÇÃO
(a) Se colocarmos L ~ 4, R ~ 12 e E(t) = 60 na Equação 7, obteremos o problema de
valor ínicial
ou
di
4- + 12!~ 60
dt
di
- + 3I~ 15
dt
/(O) ~O
I( O) ~o
Multiplicando pelo fator integrante e.fJdr = e 3 ', obtemos
3 di . 3
e r- + 3e->'j = 15e r
dt
d
- (e"I) ~ l5e 3 '
dt
e 3 'l ~ J J5e 3 'dt ~Se"+ C
I(t) ~ 5 + Ce-"
Como I(O) ~O, temos 5 + C~ O, assim C~ -5 e

632 L! CÁLCULO Editora Thomson
::: .4 Figura 5 mostra corno a corrente
no Exempio 4 se aprox1ma de seu
va!or~iimite
(b) Depois de um segundo a corrente é
I( I) ~ S(l - e- 3 ) = 4,7S A
6
r"'5
(c)
lim I(t) ~ lim 5(1 - e- 3 ')
t--->:.c
r---·:.c
= 5- 5lime- 31
~5-o~s
()
FIGURA 5
2,5
EXEMPlO 5 ~=' Suponha que a resistência e a indutância permaneçam as mesmas como
no Exemplo 4, mas, em vez de uma pilha, usaremos um gerador que produz uma
voltagem variável de E(t) ~ 60 sen 30t volts. Encontre I(t).
SOLUÇÃO Dessa vez a equação diferencial toma-se
di
4- + 12! ~ 60 sen 30t
dt
O mesmo fator de integração e 3 ' fornece
ou
di
- + 3! ~ 15 sen 30t
dt
--~ A Figura 6 mostra o gráfico da
corrente quando a pilha é trocada por
um gerador.
2
d.) Jdl. J
-(e 'I)~ e'-+ 3e"I ~!Se 'sen 30t
dt
dt
Usando a Fórmula 98 da Tabela de Integrais, obtemos
e3i
e"I ~ f !Se'' sen 30t dt ~ 1S --(3 sen 30t -
' 909
30 cos 30t) + C
I~ ,g;(sen 301- !Ocos 301) + Ce- 3 '
Como I( O) ~O, temos
-2
FIGURA 6
assim
I(t) ~ ~;(sen 30t- !Ocos 30t) + f~e- 3 '
Exercícios
1-4 o Determine se a equação diferencial é linear. dy
12. - dx = x sen 2x + )'to- x -n/2 < x < n/2
o•
t y' + e·'y = x2y2
3. xy' + In x - x 2 y = O 4. y' + COS y = tg X
5-14 CJ Resolva a equação diferencial.
y' + 2y ~ 2e"
7. xy' - 2y ~ x'
xy'+y=Jx
10. l + xy = xy'
dy
11. ~ + 2xy = x 2
dx
6. y' =X+ 5y
du
13. (l + t) - + u ~ I + t, t > O
dt
dr .
14. t ln t- + r = te·
dt
15-20 c Resolva o problema de valor inicial.
15. y' ~X + y, y(O) ~ 2
dy •
dt . , ,
16. t- + 2v ~ t' t > O y(l) ~ O
dv ,
17. dt - 2tv ~ 3t'e'', v( O) ~ 5

James Stewart CAPÍTUlO 9 EQUAÇÕES DIFERENCIAiS 633
18. 2xy' + y = 6x, x >O, y(4) = 20
:'riS. xy' = y + x 2 sen x, y(7r) ~o
20.
dy y
xdx ~~=x,
y(l) ~ o.
x>O
Lí-2:2 ,::-:: Resolva a equação diferencial e use uma calculadora
gráfica ou um computador para plotar vários membros da famí1ía
de soluções. Como a curva-solução muda quando C varia
21. X)' 1 + )' =X COS X, X > 0
22. y' + (cos x)y = cos x
23. Uma equação diferencial de Bernoulli [em homenagem a
James Bemoul1i (1654-1705)] é da forma
dv
dx + P(x)y ~ Q(x)y"
Observe que, se n = O ou 1, a equação de Bernoulli é linear.
Para outros valores de n, mostre que a substituição u = y 1
transforma a equação de Bernoulli na equação linear
du + (l
dx .
- n)P(x)u ~ (1 - n)Q(x)
24-26 u Use o método do Exercício 23 para resolver a equação
diferencial.
24. xy' + y = -xy 2 2 v'
y' +~v=-·-
x · x 2
26. y' + y = xy 3
27. No circuito apresentado na Figura 4, uma pilha fornece uma
voltagem constante de 40 V, a indutância é 2 H, a resistência é
lO í1 e /(O) ~O.
(a) Encontre /(r).
(b) Calcule a corrente após 0,1 s.
28. No circuito mostrado na Figura 4, um gerador fornece uma
voltagem de E(t) = 40 sen 60t volts, a indutância é 1 H, a
resistência é 20 í1 e /(0) ~ 1 A.
(a) Encontre l(t).
(b) Calcule a corrente depois de 0,1 s.
(c) Use um dispositivo gráfico para desenhar o gráfico da
função corrente.
29. A figura mostra um circuito contendo uma força eletromotriz,
um capacitor com capacitância de C farads (F) e um resistor
com uma resistência de R ohms (O). A queda de voltagem
c
através do capacitar é Q/C, onde Q é a carga (em coulombs);
nesse caso, a Lei de Kirchhoff fornece
Mas I= dQ/dt (veja o Exemplo 3 na Seção 3.3 no Volume 1).
assim, temos
dQ I
R-+ -Q ~ E(t)
dt
c
Suponha que a resistência seja 5 O e a capacitância, 0,05 F: a
pilha forneça uma voltagem constante de 60 V e a carga ínicial
seja Q(O) = O C. Encontre a carga e a corrente no tempo t.
30. No circuito do Exercício 29, R ~ 2 O, C~ 0,01 F. Q(O) =O c
E(t) = lO sen 60t. Calcule a carga e a corrente no tempo t.
31. Seja P(t) o nível de-desempenho de alguém aprendendo uma
habilidade como uma função do tempo de treinamento t. O
gráfico de Pé chamado curva de aprendizagem. No Exercício
13 na Seção 9.1 propusemos a equação diferencial
dP
- ~ k[M- P(t)]
dt
como um modelo razoável para a aprendizagem, onde k é uma
constante positiva. Resolva essa equação diferencial linear e
use sua solução para plotar a curva de aprendizagem.
32. Dois novos trabalhadores foram contratados para uma linha de
montagem. João processou 25 unidades durante a primeira
hora e 45 unidades durante a segunda hora. Marcos processou
35 unidades durante a primeira hora e 50 unidades na segunda
hora. Usando o modelo do Exercício 31 e assumindo que
P(O) = O, estime o número máximo de unidades por hora que
cada trabalhador é capaz de processar.
~~, Na Seção 9.3 olhamos para os problemas de misturas nos quais
o volume de fluido permanecia constante e vimos que estes
fornecem equações separáveis (veja o Exemplo 6 naquela
seção). Se as taxas de entrada e de saída do sistema
forem diferentes, então o volume não é constante e a equação
diferencial resultante é linear, mas não separáveL
Um tanque contém 100 L de água. Uma solução com uma
concentração de sal de 0,4 kg/L é adicionada a uma taxa de
5 Umin. A solução é mantida misturada e é retirada do tanque
a uma taxa de 3 Umin. Se y(t) for a quantidade de sal
(em quilogramas) depois de t Illinutos, mostre que y satisfaz
a equação diferencial
dy ~ 2 -
dt
='c-::-­
100 + 2t
Resolva essa equação e calcule a concentração depois de
20 minutos.
34. Um tanque com capacidade de 400 L está cheio com uma
mistura de água e cloro com uma concentração de 0,05 g de
cloro por litro. Para reduzir a concentração de cloro, água doce

634 o CÁlCUlO Editora Thomson
é bombeada no tanque a uma taxa de 4 L/s. A mistura é agitada
e é retirada a uma taxa de 1 O L/s. Calcule a quantidade de
cloro no tanque em função do tempo.
35. Um objeto com massa m é derrubado a pat1ir do repouso e
presumimos que a resistência do ar seja proporcional à
velocidade do objeto. Se s(t) for a distância percorrida depois
de t segundos, então a velocidade é v = s'(t) e a aceleração é
a = v'(t). Se g for a aceleração da gravidade, então a força para
baixo no objeto é mg - cv, onde c é uma constante positiva, e
a Segunda Lei de Newton fornece
dv
m-=mg-cv
dt
(a) Resolva essa equação linear para mostrar que
mg.
v~~(lc
(b) Qual é a velocidade-limite
(c) Calcule a distância que o objeto caiu depois de 1 segundos.
36. Se ignoram10s a resistência do ar, poderemos concluir que
os objetos mais pesados não caem mais rápido que objetos
mais leves. Mas, se considerannos a resistência do ar, nossa
conclusão muda. Use a expressão para a velocidade de queda
de um objeto no Exercício 35(a) para calcular dvjdm c
mostrar que os objetos mais pesados caem mais rápido
que os mais leves.
Sistemas Predador-Presa
·~~~~~~~~~~~~~~~~
W represenm os píedadores.
R representa as presas.
Temos olhado uma variedade de modelos para o crescimento de uma única espécie que vive
sozinha em um ambiente. Nesta seção consideraremos os modelos mais realistas,
que levam em consideração a interação de duas espécies no mesmo ambiente. Veremos que
esses modelos tornam a forma de um par de equações diferenciais acopladas.
Primeiro consideraremos a situação na qual uma espécie, chamada presa, tem um
amplo suprimento alimentar e a segunda espécie, denominada predador, se alimenta da
presa. Exemplos de presa e predador incluem coelhos e lobos em uma floresta isolada,
peixes e tubarões, pulgões e joaninhas e bactérias e amebas. Nosso modelo terá duas variáveis
dependentes e ambas serão funções do tempo. Seja R(t) o número de presas (usando
R para coelhos) e W(t) o número de predadores (com W para lobos) no tempo t.
Na ausência de predadores, o amplo suprimento de alimentos suportaria o crescimento
exponencial de presas, isto é,
dR
-~kR
dt
onde k é uma constante positiva
Na ausência de presas, assumimos que a população de predadores declinaria a uma taxa
proporcional a ela mesma, isto é,
dW
--~ -rW
dt
onde r é uma constante positiva
Com ambas as espécies presentes, contudo, pressupomos que a causa principal de morte
entre as presas seja a de serem comidas por predadores, e as taxas de natalidade e sobrevivência
dos predadores dependam da disponibilidade de comida, a saber, as presas.
Também presumimos que as duas espécies se encontrem a uma taxa que é proporcional a
ambas as populações e é, portanto, proporcional ao produto RW. (Quanto maior for qualquer
uma das populações, maior é a chance do encontro.) Um sistema de duas equações
diferenciais que incorporam essas premissas é mostrado a seguir:
dR
-~kR -aRW
dt
dW
-= -rW+ bRW
dt
onde k, r, a e b são constantes positivas. Note que o termo -aRW diminui a taxa natural
de crescimento das presas e o termo bRW aumenta a taxa de crescimento natural dos
predadores.

James Stewart CAPÍTUlO 9 EOU/\ÇÕES DiFEREl'JCI/\iS 635
-~ /\s equações de Lotka-Voiterra foram
propostas como um modelo para
explicar as variações de tubarões e
peixes no mar Adriático pelo
matemático italiano Vito Vo!terra
(1860-1940)
As equações em (l) são conhecidas como equações predador-presa, ou equações de
Lotka-Volterra. Uma solução desse sistema de equações é um par de funções R(t) e W{f).
que descrevem as populações de presas e predadores como funções do tempo. Como o sistema
é acoplado (R e W ocorrem em ambas as equações), não podemos resolver uma
equação e depois a outra: temos de resolvê-las de maneira simultânea, Infelizmente,
porém, em geral é impossível encontrar fórmulas explícitas para R e W como funções de
t. Podemos, contudo, usar métodos gráficos para analisar as equações.
EXEMPLO 1 :___
Suponha que as populações de coelhos e lobos sejam descritas pelas
equações de Lotka-Volterra (l) com k = 0,08, a= 0,001, r= 0,02 e b = 0,00002.
O tempo t é medido em meses,
(a) Encontre as soluções constantes (chamadas soluções de equilíbrio) e interprete a
resposta,
(b) Use o sistema de equações diferenciais para encontrar uma expressão para dW/dR.
(c) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial resultante no plano RW,
Então use o campo de direções para esboçar algumas curvas-solução.
(d) Suponha que, em algum ponto no tempo, existam l.OOO coelhos e 40 lobos. Desenhe
a curva-solução correspondente e use-a para descrever as mudanças em ambos os níveis
de população.
(e) Use a parte (d) para fazer esboços de R e W como funções de 1.
SOLUÇÃO
(a) Com os valores dados de k, a, r e h, as equações de Lotka-Volterra se tornam
dR ~ 0,08R - O,OOlRW
dt
dW ~ -0,02W + 0,00002RW
dt
Tanto R como W serão constantes se ambas as derivadas forem O, isto é,
R' ~ R(0,08 - 0,001 W) ~O
W' ~ W( -0,02 + 0,00002R) ~ O
Uma solução é dada por R= O e W =O, (Isso faz sentido: se não existirem coelhos ou
lobos, as populações não vão aumentar.) A outra solução constante é
0,08
w~--~8o
O,OOl
0,02
R~ ~ 1000
0,00002
Assim as populações de equilíbrio consistem em 80 lobos e 1.000 coelhos, Isso significa
que l.OOO coelhos são suficientes para sustentar uma população constante de 80 lobos.
Não existem muitos lobos (o que resultaria em menos coelhos) nem poucos lobos (o que
resultaria em mais coelhos).
(b) Usamos a Regra da Cadeia para eliminar 1:
assim
dW
dR
dW dW dR
dt dR dt
dW
dt -0,02W + 0,00002RW
dR 0,08R - O,OOlRW
dt

636 o CÁLCUlO Editora Thomson
(c) Se pensarmos em VV como uma função de R, teremos a equação diferencial
dW
dR
-0,02W + 0,00002RW
O,OSR - O,OO!RW
Desenhamos o campo de direções para essa equação diferencial na Figura l e o usamos
para esboçar várias curvas-solução na Figura 2. Se nos movermos ao longo de uma
curva-solução, veremos como o relacionamento entre R e W muda com o passar do
tempo. Observe que as curvas parecem estar fechadas no sentido de que, se viajamos ao
longo de uma curva, sempre retornamos ao mesmo ponto. Note também que o ponto
(1.000, 80) está dentro de todas as curvas solução. Esse ponto é denominado ponto de
equilíbrio, porque corresponde à solução de equilíbrio R ~ 1.000, W ~ 80.
w
w;
!50
100
50
o
-~-----~--{
~///// //
I
o
I ·~
"'>O "-2--- -~~---
' ' ,
!.000 2.000 3.000 R OI
I
1.000 2.000 3.000 R
FIGURA 1 Campo de direções para o sistema predador-presa FIGURA 2 Retrato de fase do sistema
Quando representamos as soluções de um sistema de equações diferenciais como na
Figura 2, referimo-nos ao plano RW como o plano de fase e chamamos as curvassolução
de trajetórias de fase. Assim, uma trajetória de fase é um caminho traçado
pelas soluções (R, W) com o passar do tempo. Um retrato de fase consiste em pontos de
equilíbrio e trajetórias de fase típicas, como mostrado na Figura 2.
(d) Começar com 1.000 coelhos e 40 lobos corresponde a desenhar a cUIVa-solução no
ponto Po(l.OOO, 40). A Figura 3 mostra essa trajetória de fase com o campo de direções
removido. Começando no ponto Po no tempo t =O e deixando t aumentar, movemo-nos no
sentido horário ou no anti-horário ao redor da trajetória de fase Se colocarmos R ~ 1.000 e
Wj
!40+
120+
~~~\
/
~~
}P.
o (1.000, 40)
FIGURA3
Trajetória de fase em (1.000, 40)
' 500
1.000 1.500
2.000 2.500 3.000 R

James Stewart CAPÍTULO 9 EOUAÇÓES DiFERENCiAIS ;·-: 637
W = 40 na primeira equação diferencial, teremos
dR ~ 0,08(1.000) - 0,001(1.000)(40) ~ 80- 40 ~ 40
dt
Como dR/dt >O, concluímos que R está aumentando em P 0 e assim nos movemos no
sentido anti-horário ao longo da trajetória de fase.
Vemos que em P 0 não existem lobos suficientes para manter um equilíbrio entre as
populações; dessa forma, a população de coelhos aumenta. Isso resulta em mais lobos e
eventualmente existem tantos lobos que os coelhos têm dificuldade para evitá-los.
Assim, o número de coelhos começa a declinar (em P 1 , onde estimamos que R atinja
a população máxima ao redor de 2.800). Isso significa que algum tempo depois a
população de lobos começa a cair (em 2 , onde R~ 1.000 e W = 140). Mas isso
beneficia os coelhos; portanto, sua população depois começa a aumentar (em P3, onde
W ~ 80 e R = 210). Como conseqüência, a população de lobos eventualmente começa a
aumentar também. Isso acontece quando as populações retornam a seus
valores iniciais de R = 1.000 e W = 40 e o ciclo inteiro começa novamente.
(e) Da descrição na parte ( d) de como as populações de coelhos e lobos aumentam e
diminuem, podemos esboçar os gráficos de R(t) e W(t). Suponha que os pontos P, P, e
P 3 na Figura 3 sejam alcançados nos tempos t1, t2 e !3. Então podemos esboçar gráficos
de R e W como na Figura 4.
14:f
120
wot
:t
40 .
~----// 20
!.
FIGURA4
Gráficos das populações de
coelhos e lobos como
função do tempo
o t, 1, !,
Para tornar os gráficos mais fáceis de comparar, os desenhamos nos mesmos eixos,
mas com escalas diferentes para R e W, como na Figura 5. Note que os coelhos atingem
sua população máxima cerca de um quarto de ciclo antes dos lobos.
FIGURA 5
Comparação das populações
de coelhos e lobos
R;
301 f\
N':I;"'
coelhos
2.oootV· I .....···! ; ·...\
Looof
'
w
\ /
r
! \
I
I '~----// ~/ \'-_/1
! :0
80
I
I 40
Número
do
tobos

638 o CÁLCULO Editora Thomson
Uma parte importante do processo de modelagem, corno discutimos na Seção 1.2, é
interpretar nossas conclusões matemáticas como previsões do mundo real e testar as pre~
visões com dados reais. A Hudson's Bay Company, que começou comerciando peles de
animais no Canadá em 1670, manteve os dados a partir de 1840. A Figura 6 mostra gráficos
do número de peles de coelho selvagem e seu predador~ o lince canadense, comerciado
pela companhia em um período de 90 anos. Você pode ver que as oscilações acopladas
na população de coelhos selvagens e linces, prevista pelo modelo de Lotka-Volterra, realmente
ocorrem e o período desses ciclos é de aproximadamente dez anos.
'"0 I
I
rw+
Milhares de
coelhos
selvagem;
80
Milhares de
linces
FIGURA 6
Relativa abundância de coelhos e linces
dos registros da Hudson's Bay Company
1850 1900 1925
Embora o modelo relativamente simples de Lotka-Volterra tivesse algum sucesso em
explicar e prever as populações acopladas, os modelos mais sofisticados também têm sido
propostos. Uma maneira de modificar as equações de Lotka-Volterra é assumir que, na
ausência de predadores, a presa cresce de acordo com um modelo logístico com capacidade
de suporte K. Então as equações de Lotka-Volterra (I) são substituídas pelo sistema
de equações diferenciais
dW
dR ~ kR(l - B_) - aRW -~ -rW+ bRW
dt
K
dt
Esse modelo é investigado nos Exercícios 9 e 1 O.
Os modelos também têm sido propostos para descrever e prever níveis de população de
duas espécies que competem pelos mesmos recursos ou cooperam por benefícios mútuos.
Esses modelos serão explorados no Exercício 2.
~:lftJ
Exercícios
1. Para cada sistema predador-presa, determine qual das
variáveis, x ou y, representa a população de presas e qual
representa a população de predadores. O crescimento das
presas é restrito apenas pelos predadores ou por outros fatores
também Os predadores se alimentam apenas das presas ou
eles têm outras fontes de alimentação Explique.
(a) dx ~ -0 05x + O,OOOíxy
dt ,
dv
--"- ~ o I)• - o 005X)'
dt ' '
(b) dxd ~ 0.2x - 0,0002x 2 - 0,006xy
t .
dv
--"- ~ -o Ol5v + 0,00008xy
dt ' .
2. Cada sistema de equações diferenciais é um modelo para duas
espécies que competem pelas mesmas fontes ou cooperam por
mútuo benefício (plantas em floração e insetos polinizadores,
por exemplo). Decida qual sistema descreve a competição ou a
cooperação e explique por que este é um modelo razoável.
(Pergunte-se qual é o efeito que o aumento de uma das
espécies tem na taxa de crescimento da outra.)
dx
(a) - ~ 0,12x - 0,0006x 2 + O,OOOOlxy
dt
dy
dt ~ 0,08x + 0,00004xy
(b) dx ~ O 15x - O 0002x 2 - O 0006xy•
dt , ' '
dy
- ~ O 2y - O 00008y 2 - O 0002xv
dt ' ' ' -

James Stewart CAPÍTULO 9 EQUAÇÓES DiFERENCIAIS 639
3-4 ::: Urna trajetória de fase é mostmda para a.;; populações de
coelhos (R) e raposas (F).
(a) Descreva como cada população muda com o passar do tempo.
(b) Use sua descrição para fazer um esboço grosseiro dos gráficos
de R e F como funções do tempo.
3.
4.
n !
300 i
~j
i
lOOt
o
!6:1
!20f
80
40
o[
t= o
400
//"
I
I
I
I
~
I
400
~!
800 1.200 1.600 2.000
---~ {;::;::Ü
I I I
800 1.200 1.600
5--S - Gráficos de populações de duas espécies são ilustrados.
Use-os para esboçar a trajetória de fase correspondente.
s; 20~!
1
100
o
espécies 1
espécies 2
R
R
6.
.7.
12~1/ //
!.000 /
800
600
400
200
--~----~~~----~--
espécies 1
espécies 2
-+----c------+---....,·-~
O 5 10 15 r
No Exemplo l(b) mostramos que as populações de coelhos e
lobos satisfazem a equação diferencial
dW
dR
-0,02\V + 0,00002RW
0,08R - O,OO!RW
Resolvendo essa equação diferencial separável, mostre que
Romwo.os
onde C é uma constante.
É impossível resolver essa equação para W como uma função
explícita de R (ou vice-versa). Se você tiver um sistema algébrico
computacional que plota curvas definidas implicitamente, use
essa equação e seu CAS para desenhar a curva-solução que passa
pelo ponto (LOOO, 40) e compare com a Figura 3.
8. As populações de pulgões e joaninhas são modeladas pelas
equações
dA
-~2A-00!AL
dt
'
dL
- ~ -OSL + OOOO!AL
dt ' •
(a) Calcule as soluções de equilíbrio e explique seu
significado.
(b) Encontre urna expressão para dL/dA.
(c) O campo de direções para a equação diferencial na parte
(b) é mostrado. Use-o para esboçar um retrato de fase.
O que as trajetórias de fase têm em comum
Lt
400tl ,-'/ ___________________ _
I
I,;/.--------------.-.-.-. ....
I I//.------------------
1 I /-------------.-...--,--
3oof: ;;::=::::::::::::::
i ; _/
I '
/----------...----. ........... ,, ... ,, ...
I I / - - - ...__ '- '-. ' ' ' ' ~ \ \ ' ' \
200+ I I I I - < L I l f l I I I I I I l
1001~~~~,~~-~\\=_/~j-~[_-
----f-------+-------+--------t~
o I 5.000 10.000 15.000 A

640 c CÁLCULO Editora Thomson
(d) Suponha que no tempo t =O existam LOOO pulgões e 200
joaninhas. Desenhe a trajetória de fase correspondente e
use-a para descrever como as populações variam.
(e) Use a parte (d) para fazer esboços das populações de
pulgões e joaninhas como funções de t. Como os gráficos
estão relacionados
9. No Exemplo 1 usamos as equações de Lotka-Volterra para
modelar as populações de coelhos e lobos. Vamos modificar
aquelas equações como a seguir:
dR ~ 0,08R(l -
dt ,
dW
dt
0,0002R) - O,OOJRW
-0,02 W + 0,00002RW
(a) De acordo com essas equações, o que acontece à
população de coelhos na ausência dos lobos
70 wl
sofl
60t
,
I
-~~-/)
:~ ,~~------r----r----r---~
R
600 800 ].000 1.200 1.400 1.600
(b) Calcule as soluções de equilíbrio e explique seus
signíficados.
(c) A figura mostra a trajetória de fase que começa no ponto
(1.000, 40). Descreva o que finalmente ocorre às
populações de coelhos e lobos.
(d) Esboce os gráficos das populações de coelhos e lobos
como funções do tempo.
10. No Exercício 8 modelamos populações de pulgões e joaninhas
com um sistema Lotka-Volterra. Suponha que modifiquemos
aquelas equações como a seguir:
dA
dt ~ 24(! - O,OOOJA) - O,OIAL
dL
dt ~ -0,5L + O,OOOJAL
(a) Na ausência de joaninhas, o que o modelo prevê sobre os
pulgões
(b) Encontre as soluções de equilíbrio.
(c) Encontre uma expressão para dL/dA.
(d) Use um sistema algébrico computacional para desenhar um
campo de direções para a equação diferencial na parte (c).
Então use o campo de direções para esboçar um retrato de
fase. O que as trajetórias de fase têm em comum
(e) Suponha que no tempo t:: O existam 1.000 pulgões e 200
joaninhas. Desenhe a trajetória de fase correspondente e
useHa para descrever como ambas as populações variam.
(f) Use a parte (e) para fazer esboços das populações de
pulgões e de joaninhas como funções de t. Como os
gráficos são relacionados
Revisão
VERIFICAÇÃO DE CONCEITOS
1. (a) O que é uma equação diferencial
(b) O que é a ordem de uma equação diferencial
(c) O que é uma condição inicial
2.. O que você pode dizer sobre as soluções da equação
i = x 2 + y 2 apenas olhando para a equação diferencial
3. O que é um campo de direções para a equação diferencial
y' ~ F(x, y)
4. Explique como o método de Euler funciona.
5. O que é uma equação diferencial separável Como você a
resolve
6. O que é urna equação diferencial linear de primeira ordem
Como você a resolve
7. (a) Escreva uma equação diferencial que expresse a lei de
crescimento natural. O que ela diz em termos da taxa
de crescimento relativo
(b) Sob quais circunstâncias este é um modelo apropriado para
o crescimento populacional
(c) Quais são as soluções dessa equação
8. (a) Escreva a equação logística.
(b) Sob quais circunstâncias este é um modelo apropriado para
o crescimento populacional
9. (a) Escreva equaç-ões de Lotka-Volterra para modelar
populações de peixes (F) e tubarões (S).
(b) O que essas equações dizem sobre cada população na
ausência da outra

James Stewart CAPÍTUlO 9 EOUAÇÓES DIFERENCIA!$ 641
TESTES FALSO-VERDADEIRO
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique a
razão. Se for falsa, explique a razão ou dê um contra-exemplo
1. Todas as soluções da equação diferencial y' = -1 - y 4 são
funções decrescentes.
2. A função f(x) = (ln x)/x é uma solução da equação diferencial
x 2 y' + xy =L
3. A equação y' = x + y é separáveL
4. A equação y' = 3y - 2x + 6xy - l é separável.
5. A equação exy' = y é linear.
6. A equação y' + xy = eY é linear.
1. Se)' for a solução do problema de valor inicial
emão lim,--+,y = 5.
dy ( y)
dt~ 2y l- 5 y(O) ~ 1
1. (a) Um campo de direções para a equação diferencial
y' = y(y - 2)(y - 4) é mostrado. Esboce os gráficos das
soluções que satisfazem as condições iniciais dadas.
(i) y(O) ~ -0,3 (ii) y(O) ~ l
(iii) y(O) ~ 3 (iv) y(O) ~ 4,3
(b) Se a condição inicial for y(O) = c, para quais valores de c
lim,~"' y(t) é finito Quais são as soluções de equilíbrio
EXERCÍCIOS
2
o
/
/ / /
/ /
/ /
2. (a) Esboce um campo de direções para a equação diferencial
_v' = x/y. Então use-o para esboçar as quatro soluções que
satisfazem as condições iniciais y(O) = 1, y(O) = -1,
y(2) ~ l e y(-2) ~ 1.
(b) Verifique seu trabalho na parte (a) resolvendo a equação
diferencial explicitamente. Que tipo de curva é cada
cw-va-solução
3. (a) Um campo de direções para a equação diferencial
y' = x 2 - y 1 é mostrado. Esboce a solução do problema
de valor inicial
/
/
-3 -2 -'1 -0 { l 3 X
/
/
'
"'
- /
~
/
:'j
'
-2
'
'
·3
(b) Use o método de Euler com passo 0,1 para estimar y(0,3),
onde y(x) é a solução do problema de valor inicial na parte
(a). Compare com sua estimativa da parte (a).
(c) Em que retas estão localizados os centros dos segmentos de
reta horizontais do campo de direções da parte (a) O que
acontece quando uma curva-solução intercepta essas retas
4. (a) Use o método de Euler com passo 0,2 para estimar y(0,4),
onde e y(x) é a solução do problema de valor inicial
y' = 2xy 1
y(O) ~ l
(b) Repita a parte (a) com passo 0,1.
(c) Encontre a solução exata da equação diferencial e
compare com o valor em 0,4 com as aproximações nas
partes (a) e (b).
5-3 Resolva a equação diferencial.
y(O) ~ l
Use seu gráfico para estimar o valor de y(0,3).
5. y' = xe~senx - y cos X
1. (3y2 + 2y)y 1 = X COS X
dx
6. -=1-t+x-tx
dt

642 L! CÁLCULO Editora Thomson
f
9-H Resolva o problema de \'alor iniciaL
9. xyy' = In x, y(l) = 2
10. 1 + x = 2xy_v', x >O, y(l) = -2
11. y' + )' = ,/xe--'", y(O) = 3
12. Resolva o problema de valor inicial 2yy' = xe-', y(O) = I e
plote a solução.
13-"14 Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas.
13. kx' + r' ~ I
k
14. r~---.
· 1 + x·
15. Uma cultura de bactérias comq.·a com 1.000 bactérias, e a taxa
de crescimento é proporcional ao número de bactérias. Depois
de duas horas a população é 9.000. ·
(a) Encontre uma expressão para o número de bactérias depois
de t horas.
(b) Calcule o número de bactérias depois de três horas.
(c) Calcule a taxa de crescimento depois de três horas.
(d) Quanto tempo leva para o número de bactérias dobrar
16. Um isótopo de estrôncio, 90 Sr, Lem uma meia-vida de 25 anos.
(a) Calcule a massa de 90 Sr que resta a partir de uma amostra
de 18 mg depois de t anos.
(h) Quanto tempo levalia para a massa decair para 2 mg
17. Seja C(t) a concentração de um remédio na circulação
sangüínea. À medida que o corpo elimina o remédio, C(t)
diminui com uma taxa que é proporcional à quantidade de
medicamento que está presente naquele momento. Então,
C'(t) = -kC(t), onde k é um número positivo chamado
constante de eliminação do remédio.
(a) Se Co for a concentração no tempo t =O, encontre a
concentração no tempo t.
(b) Se o corpo eliminar metade do remédio em 30 horas,
quanto tempo levará para eliminar 90% do medicamento
18. (a) A população mundial era de 5,28 bilhões em 1990 e 6,07
bilhões em 2000. Encontre um modelo exponencial para
esses dados e use-o para prever a população mundial no
ano 2020.
(b) De acordo com o modelo na parte (a), quando a população
mundial excederá 10 bilhões
(c) Use os dados na parte (a) para encontrar um modelo
logístico para a população. Assuma a capacidade de
suporte de 100 bilhões. Então use o modelo logístico
para prever a população em 2020. Compare sua
previsão com o modelo exponencial.
(d) De acordo com o modelo logístico, quando a população
mundial excederá 10 bilhões Compare com suas previsões
na parte (b ).
19. O modelo de crescimento de Von Bertalanffy é usado para
prever o comprimento li_t) de um peixe em um período de tempo.
Se L.o for o maior comprimento para uma espécie. então a
hipótese é que a taxa de crescimento no comprimento seja
proporcional a Lx - L, o comprimento que ainda pode ser
alcançado.
(a) Fonnule e resolva uma equação diferencial para encontrar
uma expressão para L(t).
(b) Para o hadoque do Mar do Norte foi determinado que
Lx = 53 em, L( O) = 10 em, e a constante de
proporcionalidade é 0.2. Como é a expressão para L(t) com
esses dados
20. Um tanque contém I 00 L de água pura. A água salgada
contendo O, 1 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
lO Llmin. A solução é agitada e retirada do tanque na mesma
taxa. Quanto sal pemmnece no tanque depois de seis minutos
21. Um modelo para a propagação de uma epidemia é que a taxa
de propagação é proporcional ao número de pessoas infectadas
e ao número de pessoas não infectadas. Em uma cidade isolada
de 5.000 habilantes, 160 pessoas têm uma doença no começo
da semana e 1.200, no final da semana. Quanto tempo levará
para 80% da população se contaminar
22. A Lei de Brentano-Stevens em psicologia modela a maneira
como um objeto de estudo reage a um estímulo. Ela estabelece
que, se R representar a reação à quantidade de estímulo S,
então as taxas relativas de aumento são proporcionais:
ldR
R dt
kdS
S dt
onde k é uma constante positiva. Encontre R como uma
função de S.
23. O transporte de uma substância através de uma parede
capilar na fisiologia pulmonar tem sido modelado pela
equação diferencial
---- dh R( --- h)
dt
v k + h
onde h é a concentração de hormônio na corrente sangüínea, t
é o tempo, R é a taxa máxima de transporte, V é o volume do
capilar e k é a constante positiva que mede a afinidade entre os
hormônios e as enzimas que auxiliam o processo. Resolva essa
equação diferencial para encontrar uma relação entre h e t.
24. As populações de pássaros e insetos são modeladas pelas
equações
dx
- ~ 0,4x - 0.002xv
dt .
dv
-d· ~ -0.2y + 0,000008xy
t .
(a) Quais das variáveis (x ou y) representa a população de
pássaros e qual representa a população de insetos
Explique.
(b) Calcule as soluções de equilíbrio e explique seu
significado.

James Stewart
CAPÍTUlO 9 EQUAÇÕES DiFERENCiAIS
(c)
(d)
Encontre uma expressão para d:v/ d-.:.
O campo de direções para a equação diferencial na parte
(c) é mostrado. Use-o para esboçar a trajetória de fase
correspondente às populações iniciais de I 00 pássaros e
40.000 insetos. Então use a trajetória de fase para
descrever como ambas as populações variam.
y
400
300
200 +
I
I
100
o
' /
' ' -
20.000
-... ' '
'-.. "-.. "'- "·
"'""·"-'·"
" " '-
' ' "
\ \ \
-+----+-~
40.000 60.000 X
(e) Use a parte (d) para fazer esboços das populações de
pássaros e insetos como funções do tempo. Como esses
gráficos estão relacionados
25. Suponha que o modelo do Exercício 24 seja trocado pelas
equações
dx
- ~ 0,4x(l - 0,000005x) - 0,002xv
dt ,
dv
~ ~ -0 2v +O 000008xy·
dt ' , '
(a) De acordo com essas equações, o que acontece à
população de insetos na ausência dos pássaros
(b) Encontre as soluções de equilíbrio e explique seu
significado.
(c) A figura mostra a trajetória de fase que começa com
100 pássaros e 40.000 insetos. Descreva o que
ocorre finalmente com as populações
de pássaros e insetos.
n
260 ti
240
220
200
:::;t1
140
120
!00
~
10.000 15.000 25.000 35.000 45.000 X
(d) Esboce os gráficos das populações de pássaros e insetos
como funções do tempo.
26. Bárbara pesa 60 kg e está em uma dieta de 1600 calorias por
dia, das quais 850 são usadas diretamente pelo metabolismo
basal. Ela gasta cerca de 15 cal/kg/dia vezes seu peso fazendo
exercícios. Se 1 kg de gordura tiver I 0.000 cal e assumirmos
que a reserva de calorias na forma de gordura seja 100%
eficiente, formule uma equação diferencial e resolva-a para
encontrar o peso dela em função do tempo. O peso de Bárbara
finalmente se aproxima de um peso de equilíbrio
27. Quando um cabo flexível de densidade uniforme é suspenso
entre dois pontos fixos e fica pendurado à mercê de seu
próprio peso, a forma y = f(x) do cabo satisfaz uma equação
diferencial do tipo
~;, ~ k~l + (~)'
onde k é urna constante positiva. Considere o cabo mostrado na
figura.
(a) Seja z = dy/dx na equação diferenciaL Resolva a equação
diferencial de primeira ordem (em z) e depois integre para
encontrar y.
(b) Determine o comprimento do cabo.
yl {-~~h)
i{O.aJ
I
X

1. Encontre todas as funções f tal que f' é contínua e
[f(x)]' ~ 100 + 1' {[J(r)f + [f'(t)l'} dt
para todo x real.
2. Um estudante esqueceu a Regra do Produto para a derivada e cometeu o erro de pensar que
(fg)' =f' g'. Contudo, ele teve sorte e obteve a resposta certa. A função f que ele usou era
j(x) = e'' C 0 ÓOmÍOÍO de SCU problema Cf3 0 ÍntervaJO n, X). Qual Cf3 3 funÇãO g
3. Seja fuma função com a propriedade que f(O) ~ 1, f'( O)~ 1 e f(a + b) ~ f(a)f(b) para
todos os números reais a e b. Mostre que J'(x) = f(x) para lodo x e deduza que f(x) = e-'.
4. Encontre todas as funções f que satisfazem a equação
(Jf(x)dx)(J f;x) dx) ~ -1
5. Uma torta de pêssego é tirada do fomo à

aio de 200 pés. O transporte carrega 60.000rc pés 3 /h c o minério mantém um formato cônico
cujo raio é 1,5 vez a sua altura.
(a) Se, em um tempo t determinado, a pilha tiver 60 pés de altura, quanto tempo levará para
ela alcançar o topo do sílo
(b) A administração quer saber quanto espaço será reservado no chão do silo quando a pílha
tiver 60 pés de altura. Quão rápido está crescendo a área do chão quando a pilha estiver a
essa altura
(c) Suponha que um carregador comece a remover o minério a uma taxa de 20.000n: pés 'íh
quando a altura da pilha alcança 90 pés. Suponha também que a pilha contínue a manter
seu formato. Quanto tempo levará para a pilha atingir o topo do silo nessas condições
10. Ache a curva que passa através do ponto (3, 2) e tem a propriedade de que, se a reta tangente
for desenhada em qualquer ponto P na curva, então a parte da reta tangente que está no
primeiro quadrante é dividida em P.
11. Lembre~se de que a reta normal a uma curva em um ponto P na curva é a reta que passa
através de P e é perpendicular à reta tangente em P. Ache a curva que passa através do ponto
(3, 2) e tem a propriedade de que, se a reta normal for desenhada em qualquer ponto na curva,
cortará o eixo y no ponto 6.
12. Encontre todas as curvas com a propriedade de que, se a reta normal for desenhada em
qualquer ponto P na curva, então a parte da reta nonnal entre P e o eixo x é dividida em duas
partes iguais pelo eixo y.
645

10
Equações
Paramétricas e
Coordenadas Polares
As curvas paramétricas são
usadas para representar letras
e outros símbolos em
impressoras a laser.
Veja o Projeto de Laboratório
na página 664

Até agora descrevemos as curvas p!anas, dando .Y como uma função de x [y = fíx)]
ou x como uma função de y [x"" g(y)] ou fornecendo a relação entre x e y que
define y implicitamente como uma função de x [j(x, y) ~ 0]. Neste capitulo
discutiremos dois novos métodos para descrever as curvas.
Algumas curvas, como a ciclóide, são mais bem manipuladas quando x e y
são dados em termos de uma terceira variável t, chamada parâmetro
[x ~ f(t), y ~ g(t)]. Outras curvas, como a cardióide, têm sua descrição mais
conveniente quando usamos um novo sistema de coordenadas, denominado
sístema de coordenadas polares.
'I
I
'
I
r
FIGURA 1
c
(x, y) = (f(t), g(t))
10.1
X
Curvas Definidas por Equações Paramétricas
Imagine que uma partícula se mova ao longo de uma curva C, como mostrado na Figura I.
É impossível descrever C por uma equação do tipo y = J(x) porque C falha no Teste da
Reta Vertical. Mas as coordenadas x e y da partícula são funções do tempo e, aSsim,
podemos escrever x = f(t) e y = g(t). Esse par de equações é, muitas vezes, uma maneira
conveniente de descrever uma curva e faz surgir a seguinte definição.
Suponha que x e y sejam arnba~ dadas como funções de uma terceira variável t (denominada
parâmetro) pelas equações
X~ j(t) y ~ g(t)
(chamadas equações paramétricas). Cada valor de t detennina um ponto (x, y), que
podemos plotar em um plano coordenado. Quando t varia, o ponto (x, y) = (j(t), g(t)) varia
e traça a curva C, que chamamos curva paramétrica. O parâmetro t não representa o
tempo necessariamente e, de fato, poderíamos usar outra letra em vez de t para o parâmetro.
Porém, em muitas aplicações das curvas paramétricas, t denota tempo e, portanto,
podemos interpretar (x, y) = (f(t), g(t)) como a posição de uma partícula no tempo t.
_ Esboce e identifique a curva definida pelas equações paramétricas
SOLUÇÃO Cada valor de t fornece um ponto na curva, como mostrado na tabela. Por
exemplo, se t = O, então x ~ O, y = 1 e assim o ponto correspondente é (O, 1). Na
Figura 2 plotamos os pontos (x, y) detenninados por diversos valores do parâmetro e os
unimos para produzir uma curva.
Yt t= 4
i
I
-r--
t ~)-------'""" _____
t= 2 ..•.
t=l lo,!)
t=O ~.. 8
--'--"+-~·~--""..--+-~
OI 1=-1 ~---•• X
t=-2
'
FIGURA 2
Uma partícula cuja posição é dada por equações paramétricas se move ao longo da
curva na direção das setas quando t aumenta. Note que os pontos consecutivos marcados
na curva aparecem em intervalos de tempo iguais, mas não a distâncias iguais. Isso
ocorre porque a partícula desacelera e então acelera quando t aumenta.
647

648 u CÁlCUlO Editora Thomson
Parece que, a partir da Figura 2, a curva traçada pela partícula pode ser uma parábola. Isso
pode ser confirmado pela eliminação do parâmetro t, como a seguir. Obtemos t = y - 1 a
partir da segunda equação e substituímos na primeira equação. Isso fornece
X = t 2 - 2t = (y - 1) 2 - 2(y - l) = y 2 - 4y + 3
' 1
i
i
(8. 5)
'!

James Stewart CAPÍTULO H! EOUAÇOES P!\RAMÉTfiiC!\S E COORDENADAS POLA.HES 649
FIGURA 7
x= cost x cos! y=sen2t y=scn2t
Aparelhos Gráficos
A maioria das calculadoras gráficas e dos programas gráficos computacionais pode ser
usada para plotar as curvas definidas por equações paramétricas. De fato, é instrutivo olhar
uma curva paramétrica sendo desenhada por uma calculadora gráfica, porque os pontos são
plotados na ordem em que os valores -do parâmetro correspondente aumentam.
3
Use um dispositivo gráfico para plotar a curva x y-* - 3y 2 •
SOLUÇÃO Se fizermos o parâmetro ser t = y, então temos as equações
y=t
-3
Usando essas equações paramétricas para plotar a curva, obtemos a Figura 8. Seria possível
resolver a equação dada (x = y' - 3y 2 ) para y como quatro funções de x e plotá-las
individualmente, mas as equações paramétricas fornecem um método muito mais fáciL
FIGURA 8
Em geral, se precisarmos plotar uma equação do tipo x = g(y), poderemos usar as
equações paramétricas
X= g(t) y=t
Note também que curvas com equações y = f(x) (aquelas com as quais estamos mais
familiarizados- os gráficos de funções) também podem ser consideradas como curvas com
equações paramétricas
x=t
y = f(t)
Dispositivos gráficos são particularmente úteis quando esboçamos curvas complicadas.
Por exemplo, seria virtualmente impossível produzir manualmente as cun'as mostradas
nas Figuras 9 e 10.
3
-1,5 1,5
FIGURA 9
x = t + 2 sen 2t, y = t + 2 cos 5t
-2n .:-;:;; t ~ 21T
FIGURA 10
-3
x = cos t - cos 80t sen t,
y = 2 sen t - sen 80t, O -:::::;: t .:-:::; 2'IT

650 L CÁLCUlO Editora Thomson
Um dos usos mais importantes das curvas paramétricas está no Computer-Aided Design
(CAD). No Projeto de Laboratório depois da Seção 10.2, investigaremos as curvas paramétricas
especiais, chamadas curvas de Bézier, que são usadas amplamente na produção,
especialmente na indústria automobilística. Essas curvas também são empregadas na especificação
de formatos de letras e outros símbolos em impressoras a laser.
A Ciclóide
EXHsfJPLú t A curva traçada pelo ponto P na circunferência de um círculo quando o círculo
rola ao longo de uma linha reta é chamada ciclóide (veja a Figura 10). Se o círculo tiver
raío r e rolar ao longo do eixo x e se uma posição de P é a origem, encontre as equações
paramétricas para a ciclóide.
FIGURA 11
SOLUÇÃO Escolhemos como parâmetro o ângulo de rotação IJ do círculo (IJ ~O quando P
está na origem). Suponha que o círculo foi rotacionado por B radianos. Como o círculo está
em contato com a reta, vemos na Figura 12 que a distância girada a partir da origem é
}1
I
C(r8, r)
o
~re~1
A
~
FIGURA 12
·~~.
ciclóide~
~B
FIGURA 13
p" /
p~ p
p
'\ /P J
FIGURA 14
X
IOTI ~ arcPT~ riJ
Dessa forma, o centro do círculo será C(rB, r). Sejam as coordenadas de P (x, y). Então a
partir da Figura 12 vemos que
x~ IOTI
y ~ ITCI
Portanto as equações paramétricas da ciclóide são
x ~ r(IJ- sen IJ)
IPQI ~ riJ- rsen IJ ~ r(IJ- sen IJ)
I QCI ~r- rcos 8 ~r(! -cosO)
y ~ r(l - cos IJ)
Um arco da ciclóide surge a partir de uma rotação do círculo e, assim, é descrito por
O :s; B :::s 2'TT. Embora as Equações 1 tenham sido derivadas a partir da Figura 12, que
ilustra o caso onde O < B < 7í/2, pode ser visto que essas equações ainda são válidas
para outros valores de 8 (veja o Exercício 37).
Ainda que seja possível eliminar o parâmetro () das Equações 1, a equação cartesiana
resultante em x e y é muito complicada e não é conveniente para trabalhar como as
equações paramétricas.
Uma das primeiras pessoas a estudar a ciclóide foi Galileu, que propôs que pontes podem
ser construídas no formato de ciclóides e que tentou encontrar a área sob um arco de uma
ciclóide. Mais tarde essa curva apareceu em conexão com o problema da braquistócrona:
encontre a curva ao longo da qual uma partícula deslizará no tempo mais curto (sob a influência
da gravidade) a partir do ponto A até um ponto mais baixo B não diretamente abaixo de
A. O matemático suíço John Bernoulli, que apresentou esse problema em 1696, mostrou que
entre todas as curvas possíveis que ligam A e B, como na Figura 13, a partícula levará o
menor tempo deslizando de A até B se a curva for um arco invertido de uma ciclóide.
O físico holandês Huygens já tinha mostrado que a ciclóide é também a solução para o
problema da tautócrona; isto é, não importa onde a partícula P seja colocada em uma
ciclóide invertida, ela leva o mesmo tempo para deslizar até o fundo (veja a Figura 14).

James Stewart CAPÍTULO 10 EQUAÇÕES PARAf'vlÉTRICAS E COORDENADAS POLA.RES 651
Huygens propôs que o pêndulo de relógio (que ele inventou) deveria oscilar em um arco
cicloidal, porque então ele levaria o mesmo tempo para fazer uma oscilação completa por
um arco maior ou menor.
Famílias de Curvas Paramétricas
EXEMPlO 7
Investigue a faiTI11ia de curvas com equações paramétricas
x=a+cost
y=atgt+sent
O que essas curvas têm em comum Como muda o formato quando a aumenta
SOLUÇÃO Usamos um dispositivo gráfico para produzir os gráficos para os casos
a ~ -2, -1, -0,5, -0,2, O, 0,5, 1 e 2 mostrados na Figura 15. Note que todas essas
curvas (exceto no caso a = O) têm dois ramos e ambos se aproximam da assíntota
vertical x = a quando x se aproxima de a a partir da esquerda ou da direita.
I,
I \
'~-.. 1'
a= -1
a= -0,2
a=O 1
/ ~,
f \
a =0.5
I
I
I
I
·li
!i
l. [l
a= l :1
! •I
I i I
a=2
I
I
I
FIGURA 15 Membros da família
x = a + cos t, y = a tg t + sen t,
todos plotados na janela
retangular [ -4, 4] por [ -4, 4].
Quando a < -1, ambos os ramos são suaves; mas quando a se aproxima de -1, o
ramo direito adquire um formato pontudo, chamado cúspide. Para a entre -I e O a
cúspíde se torna um laço, que se torna maior quando a se aproxima de O. Quando a = O,
ambos os ramos se juntam e formam um círculo (veja o Exemplo 2). Para a entre O e 1,
o ramo esquerdo tem um laço, que se encolhe para se tornar uma cúspide quando a = L
Para a > 1, os ramos se tornam suaves novamente e, quando a aumenta mais ainda, eles
se tornam menos curvados. Note que as curvas com a positivo são reflexões ao redor do
eixo y das curvas correspondentes com a negativo.
Essas curvas são denominadas de conchóides de Nicomedes, em homenagem ao
antigo estudioso grego Nicomedes. Ele as chamou de conchóides porque o formato de
seus ramos externos lembram uma concha.
Exercícios
1-4 c
Esboce a curva usando as equações paramétricas para plotar os
pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada
quando t aumenta.
1, X = 1 + [t, )' = t- - 4t, Ü ~ f ~ 5
2. X = 2 COS t, y = f - COS t, Ü

652 CÁLCULO Editora Thomson
(b) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da
curva.
5. x= 31 - 5. y= 21 + l
6. x= l + t. y~s - 21, -2 ~ t ~ 3
7. x=f - 2, y 5 - 21. -3~t~4
~
8. x= l + 3t, y =2 - t'
9. X ~ ,/t,
)' ~ -
10. X ~ {2, y ~ t'
t
(a)
I
(b)
li
'i'l-'!8
(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da
curva.
(b) Esboce a curva e índique com uma seta a direção na qual a
curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
11. X = SCO 0, )' = COS 8, Ü -,s;: () ~ Tt
12. X = 4 COS (}, )' = 5 SCO (J, -r,/2 ~ (J ::S 1rJ2
(c)
IIl
·13. x = sen 2 8, y = cos"O
14. x = scc o, y = tg e -1r12 < o < 1r12
15. x = e', y = e_,
I
I
F
I
16. x = In t, y = ,fi, t :;o:
17. x = cosh t, y = senh t
ts. x = + cos o. y = 2 cos e - 1
19-22 o Descreva o movimento de uma partícula com posição
(x, y) quando t varia no intervalo dado.
19. x = cos 'Tff, y = sen 1rt, 1 ::::: t::::: 2
20. x = 2 + cos t, y = 3 + sen t, O :s; t ~ 2-rr
;21~ x = 2 sen t, y = 3 cos t, O ~ t ~ 27i
22. x = cos 2 t, y = cos t, O~ to:::; 47T
23. Suponha que uma curva seja dada pela equação paramétrica
x ~ f(t). y ~ g(l) onde a imagem de fé [I. 4] e a imagem de
g é [2, 3). O que você pode dizer sobre a curva
24. Associe os gráficos das equações paramétricas x = f(t) e
y = g(t) em (a)-(d) com as curvas paramétricas rotuladas de
I~ IV. Dê razões para as suas escolhas.
(d)
xt
'y~,
(i
~'\ ~+-!+--~~
2 '
\ I
v
=~25-27 :::; Use os gráficos de x = f(t) e y = g(t) para adivinhar as
curvas paramétricas x = f(t) e y = g(t). Indique com setas a direção
na qual a curva é traçada à medida que t aumenta.
25.
26.
\ I
1
-1
I
(i
I
I
I 1
í

James Stewart CAPiTULO 10 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COOROENAD,S POU\RES 653
27.
31. (a) Mostre que as equações paramétricas
onde O >S; t :s; 1 descrevem o segmento de reta que une os
pontos P1(x1, y!} e P 2 (x 2 , yi).
(b) Encontre as equações paramétricas para representar o
segmento de reta de (-2, 7) até (3, -l).
28. Ligue as equações paramétricas aos gráficos de I-VI. Justifique
sua escolha. (Não use um dispositivo gráfico.)
(a) x = t 3 ~ 2t, y = t 1 - t
(b) x=t 3 - l, y=2-t 2
(c) x = sen 3t, y = sen 4t
(d) x = t + sen 2t, y = t + sen 3t
(e) x = sen(t + sen t), y = cos(t + cos t)
(f) x = cos t, y = scn(t + sen 5t)
X
I!
32. Usando um dispositivos gráfico e o resultado do Excrdcio 3l(a),
desenhe o triângulo com vértices A(l, 1), 8(4, 2) e C(!, 5).
33. Encontre as equações paramétricas para a trajetória de uma
partícula que se move ao longo do círculo x 2 + (y I f:>"""""'"' 4
da seguinte maneira:
(a) Uma vez no sentido horário, a partir de (2, 1).
(b) Três vezes no sentido anti-horário, a partir de (2, l).
(c) Meia~volta no sentido anti-horário, a partir de (0. 3).
~~ 34. Plote o semicírculo traçado pela partícula no Exercício 33(c).
~~3:5. (a) Encontre equações paramétricas para a elipse
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = L [Dica: Modifique as equações de um
círculo no Exemplo 2.]
(b) Use as equações paramétricas para plotar a elípsc quando
a~ 3eb~ !,2.4e8.
(c) Como muda o formato da elipse quando h varia
36. Encontre três conjuntos diferentes de equações paramétricas
para representar a curva y = x 3 , x E R
37. Derive as Equações 1 para o caso r./2 < (} < r..
Ili
y
X
38. Seja P um ponto a uma distância d do centro de um círculo de
raio r. A curva traçada por P quando o círculo se move ao
longo de uma linha reta é chamada trocóide. (Pense no
movimento de um ponto sobre um raio de uma roda de
bicicleta.) A ciclóide é um caso especial de trocóidc com
d = r. Usando o mesmo parâmetro (}para a ciclóide e
presumindo que a reta seja o eixo x e O = O quando P está
em um de seus pontos mais baixos, mostre que as equações
paramétricas para a trocóide são
x=rO-dsenO
y=r-dcose
Esboce a trocóide para os casos d < r e d > r.
39. Se a e b forem números fixos, encontre as equações
paramétricas para o conjunto de todos os pontos P determinados,
como mostrado na figura, usando o ângulo O como parâmetro.
Então elimine o parâmetro e identifique a curva.
~~29. Ploteacurvax=y- 3y 3 + y 5 •
X
~~30. Plote as curvas y = x 5 ex = y(y - l)Z e encontre seus pontos
de interseção, com precisão de uma casa decimal.

654 CÁLCULO Editora Thomson
40. Se a e b forem números fixos, encontre as equações
paramétricas para o conjunto de todos os pontos P determinados,
como mostrado na figura, usando o ângulo e como parâmetro.
O segmento de rela AB é tangente ao círculo maior.
y
41. Uma curva, denominada bruxa de Maria Agnesi, consiste em
todos os pontos P determinados, como apresentado na figura.
Mostre que equações paramétricas para essa curva podem ser
escritas como
X= 2a CO-tg 8 y = 2a sen'8
Esboce a curva.
y = 2a
y
o
42. Encontre as equações paramétricas para o conjunto de todos os
pontos P determinados, como mostrado na figura, tal que
I OP I ~ I AB !. Esboce a curva. (Essa curva é chamada
cissóide de Diocles, em homenagem ao estudioso grego
Diocles, que introduziu a cissóide como um método gráfico
para a construção do vértice de um cubo cujo volume é o
dobro daquele do cubo dado.)
y
C
X
X
43. Suponha que a posição de uma partícula no te-mpo t seja dada
por
x 1 = 3 sen t Yt = 2 cos t O~t~21T
e a posição de uma segunda partícula seja dada por
x"= -3 +cost
Y2=l+sent
(a) Plote as trajetórias de ambas as partículas. Quantos pontos
de interseção existem
(b) Alguns desses pontos de interseção são pontos de colisão
Em outras palavras. essas partículas alguma vez estão no
mesmo lugar ao mesmo tempo Se isso ocorrer, encontre
os pontos de colisão.
(c) Descreva o que acontecerá se a trajetória da segunda
partícula for dada por
X2 = 3 + COS f y2=l+sent
44. Se um projétil for atirado com uma velocidade inicial v 0 metros
por segundo com um ângulo a acima da horizontal e a
resistência do ar for considerada desprezível, então sua posição
depois de t segundos é dada pelas equações paramétricas
x = (vo cos a)t Y = (tb sen o:)t - t gt 2
onde g é a aceleração da gravidade (9,8 m/s 2 ).
(a) Se uma anna for disparada com a = 30° e v 0 = 500 m/s,
quando a bala atingirá o solo A que distância da arma a bala
atingirá o solo Qual a altura máxima alcançada pela bala
(b) Use um dispositivo gráfico para verificar suas respostas na
parte (a). Então plote a trajetória do projétil para vários
outros valores do ângulo 0:' para ver onde a bala atinge o
solo. Resuma o que você encontrou.
(c) Mostre que a trajetória é parabólica, eliminando o
parâmetro.
~~~:; Investigue a família de curvas definidas pelas equações
paramétricas x = t 2 , y = ! 3 - ct. Como muda o formato
quando c aumenta Ilustre, plotando vários membros da
família.
46. As curvas de catástrofe em forma de cauda de andorinha
são definidas pelas equações paramétricas x = 2ct - 4t 3 ,
y = -ct 2 + 3! 4 • Plote várias dessas curvas. Quais as
características que essas curvas têm em comum Como elas
variam quando c aumenta
As curvas com equações x = a sen nt, y = b cos t são
chamadas figuras de Lissajous. Investigue como essas curvas
mudam quando a, b e n variam. (Tome n como um inteiro
positivo.)
48. Investigue a família de curvas definidas pelas equações
paramétricas
x=sent(c- sent)
y = cost(c- sent)
Como muda o formato quando c varia Em particular, você
deveria identificar os valores de transição de c para os quais o
formato básico da curva muda.

James Stewart CAPÍTUlO 10 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES 655
Rolando Círculos ao Redor de Círculos
Neste projeto investigaremos as famílias de curvas, chamadas hipociclóides e epiciclóides, que
são geradas pelo movimento de um ponto em um círculo que rola dentro ou fora de outro círculo.
y
í
oi · ]A ~
\
i
1. Uma hipocidóide é uma curva traçada por um ponto fixo P em um círculo C de raio b quando
C rola dentro de um círculo com centro O e raio a. Mostre que, se a posição inícial de P for
(a, O) e o parâmetro O for escolhido como na figura, então as equações paramétricas da
hipociclóide são
X~ (a- b) COSe+ b cos( a ~ b e) y ~ (a - b) sen 8- b sen
(
-b- a- b 8
)
2. Use um dispositívo gráfico para desenhar os gráficos de hipociclóides com a um inteiro
positivo e b = L Como o valor de a afeta o gráfico Mostre que, se tomarmos a = 4, então as
equações paramétricas da hipociclóide se reduzirão a
y = 4 sen'O
Essa curva é denominada hipociclóide de quatro cúspides, ou astróide.
3. Agora tente b = 1 e a = ní d, uma fração onde n e d não têm fator comum. PJimeiro faça n = 1
e tente determinar graficamente o efeito do denominador d no formato do gráfico. Então faça n
variar mantendo d constante. O que acontece quando n = d + I
4. O que acontece se b = 1 e a for irracional Experimente com um número irracional do tipo
J2 ou e - 2. Tome valores cada vez maiores para 8 e conjecture sobre o que deveria
acontecer se plotássemos a hipociclóide para todos os valores reais de 8.
5. Se o círculo C rolar do lado de fora de-um círculo fixo, a éurva traçada por P será dita
epiciclóide. :Encontre equaçô~s paramétricas para a epiciclóide.
6. Irivestigue os possíveis forinatos para-a -epicicl~i4e.- Use m~todos similares aos Problemas 2-4.
Tendo visto como representar as curvas por equações paramétricas, vamos agora aplicar os
métodos de cálculo nessas curvas paramétricas. Em particular, vamos resolver os problemas
envolvendo tangentes, área, arco e superfície de área.
Tangentes
Na seção anterior, vimos que algumas curvas definidas por equações paramétricas x ~ f(t)
e y ~ g(t) podem também ser expressas pela eliminação do parâmetro na forma y ~ F(x).
(Veja o Exercício 67 para as condições gerais sob as quais isso é possível.) Se substituirmos
x ~ f(t) e y ~ g(t) na equação y ~ F(x), obteremos
g(t) ~ F(f(t))
assim, se g, F e f forem diferenciáveis, a Regra da Cadeia fornece
g'(t) ~ F'(f(t))f'(t) = F'(x)f'(t)

656 c CÁlCULO Editora Thomson
Se f'(t) # O, podemos resolver para F'(x):
F'(x) = g'(t)
.f'(t)
;-: Se pensarmos em uma curva
paramétrica sendo traçada pelo
movimento de uma partícula, então
dy/dr e dx/dt são as velocidades vertical
e horizontal da partícula e a Fórmula 2
diz que a inclinação da tangente é a
razão dessas velocidades.
Como a inclinação da tangente à curva y = F(x) em (x, F(x)) é F'(x), a Equação I nos permite
encontrar tangentes a curvas paramétricas sem ter de eliminar o parâmetro. Usando a
notação de Leibniz podemos reescrever a Equação 1 de uma maneira fácil de lembrar:
dy
dy = !!'_
dx dx
dt
se
dx
-#0
dt
d\ dt'
Not~ que d.r-: *
Podemos ver da Equação 2 que a curva tem uma tangente horizontal quando dyl dt = O
(desde que dxldt #O) e tem uma tangente vertical quando dxldt =O (desde que
dy/ dt # 0). Essa informação é útil para esboçar as curvas paramétricas.
Corno sabemos do Capítulo 4, é tambérri útil considerar d 1 y/dx 2 . Isso pode ser encontrado
mudando y por dy I dx na Equação 2:
d 2 y = !!_ ( dy) = ~ ( ~)
dx 2 dx dx dx
dt
EXEMPLO 1 u Uma curva C é definida pelas equações paramétricas x = t 2 e y = 1 3 - 3t
(a) Mostre que C tem duas tangentes no ponto (3, O) e encontre suas equações,
(b) Encontre os pontos em C onde a tangente é horizontal ou verticaL
(c) Determine onde a curva sobe e desce e onde sua concavidade se encontra para cima
ou para baixo.
( d) Esboce a curva,
SOLUÇÃO
(a) Note que y ~ t 3 - 3t = t(t' - 3) ~ O quando t = O ou t = ±)3, Portanto, o ponto
(3, O) em C surge de dois valores do parãrnetro, t = -/3 e t = -,/i Isso indica que C
intercepta ele mesmo em (3, O), Como
dy ~ dy I dt ~ 31 2 -
3 = ~ (I - _!_)
dx dxldt 2t 2 t
a inclinação da tangente quando t = ±-/3 é dyl dx ~ ±61(2-/3) = ±-/3; assim, as
equações das tangentes em (3, O) são
y = -/3 (x- 3) e y = -)3 (x- 3)
(b) C tem uma tangente horizontal quando dyl dx = O isto é, quando dy I dt = O e
dxjdt #O, Uma vez que dyldt = 3t 2 - 3, isso é apropriado quando t 2 ~ l, isto é
t = ±L Os pontos correspondentes em C são (I, -2) e (1, 2), C tem uma tangente vertical
quando dx/dt ~ 2t =0, isto é, t =O, (Aqui, note que dyldt ;;" 0,) O ponto correspondente
em C é (O, O).

James Stewart CAPÍTUlO 10 EOU.i~,ÇÓES PAR.L~,Mt.TR!CAS E COORDENADAS POLARES 657
Yi3(x-3)
I
(c) Para detenninar a concavidade, calculamos a derivada segunda:
d2y
!!_(dy) I(J+_!_)
dt dx 2 t 2 3(t + 2 J)
d.\:2 dt 2t 4t 3
-
dt
~~
0
+-~~~~~x-------: Então a concavidade da curva é para cima quando t >O e para baixo quando f

658 CÁLCULO Editora Thomson
Um cálculo similar mostra que dy/dx _____.,.-::.c quando 8-- 2n1T-; assim, realmente
existem tangentes verticais quando 8 = 2n1T, isto é, quando X = 2n1Tr.
Áreas
Sabemos que a área sob uma curva y ~ F(x) de a até b é A ~ J: F(x) dx, onde F(x) ;e O.
Se a curva for dada por equações paramétricas x ~ f(t), y = g(t) e for percorrida quando
t aumenta de a para {3, então podemos adaptar a fórmula anterior usando a Regra da
Substituição para Integrais Definidas como a seguir:
A ~r y dx ~ r g(t)f'(t) dt
[ou !; g(t)f'(t) dt se (f(/3), g({3)) for o extremo esquerdo]
EXEMPlO 3 :J Encontre a área sob um arco da ciclóide x = r( O- senO),
y ~ r( I - cos 8). (Veja a Figura 3.)
SOLUÇÃO Um arco da ciclóide é dado por O,;; O,;; 2r.. Usando a Regra da Substituição
com y ~ r(l - cos O) e dx ~ r( I - cos O) dO, temos
FIGURA 3
~: O resultado do Exemplo 3 diz que a
área sob um arco da ciclóide é três
vezes a área do círculo que rola e gera
a ciclóide (veja o Exemplo 6 na Seçâo
1 0.1). Gahleu estimou esse resultado,
mas, primeiro, este foi provado pelos
matemáticos francês, Roberval, e
italiano, Torricelli.
A~ ('"' y dx ~ f'" r( I - cos O)r(l - cosO) dO
.,o .o
~ r 2 f" (I - cos O)' dO~ r 2 f'" (I - 2 cos O + cos 2 0) dO
~o • o
~r'f:"[l-2cosO+l

James Stewart CAPÍTUlO 10 EQUAÇÕES PARAMÉTRiCAS E COORDENP...OAS POLARES 659
o
FIGURA 4
c
f,~l
':::;~"'­
'
c~ F,
'~,P,,
X
Como dx/ dt > O, temos
2
-j'P /(dt)
2
(dy)
L- \ - + - dt
" dt dt'
Mesmo que C não possa ser expressa na forma y = F(x), a Fórmula 4 ainda é válida,
mas a obtemos por polígonos de aproximação. Dividimos o intervalo do parâmetro [a, !3]
em n subintervalos de comprimentos iguais ~t. Se to, ti, t 2 , ••• , t, forem os extremos
desses subintervalos, então x, ~ f(t,) e y, ~ g(t,) são as coordenadas dos pontos P,(x,, y,)
que estão em C e o polígono com vértices Po, P1, ... , Pn aproxima C (veja a Figura 4).
Como na Seção 8.1 do Volume I, definimos o comprimento L de C como o limite dos
comprimentos desses polígonos aproximadores quando n --:;.. cc:
"
L~ lim 2: I P,.,P, I
n~ooo i=!
O Teorema do Valor Médio, quando aplicado a f no intervalo [t,.,, t,], fornece um número
t,* em (t,. 1 , t,) tal que
J(t,) - J(t,_,) ~ J'(t,*)(t, - f,_,)
Se fizermos ô.x; = x~- X;-l e ô.yi = )'1- )'i-1, essa equação torna-se
tJ.x, ~ f'(t,*) !J.t
Similarmente, quando aplicado a g, o Teorema do Valor Médio fornece um número t't* em
(t,., t,) de forma que
!J.y, ~ g'(t,**) Ât
Portanto
I p,_,p,j ~ .J(t!.x,)' + (!J.y,)'
~ .J[f'(t,*}!J.t] 2 + [g'(t,**)M] 2
~ .J(!'(t,*)] 2 + (g'(t,**) ] 2 !J.t
e assim
'
L ~ lirn L J[f'(tl')] 2 + (g'(t;"*)] 2 !J.t
/l-"' i=!
A soma em (5) se parece com a de Riemann para a função J[f'(t)]' + [g'(t)] 2 , contudo,
não é exatamente uma soma de Riemann, porque t;* :;:6 t,:t'* em geral. Mesmo assim, se f'
e g' forem contínuas, pode ser mostrado que o limite em (5) é o mesmo que se t;* e t't* fossem
iguais; a saber,
L~ J: J[j'(t)] 2 + (g'(t)] 2 dt
Então, usando a notação de Leibniz, temos o seguinte resu1tado, que possui a mesma forma
de (4).
Teerome Se uma curva C for descrita pelas equações paramétricas x ~ f(t),
y ~ g(t), a oS toS {3, onde f' e g' são contínuas em [a, p] e C for percotrida
exatamente uma vez quando t aumenta de a até {3, então o comprimento de C é
J
•p /(dx)' (dy)
2
L~ \ - + - dt
a dt dt

660 c CÁlCUlO Editora Thomson
Note que a fórmula no Teorema 6 é consistente com as fórmulas gerais L
(ds)' ~ (dx)' + (dy) 2 da Seção 8.1 do Volume l.
J ds c
EXEMPlO ~1
Seção 10.1,
= Se usarmos a representação do círculo unitário dada no Exemplo 2 na
X= COS f y = sen t
então dx/ dt ~ - sen t e dy/ dt ~ cos t, assim, o Teorema 6 fornece
(dy)' 'h
, o v dt dt ,o
f 2 " f(dx)'
L= \t - + - dt = j 'Vsen 2 t + cos 2 tdt
f'2o
1 dt ~ 21T
.o
como o esperado. Se, por outro lado, utilizarmos a representação dada no Exemplo 3 na
Seção 10.1,
x=sen2t
y = cos 2t
então dx/dt ~ 2 cos 2t, dy/dt ~ -2 sen 2t e a integral do Teorema 6 fornece
j
'2c
'\{ - + -·- dt ~ ... )4 cos 2 2t + 4sen 2 2t dt ~ , ... 2 dt ~ 47T
/( dx )' ( dv )' ('" ''"
o v dt dt .o .,()
Note que a integral fornece o dobro do comprimento do arco do círculo, porque t
aumenta de O até 2n, o ponto (sen 2t, cos 2t) percorre o círculo duas vezes. Em geral,
ao encontrarmos o comprimento da curva C a partir de uma representação paramétrica,
temos de tomar cuidado para ter a certeza de que C é percorrida apenas uma vez quando
t aumenta de a até {3.
EXE!\!IPl!l 5 = Encontre o comprimento de um arco da ciclóide x ~r( O- senO),
y ~ r(! - cos O).
:J O resultado do Exemplo 5 diz que o
comprimento de um arco de uma
ciclóide é oito vezes o raio do círculo
gerador {veja a Figura 5). Isso foi
píímeiramente provado em 1658 por
sir Christopher Wren, que depois se
tornou o arquiteto da Catedral de São
Paulo, em Londres.
SOLUÇÃO Do Exemplo 3 vemos que um arco é descrito pelo intervalo paramétrica
O ,;; e ,;; 2 'IT. Como
temos
dx
de ~ r(l - cos e) e
dy
-=rsene
dO
L~ .o... I ''" ~( dO dx )' + ( dO dy )' dO~ Jo" )r 2 (1 - cos e)2 + r 2 sen 2 0d0
~ Ia'" Jr 2 (l - 2 cose + cos 2 8 + sen 2 8) de~ r Iolr. 12(1 - cosO) de
FIGURA 5
Para avaliar essa integral, usamos a identidade sen 2 x = i(l - cos 2x) com O= 2x,
que fornece 1 - cos 8 ~ 2 sen 2 (8/2). Como O,;; e,;; 2'!T, temos O,;; 8/2,;; 7T, e assim
sen(0/2);;, O. Portanto

James Stewart
CAPÍTULO 10 EQUAÇÕES PARAMÉTRiCAS E COORDENADAS POLARES
661
j2(1 - cos 8) ~ ;4 sen 2 (8/2) ~ 21 sen( 8/2) I ~ 2 sen( 8/2)
e dessa forma
L~ 2r fo'" sen(B/2) d8 ~ 2r[ -2cos(8/2)]:"
~ 2r[2 + 2] ~ 8r
Área da Superfície
Da mesma maneira como para o comprimento do arco, podemos adaptar a Fórmula 8.2.5
(do Volume I) para obter uma fónnula para a área da superfície. Se a curva dada pelas
equações paramétricas x ~ f(t), y ~ g(t), a ~ t ~ {3 girar ao redor do eixo x, onde f', g'
são contínuas e g(t) ~ O, então a área da superfície resultante é dada por
J·~
l(dx)' (dv)'
s ~ o 27Ty \ dt + dt dt
As fórmulas simbólicas gerais S ~f 27Ty ds e S ~ J 21rx ds (Fórmulas 8.2.7 e 8.2.8 do
Volume I) ainda são válidas, mas para as curvas paramétricas usamos
EXEMPlD S __
ds~
l(dx)'' (dy)'
-,-dt
v dt dt
Mostre que a área da superfície de uma esfera de raio r é 4r.r 2 •
SOLUÇÃO A esfera é obtida pela rotação do semicírculo
x=rcost
y=rsent
ao redor do eixo x. Portanto, a partir da Fórmula 7, temos
S =L' 27Trsen t J(-rsen t)l + (rcos t)2dt
= 21T í1T r sen t • r dt = 21Tr 2 r r. sen t dt
~ 1
Exercícios
1-2 c Encontre dy/ dx.
1. X ~ I - t 3 , J ~ 2 - 51
x = e~rr, y = t - In t 2 ; t = 1
6. x = cos e + sen 28, y = sen 8 + cos 28; e = O
3-5 ~-~ Encontre uma equação da tangente à curva no ponto
correspondente ao valor do parâmetro dado.
3, X= t 4 + 1, y = t 3 + t; t = -1
t-B c: Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado
por dois métodos: (a) sem eliminar o parâmetro e (b) primeiro
eliminando o parâmetro.
4. X= 2t 2 + Í, }' = ~t 3 - t; t = 3 7. x ~ e', y ~ (1 - !)'; (1, 1)

662 o CÁlCUlO Editora Thomson
8. X = tg e, )' = sec fJ; (L /2)
Encontre uma equação da(s) tangente(s) à curva no ponto
0~1fl
dado. Então plote a curva e a(s) tangente(s).
9. x=2sen2t, y=2sent; (v],l)
10. x = sen t, y = sen(t + sen t); (0, O)
Ache dy/dx e d 2 y/dx 2 • Para quais valores de ta curva é
côncava para cima
11. X = 4 + t 2 , )' = fl + t 1 12. x = r3 - l2t, y = t 2 - 1
13. x = t- e', y = t + e- 1 14. x = t + tn t, y = t- ln t
15. x = 2 sen t, y = 3 cos t, O < t < 2'lT
16. X = COS 2t, )' = COS t, Ü < f < 1T
17-26 Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal
ou vertical. Se você tem um dispositivo gráfico, plote a curva.
17. X = lO - , y = t 3 - 12t
18. X= 2t 3 + 3t 2 - 12!, )' = 2t 3 + 3t 2 +
19. x = 2 cos O, y = scn 20
20. X = COS 30, )' = 2 Sen 0
21. Use um gráfico para estimar as coordenadas do ponto extremo
esquerdo na curva x = t 4 - t 2 , y = t + In t. Então use o
cálculo para encontrar as coordenadas exatas.
22. Tente estimar as coordenadas do ponto máximo e do ponto
extremo esquerdo na curva x = te\ y = te~~. Então encontre
as coordenadas exatas. Quais são as assíntotas dessa curva
23-2:4 Plote a curva em um visor retangular que mostre todos
os aspectos importantes da curva.
r~. x = 1 4 - 2t 3 - 2t 2 , y = t 3 - t
24. X = ! 4 + 4t 3 - 8! 2 , )' = 2t 2 - t
2:~. Mostre que a curva x = cos t, y = sen t cos t tem duas
tangentes em (0, O) e encontre suas equações. Esboce a curva.
26. Em que ponto a curva x = 1 - 2 cos 1 1,
y = (tg t)(l - 2 cos 2 t) intercepta ela mesma Encontre as
equações de ambas as tangentes naquele ponto.
27. (a) Encontre a inclinação da reta tangente à trocóide
x = rO - d sen O, y = r - d cos () em tennos de 8. (Veja
o Exercício 38 na Seção 10.1.)
(b) Mostre que, se d < r, então a trocóide não tem uma
tangente vertical.
28. (a) Encontre a inclinação da tangente à astróide x =a cos 3 0,
y =a sen 3 8 em tennos de e. (As astróides foram
exploradas no Projeto de Laboratório na página 653.)
(b) Em que pontos a tangente é horizontal ou vertical
(c) Em que pontos a tangente tem inclinação 1 ou - 1
29. Em que pontos na curva x = t 3 + 4t, y = 6! 2 a tangente é
paralela à.reta com equações x = -7t, y = 12t ~ 5
30. Encontre as equações das tangentes à curva x = 3t 2 + ! .
y = 2t 3 + 1 que passam pelo ponto (4, 3).
~1._ Use as equações paramétricas de uma elipse, x = a cos O,
y = b sen (},o :::s; e :S; 2rr, para calcular a área limitada por
essas curvas.
32. Calcule a área limitada pela curva x = t - l/t. v = 1 + ljt
e a retay = 2,5. - <
33. Encontre a área limitada pela curva x = cos 1, v= e',
O ..-s:; t ..-s:; 1T/2 e as retas y = 1 ex = O. .
34. Calcule a área da regíão limitada pela astróide x =a cos'-o,
y =a sen 3 0. (As astróides foram exploradas no Projeto de
Laboratório na página 653.)
35. Encontre a área sob um arco da trocóide do Exercício 38 na
Seção lO.l para o caso d < r.
36. Seja 'lk a região dentro do laço da curva no Exemplo 1.
(a) Calcule a área de '!JL
(b) Se ffi girar ao redor do eixo x, encontre o volume do sólido
resultante.
(c) Encontre o centróide de ffi.
31~4fi -- Monte, mas não avalie, uma integral que represente o
comprimento da curva.
37. X= 1 - ! 2 , )' = 5t 3 /2, 1 ~ t ~ 2
38. x = 1 + e 1 , y = t 2 , -3 ~ t ..-s:; 3
39. x = t + cos t, y = t - sen t, O ..-s:; t ..-s:; 2'lT
40. x = lo t, y = .J(+l, 1 ~ t ..-s:; 5
41-44 Calcule o comprimento da curva.
~&J; X= 1 + 3 fl, y = 4 + 2 fl, Ü,; t,; 1
42. x = a(cos O+ Osen 0), y = a(sen O- Ocos 8),
o ..-s:; 8 ..-s:; 1T
t
43, x = T+l' y = 1n(l + t), O ,; t ,; 2
44. x = e' + e- 1 , y = 5 - 21, O ~ t ..-s:; 3
45--47 - Plote a curva e calcule seu comprimento.
~,.~ x = e 1 cost, y = e'sent, O~ t :::s 1T
46. x = cos t + ln(tg h), y = sen t, 1í/4 ~ t ~ 31T/4
47. x = e 1 - t, y = 4e'·12 , -8 ~ t ..-s:; 3
48. Ache o comprimento do laço da curva x = 3t- t3, y = 3t2.
49. Use a Regra de Simpson com n = 6 para estimar o
comprimento da curva x = t - e', y = t + é, -6 :::s 1 ~ 6.
50. No Exercício 41 na Seção 10.1 foi pedido para você derivar as
equações paramétricas x = 2a co-tg O, y = 2a sen 2 8
para a curva chamada bruxa de Maria Agnesi. Use a Regra
de Simpson com n = 4 para estimar o comprimento do arco
dessa curva dada por 1T/ 4 ~ e ~ 1T/2.

James Stewart CAPÍTULO 10 EOUAÇÓES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLAF1ES 663
51-52 Encontre a distância percorrida por uma partícula com
posição {x, y) quando t varia em um dado intervqlo de tempo.
Compare com o comprimento da curva.
51. x = sen 2 t, y = cos 2 t, O ::;::;: I ~ 3Tr
52. x = cos 2 t, y = cos t, O ~ t ~ 4r,
53. Mostre que o comprimento total da elipse x = a sen e,
y = b cos e, a > b > O, é
onde e é a excentricidade da elípse (e= e/a, onde
c~)a 2 -b 2 ).
54. Calcule o comprimento total da astróide x =a cos 3 e,
y = a sen 3 8, onde a >O.
55. (a) Plote a epitrocóide com equações
x ~ 1l cos t - 4 cos(llt/2)
y ~ 11 sent- 4sen(l1t/2)
Qual intervalo do parâmetro fornece a curva completa
(b) Use seu CAS para calcular o comprimento aproximado
dessa curva.
~56. Uma curva chamada espiral de Como é definida pelas
equações paramétricas
62. Plote a curva
x = 2 cos e- cos 2e y = 2 sen e ~ sen 28
Se essa curva girar ao redor do eixo x, calcule a área da
superfície resultante. (Use o gráfico para ajudar a encontrar
o intervalo correto do parâmetro.)
63. Se a curva
x=t+t' y=t- 1 ~ t ~ 2
girar ao redor do eixo x, estime a área da superfície resultante
com precisão de três casas decimais.
64. Se o arco da curva no Exercício 50 girar ao redor do eixo x,
estime a área da superfície resultante usando a Regra de
Simpson com n = 4.
ü5·6S :J Calcule a área da sup~rfície gerada pela rotação da curva
dada ao redor do eixo y.
_65,· X= 3t 1 , )' = 2t 3 , 0 ~ t ~ 5
66. x = e 1 - t, y = 4e' 11 , O ~ t ~
67. Se f' for contínua e j'(1) '#'O para a ::;::;: t ~ b, mostre que a
curva paramétrica x = f(t), y = g(t), a ~ t ~ b, pode ser
colocada na forma y = F(x). [Dica: Mostre que t··l existe.]
68. Use a Fórmula 2 para derivar a Fórmula 7 a partir da Fó1mula
8.2.5 (do Volume I) para o caso no qual a curva pode ser
representada na forma y = F(x), a ~ x ~ b.
69. A curvatura no ponto P da curva é definida como
x ~ C(t) ~ J: cos(1TU 2 /2) du
y ~ S(t) ~ J: sen( 1TU 2 /2) du
onde C e S são as funções de Fresnel que foram introduzidas
no Capítulo 5.
(a) Plote essa curva. O que acontece quando t......,. oo e t......,. -oo
(b) Calcule o comprimento da espiral de Corou a partir da
origem até o ponto com o valor do parâmetro 1.
57-53 o Monte, mas não avalie, uma integral que represente a área
da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.
51. X = t- f, )' = }t 312 , 1 ~ l ~ 2
58. x = sen 2 t, y = sen 3t, O ~ 1 ~ Tr/3
59-61 o Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva
dada ao redor do eixo x.
59. X= t 3 , y = 1 2 , 0 ~ t ~ 1
60. X= Jt- t 3 , )' = 31 2 , 0 ~ f~ 1
x =a cos 3 8, y =a sen 3 8, O ~ e~ 1T/2
onde 4> é o ângulo de inclinação da reta tangente em P, como
mostrado na figura. Então, a curvatura é o valor absoluto da
taxa de mudança de 4> em relação ao comprimento de arco.
Esta pode ser considerada como uma medida da taxa de
mudança de direção da curva em P e vai ser estudada em
mais detalhes no Capítulo 13.
(a) Para a curva paramétrica x = x(t), y = y(t), derive a
fórmula
lxy -x.YI
[x' + .Y' ]'12
onde os pontos indicam as derivadas em relação a t, assim
i~ dx/dt. [Dica: Use 4> ~ tg~'(dy/dx) e a Equação 2
para encontrar dtJ>/ dt. Então use a Regra da Cadeia para
achar d4>/ds.]
(b) Considerando uma curva y = f(x) como a curva
paramétrica x = x, y = f(x), com o parâmetro x, mostre
que a fórmula na parte (a) se toma
I d'y/dx'l
K ~ [I + (dy/dx) 2 ]'/ 2

664 c: CÁLCUlO Editora Thomson
)
X
X
70. (a) Use a fórmula no Exercício 69(b) para encontrar a
curvatura da parábola y = x 1 no ponto (I, 1 ).
(b) Em que ponto essa parábola tem curvatura máxima
71. Use a fórmula no Exercício 69(a) para calcular a curvatura
da ciclóide X = e - sen 0, )' = l - COS 0 00 topo de Um
dos arcos.
72. (a) Moslre que a curvatura a cada ponto de uma linha reta é
K=O.
(b) Mostre que a curvatura a cada ponto do círculo de raio
réK=l/r.
73. Um barbante é enrolado ao redor de um círculo e então
desenrolado, sendo mantido esticado. A curva traçada pelo
ponto p no final do barbante é chamada involuta do círculo.
Se o circulo tiver raio r e centro O, se a posição inicial de P for
(r, O) e se o parâmetro e for escolhido como na figura, mostre
que as equações paramétricas da involuta são
X= r(cos () + Osen e) )' = r(sen e- ecos e)
74. Uma vaca é amarrada a um silo com raio r por uma
corda comprida o suficiente para alcançar apenas o
outro lado do silo. Calcule a área disponível para a
pastagem da vaca.
····•·•
Curvas de Bézier
As curvas de Bézier são usadas em Computer-Aided Design (CAD) e têm esse nome em
homenagem a Bézier (1910--1999), matemático francês que trabalhava na indústria
automobilística. Urna curva cúbica de Bézier é detenninada por quatro pontos de controle,
Po(Xo, Yo), PJ(X!, }'1), P 2 (x 2 , y 2 ) e P 3 (x 3 , y 3 ), e é definida pelas equações paramétricas
x ~ x 0 (1 -
t) 3 + 3x,t(l - t)' + 3x,t 1 (! - t) + x 3 t'
y ~ yo(l - t)' + 3y,t(! - t) 2 + 3y,t 2 (1 - t) + y 3 t 3
onde-O~ t ~ 1. Note que, quando t =O, temos (x, y) = (xo, Yo), e quando t = 1, obtemos
(x, y) = (x3, YJ); assim, a curva começa em Po e tennina em P3.
I. Plote a curva de Bézier com os pontos de controle Po(4. 1), P,(28, 48), Pz(50, 42) e P,(40, 5).
Então, no mesmo -gráfico, plote os segmentos de Teta PoPJ. P 1 P 2 e P 2 P 3 • (O Exercício 31 na
SeçãolO.l mostnl como fazedsso.) Note que os pontos de c{)ntrole intermediários P 1 e P 2
:~~:~~~s~ob~r:-~e a curva; a curva começa em P 0 , vai em direção a P 1 e P 2 sem alcançá-los e

James Stewart
CAPÍTULO 10 EOU.AÇÕES PARAJvlt:TniC.AS E COORDENADAS POLARES
665
5. Os fonnatos mais complicados podem ser representados colocando-se juntas duas ou mais
curvas de Bézier. Suponha que a primeira curva de Bézier tenha pontos de controle
P 0 , P 1 , P 2 , PJ e a segunda tenha pontos de controle P:,, P4, Ps, P 6 . Se quisennos que essas dua::.
peças se juntem suavemente, então as tangentes em P 3 devem coincidir, e os pontos P 2 , P, e 4
devem estar nessa reta tangente comum. Usando esse princípio, encontre os pontos de controle
para um par de curvas de Bézier que representem a letra S .
••. 3
Coordenadas Polares
P(c,B)
/
e
0 .L-~-e-i-xo-po""l-ac----~x
FIGURA
/
/
(-,,8) "
FIGURA 2
eu~
~ o
/
/
/
V, e)
Um sistema de coordenadas representa um ponto no plano por um par ordenado de
números chamados coordenadas. Até agora temos usado as coordenadas cartesianas, que
são distâncias dirigidas a partir de dois eixos perpendiculares. Nesta seção descreveremos
um sistema de coordenadas introduzido por Newton, denominado sistema de coorde~
nadas polares, que é mais conveniente para muitos propósitos.
Escolhemos um ponto no plano conhecido como pólo (ou origem) e o denominamos O.
Então, desenhamos um raio (semi-reta) começando em O, chamado eixo polar. Esse eixo
é geralmente desenhado horizontalmente para a direita e corresponde ao eixo x positivo
nas coordenadas cartesianas.
Se P for qualquer outro ponto no plano, seja r a distância de O até P e seja e o ângulo
(geralmente medido em radianos) entre o eixo polar e a reta OP como na Figura 1. Daí o
ponto Pé representado pelo par ordenado (r, 8) e r, e denominado coordenadas polares
de P. Usamos a convenção de que um ângulo é positivo se for medido no sentido antihorário
a partir do eixo polar e negativo se for medido no sentido horário. Se P = O, então
r= O, e concordamos que (O, 8) representa o pólo para qualquer valor de e.
Estendemos o significado de coordenadas polares para o caso no qual r é negativo concordando
que, como na Figura 2, os pontos (-r, 8) e (r, 8) estão na mesma reta através de
O e estão à mesma distância I r I a partir de O, mas em lados opostos de O. Se r > O, o
ponto (r, 8) está no mesmo quadrante que 8; se r< O, ele está no quadrante do lado oposto
ao pólo. Note que (-r, 8) representa o mesmo ponto que (r, 8 + 7T).
EXEMPLO 1 cc
(a) (I, 57T/4)
Plote os pontos cujas coordenadas polares são dadas.
(b) (2,37T) (c) (2, -27T/3) (d) (-3,37T/4)
SOLUÇÃO Os pontos são plotados na Figura 3. Na parte (d) o ponto (-3, 37T/4) está
localizado três unidades a partir do pólo no quarto quadrante, porque o ângulo 3 rr/ 4
está no segundo quadrante e r = -3 é negativo.
5n ~
/-;::-0---- (2,
(t, 'f)
FIGURA 3
3n:
3n) o
o _____
I
(2, -~f)

666 lJ CÂLCULO
Editora Thomson
No sistema de coordenadas cartesianas cada ponto tem apenas uma representação, mas
no sistema de coordenadas polares cada ponto tem muitas representações. Por exemplo, o
ponto (1, 51T/4) no Exemplo !(a) poderia ser escrito como (1, -31T/4) ou (1, l31T/4) ou
(-I, 11'/4). (Veja a Figura 4.)
5n
4
"o
o
/ • 3rr
4
'/ o
(L~) (t, -':/') (L !~!!) (-1, n
FIGURA 4
De fato, como uma rotação completa no sentido anti-horário é dada por um ângulo 27T,
o ponto representado pelas coordenadas polares (r, e) é também representado por
(r, e+ 2mr) e (-r, e+ (2n + 1)11')
rt
P(c, 8) = P(x, y)
I ' y
o X X
FIGURA 5
onde n é qualquer inteiro.
A relação entre as coordenadas polares e cartesianas pode ser vista a partir da Figura 5,
na qual o pólo corresponde à origem e o eixo polar coincide com o eixo x positivo. Se o
ponto P tiver coordenadas cartesianas (x, .Y) e coordenadas polares (r, 8), então, a partir da
figura, temos
e assim
X
cos 8 =­ r
x=rcos8
y=rsen8
Embora as Equações I tenham sido deduzidas a partir da Figura 5, que ilustra o caso
onde r > O e O < e < 1rj2, essas equações são válidas para todos os valores de r e e. (Veja
a definição geral de sen e ecos e no Apêndice D do Volume I.)
As Equações 1 nos pennitem encontrar as coordenadas cartesianas de um ponto quando
as coordenadas polares são conhecidas. Para encontrar r e 8 onde x e y são conhecidos,
usamos as equações
y
tg O=­
X
que podem ser deduzidas a partir das Equações I ou simplesmente lidas a partir da Figura 5.
i'JlEMPLO 2 · Converta o ponto (2, 1T/3) de coordenadas polares para cartesianas.
SOLUÇÃO Como r = 2 e O = 11'/3, as Equações I fornecem
r. I
X= r cose= 2 cos- = 2.- = I
3 2
c
7T ~3 r
Y=rsene=2sen-=2·-= 13
3 2 '
Portanto, o ponto é ( 1, .J3) nas coordenadas cartesianas.
EJLEMPUJ 3 ~·: Represente o ponto com coordenadas cartesianas {1, -1) em termos de
coordenadas polares.

James Stewart CAPÍTUlO 10 EQUAÇÓES P.fl,RAMÉTR!CAS E COORDENADAS POLARES U 667
SOLUÇÃO Se escolhermos r positivo, então a Equação 2 fornece
r~ Jx' + y' ~ JF + (-l)' ~,fi
y
tge~-~-1
X
Como o ponto (1, -!)está no quarto quadrante, podemos escolher 8 ~ -1T/4 ou
8 ~ 77r/4. Então uma resposta possível é (,fi, -1T/4); e outra é (,fi, 71T/4),
NOTA o As Equações 2 não detenninam unicamente 8 quando x e y são dados, porque,
como e aumenta através do intervalo O ~ e < 27T, cada valor de tg e ocorre duas vezes.
Portanto, para converter coordenadas cartesianas em coordenadas polares, não é apenas
suficiente encontrar r e e que satisfaçam as Equações 2. Como no Exemplo 3, devemos
escolher 8 de modo que o ponto (r, 8) esteja no quadrante correto.
r=
r= 4
Curvas Polares
O gráfico de uma equação polar r ~f( 8), ou mais genericamente F(r, 8) ~ O, consiste
em todos os pontos P que têm pelo menos uma representação (r, 8) cujas coordenadas satisfazem
a equação.
X
Que curva é representada pela equação polar r= 2
SOLUÇÃO A curva consiste em todos os pontos (r, e) com r = 2. Como r representa a
distância do ponto ao pólo, a curva r = 2 representa o círculo com centro O e raio 2. Em
geral, a equação r = a representa um círculo com centro O e raio I a 1. (Veja a Figura 6.)
FIGURA 6
8= I
o
í(3, l)
/[2, I)
/
)1,1)
li
'
/
X
;-l,l)
f(-2, l)
/
FIGURA 7
EXEMPUJ 5
Esboce a curva polar 8 ~ L
SOLUÇÃO Essa curva consiste em todos os pontos (r, O) tal que o ângulo polar é I
radiano. É uma linha reta que passa por O e forma um ângulo de 1 radiano com o eixo
polar (veja a Figura 7). Note que os pontos (r, I) na reta com r> O estão no primeiro
quadrante, enquanto aqueles com r < O estão no terceiro quadrante.
EXEMPlO 6
(a) Esboce a curva com equação polar r~ 2 cos 8.
(b) Encontre a equação cartesiana para essa curva.
SOLUÇÃO
(a) Na Figura 8 encontramos os valores de r para alguns valores convenientes de 8
e plotamos os correspondentes pontos (r, e). Então juntamos esses pontos para esboçar a
curva, que parece ser um círculo. Usamos os valores de () apenas entre O e 11, já que, se
deixarmos e aumentar além de r., obtemos os mesmos pontos novamente.
. = 2 co~ e
(t. f)
1T/2
12,0)
FIGURA 8 3r:/4
Tabela de valores e gráfico
der=2cos8 -2

668 u CÁlCULO Editora Thomson
(b) Para converter a equação dada em uma equação cartesiana, usamos as Equações l e
2. A partir de X = r cos e, temos cos e = x/r; assim, a equação r = 2 cos o toma-se
r = 2x/ r, que fornece
Completando o quadrado, obtemos
- 2x -o
(x- I)' +
- I
que é uma equação do círculo com centro (1, O) e raio 1..
.-: /: .. Figura 9 mostra em uma ilustração
geométrica que o circulo no Exemplo 6
tem a equação r = 2 cos O. O ângulo
OPQ é um ilnguio reto (por quê) e
assim r/2 = cos e.
Q
X
FIGURA 9
EXEMPLO l Esboce a curva r = l + sen 8.
FIGURA 10
r =
I + sen e em coordenadas
cartesianas, o ~ e

James Stewart CAPÍTULO 10 EOUAÇÓES PARAMtTRICAS E COORDENADAS POLARES 669
Esboce a curva r= cos 28.
SOLUÇÃO Como no Exemplo 7, primeiro esboçamos r ~ cos 20, O ~ e ~ 211, em
coordenadas cartesianas na Figura 12. Quando e aumenta de O até 11/4, a Figura 12
mostra que r dirrúnui de 1 até O, e assim desenhamos a parte correspondente da curva
polar na Figura 13 (indicada por uma seta simples). Quando O aumenta de r./4 até 7T/2,
r varia de O até - 1. Isso significa que a distância de O aumenta de O até 1, mas em vez
de ser no primeiro quadrante essa parte da curva polar (indicada por uma seta dupla) está
no lado oposto ao pólo no terceiro quadrante. O restante da curva é desenhado de uma
maneira semelhante, com números e setas indicando a ordem na qual as porções são
traçadas. A curva resultante tem quatro laços e é denominada rosa de quatro pétalas.
' (j)
\
\
"
2
I !.E
I 4
I
/
® //
~"
)
e
FIGURA 12
r= cos 20 em coordenadas cartesianas
FIGURA 13
Rosa de quatro pétalas r = cos 28
Simetria
Ao esboçar curvas polares, lembre-se de que é útil algumas vezes levar em conta a simetria. As
três regras seguintes são explicadas pela Figura 14.
(a) Se uma equação polar não mudar quando 8 for trocado por - 8, a curva será simétrica
ao redor do eixo polar.
(b) Se a equação não mudar quando r for trocado por -r, ou quando e for trocado por
e + 1T, a curva será simétrica ao redor do pólo. (Isso significa que a curva permanecerá
inalterada se a girarmos 180' ao redor da origem.)
(c) Se a equação não mudar quando e for trocado por 1r -
redor da reta vertical e ~ 7T/2.
e, a curva será simétrica ao
8)
FIGURA 14
(a)
(b)
(c)

670 u CÁLCUlO Editora Thomson
As curvas nos Exemplos 6 e 8 são simétricas ao redor do eixo polar, pois
cos(- e) = c os e. As curvas nos Exemplos 7 e 8 são simétricas ao redor de 8 = 7T/2
porque seu( 1T - 8) = sen e e cos 2( -rr - 8) = cos 28. A rosa de quatro pétalas é também
simétrica ao redor do pólo. Essas propriedades de simetria poderiam ser usadas para
esboçar as curvas. Por exemplo, no Exemplo 6 só precisaríamos ter plotado pontos para
O ::::; () ::::; 'lT/2 e então refleti-los ao redor do eixo polar para obter o círculo completo.
Tangentes a Curvas Polares
Para encontrar a reta tangente a uma curva polar r= f(()), vamos considerar ()como um
parâmetro e escrever suas equações paramétricas como
x = rcos 8 =f( O) cos 8
y = rsen e= /(8)sen e
Então, usando o método para encontrar inclinações de curvas paramétricas (~uação
1 0.2.2), e a Regra do Produto temos
dy
dr
dy = de = de sen 8 + r cos 8
dx dx dr
dO de cos 8 - r sen 8
Localizamos as tangentes horizontais achando os pontos onde dy/d8 =O (desde
que dx/d8 ::;6 0). Do mesmo modo, localizamos as tangentes verticais nos pontos onde
dx/d8 =O (desde que dy/d8"' 0).
Note que, se estivermos olhando para as retas tangentes no pólo, então r = O e a
Equação 3 é simplificada para
dy
-=tge
dx
se
dr
-"'0
dO
Por exemplo, no Exemplo 8 achamos que r= cos 28 =O, onde 8 = 7T/4 ou 37T/4. Isso
significa que as retas 8 = 7T/4 e e= 37T/4 (ou y = x e y = -x) são retas tangentes a
r = cos 2() na origem.
EXEMPlO 9
(a) Para a cardióide r= I + senO do Exemplo 7, calcule a inclinação da reta tangente
quando e= 7T/3.
(b) Encontre os pontos na cardióide onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
SOlUÇÃO Usando a Equação 3 com r= ! + sen 8, obtemos
dy
dx
dr
desen 8 + rcos e
dr
-cos ()- rsen 8
dO
cos &sen 8 + (l + sen B)cos O
cos Ocos 8- (I + sen e) sen 8
cos 8 (l + 2 sen 8)
l - 2 sen 2 8 - sen e
cos e (I + 2 sen 8)
(1 + sen 8)(1 - 2 sen 8)

James Stewart CAPÍTUlO 10 EQUAÇÕES PARAMETRICAS E COOfiDENA.DAS POLARES 671
(a) A inclinação da tangente no ponto onde 8 = r./3 é
dv j:
dx o=;r/3
cos( r./3)(1 + 2 sen( r./3))
(l + sen(r./3))(1 - 2 sen(1T/3))
l(J + J3)
(1 + ;Í3/2)(1 - J3)
1 + ,/3
(2 + J3)(1 - J3)
_l~+_,J3'-=3= = -1
-1 - )3
(b) Observe que
dv
-·- = cos 8 (I + 2 sen O) = O
dO
dx
- = (I + sen 8)(1 - 2 sen O) = O
dO .
7r 3n 7n lhT
quando O=-----
2' 2 ' 6 ' 6
37r 7í 57í
quando e = - - -
2 '6' 6
2 ~
' 1
Portanto existem tangentes horizontais nos pontos (2, 7í/2), (L 77í/6), (L ll7í/6) e
tangentes verticais em (l, 7T/6) e (l, 57T/6). Quando B = 3r./2, dyjde e dx/dO são O e,
dessa fonna, devemos ser cuidadosos. Usando a Regra de L' Hôspital, temos
FIGURA 15
i
(}· f) I (}· I!')
Retas tangentes para r =
l + sen e
Por simetria,
lim - dy = ( fim _::_.:_::_::::.::_::. 1+2sen8)( fim
B---7(Jrr/2f dx e__,(J;r/2)- 1 - 2 senO O->{h/2J-
I
3
fim
0--t(h/21"
coso
+ sen e
-senO
fim
3 8---7 (h/2)- cose
dy
lim - = -oo
(l-->(};r/2)' dx
cose )
I + sen O
Então existe uma reta tangente vertical no pólo (veja a Figura 15).
NOTA o Em vez de lembrarmos da Equação 3, poderíamos empregar o método usado
para derivá-la. Por exemplo, no Exemplo 9, poderíamos ter escrito
Assim temos
X= rcos e= (1 + sen O)cos e= cose+ ~sen28
y = r sen 8 = (I + sen e) sen e= sen e + sen 2 8
dy = dyjde = cose+ 2 sen Ocos e
dx dx/d8 -sen e+ cos 28
cose+ sen 28
-sen e+ cos 28
que é equivalente a nossa expressão prévia.

672 CJ CÁlCUlO
Editora Thomson
FIGURA 16
r= sen e+ sen'(50/2)
2
Plotando Curvas Polares com Dispositivos Gráficos
Embora seja útil saber esboçar as curvas polares simples manualmente, precisamos usar
uma calculadora gráfica ou um computador quando nos deparamos com uma curva complicada,
como a mostrada na Figura 16.
Alguns dispositivos gráficos têm comandos que nos permitem plotar as curvas polares
diretamente. Com outras máquinas precisamos fazer a conversão para as curvas paramétricas
primeiro. No último caso, tomamos a equação polar r =f( 8) e escrevemos suas
equações paramétricas como
X~ rcos e~ j(8)cos o y ~ rscn e~ j(8) senO
Algumas máquinas requerem que o parâmetro seja denominado t em vez de 8.
Plote a curva r ~ sen(88/5).
SOLUÇÃO Vaillos assumir que nosso dispositivo gráfico não tenha um comando para
plotar as curvas polares. Nesse caso, precisamos trabalhar com as equações paramétricas
correspondentes, que são
X~ rcos e~ sen(S0/5) cose y ~ rsen e~ sen(88/5)sen O
Em qualquer caso, precisamos determinar o dorrúnio para 8. Então nos perguntamos:
quantas rotações completas são necessárias até a curva se repetir Se a resposta for n,
então
-1
sen
8(0 + 2mr)
sen
se l6mr)
5 ( -+--
5 5
88
=sen- 5
FIGURA 17
r~ sen(S0/5)
-1
e assim precisamos que I6nn/5 seja um múltiplo par de n. Isso ocorrerá primeiro
quando n = 5. Portanto plotaremos a curva inteira se especificarmos que O~ 8 ~ 10n.
Trocando de 8 para t, temos as equações
x ~ sen(8t/5) cos t y ~ sen(8t/5) sen t o "" t ,;; l07T
e a Figura 17 nos mostra a curva resultante. Note que essa rosa tem 16 laços.
EXEMPlO 11 n Investigue a faffi11ia de curvas polares dada por r~ 1 + c sen 8.
Como o formato muda quando c varia (Essas curvas são chamadas limaçons,
que em francês significa caracol, por causa do formato dessas curvas para certos
valores de c.)
No Exercício 53 pediremos para
você provar analiticamente o que
descobriu a partir dos gráficos na
Figura 18.
SOLUÇÃO A Figura 18 mostra gráficos desenhados por computador para vários valores
de c. Para c > 1 existe um laço que reduz de tamanho quando c diminui. Quando
c = 1 o laço desaparece e a curva toma-se a cardióide que esboçamos no Exemplo 7.
Para c entre 1 e ~ a cúspide da cardióide é suavizada e toma~se urna "covinha".
Quando c diminuí de ~- para O, a limaçon parece oval. Essa oval toma-se mais
circular quando c ----> O e quando c = O a curva é apenas o círculo r = 1.

James Stewart CAPÍTUlO 10 EQUAÇÕES P./\Rt,MÉTRiCAS E COORDENADAS POLARES 673
c= L7 c= l
I c= 0.7
c= 0.5 (' =- 0.2
FIGURA 18
c= 2.5
c=O
Membros da famnia de
limaçons r = 1 + sen ()
---~
c= -4J,5
I
-+t--
c= 0.8
-4 -
I c~ -1
'
c"" -2
As partes restantes da Figura 18 mostram que, quando c se torna negativo, os formatos
mudam na ordem inversa. De fato, essas curvas são reflexões ao redor do eixo
hmizontal das curvas correspondentes com c positivo.
1-2 Plote o ponto cujas coordenadas polares são dadas. Então
encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um
com r > O e o outro com r < O.
1. (a) (l, TT/2)
2. (a) (3, O)
(b) (-2, TT/4)
(b) (2, -7r/7)
(c) (3, 2)
(c) ( -l, -TT/2)
3-4 c::; Plote o ponto cujas coordenadas polares são dadas. Então
encontre as coordenadas cartesianas do ponto.
3. (a) (3, 1T/2) (b) (2)2, 37T/4) (c) (-1, TT/3)
4. (a) (2, 27r/3) (b) (4, h) (c) (-2, -STT/6)
5-5 As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
(i) Encontre as coordenadas polares (r, 8) do ponto, onde r > O e
o~ e< 21r.
(ii) Encontre as coordenadas polares (r, 8) do ponto, onde r < O e
o~()< 27T.
5. (a) (1, 1)
6. (a)(-!, -..j3)
(b) (2..;3, -2)
(b) ( -2, 3)
7-12 =- Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas
coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
7. 1 ~r::::::;2
8. r~ O, 7f/3 "" e"" 21T/3
9. O oS r< 4, ~ 'IT/2 :::::; e < 1r!6
10. 2

674 o CÁlCUlO Editora Thomson
0::~ -- Esboce a curva com a equação dada.
29. e= -'Tr/6 30. ,2- 3r + 2 =O
31. r= sen e 32. r~ -3 cose
33. r ~ 2(1 - sen e) 38. r~ l-3cose
35. r= e, e~o 36. r= In O, e""
37. r= sen 28 38. r= 2cos30
39. r= 2 cos 48 40. r= senSO
41. r 2 = 4 cos 20 42. r 2 = sen28
43. r= 2 cos(38/2) 44. r'e ~ 1
54. Conecte as curvas polares com seus respectivos gráficos [-VI.
Dê razões para suas escolhas. (Não use um disposítivo gráfico.)
(a) r~ sen(e/2)
(c) r~sec(30)
(e) r~ I + 4 cos 50
II
(b) r~ sen(0/4)
(d) r~ esene
(f) r~ 1/J(J
i _r
~""j c-4
45. r= 1 + 2 cos 28 46. r~ I + 2 cos(0/2)
A figura mostra o gráfico de r como uma função de O em
coordenadas cartesianas. Use~o para esboçar a curva polar
correspondente.
47. 48.
,.,
z.f- r'
11 /
r/ I,/,
"I
2rr O \
49. Mostre que a curva polar r= 4 + 2 sec 8 (chamada
conchóide) tem a reta x = 2 como uma assíntota vertical
mostrando que lim,~""xx = 2. Use esse fato para ajudar a
esboçar a conchóide.
50. Mostre que a curva r= 2- co-sec O (também uma conchóide)
tem a reta y = - 1 como uma assíntota horizontal mostrando
que lim,__.:t"' y = -L Use esse fato para ajudar a esboçar a
conchóide.
51. Mostre que a curva r= sen e tg e (denominada cissóide
de Diocles) tem a reta x = 1 como uma assíntota verticaL
Mostre também que a curva está inteiramente dentro da
faixa vertical O ~ x < 1. Use esses fatos para ajudar
a esboçar a cissóide.
52. Esboce a curva (x 2 + y 2 ) 3 = 4x 1 y 2 •
iSl: (a) No Exemplo ] 1 os gráficos sugerem que a limaçon
r = 1 + c sen f) tem um laço interno quando j c I > 1.
Prove que isso é verdadeiro e encontre os valores de O
que correspondam ao laço interno.
(b) A partir da Figura 18 parece que a lirnaçon perde sua
covinha quando c= i- Prove.
55-60 :.:.: Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar
dada no ponto especificado pelo valor de O.
55. r=2sen0, O= 1rl6
56. r=2~sen0, e~ 7T/3
'"57::
r~
1/8, e~ 7T 58. r= In O, 8=e
59. r~ l +cosO, o~ 7r/6 60. r=sen30, o~ 7r/6
\H-66 Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é
horizontal ou vertical.
iíít r=3cos0
63. r~ l +coso 64. r= e 6
82 r= cosO+ senO
65. r= cos 20 60. r 2 = sen 28

James Stewart CAPÍTULO 1!1 EOUAÇÓES PA.RAfvH~_TRfCAS E COORDENADAS POLARES L-J 675
67. Mostre que a equação polar r= a sen e+ b cose, onde
ab -:F O, representa um círculo e calcule seu centro e o raio.
68. Mostre que as curvas r = a sen e e r = a cos 8 se interceptam
com ângulos retos.
69-74 Use um dispositivo gráfico para plotar a curva polar.
Escolha o intervalo do parâmetro para ter certeza de que você
fez a curva inteira.
69. r~ I + 2 sen(0/2) (nefróide de Freeth)
70. r= /I - 0,8 sen 2 0 (hipopédia)
71. r= e"'uo- 2 cos(40) (curva borboleta)
72. r~ sen'(40) + cos(40)
73. r~ 2- 5 sen(0/6)
74. r ~ cos( 812) + cos( 813)
75. Como os gráficos r= l + sen(O- 1r/6) e
r= 1 + sen(B - 1r/3) estão relacionados ao gráfico
r = 1 + sen 8 Em geral, como o gráfico de r =f( O - a)
está relacionado ao gráfico de r= f(8)
Investigue como o gráfico muda quando o número a varia. Em
particular, você deveria identificar os valores de transição de a
para os quais o formato básico da curva muda.
~~80. O astrônomo Giovanni Cassini (1625~1712) estudou a família
de curvas com equações polares
r 4 - 2c 2 r 2 cos 28 + c 4 - a 4 =O
onde a c c são números reais positivos. Essas curvas são
chamadas ovais de Cassini, embora tenham formato oval
apenas para certos valores de a e c. (Cassini pensou que essas
curvas pudessem representar as órbitas planetárias melhor que
as elipses de Kepler.) Investigue a variedade de fom1atos
que essas curvas possam ter. Em particular, como estão
relacionados a e c quando a curva se divide em duas partes
81. Seja P um ponto qualquer (exceto a origem) na curva r= f( O).
Se !f; for o ângulo entre a reta tangente em P e a reta radial OP,
mostre que
r
tg o/~ dr/dO
[Dica: Observe que !f;= cb ~ O na figura.]
76. Use um gráfico para estimar a coordenada y dos pontos mais
altos na curva r= sen 28. Então use o cálculo para encontrar
o valor exato.
~~ 77. (a) Investigue a família de curvas definidas pelas equações
polares r = sen nO, onde n é um inteiro positivo. Como o
número de laços está relacionado a n
(b) O que aconteceria se a equação na parte (a) fosse trocada
por r~ I sen nBI
78. Uma família de curvas é dada pelas equações r = l + c sen
n O, onde c é um número real e n é um inteiro positivo. Como
o gráfico muda quando n aumenta Como ele muda quando c
varia Ilustre plotando os membros suficientes da família para
apoiar suas conclusões.
~~ 79. Uma famflia de curvas tem equações polares
- acos 8
+ acos 8
o
82. (a) Use o Exercício 81 para mostrar que o ângulo entre a reta
tangente e a reta radial é o/ = 1r/ 4 a cada ponto na curva
~~ (b) Ilustre a parte (a) plotando a curva e a reta tangente aos
pontos onde O = O e 'lr/2.
(c) Prove que qualquer curva polar r= f( O), com a
propriedade de que o ângulo entre a reta radial e a reta
tangente é uma constante, deve ser do tipo r= Cek 8 , onde
C e k são constantes.
:•[1 Áreas e Comprimentos em Coordenadas Polares
Nesta seção desenvolveremos a fórmula para a área de uma região cuja fronteira é dada
por uma equação polar. Precisamos usar a fórmula para a área de um setor de um círculo
FIGURA 1
onde, como na Figura 1, r é o raio e e, a medida em radianos do ângulo central. A Fórmula
l segue do fato de que a área de um setor é proporcional a seu ângulo central:
A = (8/2r.}rrr 2 = lr 2 8. (Veja também o Exercício 35 na Seção 7.3 no Volume l.)

676 fJ CÁLCULO
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FIGURA 2
Seja 3f_ a região ilustrada na Figura 2, limitada pela curva polar r =f( 8) e pelos raios
()=a e B =h, onde f é uma função contínua positiva e onde O< h -a ~ .2n.
Dividimos o intervalo [a, h] em subintervalos com extremos 8 0 , e h 8 2 , ... , e, e larguras
iguais !18. Os raios e = (),dividem então ffi em n regiões menores com ângulo central
tlB = e, - 8,- 1 • Se escolhermos 8;* no i-ésirno subintervalo [8,- 1 , 8,], então a área ô.A,
da i-ésirna região será aproximada pela área do setor de um círculo com ângulo central
!18 e raio f(Otl. (Veja a Figura 3.)
Então, a partir da Fónnula l temos
e assim uma aproximação para a área total A de -'!H é
"
A= L: l[J(O,*)]' !18
i= I
o
FIGURA 3
A partir da Figura 3 parece que a aproximação em (2) me] hora quando n........;. co. Mas as
somas em (2) são as de Riemann para a função g(8) = l[j(O)]', logo,
lim ± l[j(Ot)]' !10 = [' Hf(O)]'dO
n~"" i=l ~a
E portanto parece plausível (e de fato pode ser provado) que a fórmula para a área A da
região polar 'lf1 é
A= r l[j(O)]'dO
A Fórmula 3 é freqüentemente escrita como
entendendo que r= /(8). Note a similaridade entre as Fórmulas 1 e 4.
Quando aplicamos as Fórmulas 3 ou 4, é interessante pensar na área como varrida por
um raio que gira e passa por O e que começa com ângulo a e termina com ângulo b.
EXEMPlO c Calcule a área limitada por um laço da rosa de quatro pétalas r = cos 20.
SOLUÇÃO A curva r= cos 20 foi esboçada no Exemplo 8 da Seção 10.3. Note a partir
da Figura 4 que a região limitada pelo laço direito é vartida pelo raio que gira de
8 = -7T/4 até 8 = 7T/4. Dessa forma, a Fórmula 4 fornece
J "rr/4 l 1
~rr/4
1 Jn/4
A= 2 rde= 2 cos 2 20d8
-r./4
= j'" 14 cos 2 28 d& = (" 14 ~(I + cos 48) dO
o .o
FIGURA 4
l [ l ]"/4 .,.
= " e + ~ sen 48 = -
L 4 Ü 8

James Stewart CAPÍTULO 10 EQUAÇÕES P_ARLJv1ÉTRICAS E COORDENADAS POLARES 677
FIGURA 5
y;:;;:}sen e
EXEMPlO 2:
cardióide r = 1 + sen e.
Calcule a área da região que está dentro do círculo r = 3 sen e e fora da
SOLUÇÃO A cardióide (veja o Exemplo 7 da Seção 10.3) e o círculo estão esboçados na
Figura 5, e a região desejada está sombreada. Os valores de a e h na Fórmula 4 são
determinados achando-se os pontos de interseção das duas curvas. Elas se interceptam
quando 3 senO~ 1 + senO, o que fornece sen 8 = l, assim 8 ~ r./6, 57r/6. A área
desejada pode ser encontrada pela subtração da área dentro da cardióide entre e = Tr/6 e
8 = 57r/6 da área dentro do círculo de r./6 até 5r./6. Então
A -, _I
(3 sen 8)' dO - j r:6 (1 + sen O)' d8
Como a região é simétrica ao redor do eixo e = Tr/2, podemos escrever
A~ 2[lJ:','9sen 2 8d8 -l (I+ 2sen8 + sen 2 8)de]
~ L:' (8 sen 2 8 - 1 - 2 sen 8) dO
~ L~ 6 2 (3 - 4 cos 28 - 2 sen 8) dO
= 38- 2sen2B + 2cose]: 1 : ~r.
O Exemplo 2 ilustra o procedimento para encontrar a área da região limitada por duas
curvas polares. Em geral, seja '2lL uma região, como ilustrado na Figura 6, que é limitada
pelas curvas com as equações polares r~ f( O), r~ g(B), 8 ~a e 8 ~ b, onde
f( 8) ;;;, g( O) ;;;, O e O < b - a ,; 2 rr. A área A de 0\ é calculada pela subtração da área
dentro de r = g( 8) da área dentro de r ~f( O); assim, usando a Fórmula 3 temos
0~~------------~
FIGURA 6
[I]
A~ f' Hf(O)]'de- f' l[g(B)]'de
~n ~a
~ l f: ([f( e)]' - [g(B)]') de
ATENÇÃO o O fato de que um único ponto tem muitas representações em coordenadas
polares algumas vezes toma difícil encontrar todos os pontos de interseção de duas curvas polares.
Por exemplo, é óbvio a partir da Figura 5 que o círculo e a cardióide têm três
pontos de interseção; contudo, no Exemplo 2, resolvemos as equações r= 3 sen 8 e
r~ I + senO e encontramos apenas dois pontos (l, 7r/6) e (j, 5r./6). A origem também
é um ponto de interseção, mas não pudemos encontrá-lo resolvendo as equações para as
curvas, pois a origem não tem uma única representação em coordenadas polares que satisfaça
ambas as equações. Note que, quando representada corno (O, O) ou (O, 1r), a origem
satisfaz r~ 3 sen e e assim, está no círculo; quando representada como (O, 37T/2), satisfaz
r = 1 + sen e e, dessa forma, está na cardióide. Pense em dois pontos se movendo
ao longo das curvas quando o valor do parâmetro 8 aumenta de O até 21T. Em uma curva
a origem é alcançada em e ~ O e e~ w; na outra, é alcançada em e~ 371"/2. Os pontos
não colidem na origem, porque eles a alcançam em tempos diferentes, mas de qualquer
modo as curvas se interceptam.
Então, para encontrar todos os pontos de interseção de duas curvas polares, é
recomendável que você desenhe os gráficos de ambas as curvas. É especiahnente conveniente
usar uma calculadora gráfica ou um computador para ajudar nessa tarefa.
EXEMPLO 3 :-! Encontre todos os pontos de interseção das curvas r= cos 28 e r=~-

678 CÁlCUlO Editora Tbomson
SOLUÇÃO Se resolvermos as equações r= cos 20 e r = ~' obteremos cos 20 = !-e,
portanto, 28 ~ rr/3, Sr,/3, 7Tr/3, 11 rr/3. Então, os valores de e entre O e 21T que
satisfazem ambas as equações são e~ 1r/6, Sr,/6, 71T/6, ll rr/6. Encontramos quatro
pontos de interseção: (l, rr/6), (l, Srr/6), (l, 71r/6) e (l, ll T/6).
Contudo, você pode ver a partir da Figura 7 que as curvas têm outros quatro pontos
de interseção, a saber: (l. rr/3), (l, 2rr/3), (j, 47r/3) e (j, 5rr/3). Esses podem ser
encontrados usando-se simetria ou notando-se que a outra equação do círculo é r = - ~ e
então resolvendo-se as equações r= cos 28 e r= - ~.
Comprimento de Arco
FIGURA 7
Para calcular o comprimento de uma curva polar r= f( O), a :s:; 8 ~ b, referimo-nos a O
como um parâmetro e escrevemos as equações paramétricas da curva como
X ~ r COS e ~f( e) COS 0
y ~ rsen e~ f(e)sen O
Usando a Regra do Produto e diferenciando em relação a O, obtemos
dx dr
-~ -cos 8- rsen O
dO dO
dy dr
dO ~ de senO+ rcos O
assim, usando cos 2 0 + sen 2 0 =
l, temos
- +- ~- cos 2 0-2r-cos8sen8+r 2 sen 2 8
dx)' (dy)' (dr)' dr
( de do do de
Assumindo que f' é contínua, podemos usar o Teorema 10.2.6 para escrever o comprimento
de arco como
f
b
L~ - + (dy)' - de
•, de de
~(dx)'
Portanto o comprimento da curva com equação polar r ~f( e), a ~ e ~ b é
EXEMPlO 4 c Calcule o comprimento da cardióide r ~ 1 + sen e.
SOLUÇÃO A cardióide é mostrada na Figura 8 (nós a esboçamos no Exemplo 7 da Seção
10.3). Seu comprimento total é dado pelo intervalo do parâmetro O ~ e~ 27T; assim, a
Fórmula 5 fornece
FIGURA 8
r; 1 +sene
1 .'" / ( dr )' f2 •
L= .o yr' + dO dO~ Jo )(l +senO)'+ cos 2 8d0
~ ['" J2 + 2sen Ode
.o

James Stewart CAPÍTULO 10 EQUAÇÕES P.AR!'I.fv1ÉTRICAS E COORDENADAS POLARES 679
Poderíamos avaliar essa integral pela multiplicação e divisão do integrando por
sen ou poderíamos usar um sistema algébrico computacional. De qualquer
maneira, calculamos que o comprimento da cardióide é L= 8.
Exercícios
1-4 ~··; Encontre a área da região que é limitada pelas curvas dadas
que está no setor especificado.
1. r= J{J, O :S; 8 ~ 7T/4 2. r=e 0 .. 2 • 7T~ 8~ 2r,
3. r= sen e, rr/3 ~ e~ 27T/3 4. r= jsen e, o ~ () ~ 7T
5-3 '---- Encontre a área da região sombreada.
5. 6.
23. r= 4 sen e, r=2
24. r~ I ~ sen e, r~
25. ,:z ~ 8 cos 28, r= 2
26. r= 2 + senO, r=3senf}
:27.,' r= 3 cos e, r~ I + cose
28. r= + cos O, r= 3 cos e
I
r= e r=l+sene
29-34 o Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas.
29. r=senO, r= cose 30. r= sen 20, r= sen O
:31, r= sen 28, r= cos 28 32. r 2 = 2 sen 28, r=
33. r= 3 + 2 sen O. r~
2
34. r= a senO, r= b cos O, a >O, b > O
I
I
r=4+3sen e
8.
r=sen48
9-14 u Esboce a curva e calcule a área limitada por ela.
9.r=3cos0
r 2 = 4cos 28
13. r= 2cos 30
10. r ~ 3(1 + cos 8)
12. r 1 = sen 20
14. r ~ 2 + cos 28
O 15-16 = Plote a curva e calcule a área limitada por ela.
15. r = 1 + 2 sen 68 16. r = 2 sen 8 + 3 sen 98
17-21 o Encontre a área da região dentro de um laço da curva.
17. r = sen 28 18. r = 4 sen 38
19, r=3cos58 20. r=2cos48
r = 1 + 2 sen e (laço interno)
22. Calcule a área limitada pelo laço do estrofóide
r = 2 cos e - sec 8.
23-28 c Encontre a área da região que está dentro da primeira
curva e fora da segunda curva.
35. Encontre a área dentro do laço maior e fora do laço menor
da limaçon r = i + cos 8.
~~36. Ache a área entre o laço maior e o laço menor da curva
r= 1 + 2 cos 38.
37-42 o Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas.
37. r = sen O, r = cos O
39. r = cos O, r = 1 - cos O
r= senO, r= sen 28
38. r = 2, r = 2 cos 28
40. r= cos 30, r= scn 38
42. r 1 = sen 20, r 2 = cos 20
1143. Os pontos de interseção da cardióide r = + sen e e do laço
espiral r = 20, -7T/2 ~ O ~ 7r/2, não podem ser encontrados
exatamente. Use um dispositivo gráfico para encontrar os
valores aproximados de O nos quais eles se interceptam.
Então use esses valores para estimar a área que está dentro
de ambas as curvas.
~~ 44. Use um gráfico para estimar os valores de e para os quais as
curvas r = 3 + sen 5O e r = 6 sen e se interceptam. Então
estime a área que está dentro de ambas as curvas.
45-48 c Calcule o comprimento da curva polar.
45. r = 3 sen e, o ~ o ~ -rr/3
46. r= eze, o~ e o:::; 271'
r~ 8' o~ e~ 21r
46. r= 8, o~ 8 ~ 271'

680 o CÁLCULO Editora Thomson
43-52 Use uma calculadora ou um computador para encontrar o (onde f' é contínua e O 'iS: a < b ~ r.) ao redor do eixo
comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimaís_
polar é
49. r= 3 sen 28
50. r= 4 sen 30
51. r= sen(0/2)
52. r= l + cos (8/3)
53-54 !_ Plote a curva e calcule seu comprimento.
53. r= cos'(0/4) 54. r= cos 2 (8/2)
55. (a) Use a Fórmula 10.2.7 para mostrar que a área da superfície
gerada pela rotação da curva polar
r= f( O)
I·;
I. (dr)'
S= 27TrsenB,fr+ - de
·• y dO
(b) Use a fórmula na parte (a) para calcular a área da
superfície gerada pela rotação da lemniscata r 2 = cos 28
ao redor do eixo polar.
56. (a) Encontre a fórmula para a área da superfície gerada
pela rotação da curva polar r= f( O), a ::::; 8 ~ b
(onde f' é contínua e O .:;; a < b.:;; 17), ao redor
da reta e = 17'/2.
(b) Calcule a área da superfície gerada pela rotação da
lemniscata r 2 = cos 28 ao redor da reta 8 = n/2.
FIGURA 2
foco
vértice
Nesta seção daremos as definições geométricas de parábolas, elipses e hipérboles e
derivaremos suas equações-padrão. Elas são chamadas seções cônicas, ou cônicas, porque
resultam da interseção de um cone com um plano, como mostrado na Figura 1.
Cônicas
FIGURA 1
Cônicas
Parábolas
parábola
·,
diretriz
Uma parábola é o conjunto de pontos em um plano cujas distâncias a um ponto fixo F
(denominado foco) e a uma reta fixa (chamada diretriz) são iguais. Essa definição é
ilustrada pela Figura 2. Note que o ponto na metade do caminho entre o foco e a diretriz
está na parábola; e ele é conhecido como vértice. A reta que passa pelo foco e é perpendicular
à diretriz é intitulada eixo da parábola.
No século XVI, Galileu mostrou que a trajetória de um projétil atirado no ar a um certo
ângulo em relação ao solo é uma parábola. Desde essa época, os formatos parabólicos têm
sido usados para desenhar faróis de carro, telescópios refletores e pontes suspensas. (Veja
o Problema 16 na página 276 do Volume l para se lembrar da propriedade de reflexão das
parábolas que as faz tão úteis.)

James Stewart CAPÍTUlO 10 EQUAÇÕES PARAMÉTRiCAS E COORDHLL~,OAS POLARES 681
P(x,
• y 1
',,F(O,p)f / :ly
·, ' 0~~~ ~,"'/':.'~~~i í p X
'
-~ll~
}'= -p
FIGURA 3
Obteremos uma equação particularmente simples para uma parábola se colocarmos o
vértice na origem O e sua diretriz paralela ao eixo x, como na Figura 3, Se o foco for o
ponto (O, p), então a diretriz tem a equação y ~ -p. Se P(x, y) for um ponto qualquer na
parábola, então a distância de P até o foco é
.-,.--~-~
/PF/ ~ .jx 2 + (y- p)2
e a distância de P até a diretriz é IY + p j. (A Figura 3 ilustra o caso onde p > 0.) A pro·
priedade de definição de urna parábola é que essas distâncias são iguais:
~x 2 + (y- p)' = IY + P I
Obtemos urna equação equivalente elevando ao quadrado e simplificando:
x' + (y- p)' = IY + P 1 2 = (y + p)'
xz + yz _ 2py + pz = }': + 2py + pz
x 2 = 4p_y
[[J Uma equação da parábola com foco (O,p) e diretriz y =-pé
x 2 ~ 4py
Se escrevermos a = I/ ( 4p ), então a equação·padrão de uma parábola (I) toma,se
y = ax 2 • A concavidade é para cima se p >O e para baixo se p

682 o CÁlCULO Editora Thomson
y'+lOx=O
YA
SOLUÇÃO Se escrevermos a equação como = -lOx e a compara.Imos com a Equação
2 veremos que 4p = -10, assim p = Então, o foco é (p, O) = (-~,O) e a diretriz é
x =~.O esboço é mostrado na Figura 5.
FIGURA 5
FIGURA 6
FIGURA 7
Yt i
x= I
Elipses
Uma elipse é o conjunto de pontos em um plano cuja soma das distâncias a dois pontos
fixos F 1 e F 2 é uma constante (veja a Figura 6). Esses dois pontos são chamados focos.
Uma das Leis de Kepler é que as órbitas dos planetas no sistema solar são elipses com o
Sol em um dos focos.
Para obter a equação mais simples para uma elipse, colocamos os focos no eixo x nos
pontos (-c, O) e (c, O) como na Figura 7, de modo que a origem esteja na metade docaminho
entre os focos. Seja a soma das distâncias a partir de um ponto na elipse até os focos
2a > O. Então P(x, y) é um ponto na elipse quando
isto é,
ou
IPF,I + IPF,i ~ 2a
J(x + c)' + y 2 + J(x- c)' + y 2 ~ 2a
v(x- c)'+ y 2 ~ 2a- y'(x +c)' + y 2
Elevando ao quadrado ambos os lados, temos
que é simplificada para
a .j(x + c)' + y 2 ~ a 2 + ex
Elevamos ao quadrado novamente:
a 2 (x 2 + 2cx + c 2 + y 2 ) = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2
que se torna
A partir do triângulo F,F,P na Figura 7, vemos que 2c < 2a, assim c < a e, portanto,
a 2 - c 2 >O. Por conveniência, seja b~ = a 2 - c 2 • Então a equação da elipse toma-se
b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 , ou, se ambos os lados forem divididos por a 2 b 2 ,
Como b 2 = a 2 - c 2 < a 2 , segue que b O
tem focos (±c, O), onde c 2 ~ a 2 - b', e vértices (±a, 0).

James Stewart CAPÍTUlO 10 EOUAÇÔES PARAMÉTRICAS E COORDEhADAS POLARES 683
-- (0, a)
't
/~
/ rO,c\
(~b 0) I ' i(b, O)
\ (O,~c) J
FIGURA 9
' oj' r---;
i
'
' I I
\\~I/
jTo, ~v)
x'
J + "" = 1, a
b, a·
2 b
'
Se os focos de uma elipse estiverem localizados no eixo y em (O, :::i::: c), então podemos
encontrar sua equação trocando x e y em (4) (veja a Figura 9).
[5] A elipse
x'
-+
b'
tem os focos (O, :!:c), onde c 2 ~ a 2 -
EXEMPUl2
~l a~b>O
b 2 e vértices (O, :!:a).
Esboce o gráfico de 9x 2 + l6y 2 ~ 144 e localize os focos.
SOLUÇÃO Dividindo ambos os lados da equação por 144:
A equação está agora no formato-padrão para uma elipse, e assim temos a 2 = 16,
b 2 = 9, a = 4 e b = 3. Os interceptas x são ±4 e os interceptas y são ±3. Também,
c 2 = a 2 - b 2 = 7, portanto c= .[f, e os focos são (±-/7, o). o gráfico é esboçado
na Figura lO.
EXEMPLO 3 :J Encontre uma equação para a elipse com focos (O, :!:2) e vértices (O, :!:3).
FIGURA 10
9x' + 16/ = 144
SOLUÇÃO Usando a notação de (5), temos c ~ 2 e a ~ 3. Então, obtemos
b 2 = a 2 - c 2 = 9 - 4 = 5; logo, uma equação para a elipse é
x2
-+ ~ 1
5 9
Outra maneira de escrever a equação é 9x 2 + 5y 2 = 45.
Como as parábolas, as elipses têm uma propriedade de reflexão interessante com conseqüências
práticas. Se uma fonte de luz - ou som - for colocada em um foco de uma
superfície com secções transversais elípticas, então toda luz - ou som - é refletida
da superfície para o outro foco (veja o Exercício 59). Esse princípio é usado em litotripsia,
um tratamento para pedras nos rins. Um refletor com secção transversal elíptica é colocado
de maneira que a pedra no rim está em um foco. Ondas sonoras de alta intensidade
geradas no outro foco são refletidas para a pedra e a destroem sem causar dano ao tecido
vizinho. O paciente não sofre o trauma de uma cirurgia e se recupera em poucos dias.
FIGURA 11
P está na hipérbole quando
I PF, 1-1 PF 2 I= :!:2a
Hipérboles
Urna hipérbole é o conjunto de todos os pontos em um plano cuja diferença entre as distâncías
a dois pontos fixos F1 e F2 (os focos) é uma constante. Essa definição é ilustrada
na Figura 11.
As hipérboles ocorrem freqüentemente como grafos de equações em química, física,
biologia e economia (Lei de Boyle, Lei de Ohm, curvas de demanda e de oferta). Uma apli·
cação particularmente importante de hipérboles é encontrada nos sistemas de navegação
desenvolvidos nas I e li Guerras Mundiais (veja o Exercício 51).
Observe que a definição de uma hipérbole é similar àquela de uma elipse; a única
mudança é que a soma das distâncias torna-se uma diferença das distâncias. De fato, a derivação
da equação de uma hipérbole é também similar àquela dada anteriormente para
uma elipse. Deixamos para mostrar no Exercício 52 que, quando os focos estão no eixo x

684 [] CÁlCUlO
Editora Thomson
em (±c, O) e a diferença das distâncias for I PF1I ~ I PF2I =
hipérbole é
±2a, então a equação da
h
=~-x
"
onde c 2 = a 2 + b 2 . Note que os interceptas x são novamente ±a, e os pontos (a, O) e
(-a, O) são os vértices da hipérbole. Mas, se colocarmos x =O na Equação 6 teremos
y = ~b~, que é impossível; dessa forma, não existe o intercepto y. A hipérbole é simétrica
em relação a ambos os eixos.
Para analisar a hipérbole um pouco mais, olhamos a Equação 6 e obtemos
x2
y2
~1+-:;eJ
b'
FIGURA 12
Isso mostra que x 2 : a 2 , assim lx I = J7i;;; a. Portanto temos x ~a ou x ::=:::; -a. Isso
significa que a hipérbole consiste em duas partes, chamadas ramos.
Ao desenhar uma hipérbole, tenha em mente que é útil desenhar primeiro suas assín~
lotas, que são as retas y ~ (b/a)xe y ~ -(b/a)xmostradas na Figura 12. Ambos os ramos
da hipérbole se aproximam das assíntotas, isto é, eles chegam arbitrariamente próximos
das assíntotas. [Veja o Exercício 67 da Seção 4.5 do Volume I, onde y ~ (b/ a)x é mostrado
como uma assíntota inclinada.]
A hipérbole
tem os focos (±c, O), onde c 2 = a 2 + b 2 , vértices (±a, O) e assíntotas
y ~ ±(b/nh
X
Se os focos de uma hipérbole estiverem no eixo y, então, trocando os papéis de x e y,
obtemos a seguinte informação, que é ilustrada na Figura 13.
FIGURA 13
i X 2
---~1
az bz
[!] A hipérbole
tem os focos (O, ±c), onde c 2 = a 2 + b 2 , vértices (O, ±a), e assíntotas
y ~ ±(a/b)x.
EXEMPLO 4 LJ Encontre os focos e as assíntotas da hipérbole 9x 1 - 16y 1 ~ 144 e
esboce seu gráfico.
SOLUÇÃO Se dividirmos ambos os lados da equação por 144, teremos
x'
16 9
= l
FIGURA 14
9x 2 - 16/ ~ 144
que é da forma dada em (7) com a ~ 4 e b ~ 3. Como c 1 = 16 + 9 ~ 25, os focos são
(±5, O). As assíntotas são as retas y = ~x e y = - O gráfico é visto na Figura 14.
*"' -~---------· --~·~·~-____!&_,_

T
f
James Stewart CAPÍTUlO 10 EOUAÇÓES PAR.AMETRICAS E COORDEhU\OAS POLARES 685
EXEMPLO 5
assíntota y = 2x.
Encontre os focos e a equação da hipérbole com vértices (O, :=: 1) e
SOLUÇÃO Apartir de (8) e da informação dada, vemos s.ue a= 1 e a/h= 2. Então,
b = a/2 =~e c 2 = a 2 + b 2 =~.Os focos são (0, ±,JS/2) e a equação da hipérbole é
Cônicas Deslocadas
y 2 - 4x 2 = l
Como discutido no Apêndice C no Volume I, deslocamos as cônicas tomando as equaçõespadrão
(1), (2), (4), (5), (7) e (8) e trocando x e y por x -h e y- k.
EXEMPlO Encontre uma equação para a elipse com focos (2, -2), (4, -2) e vértices
(1, -2), (5, -2).
v-l~-l(x 4)
- 2
(4, 4)
SOLUÇÃO O eixo principal é o segmento de reta que une os vértices (1, -2), (5, -2) e
tem comprimento 4; assim a = 2. A distância entre os focos é 2, e assim, c = I. Então,
b 2 = a 2 - c 2 = 3. Como o centro da elipse é (3, -2), trocamos x e y em (4) por x - 3
e y + 2 para obter
como a equação da elipse.
EXEMPLO 1 ::::
e encontre seus focos.
Esboce a cônica
(x - 3) 2
4
(y + 2)'
+ = 1
3
9x 2 - 4y 2 - 72x + 8y + 176 =O
SOLUÇÃO Completamos os quadrados como a seguir:
I)
4(y 2 - 2y) - 9(x 2 - 8x) = 176
o
(4, -2)
X
4(y 2 - 2y + 1) - 9(x 2 - 8x + 16) = 176 + 4 - 144
4(y - 1)' - 9(x - 4)' = 36
1 y - 1 ~ _ 2
3 (x - 4)
I .·1
FIGURA 15
9x'- 4y'-nx + 8y + 176
o
-"(y'----'1"-)' _ (x - 4) 2 =
1
9 4
Isso está na forma de (8), exceto que x e y estão trocados por x - 4 e y - 1. Então,
a 2 = 9, b 2 = 4 e c 2 = 13. A lúpérbole está deslocada quatro unidades para a direita e uma
unidade para cima. Os focos são (4, 1 + /13) e (4, 1 -
/13) e os vértices são (4, 4) e
(4, -2). As assíntotas são y - 1 = :t~(x- 4). A lúpérbole é esboçada na Figura 15.
Exercícios
1-ll c Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola c esboce 9. 10.
seu gráfico.
1. X= 2y 2
3. 4x 2 ~ -y
(x + 2) 2 ~ 8(y - 3)
7. y' + 2y + l2x + 25 ~o
2. 4y + x 2 =O
4. y 2 ~ l2x
6.x-1~(y+5)'
8. y + 12x- 2x 2 ~ 16
f-'!íl c Encontre uma equação da parábola. Então ache o foco e a
diretriz.

---------------------
686 CJ CÁLCUlO Editora Thomson
11-16 ::__:; Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce seu gráfico.
_::~+L=l
11. 9 5
x- v
12. ~+ -·-= l
64 100
13. 4x 2 + y 1 = 16 14. 4x 2 + 25y 2 ~ 25
;~li;; 9x 2 - 18x + 4y 2 ~ 27
16. x 2 + 2y 2 - 6x + 4y + 7 =O
H-H! c; Encontre uma equação da elipse. Então localize seus focos.
18.
41. Elipse, centro (2. 2), focos (0. 2). vértice {5, 2)
42. Elípse, focos (±2, O). passando por í2, I)
43. Hipérbole, focos (0, ó:3). vértices (O, :::: 1)
44. Hipérbole, focos (::::6, 0), vértices (:::!::4, O)
45. Hipérbole. focos (I, 3) e (7, 3), vértices (2, 3) e (6, 3)
Jl6 •. Hipérbole, focos (2, -2) e (2, 8), vértices (2, 0) c (2, 6)
47. Hipérbole, vértices (_ ± 3, 0), assíntotas y = ±2x
48. Hipérbole, focos (2, 2) e (6, 2),
assíntotas y = x ~ 2 e y = 6 - x
19-24 ~ Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole
e esboce seu gráfico.
25
~ 1
23. 2y'- 3x 2 - 4y + 12x + 8 ~O
24. 16x' - 9y' + 64x - 90y ~ 305
20.
16
22. 9x 2 - 4y' = 36
25--30 ::J Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e
ache os vértices e os focos.
25. x 2 =y+1 26. x 2 =y2+1
27. x 2 = 4y ~ 2y 2 28. y'- 8y = 6x- 16
29. y' + 2y = 4x 2 + 3 30. 4x 2 +4x+y 2 =0
31-48 o Encontre urna equação para a cônica que satisfaça as
condições dadas.
31. Parábola. vértice (0, 0), foco (0, -2)
m Parábola, vértice (I, o). diretriz X = -5
33. Parábola, foco (-4, O), diretriz x = 2
34. Parábola, foco (3, 6), vértice (3, 2)
35. Parábola, vértice (0, 0), eíxo x, passando por (1, -4)
lii Parábola, eixo vertical, passando por ( -2, 3), (0, 3) e (1, 9)
37. Elipse, focos (ó:2, 0), vértices (ó:5, O)
38. Elipse, focos (0, ±5), vértices (O, :::!::13)
39. Elipse, focos (O, 2), (0, 6), vértices (0, 0), (0, 8)
40. Elipse, focos (0, -1), (8, -1), vértices (9, -1)
49. Em uma órbita lunar o ponto mais próximo da superfície da
Lua é chamado perilúnio e o ponto mais distante da superfície
da Lua é denominado apolúnio. A nave espacial Apollo I I foi
colocada em uma órbita lunar elíptica com altitude de
perilúnio de llO km e altitude de apolúnio de 314 km (acima
da Lua). Encontre urna equação dessa elipse se o raio da Lua
for 1.728 km e o centro da Lua estiver em um dos focos.
50. Urna secção transversal de um refletor parabólico é mostrada
na figura. A lâmpada é colocada em um foco, e a abertura no
foco é 10 em.
(a) Ache uma equação da parábola.
(b) Encontre o diâmetro da abertura I CD I, ll em a partir do
vértice.
__ c
A
Sem
V {====:::j:::,_!l.'.l."c!Im'.==:
F
B
Sem
~D
51. No sistema de navegação LORAN (Lüng RAnge Navigation),
duas estações de rádio localizadas em A e B transmitem
simultaneamente sinais para um barco ou um avião localizado
em P. O computador de bordo converte a diferença de tempo
na recepção desses sinais em diferença de distância
I PAI = I PB I e isso, de acordo com a definição de uma
hipérbole, localiza o navio ou o avião em um ramo
da hipérbole (veja a figura), Suponha que a estação B
esteja localizada 400 milhas a leste da estação A na costa.
Um navio recebe o sinal de B 1200 rnicrossegundos (J..!-S)
antes de receber o sinal de A.
(a) Assumindo que o sinal de rádio viaja a urna velocidade de
980 pés/ p..s, encontre uma equação da hipérbole na qual o
navio esteja.
(b) Se o navio for esperado ao norte de B, a que distância da
costa estará o navio

James Stewart CAPÍTUlO 10 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES 687
p
galerias acústicas e a litotripsia funcionam. O som vindo de
um foco é refletido e passa pelo outro foco. [Dica: Use ;1
fórmula do Problema 15 da página 276 do Capítulo 3 no
Volume I para mostrar que tg a = tg {3.]
' t '
52. Use a definição de uma hipérbole para derivar a Equação 6
para uma hipérbole com focos (±c, O) e vértices (±a, 0).
53. Mostre que a função definida pelo ramo superior da hipérbole
y2ja 2 - x 2 jb 2 = 1 tem concavidade para cima.
54. Encontre uma equação para a elipse com focos (l, l) e
( -1, -1) e eixo principal com comprimento igual a 4.
55. Determine o tipo de curva representado pela equação
x 2
V
-+-·-~t
k k- 16
em cada um dos seguintes casos: (a) k > 16, (b) O < k < I 6 e
(c) k < O.
(d) Mostre que todas as curvas nas partes (a) e (b) têm os
mesmos focos, não importando o valor de k.
56. (a) Mostre que a equação da reta tangente à parábola
y 2 = 4px no ponto (x 0 , y 0 ) pode ser escrita como
" + y- ~
a2 h'
60. Seja P(xl, )'1) um ponto na hipérbole x 2 /a 2 ~ y 2 /b: = ! com
focos F1 e F: e sejam a e f3 os ângulos entre as reta\ PF:, PF,
e a hipérbole, como mostrado na figura. Prove que u "'-· [1.
(Essa é a propriedade de reflexão da hipérbole. Isso mostr

688 c CÁLCULO
Editora Thomson
simples. No Capítulo 13, usaremos a equação polar de uma elipse para derivar as Leis de
Kepler de movimento planetário.
Tso,ems Seja F um ponto fixado (chamado foco) e I uma reta fixada
(denominada diretriz) em um plano. Seja e um número positivo fixado
{conhecido como excentricidade). O conjunto de todos os pontos P no plano tal que
IPFI
--=e
IPI I
é uma seção cônica. A cônica é
(a) uma elipse se e < 1
(b) uma parábola se e = 1
(c) uma hipérbole se e > 1
Prova Note que, se a excentricidade for e = 1, então I PF! = I Pll, e assim a condição
dada simplesmente se torna a definição de uma parábola, como mostrado na Seção 10.5.
Vamos colocar o foco F na origem e a diretriz paralela ao eixo y e d unidades para a
direita. Então a diretriz tem a equação x = d e é perpendicular ao eixo polar. Se o ponto
P tiver coordenadas polares (r, 0), vemos a partir da Figura 1 que
IPFI =r I FII = d - r cos 8
Então, a condição I PF I/I FII = e ou I PF I = el Pll toma-se
r = e(d - r cos 8)
Se elevannos ao quadrado ambos os lados dessa equação polar e convertermos as coordenadas
retangulares, teremos
x 2 + y 2 = e 2 (d- x) 2 = e 2 (d 2 - 2dx + x 2 )
FIGURA 1
ou (1 - e 1 )x 2 + 2de 2 x + y 2 = e 2 d 2
Depois de completar os quadrados, temos
(x + l ~de 2 r+ l- (I - e')'
Se e < 1, reconhecemos a Equação 3 como a equação de uma elipse. De fato, ela é da
forma
onde
(x - h)'
a'
y'
+-= 1
b'
h=
e 1 d
l -
--~---·.Já:di,__ -· Ji&. --~_liifu_

James Stewarí CAPÍTULO 10 EOU.AÇÓES P.AR.AMf:':TRiC.t\S E COORDEf'~ADAS POLARES 689
Na Seção 10.5 descobrimos que os focos de uma elipse estão a uma distância c a partír
do centro. onde
x=d
diretriz
Isso mostra que
e 2 d
c~---~-h
1 - e 2
X
e confirma que o foco como definido no Teorema 1 significa a mesma coisa que o foco
definido na Seção 10.5. Também segue das Equações 4 e 5 que a excentricidade é dada por
c
e= ā
x= ~d
diretriz
ed
(a)r=l+e;os8
Se e > 1. então 1 - e 2 < O e vemos que a Equação 3 representa uma hipérbole. Da
mesma maneira que fizemos anteriormente, poderíamos reescrever a Equação 3 na forma
e ver que
(x - h) 2
a'
v'
----=I
h'
X
c
e=­ a
ed
(b)r= l- ecos8
y=d
y
diretriz
Resolvendo a Equação 2 para r, vemos que a equação polar da cônica mostrada na
Figura 1 pode ser escrita como
ed
r~--'-"--
+ ecos O
Se a diretriz for escolhida como estando à esquerda do foco x = -d, ou se a diretriz for
escolhida como estando paralela ao eixo polar y = ±d, então a equação polar da cônica
é dada pelo seguinte teorema, que é ilustrado pela Figura L (veja os Exercícios 21-23,)
L!J Teorema A equação polar da forma
ed
(c)r= l+esen8
ed
ed
r~
ou
_ _:c:__
± ecos 8 1±esen8
r~----
representa uma seção cônica com excentricidade e. A cônica é uma elipse se e < 1,
uma parábola se e = 1 ou uma hipérbole se e > I.
y = -d
d1retnz
ed
(d) r= 1-e seõ8
FIGURA 2
Equações polares de cônicas
EXEMPlO ! Encontre uma equação polar para uma parábola que tem seu foco na
origem e cuja diretriz é a reta y = -6.
SOLUÇÃO Usando o Teorema 6 com e~ l e d ~ 6, e usando a parte (d) da Figura 2,
vemos que a equação da parábola é
r~ _ _:::__ 6
l - sen 8
s

690 '_) CÁlCULO Editora Thomson
EXEMPlO l CJ
Uma cônica é dada pela equação polar
)'
::L "~~c:-~,
x:::: -5 i
FIGURA 3
1,_,("9"'
r:::: 3-~c;~:;e
(!0,0)'/ X
1 ( 2 , Jr:) I ~ "-"~/
•
lO
r~--""---
3-2cos0
Encontre a excentricidade, identifique a cônica, localize a diretriz e esboce a cônica.
SOLUÇÃO Dividindo numerador e denominador por 3, escrevemos a equação como
lO
r~--f 3 -­
-} coso
Do Teorema 6, vemos que isso representa uma elipse com e=}. Como ed = - 1 ~ 1 ,
temos
d~ ~s
e
logo, a diretriz tem a equação cartesiana X= -5. Quando 8 =O, r= 10; quando e= 7T,
r~ 2. Assim os vértices têm coordenadas polares (lO, O) e (2, 1r). A elipse é esboçada
na Figura 3.
12
EXEMPUl 3 c: Esboce a cônica r ~ -,---,----=-
2+4sene·
SOLUÇÃO Escrevendo a equação na forma
6
r~----
!+2sen0
FIGURA 4
12
r = ~-'-=--cc-
2+4sen0
vemos que a excentricidade é e = 2 e, portanto, representa uma hipérbole. Como ed = 6,
d ~ 3 e a diretriz tem a equação y ~ 3. Os vértices ocorrem quando e~ 1T/2 e 31T/2,
assim eles são (2, 1T/2) e ( -6, 31T/2) ~ (6, 1T/2). É também útil plotar os pontos de
interseção no eixo x. Estes ocorrem quando 8 = O, 7T e em ambos os casos r = 6.
Para maior precisão poderíamos desenhar as assíntotas. Note que r........,. .±oo quando
2 + 4 sen e--> o+ ou O- e 2 + 4 sen O~ O quando sen e ~ -4. Então as assíntotas
são paralelas aos raios e ~ 71r/6 e O ~ ll1r/6. A hipérbole é esboçada na Figura 4.
Na rotação de seções cônícas descobriremos que é muito mais conveniente usar as
equações polares do que as equações cartesianas. Apenas usamos o fato de que (veja o
Exercício 75 na Seção I 0.3) o gráfico de r ~f( e - a) é o gráfico de r ~f( O) que gira no
sentido anti-horário ao redor da origem por um ângulo o:.
FIGURA 5
li
-6
EXEMPlO 4 c Se a elipse do Exemplo 2 girar por um ângulo 71'/4 ao redor da origem,
encontre uma equação polar e plote a elipse resultante.
SOLUÇÃO Obtemos a equação da elipse que gira trocando O por e - 1r/ 4 na equação
dada no Exemplo 2. Assim a nova equação é
!O
r ~ 7 3---------=2-c-os=-;( 7 0 ---1T/-:-4cc)
Usamos essa equação para plotar a elipse que gira na Figura 5. Note que a elipse gira ao
redor de seu foco esquerdo.

James Stewart CAPÍTULO 10 EQUAÇÕES Pr-\RAMETR!CAS E COORDENADAS POLARES 691
I
I
I
Na Figura 6 usamos um computador para esboçar um número de cônicas para demonstrar
o efeito da variação da excentricidade e. Note que quando e está próxima de O a elíp:,c
é praticamente circular, enquanto ela se toma mais alongada quando e ______.,. 1 Quando
e = 1, claro, a cônica é uma parábola.
e:::: 0,1 e:::: 0,5
e= 0,68 e= 0,86 e~ 0.96
e=l e:::: 1,1
e-=1,4
e-=4
FIGURA 6
10.6 Exercícios
_--6 Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na
origem e com os dados fornecidos.
1. Hipérbole, excentricidade ~, diretriz y = 6
Z. Parábola, diretriz x = 4
3. Elipse, excentricidade ~, diretriz x = -5
4. Hipérbole, excentricidade 2, diretriz y = -2
5. Parábola, vértice em (4, 31T/2)
6. Elipse, excentricidade 0,8, vértice (1, 1T/2)
7. Elipse, excentricidade L diretriz r = 4 sec 8
8. Hipérbole, excentricidade 3, diretriz r -6 co-sec O
(a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica, (c)
dê uma equação da diretriz e (d) esboce a cônica.
9. r ~ .,.-----,:
l+sene
12
1!. r ~ "'4-----,si:-n-::8
6
10. r = -::-c-::---:-
3+2sen8
4
12. r ~ --'--
2-3cos6
9 5
13. r 14. r~
6+2cos0
2-2sen0
3 4
15. r~
16. r~
4-8cos8
2 +cose
17. (a) Encontre a excentricidade e a diretriz da cônica
r= l/(4 - 3 cos O) e plote a cônica e sua diretriz.
(b) Se a cônica girar no sentido anti -horário ao redor da
origem por um ângulo Tr/3, escreva a equação resultante e
plote sua curva.
18. Plote a parábola r= 5/(2 + 2 senO) e sua diretriz. Também
plote a curva obtida pela rotação dessa parábola ao redor de
seu foco por um ângulo r./6.
19. Plote as cônicas r= e/(1 - ecos O) com e= 0,4, 0,6, 0,8 e
1,0 na mesma tela. Como o valor de e afeta o formato da
curva
20. (a) Plote as cônicas r= ed/(1 + e senO) para e = 1 e
vários valores de d. Como o valor de d afeta o formato
da cônica

692 o CÁLCULO Editora Thomson
(b) Plote essas cônicas para d = l e vários valores de e. Como
o valor de e afeta o formato da cônica
21. Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e
diretriz x = ~ d tem a equação polar
ed
r~--'=~-
-ecos e
22. Mostre que urna cônica com foco na origem, excentrícidadc e
e diretriz)' = d tem a equação polar
ed
r ~ _ _";:::__
+ escn e
23. Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricídade e
e diretriz y = ~ d tem a equação polar
ed
r~ _ _.:=:__
- esen e
24. Mostre que as parábolas r= c/ (I + cos e) e
r= d/(l - cos e) se interceptam com ângulos retos.
25. (a) Mostre que a equação polar de uma elipse com diretriz
x = -d pode ser escrita na forma
r~
a(l -e')
I-ecos()
(b) Encontre uma equação polar aproximada para a órbita
elíptica da Terra ao redor do Sol (em um foco) dado que a
excentricidade é cerca de 0,017 e o comprimento do eixo
principal é cerca de 2,99 X 10 8 km.
26. (a) Os planetas se movem ao redor do Sol em órbitas elípticas
com o Sol em um dos focos. As posições de um planeta
que estão mais próximas ou mais afastadas do Sol são
chamadas respectivamente periélio e afélio do planeta.
Use o Exercício 25(a) para mostrar que a distância no
periélio de um planeta até o Sol é a(l - e) e que sua
distância no afélio é a( I + e).
(b) Use os dados do Exercício 25(b) para encontrar as
distâncias a Ten-a até o Sol no períélio e no afélio,
afé!io
planeta
27. A órbita do cometa de Halley, visto pela última vez em 1986 e
com retomo esperado para 2062, é urna elipse com
excentricidade 0,97 e com um foco no Sol. O comprimento do
eixo principal é 36,18 AU. [Uma unidade astronômica (AU) é a
distância média entre a Terra e o Sol, cerca de 93 milhões de
milhas.] Encontre uma equação polar para a órbita do cometa
de Halley. Qual é a dístância máxima do cometa até o Sol
28. O cometa Hale-Bopp, descoberto em 1995, tem uma órbita
elíptica com excentricidade 0,9951 e o comprimento do eixo
principal é 356,5 AU. Encontre üma equação polar para a
órbita desse cometa. Quão perto do Sol chega esse cometa
29. O planeta Mercúrio percorre uma órbita elíptica com
excentricidade 0,206. Sua distância mínima do Sol é
4,6 X 10 7 km. Use os resultados do Exercício 26(a) para
encontrar a distância máxima até o Sol.
30. A distância do planeta Plutão até o Sol é 4,43 X 10 9 km no
periélio e 7,37 X 10 9 km no afélio. Use o Exercício 26 para
encontrar a excentricidade da órbita de Plutão.
31. Usando os dados do Exercício 29, calcule a distância
percorrida pelo planeta Mercúrio durante uma órbita completa
ao redor do SoL (Se sua calculadora ou sistema algébrico
computacional avaliar as integrais definidas, use-o. Caso
contrário, use a Regra de Simpson.)
k.B Revisão
VERIFICAÇÃO DE CONCEITOS
1. (a) O que é uma curva paramétrica
(b) Como você esboça uma curva paramétrica
2. (a) Como você calcula a inclinação de uma tangente a uma
. curva paramétrica
(b) Como você calcula a área sob uma curva paramétrica
3, Escreva uma expressão para cada um dos seguintes itens:
(a) O comprimento de uma curva paramétrica.
(b) A área da superfície obtida pela rotação de uma curva
paramétrica ao redor do eixo x.
4. (a) Use um diagrama para explicar o significado das
coordenadas polares (r, 8) de um ponto.
(b) Escreva as equações para expressar as coordenadas
cartesianas (x, y) de um ponto em termos de coordenadas
polares.
(c) Quais equações você usaria para encontrar as coordenadas
polares de um ponto se você soubesse as coordenadas
cartesianas
!i (a) Como você calcula a inclinação de uma reta tangente a
urna curva polar
(b) Como você calcula a área de uma região limitada por uma
curva polar
(c) Como você calcula o comprimento de uma curva polar

James Stewart CAPÍTUlO 10 EQUAÇÕES PARA.MÉTRlCA.S E COORDENADAS POLARES f"1 693
6. (a) Dê uma defmição geométrica de uma parábola.
(b) Escreva uma equação de uma parábola co~ foco (O,p) e
diretriz y = -p. O que acontece se o foco for (p, O) e a
diretriz for x = - p
7. (a) Dê uma definição de uma elipse em termos dos focos.
(b) Escreva uma equação para a elipse com focos (:te, O) e
vértices (±a, 0).
8. (a) Dê uma definição de uma hipérbole em termos dos focos.
(b) Escreva uma equação para a hipérbole com os focos
(:te, O) e os vértices (±a, 0).
(c) Escreva equações para as assíntotas da hipérbole
na parte (b ).
9. (a) O que é a excentricidade de uma seção cônica
(b) O que você pode dizer sobre a excentricidade
se a seção cônica for uma elipse Uma hipérbole
Uma parábola
(c) Escreva uma equação polar para uma seção cônica
com excentricidade e e diretriz x = d. O que
acontece se a diretriz for x = -d y = d y = -d
TESTES FALSO-VERDADEIRO
Determine se a declaração é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira. explique o
porquê. Se for falsa, explique o porquê ou dê um contra-exemplo
1. Se a curva paramétrica x = f(t), y = g(t) satifaz g'(l) =O,
então ela tem uma tangente horizontal quando t = l.
2. Se x = j{t) e y = g(t) têm derivadas segundas, então d 2 yJdx1 =
( d 2 y! dt 2 )/( d2 xl dt').
3. O comprimento da curva x = j{t) e y = g(t), a ~ t ~ b é
J: ~[f (I)]'+ [g'(t)J' dt.
4. Se um ponto é representado por (x, y) em coordenadas
cartesianas (onde x :;o6 0) e (r, O) em coordenadas polares então
O= tg~ 1 (y/x).
5. As curvas polares r= 1 - sen 2f3 e r= sen 28- 1 têm o
mesmo gráfico.
6. As equações r = 2, x 2 + .r 2 = 4 ex = 2 sen 3!, y = cos 3t
(O ::=::; t ::=::; 21T) têm todas o mesmo gráfico.
7. As equações paramétricas x = P, y = t 4 possuem o mesmo
gráfico de x = /3, y = 16.
8. O gráfico de y2 = 2y + 3x é uma parábola.
9. A reta tangente a uma parábola intercepta a parábola apenas
uma vez.
10. Uma hipérbole nunca intercepta sua diretriz.
EXERCÍCIOS
·;-Li Esboce a curva paramétrica e elimine o parâmetro
para encontrar a equação cartesiana da curva.
1. X= t 2 + 4t, }' = 2 - 1, -4 ~ f~ l
3. x=tgO, y=cotO
4. X = 2 COS 0, )' = 1 + sen 0
5. Escreva os diferent;:.s conjuntos de equações paramétricas
para a curva y = \ix.
6. Use os gráficos de x =f(!) e y = g(t) para esboçar a curva
paramétrica x =f (t), y = g(t). Indique com setas a direção
na qual a curva é traçada quanto t aumenta.
7-·"i-4 Esboce a curva polar.
7. r= 1 - cos e
9. r = 1 + cos 28
11. r 2 = sec 28
13. r = -:-:---::
+ cos 8
8.
10.
12.
14.
r= sen 48
r= 3 + cos 38
r = 2 cos( 0/2)
8
r= 4+3sen0
1!3-1fi ·- Encontre uma equação polar para a curva representada
pela equação cartesiana dada.
15. X+ y = 2
11. A curva com equação polar r = (sen 8)/ 8 é chamada
cocleóide. Use um gráfico de r como função de 8 em
coordenadas cartesianas para esboçar a cocleóide
manualmente. Então plote-a com uma
máquina para verificar seu esboço.
18. Plote a elipse r= 2/(4 - 3 cos 8) e sua diretriz. Também
plote a elipse obtida pela rotação ao redor da origem, com um
ângulo de 2'1T/3.

694 LJ CÁlCUlO Editora Thomson
Hl-22 Calcule a inclinação da reta tangente à curva dada no
ponto correspondente ao valor especificado do parâmetro.
19. x = In t, y = 1 + t 1 ; t = 1
20. X= t) + 6t + 1, )' = 2t- t 2 ; t = ~ 1
21. r= e -IJ. e= 1T
22. r= 3 + cos 3 8; 8 = w/2
2.3--2!~. Calcule d:r/dx e d 2 yjdx 1 .
23. x = t cos t, y = t sen t
24. X= 1 + t 2 , )' = t ~ t 5
25. Use um gráfico para estimar as coordenadas do ponto mais
baixo na curva x = t' 3t, y = t 2 + f + I Então use o
cálculo para calcular as coordenadas exatas.
26. Calcule a área da região limitada pelo laço da curva no
Exercício 25.
27. Em que pontos a curva
x = 2a cos t ~ a cos 2t y = 2a sen t - a sen 2t
tem tangentes verticais ou horizontais Use essa informação
para ajudar a esboçar a curva.
28. Calcule a área limitada pela curva no Exercício 27.
29. Calcule a área limitada pela curva r 2 = 9 cos 58.
30. Calcule a área limitada pelo laço interno da curva
r= I - 3 senO.
31. Calcule os pontos de interseção das curvas r = 2 e r = 4 cos O.
32. Encontre os pontos de interseção das curvas r = coHtg O e
r= 2 cose.
33. Encontre a área da região que está dentro de ambos os círculos
r=2sen0e r= senO+ cose.
34. Encontre a área da região que está dentro da curva
r = 2 + cos 20, mas fora da curva r = 2 + sen O.
35-38 ;:::; Calcule o comprimento da curva.
35. X= 3t 1 , )' = 2! 3 , Ü ~ f -:.S; 2
36. x = 2 + 3t, y = cosh 3t, O ~ t ~ 1
39-1'1{) .::.; Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva
dada ao redor do eixo x.
39. X= 4-../t,
l
v=-+­
- 3 2t 2 '
t 3
]_~f~ 4
40. x = 2 + 3t, y = cosh 3t, O ~ t -::;:;: I
41. As curvas definidas pelas equações paramétricas
x=
t(t 2 - c)
y ~ t 2 + I
são chamadas estrofóides (do grego, girar, torcer). Investigue
como essas curvas mudam quando c varia.
42. Uma família de curvas tem equações polares ra = I sen 28!,
onde a é um número positivo. Investigue como essas curvas
mudam quando a varia.
43-46 :-:: Encontre os focos e os vértices e esboce o gráfico.
44. 4x 2 - y 2 = I6
45. 6y 2 +X- 36y + 55 ~ Ü
46. 25x 2 + 4y 2 + 50x - 16y ~ 59
47. Encontre uma equação da parábola com foco (O, 6) e diretriz
y ~ 2.
48. Encontre uma equação da hipérbole com focos (0, ±5) e
vértices (0, ::!::2).
49. Encontre uma equação da hipérbole com os focos (±3, O) e as
assíntotas 2y = ±x.
50. Encontre uma equação da elipse com focos (3, ±2) e eixo
principal com comprimento 8.
51. Encontre uma equação para a elipse que divida um vértice e
um foco com a parábola x 1 + y = 100 e que tenha seu outro
foco na origem.

James Stewart CAPÍTUlO 10 EOUAÇÓES PARAMÉTF\!CAS E COORDENADAS POLARES 695
52. Mostre que, se m for qualquer número real, então existem
exatamente duas retas de inclinação m tangentes à elipse
x 2 fa2 + y 2 /b 2 = 1 e suas equações são
y=mx :t: Ja 2 m 2 + b 2 •
53. Encontre uma equação polar para a elipse com foco na origem,
excentricidade 5 e diretriz com equação r = 4 sec e.
54. Mostre que os ângulos entre o eixo polar e a-;; assíntotas da
hipérbole r= ed/(1 - ecos e) e > 1 são dados por
cos"'(:':l/e)"
55. Na figura o círculo de raio a é estacionário, e para cada
O o ponto Pé o ponto médio do segmento QR. A curva traçada
por P para O < O < 7r é denominada curva de arco longo.
Encontre as equações paramétricas para essa curva.
2a
a
J
X e

t
Uma curva é definida pelas equações paramétricas
'! cos u
x~ --du
J
y= --du
' u I ' sen u
' u
Calcule o comprimento do arco da curva a partir da origem até o ponto mais próximo onde
existe uma reta vertical tangente.
2. (a) Encontre os pontos mais altos e mais baixos sobre a curva x 4 + y~ = x" + y".
(b) Esboce a curva. (Note que ela é simétrica em relação a ambos os eixos e a ambas as retas
y = ::tx; assim, inicialmente é suficiente considerar y ~ x :;- 0.)
(c) Use as coordenadas polares e um sistema algébríco computacional para encontrar a área
dentro da curva.
3. Qual é o menor visor que contém cada membro da família de curvas polares r = l + c sen 8.
onde O ~ c ~ l Ilustre sua resposta ao plotar vários membros da família no visar da
calculadora.
4. Quatro insetos são colocados nos quatro cantos de um quadrado com lado de comprimento a.
Os insetos andam no sentido anti-horário na mesma velocidade e cada um deles sempre anda
diretamente em direção ao próximo inseto. Eles se aproximam do centro do quadrado ao longo
de um caminho em espiral.
(a) Encontre a equação polar do caminho do inseto supondo que o pólo esteja no centro do
quadrado. (Use o fato de que a reta ligando um inseto até o próximo é tangente ao
caminho do inseto.)
(b) Encontre a distância percorrida por um inseto quando ele encontra os outros insetos no
centro.
a
a
5. Uma curva chamada fólio de Descartes é definida pelas equações paramétricas
3t
x~---
1 + ! 3
(a) Mostre que, se (a, b) estiverem na curva, então (b, a) também estão; isto é, a curva é
simétrica em relação à reta y = x. Onde a curva intercepta essa reta
(b) Encontre os pontos na curva onde as retas tangentes são horizontais ou verticais.
(c) Mostre que a reta y =
(d) Esboce a curva.
-x- 1 é uma assíntota inclinada.
696

(e) Mostre que a equação cartesiana dessa curva é x 3 + y 3 = 3xy.
(f) Mostre que a equação polar pode ser escrita na forn1a
3sec0tge
1 + tg'e
(g) Encontre a área da região dentro do laço dessa curva.
(h) Mostre que a área do laço é a mesma que está entre a assíntota e os infinitos ramos da
curva. (Use um sistema algébrico computacional para avaliar a integraL)
697

11
Seqüências
Infinitas e Séries
As funções de Bessel, usadas para
modelar as vibrações de tambores e
pratos, são definidas como somas de
séries infinitas na Seção 11.8.

,-1
!
Seqüências infinitas e séries foram introduzidas rapidamente no Volume ! em
conexão com os paradoxos de Zenon e a representação decimal de números. Sua
importância em cálculo surge da idéia de Newton da r~presentação de funções como
somas de séries infinitas. Por exemplo, para encontrar áreas ele freqüentemente
integrava uma função expressando-a primeiro como uma série e então integrando
cada termo da série. Seguiremos sua idéia na Seção 11.10 para integrar as funções
como e--x'. (Lembre-se de que, anteriormente, não pudemos fazer isso.) Muitas das
funções que surgem em física, matemática e qulmica, tais como as funções de
Bessel, são definidas como somas de séries; assim .. é importante nos familiarizarmos
com os conceitos básicos de convergência de seqüências infinitas e séries.
Físicos também usam séries de outra maneira, como veremos na Seção 11.12.
Em áreas de estudo tão diversas quanto óptica, relatividade especial e
eletromagnetismo, eles analisam fenômenos trocando uma função pelos
primeiros termos da série que a representa.
Uma seqüência pode ser pensada como uma lista de números escritos em uma ordem
definida!
O número a 1 é chamado primeiro termo, a 2 é o segundo termo e, em geral, a, é o
n-ésimo termo. Podemos lidar exclusivamente com seqüências infinitas e, assim, cada
termo a, terá um sucessor a,+ 1 •
Note que, para cada inteiro positivo n, existe um número correspondente a, e, dessa
forma, uma seqüência pode ser definida corno uma função cujo domínio é o conjunto dos
inteiros positivos. Mas geralmente escrevemos an em vez da notação de função f(n) para
o valor da função no número n.
NOTAÇÃO o A seqüência {a, a 2 , a3, ... } é também denotada por
{a,} ou {a,} ==l
(a)
(b)
(c)
(d)
EXEMPlO 1 = Algumas seqüências podem ser definidas dando uma fórmula para o
n-ésimo termo. Nos exemplos a seguir, damos três descrições da seqüência: uma usando
a notação anterior, outra empregando a fórmula da definição e uma terceira escrevendo
os termos da seqüência. Note que n não precisa começar em 1.
t:J~!
n
a~---
n n + 1
{(-!)"~~+!)} (-J)"(n +
an =
3"
H·~·!·~· 'n:J' }
1)
{-f.t.- 2~' :1 , ... , (-!)"~~ + l) , ... }
{~l:~J a,~~. n~3 {o,!, fi, -/3, , )n- 3, ... }
{ cos n67r} """o
n7r
a"= cos6, n~O { !, f, ~ ,
O, , cos n;, . }
699

700 CÁLCULO Edítora Thomson
EXEMPLO 2
Ache uma fórmula para o termo geral an da seqüência
assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
SOLUÇÃO Nos é dado que
3
6
ilj =-
5 625
7
a---
5- 3.125
Observe que os numeradores dessas frações começam com 3 e são incrementados por 1
à medida que avançamos para o próximo termo. O segundo termo tem numerador 4;
o terceiro, numerador 5; generalizando, o n-ésimo termo terá numerador n + 2. Os
denominadores são potências de 5, logo an tem denominador sn. Os sinais dos termos
alternam entre positivo e negativo, assim precisamos multiplicar por uma potência de
- 1. No exemplo I (b) o fator ( -1 )" significa que começamos com um termo negativo.
Neste exemplo, queremos começar com um termo positivo e assim usamos ( -1 )n ~ 1 ou
( -1)' 1 + 1 • Portanto,
n + 2
a ~ (~!)"-' --
" 5"
EXEMPlO 3 ::: Aqui estão algumas seqüências que não têm uma equação de defirúção simples.
(a) A seqüência {p,}, onde p, é a população do mundo no dia 1' de janeiro do ano n.
(b) Se fizermos a, ser o dígito na n-ésima casa decimal do número e, então {a,J é uma
seqüência bem-definida cujos primeiros termos são
{7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4, 5, ... }
(c) A seqüência de Fibonacci {f,} é definida recursivamente pelas condições
n;::;::: 3
Cada termo é a soma dos dois termos precedentes. Os primeiros termos são
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... }
I I 'III.!Dl
o l 1
2
FIGURA 1
Essa seqüência surgiu quando o matemático italiano conhecido como Fibonacci resolveu, no
século XIII, um problema envolvendo a reprodução de coelhos (veja o Exercício 65).
Uma seqüência como aquela no Exemplo !(a), a, = n/(n + I) pode ser desenhada
plotando-se seus termos em uma reta, como na Figura 1, ou plotando-se seu gráfico, como
na Figura 2. Note que, como uma seqüência é uma função cujo donúnio é o conjunto dos
inteiros positivos, seu gráfico consiste em pontos isolados com coordenadas
(2, a2) (3, aJ) (n, a,)
A partir da Figura l ou 2 parece que os termos da seqüência a, = n/(n + 1) estão se
aproximando de 1 quando n se toma grande. De fato, a diferença
FiGURA 2
!234567
n I
1---=--
n+l n+]

James Stewart CAPÍTULO 11 SEQÜÊNCIAS INFINITAS E SÉRIES 701
pode ser tão pequena quanto se desejar tomando-se n suficientemente grande. Indicamos
isso escrevendo
Em geral, a notação
11
lim---~
n·->OC n + 1
liman =L
significa que os termos da seqüência {a,} aproximam-se de L quando n toma-se grande. Note
que a seguinte definição precisa do limite de uma seqüência é muito parecida com a
definição de um limite de uma função no infinito dada na Seção 2.6 do Volume I.
""·-"'- J

702 o CÁlCUlO Edítora Thomson
Outra ilustração da Definição 2 é dada na Figura 5. Os pontos no gráfico de {a,} devem
estar entre as retas horizontais y = L + E e y = L - E se n > N. Esse desenho deve ser
válido não importa quão pequeno e seja escolhido, mas geralmente e menor requer N
maior.
y=L+f-
FIGURA 5
4 N
A comparação da Definição 2 com a Definição 2.6.7 (Volume I) mostra que a única
diferença entre limn___,.c.o a, = L e limx~•Jf(x) = L é que n precisa ser inteiro. Então, temos
o seguinte teorema, que é ilustrado pela Figura 6.
[3] Teorema Se lim, ..• wf(x) ~ L e f(n) ~ a, quando n é um inteiro, então
lirn 11 ..... c.o a, = L.
-------y= f(x)
L~--~~----~===============
FIGURA 6
o
1 2 3 4
X
Em particular, como sabemos que lim,~m (1/x') ~O quando r> O (Teorema 2.6.5,
Volume I), temos
lim _!_~O
""""""" n'
se r> O
Se an se tornar grande quando n se tornar grande, usaremos a notação lim, ......, a 11 = oo.
A seguinte definição precisa é similar à Definição 2.6.9 (Volume I).
[!] Definição limn~·'""" a, = oo significa que para cada número positivo M existe um
inteiro N tal que
sempre que n > N
Se lim"__,._"" a, = oo , então a seqüência {a,} é divergente, mas de maneira especiaL
Dizemos que {a,} diverge para oo.
As Leis do Limite dadas na Seção 2.3 do Volume I também valem para os limites de
seqüências, e suas provas são similares.

James Stewart CAPÍTULO 11 SEOútNCIAS INFINITAS E SÉRIES n 703
!!!!! Leí2 cio L!m!te para SeqLJências
Se {a,} e {h,} forem seqüências convergentes e c for uma constante, então
lim (a, + b,) ~ lima, + lim b,
n-z ,~~ ,__,_oo
lim (a, - h,) ~ lima, - lim h,
,_.ex n->oo 11~00
lim ca, = c lim a,~
n --+""
lim c= c
n->x
lim (a,b,) ~ lima, · lirn b,.
n-'"" n__,_"' n--__,._:;ro
• a!j
lima"
w----J.CG
I tm-=----
11----""' b, lim b,
n----'>'"'
se lim b, # O
lima~
"~"
[lima,]" se p >O e a,> O
Jl----)

704 D CÁlCULO Editora Tbomson
seqüências, mas sim a funções de uma variável reaL Contudo, podemos usar a Regra de
L'Hôspital para a função relacionada j(x) ~ (ln x)/x e obter
Portanto, pelo Teorema 3, temos
lnx 1/x
lim-= lim-=0
x->"' X x---->"' 1
Jnn
n
lim--~o
n~>'

James Stewart CAPÍTULO 11 SEOÜÊI\)C!AS INFir\liTAS E SÉR!ES 705
Note que a expressão em parênteses é no máximo ] , porque o numerador é menor
(ou igual) ao denominador. Assim
l
O< a,~n
o
FIGURA 10
!O
Sabemos que 1/n........;. O quando n---'> x_ Portanto, a"----.....:;. O quando n ........;> x: pelo Teorema
do Confronto.
EXEMPLO 9 o Para que valores de r a seqüência {r"} é convergente"
SOLUÇÃO Sabemos da Seção 2.6 e dos gráficos das funções exponenciais na Seção 1.5.
ambas do Volume I, que lim"-" a' = oo para a > 1 e lim,_," a' = O para O < a · I
Logo, colocando a = r e usando o Teorema 2, temos
lim r''= {"'
71-'>"'- o
se r> 1
se O< r<
É óbvio que
Se - l < r < O, então O < I r I < 1 , assim
lim 1" = 1 e limO"= O
n--->::o
lim Ir' I= lim Ir I"~ O
,___.~
e portanto limn _,ex r 11
= O pelo Teorema 6. Se r,; -1 , então {r"} diverge corno no
Exemplo 6. A Figura 11 mostra os gráficos para vários valores de r. (O caso r= --1 é
mostrado na Figura 8.)
n·->oc
~1
a"
' r> 1
-1

706 o CÁLCULO Editora Thomson
Uma seqüência {an} é denominada crescente se a, < a,.-1 para
todo n ;;:: j, isto é, Qj < az a,+ i
para todo n ;;:: 1. É dita monotônica se for crescente ou decrescente.
EXEMPLO íG
A seqüência {-- 3 -} é decrescente porque
n + 5
3 3 3
--> ~---
n + 5 (n + 1) + 5 n + 6
para todo n ;;: L (0 lado direito é menor porque tem um denominador maior.)
11
EXEMPLO i i -- Mostre que a seqüência a, =~-'--é decrescente.
+
SOLUÇÃO 1 Devemos mostrar que a,+ 1

James Stewart CAPÍTUlO 11 SEQÜÊNCIAS INFif\JiTAS E SÉRIES 707
a,
M
L
FIGURA 12
... .... ······ ······
Por exemplo, a seqüência an = n é limitada inferiormente (an > O) mas não superior*
mente. A seqüência a, = n/(n + l) é limit"da, porque O

70B u CÁlCUlO Editora Thomson
SOLUÇÃO Começamos calculando os primeiros termos:
a2 ~ l (2 + 6) ~ 4
a4 ~ l(5 + 6) ~ 5,5 a, ~ 5,75
a,~ 5,9375 a 8 ~ 5,96875 a, ~ 5,984375
A indução matemâtica é
freqüentemente usada para trabalhar
com seqüências recursivas. Veja a
página 81 do Volume I para uma
discussão do Princípio da lnduçáo
Matemática.
Esses termos iniciais sugerem que a seqüência é crescente e os termos estão se
aproximando de 6. Para confirmar que a seqüência é crescente, usamos a indução
matemática para mostrar que a,.i-l > a" para todo n ~ L Isso é verdadeiro para n =
porque a2 = 4 > a1. Se assumirmos que isso é verdadeiro para n = k, então, temos
assim
e J(ak+, + 6) > j(a, + 6)
Então
Deduzimos que an+ 1 > a, é verdadeiro para n = k + 1. Portanto, por indução a
desigualdade é verdadeira para todo n.
A seguir verificamos que {a,} é limitada mostrando que a, < 6 para todo n, (Como a
seqüência é crescente, já sabemos que ela tem um minorante: a,~ a 1 = 2 para todo n.)
Sabemos que a 1 < 6, assim a asserção é verdadeira para n = 1. Suponha que isso seja
verdadeiro para n ~ k, Logo,
assim a,+ 6 < 12
j(a, + 6) < j(I2) ~ 6
Então ak+l < 6
Isso mostra, por indução matemática, que a, < 6 para todo n.
Como a seqüência {a,} é crescente e limitada, o Teorema 11 garante que ela tem um
limite. O teorema não nos conta qual é o valor do limite. Mas agora que sabemos que
L = lim, ..... ,.,, a, existe, podemos usar a relação de recorrência para escrever
c Uma prova desse fato é pedida no
Exercício 52.
Como a,_.,. L, segue que a,+t _.,.L, também (quando n _.,. oo, n + 1 _.,. oo, igualmente).
Assim, temos
Resolvendo essa equação para L temos L = 6, como previsto.

James Stewart CAPÍTULO 11 SEQÜÊ:NCIAS INFiNITAS E SÉRIES [J 709
Exercícios
1. (a) O que é uma seqüência
(b) O que significa dízer que lirnH."'"' a" = 8
(c) O que significa dizer que limn__,."' a"= oo
2. (a) O que é uma seqüência convergente Dê dois exemplos.
(b) O que é uma seqüência divergente Dê dois exemplos.
Liste os cinco primeiros termos da seqüência.
n+I
3. an = 1 - (0,2) 11
4 .a,=3n-1
3( -I)"
5. Gn =-n- 1
-
1. al = 3, an+l = 2an - l
6. {2 · 4 · 6 · · · · · (2n))
a,.
8. a1 = 4, Gn+l = --·­
a"- l
9-14 ::_; Encontre uma fórmula para o termo geral anda seqüência,
assumindo que o padrão dos primeiros temms continua.
9. {4, 1. g, -~t .. } 10. {L i.!. L ... }
11. {2, 7, 12, 17, ' ..} 12. ,, -16, ' ;g, ' ' ' ')
&
i! :!i {I, 2 ' ~ 3· Çi, -v,.
. ) 14. {5, I, 5, I, 5, I, ' ' .}
15-4íJ [: Determine se a seqüência converge ou diverge. Se ela
convergir, encontre o limite.
15. a, ~ n(n - I)
16.
n + l
a~---
" 3n - 1
19. a,=
n+
2'
(-Ir'n
21. a, = n1 + l
23. a 11
= cos(n/2)
2 . { (2n - 1) 1 }
5
(2n+l) 1
{ e"+e~'}
27. "'
e ·- 1
29. {n2e~n}
g an = c~~~n
33. an = n sen(l/n)
( ) ""
35. a~= 1 +~
(O, l, O, O, J, O, O, O, l, ~·l
18.
a,
20. iln =
.;;;
l + .;;;
n
+
(-l)"n'
22. a = -cc-'---"',---.,..
n n3+2n2+
24. an = cos(2/n)
26. ( arctg 2n}
28. L~";J
30. { n cos n7i}
l2l! a, ~ ln(n + l) - Jn n
34. Gn = ~n -
sen 2n
36. Gn = l + ..;n
41~43 : Use um gráfico da seqüência para decidir se a seqüência é
convergente ou divergente. Se a seqüência for convergente, estime
o valor do limite a partir do gráfico e então prove sua
estimativa. (Veja a margem esquerda na página 704 com
sugestões para gráficos de seqüências).
n + l
41. a,~(-1)"-- 42. a,~2+(-2/7T)"
n
2
43. { arctgcn : l ) } 44. { se~n}
,n
45. a,
47. a,=
48. a,
n "
n!
l . 3 . 5 . · (2n - l)
(2n)"
I · 3 • 5 · · (2n - I)
n!
46. a,= ::/3" + 5"
49. Se $ 1.000 forem investidos a uma taxa de juros de 6%,
compostos anualmente, depois de n anos o investimento valerá
a, ~ l.OOO(l,06)' dólares.
(a) Encontre os cinco primeiros termos da seqüência {a,J
(b) A seqüência é convergente ou divergente Explique.
{ '
50. Calcule os primeiros 40 termos da seqüência definida por
)a,
an+l = 3a, + 1
se an é um número par
se a, é um número ímpar
e a 1 = 1 L Faça o mesmo para a 1 = 25. Estabeleça uma
conjectura sobre esse tipo de seqüência.
51. Para quais valores de r a seqüência {nr"}
é convergente
52. (a) Se {an} for convergente, mostre que
lima,+ I = lima,
n--->oo
n->""
(b) Uma seqüência {a,} é definida por a 1 = ] e
a,,~ l/(l +a,) para n;, L Assumindo que {a,)
é convergente, encontre seu limite.
~ Suponha que você saiba que {a,} é uma seqüência decrescente
e que todos os termos estão entre os números 5 e 8. Explique
por que a seqüência tem um limite. O que você pode dizer
sobre o valor do limite
54--60 ~ Determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou
não monotônica. A seqüência é limitada
l
54. a,= 5
,
~ 1
~a,=2n+3
57. a" ~ cos(mr/2)
2n- 3
S6.a,=3n+4
58. an = ne~n

710 n CÁlCULO
Editora Thomson
n
59. a"= n 2 +
60. a"=n+~
1 ll
61. Calcule o limite da seqüência
lV-,y f r 12 v r2 ,y'2 V '2--.1-, ~ ... )
62. Uma seqüência {an} é dada por a 1 = -Ji, a,, 1 = _,)2 +a".
(a) Por indução, ou de outra maneira, mostre que {a,} é
crescente e limitada superionnente por 3. Aplique o
Teorema ll para indicar que limn···"' a,! existe.
(b) Calcule limw--·"'· a,.
:&S.- Mostre que a seqüência definida por a, = 1,
an,-l = 3 - 1/ a, é crescente e a,. < 3 para todo n. Deduza
que {au} é convergente c calcule seu limite.
64. Mostre que a seqüência definida por
a,"-1 =---
3- a"
satisfaz O < a, ~ 2 e é decrescente. Deduza que a seqüência
é convergente e encontre seu limite.
65. (a) ·Fibonacci colocou o seguinte problema: suponha que
coelhos vivam para sempre e que a cada mês cada par
produza um novo par, que se toma reprodutivo com
2 meses de idade. Se começarmos com um par recémnascido,
quantos pares de coelhos teremos no n-ésimo
mês Mostre que a resposta é f~~, onde {f,,} é a seqüência
de Fibonacci definida no Exemplo 3(c).
(b) Seja a,= f,,.,. 1 /f,, e mostre que a,- 1 = 1 + 1/a,.+ Assumindo
que {an} é convergente, encontre seu limite.
66. (a) Seja a, ~a, a;~ f(a), a;~ f(a,) ~ f(f(a)),.
a"+!= j(a,), onde fé uma função contínua. Se
lirn,_, a, ~ L, mostre que f(L) ~ L.
(b) Ilustre a parte (a) tomando f(x) = cos x, a = 1, e
estimando o valor de L com precisão de cinco casas decimais,
la 67. (a) Use um gráfico para estimar o valor do limite
(b) Use um gráfico da seqüência na parte (a) para encontrar
os menores valores de N que correspondem a e = 0,1 e
e = 0,001 na Definição 2.
68. Use a Definição 2 diretamente para provar que limn_,"' r" = O
quando I ri< L
69. Prove o Teorema 6.
[Dica: Use a Definição 2 ou o Teorema do Confronto.]
70. Seja a, = l )"
( 1 + -;; .
(a) Mostre que, se O.:;;:; a < b, então
b'J+I- a""-\
::__, _ _:::__ < (n + l )b"
b-a
(b) Deduza que b' 1 [(n + l)a -
nh]

James Stewart CAPÍTUlO 11 SEO\JÉNCAS iNFINiTAS E SÉRiES 711
Projeto de Laboratório
Seqüências logísticas
Uma seqüência que aparece em ecologia como um modelo para o crescimento populacional é
definida pela equação de diferença logística
p,+, ~ kp,(l -
onde p, mede o tamanho da população da n-ésima geração de uma única espécie. Para manter os
números manejáveis, p, é uma fração do tamanho máximo da população, e assim O :=:; Pn ::s l.
Note que a fomm dessa equação é similar à da equação diferencial logística na Seção 9.5. O
modelo discreto~ com seqüências em vez de funções contínuas -é preferível para modelar
populações de insetos, onde acasalamento e morte ocorrem de uma maneira periódica.
Um ecologista está interessado em prever o tamanho da população com o passar do tempo e faz:
as perguntas: ela estabilizará em um valor limite Ela mudará de uma maneira cíclica Ou ela
exibirá comportamento aleatório
Escreva um programa para calcular os n primeiros tennos dessa seqüência, começando com
uma população inicial p 0 , onde O < p 0 < i. Use esse programa para fazer o que se pede.
1. Calcule 20 ou 30 termos da seqüência para p 0 = 4 e para dois valores de k tal que 1 < k < 3.
Plote as seqüências. ,ElaS parecem_convergir Repita para um valor diferente de' p 0 entre O e l.
O limite depende da: escolha de p 0 Deperide' da eScolha de k
2. Calcule os termos seqüência para um valor de k entre 3 e 3,4 e plote-os. O que você nota
termos
k êritré 3,4-i3,5)o qrie aconteée--coni os termos
p,)
Séries
Se tentarmos adicionar os termos de uma seqüência infinita {a,J:~h
expressão da forma
rn a! + az + a3 + ... + a, + ...
obteremos uma
que é denominada uma série infinita (ou apenas uma série) e é denotada, por abreviação,
pelo símbolo
ou
Mas faz sentido falar sobre a soma de uma quantidade infinita de termos
Seria impossível encontrar uma soma finita para a série
1+2+3+4+5+···+n+
porque se começarmos adicionando os termos obteremos as sornas cumulativas 1, 3, 6, 10, 15,
2!, ... e depois o n-ésimo termo, n(n + 1)/2, que se toma muito grande quando n aumenta.
Contudo, se começannos a adicionar os termos da série
1 l I I l I
-+-+-+-+-+-+
2 4 8 !6 32 64
!
+-+
2'

~~~
712 c CÁlCUlO Editora Thomson
I
!1 Sorna dos n primeiros tcnnos
0.5000000()
0.75000000
3 0.8750000{}
4 0.93750000
5 0.96875000
6 0.98437500
7 0.99218750
10 0.9990234.:1-
15 039996943
20 0,99999905
25 0.99999997
obteremos ! , â, ~, *' H:, ~, ... , 1 - l/2", .... A tabela mostra que, quando adicionamos
mais e mais termos, essas somas parciais se tornam cada vez mais próximas de L (Veja
também a Figura 11 na página 7 do Volume L) De fato, adicionando um número suficiente
de termos da série, podemos fazer as somas parciais se tornaxem tão próximas quanto quisermos
de I. Assim, parece razoável dizer que a soma dessa série infinita é 1 e escrever
'1 1 1 1 l 1
l~l y. = 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 211 + ... = 1
Usamos uma idéia similar para determinar se uma série geral (1) tem uma soma ou não.
Consideramos as somas parciais
e, em geral,
"
sll = at + a2 + a3 + · · · + ali= 2.: ai
i=l
Essas somas parciais formam uma nova seqüência {sll}, que pode ou não ter um limite. Se
lim,---"" s, = s existir (como um número finito), então, como no exemplo anterior, o
chamamos soma da série infinita L a,.
[I] Definlçãu Dada uma série L:=l a, = a 1 + a2 + a3 + · · ·,denote por
s, sua n-ésima soma parcial:
"
sll = 2: a1 = a1 + a2 + · · · + a,
i=l
Se a seqüência {sn} for convergente e lim"__,."" S 11 = s existir como um número real,
então a série Z a, é denominada convergente, e escrevemos
a1 + a2 + · · · +ali+ · · · = s ou 2; a"~ s
n=l
O número s é chamado soma da série. Caso con~rário, a série é dita divergen~
Assim, quando escrevemos z:=l an = s queremos dizer que, adicionando um número suficiente
de tennos da série, podemos chegar tão próximo quanto quisennos do números. Note que
c; Compare com a integral imprópria
J·: f(x)dx ~ lim f' f(x)dx
'
,_,."'I
Para encontrar essa integral,
integramos de 1 até te então fazemos
t-7 00 • Para uma série, somamos de
1 a n e então temos n--oo.
"
l;a"~Iiml;a;
n=l n--->"" i= I
EXEMPLO 1 c Um exemplo importante de uma série infinita é a série geométrica
a + ar + ar 2 + ar 3 + · · · + ar"- 1 + · · · = ~ ar"~ 1 a ,CO
n=!

James Stewart CAPÍTUlO 11 SEOUENCIAS INFINiTAS E SÉRIES 713
__ A Figura 1 fornece uma
demonstração geométrica do resultado
no Exemplo 1. Se os triângulos forem
construidos como mostrado e s for a
soma da série, então, por similaridade
de triângulos,
a
a
a - ar
então
a
s = !-=-;
Cada termo é obtido a partir do anterior pela multiplicação dele por uma razão em
comum r. (Já consideramos o caso especial onde a = ~ e r= ~ na página 709.)
Se r= 1, então sn =a + a + · · · + a= na--- ::!.:: 00 • Como limn--.oo Sn não existe, a
série geométrica diverge nesse caso.
Se r ;>f I, temos
5 11 = a + ar + ar 2 + · · · + ar"- 1
e ar+ ar 2 + · · · + ar"-J + ar 11
Subtraindo essas equações, obtemos
a(l -
r')
a- ar
s
I -
r
Se -I < r< l, sabemos, a partir de (li L8), que r' ->O quando n-> oo; assim,
a(l - r') a a a
lirn 5 11
= lim ='--'--"- = --- - --- lim rn = --­
,~----"' n-"""' 1 - r 1 - r 1 - r n-+'X 1 - r
FIGURA 1
Então, quando I ri< 1 a série geométrica é convergente, e sua soma é aj(l -r).
Se r~ -I ou r> l, a seqüência {r'} é divergente por (ILL8); assim, pela Equação
3, lim 11 __."" sn não existe. Portanto a série geométrica diverge naqueles casos.
Resumimos os resultados do Exemplo 1 como a seguir.
[!] A série geométrica
2: arn-l = a + ar + ar 2 +
n=l
.-_; Em palavras: a soma de uma série
geométrica convergente é
primeiro termo
I- razão
é convergente se I r I < 1 e sua soma é
; , a
~ arn-t =---
n=l 1 -r
Se I r I ;o. l, a série geométrica é divergente,
I ri< l
UEMPLO 2 o Encontre a soma da série geométrica
5 -lQ+~-'!Q.+
3 9 27
SOLUÇÃO O primeiro termo é a = 5 e a razão é r =
convergente por ( 4) e sua soma é
Como I ri=}< 1, a série é
lO 20 40
5--+---+
3 9 27
5 5
-,.~--~( --~") = T = 3

'-
714 LJ CÁLCULO Editora Thomson
:: O que realmente queremos dizer
quando falamos que a soma da série
no Exemplo 2 é 3 Claro, não
podemos adicionar literalmente um
número infinito de termos, um a um.
Mas, de acordo com a Defín1ção 2.
a soma total é o limite da seqüência
de somas parciais. Assim, tomando a
soma de um número suficiente de
termos. podemos chegar tão próximo
quanto quisermos do número 3. A
tabela mostra as primeiras dez somas
parciais s,. e o gráfico na Figura 2
mostra como a seqüência de somas
parC!BIS se aproxima de 3
ll
!
S,
5,000000
2 !,666667
3 3,888889
4 2,407407
5 3,395062
6 2,736626
7 3, !75583
8 2,882945 o 20 n
9 3,078037
!O 2,947975
FIGURA 2
EXEMPlO 3 ::::;
A série 2: 2 2 n3l-·n é convergente ou divergente
n=l
SOLUÇÃO Vamos reescrever o n-ésimo termo da série na fonna arn -J :
Outra mane1ra de identificar a e r é
escrever os primeiros termos·
4+!f+~+·
Reconhecemos essa série como uma série geométrica com a = 4 e r = ~. Como r > 1, a
série diverge por (4),
EXEMPlO 4 o Escreva o número 2,3 T7 = 2,3171717, , , como uma razão de inteiros,
SOLUÇÃO
17 17 17
2,3171717,,, = 2,3 + lO' + lO' + lO' +
Depois do primeiro termo temos uma série geométrica com a= 17/10 3 e r= 1/10 2 •
Portanto
17 17
10'
2317 23 ---=23+ LOOO
' = ' + I ' 99
1
10 2 100
23 17 U47
=-+-=--
10 990 495
EXEMPLO 5 o Encontre a soma da série 2: x", onde lx I < L
n=O
SOLUÇÃO Note que essa série começa com n = O e assim o primeiro termo é x 0 = l.
(Com as séries, adotamos a convenção de que x 0 = 1 mesmo quando x = 0.) Então
Essa é uma série geométrica com a =
(4) fornece
2: x" = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + · · ·
n=O
1 e r = x. Como I r I = I x ] < 1, ela converge, e
w 1
l:x"=-­
n=o 1 -X

James Stewart CAPÍTUlO 11 SEQÜÊNCIAS INFiNITAS E SÉRIES D 715
" 1
) é convergente e calcule sua soma.
. n=! n n + 1
Mostre que a série 2: _( ___
SOLUÇÃO Essa não é uma série geométrica e, assim, voltamos à definição de uma série
convergente e calculamos as somas parciais.
" 1 l l I
s ~I ~--+ --+--+···+--:----:-;-
" i·t i (i + l) I · 2 2 · 3 3 · 4 n(n + J)
Podemos simplificar essa expressão se usarmos a decomposição por frações parciais
--~----
i(i + I) i + I
_ Note que os termos se cancelam em
pares. Esse é um exemplo de uma
soma telescópica: por causa de todos
os cancelamentos, a soma colapsa
(como um antigo telescópio) em
apenas dois termos.
(veja a Seção 7.4 no Volume!). Então, temos
" I "(I I )
i·l i(i + I) -H i i + I
( I) (f ]-r+ --r+ 1) (I r-r+ J ) .. ·+~--;;+! ( \ 1 )
s,~ I -I ---
n + 1
e, dessa forma, lim s, ~ lim (1 - -
jj-->00 tr-->X n + 1
1 -) ~ 1 - O~ 1
A Figura 3 ilustra o Exemplo 6
mostrando os gráficos da seqüência de
termos a,= 1/[n(n + I)] e a seqüência
{s,} das somas parciais. Note que
a" -----.. o e s, ~ L Veja os Exercícios 54
e 55 para duas interpretações
geométricas do Exemplo 6.
.... . . . . . . . .
{s")
Portanto, a série dada é convergente e
" 1
I ---:--'--,.,­
,., n(n + 1)
fXEMPto 7 cc Mostre que a série harmônica
é divergente.
SOLUÇÃO
~ 1
2:-~
n=l n
1 I I
+-+-+-+
2 3 4
S1 = 1
Sz=l·+!
o
FIGURA 3
....
{a,}
n
S4 = 1 + ~ + o + D > 1 + 1 + G + u = 1 + ~
+ G + u + G + g + 5 + ü
>l+!+U+D+O+ã+§+D
Sg = 1 + ~
=1+~+~+!=1+~
S!6 = 1 +i+ G + D +o+ + D +H+ ... + fg)
> 1 +i+ U + D + G + · · · + ü +(E+ · · · +E)
=l+i+i+i+i=l+~

716 D CÁlCUlO Editora Thomson
Similarmente, s_, 2 > l + ~, 56-4 > + 5, e, em geral,
~--- O método usado no Exemplo 7 para
mostrar que a série harmônica diverge
deve-se ao estudioso francês Nicole
Oresme (1323-1382).
n
+~
2
Isso mostra que s 2 " ........,. oo quando n ........,. oo e assim {s,} é divergente. Portanto a série
harmônica diverge.
Tt:Zh'!JITla Se a série 2: a, for convergente, então lim a, = O.
n=l
11--->e>o
Prova Sejas,= a 1 + a 2 + · · · +a,. Então an = s"- sl!-1- Como 2: a, é convergente,
a seqüência {s,} é convergente. Seja lim" --·"" s" = s. Como n - 1 ........,. oo quando n --0- oo,
também temos lim, ""'"' Sw-l = s. Portanto
lima,= lim (sn - s,-!) = lim s, - lim 5 11 - 1
n·-"*"' , ___ ,, n-->"'- n-"''
NOTA 1 o Com qualquer série 2: a, associamos duas seqüências: a seqüência {sr~} de
suas somas parciais e a seqüência {an} de seus termos. Se L a, for convergente, o limite da
seqüência {s,} és (a soma da série) e, como o Teorema 6 afirma, o limite da seqüência
{a"} é O.
NOTA 2 o A do Te.orema 6 não é verdadeira em geraL Se Em,__" a,, '"'""' O, não
po.deJ.·oc•s concluir que La,, seja convergente. Observe que, para a série harmônica 2.: 1/n,
temos a, = l/n........,. O quando n.......,.. oo, mas mostramos no Exemplo 7 que L 1/n é divergente.
2: an é divergente.
n=l
Se lim an não existir ou se lím a, rf O, então a série
n--+"' ,....,.,
O Teste para Divergência vem do Teorema 6, porque, se a série não for divergente, ela
é convergente e, assim, lim, ..... , a, = O.
EXEMPlO S - Mostre que a série 2:
n=l
SOLUÇÃO
n'
~ diverge.
Sn' + 4
Desse modo, a série diverge pelo Teste para Divergência.
1
~,.co
5
NOTA 3 o Se acharmos que limn---""' a, :;6 O, saberemos que I a, é divergente. Se achar~
mos que lim, .... ""a, = O, não saberemos nada sobre a convergência ou divergência de L a".
Lembre-se do aviso na Nota 2: se lim, ..... m a, = O, a série I a, pode convergir ou divergir.

James Stewart CAPÍTULO 11 SEOÜÉNCiAS INFiNITAS E SÉRIES c 717
Ts::; f;IT"" Se Z an e L. bn forem séries convergentes, então também o serão as
séries :Z ca, (onde c é uma constante), :S (a, + b,) e 2 (a, - b,), e
(i) L ca, = c L a,
n=l
n=l
(iii) L (a, - b,) = 2: a, - 2; b,
n=l
n=l
Essas propriedades de séries convergentes vêm a partir das Leis do Limite para
Seqüências Convergentes na Seção 11.1. Por exemplo, aqui está como a parte (ii) do
Teorema 8 é provada:
Seja
"
s, = 2: a,
i=!
s =
2: an
n=l
A n-ésima soma parcial para a série I (a, + b,) é
"
u, = L (a, + b,)
i=!
e, usando a Equação 5.2.9 do Volume I, temos
" "
= lim 2: a, + lim 2: b,
n._.."" i=! n._.."" i=l
= lim Sn + lim tn = s + f
Portanto, L (a, + bn) é convergente e sua soma é
L (a, + b,) = s + t = L a, + L b,
n=l f!=J n=l
" ( 3 I )
G Calcule a soma da série 2: ( ) + -, .
n=l n n + 1 2
SOLUÇÃO A série 2: 1/2" é uma série geométrica com a = ~e r = L assim
No Exemplo 6 encontramos que
" l
2:-= =l
n=l 2" 1 -
I
X
2: =1
,~, n(n + 1)
Assim, pelo Teorema 8. a série dada é convergente e
" ( 3 1) X I w 1
2: +- =32: +2:-
,~, n(n + 1) 2" ,~, n(n + 1) ,~ 1 2"
=3·1+1=4

718
o CÁlCULO Editora Thomson
NOTA 4 o Um número finito de termos não afeta a convergência ou divergência de uma
série. Por exemplo: suponha que possamos mostrar que a série
é convergente. Como
n I 2 3 " n
L -c--'-- ~ - + - + - + L --,---
n=! + l 2 9 28 ,~, n 3 +
segue-se que a série inteira z;= 1 n/(n 3 + 1) é convergente. Similarmente, se soubennos
que a série z:=N+ 1 a, converge, então a série completa
também é convergente.
N
L a, ~ L a, + L a,
n=l n=i n=N+l
Exercícios
1. (a) Qual é a diferença entre uma seqüência e urna série
(b) O que é uma série convergente O que é uma série divergente
2. Explique o significado de se dizer que 2:~= 1 a,= 5.
~~ 3-8 :·. Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Plote
ambas as seqüências de termos e de somas parciais na mesma tela.
Parece que a série é convergente ou divergente Se ela for
convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê.
5.
7.
" 12
2:-
.~. ( -5)"
4.
2: tg n
6.
"c
n~l
2: --
8.
n=; n 1 ' 5 (n + 1 1)1,5 )
2n
Seja an =
3 n + l .
(a) Determine se {a,.,} é convergente.
(b) Determine se 2:~= 1 an é convergente.
1o. (a) Explique a diferença entre
" "
2: a, e 2: aJ
i=l
j=!
(b) Explique a diferença entre
e
"' 2n 2 - 1
2:-,-
n=J n + 1
2:

James Stewart CAPÍTULO 11 SEQÜÊNCIAS INFINITAS E SÉRIES c, 719
:rt-05 ·~ Encontre os valores de x para os quais a série converge.
Calcule a soma da série para aqueles valores de x.
" x"
!111. L -
n=l 3"
42. L (x -
n~l
4)"
" (x + 3)"
43. L 4"x" 44. L
n=O W·'•Ü 2"
" cosnx
45. L --
n=O 2"
46. Vimos que a série harmônica é uma série divergente cujos
termos se aproximam de O. Mostre que
~ In( I + _!_)
n=l n
também tem essa propriedade.
41-43 ::.J Use o comando de frações parciais em seu CAS para
encontrar uma expressão conveniente para a soma parcial; então
utilize essa expressão para encontrar a soma da série. Verifique sua
resposta usando o CAS para somar a série diretamente.
47.
.~,
I (4n + 1)(4n - 3)
48.
I n 2 +3n+l
(n2 + n)2
IJ=]
~:;. Se a n-ésima soma parcial de uma série r:= I a" for
52. Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que ela
cai a partir de uma altura h em uma superfície dura e nivelada,
ela volta até uma altura rh, onde O < r < 1. Suponha que a
bola seja derrubada a partir de uma altura inicial de H melros.
(a) Assumindo que a bola continua a pular indefinidamente,
calcule a distância total que ela percorre. (Use o fato de
que a bola cai ~ gf metros em t segundos.)
(b) Calcule o tempo total que a bola pula.
(c) Suponha que cada vez que a bola atingir a superfície com
velocidade v ela rebaterá com velocidade -kv, onde
O < k < 1. Quanto tempo levará para a bola parar
$J, Qual é o valor de c se I (I + c)"" ~ 2
n=2
54. Plote as curvas y = x", O :s:: x ::S;: l, para n = O, 1, 2, 3, 4,.
na mesma tela. Achando as áreas entre as curvas sucessivas,
dê uma demonstração geométrica do fato, mostrado no
Exemplo 6, de que
.~, n(n + I)
55. A figura exibe dois círculos C e D de raio I que se tocam em P. T
é urna reta tangente em comum; C 1 é o círculo que toca C, De
T; C2 é o círculo que toca C, De Ct; C 3 é o círculo que toca C,
D e C2. Esse procedimento pode continuar indefinidamente e
produzir uma seqüência infinita de círculos {C,}. Encontre
uma expressão para o diâmetro de Cn e então forneça outra
demonstração geométrica do Exemplo 6.
50. Se a n-ésima soma parcial de uma série 2:;=1 an for
Sn = 3 - n2-n encontre an e 2:;~1 an.
51. Quando o dinheiro é gasto em produtos e serviços, aqueles que
recebem o dinheiro também gastam uma parte dele. As pessoas
que recebem parte do dinheiro gasto duas vezes gastarão uma
parte e assim por diante. Os economistas chamam de efeito
multiplicador essa reação em cadeia. Em uma comunidade
hipotética isolada, o governo local começa o processo gastando
$ D. Suponha que cada pessoa que recebe o dinheiro gasto
gaste 1 OOc% e economize 1 OOs% do dinheiro que recebeu.
Os valores de cessão denominados propensão marginal a
consumir e propensão marginal a economizar e, é claro,
c+s=l.
(a) Seja Sn o gasto total que foi gerado depois de n transações.
Encontre uma equação para Sn.
(b) Mostre que lim"_, S, ~ kD, onde k ~ 1/s. O número
k é chamado multiplicador. Qual é o multiplicador se a
propensão marginal para consumir for 80%
Nota: O governo federal usa esse princípio para justificar o déficit.
Os bancos usam esse princípio para justificar o empréstimo de uma
grande porcentagem do dinheiro que recebem em depósitos.
56. Um triânguloABC é dado com LA~ O e jACj ~ b.
CD é desenhado perpendiculannente a AB, DE é desenhado
perpendiculannente a BC, EF ..L AB, e esse processo continua
indefinidamente, como mostrado na figura.
A
B
!h

720 Cl CÁlCULO Editora Thomson
Calcule o comprimento total de todas as retas perpendiculares
jCDj + jDEI + IEFI + jFGj + ...
em tennos de b e O.
57. O que está errado com o seguinte cálculo
0~0+0+0+--·
~ (I - !) + (l - !) + (l - !) +
~ l - l + l - J + l - J + . . .
~ 1 + (-l + l) + (-1 + l) + (-l + 1) + ...
~1+0+0+0+--·~l
(Guido Ubaldo pensou que isso provava a existência de Deus,
porque "alguma coisa tinha sido criada do nada.")
58. Suponha que L~~~ G 11 (a,~ O) seja conhecida como uma série
convergente. Prove que L: .. -1 1/an é uma série divergente.
59. Prove a parte (i) do Teorema 8.
60. Se L an for divergente e c =/=. O, mostre que L ca, é divergente.
61. Se I an for convergente e L bn. divergente, mostre que a série
2: (a, + b,) é divergente. [Dica: Argumente por contradição.]
62. Se I an e i bn forem ambas divergentes, L (an + b") é
necessariamente divergente
63, Suponha que uma série L a, tenha termos positivos e suas
somas parciais s., satisfaçam a desigualdade Sn :

James Stewart CAPÍTUlO 11 SEOÜENCIAS INFINiTAS E SÉR!ES 721
O Teste da Integral e Estimativas de Somas
Em geral é difícil encontrar a soma exata de uma série. Conseguimos fazer isso para as
séries geométricas e a série 2: 1/[n(n + 1)] porque em cada um desses casos pudemos
encontrar uma fórmula simples para a n-ésima soma parcial s,. Mas geralmente não é fácil
calcular lim, ___ ,"" s,. Portanto, nas próximas seções, desenvolveremos vários testes que nos
permitam determinar se uma série é convergente ou divergente sem encontrar sua soma
explicitamente. (Em alguns casos, contudo, nossos métodos nos permitirão encontrar boas
estimativas da soma.) Nosso primeiro teste envolve as integrais impróprias.
Começamos investigando as séries cujos termos são os recíprocos dos quadrados de
inteiros positivos.
lÜ
50
I
~:AJO
i 5.GOO
1..:1-636
l549t\
1,6251
1,6350
1,6--+29
1.6439
L6447
Não existe uma fórmula simples para a soma s, dos n primeiros termos, mas a tabela de
valores gerada por computador dada na margem sugere que as somas parciais estão
se aproximando de um número próximo de 1.64 quando n ____..,. oo e, assim, parece que a
série é convergente.
Podemos confirmar essa impressão com um argumento geométrico. A Figura 1 mostra
a curva y = 1/x 2 e retângulos que estão abaixo da curva. A base de cada retângulo é um
intervalo de comprimento 1; a altura é igual ao valor da função y = l/x 2 no extremo direito
do intervalo. Dessa forma, a soma das áreas dos retângulos é
l
X
= 2:-,
n=1 n-
\ y= x\-
FIGURA 1
O,
I
. . .
.
área=~
2-
2
I
área=~
3'
3
área=~
4-
4
área=~
s-
5
X
Se excluirmos o primeiro retângulo, a área total dos retângulos remanescentes será
menor que a área sob a curva y = 1/x 2 para x ;;;., l, que é o valor da integral J~ (l/x') dx­
Na Seção 7.8 do Volume I descobrimos que essa integral imprópria é convergente e tem
valor 1. Assim a figura mostra que todas as somas parciais são menores do que
J fw 1
-+ -dx=2
1 2 1 x 2
Então as sornas parciais são limitadas. Também sabemos que as somas parciais são crescentes
(porque todos os termos são positivos). Portanto as somas parciais convergem (pelo
Teorema da Seqüência Monotônica) e, dessa maneira, a série é convergente. A soma da
série (o limite das somas parciais) é também menor que 2:
" l
2:-2 =
n=l n
l l l
+-+-+-+···

722 o CÂLCU!..O Editora Thomson
[A soma exata dessa série encontrada pelo matemático suíço Leonhard Euler ( 1707-1783)
é 1r 2 /6, mas a prova desse fato é muito difícil.-(Veja o Problema 6 em Problemas Quentes
no Capítulo 15.)]
Agora vamos olhar para a série
J .CJOO 6l
"i.OOO 139.968
A tabela de valores de s, sugere que as somas parciais não estão se aproximando de um
número; assim, suspeitamos que essa série possa ser divergente. Novamente usamos
um desenho para a confirmação. A Figura 2 mostra a curva y = 1/ ~. porém dessa vez
utilizamos retângulos cujos topos estão acima da curva.
FIGURA 2
o
área=
2 I 3
área= -~
v'2
i 4
• , 1
area= ~
., 3
5
área= ,.!_
\/4
X
A base de cada retângulo é um intervalo de comprimento L A altura é igual ao valor da
função y = 1/ -/X no extremo esquerdo do intervalo. Desse modo, a soma das áreas de
todos os retângulos é
1 1 1 I I
-+-+-+-+-+
fi -li j3 v4 vis
Essa área total é maior que a área sob a curva y = l/ /X para x ~ 1, que é igual à integral
J~ (1/[x) dx. Mas sabemos a partir da Seção 7.8 do Volume I que essa integral imprópria
é divergente. Em outras palavras. a área sob a curva é infinita. Assim a soma da série deve
ser infinita; isto é, a série é divergente.
O mesmo tipo de argumentação geométrica que usamos para essas duas séries pode ser
usado para provar o seguinte teste. (A prova é dada no final desta seção.)
O Teste da ""B' Suponha que f seja uma função contínua, positiva e
decrescente em [1, oo) e seja a" = f(n). Então a série 2:~= 1 an é convergente se e
somente se a integral imprópria f~ f(x) dx for convergente. Em outras palavras:
(i) Se f" f(x) dx for convergente, então ~ a, é convergente.
~1 n=l
(ii) Se r J(x) dx for divergente, então"~' a, é divergente.
NOTA o Quando você usar o Teste da Integral lembre-se de que não é necessário
começar a série ou a integral em n = J. Por exemplo, testando a série
2: I
n=4 (n -
usamos
r (xdx

James Stewart CAPÍTULO 11 SEQÜÊNCIAS INFINITAS E SÉRIES 723
Também não é necessário que f seja sempre decrescente. O que é importante é que f seja
finalmente decrescente, isto é, decrescente para x maior que algum número N. Então
a 11 é convergente, e assim I~~ 1 a" é convergente pela Nota 4 da Seção 1 1.2.
EXEMPlO 1
Teste a série n~l -c:-+-l para convergência ou divergência.
SOLUÇÃO A função J(x) ~ l/(x 2 + I) é contínua, positiva e decrescente em [I, oo) c
assim usamos o Teste da Integral:
Então, r l/(x 2 + 1) dx é uma integral convergente e, deSS fonna, pelo Teste da Integral,
a série 2 1/(n 2 + l) é convergente.
EXEMPlO 2 ~:-:
" I
Para que valores de p a série 2: -P é convergente
n~l n
SOLUÇÃO Se p O, então a função f(x) = l/xP é claramente contínua, positiva e decrescente
em [I, oo). Encontramos no Capítulo 7 do Volume I [veja 7.8.2] que
I
'" I
~ l xP
- dx converge se p > l e diverge se p ~ l
Segue do Teste da Integral que a série 2 1/n' converge se p > I e diverge se O < p "" I.
(Para p ~ I, esta é a série harmônica discutida no Exemplo 7 da Seção 11.2.)
A série no Exemplo 2, chamada p-série, é importante para o restante deste capítulo;
desse modo, resumimos os resultados do Exemplo 2 para referência futura como a seguir.
" I
A p~série 2: -P é convergente se p > 1 e divergente se p ~ 1.
n=J n
EXEI\II!'UJ 3 o
(a) A série
n=l
é convergente porque ela é uma série p com p = 3 > 1.
(b) A série
é divergente porque ela é uma p-série com p = ~ < 1.
I l l
+-+-+-+···
:fi \13 {Í4

724 CÁLCUlO
Editora Thomson
NOTA u Não devemos inferir a partir do Teste da Integral que a soma da série é igual
ao valor da integral. De fato,
n~l 6
enquanto
r dx ~ J
Portanto, em geraL
2: a, "" r f(x) dx
n=l •· 1
"" in n
Determine se a série L --converge ou diverge.
n=l n
SOLUÇÃO A função f(x) ~ (In x)/x é positiva e contínua para x > 1 porque a função
logaritmo é contínua. Mas não é óbvio se f é decrescente ou não; assim, calculamos sua
derivada:
'( . (l/x)x - 1n x
f x) ~ "
x·
1 - 1n x
Então, f'(x) 1, isto é, x >e. Segue que fé decrescente quando x >e
e podemos aplicar o Teste da Integral:
I
"=1nx ['lnx (lnx) 2 ]'
-dx ~ lim -dx ~ lim--
, l X ,.,x • l X •-= 2
. (In t) 2
= hm---~ oc
1-->X 2
1
o
\ y =f(x)
n
FIGURA 3
'i
=f(x)
O!
I
FiGUPA 4
X
Como essa integral imprópria é divergente, a série é divergente L (In n)/n também pelo
Teste da Integral.
Estimando a Soma de uma Série
Suponha que possamos usar o Teste da Integral para mostrar que uma série 2: a 11 é convergente
e que queremos encontrar uma aproximação para a somas da série. Claro, qualquer
soma parcial S 11 é uma aproximação paras, porque lim,__,"" sn = s. Mas quão boa é tal
aproximação Para descobrir, precisamos estimar o tamanho do resto
Rn = s - s, = Gn+l + Gn+2 + an+3 + ...
O resto Rn é o erro feito quando s,, a soma dos n primeiros termos, é utilizada como uma
aproximação para a soma totaL
Usamos a mesma notação e idéias como no Teste da Integral assumindo que f é decrescente
em [n. oo). Comparando as ãreas dos retângulos com a ãrea sob y ~ f(x) para x > n
na Figura 3, vemos que
R" ~ a""' + ac+2 + · · · "" j'" J(x) dx
"
De maneira semelhante, vemos, a partir da Figura 4, que
R, ~ a,+l + a,+2 + · · · "" [" f(x) dx
Jn+l

James Stewart CAPÍTUlO 11 SEOÜENCIAS INFINiT-'\S E SERil::-- 725
Assim provamos a seguinte estimativa para o erro.
l1J Estnm:.hv

726 CÁLCULO Editora Thomson
porque Sn + R, = s. As desigualdades em (3) dão um minorante e um majorante para
s. Eles fornecem uma aproximação mais precisa para a soma da série do que a soma parcial
Sn.
EXEMPl!l 6 ~
" l
Use (3) com n ~ 10 para estimar a soma da série 2; - 3
•
n=i n
SOLUÇÃO As desigualdades em (3) tornam-se
Do Exemplo 5. sabemos que
f "]
sw + _ dx :os; s ~ s!O +
1'"1
-~ dx
~ 11 • ;o x·'
assim
l
s 10 + 2
(ll)' -s; s -s; Sto + 2 (lO)'
l
Usando s 10 = I, 197532, obtemos
1,201664 -s; s -s; 1,202532
Se aproximarmos s pelo ponto médio desse intervalo, então o erro é no máximo metade
do comprimento do intervalo. Dessa forma,
" 1
"'-=I ,:.. 3 , 2021
n=! n·
com erro < 0,0005
Yt - y ~ f(x)
I
OI 2 4 n x
FIGURA 5
Se compararmos o Exemplo 6 com o Exemplo 5, veremos que a estimativa melhorada
em (3) pode ser muito melhor que a estimativa s = s". Para fazer um erro menor que
0,0005, tivemos de usar 32 termos no Exemplo 5, mas apenas dez termos no Exemplo 6.
Prova do Teste da Integral
Já vimos a idéia básica por trás da prova do Teste da Integral nas Figuras 1 e 2 para as
séries 2: 1/ n 2 e 2: 1/ Fn. Para a série geral 2: a,, olhe para as Figuras 5 e 6. A área do
primeiro retângulo sombreado na Figura 5 é o valor de f no extremo direito de [I, 2], isto
é, f(2) = a 2 • Assim, comparando as áreas dos retângulos sombreados com a área sob
y ~ f(x) de I até n, vemos que
a 2 + a 3 +···+a, -s; J,'t(x)dx
(Note que essa desigualdade depende do fato de que fé decrescente.) Do mesmo modo, a
Figura 6 mostra que
o, 2 3 4 5 n x
FIGURA6

James Stewart CAPÍTUlO 11 SEQÜÊNCIAS INFINITAS E SÉRIES C 727
(í) Se j'" f(x) dx for convergente, então (4) fornece
, l
já que f(x) ~ O. Portanto
±a,~ f"t(x) dx ~ f" f(x) dx
i=2 ~! 'l
s, ~a, + ±a,~ a,+ r f(x) dx ~ M
i=2 '
Como s,., ~ M para todo n, a seqüência {s,.,} é limitada superiormente. Também
visto que a,., H= f(n + 1) ~O. Então, {s,} é uma seqüência crescente limitada, e assim
ela é convergente pelo Teorema da Seqüência Monotônica (11.1.11). Isso significa que
L a, é convergente.
(íí} Se f~ f(x) dx for divergente, então f:' f(x) dx-> oo quando n -> x porque
f(x) ~ O. Mas (5} dá
.-!
f' f(x) dx ~ 2: a,~ s,_,
'J
e, dessa forma, Sn-l ----7 oo. Isso implica que Sn ----7 00 e assim I an diverge.
i=!
Exercícios
1. Faça um desenho para mostrar que
- 1 ·- 1
.~, n'·' < j, dx
O que você pode concluir sobre a série
2. Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente
para x ~ 1 e a,. = f(n). Desenhando uma figura, coloque em
ordem crescente as três quantidades
J,'J(x) dx
3-3 =: Use o Teste da Integral para determinar se a série é
convergente ou divergente.
- 1
3. 2:'
"=I n
" 1
5. 2:--
,~1 3n + 1
~ n + 2
8. ""
n=! n + 1
n=l
i=2
9-24 o Determine se a série é convergente ou divergente.
I I 1 I
1+~+-+-+--+···
8 27 64 125
10. 2: (n- 1 " + 3n-u)
n~J
I I I 1
12 ' 1 + 2.[i + 3)3 + 4./4 + 5./5 + .. ,
~ 5 - :,;;;
13, ""
n=l n~
n
+ 1
" 1
2:-
,~-2 nlnn
23. 2:
n=! +n
, 5
14. 2:--
n=3 n ~ 2
~ 3n + 2
16, ""
~c~J n(n + 1)
18. 2: --c----"--
n=! - 4n + 5
20. i ln,"
n=l n
22. 2:
n
+ 1
" 1
24. "" ( .
n=J n In n in ln n)

72s LJ CÁLCULO Edítora Thomson
" l
25 ' .~o n(ln n)'
Encontre os valores de p para os quaís a série é convergente.
27. 2: n(l + n')''
n"o\
26. " I
L, [ l
.,~, nlnn ln(lnn) ''
,O In n
28. L,
JFI
29. A funçáo zeta Ç de Ricmann é definida por
• I
30.
.31.
Ç(x) ~ 2: --;
""~1 n
c é usada em teoria de números para estudar a distribuição de
números primos. Qual é o domínio de C
(a) Encontre a soma parcial SJ() da série L:~~ l/n 4 • Estime o erro
usando s 10 como uma aproximação para a soma da série.
(b) Utilize (3) com n = lO para dar uma estimativa melhorada
da soma.
(c) Encontre um valor de n tal que s, represente a soma com
precisão de 0,0000 I.
(a)
(b)
(c)
Use a soma dos dez primeiros termos para estímar a soma
da série L~~~ 1/n 2 • Quão boa é essa estimativa
Melhore essa estimativa usando (3) com n = lO.
Encontre um valor de n que garanta que o erro na
aproximação s = s, seja menor que 0,00 L
32. Calcule a soma da série ::>.::7~~1 l/n 5 com precisão de três casas
decimais.
33. Estime :;,:;;-_7 1
n
1 n com precisão de 0,01.
34. Quantos termos da série i~--2 l/[n(ln n) 2 ] você precisaria
adicionar para encontrar sua soma com precisão de 0,~1
1 001
35. Mostre que, se queremos aproximar a soma da série 2: 11 · -
de maneira que o erro seja menor que 5 na nona n=l
casa decimal, então precisamos somar mais que 10 11301 termos!
np
36. (a) Mostre que a série 2.:~~-t (ln n,l"/n 2 é convergente.
(b) Encontre um iimite superior para o erro na aproximação
s = s" .
(c) Qual é o menor valor de n tal que esse limite superior seja
menor que 0,05
(d) Encontres, para esse valor de n.
·37. (a) Use (4) para mostrar que, se s" é a n-ésirna sorna parcial da
série hannônica, então
s, ~ 1 + In n
(b) A série harmônica diverge, mas muito lentamente. Use a
parte (a) para mostrar que a soma do primeiro milhão de
termos é menor que 15 e que a soma do primeiro bilhão
de tennos é menor que 22.
38. Use as seguintes etapas para mostrar que a seqüência
I I I
!"=1+2+3+···+---;;-lnn
tem um limite. (O valor do limite é denotado por y e é
chamado constante de Euler.)
(a) Desenhe uma figura como a Figura 6 com f(x) = 1/x e
interprete t11 como uma área [ou use (5)] para mostrar que
t, > O para todo n.
(b) Interprete
t,.- t,.,, ~ [ln(n + I)
l
lnn]--­
n + I
como uma diferença de áreas para mostrar que
tn- t,+- 1 >O. Portanto {t,} é uma seqüência decrescente.
(c) Use o Teorema da Seqüência Monotônica para mostrar que
{tn} é convergente.
39. Encontre todos os valores positivos de b para os quais a série
r:~ 1 b 1 fi" converge,
Os Testes de Comparação
Nos testes de comparação, a idéia é comparar uma série dada com uma que é sabidamente
convergente ou divergente. Por exemplo, a série
" 1
"~' 2" + 1
nos lembra a série :Z::~=l 1/2", que é uma série geométrica com a = i e r = te é, portanto,
convergente. Como a série (1) é muito similar a uma série convergente, temos a impressão
de que esta também deve ser convergente. Realmente, ela é. A desigualdade
1 1
---

James Stewart CAPÍTULO 11 SEOÜÊNC!J\S I~,JFINITAS E SEF11LS 729
Argumentação semelhante pode ser usada para provar o seguinte teste, que se aplica
apenas a séries cujos termos são positivos. A primeira pmte diz que, se tivermos uma série
cujos termos são menores que aqueles de uma série que sabemos ser convergente. então
nossa série também será convergente. A segunda parte diz que, se começarmos com uma
série cujos termos são maiores que aqueles de uma série que sabemos ser divergente, ela
também será divergente.
O Teste de Ct"''P"""''\{G: Suponha que L aneL b, sejam séries com termos positívos.
(i) Se I b, for convergente e a, "" b, para todo n, então 2: a, também será convergente.
(ii) Se I b, for divergente e a, "" b, para todo n, então 2: a, também será divergente.
:::~ É importante ter em mente a
diferença entre uma seqüência e uma
série. Uma seqüência é uma lista de
números, enquanto uma série é uma
soma. A cada série 2: a, existem
associadas duas seqüências
uma seqüência {a.,} de termos e uma
seqüência {s,,} de somas parciaiS.
!!i! Sér;e~padrão para usar
corr, o Teste de Comparação
Pmva
(i) Seja
"
/, ~ 2: b,
i= I
Como ambas as séries têm termos positívos, as seqüências {s,;} e {t,} são crescentes
(s,+ 1 = s, + a,+ 1 ~ s,). Também t" ~ t, assim t"-:::;; t para todo n. Como a,::-::; b,,
temos s, :::;::; C Então, s, ~ t para todo n. Isso significa que {s,} é crescente e limitada
superiormente e, portanto, converge pelo Teorema da Seqüência Monotônica. Por
conseguinte, L a, converge.
(ii) Se I b, for divergente, então/,-> oo (porque {t,} é crescente). Mas a, h,, assim
Sn ~ t, 1 • Logo, Sn .......,._ oo. Portanto, L a" diverge.
Ao usar o Teste de Comparação, devemos, claro, ter algumas séries conhecidas L b" para
o propósito de comparação. Na maior parte do tempo usamos uma p-série [z l/n 1 ' converge
se p > 1 e diverge se p ~ 1; veja (11.3.1)] ou uma série geométrica [L ar"-- 1
converge se I r I < I e diverge se I r I '3 I; veja (11.2.4)].
5
EXEMPLO 1 u Determine se a série ~ , converge ou diverge.
n=i 2n- + 4n + 3
SOLUÇÃO Para um n grande, o termo dominante no denominador é 2n 2 ; assim,
comparamos a série dada com a série I 5/(2n 2 ). Observe que
5 5
-,.------

730 D CÁLCUlO Editora Thomson
NOTA 1 c Embora a condíção a, ::'S: b, ou a, ~ b, no Teste de Comparação seja dada
para todo n, precisamos verificar apenas que ela vale para n :: N, onde N é algum inteiro
fixado, porque a convergência de uma série não é afetada por um número finito de tennos.
Isso é ilustrado no próximo exemplo.
EXEMPlO 2 CJ
x
lo n
Teste a série 2: -- para convergência ou divergência.
,=! n
SOLUÇÃO Essa série foi testada (usando o Teste da Integral) no Exemplo 4 da Seção
11.3, mas também é possível testá-la comparando-a com a série harmônica. Observe que
In n > 1 para n : 3 e assim
ln 11 l
-->-
11 11
n:3
Sabemos que I 1/n é divergente (p-série com p =
pelo Teste de Comparação.
1). Então, a série dada é divergente
NOTA 2 o Os termos da série sendo testada devem ser menores que aqueles de uma série
convergente ou maiores que aqueles de uma série divergente. Se os termos forem maiores
que os de uma série convergente ou menores que os de uma série divergente, então o Teste
de Comparação não se aplica. Considere, por exemplo, a série
A desigualdade
" l
2:-"-
o~l 2 - l
l 1
--->-
2" - 1 2"
é inútil para ser usada com o Teste de Comparação, porque 2.: b, = 2.: G r é convergente e
a" > bn. Mesmo assim temos a impressão de que 2.: 1/(2" - 1) deve ser convergente, pois
ela é muito parecida com a série geométrica convergente L (}:)". Em tais casos o seguinte
teste pode ser usado.
s Os Exercícios 40 e 41 lidam com os
casos c= o e c= oo.
Teste de Comparação do Limite Suponha que 2: a, e 2: bn sejam séries com termos
positivos. Se
onde c é um número e c > O, então ambas as séries convergem ou ambas as séries
divergem.
Prova Sejam me M números positivos tais quem < c < M. Urna vez que an/b,., está
próximo de c para um n grande, existe um inteiro N tal que
e assim
a"
m

James Stewart CAPÍTUlO 11 SEOÜENCIAS iNFINiTAS E SÉRIES 731
Se L b, convergir, então L Mb, também converge. Dessa forma, L an converge pela parte
(i) do Teste de Comparação. Se Z b, divergir, então 2: mb, também diverge, e a parte
(ii) do Teste de Comparação mostra que 2.: a, diverge.
EXEMPlO 3
" 1
Teste a série ~ -,--para convergência ou divergência.
,~, 2 - l
SOLUÇÃO Usamos o Teste de Comparação do Limite com
e obtemos
b""_l_
n 2'!
2" 1
lim --- "" lim ---,--
2" - "~" 1 - l/2"
1>0
Como esse limite existe e 2: l/2" é uma séiie geométrica convergente, a série dada
converge pelo Teste de Comparação do Limite.
EXEMPHl4
" 2n 2 + 3n
Determine se a série 2: -JS+n5 converge ou diverge.
,~~ 5 + n)
SOLUÇÃO A parte dominante do numerador é 2n 2 e a parte dominante do denominador é
Jn5 = n 5 / 2 • Isso sugere tomar
2n 2 + 3n
a,"" -JS+n5
3
2 +-
. n
""}Ir;! ~
2 -, + 1
n
2+0
2y'O+I
Como 2: b,"" 2 I 1/n 112 é divergente (p-série com p ""l < 1), a série dada diverge pelo
Teste de Comparação do Limite.
Note que testando muitas séries encontramos uma série de comparação apropriada L bn
mantendo apenas as potências mais altas no numerador e denominador.
Estimando Somas
Se tivéssemos usado o Teste de Comparação para mostrar que uma série L a, converge
pela comparação com uma série L b,, poderíamos ser capazes de estimar a soma L a, pela
comparação dos restos. Como na Seção 11.3, consideramos o resto
Para a série de comparação 2.: b, consideramos o resto correspondente
T, = f - f, = bn+ J + bn+2 + • • •

732 u CÁlCUlO Editora Thomson
Como a, ~ bn para todo n, temos R, ~ T 11 • Se L b 11 for uma p-série, podemos estimar seu
resto T,, como na Seção 11.3. Se L b, for uma série geométrica, então T 11 é a soma de uma
série geométrica e podemos somá-la exatamente (veja os Exercícios 35 e 36). Em qualquer
caso, sabemos que R" é menor que T,.
EXH&1PLO 5 :-::: Use a soma dos 100 primeiros termos para aproximar a sorna da série
L l/(n 3 + 1). Estime o erro envolvido nessa aproximação.
SOLUÇÃO Como
a série dada é convergente pelo Teste de Comparação. O resto T, para a série de
comparação L: l/ n 3 foi estimado no Exemplo 5 da Seção 11.3 usando a Estimativa do
Resto para o Teste da Integral. Lá encontramos que
T ~I
'
•x J
J
~" X
Portanto, o resto R, para a série dada satisfaz
-dx=
Com n =
100, temos
R 1rn1 ~
(100)' = 0,00005
2
-
~ Exerct'ct'os
Usando urna calculadora programável ou um computador, encontramos que
com erro menor que 0,00005.
Suponha que 2: a, e L b, sejam séries com termos positivos e
L bn seja sabidamente convergente.
(a) Se an > b, para todo n, o que você pode dizer sobre L a,r'!
Por quê
(b) Se a, < b, para todo n, o que você pode dizer sobre L a"
Por quê
2. Suponha que 2: a, e L h~ sejam séries com termos positivos e
:Z b, seja sabidamente divergente.
(a) Se a., > b, para todo n, o que você pode dizer sobre :Z a.,
Por quê
(b) Se a, < b, para todo n, o que você pode dizer sobre :Z a,
Por quê
100
.~, --,..-- = .~, -,.--+-1 = 0,6864538
3-32 o Determine se a série converge ou diverge.
3. 2: ~-'-­
n=1 +n+J
.ç.n+l
7. "'
9. L:
n~!
o
cos 2 n
n 2 + 1
11. L:
11=2 - l
o 2
4. 2:-,­
n=l n + 4
o l
6. L:-~
n-•2 n - ..jn
o 4 + 3"
2:-
r.=l 2"
" n 2 - 1
2: 3n
4
+
r.= I
" 1 + senn
12. 2
!1---0 lO"
l

James Stewart CAPÍTULO 11 SEOÜ[NC!AS INFINITAS E SÉRIES
733
" 2"
19. L--
•. ~. l + 3"
21. L-~
+
" l
18. L--
n=l 2n + 3
" l + 2"
20. L--
n=l J + 3"
22.
"
/
n + 2
,;-:J (n + 1),
n 2 ~ Sn
24. L --'-'-,-=-­
n=l n· + n + 1
n+S
26. '~~ l;;n7 + n1
2n 2 + n
2s. L --c=---'.:.:__
tt=l + Sn - l)
30. i~
,=; n"
38. Para quais valores de p a série 2:~ 2 l/(nP In n) converge
39. Prove que, se a" ~ O e L a, convergir então 2: a~ também
converge.
40. (a) Suponha que 2: a, e 2 b, sejam séries com termos positivos
e L b,. seja convergente. Prove que se
·ll-1~-
lim !:!!:__=O
n-.-.-e.oo b,
então L a, também é convergente.
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries convergem.
.ç. ln n "' ln n
(íl ""-,- Oíl L ,
nc~l n "~! e
(a) Suponha que L a, e 2: b, sejam séries com termos positivos
e L bn seja divergente. Prove que se
lim a,, = cc
"~"' b,
então L a" também é divergente.
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem.
"' 1 "' In n
(í) L- (ií) L-
n=llnn n=l n
33-36 c:: Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a
soma da série. Estime o erro.
l
33. L , ,
n=l n + n-
34. L
+ cos n
n'
O significado da representação decimal de um número
O,did 2
d ... 3 (onde o dígito d, é um dos números
O, 1, 2, ...• 9) é que
dl d2 d3 d4
O,d1d2d3d4 ... ~ 1Q + Jõ2 + Jõ2 + W + · · ·
Mostre que essa série sempre converge.
42. Dê um exemplo de um par de séries L On e L b"
com termos positivos onde lim,~oo (a,/bn) =O e L b"
diverge, mas L an converge. (Compare com
o Exercício 40.)
43. Mostre que, se a, > O e lim,~cc na, oF O, então L an é divergente.
44. Mostre que, se a, > O e L a, for convergente, então
L ln(l +a") é convergente.
45. Se L an for uma série convergente com termos positivos, é
verdade que L sen(an) também é convergente
46. Se 2: a" e 2: b, forem ambas séries convergentes
com termos positivos, é verdade que 2: a,b, também
é convergente
Séries Alternadas
Os testes de convergência que temos olhado se aplicam apenas a séries com termos positivos.
Nesta seção e na próxima aprenderemos como lidar com séries cujos termos não são
necessariamente positivos. De particular importância são as séries alternadas cujos termos
se alternam no sinal.
Uma série alternada é aquela cujos termos são alternadamente positivos e negativos.
Aqui estão dois exemplos:
1 l l I I
1--+---+---+···~2:::_::.:,__
n
2 3 4 5 6 n=!
1 2 3 4 5 6
--+---+---+-- ... ~ 2:
2 3 4 5 6 7 n=l
1)"-nn
+ l
------~---._

734 LJ CÁlCUlO Editora Thomson
Vemos desses exemplos que o n-ésimo termo de uma série altemada é da forma
ou
a, ~ ( ~ l)"b,
onde b, é um número positivo. (De fato, b, ~ I a, 1-J
O teste a seguir diz que, se os termos de uma série alternada decrescem em direção a O
em valor absoluto, então a série converge.
Se a série alternada
n=!
(h, >O)
satisfizer
(Í) b," 1 "' b, para todo n
(ii) lim b, ~ O
ti'""'"'
então a série é conver!;en1te.
Antes de provar, vamos olhar a Figura 1, que esboça a idéia por trás da prova. Primeiro
plotamos s 1 = b 1 sobre uma reta numérica. Para encontrar s 2 subtraímos b 1 , assim s 2 está
à esquerda de s 1 • Então, para encontrar s 3 , adicionamos b3 e assim s 3 está à direita de sz.
Mas, como b 3 < b 2 , s 3 está à esquerda de s 1 • Continuando dessa maneira, vemos que as
somas parciais oscilam de um lado para outro. Como b, ~ O, as etapas ~ubseqüentes vão
se tornando cada vez menores. As somas parciais pares Sz, s.1, s6, ... são crescentes, e as
somas parciais ímpares St, s3, ss, ... são decrescentes. Então, parece plausível que ambas
estejam convergindo para algum número s, que é a soma da série. Portanto na prova a
seguir consi-deramos as somas parciais pares e ímpares separadamente.
FIGURA 1
b,
-b,
+b:,
-b,
+b,
~bt
I
I
I
I
• 1111111111 li
o ,, ,, ,, ,. ,, I
,, ,,
Prova do Teste da Série Alternada Primeiro consideramos as somas parciais pares:
já que b, "' b,
já que b, "' b,
Em geral
já que hz, os; bz,
Então
Mas podemos escrever também
s,, ~ b, ~ (b, ~ b3) ~ (b, ~ b,) ~ ... - (b,,_, ~ b,,_,) ~ b,,
~------"' __k______,i,'o_
.-'i=l~.--:.-'----.

--------------------~------~~
James Stewart CAPÍTUlO 11 SEOÜf:NCIAS INFINITAS E SÉRIES l-J 735
Cada termo entre parênteses é positivo, assim s 2 , ~ b 1 para todo n. Dessa forma, a
seqüência {sz,} de somas parciais pares é crescente e limitada superiormente. É, portanto,
convergente pelo Teorema da Seqüência Monotônica. Vamos chamar esse limites, isto é,
Agora calculamos o limite das somas parciais ímpares:
lim Szn+l = lim (s2n + bzn+l)
n-"""
n --'>:C
~s+O
!pela cnndi~'ào iil)]
Como ambas as somas parciais pares e ímpares convergem paras, temos limn---."' s, = s
(veja o Exercício 72 na Seção 1 1.1) e, assim, a série é convergente.
--A Figura 2 ilustra o Exemplo 1
mostrando os gráficos dos termos
a, = ( ~ 1)"" 1 / n e as somas parciaiS s,
Note como os valores de s,
ziguezagueiam ao redor do valor limite,
que parece ser cerca de 0,7. De fato, a
soma exata da série é In 2 = 0,693
(veja o Exercício 36).
HEMPUJ 1 ~
satisfaz
A série harmônica alternada
I 1 I
1--+---+
2 3 4 n=1
(i i)
1
limb,~lim-~0
n-">"> n~"" n
porque
1 1
--

736 o CÁlCUlO Editora Thomson
, . x(2 - x 3 )
f(x) ~ (x; + 1)'
Em vez de verificarmos a condiç3o (i)
do Teste da Série Alternada calculando
uma derivada, poderíamos verificar
b., .VZ. Então, fé decrescente no intervalo (.fi, x). Isso significa que
j(n + 1)

James Stewart CAPÍTUlO 11 SEOÚÊNCIAS INFINITAS E SÉRiES 737
Para termos uma idéia de quantos termos precisamos usar em nossa aproximação, vamos
escrever os primeiros termos da série
1111 lll 1
·----+---+---+---+
O' jl 2 1 3' 41 5! 6' 7'
+ ...
Note que
I
b, = smo < s.ooo = 0,0002
i
e = 0,368056
Pelo Teorema da Estimativa da Série Alternada, saben10s que
Na Seção 11.1 O provaremos
que!!-' = I~-~-o x"/n! para todo x; assim,
o que obtivemos no Exemplo 4 é
Esse erro menor que 0,0002 não afeta a terceira casa decimal. Assim temos
realmente uma aproximação para
o número e - 1 •
s = 0,368
com precisão de três casas decimais.
NOTA o A regra de que o erro (ao usar s, para aproximar s) é menor que o primeiro
termo negligenciado é, em geral, válida apenas para séries alternadas que satisfazem as
condições do Teorema da Estimativa da Série Alternada. A regra não se aplica a outros
tipos de séries.
Exercícios
1. (a) O que é uma série allernada
(b) Sob que condições uma série alternada converge
(c) Se essas condições forem satisfeitas, o que você pode dizer
sobre o resto depois de n termos
2-20 c: Teste a série para convergência ou divergência.
2. -~+~-~+~-~+···
i-~+~-To+TI-···
I l l I l
4, -----+-----+---···
~2 ~3 ~4 ~5 ~6
" (-!)""' • (-!)•·!
5. 2: -,- 6. 2: --
n~! -.Jn n~l 3n - 1
• 3n- I
2: (-1)"--
/Pl 2n+l
• (-!)""'
9· ,~1 4n 2 + 1
2: (-1)""'
n=J
~ (-!)"...."...
~= 2 ln n
n'
" 2n
S. ~~ (-!)" 4n 2 + l
10. 2: (-I)" --:-'--::-r
n=! l +
14
_ L(-!)" , ln n
n=l n
2: cos ll1r ~ sen(n1T/2)
15. 16.
,~I n~l n!
.~, (-1)" sen(:) 18. ~ (-!)" cos( ")
n=l
n
"" n"
"(")"
19. 2: (-!)"- 20, 2: --
n~l n~ n=l 5
21-22 c Calcule as dez primeiras somas parciais da série e plote a
seqüência de termos e a seqüência das sornas parciais na mesma tela.
Estime o erro ao usar a décima soma parcial para aproximar a soma
total.
• (-!)•·!
21. 2:-,;;-
n=l n
23-26 o Quantos termos da série precisamos adícionar para encontrar
a soma parcial com a precisão indicada
• (-!)''''
2: --, - (jerrol < 0,01)
n=l n
(jenoi < 0,00!)
22,

738 CJ CÁLCUlO Editora Thomson
" ( -2)"
25. L -- (ferro[ < 0,0 l)
n=l n!
26. f (-l)'"n (ferro[ < 0,002)
n=l 4"
2:7~30 '::J Aproxime a soma da série com a precisão de quatro casas
decimais.
27.
i (-!)'"'
w~l n'
" ( -1r'n'
29. L
,~; 10"
28.
30.
" (-l)"n
,~,-8-,-
" ( -!)"
,~, 3"n!
31. A qüinquagésima soma parcial s~o da série alternada
2:~-~ 1 ( -l)"- 1 /n é uma estimativa por cima ou uma estimativa
por baixo da soma total Explique.
35. Mostrequeasériei(-1)" 1 b"~ondeb,.= 1/nsenforímpare
b, = 1/ n 2 se n for par, é divergente. Por que o Teste da Série
Alternada não se aplica
36. Use as seguintes etapas para mostrar que
L
~ ln2
Sejam h, e s., as sornas parciais das séries harmônica e
alternada harmônica.
(a) Mostre que s211 = h2n h,.
(b) Do Exercício 38, da Seção 11.3, temos
c portanto
h, - In n __.,. y quando n __.,. oc-
32~34 , __ Para quais valores de p cada série é convergente h 2 , - ln(2n) --> y quando n __.,. oo
" (-1)'"
33. L--
IFI n + p
Use esses fatos junto com a parte (a) para mostrar que
s2, -------0-ln 2 quando n __.,. oo.
Convergência Absoluta e os Testes da Razão e da Raiz
Dada qualquer série 2.: a,, podemos considerar a série correspondente
2: I a, I ~ I a, I + I a,l + I a, I + · · ·
n~!
cujos termos são os valores absolutos dos termos da série original.
u Temos testes de convergência
para séries com termos positivos
e para séries alternadas. Mas o que
acontece se os sinais dos termos
ficam trocando irregularmente
Veremos no Exemplo 3 que a idéia de
convergência absoluta algumas vezes
ajuda em tais casos.
Definição Uma série 2.: a, é chamada absolutamente convergente se a série
de valores absolutos 2: I a, I for convergente.
Note que, se L a, for uma série com termos positivos, então I a, I = a,.,_ e assim a convergência
absoluta é a mesma coisa que a convergência nesse caso_
EXEMPl!l 1 c:c
A série
é absolutamente convergente porque
2: "1'(-l)'dl " l
2 ~2:-,~J+
n=l n i n=l n
é uma p-série convergente (p ~ 2).
1 1 1
--+---+
2' 3 2 4 2
l 1
+-+-+ y 42

James Stewart CAPÍTULO 11 SEOlJÉNCiAS INFif'JITAS E SÉRILS 739
Sabemos que a série harmônica alternada
X (-I)" I I 1 I
2: =!--+---+
n=l n 2 3 4
é convergente (veja o Exemplo 1 da Seção 11.5), mas não é absolutamente convergente,
porque a série de valores absolutos correspondente é
"~(-I)"_' I " I l l l
2: 1=2:-=J+-+-+-+"·
n=i n n=l n 2 3 4
que é a série harmônica (p-série com p =
1) e é portanto divergente.
Uma série I a, é chamada condicionalmente convergente se ela
for convergente. mas não for absolutamente convergente.
O Exemplo 2 mostra que a série harmônica alternada é condicionalmente convergente.
Então, é possível para uma série ser convergente, porém não absolutamente convergente.
Contudo, o próximo teorema mostra que a convergência absoluta implica convergência.
Teorema Se uma série L a, for absolutamente convergente, então ela é convergente.
Prova Observe que a desigualdade
é verdadeira porque I a, I é a, ou -a,. Se L a, for absolutamente convergente, então
L I an I é convergente, assim L 2j a, I é convergente. Portanto, pelo Teste da Comparação,
I (a, + I a, I) é convergente. Dessa forma,
::A Figura 1 mostra os graficos dos
termos an e das somas parciais sn da
série no Exemplo 3. Note que a série
não é alternada, mas tem termos
positivos e negativos.
é a diferença de duas séries convergentes e é portanto convergente.
EXEMPlO 3
Detennine se a série
i; cosn cos 1 cos 2 cos 3
+ + +,,
n=l
0,5
o
FIGURA 1
{s, I
. . . . . . . . .
n
é convergente ou divergente.
SOLUÇÃO Essa série tem termos positivos e negativos, mas não é alternada. (0 primeiro
termo é positivo, os próximos três são negativos e os três seguintes são positivos. Os sinais
trocam irregularmente.) Podemos aplicar o Teste da Comparação à série de valores absolutos
L " I cos n I
2
n
n=J 1
Como I cos n I "" l para todo n, temos
lcos n I
n' ""

740 n CÁLCUlO Editora Thomson
Sabemos que 2: ljn 2 é convergente (o-série com p = 2) c. assim, 2] cos n ]/n 2 é convergente
pelo Teste da Comparação. Então a série dada I ( cos n )!n 2 é absolutamente con~
vergente e portanto convergente pelo Teorema 3.
O teste a seguir é muito útil para determinar se uma série dada é absolutamente convergente.
O Teste da Razão
(i) Se }i':: a~: 1 I ~ L < I, então a série'~' a, é absolutamente convergente
(e portanto convergente).
(ii) Se !i':: I a~:' I ~L> I ou }i~
a,
= :::o, então a série 2: a, é divergente.
n=l
I
(iii) Se !~o;! a~: 1 I l, o Teste da Razão não é conclusivo; isto é, nenhuma
conclusão pode ser tirada sobre a convergência ou divergência de E arr
Prova
(i) A idéia é comparar a série dada com uma série geométrica convergente. Como
L < 1, podemos escolher um número r tal que L < r < L Como
I . I a,,, I 1m1--1 L
~
,_,"'I an J
e
L< r
o quociente I a,-.-1/a, I será finalmente menor que r; isto é, existe um inteiro N tal que
ou, equivalentemente,
I
Gn+l 1
--~ < r sempre que n ~ N
a,
I
I an+ 1 I < I an] r sempre que n ~ N
Colocando n sucessivamente igual a N, N + I, N + 2, ... em (4), obtemos
e, em geral,
laN+d < jaNjr
jaN+21 < jaN,,jr< jaNjr'
jaN+31 < ja,mir < jaNjr 3
para todo k
I
Agora a série
2:: i avir'~ i avir+ !aNfr' + lavlr 3 +
k=l
é convergente porque é uma série geométrica com O < r < 1. Assim a desigualdade (5),
junto com o Teste da Comparação, mostra que a série

Jarnes Stewart CAPÍTULO 11 SEOUÊNCIAS INFINITAS E SÉRiES 741
2: i a" I = 2: I ONH I = I aN+l I + I aml + I aN+JI +
n=N+i
k~i
· · ·
é convergente também. Segue-se que a série z:=J J a 11 ] é convergente. (Lembre-se de que
um número finito de termos não afeta a convergência.) Portanto, L a" é absolutamente convergente.
(ii) Se ja"d/a"I->L > l ou la"+ 1/a"l->oo, então o quociente la"+ 1/a"l será finalmente
maior que 1; isto é, existe um inteiro N tal que
sempre que n ;::;::: N
Isso significa que I an"-l! > I a, I quando n ;::;::: N, e assim
Portanto, L a" diverge pelo Teste da Divergência.
NOTA o A parte (iii) do Teste da Razão diz que, se lirn"-+ la"' 1 /a"l = 1, o Teste da
Razão não dá nenhuma informação. Por exemplo, para a série convergente L l/ n 2 , temos
n'
(n + I)'
n' (
l 1 )' -,> l
I+­ n
quando n ~ c.c
enquanto para a série divergente I 1/ n, obtemos
n + I n 1
= --- = --···· ~ ----,> 1
l n + I I
1 +-
n
n
quando n __,. cc
Portanto, se limn--->"" I an+Jan] = 1, a série L a" pode convergir ou divergir. Nesse caso, o
Teste da Razão falha e devemos usar algum outro teste.
EXEMPlO 4 '~
"" n3
Teste a série 2: (-I)"-, para convergência absoluta.
n=l 3
c: Estimando somas
Temos usado vários métodos para
estimar a soma de uma série -o
método depende de qual teste era
usado para provar a convergência. O
que acontece com a série para a qual o
Teste da Razáo funciona Existem
duas possibilidades: se a série for uma
série alternada, como no Exemplo 4,
então é melhor usar os métodos da
Seção 11.5. Se os termos forem todos
positivos, utilize os métodos especiais
explicados no Exercício 34.
SOLUÇÃO Usamos o Teste da Razão com a, = ( -l)'n 3 /3":
3
l(n+l)
(n + 1) 3 3'
3n+l • n3
l( l)' l
=3 --n- =3 I+-; --"3< 1
Então, pelo Teste da Razão, a série dada é absolutamente convergente e portanto convergente.

,_,~
742 o CÁLCUlO Editora Thomson
~ n'l
Teste a convergência da série L -.
n=l n!
SOLUÇÃO Como os termos a"= n"/n! são positivos, não precisamos dos símbolos de
valor absoluto.
a,
(n + l)(n + !)" n'
(n + l)n! n"
( n+l)" ( 1)"
(n + !)"+' n'
(n + I)! n"
= --n- 1 + -;; ~ e quando n ---t oo
(Veja a Equação 3.8.6 no Volume L) Como e> 1, a série dada é divergente pelo Teste da
Razão.
NOTA o Embora o Teste da Razão funcione no Exemplo 5, um método mais simples é
usar o Teste para Divergência. Como
n" n·n·n· . n
a=-=
" n! 1 · 2 · 3 · ·n
""n
segue-se que a, não se aproxima de O quando n.........,.. oo. Portanto a série dada é divergente
pelo Teste para Divergência.
O teste a seguir é conveniente para ser aplicado quando as potências de n ocorrem. Sua
prova é similar à do Teste da Razão e fica para o Exercício 38.
(i) Se lim "Jia:i =L < 1, então a série 2: a, é absolutamente convergente
(e portanto convergente).
(ii) Se lim ·JI a, I =L > 1 ou lim "JI an j = cc, então a série 2: a, é divergente.
+0+ +0" f!=!
(iii) Se lim "Jl a, I = l, o Teste da Raiz não é conclusivo.
H+
n=l
Se lim, __ ,oo"J~ = 1, então a parte (iii) do Teste da Raiz não dá informação. A série
L a, pode convergir ou divergir. (Se L = 1 no Teste da Razão, não tente o Teste da Raiz,
porque L será novamente L)
SOLUÇÃO
"(2n+3)"
::: Teste a convergência da série 2: .
,~1 3n + 2
a =(2n+3)"
" 3n + 2
Então, a série dada converge pelo Teste da Raíz.
3
2 +- n 2
=-------

James Stewart CAPÍTULO 11 SEQÜÊNCiAS iNFINITAS E SEHiES 743
Rearranjos
A questão de uma série dada ser absolutamente convergente ou condicionalmente convergente
tem importância na questão sobre se somas infinitas se comportam ou não como
somas finitas.
Se rearranjarmos a ordem dos termos em uma soma finita, então é claro que o valor da
soma permanecerá inalterado. Mas esse não é sempre o caso para uma série infinita. Por um
rearranjo de uma série infinita 2.: an queremos dizer uma série obtida simplesmente mudando
a ordem dos termos. Por exemplo, um rearranjo de 2:: a" poderia começar como a seguir:
Segue-se que
se L a" for uma série absolutamente convergente com somas,
então qualquer rearranjo de I an tem a mesma somas.
Contudo, qualquer série condicionalmente convergente pode ser rearranjada para dar urna
soma diferente. Para ilustrar esse fato, vamos considerar a série harmônica alternada
1 - ~ + ~ -! + S - k + t - ~ + · · · =In 2
(Veja o Exercício 36 da Seção 11.5.) Se multiplicarmos essa série por L obteremos
i-~+~-t+···=iln2
- A soma desses zeros não afeta a
soma da série; cada termo na
seqüência de somas parciais é
repetido, mas o limite é o mesmo.
Inserindo zeros entre os termos dessa série, teremos
l o l o l o l l 2
0+ 0 + -,+ +,+ -,+···~ 0 ln
Agora adicionamos as séries nas Equações 6 e 7 usando o Teorema 11.2.8:
l +~-i+~+~-~+ ···=~1n2
Note que a série- em (8) contém os mesmos termos que em (6), mas rearranjados de modo
que um termo negativo ocorre depois de cada par de termos positivos. As somas dessas
séries, contudo, são diferentes. De fato, Riemann provou que
se L a 11 for uma série condicionalmente convergente e r for qualquer número
real, então existe um rearranjo de .L ar1 que tem uma soma igual a r.
Uma prova desse fato é ilustrada no Exercício 40.
1. O que você pode dizer sobre a série L a, em cada um dos " (-lO)"
seguintes casos
n=O n!
I .
(b) lim 1-- . a,+, I
~ 0,8
n---->X I a,
• \ a~+J I
(a) hm ;-- ~ 8
n--•"' 1 a, I
(c) !~I a~:' I ~ l
2-2'& _ Determine se a série é absolutamente convergente,
condicionalmente convergente ou divergente.
" 2
2. L _11,_
n=l 2'~
3. L--
7. ""(-1;"-,-
~ . ' n
n~! 5 'n
" l
9. L­
""' (2n)l
"' 2"
L(-!)""',
n~!
" ( -l)"
6. L-,
no~J n
a. L (-0"_,
n~--l
~ sen4n
12. "" ,.
n=l 4
n
n

744 CJ CÁLCULO Editora Thomson
" (-!)"
17. 2:--
11=2 ln n
_ 19
> i cos(n7i/3)
n~l n!
21. 2:
25.
n"
"' n 1 2"
14. 2: (-1)"'' -,-
n~-; n.
16. 2:
.
18. :z;!'!..
n~l n"
3 - cos n
,~r -2
" ( -1)"
20. 2:-
n=2 (In nY
• (-!)"
22. 2:-
n=2 n In n
24. 2:
,~"!
(-1)"
(arctg n)"
1 . 3
---+ l . 3 . 5 1 . 3. 5. 7
+ ...
31 5! 7!
1 · 3 • 5 · · · · • (2n - 1)
+(-1y-' +···
(2n - 1)'
2 2 . 6 _2_·_::_6_·_:.1::_0 2 . 6 . lO . 14
26. -+--+- + + ...
5 5·8 5·8·11 5·8·11·14
-\• 2 • 4 • 6 · .. · · (2n)
27. Lo
n---1 n!
2"n!
28· .~, (- 1 )" 5 · 8 ·11· ·· · · (3n + 2)
Teste da Razão. Como habitualmente, faça R 11 ser o resto
depois de n termos, isto é,
(a) Se {r,} for uma seqüência decrescente e rn.,. 1 < l,
mostre, pela soma de uma série geométrica, que
(b) Se {rn} for uma seqüência crescente, mostre que
35. (a) Calcule a soma parcial s 5 da série
Use o Exercício 34 para estimar o erro ao usar ss como
uma aproximação da soma da série.
(b) Calcule um valor de n de maneira que s, aproxime a soma
com precisão 0,00005. Use esse valor de n para aproximar
a soma da série.
36. Utilize a soma dos primeiros dez termos para aproximar a soma
da série :z::=l n/2n. Use o Exercício 34 para estimar o erro.
37. Prove que, se 2.: a, for absolutamente convergente, então
ti~ Os termos de uma série são definidos recursivamente pelas
equações
a,+l =
Determine se 2: a, converge ot.i diverge.
5n 1
4 n + 3 Gn
30. Uma série 2: a" é definida pelas equações
2 + cos n
a,+ I= ~ a,
Determine se L an converge ou diverge.
Iáí!t Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é
conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)
• 1 "
(a) .~, (b) .~, ;:,
32. Para quais inteiros positivos k a série
é convergente
~ (n!)'
·-· (kn)!
(a) Mostre que :z::~ox"/n1 converge para todo x.
(b) Deduza que lim,_~oçx"/n! =O para todo x.
34. Seja Z a, uma série com termos positivos e seja r,= an+ 1/a,.
Suponha que limn__."' r, =L< 1, assim L an converge pelo
38. Prove o Teste da Raiz. [Dica para a parte (i):
39.
Tome qualquer número r tal que L < r < 1 e use
o fato de que existe um inteiro N tal que "Jra:l < r
quando n ~ N.]
Dada uma série qualquer 2.: a, definimos uma série ::Z a: cujos
termos são todos termos positivos de L an e uma série 2.: a;;
cujos termos são todos termos negativos de 2.: an. Para ser
específico, seja
a;=
Note que, se ar. > O, então a;; = an e a;; = O, ao passo que, se
a, < O, então a;; = a, e a: = O.
(a) Se 2: a, for absolutamente convergente, mostre que ambas
as séries 2: a: e 2.: a;; são convergentes.
(b) Se L a, for condicionalmente convergente, mostre que
ambas as séries 2: a: e 2: a;; são divergentes.
40. Prove que, se 2: a" for uma série condicionalmente
convergente e r for qualquer número real, então existe um
rearranjo de 2.: a, cuja soma é r. [Dicas: Use a notação
do Exercício 39. Tome um número apenas suficiente
de termos positivos a: de modo que sua soma seja
maior que r. Então adicione um número apenas
suficiente de termos negativos a;;- de tal modo que
a soma cumulativa seja menor que r. Continue dessa
maneira e use o Teorema 11.2.6.]

James Stewart CAPÍTULO 11 SEOUENCIAS INFINIT.t,S E SÉRIES 745
Estratégia para Testar as Séries
Agora temos várias maneiras de testar a convergência ou divergência de uma série; o
problema é decidir qual teste usar em qual série. Nesse aspecto testar séries é similar a
integrar funções. De novo, não há regras certeiras e rápidas para qual teste aplicar a uma
série dada, mas você pode achar os conselhos a seguir de alguma utilidade.
Não é sábio aplicar uma lista de testes em uma ordem específica até que um deles
finalmente funcione. Isso seria uma perda de tempo e esforço. Em vez disso, como na
integração, a principal estratégia é classificar a série de acordo com suafomw.
t Se a série for da forma I l/nP, ela é uma p-série, que sabemos ser convergente
se p > 1 e divergente se p .::o:; 1.
2. Se a série tiver a forma I artl-J ou I ar'\ ela é uma série geométrica, que
converge se I r I < I e diverge se I r I "" I. Algumas manipulações algébricas
podem ser necessárias para deixar a série dessa forma.
3. Se a série tiver uma forma similar a uma p-série ou a uma série geométrica,
então um dos testes de comparação deve ser considerado. Em particular, se a"
for uma função racional ou uma função algébrica de n (envolvendo raízes de
polinômios), a série deve ser comparada com uma p-série. Note que a maioria
das séries nos Exercícios 11.4 tem essa forma. (O valor de p deve ser escolhido
como na Seção 11.4, deixando apenas as potências n mais altas no numerador e
denominador.) Os testes de comparação se aplicam apenas a séries com termos
positivos, mas, se I a, tiver alguns termos negativos, então poderemos aplicar o
Teste da Comparação na I I an j e testar a convergência absoluta.
4. Se você vir que limn-~•"" an -::;f. O, o Teste para Divergência deve ser usado.
5. Se a série for da forma I ( -l)"- 1 b, ou I ( -l)"b", então o Teste da Série
Alternada é uma possibilidade óbvia.
6. Séries que envolvem fatoriais ou outros produtos (incluindo uma constante
elevada à n-ésima potência) são com freqüência testadas convenientemente
usando-se o Teste da Razão. Tenha em mente que I a,+ J an 1---;. 1 quando n ---;. oo
para todas as p~séries, e portanto todas as funções racionais ou algébricas de n.
Então, o Teste da Razão não deve ser usado para tais séries.
7. Se a" for da forma (b,)", o Teste da Raiz pode ser útil.
8. Se a, = f(n), onde f," f(x) dx é facilmente avaliada, então o Teste da Integral é
eficaz (satisfeitas as hipóteses para este teste).
Nos próximos exemplos não trabalhamos todos os detalhes, mas simplesmente
indicamos quais testes devem ser usados.
" n - l
EJ!E MP l!l ! L ._:::_____.:._
n=J 2n + 1
Como a"---;. t :;i:. O quando n ---;. oo, devemos usar o Teste para Divergência.
Como a, é uma função algébrica de n, comparamos a série dada com uma p-série.

l
746 CJ CÁLCUlO Editora Thomson
A série de comparação é I b,, onde
'
EXE~ilPUJ 3 2: ne-n'
ti~]
_ J;3 _ n 3 i2 __ l_
b"- 3n 3 - 3n 3 - 3n 3/ 2
Como a integral J~ xe_-": cL-.: é facilmente avaliada, usamos o Teste da IntegraL O Teste da
Razão também funciona.
Como a série é alternada, usamos o Teste da Série Alternada.
Como a série envolve k!, usamos o Teste da Razão.
" l
EXEMPUJ 6 L --­
n=l 2 + 3"
Como a série está intimamente relacionada à série geométrica L 1/3", usamos o Teste da
Comparação.
Exercícíos
1-33 :J Teste a convergência ou divergência das séries.
1. i n'- I
n=l + n
ro
( -})""'
5. 2:~
n=1 -
" I
7. 2:-.-
k=2 nJln n
" (-I)""'
11. I--
w~2 nlnn
~ 3"n 2
13. L.
n=1 n!
15 L n' 16.
• ,~ 0 2 • 5 • 8 · · · · • (3n + 2)
11. I ( -n·2 ' 1 "
n=J
2.
4. L.(-!)"
n=l
"' 1 n-l
" ( 3 )"
6 ' .~, I +"8n
"' 2 2 8. k'
L.
H (k + 2)!
10. L n 1 e_")
n--~J
+ n
12. I 1-1)" "
n=l n 2 + 25
14. I sen n
n=l
" (-!)"''
18. I-~--
n=l ..,jn - 1
19. "~' (-I)" 7n
"'
(-2Y"
21. 2:-,-
n=l n
23. 2: tg(lln)
n=l
k=l
3l. i sen(_lin)
n=l /n
~ ( n \•i
35. L. --)
n=l n + 1
37. 2:(12-J)"
n=!
~ cos(n/2)
24. L. -co, -':..é.-;-'­
J1=! n + 4n
"' n 2 + 1
26. 2:-.,-
W"l )
•.o e !in
28. 2:-,
,=! n
30. i (-!)i jj
j=! J + 5
" (2n)"
32. 2: -,,-
n=l n
34. "' L. I
""'In+ n
" l
30. ~2 (In n)'""
38. L (15. - I)
n=l

o
James Stewart CAPiTUlO 11 SEOÜÉNCiAS !NF!NITAS E SÉRiES 747
Séries de Potências
Uma série de potências é uma série da forma
2: C,X" = Co + C1X + C2X 2 + c 3x 3 +
n=O
SÉRIE TRIGONOMÉTRICA
Uma série de potênc"ia é aque\a na
qual cada termo é uma função de
potência. Uma série trigonométrica
2: (a, cos nx + b, sen nx)
n~O
é uma série cujos termos são funções
trigonométricas.
onde x é urna variável e c,/s são constantes chamadas coeficientes da série. Para cada x H~
xado, a série (1) é uma série de constantes que podemos testar para convergência ou
divergência. Uma série de potências pode convergir para alguns valores de x c divergir para
outros valores de x. A soma da série é uma função
f(x) =Co + C1X + C2X 2 + ·. • + CnXn + • • •
cujo domínio é o conjunto de todos os x para os quais a série converge. Note que f se
assemelha a um polinômio. A única diferença é que f tem infinitos termos.
Por exemplo, se tomarmos Cn = 1 para todo n, a série de potências se torna a série
geométrica
2;r ~ + x + x' + · · · + x" + · · ·
n=O
que converge quando -I < x < I e diverge quando I x I "' I (veja a Equação 11.2.5).
Em geral, a série da forma
2: c,(x - a)" ~ c 0 + c 1 (x - a) + c 2 (x - a f +
n=O
é denominada série de potências em (x-a) ou série de potências centrada em a ou série
de potências ao redor de a. Note que, ao escrever o termo correspondente a n = O nas
Equações I e 2, adotamos a convenção de que (x- a) 0 ~ I, mesmo quando x ~a. Note
também que, quando x = a todos os termos são O para n ~ J, e assim a série de potências
(2) sempre converge quando x ~ a.
EXEMPLO 1 o Para quais valores de x a série 2: nlxn é convergente
n=O
SOLUÇÃO Usamos o Teste da Razão. Se fizermos an, como habitualmente, denotar o
n-ésimo termo da série, então an = n!xn_ Se x # O, temos
l
a,+, I I (n + l)!x"+' I I I
Jim -- ~ lim 'I , ~ lim (n + I) x, ~ oo
n--.-..oo an n-"" I n!x ~ n-x
Pelo Teste da Razão, a série diverge quando x # O. Então, a série dada converge apenas
quando x ~O.
" (x- 3)"
EXEMPLO 2 c Para quais valores de x a série 2: converge
n=l n
SOLUÇÃO Seja a,~ (x - 3)"/n. Então
1
, a,+, [ ~ [ (x - 3}"'
I
a,! 1
~ -
n+l
n i
(x - 3)" I
1
-1 x - 31 -; I x - 31 quando n -; 00
l
1 +- n

748 CÁLCULO Editora Thomson
Pelo Teste da Razão, a série dada é absolutamente convergente, e portanto convergente.
quando I x - 31 < I e é divergente quando I x - 31 > I. Agora
lx-31

James Stewart CAPÍTUlO 11 SEOÜE.i'-iCI.A.S iNFiNiTAS E SÉRIES CJ 749
1 ____ c_,'
!
s
A Figura l mostra os gráficos dessas somas parciaís, que são polinômios. Todas são apro~
xirnações para a função 1 0 , mas note que as aproximações se tornam melhores quando
mais termos são incluídos. A Figura 2 mostra um gráfico mais completo da função de
BesseL
Para as séries de potências que temos visto até agora, o conjunto de valores de x para
os quais a série é convergente tem sempre sido um intervalo (um intervalo finito para a
série geométrica e a série no Exemplo 2, o intervalo infinito (-~,:o) no Exemplo 3 e um
intervalo colapsado [O, O] ~ {O} no Exemplo 1]. O teorema a seguir, provado no Apêndice
F, diz que isso, em geral, é verdadeiro.
F iCiURA 1
Sorna~ parciais da função de Bessel 1 0
}' = fr,(x)
f1l Teorema Para uma dada série de potências 2.: c"(x ~ a)" existem apenas três
possibilidades:
""~o
(i) A série converge apenas quando x ~ a.
(ii) A série converge para todo x.
(iii) Existe um número positivo R tal que a série converge se I x -
·"·
"
a I < R e
FIGURA 2
10 !O
+--'~~ ---t---~---4>-
0 X
O número R no caso (i i i) é chamado raio de convergência da série de potências. Por
convenção, o raio de convergência é R = O no caso (i) e R = oc no caso (ii). O intervalo
de convergência de uma série de potências é aquele que consiste em todos os valores de
x para os quais a série converge. No caso (i) o intervalo consiste em apenas um único ponto
a. No caso (ii) o intervalo é ( ~c.c·, oc). No caso (iii) note que a desigualdade j x - a j < R
pode ser reescrita como a - R < x < a + R. Quando x é um extremo do intervalo, isto é,
x = a ± R, qualquer coisa pode acontecer~ a série pode convergir em um ou ambos os
extremos ou divergir em ambos os extremos. Então, no caso (iii) existem quatro possibilidades
para o intervalo de convergência:
(a- R, a+ R) (a- R, a+ R] [a- R, a +R) [a- R, a+ R]
A situação é ilustrada na Figura 3.
convergência para !x
a ! < R
FIGURA 3
a-R a a+R
--;:::===~divergência para lx -a!> R
Resumimos aqui o raio e o intervalo de convergência para cada um dos exemplos já
considerados nesta seção.
Série Raio de convcrgêncla Intervalo de convergência
Série geométrica x" R=l ( ~ 1, I)
Exemplo 1 2: n!x' {O}
Exempio2 R=l 4)

750 CJ CÁLCULO Editora Thomson
Em geral, o Teste da Razão (ou algumas vezes o Teste da Raiz) deve ser usado para
detenninar o raio de convergência R. Os Testes da Razão e da Raiz sempre falham quando
x é um extremo do intervalo de convergência; assim, os extremos devem ser checados com
algum outro teste.
EXEMPlO 4 u Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
SOLUÇÃO Seja a, = (-3)"x"/ rn+J. Então
a,,, I= I
I
(-3)"+'x"" . Jn+ll =I
an . ~·11 I E ' 2 ( - 3)" X " .'I
=3
1 + (lln) lxl-> 31xl
1 + (2/n)
quando n ~ oc
Pelo Teste da Razão, a série dada converge se 3j x I < 1 e diverge se 31 x I > 1.
Então, ela converge se I x I < ~ e diverge se I x I > ~ . Isso significa que o raio de
convergência é R = ~.
Sabemos que a série converge no intervalo (- ~, ~ ), mas devemos agora testar a
convergência nos extremos desse intervalo. Se x = -L a série toma-se
2: 3
,~o
+ ( -3)"(-')"
rn+J
que diverge. (Use o Teste da Integral ou simplesmente observe que ela é uma p-série
com p = ~ < L) Se x = L a série é
que converge pelo Teste da Série Alternada. Portanto a série de potências dada converge
I I . .
d 1 d " · "( 1 ']
quan o -3 < x ::-;::;: 3; ass1m, o mterva o e convergenc1a e -3, 3 .
EXEMPLO 5 :=:;
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
~ n(x + 2)"
n=O 3n+J
SOLUÇÃO Se a,= n(x + 2)"/3"+ 1 , então
1
a,+, I =I (n + 1)(x + 2)"'
I
3"+ 1 I
an l 3"-t- 2 n(x + 2)" I
=(l+~) lx;21 ___.
I
quando n ~ oo
Usando o Teste da Razão vemos que a série converge se lx + 21/3 < ! e diverge se
lx + 21/3 > 1. Asslm ela converge se lx + 21 < 3 e diverge se lx + 21 > 3. Então o
raio de convergência é R = 3.

James Stewart CAPÍTUlO 11 SEQÜÊNCIAS INFINITAS E SÉRIES 751
A desigualdade J x + 21 < 3 pode ser escrita como -5 < x < l: assim, testamos a
série nos extremos -5 e 1. Quando x = -5, a série é
que diverge pelo Teste para Divergência [(- l )"n não converge para 0]. Quando x ~ l, a
série é
que também diverge pelo Teste para Divergência. Então a série converge apenas quando
-5 < x < 1, assim, o intervalo de convergência é (-5, 1).
Exercícios
1. O que é uma série de potências
2. (a) O que é o raio de convergêncía de uma série de potências
Como você o encontra
(b) O que é o intervalo de convergência de uma série de
potências Como você o encontra
3-28 c; Encontre o raio de convergência e o intervalo de
convergência da série.
. x" " (-1)"x"
L:-
4. L:-.-
,~, Fn n=on+1
" (-1)"
5. L:
n'
n=l
" x"
L:-
n=O n!
·I x"
6. 2: [,1 x"
n=l
8. ,2: n"x"
fl=l
. x"
9. L (-l)"n4"x" !11m: L:-
n·=l ,=J n3"
"' ( -2/x/'
. x"
n=l
~~~~ 5"
11. L;--,y-- 12.
vn
" :i' L . " "'
X
13. L;(-1)"-,- 14. (-ly-
,=2 4 lnn ,~o (2n)!
L fn (x- 1)" 16. L n 3 (x - 5)"
"""'
f (-1)" (x +"2)"
n=O
" ( 2)"
18. L -c (x + 3)"
n=l n2 n=l vn
" (3x- 2)"
19. L: 20. L:
n=l n=J n3"
,,
" n(x- 4)"
21. L -"; (x - a)", b>O 22. L:
n=l b-·
n 3 n=l + 1
L n!(2x- !)"
n=i
" (4x + 1)"
25. L: ~~,c-'­
n
" (2x + 3)"
26. L: (-1!" =~'-
,=2 nlnn
o "
27. L ( 1
x )"
n=2 11 n
2 · 4 · 6 · · · · · (2n)
28. L x"
,., 1 · 3 · 5 · · · · · (2n - l)
. . . . .
'lid Se L;=o c,4" for convergente, as séries que se seguem são
convergentes
(a) L c,( -2)"
11=0 n=O
30. Suponha que L~=o c,x" converge quando x = -4 e diverge
quando x = 6. O que pode ser dito sobre a convergência ou
divergência das séries a seguir
(c) L c,( -3)"
n=O
(b) L c,8"
n=O
(d) L (-1)"c,9"
31. Se k for um inteiro positivo, encontre o raio de convergência da
série
.:.--x
"" (n!)' "
,~o (kn)!
~~ 32. Plote na mesma tela as primeiras somas parciais s,(x) da
série :z:=ox",junto com a função-soma f(x) = 1/(1- x). Em
que intervalo essas somas parciais parecem estar convergindo
para f(x)
i!=O

752 CÁlCUlO Editora Thomson
33. A função J 1 definida por 35. Uma função f é definida por
~ (-l)''x2"7'
l;(x) = ,~J n!(n + 1)122"·1
é denominada função de Bessel de ordem 1.
(a) Encontre seu domínio.
(b) Plote as primeiras somas parciais na mesma tela.
(c) Se seu CAS tiver funções de Bessel programadas, plote J1
na mesma tela das somas parciais na parte (b) e observe
como as somas parciais aproximam 1 1•
34. A função A definida por
X X 6 x 9
Aix) ~ I + 2 · 3 + 2 · 3 · 5 · 6 + -c2_·_3_·..c5:::..· -6-· -8-· -9 + ...
é chamada função de Aif)', em homenagem ao matemático e
astrônomo inglês sir George Airy (180!-1892).
(a) Encontre o domínio da função de Airy.
(b) Plote as primeiras somas parciais s,(x) na mesma tela.
(c) Se seu CAS tiver funções de Airy programadas, plote A na
mesma tela que as somas parciais na parte (b) e observe
como as somas parciais aproximam A.
J(x) = 1· + 2x + x 2 + 2x~ + x 4 + · ·
isto é, seus coeficientes são c 2 , = l e c 2 ,+ 1 = 2 para todo
n ~ O. Ache o intervalo de convergência da série e encontre
uma fórmula explícita para f(x).
36. Se f(x) = L~~o C 11
X", onde C 11 ~ 4 = c,, para todo n ~ O, encontre
o intervalo de convergência da série e uma fónnula para j(x).
37. Mostre que, se lim,_,-_c"JZ,l =c onde c 'rf O, então o raio de
convergência da série de potências L C 11 X" é R= l/c.
38. Suponha que a série de potências k cn(x ~ a)' 1 satisfaz e/i "i"" O
para todo n. Mostre que, se lim"...,x !c,)C 11 _,.d existe, então ele é
igual ao raio de convergência da série de potências.
39. Suponha que a série L c,x" tenha raio de convergência 2 e que
a séríe L d,,x" tenha raio de convergência 3. O que você pode
dizer sobre o raio de convergência da série L (c" + d,.)x"
Explique.
40. Suponha que o raio de convergência da série de potência
L c,x!i seja K Qual é o raio da série de potência 2: c,x 2 ''
Representações de Funções como Séries de Potências
L Uma ilustraçao geométrica da
Equação 1 é mostrada na Figura 1.
Como a soma de uma série é o limite
da seqüênc1a de somas parciais. temos
onoe
I .
~-~~ = I 1m s,(x)
I - .1· " .,
1. (\·I =-- + .r+ X:> + · · · +X''
c a n·es1ma sorna parcial. Note que,
quando n aumenta. s,(x) se torna
rnelhor aprox:maçao de f(x) para
! < .. \

James Stewart CAPÍTUlO 11 SEOUENCiAS if~Fif-nTAS [-;SE f-i![", 753
Como essa é uma série geométrica, ela converge quando I ~x 2 1 < 1, isto é, x ~ I. ou
\ x l < 1. Portanto o intervalo de convergência é ( -1, 1). (É claro que poderíamo;-, tc-!
determinado o raio de convergência aplicando o Teste da Razão, mas todo aquele
trabalho é desnecessário aqui.)
EXEMPlO 2 - Encontre uma representação em série de potências para 1/(x + 2).
SOLUÇÃO Para colocar essa função na forma do lado esquerdo da Equação I, primeiro
fatoramos um 2 do denominador
--2: I " ( --x )"
2 n=O 2
A série converge quando I -x/21 O, então a função f definida por
a)" tiver um raio de convergência
f(x) ~ co + c,(x- a) + c:(x- a)' + 2: c,Jx - a)"
11=0
é diferenciável (e portanto contínua) no intervalo (a -
R, a + R) e
(i) j'(x) ~c, + 2c,(x - a) + 3c,(x - a) 2 + · · · ~ 2: nc,(x - a)"

754 CÁLCULO Editora Thomson
--; Na parte (ii}, J (\, d,- = c:ox +- C
é escrito como cdx - a) + C, onde
C = C + ac 0 ; assim, todos os termos
da séne têm a mesma forma.
(ii) fJ(x) dx ~ C+ c 0 (x -a) +c,
(x - a)2
2
+c,
(x
-a)'
3
+ ...
Os raios de convergência da série de potências nas Equações (i) e (ii) são ambos R.
(íii) -d[" L c,(x - a)" ] = L "d- [c,(x- a)"]
cLr n~-ü n=O Jx
NOTA 1 D
As Equações (i) e (ii) no Teorema 2 podem ser reescritas na forma
(iv) J [,~, c,Jx -
a)'}x = ,~o f cb - a)" dx
Sabemos que, para somas finitas, a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e que a
integral de uma soma é a soma das integrais. As Equações (iii) e (iv) afirmam que o mesmo
é verdadeiro para somas infinitas, desde que estejamos lidando com séries de potência.
(Para outros tipos de séries de funções a situação não é tão simples; veja o Exercício 36.)
NOTA 2 c Embora o Teorema 2 diga que o raio de convergência permanece o mesmo
quando uma série de potências é diferenciada ou integrada, isso não significa que o intervalo
de convergência permanece o mesmo. Pode acontecer de a série original convergir em
um extremo enquanto a série diferenciada diverge nesse ponto (veja o Exercício 37).
NOTA 3 o A idéia de diferenciação de uma série de potências termo a termo é a base
para um método poderoso para resolver as equações diferenciais. Discutiremos esse
método no Capítulo 17.
EXEMPLO 4 o No Exemplo 3 da Seção ll.8, vimos que a função de Bessel
"' (-l)nx2n
Jo(x) = ~o 22'(n!}'
é definida para todo x. Então, pelo Teorema 2, lo é diferenciável para todo x, e sua
derivada é encontrada pela diferenciação termo a termo, como a seguir:
" d (-l)'x 2 "
Jó(x) = ,~o dx 22"(n.!)'
" (-1)"2nx 2 "- 1
L
n=l
2 2 '(n!)'
EXEMPLO 5 c Expresse 1/(1 - x) 2 como uma série de potências pela diferenciação da
Equação 1. Qual é o raio de convergência
SOLUÇÃO Diferenciando cada lado da equação
obtemos
l ' 3
--- = 1 + X + x- + X +
1-x
(l - x) 2 I + 2x + 3x 2 +
Podemos trocar n por n + l e escrever a resposta como
1
..,.---=---=, = L (n + í)x"
(1 - x) ,~o
l

James Stewart CAPÍTUlO 11 SEOÜÊNC!AS INFINITAS E SÉRIES
755
De acordo com o Teorema 2, o raio de convergência da série diferenciada é o mesmo
que o raio de convergência da série original, a saber, R = 1.
EXEMPLO 6 :.:_; Encontre uma representação em série de potências para ln(l - x) e seu
raio de convergência.
SOLUÇÃO Notamos que, exceto por um fator de -1, a derivada dessa função é 1/(l - x).
Assim integramos ambos os lados da Equação 1:
-In(!- x) ~ J- 1 -dx ~ Jo + x + x' + ·· ·)dx
I -X
J! x3 x x"-.-1 "' x"
~ x + - + - + · , + C~ 2: --+ C ~ 2:- + C !x! < l
2 .3 n=on + 1 n=ln
Para determinar o valor de C, colocamos x = O nessa equação e obtemos
-ln(l - O) ~ C Então, C~ O e
ln(l - x) ~
x2 x3
-x-----
2 3
-~~
n=l n
!x! < 1
O raio de convergência é o mesmo que o da série original: R = 1.
1
Note o que acontece quando colocamos x = 2 no resultado do Exemplo 6. Como
In } = -ln 2, vemos que
I 1 1 I
ln2~-+-+-+-+
2 8 24 64
u A série de potências para tg-'x obtida
no Exemplo 7 é chamada série de
Gregory, em homenagem ao
matemático escocês James Gregory
(1638-1675), que antecipou algumas
das descobertas de Newton.
Mostramos que a série de Gregory é
válida quando ~ I < x < I, mas
acontece (embora nao seja fácil provar)
que ela também é válida quando
x = ±1. Note que quando x =I
a série torna-se
2::.=1-_!_+l__l_+.
4 3 5 7
Esse belo resultado é conhecido como
a fórmula de Leibniz para r..
EXEMPLO 7 lJ Encontre uma representação em série de potências parafi.x) = tg~ 1 x.
SOLUÇÃO Observamos que f'(x) ~ 1/(1 + x') e encontramos a série requerida pela
integração da série de potências para 1/(1 + x 2 ) encontrada no Exemplo L
to--Jx = J 1
o 1 +
dx ~ J (I - x 2 + x'- x 6 + · · ·)dx
x 3 x 5 x
~C+x--+---+
3 5 7
Para encontrar C, colocamos x ~ O e obtemos C = tg-' O ~ O. Portanto
Como o raio de convergência da série para 1/(l
série para tg- 1 x é também L
+ x 2 ) é 1 , o raio de convergência dessa
EXEMPlO 8 '2
(a) Avalie f [1/(l + x 7 )]dx como uma série de potências.
(b) Use a parte (a) para aproximar Jg·' [l/(l + x ')]dx com precisão de lO

756 [; CÁLCULO Editora Thomson
- Esse exemplo demonstra uma
maneira na qual as representações em
séries de potência são úte1s. Integrar
lí(i + x 7 ) manualmente é
incrivelmente difícil. Sisternas
algébricos computacionais devolvem
formas diferentes da resposta, mas
eies sáo todos extremamente
complicados. (Se você tiver um C~S,
experimente-o.) Na realidade é muito
mais fácil lidar com a resposta em
série inf1'níta obtida no Exemplo 8(a)
do que com a resposta finita dada por
um CAS
SOLUÇÃO
(a) A primeira etapa é expressar o integrando. l/(1 + x 7 )~ como uma soma de urna série
de potências. Como no Exemplo 1, começamos com a Equação 1 e trocamos x por -x
Agora integramos termo a termo:
2: (~1)'lx7" = 1 - x7 + xl4-
w~D
. I f "" = x7n+l
j--, dx = L; (-l)"x 7 ''dx =C+ L ( -1)"-::---
. 1 + X n=O n=O 7n + 1
xs x !5 xn
=C+x--+---- +
8 15 22
Essa série converge para I - x 7 1 < l, isto é, para I x I < 1.
(b) Aplicando o Teorema da Avaliação não importa qual antiderivada utilizamos; assim
vamos usar a antiderivada da parte (a) com C = 0:
Essa série infinita é o valor exato da integral definida, mas, como é uma série alternada,
podemos aproximar a soma usando o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas. Se
pararmos de adicionar os termos com n = 3, o erro é menor que o termo com n = 4:
Assim temos
I
--'-cc = 6,4 X 10~ 11
29 ~
lo 0-5 ---ccdx =---- 1 ] + 1 I
--;cc _2_2_:.·
+ 2 8 . 2 8 15 . 2 15 ~ = 0.49951374
Exercícios
1. Se o raio de convergência da série de potências L;=D cnx" for 10,
qual é o raio de convergência da série L:=t ncnxn-J Por quê
3-10 c Encontre uma representação em série de potências para a
função e determine o intervalo de convergência.
2. Suponha que você saiba que a série L;=o bnxn converge para
I x I < 2. O que você pode dizer sobre a série a seguir Por quê
~ b
L;--" -x·'~'
n=on+l
l
3. f(x) =--
1 +X
l
5. f(x) = l - x'
3
4. f(x) =
' l
f(x) = l + 9x2
--~-2.
---·-~ -

T
James Stewart CAPÍTUlO 11 SEOÜÉNC!AS iNFINITAS E StRfES L.J 757
l
f(x)~-~
X- 5
X
9. flx) ~
. . 9 +
., . X
8. j(x) ~--
4x + l
H-12 c:, Expresse a função como a soma de uma série de potências
usando primeiro frações parciais. Encontre o intervalo de
convergência.
'~~~-
12. f(x)
7x-
3x 2 + 2x ~
(a) Use diferenciação para achar a representação em série de
potências para
j(x) ~ (1 + x)'
Qual é o raio de convergência
(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para
l
j(x) ~ (l + x)'
(c) Use item (b) para achar uma série de potências para
x2
f(x) ~ (l + x)'
14. (a) Ache uma representação em série de potências para
j(x) = ln (l + x). Qual é o raio de convergência
(b) Use item (a) para encontrar uma série de potências para
j(x) ~ x ln (1 + x).
(c) Use item (a) para achar uma série de potências para
j(x) ~ ln (x 2 + l).
15-Ul == Encontre uma representação em série de potências para a
função e determine o raio de convergência.
f(x) ~ ln(5 - x)
17. f(x) ~ (x _
x·
16 f(x) - -"--~
· · - (l - 2x) 2
18. f(x) ~ arctg(x/3)
li 19-22 c: Encontre uma representação em série de potências para f,
plote f e várias somas parciais s,(x) na mesma tela. O que acontece
quando n aumenta
19. f(x) ~ ln(3 + x)
f(x) ~ ln(: ::)
20. f(x) ~ ,---::cc
+ 25
22. f(x) ~ tg.'(2x)
23-26 o Avalie a integral indefinida como uma série de potências.
Qual é o raio de convergência
!Ul f
r In(! - I)
dt
24.
l- . t
25.
f x- dx 26. f tg-'(x 2 )dx
di
27-30 Use uma série de potências para aproximar a integral
definida com precisão de seis casas decimais.
27.
t' r
dx 28. 1n(l
l ~
+ x 4 )dx
0
29. f'' ' i(x 4 )dx
fo.z dx
0
X" tg 30.
o I +
31. Use o resultado do Exemplo 6 para calcular In l,l com
precisão de cinco casas decimais.
32. Mostre que a função
" (-l)"x'"
f(x) ~,~o (2n)!
é uma solução da equação diferencial
f"(x) + f(x) ~ O
33. (a) Mostre que 1 0 (a função de Bessel de ordem O dada no
Exemplo 4) satisfaz a equação diferencial
x'J~(x) + xJ6(x) + x 2 1 0 (x) ~O
(b) Avalie J~ lo(x) dx com precisão de três casas decimais.
34. A função de Bessel de ordem 1 é definida por
"" (-1Yx2n+l
J,(x) ~ 2:_ '( + 1)'22""'
n~o n. n .
(a) Mostre que J1 satisfaz a equação diferencial
x'J;'(x) + xl((x) + (x 2 - l)J 1 (x) ~O
(b) Mostre que ló(x) ~ - J,(x).
15:} (a) Mostre que a função
. ~ x"
/(x) ~ .:.. -
n~O n1
é uma solução da equação diferencial
(b) Mostre que f(x) =ex.
f'(x) ~ f(x)
36. Seja fn(x) = (sen nx)/n 2 • Mostre que a série 'if,(x) converge
para todos os valores de x, mas que a série de derivadas Lf~(x)
diverge quando x = 2wrr, n um inteiro. Para quais valores de x
a série LJ,;\x) converge
M!i Seja
f(x) ~ L x"
Encontre os intervalos de convergência para f, f' e f".
38. (a) Começando com a série geométrica L::'=ox", encontre a
soma da série
n=l
fxf < l

~--
758 o CÁlCUlO Editora Thomson
(b) Encontre a soma de cada uma das séries a seguir.
(i)2.;nx",
n=l
JxJ

James Stewart CAPÍTULO 11 SEOÜÊNC!..C..S INFINITAS E SÉRIES 759
e a substituição de x = a na Equação 4 resulta em
f"'( a) ~ 2 · 3cJ ~ 3 !c 3
Agora você pode ver o padrão. Se continuarmos a diferenciar e substituir x = a, obteremos
f"'( a) = 2 · 3 · 4 · · · · · nc" = n'c"
Resolvendo essa equação para o n-ésimo coeficiente c n' obteremos
f"''( a)
Cn =--,-
11.
Essa fórmula pennanecerá válida mesmo para n = O se adotarmos as convenções de que
O! = 1 e fiOJ =f. Então provamos o teorema a seguir.
L§j Teorema
isto é, se
~
Se f tiver uma representação (expansão) em série de potências em a,
I
f(x) ~ L c,(x - a)"
n=O
então seus coeficientes são dados pela fórmula
f""(a)
c=---
" I n.
lx-ai

760 o CÁlCULO Editora Thomson
EXEMPlO
convergência.
Encontre a série de Madaurin da função f(x) =e-' e seu raio de
SOLUÇÃO Se f(x) ~e\ então j'" 1 (x) ~e\ assim /'"'(O)~ e 0 ~ l para todo n. Portanto
a série de Taylor para f em O (isto é, a série de Maclaurin) é
~ J'''(O) ' x" x x' x
2: 3
--x" ~ 2:- ~ 1 +-+-+- + ",
n=O n! n=O n! 1! 2! 31
Para encontrar o raío de convergência fazemos a,= x'in!. Então
~~~~I x"'' ·.':'_I ~~X __., 0< 1
i a, (n + 1)' x' n +
assim, pelo Teste da Razão, a série converge para todo x, e o raio de convergência é
R=cx:;.
A conclusão que podemos tirar do Teorema 5 e do Exemplo 1 é que se ex tiver uma
expansão em série de potências em O, logo
"' x"
e'~ 2:­
n=O n!
Então, como detenninar se ex tem uma representação em série de potências
Vamos investigar uma questão maís geral: sob quais circunstâncias uma função é igual
à soma de sua série de Taylor Em outras palavras, se f tiver derivadas de todas as ordens,
quando é verdade que
~ /'"'(a)
J(x) ~ L - (x - a)"
n=O n!
Corno com qualquer série convergente, isso significa que f(x) é o limite da seqüência das
somas parciais. No caso da série de Taylor, as somas parciais são
" J"l(a)
T,(x) ~ 2: -,,-(x-a);
i=O l,
y
~y=e
, ~l\y=I;(x)
\Yy = I;(x) ,
\ y=T;(x)
~/ (0,1)\\y= T,(x)

James Stewart CAPÍTUlO 11 SEQÜÊNCIAS INFINITAS E SÉRiES 761
então R,(x) é denominado resto da série de Taylor. Se pudermos de alguma maneira
mostrar que lim"-•" R,(x) ~O, segue que
lim T,(x) ~ lim [J(x) - R,(x)] ~ f(x) -
!!-">X f!•••>'L 11--->"'>
Aqui, portanto, provamos o seguinte:
lim R,(x) ~ f(x)
Toorema Se f(x) ~ T,(x) + R,(x), onde T, é o polinômio de Taylor
de f em a e
para I x -
lx-aJ

762 o CÁLCULO Editora Thomson
~ Como alternativas para a
desigualdade de Taylor, temos as
seguintes fórmulas para o termo resto
Se Jl"+ 1! se for contínua sobre um
intervalo f ex E f, então
R,(x) =_i__, f: (x ~ t)"P"~ 1 '(t) dr
n.
Este é chamado forma integral do
termo resto. Outra fórmula, chamada
forma de Lagrange para o resto,
estabelece que existe um número
:.: entre x e a tal que
R,(x)= (x~a)"' 1
(n + 1)!
Essa versão é uma extensão do
Teorema do Valor Médio (o qual é o
caso quando n = 0).
Provas para estas fórmulas,
juntamente com as discussões de
como usá-las para resolver os
exemplos das Seções 11_ 1 O e 11_12,
estão dadas no website
www.stewartcalculus.com
Clique em Additional Topics e depois
em Formulas for Remainder Terrn in
Taylor series
Um argumento similar. usando f"(x) ;::, -M, mostra que
Assim
IR,(x)j"' ~lx-ai'
Embora tenhamos assumido que x > a, cálculos similares mostram que essa desigualdade
é também verdadeira para x < a.
Isso prova a Desigualdade de Taylor para o caso onde n = 1. O resultado para um n
qualquer é provado de uma maneira similar pela integração n + l vezes. (Veja o Exercício
61 para o caso n- 2.)
NOTA u Na Seção 11.12 exploraremos o uso da Desigualdade de Taylor para aproximar
funções. Nosso uso imediato é aplicá-la junto com o Teorema 8.
Ao aplicar os Têoremas 8 e 9, muitas vezes é útil usar o fato a seguir.
x'
lim--O
n-->O>C n!
para todo número real x
Isso é verdade porque sabemos do Exemplo I que a série ::S x"/n! converge para todo x, e
seu n-ésimo termo se aproxima de O.
EXEMPlO 2 u Prove que ex é igual à soma de sua série de Maclaurin.
SOLUÇÃO Se J(x) -e', então Jí-'+"(x)- e' para todo n. Se d for qualquer número
positivo e Jx I ,; d, então J f('+'l(x) I - e' ,; ed. Assim a Desigualdade de Taylor, com
a = O e M = ed, diz que
ed
IR (li"" _.:__I I"+'
"X - (n + I)! X
para lxl,; d
::::: Em 1748, Leonhard Euler usou a
Equação 12 para achar o valor correto
de e com 23 dígitos. Em 2000. Xavier
Gourdon e S. Kondo novamente
usaram a série em (12), calcularam e
com mais de 12 bilhões de casas
decimais. As técnicas especiais que
eles empregaram para acelerar os
cálculos são explicadas no endereço
www .num bers. computat ion. f ree. f r
Note que a mesma constante M = ed funciona para cada valor de n. Mas, a partir da
Equação 10, temos
Segue do Teorema do Confronto que lim,~" I R,(x) I - O e, portanto, lim,~>R,(x) - O
para todos os valores de x. Pelo Teorema 8, ex é igual à soma de sua série de Maclaurin,
isto é,
" x"
e'- L­
n=O nJ
para todo x
Em particular, se colocannos x = 1 na Equação 11, obteremos a seguinte expressão
para o número e como uma soma de uma série infinita:

James Stewart CAPÍTULO 11 SEOCJÊNCIAS !NFINlTAS E SÉRIES r·l 763
1 l l
e~ -~!+-+-+-+···
n~o n! 1! 2! 3!
EXEMPlO 3 c: Encontre a série de Taylor para f(x) = e" em a ~ 2.
SOLUÇÃO Temos f'"'(2) ~ e 2 ; e assim, colocando a = 2 na definição de uma série de
Taylor (6), obtemos
" f'"'(2) "
7
2: --(x- 2)" ~ 2: ~(x- 2)'
n=O n! n=O n!
Novamente pode ser verificado, como no Exemplo 1, que o raio de convergência é
R ~ oo. Como no Exemplo 2, podemos verificar que lim"-" R"(x) ~ O, assim
" e'
e" ~ 2: - (x - 2)'
n=O n!
para todo x
Temos duas expansões em séries de potências para e\ a série de Maclaurin na Equação
11 e a série de Taylor na Equação 13. A primeira é melhor, se estivermos interessados em
valores de x próximos de O e, a segunda, também, se x estiver próximo de 2.
EXEMPLO 4 = Encontre a série de Maclaurin para sen x e prove que ela representa sen x
para todox.
SOLUÇÃO Arranjamos nossos cálculos em duas colunas como a seguir:
f(x) ~ senx
f'(x) ~ cos x
f"(x) ~ -sen x
J"'(x) ~ -cos x
f' 4 '(x) ~ sen x
/(0) ~O
j'(O) ~ I
j"(O) ~O
j"'(O) ~-I
.f' 4 '(0) ~O
c A Figura 2 mostra o gráfico de sen x
junto com seus polinômios de Taylor
(ou Maclaurin)
T 1 (x) = x
x'
T3(x) =X-~
o.
x3 x'
T 5(x) =x- ! 3
+ 5T
Note que, quando n aumenta, J;,(x)
torna-se melhor aproximação para sen x.
Como as derivadas se repetem de quatro em quatro, podemos escrever a série de
Maclaurin como a seguir:
J(O) + f'(O) x + f"(O) x' + J"'(O) x3 + ...
I! 2! 3!
x3 x5 x7 o:o x2n+1
~x--+--- + .. · ~ :2;(-1)"---c--
3! 5! 7! "~o (2n + 1)!
Como f"+''(x) é :':sen x ou :':cos x, sabemos que I J'"+ 0 (x) I ,;; I para todo x. Assim
podemos tomar M ~ l na Desigualdade de Taylor:
lxl"+'
(n + !)!
Pela Equação lO, o lado direito dessa desigualdade se aproxima de O quando n-'> oo,
dessa forma, I R"(x) I-> O pelo Teorema do Confronto. Segue-se que R"(x) -;. O quando
n ~ oo, assim sen x é igual à soma de sua série de Maclaurin pelo Teorema 8.
,__

764 u CÁlCUlO Editora Thomson
Escrevemos o resultado do Exemplo 4 para referência futura .
•\ X 5 X
sen x = x - - + ~ - ~- +
31 51 71
X
"" .2n+ l
)' H y _:·':___
.::'o (2n + 0 1 para todo X
FIGURA, 2
T~ .
IKBVlPlü 5 Encontre a série de Maclaurin para cos x.
SOLUÇÃO Poderíamos proceder diretamente como no Exemplo 4, mas é mais fácil
diferenciar a série de Maclaurin para sen x dada pela Equação 15:
d d ( x 3 x 5 x 7 )
cus x =- (sen x) =- x ~ 1 + - - _ 1 71
+ · · ·
dx dt 3. 5.
3x~ 5x 4 7x 6 x 2 x x 6
=l--+---+···=1 --+---+
31 51 71 2! 41 6!
As sénes de Mac!aurin para e', sen x
e cos x que encontramos nos Exemplos
2, 4 e 5 foram descobertas primeiro.
usando-se métodos diferentes. por
Newton. (Há evidências de que a série
para sen x e cos x são conhecidas dos
astronômos ind1anos há mais de um
século antes de Newton. mas esse
conhecimento náo se espalhou pelo
mundo.)
Essas equações são formidáveis.
porque dizem que saberemos tudo
sobre cada uma dessas funções se
conhecermos todas as suas derivadas
na ongem_
Como a série de Maclaurin para sen x converge para todo x, o Teorema 2 da Seção 11.9
nos conta que a série diferenciada para cos x também converge para todo x. Então
x 2 x x 6
COS X= J --+---+
21 4! 61
"' x2"
.2;(-1)" -
,~ 0 (2n)!
para todo x
EXEMPLO 6 1-:1 Encontre a série de Maclaurin para a função f(x) = xcos x.
SOLUÇÃO Em vez de calcular derivadas e substituir na Equação 7, é mais fácil
multiplicar a série para cos x (Equação 16) por x:
"' x2n :;ç x2wt-l
xcos X= X .2;(-l)" -- = 2:HJ' --
•-0 (2n)! .-o (2n)!
EXEMPlO 7 - Represente f(x) = sen x como a soma de sua série de Taylor centrada
em 7r/3.
SOLUÇÃO Arranjando nosso trabalho em colunas, temos
c Obtivemos duas representações
em série diferentes para sen x, ·Isto é, a
série de Mac!aurin no Exemplo 4 e
a série de Taylor no Exemplo 7-
É melhor usarmos a série de Maciaur!n
pma valores de x próximos de O e a
série de Taylor para vaiares próximos de
Tr/3. Note que o terceiro polinômio
de Taylor 1\ na Figura 3, é uma boa
aproximação para sen x próximo de
1TÍ3, mas náo é boa próxirn.o de O.
Compare-o com o terceiro polinómio
de Maclaurin T, na F1gura 2, onde o
oposto é verdadeiro.
f(x) = sen x
f'(xl = cos x
f( -3") = vz3
r(;)=+
f"(x) = -senx f"(!!..)=- -/3
, 3 2
f"'(x) = -cos x
r(;)=-+
e esse padrão se repete indefinidamente. Portanto a série de Taylor em 77'/3 é

James Stewart CAPÍTULO 11 SEQÜÊNCiAS INFINITAS E SÉRIES l-i 765
H
1
1
·\·'=senx
I \
~--,-,,~~~~"o-+~----~---;
FIGURA 3
T, \
A prova de que essa série representa sen x para todo x é muito similar àquela no Exemplo 4_
[Apenas troque x por x - 7r/3 em (14).] Podemos escrever a série na notação de sigma se
separarmos os tennos que contêm /3:
r.)'" X
(-1)"13( X
senx~l; x-- +2: x--
(-!)" ( 71')2"+'
,~o 2(2n)! 3 ,~o 2(2n + 1)! 3
A série de potências que obtivemos por métodos indiretos nos Exemplos 5 e 6 e na
Seção 11.9 são realmente as séries de Taylor e de Maclaurin para as funções dadas, porque
o Teorema 5 afirma que, não importa como uma série de potências f(x) ~ :Z c,(x - a)" é
obtida, é sempre verdade que Cn = pnl(a)/n!. Em outras palavras, os coeficientes são unicamente
determinados.
Colecionamos na tabela a seguir, para referência futura, algumas séries de Maclaurin
importantes que derivamos nesta seção e na anterior.
\2 Sénes de Mac!a;FJn Importantes e
ssus ;nterva!os de convergência
n=O
"" x"
e'~ 2:- ~I
n=O n!
" ;
X x- X"
+-+-+-+"·
]I 2! 3!
x3 xs x 7
x--+---+···
3! 5! 7!
x x2n x2 x4 x6
cos x ~ 2: (-I)"~- ~ I - - + - - - +
,~o (2n)! 2' 4! 6!
(-1, I)
(-oo,oo)
(-oo, oo)
(-oo,oo)
x2n+l
tg-•x ~ 2;(-1)"--
n=o 2n+1
x 3 x 5 x 7
x--+---+,.,
3 5 7
(-I, I]
Uma razão para a importância das séries de Taylor é que elas nos permitem integrar
funções que não poderíamos manejar anteriormente. De fato, na introdução deste capítulo
mencionamos que Newton freqüentemente integrava funções, primeiro, expressando-as
como uma série de potências e, depois, integrando a série termo a termo. A função
l
f(x) ~ e-" não pode ser integrada pelas técnicas discutidas até agora. porque sua antiderivada
não é uma função elementar (veja a Seção 7,5 no Volume!). No exemplo a seguir,
usaremos a idéia de Newton para integrar essa função.
EXEMPlO 8 c
(a) Avalie f e·"' dx como uma série infinita,
(b) Avalie fd e-"' dx com precisão de O,OOL

766 c CÁLCULO Editora Thomson
SOLUÇÃO
(a) Primeiro encontramos a série de Maclaurin para f(x) = e-r-. Embora seja pos.sível
usar o método direto, vamos encontrá-la simplesmente trocando x por -x 2 na série para
ex dada na tabela de séries de Maclaurin. Então, para todos os valores de x,
Agora integramos termo a termo:
· , · ( x 2 x' x 6 . x 2 " )
.l
e~'dx~l 1--+---+···+(-1)"-+··· dx
. 1! 2! 3! n!
x3 xs x7 x2n+t
~C+ X---+-----+ ... +(-!)" + ...
3·1' 5·2! 7·3! (2n+l)n!
.-::-, Podemos tomar C= O na
antiderivada na parte (a}.
7
Essa série converge para todo x, porque a série original e-x converge para todo x.
(b) O Teorema da Avaliação fornece
[' , [ x 3 x 5 x 7 x 9 ]
• 11 + -5 • 2' - ]:31 + -9 · 41 - ...
Jo e~• dx ~ x - -3
. . -. . ()
l l 1 l
=I~s+w-4i+2r6-···
= 1 - 5 + ~ - i2 + TI-6 = 0,7475
1
O Teorema da Estimativa da Série Alternada mostra que o erro envolvido nessa
aproximação é menor que
I I
11 . 5! 1.320 .
--~--

James Stewart CAPÍTULO 11 SEOCJÊNCIAS INFINITAS E SÉRIES i j 767
Multiplicação e Divisão de Séries de Potências
Se as séries de potências forem adicionadas ou subtraídas, elas se comportarão como
polinômios (o Teorema 11.2.8 mostra isso). De fato, corno o próximo exemplo ilustra, elas
também podem ser multiplicadas e divididas como polinômios. Encontramos apenas os
primeiros termos, pois os cálculos para os termos posteriores tornam-se tediosos e os termos
iniciais são os mais importantes.
EXElVlPUJ 10 Encontre os três primeiros termos diferentes de zero na série de
Maclaurin para (a) e' sen x e (b) tg x.
SOLUÇÃO
(a) Usando a série de Maclaurin para ex e sen x na tabela, temos
e'senx~ (1 + ;, + ;: + ;: + · · ·)(x- ;: + ···)
Multiplicamos essas expressões juntando termos semelhantes como para polinômios:
+ x + ~x 2 + ~x 3 +
x - ~x 3 +
x + x2 + ix3 + +
-~x3-~x4
Então e-' sen x = x + x 2 + jx 3 + ...
(b) Usando a série de Maclaurin na tabela, obtemos
x3 xs
x--+--
senx 3! 5!
tg X ~ -- ~ ---'-c--'-c---
COS X x 2 x
1--+--
4
21 4!
Usamos um procedimento parecido com a divisão longa:
J 3 2 5
X +]X + fSX +
- ~x2 + f4x4 - ... )x- ~x3 + I~oxs - ...
x- ~x 3 + I4x 5
:foxs + .. .
~xs + .. .
Então
1 3 2 5
tg X= X+ ]X + T5X
+ '·'
Embora não tenhamos tentado justificar as manipulações formais usadas no Exemplo 10,
elas são legftimas. Existe um teorema que afirma que, se f(x) = Z c,x" e g(x) ~ Z b,x" convergirem
para j x I < R e as séries forem multiplicadas como se fossem polinômios, logo, a
série resultante também convergirá para Jx J

768 o CÁlCUlO Edítora Thomson
1. Se f(x) = I:,~o bn(x 5Y para todo x, escreva uma fórmula
para b 8 •
2. (a) O gráfico de f é mostrado. Explique por que a série
!,6- 0,8(x l) + 0,4(x- 1) 3 - O,l(x- !)' + · · ·
,_ .,,
não é a série de Taylor de f centrada em I.
y
o
(b) Explique por que a série
2,8 + 0,5(x- 2) + l,5(x- 2)'- O,l(x- 2) 3 + · · ·
não é a série de Taylor de f centrada em 2.
Encontre a série de Maclaurin paraf(x) usando a definíção
de uma série de Maclaurin. [Assuma que f tem expansão em uma
série de potências. Não mostre que R,(x) __,. 0.] Também encontre
o raio de convergência associado.
',;3 .. f(x) ~ cos x
fi, f(x) ~ (l + xr'
7. ftx) = e 5 "
9. f(x) ~ senh x
f
X
4. f(x) ~ sen 2x
6. f(x) ~ In(! + x)
8. f(x) = xe'
10. f(x) ~ cosh x
H-H~ L Encontre a série de Taylor para f(x) centrada no valor
dado de a. [Assuma que f tem expansão em uma série de potências.
Não mostre que R,(x) _., 0.]
11. f(x) ~ 1 + x + x 2 , a ~ 2 12. f(x) ~ x 3 , a ~ -1
S13: f(x) ~ e", a ~ 3
15. f(x) ~ cos x, a = 1T
17. f(x) ~ l!Jx, a ~ 9
14. f(x) ~ In x, a ~ 2
16. f(x) sen x, a = 7r/2
18. ftx) = [ 2 , a = l
19. Prove que a série obtida no Exercício 3 representa cos x para
todo x.
20. Prove que a série obtida no Exercício 16 representa sen x
para todo x.
21. Prove que a série obtida no Exercício 9 representa sinh x para
todo x.
22. Prove que a série obtida no Exercício ] O representa cosh x
para todo x.
2:3-32 ~-= Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para
obter a série de Maclaurin para a função dada.
23. f(x) = cos 1TX 24. f(x) ~ e-' 12
27. f(x) ~ x'e-' ~ZII; f(x) ~ x cos 2x
29. f(x) = sen 2 x [Dica: Use sen 2 x =lO ~ cos 2x).]
30. f(x) ~ cos 2 x
;~( f(x) = { se-~x se x ~O
1 se x = O
{
l-senxsex~O
32. f(x) ~ !· x·'
" se x =O
33-36 Encontre a série de Maclaurin dej(por qualquer método)
e seu raio de convergência. Plote f e seus primeiros polinômios na
mesma tela. O que você observa sobre a relação entre esses
polinômios e f
33. f(x) ~ /!+X
í$, f(x) = cos(x 2 )
34. f(x) = e-xê + cos X
36. f(x)~2'
37. Enconu·e a série de Maclaurin para é e use-a para calcular
e-0.2 com precisão de cinco casas decimais.
38. Use a série de Maclaurin para sen x para calcular sen 3° com
precisão de cinco casas decimais.
38-42 c:: Avalie a integral indefinida como uma série infinita.
f f 39. xcos(.r)dx 40. -x-dx senx
41. J .,jx' + 1 dx 42. f c: 1 dx
43-46 _ Use séries para aproximar a integral definida com a
precisão indicada.
43. f 1 x cos ü)dx (três casas decimais)
J o •
44. J0°' 2 [tg- 1 (x 3 ) + sen(x 3 )]dx (cinco casas decimais)
41-49 ;:: Use séries para avaliar o limite.
x- tg- 1 x
47. lim
1
_,_-.o x·
1- cosx
48. lim -,:-_=-"c
x-O ] + X - e"
lim =""----,-=-
_,--.o
25. J(x) = x tg- 1 x 26. f(x) = sen(x 4 )

T
I James Stewart CAPÍTUlO 11 SEQ(JÜJC!AS INFii'~ITAS E SER![S
769
50. Use a série do Exemplo JO(b) para avaliar
tgx ~ x
lim ,
,-,"o x
Encontramos esse limite no Exemplo 4 da Seção 4.4 do
Volume I usando a Regra de L'Hôspítal três vezes. Qual
método você prefere
51-54 ~_: Use multiplicação ou divisão de séries de potências para
encontrar os três primeiros tennos diferentes de zero na série de
Maclaurin para cada função.
51. y =e-x· cos..x 52. y= sec x
X
53. y=-- -
sen x
54. y = e'lnU x)
9 27 81
59. 3+~+-+~+
- 2! 3! 4~
(In 2) 1 (In 2) 1
60. l-ln2+-----+···
21 3!
61. Prove a Desigualdade de Taylor para n = 2. isto é.
prove que, se ( f"'(x) I ~ M para I x a I ~ d, então
I . Ml I"
R2(x) i o:;; 6, x - a -' forlx- ai ~c d
62. (a) tv1ostrc que a função definida por
55-6fl
Encontre a soma da série.
J(x) ~ { ~
'"
se x #O
se x =O
não é igual a sua série de Maclaurin.
(b) Plote a função na parte (a) e comente seu comportamento
próximo da origem.
Projeto de Laboratório
!!I Um Limite Elusivo
Este projeto envolve a função
---~s~en~(~tg~x~)_-~tg~(~se=n~x~)~--c
f(x) ~-
arcsen(arctg x) - arctg(arcsen x)
1. Use seu sistema de computação algébrica (CAS) para avaliar f(x) para x = 1; 0,1; 0,01; 0,001
e 0,0001. Parece quef(x) tem um limite quando x -----7 O
2. Use CAS para plotar f próximo de x = O. Parece que f (x) tem um limite quando x -----7 O

770 O CÁLCULO Editora Thomson
se a e b forem quaisquer nú­
Você deve conhecer o Teorema Binomial, que afirma que~
meros reais e k for um inteiro positivo, então
1)(k- 2)
3'
k(k - l )(k - 2) · · · (k - n + 1) .
+ · · · + - aK·--nb"
n'
+ · · · + kab'-' + b'
A notação tradicional para os coeficientes binomiais é
k-lb'
a -
(
k) ~ k(k - I)(k - 2) · · · (k - n + 1) ·
n n!
n =
1, 2, ... , k
que nos permite escrever o Teorema Binomial na forma abreviada:
Em particular, se colocarmos a =
(a + h)'~ 2: k ( k) a'-"b"
n=O 11
1 e b = x, teremos
(I + x)' = t ( ~ )x"
Um dos feitos de Newton foi estender o Teorema Binomial (Equação I) para o caso no
qual k não é mais um inteiro posiúvo. (Veja o Projeto Escrito na página 773.) Nesse caso,
a expressão para (1 + x)k não é mais uma soma finita; torna-se uma série infinita. Para
encontrar essa série, calculamos a série de Maclaurin de (1 + x)k da maneira usual:
f(x) = (I + x)'
f'(x) ~ k(1 + x)'-'
f"(x) ~ k(k- 1)(1 + x)k-2
f"'(x) = k(k - l)(k - 2)(1 + x)k-3
f(O) ~ 1
f'( O) ~ k
f"(O) ~ k(k - I)
f"'(O) ~ k(k- l)(k- 2)
P"'(x) ~ k(k -
1) · · · (k - n + 1)(1 + x),_,
f'"'(O) ~ k(k - I) · · · (k - n + l)
Portanto, a série de Maclaurin de f(x) = (l + x)' é
w J'"'(O) " k(k- l) · · · (k- n + 1)
2: --x" = 2: x"
n=O n! n=O n!

James Stewart CAPÍTUlO 11 SEQÜÊNCiAS INFINITAS E StRiES CJ 771
Essa série é chamada série binomial. Se seu n-ésimo termo for a , então
"
lad,
1 ~ lk(k- 1) · · · (k- n ~ 1)(k- n)x''" 1
i a, (n + 1).
1
k
n! I
k(k- 1) · · · (k- n + 1)x" I
quando n ~ x
Então, pelo Teste da Razão, a série binomial converge se J x I < 1 e diverge se I x I > 1.
O teorema a seguir afirma que (l + x)k é igual à soma de sua série de Maclaurin. É possível
provar isso mostrando que o resto Rn(x) se aproxima de O, mas isso é um pouco difícil.
A prova esboçada no Exercício 19 é muito mais fácil.
IIJ A Série Binomial Se k for qualquer número real e I x I < I, então
(l + xY ~ 1
+ kx + k(k - 1) x' + k(k - l)(k - 2) x' + ...
2 1 3!
onde
k(k - 1) ... (k - ll + 1)
n!
(n ~ 1) e ( ~) ~ 1
Embora a série binomial seja sempre convergente quando I x J < 1, a questão de sua
convergência ou não nos extremos, ± 1, depende do valor de k. Ocorre que, a série converge
em 1 se -1 < k -::;:.; O e em ambos os extremos se k ~ O. Note que, se k for um inteiro
positivo e n > k, então a expressão para(~) contém um fator (k - k), assim(~) ~ O para
n > k. Isso significa que a série temúna e é reduzida ao Teorema Binomial (Equação 1)
quando k for um inteiro positivo.
Como temos visto, a série binomial é apenas um caso especial da série de Maclaurin;
ela ocorre tão freqüentemente que é útil lembrá-la.
EXEMPlO 1
1
,., Expanda -;.,--~como uma série de potências.
(l+
SOLUÇÃO Usamos a série binomial com k ~ -2. O coeficiente binomial é
e, assim, quando I x I < l ,
(-2)(-3)(-4) · · · (-2- n + 1)
nl
(-1)" 2 · 3 · 4 · .. · · n(n + 1)
n. 1
-,--..::._"" 1 ~ (l + xt' ~ 2: ~ (-2)
x"
(l+ n=O n
~(-l)"(n+l)
~ 2: (-1)"(n + l)x" ~ 1- 2x + 3x 2 - 4i' + · · ·
n=O

772 o CÁLCULO Editora Thomsoo
EXEMPLO 2
de convergência.
Encontre a série de Mac!aurin para a função f(x) =
r:--- e seu raiO
--j4- X
SOLUÇÃO Como dada, f(x) não está exatamente na fonna (1 + x)'; assim, a
reescrevemos como a seguir:
Usando a série binomial com k =
~~4]~ X~_!_ (1 ~ .:':_)-l/2- _!_i ( ~l)(~.:':_)"
V"+ -A 2 4 2 n=O 11 4
-i e com x trocado por -x/4, temos
=_!_ [ 1 + (~_!_)( .::_) + HJHJ (~.::_) 2 + HJHJHJ (~ x)'
2 2 4 2' 4 3! 4
+ ... + HJHJHJ ···H~ n + 1) (~.::_)" + .. ·]
n! 4
l [
=- 1+-x+--x
l l · 3 2 + 1 · 3 · 5
x 3 +···+-.1_·_:::3_·...:5:...·_· .-··_·_Cê::::..._.....:_;_x, + ... J
2 8 2'8 2 3! n!8"
Sabemos a partir de (2) que essa série converge quando I ~ x/ 41 < 1, isto é, I x I < 4;
assim, o raio de convergência é R = 4.
o Uma série binomial é um caso
especial de uma série de Taylor.
A Figura 1 mostra os gráficos dos três
primeiros polinômios de Taylor
calculados a partir da resposta
no Exemplo 2.
FIGURA 1
4
X
Exercícios
1-8 iJ Use a série binomial para expandir a função como uma série =
de potências. Estabeleça o raio de convergência.
l
1. v'l +X 2.
(l + x)'
4. (l ~
(2 + x) 2 l
5. ~1 - 8.x 6.
'./32 ~X
9-10 c; Use a série binomial para expandir a função como uma
série de Maclaurin e para encontrar os três primeiros polinômios de
Taylor, T 1 , T 2 e T 3 • Plote a função e esses polinômios de Taylor no
intervalo de convergência.
9. (! + 2x )"'
(a) Use a série binomial para expandir 1/JI - x 2 .
8. (b) Use a parte (a) para encontrar a série de Maclaurin para sen ' 1 x.
12. (a) Use a série binomial para expandir 1/-....,'1 + x 2 •

James Stewart CAPÍTUlO 11 SEOÜÉNCIAS INFINITAS E SÉRIES 773
(b) Use a parte (a) para encontrar a série de Maclaulin
para senh --~X-
13. (a) Expanda , x como uma série de potências.
(b) Use a patte (a) para estimar YDIT com precisão de quatro
casas decimais.
14. (a) Expanda 1/~ITX como uma série de potências.
(b) Use a parte (a) para estimar 1/~D com precisão de três
casas decimais.
15. (a) Expanda f(x) = x/(1 ~ x) 2 como uma série de potências.
(b) Use a parte (a) para encontrar a soma da série
~. ;.
16. (a) Expanda f(x) = (x + x 2 )/(1 - x) 3 como uma série de
potências.
(b) Use a parte (a) para encontrar a soma da série
"'
n2
.~.r
--1'7.' (a) Use a série binomial para encontrar a série de Maclaurin
de f(x) ~
(b) Use a parte (a) para avaliar jl 1 0i(O).
18. {a) Use a série binomial para encontrar a série de Maclaurin
de f(x) ~ l/vl + x'.
(b) Use a parte (a) para avaliar P 91 (0).
19. Use as seguintes etapas para provar (2).
(a) Seja g(x) = L:~o(~ )x". Diferencie essa série para
mostrar que
g'(x) ~ kg(x)
) +X
-l

774 D CÁlCULO Editora Thomson
2. John Fauvel e Jeremy Gray, eds., The Histol}' of Mathematics: A Reaâer. Londres: MacMillan
Press, 1987.
3. Victor Katz, A History oj Mathematics: An lntroduction. Nova York: HarperCóllins, 1993,
:.~.·.·.··.·.··.·.·.·.·.
1.~
Aplicações de Polinômios de Taylor
Nesta seção exploraremos dois tipos de aplicações de polinômios de Taylor. Primeiro,
veremos como eles são usados para aproximar as funções - os cientistas de computação
gostam deles porque os polinômios são as mais simples das funções. Depois, investigaremos
como os físicos e os engenheiros utilizam esses polinômios na relatividade, óptica,
radiações de corpos negros, dipolos elétricos, na velocidade das ondas de água e na construção
de vias expressas através do deserto.
Aproximando Funções Polinômios
Suponha quef(x) seja igual à soma de sua série de Taylor em a:
" f"l(a)
f(x) ~ 2: --(x-a)"
n=O nl
Na Seção 11.10 introduzimos a notação r,(x) para a n-ésima soma parcial dessa série e a
chamamos polinôrrúo de Taylor de grau n de f em a. Então
FIGURA 1
y = T;(x)
' f"l(a)
r,(x) ~ L -.
1
-
í=O l.
(x - aY
j'(a) j"(a) fl"l(a)
= f(a) + --(x - a) + --(x - a) 2 + · · · + ~- (x - a)"
1! 2! n!
Como fé a soma de sua série de Taylor, sabemos que r,(x)--. f(x) quando n-+ oo, e assim
r, pode ser usada como uma aproximação de f f(x) = r,(x).
Note que o polinôrrúo de Taylor de primeiro grau
r,(x) = f(a) + f'(a)(x - a)
é o mesmo que a linearização de f em a discutida na Seção 3.11 do Volume I. Note também
que r, e sua derivada possuem o mesmo valor em a que f e f' têm. Em geral, pode
ser mostrado que as derivadas de T 11 em a concordam com aquelas de f até as derivadas de
ordem n, inclusive (veja o Exercfcio 36).
Para ilustrar essas idéias, vamos olhar novamente para os gráficos de y = ex e seus
primeiros polinôrrúos de Taylor, como mostrado na Figura l. O gráfico de r 1 é a reta tangente
a y ~ e" em (O, 1); essa reta tangente é a melhor aproximação linear para e" próximo de
(O, 1). o gráfico de r, é a parábola y = 1 + X + x 2 /2, e o gráfico de r, é a curva cúbica
y = 1 + x + x 2 /2 + x 3 /6, que é uma aproximação melhor para a curva exponencial
y ~ e" do que T,. O próximo polinôrrúo de Taylor r4 seria uma aproximação ainda melhor
e assim por diante.

James Stewart CAPÍTULO 11 SEOÜ ÉNCIAS INFINITAS E SERIES 775
X I ' - o ' i ' - 3,0
r,c,J ~oo;;ot s.sooooo
L(x) I !221400 I 16375000
7'(xJ , 1,221403 , !9.412500
Ts\x) I 1.221403 I 20,009152
~~ 10 (x~-~~~~2140~---~-~0,0~9~~~-- 1
c, 1 1 ,2214o:-s I 2o.o~ss37 _j
Os valores na tabela dão uma demonstração numérica da convergência dos polinômios
de Taylor T,(x) para a funç~o y =e'-. Vemos que, quando x = 0,2 a convergência é muito
rápida, mas, quando x = 3 ela é um tanto mais lenta. De fato, quanto mais longe x está de
O, mais lentamente T,,(x) converge para e".
Quando usamos um polinômio de Taylor T, para aproximar uma função j. temos de
fazer as seguintes perguntas: quão boa é uma aproximação Quão grande devemos tomar
n para obter a precisão desejada Para responder a essas questões, precisamos olhar os valores
absolutos do resto:
I R,(x) I ~ I /(x) - T,(x) I
Aqui existem três métodos possíveis para estimar o tamanho do erro:
1. Se um dispositivo gráfico estiver disponível, podemos usá-lo para plotar I R,(x) I e
assim estimar o erro.
2. Se a série for alternada, podemos usar o Teorema da Estimativa de Séries
Alternadas.
3. Em todos os casos podemos usar a Desigualdade de Taylor (Teorema l Ll0.9), que
diz que. se I /'".' 1 (x) I >S M, então
M
I R(x)i>S " (n + 1)!
lx-ai"+'
EXEMPlO 1 c
(a) Aproxime a função f(x) ~ :{X por um polinômio de Taylor de grau 2 em a ~ 8.
(b) Qual é a precisão dessa aproximação quando 7 ~ x ~ 9
SOLUÇÃO
(a) f(x) ~ :{X ~ x l/3
/(8) ~ 2
/'(8) ~ 1,
f"'(x) = -5x-B/3
Então, o polinômio Taylor de segundo grau é
A aproximação desejada é
T,(x) ~ /(8) + /'( 8 ) (x - 8) + /"( 8 ) (x - 8) 2
1! 2!
~ 2 + í~(x - 8) - its(x- 8)'
:{X= T,(x) ~ 2 + ACx- 8) - ,k;(x- 8) 2
(b) A série de Taylor não é alternada quando x < 8; assim, não podemos usar o Teorema
da Estimativa de Séries Alternadas nesse exemplo. Mas podemos usar a Desigualdade
de Taylor com n ~ 2 e a ~ 8:

776 c CÁlCUlO Editora Thomson
onde I f"'(x) I :o:::;; M. Como x ~ 7, temos x 8 n ~ 7 8 ,., 3 e dessa forma,
10
J"'(x) ~-,
27
lO
~--
27
< 0,0021
Portanto, podemos tomar M ~ 0,002L Também 7 ~ x ~ 9, e assim -1 ~ x -
I x - 81 ~ l. A Desigualdade de Taylor dá
8 ~ 1 e
0,0021 1 0,0021
R 2 (x) I
~ -
3 -,- , I ~ - 6 - < 0,0004
I
Então, se 7 :::s x :o:::;; 9, a aproximação na parte (a) tem precisão de 0,0004.
2,5
o
T~
>-"/
(y = ux
I
FIGURA 2
0,0003
I :'i
Vamos usar um dispositivo gráfico para verificar os cálculos no Exemplo 1. A Figura 2
mostra que os gráficos de y = :f;; e y = T2(x) estão muito próximos um do outro quando
x está próximo de 8, A Figura 3 mostra o gráfico de [R,(x) I calculado a partir da expressão
Vemos a partir do gráfico que
I R,(x) I ~ I ;)X - r,(x) I
I R,(x) I < 0,0003
quando 7 :o:::;; x %; 9. Então, a estimativa do erro a partir de métodos gráficos é ligeiramente
melhor que a estimativa do erro a partir da Desigualdade de Taylor, nesse caso.
\::· _)"
o
FIGURA3
EXEMPLO 2 c:
(a) Qual é o máximo erro possível usando a aproximação
x3 xs
senx=x--+-
3! 5!
quando -0,3 ::s; x%; 0,3 Use essa aproximação para encontrar sen 12° com precisão de
seis casas decimais.
(b) Para quais valores de x essa aproximação tem precisão de 0,00005
SOLUÇÃO
(a) Note que a série de Maclaurin
X X 5 X 1
senx = x--+--- +
3! 5! 7!
é alternada para todos os valores de x diferentes de zero; dessa maneira, podemos usar o
Teorema da Estimativa de Séries Alternadas, O erro na aproximação de sen x pelos três
primeiros termos de sua série de Maclaurin é no máximo
x' I x
l7!, ~ 5,040
I , '
Se -0,3 ~ x !'S 0,3, então I x j %; 0,3; assim, o erro é menor que
(o 3)'
-'- = 4 3 X 10~ 8
5040 ,

James Stewart CAPÍTULO 11 SE:OUt.NCIAS INFINITAS f_ Sf:HIES 771
Para encontrar sen 12° primeiro convertemos para radianos:
(
12-rr) (7T)
sen 12° = sen - 180
= sen ]5
7T (7T)'l (7T)'l
=15- 15 3!+ 15 5I
= 0,20791169
Então. com precisão de seis casas decimais, sen 12°"" 0,207912.
(b) O erro será menor que 0,00005 se
Resolvendo ~ssa desigualdade para x, temos
J::L < o 00005
5.040 '
lxl' < 0,252 ou I X I < (0.252) 1 /) = 0,821
Assim a aproximação dada tem precisão de 0,00005 quando lx i < 0,82.
O que acontecerá se usarmos a Desigualdade de Taylor para resolver o Exemplo 2
Como fm(x) = -cos x, temos I f'"(x) I ~ 1, logo,
Assim obtemos as mesmas estimativas usando o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas.
E sobre métodos gráficos A Figura 4 mostra o gráfico de
IRs(x) I= I seu x- (x -lx' + ,iox') I
e vemos a partir dele que I Rs(x) I < 4,3 X w-s quando I x I ~ 0,3. Esta é a mesma estimativa
que obtivemos no Exemplo 2. Para a parte (b) queremos I Rs(x) I < 0,00005, assim
plotamos y = I R,,(x) I e y = 0,00005 na Figura 5. Colocando o cursor no ponto de interseção
à direita descobrimos que a -desigualdade é satisfeita quando (x I < 0,82. De novo,
esta é a mesma estimativa que obtivemos na solução do Exemplo 2.
4,3 X 10 -1!
, T .
i\v=IR,(x)l i /
,\ I I
-0,3~u~0,3
o
FIGURA4
0,00006
.\y=ooooü5T······· ..... f.
I I y = IR,(x )I f
-IUJ;
o
FIGURA 5
Se tivesse nos pedido para aproximar sen 72° em vez de sen 12° no Exemplo 2, teria sido
sábio usar os polinômios de Taylor em a = 7T/3 (em vez de a = O) porque eles são aproximações
melhores para sen x para valores de x próximos de 7r/3. Note que 72° está mais próximo
de 60" (ou IT/3 radianos) e as derivadas de sen x são fáceis de calcular em 71'/3.

778 o CÂLCULO Editora TI:Jomson
A Figura 6 mostra os gráficos das aproximações por polinômios de Taylor
T,(x) = x
X3
TJ(x) =x--
3!
para a curva seno, Você pode ver que, quando n aumenta, T,(x) é uma aproximação boa
para sen x em um intervalo cada vez maior,
)'
I T,
/
y=senx
I
X
FIGURA6
T,
O uso desse tipo de cálculo realizado nos Exemplos 1 e 2 pode ser feito em calculadoras
e computadores. Por exemplo, quando você pressiona a tecla sen ou ex em sua calculadora,
ou quando um programador de computador usa uma sub-rotina para uma função
trigonométrica ou exponencial ou de Bessel, em muitas máquinas uma aproximação polinomial
é calculada, O polinômio é com freqüência um polinômio de Taylor que foi modificado
de modo que o erro seja espalhado mais uniformemente por um intervalo,
Aplicações à Física
Os polinômios de Taylor são usados freqüentemente na física, Para obter informações
sobre uma equação, um físico com freqüência simplifica uma função considerando apenas
os primeiros dois ou três termos em sua série de Taylor. Em outras palavras, o físico usa
um polinômio de Taylor como uma aproximação para a função. A Desigualdade de Taylor
pode, então, ser usada para medir a precisão da aproximação. O exemplo a seguir mostra
uma maneira na qual essa idéia é usada em relatividade especiaL
EXEMPlO 3 o Na teoria da relatividade especial de Einstein a massa de um objeto se
movendo a uma velocidade v é
onde mo é a massa do objeto em repouso e c é a velocidade da luz. A energia cinética do
objeto é a diferença entre sua energia total e sua energia em repouso:
K = mc 2 - moc 2
(a) Mostre que, quando v for muito pequeno comparado a c, essa expressão para K
coincide com a física clássica de Newton K = tm.ov 2 •
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a diferença entre essas expressões para K
quando I v I ~ 100 m/s.
SOLUÇÃO
(a) Usando as expressões dadas para K em, obtivemos

James Stewart CAPÍTULO 11 SEOÜÊNC!AS INFiNITAS E SÉRiES n 779
o A curva superior na Figura 7 é o
gráfico da expressáo para a energia
cinética K de um objeto com
velocidade v na relatividade espacial.
A curva inferior mostra a função usada
para K na ffsica Newtoniana clásska.
Quando v é muito menor que a
velocidade da luz, as curvas são
praticamente idênticas.
Com x = ~v 2 /c 2 , a série de Maclaurin para (l + x)- i/ 2 é calculada mais facilmente
como uma série binomial com k = (Note que lx! < l porque v< c.) Portanto
temos
o+ x> ,,, ~ 1 _ 'x + HlH) x' + ( -DHlHl
l 2! 3!
+ ...
e , [ ( l v 2 3 v' 5 v 6 ) ]
K~m0c 1+- +--+--+··· I
2 8 c 4 16 c 6
Se v for muito menor que c, todos os tennos depois do primeiro são muito menores
quando comparados ao primeiro tenno. Se os omitirmos, obteremos
o
FIGURA 7
'( I v 2 ) , ,
K = 1n0c 2 c 2 = 2mov-
(b) Se x ~ -v 2 /c 2 , f(x) ~ fn,c 2 [(1 + x)- 112 -
I] eM for um número tal que
I f"(x) I ~ M, então podemos usar a Desigualdade de Taylor para escrever
Temos f"(x) ~ lm0c 2 (1 + x)- 512 e nos foi dado que I v I ~ 100 m/s, assim
(~M)
Então, com c ~ 3 X 10 8 m/s,
3f11DC2 1004 -lO
'/ ')''' · < (4,17 X 10 )mo
100 c .,s
Assim, quando I v I ~ 100 m/s, a grandeza do erro usando a expressão newtoniana para a
energia cinética é no máximo (4,2 X 10- 10 )m 0 .
Outra aplicação à física ocorre em óptica. A Figura 8 é adaptada a partir de Optics,
2. ed., de Eu gene Hecht (Reading, MA, Addison-Wesley, 2002), p. 133. Ela mostra uma
onda de uma fonte pontual S encontrando uma interface esférica de raio R centrada em C
O raio SA é refratado em direção a P.
Usando o princípio de Fermat de que a luz viaja de modo a minimizar o tempo, Hecht
deriva a equação
[l]
onde n1 e n2 são índices de refração e f o, f;, S 0 e S; são as distâncias indicadas na Figura
8. Pela Lei dos Co-senos, aplicada aos triângulos ACS e ACP, temos

7SO c CÁlCULO Editora Thomson
FIGURA 8
Refração em uma ínterface esférica
f,~ )R 2 + (s, +R)' - 2R(s,, +R) cos
C! Aqui usamos a identidade
cos(rr- cfJ) = -cos .P
€, ~ V R' + (s, R)' - 2R(s, R) cos
Como a Equação I é difícil para se trabalhar, Gauss, em 1841, a simplificou usando a
aproximação linear cos t:P = 1 para valores pequenos de tjJ. (Isso equivale a u:-;ar o
polinômio de Taylor de grau L) Então a Equação 1 se loma a equação mais simples a seguir
[como lhe foi solicitado que mostrasse no Exercício 32(a)]:
~ + n2 = nz- n1
S 0 S, R
A teoria óptica resultante é conhecida como óptica de Gauss, ou óptica de primeira ordem,
e se tomou a ferramenta teórica básica usada para desenhar lentes.
Uma teoria mais precisa é obtida aproximando cos cp por seu polinômio de Taylor de
grau 3 (que é o mesmo que o polinômio de Taylor de grau 2), Ela leva em consideração
raios para os quais cp não é tão pequeno, isto é, raios que atingem a superfície a distâncias
h maiores acima do eixo. No Exercício 32(b) lhe é pedido para que use essa aproximação
para derivar a equação mais precisa
n 1 n 2 n 2 - n 1 2 [ n, ( I I)' n 2 (I
I)']
-+-- +h - -+- +- ---
So S; R 2so S 0 R 2s; R S;
A teoria óptica resultante é conhecida como óptica de terceira ordem.
Outras aplicações dos polinômios de Taylor à física são exploradas nos Exercícios 30,
31, 33, 34 e 35 e no Projeto Aplicado das páginas 780-78 l.
Exercícios
1. (a) Encontre os polinômios de Taylor até o grau 6 para
j(x) = cos x centrada em a= O. Plote f e esses
polinômios na mesma tela.
(b) Avalie f e esses polinômios em x = 1T/4, 1T/2 e 1r.
(c) Comente como os polinômios de Taylor convergem para
f(x),
Bj 2. (a) Encontre os polinômios de Taylor até o grau 3 para
j(x) = 1/x centrada em a = 1. Plote f e esses polinômios
na mesma tela.
(b) Avalie f e esses polinômios em x = 0,9 e 1,3.
(c) Comente como os polinômios de Taylor convergem
para f(x).
~ 3-10 o Encontre o polinômio de Taylor Tn(x) para a função f em a.
Plote f e T, na mesma tela.
3. f(x) ~ In x, a ~ 1. n ~ 4
4. f(x) ~ e', a= 2, n=3
J(x) ~ sen x, a~ w/6, n=3
6. f(x) ~ cos x, a ~ 2w/3, n=4
7. f(x) = arcsen x, a= O. n=3
lnx
8. j(x) ~-. a= 1, n = 3
X

James Stewart CAPÍTULO 11 SEQÜÊNCIAS iNFINITAS E Sf:RIES 781
f(x) ~ xe _,_, a= O, n = 3
10. f(x) ~ + a= I, n = 2
11-12 = Use um sistema algébrico computacional para encontrar
os polinômios de Taylor T, em a = O para os valores de n dados.
Então plote esses polinômios e f na mesma tela.
11. f(x) ~ sec x. n ~ 2, 4, 6. 8
12. f(x) ~ tg x, n ~ I, 3, 5, 7, 9
13-22 c
(a) Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau nem a.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da
aproximação J(x) = T,(x) quando x estíver no intervalo dado.
(c) Verifique seu resultado na parte (b) plotando IK(x) 1.
13. f(x) = ";r;_, a = 4, n = 2, 4 "-S x ~ 4,2
14. f(x) ~ x·'. a~ I, n ~ 2, 0,9,:; x,:; 1,1
15. j(x) = x213, a= 1, n = 3, 0,8 ~X :::S 1,2
16. j(x) ~ cos x, a~ -rr/3, n = 4, Ü ~ X >S: 2TT/3
17. f(x) ~ tg x, a~ O, n = 3, O ~ x,; n/6
f(x) ~ ln(l + 2.x) a= 1, n = 3, 0,5 :=sx~ 1,5
~ f(x) ~e"', a ~ O, n ~ 3, O ,:; x ,:; 0,1
20. f(x) ~ x In x, a~ I, n ~ 3, 0,5 ;;o x ;;o 1,5
21. J(x) = x sen x, a = O, n = 4, -1 ~ x ~ 1
22. j(x) ~ senh 2.x, a = O, n = 5, -I ,:; x,:; I
23. Use a informação do Exercício 5 para estimar sen 35° com
precisão de cinco casas decimais.
24. Use a informação do Exercício 16 para estimar cos 69° com
precisão de cinco casas decimais.
Use a Desigualdade de Taylor para determinar o número de
termos da série de Maclaurin para ex que devem ser usados
para estimar e 0 J com precisão de O,OOOOL
26. Quantos termos da série de Maclaurin para ln(l + x) você
precisa usar para estimar In 1,4 com precisão de 0,001
~~27-28 o Use o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas ou a
Desigualdade de Taylor para estimar a gama de valores de x para
os quais a aproximação dada é precisa dentro do erro estabelecido.
Verifique sua resposta graficamente.
27.
28.
x'
senx=x-6, (lcrrol < O, OI)
x2 x4
cosx=l--+-
2 24'
(lerrol < 0,005)
111 Um carro está se movendo com velocidade de 20 m/s e
aceleração de 2m/s 2 em um dado instante. Usando um
polinômio de Taylor de grau 2, estime a distância que o carro
se move no próximo segundo. Seria razoável utilizar esse
r,;~
'"'
polinômio para estimar a distância percorrida durante o
próximo minuto
30. A resislividade p de um fio condutor é a recíproca da
condutividade e é medida em unidades de ohm-metro.:; (H-m)
A resistividade de um dado metal depende da temperatura de
acordo com a equação
p(t) =
P2oe"u--LoJ
onde t é a temperatura em o c. Existem tabelas que listam os
valores de a (o coeficiente de temperatura) e p 20 (a rcsistividadc
a 20 °C) para vários metais. Exceto a temperaturas muito
baixas, a resistividade varia quase iíncannente com a
temperatura, e assim é comum aproximar a expressão para p(t)
por seu polinômio de Taylor de grau 1 ou 2 em t = 20.
(a) Encontre expressões para as aproximações linear e
quadrática.
(b) Para o cobre, a tabela fornece a = 0,0039;oc e
P2o = 1,7 X 10·-s f1-m. Plote a resistivídade do cobre e a:-.
aproximações linear e quadrática para
-250 oc ~ t ~ 1.000 °C.
(c) Para quais valores de t a aproximação linear coincide com
a expressão exponencial com precisão de I%
Um dipolo elétrico consiste em duas cargas elétricas de
grandeza iguais e sinais opostos. Se as cargas forem q e ~q c
estiverem localizadas a uma distância d, então o campo elétrico
E no ponto P na figura é
E~--'L-
D 2
q
(D + d)'
Expandindo essa expressão para E como uma série de
potências de d/D, mostre que E é aproximadamente
proporcional a 1/ D 3 quando P está muito distante do dípolo.
q ~q
--------------------------+-------
32. (a) Derive a Equação 3 para a óptica gaussiana a partir da
Equação 1 aproximando cos cP na Equação 2 por seu
polinômio de Taylor de grau I.
(b) Mostre que secos 4> for trocado por seu polinômio de
Taylor de grau 3 na Equação 2, então a Equação 1 se torna
a Equação 4 para a óptica de terceira ordem. [Dica: Use
os primeiros dois termos na série binomial para e"~l e e,- 1 .
Também, use 4> = sen cf>.]
33. Se uma onda de água com comprimento L se mover com
velocidade v ao longo de um corpo de água com profundidade
d, como na figura, então
, gL 2r.d
v·~-- tgh ---
2-rr L
(a) Se a água for profunda, mostre que v= --,;gL/(2n).
(b) Se a água for rasa, use a série de Maclaur:in para tgh para
mostrar que v = j{jd. (Então, em água rasa a velocidade
de uma onda tende a ser independente do comprimento
da onda.)

782 o CÁLCULO EditJJra Thomson
(c) Use 0
Teorema da Estimativa de Séries Alternadas para
mostrar que, se L > l Od, então a estimativa v 2 = gd tem
precisão de O,Ol4gL
~~~- ----- --~~------1
34. O período de um pêndulo com comprímento L que faz um
ângulo máximo 8 0
com a vertical é
r~4 \(I r". dx
' g • 0 J 1 - k sen 2 x
onde k = scn(J lk!) e g é a aceleração da gravídade.
(No Exercício 40 na Seção 7.7 do volume I essa integral foi
aproximada pela regra de Simpson.)
(a) Expanda o integrando como uma série binomial e use o
resultado do Exercício 44 na Seção 7 .l do Volume I para
mostrar que
1 2
T~27r -I+ k 2 1 2 3 2
+--k 4 1 2 3 2 5 2 ]
+--k!'+···
[
2242 224262
Se 8 0
não for muito grande, a aproximação T = 21T ./iJg,
obtida ao se usar o primeiro termo da série, é freqüentemente
utilizada. Uma aproximação melhor seria obtida pelos dois
primeiros termos:
T= 2-rr,{i:.(l + '12)
v g 4
(b) Note que todos os termos da série, com exceção do
primeiro, têm coeficientes que são no, máximo, 1/4.
Use esse fato para comparar esta série com a série
geométrica e mostre que
,, {f4-3k'
211 (I + -!é) "' T"' 271" ---,-
4 g 4- 4K
(c) Use as desigualdades em (b) para estimar o período de um
pêndulo com L = 1 metro e 8 0
= 1 O"'. Como isso se
compara com a estimativa T = 21T ;: Ug' O que aconteceria
se el) = 42°
35. Se um topógrafo mede as diferenças nas elevações dos terrenos
através do deserto, com a finalidade de se construir uma
rodovia, ele tem de fazer correções devido à curvatura da Terra.
(a) Se R é o raio da Terra e L, o comprimento da rodovia,
mostre que a correção a ser feita será
c~ Rsec(UR)- R
(b) Use um polinômio de Taylor para mostrar que
1.2 SL 4
C=-+--,
2R 24R'
(c) Compare as correções dadas pelas fórmulas em (a) e (b)
para uma rodovia que tem 100 km de percurso. (Tome o
raio da Terra como 6.370 km.)
36. Mostre que Til c f têm as mesmas derivadas em a até a ordem n.
37. Na Seção 4.9 do Volume I consideramos o método de Newton
para aproximar uma raiz r da equação J(x) = O, e a partir de
uma aproximação inicial x 1 obtivemos aproximações
sucessivas x2, x 3 , ..• , onde
f(x")
Xn..-: =X,- J'(xr.)
Use a desigualdade de Taylor com n = 1, a = x" ex= r para
mostrar que, se f"(x) existir no intervalo f contendo r, x,, e
x""' e I f"(x) I "'M, I f'(x) I ~ K para todo x E I, então
[Isso significa que, se x, for preciso até d casas decimais, então
Xn+t é preciso até cerca de 2d casas decimais. Mais
precisamente, se o erro no estágio n for no máximo w-m,
então o erro na etapa n + 1 será no máximo (M/2K)l0~ 2 m.}
Radiação Proveniente das Estrelas

James Stewart CAPÍTULO 11 SEOÜÉNCLAS lhJFINiTAS E SERiES 783
Proposta no final do século XIX, a Lei de Rayleigh-Jeans expressa a densidade de energia da
radiação do Corpo negro de comprimento de onda À como
8r.kT
f ( À~ )
onde À é medido em metros, T é a temperatura em kelvins e k é a constante de Boltzmann. A Lei
de Rayleigh-Jcans coincide com as medidas experimentais para comprimentos de onda longos.
mas diverge drasticamente para comprimentos de onda curtos. [A lei prediz que f(À) ......y oo
quando À ......Y O', mas experiências mostraram que f(A) __...,.. 0.] Esse fato é conhecido como a
catástrofe do ultravioleta.
Em 1900 Max Planck encontrou um modelo melhor (conhecido agora como a Lei de Planck)
para a radiação do corpo negro:
81ThCÀ -S
j(À) ~ ~~-'-_-!
onde À é medido em metros, T é a temperatura em kelvins e
h = constante de Planck = 6,6262 X w-34 J.s
c = velocidade da luz = 2,997925 X l 0 8 m/s
k = constante de Boltzmann = I ,3807 X I0-23 J/K
1. Use a Regra de L'Hôspital para mostrar que
e lim f(A) ~O
'~"
para a Lei .de Planck. Assim essa lei modela melhor a radiação do corpo negro _que a Lei _d~
Rayleigh-Jeans para de onda -~is curtos. -
Revisão
1. (a) O que é uma seqüência convergente
(b) O que é uma série convergente
(c) O que significa lim"~"' a" = 3
(d) O que L~=l a,= 3 significa
2. (a) O que é uma seqüência limitada
(b) O que é uma seqüê-ncia monotônica
VERIFICAÇÃO DE CONCEITOS
(c) O que você- pode dizer sobre uma seqüência monotônica
limitada
3. (a) O que é uma série geométrica Sob quais circunstâncias
ela é convergente Qual é sua soma
(b) O que é uma p-série Sob quais circunstâncias ela é
convergente

784 :J CÁLCUlO Editora Tllomson
4. Suponha que i a, = 3 c s, seja a n-ésima soma pardal da
série. o que é lim~ •'7-. Cln '!o que é lim,_oc s,
5. Explique o seguinte:
(a) O Teste para Divergência.
(b) O Teste da Inlcgral.
(c) O Teste da Comparação.
(d) O Teste da Comparação do Limite.
(e) O Teste da Séríe Alternada.
(f) O Teste da Razão.
(g) O Teste da Raiz.
6. (a) O que é uma série absolutamente convergente
(b) O que você pode dizer sobre essa série
(c) O que é uma série condicionalmente convergente
7. (a) Se uma série for convergente pelo Teste da Integral,
como você estima sua soma
(b) Se uma série for convergente pelo Teste da
Comparação, como você estima sua soma
(c) Se uma série for convergente pelo Teste da Série Alternada,
como você estima sua sorna
8. (a) Escreva a forma geral de uma série de potências.
(b) O que é o raio de convergência de uma série de
potências
(c) O que é o intervalo de convergência de uma série ck
potências
9. Suponha que f(x) seja a soma de uma série de potências
com raio de convergência R.
(a) Como você diferencia f Qual é o raio de convergéncia
da série para f'
(b) Como você integra f Qual é o raio de convergência da
série para fj(x) dx·'
10. (a) Escreva uma expressão para o polinômio de Taylor de
grau n de f centrado em a.
(b) Escreva uma expressão para a série de Taylor de f ccn~
trada em a.
(c) Escreva uma expressão para a série de Maclaurin de .f
(d) Como você mostra que f(x) é igual à soma de sua série
de Taylor
(e.) Escreva a Desigualdade de Taylor.
11. Escreva a série de Maclaurin e o intervalo de convergência
para cada uma das seguintes funções:
(a) 1/(1 - x) (b) e' (c) sen x
(d) cos x
(e) tg- 1 x
12. Escreva a expansão da série binomial (l + x)A. Qual é o raio
de convergência dessa série
TESTES FALSO-VERDADEIRO
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique por
quê. Se for falsa. explique por que ou dê um contra-exemplo.
1. Selim"~"" a" =O, então L a, é convergente.
2. A série 2: n -sen 1 é convergente.
n~l
3. Se lim,_,,a, =L então lim,_,cca2,+1 =L.
4. Se 2.: c,6" for convergente, então L cn( ~ 2)" é convergente.
5. Se L c"6n for convergente, então 2.: cn( -6Y é convergente.
6. SeLcnx"divergequandox = 6,entãoeladivergequandox = 10.
7. O Teste da Razão pode ser usado para determinar se 2.: l/n 3
converge.
8. O Teste da Razão pode ser utilizado para detenninar se L l/n!
converge.
9. Se O oS;: a, ~ b,, e L b" divergir, então i a" diverge.
" (-I)" 1
10. 2: --~n=O
n! e
11. Se -1 < a< I, então limr.~•"" a" = O.
12. Se L a, for divergente, então L I a" I é divergente.
13. Se f(x) = 2x - x 2 + }x 3 - • • • convergir para todo x, então
f"'( O) ~ 2.
14. Se {a,) e {b,) forem divergentes, então {a, + b,) é divergente.
15. Se {a,} e {b,} forem divergentes, então {a,b"} é divergente.
16. Se {a"} for decrescente e a" > O para todo n, então {a,}
é convergente.
17. Se a" >O e 2.: a, convergir, então 2.: (-l)"a, converge.
18. Se an >O e lirn,__.~ (a"+ :la")< 1, então lim, _ _,, a,= O.
EXERCÍCIOS
1-8 o Determine se a seqüência é convergente ou divergente. Se
n3
ela for convergente, encontre seu limite.
3.a,= 1
+
2 + n 3
n sen n
1 ' a,~ 1 + 2n' 5. a,=
4. a, = cos(mr/2)
ln n
6. a,=

James Stewart CAPÍTULO 11 SEOÜÊNCii\S INFINITAS E SÉRiES 785
7. {(1 + 3/n)''} 8. {( -10)""/n'}
9. Uma seqüência é definida recursivamente pelas equações
a 1 = La,+ 1 =}(a"+ 4).Mostrcquc{a,}écrcscentc
e a"< 2 para todo n. Deduza que {a"} é convergente
c encontre seu limite.
10. Mostre que !ím, -··"- n ~e ·" = O e use um gráfico para encontrar
o menor valor de N que corrcspondc a E = O, 1 na definição de
um limite.
11.
2:
n=l
Determine se a série é convergente ou divergente.
11 •
13. 2:
!FI Y'
n
.
15. 2:~,1-
,,~1n,;ln n
17.
2:
cos 3n
n-1 1 + 0.2)"'
. 1 . 3. 5 ... · (2n - I)
19. 2:
H-~ I
S"n!
21. 2: ( -!)"' ' ~
ll"oj
22. 2:
n~l
r
n + I
vn+I- ,,~
n
"' n" + 1
12. :z::~
,,.,.1 n' + 1
(-1)"
14. 2:
"'' -,./11 + I
16. :Z::ln • (--
n )
n~l 3n + l
18.
20.
2:
n"-"
n---1 (I + 2n 2 )"
• (-5)'"
,~, n'9"
23~2$ _-.:J Determine se a série é condicionalmente convergente,
absolutamente convergente ou divergente.
23. :Z:: (-l)""'n-"'
,_,
. (-l)"(n + 1)3'
25. 2: z2n+ i
n~l
27-31 c EnconU'e a soma da série.
"'
21n+l
21 . . ~,T
29. :Z:: [tg-'(n + l) - tg-'n]
r.~ I
e 1 e e 4
31. l - e + - - - + -
21 31 41
24. L (-1)"-'n-•
,~-i
26. 2:
ii=I
( -l)''y/n
lnn
28. 2: ---c--'---~
,~; n(n + 3)
X
(-l)"'IT"
30. .~o 3 '"(2n) I
32. Expresse a dízima periódica 4,17326326326 .. como uma
fração.
l
33. Mostre que cosh x ~ ] + 2 X 1 para todo x.
34. Para quais valores de x a série L;;'~·l (in x)" converge
~ ' . '~ ( J)"~ I
35. Encontre a soma da scne L --,-com precisão de quatro
,,-.,] n-
casas decimais.
36. (a) Encontre a soma parcial s 5 da série :Z~- 1 lln'' c estime
o erro ao usá-la como uma aproximação para a soma
da série.
(b) Encontre a soma da série com precisão de cinco casas
decimais.
37. Use a soma dos oito primeiros termos para aproximar a soma
da série 2:7~ 1 (2 + Yr 1 • Estime o erro envolvido nessa
aproximação.
"' n"
38. (a) Mostre que a série 2: --é convergente.
,~ 1 (2n)'
(b) Deduza que
n"
lim--.-=0.
" ·• (2n)'
39. Prove que, se a séiic 2:~---- 1 a, for absolutamente convergente,
então a série
L ' (" --a, + 1)
,-~-~ n
é absolutamente convergente também.
40~43 :_J Encontre o raio de convergência e o intervalo de
convergência da série.
2"(x - 2)"
42. 2: :::._.=____::::__
,,, (n + 2)!
(x + 2)"
41 ... ~, n4"
44. Encontre o raio de convergência da série
~ (2n)' x"
.,~, (n')'
;; 2"(x - 3)"
43. L
tF•O .jn + 3
45. Encontre a série de Taylor de f(x) = sen x em a = 1f/6.
46. Encontre a série de Taylor de f(x) = cos x em a = 7r/3.
47-54 o Encontre a série de Maclaurin para f e seu raio de
convergência. Você pode usar o método direto (a definição
de uma série de Madaurin) ou séries conhecidas, como a
série geométrica, a série binomial ou a série de Maclaurin
parae", senxe tg- 1 x.
c '
47. f(x) ~ -·- 48. f(x) ~ tg-'(x')
" 1 +X
119. f(x) ~ ln(l - x) 50. j(x) = xe2x
51. f(x) ~ sen(x') 52. f(x) ~ lO'
53. f(x) ~ l/116- x 54. f(x) ~ (l - 3x) '

786 ll CÁLCULO Editora Thomson
55. Avalie f ~ dx como uma série infinita.
• X
56. Use séries para aproximar J~ -Jl + x~ dx com precisão de duas
casas decimais.
§J-58 L-::'
(a) Aproxime f por um polinômio de Taylor de grau nem a.
(b) Plote f e T, na mesma tela.
(c) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão
da aproximação f(x) = Tn(x) quando x estiver no
intervalo dado.
(d) Verifique seu resultado na pane (c) plotando I R,(x) I.
57. f(x) ~ .{X, a ~ I, n ~ 3, 0,9 "' x "' 1.1
58. f(x) = sec x. a =O, n = 2, O ::S::: x ::s::: rr/6
59. Use séries para avaliar o limite a seguir.
lim
x--e> O
senx-x
60. A força da gravidade em um objeto de massa m a uma altura h
acima da superfície da Terra é
mgR 2
F~~=-cc
(R + h)'
onde R é o raio da Terra e g é a aceleração da gravidade.
(a) Expresse F como uma série de potências em h/R.
(b) Observe que, se aproximamos F pelo primeiro termo na
série, obtemos a expressão F = mg, que é geralmente
usada quando h é muito menor que R. Use o Teorema da
Estimatíva de Séries Alternadas para estimar a gama de
valores de h para os quais a aproximação F = mg tem
precisão de 1%. (Use R = 6.400 krn.)
61. Suponha que j(x) = l:~=o c,x-" para todo x.
(a) Se f for uma função ímpar, mostre que
co =
Cz = C4 = · · · = O
(b) Se f for uma função par, mostre que
C 1 = C3 = C5 = · · · = 0
' • ,, , (2n) I
62. Se f(x) ~ e' , mostre que f'·''( O) ~ ~,-.
- n,

Problemas Quentes
1. Se f(x) = scn(x-'). encontre f' 151 (0).
2. Uma função f é definida por
Onde fé contínua
3. (a) Mostre que tg ~x = co~tg ix- 2 co-tg x.
(b) Encontre a soma da série
" I X
"'~tg~
1~1 2" 2"
4. Seja {P"} uma seqüência de pontos determinados como na figura. Então I AP1 I = I,
I P"P'"' 1 I = 2 11 -
1 , e o ângulo AP"P"" 1 é um ângulo reto. Encontre lim,~x LP11 AP11 -· 1•
FIGURA PARA O PROBLEMA 4
5. Para construir a curva floco de neve, comece com um triângulo eqüilátero com lados de
comprimento L A Etapa 1 na construção é dívidir cada lado em três partes iguais, construir
um triângulo eqüilátero na parte do meio e então apagar a parte do meio (veja a figura). A
Etapa 2 consiste em repetir a Etapa 1 para cada lado do polígono resultante. Esse processo é
repetido a cada etapa seguinte. A curva floco de neve é aquela que resulta da repetição desse
processo indefinidamente.
(a) Sejam s," l, e Pn as representações do número de lados, do comprimento de um lado e do
comprimento total da n-ésirna curva de aproximação (a curva obtida depois da Etapa n de
construção), respectivamente. Encontre as fórmulas para s,, l" e p,.
(b) Mostre que p., _,. oo quando n _,. oo.
(c) Some uma série infinita para encontrar a área dentro da curva floco de neve.
As partes (b) e (c) mostram que a curva floco de neve é infinitamente longa, mas delimita apenas
uma área finita.

6. Encontre a soma da série
I I I I I I l
1+~+~+~+~+-+-+-+
2 3 4 6 8 9 12
onde os termos são os recíprocos dos inteiros positivos cujos únicos fatores primos são 2 e 3.
7. (a) Mostre que, para xy""" -I,
x- ·v
arctg x - arctg y = arct a ----­
o l + xy
se o lado esquerdo estiver entre -1f/2 e 1f/2.
(b) Mostre que
ICO I 1r
arctg 1!9 - arctg m = 4
(c) Deduza a seguinte fórmula de John Machin (1680-1751 ):
4 arctg 5 ' - arctg m ' = 41T
(d) Use a série de Maclaurin para arctg para mostrar que
(e) Mostre que
0197395560 < arctgj < 0,197395562
0,004184075 < arctg ,h< 0,004184077
(f) Deduza que, com precísão de sete casas decimais,
1T = 3,1415927
Machin usou esse método em 1706 para encontrar 1T com precisão de 100 ca~as decimais.
Neste século, com a ajuda de computadores, o valor de n tem sido calculado com uma
precisão cada vez maior. Em 1999, Takahashi e Kanada empregaram o método de
Borwein e Brent/Salamin, que calcularam o valor de 1r com precisão de 206.158.430.000
casas decimais!
8. (a) Prove uma fórmula similar àquela no Problema 7(a), mas envolvendo arccotg em
vez de arctg.
(b) Encontre a soma da série
2: arcco-tg(n 2 + n + 1)
n=O
9. Encontre o intervalo de convergência de I~~~ n 3 xn e sua soma.
10. Se ao + a1 + a2 + · · · + ak =O, mostre que
lim (a,,f,í +a, )íl+T + a 2 Jn + 2 + ·- · + a,.,;n+k) ~O
n·-+'"'
Se você não vê como provar isso, tente a estratégia de resolução de problemas com uso de
analogias (veja a página 80 do Volume I). Tente os casos especiais k = 1 e k = 2 primeiro.
Se você vir como provar a asserção para esses casos, provavelmente verá como prová-la no
caso geral.
11. Ache a soma da série "~ 2
In( 1 - ~2 ).
12. Suponha que você tenha um grande suprimento de livros, todos do mesmo tamanho, e os
empilha na borda de uma mesa, com cada livro se estendendo mais longe da borda da mesa do
que o livro embaixo dele. Mostre que é possível fazer isso de maneira que o livro no topo da
pilha se estenda inteiramente além da mesa. De fato, mostre que o livro do topo pode se
estender a qualquer distância além da borda da mesa se a pilha for alta o suficiente. Use o
788

seguinte método de empilhamento: o livro do topo se estende metade de seu comprimento
além do segundo lívro. O segundo livro se estende um quarto de seu comprimento além do
terceiro. O terceíro se estende um sexto de seu comprimento além do quarto, e assim por
diante. (Tente você mesmo com um baralho.) Considere os centros de massa.
I 4
I 6
8
1
2
FIGURA PARA O PROBLEMA 12
13. Seja
u = 1
X X X H)
v=x+~+~+~+
41 7! lO!
Mostre que u~ + v 3 + w 3 - 3uvw = 1.
14. Se p > 1, avalie a expressão
I I I
+-+-+-+
2P 3P 4P
I I I
-~+~--+
2P 3P 4P
15. Suponha que círculos de diâmetros iguais são dispostos firmemente em n fileiras dentro de um
triângulo eqüilátero. (A figura ilustra o caso n = 4.) Se A for a área do triângulo e A, for a
área total ocupada pelas n fileiras de círculos, mostre que
. An 1T
!~A~ 2J3
FIGURA PARA O PROBLEMA 15
16. A seqüência {a"} é definida recursivamente pelas equações
n(n - !)a" ~ (n - l)(n - 2)a., , - (n - 3)a, .,
Encontre a soma da série z;=o an.
789

17. Tornando o valor de xX em O igual a l e integrando uma série termo a termo, mostre que
18. Começando com os vértices P 1 (0, 1). P 2 (l, l), P,(l, O), P4(0, O) de um quadrado. construímos
outros pontos, como mostrado na figura: P 5 é o ponto médio de P 1 h; P 6 é o ponto médio de
P1P3; P1 é o ponto médio de P 3P" e assim por diante. O caminho espiral poligonal
P1P 2 P 3 PiP 5 P 6 P7 ... se aproxima de um ponto P dentro do quadrado.
(a) Se as coordenadas de Pn forem (x,, Yn), mostre que txn + X,+ 1 + Xn+2 + Xn+3 = 2
e encontre uma equação similar para as coordenadas do eixo y.
(b) Encontre as coordenadas de P.
FIGURA PARA O PROBLEMA 18
19. Se f(x) = L:~o cmx"' tiver raio de convergência positivo e ef(xl = L;;o=o d,xn, mostre que
nd" ~ 2: íc,d"-'
l=l
n ~ l
20. Triângulos retângulos são construídos conforme a figura. Cada triângulo tem altura igual a 1 e
sua base é a hipotenusa do triângulo anterior. Mostre que essa seqüência faz indefinidas voltas
ao redor de P ao mostrar que L e" é uma série divergente.
21. Considere a série cujos termos são os recíprocos de inteiros positivos que podem ser escrilos
na base 10 sem usar o digito O. Mostre que essa série é convergente e a soma é menor que 90.
790

22. (a) Mostre que a série de Maclaurin da função
X
f(x)~-_:_~
1-xé
ondeJ;, é o n-ésimo número de Fíbonacci, ou seja,f 1 = l,f 2 = 1 ef,, __ 1
+ fn--l para n , :_t
[Dica: Escrevax/(1- x- x 2 ) = c 0
+ c 1
x + c 7
-r2 +···e multiplique ambos os lados
dessa equação por 1 - x - x 2·]
(b) Ao escrever f(x) como uma soma de frações parciais e, portanto, obtermos a série de
Maclaurin em uma maneira diferente, ache uma fónnula explícita para o n-ésimo número
de Fibonacci.
791

12
Vetores e a Geometria
do Espaço
A velocídade do vento é um vetor,
já que tem magnitude e direção.

James Stewart CAPÍTULO 12 VETORES E A GEOfv1ETRiA DO ESPAÇO 793
Neste capítulo introduzimos vetores e sistemas de coordenadas para o espaço tridimensionaL
Isso nos fornecerá ferramentas para estudar no Capítulo 14 o cálculo de
funções de duas variáveis cujo gráfico é uma superfície no espaço. Neste capítulo
veremos que vetores fornecem uma descrição particularmente simples de retas e
planos no espaço.
X
FIGURA
Eixos coordenados
y
y
Sistema de Coordenadas Tridimensionais
Para localizar um ponto no plano são necessários dois números. Sabemos que qualquer
ponto no plano pode ser representado como um par ordenado (a, b) de números reais, onde
a é a coordenada x e b é a coordenada y. Por essa razão, um plano é dito bidimensionaL
Para localizar um ponto no espaço, necessitamos de três números. Representaremos qualquer
ponto no espaço pela tripla ordenada (a, b, c) de números reais.
Para representar pontos no espaço precisamos inicialmente fixar um ponto O (origem)
e três retas orientadas, passando por O, que sejam perpendiculares entre si, que chamaremos
eixos coordenados, denotados por eixo x, eixo y e eixo z. Geralmente, colocamos os
eixos x e)' como retas horizontais e a reta vertical como o eixo z, e indicamos a orientação
dos eixos, como mostrado na Figura 1. O sentido do eixo z é determinado pela regra da
mão direita, como ilustrado na Figura 2. Se você arredondar os dedos de sua mão direita
ao redor do eixo z de forma a rodar de 90° no sentido anti-horário do eixo x para o eixo y, o
polegar apontará para o sentido positivo do eixo z.
Os três eixos coordenados determinam três planos coordenados [ilustrados na Figura
3(a)]. O plano xy contém os eixos x e y, o plano yz possui os eixos y e z e o plano xz detém
os eixos x e z. Os três planos coordenados dividem o espaço em oito partes, chamadas
octantes. O primeiro octante é determinado pelos eixos positivos.
FIGURA 2
Regra da mão direita
Plano yz
X
FIGURA 3 (a) Planos coordenados (b)
Como muitas pessoas têm dificuldade em visualizar diagramas de figuras em três
dimensões, você poderá achar útil fazer o que sugerimos a seguir [veja a Figura 3(b)], Olhe
para algum canto inferior da sala e defina-o como origem. A parede que se encontra à sua
esquerda está no plano xz, a parede à sua direita pertence ao plano yz e o chão pertence ao
plano xy. O eixo x está ao longo da interseção do chão com a parede esquerda. O eixo y
fica ao longo da interseção do chão com a parede direita. O eixo z corre ao longo da interseção
das duas paredes orientado no sentido do teto. Se você está no primeiro octante e
imagina outras sete salas situadas nos outros sete octantes (três no mesmo andar e quatro
no andar abaixo), todas têm o canto O em comum.
Seja P um ponto qualquer do espaço, e seja a a distância (medida na perpendicular ao
plano) de P até o plano yz, b a distância de P até o plano xz e c a distância de P até o plano

794 CÁlCUlO Editora Thomson
FIGURA 4
jP(a, b, c)
I
xy. Representaremos o ponto P pela tripla ordenada (a, b, c) de números reais e chamaremos
a, b e c coordenadas do ponto P; a é a coordenada x, b é a coordenada y e c é a coordenada
z. Então, para localizar o ponto (a, b, c) começamos da origem O e movemos a
unidades ao longo do eixo x, em seguida, b unidades paralelamente ao eixo y e, por fim, c
unidades paralelamente ao eixo z, como na Figura 4.
O ponto P(a, b, c) detennina uma caixa retangular como na Figura 5. Se desenharmos
uma perpendicular de P ao plano xy, obteremos o ponto Q, com coordenadas (a, b, 0),
denominado projeção de P no plano xy. Da mesma forma, R(O, b, c) e S(a, O, c) são
respectivamente as projeções de P nos planos yz e xz.
Como ilustração numérica, os pontos ( -4, 3, -5) e (3, -2, -6) estão indicados na
Figura 6.
(0, O, c)
S(a, O,()
.._ _ P(a,b,()
I i I '
I I I
~~· 1/ ~ (0,b,0)
~:r~ I ,
-hiR(O,h,

Jarnes Stewart CAPÍTUlO 12 VETORES E A GEOMETRiA DO ESPr\CO 795
(b) A equação y = 5 representa o conjunto de todos os pontos de IR 3 com coordenada)'
igual a 5. Esses pontos pertencem a um plano vertical, paralelo ao plano xz, e cinco
unidades à direita deste, como mostrado na Figura 7(b).
NOTA l1 Quando é dada uma equação, precisamos saber se ela representa uma curva em
!R 2 ou uma superfície em !R 3 • No Exemplo 1, y = 5 representa um plano em !R 3 , mas pode
representar uma reta em !R 2 se estivermos trabalhando com geometria analítica bidírnensional
[veja as Figuras 7(b) e (c)].
Em geral, se k é uma constante, então x = k representa um plano paralelo ao plano yz,
y = k corresponde a um plano paralelo ao plano xz e z = k refere-se a um plano paralelo
ao plano xy. Na Figura 5, as faces da caixa retangular são formadas pelos três planos coor~
denados x ~O (o plano yz), y ~O (o plano xz) e z = O (plano xy), e pelos planos x ~a.
y=bez=c.
o
- -----
--; y
Descreva c esboce a superfície em IR 3 representada pela equação y = x.
SOLUÇÃO A equação representa o conjunto de todos os pontos em IR.-' com coordenadas x
e y iguais, isto é, { (x, x, z) I x E ~. z E IR}. Esses pontos pertencem a um plano vertical
que intercepta o plano xy na reta y = x, z = O. A parte desse plano que está no primeiro
octante está esboçada na Figura 8.
A fórmula familiar para a distância entre dois pontos em um plano é estendida facilmente
para a seguinte fórmula tridimensional.
FIGURA 8
Oplanoy=x
X
P 1 (XJ, y,, z 1 ) e P 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) é
A distância I P1P2j entre os pontos
Para ver se essa fórmula é verdadeira, vamos construir uma caixa retangular (como na
Figura 9), onde P1 e P2 são vértices opostos e as faces dessa caixa são paralelas aos planos
coordenados. Se A(x2, )'1, z1) e B(x2, y2, z1) são os vértices da caixa indicados na figura,
então
Como os triângulos P 1 BP2 e P1AB são retangulares, duas aplicações do Teorema de
Pitágoras fornecem
jP,P,j' ~ jP,Bj 2 + jBP 2 j 2
X
FIGURA 9
e
Combinando as duas equações, obtemos
jP,Bj 2 ~ jP,Aj 2 + jABj 2
jP 1P 2 j 2 = jP,Aj 2 + jABj 2 + jBP 2 j 2
= I Xz - x, I' + i )'2 - y, i' + i Zz - z, r
= (x, - x,)' + (y, - y,)' + (zz - z,)'
Portanto

796 o CÁlCULO Editora Thomson
EXEMPLO 3 ~
A distância do ponto P(2, -1, 7) ao ponto Q(L -3, 5) é
IPQI ~ .j(l- 2)' + (-3 + 1)2 +(5-7)'
~vi+ 4 + 4 ~ 3
EXHVWLO 4 Encontre a equação da esfera com raio r e centro C(h, k, !).
SOLUÇÃO Por definição, a esfera é o conjunto de todos os pontos P(x, y, z) com distância
ao ponto C igual a r (veja a Figura 10). Então, P pertence à esfera se e somente se
I PC I ~ r. Elevando ao quadrado ambos os lados, temos que I PC I' ~ r 2 ou
(x - h)' + (y - k)' + (z - 1) 2 ~ r 2
O resultado do Exemplo 4 deve ser guardado.
X
FIGURA 10
y
Eqc:aç:lo da Esfera Uma equação da esfera de centro C(h, k, I) e raio r é
(x - h)' + (y - k)' + (z - l)' = r 2
Em particular, se o centro é a origem O, a equação da esfera é
EXEMPLO 5 - Mostre que x 2 + y 2 + z 2 + 4x - 6y + 2z + 6 = O é a equação de uma
esfera e encontre seu centro e raio.
SOLUÇÃO Podemos reescrever a equação dada na forma da equação de uma esfera se
completarmos os quadrados:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 - 6y + 9) + (z 2 + 2z + l) ~ -6 + 4 + 9 + I
(x + 2) 2 + (y - 3) 2 + (z + 1) 2 = 8
Comparando essa equação com a forma padrão, vemos que temos a equação de uma
esfera com centro ( -2, 3, -1) e raio ,f8 = 2)2.
EXEMPLO 6 c Que região de IR 3 é representada pelas seguintes inequações
z~O
SOLUÇÃO As inequações
podem ser reescritas como
1 ~ x 2 + y 2 + z 2 ~ 4
X
FIGURA 11
y
e portanto representam os pontos (x, y, z) com distância à origem entre 1 e, no máximo,
2. Mas nos foi dado também que z ~ O, estando os pontos, portanto, abaixo do plano .:ty.
Assim, a inequação dada representa a região que está entre as (ou nas) esferas
x 2 + y 2 + z 2 =
1 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 e abaixo (ou sobre) o plano xy. O esboço da
região está apresentado na Figura 11.

James Stewart CAPÍTULO 12 VETORES E A GE0tv1E fJiiA DO ESPAÇO 797
Exercidos
t
Suponha que, a partir da origem, você tenha percorrido uma
distância de quatro unidades ao longo do eixo x no sentido
positivo e então uma distância de três unidades para baixo.
Quaís as coordenadas de sua posição atual
2. Esboce os pontos (0. 5, 2), (4. O, -I), (2. 4, 6) e (I, I, 2) em
um mesmo conjunto de eixos coordenados.
3. Qual dos pontos está mais próxi111o do plano xz: P(6, 2, 3),
Q( -5, -1, 4) ou R(O, 3, 8) Qual ponto pertence ao plano yz
4. Quais são as projeções do ponto (2, 3, 5) nos planos xy, yz c
x:: Desenhe uma caixa retangular que tenha vértices opostos
na origem e em (2, 3, 5) e com faces paralelas aos planos
coordenados. Nomeie todos os vértices da caixa. Determine o
comprimento da diagonal dessa caixa.
5. Descreva e esboce no R' a superfície representada pela
equação x + y = 2.
6. (a) Qual a representação da equação x = 4 em !R 2 Em ~ 3
Faça um esboço delas.
(b) Qual a representação da equação y = 3 em !H 3 O que z = 5
representa Qual a representação do par de equações y = 3 c
z = 5 Em outras palavras, descreva o conjunto de pontos
(x, y, z) tal que y = 3 e z = 5. ilustre com um esboço.
1. Mostre que o triângulo com vértices em P( -2, 4, 0),
Q(l, 2, -I) e R(-!,!, 2) é um triângulo eqüilátero.
8. Encontre o comprimento dos lados do triângulo com vértices
A( I, 2,-3), B(3, 4, - 2) e C(3, - 2, l). O triângulo ABC é
retângulo É isósceles
9. Determine se os pontos estão alinhados.
(a) A(5, I, 3), B(7, 9, -!),
(b) K(O, 3, -4), L(!, 2, -2),
C( I, -15, ll)
M(3, O, l)
10. Determine a distância entre (3, 7, - 5) e cada um dos seguintes.
(a) Planoxy
(c) Plano xz
(e) Eixo y
(b) Plano yz
(d) Eixo x
(f) Eixo z
11. Determine a equação da esfera com centro em (1, -4, 3) e raio
5. Qual é a interseção dessa esfera com o plano xz
12. Determine a equação da esfera com centro em (6, 5, -2) e raio
'\ff. Descreva sua interseção com os planos coordenados.
Detennine a equação da esfera que passa pelo ponto
(4, 3, -l) e tem centro em (3, 8, 1).
14. Deternüne a equação da esfera que passa pela origem e tem
centro em (1, 2, 3).
Mostre que a equação representa uma esfera e determine
seu centro e raio.
15. x: + y 2 + z 2 6.t + 4y - 2z = ll
16. X 2 + y 2 + Z: = 4x - 2y
17. x 2 + y 2 + z 2 = x + y + z
18. 4x 2 + 4y 2 + 4z 2 8x + l6y = l
19. (a) Prove que o ponto médio do segmento de reta que liga
P1(x1, y:, zt) a P2(x2, .Y::., z2) é
( X1 ; X o, y, ; y,, z, ; Zz)
(b) Determine o comprimento da mediana do triângulo com
vértices em A(l, 2, 3), B(-2. O, 5) e C(4, !, 5).
20. Estabeleça a equação de uma esfera que tenha um diâmelro
com pontos terminais dados por (2, 1, 4) e (4, 3, 10).
'!21, Estipule as equações das esferas com centro em (2, -3, 6) e
tangência (a) no plano xy, (b) no plano )'Z e (c) no plano xz.
22. Detctmine a equação da maior esfera com centro em (5, 4, 9)
contida no primeiro octantc.
Descreva em palavras a região de !R. 3 representada pela
equação ou inequação.
23. y ~ -4 24. X~ lO
25. x>3 26. y.:::::O
o::::::z:s;6
28. y=z
29. x2 + y2 + z2 > 1 30. 1 ~ x 2 + y 2 + z 2 ~ 25
31. x 2 + y 2 + z 2 - 2z < 3 32. x2 + y1 = 1
x 2 + z 2 ~ 9 34. xyz =O
35-38 c Escreva inequações para descrever a região dada.
35. Semi-espaço de todos os pontos que estão à esquerda do plano
xz.
36. Caixa retangular sólida no primeiro octante limitada pelos
planos x = 1, y = 2 e z = 3.
A região constituída por todos os pontos entre (mas não sobre)
as esferas de raio r e R centradas na origem, onde r < R.
38. O hemisfério superior sólido da esfera de raio 2 centrada na
origem.

798 u CÁlCULO Editora Thomson
39. A figura mostra uma reta Lt no espaço c uma segunda reta L 2,
que é a projeção de L 1 no plano xy. (Isto é,
os pontos de L 2 estão diretamente embaixo ou em cima dos
pontos de L 1 .)
(a) Determíne as coordenadas do ponto P da reta L:.
(b) Localize no diagrama os pontos A, B e C onde a reta L:
intercepta os planos x;; }'Z e xz, respectivamente.
40. Considere o ponto P tal que a distância de P a A(~ I, 5, 3) seja
o dobro da distância de P a B( 6, 2, - 2). Mostre que o conjunto
desses pontos é uma esfera e determíne seu raio e centro.
41. Determine a equação do conjunto de pontos eqüídistantcs dos
pontos A( -1, 5, 3) e B(6, 2. - 2). Descreva o conjunto.
42. Detem1ine o volume do sólido que está contido em ambas as
esferas
x 2 + y 2 + z 2 + 4x - 2y + 4z + 5 =O
e x' + y·' + z 2 = 4
A
c
~~~B
~
FIGURA
Vetores
~=~·· ~·· ~··~~·~~~·~~~~~···~~·~··· ·····~·~·~·~·········.
FIGURA 1
Vetores equivalentes
2
O termo vetor é usado por cientistas para indicar quantidades (tais como deslocamento ou
velocidade ou força) que tem ao mesmo tempo grandeza, direção e sentido. Um vetor é
freqüentemente representado por uma seta ou segmento de reta orientado. O comprimento
da seta representa o tamanho do vetor e a seta aponta na direção do vetor. Denotamos um
vetor por uma letra em negrito (v) ou colocando uma seta sobre a letra (Vl
Por exemplo, suponha que uma partícula se mova ao longo de um segmento de reta
de um ponto A para um ponto B. O vetor de deslocamento v, mostrado na Figura 1,
tem m~ponto inicial A (o início) e um-.J!onto terminal B (o fim) e indicamos isso por
v = AB. Observe que o vetor u = CD tem o mesmo tamanho, a mesma direção e
sentido que v, embora ele esteja em uma posição diferente. Dizemos que u e v são equivalentes
(ou iguais) e escrevemos u =v. O vetor zero, denotado por O, tem comprimento
O. Ele é o único vetor que não tem direção específica.
Combinando vetores
_,
Suponha que uma partícula se mova de A para B, assim seu deslocamento é AB:_Qepois,
a partícula muda de direção e se move de B para C, com o vetor deslocamento BC como
na Figura 2. O efeito combinado desses deslocam~tos é que a partícula se-..!Vove~dc
A para C. O vetor deslocamento resultante de AC é chamado soma de AB e BC e
escrevemos
-7 _, -7
AC~AB +BC
Em geral, se começamos com os vetores u e v, primeiro movemos v de forma que
seu início coincida com o fim de u e definimos a soma de u e " como:
da rls Vztares Se u e v são vetores posicionados de maneira
ponto inicial de v é o ponto terminal de u, então a soma u + v é o vetor do ponto
inicial de u ao ponto terminal de Y.

James Stewart CAPÍTUlO 12 VETOHES E A GEOMETRiA DO ESP.AÇO 799
A definição de adição de vetores é ilustrada na Figura 3. Você pode ver por que essa
definição é algumas vezes chamada Lei do Triângulo.
u + \'
FIGURA 3
Lei do triângulo
u
FIGURA 4 Lei do Paralelograma
Na Figura 4, começamos com os mesmos vetores u e v como na Figura 3 c
desenhamos uma cópia de v com o mesmo ponto inicial de u. Completando o
paralelogramo, vemos que u +v= v+ u. Isso nos dá outra maneira de construir a soma:
se posicionarmos u e v de maneira que eles comecem no mesmo ponto, então u + v
estará ao longo da diagonal do paralelogramo com u e v corno lados. (Esta é a chamada
Lei do Paralelogramo.)
Desenhe a soma dos vetores a e b mostrados na Figura 5.
a
b
SOLUÇÃO Primeiro transladamos b e posicionamos seu ponto inicial no ponto final de a,
tomando cuidado para desenhar uma cópia de b que tenha o mesmo tamanho e direção.
Logo após, desenhamos o vetor a+ b f veja Fígura 6(a)] começando no ponto inicial de
a e terminando no ponto final da cópia de b.
FIGURA 5
Alternativamente, podemos posicionar b tal que ele comece onde a começa e
construir a+ b pela Lei do Paralelogramo como na Figura 6(b).
b
a+b
FIGURA 6
(a)
(b)
É possível multiplicar um vetor por um número real c. (Nesse contexto, chamamos o
número real c de escalar para distingui-lo de um vetor.) Por exemplo, queremos que 2v
seja o mesmo vetor que v + v, o qual possui a mesma direção e sentido de v, mas tem o
dobro de tamanho. Em geral, multiplicamos um vetor por um escalar da seguinte maneira.
2v
-1,5v
FIGURA 7
Múltiplos escalares de v
de
um Se c é um escalar e v, um vetor, então a multiplicação
escalar cv é o vetor cujo tamanho é I c I vezes o tamanho de v e cuja díreção e sentido
é a mesma de v se c > O e sentido oposto a v se c < O. Se c = O ou v =
cv =O.
Essa definição é ilustrada na Figura 7. Vemos que os números reais funcionam como
fatores de escala aqui; por causa disso nós os chamamos escalares. Note que dois
vetores não-nulos são paralelos se eles são múltiplos escalares um do outro. Em
particular, o vetor -v = ( -l)v tem o mesmo comprimento que v, mas apontam em
sentidos opostos. Nós o chamamos de negativo de v.
Pela diferença u - v de dois vetores, queremos dizer
u -
v = " + (-v)

800 ;__; CÁLCULO Editora Tbomson
Logo. podemos construir u - v desenhando primeiro o negativo de v. -v. e então
adicionando a ele o vetor u e usando a Lei do Paralelogramo como na Figura 8(a).
Alternativamente, como v + (u - v) = u, o vetor u - v, quando adicionado a v nos
dá u. Assim, podemos construir u - v como na Figura 8(b) usando a Lei do Triângulo.
FIGURA 8
Desenhando u -
v
--v
(a)
Se a e b são os vetores mostrados na Figura 9, desenhe a - 2b.
SOLUÇÃO Primeiro, desenhamos o vetor - 2b apontando na direção oposta a b e com o
dobn; de seu tamanho. Nós o posicionamos com seu ponto inicial no ponto final de a c
então usamos a Lei do Triângulo para desenhar a+ ( -2b) como na Figura 10.
v'
u
(b)
u
'
-2b
o/ 1
(apac,aJI
a ,...... ....... 1
/ I
'
', I
x/
' I
'"
a= (a 1 , a 2 , a3)
FIGURA 11
--­ y
FIGURA 9
Componentes
a- 2b
FIGURA 10
Para alguns propósitos é melhor introduzir um sistema de coordenados e tratar os
vetores algebricamente. Se posicionarmos o ponto inicial de um vetor a na origem de
um sistema de coordenadas retangulares, então o ponto terminal de a tem coordenadas
da forma (a~, a2) ou (a h a2, a3) dependendo se nosso sistema de coordenadas for em
duas ou três dimensões (veja a Figura 11 ). Essas coordenadas são denominadas componentes
de a e escrevemos
a~ (a 1 , a 2 ) ou
Usamos a notação a 3 )

James Stewart CAPÍTULO 12 VETORES E ·"'-GEOMETRIA DO ESPJ'.,ÇO 801
~
Em três dimensões, o vetor a= OP = (a;. a2. a3) é a posição do vetor do pony:;
P(aj, a2, a;). (Veja a Figura 13.) Vamos considerar qualquer outra representação AB
de a, onde o ponto inicial é A(x~, )'1, z1) e o ponto final é B(x:, }'.;_, z:J Então, temos
que X1 + a1 = x:, )'1 + a2 = Yz e z1 +a,= z2 e assim a1 = X2 ~ X1, a2 = )'2- )'1, c
a3 = Z2 -
Z1. Portanto, temos o seguinte resultado.
-">
Dados os pontos A(x1. y~, z1) e B(xz, Y> zz), o vetor a com representação AB é
a ~ (x2 - x, Y2 - y,, z, - z,)
EXEMPLO 3 Ache o vetor representado pelo segmento de reta com ponto inicial
A(2, -3, 4) e ponto final B(-2, I, 1).
-">
SOLUÇÃO Por (I), o vetor correspondente a AB é
a~ (-2- 2, l- (-3), l- 4) ~ (-4,4, -3)
A magnitude ou comprimento do vetor v é o comprimento de qualquer uma de suas
representações e é denotado pelo símbolo I v I ou li v 11- Ao se usar a fórmula da distância
para calcular o comprimento de um segmento OP, obtemos as seguintes fórmulas.
O comprimento de um vetor bidimensional a= (a~, a2! é
I a I = Jaf + aS
O comprimento de um vetor tridimensional a= (ait a2, a;/ é
FIGURA 14
Como somamos os vetores algebricamente A Figura 14 mostra que, se a= (a1, a2!
e b ~(h, h,), então a soma é a+ b ~(a,+ b, a,+ b2), no mínimo, para o caso
onde os componentes são positivos. Em outras palavras, para somar os vetores
algébricos, somamos suas componentes. Similarmente, para subtrair os vetores,
subtraímos as componentes. Dos triângulos similares na Figura 15, vemos que as
componentes de ca são ca1 e ca2 Assim, para multiplicar um vetor por um escalar,
multiplicamos cada componente pelo escalar.
Se a~ (a" a,) e b ~ (h,, b,), então
FIGURA 15
c a
ca 1
I
I
lca
I '
I
I
__]
a + b ~ (a, + b, a2 + b,) a - b ~ (a, - b, a2 - b2)
ca ~ (ca, ca 2 )
Similarmente, para os vetores tridimensionais,
(a" a,, a1) + (h, h2, b1) ~ (a, + b,, a, + b,, a1 + b1)
(a,, a,, a3) - (b" b2, h1) ~ (a, - b,, a, - h,, a, - b1)
c(a1, a2, a3) =
(ca1, ca2, ca3/
EXEMPU!4 c: Se a~ (4, O, 3) e b ~ (-2, 1, 5), determine I a I e os vetores a+ b,
a - b, 3b e 2a + 5b.
SOLUÇÃO I a I ~ ~4 2 + 0 2 + 3 2 ~ y'25 ~ 5
a + b ~ (4, O, 3) + ( -2, l, 5)
~ (4- 2,0 + l, 3 + 5) ~ (2, 1,8)
a- b ~ (4,0,3)- (-2, 1,5)

802 U CÂlCULO Editora Thomson
~ (4- (-2), ()- ], 3- 5) ~ (6, -], -2)
3b ~ 3( -2, l, 5) ~ (3(-2), 3(1), 3(5)) ~ ( -6, 3, 15)
2a + 5b ~ 2(4,0,3) + 5(-2, 1,5)
~ (8,0,6) + (-10,5,25) ~ (-2,5,31)
Vetores em n dimensões silo usados
para listar várias quantidades em
um modo organizado. Por exemplo, as
componentes do vetor de d:mensão 6
P = (p;,p"'p,,p,.po.r6!
podem representar os preços de seis
itens diferentes requeridos na
fabricação de úm artigo particular
Vetores de dimensão 4 (x. _r, z. tj são
usados em teoria da relatividade, onde
as primeiras três componentes espec'~
ficam a posição no espaço e o quarto
representa o tempo.
Denotaremos por V 2 o conjunto de todos os vetores bidimensionais e por V 3 o conjunto
de todos os vetores tridimensionais. Genericamente, adiante, precisaremos consider;u o
conjunto V, dos vetores de dimensão n. Um vetor de dimensão n é uma n-upla ordenada:
a~ (a~,a 2 , ••• ,a,)
onde a~, a 2, •.• , a, são números reais chamados componentes de a. Adição e multiplícação
escalar são definidas nos tennos dos componentes como nos casos de 11 = 2 e n = 3.
1. a+ b ~ b +a
3.a+O~a
Se a, b e c são vetores em \~, e c e d são escalares, então
2. a + (b + c) ~ (a + b ) + c
4.a+(-a)~o
5. c(a + b) ~ ca + cb
7. (cá) a ~ c(da)
6. (c + á)a ~ ca + da
8. la~ a
Essas oito propriedades dos vetores podem ser facilmente verificadas tanto geométrica
quanto algebricamente. Por exemplo, a Propriedade l pode ser vista na Figura 5 (equivale
à Lei do Paralelogramo) ou como se segue no caso 11 = 2:
a+ b ~ (a,a 2 ) + (b,b 2 ) ~ (a 1 + b 1 ,a 2 + b 2 )
c
~ (b, +a ~o b, +a,) ~ (b,, b,) + (a, a 2 )
~b+a
(a+ b) + c
=a + (b + c)
a+
+c
b
Podemos ver que a Propriedade 2 (lei associativ~ é verdadeira olhando a Figura 9 e
aplicando a Lei do Triângulo várias vezes. O vetor PQ é obtido ou primeiro construindose
a + b e então somando-se c ou somando-se a ao vetor b + c.
Três vetores em V:, têm papel especial. Sejam
p
FIGURA 16
a
i~ (1,0,0) j ~(O, 1,0) k ~(O, O, I)
Então i, j e k são vetores que têm módulo 1, direção e sentido dos eixos positivos x, y e z,
respectivamente. Da mesma forma, em duas dimensões, definimos i= (1, O) e
j ~ (0, 1). (Veja a Figura 17.)
Yj
I
(0, l)_j
'I
I
I
k i j
X
í········.·~~
FIGURA 17
Base padrão em V2 e V,,
(a)
(1, O)
(b)
y

James Stewart CAPÍTUlO 12 VETORES E A GEOk1ETRIA DO ESPAÇO 803
Se a~
az, a3). então podemos escrever
a~ (a,a,,aJ) ~ (a,O,O) + (O,a,,O) + (O,O,a,)
~a,(l,O,O) + a 2 (0, 1,0) + a,(O,O, l)
(a,, a,)
Assim, qualquer vetor em \1 3 pode ser expresso em função da base padrão i, j e k.
Por exemplo,
(1, -2,6) ~i- 2j + 6k
Da mesma forma, em duas dimensões, podemos escrever
X
FIGURA 18
y
Veja a Figura 18 para a interpretação geométrica das Equações 3 e 2 e compare com a
Figura 17.
:t.:u::;v;~-:;LD -- Se a i + 2j - 3k e b = 4i + 7k, escreva o vetor 2a + 3b em função
dei,jek.
SOLUÇÃO Usando as Propriedades 1, 2, 5, 6 e 7 dos vetores, temos
2a + 3b ~ 2(i + 2j - 3k) + 3(4i + 7k)
~ 2i + 4j - 6k + 12i + 21k ~ 14i + 4j + 15k
Um vetor unitário ou versor 1 é um vetor cujo módulo é 1. Os vetores i, j c k são exemplos
de vetores unitários ou versares. Em geral, se a * O, então o vetor unitário que tem
mesma direção e mesmo sentido de a, chamado versor de a, é
1 a
u~j;fa~j;T
Para verificar isso, seja c ~ 1/l a I Então u ~ ca e c é um escalar positivo, de modo que u
tem o mesmo sentido do vetor a. Além disso
EX\:,l\,~PUJ 5 c- Determine o versor do vetor 2i - j - 2k.
SOLUÇÃO O vetor dado tem módulo
l2i - J - 2k 1 = ~2' +

804 ~~-l CÁLCUlO Editora Thomson
T,
EXEf

James Stewart CAPÍTULO 12 VETORES E A GEOfdETR!A DO ESPAÇO 805
4. Escreva cada combinação de vetores como um úníco vetor.
~ ____.__.,.
(a) PQ + QR
~ ----'>-
(b) RP + PS
------'>- ----"' ------'>- ------'>- ~
(c) QS - PS (d) RS + SP + PQ
5. Copie os vetores na figura e use-os para desenhar os seguintes
vetores.
(a) u + Y
(b) u - v
(c) v + w
(d) w -+ \' + u
t
' !w
6. Copie os vetores na ügura e use-os para desenhar os seguintes
vetores.
(a) a+b
(b) a-b
(c) 2a
(d) -~b
(e) 2a+b
(f) b- 3a
23-25 Detennine o vetor- unitário com mesma direção c sentido
que o vetor dado.
23. (9. -5) 24. l2i - Sj
~~· Si j + 4k
26. Ache um vetor que possui a mesma direção que (-2, 4, 2).
mas tem comprimento 6.
27. Se y está no primeiro quadrante e faz um ângulo de n/3 com o
eixo x-positivo e j v I= 4, ache as componentes de v.
28. Se uma criança puxa un1 trenó na neve com força de 50 N a
um ângulo de 38° com relação à horizontaL ache as
componentes horizontal e vertical da força.
29. Duas forças F 1
e F c com_ grandezas lO lb c l2lb agem sobre
um objeto em um ponto P como mostrado na figura. Determine
a força resultante F agindo em P assim como sua magnitude.
direção e sentido. (Indique a direção determinando o ângulo O
exposto na figura.)
F
F,
p
7-12 _ Determine o vetor a ~m represen~ção dada pelo
segmento de reta orientado AB. Desenhe AB e o equivalente com
início na origem.
7. A(2, 3), 8( -2, l)
9. A(-1, -l), 8(-3,4)
11. A( O, 3, l), 8(2, 3, -l)
8. A(-2, -2), 8(5, 3)
10. A( -2, 2), 8(3, O)
12. A(4, O, -2), 8(4, 2, l)
13-16 ~J Detennine a soma dos vetores dados e ilustre
geometricamente.
13. (3, -l),
15. (0, l, 2),
( -2, 4)
(0,0.-3)
14. (-2, -])'
16. ( -1, O, 2 ),
U-22 = Determine j a j, a + b, a - b, 2a e 3a + 4b.
17. a~ (-4,3), b~ (6,2)
18. a~ 2i- 3j, b ~i+ Sj
19. a~(6,2,3), b~(-1,5,-2)
20. a~ ( -3, -4. -1), b ~ (6, 2, -3)
21. a ~ i - 2j + k, b ~i + 2k
22 .• ~ 3i- 21

806 c CÁLCULO Editora Thomson
33. Um varal de roupas é cstendído entre dois postes, 8 m distantes
um do outro. O fio do varal está bastante e-5ticado. de forma a
ser considerado horizontaL Quando uma camisa molhada com
uma massa de 0,8 kg é pendurada no meio do varal, esse ponto
centrai é deslocado para baixo em 8 em. Determine a tensão
em cada metade do varal.
34. A tensão T em cada ponta dç uma con·entc tem uma
magnitude de 25 N. Qual o peso da corrente
35. Se A, B e C são vértices de um triângulo. determine
~ ~ ~
AB-+- BC-+- CA.
36. Seja C um ponto no segmento de reta ,4_! que é d~s vezes ~-
mais longe de B do que de A. Se a = OA. b = OB e c = OC
mostre que c = i a + } b.
.37. (a) Desenhe os vetores a= {3. 2), b = (2, -1) e
c~(7,1).
(b) Mostre, por um esboço, que existem escalares s e t tais que
c= sa + tb.
(c) Use o esboço para estimar os valores de se t.
(d) Determine os valores exatos de se t.
38. Suponha que a e b sejam vetores não-nulos não-paralelos e c
seja um vetor pertencente ao plano determinado por a e b. Dê
um argumento geométrico para mostrar quer c pode ser escrito
como c = sa + tb para uma escolha conveniente de se t.
Depois dê argumentos usando componentes.
/
/
_39. Se r = (x. _v, z) e r(, = (xo, y 0 , z 0 ). descreva o conjunto de
todos os pontos Cr, y. z) tal que I r rn I = J..
40. Se r = (x, y), r! = (x~, )'1) c r 2 = (x 2 , J:>), descreva o
conjunto de todos os pontos (x, y) tal que
I r - r, I + I r - r, I ~ k, onde k > I r, - r, 1-
41. A Figura 16 fomece uma demonstração geométrica da
Propriedade 2 dos vetores. Use os componentes para dar uma
prova algébrica desse fato no caso n = 2.
42. Prove a Propriedade 5 dos vetores algebricamente para n = 3. Use
então a semelhança de triângulos para fazer uma prova geométrica.
43. Utilize os vetores para provar que uma reta unindo os pontos
médios de dois lados de um triângulo é paralela ao terceiro
lado c tem metade de seu comprimento.
44. Suponha que os três planos coordenados são todos espelhados e
que um raio de luz dado pelo vetor a= (a~, a 2 , a-') atinge o
plano xz, como mostrado na figura. Use o fato de os ângulos de
incidência e de reflexão serem iguais para mostrar que a direção
do raio refletido é dada por b = (a 1 , -a 2 , a 3 ). Deduza que,
após ser refletido em todos os três espelhos perpendiculares. o
raio resultante é paralelo ao raio inicial. (Cientistas norte-amcri~
canos usaram esse princípio, juntamente com um feixe de laser c
um conjunto de espelhos em cantoneira na Lua, para calcular de
modo preciso a distância da Tena à Lua.)
y
O Produto Escalar
Até aqui aprendemos a somar os vetores e multiplicá-los por um escalar. A seguinte
questão surge: é possível multiplicar dois vetores de modo que o valor resultante seja de
alguma utilidade Um desses produtos é o produto escalar, cuja definição vem a seguir.
O outro é o produto vetorial, que será discutido na próxima seção.
Se a~ (a, a,, a3) e b ~ (b" by, b,), então o produto escalar de
a e b é o número a · b dado por
a· b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Assim, para achar o produto escalar de a por b multiplicamos as componentes correspondentes
e somamos. O resultado não é um vetor. É um número real, isto é, um
escalar, por isso o nome produto escalar. O produto escalar também é conhecido
como produto interno. Apesar de a definição ter sido dada para os vetores tridimensionais,
o pfoduto escalar para os vetores bidimensionais é definido de forma análoga:
(a,, a 2 ) • (h, by) ~ a,b, + a,b 2

James Stewart CAPÍTULO 12 VETORES E 1':!.. GEür-/IETRLD.. DO ESPI\CO 807
(2,4). (3, -1) ~ 2(3) + 4(-1) ~ 2
1, 7,4). (6,2. -l) ~

CÁLCULO
Editora Thomsnn
ou a~ O ou b ~ 0.) Mas I OA I ~ I a 1. I OB I ~ I b I e j.4B J ~ I a -
Equação 4 se toma
b 1. de forma que a
Usando as Propriedades 1, 2 e 3 do produto escalar, podemos reescrever o lado esquerdo
dessa equação como:
Portanto, a Equação 5 fornece
I a - b I'~ (a - b) · (a - b)
~a·a-a·b-b·a+b·b
~ I a I' - 2a · b + I b i'
I a I' - 2a · b + I b I' ~ I a I' + I b I' - 21 a 11 b 1 cos o
Então
ou
-2a · b ~ -21 a li bIcos 8
a·b~laJiblcosO
iEXEMPUJ 1 _ Se os vetores a e b têm normas 4 e 6, e o ângulo entre eles é 7r/3, determine
a· b.
SOLUÇÃO Usando o Teorema 3, temos
a· b ~ laJibl cos(r./3) ~4 · 6 · ~ ~ 12
A fórmula do Teorema 3 nos permite ainda determinar o ângulo entre dois vetores.
Comlárlo Se 8 é o ângulo entre dois vetores não-nulos a e b, então
EXEMPLO 3 c Determine o ângulo entre os vetores a ~ ( 2, 2, -1) e b ~ ( 5, -3, 2).
SOLUÇÃO Como
e
e como
temos, do Corolário 6,
a· b ~ 2(5) + 2(-3) + (-1)(2) = 2
cose
2
3j38
Assim o ângulo entre a e b é
O=cos-'( 3
] 38
) = 1,46
(ou84')

James Stewart CAPÍTULO 12 VETORES L A_ GE0fv1ETRIA DO r:SF'ACO 809
Dois vetores não-nulos a e b são perpendiculares ou ortogonais se o ângulo entre eles
é 8 = 1T/2. O Teorema 3 nos fomece
a · b = I a li b I cos( 1T/2) = O
e reciprocamente se a · b = O, então cos 8 = O, o que implica que 8 = 7í/2. O vetor nulo
O é dito perpendicular a todos os vetores. Temos, portanto, um método para determinar se
dois vetores são ortogonais.
a e b são ortogonais se e somente se a · b = O.
FIGURA 2
a·b >O
a·b =O
a·b O se O ::s; 8 < 1T/2 e cos 8 < O se 7T/2 < 8 ::;;::; 1r, vemos que a · b
é positivo se () < 1r/2 e negativo se 8 > 7i/2. O produto escalar a . b nos fornece uma
medida de quão próxima é a direção para onde os dois vetores apontam. O produto escalar
a · b é positivo se a e b têm o mesmo sentido geral, O se são perpendiculares, e negativo
se têm sentido geral oposto (veja a Figura 2). No caso extremo onde a e b têm mesma
direção e sentido, temos () = O, portanto cos () = 1 e
Se a e b têm a mesma direção, mas sentidos opostos, então () = 1T e assim cos () = - 1 e
a·b= -lallbl.
Ângulos Diretores e Cossenos Diretores
X
q
I
~----
/I ----
/ )'1
1 ~--- / I --- / I
: y a
I p
la,
FIGURA 3
y
Os ângulos diretores de um vetor não-nulo a são os ângulos a, {3 e y (no intervalo [O. 1r])
que a forma com os eixos coordenados positivos x, y e z (veja a Figura 3).
Os cossenos desses ângulos diretores, cos a, cos {3 e cos y, são chamados cossenos
diretores do vetor a. Usando o Corolário 6 e substituindo b por i, obtemos
a· i a1
cos " ~ j;fjif = r.;!
(Isso pode ser visto diretamente na Figura 3.) Da mesma forma, temos
Q;
cos {3 = I a-j
Q)
cos )' = --
Jal
Quadrando as expressões nas Equações 8 e 9 e somando, obtemos
Podemos ainda usar as Equações 8 e 9 para escrever
a= ía1,a,.a3) =(laJcosa.laicosf3,1aJcosy)
~ Ja Jícos a, cos {3. cos y)

810 C] CÁlCULO Editora 1homson
Portanto
1
~
l
~,a~ (cosa, cos {3, cos y)
a,
que diz que os cossenos diretores de a são os componentes do versor de a.
·"L-',- Determine os ângulos diretores do vetor a= (1, 2, 3).
SOLUÇÃO Como I a I ~ ~~ 2 + 2' + 3 2 ~ Jj4, as Equações 8 e 9 fornecem
cosa=-=
Vl4
2
cos f3 ~ Jj4
3
cosy=~
~14
e então
f3 ~ cos l ( vk)
= 58'
y = cos·· ·( .r- 3 ') = 37
o
\ v·l4;
Projeções
-7 -7
A Figura 4 mostra as representações PQ e PR de dois vetores a e b com mesma origem P.
-7
Se S é o ~da perpendicular do ponto R à reta que contém PQ, então o vetor com representação
PS é chamado vetor projeção de b sobre a e é denotado por proja b.
FIGURA 4
Projeções de vclores
R
'\
f \
b/ \
7 \ a
~~
p i
proja b
R
f\
f \
b _/ \
/ \
~
P lb! cose
FiGURA 5
Projeção escalar
A projeção escalar de b sobre a (também chamada componente de b ao longo de a)
é definida como o módulo do vetor projeção, cujo valor é dado pelo número I b I cos e,
onde 8 é o ângulo entre a e b (veja a Figura 5 você pode pensar a projeção escalar de b
como sendo o comprimento da sombra de b ). Denotaremos por compa b. Observe que esse
número é negativo se n/2 < e ~ r,_ A equação
a , b ~ I a 11 b I cos e= I a 1(1 b I cos e)
mostra que o produto escalar de a por b pode ser interpretado como o módulo de a multiplicado
pela projeção escalar de b sobre a. Como
"'"
lblcose~ ···--~-,b
a
' I" I I a I
a componente de b ao longo de a pode ser computada tomando-se o produto escalar de b
pelo versar de a. Resumindo, temos:

James Stewart CAPÍTUlO 12 VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO 811
Projeção escalar de b sobre a:
a·b
cornp,b ~ ~
prc>jeç:ão de b sobre a:
(
a·b) a a·b
proj,b = Tal j;f ~ Jal' a
Note que o vetor projeção é a projeção escalar vezes o versar de a.
EXEMPlO 5 :: Determine a projeção escalar de b ~ < l. l, 2) sobre a~ ( -2, 3, l ).
SOLUÇÃO Como I a I ~ y'( 2)' + 3 2 + 1 2 ~ /14. a projeção escalar de b sobre a é
campa b =
a·b
ai
(-2)(1) + 3(1) + 1(2)
/14
O vetor projeção é esse escalar multiplicado pelo versor de a:
3
/14
3 a 3 / 3 9 3)
proj, b ~ /14 j;f ~ 14 a ~ \-7 •14' 14
R
Um uso de projeção ocorre em física, no cálculo do trabalho. Na Seção 6.4 do Volume I
definimos o trabalho exercido por uma força constante F movendo um objeto por uma distância
d como W = Fd, mas isso só se aplicava quando a força era exercida ao longo do
e~o de deslocamento do objeto. Suponha agora que a força constante seja um vetor F =_
PR com direção diferente do eixo de deslocamento do objeto, com_g)ndicado na Figura 6.
Se a força move o objeto de P a Q, o vetor deslocamento é D ~ PQ. O trabalho realizado
é definido como o produto do componente da força ao longo de D pela distância percorrida:
FIGURA 6
FIGURA 7
Do Teorema 3, temos
w ~(I F 1 cose) 1 D 1
w~ IFIIDicos o~ F. D
Assim, o trabalho realizado por uma força constante F é o produto escalar F · D, onde D
é o vetor deslocamento.
EXEMPLO 7 o Um caixote de madeira é puxado 8 m acima em uma rampa sob uma força
constante de 200 N aplicada em um ângulo de 25° com a rampa. Calcule o trabalho realizado.
SOLUÇÃO Se F e D são os vetores força e deslocamento, respectivamente, como
mostrado na Figura 7, então o trabalho realizado é
w = F , D ~ I F li DI cos 25°
~ (200)(8) cos 25° = 1450 N·m ~ 1450 J
EXEMPLO 8 CJ
ponto (2, 1, O) para o ponto Q(4, 6, 2). Detennine o trabalho realizado.
Uma força dada pelo vetor F ~ 3 i + 4 j + 5 k move urna partícula do
--7
SOLUÇÃO O vetor deslocamento é D ~ PQ ~ (2, 5, 2); portanto, utilizando a Equação
12, o trabalho realizado é
w~ F· D = (3,4,5) · (2,5,2)
~6+20+10~36
Se a unidade de comprimento é o metro e a força é medida em newtons, o trabalho realizado
é de 36 joules.

g12 c CÁLCULO Editora Thomson
Exercícios
1. Quais das seguintes expressões têm significado Quais não
fazem sentido Explíque.
(a) (a • b) · c
(b) (a · b)c
(c) lal(b ·c)
(e) a · b + c
(d) a · (b + c)
(f) I a I · (b + c)
2. Determine o produto escalar de dois vetores cujas normas são
respectivamente 6 e 1 e o ângulo entre eles é 11/4.
3---w Determine a · b.
3. a~ (4, -l ), b ~ (3, 6)
4. a~ (l,4), b ~ (-8, -3)
5. a~ (5,0, -2), b ~ (3, -1, 10)
6. a~ (s, 2s, 3s), b ~ (1, -t, 5t)
7. a~ i- 2j + 3k, b ~Si+ 9k
8. a~ 4j - 3k, b ~ 2i + 4j + 6k
9. I a I ~ 12, I b I ~ 15, o ângulo entre a e b é 1r/6
10. I a I ~ 4, I b I ~ lO, o ângulo entre a e b é !20°
íí-12 c..: Seu é um vetor unitário, determine u · v eu · w.
u
21-22 ·· Determine, aproximando o valor até o grau mais próximo.
os três ângulos do triângulo cujos vértíces são dados.
21. A(l, O), 8(3, 6), C( -I, 4)
22. D(O, l, l), E(-2,4. 3). F(!, 2, -I)
z:;-;.w :-
Determine se os vetores dados são ortogonais, paralelos
ou nenhum dos dois.
23. (a) a~ ( -5, 3. 7), b ~ (6, -8, 2)
(b)a~(4,6),
b~(-3,2)
(c) a~ -i+ 2j + 5k, b ~ 3i + 4j - k
(d) a~ 2i + 6j- 4k. b ~ -3i- 9j + 6k
24. (a)u ~ (-3,9.6), v~ (4, -12, -8)
(b) u ~i- j + 2k, v~ 2i - j + k
(c)u~(a,b,c),
v~(-b,a,O)
25. Use os valores para dccidír se o triângulo com vértices
P(l, -3, -2), Q(2, O, -4), e R(6, -2, -5) é retângulo.
26. Para que valores de b são os vetores ( ~6, b, 2) e (b, b 2 , b)
ortogonais
>'tt--: Determine um vetor unitário ortogonal i + j e i + k.
28. Ache dois valores unitários que façam um ângulo de 60° com
v~ (3,4).
u
29----33 ~ Detennine os cossenos diretores e os ângulos diretores do
vetor. (Forneça o ângulo diretor aproximado até o grau mais próximo.)
w
w
29. (3,4,5)
31. 2i + 3j- 6k
33. (c,c,c), ondec>O
30. (1,-2,-1)
32. 2i- j + 2k
13. (a) Mostre que i · j ~ j · k ~ k ·i ~ O.
(b) Mostre que i · i ~ j · j ~ k · k ~ I.
14. Um vendedor vende a hambúrgueres, b cachorros-quentes e c
refrigerantes em um determinado dia. Ele cobra $ 2 o
hambúrguer,$ 1,50 o cachorro-quente e$ 1 o refrigerante. Se
A~ (a, b, c) e P ~ (2, 1,5, l ), qual o significado do produto
escalar A · P
í5-2D , . Detennine o ângulo entre os vetores. (Estabeleça inicialmente
uma expressão exata e depois aproxime o valor até o grau mais próximo.)
15. a~ (3, 4), b ~ (5, 12)
16. a~ (J3, !), b ~(O, 5)
17. a ~ ( 1, 2, 3), b ~ ( 4, O, -l)
18. a~ (6, -3, 2), b ~ (2, l, -2)
a~ j + k, b ~i+ 2j- 3k
20. a~ 21- j + k, b ~ 3i + 2j- k
34. Se um vetor tem ângulos diretores a = 71/4 e {3 = 7r/3, deter~
mine o terceiro ângulo diretor y.
35-IID ~--, Detennine o vetor projeção e a projeção escalar de b sobre a.
35. a~ (3, -4), b ~ (5, O)
36. a ~ (l, 2), b ~ ( -4, 1)
37. a~ (4, 2, O), b ~ (1, 1, 1)
38. a~ (-1,-2,2), b~ (3,3,4)
39. a ~ i + k, b ~ i - j
40. a~ 2i- 3j + k, b ~i+ 6j - 2k
Mostre que o vetor orthb b = b - proj 2 b é ortogonal a a.
(Esse vetor é chamado projeção ortogonal de b.)
42. Para os vetores do Exercício 36, detennine ortha b e ilustre
esboçando os vetores a, b, proja b e orth 3 b.
Se a = (3, O, -1), determine um vetor b tal que compu b = 2.

James Stewart
CAPÍTULO 12 VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO :--1 813
44. Suponha que a e b sejam vetores não-nulos.
(a) Sob quais circunstâncias compd b = compb a
(b) Sob quais circunstâncías proja b = proj 0 a
45. Uma força constante com representação vetorial
F= I Oi + l8j ~ 6k move um objeto em linha reta do ponto
(2, 3, 0) ao ponto (4, 9, 15). Calcule o trabalho realizado se a
distância for medida em metros e a grandeza da força for
medida em newtons.
46. Calcule o trabalho realizado por uma força de 20 lb agindo na
direção N50°W para mover um objeto 4 pés no sentido oeste.
47. Uma mulher exerce uma força horizontal de 25 !bem um
engradado quando ela o empurra para subir uma rampa de lO
pés de comprimento c com um ângulo de inclinação de 20°
acima da horizontaL Calcule o trabalho realizado sobre a caixa.
48. Um vagão é puxado a uma dístância de 100 m ao longo de um
caminho horizontal por uma força constante de 50 N. O cabo
do vagão é mantido em um ângulo de 30° para cima em
relação à horizontal. Quanto trabalho é realizado
49. Use projeção escalar para mostrar que a distância de um ponto
P1(.-r1,)'1) àretaax + by +c= O é
lax,+hy,+cl
·./a 2 + b 2
Use essa fórmula para determinar a distância do ponto (-2, 3)
àreta3x- 4y + 5 =O.
50. Se r= (x, y, z), a= \a], a2, a,) e b = (b1. b2, b_,), mostre
que a equação vetorial (r - a) · (r - b) = O representa uma
esfera e determina seu centro e raio.
~l·I: Calcule o ângulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas
arestas.
52. Calcule o ângulo entre a diagonal de um cubo e a diagonal de
uma de suas faces.
53. Uma molécula de metano, CH4, é estruturada com os quatro
átomos de hidrogênio nos vértices de um tetraedro regular e o
carbono no centro. O ângulo de vínculo é o ângulo formado
pela combinação H~C-H; é o ângulo entre as retas que
ligam o carbono a dois átomos de hidrogênio. Mostre que esse
ângulo de vínculo é de aproximadamente 109,5°. [Dica: Tome
os vértices do tetraedro em (1, O, 0), (0, 1, 0), (0, O, 1) e
( l, 1, l). como exposto na figura. Mostre então que o centro é
(' ' ') l 2' 2, 2 .
X
54. Se c = j a I b + I b I a, onde a, b c c são vetores não-nulos,
mostre que c é a bissetriz do ângulo entre a e b.
55. Prove as Propriedades 2, 4 e 5 do produto escalar (Teorema 2).
56. Suponha que todos os lados de um quadrilátero tenham o
mesmo comprimento e que os lados opostos sejam paralelos.
Use vetores para provar que as diagonais são perpendiculares.
57. Utilize o Teorema 3 para provar a Desigualdade de Cauchy­
Schwarz:
58. A De:úgualdade Triangular para vetores é
(a) Dê urna interpretação geométrica para a Desigualdade
Triangular.
(h) Use a Desigualdade de Cauchy-Schwarz do Exercício 57
para provar a Desigualdade Triangular. [Dica: Use o fato
de que I a + b I'~ (a + b) , (a + b) e utilize a
Propriedade 3 do produto escalar.]
59. A Lei do Paralelogramo estabelece que
I a + b I' + I a - b I' ~ 21 a I' + 21 b I'
(a) Dê urna interpretação geométrica da Lei do Paralelogramo.
(b) Prove a Lei do Paralelogramo. (Veja a dica do Exercício 58.)
y
O Produto Vetorial
O produto vetorial a X b de dois vetores a e b, ao contrário do produto escalar, é um vetor,
por isso seu nome. Note que só é definido a X b se a e b são vetores tridimensionais.
Se a~ (a,, a,, a1) e b ~ (b, b,, b,), então o produto vetorial de
aebéovetor

814 o CÂLCUI.O Editora Thomson
Pode parecer um modo estranho de definir um produto. A razão de tal definição é que
o produto vetorial assim definido tem muitas propriedades úteis, como veremos adiante.
Em particular, veremos que o vetor a X b é perpendicular tanto a a quanto a b.
Para ajudar a memorização, vamos usar a notação de determinantes. O determinante
de ordem 2 é definido por
Por exemplo,
1-~
I a b I
1 ,:~ad-bc
1 c d
1 i
41 ~ 2(4) - 1( -6) ~ 14
O determinante de ordem 3 pode ser definido em termos dos detenninantes de segunda
ordem, como:
b, I
c,
Observe que a cada tenno do lado direito da Equação 2 aparece um número a; da primeira
linha do detenninante, e ai é multiplicado por um determinante de segunda ordem obtido
do determinante do lado esquerdo, onde é retirada a linha e a coluna em que aparece o elemento
a;. Note também que o sinal de menos aparece no segundo termo. Por exemplo,
I 2
3 o
-5 4
-I
1
2
~110 11-21 3
4 21 -5
I I + (-I) I 3 o I
2 -5 4
~ 1(0- 4)- 2(6 + 5) + (-1)(12- O)~ -38
Se reescrevermos a Definição 1 utilizando detenninantes de segunda ordem e a base
canônica de vetores i, j e k, veremos que o produto vetorial do vetor a = a 1 i + a 2 j + a 3 k
por b ~ h i + b,j + b3 k é
a X b
I a, a, I . I a,
=I q-
1 b, b2 I b,
' !
a, I k
b,
Em vista da semelhança entre as Equações 2 e 3, escrevemos
j
k
a X b = a1 a2 a:;
b, b, b,
Apesar de a primeira linha do determinante simbólico da Equação 4 ser constituída de
vetores, se :fizermos a expansão como se fosse um determinante ordinário usando a regra
dada pela Equação 2, obteremos a Equação 3. A fórmula simbólica dada pela Equação 4 é
provavelmente o modo mais fácil de lembrannos e calculannos o produto vetorial.

James Stewart CAPÍTULO 12 VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO LJ 815
EXEMPlO 1
Se a~ (l, 3, 4) e h~ (2, 7, -5), então
j k
aXIJ~ 3 4
2 7 -5
I 3 4,.
li
~ 17 -5 'i- 2
~ ( -15 - 28) i - ( -5 - 8) j + (7 - 6) k ~ -43i + 13j + k
Mostre que a X a = O para o vetor a em V3.
SOLUÇÃO Se a~ (a,,a,,a 3 ),então
j
k
~ (a,aJ- a,a,)i- (a,aJ- a,a,)j + (a 1 a 2 - a,a,)k
~Oi - Oj + Ok ~O
Uma das propriedades mais importantes do produto vetorial é dada pelo seguinte teorema.
L!] TBJ.H'ema O vetor a X b é ortogonal a a e b.
Pn:wE! Para mostrar que a X b é ortogonal a a, vamos efetuar seu produto escalar com a:
(a X b) . a ~ I
a, a, I a, -I a, a, I a, + I a, a,, a.
b, b, b, b,l . I b, b, I •
~ a 1 (a 2 b, - a 3 b 2 ) - a 2 (a,b, - a 3 b,) + a 3 (a 1 b 2 - a 2 b 1 )
=O
De forma semelhante mostramos que (a X b) · b =O. Portanto, a X b é ortogonal tanto
a a quanto a b.
axb
Se a e b são representados por segmentos de retas orientados, com mesma origem
(como na Figura 1), então o Teorema 5 diz que o produto vetorial a X b resulta em um
vetor com direção perpendicular ao plano que passa por a e b. O sentido desse vetor é
detenninado pela regra da mão direita: com os dedos da mão direita curvados girando no
sentido de a para b (através de um ângulo menor que 180°), seu polegar estará apontando
no sentido do vetor a X b.
Conhecendo o sentido e a direção do vetor a X b, resta a descrição geométrica de seu
módulo. Isso é dado pelo teorema seguinte.
FIGURA 1
l!J Toorema Se e é o ângulo entre a e b (portanto O ,;; 8 ,;; 71'), então
la X bl =
lallblsen8

816 o CÁLCUlO Editora Thomson
~~c;;J:'
Das definições de produto vetorial e norma de um vetor, temos
= a~b} - 2a2a3b2b3 + aib~ + a3bT - 2a 1 a3btb3 + aTb}
+ aTbi - 2a1a2bib2 + aibT
~ lal 2 lbl 2 - (a· b)'
~ lal 2 lbl' -lal'[bj 2 COS 2 8
~ I a 1'1 b l'(l - cos'B)
~ I a 1'1 b l'sen 2 8
Elevando ao quadrado e observando que ,Ysen 2 8 =senO porque senO~ O quando
o :Se; e :Se; 1T, temos
j a X b I ~ I a li b I sen 8
Como um vetor fica completamente determinado se conhecermos seu módulo, direção
e sentido, podemos dizer que o vetor a X b é perpendicular aos vetores a e b, o sentido é
dado pela regra da mão direita e seu módulo é I a li b \ sen 8. De fato, é assim que por vezes
definimos o vetor a X b.
G::cnJítiriu
Dois vetores a e b são paralelos se e somente se
axb~O
F'rtNa
Dois vetores não-nulos a e b são paralelos se e somente se O = O ou 1T. Em qualquer
dos casos sen e ~ O, assim I a X b I ~ O e, portanto, a X b ~ O.
A interpretação geométrica do Teorema 6 pode ser vista examinando-se a Figura 2. Se
a e b são tomados como segmentos de reta orientados com o mesmo ponto inicial, determinam
um paralelogramo cuja base é I a\, a altura é I b I sen 8, e com área dada por
A~ lal(lblsene) ~la X bl
Então temos a seguinte forma de interpretar o módulo do produto escalar.
FIGURA 2
módulo do produto escalar a X b é igual à área do paralelogramo determinado
a e b.
EXEMPLC 3 - Ache um vetor perpendicular ao plano que passa através dos pontos
P(1, 4, 6), Q( -2, 5, -1) e R(1, -1, 1).
--'i> --'i> --'i> --'i>
SOLUÇÃO O vetor PQ X PRé perpendicular a ambos PQ e PR e, portanto, perpendicular
ao plano que passa por P, Q e R. Sabemos de (12.2.1) que
_,
PQ ~ (-2- I) i+ (5- 4)j +(-I- 6)k = -3i + j- 7k
_,.
PR =(l-I) i+(-!- 4)j + (í- 6)k = -5j- 5k

James Stewart CAPÍTULO 12 VETORES E.~ GEOMETRIA DO ESPAÇO 817
Calculando o produto vetorial desses vetores:
j k
__, -7
PQXPR= -3 l -7
o -5 -5
= (-5- 35)i- (!5- O)j +(!5-O) k = -40i- l5j + l5k
Logo, o vetor ( -40, -15, 15) é perpendicular ao plano dado. Qualquer escalar não-nulo
que seja múltiplo desse vetor, tal como ( -8, -3, 3), é também perpendicular ao plano.
t'J(fiW'U: •' - Determine a úrea do triângulo com vértices P(l, 4, 6), Q( -2, 5, -I) e
R(l, -1, 1).
-7 --7
SOLUÇÃO No Exemplo 3 calculamos PQ X PR = ( -40, -15, 15). A área do paralelogramo
com lados adjacentes PQ e PRé o comprimento do produto vetorial:
A área A do triângulo PQR é metade da área desse paralelogramo, ou seja, i -/82.
7r/2, obte­
Se aplicarmos os Teoremas 5 e 6 aos vetores da base-padrão i, j e k com () =
remos
iXj=k
j X i= -k
j X k =i
k X j = -i
k X i= j
i X k = -j
Observe que
iXj7"jXi
Portanto, o produto vetorial não é uma operação comutativa. Temos ainda que
enquanto
i X (i X j) =i X k = -j
(i X i) X j = 0 X j = 0
Então, a lei associativa para multiplicação também não vale obrigatoriamente aqui; em
geral, temos,
(a X b) X c 7" a X (b X c)
Entretanto, algumas das propriedades usuais da álgebra valem para o produto vetorial. O
teorema a seguir resume as propriedades dos produtos vetoriais.
T0orema Se a, b e c são vetores e c é um escalar, então
1. a x b = -b x a
2. (ca) X b = c(a X b) =a X (cb)
3. a X (b + c) = a X b + a X c
4. (a+ b) X C= a X c + 1J X C
5. a· (b X c) = (a X b) ·c
6. a x (b x c) =(a· c)b - (a· b)c

818 C CÁlcuLO Editora Thomson
Podemos provar essas propriedades escrevendo os vetores em termos de seus componentes
e usar a definição de produto vetoriaL Faremos, a seguir, a prova da Propriedade 5
e deixaremos as outras como exercício.
5 Se a~ (a, a 2 , a 3 ), b ~ (b1, b 2 , b,) e c~ (c, c 2 , c 2 ), então
a· (b X c)= a,(b 2 c 3 - b1c2) + a 2(b1c1 - b,c,) + a 3(b 1c2 - b,c,)
= a1b:c3 - a1b3c2 + azb3c1 - azh1c, + a3b,cz - a3b2c1
~ (a2b1 - a1b,)c, + (a1b1 - a,b,)c, + (a 1 bz - a,b,)c,
~(a X b) ·c
O produto a · (b X c) que aparece na Propriedade 5 é chamado produto misto de a, b
e c. Note que, da Equação 9, podemos escrever o produto misto como o determinante:
a1 az a3
a • (b x c) ~ b, b, b1
FIGURA 3
b
O significado geométrico do produto misto pode ser visto considerando-se o paralelepípedo
determinado pelos vetores a, b e c (Figura 3). A área da base do paralelepípedo
é A ~ I b X c 1- Se e é o ângulo entre a e b X c, então a altura h do paralelepípedo é
h ~ I a li cos e 1- (Precisamos usar I cos e I em vez de cos e caso e> r,/2.) Portanto, o
volume do paralelepípedo é
V~ Ah ~ I b X c li a li cos OI ~ I a • (b X c) I
Assim, provamos a fórmula seguinte.
[!j] O volume do paralelepípedo detenninado pelos vetores a. b e c é o módulo
do produto misto:
V~ I a· (b X c) I
Se usamos a fórmula (li) e descobrimos que o volume do paralelepípedo detenninado
pelos vetores a, b e c é O, os três vetores precisam pertencer ao mesmo plano; isso quer
dizer que eles são coplanares.
EXEMPLO 5 :J Utilize o produto misto para mostrar que os vetores a ~ (I, 4, -7),
b ~ (2, -1,4) e c~ (O, -9, 18) são coplanares.
SOLUÇÃO Se usarmos a Equação lO para calcular o produto misto, teremos:
l 4 -7
a· (b x c)= 2 -! 4
o -9 18
-1 41 Í2 41 4
Í2
1
~ I -9 18 - 1 O 18 I - 7 1 O
~ 1(18) - 4(36) - 7( -18) =o
Portanto, por ( ll) o volume do paralelepípedo determinado por a, b e c é O. Isso
significa que os vetores a, b e c são coplanares.

James Stewart CAPÍTUlO 12 VETORES E fi. GEOMEíRI/l. DO ESPAÇO ':J 819
A idéia de produto vetorial aparece muito freqüentemente em física. Em particular, considere
uma força F agindo em um corpo rígido em um ponto fixado dado pelo vetor de
posição r. (Por exemplo: se apertarmos um parafuso utilizando uma chave de boca como
na Figura 4, conseguiremos o efeito de girá-lo.) O torque T (em relação à origem) é
definido pelo produto vetorial dos vetores de posição e força
FIGURA 4
e mede a tendência de um corpo rodar em torno da origem. A direção do vetor torque
indica o eixo de rotação. De acordo com o Teorema 6, o módulo do torque é
onde 8 é o ângulo entre o vetor de posição e o vetor força. Observe que o único componente
da força F que pode causar a rotação do objeto é o perpendicular a r, ou seja, ! F I sen B.
O módulo do torque é igual à área do paralelogramo determinado por r e F.
EXEMPLO 6 Um parafuso é apertado por uma chave de boca que aplica uma força de
40 Nem uma chave de 0,25 m, como mostrado na Figura 5. Determine o módulo do
torque em tomo do centro do parafuso.
SOLUÇÃO O módulo do vetor torque é
I TI ~ I r X F I ~ I r li F I sen 75° ~ (0,25)(40) sen75'
~ 10 sen 75° = 9,66 N·rn ~ 9,66 J
Se o parafuso tem a rosca direita, o vetor torque é
FIGURA 5
,-~ ITI n = 9,66n
onde n é um vetor unitário com direção perpendicular à página e sentido de entrar no
papel.
Exercícios
1-7 c Determine o produto vetorial a X b e verifique que ele é
ortogonal a e b.
1. a~(l,2,0), b~(0,3,1)
2. a~(5,1,4), b~(-1,0,2)
3. a~ 2i + j - k, b ~ j + 2k
4.a~i-j+k,
b~i+j+k
5. a~ 3i + 2j + 4k, b ~i- 2j- 3k
6. a= i+ e 1 j + e- 1 k, b = 2i + e 1 j- e- 1 k
(c) a X (b X c)
(e) (a · b) X (c · d)
(d) (a · b) x c
(f) (a X b) · (c X d)
10-11 2 Calcule I li X v I e detenníne se li X v tem o sentido de
entrar na página ou o contrário.
lO. lul=5 [
60' I vi= lO
a~ (t,t',t 3 ), b~ (l,2t,3t 2 )
8. Se a= i- 2k e b = j + k, determine a X b. Esboce a, h e
a x b como vetores com início na origem.
Diga se as afirmações a seguir fazem sentido. Se não fizerem,
explique por quê. Se fizerem, diga se correspondem a um vetor
ou a um escalar.
(a) a · (b X c) (b) a X (b • c)
11. lul=6
150'
lvi=S

820 LJ CÁlCUlO Editora Thomson
1:- A figura mostra um vetor a pertencente ao plano .\)' e um vetor
b na direção de k. Seus módulos são \a I = 3 e I b l = 2.
(a) Calcule I a X b 1-
(b) Utilize a regra da mão direita para decidír se os
componentes de a X h são positivos, negativos ou nulos.
32. P(O, l, 2), Q(2, 4, 5), R(- I, O, 1}, S(6, -I, 4)
33. Utilize o produto misto para verificar se os vetores
a~ 2i + 3j + k, b ~i - j e c~ 71 + 3j + 2k
são coplanares.
34. Use o produto misto para determinar se os pontos P(1, O, I),
Q(2, 4, 6}, R(3, -I, 2) e S(6, 2, 8) pertencem ao mesmo plano.
35. O pedal de uma bicicleta é empurrado por um pé com uma
força de 60 N, como mostrado. A haste do pedal tem 18 em de
comprimento. Determine o módulo do torque em P.
13. Se a~ (1,2, 1) eb~ (0, 1,3),calculea X beb X a.
14. Se a~ (3, 1, 2), b ~ (-I, I, O) e e~ (0, O, -4), mostre
que a X (b x c) '1" (a X b) X c.
·15. Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais tanto a
( 1, -I, l) quanto a (O, 4, 4).
16. Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais tanto a
i +j + kquantoa2i + k.
60
36. Determine a intensidade do torque em P se for aplicada uma
força de 36 lb, como mostrado.
p
17. Mostre que O X a =O = a X O para qualquer vetor a em V 3 •
18. Mostre que (a X h) · h = O para todos os vetores a e bem V 3 .
19. Prove a Propriedade 1 do Teorema 8.
20. Prove a Propriedade 2 do Teorema 8.
21. Prove a Propriedade 3 do Teorema 8.
22. Prove a Propriedade 4 do Teorema 8.
23. Detennine a área do paralelogramo com vértices em A( -2, l),
B(O, 4}, C(4, 2), e D(2, -1).
24. Determine a área do paralelogramo com vértices em K(l, 2, 3},
L( I, 3, 6), M(3, 8, 6}, e N(3, 7, 3}.
25-·23 :: (a) Ache um vetor ortogonal ao plano que passa pelos
pontos P, Q c R e (b) calcule a área do triângulo PQR.
P(l, O, O}, Q(O, 2, 0}, R(O, O, 3}
26. P(2, l, 5}, Q(-1,3,4}, R(3, O, 6}
27. P(O, -2, O), Q(4, l, -2), R(5, 3, 1}
28. (2, O, -3}, Q(3, 1, 0}, R(5, 2, 2}
29-30 :::::: Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos
vetores a, b e c.
29. a~ (6,3, -I), b~ (0, 1,2), c~ (4,-2,5)
30. a~ i+ j- k, b ~i- j + k, c~ -i+ j + k
31-32 c~, Calcule o volume do paralelepípedo com lados adjacentes
PQ, PR e PS.
31. (2, O, - 1), Q(4, 1, O), R(3, -I, !), S(2, -2, 2)
37, Uma chave de boca com 30 em de comprimento posicionada ao
longo do eixo y aperta um parafuso colocado na origem.
Considere uma força aplicada no final do cabo da chave com
direção dada por (O, 3, -4). Detennine o módulo da força
necessária para que o torque resultante no parafuso seja de 100 J.
38. Seja v = 5 j e seja u um vetor com norma 3 com início na
origem e que gira no plano xy. Determine o máximo e o mínimo
valor possível para u X v. Qual a direção e o sentido de
u x v
(a) Seja P um ponto não pertencente à reta L que passa pelos
pontos Q e R. Mostre que a distância d do ponto P até a
reta L é
~ ~
onde a ~ QR e b ~ QP.
(b) Utilize a fórmula da parte (a) do exercício para determinar
a distância do ponto P(l, 1, 1) à reta que passa por
Q(O, 6, 8) e R( -l, 4, 7).

James Stewart
CAPÍTUlO 12 VETORES E A GEOf·v1ETRIA DO ESPAÇO
821
40. (a) Seja P um ponto não pertencente ao plano que passa pelos
pontos Q, R c S. Mostre que a distância d de P ao plano é
d ~ j( a X b) · c I
ja X bj
~ ~ ~
onde a ~ QR, b ~ QS e c ~ QP.
(b) Utilize a fórmula dada na parte (a) para calcular a distância
de (2, 1, 4) ao plano definido pelos pontos Q(l, O, 0),
R(O. 2, O) e S(O. O. 3)
41. Prove que (a - b) X (a + b) - 2(a X b).
42. Prove a parte 6 do Teorema 8. ou seja,:
a X (b X c) ~ (a · c)b -
43. Utilize o Exercício 42 para provar que
44. Prove que
(a · b)c
aX~Xcl+bX~X~+cX~X~~U
(a X b) · (c X d) ~
a·c
a·d
45. Suponha que a eF O.
(a) Se a • h = a • c, é verdade que b = c
{b) Se a x b = a X c, é verdade que b = c
(c) Sea·b=a·cea X b=a X c,éverdadequcb=c
46. Se v 1 , v 2 e v_, são vetores não-coplanares e se
(Esses vetores aparecem no estudo de cristalografia. Vetores da
fonna n1 v 1 + n 2v2 + n 3 v~h onde cada n, é um inteiro, fonnam
um reticulado para o cristal. Vetores escritos de modo
semelhante para k 1 , k2 e k 3 formam o reticulado recíproco.)
(a) Mostre que k, é perpendicular a v 1
se i ,L j.
(b) Mostre que k, ·v,~ I para i~ I, 2, 3.
I
(c) Mostre que k, · (k, X k;) ~ ( . ) .
V1 • V1 X V1
A Geometria do Tetraedro
Um tetraedro é um sólido com quatro vé11ices, P, Q, R e S, e quatro faces triangulares:
Q
/\\\
L i\
p
~~~~~--~~\
~'
1. Sejam v 1 , _v 2 , v 3 e v 4 vetores de comprimentos iguais à área das faces opostas aos vértices P,
Q, R e S, respectivamente, direções perpen9,iculares às respectivas faces e seÍltido apontando
para fora do tetraedro.J~ .fostre que
R

Editora Thomson
Uma reta no plano xy é detenninada quando um ponto e uma direção (inclinação ou
coeficiente angular da reta) são dados. A equação da reta pode ser então escrita utilizandose
a forma ponto-inclinação.
Da mesma maneira, uma reta L no espaço tridimensional é determinada quando conhecemos
um ponto P 0 (.-r 0 , y 0 , zo) em L e a direção de L. Em três dimensões a direção de
uma reta é descrita de forma muito conveniente por um vetor; assim, seja v um vetor paralelo
a L. Seja P(x, y, z) um ponto arbitrári~m L ~ejam r 0 e r os vetores de posição de
P 0 e P (ou seja, eles têm representantes OPo e OP ). Se a é o vetor com representante
~
P 0 P, como na Figura l, pela Regra do Triângulo para sOina de vetores temos r= r 0 +a.
Mas, como a e v são vetores paralelos, existe um escalar t tal que a = tv. Assim
X
FIGURA
r= r 0 + tv
que é a equação vetorial de L. Cada valor do parâmetro t fornece um vetor de posição r
de um ponto de L. Em outras palavras, à me.~ida que t varia, a reta é traçada pelo ponto do
vetor r. Como a Figura 2 indica, valores positivos de t correspondem a pontos de L pertencentes
a um lado em relação a P 0 , ao passo que valores negativos de t referem-se a pon~
tos pertencentes ao outro lado de Po.
Se o vetor v que fornece a direção da reta L é escrito sob a forma de componente
v= (a, b, c), temos que tv = (ta, tb, te), Podemos também escrever r= (x, y, z) e
ro = (x 0 , y 0 , zo), e assim a equação vetorial (1) se torna
FIGURA 2
(x,y,z) = (xo + ta,yo + tb,zo +te)
Dois vetores iguais têm os correspondentes componentes iguais. Assim, temos três
equações escalares:
x = x 0 + at Y = Yo + bt z = zo + ct
onde t E IR:. Essas equações são chamadas equações paramétricas da reta L que passa
pelo ponto Po(xo, yo, zo) e é paralela ao vetor v = (a, h, c), Cada valor do parâmetro t
fornece um ponto (x, y, z) em L.
:-:= A Figura 3 mostra a reta L do Exemplo
1 e sua relação com o ponto dado e o
vetor direção.
,,
~roI
(5, l, 3) ·,~::__,,L,~
FIGURA 3
~-2k
y
EXEMPlO 1 u
(a) Determine as equações vetorial e paramétrica de uma reta que passa pelo ponto
(5, 1, 3) e são paralelas ao vetor i + 4j - 2k
(b) Determine outros dois pontos na reta.
SOLUÇÁO
(a) Aqui r 0 = (5, l, 3) =Si+ j + 3k e v= i+ 4j- 2k, de forma que a equação
vetorial (l) se toma
r= (5i + j + 3k) + t(i + 4j - 2k)
ou r = (5 + t) i + (l + 4t) j + (3 - 2t) k
As equações paramétricas são
x=5+t y = l + 4t z = 3- 21

James Stewart CAPÍTULO 12 VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO U 823
(b) Escolhendo o valor do parâmetro t ~ l temos x = 6, y ~ 5 e z ~ l, assim (6, 5, I J
é um ponto da reta. Da mesma forma, t = -1 fornece o ponto (4, -3, 5).
A equação vetorial e as equações paramétricas de uma reta não são únicas. Se trocarmos
o ponto ou o parâmetro ou escolhermos um vetor paralelo diferente, a equação muda.
Por exemplo, se, em vez do ponto (5, l, 3), escolhermos o ponto (6, 5, I) no Exemplo I,
as equações paramétricas da reta se tomam
x=6+t y ~ 5 + 4t z ~ ] - 21
Ou, se mantivermos o ponto (5, 1, 3), mas escolhennos o vetor paralelo 2i + Sj - 4k.
chegaremos às equações
X~ 5 + 21 y = I + 8t z ~ 3 - 4t
Em geral, se o vetor v= {a, b, c) é usado para descrever a direção da reta L, então os
números a, b e c são as componentes do vetor diretor de L. Como qualquer vetor paralelo
a v pode ser usado, quaisquer três números proporcionais a a, b e c podem ser usados
como componentes do vetor diretor de L.
Outra maneira de descrever uma reta L é eliminar o parâmetro t da Equação 2. Se nenhum
dos números a, b e c for O, podemos resolver cada uma das equações para te igualar
os resultados. obtendo
L_-'_,_~_x_"_~_}_' -~-Yo_=_-_ 7 _-_c_z_o ___ _,
Essas equações são chamadas equações simétricas de L. Note que os números a, b e c que
aparecem no denominador da Equação 3 são as componentes do vetor diretor de L, ou seja,
as componentes de um vetor paralelo a L. Mesmo que uma das componentes desse vetor
seja nula, podemos eliminar o parâmetro t. Por exemplo, se a = O, podemos escrever as
equações de L como
- A Figura 4 mostra a reta L do Exemplo
2 e o ponto P de intersecção com o
piano xy.
X= Xo
y-yo=z-zo
b c
Isso indica que a reta L pertence ao plano vertical x = x 0 •
.EXEMPLO 2 c:,
(a) Determine as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelo ponto
A(2, 4, -3) e B(3, -1, 1).
(b) Qual a interseção dessa reta com o plano "'Y"
SOLUÇÃO
(a) Não nos foi dado~ forma explícita o vetor paralelo à reta, mas observe que o vetor
v com representação AB é paralelo à reta e
v= (3- 2, -!- 4, l- (-3)) ~ (!, -5,4)
FIGURA 4
Então as componentes do vetor diretor são a= 1, b = -5 e c= 4. Tomando o ponto
(2, 4, -3) como Po,temos as equações paramétricas (2):
x=2+1 y ~ 4- 51 z = -3 + 41

824 :J CÁLCULO Editora Thomson
c as equações simétricas (3) são
X- 2 -4 z + 3
-5 4
(b) A reta intercepta o plano J.y quando z = O. Tomando z = O nas equações simétricas,
obtemos:
x-2 v-4 3
~-~--~
-5 4
o que fornece x = 4
!!
e y = 4,
l
portanto a reta Intercepta
.
o plano xy no ponto ('''o) , T, 1, .
Em geral, o procedimento do Exemplo 2 mostra que as componentes do vetor diretor
da reta L que passa pelos pontos Po(x 0 , y 0 , zo) e P1(x1, }'1, z1) são Xt ~ Xo, y 1 - Jo e z1 - zo
e as equações simétricas de L são
X - Xo Y- Yo z- zo
c:::: As retas L; e L 1 do Exemplo 3 são
retas reversas e estáo mostradas na
Figura 5.
XJ - Xo )'1 - Yo Z1 - Zo
Freqüentemente, precisamos de uma descrição, não de uma reta inteira, mas de apenas
um segmento de reta. Como podemos descrever o segmento de reta AB no Exemplo 2 Se
fizermos 1 = O nas equações paramétrícas no Exemplo 2(a), obteremos o ponto (2, 4, - 3)
e se fizermos 1 = 1, teremos (3, -1, 1). Assim, o segmento de AB é descrito pelas
equações paramétricas
x=2+t y = 4 - St z = -3 + 4t Ü"'t"'l
ou pela equação vetorial conespondente
r(t) = (2 + t, 4 - St,-3 + 4t) O::st::sl
Em geral, sabemos da Equação I que a equação normal de uma reta partindo (do fim)
de um vetor r 0 na direção v é r = r 0 + tv. Se a reta também passa por r 1 , então podemos
fazer v = r 1 - r 0 e assim sua equação normal será
r= ro + t(r 1 - r 0 ) ~ (I - t)ro + tr 1
O segmento de reta de r 0 para r1 é dado pelo intervalo O ~ 1 ~ 1.
FIGURA 5
FIGURA 6
t:XEMPtü 3 '--:
O segmento de reta de r 0 para r 1 é dado pela equação normal
r(t) = (I - t)ro + tr,
Mostre que as retas L 1 e L 2 com as equações paramétricas dadas por
x=l+t
x = 2s
y = -2 + 3t
y=3+s
z=4-t
z=-3+4s
são retas reversas, isto é, são retas que não se interceptam e não são paralelas (não
pertencendo, portanto, a um mesmo plano).
SOLUÇÃO As retas não são paralelas, pois seus vetores diretores (1, 3, -I) e (2, l, 4)
não são paralelos. (Seus componentes não são proporcionais.) Se L1 e L1 tivessem um
ponto em comum, existiriam valores para te s tais que
1 + t ~ 2s
-2 + 3t = 3 + s
4- t ~ -3 + 4s
Mas, se resolvermos as primeiras duas equações, obteremos t = 1 } e s = ~' que não
satisfazem a terceira equação. Não existem valores para t e s que satisfaçam as três
equações simultaneamente. Portanto, L1 e Lz são retas reversas, não se interceptam. :~-

James Stewart CAPÍTULO 12 VETORES E A GEOfvlETRiA DO ESE!\,ÇO ,-l 825
Planos
Enquanto as retas no espaço são facilmente determinadas por um ponto e um vetor diretor,
um plano é um pouco mais complicado de descrever. Um único vetor paralelo ao plano
desejado não é suficiente para fixar a "direção" do plano, mas um vetor que seja perpendicular
a esse plano define de modo completo sua "direção". Então, um plano no espaço
fica determinado se conhecermos um ponto Po(xo, yo, z 0 ) do plano e um vetor n que seja
ortogonal ao plano. Esse vetor n ortogonal ao plano é chamado vetor normaL Seja
P(x, y, z) um ponto qualquer do plano ___, e sejam r o e r os vetores de posição de Po e P. Então
o vetor r - r 0 é representado por P 0 P (veja a Figura 6). O vetor normal n é ortogonal a
todo vetor do plano. Em particular, n é ortogonal a r - ro, e assim temos
n ·(r- r 0 ) ~O
que pode ser reescrita como
n ·r= n · ro
(0, O, 3)
As Equações 5 e 6 são chamadas equações nonnais do plano.
Para obter a equação escalar para o plano utilizando as coordenadas cartesianas, escrevemos
n ~ (a, b, c), r ~ (x, y, z) e r o ~ (xo, yo, zo). A Equação (5) se transforma em
(a, b, c)· (x- Xo,y- yo, z- z0) ~O
(6, 0,0)
/
/
;_L__ (0, 4, 0)
/"---·-~
y
ou
a(x - xo) + b(y -
yo) + c(z - zo) ~ O
X
FIGURA 7
A Equação 7 é denominada equação exata do plano que passa por Po(xo, yo, zo) com
vetor normal n ~ (a, b, c).
EXEMPLO 4 o Determine a equação do plano que passa pelo ponto (2, 4, -1) e tem
como vetor normal n = ( 2, 3, 4). Estabeleça também suas interseções com os planos
coordenados e faça o esboço do plano.
SOLUÇÃO Tomando a~ 2, b ~ 3, c~ 4, x 0 ~ 2, Yo = 4 e z 0 ~ -1 na Equação 7,
vemos que a equação do plano é
2(x - 2) + 3(y - 4) + 4(z + 1) ~ O
ou 2x + 3y + 4z ~ 12
Para achar a interseção com o plano x, impomos y = z = O nessa equação e obtemos
x = 6. Da mesma forma, o intercepto y é 4 e o intercepto z é 3. Isso nos permite esboçar
a porção do plano pertencente ao primeiro octante (veja a Figura 7).
Coletando os termos na Equação 7 como fizemos no Exemplo 4, podemos reescrever a
equação do plano como
;~------ax---+--b-y-~-.-C-Z-T-.-d--~--0------,
onde d ~ -(axo + byo + czo). A Equação 8 é chamada equação linear em x, y e z.
Reciprocamente, pode ser mostrado que, se a, b e c não são todos nulos, a equação linear
(8) é a equação geral que representa um plano cujo normal é o vetor (a, b, c). (Veja o
Exercício 73.)

826 O CÁlCUlO Editora Thomson
= A Figura 8 mostra a porção do piano
do Exemplo 5 contendo o triângulo
PQR.
'i
I
~
Q(3., -L 6)
\ lLP(!, 3, 2)
\// --
X/~ ~
RtS, 2, 0)
FIGURA 8
EXEMPLO 5 Determine a equação do plano que passa pelos pontos P(L 3, 2),
Q(3, -1, 6) e R(5, 2, O).
__, __,
SOLUÇÃO Os vetores a e IJ correspondentes a PQ e PR são
a~ (2, -4,4) b ~ (4, -!, -2)
Como tanto a quanto b pertencem ao plano, seu produto vetorial a X h é qrtogonal ao
plano e pode ser tomado corno o vetor normaL Assim
j
n ~a X b ~ 2 -4 4 ~ l2i + 20j + 14k
4 -1 -2
com o ponto P(l, 3, 2) e o vetor normal n, urna equação do plano é
ou
12(x- 1) + 20(y - 3) + 14(z - 2) ~O
k
6x + !Oy + 7z ~50
EXEMPLO 6 - Determine o ponto onde a reta com equação paramétrica x = 2 + 3t,
y ~ -41, z ~ 5 + t intercepta o plano 4x + Sy- 2z ~ 18.
SOLUÇÃO Substituindo a expressão de x, y e z das equações paramétricas na equação do
plano:
FIGURA 9
:-::-j A Figura 1 O mostra os planos do
Exemplo 7 e a reta de interseção L.
4(2 + 31) + 5(-41)- 2(5 + 1) ~ 18
que pode ser simplificada para -I Ot ~ 20, ou seja, t ~ -2. Portanto o ponto de
interseção ocorre quando o parâmetro vale t ~ -2. Ou seja, x ~ 2 + 3(-2) ~ -4,
y ~ -4( -2) ~ 8, z ~ 5 - 2 ~ 3 e o ponto de interseção é ( -4, 8, 3).
Dois planos são paralelos se seus vetores normais são paralelos. Por exemplo: os
planos x + 2y - 3z = 4 e 2x + 4y - 6z = 3 são paralelos, pois seus vetores normais são
n, ~ (I, 2, -3) e n 2 ~ (2, 4, -6) e n 2 ~ 2n,. Se dois planos não são paralelos, eles se
interceptam em uma reta, e o ângulo entre os dois planos é definido como o ângulo entre
os vetores normais aos planos (veja o ângulo O na Figura 9).
EXEMPlO 7 :c
(a) Estipule o ângulo entre os planos x + y + z = I ex - 2y + 3z ~ I.
(b) Determine na forma simétrica a equação da reta interseção L desses dois planos.
SOLUÇÃO
(a) Os vetores normais a esses planos são
n,~(J,l,l)
Portanto, se 8 é o ângulo entre os dois planos, o Corolário 12.3.6 fornece
n, • n2 1(1) + I( -2) + 1(3) 2
cos 8~ ln,jln,l ~ ,/1 +I+ !)I+ 4 + 9 ,142
FIGURA 10
:...J Outro modo de determinar a reta
interseção é resolver a equação do
plano para duas variáveis em função da
terceira, que será tomada como
parâmetro.
e= cos-'( }z) ~ 72"
(b) Vamos achar primeiro um ponto em L. Por exemplo, podemos achar o ponto onde a
reta intercepta o plano xy tomando z = O na equação dos dois planos. Isso nos fornece as
equações x + y ~ l ex - 2y ~ 1, cuja solução é x ~ l, y ~O. Portanto o ponto (1, O, 0)
pertence a L.

James Stewart CAPÍTULO 12 VETORES E A GE01v'lETRI/\ DO ESP .G.ÇO 827
Observe que, como L pertence a ambos os planos, é perpendicular ao vetor normal de
ambos os planos. Então, um vetor v paralelo a L é dado pelo produto vetorial
j
k
l = Si- 2j- 3k
-2 3
e assim as equações paramétricas de L podem ser escritas como
FIGURA 11
-- A Figura 11 mostra que a reta L do
Exemplo 7 pode ser vista como a
interseçao dos planos derivados de
suas equaçóes na forma simétrica
X- l V Z
--=-

828 o CÁlCULO Editora Thomson
EXEMPUJ 9 :::-, Determine a distância entre os dois planos paralelos lüx + 2y - 2z = 5
e5x+y-z~l.
SOLUÇÃO Notemos primeiro que os dois planos são paralelos, pois seus vetores normais
(I O, 2, -2) e ( 5, l, -I) são vetores paralelos. Para achar a distância D entre os planos,
escolhemos um ponto qualquer em um plano e calculamos sua distância ao outro plano.
Em particular, se tomarmos y = z = O na equação do primeiro plano, obteremos
JOx = 5, e portanto (j, O, O) é um ponto desse plano. Pela Fórmula 9, a distância entre
(j,O,O)eoplano5x + y- z- 1 ~O é
D~
ls(D + l(O) - l(O) - 11
-./5 2 + ]2 + (-1)'
Assim a distância entre os planos é -/3/6.
EJt:t:MLiJ 1D - No Exemplo 3 mostramos que as retas
L,: X~ 1 + t
L,:
x ~ 2s
)' ~ -2 + 3t
y=3+s
são retas reversas. Determine a distância entre elas.
z=4-t
z ~ -3 + 4s
SOLUÇÃO Como as retas L1 e Lz são reversas, elas podem ser vistas como pertencentes
aos planos paralelos P1 e Pz, respectivamente. A distância entre L 1 e L 2 é igual à distância
entre P1 e P2, que pode ser calculada como no Exemplo 9. O vetor normal a ambos
os planos precisa ser ortogonal aos vetores v, ~ (1, 3, -I) (vetor diretor de L,) e
v,~ (2, 1, 4) (vetor diretor de L 2 ). Assim, o vetor normal é dado por
n~v,xv 2
j
k
= 3 -1 13i - 6j - 5k
2 4
Se impusermos s ~O na equação de L 2 , obteremos o ponto (O, 3, -3) pertencente a L 2 ,
e a equação de P 2 fica sendo
13(x - O) - 6(y - 3) - 5(z + 3) ~ O ou 13x-6y-5z+3~0
Tomando agora t ~ O na equação de L,, obtemos o ponto (I, -2, 4) em P 1 • A distância
entre L, e L, é igual à distància de (I, -2, 4) até 13x -
9 essa distância é
D~
jl3(1)- 6(-2)- 5(4) + 3j
-./13 2 + ( -6) 2 + ( -5)'
6y + 5z + 3 ~O. Pela Fórmula
8
~--=053
J23õ '
Exercícios
1. Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações.
(a) Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas.
(b) Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas.
(c) Dois planos paralelos a um terceiro são paralelos.
{ d) Dois planos perpendiculares a um terceiro são paralelos.
(e) Duas retas paralelas a um plano são paralelas.
(f) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas.
(g) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos.
{h) Dois planos perpendiculares a uma reta são paralelos.
(i) Dois planos ou se interceptam ou são paralelos.
(j) Duas retas ou se interceptam ou são paralelas.
(k) Um plano e uma reta ou se interceptam ou são paralelos.
2-5 o Determine uma equação vetorial e equações paramétricas
para a reta.
2. A reta que passa pelo ponto (1, O, -3) e é paralela ao vetor
2i-4j+5k
3. A reta que passa pelo ponto ( -2, 4, 10) e é paralela ao vetor
(3, l, -8)

James Stewart CAPÍTUlO 12 VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO n 829
4. A reta que passa pela origem e é paralela à reta x = 2t,
y ~ l - t, z ~ 4 + 3t
A reta que passa pelo ponto (1, O, 6) e é perpendicular ao plano
X+ 3y + Z = 5
23-33 o Determine a equação do plano.
5-12 ~~-~ Determine as equações paramétricas e na forma simétrica
41. x
21, L,, X ~ y - l ~ 2z; 4x - y + 3z ~ 8
42. Onde a reta que passa pelos pontos (l, O, 1) e (4, -2, 2)
para a reta.
6. Reta que passa pela origem e pelo ponto (1, 2, 3)
7, Reta que passa pelos pontos (I, 3, 2) e (-4, 3, O)
8, Reta que passa pelos pontos (6, I, - 3) e (2, 4, 5)
9, Reta que passa pelos pontos (o, l, 1) e (2, 1, -3)
10. Reta que passa por (2, 1, O) e é perpendicular à reta i + j
23. O plano que passa pelo ponto (6, 3, 2) e é perpendicular ao
vetor ( -2, 1, 5)
24. O plano que passa pelo ponto (4, O, -3) e cujo vetor normal é
j + 2k
25. O plano que passa pelo ponto (1, -1, 1) e cujo vetor normal é
i+j-k
ej + k
26. O plano que passa pelo ponto (-2, 8, 10) e é perpendicular à
reta x = 1 + t, y = 2t, z = 4 - 3t
11. Reta que passa por ( 1, -1, 1) e é paralela à reta
x + 2 = }-y = z- 3
27. O plano que passa pela origem e é paralelo ao plano
2x-y+3z~l
12 Reta que é a interseção dos planos x + y + z = I e
x+z=O
28. O plano que passa pelo ponto (-1, 6, - 5) e é paralelo ao
-~~-; A reta que passa pelos pontos (-4, -6, I) e (-2, O -3) é
paralela à reta que passa pelos pontos (lO, 18, 4) e (5, 3, 14).
planox+y+z+2=0
29. O plano que passa pelo ponto (4, -2, 3) e é paralelo ao plano
3x-7z~12
14, A reta que passa pelos pontos (4, I, -I) e (2, 5, 3) é
30. O plano que contém a retax = 3 + 2t,y = t, z = 8- te é
perpendicular à reta que passa pelos pontos (-3, 2, O) e (5, 1, 4)
paralelo ao plano 2x + 4 y + Sz = 17
15. (a) Determine as equações na forma simétrica da reta que
passa pelo ponto (0, 2, -l) e é paralela à reta com
O plano que passa pelos pontos (O, I, 1), (1, O, 1) e (1, 1, O)
32. O plano que passa pela origem e pelos pontos (2, -4, 6) e
equações paramétricas x = l + 2t, y = 3t, z = 5 - 7t.
(5, 1,3)
(b) Determine os pontos nos quais a reta da parte (a) intercepta
33. O plano que passa pelos pontos (3, -I, 2), (8, 2, 4) e
os planos coordenados.
(-1, -2, -3)
16. (a) Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto 34. O plano que passa pelo ponto (1, 2, 3) e contém a reta x = 3t,
(5, 1, O) e que é petpendicular ao plano 2x - y + z ~ I,
y ~ 1 + t, z ~ 2 - t
(b) Em que pontos essa reta intercepta os planos coordenados 35. O plano que passa pelo ponto (6, O, -2) e contém a reta
X ~ 4 - 2t, y ~ 3 + 5t, z ~ 7 + 41
17. Ache a equação normal para o segmento de reta de (2, -1, 4)
a (4, 6, 1).
18. Ache as equações paramétricas para o segmento de reta de
(lO, 3, I) a (5, 6, -3).
36. O plano que passa pelo ponto (1, -1, 1) e contém a reta com
equação na forma simétrica x = 2y = 3z
31. O plano que passa pelo ponto (-1, 2, 1) e contém a reta obtida
pela interseção dos planos x + y - z = 2 e 2x - y + 3z = 1
19-22 r::J Determine se as retas L1 e L2 são paralelas, reversas
ou concorrentes. Se forem concorrentes, determine seu
38. Plano que passa pela reta obtida pela interseção dos planos
ponto de interseção.
x - z = 1 e y + 2z = 3 e é perpendicular ao plano
x+y-2z=l
LI: X= -6t, y = 1 + 9t, z = -3t
39-41 c Determine o ponto dado pela interseção da reta e do plano
L 1 : x = 1 + 2s, )' = 4 - 3s, z = s
especificados.
20. LI: X= 1 + 2t, )' = 3t, z = 2 - t
39, x ~ 3 - t, y ~ 2 + t, z ~ 5t; x - y + 2z ~ 9
L 2 : x = ~ 1 + s, y = 4 + s, z = 1 + 3s
40, X~ I + 2t, y ~ 41, z ~ 2 - 3t; X + 2y - z + I ~o
intercepta o plano x + y + z = 6

830 .J CÁLCUlO Editora Thomson
43. Determine as coordenadas do vetor diretor da reta obtida pela
interseção dos planos x + y + z = 1 ex + z = O.
44. Determine o cosseno do ângulo entre os planos
x + y + z = 0 e X + 2y + 3z = L
45-51} Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou
nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo
entre eles.
-:~~.x+4y
3z=l, ~3x+6y+7z=O
46. 2z ~ 4y- x, 3x- 12y + 6z ~I
41.x+y+z=1, x-y+z=l
48. 2x - 3y + 4z = 5, x + 6y + 4z = 3
49. x = 4y ~ 2z, 8y = 1 + 2x + 4z
50. x + 2y + 2z = 1, 2x- y + 2z = I
~H-!i2 --: (a) Determine a equação na forma simétrica da reta de
interseção dos planos e (b) determine o ângulo entre os planos.
51. x + y - z = 2, 3x - 4y + 5z = 6
52. x - 2y + z = l, 2x + y + z = I
62. Quais das quatro retas seguintes são paralelas Existem duas
coíncidentes
LI: X = 1 + !, y = t. z = 2 ~ St
LJ: X + 1 = y - 2 = 1 - z
L3: X= 1 + t, y = 4 + t, z =I~ t
L,: r~ (2, I, -3) + t(2. 2, -10)
6:3-64 ___: Utilize a fómmla que aparece no Exercício 39 da Seção l2A
para determinar a distância do ponto à reta dada.
63. (I, 2, 3); X~ 2 +f, y ~ 2- 3t, Z ~51
64. (1,0,-1); x~S-t, y~3t, z~ I +2t
65-66 Determine a distância do ponto ao plano dado.
65. (2, 8, 5), x - 2y - 2z = l
66. (3, -2, 7), 4x- 6y + z ~ 5
57-Df\ -
Determine a distância entre os planos paralelos dados
67. z = x + 2y + 1, 3x + 6y - 3z = 4
68. 3x + 6y - 9z ~ 4, x + 2y - 3z ~ I
5.3-54 ~= Determine as equações na forma paramétrica da reta
obtida pela interseção dos planos.
53. z = x + y, 2x - Sy - z = 1
54. 2x + 5z + 3 =O, x - 3y + z + 2 =O
55. Determine a equação do plano constituído de todos os pontos
que são eqüidistantes dos pontos (1, 1, O) e (0, 1, 1).
56. Determine a equação do plano constituído de todos os pontos
que são eqüidistantes dos pontos ( -4, 2, I) e (2, -4, 3).
;{@fi Determine a equação do plano x que intercepta a, o plano que
intercepta b e o plano z que intercepta c.
58. (a) Determine o ponto dado pela interseção das retas:
r~ (1, I, O) + 1(1, -I, 2)
e r~ (2,0,2) + s(-1, 1,0)
(b) Determine a equação do plano que contém essas retas.
59. Determine se as equações paramétricas da reta, que passam
pelo ponto (0, 1, 2), são paralelas ao plano x + y + z = 2 e
perpendiculares à reta x = I + t, y = 1 - t, z = 2t.
60. Determine se as equações paramétricas da reta, que passam
pelo ponto (O, 1, 2), são perpendiculares à reta x = l + t,
y = 1 - t, z = 2t, e interceptam essa reta.
61. Quais dos quatro planos seguintes são paralelos Existem
dois coincidentes
P,' 4x - 2y + 6z ~ 3
P,: -6x + 3y - 9z ~ 5
Pz: 4x - 2y - 2z ~ 6
P4: z = 2x - y - 3
iJ"~~g
Mostre que a distância entre os planos paralelos
ax + by + cz + d 1 = O e ax + by + cz + d 2 = O é
D ~
id,- dd
..ja1 + b2 + c1
70. Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano
x + 2y - 2z = l e distantes duas unidades um do outro.
71. Mostre que as retas com equações simétricas x = y = z e
x + l = y/2 = z/3 são reversas e determine a distância entre
elas.
72. Determine a distância entre as retas reversas com equações
paramétricas x = 1 + t, y = l + 6t, z = 2t
ex= l + 2s, y = 5 + 15s, z = ~2 + 6s
73. Se a, b e c não são todos nulos, mostre que a equação
ax + by + cz + d =O representa um plano e (a, b, c/ é o
vetor normal ao plano.
Dica: Suponha a ~ O e reescreva a equação na forma
a( x + ~) + b(y - O) + c(z - O) ~ O
14. Dê a interpretação geométrica de cada fanúlia de planos.
(a) x + y + z ~c
(b) X + _}' + CZ = 1
(c) ycosO+zsenO= 1

James Stewart CAPÍTULO 12 VETORES E A GEOMETRiA DO ESPP..ÇO 831
Pondo 3D em Perspectiva
Os programadores de computação gráfica encaram o mesmo desafio que os grandes pintores do
passado: Como representar uma cena tridimensional como uma imagem plana em um plano (um
monitor ou uma tela). Para criar a ilusão de perspectiva, na qual os objetos próximos parecem
maiores que aqueles mais distantes, os objetos tridimensionais na memória do computador são
projetados em uma tela retangular a partir do ponto de visão onde o olho ~ a câmera ~ está
localizado. O volume de visão~ a porção do espaço que estará visível -é a região contida nos
quatro planos que passam através do ponto de visão e uma aresta da tela retangular. Se os objetos
na cena se estendem além dos quatro planos, eles são truncados antes que os dados sejam
enviados para a tela. Esses planos são, portanto, chamados planos cortantes.
1. Suponha que a tela seja representada por um retângulo no plano yz com vértices
(0, :'::400, O) e (O, :'::400, 600), e a câmera esteja localizada em (1000, O, O). Uma reta L na
cena passa através dos pontos (230, -285, 102) e (860, 105, 264). Em quais pontos L será
contada pelos planos cortantes
2. Se o segmento de reta cortado é projetado na tela, identifique o segmento de reta resultante.
3. Use equações paramétricas para plotar as arestas da tela, o segm.ento de reta cortado e sua
projeção na tela. Logo após, adicione retas que conectem o ponto :de visãÓ a cada término
dos segmentos cortados para verificar que a projeção está correta._
4, Umretângulo com vértices(621Ji-1:1, ~Ç6), (563, 31, 242), (657, -lll, 86), e
-::-- ,~, , ~599

832 O CÁlCUlO Editora Thomson
parábohco, feito de um número infinito de cópias deslocadas da mesma parábola. Aqui
as geratrizes da superfície cilíndrica são paralelas ao eixo y.
Notemos que a variável y não aparece na equação da superfície cilíndrica do Exemplo
1. Esse fato é comum às superfícies cilíndricas cujas geratrizes são paralelas a um dos
eixos coordenados. Se uma das variáveis x, y ou z está faltando na equação da superfície.
a superfície obtida é cilíndrica.
EXEMPLO 2 '' Identifique e esboce as superfícies.
(a) x 2 + y 2 = 1 (b) y 2 + z 2 = 1
1, z = k, representam urna circunfe­
SOLUÇÃO
(a) Como z não aparece e as equações x~ + y 2 =
rência de :mio 1 no plano z = k, a superfície x 2 + y 2 = 1 é um cilindro circular cujo
eixo de rotação é o eixo z (veja a Figura 2). Aqui as geratrizes da superfície cilíndrica
são retas verticais.
(b) Nesse caso a variável x é que está faltando, e a superfície é um cilindro circular cujo
eixo de rotação é o eixo x (veja a Figura 3). Ela é obtida tomando-se a circunferência
y 2 + z 2 = 1, x =O, no plano yz e deslocando-a paralelamente ao eixo x.
X
y
FIGURA 2 x' + y' = 1 FIGURA 3 y 2 + z 2 = 1
~ NOTA o Quando estamos tratando de superfícies, é importante reconhecer que uma
equação como x 2 + y 2 = 1 representa uma superfície cilíndrica e não uma circunferência.
O traço dessa superfície cilíndrica x 2 + y 2 = 1 no plano ..\)1 é a circunferência de equação
x 2 + y 2 = 1, z = O.
Quádricas
Uma superfície quádrica é o gráfico de uma equação de segundo grau nas três variáveis
x, y e z. A forma mais geral dessa equação é dada por
Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = O
onde A, B, C, ... , J são constantes. Por rotação e translação essa equação pode ser posta
na forma padrão
Ax 2 + By 2 + Cz 2 + J = O ou Ax 2 + By 2 + Iz ~ O
As superfícies quádricas são as correspondentes tridimensionais das cônicas no plano.
(Veja a Seção 10.5 para uma revisão das cônicas.)

James Stewart CAPÍTULO 12 VETORES E A GEOMETRiA DO ESPAÇO U 833
3, 0)
EXEMPlO 3
Utilize traços para fazer o esboço da quádrica com equação
r '
+-~
4
SOLUÇÃO Substituindo z ~O, determinamos que o traço no plano xy é x 2 + y 2 /9 ~ I,
que reconhecemos ser a equação de uma elipse. Em geral, o traço horizontal no plano
z ~ ké
z~k
FIGURA 4
Elipsóide x 2 + ~'!:__ + f = 1
que é uma elipse, desde que k 2 < 4, ou seja, -2 < k < 2.
Da mesma forma, os traços verticais também são elipses:
x~k (if -I < k < 1)
k'
9
y~k (if-3 < k< 3)
A Figura 4 mostra como representar no esboço alguns traços para indicar a forma da
superfície. Essa superfície é chamada elipsóide, visto que todos os seus traços são
elipses. Note a simetria em relação a cada plano coordenado; isto é reflexo do fato de só
aparecerem potências positivas de x, y e z.
FIGURA 5
A superfície z = 4x' + f é um
parabolóide elíptico. Os traços
horizontais são elipses e os traços
verticais são parábolas.
y
EXEMPlO 4 n Utilize os traços para esboçar a superfície z = 4x 1 + y 2 •
SOLUÇÃO Impondo x ~ O, obtemos z ~ y 2 , de forma que no plano yz a interseção da
superfície é uma parábola. Se tomarmos x = k (uma constante), obteremos z = y 2 + 4k 2 •
Isso significa que se deslocarmos o gráfico para um plano paralelo ao plano yz
obteremos uma nova parábola com concavidade para cima. Da mesma forma, tomando
y = k, o traço é z = 4x 2 + k 2 , que corresponde novamente a uma parábo]a com
concavidade para cima. Impondo z = k, obteremos os traços horizontais 4x 2 + y 2 = k,
que reconhecemos como uma fanulia de elipses. Sabendo a forma dos traços, podemos
esboçar o gráfico da Figura 5. Pelo fato de os traços serem parábolas e elipses, a
quádrica z ~ 4x 2 + y 2 é denonúnada parabolóide elíptico.
Eli:EI\I!PlO 5 cc Esboce a superfície z ~ y 2 - x 2
SOLUÇÃO Os traços nos planos verticais x ~ k são parábolas z ~ y 2 - k 2 ,
com concavidade para cima. Os traços em y = k são parábolas z = -x 2 + k 2 , com
concavidade para baixo. Os traços horizontais são y 2 - x 2 = k, uma família de
hipérboles. Na Figura 6 desenhamos esses traços e mostramos como eles aparecem
quando colocados nos planos corretos na Figura 7.
FIGURA 6
Traços verticais são parábolas;
traços horizontais são
hipérboles. Todos os traços
são identificados com o valor
de k.
)'
Traçosemx = ksãoz = y"- k" Traços emx = k são z = -x 2 + k!- Traços emz = ksãoy 2 - x" = k
X

834 !J CÁlCUlO Editora Thomson
FIGURA 7
Traços movidos para suas
posições nos planos corretos
\'i
\_I
I
I
o
~!
~!
'i
í\ I
I,~
I//\
IX
! f
o
I
Traços em x = k Traços em y = k Traços em z = k
y
z
~l
Na Figura 8 colocamos juntos os traços da Figura 7 para formar a superfície
z = y 2 - x 2 , um parabolóide hiperbólico. Observe que o formato da superfície perto da
origem se assemelha a uma sela. Essa superfície será alvo de estudos futuros na Seção
14.7. quando discutirmos os pontos de sela.
FIGURA 8
A supctfície z = y 2 - x 2 é um
parabolóide hiperbólico.
x2
EXEMPlO 6 -c Desenhe a superfície 4 + y 2 -
z2
4 ~ L
SOLUÇÃO O traço em qualquer plano horizontal z ~ k é a elipse
x'
k'
- + y' ~ 1 +-
4
4
z=k
mas os traços nos planos xz e yz são as hipérboles
e
z'
y2--~l
4
x~o
Essa superfície é chamada hiperbolóide de uma folha e está esboçada na Figura 9.
FIGURA 9
A idéia de usar os traços para desenhar a superfície é empregada em programas de computadores
que fazem gráficos tridimensionais. Na maioria desses programas os traços nos
planos verticais x = k e y = k são apresentados para valores de k igualmente espaçados,
e partes do gráfico são eliminadas utilizando-se a técnica de remover linhas escondidas. A
Tabela 1 mostra gráficos de computador de seis quádricas básicas na forma padrão. Todas
as superfícies são simétricas em relação ao eixo z. Se uma quádrica é simétrica em relação
a um eixo diferente, sua equação se modifica de modo apropriado.

James Stewart
CAPÍTULO 12 VETORES E,_,.,_ GEOMETRIA DO ESPAÇO C 835
TABELA
Gráfico de Quádricas
Superlk
EquaçJ:o
x- v- z-
~_.._.::.........__.._ __
a 2 ' h" ' c 2 -
Todos os traços são elipses.
Se a = b = c. o elipsóide é
uma esfera.
Equação
Traços horizomaís são elipses.
Traços verticais nos planos
x = k e y = k são hipérboles
se k =I= O, mas são um par de
retas quando k = O.
-;;arabo:óide E!iptic:o
z
c
X
V'
+~
b'
Traços horizontais são elipses.
Traços verticais são parábolas.
A variável elevada à ptimeira
potência indica o eixo do
parabolóide.
x 2
v
a2 + bc-
~ 1
Traços horizontais são elipses.
Traças verticais são hipérboles.
O eixo de simetria
corresponde à variável cujo
coeficiente é negativo.
v
Parabolóide Hiperbólico
c
Traços horizontais são
hipérboles.
Traços verticais são parábolas.
O caso aqui ilustrado
corresponde a c < O
Hiperbolóide de Duas Folhas
x2 y2 2
----+ 2
~ 1
a2 b2
Traços horizontais em z = k
são elipses se k > c ou se
k

836 O CÂI..CUI..O Editora Thnmson
A superfície não tem traço no plano xz, mas os traços nos planos verticais y = k para
i k I > 2 são as elipses
que podem ser escritas como
y=k
y=k
FIGURA 10
4x 2 - y 2 + 2z' + 4 =O
Esses traços são usados para fazer o esboço na Figura lO.
EXEMPLO 8 c: Classifique a quádrica x' + 2z 2 - 6x - y + lO = O.
SOLUÇÃO Completando os quadrados, reescrevemos a equação como
y - I = (x - 3) 2 + 2z 2
y
Comparando essa equação com a Tabela l, vemos que se trata de um parabolóide elíptico.
Aqui, entretanto, o eixo de rotação do parabolóide é paralelo ao eixo y, e foi
transladado de forma que o vértice é o ponto (3, I, O). Os traços nos planos
y = k (k > I) são elipses
X
FIGURA 11
x'+2z"-6x-y+l0=0
(x - 3) 2 + 2z 1 = k - l y = k
O traço no plano xy é uma parábola com equação y = I + (x -
do parabolóide está esboçado na Figura li.
3) 2 , z = O. O desenho
Exercícios
1. (a) O que a equação y = x 2 representa como uma curva em !R 2
(b) O que ela representa como uma superfície em IR 3
(c) O que a equação z = y 2 representa
2. (a) Esboce o gráfico de y = e" como uma curva em ~ 2 .
(b) Esboce o gráfico de y =e" como uma superfície em !R 3 •
(c) Descreva e esboce a superfície z = é'.
3-8 CJ Descreva e esboce o gráfico da superfície.
3.
2
+ 4z 1 = 4 4. z=4 - xl
Y"
5. X- y 2 = Ü 6. yz = 4
2
7. z = cosx 8. X" - )'2 = I
9. (a) Ache e identifique os traços da superfície quádrica
x 2 + y 2 - z 2 = 1 e explique por que o gráfico parece com o
gráfico do hiperbolóide de uma folha da Tabela I.
(b) Se trocarmos a equação em (a) para x 2 - y 2 + z 2 = 1,
como isso afeta o gráfico
(c) E se trocarmos a equação em (a) para
x2 + Y2 + 2y - z2 = O
10. (a) Ache e identifique os traços da superfície quádrica
- x 2 - l + z" = l e explique por que o gráfico parece com o
gráfico do hiperbolóide de duas folhas da Tabela 1.
(b) Se a equação na parte (a) for trocada para x 2 -i - z 2 = 1
, o que acontece com o gráfico Esboce o novo gráfico.
11-20 o Determine o traço da superfície dada nos planos x = k, y = k,
z = k. Identifique a superfície e faça um esboço dela.
11. 4x 2 + 9y 2 + 36z 2 = 36 12. 4y = x 2 + z 2
13. y2 = x2 + 2 2 14. z = x-' - )'2
15. -x 2 + 4y 2 - z 2 = 4 16. 25y 2 + z 2 = !00 + 4x 2
17. x 2 + 4z 2 - y =O 18. x 1 + 4y 2 + z' = 4
y = z2- x2 20. 16x 2 = y 2 + 4z 2

James Stewart CAPÍTULO 12 VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO 837
2:1-23 -- Case a equação com seu gráfico (identificado por I~ VIII).
Dê razões para sua escolha.
21. x 2 + 4y 2 + 9z 2 =
23. x 2 - y 2 + z 2 =
25. y = 2x 2 + z 2
27. x 2 + 2z 2 = 1
24. -x 2 + y 2 - z 2 =
26. y" =x 2 + 2z 2
28. y = x 2 - z 2
li
34. 4y 2 + z 2 - x- l6y- 4z + 20 ~O
35. x 2 - y 2 + z 2 - 4x - 2y - 2z + 4 = O
36. x 2 - i + z 2 - 2x + 2y + 4z + 2 = O
37-40 Use o computador com um programa que trace superfícies
tridimensionais. Experimente diversos pontos de vista e diversos
tamanhos de janela de inspeção até conseguir uma boa visão da
superfície.
~
37. z 3x 2 - ~
Sy' 38. 8x" + !Sy' + Sz' !00
39.
~· =xz + 4y' 40. z ~ y' + xy
lli
IV
41. Desenhe a região delimitada pela superfície z =
x 2 + y 2 = 1 para I ~ z ~ 2.
c
v
VI
42. Desenhe a região delimitada pelos parabolóides z = x 2 + y 2 c
z = 2- x 2 - y 2 •
43. Determine a equação da superfície obtida pela rotação da
parábola y = x 2 em tomo do eixo y.
44. Determine a equação da superfície obtida pela rotação da reta
x = 3y em tomo do eixo x.
VII
X
X
VIU
29-36 o Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície
e faça o esboço.
29. z 2 = 4x 2 + 9/ + 36
31. x = 2y 2 + 3z 2
33. 4x' + y' + 4z 2 - 4y - 24z + 36 ~O
X
45. Determine a equação da superfície constituída de todos os
pontos que são eqüidistantes do ponto (-L O, O) e do plano
x = 1. Identifique essa superfície.
46. Determine a equação da superfície constituída de todos os
pontos P para os quais a distância de P ao eixo x é o dobro da
distância de P ao plano yz. Identifique a supetfície.
47. Mostre que, se o ponto (a, b, c) pertence ao parabolóide
hiperbólico z = y 1 - x 1 , então as retas com equação
paramétrica x =a + t, y = b + t, z =c + 2(b - a)t e
x = a + t, y = b - t, z = c - 2(b + a)t estão contidas
inteira,mente no parabolóide. (Isso mostra que o parabolóide
hiperbólico é o que é chamado superfície regrada; ele pode
ser gerado pelo movimento de uma reta. De fato, esse
exercício mostra que passando emr cada ponto do
parabolóide hiperbólico existem duas retas geradoras.
As únicas outras quádricas que têm superfície regrada são
cilíndros, cones e hiperbolóides de uma folha.)
48. Mostre que a curva obtida pela interseção das superfícies
x 1 + 2y 2 - z 1 + 3x = 1 e 2x 2 + 4y 2 - 2z 2 - 5y =O
pertence a um plano.
U 49. Desenhe as superfícies z = x 2 + y 2 e z = 1 - y 2 em uma
mesma tela usando uma janela de tamanho I x I .s:: 1.2,
j y I ~ 1.2, e observe a curva da interseção. Mostre que a
projeção dessa curva no plano xy é uma elipse.

838 o CÁlCUlO Editora Thomson
''Jfl~'l
Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
Lembre-se de que em geometria plana introduzimos o sistema de coordenadas polares para
dar uma descrição conveniente de certas curvas e regiões (ver a Seção 10.3). Em três
dimensões existem dois sistemas de coordenadas semelhantes às coordenadas polares que
fornecem uma descrição conveniente de algumas superfícies e sólidos que aparecem geralmente.
Esses sistemas serão especialmente úteis no Capítulo 15, quando calcularemos vo~
lumes e integrais triplas.
Quádricas
No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P no espaço tridimensional é representado
pela tripla ordenada (r, 8, z), onde r e 8 são as coordenadas polares da projeção
de P sobre o plano .\)1 e z é a distância direta do plano Ã)l ao ponto P (veja a Figura 1).
FIGURA
Coordenadas cílíndricas de um ponto
Para converter de coordenadas cilíndricas para coordenada

James Stewart CAPÍTUlO 12 VETORES E A GEOMETRiA DO ESPAÇO 839
Coordenadas cilíndricas são úteis em problemas que envolvem simetria em tomo de um
eixo, e o eixo z é escolhido para coincidir com o eixo de simetria. Por exemplo, o eixo do
cilindro circular com equação em coordenadas cartesianas x 2 + y 2 = c 2 é o eixo z. Em coordenadas
cilíndricas ele tem uma equação muito simples dada por r= c. (Veja a Figura 3.)
Esta é a razão para o nome coordenadas "dlíndricas".
Descreva a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é z = r.
FIGURA 3
r =
c, um cilindro
SOLUÇÃO A equação diz que o valor z, ou superior, de cada ponto na superfície é igual a
r, a distância do ponto ao eixo z. Como O não aparece, ele pode variar. Então qualquer
traço horizontal no plano z = k (k > O) é um círculo de raio k, Esses traços sugerem que
a supe1fície é um cone. Isso pode ser confirmado convertendo-se a equação em
coordenadas retangulares. Da primeira equação em (2). temos
Reconhecemos a equação z 2 ~ x 2 + y 2 (comparando com a Tabela I da Seção 12.6)
como um cone cujo eixo é o z (veja a Figura 4).
X
FIGURA 4
z=r,umcone
X
'I
o
8
I
I IA
lY
f"'
P/
FIGURA 5
Coordenadas esféricas de um ponto
z
y
EXtfvlPUJ 3 - Determine a equação em coordenadas cilíndricas para o elipsóide
4x 2 + 4y 2 + z 2 = 1.
SOLUÇÃO Como r 2 = x 2 + y 2 , da Equação 2, temos
z 2 ~ 1 - 4(x 2 + y 2 ) = 1 - 4r 2
Assim, uma equação do elipsóide em coordenadas cilíndricas é z 2 = 1 - 4r 2 .
Coordenadas Esféricas
As coordenadas esféricas (p, e, ) de um ponto P no espaço são indicadas na Figura 5,
onde p = I OP I é a distância da origem a P, e é o mesmo ângulo que em coordenadas
cilíndricas, e

840 o CÁlCUlO
Editora Thomson
(veja a Figura 7), e a equação cjJ = c representa um semicone com eixo z como seu
eixo (veja a Figura 8).
A relação entre as coordenadas retangulares e as coordenadas esféricas pode ser vista
da Figura 9. Dos triângulos OPQ e OPP', temos
z = pcos
r= psen
Mas x = r cos e e y = r sen 8; assim, para converter de coordenadas esféricas para retangulares
utilizamos as equações
x=psencose y = psen sen e z = pcos
FIGURA 9
Também, a fórmula da distância mostra que
Usamos essas equações para converter de coordenadas retangulares para esféricas.
UEMPlO 4 ,~ O ponto (2, Tr/4, Tr/3) é dado em coordenadas esféricas. Plote o ponto e
detennine suas coordenadas retangulares.
SOLUÇÃO Plotamos o ponto na Figura 10. Das Equações 3, temos
(2, rr/4, rr/3)
x = p sen cos e= 2 sen ; cos ; = 2( '7)()z) = ~
X
E_
4
FIGURA 10
2
y
y=psensene=2sen;sen; =2('7)(Jz)= ~
z=pcos=2cos; =2(l)= I
Assim, o ponto (2, Tr/4, Tr/3) tem coordenadas retangulares dadas por ()3fi, )3fi, I).
EXEMPLO 5 u O ponto (0, 2.,J3, -2) é dado em coordenadas retangulares. Determine as
coordenadas esféricas desse ponto.
SOLUÇÃO Da Equação 4, temos
p= = .JO + 12 + 4 = 4
e as Equações 3 fornecem
z -2 l
cos=-=-= --
P 4 2
2'1T
=-
3
X
cose= =O
psen
(Note que O 'i' 3Tr/2 porque y = 2.j3 > 0.) Assim, as coordenadas esféricas do ponto
dado são (4, Tr/2, 271'/3).

James Stewart CAPÍTULO 12 VETORES E A GEOMETRiA DO ESPAÇO 841
EXEMPlO 6 Determine uma equação em coordenadas esféricas para o hiperbolóide de
duas folhas com equação x 2 - y 2 - z 2 = 1.
SOLUÇÃO
Substituindo as expressões da Equação 3 na equação dada, temos
p 2 [sen 2 4> (cos 2 8- sen 2 11) -
cos 2 ] = l
ou p 2 (sen'-
SOLUÇÃO Das Equações 4 e 3, temos
ou
x 2 + y 2 + z 2 = p 2 = p sen 11 sen 4> = y
que é a equação de uma esfera com centro (O, i, O) e raio J.
txEMPUl 8 c: Utilize o computador para desenhar um retrato do sólido que permanece
quando um buraco de raio 3 é retirado do centro de uma esfera de raio 4.
A maioria dos programas para gerar
gráficos tridimensionais pode desenhar
superfícies que são dadas em
coordenadas cilíndricas ou esféricas.
Como o Exemplo 8 demonstra, isso é
um modo muito conveniente para
desenhar sólidos.
SOLUÇÃO Para deixar as equações simples, vamos escolher o sistema de coordenadas de
forma que o centro da esfera esteja na origem e o eixo do cilindro formado pelo furo seja
o eixo z_. Podemos usar tanto as coordenadas cilíndricas quanto as esféricas para
descrever o sólido, mas a descrição fica muito mais simples se usarmos as coordenadas
cilindricas. Assim a equação do cilindro é r = 3 e a equação da esfera é
x 2 + y 2 + z 2 = 16, ou r 2 + z 2 = 16. Os pontos do sólido são os que estão fora do furo
e dentro da esfera, e portanto satisfazem as inequações
3 ,:; r,:; )16 - z 2
Para garantir que o computador desenhe somente as partes apropriadas dessa superfície,
detenninamos sua interseção resolvendo as equações r= 3 e r= .J16 - z 2 :
)16 - z 2 = 3 :: 16 - z 2 = 9 :: z 2 = 7 :: z = :!:.,fi
O sólido está entre z = --/7 e z = J7, e então pedimos ao computador o gráfico da
superfície com as seguintes equações e janela de inspeção:
r=3
r= )16 z 2
FIGURA 11
O retrato resultante, mostrado na Figura 11, é exatamente o que queríamos.

842 li CÁLCULO Editora Thomson
.,
I
-===-~~-
Exercícios
1. O que são as coordenadas cilíndrica;;; Para que tipo de
superfícies elas fornecem uma descrição conveniente
2. O que são as coordenadas esféricas Para que tipo de
superfícies elas fornecem uma descrição conveniente
:3--B Plote o ponto cujas coordenadas cilíndlicas são dadas.
Depois, determine as coordenadas retangulares do ponto.
3. (2. 1T/4. l) 4. (I, 37r/2, 2)
5. (3, O, -6) 6. (I,"· e)
7. (4, -1T/3, 5) 8. (5, 1T/6, 6)
~--12 Converta de coordenadas retangulares para coordenadas
cilíndricas.
9. (I,-!, 4)
11. ( -!, -../3. 2)
10. (3, 3, - 2)
12. (3, 4, 5)
13-Hi Plote o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas.
Depois, determine as coordenadas retangulares do ponto.
13; (I, O, O) 14. (3, O, 1r)
15. (I. 71"/6, 71"/6) 16. (5, 71", 71"/2)
17. (2, 1T/3, 71"/4) 18. (2, 1T/4, 1T/3)
19-22 Converta de .coordenadas retangulares para coordenadas
esféricas.
19. (!, ../3, 2../3)
21. (O, -1, -I)
20. (o,../3, 1)
22. (-I.l.Jii)
23-26 ':":' Converta de coordenadas cilíndricas para coordenadas
esféricas.
23. (I. 1T/6, ../3)
25. (../3,1T/2, -1)
24. (.;6. 71"/4, v'2)
26. (4, 71"/8, 3)
2:7-3fi :::~ Converta de coordenadas esféricas para coordenadas
cilíndricas.
27. (2, O, O)
29. (8, 1T/6, 1T/2)
28. (2.,/2, 31T/2, 1T/2)
30. (4, 1T/4. 1T/3)
31-36 c-: Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada a
seguir.
31. r= 3 32. p~3
33. ~O 34. "'~ 1T/2
"'~ 71"/3
36. 8 ~ "JI"/3
37-48 ;::::; Identifique a superfície cuja equação é dada.
37. z=r 1 38. r=4sene
39. pcos= 2
r=2cose
40.
42.
psen~2
p~2cos
43. r 2 + z 2 = 25
44. r 2 - 2z 2 = 4
45. p 2 (sen' cos'8 + cos 2 ) ~ 4 46. p 2 (sen':55. x 2 + y" = 2y
50. x 2 + y 2 + z 2 = 2
52. x" + y 2 + z 2 + 2z =O
54. y~ + z" = l
56. z = x"- y~
57--32 '- Esboce o desenho do sólido descrito pelas desigualdades.
57. r 2 ~ z ~ 2 - r 2
58. O ~ 8-:::;:;: r./2. r-:::;:;: z ~ 2
59. p >'S 2. o >'S 'S r./2, o ~o ~ Tr/2
60. 2 ~ p ~ 3, 71/2 ~ ~ 7r
61. -n/2-:::;:;: O~ n/2, O-:::;:;: çf; ~ n/6. O ~p .s; secrjJ
62. o oS "' oS 71"/3, p oS 2
63. Uma concha cilíndrica tem 20 em de comprimento, com raio
interno de 6 em, e raio externo de 7 em. Escreva as ínequações
que descrevem a concha em um sistema de coordenadas
apropriado. Explique como você posicionou o sistema de
coordenadas com respeito à concha.
64. (a) Ache as inequações que descrevem uma bola oca com
diâmetro de 30 em e espessura de 0,5 em. Explique como você
posicionou o sistema de coordenadas que escolheu.
(b) Suponha que a bola seja cortada pela metade. Escreva as
inequações que descrevem uma das metades.
Um sólido é constituído do conjunto de pontos que está acima
do cone z = e abaixo da esfera x 1 + y 2 + z 2 = z.
Descreva o sólido utilizando inequações envolvendo
coordenadas esféricas.
66. Utilize um dispositivo gráfico para desenhar o sólido envolvido
pelos parabolóides z = x 2 + y 2 e z = 5 - x 2 - y 2 .
=~67. Utilize um dispositivo gráfico para desenhar um silo
constituído de um cilindro com raio 3 e altura 10 sobreposto
por um hemisfério.
68. A latitude e a longitude de um ponto P no hemisfério norte estão
relacionadas às coordenadas esféricas p, 8, 4> como se segue.
Tomamos a origem como o centro da Terra e a orientação
positiva do eixo z passa pelo pólo norte. A orientação positiva do
eixo x passa pelo ponto onde o primeiro meridiano (o meridiano
de Greenwich, na Inglaterra) intercepta o equador. Assim a
latitude de Pé a = 90° - r:Po e a longitude é f3 = 360° - 8°.
Detennine a distância no grande círculo entre Los Angeles (lat.
34.06° N, long. 1!8.25° W) e Montreal (lat. 45·50° N, long.
73·60° W). Tome o raio da Terra como sendo 3.960 mi. (Um
grande círculo é a circunferência obtida pela interseção da esfera
que representa o globo terrestre com um plano que passa pelo
centro da Terra.)

James Stewart CAPÍTULO 12 VETORES E _A GOMETRIA DO ESPAÇO lJ 843
Famílias de Superfícies
Neste projeto descobriremos as formas que membros de famílias de superfícies podem tomar.
Veremos o que acontece com as formas quando modificamos gradativamente algumas constantes.
1. Utilize um computador para analisar a família de superfícies
z = (ax 2 + by 2 )e~-;_"--" 1
Como se altera a forma do gráfico variando os valores das constantes a e b
2. Use um computador para analisar a famllia de superfícies z = x 2 + y 2 + cxy. Determine para
que valor da constante c a superlície se modifica de um tipo de quádrica para outro.
3. Membros da família de superfícies dadas em coordenadas esféricas pela equação
p = 1 + 0,2 sen me sen ncf;
foram sugeridos como modelo para tumores e sã~:;c~h:a~m~a;d:o~:';.~~g::!~J:~~~~~~~~,~~
esferas enrugadas. Utilize um computado! para
e n como inteiros positivos. Qtial o papel dos -yalores _

844 fJ CÁlCUlO Editora Thomson
TESTES FALSO~VERDADEIRO
Determine se as afirmações são falsas ou verdadeiras_ Se verdadeira, explique
a razão. Se falsa, explique por que ou forneça um contra~exemplo.
1. Para quaisquer vetores u e v em V3, u · v = v · u.
2. Para quaisquer vetores u e v em V3 , u X v = v X u.
3. Para quaisquer vetores u c v em V3, I u X v I = I v X uI·
4. Para quaisquer vetores u e v em V 3 e qualquer escalar k,
k(u · v) ~ (ku) · v.
5. Para quaisquer vetores u e v em V3 e qualquer escalar k,
k(u x v) ~ (ku) X v.
6. Para quaisquer vetores u, v e w em V3,
(u + v) X W = u X w + v X \'\'.
7. Para quaisquer vetores u, v e w em V 3 ,
u · (v X w) ~ (u X v) · w.
8. Para quaisquer vetores u, v e w em \1 3 ,
u X (v X w) ~ (u X v) X w.
9. Para quaisquer vetores u e v em V 3 , (u X v) · u = O.
10. Para quaisquer vetores u e v em V3, (u + v) X v = u X v.
11. O produto vetorial de dois vetores unitários é um vetor unitário.
12. A equação linear Ax + By + Cz + D = O representa uma reta
no espaço.
13. O conjunto de pontos { (x, y, z) I x 2 + y 2 = i} é wnacircunferência.
14. Seu= (u~, u2) e v= (v~, v2), então u ·v= (utVI, u2v1).
EXERCÍCIOS
1. (a) Determine a equação da esfera de centro (1, -1, 2) e raio 3.
(b) Determine o centro e o raio da esfera
x 2 + y 2 + z 2 + 4x + 6y -
lOz + 2 = O
2. Copíe os vetores da figura c utílizeHos para desenhar os
seguintes vetores.
(a) a + b
(b) a - b
(c) -~a
(d) 2a + b
5. Delermíne os valores de x tais que o vetor (3, 2, x) e
(2x, 4, x) sejam ortogonais.
6. Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais a
j+2kei-2j+3k.
7. Suponha que u · (v X w) = 2. Determine
(a) (u X v) · w (b) u · (w X v)
(c)v·(uxw) (d)(uxv)·v
8. Mostre que, se a, b e c estão em V 3 , então
(a X b) · [(b X c) X (c X a)] ~ [a · (b X c)]'
3. Se u e v são vetores mostrados na figura, detennine u · v e
I u X v 1. O sentido do vetor u X v é entrando ou saindo do
papel
4. Calcule a quantidade dada se
zj
oi/
-;r----
a= i+ j - 2k c~ j- 5k
(a)2a+3b
(c) a · b
(bJibl
(d) a X b
(e) I b X c I (f) a • (b X c)
(g) c X c (h) a X (b X c)
(i) comp, b
(j) proj, b
(k) O ângulo entre a e b (com precisão até os graus)
9. Determine o ângulo agudo entre duas diagonais de um cubo.
10. Dados os pontos A(l, O, 1), 8(2, 3, 0), C( -1, 1. 4) e D(O. 3, 2),
determine o volume do paralelepípedo com lados adjacentes
AB. ACeAD.
11. (a) Determine um vetor perpendicular ao plano que passa
pelos pontos A(l, O, O). B(2. O, -I) e C(l, 4, 3).
(b) Determine a área do triângulo ABC.
12. Uma força constante F= 3i + 5j + lOk move um objeto ao
longo de um segmento de reta de (1, O, 2) a (5, 3, 8). Determine
o trabalho realizado se a distância é medida em metros e a força
em newtons.
13. Um barco é puxado para a praia usando duas cordas, como
mostrado no diagrama. Se é necessária uma força de 255 N,
determine a grandeza da força exercida em cada corda.

James Stewart CAPÍTUlO 12 VETORES E A GOMETRIA DO ESPAÇO ,., 845
14. Determine a módulo do torque no ponto P se uma força de 50
N é aplicada como mostrado.
50
24. (a) Mostre que os planos x + y - z = I e 2x - 3y + 4z = 5
não são nem paralelos nem perpendiculares.
(b) Determine, com precisão até graus, o ângulo entre os
planos.
25. Determine a distância entre os planos 3x + y - 4z = 2 e
3x + y - 4z ~ 24.
26-34 c~ Identifique e esboce o gráfico de cada superfície.
26. x ~ 3 31. -4x' + y 2 - 4z 2 ~ 4
27. X= Z 32. y 2 + z 2 = l + x 2
,:::-·J,
Determine as equações paramétricas da reta.
15. Passa pelo ponto (4. -1, 2) e (1, 1, 5) ·
16. Passa pelos pontos (1, O, -1) e é paralela à reta
~(x - 4) = i.v = z + 2
17. Passa por ( -2, 2, 4) e é perpendicular ao plano
2x- y + Sz ~ 12
·;;:: ··2TI _ Determine a equação do plano que satisfaz as condições.
18. Passa por (2, l, O) e é paralelo a x + 4y - 3z ~ 1
19. Passa por (3, -I, 1), (4, O, 2), e (6, 3, I)
20. Passa por (1, 2, -2) e contém a reta x = 2t, y = 3 - t,
z ~ I + 3t
21. Detennine o ponto no qual a reta com equações paramétricas
x = 2 - t, y = 1 + 3t, z = 4t, intercepta o plano
2x- y + z = 2.
22. Detennine a distância da origem até a reta x = 1 + t,
y = 2 - t, z = -1 + 2t.
23. Determine se as retas dadas pelas equações simétricas
e
X- J
2
6
v-2 z-3
~-·----~-----
3 4
-1 2
são paralelas, simétricas ou concorrentes.
28. y = z 1 33. 4x' + 4y 2 - 8y + z' ~O
29. x 2 . =i' + 4z 1 34. x ~ y 2 + z' - 2y - 4z + 5
30. 4x - y + 2z ~ 4
35. Um elipsóide é gerado pela rotação da elipse 4x 2 + y 2 = 16
em tomo do eixo x. Determine uma equação do elipsóide.
36. Uma superfície é constituída de todos os pontos P tais que a
distância de P ao plano y = 1 é o dobro da distância de P ao
ponto (0, ~ 1, O). Determine a equação dessa superlície c
identifique-a.
37. As coordenadas cilíndricas de um ponto são (2)3, Tr/3, 2).
Determine suas coordenadas retangulares c esféricas.
38. As coordenadas retangulares de um ponto são (2, 2, ~ 1).
Determine suas coordenadas cilíndricas e esféricas.
39. As coordenadas esféricas de um ponto são (8, 1T/4, 1r/6).
Determine suas coordenadas retangulares e cilíndricas.
40-43 o Identifique a superfície cujas equações são dadas.
40 . .p ~ 1T/4 41. 8 ~ 1T/4
42. r=cose
M-4$ ::J Escreva a equação dada em coordenadas cilíndricas e em
coordenadas esféricas.
44. xz + yz = 4
45. x2 + Yz + zz = 4
46. x 2 + y 1 + z 1 = 2x
47. Escreva a equação da supetfícic obtida pela rotação da
parábola z = 4y 2 , x = O, em tomo do eixo z em coordenadas
cilíndricas.
48. Faça o esboço do sólido constituído por todos os pontos com
coordenadas esféricas (p, 8,

lm
1. Cada lado de uma caíxa cúbica mede l m. A caixa contém nove bolas de mesmo raio r. O
centro de uma das bolas está no centro da caixa, e essa bola encosta em todas as outras oito
bolas. Cada uma das oito bolas toca 3 lados da caixa. As bolas estão finnernente dispostas na
caixa. (Veja a figura.) Determine o raio r. (Se você tiver problemas com este exercício, leia
sobre a estratégia de resolver problemas em uso análogo na página 80 do Volume L)
2. Seja B uma caixa sólida de comprimento L, largura W e altura H. Seja S o conjunto de todos os
pontos que estão a uma distância de no máximo l de algum ponto de B. Expresse o volume de
Sem função de L, W e H.
FIGURA PARA O PROBLEMA 1
FIGURA PARA O PROBLEMA 5
3. Seja -L a reta obtida pela interseção dos planos ex + y + z = c e x - cy + cz = - 1 , onde c é
um número real.
(a) Determine as equações simétricas da reta L.
(b) Quando o número c varia, a reta L descreve uma superfície S. Determine a equação da curva
resultante da interseção de S com o plano horizontal z = t (traço de S no plano z = t).
(c) Determine o volume do sólido limitado por Se pelos planos z =O e z = l.
4. Um avião é capaz de viajar a 180 kmlh em condições normais. O piloto decola para o norte
guiado pela bússola do avião. Depois de 30 minutos de vôo, o piloto constata que, em
decorrência do vento, viajou 80 km a 5° para o leste.
(a) Qual a velocidade do vento
(b) Em que direção o piloto deveria ter encabeçado o avião para alcançar o destino pretendido
5. Suponha que um bloco de massa m seja colocado em um plano inclinado, como mostrado na
figura. A descida do plano inclinado pelo bloco é reduzida pela força de atrito; se e não for muito
grande, o atrito impedirá o deslocamento para baixo do bloco. As forças que agem sobre o bloco
são seu peso W, onde I w·1 = mg (g é a aceleração da gravidade); a força normal N,
(a componente normal da força reacionária no plano do bloco) onde IN j = n; e a força F devida
ao atrito, que age paralelamente ao plano inclinado, no sentido contrário ao movimento. Se o
bloco estiver parado e () for aumentado, I F I aumentará até atingir seu valor máximo, além do
qual o bloco começará a deslizar. Nesse ângulo e" pode ser observado que I F i é proporcional a
n. Então, quando i F I é máximo, podemos dizer que I F I = JLsn, onde JLs é chamado coeficiente
de atrito estático e depende dos materiais que estão em contato.
(a) Observe que N +F+ W ~O e deduza que /L,~ Ig (OJ.
(b) Suponha que, para e> 8_,, uma força externa H seja aplicada ao bloco, horizontalmente da
esquerda para a direita, e seja I H I = h. Se h for pequeno, o bloco poderá ainda deslizar; se
h for suficientemente grande, o bloco subirá o plano inclinado. Seja hm;" o menor valor de h
que permita ao bloco permanecer parado (logo, I F I é máximo).
Escolhendo os eixos coordenados de modo que F esteja na direção do eixo x, determine
para cada força atuante seus componentes paralelo e perpendicular ao plano inclinado e
mostre que
hmín sene + mg cos e = n
hmh cos (} + JL,n = mg sen (}
(c) Mostre que
hmcc ~ mg tg(e- e,)
Isso parece razoável Parece razoável para 8 = Os E quando (J.......,.. 90° Explique.
(d) Seja hmh o maior valor de h que permita ao bloco permanecer parado. (Nesse caso, qual o
sentido de F) Mostre que
Essa equação parece razoável Explique.
846

13
Funções Vetoriais
O cálculo de funções a valores
vetoriais é usado na Seção 13.4
para provar as leis de Kepler. Essas
leis descrevem o movimento dos
planetas em torno do Sol
e também se aplicam à
órbita de um satélite
em torno da Terra, como o
Telescópio Espacial Hubble.

848 LJ CÁlCULO Editora Thomson
As funções que usamos até aqui eram funções reais a valores reais. Estudaremos
agora as funções cujos valores são vetores, pois tais funções serão úteis para
descrever superfícies e curvas espaciais. Usaremos também funções vetoriais
para descrever o movimento de objetos no espaço. Em particular, elas serão
úteis para derivar as leis de Kepler sobre o movimento planetário.
"''1 '· · • Funções Vetoriais e Curvas Espaciais
=-'"''='"=='==='=-=~='""~"'=-""""=""'~""--==-==~=-=~=~=""""~- ~---- ~------- ~---- -----~~- "'""=='='~'-'-===,----~---"'-~-3k=-~---
Em geral, uma função é uma regra que associa a cada elemento de seu dorrúnio um elemento
de sua imagem. Uma função vetorial, ou função de valor vetorial, é uma função
cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores.
Em particular, estamos interessados nas funções r cujos valores são vetores tridimensionais.
Isso significa que para todo número t no dorrúnio de r existe um único vetor de V:;
denotado por r(t). Se f(t), g(t) e h(t) são os componentes do vetor r(t), então f, g e h são
funções de valor real chamadas funções componentes de r e escrevemos
r(t) ~ (J(t), g(t), h(t)) ~ f(t)i + g(t)j + h(t)k
Como na maioria das aplicações a variável independente é o tempo, utilizaremos a letra t
para indicá-la.
então as funções componentes são
r(t) ~ (t 3 , ln(3 -
t), Jí)
J(t) ~ (3 g(t) ~ ln(3 - t) h(t) ~ Jí
Pela convenção usual, o donúnio de r é constituído por todos os valores de t para os
quais a expressão r(t) está definída. As expressões t 3 , ln(3 - t) e .jí estão todas definidas
para 3 - t > O e t ;;;. O. Portanto o domfuio de r é o intervalo [0, 3).
O limite de uma função vetorial r é definido tomando-se os limites de suas funções
componentes como se segue.
~ Se lim,-~a r(t) = L, essa definição
equivale a dizer que o comprimento, a
direçâo e o sentido do vetor r(t) se
aproximam do comprimento, da
direção e do sentido do vetor L.
Se r(t) = (j(t), g(t), h(t)), então
~~ r(t) = (!~ f(t), ~~ g(t), ~~ h(tl)
desde que os limites das funções componentes existam.
Da mesma forma, poderíamos escrever a definição usando os e-O (ver o Exercício 43).
Os limites da função vetorial obedecem às mesmas regras dos limites da função real (ver
o Exercício 41).
EXEMPLO 2 - Detennine lim r(t) onde r(t) = (1 + t 3 )i + te-'j + sen t k.
t-o
t
SOLUÇÃO De acordo com a Definição 1, o limite de r é o vetor cujos componentes são os
limites das funções componentes de r:
limr(t) = (Iim(l + t 3 )li + [limte-']j + [lim sent] k
t--c>O t--c>O J 1-00 t__,O f
=i+ k

James Stewart CAPÍTUlO 13 FUNÇÓES VETORIAIS 849
Uma função vetorial r é contínua em a se
lim r(t) ~ r(a)
Em vista da Definição 1, vemos que r é contínua em a se e somente se suas funções componentes
f, g e h são contínuas em a.
As curvas espaciais e as funções vetoriais contínuas estão intimamente relacionadas.
Suponha que f, g e h sejam funções reais contínuas em um intervalo L Então o conjunto
C de todos os pontos (x, y, z) no espaço para os quais
X~ j(t) y ~ g(t) z ~ h(t)
FIGURA 1
C é traçada pelo movimento da
ponta do vetor de posição r(t).
e t varia no intervalo I é chamado curva espaciaL As equações em (2) são denominadas
equações paramétricas de C e t é conhecido como parâmetro. Podemos pensar em C
como tendo sido traçado pelo movimento de uma partícula cuja posição no instante t é
(J(t), g(t), h(t) ). Se consideramos a função vetorial r(t) ~ (f(t), g(t), h(t)), então r(t) é um
vetor de posição do ponto P(f(t), g(t), h(t)) sobre C. Assim, qualquer função vetorial r
define uma curva espacial C que é traçada pela ponta do vetor em movimento r(t), como
mostrado na Figura 1.
EXB!lPUJ 3 _ Descreva a curva definida pela função vetorial
r(t) ~ (I + t, 2 + St, -I + 6t)
SOLUÇÃO As equações paramétricas correspondentes são
X~ I+ t y ~ 2 + St z~-1+6t
que são reconhecidas da Equação 12.5.2 como as equações paramétricas de uma reta
passando pelo ponto (1, 2, -I) e paralela ao vetor (I, 5, 6). Outro modo de ver é
observar que a função pode ser escrita como r ~ ro + tv, onde r 0 ~ (I, 2, -I)
e v ~ (1, 5, 6) e esta é a equação vetorial dareta dada pela Equação 12.5.1.
Curvas planas podem ser representadas utilizando-se notação vetoriaL Por exemplo, a
curva dada pelas equações paramétricas x ~ t 2 - 2t e y ~ t + I (ver o Exemplo I na
Seção I O .I) pode ser descrita pela equação vetorial
onde i~ (1,0) ej ~ (0, 1).
r(t) ~ (t 2 - 2t,t +I)~ (t 2 - 2t)i + (t + l)j
EXEMPLO 4 o Esboce a curva cuja equação vetorial é dada por
r(t) ~ cos ti + sen t j + t k
SOLUÇÃO As equações paramétricas para essa curva são
x = cost y = sen t z = t
Como x 2 + y 2 = cos 2 t + sen 2 t = 1, a curva precisa pertencer ao cilindro circular
x 2 + y 2 ~ l. O ponto (x, y, z) está diretamente acima do ponto (x, y, O), que se move
no sentido anti-horário em torno da circunferência x 2 + y 2 = 1 no plano xy (veja o
Exemplo 2 da Seção 10.1). Como z ~ t, a curva faz uma espiral para cima ao redor de
um cilindro quando t aumenta. A curva, mostrada na Figura 2, é chamada hélice.

850 o CÁlCUlO Editora Thomson
FIGURA 2
A forma de saca-rolha da hélice circular do Exemplo 4 é a mesma das molas espirais.
Elas também aparecem no modelo do DNA (ácido desoxirribonucléico, material genético
de células vivas). Em 1953 James Watson e Francis Crick mostraram que a estrutura da
molécula de DNA é de duas hélices circulares paralelas interligadas, como na Figura 3.
Nos Exemplos 3 e 4 demos as equações vetoriais das curvas e pedimos uma descrição
geométrica ou esboço delas. Nos dois exemplos a seguir daremos uma descrição geométrica
da curva e pediremos para determinar suas equações paramétricas.
~;x;;rvJH_D 5 -- Determine a equação vetorial e as equações paramétricas para o segmento
de reta ligando o ponto P(l, 3, -2) ao ponto Q(2, -I, 3).
FIGURA 3
- A Figura 4 mostra o segmento
de reta PQ do Exemplo 5.
QI2,-J,3) '1
,, I
\
\
SOLUÇÃO Na Seção 12.5 encontramos uma equação vetorial para o segmento de reta que
une a extremidade do vetor r o à extremidade do vetor r I·
r(t) ~ (l - t)ro + tr 1
(Veja a equação 12.5.4.) Aqui tornamos r 0
= e r 1
= para obter
uma equação para o segmento de reta de P a Q:
ou
r(t) ~(I - 1) (1, 3, -2) + 1(2, -I, 3)
r(l) = ( 1 + I, 3 - 41, -2 + 51)
As equações paramétricas correspondentes são:
X= I +I y = 3-41 z = -2+51 o~ t ~I
EXEMPUJ &
o~ t ~ 1
Determine a equação vetorial que representa a curva obtida pela interseção
do cilindro x 1 + y 2 = 1 com o plano y + z = 2.
X
FIGURA 4
'\.\,
P(J, 3, -2) ·,
y
SOLUÇÃO A Figura 5 mostra como o plano intercepta o cilindro, e a Figura 6 mostra que
a curva de interseção C é uma elipse.

James Stewart CAPÍTUlO 13 FUNÇÕES VETORiAiS 851
A projeção de C sobre o plano xy é a circunferência x 2 + y 2 = 1, z =O. Assim sabe­
.mos do Exemplo 2 da Seção lO.! que podemos escrever
Da equação do plano, ternos
X= COS l
y::::: sen t
z = 2 - y = 2 - sen t
Escrevendo as equações paramétricas para C, obtemos
X= COS l y = sen t z = 2- sen t
A equação vetorial correspondente é
r(t)=costi+sentj+(2
sent)k
Essa equação é chamada parametrização da curva C. As setas na Figura 6 indicam .o
sentido em que a curva C é percorrida quando o valor do parâmetro t cresce.
Utilizando Computadores para Traçar Curvas Espaciais
As curvas espaciais são inerentemente mais difíceis de serem desenhadas que as curvas
planas. Para uma representação mais acurada precisamos utilizar alguma tecnologia. Por
exemplo, a Figura 7 mostra o gráfico gerado por computador da curva com equações
paramétricas
x = (4 + sen 20t) cos t y = (4 + sen 20t) sen t z = cos 20t
Essa curva é denominada toróide espiral, porque sua envoltória é um toro. Outra curva
interessante, o nó trevo, com equações
x = (2 + cos J,St) cos t y = (2 + cos I ,5t) sen t z = sen 1,51
está ilustrada na Figura 8. Seria muito difícil traçar qualquer dessas curvas a mão.
'1
FIGURA 7 X
Toróide espiral
Nó trevo
Mesmo com o auxílio de computador no desenho de curvas espaciais, a ilusão óptica
toma difícil entender a forma real da curva. (Isso é verdadeiro em especial na Figura 8.
Veja o Exercício 42.) O próximo exemplo mostra como tratar esse problema.
EXEMPlO 7 o Utilize um computador para traçar a curva com equação vetorial
r(t) = (r, t 2 , t 3 ). Essa curva é chamada cúbica retorcida.
SOLUÇÃO Começaremos plotando, com o auxílio do computador, a curva com equações
paramétricas x = t, y = t 2 , z = t 3 para -2 :::s t ~ 2. O resultado é apresentado na Figura
9(a), mas enxergá-la através desse único gráfico é muito difícil, em virtude da natureza da
curva. A maioria dos programas de computador para desenhar em três dimensões permite,
em vez de utilizar os eixos coordenados, colocar uma caixa envolvendo a curva ou superfície.
Quando olhamos a mesma curva na caixa na Figura 9(b ), conseguimos visualizar melhor sua
forma. Podemos ver que a curva se eleva do canto inferior da caixa para o canto superior
mais próximo de nós, torcendo-se à medida que sobe.

852 o CÁLCULO
Editora Thomson
o
FIGURA 9
Vistas da cúbica retorcida
(a)
2
y
(d)
4
(b)
,f:~-,-
-4+ \
j . \
-8-
2 . o -! -2
X
(e)
6 F-;=~:;:>1
'"I=

James Stewart CAPÍTULO 13 FUNÇÓES VETORIAIS :--1 853
estudada na Seção 10.1 [Figura l2(a)] ou é uma curva cuja projeção é a tricóide investigada
no Exercício 38 da Seção 10.1 [Figura 12 (b)].
(a) r(t) = Ü
. (e'-1 ,fl+l-1 3 )
4. hm ---, , --
,_,.o t t 1 + t
5. lim ([,+3 i + 1 1
2 - 1 j + ~ k)
1-> I f - f
6. lim / arctg t, e-- 21 , ~)
f-CE \
t
1--14 '.:J Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada.
Indique com seta a direção na qual o parâmetro cresce.
7. r(t) ~ (t' + l, 1) 8. r(t) ~ (1 2 , 1 2 )
9. r(l) ~ (t, cos 2t, sen 21) 10. r(t) ~ (! + 1, 31, -t)
21.1; r(t) ~ (sen t, 3, cos t)
i~!!!:
r(t) ~ t 2 i + t'j + t 6 k
14. r(t) = senti + sen t j + J2 cos t k
12. r(t)~ti+tj+costk
~~15-Ul c.: Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas
para o segmento de reta que liga P e Q.
15, P(O, O, O), Q(l, 2, 3)
17, P(l, -1, 2), Q(4, l, 7)
16, P(l, O, 1), Q(2, 3, l)
18, P( -2,4, 0), Q(6, -I, 2)
19-24 Case as equações paramétricas com os gráficos (identificados
com números de I-VI). Explique a razão de sua escolha.
%19: x = cos 4t, y = t, z = sen 4t
20. x=t, y=t 2 , z=e-'
X~ I, y ~ lj(l + 1 2 ), Z ~ 1 2
22. x = e- 1 cos 101, y = e-' sen 10!, z =e-'
23. x = cos t, y = sen t, z = sen St
24. x = cos t, y = sen t, z = In t

854 o CÁlCUlO Editora Thomson
X
y
33. Mostre que a curva com equações paramétricas x = i 2 •
y = 1 - 3t, z = 1 + t' passa pelos pontos (L 4, 0) e (9, -8, 2g)
e não passa pelo ponto (4, 7, -6).
34---36 .::J Determine a função vetorial que representa a curva obtida
pela interseção de duas superfícies.
34. O cilindro x 2 + y" = 4 e a superfície z = xy
·,$) O cone z = e o plano z = I + y
36. O parabolóide z = 4x 2 + y 2 e o cilindro parabólico)'= x='
37. Tente esboçar à mão a curva obtida pela interseção do cilindro
circular x 2 + y 2 = 4 com o cilindro parabólico z = x 2 •
Determine então as equações paramétricas dessa curva e utilize
um computador para desenhá-la.
38. Tente esboçar à mão a interseção do cilindro parabólico y = x 2
com a metade superior do elipsóide x 2 + 4/ + 4z 2 = 16.
Escreva então as equações paramétricas para a curva e utilize o
computador para traçá-la.
-25, Mostre que a curva com equações paramétricas x = t cos t,
y = t sen t, z =testá no zz = x 2 + y 2 , e use esse fato para
esboçar a curva.
26. Mostre que a curva com equações paramétricas x = sen t,
y = cos t, z = sen 2 t é a curva de interseção das superfícies
z = x 1 e x 2 + y 2 = 1. Use esse fato para esboçar a curva.
2.7-30 c Utilize computador para traçar a curva da equação
vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de
forrna a garantir que a visualização é a verdadeira.
27. r(t) ~ (sen t, cos t, t 2 )
28. r(t) ~ (t 4 - t 2 + I, t, t')
29. r(t) ~ (t', ,;t=l, ,;s:::l)
30. r(t) ~ (sen 1, sen 21, sen 3t)
31. Trace a curva com equações paramétricas
x = (1 + cos l6t) cos t, y =- (1 + cos 16t) sen t,
z = 1 + cos l6t. Explique sua aparência mostrando que a
curva se desenvolve em um cone.
32. Trace a curva com equações paramétricas
x = Jt - 0,25 cos 1 10t cos t
y=~l
z = 0,5 cos lOt
0,25cos 2 l0tsent
Explique a aparência da curva mostrando que ela se desenvolve
em uma esfera.
39. Se dois objetos viajam pelo espaço ao longo de duas curvas
diferentes, é sempre importante saber se eles vão se colidir.
(Um míssil vai atingir seu alvo móvel Duas aeronaves vão se
colidir) As curvas podem se interceptar, mas precisamos saber
se os objetos estarão na mesma posição no mesmo instante.
Suponha que as trajetórias das duas sejam dadas pelas
seguintes funções vetoriais
r, (t) ~ (t 2 , 7t - 12, t 2 ) r 2 (t) ~ (4t- 3, t 2 , St- 6)
para t ~O. As partículas colidem
40. Duas partículas viajam ao longo das curvas espaciais
r, (t) ~ (t, t', t 3 ) r,(t) ~(I + 2t, I + 6t, I + 14t)
As partículas colidem Suas trajetórias se interceptam
41. Suponha que u e v sejam funções vetoriais que possuem
limites quando t .......;. a e seja c uma constante. Prove as
seguintes propriedades de limites.
(a) lím [u(t) + v(t)] ~ lím u(t) + lím v(t)
i___,a /->a 1->a
(b) lím cu(t) ~ clím u(t)
!--+a
1->a
(c) lím [u(t) · v(t)] ~ lím u(t) · lím v(t)
1->a 1---'>a 1-•a
(d) lím [u(t) X v(t)] ~ lím u(t) X lím v(t)
t_,a 1->a t-->a
42. A visão do nó trevo apresentada na Figura 8 é correta, mas não
muito reveladora. Use as equações paramétricas
X= (2 + COS 1,5!) COS t y = (2 + cos 1,5t) sen t
z = sen 1,5t
para esboçar a curva à mão vista de cima deixando em branco
os pontos onde a curva se sobrepõe. Comece mostrando que

James Stewart CAPÍTULO 13 FUhlÇÕES VETORIAiS 855
sua projeção sobre o plano xy tem coordenadas polares
r = 2 + cos 1 ,St e e = t, de forma que r varia entre 1 e 3.
Mostre então que z tem um valor máximo c um mínimo
quando a projeção está entre r = I e r = 3.
Quando você terminar o esboço à mão livre, utilize o computador
para traçar a curva com o observador vendo de cima e compare
com seu desenho. Trace a curva sobre outros pontos de vista.
Você alcançará melhor resultado se plotar um tubo de raío 0,2 em
torno da curva. (Utilize o comando tubleplat no Maplc.)
43. Mostre que 1im,~'" r(t) = b se e somente se para todo e > O
existe um número 8 >O tal que] r(t) ~ b I < E para todo
O

856 O CÁLCUlO Editora Thomson
O teorema seguinte fornece um método conveniente para calcular a derivada de uma
função vetorial r por diferenciação de cada componente de r.
~ Teorema Se r(t) ~ íf(t), g(t), h(t)) ~ f{t)i + g(t)j + h(t)k, onde f, g e h são
funções diferenciáveis, então
r'(t) ~ (!'(!), g'(t), h'(t)) ~ f'(t)i + g'(t)j + h'(t) k
l
r'(t) ~ 1im -:;- [r(l + tlt) -
.lt---•0 ut
r(t)]
I
~ H'o b:{ [ (J(t + tlt), g(t + tlt), h(t + tlt)) - (j(t), g(t), h(t))]
- . \ f{t + tlt) - f(t) g(t + tlt) - g(t) _h.c..(t_+_li-'.t)_-_he.:(.c..t))
- hm , ,
;,-o tlt tlt tlt
_ ( . f(t + At) - j(t) . g(t + At) - g(t) . .:.:.h.:.:.(t.:.:.+_::tl:::.tl:_-__:.:_h(=t))
- 1 ® ,rm 1 .~
.:l.t-o At 1.1----.o At j,t----o ô.t
~ (J'(t), g'(t), h'(t))
EXEMPLO 1 c:
(a) Determine a derivada de r(t) = (1 + t'l)i = te- 1 j +seu 2t k.
(b) Encontre o versor tangente no ponto onde t = O.
SOLUÇÃO
(a) De acordo com o Teorema 2, diferenciando cada componente de r, obtemos:
r'(t) = 3t 2 i + (1 -
t)e-'j + 2 cos 2t k
(b) Como r( O)= i e r'( O)= j + 2k, o versor tangente no ponto (I, O, O) é
r'(O) j + 2k 1 . 2
T(O) = I r'( O) I ~ Jl+4 = ,j5 J + ,j5 k
EXEMPLO 2 '' Para a curva r(t) = ,fi i + (2 - t)j, determine r'(t) e desenhe o vetor de
posição r(l) e o vetor tangente r'(!).
SOLUÇÃO Temos
l . .
I )
" 2.yt
r' t = ---r' - J
=-·-
e ''!) 1 . .
r( 2 J

James Stewart CAPÍTULO 13 FUNÇÕES VETORiAiS 857
A curva é plana, e a eliminação do parâmetro da equação x = ji, y = 2 - t nos dá
y = 2 - x 2 , x ~O. Na Figura 2 desenhamos o vetor de posíção r(l) =i + j começando
na origem e o vetor tangente r'(l), começando no ponto correspondente (l, 1).
FIGURA 2
A hélice e a reta tangente do
Exemplo 3 estão mostradas na Figura 3.
EXHJIPtú 3 - Determine as equações paramétricas para a reta tangente à hélice com
equações paramétricas
no ponto (O, I, r,/2).
x=2cost y = sen t z=t
SOLUÇÃO A equação vetorial da hélice é r(f) ~ (2 cos f, sen f, t), de modo que
r'(t) ~ ( -2 sen t, cos t, I)
O valor do parâmetro correspondente ao ponto (O, I, n/2) é f ~ 7T/2, e o vetor tangente é
r'( 7T/2) = ( -2, O, I). A reta tangente passa por (O, I, n/2) e é paralela ao vetor
( -2, O, 1), então, pela Equação 12.5.2, suas equações paramétricas são
FIGURA 3
X~ -21
y ~ I
7r
z ~-+f
2
Do mesmo modo para as funções reais, a derivada segunda da função vetorial r é a
derivada de r', ou seja, e' = (r')'. Por exemplo, a derivada segunda da função do Exemplo
3é
r"(t) = ( -2 cos t, -sen t, O)
Uma curva dada por uma função vetorial r(t) em um intervalo I é denominada lisa se
r' for contínua e r'(t) ':rf O (exceto possivelmente nos pontos tenninais de l). Por exemplo,
a hélice é lisa porque r'(t) é sempre diferente de O.
EXEMPLO 4 C' Determine se a parábola senúcúbica r(f) ~ (I + t 3 , t 2 ) é lisa .
.- SOLUÇÃO Como
r'(t) ~ (31 2 , 21)
FIGURA 4
A curva r(t) = \1 + t\ t 1 ,)
não é lisa.
X
temos r'( O) = (0, O) ~O, e então a curva não é lisa. O ponto que corresponde a f~ O é
(l, 0), e podemos ver do gráfico na Figura 4 que existe um bico agudo, chamado
cúspide, em (1, 0). Qualquer curva com esse tipo de comportamento- uma mudança
abrupta de direção - não é lisa.
Uma curva, como a semicúbica, que é feita de um número finito de pedaços lisos, é
chamada lisa por partes.

858 o CÁLCUlO Editora Thomson
Regras de Diferenciação
O próximo teorema mostra que as fórmulas de diferenciação para funções reais têm suas
equivalentes para as funções vetoriais.
Teorema Suponha que u e v sejam funções vetoriais diferenciáveis, c é um
escalar e f, uma função real. Então, ,
d
1. - [u(l) + v(t)] ~ u'(t) + v'(t)
dt
d
2. dt [cu(!)]~ cu'(!)
d
3. - [f(t)u(l)] ~ f'(t)u(t) + f(t)u'(t)
dt .
4 . .!._ [u(t) · v(t)] ~ u'(t) · v(t) + u(t) · v'(!)
dt
d
5. - [u(t) X v(t)] ~ u'(t) X v(t) + u(t) X v'(t)
dt
d
6. - [u(f(t))] ~ f'(t)u'(f(t)) 'R'P' do Codcic)
dt
l.!
Esse teorema pode ser provado ou usando-se diretamente a Definição ] ou empregandose
o Teorema 2 e as fórmulas de diferenciação correspondentes para a função reaL As
provas das Fórmulas l, 2, 3, 5 e 6 são deixadas como exercício.
Prova da Fórmula 4 Seja
Então
u(t) ~ (!J(t), .h(t), h(t))
u(t) · v(t) = jj(t)g 1 (r) + f,(t)g 2 (t) + !J(t)g2(1) = 2: f;(t)g 1 (1)
i=l
e as regras ordinárias de diferenciação do produto fornecem
3 3
d
d
dt [u(t) . v(t)] = dt ~ f;(t)g,(t) = ~~
d
dt [f;(t)g,(t)]
3
= 2: [!;(t)g,(t) + fi(t)g;(t)]
i=l
3 3
~ 2: t:(t)g,(t) + 2: f;(t)g;{t)
i=l
i=l
~ u'(t) • v(t) + u(t) · v'(t)
EXEII/lPUJ 5 o Mostre que, se I r(t) I ~c (uma constante). então r'(t) é ortogonal a r(t)
para todo t.
SOLUÇÃO Como
r(t) · r(t) = I r(t) 1 2 = c'

James Stewart CAPÍTUlO 13 FUNÇÕES VETORIAIS 859
e c 2 é uma constante, da Fórmula 4 do Teorema 3 vem
O~!!_ [r(t) · r(t)] ~ r'(t) · r(t) + r(t) · r'(t) ~ 2r'(t) • r(t)
dt
Então. r'(t) · r(t) ~ O. o que implica que r'(t) é ortogonal a r(t).
Geometricamente, esse resultado indica que, se a curva está em uma esfera com o cenlro
na origem, então o vetor tangente r'(t) é sempre perpendicular ao vetor posição r(t).
Integrais
A integral definida de urna função vetorial contínua r(t) pode ser estabelecida da mesma
fonna que para a função real, exceto que a integral resulta em um vetor. Mas podemos
expressar a integral de r como a integral de suas funções componentes f, g e h como se
segue. (Utilizamos a notação do Capítulo 5 do Volume I.)
Então
~o "
t r(t) dt ~ !~ ,~ r(t~) l.lt
~ !~ [c~ !(ti) t.r) i+ c~ g(ti) !!.t) j +c~ h(t7) t.t) k]
f r(t) dt ~ (f: f(t) dt) i + (r g(t) dt) j + (f: h(t) dt) k
Isso mostra que podemos calcular a integral da função vetorial integrando cada componente
da mesma.
Podemos estender o Teorema Fundamental do Cálculo para as funções vetoriais contínuas
como se segue:
fb r(t) dt ~ R(t)J: ~ R(b) - R(a)
'"
onde R é urna primitiva de r. ou seja, R'(t) = r(t). Usaremos a notação f r(t) dt para as
integrais indefinidas (primitivas).
EXEI!IIPLO 6 u Se r(t) = 2 cos ti + sen t j + 2t k, então
= 2 sen ti - cos t j + 1 2 k + C
onde C é um vetor constante de integração, e
f
' 12 r(t)dt~ [2senti- costj + t 2 k]~ 12 = 2i + j + -'Ck
o 4
'

860 CÁLCULO Editora Thomson
~~~~2 Exercícios
1. A figura mostra uma curva C dada pela função vetorial r(t).
(a) Desenhe os vetores r(4,5)- r(4) e r(4,2) - r(4).
(b) Esboce os vetores
r(4,5) -
0,5
r(4)
e
r(4,2) - r(4)
(c) Escreva a expressão para r'(4) e para seu versar da tangente T(4).
(d) Desenhe o vetor T(4).
r(4,5) · \
r(4.2)
I . .
JQ
. JP
I
F t::;JJ:--·r(:(y
_ ............. _""I
2. (a) Faça um esboço grande da curva descrita pela função
vetorial r(t) = {t 2 , t), O :s::: t ~ 2, e desenhe os vetores
r(l), r(l,l) e r(l,l)- r(!).
(b) Desenhe o vetor r'{l) começando em (l, l) e o compare
com o vetor
r(!,!)- r(!)
O,l
3-8 u
(a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.
(b) Detennine r'(t).
(c) Desenhe o vetor de posição r(t) e o vetor tangente r'(t) para o
valor dado de t.
0,2
Explique por que esses vetores estão tão próximos um do
outro tanto em módulo quanto em direção.
3. r(t) ~ (cost,sent), t~ 1T/4
4. r(t)~ (1 + t,/i). t~ I
r( I) ~ (l + t) i + t 2 j, t ~ l
6. r(t) = e' i + "'' j, t = O
7. r(t) =e' i+ e 31 j, t =O
8. r(t) ~ 2sen ti+ 3 cos tj, t ~ 7r/3
3-16 o Determine a derivada da função vetorial.
9. r(t) ~ (t 2 , l-I, /i) 10. r(t) ~ (cos 3t, t,sen3t)
11. r(t) =i - j + e 41 k
X
12. r(t) ~ sen''t i+ jl'={i j + k
13. r(t) ~ e''i - j + ln(l + 3t) k
14. r(t) = at cos 3t i + b sen 3 t j + c cos 3 t k
()í~;
r(t) ~a+ tb + t 2 c
16. r(t) ~ta X (b +te)
17-25 -- Determine o versor tangente T(t) no ponto com valor de
parâmetro t dado.
17. r(t) ~ (6t 5 , 4t 3 , 2t), t ~ 1
18. r(t) = 4J[ i + t 1 j + t k, t = 1
~!$, r(t) = cos ti + 3t j + 2 sen 2t k, t ~ O
20. r(t)~2senti+2costj+tgtk, t~'ff/4
21. Se r(t) ~ (t, t 2 , t 2 ), encontre r' (t), T(l ), r"(t) e r'(t) X r"(t).
22. Se r(t) ~ (e", e' 2 ', te 2 '), detennine T(O), r"(O) e r'(t) · r"(t).
2:i~20 Determine as equações paramétricas para a reta tangente
à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
23. x = ! 5 , y = t\ z = t 3 ; (1, I, 1)
24. x~t'-1, y~t 2 +1, z~t+1; (-J,l,l)
~; x =e-r cos t, y = e- 1 sen t, z = e- 1 : (1, O, I}
26. x ~ ln t, y ~ 2/i, z ~ t 2 ; (O, 2, J)
~~ 27-28 c Estabeleça as equações paramétricas para a reta tangente
à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma
mesma tela.
VJi~
m
E
27. x~t, y~./2cost, z~J2sent; (7r/4,l,l)
28. x = cos t, y = 3e 21 , z = 3e- 2 '; (1, 3, 3)
Detennine se as curvas são lisas.
(a) r(t) ~ (1 3 , t', ! 5 ) (b) r(t) ~ (1 3 + t, t', t 5 )
(c) r(t) ~ (cos't, sen 3 t)
30. (a) Determine o ponto de interseção das retas tangentes à
curva r(t) = (sen 7Tt, 2 sen 1rt, cos 1rt) nos pontos t = O
e t ~ 0,5.
(b) Ilustre traçando o gráfico da curva e ambas as tangentes.
31. As curvas r,(t) ~ (t, t 2 , t 3 ) e r,(t) ~ ( sent, sen 2t, t) se
encontram na origem. Detennine o ângulo de interseção
destas com precisão de graus.
32. Em que ponto as curvas r,(t) ~ (t, 1 - t, 3 + t 3 ) e
r 2 (s) = (3 - s, s - 2, s 2 ) se encontram Encontre o ângulo
entre elas no ponto de encontro, com precisão de graus.

T
' :
James Stewart CAPÍTUlO 13 FUNÇÕES VETORIAiS u 861
33-38 CJ Calcule a integraL
33. l'l (16t' i - 9t 2 j + 25! 4 k) dt
• o
34 [' (-4-. +
' • o l
21
+ t 2 J l +
35. J
0 "-';(3sen~tcosti + 3sentcos2 tj + 2sentcostk)dt
36. f(/íi+te'j+ 1
1 ,k)dr
37. f (e'i + 2tj + lntk)dl
38. J (cos 1rti + scn1rtj + tk)dt
39. Determine r(t) se r'(t) ~ 1 2 i + 4t 3 j - 1 2 k e r(O) ~ j.
40. Detennine r(t) se r'(t) =senti cos t j + 2t k e
r( O) ~ i + j + 2 k.
41. Prove a Fótmula 1 do Teorema 3.
42. Prove a Fónnula 3 do Teorema 3.
43. Prove a Fórmula 5 do Teorema 3.
44. Prove a Fórmula 6 do Teorema 3.
45. Seu(t) =i~ 2t"j + 3t 3 kev(t) =ti+ costj + sen t k
determine (d/dt) (u(t) · v(t)].
46. Seu e v são funções vetoriais no Exercício 45, encontre
(d/dt) [u(t) X v(t)J
41. Mostre que se r é uma função vetorial tal que exista r", então
_

862 U CÁlCUlO Editora Thomson
porque, para as curvas planas r(t) = f(t)i + g(t)j,
1 r'(tl 1 = I f'(tli + g'(t)j 1 = )[f'(tlF + [g'(tll'
enquanto para as curvas espaciais r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k,
lr'(IJI = lf'(t)i + g'(t)j + h'(t)kl = )[f'(t)]' + [g'(t)] 2 + [h'(t)] 2
· A Figura 2 mostra o arco de hélice
cujo compnmento é calculado no
Exemplo 1.
EXEMPlO 1 ,, Calcule o comprimento do arco de curva da hélice circular de equação
r(t) =costi + sentj + tkdoponto(l,O,O)atéoponto (l,0,27T),
SOLUÇÃO Como r'(t) =
-senti + cos t j + k, temos
I r'(t) I = J( -sen 1)2 + cos 2 t + 1
O arco de (1, O, O) até (I, O, 27T) é descrito pelo parâmetro percorrendo o intervalo
O ~ t ~ 21T; assim, da Fórmula 3, temos
L= j''c I r'(t) I dt = j''" ,fi dt = 2,fi1T
.,o ~O
FIGURA 2
Uma única curva C pode ser representada por mais de uma função vetorial. Por exemplo,
a cúbica retorcida
r 1 (t) = (1, 1 2 , 1 3 ) 1 ~ t ~ 2
poderia ser representada também pela função
r 2 (u) = (e", e 2 ", e 3 ") O~u-:s;;ln2
:"-; Curvas lisas por trechos foram
introduzidas na Seção 13.2.
X
FIGURA 3
't
s(t)~
I
/(t) ~
--­y
onde a relação entre os parâmetros t e u é dada por t = eu. Podemos ver que as Equações
4 e 5 são parametrizações da curva C. Se fôssemos usar a Equação 3 para calcular o comprimento
de C, obteríamos o mesmo resultado obtido usando-se as Equações 4 ou 5. Em
geral, pode ser mostrado que, quando a Equação 3 é utilizada para calcular o comprimento
de uma curva lisa por trechos, o comprimento do arco é independente da parametrização
empregada.
Suponhamos agora que C seja uma curva lisa por trechos dada pela função vetorial
r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k, a ,o; t ,o; b, onde pelo menos uma das f, g, h seja injetora em
(a, b), Definiremos a função comprimento de arco por s
f
f ' l(dx)' (dy )' (dz)'
[6] s(t) = ~I r'(u) I du = " \ du + du + du du
Então, s(t) é o comprimento da parte de C entre r( a) e r(t), (Veja a Figura 3.) Se diferenciarmos
os dois lados da Equação 6 usando a Parte I do Teorema Fundamental do Cálculo,
obteremos
IIl
ds
- = lr'(t)l
dt
É freqüentemente útil parametrizar uma curva em relação ao comprimento do arco,
pois o comprimento de arco aparece naturalmente da forma da curva e não depende do sistema
de coordenadas utilizado. Se uma curva r(t) já está dada em termos de um parâmetro
t e s(t) é a função comprimento de arco dada pela Equação 6, podemos resolver para t
como uma função de s: t = t(s). A curva pode ser então reparametrizada em termos de s

James Stewart CAPÍTUlO 13 FUNÇÓES VETORIAIS C1 863
substituindo~se o parâmetro t: r~ r(t(s)). Assim, se s ~ 3, por exemplo, r(t(3)) é a
posição do ponto que está a três unidades de comprimento do início da curva.
EXEMPLO 2 Reparametrize a hélice circular r(t) = cos ti + sen t j + t k utilizando a
medida de comprimento de arco de (1, O, O) na direção de crescimento de t.
SOLUÇÃO O ponto inicial (1, O, O) corresponde ao valor do parâmetro t ~ O. Do Exemplo
1, temos
ds ~ I r'(t) I ~ j2
dt
e assim
s ~ s(t) ~ j'' I r'(u) I du ~ f' .J2 du ~ ,fit
O
wÚ
Portanto, t = s/ J2, e a reparametrização pedida é obtida substituindo-se o valor de t:
Curvatura
r(t(s)) ~ cos(s/!:2) i+ sen(s/f:2)j + (s/JZ) k
X
FIGURA 4
Versar da tangente em pontos igualmente
espaçados de C.
Se C é uma curva lisa definida por uma função vetorial r, então r'(t) ::;6. O. Lembremo-nos
de que o versor da tangente T(t) é dado por
T(t) ~ _t:1tL
I r'(rJ I
e indica a direção da curva. Da Figura 4, podemos ver que T(t) muda de direção muito
devagar quando a curva C é razoavelmente reta, mas muda de direção mais rapidamente
quando a curva C se dobra ou retorce mais acentuadamente.
A curvatura de C em um dado ponto é a medida de quão rapidamente a curva muda de
direção no ponto. Especificamente, definimos a curvatura como o módulo da taxa de variação
do versar da tangente com relação ao comprimento do arco. (Utilizamos o comprimento
de arco, pois assim a curvatura independe da parametrização.)
I
[!i] Deiiniçilo A curvatura de uma curva é
Londe T é o versor da tangente.
I
--~-·.J
A curvatura é simples de calcular se expressa em termos do parâmetro t em vez de s.
Assim, usamos a Regra da Cadeia (Teorema 13.2.3, Fórmula 6) para escrever
dT
dt
dT ds
ds dt
e
Mas dsídt ~ I r'(t) I da Equação 7, e então
K(t) ~
I T'(t) I
I r'(tl I

864 o CÁlCUlO Editora Thomson
EXE!VJPUJ 3 _J Mostre que a curvatura de um círculo de raio a é 1/ a.
SOLUÇÃO Podemos tomar o círculo com centro na origem, e parametli.Zado como
r(t) ~ a cos ti + a sen t j
Assim
portanto
e
r'(t) ~ -asenti + acostj e I r'(t) I ~ a
r'(t) . .
T(t) ~ ---
~ -sen 11 + cos IJ
r'(t)
1
1
T'(t) ~ -cos ti- sen tj
Isso nos dá I T'(t) I ~ 1; então, usando a Equação 9. temos
I T(tJI 1
K(l) ~- '()' ~-
r f 1 a
1
O resultado do Exemplo 3 mostra que pequenos círculos têm uma grande curvatura,
enquanto grandes círculos têm uma pequena curvatura, como nossa intuição indica.
Podemos ver diretamente da definição que a curvatura de uma reta é sempre O, pois o vetor
tangente é constante.
Apesar de a Fórmula 9 ser utilizada em qualquer caso para calcular a curvatura, em
geral é mais conveniente aplicar a fórmula dada pelo teorema que se segue:
[!]!J Teoremfl A curvatura de uma curva dada pela função vetorial r é
K(l) ~
I r'(t) X r"(t) I
I r'(t) IJ
Prova Como T ~ r'/1 r' I e I r' I ~ ds/dt, temos
ds
r'~ lr'IT ~ -T
dt
e pela Regra do Produto (Teorema 13.2.3, Fórmula 3), temos
d 2 ds
ru=_s T +-T'
dt 2 dt
Usando o fato de que T X T ~ O (veja o Exemplo 2 da Seção 12.4). temos
r' X r"~ ( ~; r(T X T')
Agora I T(t) I ~ l para todo t, e então T e T' são ortogonais pelo Exemplo 5 da Seção
13.2. Portanto, pelo Teorema 12.4.6,
I d )' ( ds \ 2 (
I r'
d )'
X r" I ~ \ d; I T X T' I ~ dt} I T li T' I ~ Jr I T' I

T
James Stewart
CAPiTUlO 13 FUNÇÜES VETORIAiS
865
Então
. Ir' x r" I
IT'i ~ (ds/dt) 2
e
Ir' X r" I
I r' 11
EXErv1PUJ 4 : Determine a curvatura da cúbica retorcida r(t) =
genérico e em (O, O, O).
(!, t 2 , t 3 ) em um ponto
SOLUÇÃO Calculemos inicialmente os ingredientes:
r'(t) ~ í l, 2t, 3t 2 ) r"(t) ~ (O, 2, 6t)
I r'(tJ 1 ~ .Jl + 4t' + 9t'
j
r'(t) X r"(t) ~ 21 3t 2 ~ 6t 2 i- 6tj + 2k
o 2 6t
k
I r'(t) X r"(t) I ~ .j36t' + 36t 2 + 4 ~ 2.j9t 4 + 9t 2 + l
Então, aplicando o Teorema 1 O temos
K(l) ~
I r'(t) X r"(t) I
I r'(tl I]
2'

---------------------------------
866 O CÁLCULO Editora Thomson
c Podemos pensar no vetor normal
como indicador da direção na qual a
curva está se virando em cada ponto.
Vetores Normal e Binormal
Em urri ponto dado de uma curva lisa r(t) existem muitos vetores que são ortogonais ao
versor da tangente T(t). Do mesmo modo que I T(t) I ~ l para todo t. temos
T(t) · T'(t) ~ O do Exemplo 5 da Seção 13.2. e então T'(t) é ortogonal a T(t). Observe, no
entanto, que T'(t) pode não ser um vetor unitário. Mas, se r' também for lisa, definiremos
o vetor normal principal unitário N(t) (ou simplesmente normal unitário) corno
N(t) ~
T'(t)
I T(t) I
O vetor B(t) ~ T(t) X N(t), denominado vetor binormal, é perpendicular aTe N c também
é unitário (veja a Figura 6).
FIGURA 6
EXEMPlO 5 :~
Determine os vetores normal e binorrnal da hélice circular
r(t) ~costi + sentj + t·k
~ A Figura 7 ilustra o Exemplo 6
mostrando os vetores T, N e B em
dois pontos da hélice circular. Em
geral, os vetores T, N e B começando
nos vários pontos da curva. formam
um conjunto de vetores ortogonais,
denominados triedro TNB, que se
move ao longo da curva quando t varia.
Esse triedro TNB tem um papel
importante em um ramo da
matemática chamado geometria
diferencial e em suas aplicações em
movimento de naves espaciaJs.
SOLUÇÃO Vamos, inicialmente, computar os ingredientes necessários para o cálculo do
vetor unitário normal:
r'(t) ~-senti+ costj + k
I r'(tl I ~ ..fi
r'(t) I
T(t) ~ - '()I ~--;;;-- (-senti + cos t j + k)
1 r t v2
T'(t) ~ -i-(-cos ti - sen t j)
../2
. T'(t)
N(t) ~ I T'(t) I
IT'(tll ~ ~
;12
-costi- sentj ~ (-cost, -sent,O)
X
FIGURA 7
Isso mostra que o vetor normal em um ponto da hélice circular é horizontal e aponta em
direção ao eixo z. O vetor binormal é
B(t) ~ T(t) X N(t) ~ +
[-s!n t
,2
-cos t
J . k] 1
cos t 1 ~ - - 1
(sen t, -cos t, I)
-sen t
O plano detenninado pelos vetores normal e binormal N e B em um ponto P sobre a
curva C é chamado plano normal de C em P. Ele consiste em todas as retas que são ortogonais
ao vetor tangente T. O plano estabelecido por T e N é denominado plano osculador
de C em P. O nome vem do latim osculum, que significa "beijo". É o plano que mais
se aproxima de conter a parte da curva próxima ao ponto P. (Para uma curva plana, o plano
osculador é aquele que contém a curva.)
O círculo do plano osculador de C em P tem a mesma tangente que C em P, e fica do
lado côncavo de C (em direção ao qual N aponta), seu raio p ~ 1/ K (o recíproco da curvatura)
é conhecido como círculo osculador (ou círculo da curvatura) de C em P. É o
círculo que melhor descreve o comportamento da curva C perto de P; e tem em comum
com a curva a mesma tangente, normal e curvatura em P.
O
,2
EXEMPU!J o Determine as equações do plano normal e do plano osculador da hélice
circular do Exemplo 6 no ponto P(O, 1, 7r/2).

James Stewart CAPÍTUlO 13 FUNÇÕES VETORiAiS u 867
c A Figura 8 mostra a hélice e o plano
osculad.or do Exemplo 7.
SOLUÇÃO O plano nonnal em P tem vetor normal r'( 7r/2) ~ ( -1, O, l ), portanto sua
equação é
ou
7f
z=x+~
2
O plano osculador em P contém os vetores T e N, e assim seu vetor normal é
T X N ~ B. Do Exemplo 6, temos
B(t) ~ Jz ( sen t, -cos t, 1)
FIGURA 8
Um vetor normal mais simples é < 1, O, 1), então urp.a equação do plano osculador é
l(x- O)+ O(y- 1) + l(z- ; ) ~O
ou
7f
7 = -x + ~
- 2
\
\
FIGURA 9
Vj
círculo 'I
osculador
/
v
I
l
2
y = x•/
I
I
EXEMPlOS
Determine e desenhe o círculo osculador da parábola y = x 2 na origem.
SOLUÇÃO Do Exemplo 5, a curvatura da parábola na origem é K(O) ~ 2. Dessa fonna, o
raio do círculo osculador é 1/K =i e seu centro é (o,~)- Sua equação é, portanto,
x-
,
+
(
Y - 2
l )'
- = 4
l
Para o gráfico da Figura 9 usamos as equações paramétricas do círculo:
x=icost
v=.!.+.!.sent
' 2 2
Resumimos aqui as fórmulas para o vetor da tangente, os vetores normal e binormal e
a curvatura.
r'(t)
T(t) ~ I r'(t) I
N(t) ~
T'(t)
I T'(t) I
K ~ I dT I ~ I T'(t) I ~ I r'(t) X r"(t) I
ds 1 1 r'(t) 1 1 r'(tl 1'
B(t) ~ T(t) X N(t)
Exercícios
1-6 c Determine o comprimento da curva dada. 7. Use a regra de Simpson com n = 10 para estimar o
1. r(t) ~ (2sent,5t,2cost), -10"' '"'lO
2. r(t) = (t 2 , sent- tcos t, cos t + t sent), O~ tE 1T
r(t) = -/2ti + e 1 j + e-~~ k, O E tE 1
4. r(t) = t 2 i + 2t j + ln t k, 1 E tE e
5. r(t) ~ i+t 2 j + t 3 k, o"''"' 1
6. r(t) ~ 121 i + 8t 31 ' j + 3t 2 k, O "' t"' l
comprimento do arco da cúbica retorcida x = t, y = t\ z = t 3
da origem até o ponto (2, 4, 8).
U 8. Utilize o computador para traçar o gráfico da curva com equações
paramétricas x = cos t, y = sen 3t, z = sen t. Detennine o
comprimento total da curva com precisão de quatro casas decimais.
3-11 o Reparametrize a curva em relação ao comprimento do arco
do ponto onde t = O na direção crescente de t.
9. r(t) ~ 2t i + (l - 3t) j + (5 + 4t) k

868 o CÁlCUlO Editora Thomson
10. r(t) =e 21 cos2ti + 2j + e 2 'sen2tk
11. r(t) = 3 sen t i + 4t j + 3 c os t k
12. Reparametrize a curva
r(t\
2 ) . 21
~ -.---I
(
I+ --j
' t" + 1 t 2 + 1
em relação ao comprimento do arco medido do ponto (1, O) na
direção crescente de t. Expresse a reparJmetrização na fom1a
mais simples. O que você pode concluir sobre a curva
13-16
(a) Determine os vetores tangente e nomml T(t) e N(t).
(b) Utilize a Fórmula 9 para achar a curvatura.
~ r(t) ~ (2sen t, 5t, 2 cos t)
=
14. r(!)= (t 2 ,senf- tcost,cost + tsent), t>O
15. r(t) ~ (.fit, e', e-•)
16. r(t) ~ (t', 2t, In t)
17-19 c Utilize o Teorema 1 O para achar a curvatura.
17. r(t) ~ t 2 i + t k
18. r(t) ~ti+ tj + (1 + t 2 )k
19. r(t) ~ 3t i + 4 sin t j + 4 cost k
20. Determine a curvatura de r{t) = (e r cos t, e' sent, t) no ponto
(1, o. 0\.
21. Estabeleça a curvatura de r(t) = ( t, t 2 , t 3 ) no ponto (1, l, 1).
22. Trace o gráfico da curva com equações paramétricas
x=t y = 4t3/1
e calcule a curvatura no ponto (1, 4, -1).
23-25 o Use a Fórmula 11 para achar a curvatura.
21. y = x 3 22. y = cosx 23. y = 4x 5 -' 2
26--27 o Em que ponto a curva tem curvatura máxima O que
acontece com a curvatura quando x --;.. oo
26. y = ln x 11_1 Y = e~
28. Determine a equação de urna parábola que tenha curvatura 4
na origem.
11.1 (a) A curvatura da curva C mostrada na figura é maior em P
ou em Q Explique.
o
(b) Estime a curvatura em P e Q desenhando o círculo
osculador nesses pontos.
~ 30-31 :.= Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para
traçar na mesma teia a curva e sua função curvatura K(x). Esse é
o gráfico que você esperava
30. y = xe-x 31. y = x 4
32-33 L-~ Dois gráficos, a e b são mostrados. Um é a curva y = j(x)
e o outro é o gráfico da sua função curvatura y = K(x). Identifique
cada uma e justifique suas escolhas.
32. Y+
I
a I
T~
I /
X
/Í \-....
I i \,\a
, I b\ \
I I \ \
I ,""- \
J7LJ34. (a) Faça o gráfico da curva r(t) = {sen 3r, sen 2t, sen 3t). Em
quantos pontos da curva tem~se a impressão de que a
curvatura possui um máximo local ou absoluto
(b) Use CAS para determinar e fazer o gráfico da função
curvatura. Esse gráfico confirma sua conclusão da parte( a)
[-{A~)5. O gráfico de r(t) = \t- ~ sen t, l - ~ cos t, t) é ilustrado na
Figura 12(b) da Seção 13.1. Onde que você acha que a curvatura
é maior Use um CAS para determinar e fazer o gráfico da
função curvatura. Para quais valores de t a curvatura é maior
36. Use o Teorema 10 para mostrar que a curvatura da curva plana
parametrizada x ~ f(t), y ~ g(t), é
lxY-.Yxl
K = [i2 + )'2]3/2
onde os pontos indicam as derivadas em relação a t.
g:; -3-Il iJ Use a fórmula do Exercício 36 para calcular a curvatura.
37. x = e 1 cos t, y = e' sen t
38. X= 1 + ! 3 , y = 1 + t 2
3~-4{! c Encontre os vetores T, N e B no ponto indicado.
B r(t) ~ (t 2 ,\t 3 , t). (!,l, l)
40. r(t) = (e', e' sen t, e 1 cos t), (1, O, 1)
!!1-42 o Determine as equações dos planos normal e osculador da
curva no ponto indicado.
41. x ~ 2 sen 31, y ~ t, z ~ 2 cos 3t; (O. 7T, -2)
42. X~ t, y ~ 1 2 , z ~ 1 3 ; (!,I' l)
li 43. Determine as equações para o círculo osculador da elipse
9x 3 + 4y 2 ~ 36 nos pontos (2, O) e (0, 3). Utilize uma
calculadora gráfica ou computador para traçar a elipse e ambos
os círculos osculadores na mesma tela.
44. Estabeleça as equações para o círculo osculador da parábola
y = !x 2 nos pontos (0, O) e (1,!). Trace os dois círculos
osculadores e a parábola na mesma tela.
X

James Stewart
CAPÍTUlO 13 FUr'-iÇÓES VETORIAIS
869
• Em que ponto da curva x = t 3 , ;r = 3t, z = t 4 é a normal
paralela ao plano 6x + 6y - 8z = 1
46. Existe um ponto da curva do Exercício 45 onde o plano
osculador é paralelo ao plano x + y + z = 1 (Nota: Você
precisará de um CAS para diferenciar, simplificar e calcular
um produto vetoriaL)
~'"Al-:
Mostre que a curvatura K está relacionada com os vetores
tangente e normal pela equação
dT = KN
ds
48. Mostre que a curvatura de uma curva plana é K = j dtf>/ ds!,
onde 4> é o ângulo entre Te i, isto é. cjJ é o ângulo de
inclinação da reta tangente. (Isso mostra que a definição de
curvatura é consistente com a definição dada para curvas
planas no Exercício 69 da Seção 10.2.)
49. (a) Mostre que dB/ds é perpendicular a B.
(b) Mostre que dB/ds é perpendicular a T.
(c) Deduza das partes (a) e (b) que dB/ds ~ - T(s)N para
algum número T(s) chamado torção da curva. (A torção
mede quanto a curva é retorcida.)
(d) Mostre que para uma curva plana a torção é T(s) =O.
50. As fórmulas seguintes, chamadas fórmulas de Frenet-Serret,
são de fundamental importância em geometria diferencial:
L dT/ds ~ KN
2. dN/ds ~ -KT + TB
3. dB/ds ~ - TN
(A Fórmula 1 vem do Exercício 47, e a Fórmula 3, do
Exercício 49.) Use o fato de que N = B X T para deduzir a
Fórmula 2 das Fórmulas l e 3.
51. Utilize as fórmulas de Frenet-Serret para provar cada um dos
seguintes itens. (Aqui as linhas indicam as derivadas com
rel-ação a t. CDmece comD na prova do Teorema 10.)
X
z
FIGURA 1
-
Movimento
-.·.~·.".F.·
r(t +h)- r(t)
h
y
(a) r" = s"T + K(s') 2 N
(b) r' X r" ~ K(s')' B
(c) r"'~ [s"'- K 2 (s')' ]T + [3KS's" + K'(s')']N + KT(s')'B
X • r"'
(d) T ~ ..':_~...!._~-
52. Mostre que a hélice circular r(t) = {a cos t, a sent, bt) onde a
e b são as constantes positívas, tem curvatura e torção
constantes. [Use o resultado do Exercício 51(d). 1
53. Utilize a fóm1Ula do Exercício 5l(d) para calcular a torção da
curvar(!)= {t,~t",~t 3 ).
54. Detennine a curvatura e a torção da curva x = senh r,
_v= cosh t, z = t no ponto (0, 1, 0).
55. A molécula de DNA tem a forma de duas hélices circulares
(veja a Figura 3 na Seção 13.1). O raio de cada uma das
hélices é de cerca de 1 O angstrOms (1 angstrüm = lO -g em).
Cada hélice, em um giro completo, sobe 34 angstrOms, e
existem cerca de 2,9 X 10 8 giros completos em uma molécula.
Estime o comprimento de cada hélice circular.
56. Consideremos o problema de projetar uma linha férrea onde
precisamos fazer com as seções de trilhos retos sejam
ligadas por meio de uma curva suave. Um trilho existente ao
longo da parte negativa do eixo x precisa ser ligado a um trilho
que corre ao longo da reta y = l para x ~ 1.
(a) Detennine um polinômio P = P(x) de grau 5 tal que a
função F definida por
O
se x,.; O
F(x) ~ P(x) se O < x < l
{
1 sex;cl
seja contínua e tenha derivada e curvatura contínuas.
== (b) Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para
traçar o gráfico de F.
no Espaço: Velocidade e Aceleração
Nesta seção mostraremos como as idéias dos vetores tangente e normal, assim como os de
curvatura, podem ser usadas na física para estudar o movimento de objetos, sua velocidade
e sua aceleração, quando estão se movendo ao longo de uma curva espaciaL Em particular,
seguiremos os passos de Newton, usando seu método para derivar a Primeira Lei de
Kepler para o movimento planetário.
Suponha que uma partícula se mova no espaço de forma que seu vetor posição no
instante t seja r(t). Note da Figura l que, para pequenos valores de h, o vetor
r(t + h) - r(t)
[I]
h
se aproxima da direção de movimento da partícula que se move ao longo da curva r(t). Seu
módulo mede o tamanho do vetor deslocamento por unidade de tempo. O vetor (1) fornece
a velocidade média no intervalo de tempo de comprimento h e seu limite é o vetor velocidade
v(t) no instante t:
,~---~~·····~·~----~--··~~--,
r(t + h) -
v(t) = lim
h_._O h
r(t)
= r'(t)

870 rJ CÁLCULO Editora Thomson
Portanto, o vetor velocidade é também o vetor tangente e tem a direção da reta tangente
à curva.
A rapidez da partícula no instante t é o módulo do vetor velocidade, ou seja, I v(t) j.
Isso é apropriado, pois, de (2) e da Equação 133.7, temos
I v(l) 1 = 1 r'(l) I = ds =taxa de variação da distância com relação ao tempo
dt
Como no caso de movimento unidimensional, a aceleração da partícula é definida corno
a derivada da velocidade:
a(t) = v'(1) = r"(t)
'1
(I, l)
EXEMPLO 1 O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por
r(t) = t 3 i + t 2 j. Determine a velocidade, a rapidez e a aceleração do objeto no instante
t = 1 e ilustre geometricamente.
SOLUÇÃO A velocidade e a aceleração no instante t são
e a rapidez é
Quando t =
1, temos
v( I) = r'(l) = 31 2 i + 21 j
a(1) = r"( I) = 61 i + 2j
I v(1) 1 = .J(31'l' + (21)2 = )91 4 + 4t'
v(l) = 3i + 2j a(l) = 6i + 2j I v(l) I = Ji3
FIGURA 2
Os vetores velocidade e aceleração estão mostrados na Figura 2.
EXEMPLO 2 '' Determine a velocidade, a aceleração e a rapidez de uma partícula com
vetor de posição r(1) = (1 2 , e', te'),
SOLUÇÃO
v(1) = r'(1) = (21, e', (1 + l)e')
a(1) = v'( I) = (2, e', (2 + t)e')
I v(1) I = )41 2 + e 2 ' + (1 + 1) 2 e"
'i
i
O A Figura 3 mostra a trajetória da
partícula do Exemplo 2 com vetores
velocidade e aceieraçào quando t = L
FIGURA 3

James Stewart CAPÍTULO 13 FUNÇÕES VETORIAIS 871
A integração de vetores introduzida na Seção 13.2 pode ser usada para achar o vetor
posição quando os vetores de velocidade ou aceleração são conhecidos, como no ·seguinte
exemplo.
UEMPlO 3 c: Uma partícula se move de uma posição inicial r( O) ~ ( 1. O, O) com
velocidade inicial v( O) ~ i - j + k. Sua aceleração é dada por a(t) ~ 4t i + 6t j + k
Determine sua velocidade e posição no instante t.
SOLUÇÃO Como a(t) ~ v'(t), temos
v(t) ~f a(t)dt ~f (4ti + 6tj + k)dt
~2t 2 i+3t 2 j +tk+ c
Para determinar o valor do vetor constante C, usaremos o fato de que Y(O) = i ~ j + k.
A equação anterior nos dá v( O) ~ C, assim C ~ i - j + k e
Como v(t) ~ r'( r), temos
v(t) ~ 21 2 i + 3t 2 j + t k + i - j + k
~ (21 2 + !)i+ (31 2 - l)j + (t + l)k
r(t) ~ f v(t) dt
~f [(21 2 +I) i+ (31 2 - l)j + (t + l)k]dt
~ {lt 3 + t)i + (t' - t)j + Gr' + t)k + D
Tomando t ~ O, achamos que D ~ r( O) ~ i. Então,
r(t) ~ {lt 3 + t +!)i+ (1 3 -
t)j + (lr 2 + r)k
LJ A expressão para r(t) que obtivemos
no Exemplo 3 foi usada para traçar a
trajetória da partícula na Figura 4 para
o o:S: r o:S: 3.
FIGURA 4
Em geral, por integração vetorial podemos recuperar a velocidade quando a aceleração
for conhecida e a posição quando a velocidade for conhecida:
v(t) ~ v(t 0 ) + j'' a(u) du
'o
"'
r(t) ~ r(t 0 ) + J v(u) du
,,

872 CJ CÁLCULO Editora Thomson
Se a força que age sobre a partícula é conhecida, então a aceleração pode ser determinada
a partir da Segunda Lei de Newton para Movimento. A versão vetorial dessa lei nos diz
que, se em qualquer instante de tempo t, urna força F(t) age sobre um objeto de m produzindo
uma aceleração a(t), então
u A velocidade angular do objeto
movendo com posição Pé w = dO/dt,
onde e é o ángulo mostrado na Figura 5.
y
p
\
\ o +-:
'
FIGURA 5
F(t) = ma(t)
EXEMPlO 4 2 Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com
velocidade angular constante w tem vetor de posição dado por
r(t) =a cos wt i + a sen wt j. Determine a força que age sobre o objeto e mostre que
sua direção e sentido são dados pela reta que passa pela origem, apontando para esta.
SOLUÇÃO
v(t) = r'(t) = -awsen wt i + aw cos wt j
a(t) = v'(t) = -aw 2 cos wt i -
Portanto, pela Segunda Lei de Newton, temos a força
aw 2 sen wt j
F(t) = ma(t) = -mw 2 (a cos wt i + a sen wt j)
Note que F(t) = -mw 2 r(t). Isso mostra que a força age na direção oposta ao vetor radial r(t)
e, portanto, aponta para a origem (veja a Figura 5). Essa força é chamada força centripeta. •-
y
FIGURA 6
c Se você eliminar t na Equação 4,
verá que y é uma função quadrática de
x. Logo a trajetória da partícula é uma
parábola.
d
X
EXEMPlO 5 u Um projétil é disparado com ângulo de elevação a e velocidade inicial V o
(veja a Figura 6). Assumindo que a resistência do ar seja desprezível e que a única força
externa seja devida à gravidade, determine a função posição r(t) do projétiL Para qual
valor de a obtemos maior alcance (distância horizontal percorrida)
SOLUÇÃO Fixamos os eixos coordenados de forma que a origem coincida com o ponto
inicial da trajetória do projétil. Como a força devida à gravidade age para baixo, temos
onde g = I a I = 9,8 m/s 2 Então
Como v'(t) = a, temos
onde C = v( O) = Vo. Portanto
Integrando novamente, obtemos
F= ma= -mgj
a= -gj
v(t) = -gtj +C
r'(t) = v(t) = -gt j + V o
r(t) = -jgt 2 j +IVo+ D
Mas D = r( O) = O, e então o vetor de posição do projétil é dado por
r(t) = -jgt 2 j + Ivo
Se escrevermos IVo I = v 0 (a velocidade inicial do projétil), então
e a Equação 3 se torna
As equações paramétricas da trajetória são
Vo = vocos ai+ Voscnaj
r(t) = (v 0 cos a)ti + [(vosena)t -jgt 2 ]j
x = (vocos cx)t y = (vosena)t -jgt 2

James Stewart CAPÍTULO 13 FUNÇÜES VETORIAIS 873
A distância horizontal d é dada pelo valor de x quando y = O. Impondo y = O, obtemos
I = O ou 1 = (2vo sen a)/ g. O último valor de 1 fornece
( ) 2v 0 sen a vÕ (2 sen a cos a) vÕ sen2a
d=x=vocosa =
g g g
Claramente, d tem valor máximo quando sen 2a =
1, ou seja, quando, a= 7i/4.
EXEMPlO 6 o Um projétil é lançado com velocidade, da boca do canhão. de 150 mls e
ângulo de elevação de 45° de um ponto 10m acima do nível do chão. Onde o projétil vai
atingir o chão e com que rapidez
SOLUÇÃO Se tomarmos a origem no nível do chão, então a posição inicial do projétil é
(0, 10) e, portanto, precisamos adequar a Equação 4 adicionando lO na expressão para y.
Como v 0 = 150 m/s, a= 45', e g = 9,8 m/s 2 , temos
x = 150 cos( T/4)1 = 75/21
y = 10 + 150 sen(T/4)1- j(9,8)1 2 = 10 + 75[21- 4,91 2
O impacto ocorrerá quando y =O, isto é, quando 4,9t 2 - 75fit 10 =O. Resolvendo
essa equação quadrática (e us'ando somente valores positivos para t), temos
1=
75[2 + ,111,250 + 196
9,8 = 21,74
Então x = 75[2 (21,74) = 2306, assim o projétil atinge o solo a uma distância em torno
de 2.306 m.
A velocidade do projétil é v(l) = r'(t) = 75[2 i + (75[2- 9,81) j
Portanto, sua rapidez no impacto é
I v(21, 74) I = .j"( 7-5 /2"2=)',_+-,( 7-5 /2"2~--9.-8-. 2-1-, 7""4 ) 2 = 151 m/ s
Componentes Tangencial e Normal da Aceleração
Quando estudamos o movimento de uma partícula, é freqüentemente útil decompor a aceleração
em duas componentes, uma na direção da tangente e outra na direção da normal.
Se escrevemos v = I v I para a rapidez da partícula, então
r'(t) v(1) v
T(l) = I r'(t) I = I v(l) I = -;;
e assim
v= vT
Se diferenciarmos ambos os lados em relação a t, obteremos
a = v' = v'T + vT'
Se usarmos a expressão da curvatura dada pela Equação 13.3.9, temos
IT'I
IT'I
K=--=--
1 r' I v
e então
IT' I= KV

S74 ::::: CÁLCULO Editora Thomson
O vetor normal foi definido na seção anterior como N ~ T/1 T' 1. portanto de (6) vem
e a Equação 5 se toma
T' ~ IT'IN ~ KVN
Escrevendo ar e aN para as componentes tangencial e nonnal da aceleração, temos
onde
a= arT + a,vN
FIGURA 7
ar= v'
e
Essa resolução está ilustrada na Figura 7.
Vamos olhar agora o que a Fórmula 7 nos diz. A primeira coisa a notar é que o vetor
binonnal B não aparece. Independentemente de como o objeto se move no espaço, sua
aceleração sempre está nos planos de Te N (o plano osculador). (Lembre-se de que T
fornece a direção e sentido do movimento e N aponta a direção em que a curva está entortando.)
Em seguida, notamos que a componente tangencial da aceleração é v', a taxa de
variação da rapidez, e a componente normal da aceleração é KV 2 , a curvatura vezes o
quadrado da rapidez. Isso explica o que acontece com um passageiro em um carro~- uma
virada brusca em uma rua pode ser vista como um valor grande de curvatura K, de forma
que a componente da aceleração perpendicular ao movimento é grande e o passageiro é
jogado contra a porta do carro. A alta velocidade em uma curva tem o mesmo efeito: de
fato, se dobrarmos nossa rapídez, aN será aumentado por um fator de 4.
Apesar de termos uma expressão para as componentes tangencial e normal da aceleração
na Equação 8, é desejável obter as expressões que dependam somente de r, r' e r 11 • Com essa
finalidade, tomamos o produto escalar de v ~ vT com a, como dado na Equação 7:
Portanto
v · a ~ vT • (v'T + Kv 2 N)
~ vv'T · T + Kv 3 T · N
= vv'
v· a
ar= v'=--~
v
(como T · T = l e T • N = O)
r'(t) · r"(t)
I r'(rJ I
Usando a fórmula da curvatura dada pelo Teorema 13.3.10, temos
I _
2 _ r'(t) X r"(t) I , 2
_ I r'(t) X r"(t) I
aN - KV - I r'(t) !' I r (t) I - I r'(t) I
EUMPUJ 7 u Uma partícula se move com função de posição r(t) ~ (t 2 , t 1 , t 3 ).
Determine as componentes tangencíal e normal da aceleração.
SOLUÇÃO
r(t) ~ t 2 i + t 2 j + t 3 k
r'(t) ~ 2ti + 2tj + 3t 2 k
r"(t) ~ 2i + 2j + 6t k
I r'(t) I ~ )8t 1 + 9t 4
Portnnto, da Equação 9 vem que a componente tangencial é
r'(t) · r"(t) 81 + l8t 3
ar=
I r'(rJ I J&t 2 + 9t 4

James Stewart CAPÍTUlO 13 FUNÇÕES VETOHIA.IS U 875
j
Como r'(t) X r"(t) ~ 2t 2t
2 2
da Eqljação lO obtemos o componente normal
I r'(t) X r"(t) I
I r'(tJ I
k
3! 2 ~ 6t 2 i - 61 2 j
6t
,i8t 2 + 91' 1
Leis de Kepler sobre o Movimento Planetário
Descreveremos agora um dos principais feitos do cálculo mostrando como o material deste
capítulo pode ser usado para provar as leis de Kepler sobre o movimento planetário.
Depois de 20 anos estudando as observações do astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, o
astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571-1630) formulou as seguintes três
leis-:
•
Loi• do Kopior
1. Um planeta gira em torno do Sol em uma órbita elíptica com o Sol em um dos focos.
2. A reta que liga o Sol

876 o CÁLCULO Editora Thomson
Assim
!!_(r X v) ~ r' X v + r x v'
dt
~vxv+rxa~o +O~O
rxv~h
onde h é um vetor constante. (Podemos presumir que h :rf O: ou seja, r e v não são paralelos.)
Isso significa que o vetor r ~ r(t) é perpendicular a h para todos os valores de t.
portanto o planeta está sempre em um plano que passa pela origem e é perpendicular a h.
Dessa forma, a órbita do planeta é uma curva plana.
Para provar a Primeira Lei de Kepler, vamos reescrever o vetor h corno se segue:
Então
axh~-- 2
h =r X v= r X r' = ru X (ru)'
~ ru X (cu' + r'u) ~ r 2 (u X u') + rr'(u X u)
~ r 2 (u X u')
-GM ( , ') ( ,
-ux ruxu ~-GMuX uXu)
r
= -GM[(u · u')u- (u · u)u'] 1pcio1Corcma 12.'-1-.S.Propriedadeói
Mas u · u ~ I uI' ~ I e, como I u(t) I ~ I, segue do Exemplo 5 da Seção 13.2 que
u · u' = O. Portanto
e então
a X h~ GMu'
(v X h)'~ v' X h~ a X h~ GMu'
Integrando ambos os lados da equação, obtemos
X
FIGURA 8
h
c 'ieç-----~
y
r
~v
u
v X h~ GMu +c
onde c é um vetor constante.
Neste ponto é conveniente escolher os eixos coordenados de forma que o vetor da base
padrão k aponte na direção do vetor h. O planeta se move assim no plano xy. Como v X h
eu são perpendiculares a h, a Equação li mostra que c pertence ao plano xy. Isso significa
que podemos escolher os eixos x e y de forma que i esteja na direção de c, como mostrado
na Figura 8.
Se 8 é o ângulo entre c e r, então (r. &) são as coordenadas polares do planeta. Da
Equação 11. temos
onde c= I c 1. Então
onde e= c/(GM). Mas
r· (v X h)= r· (GMu +c)~ GMr · u +r· c
= GMr u . n + I r li c I cos e= GMr + rc cos e
r~
r· (v X h)
GM+ccose
I r· (v x h)
GM I+ ecos&
onde h = I h 1- Desse modo,
r· (v X h) = (r X v)· h~ h ·h= I h I'= h 2
h 2 /(GM) eh 2 /c
r= J+ecose +ecos e

James Stewart CAPÍTUlO 13 FUNÇÕES VETORIAiS 877
Escrevendo d = h 2 /c, obtemos a equação
ed
r = _ _::_::_ __
+ecos O
Comparando com o Teorema 10.6.6, vemos que Equação 12 é aquela da forma polar da
seção cônica com foco na origem e excentricidade e. Sabemos que a órbita de um planeta
é uma curva fechada e, portanto, precisa ser uma elipse.
Isso completa a derivação da Primeira Lei de Kepler. Guiaremos você na derivação
da Segunda e da Terceira Lei no Projeto Aplicado na página 877. As provas dessas três
leis mostram que o método deste capítulo fornece uma ferramenta potente na descrição
de leis da natureza.
Exercícios
1. A tabela fornece coordenadas de partículas movendo~se no
espaço ao longo de uma curva lísa.
(a) Determine a velocidade média nos intervalos de tempo
[O;!], [0,5; 1], [l; 2] e[!; 1,5].
(b) Estime a velocidade e a rapidez da partícula no instante t = l.
I ! X
I v I '
o 2.7 ! 9.8
..
.), '
0,5 3,5 7,2 3.3
1.0 4,5 6,0 3.0
' i
!,5 5,9 6.4 2.8
I
i
I 2,0 I 7,3 I 7,8 I 2.7 I
2. A figura mostra o caminho de uma partícula que se move com
vetor posição r(t) no instante t.
(a) Desenhe um vetor que represente a velocidade média da
partícula no intervalo de tempo 2 ~ t ~ 2,4.
(b) Desenhe um vetor que represente a velocidade média da
partícula no intervalo de tempo 1 ,5 ~ t ~ 2.
(c) Escreva uma expressão para o vetor velocidade v(2).
(d) Desenhe uma aproximação do vetor v(2) e estime a
rapidez da partícula em t = 2.
y
4. r(t) = (2 - t, 4,/t), t = I
5. r(t) = e 1 i + e-- 1 j, t =O
6. r(t} = senti + 2 cos t j, t = 7r/6
z;Ali r(t) = senti + t j + cos t k, t = O
li 8. r(t)=ti+t 2 j+t 3 k, t=I
9-14 ::::; Determine os vetores velocidade e aceleração e a rapidez
de uma partícula cuja função posição é dada.
9. r(t) = (1 2 + 1, 1 3 , 1 2 - I ) 10. r(t) = (2 cos t, 3t, 2 sen t)
r(t)=,/lti + e'j + e-'k
13. r(t) =e'(costi + sentj +tk)
14. r(t}=tsenti+tcostj+t 2 k
12. r(t) =t 2 i + 1ntj + tk
15-16 u Determine os vetores velocidade e de posição de uma
partícula dadas a sua aceleração, velocidade e posição iniciais.
~~ a(t) = k, v(O) = i - j, r(O) = O
16. a(t) ~ -lOk, v(O) =i+ j- k, r(O) ~ 2i + 3j
17-18 o
(a) Determine o vetor posição de uma partícula dada a sua
aceleração, velocidade e posição iniciais.
U (b) Utilize o computador para traçar o caminho percorrido pela
partícula.
17. a(t) ~ i + 2j + 2t k, v( O) ~ O, r( O) = i + k
18. a(t) = ti + t 2 j + cos 2t k, v( O) ~ i + k, r( O) ~ j
3-3 o Determine a velocidade, a aceleração e a rapidez da
partícula cuja função posição é dada. Esquematize o caminho da
partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores
de t especificados.
3. r(t) ~ (1 2 -l,t), t~ l
X
19. A função posição de uma partícula é dada por
r(t} = {t 1 , 5t, t 2 - 16t). Quando sua rapidez é mínima
20. Qual força é requerida de forma que uma partícula de massa m
tenha a função posição r(t) = t 3 i + t 2 j + t 3 k
21. Uma força com grandeza 20 N age diretamente no sentido
ascendente a partir do plano xy em um objeto com massa 4 kg.
O objeto começa na origem com velocidade inicial
v( O) = i - j. Determine sua função posição e sua rapidez no
instante t.

878 L1 CÁLCUlO Editora Thomson
.22. Mostre que, se uma partícula se move com rapidez
constante, então os vetores velocidade e de aceleração são
ortogonais.
23. Um projétil é disparado com uma rapidez inicial de 500 m!s
e ângulo de elevação de 30"'. Determine (a) o alcance do
projétil, (b) a altura máxima atingida e (c) a rapidez do
impacto.
24. Repita o Exercício 23 considerando agora o projétil disparado
de uma posição 200 m acima do solo.
25. Uma bola é atirada em um ângulo de elevação de 45"' em
relação ao solo. Se a bola cai no solo a uma distância de 90 m,
qual a rapidez inicial da bola
26. Um canhão é disparado com ângulo de elevação de 30°. Com
que velocidade a bala sai pela boca do canhão se o máximo de
altura que ele atinge é de 500 m
27. A rapidez com que uma bala sai pela boca de um canhão é
de 150 m/s. Determine dois ângulos de elevação que podem
ser utilizados para atingir um alvo que está a 800 m de
distância dele.
28. No beisebol, um batedor rebate uma bola, que está a 3 pés
acima do chão, em direção à parte central da cerca do
campo, que tem 10 pés de altura e dista 400 pés da base
do lançamento. A bola deixa o bastão com uma rapidez
de 115 pés e com ângulo de 50o acima da horizontal.
Foi home run (Em outras palavras, a bola passou por cima
da cerca)
'§~..
A água, descendo por um trecho reto de um rio, flui mais
rápida no meio e a rapidez diminui para quase zero nas
margens. Considere um trecho longo de rio dirigindo-se para o
norte com as margens paralelas distando 40 m uma da outra.
Se a rapidez máxima da água é de 3 mls, podemos usar uma
função quadrática como modelo básico para a taxa de fluxo
da água x unidades de distância da margem oeste:
j(x) ~ ~ x(40 - x).
(a) Um barco vai com uma rapidez constante de 5 mls a partir
de um ponto de A na margem oeste enquanto se mantém
direcionado perpendiculannente à margem. A que distância,
rio abaixo, na margem oposta, o barco vai atingir a praia
Faça um gráfico da trajetória do barco.
(b) Suponha que quiséssemos pilotar o barco a fim de atracar
em um ponto B, diretamente oposto ao A, na margem leste.
Se mantivermos a rapidez constante de 5 m/s e um
direcionamento constante, determine o ângulo no qual o
barco deve ser conduzido. Depois faça o gráfico do caminho
real que o barco segue. Essa trajetória parece realista
30. Outro modelo razoável para a rapidez da água do rio no
Exercício 26 é a função senoidal: f(x) = 3 sen(7Txí40). Se o
piloto do barco quiser atravessar o rio de A até B com
direcionamento constante e rapidez constante de 5 m/s,
determine o ângulo no qual o barco deve seguir.
::; - Determine os componentes tangencial e normal do vetor
aceleração.
31. r(t) ~ (31- 1 3 ) i+ 3t 2 j
32. r(l) ~ (l + t) i+ (1' - 2t)j
L3ª~
r(t} = cos ti + sent j + t k
34. r(t) ~ 1 i + t' j + 3t k
35. r(t) = e'i + j2rj + e·'k
36. r(t) = ti + cos 2 t j + sen 2 t k
37. A grandeza do vetor aceleração a é 10 cmís 2 . Use a figura para
estimar as componentes tangencial e nonnal de a.
Yt
o
38. Se uma partícula com massa m se move com vetor posição r(t),
então seu momento angular é definido como
L(t) = mr(t) X v(t) e seu torque é estabelecido como
T(l) ~ mr(t) X a(t). Mostre que L'(t) ~ T(l). Deduza que, se
r(t) = O para todo t, então L(t) é constante. (Esta é a lei de
conservação do momento angular.)
39. A função posição de uma nave espacial é
r(l) ~ (3 + t)i + (2 + ln t)j + (7 -- 4 -) k
t 2 + 1
e as coordenadas de uma estação espacial são (6, 4, 9). O
capitão quer que a nave encoste em uma estação espacial.
Quando as máquinas da nave devem ser desligadas
40. Um foguete que queima o combustível carregado dentro de si
enquanto se move no espaço tem, no instante t, velocidade v(t)
e massa m(t). Se os gases provenientes da combustão escapam
a uma velocidade de V e relativamente ao foguete, deduz-se da
Segunda Lei de Newton do movimento que
(a) Mostre que v(l) ~ v(O) -
X
ln :~~; v,.
(b) Para que, em linha reta, o foguete acelere do repouso para
o dobro da rapidez de saída de seus gases de combustão,
que fração da massa inicial será queimada

James Stewart CAPÍTUlO 13 FUhiÇÓES VETORiAIS 879
Johannes Kep!er estabeleceu três leis sobre o movimento planetário baseadas em quantidades de
dados referentes à posição dos planetas em diferentes instantes de tempo.
1. Um planeta gira em torno do Sol em uma órbita elíptica com o Sol em um dos focos.
2. A reta que liga o Sol a um planeta percorre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.
3. O quadrado do período de revolução de um planeta é proporcional ao cubo do comprimento
do maior eixo de sua órbita.
X
Kepler formulou essas leis porque elas serviam para os dados das observações de que ele
dispunha. Ele não foi capaz de provar por que elas valiam nem como elas se relacionavam umas
com as outras. Mas sir Isaac Newton, em seu Principia Mathematica, de 1687, mostrou como
deduzir as três leis de Kepler de duas leis de sua autoria, a Segunda Lei do Movimento e a Lei
Universal da Gravitação. Na Seção 13.4 provamos a Primeira Lei de Kepler usando o cálculo de
funções vetoriais. Neste projeto guiamos você através da prova da Segunda e da Terceira Leis de
Kepler e exploramos suas conseqüências.
1. Utilize os seguintes passos para provar a Segunda Lei de Kepler. A notação será a mesma que
foi empregada na prova da Primeira Lei da Seção 13.4. Em particular, use as coordenadas
polares de modo que r= (rcos O) i+ (rsen O)j.
dO
(a) Mostre que h ~ r 2 - k.
dt
, dO
(b) Deduza que r·-~ h.
dt
(c) Se A = A(t) é a área percorrida pelo vetor radial r = r(t) no intervalo de tempo [t 0 , t]
como mostrado na figura, mostre que
( d) Deduzaque
dA I 2 dO
-=-;;rdt
. dt
dA I
dt = 2 h = constante
Essa eq_Úâção diz que a razão pela qual A é percorrida é constante'e prova a Segunda Lei de
ün\ pláfieta e~ tomo do' Sol; ou seja, T é o tempo r~uerido --:Para o planeta
,, Sql. at,ravés-de $Ua órbita elíptica. Suponha que ()S

880 o CÁLCULO Editora Thomson
VERIFICAÇÃO DE CONCEITOS
1. O que é uma função vetorial Como calcular sua derivada e
sua integral
2. Qual a relação entre funções vetoriais e curvas espaciais
3. (a) O que é uma curva lisa
(b) Como achar o vetor tangente de uma curva lisa em um
ponto Como achar a reta tangente Como determinar o
versar tangente
4. Se u e v são funções vetoriais diferenciáveis, c é um escalar e
f é uma função real, escreva as regras para diferenciar as
seguintes funções vetoriais:
(a) u(t) + v(t) (b) cu(t)
(c) f(t)u(t)
(d) u(t) · v(t) (e) u(t) X v(t) (f) u(f(t))
5. Corno achar o comprimento de uma curva espacial dada pela
função vetorial r(t)
6. (a) Qual a definição de curvatura
(b) Escreva a fórmula para curvatura em função de r'(!) e T'{t).
(c) Escreva a fórmula para curvatura em função de r'(t) e r"(t).
(d) Escreva a fónnula para curvatura de urna curva plana com
equação y ~ f(x).
7. (a) Escreva as fórmulas para os vetores normal e binonnal de
uma curva lisa espacial r(t).
(b) O que é o plano normal de uma curva em um ponto E o
plano osculador O que é o círculo osculador
8. (a) Como determinar a velocidade, a rapidez e a aceleração de
uma partícula que se move ao longo de uma curva espacial
(b) Escreva a aceleração em termos de seus componentes
tangencial e normal.
9. Quais são as leis de Kepler
TESTES FALSO-VERDADEIRO
Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Se verdadeira,
explique por quê. Se falsa, explique por que ou forneça um contra-exemplo.
1. A curva com equação vetorial r(t) = t 3 i + 2t 3 j + 3t 3 k é uma
reta.
2. A curva com equação vetorial r(t) = (t, t 3 , t 5 ) é lisa.
3. A curva com equação vetorial r(t) = (cos t, t", t 4 ) é lisa.
4. A derivada da função vetorial é obtida diferenciando-se cada
componente da função.
5. Se u(t) e v(t) são funções vetoriais diferenciáveis, então
~ [u(t) X v(t)] ~ u'(t) X v'(t)
dt
6. Se r(t) é uma função vetorial diferenciável, então
d
-[r(t)[ ~ [r'(t)[
dt
7. Se T(t) é o versor tangente de uma curva lisa, então a curvatura
é K ~ [dT/dt[.
8. O vetor binormal é dado por B(t) ~ N(t) X T(t).
9. O círculo osculador de uma curva C em um ponto tem o
mesmo vetor tangente, vetor normal e curvatura que C naquele
ponto.
10. As parametrizações diferentes de uma mesma curva resultam
em vetores tangentes idênticos em um mesmo ponto da curva.
EXERCÍCIOS
1. (a) Esboce o desenho da curva com função vetorial
r(t) =ti+ cos rrtj + sen1rtk
(b) Determine r'(t) e r"(t).
2. Seja r(t) ~ (,/2- t, (e'- 1)/t, ln(t + !)).
(a) Determine o domínio de r.
(b) Determine lim,-o r(t).
(c) Determine r'(t).
t;:;,: O
3. Determine a função vetorial que representa a curva obtida
pela interseção do cilindro x 2 + y 2 = 16 com o plano
X+ Z = 5.
4. Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva
x = t 2 , y = t 4 , z = t 3 no ponto (1, 1, 1). Desenhe a curva e a
tangente em uma mesma tela.
5. Se r(t) = t 1 i + t cos 1Tt j + sen 7Tt k, calcule f~ r(t) dt.
6. Seja C a curva com equações x = 2 - t 3 , y = 2t- 1, z =In t.
Determine (a) o ponto de interseção de C com o plano xz, (b)
as equações paramétricas da reta tangente em (l, 1, O) e (c)
uma equação para o plano normal a C em (1, 1, O).
7. Utilize a fórmula de Simpson com n = 4 para estimar o comprimento
do arco de curva com equação x = Ji, y = 4/t,
z ~ t 2 + 1 de (1. 4, 2) até (2, l, 17).
8. Determine o comprimento da curva r(t) = (2t 312 , cos 2t, sen2t),
O~t~l.
9. A hélice r1(t) = cos ti + sen t j + t k intercepta a curva
r 2 (t) ~ (I + t)i + t 2 j + t 2 k no ponto (1, O, O).
Determine o ângulo de interseção dessas curvas.

James Stewart CAPÍTUlO 13 fUhJÇÕES VETORiAiS :..:i 881
10. Reparametrizeacurva r(t) =e' i+ e 1 sentj + e'costk com
respeito ao comprimento do arco de curva medido do ponto
(1, O, 1) na direção de aumento do valor de t.
11. Para a curva dada porr(t) = (}t 3 , ~! 2 , t), detennine (a) o
versor tangente, (_b) o versar normal e (c) a curvatura.
12. Determine a curvatura da elipse x = 3 cos I, y = 4 sen 1 nos
pontos (3, O) e (0. 4).
13. Estabeleça a curvatura da curva y = X 4 no ponto (1, 1).
14. Determine uma equação do círculo osculador da curva
y = x 4 ~t" na origem. Faça o gráfico da curva e do círculo
osculador.
15. Detennine uma equação do plano osculador da curva x = sen 2t,
y = t, z = cos 2t no ponto (0, 17", l).
16. A figura mostra a curva C traçada por uma partícula com vetor
de posição r(t) no instante t.
(a) Desenhe o vetor que representa a velocidade médía da
partícula no intervalo de tempo 3 ~ t ~ 3,2.
(b) Escreva a expressão para a velocidade v(3).
(c) Escreva uma expressão para o versor T(3) e desenhe~o.
17. Uma partícula se move de acordo com a função posição
r(t) = t In ti + t j +e-' .k. Determine a velocidade, a rapidez
e a aceleração da partícula.
18. Uma partícula começa sua trajetória na origem com velocidade
inicial i - j + 3k. Sua aceleração é
a(t) = 6t i + I2t 2 j - 6t k Determine sua função de posição.
19. Um atleta arremessa um disco em um ângulo de 45o em
relação à horizontal com rapidez inicial de 43 pés/s. Sua mão
fica 7 pés acima do chão.
(a) Onde está o disco 2 segundos depois
(b) Qual a altura máxima que o disco atinge
(c) Onde o disco atinge o chão
2lt Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração
de uma partícula que se move com vetor de posição
r(t) ~ti+ 2tj + t'k
21. Um disco de raio 1 está girando no sentido anti-horário a uma
rapidez angular constante w. Uma partícula inicia no centro do
disco e se move em direção às bordas em uma direção radial
fixa de forma que sua posição no instante t, t ;< O, é dada por
r(t) ~ tR(t), onde
R(t) =
cos wt i + sen wt j
(a) Mostre que a velocidade v da partícula é
22.
y
l
I
o
v= cos wti + sen wtj + tvd
onde v d = R '(t) é a velocidade do ponlo na borda do disco.
(b) Mostre que a aceleração a da partícula é
onde ad = R"(t) é a aceleração na borda do disco. O tenno
extra 2 VJ é chamado aceleração de Coriolis; ele é o
resultado da interação entre a rotação do disco e o movimento
da partícula. Podemos obler uma demonstração física dessa
aceleração andando .em direção à borda de um carrossel.
(c) Detennine a aceleração de Coriolis de uma partícula que
se move em um disco rodando segundo a equação
r(t) =
e·" 1 cos wti + e-'sen wtj
No projeto das cun,as de transferência, usadas para ligar
trechos retos dos trilhos de uma linha férrea, é importante
entender que a aceleração do trem deve ser contínua de modo
que a força reativa exercida pelo trem no trilho seja também
contínua. Por causa das fórmulas obtidas na Seção 13.4 para
as componentes da aceleração, este só será o caso se a
curvatura variar de modo contínuo.
(a) Um candidato lógico à curva de transferência para juntar
dois trilhos existentes dados por y = 1 para x ~ O e
y = .,fi -; x para x ~ 1/ .J2 precisa ser uma função
f(x) = yl- x 2 , O< x < l/JZ, cujo gráfico é um arco
de círculo mostrado na figura. À primeira vista, parece
razoável. Mostre que a função
I sex"'O
F(x) ~ v' I - x 2 se O < x < 1/ .;2
{
v'2- x
se x"' 1/v'l
é contínua e tem derivada contínua, mas não tem
curvatura contínua. Assim, f não é apropriada para a
curva de transferência.
(b) Detennine um polinômio de quinto grau para servir de
curva de transferência entre os dois segmentos de reta;
y = O para x ~ O e y = x para x ;< I. Poderíamos utihzar
um polinômio de quarto grau Use uma calculadora gráfica
ou computador para esquematizar o gráfico da função
"conexão" e verifique se ele se assemelha ao da figura.
y = F(x)
~
Yj
y=O
I
y=x
"curva de
transferência
X o X

y
FIGURA PARA O PROBLEMA 1
F
FIGURA PARA O PROBLEMA 2
X
1. Uma partícula P se move com rapidez angular constante w em torno de um círculo com centro
na origem e raio R. A partícula é dita estar em movimento circular uniforme. Suponha que o
movimento seja no sentido anti~horário e que a partícula está no ponto (R, 0) quando t = O. O
vetor posição no instante t ~ O é r(t) =R cos wt i + R scn wt j.
(a) Detennine o vetor velocidade v e mostre que v · r = O. Conclua que v é a tangente ao
círculo e tem sentido igual ao do movimento.
(b) Mostre que a rapidez I v I da partícula é constante wR. O período T da partícula é o tempo
necessário para que a partícula complete uma volta. Conclua que
T ~ 27TR ~ 27T
lvl
w
(c) Estabeleça o vetor aceleração a. Mostre que ele é proporcional a r e que aponta para a
origem. Uma aceleração com essa propriedade é chamada aceleração centrípeta. Mostre
que o módulo do vetor aceleração é I a I = Rw".
(d) Suponha que a partícula tenha massa m. Mostre que a grandeza da força F que é necessária
para produzir esse m.ovimento, denominada fOrça centrípeta, é
IFI ~ mlvl'
R
2. Uma curva circular de raio R em uma auto-estrada é inclinada em um ângulo de O de modo que
um carro possa passar pela curva sem derrapar quando não existe atrito entre a estrada e os pneus.
A perda de atrito ocorre, por exemplo, se a estrada está coberta com uma fina camada de água ou
de gelo. A rapidez nominal v R associada a uma curva é a rapidez máxima que o can·o pode atingir
na mesma sem derrapar. Suponha que um carro de massa m esteja transpondo a curva com rapidez
nominal v R. Duas forças estarão agindo sobre o carro: a força vertical, mg, em razão do peso do
carro e uma força F exercida pela estrada, perpendicular a ela (veja a figura).
O componente vertical de F contrapõe-se ao peso do carro, de forma que i F I cos O = mg. O
componente horizontal de F produz uma força centrípeta no carro de forma que, pela Segunda
Lei de Newton e parte (d) do Problema L
md
IFisene~R
(a) Mostre que vk = Rg tg O.
(b) Determine a rapidez nominal associada a uma curva circular de raio 400 pés que é inclinada
em um ângulo de 12".
(c) Suponha que os engenheiros projetistas queiram manter a inclinação em 12", mas desejem
aumentar a rapidez nominal em 50%. Nesse caso, qual deve ser o raio da curva
3. Um projétil é disparado da origem com um ângulo de elevação a e rapidez inicial v 0 • Supondo
que a resistência do ar seja desprezível e que a única força que age sobre o projétil seja a
gravidade, g, foi mostrado no Exemplo 5 da Seção 13.4 que o vetor de posição do projétil é
r(t) = (v 0 cos a)t i + [(v 0 sena)t -
tgt 2 ] j. Também foi mostrado que o alcance máximo do
projétil ocorre quando a = 45" e, nesse caso, o alcance é R = võ/g.
(a) Qual é o ângulo no qual o projétil deve ser disparado para atingir a altura máxima e qual é
essa altura
(b) É dada a rapidez inicial v 0 e a parábola x 1 + 2Ry - R 1 = O, cujo gráfico é exposto na figura.
Mostre que o projétil pode atingir qualquer alvo dentro ou na fronteira da região limitada pela
parábola e o eixo x, e que o projétil não pode atingir nenhum alvo fora dessa região.
Y"'
o
D
X
882

J
FIGURA PARA O PROBLEMA 4
3,5 pés
~ I
' e I e
'ffY
I
FIGURA PARA O PROBLEMA 7
X
(c)Suponha que o lançador do projétil tenha um ângulo de elevação a quando mirando um
alvo que esteja suspenso a uma altura h diretamente acima de um ponto D unidades à
frente. O alvo é solto no instante em que o projétil é lançado. Mostre que o projétil sempre
atinge o alvo, independentemente da velocidade vo, desde que o projétil não atinja o chão
"antes" de D.
4. (a) Um projétil é disparado a partir da origem em mn plano inclinado para baixo em um
ângulo ()com a horizontal. O ângulo de elevação do lançador e a rapidez inicial do projétil
são respectivamente a e v 0 . Encontre o vetor posição do projétil e as equações paramétricas
da trajetória do projétil como funções do tempo t. (Despreze a resistência do ar.)
(b) Mostre que o ângulo a de elevação que vai maximizar o alcance do projétil no plano
inclinado é a metade do ângulo entre o plano e a verticaL
(c) Suponha que o projétil seja lançado sobre um plano inclinado para cima cujo ângulo de
inclinação é O. Mostre que, a fim de maximizar o alcance (ladeira acima), o projétil deverá
ser disparado em. direção à metade do ângulo entre o plano e a vertical.
(d) Em um artigo apresentado em 1686, Edmond Halley resumiu as leis da gravitação e
movimento de projéteis e os aplicou à artilharia. Um dos problemas propostos por ele
envolvia disparar um projétil para atingir um alvo a uma distância R em um plano
inclinado para cima. Mostre que o ângulo no qual o projétil deve ser disparado para
atingir o alvo, mas usando a menor quantidade de energia, é o mesmo que o ângulo da
parte (c). (Use o fato de que a energia necessária para disparar o projétil seja proporcional
ao quadrado da velocidade inicial, assim, minimizar a energia é equivalente a minimizar a
velocidade iniciaL)
5. Um projétil de massa m é disparado a partir da origem com um ângulo de elevação a. Além
da gravidade, considere que a resistência do ar gera urna força que é proporcional à
velocidade e que se opõe ao movimento. Então, pela Segunda Lei de Newton, a força total
atuante no projétil satisfaz a equação
d 2 R
dt2
m~- =
dR
-mgj- k--
dt
onde R é o vetor posição c k > O é a constante de proporcionalidade.
(a) Mostre que a Equação 1 pode ser integrada resultando na equação
dR k
-+-R= Va- gt j
dt m
dR
onde v 0 ~ v(O) ~ ~0).
dt
(b) Multiplique ambos os lados da equação da parte (a) por e{kfmll e mostre que o lado esquerdo
da equação resultante é a derivada do produto 11 e( "' 11 R(t). Integre então para obter a
expressão do vetor posição R(t).
ô. Determine a curvatura da curva com equações paramétricas
y ~ f~ cos(bre') de
7. Uma bola cai de urna mesa com uma rapidez de 2 pés/s. A mesa tem 3,5 pés de altura.
(a) Determine o ponto no qual a bola atinge o chão e encontre sua rapidez no instante do
impacto.
(b) Encontre o ângulo O entre a trajetória da bola e a linha vertical que passa pelo ponto de
impacto (veja a figura).
(c) Suponha que a bola repique do chão no mesmo ângulo com o qual ela o atinge, mas que
perca 20% de sua rapidez devido à energia absorvida no impacto. Onde a bola atinge o chão
no segundo repique
8. Um cabo tem raio r e comprimento L e está enrolado, sem sobreposição, em um carretel de raio
R. Qual é o menor comprimento ao longo do carretel que é coberto pelo cabo

14
Derivadas Parciais
Um modo efetivo de visualizar uma
função de duas variáveis é plotar as
curvas de nível (também chamadas
linhas de contorno). Essas curvas
indicam pontos onde a função tem
um mesmo valor.

James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAIS n 885
Até aqui, tratamos o cálculo de funções de uma única variável. No entanto, no mundo
real, quantidades físicas freqüentemente dependem de duas ou mais variáveis, de
modo que, neste capítulo, focalizaremos nossa atenção em funções com diversas
variáveis e estenderemos nossas idéias básicas do cálculo diferencial para tais funções,
Nesta seç-ão estudaremos as funções de duas ou mais variáveis sob quatro pontos de vista
diferentes:
• verbalmente
• numericamente
• algebricamente
• visualmente
(pela descrição em palavras)
(por uma tabela de valores)
(por uma fórmula explícita)
Funções de Duas Variáveis
(por um gráfico ou curvas de nível)
A temperatura T em um ponto da superfície da Terra em um dado instante de tempo
depende da longitude x e da latitude y do ponto. Podemos pensar em T como uma função
de duas variáveis x e y, ou como uma função do par (x, y). Indicamos essa dependência
funcional escrevendo T ~ f(x, y).
O volume V de um cilindro circular depende de seu raio r e de sua altura h. De fato.
sabemos que V= 7ir 2 h. Podemos dizer que V é uma função de r e de h, e escrevemos
V(r, h) ~ r.r 2 h.
Urna função f de duas variáveis é uma regra que associa, a cada par
ordenado de números reais (x, y) de um conjunto D, um único valor real denotado
porf(x, y). O conjunto D é o domínio de f, e sua imagem, o conjunto de valores
possíveis de f, ou seja, {f(x, y) I (x, y) E D}.
Freqüentemente escrevemos z ~ f(x, y) para tomar explícitos os valores tomados por f
em um ponto genérico (x, y). As variáveis x e y são variáveis independentes, e z é a variável
dependente. [Compare com a notação y ~ f(x) para as funções de uma única variável.]
Uma função de duas variáveis é aquela cujo dorrúnio é um subconjunto de IR 2 e cuja
imagem é um subconjunto de lf:R. Uma maneira de visualizar essa função é pelo diagrama
de setas (veja a Figura 1), onde o domínio D é representado como um subconjunto do
plano xy.
z
FiGURA 1
Se a função f é dada por sua fórmula e seu domínio não é especificado, fica entendido
como domínio de f o conjunto de todos os pares de valores (x, y) para os quais a expressão
dada fornece um número real bem-definido.

886 o CÁLCUlO Editora Thomson
x+y+l=O
FlGUR.A 2
(a) f ( x, Y) ~ -"-"--'-:-_:c_
X - J
SOLUÇÃO
Determine os domínios das seguintes funções e ca1culef(3, 2).
+ +
(b) f(x, y) ~ x ln(y 2 - x)
(a) f( 3. 2) ~ )3 + 2 + 1 ~ /6
. 3- 1 2
A expressão para f está bem-definida se o denominador for diferente de O e o número
raiz quadrada será extraída for não-negativo. Portanto, o domínio de f é
D~{(x,y)lx+y+ l ;,o, xrf 1}
y
A desigualdade x + y + 1 ~O, ou y ~ -x- 1, descreve os pontos que estão sobre ou
acima da reta y = -x- 1, ao passo que x :rf 1 significa que os pontos sobre a reta
x ~ 1 precisam ser excluídos do domínio. (Veja a Figura 2.)
(b) f(3, 2) ~ 3 ln(2 2 - 3) ~ 3 In 1 ~ O
X
Como ln(y 2 - x) é definido somente quando y 2 - x > O, ou seja, x < y 2 , o dorninio de
fé D ~ {(x, y) lx < y 2 ). Isso representa o conjunto de pontos à esquerda da parábola
x ~ y 2 (Veja a Figura 3.)
FIGURA 3
Domínio de f(-< y) =x In(y - x)
Nem todas as funções podem ser representadas por fórmulas explícitas. A função do
próximo exemplo é descrita verbalmente e por estimadores numéricos de seus valores.
i:XtlV!PtD Em regiões com inverno severo, o índice sensação ténnica é
freqüentemente utilizado para descrever a severidade aparente do frio. Esse índice W
mede a temperatura subjetiva que depende da temperatura real Te da rapidez do vento v.
Assim W é uma função de Te de v, e podemos escrever W = f(T, v). A Tabela 1
apresenta valores de W compilados pelo Serviço Nacional de Meteorologia dos
Estados Unidos e Serviço Metereológico do Canadá.
TABELA 1 Índice sensação térmica como função da temperatura do ar e rapidez do vento
Velocidade do vento (km/h)
O NOVO ÍNOICE SENSAÇÃO TÉRMICA
Um novo índice denominado sensação
térmica foi introduzido em novembro
de 2001 e é muito mais preciso que o
velho índice de medição de quanto frio se
sente quando está ventando, O novo
índice é baseado em um modelo de quão
rápido um rosto humano perde calor. Foi
desonvo!vido por meio de ensaios clínicos
nos quais voluntários e;am expostos a
uma variedade de temperaturas e rapidez
do vento em um túnel de
vento íefrigerado.
e ~4 '~1]!~: ~~~=4~~;rJ:i:~
!] 1 -w ~-" 1s -17 -1s -19 zo 21 22! n, :3! 241
e '~-::15 -19 -21 23 -24 -25 -26 ·c! --,"4 -30 l . 50 ·31 .
-20
I 241 -27 29l-2o -32 -33 --34' ;s · 36l-37l-3sj
~ -zsl-2o/33 -2s -37,~38 -39 41 ~44431~44T=-~~~
-30 I -36 -391 -41 -43!-44 -46 -43 -4A -50 :-51 I -52 i
. -35 I -41 I -45,48 I 49 I --Si I -52 ~=-:;6 57 • ~;;T_:_60 I
~4151 -54 -561 57 59 I 61 63 -=~4 --651·671

T
James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAIS o 887
Por exemplo, a tabela mostra que, se a temperatura é -5°C e a rapidez do vento,
50 km!h, então subjetivamente parecerá tão frio quanto uma temperatura de cerca de
-1 soe sem vento. Portanto
J(-5, 50)= -15
TABELA 2
~,/ Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no
qual modelavam o crescimento da economia norte-americana durante o período
1899-1922. Eles consideraram uma visão simplificada onde a produção é deternúnada
pela quantidade de trabalho e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem
muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo provou-se
impressionantemente razoáveL A função utilizada para modelar a produção era da forma
P(L, K) = bL"K'-"
onde Pé a produção total (valor monetário dos bens produzidos no ano); L, a quantidade
de trabalho (número total de pessoas-hora trabalhadas em um ano); e K, a quantidade de
capital investido (valor monetário das máquinas, equipamentos e prédios). Na Seção
14.3, vamos mostrar como obter a Equação 1 com algumas hipóteses econômicas.
Cobb e Douglas usaram dados econômicos publicados pelo governo para construir a
Tabela 2. Eles tomaram o ano de 1899 como base, e P, L e K foram tomados valendo
100 nesse ano. Os valores para outros anos foram expressos como porcentagens do valor
de 1899.
Cobb e Douglas utilizaram o método dos mínimos quadrados para ajustar os dados da
Tabela 2 à função
!9]5
i\! i
(Veja o Exercício 71 para detalhes.)
Se usarmos o modelo dado pela função na Equação 2 para calcular a produção nos
anos de 1910 e 1920, obteremos os valores
P(147, 208) = 1,01(147) 0 · 75 (208) 0 ~ 25 = 161,9
P(194, 407) = 1,01(194) 075 (407) 0 • 25 = 235,8
que são muito próximos dos valores reaís, 159 e 231.
A função de produção (1) foi usada posteriormente em muitos ajustes, de firmas individuais
até para questões globais de economia. Ela passou a ser conhecida como função
de produção de Cobb-Douglas. Seu donúnio é {(L, K) I L ;;, O, K;,;, 0}, pois, como L e
K representam trabalho e capital, não podem ser negativos.
SOLUÇÃO O donúnio de g é
Determine o domínio e a imagem de
g(x, y) = v9 X 2 y 2
3 X
D = {(x,y)J9- - y 2 ;,;, O} = {(x, y) I x 2 + y 2 ,;;; 9}
FIGURA 4
Donúnio de g(x, y)
que é o disco com centro (0, O) e raio 3 (veja a Figura 4). A imagem de g é
{zjz = ../9 x 2 y 2 , (x,y) E D}

888 o CÁlCUlO
Editora Thomson
Como z é a raiz quadrada positiva, z ~ O. Temos também
Assim a imagem é
{z!O ""z"" 3} ~(O, 3]
Gráficos
'1
'
s
I
1
I
(x, y,f(x, y))
Outra forma de visualizar o comportamento de uma função de duas variáveis é considerar
seu gráfico.
Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o
conjunto de todos os pontos (x, y, z) em lll: 3 tal que z ~ f(x, y) e (x, y) perten~am a D.
X
FIGURA 5
o
D
(x, y, O)
y
Assim como o gráfico de uma função f de uma única variável é uma curva C com
equação y = f(x), o gráfico de uma função com duas variáveis é uma superfície S
com equação z = f(x, y). Podemos enxergar a superfície S de f como estando diretamente
em cima ou abaixo de seu domínio D que está no plano xy (veja a Figura 5).
~Xfii!!PLO 5 ~ Esboce o gráfico da função j(x, y) ~ 6 - 3x - 2y.
SOLUÇÃO O gráfico de f tem a equação z ~ 6- 3x- 2y, ou 3x + 2y + z ~ 6, que
representa um plano. Para desenhar o plano, primeiro achamos os interceptas. Fazendo
y = z = O na equação obtemos x = 2 como o interceptar. Analogamente, o intercepto y
é 3 e o intercepto z é 6. Isso nos ajuda a esboçar a parte do gráfico que se encontra no
primeiro octante (Figura 6).
l(O, O, 6)
lj \
f I \
! I ,
I I \
f I \\.
----1 ! (0, 3,0)
,' ,---
(2, O, 0) i/ ' ~~---~
y
FIGURA 6
X
A função do Exemplo 5 é um caso especial da função
f(x, y) ~ ax + by + c
e é chamada função linear. O gráfico de uma função tem a equação z = ax + by + c, ou
ax + by - z + c = O, e portanto é um plano. Do mesmo modo que as funções lineares de
urna única variável são importantes no cálculo de uma variável, veremos que as funções
lineares de duas variáveis têm um papel central no cálculo com muitas variáveis.
Desenhe o gráfico de g(x, y) ~

T
i
i
James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCiAiS LJ 889
FIGURA 7
3.
Gráficodeg(x,y)= 9 .\~-i
SOLUÇÃO O gráfico tem a equação z =
Elevando ao quadrado ambos os
lados da equação, obtemos z 2 = 9 - x 2 - y 2 , ou + y 2 + z 2 = 9, que reconhecemos
como a equação da esfera de centro na origem e raio 3. Mas como z ~ O, o gráfico de g
é somente a metade superior da esfera (veja a Figura 7).
Utilize o computador para traçar o gráfico da função de produção de
Cobb-Douglas P(L, K) ~ l,OIL 0·75 K 0·25 .
SOLUÇÃO A Figura 8 mostra o gráfico de P para os valores de trabalho L e capital K que
estão entre O e 300. O computador utilizou os traços verticais para desenhar a superfície.
Vemos desses traços que o valor da produção P aumenta com o crescimento de L ou de
K, como esperado.
300
200
p
FIGURA 8
Determine o dorrúnio e a imagem e esboce o gráfico de
h(x, y) ~ 4x 2 + y 2
SOLUÇÃO Note que h(x, y) é definida para todos os possíveis pares ordenados de
números reais (x, y), e seu domínio é !ll: 2 , o plano xy todo. A imagem de h é o conjunto
[0, ao) de todos os reais não-negativos. [Note que x 2 :;, O e y 2 :;, O, portanto h(x, y) :;, O
para todo x e y.]
O gráfico de h é dado pela equação z ~ 4x 2 + y 2 , que é um parabolóide elíptico que
esboçamos no Exemplo 4 da Seção 12.6. Os traços horizontais são elipses e os verticais,
parábolas (veja a Figura 9).
FIGURA 9
Gráfico de h(x, y) = 4x' + i
J
Existem programas de computador desenvolvidos para traçar os gráficos de funções de
duas variáveis. Na maioria desses programas, são desenhados os traços nos planos verticais
x ~ k e y ~ k para os valores de k igualmente espaçados, e as linhas do gráfico que
estariam escondidas são removidas.

890 Li CÁLCUlO
Editora Thomson
A Figura 1 O mostra uma série de gráficos de diversas funções, gerados por computador.
Note que obtemos uma melhor visão da função quando a rodamos de modo a olhá-la por
diferentes pontos de vista. Nos itens (a) e (b) o gráflco da f é achatado e próximo do piano
xy exceto perto da origem; isso se dá porque ' é muito pequeno quando x ou y é
muito grande.
X
(a)f(x, y) = (x' + 3y')e-•'-•'
(b)f(x. y) = (x' + 3y')e-•'-•'
)'
FIGURA 10
(c)f(x, y) = sen x + sen y
(d)f(x, y) = sen .:/en v
Curvas de Nível
Até aqui vimos dois métodos diferentes para visualizar funções: o diagrama de setas e os
gráficos. Um terceiro método, emprestado dos cartógrafos, é um mapa de contornos, em
que os pontos com elevações constantes são ligados para formar cutTas de contorno ou
curvas de nível.
Definição As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são aquelas com
equação f(x, y) ~ k, onde k é uma constante (na imagem de JJ.
Uma curva de nível f(x, y) ~ k é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos
quais o valor de f é k. Em outras palavras, ela mostra onde o gráfico de f tem altura k.
Você pode ver na Figura 11 a relação entre as curvas de nível e os traços horizontais.
As curvas de nívelf(x, y) = k são apenas traços do gráfico de f no plano horizontal z = k
projetado sobre o plano xy. Assim. se você traçar as curvas de nível da função e visualizálas
elevadas para a superfície na altura indicada, poderá imaginar o gráfico da função

45 I
James Stewart
' ' '
CAPÍTUlO 14 DERIVADAS PARCIAIS CJ 891
o
X
y
f(x, y) = 20 _f
I I"
k = .35-
- - k = 30
k"' 25
- k= 20
FIGURA 11
FIGURA 12
colocando as duas informações juntas. A superfície será mais inclinada onde as curvas de
nível estiverem mais próximas umas das outras. Ela é mais ou menos plana onde as curvas
de nível estão distantes umas das outras.
Um exemplo comum de curvas de nível ocorre em mapas topográficos de regiões montanhosas,
como o mapa da Figura 12. As curvas de nível são aquelas em que a elevação em
relação ao nível do mar é constante. Se você andar sobre um desses contornos, nem descerá
nem subirá. Outro exemplo comum é a função temperatura introduzida no parágrafo inicial
desta seção. Aqui as curvas são chamadas curvas isotérmicas e ligam localidades que têm
a mesma temperatura. A Figura 13 mostra um mapa-múndi indicando as temperaturas
médias do mês de janeiro. Isotérmicas são as curvas que separam as bandas destacadas.
FiGURA 13
Temperaturas médias ao nível do mar
no mês de janeiro, em graus Celsius

892 LJ CÁlCULO Editora Thomson
g(x,
Mapa de contorno de
y) ~ ../9 x 2 y 2 EXEMPUJ 9 c: A Figura 14 mostra um mapa de contorno para uma função f Utilize-o
para estimar os valores def(l, 3) ef(4, 5).
f(l, 3) = 73
Da mesma forma, estimamos que
X
/(4, 5) = 56
EXEMPlO 10 CJ
para os valores k = -6, O, 6, 12.
SOLUÇÃO As curvas de nível são
6- 3x- 2y = k ou 3x + 2y + (k - 6) = O
EXEMPLO 11 o Esboce o gráfico das curvas de nível das funções
g(x,y) = ../9- x 1 - y 2 para k ~ O, 1, 2, 3
SOLUÇÃO As curvas de nível são
../9 - x 1 - y 2 ~ k ou
que corresponde a uma fanu1ia de circunferências concêntricas com centro em (0, O) e
raio ~- Os casos k = O, 1, 2, 3 estão mostrados na Figura 16. Tente visualizar
essas curvas de nível elevadas da superfície e compare com o gráfico de g (um hemisfério)
da Figura 7.
'i k=3
k=l
(3, Ü) X
FIGURA 16
o 2 3 4 5
FIGURA 14
FIGURA 15
Mapa de contorno de
J(x, y) ~ 6 - 3x - 2y
SOLUÇÃO O ponto (l, 3) está na parte entre as curvas de nível cujos valores dez são 70 e
80. Estimamos que
Esboce o gráfico das curvas de nível da função f(x, y) = 6 - 3x- 2y
ou seja, uma família de retas com inclinação-~. As quatro curvas de nível particulares
pedidas com k = -6, O, 6 e 12 são 3x + 2y - 12 ~O, 3x + 2y - 6 ~O, 3x + 2y =O
e 3x + 2y + 6 = O. Elas estão apresentadas na Figura 15. As curvas de nível são retas
paralelas, igualmente espaçadas, porque o gráfico de fé um plano (veja a Figura 6).
UEI\ill'lO !2 o Esboce algumas curvas de nível da função h(x, y) = 4x 2 + y 2
SOLUÇÃO As curvas de nível são
4x 2 + y 2 = k
ou
x2 yl
-+-=1
k/4 k

James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAIS D 893
que, para k >O, descrevem uma família de elipses com semi-eixos vk/2 e Jk.
A Figura 17(a) mostra o diagrama de contornos de h desenhado por computador com
curvas de nível correspondendo a k ~ 0,25; 0,5; 0,75, ... , 4. A Figura l7(b) apresenta
essas curvas de nível elevadas para termos o gráfico de h (um parabolóide elíptico) que
coincide com os traços horizontais. Vemos da Figura 17 como o gráfico de h é montado
de suas curvas de níveL
y
FIGURA 17
O gráfico de h(x, y) = 4x" +i
é fonnado levantando-se
as curvas de nível.
(a) Mapa de contornos
(b) Traços horizontais são curvas de nível elevadas
EXEMPLO 13 o Trace as curvas de nível para a função de produção de Cobb-Douglas do
Exemplo 3.
SOLUÇÃO Na Figura 18 usamos o computador para desenhar os contornos da função
produção de Cobb-Douglas
)
FIGURA 18
100 200 300 L
As curvas de nivel estão indicadas com os valores da produção P correspondentes. Por
exemplo, a curva de nível indicada com 140 mostra todos os valores de quantidade de
trabalho L e de capital investido K que resultam na produção P = 140. Vemos que, para
um valor fixo de P, quando L aumenta K diminui, e vice-versa.
Para alguns propósitos, o mapa de contornos (ou diagrama de contornos) é mais útil que
um gráfico. Certamente isso é verdadeiro no Exemplo 13. (Compare a Figura 18 com a
Figura 8.) Isso também é verdadeiro quando queremos fazer uma estimativa de valores,
como no Exemplo 9.

894 o CÁLCUlO Editora Tbomson
A Figura 19 mostra algumas curvas de nível geradas por computador juntamente com
os gráficos correspondentes. Note que as curvas de nível apresentadas na parte (c) da figura
aparecem muito amontoadas perto da origem. Isso corresponde, no gráfico mostrado na
parte ( d), a uma mudança de inclinação muito acentuada nessa região.
z
(a) Curvas de nível def(x, y) = -xyr''- '
(b) Duas vistas de f (x, y) = - xyc'=-
FIGURA 19 (c) Curvas de nível def(x, y)
-3y
X 1 +y'+ 1
( d) f(x, y) = -""'--,
x2 +i+ 1
Funções com Três ou Mais Variáveis
Uma função com três variáveis, f, é uma regra que associa a cada tripla ordenada (x, y, z)
em um donúnio D C ~ 3
um único número real denotado por J(x, y, z). Por exemplo, a
temperatura Tem um ponto da superfície terrestre depende da latitude y e da longitude x
do ponto e do tempo t, de modo que podemos escrever T ~ f(x, y, t).
EXEMPlO 14 o Determine o donúnio de
J(x, y, z) ~ ln(z - y) + xy senz
SOLUÇÃO A expressão para J(x, y, z) é definida desde que z - y > O, de modo que o
donúnio de f seja
D ~ {(x, y, z) E ~ 3 j z > y)
Isso é o semi-espaço constituído por todos os pontos que estão acima do plano z = y.

James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAIS c~ 895
É muito difícil visualizar uma função f de três variáveis por seu gráfico, uma vez que
estaríamos em um espaço de quatro dimensões. Entretanto ganhamos algum conhecimento
de f desenhando suas superfícies de nível, que são as superfícies com equação
f(x, y, z) ~ k, onde k é uma constante. Se um ponto (x, y, z) se move ao longo de uma
superfície de nível, o valor de f(x, y, z) permanece fixo.
EXEMPlO 15
Determine as curvas de superfície da função
f(x, y, z) ~ x 2 + y 2 + z 2
SOLUÇÃO As superfícies de nível são x 2 + y 2 + z 2 ~ k, onde k ;;, O. Elas formam uma
fanu1ia de esferas concêntricas com raio )k. (Veja a Figura 20.) Então, quando (x, y, z)
varia sobre uma das esferas com centro O, o valor de j(x, y, z) permanece fixo.
FIGURA 20
As funções com qualquer número de variáveis também podem ser consideradas. Uma
função com n variáveis é uma regra que associa um número real z = f(x 1 , x 2 , ••• , x,.,.) à
n-upla (xt, X2, ... , x,.,) de números reais. Denotamos por [!:g" o conjunto de todas as n~uplas.
Por exemplo, se uma fábrica de alimentos usa n ingredientes diferentes para manufaturar
um determinado alimento, sendo c; seu custo por unidade do i-ésimo ingrediente, e se são
necessárias x; unidades do i-ésimo ingrediente, então o custo total C dos ingredientes é
uma função de n variáveis xh X2, ... , xn:
A função fé uma função real cujo donúnio é um subconjunto de !Rn. Algumas vezes utilizaremos
a notação vetorial para escrever essas funções de forma mais compacta: se
x ~ (xj, x,, ... , x,), freqüentemente escreveremos f(x) no lugar de f(xj, x,, ... , x,).
Com essa notação podemos reescrever a função definida na Equação 3 como
f(x) ~c· x
onde c= (c1, c2, ... , Cn) e c· x denota o produto escalar dos vetores c ex em Vn.
Tendo em vista a correspondência biunívoca entre os pontos (xh x2, ... , xn) em IR 11 e os
Vetores de posição X~ (X;, X2, ... , X,) em V"' podemos olhar de três formas diferentes
para a função f definida em um subconjunto de IR":
1. Como uma função de n variáveis reais x1, x2, ... , Xn
2. Como uma função de um único ponto variável (xh x 2 , .•. , Xn)
3. Como uma função de um vetor variável x = (x 1 , x 2 , ••• , x 11 )
Veremos que todos os três pontos de vista têm sua utilidade.
Exercícios
No Exemplo 2 consideramos a função W = f(T, v), onde W era
o índice sensação ténnica ocasionado pelo vento; Ta
temperatura real; e v, a rapidez do vento. A representação
numérica foi fornecida pela Tabela 1.
(a) Qual o valor de f( -15, 40) Qual seu significado
{b) Descreva em palavras o significado da questão "Para que
valores de v é f( -20, v) = -30". Em seguida, responda à
questão.
(c) Descreva o significado da questão "Para que valores de T
vale f(T, 20) = -49" Em seguida, responda à questão.
(d) Qual o significado da função W ~f( -5, v) Descreva o
comportamento dessa função.
(e) Qual o significado da função W ~ f(T, 50) Descreva o
comportamento dessa função.

896 o CÁLCUlO Editora Thomson
2. O índice I de temperatura-umidade (ou símplesmcnte Umidex)
em função da umidade f é a temperatura aparente do ar quando
a temperatura real é Te a umidade relativa é h, de modo que
possamos escrever I = f(T, h). A tabela seguínte com os
valores de f foi extraída de uma tabela do Serviço de
Administração Nacional de Oceanos e Atmosfera dos Estados
Unidos.
TABELA 3
~
80 77
Temperatura aparenle como função
da temperatura e da umidade
Umidade relativa(%)
20 30 40 50 60
I
78 79 81 82
85 82 I 84 86 88 90
- t '
90 87 90 93 96 100
95 93 96 101 107 114
100 99 104 110 120 132
(a) Qual é o valor de f(95, 70) Qual seu significado
(b) Para que valor de h temos f(90, h) ~ 100
(c) Para que valor de Ttemos f(T, 50) ~ 88
(d) Qual o significado de I~ f(80, h) e I~ f(lOO, h)
Compare o comportamento dessas duas funções de h.
70
83
93
106
124
144
3. Verifique que, para a função de produção de Cobb-Douglas
P(L, K) ~ l,OlL
0·"K
0·"
I>Z
5 I
Duração (horas)
lO 15
10 2 I
2 2
15 4 4 5
f-- ' ---i
20 5 7 8
I
30 9 i 13 16
40 14 I 21 25
50 19 29 i 36 ' I
'
60 24 37 I 47 i
'
6. Seja f(x, y) ~ ln(x + y- l).
(a) Estime f(l, 1).
(b) Estime f(e, 1),
(c) Detennine o domínio de f.
(d) Estabeleça a imagem de f.
7. Seja f(x, y) ~ x'e"'·
(a) Calcule f(2, O).
(b) Detennine o domínio de f.
(c) Estipule a imagem de f.
20 I
2
5
8
17
28
40
54
8. Detennine e esboce o dorrúnio da função
'
30
2
5
9
18
31
45
62
40
!
2
5
9
I 19
'
I 33
f(x, y) ~ v' I + x y'. Qual é a imagem da f
9. Seja f(x, y, z) ~
(a) Calcule f(2, -1, 6).
(b) Estabeleça o domínio de f.
(c) Determine a imagem f.
48
67
50
2
5
9
19
I 33
50
69
discutida no Exemplo 3, a produção dobrará se a quantidade
de trabalho e a de capital investido forem dobradas. É verdade
também para uma função de produção genérica
P(L, K) ~ bL"Kh
4. O índice sensação ténnica W discutido no Exemplo 2 foi
modelado pela seguinte equação:
W(T, v)~ 13,12 + 0,6215T- 11,37v 0·" + 0,3965Tv 0·"
Verifique quão próximo este modelo está dos valores da
Tabela 1 para alguns valores de Te v.
11111 A altura das ondas h em um mar aberto depende da rapidez do
vento v e do intervalo de tempo t no qual está ventando com a
mesma intensidade. Os valores da função h= f( v, t) dados em
pés, são apresentados na tabela que se segue.
(a) Qual é o valor def(40, 15) Qual seu significado
(b) Qual o significado da função h= fi30, t) Descreva seu
comportamento.
(c) Qual o significado da função h =f( v, 30) Descreva seu
comportamento.
10. Seja g(x, y, z) ~ ln(25 - x' - y' - z 2 ).
(a) Calcule g(2. -2, 4).
(b) Determine o donúnio de g.
(c) Estipule a imagem de g.
11-20 o Determine e faça o esboço do domínio da função.
11. f(x, y) ~ v'x + y 12. f(x, y) ~ JX + JY
ll!ll! f(x, y) ~ ln(9- x 2 - 9y 2 )
3x + 5y
15, f(x,y) ~
2 2
X + y -4
16. f(x, y) ~ y'y - x ln(y + x)
x-
14. f(x,y) ~
X
+ 3 y
18, f(x, y) ~ .,; x' + y' 1 + ln(4 - x 2 - y 2 )
19. f(x, y, z) ~
20. f(x, y, z) ~ ln(l6 - 4x 2 - 4y 2 - z 2 )

Ao -
James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAIS 897
21-29 L: Esboce o gráfico da função.
21. f(x, y)·~ 3 22. f(x, y) ~ y
f(x, y) ~ 1 - x - y
24. f(x, y) ~ cos x
25. f(x,y) ~ 1- x' 26. f(x,y) ~ 3- x 2 - y 2
27. j(x, y) = 4x 2 + y 2 +
28. f(x, y) ~ v 16 x 2 16y 2
29. f(x, y) ~
30. Case a função com o gráfico (indicado por I~ VI). Dê razões
para sua escolha.
(a) f(x,y) ~ lxl + IYI
1
f(x,y) ~
1 + +
(e) f(x, y) ~ (x- y) 2
lll\1 f(x,y) ~ lxyl
(d) f(x, y) ~ (x'- y 2 ) 2
f(x,v) ~sen(lxl
+ IYI)
32. Dois mapas de contorno são mostrados na figura. Um é da
função f cujo gráfico é um cone. O outro é para uma função g
cujo gráfico é um parabolóide. Qual é qual Por quê
Gfi: Localize os pontos A e B no mapa das Montanhas de
Lonesome (Figura 12). Qual a descrição do terreno perto de A
E perto de 8'
34. Faça um esboço do diagrama de contorno da função cujo gráfico
é mostrado.
35-36 o Um mapa de contorno de uma função é mostrado. Use-o
para fazer um esboço do gráfico da f.
35.
36.
X
31. É mostrado o mapa de contorno para a função f Use-o para
estimar o valor de f( -3, 3) e f(3, -2). O que você pode dizer
sobre a forma do gráfico
I Yf
37-44 o Faça o mapa de contornos da função mostrando várias
curvas de níveL
37. f(x, y) ~ xy
38. f(x, y) ~ x 2 - y 2
39. f(x,y) ~ y -1nx
40. f(x, y) ~ e' 1 '
41. f(x,y)~.,lx+y
42. f(x, y) ~ y sec x
43. f(x, y) ~ x - y 2 44. f(x, y) ~ yi(x' + y')
45-46 o Faça o esboço do diagrama de contornos e do gráfico da
função e compare-os.
45 f(x, y) ~ x 2 + 9y 2
40. f(x, y) ~ vM3 7 6--'-9;;:x"C;2-4 7 y'·2

898 u CÁLCUlO Editora Thomson
47. Uma camada fina de metal, localizada no plano xy, tem
temperatura T(x, y) no ponto (x, y). As curvas de nível de T
são chamadas isoténnicas porque todos os pontos em uma
isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de
algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por
T(x, y) ~ 100/(1 + x' + 2y')
48. Se V(x, y) é o potencial elétrico de um ponto (x, y) do plano X)',
as curvas de nível de V são chamadas curvas equí'potenciais,
porque nelas todos os pontos têm o mesmo potencial elétrico.
Esboce algumas curvas equipotenciais de
V(x, y) = c/Jr1- x 2 y 2 , onde c é uma constante positiva.
; ·C:. Use um computador para traçar o gráfico da função
utilizando vários pontos de vista. Imprima a que, em sua opinião,
saiu melhor. Se seu programa também produz curvas de nível, trace
o diagrama de contornos da mesma função e compare.
49. j(x, y) ~ x' + y' 50. f(x, y) ~ sen(ye · ')
51. j(x, y) = xy 2 - x 3 (sela do macaco)
52. f(x, y) = xy 3 = yx 3 (sela do cachorro)
-- Case a função (a) com seu gráfico (indicado por A-F na
página 899) e (b) com seus mapas de contorno (indicado por I-VI).
Dê razões para sua escolha.
53. z =sen Jx 1 + y 2 54. z = x2y2e -,'--_v2
'!i5;'' z~
x' + 4y2
50. z = x 3 - 3xy 2
573 z=senxseny 58. z =sen 2 x + ~y 2
S:S-·-32 ::: Descreva as superfícies de nível da função.
59i f(x, y, z) ~ x + 3y + 5z
60. f(x, y, z) ~ x' + 3y' + 5z'
61. f(x, y, z) = x 2 - y 2 + Z 2
62. f(x, y, z) ~ x' - y'
S:J-- 54 ·- Descreva como o gráfico de g
de f.
jiS, (a) g(x, y) ~ f(x, y) + 2
(c) g(x, y) ~ -f(x, y)
é obtido a partir do gráfico
(b) g(x, y) ~ 2f(x, y)
(d) g(x, y) ~ 2 - f(x, y)
64. (a) g(x, y) ~ f(x - 2, y) (b) g(x, y) ~ f(x, y + 2)
(c) g(x,y) ~ j(x + 3,y- 4)
,3::> SS __ Faça uso do computador para traçar o gráfico da função,
utilizando vários pontos de visla e tamanhos de janela. Imprima aquela
que apresente melhor os "picos e vales". Você acha que essa função
tem um valor máximo Você poderia identificar os pontos do gráfico
correspondentes aos "máximos locais" E os "núnimos locais"
65. j(x, y) ~ 3x - x' - 4y' - !Oxy
66. f(x, y) ~ xye ,• •'
z:;-Sz _ Utilíze o computador para traçar o gráfico da função,
usando vários pontos de vista e tamanhos de janela. Comente o
comportamento da função no limite. O que acontece quando x e y
se tornam muito grandes O que acontece quando (x, y) se
aproxima da origem
X + V
67. f(x, y) ~ -,-·,
x- + y-
xv
68. f(x, v) ~ ~.-· -
. x"" + y2
69. Utilize o computador para estudar o comportamento da família
de funções f(x, y) = e'x'+r'. Como a forma da função é
afetada por uma mudança do valor de c
70. Esboce o gráfico das funções
e
f(x, y) ~
f(x, y) ~ é•''•'
f(x, y) ~ In#+ y 2 f(x,y) ~sen(v'x' + y 1 )
Em geral, se g é uma função de uma variável, como obter o
gráfico de f(x, y) ~ g( v x 2 + y') a partir do gráfico de g
71. (a) Mostre que, tomando logaritmos, uma função generalizada
de Cobb-Douglas P = bU'-K 1 -"' pode ser expressa como
p
L
ln-=lnb+aln~
K
K
(b) Se tomarmos x ~ ln(L/ K) e y ~ In( P/ K), a equação da
parte (a) se tornará uma equação linear y = ax + In b.
Utilize a Tabela 2 (do Exemplo 3) para fazer uma tabela de
valores de ln(L/K) e ln(P/K) para os anos de 1899-1922.
Use então um computador ou calculadora gráfica para
achar, pelo método dos rrúnimos quadrados, a reta de
regressão através dos pontos (ln(L/K) e ln(P/K)).
(c) Deduza que a função de produção de Cobb-Douglas é
p = l,OlLo,7sKo,zs_
IID Limites e Continuidade
Vamos comparar o comportamento das funções
sen(x' + y 2 ) x' - y 2
f(x, y) ~ x' + y' e g(x, y) ~ x' + y'
quando x e y se aproximam de O [e portanto o ponto (x, y) se aproxima da origem].

T I
James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAiS 899
A
y
)
D
y
F
X
y
!I
X
X
IV v VI

o.2
-~
900 O CÁlCUlO Editora Thomson
-t,O -0,5
-t,O 0,455 0,759
-0,5 0,759 0,959
-0,2 0.829 0,986
o 0.841 0,990
TABELA 1 Valores dej(x, y) TABELA 2 Valores de g(x.y)
1
-0,2 o 1.- o.5 I 1.0
t,O -0.5
i "><
'
' '
0,829
-t,O 0,000 0,600
0,986
0,999
!,000
0,841 I 0,829 I 0,759 I OA55
o.99o .i o.9s6 I o.959 I o.759
'
1,000 1 0.999 1 0.986 1 0.829
1.000 I 0,990 I 0.84!
1 __ o,~,.2-t-'-'·s_,_o+_o_.o_s_6+_o._o9_9-+_'_·ooo-+o_._99_9_t! _o~.986 1 o.s29
'
-0,5 -0.600 0.000
-0,2 -0.923! -0,7241
I ,
o -I ,000 1-!,000
-0,2 o I 0.2 I 0.5 I LO
0.923 t,OOO 0.923 0,600
I
i 0,000
0,724 i 1,000 0.724 0,000 -0.600
o.ooo I 1,000 0,000 -0,724 -(\923
-1,000 -1,000 -1.000 -·-!JJOU
0,2 -0,9231-0.7241 0.000 !,000 0,000 -0,724 -0,923
r -1~
0.759 0.959 0.5 -o.6oo 1 0.000 0.724 1.000 0.724 0.000 --0.600
~-o_,o_·1---t~---+-o._o._s6-tl_o_.9_9_o+o_._9s_'6-tl_o_.o_s;l 0,759
1,0 0,455 I 0.759 0.829 i 0.841 0.829 I 0.759 I 0,455 1,0 0,000 i o.6oo 1 0.923 1,000 0,923 0,600 0,000
As Tabelas 1 e 2 mostram valores de f (x, y) e g(x, y), com precisão até três decimais,
para os pontos (x, y) próximos da origem. (Note que a função não está definida na origem.)
Parece que, quando (x, y) se aproxima de (0, 0), os valores def(x, y) se aproximam de l,
ao passo que os valores de g(x, y) não se aproximam de valor algum. Essa nossa observação
baseada em evidências numéricas está correta, e podemos escrever
sen(x 2 + y 2 )
lim --',--~'--'. ~ 1
(x,y)·-•(0,0) x 2 + y 2 e
Em geral, usamos a notação
lim
(x.y)_,.(a. b)
xz _ yz
lim
2
, não existe
(x.y}--"(0,0) X + y-
f(x, y) ~ L
para indicar que os valores de f (x, y) se aproximam do número L quando o ponto (x, y) se
aproxima do ponto (a, b) ao longo de qualquer caminho contido no domínio da função f
Em outras palavras, podemos tomar os valores def(x, y) tão próximos de L quanto o desejado
escolhendo pontos (x, y) suficientemente próximos do ponto (a, b), mas não iguais a
(a, b). Uma definição mais precisa é a seguinte:
[1] Definição* Seja/uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos
arbitrariamente próximos de (a, b). Dizemos que o limite def(x,y) quando (x,y)
tende a (a, h) é L e escrevemos
lim f(x, y) ~ L
(x,y)....,.\a.b)
se para todo número e > O existe um número correspondente O > O tal que
I f(x, y) - L I

James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCiAIS [i 901
tomarmos a distância de (x, y) a (a, b) suficientemente pequena (mas não nula). A Figura
1 ilustra a Definição 1 por meio de um diagrama de setas. Se nos é dado um pequeno inter~
valo (L - E, L + E) em tomo de L, então podemos determinar uma bola abena D, com
centro em (a, b) e raio ô >O tal que f leve todos os pontos de D 5 [exceto possivelmente
(a, b)] no intervalo (L- E, L+ E).
f
~
X
o L-ê L L+t
FIGURA 1
X
FIGURA 2
y
(a,
X
Outra ilustração da Definição 1 é dada na Figura 2, onde a superfície S representa o gráfico
de f Se E > O é dado, podemos achar 8 > O tal que, se (x, y) pertence à bola aberta D, e
(x, y) ;6 (a, b ), sua imagem em S estará entre os planos horizontais z == L - E e z == L + E.
Para as funções de uma única variável, quando fazemos x se aproximar de a, só existem
duas direções possíveis de aproximação: pela esquerda ou pela direita. Lembremos do
Capítulo 2 (Volume I) que, selim"_" f(x) ,P lim,.~ a' f(x), então lim".-' f(x) não existe.
Já para as funções de duas variáveis essa situação não é tão simples porque existem
infinitas maneiras de (x, y) se aproximar de (a, b) por uma quantidade infinita de direções
e de qualquer maneira que se queira (veja a Figura 3), bastando que (x, y) se mantenha no
dorrúnio de f
A Definição 1 diz que a distância entre f (x, y) e L pode se tomar arbitrariamente
pequena fazendo a distância de (x, y) a (a, b) suficientemente pequena (mas não nula). A
definição se refere somente à distância entre (x, y) e (a, b); não se refere à direção de
aproximação. Portanto, se o limite existe,f(x, y) deve se aproximar do mesmo valor-limite,
independentemente do modo como (x, y) se aproxima de (a, b). Assim, se acharmos dois
caminhos diferentes de aproximação ao longo dos quais f (x, y) tem limites diferentes,
segue então que lim(x, v)-'>(a,b} f(x, y) não existe.
FIGURA 3
Se f(x, y)-> L, quando (x, y) _,(a, b) ao longo do caminho C, e f(x, y) _, L 2
quando (x, y) _,(a, b) ao longo do caminho C,, com L 1 ,P L 2 , então
lim(x, y) ---'(a, b) f(x, y) não existe.
EXEMPlO 1 o Mostre que
lim
(x.y).....,.(O,O) X
xz _ y2
não existe.
2 2
+ )'
y
SOLUÇÃO Seja f(x, y) == (x 2 - y 2 )/(x 2 + y 2 ). Vamos primeiro aproximar (0, O) ao longo
do eixo x. Tomando y ==O, temos f(x, O)== x 2 /x 2 == 1 para todo x ,P O, logo
J=~l
f(x, y)-> l quando (x, y) _,(O, O) ao longo do eixo x
Agora, vamos nos aproximar ao longo do eixo y colocando x = O. Assim
f=l
X
f(O,y) ==
= -1 para todo y ;6 O, logo
f(x, y) _, -1 quando (x, y) _,(O, O) ao longo do eixo y
FIGURA 4
(Veja a Figura 4.) Como f tem dois limites diferentes ao longo de duas retas diferentes, o
limite não existe. (Isso confirma a conjectura que fizemos com base na evidência
numérica no início desta seção.)

902 lJ CÁlCUlO Editora Thomson
EXEMPlO 2 Se J(x, y) ~ xy/(x 2 + y 2 ), será que lim f(x, y) existe"
Lt,yl---•(0,0_)
SOLUÇÃO Se y ~O, temos f(x, O) = O/x 2 ~O. Portanto
f(x. y) -+O quando (x, y)-+ (O, O) ao longo do eixo x
Se x ~ O, então f( O, y) ~ O/y 2 ~ O. Assim
f(x,y)-+ O quando (x, y) _,(O, O) ao longo do eixo y
Apesar de termos encontrado valores idênticos caminhando sobre os eixos, não podemos
afirmar que esse limite exista, dado por O. Vamos agora aproximar de (0, O) ao longo de
outra reta; por exemplo, y = x. Para todo x of::. O,
FIGURA 5
Logo, f(x, y) _, j quando (x, y)-+ (O, O) ao longo de y ~ x
(Veja a Figura 5.) Como obtivemos valores diferentes para o limite ao longo de caminhos
diferentes, podemos afirmar que o limite dado não existe.
A Figura 6 nos dá uma idéia do que acontece no Exemplo 2. A cumeeira que ocorre
acima da reta y ~ x corresponde ao fato de que f(x, y) ~ ~ para todos os pontos (x, y)
dessa reta, exceto na origem.
I
2
J(x, y)
FIGURA 6
-'2'
EXEMPLO 3 u Se f(x, y) ~
xy 2 _. . .
2 4
, sera que hm f(x, y) exrste0
X + y (_x,y)----;(0.0)
SOLUÇÃO Considerando a solução do Exemplo 2, vamos tentar economizar tempo
fazendo (x, y)-+ (O, O) ao longo de uma reta não-vertical que passa pela origem.
Tomemos y = mx, onde m é a inclinação da reta e
·::J A Figura 7 mostra o gráfico da
funçâo do Exemplo 3. Note a cumeeira
sobre a parábola x = y 2 .
I
-0,5 ~--:;----;;---;:~__[
FIGURA 7
X
x(mx) 2
J(x, y) = J(x, mx) ~ x' + (mx)'
Portanto f(x, y) -+ O quando (x, y)-+ (O, O) ao longo de y = m.x
Logo, f tem o mesmo limite ao longo de qualquer reta não-vertical que passe pela
origem. Mas isso ainda não garante a existência do limíte com valor O, pois, se
tomarmos agora (x, y)-+ (O, O) ao longo da parábola x ~ y', teremos
y2. y2
J(x, y) ~ f(y', y) = (y')' + y'
E assim J(x, y) -> l quando (x, y)-+ (O, O) ao íongo de x ~ y'
Como caminhos diferentes levaram a resultados diferentes, o limite não existe.

T
!
James Stewart CAPÍTULO 14 DERiV.4D.4S PARCIAIS L.l 903
Vamos agora olhar o caso onde o limite existe. Como para a função de uma única variável,
o cálculo do limite de funções com duas variáveis pode ser muito simplificado
usando-se as propriedades dos limites. As Leis do Limite listadas na Seção 2.3 do Volume
I podem ser estendidas para as funções de duas variáveis. O limite da sorna é a soma dos
limites; o limite do produto é o produto dos limites; e assim por diante. Em particular, as
seguintes equações são verdadeiras:
lim
(x, y!,-•!a. b!
x=a
lim
Í;., y)--->(a. b) <
v~ b
lim
i.x.y)-- {a.b)
4
c= c
O Teorema do Confronto também vale.
3x 2 y
EXEMPLO 4 cJ Determine, se existir, lim , •
{x.y)-->W,O) x- + y-
SOLUÇÃO Como no Exemplo 3, podemos mostrar que o limite ao longo de uma reta
qualquer que passa pela origem é O. Isso não prova a existência do limite igual a O, mas
ao longo das parábolas y = x 2 ex = y 2 também obtemos o limite O, o que nos leva a
suspeitar que o limite exista e seja igual a O.
Seja e > O. Queremos achar o > O tal que
sempre que
ou seja,
3x'IYI
~ ~

904 G CÁlCUlO Editora Thomson
O significado intuitivo de continuidade é que, se o ponto (x, y) varia de uma pequena
quantidade, o valor de f (x, y) variará de uma pequena quantidade. Isso quer dizer que a
superfície que corresponde ao gráfico de uma função contínua não tem buracos ou ruptura.
Usando as propriedades de lirrrites, podemos ver que sorna, diferença, produto e quociente
de funções contínuas são contínuos em seus domínios. Vamos usar esse fato para dar
exemplos de funções contínuas.
Uma função polinomial de duas variáveis (ou simplesmente polinômio) é uma
soma de termos da forma cxmyn, onde c é uma constante e m e n são números inteiros
não-negativos. Uma função racional é uma razão de polinômios. Por exemplo,
é um polinôrrrio, ao passo que
f(x, y) ~ x 4 + 5x 3 y 2 + 6xy 4 - 7y + 6
2xy +I
g(x, y) ~ x' + y'
é uma função racional.
Os limites em (2) mostram que as funções f(x, y) ~ x, g(x, y) ~ y e h(x, y) ~c são
contínuas. Como qualquer polinômio pode ser obtido a partir das funções f, g e h por multiplicação
e adição, segue que todos os polinômios são funções contínuas em IR: 2 . Da
mesma forma, qualquer função racional é contínua em seu donúnio, porque ela é o quociente
de funções contínuas.
EXEMPlO 5 u Calcule. lim . (x 2 / - x 3 y' + 3x + 2y).
\X. y)---;o(J. 2)
SOLUÇÃO Como f(x, y) ~ x 2 y 3 - x 3 y 2 + 3x + 2y é um polinômio, ela continua em
qualquer lugar, portanto podemos calcular seu limite pela substituição direta:
lim (x 2 y 3 - x 3 y 2 + 3x + 2y) ~ 1 2 • 2 3 - 1 3 • 2 2 + 3 • 1 + 2 • 2 ~ 11
(x. y)---+(1. 2)
é contínua
SOLUÇÃO A função f é descontínua em (0, 0), pois ela não está definida nesse ponto.
Como f é uma função racional, ela é contínua em seu dorrúnio, o que corresponde ao
conjunto D ~ {(x, y) I (x, y) -;6 (O, O)}.
o
EXEMPlO 7 o Seja
g(x, y) ~ { ;: : ~:
se (x, y) -;6 (0, O)
se (x, y) ~ (O, O)
Aqui g está definida em (0, 0), mas ainda assim g é descontínua em O, porque
lim'"·')~(o,o) g(x, y) não existe (veja o Exemplo 1).
EXEMPlO 8 o Seja
f(x,y) ~
3x 2 y
;' + y'
{
se (x, y) -;6 (O, O)
se (x, y) ~ (O, O)

~T
James Stewart
CAPÍTULO 14 DERiVADAS PARCIAiS
905
c; A Figura 8 mostra o gráfico da
função contínua do Exemplo 8
Sabemos que f é contínua para (x, y) r' (0, O) uma vez que ela é uma função racional
definida nessa região. Do Exemplo 4 ternos que
3x 2 y
lim f(x, y) ~ . lim , , = O ~f( O, O)
íx,y)~!O,OI p,y)---,.10.0) .:C+ y-
Portanto fé contínua em (0, 0), e, conseqüentemente, contínua em IR1 2 .
FIGURA 8
Como para as funções de uma variável, a composição é outra maneira de combinar
funções contínuas para obter outra também contínua. De fato, pode ser mostrado que, se f
é uma função contínua de duas variáveis e g é uma função contínua de uma única variável
definida na imagem de f, a função composta h= g o f definida por h(x, y) = g(J(x, y)) é
também contínua.
EXEMPlO 9 o Onde a função h(x, y) ~ arctg(yjx) é contínua"
SOLUÇÃO A função f(x, y) = y/x é racional e, desse modo, contínua em todo lugar,
exceto sobre a reta x =O. A função g(t) = arctg t é contínua em qualquer lugar. Logo. a
função composta
g(j(x, y)) = arctg(y/x) = h(x, y)
y
o
o
X
FIGURA 9
A função h(x, y) ~ arctg(y/x) é
descontínua onde x = O.
é contínua, exceto onde x = O. O desenho da Figura 9 mostra a ruptura existente no
gráfico da função h acima do eixo y.
Funções com Três ou Mais Variáveis
Tudo o que fizemos até aqui pode ser estendido para as funções com três ou mais variáveis.
A notação
lim
(_cy,z)---c>(a.b,c)
f(x, y, z) = L
significa que os valores de f(x, y, z) se aproximam do número L quando o ponto (x, y, z)
se aproxima do ponto (a, b, c) ao longo de um caminho qualquer no domínio de f
Como a distância entre os dois pontos (x, y, z) e (a, b, c) em IR 3 é dada por
v(x - a)2 + (y- b)' + (z- c) 2 , podemos escrever em uma forma precisa a definição
como se segue: para todo número e > O existe um número correspondente O > O tal que
I f(x, y, z) - L I < e sempre que O< ,/(x- a)2 + (y- b)' + (z c) 2 < 3
e (x, y, z) pertence ao domínio de f
A função f é contínua em (a, b, c) se
Por exemplo, a função
lim f(x, y, z) ~f( a, b, c)
(x, y, z)-(a, b, c)
1
f(x, y, z) = 2 + ' -'- 2
X y- , Z -
é racional em três variáveis, e portanto é contínua em todo ponto de IR. 3 , exceto onde
x 2 + y 2 + z 2 = 1. Ou seja. é descontínua na esfera de centro na origem e raio 1.

906 CÁLCULO Editora Thomson
Se usarmos a notação vetorial introduzida no final da Seção 14.1, poderemos escrever
as definições de limite para as funções de duas ou três variáveis de uma fonna compacta,
como se segue.
[5] Se f é definida em um subconjunto D de IR", então lirn,~, J(x) ~ L significa
que para todo número e > O existe um número correspondente 8 > O tal que
[ f(x) - L [ < e sempre que x E D e O < [ x - a [ < il
Note que se n = 1, então x = x e a= a, e (5) é exatamente a definição do limite para
as funções de uma única variável simples. Para o caso n = 2, temos x = (x, y),
a~ (a, b) e [x-a[~ -y(x- a) 2 + (y- b)', de modo que (5) se toma a Definição 1.
Se n ~ 3, então x ~ (x, y, z), a~ (a, b, c), e (5) é a definição de limite de uma função
de três variáveis. Em cada caso a definição de continuidade pode ser escrita como
lim f(x) ~f( a)
x ---•a
1. Suponha que lim(x,yJ-•O, n f(x, y) = 6. O que podemos dizer do
valor de /(3, l) E se a função f for contínua 15. lim
(x,y)~(O,O) - I
2. Explique por que cada função é contínua ou descontínua.
(a) A temperatura externa como função da latitude, longitude
e tempo.
(b) Elevação (altura acima do nível do mar) como função da
longitude, latitude e tempo.
(c) Custo da tarifa do táxi como função da distância percorrida
e tempo gasto.
13.
. 2x 2 y
x 2 sen 2 y
hm -,--.
14. lim
(x.y)---•(0,0) X + )'~ (x.y}---->(0,0) x 2 + 2y 1 17. lÍffi e··xygen(7Tz/2}
{.(5, -2)
(x,y)---->{ó, 3)
22. lim _-.-·--,
x'
x 1 + sen 1 y
{x,y)-•(0, 01 X~ + y
lim - -- 2 2
8. lim
(.:r, yJ ~.;.{0, OJ X + )' {x.y)---;.(0,0) 2x1 + y2
xy cos y
6x 3 y
9. lim
10, lim
( .-.y)---->{0, 0) 3x2 + y2 (x,y)--"10,0) 2x4 + )'4
g(t) ~ t' + jl, f(x,y) ~ lx + 3y- 6
lim 12. lim
jl- J
(x,y)-->(0,0)
{x,y)---->(0,0)
24. g(t) ~ jl + , 1
f(x, y) ~ x' - y
6 21-22 Utilize um gráfico feito por computador para explicar por
que o limite não existe.
23-24 c! Determine h(x, y) ~ g(f(x, y)) e o conjunto no qual h é
contínua.

James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAiS CJ 907
25~25 c Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua.
Em seguida utilize fómmlas para explicar o que você observou.
37

908 c CÁLCULO Editora Thomson
Se nos concentra.rmos na coluna assinalada da tabela que corresponde à umidade relativa
de H= 70%, consideraremos o índice de calor como função da única variável T para
um valor fixo de H. Vamos escrever g(T) ~ f(T, 70). Assim g(T) descreve como o índice
I de calor aumenta com a elevação da temperatura Tpara uma umidade relativa de 70%. A
derivada de g quando T = 96 °F é a taxa de variação de I com relação a T quando
T~ 96'F:
g'( ) ~ lim g(96 96
+ h) -
h->{) h
g(96)
~ lim "'-f-"(9-'6_+__:.h:_c, 7-"0'-) --"'-J-"-(9_:_6,'-'7-'-'-0)
11--·>0 h
Podemos aproximar seu valor usando a Tabela 1 tomando h = 2 e -2:
'(96) = g(98) - g(96) !(98, 70) - !(96, 70) 133 - 125
~4
g 2 2 2
g'(96) = g(94) - g(96) !(94, 70) - !(96, 70) 118 - 125
-2 -2 -2
~ 3,5
Tomando a média desses valores, podemos dizer que a derivada g'(96) é aproximadamente
3,75. Isso significa que, quando a temperatura real é de 96 °F e a umidade relativa é de
70%, o índice de calor aumenta a sensação de temperatura de 3,75 °F para cada grau que
a temperatura real aumenta!
Olhemos agora para a linha assinalada da Tabela I, que corresponde à temperatura fixa
de T ~ 96 'F. Os números da linha correspondem aos valores da função G(H) ~ f(96, H),
que descrevem como o índice de calor sobe com o aumento de umidade relativa H quando
a temperatura real é de T ~ 96 °F. A derivada dessa função quando H ~ 70% é a taxa de
variação de l com relação a H quando H ~ 70%:
. G(70 + h) - G(70)
G'70 ( ) ~ hm h
h~o
r J(96, 7o + h) - !(96, 70)
h~ h
Tomando h~ 5 e -5, aproximamos o valor de G'(70) usando os valores tabelados:
G'( 0) 7
= G(75) -
5
G(70)
f(96, 75) - !(96, 70)
5
130- 125
5
G'( 0) = G(65) - G(70)
7
-5
f(96, 65) - !(96, 70)
-5
121 - 125 ~o 8
-5 ,
Tomando a média desses valores obtemos uma estimativa para G'(70) = 0,9. Isso nos diz
que, quando a temperatura é de 96 'F e a umidade relativa é de 70%, o índice de calor
aumenta em cerca de O, 9 °F para cada ponto porcentual que a umidade relativa aumenta.
Em geral, se f é uma função de duas variáveis x e y, suponha que deixemos somente x
variar enquanto mantemos fixo o valor de y; por exemplo, fazendo y = b, onde b é uma
constante. Estaremos então considerando, realmente, uma função de uma única variável x,
a saber, g(x) ~ f(x, b). Se g tem derivada em a, nós a chamaremos derivada parcial de f
em relação a x em (a, b) e a denotaremos por j;(a, b). Assim,
j;(a, b) ~ g'(a) onde g(x) ~ j(x, b)

James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAIS 909
Pela definição de derivada, temos
'( )
g a =
11m
. g(a + h) - g(a)
h·-·0 h
e assim a Equação 1 fica
f,( a, b) ~ lim f( a+ h, b) -f( a, b)
h_,.O h
Da mesma forma, a derivada parcial de f em relação a y em (a, b ), denotada por f,(a, b ).
é obtida mantendo-se x fixo (x = a) e determinando-se a derivada ordinária em h da
função G(y) ~ f(a, y):
'(. b) ~ . f( a, b +h) -f( a, h)
Jy a, 1 1m
h_,.O h
Com essa notação para as derivadas parciais, podemos escrever as razões de variação
do índice de calor I com relação à temperatura real T e umidade relativa H quando
T ~ 96 'F e H ~ 70% como se segue:
/T(96, 70) = 3,75 fu(96, 70) = 0,9
Se agora deixamos o ponto (a, b) variar nas Equações 2 e 3, j; e f, se tomam funções
de duas variáveis.
Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções
j; e ;; definidas por
_ . f(x + h,y)- f(x,y)
j;x,y-hm
( ) h
HO
,. ( •) ~ r f(x, y + h) - f(x, y)
)y x,) h~ h
Existem diversas notações alternativas para as derivadas parciais. Por exemplo, em vez
de fx, podemos escrever /1 ou Dd (para indicar a diferenciação em relação à primeira variável)
ou of/ox. Mas afjax não pode ser interpretada corno a razão dos diferenciais.
rl

910 o CÂlCUlO Editora Thomson
Para calcular as derivadas parciais, tudo o que temos a fazer é nos lembrarmos de que
da Equação 1 a derivada parcial com relação a x é a derivada ordinária da função g de uma
única variável obtida, mantendo-se fixo o valor de y. Então~ temos a seguinte regra.
fHlTR Determinar a O®rivada PmcJa! d~:: = fCL
1. Para achar f,, olhe y como uma constante e diferencie j(x, y) com relação a x.
Para achar f.,, olhe x como uma constante e diferencie f(x, y) com relação a y.
Se f(x, y) ~ x 1 + x\ 1 - 2y 2 , determine fc(2, 1) e J;(2, 1),
SOLUÇÃO Mantendo ~v constante e diferenciando em relação a x, obtemos
j;(x, y) ~ 3x 2 + 2xy 3
e assim j;(2, 1) ~ 3 , 2' + 2 ' 2, 1 J ~ 16
Mantendo x constante e diferenciando em relação a y, obtemos
J;(x, y) ~ 3x 2 y 2 - 4y
J;(2, 1) ~ 3 • 2' • 1 J 4 . 1 ~ 8
Interpretação das Derivadas Parciais
X
(a, b, 0)
FIGURA 1
As derivadas parciais de f em (a, h) são
as inclinações das retas tangentes
C, e C,
Para dar uma interpretação geométrica para as derivadas parciais, lembremo-nos de que a
equação z ~ f(x, y) representa a superfícieS (o gráfico de f), Se f(a, b) ~ c, então o ponto
P(a, b, c) pertence a S. Fixando y = b, restringimos nossa atenção à curva C 1 na qual o
plano vertical y = b intercepta S. (Ou seja, C, é o traço de S no plano y = b.) Da mesma
forma, o plano vertical X= a interceptas na curva Cz. As curvas cl e c2 passam pelo
ponto P (veja a Figura l),
Note que a curva C 1 é o gráfico da função g(x) = f(x, b), de modo que a inclinação da
tangente T 1 em Pé g'(a) = j;(a, b). A curva C, é o gráfico da função G(y) = f(a, y), de
modo que a inclinação da tangente T, em Pé G'(b) = J;(a, b),
Então, as derivadas parciais j;(a, b) e J;(a, b) podem ser interpretadas geometricamente
como as inclinações das retas tangentes em P(a, b. c) aos traços C1 e C2 de S nos planos
y = b ex= a.
Como vimos no caso da função índice de calor, as derivadas parciais podem ser interpretadas
como taxas de variação. Se z ~ f(x, y), então oz/ax representa a taxa de variação
dez com relação ax quando y é mantido fixo. Da mesma forma, azjay representa a taxa
de variação de z em relação a y quando x é mantido fixo.
EXEMPUJ 2 c:1 Se f(x, y) ~ 4- x 2 - 2y 2 , ache f,( I, 1) e fr(l, I) e interprete esses
números como inclinações.
SOLUÇÃO Ternos
fAx,y) = -2x
,t;(l, 1) = -2
J;(x, y) ~ -4y
J;(1, 1) = -4
O gráfico de f é o parabolóide z = 4 - x 2 - 2y 2 , e o plano vertical y ~ 1 intercepta-o
na parábola z = 2 - x 2 , y = 1. (Como na discussão precedente, indicamos por cl na
Figura 2.) A inclinação da reta tangente à parábola no ponto(!, I, 1) é f,(l, 1) = -2.

T
I
Da mesma fonna, a curva C 2 na qual o plano x =
James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAIS lJ 911
1 intercepta o parabolóide é a parábola
z = 3 - 2y 2 , x = l, e a inclinação da reta tangente em (l, l, 1) é j,(l, 1) = -4. (Veja a
Figura 3.)
z=4~x"~2y"
FIGURA 2 FIGURA 3
X
A Figura 4 nos mostra o gráfico desenhado pelo computador correspondente à Figura 2.
A Parte (a) exibe o plano y = 1 interceptando a superfície para formar a curva C, e a Parte
(b) mostra C, e T 1 • [Usamos a equação vetorial r(t) = (1, I, 2- t 2 ) para c, e
r(t) = O + t, I, I - 2t) para T,.] Do mesmo modo, a Figura 5 corresponde à Figura 3.
4-
3
z 2
o o
o
X
(a)
(b)
FIGURA 4
FIGURA 5

912 CÁLCULO Editora Thomson
Se f(x, y) ~ sen(-x_· -).calcule a( e of.
. 1 + y Jx ay
SOLUÇÃO Usando a Regra da Cadeia para a função de uma variável, temos
Jj ( X ) J ( X ) ( X ) 1
ax ~ cos I+Y , ax
1 + y ~ cos l+Y , I+Y
i!f (x)J(x) (x) x
ay ~ cos I+Y , ay l + y ~ -cos .l+Y , (I + y)'
Alguns S!Stemas algébricos
computacionaiS podem plotar
superfícieS definidas por equações
implícitas com três variáveis. A Figura 6
mostra o desenho da superfície definida
implicitamente, dada no Exemplo 4.
Determine dzjax e azjay se z é definido implicitamente como uma
função de x e y pela equação
SOLUÇÃO Para achar azj ax, derivamos implicitamente em relação a x, tomando o
cuidado de tratar y como constante:
) ') az az
ax . ax
3r + 3r -
+ 6n + 6xy- = O
Resolvendo essa equação em relação a az/ax, obtemos
FIGURA 6
az x 2 + 2yz
ax z 2 + 2xy
Da mesma fonna, derivando implicitamente em relação a y temos
az
ay
+ 2xz
+ 2xy
Função de Mais do Que Duas Variáveis
Derivadas parciais podem ser definidas para funções de três ou mais variáveis. Por exemplo,
se f é uma função de três variáveis x, y e z, então sua derivada parcial em relação a x
é definida como
F ( ·) _ . f(x + h, y, z) - f(x, y, z)
Jx x,y, L. - 1 lm
h--'>0
h
e pode ser encontrada, olhando-se y e z como constantes e diferenciando-se f(x, y, z) com
relação a x. Se w ~ j(x, y, z), então h~ awjax pode ser interpretada como a taxa devariação
de w em relação a x quando y e z são mantidos fixos. Entretanto, não podemos interpretar
geometricamente, porque o gráfico de f pertence ao espaço de dimensão quatro.
Em geral, seu é uma função de n variáveis, u = j(x1, x,, ... , x,), sua derivada parcial
em relação à i-ésima variável X; é

- ~
James Stewart CAPÍTUlO 14 DERIVADAS PARCIA!S 913
e podemos escrever
iiu
af
-" ~-~J,c ~J,=D,f
dX; ax; '
tXE~;il1Lü C - Determine J_~, J;., e f: se f(x, y, z) = exy In z.
SOLUÇÃO Mantendo constantes y e z e diferenciando em relação a x, ternos
Da mesma forma, J;. = xex"lnz e J>- z
ex'
Derivadas de Maior Ordem
Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais j~ e h- são funções de duas variáveis,
de modo que podemos considerar novamente suas derivadas parciais (!J, (f,)"
(f,), e (f,),, chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f Se z = f(x, y), usamos
a seguinte notação:
( ar) a'f a'z
o a
(f,),~ f=~ J" =-a -;- ~-:;--; ~
(/,), =f,, =h ~ -0
X uX vxa
( Jf) a'j a'z
--= --
iiy ax ay ax ay ax
a ( Jf) a'j a'z
(f,),=f,,=fn ~- - =--~--
" ax ay ax ay ax ay
Portanto a notação /,c, (ou a'fi ay Jx) significa que primeiro derivamos com relação a x e
depois em relação a y, ao passo que no cálculo de fyx a ordem é invertida.
EXEMPlO 6 s Determine as derivadas parciais de segunda ordem de
SOLUÇÃO No Exemplo I achamos que
f(x, y) ~ x 3 + x 2 y 3 - 2y 2
fAx, y) = 3x 2 + 2xy'
f,(x, y) = 3x 2 y' - 4y
Logo,
a ( ' , J
f==- 3x + 2xy-') = 6x + 2y
ax
a ( , , ,
f,, = ax 3x-y- - 4y) = 6xy'
f,, =
a , 2
ay (3x- + 2xr) = 6xy
f,, = _____ (3x 2 y 2 - 4y) = 6x 2 y - 4
iiy

914 u CÁlCULO Editora Thomson
:J A Figura 7 mostra o gráfico da
função I do Exemplo 6 e os gráficos de
suas derivadas parciais de primeira e
segunda ordens para -2 ~ x $:: 2,
-2 ~ r ,; 2_ Note que esses gráficos
sao consistentes com nossa Interpretação
de f, e I como inc!inaçao da reta
tangente aos traços do gráfico de f
Por exemplo: o gráfico de f decresce
se iniciamos em (O, - 2) e nos movemos
no sentido de x positivo. Isso é
refletido nos valores negativos de f.
Devemos comparar os gráficos de f,., e
f,,, com f. para ver as relaçóes.
20
z o
-20
-40
f
40
2 2
4otf------__-
20
z
-20
-40
o 2 2
y
FIGURA 7
Note que fxy = hx no Exemplo 6. Isso não é só uma coincidência. As derivadas parciais
mistas fxy e hx são iguais para a maioria das funções que encontramos na prática. O próximo
teorema, do matemático francês Alexis Clairaut (!713-1765), fornece condições sob
as quais podemos afirmar que j;, = /,'"" A prova é feita no Apêndice F.
c Alexis Clairaut foi uma criança
prodígio na matemática: aos 10 anos
leu o texto de cá!culo de L'Hôspital, e
aos 13 apresentou um artigo sobre
geometria na Academia Francesa de
Ciências. Aos 18 anos Clairaut publicou
Recherches sur !es courbes à douóle
courbure. o primeiro tratado
sistemático em geometria analítica
tridimensional, em que incluiu o cálculo
de curvas espaciais
Teorema da Clairaul Suponha que f seja definida em uma bola aberta D que contenha
o ponto (a, b). Se as funções J;, e J;x forem ambas contínuas em D, então
j;,(a, b) = J;Aa, b)
As derivadas parciais de ordem 3 ou maior também podem ser definidas. Por exemplo,
- - _i!_ ( a'f ) - a'f
"'-(,.).- -
t,. J;,' Jy ayax ay 2 Jx

T
!
James Stewart CAPÍTUlO 14 DERIVADAS PARCIAIS U 915
e usando o Teorema de Clairaut podemos mostrar que fxrY = jy"'Y = fn" se essas funçúcs
forem contínuas.
EXEMPlO 7 - Calcule fu, se J(x, y, z) = sen(3x + yz).
SOLUÇÃO
j; = 3 cos(3x + yz)
/u = -9 sen(3x + yz)
fu, = -9z cos(3x + yz)
.fu,, =
-9 cos(3x + yz) + 9yz sen(3x + yz)
Equações Diferenciais Parciais
As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem algumas
leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial
é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827). As
soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no
estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico.
EXEMPLO 8 c Mostre que a função u(x, y) = e' seny é solução da equação de Laplace.
SOLUÇÃO
Uy = CxCOS)'
u= =ex seny
U:u + Uyy = Cx seny - Cx seny = Ü
Portanto, u satisfaz a equação de Laplace.
A equação da onda
~
f

916 o CÁLCULO Editora Thomson
A Função de Produção de Cobb-Douglas
No Exemplo 3 da Seção 14.1 descrevemos o trabalho de Cobb e Douglas para modelar a produção
total P de um sistema econômico como função da quantidade de trabalho L e do capital
investido K. Usaremos agora as derivadas parciais para mostrar como a forma particular
de modelo que eles tomaram segue de certas hipóteses que eles fizeram sobre economia.
Se a função de produção é denotada por P ~ P(L, K), a derivada parcial aPíaL é a taxa
de variação da produção em relação à quantidade de trabalho. Os economistas chamam
isso de produção marginal em relação ao trabalho, ou produtividade marginal do trabalho.
Da mesma forma, a derivada parcial aPjaK é a taxa de variação da produção em relação
ao capital investido, e é denominada produtividade marginal do capital. Nesses termos, as
hipóteses feitas por Cobb e Douglas podem ser estabelecidas da seguinte forma:
(i) Se ou o trabalho ou o capital desaparecem, o mesmo acontece com a produção.
(ii) A produtividade marginal do trabalho é proporcional à quantidade de produção
por unidade de trabalho.
(iii) A produtividade marginal do capital é proporcional à quantidade de produção
por unidade de capital.
Como a produção por unidade de trabalho é P/L, a hipótese (ii) diz
aP P
-=aaL
L
para alguma constante a. Se mantivermos K constante (K = K 0 ), então essa equação diferencial
parcial se transforma na equação diferencial ordinária:
dP P
-=adL
L
Se resolvermos essa equação diferencial separável pelos métodos da Seção 9.3 (veja também
o Exercício 75), obteremos
Note que escrevemos a constante C1 como função de Ko porque ela pode depender do valor
de Ko.
Igualmente, a hipótese (iii) diz que
e podemos resolver essa equação diferencial obtendo
P(Lo, K) ~ C 2 (L 0 )KP
Comparando as Equações 6 e 7, temos
P(L, K) ~ bL "KP

James Stewart CAPÍTUlO 14 DER!VADAS PARCIAIS 917
onde b é uma constante independente de L e de K. A hipótese (i) mostra que a > O e fJ > O.
Note da Equação 8 que, se o trabalho e o capital- são ambos aumentados por um fator
m, temos
Se a + f3 = 1, então P(mL, rnK) = mP(L, K), o que significa que a produção também é
aumentada pelo fator m. Essa é a razão pela qual Cobb e Douglas supuseram que
a + fJ = 1 e portanto
P(L, K) = bL"K 1 "
Essa é a função de produção discutida na Seção 14.1.
Exercícios
1. A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte
depende da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo
que podemos escrever T = f(x, y, t). Vamos medir o tempo em
horas do princípio de janeiro.
(a) Qual é o significado das derivadas parciais aTjax, dT/dy e
aT(at
(b) Honolulu tem longitude de 158 OW e latitude de 21 °N.
Suponha que às 9 horas em 1 º de janeiro esteja ventando
do noroeste uma brisa quente, de forma que a oeste e a sul
o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você
esperaria .fAI58, 21, 9), .f,(! 58, 21, 9) e };(!58, 21, 9)
serem positivos ou negativos Explique.
2. No começo desta seção discutimos a função I = f(T, H), onde
I era o índice de calor; T, a temperatura; e H, a umidade relativa.
Utilize a Tabela I para estimar .fr(92, 60) e fH(92, 60).
Quais são as interpretações práticas desses valores
3. O índice sensação térmica W é a temperatura que se sente
quando a temperatura real for T e a rapidez do vento, v,
portanto podemos escrever W = f(T, v). A Tabela de valores a
seguir foi extraída da Tabela I da Seção 14.L
(b) Em geral, o que se pode dizer sobre o sinal de a W J a T
caw;av
(c) Qual parece ser o valor do seguinte limite
JW
lim­
"--" av
4. A altura h das ondas em mar aberto depende da velocidade v
do vento e do tempo t durante o qual o vento se manteve
naquela intensidade. Os valores da função h =f( v, t) são
apresentados em pés na tabela.
>.z
5 I
Duração (horas)
lO 15 20 30 40 50
lO 2 2 I 2 1 2 2 2 i 2
-
15 4 4 5 5 5 5 5
1
1
20 5 I 7
I
8 8 9 9 9
1
30 9 13 I
1 16 17 !8 19 19
;--
40 14 21 25 I 28 31 33 1 33
50 19 29 36 40 45 48 50
60 24 37 47 54
I
1 62 67
I i
69
(a) Qual o significado das derivadas parciais ahjav
e Jh/Jt
(b) Estime os valores de fJ40, 15) e }:(40 1
!5). Quais são as
interpretações práticas desses valores
(c) Qual parece ser o valor do seguinte limite
(a) Estime os valores defr(-!5, 30) efe(-15, 30). Quais são
as interpretações práticas desses valores
. ah
hm~
!-~>x at

918 o CÁlCUlO Editora Thomson
5-6 o Determine os sinais das derivadas parciais da função f cujo
gráfico está mostrado.
9. Se f(x, y) ~ 16- 4x'- v 2 , determine M1, 2) c /,(1, 2) e
interprete esses números como inclinações. Ilustre ou com um
esboço à mão ou utilizando o computador.
10. Sef(x,y)~J4 x' 4y 2 ,determinej;(1,0)ef,(l,O)e
interprete esses números como inclinações. Ilustre ou com um
esboço à mão ou utilizando o computador.
~~ 11-12 o Determine fx e h· e faça o gráfico de f, fx e J;. com
donúnios e pontos de vista que pennitam ver a relação entre eles.
1

T
47-52
,-~
Determine as derivadas parciais de segunda ordem.
47, f(x,y) ~x' ~ 48, f(x, y) ~ ln(3x + Sy)
49, z~x/(x + y) 50. z = ytg2x
51. u = e·-s sent 52. v=yx+y 2
53-56 c Verifique se as conclusões do Teorema de Clairaut são
verdadeiras, isto é, se u,r = Uyx·
53. u = xsen(x + 2y)
55. u =In Jx 2 + yz
54 u = x 4 y 2 - 2xy 5
56 u = xyeY
57-64 o Determine as derivadas parciais indicadas.
57. f(x, y) ~ 3xy' + x 3 y 2 ; f,,, f,
58. f(x, t) ~ x'e "; .fc", .fc.,
59. f(x, y, z) ~ cos(4x + 3y + 2z); f." /,"
60. f(r, s, t) ~ rln(rs 2 t 3 );
X
63. w~ y+2z;
a'u
àz ày ax
a'u
~ Use a tabela de valores de j(x, y) para estimar os valores de
,1;(3, 2), f(3, 2.2) e f,,(3, 2).
'>z
1,8 2,0 2,2
2,5 12,5 !0,2 9,3
3,0 18,1 !7.5 15,9
3,5 20.0
I
22,4 26.1
66. São mostradas as curvas de nível de uma função f Determine
se as seguintes derivadas parciais são positivas ou negativas no
ponto P.
(a) f,
(d) f,,
(b) /,
(e) ;;,
(c) /u
James Stewart CAPÍTUlO 14 DERIVADAS PARCIAIS O 919
67. Verifique se a função u = e-a"k"rsenh é solução da equação
de condução do calor u, = c/u-"-'.
68. Determine se cada uma das seguintes funções é solução da
equação de Laplace U:a: + Uyy = O.
(a) u = x 1 + y 1
(b) u ~ x 2 - y 2
(c) u = x 3 + 3xy 2
(d) u ~ ln.jx 2 + y 2
(e) u = senxcoshy + cosxsenhy
(f) u=e~xcosy-e-ycosx
69. Verifique se a função u = 1/ y x 1 + y 2 + z 2 é a solução da
equação de Laplace tridimensional Uxx + Uyy .+ U:; = O.
70. Mostre que cada uma das seguintes funções é a solução da
equação da onda U11 = a 2 uxx.
(a) u ~.sen(kx)sen(akt)
(b) u ~ t/(a 2 t 2 - x 2 )
(c) u ~ (x - at) 6 + (x + at)'
(d) u ~sen(x- at) + 1n(x + at)
71. Se f e g são funções duas vezes diferenciáveis de uma única
variável, mostre que a função
u(x, 1) ~ f(x + at) + g(x - at)
é solução da equação de onda dada no Exercício 70.
mostre que
iJ 2 u iJ 2 u a 1 u
-.-,+--2+···+-- 2 =u
ax! axz axn
73. Mostre que a função z = xe'' + yex é uma solução da equação
iJ 3 z a-'z iJ 3 z iJ 3 z
iJX 3 + iJy 3 =X iJx iJy 2 + y iJy
74. Mostre que a função produção de Cobb-Douglas P ~ bUK'
satisfaz a equação
aP aP
L aL + K aK ~ (a + f3)P
75. Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz
P(L, Ko) = CJ(Ko)L"' resolvendo a equação diferencial
dP P
-=adL
L
(Veja a Equação 5.)
76. A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa plana de metal
é dada por T(x, y) ~ 60/(1 + x' + y 2 ), onde T é medido em
°C ex, y em metros. Determine a taxa de variação da
temperatura com relação à distância no ponto (2, I) em (a)
a direção do eixo x e (b) a direção do eixo y.
A resistência total R produzida por três condutores com
resistência R1, R2 e R1 conectados em paralelo em um circuito
elétrico é dada pela fórmula
1 1 l 1
-~-+-+­
R Rt R 2 R]
Determine àR/àR,.

920 o CÁlCULO Editora Thomson
78. A lei dos gases para uma ma

T
'
James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAIS U 921
diferenciável de duas variáveis, a superfície parece mais e mais com um plano (seu plano
tangente) e podemos aproximar a função, nas proximidades do ponto, por uma função linear
de duas variáveis. Estenderemos também a idéia de diferenciais para as funções de
duas ou mais variáveis.
Planos Tangentes
FIGURA 1
O plano tangente contém as
retas tangentes Tl e T2
Suponha que a superfície S tenha equação z = f(x, y ), onde f tem derivadas parciais de
primeira ordem contínuas, e seja P(xo, yo, zo) um ponto em S. Como na seção anterior,
sejam cl e c2 curvas obtidas pela interseção de s com os planos verticais y = Yo e X
O ponto P pertence à interseção de C1 com Cz. Sejam T 1 e T 2 as retas tangentes às curvas
C 1 e C 2 no ponto P. Então, o plano tangente à superfícieS no ponto Pé definido como o
plano que contém as duas retas tangentes Ti e Tz. (Veja a Figura 1.)
Veremos na Seção 14.6 que, se C é outra curva qualquer que esteja contida na superfície
S e que passe pelo ponto P, então sua reta tangente no ponto P também pertence ao
plano tangente. Portanto podemos pensar no plano tangente a S em P como o plano que
contém todas as retas tangentes a curvas contidas em S que passam pelo ponto P. O plano
tangente em Pé o plano que mais se aproxima da superfícieS perto do ponto P.
Sabemos da Equação 12.5.7 que qualquer plano passando pelo ponto P(x 0 , y 0 , zo) tem
equação da forma
A(x - xo) + B(y - Yo) + C(z - zo) =O
Dividindo essa equação por C e tomando a= -A/C e h= -B/C, podemos escrevê-la
como
z - zo = a(x - xo) + b(y - Yo)
Xo.
Se a Equação l representa o plano tangente em P, sua interseção com o plano y = y 0 precisa
ser a reta T1. Impondo y =}'o na Equação 1, obtemos
- Note a semelhança entre a equaçáo
do plano tangente e a equação da reta
tangente
y -)'o= f'(xo)(x- Xo)
z - zo = a(x - xo) Y = Yo
que reconhecemos como a equação da reta (na forma de ponto, inclinação) com inclinação
a. Mas da Seção 14,3 sabemos que a inclinação de T, é fAxo, Yo). Assim, a= j;(xo, yo).
Da mesma forma, tomando x = xo na Equação 1, obtemos z - zo = b(y - Yo), que
precisa representar a reta tangente T, e portanto b = j,(x 0 , y 0
J
).
, 1Ii Suponha que f tenha denvadas parciais contínuas. Uma equação do plano I
tangente à superfície z = f(x, y) no ponto P(xo, yo, zo) é dada por
1
~~--~·~--- z - zo = fbo, Yo)(x- xo) + ~(xo~~)~v __ -:_!~~----~~-~
EXEMPlO í _ Determine o plano tangente ao parabolóide elíptico z = 2x 2 + y 2 no
ponto (1, I, 3).
SOLUÇÃO Seja f(x, y) = 2x 2 + y 2 Então
j;(x, y) = 4x
f,( I, l) = 4
jy(x,y) = 2y
f,(!, 1) = 2
Portanto, por (2), temos a equação do plano tangente em (1, 1, 3)
z- 3 = 4(x- 1) + 2(y - 1)
ou z = 4x + 2y- 3

922 O CÁLCUlO Editora Thomson
A Figura 2(a) mostra o parabolóide elíptico e seu plano tangente em (l, !, 3) que encontramos
no Exemplo I. Na parte (b) e (c) fazemos uma ampliação da região em torno do
ponto (1, l, 3) diminuindo a janela de inspeção da função f(x, y) = 2x 2 + y 2 Note que,
quanto mais ampliamos a região próxima ao ponto, mais plano parece o gráfico da superfície
se confundindo com o plano tangente.
z
4 4
2 2
(a)
FIGURA 2 O parabolóide elíptico z = 2x 1 +i parece coincidir com o plano tangente quando ampliamos a região próxima de (l, 1, 3).
1,5
(b)
Na Figura 3 reforçamos essa impressão fazendo uma ampliação das curvas de contorno
da função f(x, y) = 2x 2 + y 2 próximas ao ponto (I, 1). Observe que, quanto mais ampliamos,
mais as curvas de nível parecem retas igualmente espaçadas, o que caracteriza uma
região plana.
(c)
FIGURA 3
Ampliando perto do ponto
(1, l) no diagrama de
contorno de f (x, y) = 2x' + f
1.5
Aproximação Linear
No Exemplo I achamos que a equação do plano tangente ao gráfico da função
f(x, y) = 2x 2 + y 2 no ponto (l, I, 3) é z = 4x + 2y - 3. Portanto, em vista da evidência
visual nas Figuras 2 e 3, a função linear de duas variáveis
L(x, y) = 4x + 2y - 3
é uma boa aproximação de f(x, y) quando (x, y) está próximo de (I, 1). A função L é
chamada linearização de f em (1, 1), e a aproximação
f(x, y) = 4x + 2y - 3
é denominada aproximação linear ou aproximação pelo plano tangente de f em (1, 1).
Por exemplo, no ponto (1,1; 0,95), a aproximação linear fornece
j(l,J; 0,95) = 4(1,1) + 2(0,95)- 3 = 3,3

James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAIS C 923
que está bastante próximo do valor verdadeiro de f(l, I, O, 95) = 2( l, !) 2 + (0, 95) 2 = 3,3225.
Se entretanto tomarmos um ponto longe de (1, 1), corno (2, 3), não teremos mais uma boa
aproximação. De fato, L(2, 3) = 11 ao passo que /(2, 3) = 17.
Em geral sabemos de (2) que uma equação do plano tangente ao gráfico de uma função
que tem derivadas parciais contínuas f de duas variáveis em um ponto (a, b,f(a, b)) é
z =f( a, b) + f,(a, b)(x- a) +f,( a, b)(y- b)
A função linear cujo gráfico é esse plano tangente, a saber,
L(x, y) = f(a, b) + j;(a, b)(x -a) + fr(a, b)(y - b)
é denominada linearização de f em (a, b ), e a aproximação
f(x, y) = f(a, b) + j;(a, b)(x- a) + J,.(a, b)(y - b)
é chamada aproximação linear ou aproximação pelo plano tangente de f em (a, b).
Temos definido o plano tangente para as superfícies z = f(x, y), onde f tem derivadas
parciais de primeira ordem contínuas. O que acontece se fx e f.. não são contínuas A
Figura 4 apresenta uma tal função. Sua equação é
FIGURA 4
j(x, v)=~ se
· r+i
(x, y) * (0, 0),
f(O, O)= O
o Esta é a Equação 3.5.7.
xy
• ' 2
f(x, y) ~ ;- + y-
{
se (x, y) "'" (0, O)
se (x, y) = (0, O)
Podemos verificar (veja o Exercício 42) que suas derivadas parciais existem na origem e
são _t(O, O) = O e fr(O, O) = ~·mas _te h não são contínuas. A aproximação linear seria
f(x, y) = O, porém f(x, y) = 2 para todos os pontos da reta y = x. Portanto uma função de
duas variáveis pode se comportar muito mal, mesmo se suas derivadas parciais existirem.
Para evitar esse comportamento, introduzimos a idéia de função diferenciável de duas variáveis.
Lembremo-nos de que para uma função de uma variável, y = f(x), se x varia de a para
a + Áx, definimos o incremento de y como
6.y = f(a + 6.x) -f( a)
No Capítulo 3 do Volume I mostramos que, se f é diferenciável em a, então
6.y ~ j'(a) Ax + e Ax onde e --> O quando & --> O
Considere agora uma função de duas variáveis, z ~ f(x, y), e suponha que x varie de a
para a + Âx e y varie de b para b + A y. Então o incremento correspondente de z é
Az = f(a + 6.x, b + Ay) - f(a, b)
Portanto o incremento 6.z representa a variação de valor de f quando (x, y) varia de (a, b)
para (a + ux, b + Ay). Por analogia a (5) definimos a diferenciabilidade de uma função
de duas variáveis como se segue.
[I] llelinição Se z = f(x, y), então fé diferenciável em (a, b) se uz pode ser
expresso na forma
uz = t(a, b) ux + fr(a, b) Ày + e, Àx + e, Ay
onde e, e e,-> O quando (Ax, áy)-> (O, O).

924 o CÁlCUlO Editora Thomson
A Definição 7 diz que uma função diferenciável é aquela para a qual a aproximação linear
(4) é urna boa aproximação quando (x, y) está próximo de (a, b). Em outras palavras,
o plano tangente aproxima bem o gráfico de f perto do ponto de tangência.
Algumas vezes é difícil usar a Definição 7 diretamente para checar a diferenciabilidade
da função, mas o próximo teorema nos dá uma condição suficiente de forma conveniente
para verificar a diferenciabilidade.
- O Teorema 8 será provado no
Apênd1ce F
Teorema Se as derivadas parciais fr e fv existem perto do ponto (a, b) e são
contínuas em (a, b), então fé diferenciável em (a, b).
EXEMPlO 2 rJ Mostre que j(x, y) ~ xe'Y é diferenciável em (1, O) e detennine sua linearização
ali. Em seguida use a linearização para aproximar f(l,l, -0,1).
SOLUÇÃO As derivadas parciais são
L A Figura 5 mostra o gráfico da
função f e sua !inearização L no
Exemplo 2.
.W.o)~ l
j,(x, y) ~ x 2 e"
j,(l, O) = l
Ambas fx e h- são funções contínuas. Portanto, peJo Teorema 8, f é diferenciáveL A linearização
é dada por
L(x, y) ~ J(l, O) + .W. O)(x- I) +f,( I, O)(y - O)
~ I + l(x- l) + I · y ~ x + y
A aproximação linear correspondente é
XC'Y =X+ y
portanto
j(l, l, -0,1) = 1.1 -O .I ~ I
FIGURA 5
Compare esse valor com o valor real de J(l,l, -0,1) ~ l ,I e -o.ll = 0,98542.
EXEMPUJ3 o No início da Seção 14.3 discutimos o índice de calor (sensação de calor) l
como uma função da temperatura real Te da umidade relativa H e fornecemos a seguinte
tabela de valores do Serviço Nacional de Previsão do Tempo norte-americano.
Umidade relativa(%)
50 55 60 65 75 80 85 90
96 98 100 112 J 15 119
Temperatura
real
CF)
103 l 05 119 123 128
Detennine a aproximação linear para o índice de calor I ~ f(T. H) quando Testá próximo
de 96 op e H está próximo de 70%. Use essa estimativa do índice de calor quando
a temperatura estiver a 97 °F e a umidade relativa for 72%.

T
i
James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAiS U 925
SOLUÇÃO Lemos na tabela que f(96, 70) = 125. Na Seção 14.3 usamos os valores
tabelados para estimar fr(96, 70) = 1,75 e fn(96, 70) = 0,9 (veja páginas 907-908).
Assim a aproximação linear é
Em particular,
f(T, H) = /(96, 70) + fr(96, 70)(T- 96) + /H(96, 70)(H- 70)
= 125 + 3,75(T- 96) + 0,9(H - 70)
f(97, 72) = 125 + 3,75(1) + 0,9(2) = 130,55
Portanto, quando T = 97 oF e H= 72%, o índice de calor é
Diferenciais
/=131"F
Para uma função de uma única variável, y = f(x), definimos o diferencial dx como uma
variável independente; ou seja, dx pode valer qualquer número reaL O diferencial de y é
definido corno
dv = f'(x) dx
(Veja a Seção 3.11 no Volume L) A Figura 6 mostra as relações entre o incremento L1y e o
diferencial dy: .1y representa a variação de altura da curva y = f(x) e dy representa a variação
de altura da reta tangente quando x varia da quantidade dx = .1x.
FIGURA 6
a a + 6.x
reta tangente
y =J(a) + f'(a)(x-a)
X
Para uma função de duas variáveis, z = f(x, y ), definimos os diferenciais dx e dy como
variáveis independentes; ou seja, podem ter qualquer valor. Então o diferencial dz, também
chamado diferencial total, é definido por
dz = JAx,y) dx + fy(x,y) dy = -dx + -dy
ax ay
dZ
dZ
(Compare com a Equação 9.) Algumas vezes a notação df é usada no lugar de dz.
Se tomamos dx = Li.x = x - a e dy = Li.y = y - b na Equação 10, então a diferencial
dez é
dz =};(a, b)(x - a) +};(a, b)(y - b)
E assjm, com a notação de diferencial, a aproximação linear (4) pode ser escrita como
f(x, y) = f(a, b) + dz

926 o CÁLCULO Editora Thomson
A Figura 7 é a versão tridimensional da Figura 6 e mostra a interpretação geométrica do
diferencial.dz e do incremento ô.z: dz representa a variação na altura do plano tangente, ao
passo que h.z representa a variação da altura da superfície z = f(x, y) quando (x, y) varia
de (a, b) para (a + L\.x, b + L\.y),
(a+ .ó.x. b + .ó.y, j(a + Llx. b + .::ly))
~ .::lz
dz I
f(a, b)
X
(a, b, 0)
ôy = dy
plano tangente
FIGURA 7
z-f(a, h)=Jx

James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAIS c 927
SOLUÇÃO O volume V do cone com raio da base r e altura h é V~ Trr 2 h/3. Logo o
diferencial de V é
av av 2nrh 7rr 2
dV ~ -dr + -dh = --dr + -dh
ar ah 3 3
Como cada erro é de, no máximo, 0,1 em, temos I âr I ,;; 0,1, I âh I ,;; 0,1. Para achar o
erro máximo no volume, tomamos o maior erro nas medidas de r e de h. Portanto
tomamos dr = 0,1 e dh =O, 1 para r= 10, h= 25. Isso dá
dV = -
50017 10011"
- (0,1) = 207r
3 - (0,1) + - 3
Assim, o erro máximo cometido no cálculo do volume é de 207T cm 3 = 63 cm 3 •
Funções de Tr.ês ou Mais Variáveis
Aproximações lineares, diferenciabilidade e diferenciais podem ser definidos de uma
maneira análoga para as funções de mais do que duas variáveis. Uma função diferenciável
é definida por uma expressão semelhante àquela_ da Definição 7. Para essas funções a
aproximação linear é
f(x, y, z) = f(a, b, c) +f,( a, b, c)(x- a) +!,(a, b, c)(y- b) + J,(a, b, c)(z- c)
e a linearização L(x, y, z) é o lado direito dessa expressão.
Se w = f(x, y, z), então o incremento de w é
âw = f(x + âx, y + ây, z + llz) - f(x, y, z)
O diferencial dw é definido em termos dos diferenciais dx, dy e dz das variáveis independentes
por
aw
dw~-dx+
ax
aw
ay
aw
az
dy + -dz
EXEMPLO 6 o As dimensões de uma caixa retangular são medidas como 75 em, 60 em e
40 em, e cada medida feita com precisão de até 0,2 em. Use diferenciais para estimar o
maior valor possível do erro quando calculamos o volume da caixa usando essas medidas.
SOLUÇÃO Se as dimensões da caixa são x, y e z, seu volume é V= xyz e
av av av
dV= -dx + -dy + -dz ~ yzdx + xzdy + xydz
ax ay i!z
Foi-nos dado que I Ll.x I ,;; 0,2, I Ll.y I ,;; 0,2 e I âz I ,;; 0,2. Para determinar o maior erro
no volume, usamos dx = 0,2, dy ~ 0,2 e dz = 0,2 ex= 75, y = 60 e z = 40:
ó. V= dV = (60)(40)(0,2) + (75)(40)(0,2) + (75)(60)(0,2)
= 1980
Portanto, o erro de só 0,2 em nas medidas de cada dimensão pode nos levar a um erro da
ordem de 1.980 cm 3 no cálculo do volume! Isso pode parecer um erro muito grande, mas
de fato é um erro de 1% do volume da caixa.
O

928 C] CÁlCUlO Editora Thomson
Exercícios
1-6 CJ Determine uma equação do plano tangente à superfície no
ponto especificado.
1. z ~ 4x'- y' + 2y. (-I. 2, 4)
2. z ~ 9x' + y' + 6x- 3v + 5, (I, 2, 18)
3. z ~ ,!4- x'- 2y', (I, -1, 1)
4. z~ylnx, (1,4,0)
5. z ~ y cos(x - y), (2, 2, 2)
6. z = e'~-Y", (1, ~ l, 1)
H 7-8 ;-] Desenhe a superfície e o plano tngente no ponto dado.
(Escolha o tamanho da janela de inspeção e o ponto de vista de
modo a ver tanto a superfície quanto o plano tangente.) Em seguida
amplie até que a superfície e o plano tangente perto do ponto se
tornem indistinguíveis.
7. z ~ x' + xy + 3y 1 , (I, 1, 5)
8. z ~ arctg (xy'), (1, 1, 1T/4)
9-10 '--'Desenhe o gráfico de f e de seu plano tangente no ponto
dado. (Utilize um sistema algébrico computacional tanto para
computar as derivadas parciais quanto para traçar os gráficos da
função e de seu plano tangente.) Em seguida faça uma ampliação
até que a superfície e o plano tangente se tomem indistinguíveis.
9. f(x, y) ~ e.,,,,,,,;,(sen'x + cos'y), (2, 3,f(2, 3))
10. f(x,y) ~
.yl + 4x 2 + 4y 2
1 + x' + y' (1, !, 1)
11-16 o Explique por que a função é diferenciável no ponto dado.
Faça então a linearização L(x, y) da função no ponto.
J(x, y) ~ x../Y, (1, 4) 12. J(x, y) ~ x/y, (6, 3)
13. j(x,y) ~ e'cosxy, (O, O) 14. f(x,y) ~ )x +e'', (3,0)
15. f(x, y) ~ tg- 1 (x + 2y), (1, O)
16. f(x,y) ~sen(2x + 3y), (-3, 2)
17. Determine a aproximação linear da função
J(x, y) = )20 x2 7y 2 em (2, 1) e use-a para aproximar
=
J(l,95, 1,08).
18. Determine a aproximação linear da função
f(x, y) = ln(x- 3y) em (7, 2) e use-a para aproximar
f(6,9, 2,06). Ilustre traçando o gráfico da função e do plano
tangente.
Determine a aproximação linear da função
f(x, y, z) = .Jx1 + y 2 + z 2 em (3, 2, 6) e use-a para aproximar
)(3,02)' + (1,97)2 + (5,99)'.
20. A altura h de ondas em mar aberto depende da rapidez do vento v e
do tempo t dunmte o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os
valores da função h = j(v, t) são apresentados na seguinte tabela.
g~i~~v~'tl __
Duração (horas)
s-41 __ 1_o~j _I_s-+j__
z_o~[_3_o~_4_o-4 __ 5_o~
~ 20 5 .1. ~ I ~- ~l__ 9 +· 9
~ 30 9 I !1116 ~7 I 18 !9 19
.g r·-....... " .. ~·- -~·-.--~ -- ~ ; -- -r '------- --- .... ··-j---..
~ I 40 !4 i 2! I 25 I 28 :, ! .i.i
~ ur -~;~rmi ::_· i···-~~=r~~
i 11
·r
50
t I
69 i
---·
'
Use a tabela para determinar uma aproximação linear da
função altura da onda quando v está próximo de 40 nós e t está
próximo de 20 horas. Em seguida, estime a altura das ondas
quando está ventando por 24 horas a 43 nós.
21. Utilize a tabela do Exemplo 3 e determine a aproximação
linear do índice de calor quando a temperatura se aproxima de
94 oF e a umidade relativa do ar é de aproximadamente 80%.
Estime também o índice quando a tempera.tura é de 95 °F e a
umidade relativa, 78% .
22. O índice sensação ténnica W é a temperatura que se sente
quando a temperatura real for Te a rapidez do vento, v;
portanto podemos escrever W = f(T, v). A tabela de valores a
seguir foi extraída da Tabela 1 da Seção 14.1.
'rz
---40:so-6o '
[_70 !
Velocidade do vento (km/h)
-
20 30
-10 -18 . -20 i -
I
11 ~ 2lj -22 -23 :~
e 15 , 24 26 27 I -29 -30 1 ·30 I
J_-=;o-! - )
- - -
-30! -33 -~~L-3sj -361-371
F' r -25 37! -39 -41 I -42 I -43 i 44 i
L __::_.L_ -~~J -~·-~~-L. ~~~-~--- > -·-·-j
Use essa tabela para determinar a aproximação linear da função
sensação térmica quando T estiver a -15°C e v estiver próximo de 50
kmlh. Estime também quando a temperatura estiver a -] 7oC e a rapidez
do vento for de 55 kmlh.

James Stewart CAPÍTULO 14 DERiVADAS PARCIAIS c 929
2.3~23 c Detenníne o díferencial da função.
23. z = x 3 ln(y 2 ) 24. v = y cos xy
25. u = e 1 sene 26. u ~ r/(s + 2t)
27. w = 1nJx 2 + y 2 + z 2 28. w = xyex'
:zg_.
Se z = Sx 1 + y 2 e (x, y) varia de (1, 2) a (l ,05; 2, 1), compare
os valores de Llz e dz.
30. Se z ~ x 2 - xy + 3y 2 e (x, y) varia de (3, -1) a (2,96, -0.95),
compare os valores de Llz e dz.
31. O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos
como 30 em e 24 em, respectivamente, com um erro de medida
de, no máximo, O, 1 em. Utilize os diferenciais para estimar o
erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo.
32. As dimensões de uma caixa fechada retangular foram medidas
como 80 em, 60 em e 50 em, respectivamente, com erro
máximo de 0,2 em em cada dimensão. Utilize os díferenciaís para
estimar o máximo erro no cálculo da área da superfície da caixa.
33. Utilize os diferenciais para estimar a quantidade de estanho em
uma lata cilíndrica fechada com 8 em de diâmetro e 12 em de
altura se a espessura da folha de estanho for de 0,04 em.
34. Use o diferencial para estimar a quantidade de metal em uma
lata cilíndrica fechada de 10 em de altura e 4 em de diâmetro
se o metal das tampas de cima e de baixo possui O, l em de
espessura e o das laterais tem espessura de 0,05 em.
35. Uma faíxa de 3 polegadas de largura é pintada ao redor de um
retângulo de dimensões l 00 pés por 200 pés. Utilize os diferenciaís
para aproximar a área em pés quadrados pintada na faixa.
36. A pressão, o volume e a temperatura de um moi de um gás
ideal estão relacionados pela equação PV = 8,31 T, onde Pé
medida em quilopascals, V em litros e T em kel vins. Utilize os
diferenciais para determinar a variação aproximada da pressão
se o volume aumenta de 12 L para 12,3 L e a temperatura
diminui de 31 O K para 305 K
37. Se R é a resistência equivalente de três resistências conectadas
em paralelo, com valores R 1 , R 2 e R 3 , então
1 1 1 1
-~-+-+­
R R1 Rz R3
Se as resistências medem em ohms R 1 = 25 !1, R:. = 40 !1 c
R 3 = 50 f!, com precisão de 0,5% em cada uma, estime o erro
máximo no cálculo da resistência equivalente de R.
38. Quatro números positivos, cada um menor que 50, são
arredondados até a primeira casa decimal e depois
multiplicados. Utilize os diferenciais para estimar o máximo
erro possível no cálculo do produto que pode resultar do
arredondamento.
39-40 :-.::; Mostre que a função é diferenciável achando valores 101 e
e 2 que satisfaçam a Definição 7.
!ll!f, f(x, y) ~ x 2 + )' 2 40. f(x, y) ~ xy - 5y 2
Mf1%
Prove que, se f é uma função de duas variáveis diferenciável
em (a, b), então fé contínua em (a, b). Dica: Mostre que
42. (a) A função
lim /(a + il.x, b + i\. v)~ f(a, b)
LI:u. i'ly; --->tO. O) -
xy
f(x,y) ~ ;' + y'
{
se (x, y) # (0, O)
se (x, y) ~ (O, O)
corresponde ao gráfico da figura 4.
Mostre que j'x(O, O) e f_,( O, O) existem, mas f não é diferenciável
em (0, 0). [Dica: Utilize o resultado do Exercício 41.]
(b) Explique por que fx e jy não são contínuas em (O, O).
Regra da Cadeia
Lembremo-nos de que a Regra da Cadeia para uma função de uma única variável nos dava
uma regra para diferenciar uma função composta: se y = f(x) e x = g(t), onde f e g são
funções diferenciáveis, então y é indiretamente uma função diferenciável de te
dy
dt
dy dx
dx dt
Para as funções de mais do que uma variável, a Regra da Cadeia tem muitas versões,
cada uma delas fornecendo urna regra de diferenciação de uma função composta. A
primeira versão (Teorema 2) diz respeito ao caso onde z = f(x, y) e cada uma das variáveis
x e y é, por sua vez, função de uma variável t. Isso significa que z é indiretamente uma
função de t, z = f(g(t), h(t)), e a Regra da Cadeia dá uma fórmula para diferenciar z
em função de t. Estamos admitindo que f seja diferenciável (Definição 14.4. 7). Lembremonos
de que este é o caso quando h e f,, são contínuas (Teorema 14.4.8).

930 O CÁlCUlO Editora Tbomson
IIJ Regra da Cadeia (Caso 11 Suponha que z = f(x, y) seja uma função
diferenciável de x e y, onde x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis de t,
Então z é uma função diferenciável de t e
dz Jf dx Jf dy
-=--+--
dt ax dt ay dt
Prova Uma variação de D.t em t produz uma variação de ó..x em x e D.y em y. fsso, por
sua vez, produz uma variação de D.z em z, e da Definição 14.4.7 temos
Jf Jf
L'.z = -L'.x + -L'.v + e,Âx + e,L'.y
ax ay '
onde s,-> O e s,-" O quando (L'.x, L'.y)-" (O, O). [Se as funções s 1 e e 2 não forem
definidas em (0, 0), poderemos defini-las como O lá.] Dividindo ambos os lados da
equação por ilt, temos
Âz Jf L'.x Jf Ây Âx L'.y
-=--+--+e 1 -+e 2 -
Llt ax L'.t ay M M L'.t
Se fizermos L'.t-" O, então Âx = g(t + L'.t) - g(t)-" O porque g é diferenciável e
portanto contínua. Da mesma forma, D.y -7 O. Por outro lado, isso implica que e 1 -O e
e2 .........:;. O, de modo que
dz Âz
-= limdt
~/-->0 ilt
Jf . L'.x Jf . Ây
1 . . Âx Ây
= - hm - + - hm - + nn e1 11m - + lim e2 lim -
êJX j.r--->0 Ô.f éJy At--->0 Âf M-~>0 1-t~->O ilt M--->0 ó.t-""'"0 Â.f
at dx at dy dx dy
=--+--+0·-+0·-.
ax dt ay dt dt dt
= Jf dx + àf dy
ax dt ay dt
o Note a semelhança com a definiçáo
do diferencial:
az i)z
d,~-dx+-dy
àx iJy
Como freqüentemente escrevemos Jz/Jx no lugar de Jf/Jx, podemos reescrever a
Regra da Cadeia na forma
dz Jz dx Jz dy
-=--+--
dt Jx dt Jy dt
EXEMPlO 1 o Se z = x 2 y + 3xy', onde x = sen 2t e y = cos t, detennine dz/dt quando
t =O.
SOLUÇÃO A Regra da Cadeia fornece
dz az dx Jz dy
-=--+--
dt ax dt ay dt
= (2xy + 3y 4 )(2cos2t) + (x 2 + l2xy 3 )(-sent)
Não é necessário substituir as expressões de x e de y em função de t. Simplesmente

FIGURA 1
,,
-I
110, l)
X
A curva x = sen 2t, y = cos t
James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCiAIS [1 931
observe que, quando t = O, temos x = sen O = O e y = cos O =
l. Logo,
I
dz I ~ (O + 3)(2 cosO) + (O + O)( -senO) ~ 6
dt t=O
A derivada no Exemplo 1 pode ser interpretada como a taxa de variação de z com
relação a t quando o ponto (x, y) se move ao longo da curva C com equações paramétricas
x ~ sen 2t, y ~ cos t _ (Veja a Figura l ,) Em particular, quando t ~ O, o ponto (x, y) é (0,
l ), e dz/ dt = 6 é sua taxa de crescimento quando nos movemos ao longo da curva C pas~
sando por (0, l)_ Se, por exemplo, z ~ T(x, y) ~ x 2 y + 3xy' representa a temperatura no
ponto (x, y), então a função composta z = T(sen 2t, cos t) representa a temperatura dos
pontos da curva C e sua derivada dz/ dt corresponde à taxa de variação de temperatura ao
longo da curva C
EXEMPlO 2 o A pressão P (em quilopascals), o volume V (em litros) e a temperatura T
(em kelvins) de um molde um gás ideal estão relacionados por meio da fórmula
PV ~ 8,31 T, Determine a taxa de variação da pressão quando a temperatura é de 300 K
e está aumentando com a taxa de O, 1 K/s e o volume é de 100 L e está aumentando com
a taxa de 0,2 L/s_
SOLUÇÃO Se t representa o tempo decorrido, medido em segundos, então em um dado
instante temos T ~ 300, dT/dt ~ 0,1, V~ 100, dV/dt ~ 0,2. Como
pela Regra da Cadeia
p ~ 8,31 ~
dP aP dT àP dV 8,31 dT 8,31T dV
-~--+--~----------
dt ar dt av dt v dt V 2 dt
8,31 8,31(300)
~ 100 (0,1) - 100' (0,2) ~ -0,04155
A pressão está decrescendo com a taxa de 0,042 k:Pa/s,
Vamos considerar agora a situação onde z = f(x, y ), mas x e y são funções de outras
duas variáveis se t: x ~ g(s, t), y ~ h(s, t), Então z é uma função indireta de sete desejamos
determinar iJz/iJs e iJz/iJL Lembremo-nos de que para calcular iJz/iJt mantemos s
fixo e calculamos a derivada ordinária de z em relação a t. Portanto, aplicando o Teorema
2, obtemos
az az ax az ay
-~--+--
iJt ax at ay at
Argumento análogo serve para àz/às e provamos a seguinte versão da Regra da Cadeia.
11] Regra da Cadeia (Caso 2í Suponha que z ~ f(x, y) seja uma função diferenciável
de x e y, onde x ~ g(s, t) e y ~ h(s, t) são funções diferenciáveis de se de t, Então
az Oz ax az ày
-~--+--
as iJx as iJy iJs
!!:_ ~ !!:_ iJx + !!:_ ày
àt iJx iJt ày iJt

932 o CÁLCULO Editora Thomson
EXEMPlO 3 r_l
Se Z = ex sen y, onde x = st 2 e)' = s 2 t, determine azj as e azjar.
SOLUÇÃO Aplicando o Caso 2 da Regra da Cadeia, obtemos·
az az ax az ay . '
- = --+ --= (e'sen v)(t') + (e'cosv)(2st)
as ax as ay as ' '
= t 2 e 512 sen(s 2 t) + 2ste 511 cos(s 2 t)
az az ax az ay
- = -- + --= (e'seny)(2st) + (e'cosy)(s 2 )
at ax at ay at
z
X
dt \~

James Stewart CAPÍTUlO 14 DERIVADAS PARCIAIS 933
X
I \
' \
I '
r s r
FiGURA 4
u
y
I\
r s t
z
\ \
I \
r s l
em um ramo que liga as folhas y a u a derivada parcial omitida é ày/ au. Com a ajuda do
grafo da árvore, podemos escrever as expressões pedidas:
aw aw ax aw dy aw az aw àt
-~--+--+--+--
ou ax au ay au az au OI au
aw aw ax aw àr àw az dw ar
-~--+--'-+--+-­
av ih av ay av az av àt av
EXEMPlO 5 c: Seu= x 4 y + y 2 z 3 , onde x = rse 1 , y = rs 2 e --;e z = r 2 s sen t, deterrnínc
o valor de ou/as quando r~ 2, s ~ l, 1 ~O.
SOLUÇÃO Com o auxílio do grafo da árvore da Figura 4, obtemos
Quando r = 2, s =
au au ax au av au az
-~--+--' +--
as ax as ay as az as
~ (4x 3 y)(re') + (x 3 + 2yz 3 )(2rse ') + (3y 2 z 2 )(r 2 Sí'n 1)
1 e t = O, temos x = 2, _v = 2 e z = O. Portanto
.iJ":. ~ (64)(2) + (l6)(4) + (0)(0) ~ 192
as
EXEMPlO 6 cc Se g(s, t) ~ f(s 2 - 1 2 , 1 2 - s') e f é diferenciável, mostre que g satisfaz a
equação
SOLUÇÃO Seja x ~ s 2 -
nos fornece
Portanto
EXEMPlO 7 CJ
ag
as
ag
at
r-+s-~o
r 2 e y ~ r' - s 2 Então g(s, 1) ~ f(x, y) e a Regra da Cadeia
ag ~ aj ax + aj ~ ~ aj (Zs) + aj (-Zs)
as ax as ay as ax ay
ag aj ax aj ay aj aj
- ~ -- + -- ~ -(-2r) + -(21)
ar ax ar ay at ax ay
t ag + s !!ff_ ~ (zst aj - 2sr aj) + (-2st aj + 2st Jf) ~O
as oi ax ay ax ay
Se z ~ J(x, y) tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e
X ~ r 2 + S 2 e}' ~ 2rs, determine (a) az/ar e (b) a 2 z/ ar 2 .
SOLUÇÃO
(a) A Regra da Cadeia fornece
az Jz ax az ay az az
- ~ -- + -- ~ -(2r) + -(2s)
ar ax ar ày ar ax ay
(b) Aplicando a Regra do Produto na expressão da parte (a), obtemos
a'z a ( az az)
-~- 2r-+2sar2
ar ax ay
az a ( az) +2s-- a ( az)
~2-+2r--
ax ar ax ar ay

934 o CÁLCUlO
Editora Thomson
FIGURA 5
'
I
X
\
,,
é}x
s r
y
\
s
Mas, usando a Regra da Cadeia novamente, temos
a ( az ) a ( az) ax a ( az ) ay
ar ax = ax ax ar + ay iJx ar
Colocando essas expressões na Equação 5 e usando a igualdade das derivadas parciais
mistas de segunda ordem, obtemos
a'z az ( a'z a'z ) ( a 2 z a 2 z )
- = 2- + 2r 2r--, + 2s-- + 2s 2r-- + 2s--
Jr2 ax ax- ay ax ax ay oy 2
Derivação Implícita
A Regra da Cadeia pode ser usada para uma descrição do processo de diferenciação
implícita introduzida nas Seções 3.6 (Volume !) e 14.3. Suponhamos que a equação da
forma F(x, y) = O defina y implicitamente como uma função diferenciável de x, ou seja,
y = f(x), onde F(x,f(x)) =O para todo x no donúnio de f Se F é diferenciável, podemos
aplicar o Caso 1 da Regra de Cadeia para diferenciar ambos os lados da equação
F(x, y) = O com relação a x. Como x e y são ambas funções de x, obtemos
aF dx aF dy
--+--=0
ax dx ay dx
No entanto, dx/dx = I; então, se aFjay"" O, resolvemos para dy/dx e obtemos
!]]
a F
dy ax F,
dx a F F,
ay
Para derivar essa equação assunúmos que F(x, y) = O define y implicitamente em
função de x. O Teorema da Função Implícita, provado em cálculo avançado, fornece
condições segundo as quais essa hipótese é válida. Podemos estabelecer que se F é
definida em uma bola aberta contendo (a, b), onde F(a, b) =O, F,(a, b) ""O e F, e F, são
funções contínuas nessa bola, então a equação F(x, y) = O define y como uma função de
x perto do ponto (a, b ), e a derivada dessa função é dada pela Equação 6.
EXEMPlO 8 c Deternúne y' se x 3 + y' = 6xy.

James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAiS 935
SOLUÇÃO A equação dada pode ser escrita como
F(x, y) ~ x 3 + y 3 -
6xy ~ O
e, dessa forma, a Equação 6 nos dá
:.J A solução do Exemplo 8 deve ser
comparada com a do Exemplo 2 da
Seção 3.6 do Volume I.
dy ~ _ F, ~ _ 3x 2 - 6y
dx F, 3y 2 - 6x
x 2 -
y 2 -
2y
2x
Suponha agora que z seja dado implicitamente como uma função z ~ f(x, y) por uma
equação da forma F(x, y, z) ~O. Isso é o mesmo que F(x, y,J(x, y)) ~O para todo (x, y)
no domínio de f Se F e /forem diferenciáveis, utilizamos a Regra da Cadeia para diferenciar
a equação F(x, y, z) = O como se segue:
JF Jx JF Jy JF Jz
--+--+--~o
Jx Jx ay ax Jz Jx
Mas
a
-(x) ~I
ax
e
a
-(v)~ O
ax ~
portanto, essa equação se escreve
aF JF az
-+--~o
ax Jz Jx
Se JF/àz 7' O, resolvemos para Jz/àx e obtemos a primeira fórmula das Equações 7. A
fórmula para Jz/Jy é obtida de modo semelhante.
III
az
ax
a F
ax
aF
az
_i!:_ ~ -
ày
a F
ay
JF
az
Novamente, uma versão do Teorema da l

936 ::J CÁlCULO Editora Thomson
1-6 ::::: Use a Regra da Cadeia para dctenninar dz/dt ou dw/dt.
1. z = x='y + x.v=', x = 2 + t 4 , )' = 1 ~ t'
2. z = .,_/x 2 + y 2 , x = e 21 , y =e·->
3. z =sen xcosy, x = 7Tt, y =_,_,~r
4. z = x ln(x + 2y), x = sen t, y = cos t
··s.w=xe'-·o, x=t 2 , )'=l~t, z=I+2t
6. w = xy +
1~"12 :..... Utilíze a Regra da Cadeia para determinar azjas e azjat.
7. z = x 2 + xy + y 2 , x = s + t, y = st
8. z = x/.v, x = se 1 , y = 1 +se-'
9. z=arctg(2x+y), x=s 2 t, y=slnt
10. z = e'-" tg y, x = s + 2t, y = s/t
111·:- z =e,. cosO, r= st, O= -vis 2 + t 2
12. z = sen a tg {3, a = 3s + t, {3 = s - t
13. Se z ~ j(x, y), onde f é diferenciável x ~ g(t), y ~ h(t),
g(3) ~ 2. g'(3) ~ 5, h(3) ~ 7, h'(3) ~ -4, j,(2, 7) ~ 6, e
};(2, 7) ~ -8, detennine dz/dt quando t ~ 3.
14. Seja W(s, t) = F(u(s, !), v(s, t)), onde F, u, e v são díferenciáveis,
u(l, O) ~ 2, u,(l. O) ~ -2, u,(l, O) ~ 6, v(l, O) ~ 3,
v,(l, O) ~ 5, v,(l, O) ~ 4, F,(2, 3) ~ -l e F,(2, 3) ~ lO.
Determine W,(l, O) e W,(l, 0).
15. Suponha que f seja uma função diferenciável de x e y, e
g(u, v)= f(eu + senv, eu+ cos v). Use a tabela de valores
para calcular g,(O, O) e g,(O, O).
G:o). 1
f I g I f, h
3
I ó I 4 ó
I o. 2 ) I 6 I 3 I 2 5 i
16. Suponha que f seja uma função diferenciável de x e y, e
g(r, s) = f(2r- s, s 2 - 4r). Use a tabela de valores do
Exercício 15 para calcular g,(l, 2) e g,(l, 2).
H-20 ::J Utilize o grafo da árvore para escrever a Regra da Cadeia
para o caso dado. Assuma que todas as funções sejam diferenciáveis.
u ~ j(x, y), onde x ~ x(r, s, t), y ~ y(r, s, r)
18. w ~ j(x, y, z), onde x ~ x(r, u), y ~ y(t, u), z ~ z(t, u)
19. v~ j(p, q, r), onde p ~ p(x, y, z), q ~ q(x, y, z),
r~ r(x, y, z)
20. u = f(s, t), onde s = s(w, x, y, z), t = t(w, x, y, z)
21-25 c Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas
parciais indicadas.
x = uv 2 + ur',
y = u + ve"';
(Jz az az
ÓU' ÓV' Dw
22. u = )r 2 + sz,
au au au
quando u = 2, v = 1, w = O
r=y+xcost, s=x+ysent;
- ~- quandox=1,y=2,t=O
ax' ay' ar
23. R= ln(u 2 + v 2 + w 2 ), u = x + 2y, v= 2x- y,
w = 2xy;
aR aR
-- quandox=}·= 1
ax' ay
24. M = xey-.: x = 2uv, y = u - v, z = u + v;
aM aM
- - quando u = 3 v = -1
au ' av ,
25. u = x 2 + yz,
au Ou au
---
ap, ar, a e
x=prcosf),
y=prsenO, z=p+r;
quando p ~ 2, r ~ 3, e ~ o
26. Y = w tg- 1 (uv), u =r+ s, v= s + t, w = t +r;
ar ar ar
--- quandor=l s=Ot=l
ar, as, at ' ,
27-30 c Utilize a Equação 6 para detetminar dy / dx.
27. J;} = 1 + x\ 28. y 5 + x 1 y 3 = I + yex·
29. cos(x - y) = xeY 30. senx + cosy =senx cosy
31-34 ':J Utilize as Equações 7 para determinar azjax e azjay.
31. x 2 + y 2 + z 2 = 3xyz
33. x - z ~ arctg (yz)
~ xyz = cos(x + y + z)
34, yz ~ ln(x + z)
~ A temperatura em um ponto (x, y) é T(x, y), medida em graus
Celsius. Um inseto rasteja de modo que sua posição depois de t
segundos seja dada por x = .jl+l, y = 2 + } t, onde x e y
são medidas em centímetros. A função temperatura satisfaz
1~(2, 3) ~ 4 e T,(2, 3) ~ 3. Quão rápido a temperatura
aumenta no caminho do inseto depois de três segundos
36. A produção de trigo em um determinado ano W depende da
temperatura média Te da quantidade anual de chuva R.
Cientistas estimam que a temperatura média anual está crescendo
à taxa de O, 15 aC/ano, e a quantidade anual de chuva está
decrescendo à taxa de 0,1 em/ano. Eles também estimam que, no
corrente nível de produção, àW/àT ~ -2 e àW/àR ~ 8.
(a) Qual é o significado do sinal dessas derivadas parciais
(b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo
dW/dt.
37. A rapidez da propagação do som através do oceano com
salinidade de 35 partes por milhar foi modelada pela equação
C~ 1449,2 + 4,6T- 0,055T 2 + 0,00029T 2 + O,Ol6D
onde C é a rapidez do som (em metros por segundo), T é a
temperatura (em graus Celsius) e D é a profundidade abaíxo

T
James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCiAIS ~J 937
do nível do mar (em metros). Um mergulhador começa um
mergulho tranqüilo nas águas oceânicas, e a profundidade do
mergulho e a temperatura da água ao redor são anotadas (veja o
gráfico). Estime a taxa de variação (com relação ao tempo) da
rapidez do som através do oceano experimentada pelo
mergulhador 20 minutos depois do mergulho. Quais
são as unidades
. ) az az
Se z = f(x ~ y , mostre que- + -:-- = O.
Ox Oy
46. Se z = f(x, y), onde x = s + te y = s ~ t, mostre que
47-53 Assuma que todas as funções dadas tenham derivadas
parciais de segunda ordem contínuas.
47. Mostre que qualquer função da forma
z ~ j(x + at) + g(x - at)
!0203040,_ 10203040(
(mm)
(min)
38. O raio de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 1,8 pol/s,
ao passo que sua altura está decrescendo à taxa de 2,5 po1/s. A
que taxa o volume do cone está mudando quando o raio vale
120 pol e a altura 140 pol
_3~. O comprimento C, a largura w e a altura h de uma caixa variam
com o tempo. A certo instante as dimensões da caixa são
C = I me w = h = 2m, e f e w estão aumentando a uma taxa
de 2 rn!s. ao passo que h está diminuindo à taxa de 3 m/s.
Nesse instante, determine as taxas nas quais as seguintes
quantidades estão variando.
(a) O volume
(b) A área da superfície
(c) O comprimento da diagonal
40. A voltagem V em um circuito elétrico simples está decrescendo
devagar à medida que a bateria se descarrega. A resistência R
está aumentando devagar com o aumento de calor do resistor.
Use a Lei de Ohm, V= IR, para achar como a corrente I está
variando no momento em que R = 400 O, I = O, 08 A,
dV/dt ~ -0,01 V /se dR/dt ~ 0.03 fi/s.
41. A pressão de um moi de um gás ideal é aumentada à taxa de
0,05 kPals, e a temperatura é elevada à taxa de O, 15 K/s.
Utilize a equação do Exemplo 2 para achar a taxa de variação
do volume quando a pressão é 20 kPa e a temperatura é 320 K
42. Um carro A está viajando para norte na rodovia 16, e um carro
B está viajando para oeste na rodovia 83. Os dois carros se
aproximam da interseção dessas rodovias. Em um certo
momento, o carro A está a 0,3 km da interseção viajando a 90
1an!h, ao passo que o carro B está a 0,4 km da interseção
viajando a 80 km!h. Qual a taxa de variação da distância entre
os carros nesse instante
43-46 c.:: Assuma que todas as funções dadas são diferenciáveis.
~ Se z = f(x,y), onde x = rcos ()e y = r senO, (a) determine
az/àr e azjae e (b) mostre que
44. Seu = f(x, y), onde x = e-' cos te y = e" sen t, mostre que
(au)' +
(au )'~e-''[{'!'!_)'+('!'!_)']
àx ày; \as at
é uma solução da equação de onda
0 2 z 0 2 z --=a2 __
Ot 2 ax 2
[Dica: Seja u = x + at, v = x - at.]
48. Se u = f(x, y), onde x = e-' cos t e y = es sen t, mostre que
a'u a'u 2 [
-- + -- a'u a'u]
= e-~s -- + --
iJx2 a.v 2 as 2 dt 2
49. Se z = f(x, y), onde X= r 2 + s 1 , y = 2rs, detemúne à 2 z/àr as.
(Compare com o Exemplo 7.)
50. Se z = f(x, y), onde x = rcos (J, y = rsen 8, determine (a)
azjar, (b) azjiJOe (c) iJ 2 z/iJr ao.
51. Sez = f(x,y), onde x = rcos (), y·= rsen(), mostre que
d 2 z à 2 z à 2 z 1 d 2 z 1 az
dx 2 + ày 2 = iJr 2 + ~ iJ() 2 + --;a;
52. Suponha z ~ f(x, y), onde x ~ g(s, t) e y ~ h(s, t).
(a) Mostre que
o 2 z a'z (ax)' a'z ax ay a'z (ay)'
-~- - + 2----+- -
at 2 ax 2 ar ax ay ar ar ay 2 ar
az à 2 x az cPy
+ --+--
ax iJt 2 Oy i:Jt 2
(b) Determine uma fórmula semelhante para a 2 zjas àt.
53. Uma função f é dita homogênea de grau n se satisfaz a equação
f(tx, ty) = t"f(x, y) para todo valor de t, onde n é um inteiro
positivo e f tem as segundas derivadas parciais contínuas.
(a) Verifique que f(x, y) ~ x 2 y + 2xy 2 + 5y 3 é homogênea
de grau 3.
(b) Mostre que, se f é homogênea de grau n, então
x at + Y at ~ nf(x,y)
ax ày
[Dica: Utilize a Regra da Cadeia para derivar f(tx, ty) com
relação a t.]
54. Se f é homogênea de grau n, mostre que
2 a'f a'f • a'f
x·- + 2xy-- + y"- ~ n(n- l)f(x,y)
àx 2 ax ély ay 2

938 o CÁlCUlO Editora Thomson
55. Se f é homogênea de grau n, mostre que
f,(tx, ty) ~ t"-'!c(x, y)
56. Suponha que a equação F(x, y, z) = O defina implicitamente
cada uma das três variáveis x, )' e z como função das omras
duas:
z = J(x, y), y = g(x, z), x = h(y, z). Se F for diferenciável e F"
F} e Fz forem todas não-nulas, mostre que
Oz dx ày
---~ ~]
ax dy i)z
Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente
O mapa meteorológico dos estados da Califórnia e Nevada, apresentado na Figura 1, mostra
os contornos da função temperatura T(x, y) às 15 horas de um dia de outubro. As curvas de
nível ou isoténnicas ligam localidades que apresentam a mesma temperatura. A derivada parcial
Tx em um ponto, como o Reno, dá a taxa de variação da temperatura em relação à
distância se viajarmos de Reno para leste; Tr é a taxa de variação da temperatura se viajarmos
para o norte. Mas o que acontece se desejarmos conhecer a taxa de variação da
temperatura quando viajamos para sudeste (indo para Las Vegas) ou em outra direção
qualquer Nesta seção introduzimos um tipo de derivada, chamada derivada direcional,
que nos permite determinar a taxa de variação de uma função de duas ou mais variáveis
em qualquer direção.
FIGURA 1
't I
(x[),ye)
!1
I
sen e
...J. __ _
cose
FIGURA 2
Um vetor unitfuio
u = (a, b) = (cos e, scn e}
Derivadas Direcionais
Lembremo-nos de que, se z ~ f(x, y ), as derivadas parciais fie e f, são definidas como
F ( • ) _ . f(:xo + h, Yo) ~ f(Xo, Yo)
Jx Xo, Yo - 11m
h->0
h
'(
JY Xo,Yo -h~~
) _r f(xo,Yo +h)- f(xo,yo)
e representam as taxas de variação de z na direção positiva dos eixos x e y, ou seja, nas
direções e sentidos dos versares i e j.
Suponha que queiramos determinar a taxa de variação dez no ponto (xo, yo) na direção
e sentido de um vetor unitário arbitrário u ~ (a, b). (Veja a Figura 2.) Para fazê-lo devemos
considerar a superiície S com equação z ~ f(x, y) (gráfico de f) e tomar Zo ~ f(xo, Yo).
O ponto P(xo, yo, zo) pertence a S. O plano vertical que passa por P na direção de n intercepta
h

James Stewart CAPÍTULO 14 DERiVADAS PARCIAIS 939
Sem uma curva C (veja a Figura 3). A inclinação da reta tangente Ta C em Pé a taxa de
variação de z na direção e sentido de u.
FIGURA 3
X
Se Q(x, y, z) é outro ponto sobre C e P', Q' são as projeções de P, Q sobre o plano "Y·
então o vetor P'Q' é paralelo a u, e portanto
____,
P'Q' ~ hu ~ (ha, hb)
para algum valor do escalar h. Dessa forma, x - x 0 ~ ha, y - y 0
~ hb, logo x ~ xo + ha,
y ~ Yo + hb, e
Az
h
z-
h
f(xo + ha, Yo + hb) - f(xo, Yo)
h
Se tomarmos o limite quando h-> O, obteremos a taxa de variação dez (em relação à distància)
na direção e sentido de u, que é chamada derivada direcional de f na direção e sentido de u.
II)Ilelinição A derivada direcional de f em (xo, yo) na direção e sentido do
vetor unitãrio u ~ (a, b) é
se esse limite existir.
D f( ) _li f(xo + ha, Yo + hb) - f(xo, Yo)
u Xo,Yo -h~ h
Comparando a Definição 2 com (1), vemos que, se u ~ i ~ (I, O), então D;f ~ j; e se
u ~ j ~ (O, 1), então D;f = fy Em outras palavras, as derivadas parciais de f com relação
a x e y são casos particulares da derivada direcional.

940 ::J CÁLCULO Editora Thomson
EXEMPlO 1 :-::-: Utilize o mapa meteorológico da Figura 1 para estimar o valor da
derivada direcional da função temperatura em Reno na direção sudeste.
SOLUÇÃO O versar na direção sudeste é dado por u ~ (i - j)/ .fi, mas não necessitaremos
dessa expressão. Em vez disso, inicialmente traçamos uma reta que passa por Reno na
clireção sudeste. (Veja a Figura 4.)
FIGURA 4
Aproximamos a derivada direcional Du T pela taxa média de variação de
temperatura entre os pontos onde a reta traçada intercepta isotérmicas T = 50 e T = 60.
A temperatura no ponto a sudeste de Reno é T = 60 °F, e a temperatura no ponto a
noroeste de Reno é T = 50 °F. A distância aproximada desses pontos é de 75 milhas.
Logo a taxa de variação da temperatura na direção sudeste é
60 - 50 10
D T = ~ - = O 13 °F/mi
" 75 75 ,
Quando computamos a derivada direcional de uma função definida por uma fórmula,
geralmente usamos o seguinte teorema.
rn
~~ ]
Teorema Se f é uma função diferenciável em X e y, então f tem derivada
__
direcional na direção e sentido de qualquer versor u ~ (a, b) e
D,f(x, y) ~ fb, y)a + fy(x, y)b
Prova Se definirmos urna função g de uma única variável h por
g(h) = f(xo + ha, Yo + hb)
então, pela definição de derivada direcional, temos
g'(O) ~ lim g(h) - g(O) = lim
h-->0 h h---c>O
= D,f(xo, Yo)
f(xo + ha, Yo + hb) - f(xo, Yo)
h

T
James Stewart CAPÍTULO 14 DERiV.D,D.l\S PARCIAIS 941
Por outro lado, podemos escrever g(h) = f(x, y), onde x = Xo + ha, y = }'o + hb, e pela
Regra da Cadeia (Teorema 14.5.2), vem
i!] dx
Jx dh
Jf dv
Jy dh
g'(h) ~ - - + - -' ~ '.(x )')a +

942 O CÁlCULO Editora Thomson
I!] Definição Se f é uma função de duas variáveis x e y, o gradiente de f é a
fuução vetorial V f definida por
. af. af.
Vf(x,y) ~ (J,(x,y),j,(x,y)) ~-r+ -J
ax Oy
EXEMPlO 3
Se f(x, y) ~ sen x + e'', então
e Vf(O, 1) ~ (2,0)
V f(x, y) ~ (/,,f) ~ ( cos x + ye'', xe'')
Com a notação de vetor gradiente, podemos reescrever a expressão (7) para a derivada
direcional como
D"f(x, y) ~ V f(x, y) · u
que expressa a derivada direcional na direção e sentido de u como a projeção escalar do
vetor gradiente sobre u.
u O vetor gradiente V /(2, ~I) do
Exemplo 4 é mostrado na Figura 6
com ponto inicial (2, ~I). Também é
mostrado o vetor v, que dá a direção e
sentido da derivada direcionaL Ambos
os vetores estão sobrepostos ao mapa
de contornos do gráfico de f.
EXEMPLO 4 cJ Determine a derivada direcional da função f(x, y) ~ x 2 y 3 - 4y no ponto
(2, -1) na direção do vetor v~ 2i + 5j.
SOLUÇÃO Primeiramente, vamos calcular o gradiente de f no ponto (2, -I):
V f(x, y) ~ 2xy 3 i + (3x 2 y 2 - 4)j
'Vf(2, -I)~ -4i + 8j
Note que v não é um vetor unitário, mas, como I v I = J2§, o vetor unitário na direção e
sentido de v é
X
Portanto, pela Equação 9, temos
D"f(2, -1) ~ 'Vf(2, -1) · u ~ (-4i + 8j) · ( }xg i+ ~ j)
FIGURA 6
-4. 2 + 8. 5 32
.,fi9 .,fi9
Funções de Três Variáveis
Para as funções de três variáveis podemos definir derivadas direcionais de modo semelhante.
Novamente D,f(x, y, z) pode ser interpretado como a taxa de variação da função
na direção e sentido de um versor u.

James Stewart CAPÍTULO 14 DERiVADAS PARCIAIS [; 943
[l]] !lolinição A derivada direcional de uma função f em (xo, y 0 , z 0 ) na direção e
sentido do vetor unitário u = (a, b, c) é
'( . , ) _ . f(xo + ha, Yo + hb, zo + hc) - f(xo, jo, zo)
Duf Xo. \o, Zo - hm
. - h·-·0 h
se o limite existir.
Se usannos a notação vetorial, poderemos escrever tanto a definição (2) quanto a (10)
da derivada direcional na forma compacta
. f(xo + hu) - f(xo)
D,f(xo) ~ bm h
h-O
onde Xo = (xo, yo) se n = 2 e Xo = (xo, Yo, zo) se n = 3. Isso era esperado, porque a
equação vetorial da reta que passa por XD na direção do vetor u é dada por x = x 0 + tu
(Equação 125.1), e portanto f(x 0 + hu) representa o valor de f em um ponto dessa reta.
Se f(x, y, z) for diferenciável eu~ (a, b, c), então o mesmo método usado na prova
do Teorema 3 pode ser usado para mostrar que
D,f(x, y, z) ~ j;(x, y, z)a + J,(x, y, z)b + j;(x, y, z)c
Para uma função f de três variáveis, o vetor gradiente, denotado por V f ou grad j; é
ou, simplificando,
V f(x, y, z) ~ (j;(x, y, z),J,(x, y, z),j;(x, y, z))
of. of. af
V f= (j;,f,,j;) ~-r+ -J + -k
' ax ay az
Então, como para as funções de duas variáveis, a Fórmula 12 para a derivada direcional
pode ser reescrita como
D,f(x, y, z) ~ V f(x, y, z) · u
EXEMPlO 5 o Se f(x, y, z) = x senyz, (a) detennine o gradiente de f e (b) estabeleça a
derivada direcional de f no ponto (l, 3, 0) na direção e sentido de v~ i + 2j - k
SOLUÇÃO
(a) O gradiente de f é
V f(x, y, z) ~ (fAx, y, z),J,(x, y, z),j;(x, y, z))
= (seu yz, xz cos yz, xy cos yz)

944 :J CÁLCULO Editora Thomson
(b) No ponto ( l, 3, O) temos V J(l, 3, O) ~ (O, O, 3). O vetor unitário na direção e
sentido de v = i + 2j ~ k é
Portanto, da Equação 14, vem
1 2 !
u~-i+-j--k
j6 j6 j6
D,f(l, 3, O)~ Vf(l, 3, O)· u
Maximizando a Derivada Direcional
Suponha uma função f de duas ou três variáveis e considere todas as possíveis derivadas
direcionais de f em um ponto dado. Isso nos dará a taxa de variação da função em todas as direções
possíveis. Podemos então perguntar: em qual dessas direções f varia mais rápido e
qual a máxima taxa de variação A resposta a essas perguntas é dada pelo seguinte teorema.
[1]] Teorema Suponha que f seja uma função diferenciável de duas ou três
variáveis. O valor máximo da derivada direcional D,f(x) é I V f(x) I e ocorre
quando u tem a mesma direção e sentido que o vetor gradiente V f(x).
Prova Da Equação 9 ou 14, temos
D,f~ V f· u ~ lVIII ui cose~ IV fi cose
onde 8 é o ângulo entre V f eu. O valor máximo de cos fJ é 1, e isso ocorre quando
O ~ O. Portanto o valor máximo de D,f é I V f I e ocorre quando 8 ~ O, ou seja, quando
u tem a mesma direção e sentido que V f.
u
EXEMPLO 6 ~
(a) Se f(x, y) ~ xe', determine a taxa de variação de f no ponto P(2, O) na direção de P
a Q(l, 2).
(b) Em que direção f tem a máxima taxa de variação Qual é a máxima taxa de variação
SOLUÇÃO
(a) Primeiro calcularemos o vetor gradiente:
o
FIGURA 7
o No ponto (2, O) a função do Exemplo 6
aumenta mais rapidamente na direção e
sentido do gradiente V f(2, O) = ( 1, 2).
Na Figura 7 note que esse vetor parece
ser perpendicular à curva de nívei que
passa por (2, 0). A Figura 8 mostra o
gráfico de f e o vetor gradiente_
Vf(x, y) ~ (f" f,) ~ (e', xe')
VJ(2, O)~ (U)
O versor da direção PQ = ( -1.5; 2) é u = (-~, S), logo a taxa de variação de f na
direção que vai de P a Q é
D,f(2,0) ~ VJ(2,0) · u ~ (1,2) · (-l,j)
~l(-l)+2(1)~1

I
!
z
FIGURA 8
James Stewart CAPÍTUlO 14 DERIVADAS PARC!AiS U 945
(b) De acordo com o Teorema 15,faurnenta mais depressa na direção e sentido do
gradiente v /(2, O) ~ (1, 2). A máxima taxa de variação é
EXEMPLO 7
I V/(2, O) I~ I< 1,2) I ~ ,f5
Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) do espaço seja dada por
T(x, y, z) = 80/(1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ), onde T é medida em graus Celsius ex, y, z em
metros. Em que direção no ponto (1, 1, -2) a temperatura aumenta mais rapidamente
Qual é a taxa máxima de aumento
SOLUÇÃO O gradiente de T é
JT JT JT
vr~-i+-j+-k
Jx Jy az
160 ( . . )
(] , .• ')' -xr- 2yJ - 3zk
+ r + 2r + 3z· ·
No ponto (1, 1, -2), o vetor gradiente é
vT(l, l, -2) ~ l!*(-i- 2j + 6k) = lH- 2j + 6k)
Pelo Teorema 15 a temperatura aumenta mais rapidamente na direção e sentido do
gradiente 'VT(l, 1, -2) ~ 1( -i - 2j + 6k) ou, de modo equivalente, na direção e
sentido de -i - 2j + 6k ou ainda de seu versar (-i - 2j + 6k)/ v'4f. A taxa máxima
de aumento é o módulo do vetor gradiente
lvT(l, I, -211 ~lH- 2j + 6kl ~
5fl
Portanto a taxa máxima de aumento da temperatura é 5v'4f/8 = 4 "C/m.
Plano Tangente às Superfícies de Nível
Suponha que S seja uma superfície com equação F(x, y, z) ~ k, ou seja, uma superfície de
nível da função F de três variáveis, e seja P(xo, Yo, z 0 ) um ponto sobre S. Seja C uma curva
qualquer contida na superfícieS que passe pelo ponto P. Lembre-se de que, da Seção 13.1,
a curva C é descrita por uma função vetorial contínua r(t) ~ (x(t),y(t),z(t)). Seja to o
valor do parâmetro correspondente ao ponto P, ou seja, r(t 0 ) ~ (x 0 , yo, zo). Como C pertence
aS, qualquer ponto (x(t), y(t), z(t)) precisa satisfazer a equação de S, ou seja,
F(x(t), y(t), z(t)) ~ k
Se x, y e z são diferenciáveis como função de te F também é diferenciável, podemos usar
a Regra da Cadeia para diferenciar ambos os lados da Equação 16, corno se segue:
aF dx aF dy aF dz
--+--+--~o
ax dt ay dt az dt
Mas, corno v F~ (F, F,, FJ e r'(t) ~ (x'(t), y'(t), z'(t)), a Equação 17 pode ser escrita
em termos do produto escalar como
v F· r'(t) ~O

946 C CÁLCUlO Editora Thomson
z
Em particular, quando t =lo, temos r(to) = {xo, yo, zo), e assim
V F(xo, Yo, zo) ' r'(to) = O
X
FIGURA 9
A Equação 18 nos diz que o vetor gradiente em P, V F(xo, y 0 , z 0 ), é perpendicular ao
vetor tangente r'(t 0 ) a qualquer curva C em S que passe por P (veja a Figura 9). Se
'i1F(x 0 , y 0 , z 0 ) 'f" O, é natural definir o plano tangente à superfície de nível F(x, y, z) = k
em P(xo, y 0 , z 0 ) como o plano que passa por P e tem vetor normal 'ilF(xo, yo, zo),
Utilizando a equação geral do plano (Equação 12,5,7) podemos escrever a equação do
plano tangente como
[1] FAxo, yo, zo)(x- xo) + F,(xo, yo, zo)(y - Yo) + F,(xo, yo, zo)(z - zo) =O
A reta normal a S em P é a reta que passa por P e é perpendicular ao plano tangente.
A direção da reta normal é, portanto, dada pelo vetor gradiente VF(xo, yo, zo) e, assim, pela
Equação 12.5.3, suas equações na forma simétrica são
X- Xo z-
Fy(xo, Yo, Zo)
FJto, Yo, Zo)
No caso especial em que a equação de uma superfícieS é da forma z = J(x, y) (ou seja,
Sé o gráfico da função f de duas variáveis), podemos reescrever a equação como
F(x, y, z) = J(x, y) -
z = O
e entender S corno urna superfície de nível (com k = 0) de F, Então
logo a Equação 19 se toma
FAxo, yo, zo) = Jbo, Yo)
F.(xo, Yo, zo) = f,(xo, Yo)
F,(xo, Yo, zo) = -I
fixo, Yo)(x - xo) + f,(xo, Yo)(y - yo) - (z - zo) = O
que é equivalente à Equação 14,4,2, Então, nossa nova, mais geral, definição de plano
tangente é consistente com a definição que foi dada no caso especial da Seção 14.4.
EXEMPlO 8 o Detennine as equações do plano tangente e reta normal no ponto
(-2, 1, -3) ao elipsóide
SOLUÇÃO O elipsóide é a superfície de nível (com k = 3) da função
x2 .,.2
F(x, y, z) = 4 + y 2 + ~

James Stewart CAPÍTULO 14 DERiVADAS PARCIAiS U 947
__ A Figura 1 O mostra o elipsóide,
plano tangente e reta normal
do Exemplo 8.
Portanto, temos
X
FAx,y,z) ~ 2
F,(x, y, z) ~ 2y
F)-2, I, -3) ~ 2 F,(-2, J, -3) ~ -j
Então, da Equação 19, temos a equação do plano tangente no ponto (-2, l, -3), como
'-2
-4
-6
-I (x + 2) + 2(y - 1) - l(z + 3) ~ O
que pode ser simplificada para 3x - 6y + 2z + 18 ~ O.
Pela Equação 20, as equações simétricas da reta normal são
y o 2 2
o -2
X
FIGURA 10
X+ 2
-I 2
Importância do Vetor Gradiente
z + 3
Vamos resumir agora os lugares onde o vetor gradiente tem presença importante.
Inicialmente consideraremos uma função f de três variáveis e um ponto P(xo, yo, z 0 ) em
seu domínio. Por um lado, sabemos do Teorema 15 que o vetor gradiente 'V f(x 0 , y 0 , z 0 )
indica a direção e sentido de maior crescimento da função f Por outro, sabemos que
VJ(xo, )'o, zo) é ortogonal às superfícies de nível S de f em P (veja a Figura 9). Essas duas
propriedades são compatíveis intuitivamente porque, quando nos movemos de P em urna
superfície de nível S, o valor da função f não se altera. Parece razoável que, se nos movemos
em uma direção perpendicular, obtemos o maior aumento.
Da mesma maneira podemos considerar urna função de duas variáveis f e um ponto
P(x 0 , y 0 ) em seu donúnio. Novamente o vetor gradiente V J(x 0 , y 0 ) dá a direção e sentido de
maior crescimento de f Também, por considerações semelhantes à nossa discussão sobre o
plano tangente, podemos mostrar que V f(Xo, yo) é perpendicular à curva de nivel f(x, y) ~ k
que passa por P. Mais urna vez, isso é plausível intuitivamente, visto que os valores de f se
mantêm constantes quando nos movemos ao longo da curva de nível. (Veja a Figura 11.)
y
I
FIGURA 11
'Vf(x& Yo)
I
\_ / P(xo, Yo) \
~ffde/~
f(x, y)- k
X
curva
de maior
crescimento
FIGURA 12
'--~ tOO
Se considerarmos um mapa topográfico de um morro e se f (x, y) representar a altura
acima do nível do mar do ponto de coordenadas (x, y), então a curva de maior crescimento
pode ser desenhada como na Figura 12, fazendo-a perpendicular a todas as curvas de contorno.
Esse fenômeno pode ser notado na Figura 12 na Seção 14.1, onde o Riacho
Lonesome segue a curva de maior decrescimento.

948 o CÁlCULO Editora Thomson
Um sistema algébrico computacional tem comandos que plotam alguns vetores
gradientes. Cada vetor gradiente V f(a, h) é plotado partindo-se de um ponto (a, h). A
Figura 13 mostra como fica um desses desenhos (chamados campos de vetores gradientes)
para a função f(x, y) ~ x 2 - y 2 sobreposto a um mapa de contornos de f Como esperado,
os vetores gradientes apontam na direção e sentido de "subida de morro" e são perpendiculares
às curvas de níveL
FIGURA 13
Exercícios
É dado o mapa de contornos mostrando a pressão barométrica
(em milímetros) às 7:00 horas da manhã do dia 12 de setembro
de 1960, quando o Furacão Donna estava ativo. Estime o
valor da função pressão em Raleigh, na Carolina do Norte,
em direção ao olho do furacão. Quais são as unidades da
derivada direcional
derivada direcional da função da precipitação de neve em
Muskegon, Michigan, na direção de Ludington. Quais são
as unidades
2. O mapa de contorno mostra a precipitação média de neve (em
polegadas) perto do Lago Michigan. Estime o valor da
3. A tabela de valores do índice sensação ténnica W = j(T, v) é
dada no Exercício 3 da Seção 14.3. Use-a para estimar o valor de
D,f(-20, 30), onde u ~(i+ j)/;Í2.
4-6 =:J Determine a derivada direcional de f no ponto dado e a direção e
sentido indicada pelo ângulo e.
4. f(x, y) ~ x 2 y 3 - y', (2, !), e~ 'IT/4
5. f(x, y) ~ .j5x - 4y, (4, 1), e~ -'!T/6
6. f(x, y) ~ x sen(xy), (2, O), e~ 7r/3
'•ifu

.•
··r··
James Stewart CAPÍTUlO 14 DERIVADAS PARCI.L\IS 949
~~~~G
(a) Determine o gradicnle de f.
(b) Calcule o gradiente no ponto P.
(c) Determine a taxa de variação de f em P na direção e sentido do
vetor u.
7. f(x, y) = 5xy 2 ~ 4x\·, F( L 2). u = \í\, H)
8.f(x,y)~ylnx,
P(l,-3). u~(-U)
' . . (' -.:.)
9. f(x. y, z) ~ xe·'. P(3, O, 2), u ~ l, .
10. f(x, y, z) ~ ,;:;:-+Yz, P(I, 3, 1), u ~ (), ), Í)
__ Determine a derivada direcional da função no ponto dado
na direção e sentido do vetor v.
11. f(x,y) ~I+ 2x/Y, (3,4), v~ (4, -3)
12. f(x,y)~ln(x'+y'), (2,1), v~(-!,2)
13. g(_s, t) = s 2 e',scn"2, O), v = i + j
14. g(r, e)~ e''sin 8, (0, n/3), v~ 3i- 2j
15. f(x, y, z) ~ (1, 2, -2).
v~ (-6,6, -3)
16. f(x,y,z)~x/(y+z), (4.!,1), v~(l,2,3)
17. g(x, y, z) ~ (x + 2y + 3z)' '. (1, l, 2), v~ 2j - k
18. Use a figura para estimar Du/(2, 2).
_tª Determine a derivada direcional de f(x, y) = .jxy em P(2, 8)
na direção de Q(5, 4).
20. Estipule a derivada direcional de j(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 em
P(2, 1, 3) em direção à origem.
,;n~2fi - Delennine a taxa de variação máxima de/no ponto dado
e a direção e sentido em que isso ocorre.
21. f(x, y) ~ y 2 /x, (2, 4)
22. J(p, q) ~ qe-' + pe-', (O, O)
~. f(x, y) ~sen(xy), (l, O)
24. f(x, y, z) = x 2 y 3 z 4 , (l, 1, 1)
25. f(x,y,z) ~ ln(xy 2 z 3 ), (l, -2, -3)
26. f(x,y,z) ~ tg (x + 2y + 3z), (-5, l,!)
(a) Mostre que uma função diferenciável f decresce mais
depressa em x na direção e sentido oposto à do vetor
gradiente, ou seja, na direção -V f(x).
(b) Utilize a parte (a) para determinar a direção e sentido
onde J(x, y) = x 4 y - x 2 y 3 decresce mais rápido no ponto
(2, -3).
28. Determine as direções e sentidos em que a derivada direcional
de f(x, y) = x 2 + sen xy no ponto (l, O) tem valor 1.
',~.
Determine todos os pontos nos quais a direção e sentido de maior
variação da função f(x, y) = x 2 + y 2 - 2x- 4y é i + j.
30. Nas proximidades de uma bóia, a profundidade de um lago em um
ponto com coordenadas (x, y) é z = 200 + 0,02x 2 - O,OOiy·\
onde x, y, e z são medidos em metros. Um pescador que está em
um pequeno barco parte do ponto (80, 60) em direção à bóia, que
está localizada no ponto (0, O). A água sob o barco está ficando
mais profunda ou mais rasa quando ele começa a se mover
Explique.
31. A temperatura Tem urna bola de metal é inversamente
proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como
sendo a origem. A temperatura no ponto (1, 2, 2) é de 120°.
(a) Delennine a taxa de variação deTem (1, 2, 2) em direção
ao ponto (2, 1, 3).
(b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direção de maior
crescimento na temperatura é dada pelo vetor que aponta
para a origem.
32. A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por
T(x,y, z) = 200e-x"-.ly 1 - 90 '
onde T é medido em °C e x, y, z em metros.
(a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto
P(2, -1, 2) em direção ao ponto (3, -3, 3).
(b) Qual é a direção e sentido de maior crescimento da
temperatura em P
(c) Encontre a taxa máxima de crescimento em P.
ili Suponha que em uma certa região do espaço o potencial
elétrico V seja dado por V(x, y, z) = 5x 2 - 3xy + xyz.
(a) Determine a taxa de variação do potencial em (3, 4, 5) na
direção do vetor v = i + j - k.
(b) Em que direção e sentido c sentido V varia mais
rapidamente em P
(c) Qual a taxa máxima de variação em P
34. Suponha que você esteja escalando um morro cujo formato é
dado pela equação z = 1000 - O,Olx 2 - 0,02y 2 onde x, y,
e z são medidos em metros, e você esteja em pé no ponto de
coordenadas (50, 80, 847). O eixo positivo dos x aponta para
o Leste e o eixo positivo dos y aponta para o Norte.
(a) Se você andar exatamente para o Sul, você começará a
subir ou a descer Com que taxa
(b) Se você caminhar em direção ao Noroeste, você
começará a subir ou a descer Com que taxa
(c) Em que direção e sentido a inclinação é maior Qual é a
taxa de elevação nessa direção Qual é o ângulo que o
início desse caminho faz em relação à horizontal
35. Seja fuma função de duas variáveis que tenha derivadas
parciais contínuas e considere os pontos A(l, 3), B(3, 3),
C( I, 7) e D(6, 15). A derivada direcional em A na direção e
sentido do vetor AB é 3, e a derivada direcional em A na
direção e sentido iê é 26. Determine a derivada direcionai de
f em A na direção e sentido do vetor AD.

950 u CÁLCULO Editora Thomson
36. Para o mapa de contorno dado, desenhe as curvas de maior
crescimento em P e em Q.
37. Mostre que a operação de calcular o gradiente de uma função
tem a propriedade fornecida. Suponha que u e v sejam funções
de x e y, diferenciáveis, e a e b sejam constantes.
(a) V(au + bv) ~a Vu +h V v
(b) v(uv) ~ u v v+ v Vu
(d) Vu" ~nu"-' vu
38. Esboce o desenho do vetor gradiente VJ(4, 6) para a função f
cujas curvas de nível são mostradas. Explique como você
escolheu a direção e sentido e o comprimento desse vetor.
39-44 ~ Determine equações de (a) plano tangente e (b) reta
normal a uma superfície dada no ponto especificado.
39. x 2 + 2y 2 + 3z 2 ~ 21. (4, -I, l)
40. x ~ y 2 + z 2 - 2, (-!, 1,0)
41. x 2 - 2y 2 + z 2 + yz ~ 2, (2, I, -I)
42. x - z ~ 4 arctg(yz), (l + 1T, I, I)
li! z + 1 = xeY cos z, (1, O, O)
40. yz ~ ln(x + z), (O, O, I)
IJi 45-46 CJ Utilize o computador para traçar o gráfico da superfície,
plano tangente e reta normal na mesma tela. Escolha o tamanho
da janela de inspeção com cuidado para evitar planos verticais
estranhos. Escolha o ponto de vista de modo que você possa ver
bem os três objetos.
45. xy + yz + zx ~ 3, (!, l, l) 46. xyz ~ 6, (1, 2, 3)
47. Se f(x, y) = x 2 + 4y 2 , determine o vetor gradiente V' /(2, 1) e
use~o para determinar a reta tangente à curva de nível da
função f(x, y) = 8 no ponto (2, 1 ). Esboce as curvas de níveL
reta tangente c vetor gradiente.
48. Se g(x, y) = x- y 2 , determine o vetor gradiente V'g(3. --I) e
use-o para achar a reta tangente à curva de nível g(x, _v) = 2 no
ponto (3, -1). Esboce a curva de nível, a reta tangente c o
vetor gradiente.
49. Mostre que a equação do plano tangente ao elipsóide
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 1 = l no ponto (x 0 , y 0 , z 0 ) pode ser
escrita como
XXo + YYo + zzo =
a 2 b 2 c 2
50. Detem1ine a equação do plano tangente ao hiperbolóidc
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 - z 2 /c 2 = l em (x 0 , y 0 , z 0 ) e expresse-a de
forma semelhante à do Exercício 49.
51. Mostre que a equação do plano tangente ao parabolóide
elíptico z/ c = x 2 / a 2 + y 2 / b 2 no ponto (x 0 , )'o, Zo) pode ser
escrita como
2txo 2yyo z + Zo
--+-~~---
a2 b 2 c
52. Determine os pontos sobre o elipsóide x" + 2y 2 + 3z 2 =
onde o plano tangente é paralelo ao plano 3x - y + 3z = l.
53. Determine os pontos no hiperbolóidc x 2 - y 2 + 2z 2 = 1 onde
a reta normal é paralela à reta que une os pontos (3, -1, O) c
(5, 3, 6).
54. Mostre que o elipsóide 3x 1 + 2y 2 + z 2 = 9 e a esfera
x 2 + y 2 + z 2 - Sx - 6y - 8z + 24 = O se tangenciam no
ponto (1, I, 2). (Isso significa que eles têm urna tangente
comum nesse ponto.)
55. Mostre que todo plano que é tangente ao cone x 2 + y 2 = z 2
passa pela origem.
56. Mostre que a reta normal à esfera x 2 + y 2 + z 2 = r 2 passa
pelo centro da esfera.
Mostre que a soma das interseções com os eixos x, y e z de
qualquer plano tangente à superfície J;: + /Y + JZ = -.[:; é
uma constante.
58. Mostre que o produto das interseções com os eixos x, y e z
de qualquer plano tangente à superfície xyz = c 3 é uma
constante.
59. Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva
formada pela interseção do parabolóide z = x 2 + y 2 com o
elipsóide 4x 2 + y 2 + z 2 = 9 no ponto ( -1, 1, 2).
00. (a) O plano y + z = 3 intercepta o cilindro x 2 + y 2 = 5 em
urna elipse. Determine as equações paramétricas da reta
tangente a essa elipse no ponto (1, 2, 1).
~~ (b) Desenhe o cilindro, o plano e a reta tangente na mesma tela.
61. (a) Duas superfícies são ditas ortogonais em um ponto de
interseção se suas nonnaís são perpendiculares nesse
l

ponto. Mostre que superfícíes com equação F(x, y, z) = O
e G(x, y, z) = O são ortogonais em um ponto P onde
VF "':-O e VG "':-O se e somente se, em P,
F"G" + F"G' + F,G, ~ O.
James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADJ1$ PARCIAIS c 951
(b) Trace o gráfico de f perto da orígem e comente como ele
confirma a parte (a).
+U Suponha que as derivadas direcionais de f (x, y) sejam
conhecida~ em um determinado ponto em duas direções não
paralelas dadas por seus versores u e v. É possível determinar
V f nesse ponto Se sim, como fazê-lo
(b) Use a parte (a) para mostrar que as superfícies z 2 = x 2 + y 2
e x 2 + y 2 + z 2 = r 2 são ortogonais em todo ponto de
interseção. Você pode ver isso sem fazer os cálculos 64. Mostre que, se z = j(x, y) for diferenciável em x 0 = (x 0 , y 0 ).
então
62. (a) Mostre que a função j(x, y) = ~/xY é contínua e suas
derivadas parcíais f, e f- existem na origem mas as derivadas
direcionais em todas as outras direções não existem.
. f(x) ~ f(xo) ~ 'Vf(xo) · (x ~ Xo)
~ ~o
,~,, lx ~ xol
[Dica: Use a Definição 14.4.7 diretamente.]
tlrf.:J Valores Máximo e Mínimo
Como vimos no Capítulo 4 do Volume I, um dos principais usos da derivada ordinária é na
determinação dos valores máximo e núnimo. Nesta seção veremos corno usar as derivadas
parciais para localizar os pontos de máximo e mínimo de uma função de duas variáveis.
Em particular, no Exemplo 6 veremos como maximizar o volume de uma caixa sem tampa
se tivermos uma guantidade fixa de cartolina para trabalhar.
j
Uma função de duas variáveis tem um máximo local em (a, h) se
I f(x, y) ""'f(a, b) quando (x, y) está próximo de (a, b). [Isso significa que
I f(x, y) ""'f(a, b) para todo ponto (x, y) em alguma bola aberta com centro em (a,
I b) ] O número f (a, b) é chamado valor máximo local. Se j(x, y) "'f(a, b) quando
á próximo de (a, b), entãof(a, b) é um valor mínimo local.
FIGURA 1
c Note que a conclusáo do
Teorema 2 pode ser colocada em
termos do gradiente como
Vj(a,b) ~O
Se as inequações da Definição I valerem para todos os pontos (x, y) do domínio de f
então f tem um máximo absoluto (ou núnimo absoluto) em (a, b).
O gráfico da função com muitos máximos e mínimos locais é mostrado na Figura 1.
Você pode pensar nos máximos locais como picos de montanhas e nos mínimos locais
como o fundo dos vales.
L§_j Ieurema Se uma função f tem um máximo ou mínimo locais em (a,
derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então
e J,(a, b) ~O.
Prava Seja g(x) ~ f(x, b). Se f tem um máximo (ou mínimo) local em (a, b), então g
tem um máximo (ou mínimo) local em a, de modo que g'(a) ~O pelo Teorema de
Fermat (veja o Teorema 4.1.4 no Volume I). Mas g'(a) ~ f,(a, b) (veja a Equação
14.3.1), e assim j;(a, b) ~O. Da mesma forma, pela aplicação do Teorema de Fermat à
função G(y) ~f( a, y), obtemos f,(a, b) ~O.
Se impusermos JAa, b) ~O e j,(a, b) ~O na equação do plano tangente (Equação
14.4.2), obteremos z = z 0 • Assim, a interpretação geométrica do Teorema 2 é que, se o gráfico
de f tem um plano tangente em um ponto de máximo ou mínimo locais, esse plano
precisa ser horizontal.
Um ponto (a, b) é dito ser um ponto crítico (ou ponto estacionário) de f se j;(a, b) ~ O
e /,(a, b) ~O, ou se uma das derivadas parciais não existir. O Teorema 2 diz que, se f tem
um máximo ou mínimo locais em (a, b), então (a, b) é um ponto crítico de f Entretanto,
como no cálculo de uma única variável, nem todos os pontos críticos correspondem a um
máximo ou mínimo. Em um ponto crítico, a função pode ter um máximo local ou um mínimo
local, ou ainda nenhum dos dois.

952 c CÁLCULO Editora Thomson
Seja J(x, y) ~ x' + y 2 -
lx- 6y + 14. Então
fc(x, y) ~ 2x - 2 f,(x,y) ~ 2y- 6
Essas derivadas parciais são nulas quando x =
é (1, 3). Completando os quadrados, achamos
1 e y = 3, portanto o único ponto crítico
X
o
o. 3, 4)
FIGURA 2
Z =A-"+)" -2x-6y + 14
FIGURA 3
f(x, y) ~ 4 + (x - 1)' + (y - 3)'
Como (x- 1) 2 O e (y - 3) 2 O, temos f(x, y) 4 para todos os valores de x e y.
Logo, f(l, 3) ~ 4 é um mínimo local, e de fato é um mínimo absoluto de f Isso pode
ser confirmado geometricamente do gráfico de f, que é mn parabolóide elíptico com
vértice (1, 3, 4), mostrado na Figura 2.
EXH\ilPUJ 2
Determine os valores extremos de f(x, y) = y 2 ~ x 2 •
SOLUÇÃO Como f, ~ -2x e f ~ 2y, o único ponto crítico é (0, 0). Note qne, para os
pontos sobre o eixo x, temos y ~ O, de modo que f(x, y) ~ - x 2 < O (se x r' 0).
Entretanto, para os pontos sobre o eixo y, temos x =O, e então f(x, _y) = y 2 >O (se
y oj::. 0). Logo, todo disco com centro (0, 0) contém pontos onde a função f tem valores
positivos, assim como pontos onde f tem valores negativos. Por conseguinte, f( O, O)= O
não pode ser um valor extremo de f, e f não tem valor extremo.
O Exemplo 2 ilustra o fato de que uma função pode não ter nem máximo nem mínimo
em um ponto crítico. A Figura 3 mostra como isso é possíveL O gráfico de f é o
parabolóide hiperbólico z = y 1 - x 2 , que tem plano horizontal tangente (z = 0) na
origem. Você- pode ver que f( O, O) = O é um máximo na direção do eixo x, mas um mínimo
na direção do eixo y. Perto da origem o gráfico tem o formato de uma sela, e por isso
(0, O) é chamado ponto de sela de f
Precisamos ser capazes de determinar se uma função tem um valor extremo em um
ponto crítico. O teste que se segue, que será provado no final desta seção, é análogo ao
Teste da Segunda Derivada para as funções de uma única variáveL
[1] T~;;ste da ~·~;::; 'di [íuJvarla Suponha que as segundas derivadas parciais de f
sejam contínuas em uma bola aberta com centro em (a, b), e suponha que
f,( a, b) ~O e /,(a, b) ~O [ou seja, (a, b) é um ponto critico de}]. Seja
D ~ D(a, h) ~f=( a, b)J;,(a, b) - [.t;y(a, b)] 2
(a) Se D >O e fu(a, b) >O, então J(a, b) é um mínimo local.
(b) Se D >O e f=(a, b)

T
James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAiS ;_~ 953
u;:r:f'jlfJLü 3
Determine os valores de máximo e núnimo locais e os pontos de sela de
f(x,y) ~ x' + y 4 - 4xy + l.
SOLUÇÃO Vamos inicialmente localizar os pontos críticos:
f,.~ 4x 1 - 4y h~ 4y 1 - 4x
Igualando essas derivadas parciais a zero, obtemos as equações
Para resolvê~ las, substituímos y = x 3 da primeira equação na segunda. Isso dá
e
O~ x 9 - x ~ x(x' - I) ~ x(x 4 - l)(x 4 + I) = x(x 2 - l)(x 2 + l)(x 4 + I)
e existem três raízes reais: x =O, l, -1. Os três pontos críticos são (0, O), (1, I) e
(-1, -1)
Agora vamos calcular as segundas derivadas parciais e D(x, y):
fxx = 12x 2
FIGURA4
z = x' + y~ -4xy + 1
Como D(O, O) ~ -16 O e fu(l, 1) ~ 12 >O, vemos do caso (a) do teste que
j(l, 1) ~ -1 é um minimo locaL Da mesma forma, temos D( -1, -1) ~ 128 >O e
/u( -1, -1) ~ 12 >O, e então f( -1, -I)~ -1 é também um minimo locaL
O gráfico de f é mostrado na Figura 4.
Um mapa de contorno da função f
do Exemplo 3 é mostrado na Figura 5.
As curvas de nível perto de {1, 1) e
(~1, ~1) têm forma oval e indicam
que, quando nos movemos para longe
de (1, 1) ou {-1, -1) em qualquer
direção, os valores de f crescem. As
curvas de nível perto de (0, 0), por
outro lado, parecem hipérboles. Eias
revelam que, quando nos movemos
para longe da origem (onde o valor de f
é 1), os
vaiares de f decrescem em algumas
direções, mas crescem em outras.
Portanto o mapa de contornos sugere
a presença dos mínimos e do ponto de
sela que encontramos no Exemplo 3.
FIGURA 5
EXHw1f'UJ 4 c:::
Determine e classifique os pontos críticos da função
f(x, y) ~ 10x 2 y- 5x 2 - 4y 2 - x 4 - 2y 4
Detennine também o ponto mais alto do gráfico de f

954 o CÁLCUlO Editora Thomson
SOLUÇÃO As primeiras derivadas parciais são
j; ~ 20xy - !Ox - 4x 3
Para achar os pontos críticos precisamos resolver as equações
2x(10y - 5 - 2x 2 ) ~O
5x 2 - 4y - 4y 3 ~ O
Da Equação 4, vemos que
x~O
ou lOy - 5 - 2x 2 ~ O
No primeiro caso (x = 0), a Equação 5 fica -4y(l + y 2 ) = O, assim y = O e temos
um ponto crítico (0, 0).
No segundo caso (!Oy- 5 - 2x 2 ~ 0), temos
x 2 ~ 5y- 2,5
e, substituindo na Equação 5, ternos 25y - 12,5 - 4y - 4y 3 ~O. Logo, temos de
resolver a equação cúbica
4y 3 - 21y + 12,5 ~o
Utilizando uma calculadora gráfica ou um computador para traçar o gráfico da função
g(y) ~ 4y 3 - 2ly + 12,5
como na Figura 6, vemos que a Equação 7 tem três raízes reais. Dando um zoam
podemos achar as raízes com quatro decimais:
y = -2,5452
FIGURA 6
y = 0,6468
y = 1,8984
(Como alternativa, podemos usar o método de Newton ou um programa para localizar as
raízes para determiná-las.) Da Equação 6, os valores de x correspondentes são dados por
x ~ :t..j5y 2,5
Se y ~ -2,5452, então x não tem valor real correspondente. Se y = 0,6468, logo,
x = :!:.0,8567. Se y = 1,8984, então x = :!:.2,6442. Assim temos o total de cinco pontos
críticos, que são analisados na tabela que se segue. Todos os valores estão arredondados
para duas casas decimais.
Ponto crítico Valor de f f,, D Conclusões
I
(0, 0) 0,00 -10,00 80,00 máximo
(±2,64, 1.90) 8,50 -·5,5,93 2A88.7J máximo
(±0,86. 0,65) ! -1,48 -5,87 -187,64 ponto de sela
i !

T
James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAIS CJ 955
As Figuras 7 e 8 mostram o gráfico de f sob dois pontos de vista diferentes, e vemos
que a superfície abre para baixo. Usso pode ser visto da expressão de f (x, y): os termos
dominantes são - 2v' quando I x I e I y I são grandes.] Comparando os valores de f
nos máximos locais, vemos que o máximo absoluto de fé f(::':2,64, 1,90) = 8,50. Em
outras palavras, os pontos mais altos do gráfico de f são (::'::2,64, 1,90, 8,50).
X
FIGURA 7 FIGURA 8
o Os cinco pontos críticos da funçâo f
do Exemplo 4 sáo mostrados no mapa
de contorno de f na Figura 9.
FIGURA 9
EXEMPLO 5 c Detennine a distância mais curta entre o ponto (1, O, -2) e o plano
X+ 2y + Z ~ 4.
SOLUÇÃO A distância entre um ponto qualquer (x, y, z) e o ponto (1, O, -2) é
d ~ v (x - 1) 2 + y 2 + (z + 2) 2
mas, se (x, y, z) pertence ao plano x + 2y + z ~ 4, então z ~ 4 - x - 2y, e assim
temos d ~ )(x- 1) 2 + y 2 + (6 - x- 2y) 2 Podemos minimizar d minimizando a
expressão mais simples
Resolvendo as equações
d' ~ f(x, y) ~ (x- 1) 2 + y 2 + (6 - x- 2y) 2
f; ~ 2(x - l) - 2(6 - x - 2y) ~ 4x + 4y - 14 ~ O
f, ~ 2y - 4(6 - x - 2y) ~ 4x + !Oy - 24 ~ O
achamos que o único ponto crítico é ( _!J, ~ ). Como f= = 4, fxy = 4 e fyy = 10, temos
D(x, y) ~ fuJ;y - (!;,)' ~ 24 > O e fu > O. Portanto, pelo Teste da Segunda Derivada,
f tem um mínimo local em ( ~· ~ ). Intuitivamente podemos ver que esse mínimo local é,

956 U CÁLCULO Editora Thomson
na verdade, um mínimo absoluto, porque precisa haver um ponto no plano dado que
esteja mais próximo de (1, O, -2). Se x =}-e y =~,então
r; O Exemplo 5 poderia ser resolvido
utilizando-se vetores. Compare com os
métodos da Seção 12.5.
d = -v(x- ll" - + y , + (6 - x- -Y r ~ = y !(')' 6- + Cl' 3- + ('t fi-'-= -s,/6
6 -
A distância mais curta de (l, O. -2) ao plano x + 2y + z = 4 é 5,/6/6.
EXEMPLO 6 Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m 2 de papelão.
Determine o volume máximo de tal caixa.
SOLUÇÃO Seja o comprimento, a largura e a altura da caixa (em metros) x, y e z, como
mostrado na Figura 10. O volume dessa caixa é
V=xyz
z
)'
FIGURA 10
Podemos expressar V como função só de x e y usando o fato de que a área dos quatro
lados e do fundo da caixa é
2xz + 2yz + xy = 12
Resolvendo essa equação para z, obtemos z = (12 - xy)/[2(x + y)], e V fica
12 -
V = xy -:-;---';-
2(x + y)
12xy-x2y2
2(x + y)
Se calcularmos as derivadas parciais:
a v
ax
y 2 (12 - 2xy - x 2 )
2(x + y)'
a v
ay
x 1 (12 - 2xy - y 2 )
2(x + y) 2
Se v é um máximo, então av;ax = avjay =O, mas X= o ou y =o fornecem v= O,
dessa forma, precisamos resolver as equações
12 - 2xy - x 2 = O 12 - 2xy - y 2 = O
Isso leva a x 2 = y 2 e portanto x = y. (Note que x e y precisam ser positivos no
problema.) Se substituirmos x = y em uma das equações, obteremos 12 - 3x 2 = O, que
dá x = 2, y = 2 e z = (12 - 2 · 2)/[2(2 + 2)] = 1.
Podemos usar o Teste da Segunda Derivada para mostrar que o ponto obtido é um
máximo local de V, ou podemos argumentar que a natureza física do problema exige a
existência de um máximo absoluto e que, portanto, esse máximo ocorre quando x = 2,
y = 2, z = 1. Assim, V = 2 • 2 • I = 4, e o volume máximo da caixa é 4 m 3 •
Valores Máximo e Mínimo Absolutos
Para uma função f de uma variável, o Teorema do Valor Extremo diz que, se f é contínua
em um intervalo fechado [a, b], então f tem um valor mínimo absoluto e um valor máximo
absoluto. De acordo com o Método dos Intervalos Fechados da Seção 4.1 do Volume l,
achamos esses valores calculando f não somente nos pontos críticos, mas também nos
extremos do intervalo a e b.

T
James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAIS C 957
FIGURA 11
(a) Conjuntos fechados
(b) Conjuntos não fechados
Para as funções de duas variáveis a situação é semelhante, Como para os intervalos
fechados os extremos do intervalo estão contidos no intervalo, um conjunto fechado de
fR: 2 contém todos os seus pontos da fronteira. [Um ponto da fronteira de D é um ponto (a,
b) tal que qualquer bola aberta centro em (a, b) contém pontos de De pontos não pertencentes
a D.] Por exemplo, o disco
D ~ {(x,y)lx' + )' 2 ~ l}
constituído de todos os pontos sobre e dentro da circunferência x 2 + y 2 = 1, é um conjunto
fechado porque contém todos os seus pontos da fronteira (que são os pontos sobre a
circunferência x 2 + y 2 = 1). Mas mesmo que um único ponto da fronteira seja omitido, o
conjunto deixa de ser fechado (veja a Figura 11).
Um conjunto limitado em IR: 2 é aquele que está contido em algum disco. Em outras
palavras, ele é finito em extensão. Então, em tennos de conjuntos fechados e limitados.
podemos estabelecer o correspondente ao Teorema do Valor Extremo para as duas dimensões.
[]]Teorema do Valor Extremo para as Funções de Duas Variáveis Se f for contínua
em um conjunto fechado e limitado D de ~ 2 , então f atinge um valor máximo
absoluto f(x 1 , y 1 ) e um valor mínimo absoluto f(x 2 , y 2 ) em alguns pontos (x, y 1 ) e
(x:, y,) de D.
Para achar os pontos extremos cuja existência é garantida pelo Teorema 8. notamos que,
pelo Teorema 2, se f tem um valor extremo em (x1, }'J), então (x~, y 1) ou é um ponto crítico
de f ou um ponto da fronteira de D. Portanto temos a seguinte extensão do Método dos
Intervalos Fechados.
[[] Para determinar um máximo ou mínimo absolutos de uma função contínua f
em um conjunto fechado e limitado D:
1. Determine os valores de f nos pontos críticos de f no interior de D.
2, Estabeleça os valores extremos de f na fronteira de D.
3. O maior dos valores dos passos 1 e 2 é o valor máximo absoluto; o menor
desses valores é o valor mínimo absoluto.
EXEMPLO 7 2
Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
f(x, y) ~ x' - 2xy + 2y no retângulo D ~ {(x, y) I O ,; x,; 3, O,; y,; 2}.
SOLUÇÃO Como f é um polinômío, é contínua no retângulo fechado e limítado D, e,
portanto, o Teorema 8 nos diz que existem tanto o máximo absoluto quanto o mínimo
absoluto. De acordo com o passo 1 de (9), inicialmente devemos calcular os pontos
críticos. Eles ocorrem quando
h= 2x- 2y =O h~ -2x + 2 ~O
e, assim, o único ponto crítico existente é (1, 1), no qual temos f(l, I) ~ l.
No passo 2 olhamos para os valores de f na fronteira de D, que é constituído por
(3, 2) quatro segmentos de reta L 1 , L 2 , L 3 e L 4 mostrados na Figura 12. Em L 1 , temos y =O e
L, f(x, O)~ x'
x
Isso corresponde a uma função crescente de x, que tem valor mínimo f( O, O) = O e má~
ximo f(3, O) ~ 9. Sobre L 2 , temos x ~ 3 e
FIGURA 12
f(3,y) ~ 9- 4y

958 o CÁLCULO Editora Thomson
Essa é uma função decrescente de y, portanto seu máximo é f(3, O) = 9 e seu mínimo é
f(3, 2) = l. Sobre L3, temos y = 2 e
f(x, 2) = x 2 - 4x + 4
Pelos métodos do Capítulo 4 do Volume I, ou simplesmente observando que
f(x, 2) = (x - 2)', vemos que o núnimo valor dessa função é f(2, 2) = O, e seu valor
máximo é f( O, 2) = 4. Finalmente, sobre L,, temos x = O e
f( O, y) = 2y
com valor máximo f( O, 2) = 4 e valor núnimo f( O, O) = O. Portanto, na fronteira, o
valor mínimo de f é O e o rnáxiino, 9.
No passo 3 comparamos esses valores com o valor f(l, 1) = 1 no ponto crítico e
concluímos que o valor máximo absoluto de f em D é f(3, O)= 9, e o valor núnimo
absoluto é f( O, O) = j(2, 2) =O. A Figura l3 mostra o gráfico de f
FIGURA 13
f(x, y) =x'- 2xy + 2y
Fechamos esta seção com a prova da primeira parte do Teste da Segunda Derivada. As
partes (b) e (c) têm provas semelhantes.
Prova da Parte (a) do Teorema 3 Vamos calcular a segunda derivada direcional de f na
direção deu= (h, k). A derivada de primeira ordem é dada pelo Teorema 14.6.3:
D.j= j;h + fk
Aplicando esse teorema uma segunda vez, temos
D~j = D.(D,j) = _i_ (D,f)h + _i_ (D,f)k
ax
Jy
(pelo Teorema de C!airaut)
Se completarmos os quadrados na expressão, obteremos

James Stewart CAPÍTUlO 14 DERIVADAS PARCIAIS O 959
Temos que f=( a, b) >O e D(a, b) >O. Mas /u e D ~ /u/, 2
-fi, são funções contínuas,
logo existe uma bola aberta B com centro (a, b) e raio 8 >O tal que f=(x, y) >O e
D(x, y) >O sempre que (x, y) pertencer a B. Portanto, olhando a Equação 10, vemos que
D~f(x, y) >O sempre qoe (x, y) pertencer a B. Isso implica que, se C é uma curva obtida
pela interseção do gráfico de f com o plano vertical que passa por P(a, b,f(a, b)) na
direção de u, então C tem concavidade para cima no intervalo de comprimento 28. Isso é
verdadeiro na direção de todo vetor u; portanto, se restringirmos (x, y) a B, o gráfico de f
permanecerá acima do plano horizontal tangente a f em P. Logo, f(x, y) :;, f(a, b)
sempre que (x, y) estiver em B. Isso mostra quef(a, b) é um rrúnimo local.
Exercícios
Suponha que (1, l) seja um ponto crítico de f com derivadas de
segunda ordem contínuas. Em cada caso. o que se pode dizer
sobre f
(a) j~(l. I) ~ 4,
(b) fn(l, l) ~ 4,
.f,,(l, l) ~ l,
};,(l, l) ~ 3,
J,,(l, l) ~ 2
J,(l. 1) ~ 2
2. Suponha que (0, 2) seja um ponto crítico de g com derivadas
de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode
dizer sobre g
(a) gu(O, 2) ~ -l,
(b) gu(Ü, 2) ~ -],
(c) gu(O, 2) ~ 4,
g,,(O, 2) ~ 6,
g,.(O, 2) ~ 2,
9w(O, 2) ~ 6,
g,(O. 2) ~ l
g,(O, 2) ~ -8
g,.(O, 2) ~ 9
4. f(x,y) ~ 3x- x'- 2y 2 + y'
Yt
3-4 o Utilize as curvas de nível da figura para predizer a
localização dos pontos críticos de f e se f tem um ponto de sela ou
um máximo ou mínimo locais em cada um desses pontos. Explique
seu raciocínio. Em seguida empregue o Teste da Segunda Derivada
para confirmar suas predições.
f(x, y) ~ 4 + x 3 + y 3 -
3xy
5-18 o Determine os valores máximos e núnimos Jocais e pontos
de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos
tridimensionais no computador, utilize~o com a janela de inspeção
e o ponto de vista que mostre os aspectos importantes da função.
5. f(x, y) ~ 9 - 2x + 4y - x 2 - 4y 3
6. f(x, y) ~ x 3 y + l2x 2 - 8y
~~~~~~4-=7L~~L_---+
~:~( "
7. f(x, y) ~ x' + y' - 4xy + 2
8. f(x, y) ~
9. f(x, y) ~ (! + xy)(x + y)
10. f(x, y) ~ 2x 3 + xy 2 + 5x 2 + y 2
11. f(x,y) ~ l + 2xy- x 2 - y 2

960 o CÁlCUlO Editora Thomson
=
12. f(x. y) ~ xy(l - x - y)
j(x, y) =
ex cos y
14 . .f(x, y) ~ x 2 + y 2 +
15 . .f(x, y) ~ x seny
16 . .f(x, y) ~ (2x- x 2 )(2y - y')
17. J(x, y) ~ (x' +
18. f(x, y) ~ x 2 ye ,•-,•
19-22 CJ Utilíze o gráfico e/ou curvas de nível para estimar os
valores máximos c mínimos locais e pontos de sela da função. Em
seguid

T '
i
-49. Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de
32.000 cm 3 • Determine as dimensões que miniiT'Jzem a
quantidade de papelão utilizado.
50. Um prédio retangular está sendo projetado para minimizar a
perda de calor. As paredes leste e oeste perdem calor a uma
taxa de 10 units/m 2 por dia, as paredes norte e sul, a uma taxa
de 8 units/m 2 por dia, o piso, a uma taxa de l unil/m 2 por dia e
o terraço, a uma taxa de 5 units/m 2 por dia. Cada parede deve
ter, pelo menos, 30 m de comprimento, a altura, no mínimo, 4
m, e o volume exatamente 4.000 m 3 .
(a) Determine e esboce o domínio da perda de calor como uma
função dos comprimentos dos seus lados.
(b) Ache as dimensões que minimizam a perda de calor.
(Analise tanto os pontos críticos como os pontos sobre a
fronteira do donúnio.)
(c) Você poderia projetar um prédio com precisamente a
mesma perda de calor se as restrições sobre os
comprimentos dos lados fossem removidas
51. Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve
ser L, qual é o maior volume possível
52. Três alelos (versões alternativas de um gene) A, B e O
determinam os quatro tipos de sangue: A (AA ou AO), B
(BB ou BO), O (00) e AB. A Lei de Hardy-Weinberg
estabelece que a proporção de indivíduos em uma população
que carregam dois alelos diferentes é
P ~ 2pq + 2pr + 2rq
onde p, q e r são proporções de A, B e O na população. Use o
fato de que p + q + r= I para mostrar que Pé no máximo~.
James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCiAIS 961
53. Suponha que um cientista tenha razões para acreditar que duas
quantidades x e y sejam relacionadas linearmente, ou seja,
y = mx + b, pelo menos aproximadamente, para algum valor dC
m e b. O cientista realiza um experimento e coleta os dados na
forma de pontos (x~. }'I). (x 2 , y 2 ), ... , (x,, y,), e então plota-os.
Os pontos não estão todos alinhados, de modo que o cientista
quer determinar as constantes m e b para que a reta y = mx + b
"se aproxime" dos pontos tanto quanto possível (veja a figura).
o
Seja d; = )'; - (mx; + b) o desvio vertical do ponto (x, )' 1
)
reta. O método dos mínimos quadrados determina m e b de
modo a minimizar :Zí'-~1 d, a soma dos quadrados dos desvios.
Mostre que, de acordo com esse método, a reta que melhor
aproxima é obtida quando
" " " " "
m L; x, + bn ~ L; y,
X
da
m L xl + b L x, ~ L x,y,
ic·-1 i~l i=l
Assim, a reta é detenninada resolvendo esse sistema linear de
duas equações nas incógnitas me b. (Veja a Seção 1.2 do Volume
I para mais aplicações do método dos rrúnimos quadrados.)
54. Determine uma equação do plano que passe pelo ponto (l, 2, 3)
que corte o menor volume do primeiro octante.
Projeto Aplicado
Projeto de uma Caçamba
Para esse projetà,_ inicialmente defina a forma na _qual você deseja di111ensionar uma _c~~ba de
entulho com tampa Tentaretnos _então de_tennin;tr f!S __ dimensões de um recipiente :de forma Similar
quf!. minimize o custo de coll§trução.

962 o CÁlCUlO Editora Thomson
l
Projeto Descoberta
Aproximação Quadrática e Pontos Críticos
A aproximação por polinômio de Taylor de uma função de uma variável discutida no Capítulo 1 1
pode ser estendida para as funções de duas ou mais variáveis. Estudaremos aqui a aproximação
quadrática para as funções de duas variáveis e usaremos esse estudo para melhor entender o Teste
da Segunda Derivada para classificar pontos críticos.
Na Seção 14.4 discutimos a linearização de uma função f de duas variáveis em um ponto (a, b):
L(x,y) ~ f(a, h)+ JAa, h)(x- a)+ h(a, b)(y- h)
Lembre-se de que o gráfico de L é o plano tangente da superfície z = f(x, y) em (a, h ,f( a, b)), c
a aproximação linear correspondente é f(x, y) """"L(x, y). A linearização L é também chamada
polinômio de Taylor de primeiro grau de f em (a, b).
1. Se f tiver derivadas parciais de segunda ordem contínuas em (a, b), então o polinômio de
Taylor de segundo grau de f em (a, h) é
Q(x, y) ~ f(a, h) + j;(a, b)(x -a) + j,(a, b)(y - b)
+ lfu(a, b)(x- a)'+ j;,(a, b)(x- a)(y- b) + lfry(a, b)(y- b) 2
e a aproximação f(x, y) = Q(x, y) é denominada de aproximação quadrática de f em (a, b).
Verifique que Q tem as mesmas derivadas parciais de primeira c segunda ordens que f em (a, b).
~-- (a) Detenníne os poJinômios de Taylor de primeiro e segundo graus L e Q para
j(x,y) ~e-• -, em(O,O).
·:11 (b) Trac,e _o gráfico de f, L e Q. Comente quão boas são essas aproximações.
Estabéleç*os polinômios de Taylor de primeíro e segundo graus L e Q para f(x, y) ~ xe'

James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIA.iS 963
Multiplicadores de Lagrange
FIGURA 1
No Exemplo 6 da Seção 14.7 maximizamos a função volume V = xyz sujeita à restrição
2xz + 2yz + xy = 12, que expressa a condição da área da superfície ser de ] 2 m 2 • Nesta
seção apresentaremos o método de Lagrange para maximizar uma função genérica
f(x, y, z) sujeita a uma restrição (ou condição) da forma g(x, y, z) = k.
É fácil explicar a base geométrica do método de Lagrange para as funções de duas
variáveis. Então vamos começar tentando determinar os valores extremos de f (x, y)
sujeita à restrição da forma g(x, y) = k. Em outras palavras, queremos achar os valores
extremos def(x, y) quando o ponto (x, y) pertencer à curva de nível g(x, y) = k, A Figura
1 mostra essa curva juntamente com várias outras curvas de nível da função f Essas curvas
de nível têm equação f(x, y) =c, onde c= 7, 8, 9, 10, 1 L Maximizarf(x, y) sujeita
a g(x, y) = k é achar qual o maior valor de c tal que a curva de nível f(x, y) =c intercepte
g(x, y) = k. Parece, da Figura 1, que isso acontece quando essas curvas se tocam,
ou seja, quando essas curvas têm uma reta tangente em comum. (Caso contrário,
poderíamos aumentar o valor de c.) Isso significa que as retas normais ao ponto (xo, yo)
onde as duas curvas se tocam devem ser as mesmas. Logo os vetores gradientes são paralelos:
ou seja, 'Vf(xo, }'o)= À Vg(xo, }'o) para algum escalar À.
'I
I
g(x, y) = k1í~· --------.. ·;--. '' f(x. y) = li
' i ' \) f(x, y) = lO
o
,I ---j(x.y)=8
f(x, y) = 7
' ' ·- f(x. y) = 9
X
Esse argumento também se aplica ao problema de achar os valores extremos de
f(x, y, z) sujeita à restrição g(x, y, z) = k. Assim, o ponto (x, y, z) está restrito a pertencer
à superfícieS com equação g(x, y, z) = k. Em vez das curvas de nível da Figura 1, devemos
considerar as superfícies de nível f(x, y, z) = c e argumentar que, se o valor máximo
de fé f(xo, yo, zo) =c, então a superfície de nível f(x, y, z) =c é tangente à superfície de
nível g(x, y, z) = k, e então os correspondentes gradientes são paralelos.
Esse argumento intuitivo pode ser colocado de forma precisa como se segue. Suponha
que uma função f tenha um valor extremo no ponto P(x 0 , y 0 , z 0 ) sobre a superfícieS e seja
C a curva com equação vetorial r(t) = (x(t), y(t), z(t)) que pertença aS e passe pelo ponto
P. Se lo é o valor do parâmetro correspondente ao ponto P, então r(to) = (xo, yo, zo). A
função composta h(t) = f(x(t), y(t), z(t)) fornece os valores de f sobre a curva C. Como f
tem um valor extremo em (x 0 , yo, z 0 ), segue que h tem um valor extremo em t 0 , e, portanto,
h'(to) = O. Porém, se f for diferenciável, usando a Regra da Cadeia podemos escrever
O = h'(to) = f,{xo, Yo, zo)x'(to) + f(xo, yo, zo)y'(to) + f(xo, yo, zo)z'(to)
= 'Vf(xo,yo, zo) · r'(to)
Isso mostra que o vetor gradiente V f(xo, Yo. zo) é ortogonal ao vetor tangente r'(t 0 ) para
toda curva C assim obtida. Mas já vimos na Seção 14.6 que o vetor gradiente de g,
'Vg(xo, yo, zo), também é ortogonal a r'(to) (veja a Equação 14.6.18). Isso significa

964 CJ CÁLCUlO Editora Thomson
o Multiplicadores de Lagrange têm
esse nome em homenagem ao
matemático franco-italiano Joseph­
Louis Lagrange {1736-1813). Veja no
Volume !, à págína 292, uma pequena
biografia de Lagrange.
que os vetores V f(xo, )'o, zo) e \7 g(x 0 , y 0 , zo) precisam ser paralelos. Portanto, se
Vg(xo, y 0 , z 0 ) #O, existe um número Á tal que
O número Á na Equação 1 é chamado multiplicador de Lagrange. O procedimento
baseado na Equação 1 é o seguinte:
o Ao derivar o Método de Lagrange,
supusemos que Vg rio O. Em cada um
de nossos exemplos você pode
verificar que Vg rio O em todos os
pontos onde g(x, y, z) = k.
Método dos Multiplicadores de lagrange Para determinar os valores máximo e
mínimo de J(x, y, z) sujeita a g(x, y, z) ~ k [supondo que esses valores extremos
existam e que Vg # O sobre a superfície g(x, y, z) ~ k]:
(a) Determine todos os valores de x, y, z e À tal que
(b)
e
Vj(x,y,z) ~Á Vg(x,y,z)
g(x,y, z) ~ k
Calcule f em todos os pontos (x, y, z) que resultaram do passo (a). O maior
desses valores será o valor máximo de f, e o menor será o valor mínimo de f
Se escrevermos a equação vetorial V f= À V g em termos de seus componentes, a
equação do passo (a) ficará
h~ Ágy g(x, y, z) ~ k
Isto é, um sistema de quatro equações a quatro incógnitas x, y, z e À. Mas não é necessário
calcular de modo explícito valores para Á.
Para as funções de duas variáveis, o método de Lagrange é semelhante àquele que
acabamos de descrever. Para achar os valores extremos de f (x, y) sujeita à restrição
g(x, y) ~ k, olhamos para todos os valores de x, y e Á tais que
Vj(x, y) ~Á Vg(x, y) e g(x,y) = k
Isso leva à solução de um sistema de três equações a três incógnitas:
h~ Àg, g(x,y) ~ k
Nosso primeiro exemplo de método de Lagrange é reconsiderar o problema dado no
Exemplo 6 da Seção 14.7.
EXEMI'lll 1 o Uma caixa retangular sem tampa é feita de 12m 2 de papelão. Determine
o volume máximo dessa caixa.
SOLUÇÃO Como no Exemplo 6 da Seção 14.7, sejam x, y e z o comprimento, a largura e
a altura, respectivamente, da caixa em metros. Queremos maximizar
sujeita à restrição
V=xyz
g(x, y, z) ~ 2xz + 2yz + xy ~ 12

T
I
James Stewart CAPÍTULO 14 DERiVADAS PARCIAIS 965
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, olhamos para os valores de x, y, z,
e À tal que 'V V~ À V g e g(x, y, z) ~ 12. Isso gera as equações
2xz + 2yz + xy ~ 12
yz ~ À(2z + y)
xz ~ À(2z + x)
xy ~ À(2x + 2y)
2xz + 2yz + xy ~ 12
Não há regras gerais de como resolver esse sistema de equações. Algumas vezes
precisamos de certa engenhosidade. No presente caso você pode notar que, se
multiplicarmos (2) por x, (3) por y e (4) por z, os lados esquerdos dessas equações ficam
idênticos·. Fazendo isso, temos
xyz ~ À(2xz + xy)
CJ Outro método de resolver o sistema
de equações (2-5) é resolver cada uma
das equações 2, 3 e 4 para depois
equacionar as expressões resultantes.
xyz ~ A(2yz + xy)
xyz ~ A(2xz + 2yz)
Observamos que A ;"O porque À~ O implicaria yz = xz ~ xy ~O de (2), (3) e (4), e
isso contradiz (5). Logo, de (6) e (7), temos
2xz + xy = 2yz + xy
que dá xz ~ yz. Mas z ;"O (uma vez que z =O daria V~ 0), portanto x ~ y. De (7) e
(8), obtemos
2yz + xy = 2xz + 2yz
o Em termos geométricos, o Exemplo
2 pede os pontos mais altos e os
pontos mais baixos da curva C da
Figura 2 que pertence ao parabolóide
z = x 2 + 2y 2 e cuja projeçào seja o
círculo de restrição x 2 + y 2 = l.
que dá 2xz ~ xy e, assim, (como x ;"O) y ~ 2z. Se colocarmos x ~ y ~ 2z em (5),
obteremos
Como x, y e z são todos positivos, temos que z = 1, x = 2 e y = 2 como antes.
EXEMPlll 2 c Determine os valores extremos da função f(x, y) ~ x 2 + 2y 2 no círculo
x1 + y2 = 1.
O
SOLUÇÃO Foi-nos pedido para determinar os valores extremos de f sujeita à restrição
g(x, y) = x 2 + y 2 = L Usando os multiplicadores de Lagrange, resolvemos as equações
V f~ À 'Vg, g(x, y) ~ 1, que podem ser escritas como
ou como
j; ~ Àg, h~ Àgy g(x, y) ~ I
2x ~ 2xÀ
y
4y ~ 2yÀ
FIGURA 2

966 o CÁLCUlO Editora Thomson
::::J A geometria por trás do uso de
multiplicadores de Lagrange no
Exemplo 2 é mostrada na F1gura 3_ Os
valores extremos de f(x, y) = x 2 + 2y 2
correspondem às curvas de nfve!
que encostam na circunferência
x2+y2=1.
De (9), temos x =O ou A= L Se x =O, então (11) leva a y = :': l. Se À= I, então
y = O de ( l 0), e assim (ll) fornece x = :':!. Dessa forma, os valores extremos possíveis
de f são os pontos (0, 1), (0, -1), (l, O) e (-I, O). Calculando/nesses quatro pontos,
achamos
/(0, l) = 2 /(0, -!) = 2 /(1, O)= l /( -1, O) = l
Portanto, o valor máximo de f no círculo x 2 + y2 = 1 é f( O, ±1) = 2, e o valor mínimo
é f(±l, O)= 1. Verificando na Figura 2, vemos que esses valores são razoáveis.
EXEMPlO 3 o Estabeleça os valores extremos de f(x, y) = x 2 + 2y 2 no disco
xz + yz ::;s: 1.
X
SOLUÇÃO De acordo com o procedimento em (14.7.9), comparamos os valores de/nos
pontos críticos com os pontos na fronteira. Como fx = 2x e f. = 4y, o único ponto
crítico é (0, 0). Comparamos o valor de f nesse ponto com os valores extremos de f na
fronteira obtidos no Exemplo 2:
f( O, O)= O /(±I, O)= l /(O,±I)=2
FIGURA 3
Assim, o valor máximo de f no disco x 2 + y 2 :-s 1 é f (O, ± 1) = 2, e o valor mínimo é
f( O, O)= O.
EXEMPLO 4 o Determine os pontos da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que estão mais próximos
e mais distantes do ponto (3, I, -l).
SOLUÇÃO A distância de um ponto (x, y, z) ao ponto (3, I, -I) é
d = J(x 3)' + (y I)' + (z + I)'
mas a álgebra fica mais simples se maximizarmos e minimizarmos o quadrado dessa
distância:
d 2 = f(x,y,z) = (x- 3) 2 + (y- I) 2 + (z + I) 2
A restrição é que o ponto (x, y, z) pertença à esfera, ou seja,
g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 = 4
De acordo com o método dos multiplicadores de Lagrange, resolvemos 'íl f= A 'íl g,
g = 4, o que nos leva a:
[j]
liiD
I!!]
2(x- 3) = 2xlt
2(y- I)= 2yA
2(z + I) = 2zA
!nl + y 2 + z 2 = 4
O modo mais simples de resolver essas equações é determinar x, y e z em termos de .A de
(12), (13) e (I4), e substituir esses valores em (15). De (12), ternos
x- 3 =xA ou x(l - À) = 3
ou
3
x=---
1 - À

966 o CÁLCULO Editora Thomson
::::: A geometria por trás do uso de
multiplicadores de Lagrange no
Exemplo 2 é mostrada na Figura 3. Os
valores extremos de f(x, y) = x' + 2}' 2
correspondem às curvas de nível
que encostam na circunferência
x2+y'=l.
y
x"+2y =2
-~--'
X
De (9), temos x = O ou À = L Se x = O, então (ll) leva a y = ± l. Se À = l, então
y = O de ( 10), e assim ( 11) fornece x = :2:: 1. Dessa forma, os valores extremos possíveis
de f são os pontos (O, l), (0, -1), (1, O) e ( -1, O). Calculando f nesses quatro pontos,
achamos
f(O, 1) = 2 f(O, -1) = 2 f(!, O)= 1 f(-1,0)=1
Portanto, o valor máximo de f no círculo x 2 + y' = 1 é f( O, ±I)= 2, e o valor rrúnimo
é f(± 1, O) = 1. Verificando na Figura 2, vemos que esses valores são razoáveis.
EXEMPLO 3 o Estabeleça os valores extremos de f(x, y) = x 1 + 2y 1 no disco
+ )'2 ~ 1.
SOLUÇÃO De acordo com o procedimento em (14.7.9), comparamos os valores de f nos
pontos críticos com os pontos na fronteira. Como fx = 2x e _h. = 4y, o único ponto
crítico é (0, 0). Comparamos o valor de f nesse ponto com os valores extremos de f na
fronteira obtidos no Exemplo 2:
FIGURA 3
~·"+2}"=1
f(O, O)= O f(±l,O)=l f(O, ±1) = 2
Assim, o valor máximo de f no disco x 1 + y 1 o;; 1 é f(O, ± 1) = 2, e o valor rrúnimo é
f( O, O) = O. kl
EXEMPLO 4 o Determine os pontos da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que estão mais próximos
e mais distantes do ponto (3, 1, -1).
SOLUÇÃO A distância de um ponto (x, y, z) ao ponto (3, 1, -1) é
d = ,/(x- 3) 2 + (y - 1)2 + (z + 1) 2
mas a álgebra fica mais simples se maximizarmos e minimizarmos o quadrado dessa
dístância:
d 1 = f(x, y, z) = (x - 3) 2 + (y - 1) 2 + (z + 1) 2
A restrição é que o ponto (x, y, z) pertença à esfera, ou seja,
g(x, y, z) = x 1 + y 2 + z 1 = 4
De acordo com o método dos multiplicadores de Lagrange, resolvemos V f= À V g,
g = 4, o que nos leva a:
[]]] 2(x- 3) = 2xÀ
G] 2(y- 1) = 2yÀ
~ 2(z + 1) = 2zÀ
~ x2 + y2 + z2 = 4
O modo mais simples de resolver essas equações é detenninar x, y e z em termos de A de
(12), (13) e (14), e substituir esses valores em (15). De (12), ternos
X- 3 = XÀ ou x(1 - ,\) = 3
ou
3
x=---
1- À

James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIAIS :=:J 967
:J A Figura 4 mostra a esfera e o ponto
mais próximo P do Exernplo 4_ Você
pode pensar em um modo de calcular
as coordenadas de P sem usar o
cálculo
X
[Note que l - A ""O porque, de (12). A ~ l é impossível.) De forma semelhante, (13) c
(14) fornecem
Portanto, de (15) temos
(l
l
v~--- z = ----
- 1 -À
que nos dá (I - A)'~ 'j, 1 - A ~ ::t)fi/2. Logo
3'
)TI
A~J::':--
2
1-A
Esses valores de À então fornecem os pontos correspondentes (x, y, z):
(3, 1,-1)
FIGURA 4
e
É fácil ver que f tem valor menor no primeiro desses pontos; dessa fonna, o ponto mais
próximo é (6/jfi, 2/ffi. -2/ffi) e o mais distante é ( -6/jfi, -2/ffi, 2/ffi).
h=c
FIGURA 5
c_.'l.~
~
Duas Restrições
Suponha agora que queiramos determinar os valores máximo e numrno de f(x, y, z)
sujeita a duas restrições (condições laterais) da forma g(x, y, z) ~ k e h(x, y, z) ~ c.
Geometricamente, isso significa que estamos procurando pelos valores extremos de f
quando (x, y, z) está restrita a pertencer à curva C, obtida pela interseção das superfícies
de nível g(x, y, z) ~ k e h(x, y, z) ~ c. (Veja a Figura 5.) Suponha que f tenha um tal valor
extremo no ponto P(xo, Yo, z 0 ). Sabemos, do começo desta seção, que V f é ortogonal a C
Já. Mas nós também sabemos que Vg é ortogonal a g(x, y, z) ~ k e que V h é ortogonal a
h(x, y, z) ~c, portanto Vg e V h são ambos ortogonais a C. Isso significa que o vetor gradiente
V f(xo, y 0 , z 0 ) pertence ao plano determinado por Vg(x 0 , y 0 , z 0 ) e Vh(x 0 , y 0 , zo).
(Estamos supondo que esses vetores gradientes não são paralelos nem nulos.) Logo, existem
números À e !L (chamados multiplicadores de Lagrange), tais que
Vf(xo,yo,zo) ~À Vg(xo,yo,zo) + JLV'h(xo,yo,zo)
Nesse caso o método de Lagrange nos leva a procurar os valores extremos resolvendo as cinco
equações nas cinco incógnitas x, y, z, A e J-l· Essas equações podem ser obtidas escrevendo-se
a Equação ( 16) em termos dos componentes e usando as equações das restrições:
j; ~ Àg, + JLh,
j; ~ Àg, + JLh,
g(x, y, z) ~ k
h(x,y, z) ~c

968 u CÁLCULO Editora Thomson
r_:_, O cilindro x 2 + y'- = l :ntercepta o
plano x - y + z = 1 em uma eiípse
(Figura 6). O Exemplo 5 pergunta pelo
valor máximo de f quando (x, y, z)
pertence a essa elipse.
EXEMPlO 5 c=
Determine o valor máximo da função f(x, y, z) = x + 2y + 3z na curva
da interseção do plano x - y + z = 1 com o cilindro x 2 + y 2 = l .
SOLUÇÃO Maximizamos a função f(x, y, z) = x + 2y + 3z sujeita às restrições
g(x, y, z) = x - y + z = I e h(x, y, z) = x 2 + y' = L A condição de Lagrange é
V f= À V g + !L V h, de modo que devemos resolver as equações
[!] J =À+ 2X}L
[1] 2 = -A+ 2yJL
[1] 3=A
3
o
-1
-2 )-..,~~~-~-)'
-1 o
y
FIGURA 6
~ x-y+z=
~ x2 + y2 = 1
Tornando À = 3 [de (19)] em (I 7), obtemos 2XJL = -2, e então x = -1/ !L- Analogamente,
(18) dá y = 5/(2JL), Substituindo em (21), temos
I 25
-+-=!
IL' 4JL'
e também JL 2 =';i', !L= ±.f'i,9/2, Assim x = +2/.f'i,9, y = ±5/.f'i,9 e, de (20),
z = I - x + y = 1 ± 7/ .fi9, Os valores correspondentes de f são
+ k + z( ± k) + 3( 1 ± ~) = 3 ± .fi9
Portanto o valor máximo de f na curva dada é 3 + .fi9,
Exercícios
Na figura estão mapas de contorno de f e a curva de equação
g(x, y) = 8. Estime os valores máximo e mínimo de f sujeita à
restrição g(x, y) = 8. Explique suas razões.
~~2.(a) Use uma calculadora gráfica ou um computador para traçar o
círculo x 2 + y 2 = L Na mesma tela, trace diversas
curvas da forma x 1 + y = c até que você encontre uma que
encoste no círculo. Qual o significado dos valores de c para
essas duas curvas
(b) Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os
valores extremos de f(x, y) = x 2 + y sujeita à restrição
x 2 + y 2 = L Compare sua resposta com a da parte (a).
3-17 o Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os
valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões)
dada(s),
1111 f(x,y) ~ x'- y 2 ; x' + y 2 = l
4, f(x,y) ~ 4x + 6y; x 2 + y 2 ~ l3
5, f(x, y) = x'y; x 2 + 2y' ~ 6
6. f(x, y) = xz + yz; x4 + )'4 = 1
7. f(x,y,z) = 2x + 6y + lOz; x 2 + y 2 + z 1 = 35
8, f(x,y,z) ~ 8x- 4z; x 2 + l0y 2 + z 2 ~ 5
9, f(x, y, z) ~ xyz; x' + 2y 2 + 3z' ~ 6
10. f(x, y, z) = x 2 y 2 z 2 ; x 2 + y 2 + z 1 = 1
111 f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 ; x 4 + y 4 + z 4 = 1
12. f(x, y, z) = X 4 + y 4 + z 4 ; x 2 + y 2 + z 2 = 1

James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIA!S L. 969
13. j(x, y, z, t) = x + y + z + t: x 2 + y 2 + z 2 + t 2 =
14. f(xl, X2, ... , x,) =X i + X2 + · · · + x,;
xf + xi + · · · + x~ = 1
15. f(x, y, z) ~ x + 2y; x + y + z ~ 1, y' + z 1 ~ 4
16. f(x,y, z) ~ 3x- y- 3z;
x + y - z = O, x 2 + 2z 2 = 1
17. f(x,y,z) ~ yz + xy; xy ~I, y 2 + z 2 ~ 1
13-19 o Determine os valores extremos dejna região descrita pela
desigualdade.
18. f(x,y) ~ 2x' + 3y 2 - 4x- 5, x' + y 2 "' 16
;§!l, f(x, y) ~ e -••, x' + 4y 1 "' 1
20. (a) Se seu sistema algébrico computacional traça o gráfico de
curvas definidas implicitamente, use~o para estimar os
valores mínimo e máximo de f(x, y) = x 3 + y 3 + 3xy
sujeita a (x - 3) 2 + (y - 3)" = 9 por métodos gráficos.
(b) Resolva o problema da parte (a) com o auxílio dos
multiplicadores de Lagrange. Use um CAS para resolver as
equações numericamente. Compare sua resposta com a da
parte (a).
21. A produção total P de certo produto depende da
quantidade L de trabalho empregado e da quantidade K
de capital investido. Nas Seções 14.1 e 14.3 discutimos como
Cobb-Douglas modelaram P = bL"Kh'' seguindo certas
hipóteses econômicas, onde b e a são constantes positivas e
a< 1. Se o custo por unidade de trabalho forme o custo por
unidade de capital for n, e uma companhia pode gastar
somente uma quantidade p de dinheiro como despesa total,
inaximizar a produção P estará sujeita à restrição
mL + nK = p. Mostre que a produção máxima ocorre quando
L~ ap e K ~ (1 - a)p
m
n
22. Referindo-se ao Exercício 21, suponha agora que a produção
esteja fixada em bL

970 o CÁlCULO Editora Thomson
Projeto Aplicado
Ciência dos Foguetes
Muitos foguetes, tais como o Pegasus XL, usado atualmente para o lançamento de satélites, e o
Saturno V, que colocou o primeiro homem na Lua, são projetados para usar três estágios em sua
subida para o espaço. O primeiro e maior estágio impulsiona o foguete até que seu combustível
seja consumido, quando esse estágio é ejetado para diminuir a massa do foguete. O segundo e
terceiro estágios, que são menores, funcionam da mesma forma, posicionando a carga do foguete
em órbita em torno da Terra. (Com esse projeto são necessários pelo menos dois estágios para
que o foguete atinja a velocidade necessária, e o uso de três estágios provou ser um bom
compromisso entre custo e desempenho.) Nosso objetivo aqui é determinar as massas individuais
dos três estágios a serem projetados de fonna a minimizar a massa total do foguete e ao mesmo
tempo atingir a velocidade desejada.
Para um foguete com um único estágio consumindo combustível a uma taxa constante, a variação
de velocidade resultante da aceleração do foguete foi modelada por
~V~ -c In( I - (I - S)M,)
P+M,
onde Mr é a massa do propulsor do foguete, incluindo o combustível inicial, Pé a massa da
carga, S é o fator estrutural determinado pelo projeto do foguete (especificamente, é a razão entre
a massa do foguete sem combustível e sem carga e a massa do foguete com carga e combustível)
e c é a (constante) rapidez de exaustão relativa do foguete.
Considere agora um foguete de três estágios e carga de massa A. Vamos considerar as forças
externas desprezíveis e supor que c e S pennaneçam constantes em cada estágio. SeM; é a massa
do i-ésimo estágio, podemos inicialmente considerar que o propulsor do foguete tenha massa M 1
e sua carga tenha massa M 2 + M 3 + A; o segundo e terceiro estágios podem ser tratados da
mesma forma.
1. Mostre que a velocidade atingida depois que os três estágios são ejetados é dada por
M1 + M, + Mz+ A)· .( M2 + M, +A)
v 1 =cln
[ ( +In- +
SM1 + M2 + M, +A ·. ·. SIYI,.+ M, +A .
2. Desejamos minimizara inassá tQtal M = M1 -+ Mz-_+ _MJ do propu!SQr
restrição que a velocidade desejada vrdo-Próblerlla t seja
de é

James Stewart CAPÍTULO 14 DERIVADAS P!--\RCJAJS 971
4, Determine uma expressão para o valor mínimo de M como função de Vf.
5. Se desejarmos colocar um foguete de três estágios em uma órbita 100 milhas acima da
superfície tenestre, a velocidade final necessária é de aproximadamente 17.500 mi/h. Suponha
que cada estágio seja construído com um fator estrutural S = 0,2 e que a rapidez de exaustão
seja c ~ 6.000 mi/h.
(a) Determine a massa total mínima M do propulsor do foguete como função de A.
(b) Estabeleça a massa de cada estágio_coroo função de~-·· (Eles não preci$am ter tamanhos
iguais!)
6. O mestllo fo~ete reque~eria UmayeJocída,~é'Jin~l_·de'2~/0-__ !llifh-~t:P:XÍI!la~~én~)!Jitra.~Jiàf-
, _da g~Yidade terrestre. Dete~ni

972 lJ CÁLCUlO Editora Thomson
distribuída para as três turbinas ou concentrada em uma só. (Se você concluir que só uma
turbina deverá ser utilizada, responda: qual é ela) E se a vazão for de somente 600 pés 3 /s
5. Talvez para alguns níveis de vazão seja vantajoso usar duas turbinas. Se a vazão de Chegada for de
1.500 pés~/ s, quais duas iurbiÍlas devem se_r utilizadas Use os multiplicadores de _4grange para
determinar como a ser dis:tflbuída duas turbinas
produzida. P~a y~s.av,az~o, m:o
Revisão
VERIFICAÇÃO DE CONCEITOS
1. (a) O que é uma função de duas variáveis
(b) Descreva três métodos para visualizar uma função de duas
variáveis.
2. O que é uma função de três variáveis Como você pode visualizar
tal função
3. O que
lim f(x, y) ~L
(x,y) ---•(a, b)
significa Como mostrar que esse limite não existe
4. (a) O que significa dizer que fé contínua em (a, b)
(b) Se f é continua em !R 2 , o que você pode dizer de seu gráfico
5. (a) Escreva as expressões para as derivadas parciais fx(a, b) e
fy(a, b) como limites.
(b) Como você interpreta fia, b) e fy(a, b) geometricamente
Como as interpreta corno taxas de variação
(c) Se f(x, y) é dada por uma fórmula, corno calcular fx e f:.
6. O que o Teorema de Clairaut diz
7. Como achar o plano tangente a cada um dos seguintes tipos de
superfície
(a) Um gráfico de uma função de duas variáveis, z = f(x, y)
(b) Uma superfície de nível de uma função de três variáveis,
F(x,y.z) ~ k
8. Defina a linearização de f em (a, b). Qual é sua
correspondente aproximação linear Qual é a interpretação
geométrica da aproximação linear
9. (a) O que significa dizer que fé diferenciável em (a, b)
(b) Como usualmente verificamos se fé diferenciável
10. Se z = f(x, y), o que são os diferenciais dx, dy e dz
11. Diga qual é a Regra da Cadeia para o caso em que z = f(x, y)
e x e y são funções de uma única variável. E se x e y são
funções de duas variáveis
12. Se z é definido implícitamente como uma função de x e y por
uma equação da forma F(x, y, z) = O. como determinar àz/àx e
azjay'
13. (a) Escreva uma expressão como limite para a derivada
direcional de f em (x 0 , }'o) na direção e sentido do vetor
unitário u = (a, b). Como interpretá-lo como taxa de
variação Como interpretá-lo geometricamente
(b) Se f é diferenciável, escreva uma expressão para
Duf(xo, Yo) em termos de .fx e f,..
14. (a) Defina o vetor gradiente 'V f de uma função f de duas ou
três variáveis.
(b) Exprima Duf em termos de Vj.
(c) Explique o significado geométrico do gradiente.
15. O que as seguintes sentenças significam
(a) f tem um máximo local em (a, b).
(b) f tem um máximo absoluto em (a, b).
(c) f tem um mínimo local em (a, b).
(d) f tem um núnimo absoluto em (a, b).
(e) f tem um ponto de sela em (a. b).
16. (a) Se f tem um máximo local em (a, b), o que você pode
dizer de suas derivadas parciais em (a, b)
(b) O que é um ponto crítico de f
17. Qual é o Teste da Segunda Derivada
18. (a) O que é um conjunto fechado em iR: 2 O que é um conjunto
limitado
(b) Dê o enunciado do Teorema dos Valores Extremos para as
funções de duas variáveis.
(c) Como achar os valores que o Teorema dos Valores
Extremos garante existirem
19. Explique como o método dos multiplicadores de Lagrange
funciona para detenninar os valores extremos de f(x, y, z)
sujeita à restrição g(x, y, z) = k. E se tivermos urna segunda
restrição h(x, y, z) = c
-A-

James Stewart CAPÍTUlO 14 DERIVADAS PARCIAIS í'1 973
TESTES FALSO-VERDADEIRO
Determine se as sentenças são falsas ou verdadeiras. Se verdadeiras, explique
por quê; se falsas, explique por que ou dê um contra~exemplo.
. . . /(a, y) - f(a, b)
1. (,la, b) ~ !~ Y _ b
2. Existe uma função f com derivadas parcíais de segunda ordem
contínuas tais que J;.(x, y) = x + y 2 e fv{x, y) = x y 2 •
a 'f
3. f,~-
- axay
4. D,f(x, y, z) ~ f(x, y, z)
5. Se f(x, y) ~L quando (x, y).......,. (a, b) ao longo de toda reta
que passa por (a, h), então lim!x,y)--•!".hjf(x, y) =L.
6. Se f,(a, b) e j:,(a, b) existem, então fé diferenciável em (a, b).
1. Se f tem um mínimo local em (a, b) e fé diferenciável em (a. b),
então 'V f( a, b) ~ O.
8. Se fé uma função, então lim f(x, y) ~ f(2, 5).
(;r,y)-{2,5)
9. Sef(x,y) ~ Iny, então 'Vf(x,y) ~ 1/y.
10. Se (2, 1) é um ponto crítico de f e
]~.(2, 1).1;,(2, I) < [f,,(2, !)]'
então f é um ponto de sela de f em (2, 1).
11. Se f(x, y) = scn x + seny, então --/2:::;; D,J(x, y):::;; ,/2.
12. Se f(x, y) tem dois máximos locais, então f tem um mínimo
local.
:1~1 Determine e esboce o domínio da função.
1. f(x, y) ~ sen-'x + tg'y 2. f(x, y, z) ~
3-4 ..J Esboce o gráfico da função.
3. f(x, y) ~ I - x 2 - y 2 4. f(x, y) ~
5-6 C! Esboce várias curvas de nível da função.
5. f(x, y) ~ 6. f(x,y) ~ x 2 + 4y
7. Faça um esboço de um mapa de contamo da função cujo
gráfico está mostrado.
EXERCÍCIOS
3--w
9.
Avalie o limite ou mostre que ele não existe.
2xy
lim ) )
(x.yl---•(1, li X + 2y-
2xy
10. lim
2 7
(.q) ..... (O,Ol X + 2y-
11. Uma placa de metal está situada no plano xy e ocupa o
retângulo O :::s:: x ~ 10, O ~ y :::s:: 8, onde x e y são medidos em
metros. A temperatura no ponto (x, y) do plano é T(x, y), onde
T é medido em graus Celsius. Temperaturas em pontos
igualmente espaçados foram medidas e registradas na tabela.
'>( o i 2
'
4
I 6 8
o 30 38 45 51 55
2 52 56 60 62 I 61
4 78 74 72 68 I ' 66
8. Um mapa de contorno de uma função f é apresentado. Use~o
para fazer um esboço do gráfico da f.
)'
6 98 87 80 75 71
8 96 90
I 86 I
10 92 92 91
i
80 75
87 78
(a) Estime o valor das derivadas parciais Tx(6, 4) e T,(6, 4).
Quais são as unidades
(b) Estime o valor de D.T(6, 4), onde u ~(i+ j)/)2.
Interprete o resultado.
(c) Estime o valor de T,,(6, 4).
12. Detemüne uma aproximação linear para a função temperatura
T(x, y) do Exercício 11 perto do ponto (6, 4). Em seguida use-a
para estimar a temperatura no ponto (5; 3,8).
13-17 c Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
13. f(x, y) ~ -./2x + y 2 14. u = e--r sen 28

974 c CÁlCUlO Editora Thomson
15. y(u, v)= u tg ··Lv
17. T(p. q. r) ~ p ln(q + e')
X
16. w=-­
y-z
18. A rapidez da propagação da onda sonora no oceano é uma
função da temperatura, da salinidade e da pressão. Foi
modelada como
C~ 1449,2 + 4,6T- 0,055T' + 0,00029!'
+ (1,34- 0,01 T)(S- 35) + 0,016D
onde C é a rapidez do som (em metros por segundo), T é a
temperatura (em graus Celsius), Sé a salinidade (concentração
de sal em partes por milhar, o que significa o número de
gramas do sólido dissolvido por 1000 g de água) e D é a
profundidade abaixo da superfície do oceano (em metros).
Calcule a c I aT, a c; as, a c I J/) quando T ~ lO "C, s ~ 35
partes por milhar e D = 100 m. Explique o significado físico
dessas derivadas parciais.
19-22 Detenníne as derivadas parciais de segunda ordem de f
19. f(x, y) ~ 4x' - xy'
21. J(x, y, z) = x"/z"'
20. z = xe- 2 Y
22. v = r cos(s + 2t)
X iJu 1 iJu
23. Seu = xY, mostre que--::-- + - 1
- ~ = 2u.
)' dX ll X dy
24. Se p = J-x"' -c+-y~, 2 '· ""+-z' 2 , mostre que
a 1 p a 2 p a"p 2
--+-. +-~ax2
ày" àz 2 p
Utilize diferenciais para estimar o máximo eno no
cálculo de (a) área do triângulo e (b) comprimento
da hipotenusa.
35. Se w =/X+ y 1 /z, onde x = e 21 , y = t 3 + 4t. e
z = t 2 - 4, utilize a Regra da Cadeia para
determinar dw/ dL
36. Se z = cos xy + y cos x, onde x = u 2 + v e y = u ~ v 2 ,
utilize a Regra da Cadeia para determinar azjau e àzjav.
37. Suponha que z ~ f(x, y), onde x ~ g(s, t), y ~ h(s, t),
g(1, 2) ~ 3, gJ1, 2) ~ -!, g,(1, 2) ~ 4, h(1, 2) ~ 6,
h,(l, 2) ~ -5, h,(1, 2) ~ lO, J,(3, 6) ~ 7 e /,(3. 6) ~ 8.
Detcmüne azjas e a:::jat quando s = 1 e t = 2.
38. Utilize o grafo da árvore para escrever a Regra da
Cadeia para o caso onde w = f(t, u, v), t = t(p, q, r, s),
u = u(p, q, r, s) e v = v(p, q, r, s), todas diferenciáveis.
39. Se z = y + f(x 2 - y 2 ), onde fé diferenciável, mostre que
az
ax
àz
ay
y~+x-=x
40. O comprimento x de um lado de um triângulo é aumentado
à taxa de 3 pol!s, o comprimento de outro lado é diminuído à
taxa de 2 pol/s, e o ângulo contido e é aumentado à taxa de
0,05 rad/s. Qual a rapidez da variação da área do triângulo
quando x ~ 40 pol, y ~50 po1 e O~ -rr/6
41. Se z = j(u, v), onde u = xy, v= y/x e f têm derivadas parciais
de segunda ordem contínuas, mostre que
25-29 ::J Encontre uma equação do (a) plano tangente e (b) da reta
normal para superfície dada no ponto especificado.
25. z ~ 3x'- y' + 2x, (1, -2, I)
26. z ~ e' cos y, (O, O, I)
27. x' + 2y'- 3z' ~ 3, (2, -1, l)
28. xy + yz + zx~ 3, (1, 1, l)
29. sen(xyz) ~ x + 2y + 3z. (2, -1, O)
=~30. Use um computador para traçar o gráfico da superfície
z = x 3 + 2xy e de seu plano tangente e reta normal por (1, 2, 5)
na mesma tela. Escolha o domínio e ponto de vista para obter
uma boa visão dos três objetos.
31. Determine os pontos da esfera x 2 + y 2 + z 2 = l onde o plano
tangente é paralelo ao plano 2x + y - 3z = 2.
32. Determine dz se z = ..t..: tg- 1 y.
33. Estabeleça a aproximação linear da função
j(x, y, z) = x\1~ no ponto (2, 3, 4) e use~a para estimar
o número (1,98)\/(3,01)2 + (3,97) 2
34. Os dois lados do triângulo retângulo medem 5 me 12m com
um erro possível nas medidas de, no máximo, 0,2 em em cada.
42. Se yz 4 + x 2 z 3 = e);F, determine!!!._ e!!!._.
ax ay
43. Determine o gradiente da função f(x, y, z) = z 2 e·"JY.
44. (a) Quando a derivada direcional de fé máxima
(b) Quando é mínima
(c) Quando é O
(d) Quando é a metade de seu valor máximo
45--46 o Detennine a derivada direcional dejno ponto dado na
direção e sentido indicada.
45. f(x, y) ~ 2./X- y 2 , (l, 5), na direção do ponto (4, I)
46. f(x, y, z) ~ x'y + xJ]+Z, (1, 2, 3), na direção e sentido
de v~ 2i + j - 2k
47. Determine a taxa máxima de variação de f(x, y) = x 2 y + JY
no ponto (2, I). Em que direção e sentido isso ocorre
48. Estabeleça a direção e sentido na qual f(x, y, z) = ze-'-'
aumenta mais rápido no ponto (0, 1, 2). Qual é a taxa máxima
de aumento

T
James Stewart CAPÍTUlO 14 DERiVADAS PARCIAIS 975
49. O mapa de contorno mostra a velocidade do vento em nós
durante o furacão Andrew em 24 de agosto de 1992. Utilize-o
para estimar o valor da derivada direcional da rapidez do vento
em Homestead, Flórida, na direção do olho do furacão.
rilss. Use uma calculadora gráfica ou um computador (método de
Newton ou programa de manipulação algébrica) para
determinar os pontos críticos de
J(x,y) = 12 + 10y- 2x 2 ~ 8xy- y 4 comprecisãoatéa
terceira casa decimaL Em seguida classifique os pontos críticos
e determine o ponto mais alto do gráfico.
59-60 ::J Utilize os multiplicadores de Lagrange para detenninar os
valores máximo e mínimo de f sujeita à(s) restrição(õcs) dada(s).
59. f(x, y) ~ x'y; x' + y' ~ 1
I 1
60. f(x,y) ~- + -;
X )'
61. f(x. y, z) ~ xyz;
62. f(x, )-', z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 ;
x+y+z=l, x-y+2z=2
010203040
(Distância em milhas)
50. Determine as equações paramétricas da reta tangente ao ponto
( -2, 2, 4) para a curva da interseção da superfície
z = 2x 2 - y 2 com o planoz = 4.
51-54 o Determine os valores máximo e mínimo locais e ponto de
sela da função. Se você tiver um programa de computador para
desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um
ponto de vista e domínio conveniente para mostrar os aspectos
importantes da função.
51. f(x, y) ~ x' ~ xy + y' + 9x ~ 6y + lO
52. f(x, y) ~ x 3 ~ 6xy + 8y 3
53. f(x, y) = 3xy - x 1 y - xy"
54. f(x, y) ~ (x' + y)e' 13
63. Detennine os pontos da superfície xy 2 z 3 = 2 que estão mais
próximos da origem.
64. Um pacote com o formato de uma caixa retangular pode ser
enviado pelo correio como encomenda postal se a soma de seu
comprimento e cintura (perímetro da secção ortogonal
ao comprimento) for de, no máximo, lOS pol. Determine as
dimensões do pacote de maior volume que pode ser enviado
como encomenda postal.
65. Um pentágono é formado colocando-se um triângulo isósceles
sobre um retângulo, corno mostrado na figura. Se o pentágono
tem perímetro P fixo, determine os comprimentos dos lados do
pentágono que maxímiza a área do mesmo.
8
55-56 Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no
conjunto D.
55. J(x, y) = 4xy 2 ~ x 2 y 2 - xy 3 ; D é a região triangular
fechada do plano xy com vértices (O, O), (0, 6) e (6, O)
56. J(x, y) = e-x'·-y\x 2 + 2y 2 ); D é o disco x 2 + y 2 ,;; 4
1157. Utilize o gráfico e/ou curvas de nível para estimar os valores
máximo e mínimo e ponto de sela de
J(x, y) = x 3 - 3x + y 4 ~ 2y 2 • Em seguida use o cálculo para
detenninar esses valores de modo preciso.
66. Uma partícula de massa m se move sobre uma superfície
z ~ f(x, y). Sejam x ~ x(t). y ~ y(t) as coordenadas x e y da
partícula no instante t.
(a) Determine o vetor velocidade v e a energia cinética
K =1m I v 1 2 da partícula.
(b) Estabeleça o vetor aceleração a.
(c) Seja z = x 2 + y 1 e x(t) = tcos t, y(t) = tsen t. Determine
o vetor velocidade, a energia cinética e o vetor aceleração.

1. Um retângulo com comprimento L e largura VV é conado em quatro retângulos menores por
duas retas paralelas aos lados. Detemüne os valores máximo e mínimo da soma dos quadrados
das áreas dos retângulos menores.
2. Biologistas marinhos determinaram que, quando um tubarão detecta a presença de sangue na
água, ele nada na direção e sentido em que a concentração de sangue aumenta mais
rapidamente. Com base em certos testes na água do mar, sabe~se que a concentração de
sangue (em partes por milhão) em um ponto P(x, y) na superfície é de aproximadamente
C(x,y) =e-~, +:,"i..-lO'
onde x e y são medidos em metros em coordenadas cartesianas com a fonte do sangue como
origem.
(a) Identifique as curvas de nível da função de concentração e esboce vários membros dessa
família junto com a trajetória que o tubarão deve percorrer para chegar à fonte.
(b) Suponha que um tubarão esteja no ponto (xo, y 0 ) quando detecta a presença de sangue na
água. Determine a equação da trajetória do tubarão estabelecendo e resolvendo uma
equação diferencial.
3. Uma longa folha de metal galvanizado de espessura w polegadas deve ser dobrada em uma
fôrma de maneira simétrica com três lados retos para fazer uma calha. A secção transversal é
mostrada na figura.
w -2x
(a) Determine as dimensões para permitir a máxima vazão, ou seja, estabeleça as dimensões
que forneçam a maior área da secção transversal.
(b) Você acharia melhor dobrar a folha de metal em uma calha com secção transversal
semicircular do que em uma secção transversal de três lados
4. Para que valores do número r, a função
(x + y + z)'
se
f(x, y, z) = ~2 + )'2 + z2 se
{
(x,y,z) oF O
(x, y, z) ~ O
é contínua em !R 3
5. Suponha que f seja uma função diferenciável de uma variável. Mostre que todos os planos
tangentes à superfície z = xf(y/x) se interceptam em um ponto comum.
6. (a) O método de Newton para aproximar a raiz de uma equação f(x) = O (veja a Seção 4.9 do
Volume I) pode ser adaptado para aproximar a solução de um sistema de equações
f(x, y) = O e g(x, y) = O. As superfícies z = j(x, y) e z = g(x, y) se interceptam em uma
curva que intercepta o plano X)' em um ponto (r, s), que é a solução do sistema. Se uma
aproximação inicial (x~, y1) está próxima desse ponto, então os planos tangentes às
superfícies em (x~, y 1 ) se interceptam em uma linha reta que intercepta o plano xy em um
ponto (x 2 , y 2 ), que deve estar mais próximo de (r, s). (Compare com a Figura 2 na Seção
4.9 do Volume L) Mostre que
e
onde f, g e suas derivadas parciais são calculadas em (x 1 , yJ). Se continuarmos esse processo
obteremos uma seqüência de aproximações sucessivas (x,, y,.).

(b) Foi Thomas Simpson (1710-1761) quem formulou o método de Newton como o
conhecemos hoje e. quem o estendeu para as funções de duas variáveís como na parte (a)
(veja a biografia de Simpson no Volume 1). O exemplo que ele deu para ilustrar o método
foi resolver o sistema de equações
x' + y' ~ 1000 xY + y' = 100
Em outras palavras, ele descobriu os pontos de interseção das curva

15
Integrais Múltiplas
Se aproximarmos um sólido
por colunas retangulares e
aumentarmos o número de
colunas, o limite da soma
dos volumes das colunas será
o volume do sólido.

James Stewart CAPÍTUlO 15 INTEGRAIS MÚLTIPLAS U 979
Neste capitulo estendemos a idéia de integrais definidas para integrais duplas e triplas
de funções de duas ou três variáveis. Essas idéias serão usadas para calcular
volumes, áreas de superfícies, massas, centro de gravidade de uma região mais geral
do que as consideradas nos Capítulos 6 e 8 (Volume 1). Usaremos também as integrais
duplas para calcular probabilidades quando as variáveis envolvidas forem aleatórias.
Integrais Duplas sobre Retângulos
Na tentativa de resolver o problema de detenninar áreas, chegamos à definição de integral
definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e,
no processo, chegar à definição de integral dupla.
Revisão da Integral Definida
Antes de t!J-dO, vamos relembrar os fatos básicos relativos à integral definida de funções de
uma variável reaL Se f(x) é definida para a ,;; x ,;; b, subdividimos o intervalo [a, b] em
n subintervalos [x,_,, x 1 ] de comprimento igual Ll.x = (b - a)/n e escolhemos pontos arbitrários
x'( em cada um desses subintervalos. Em seguida, formamos a sorna de Riemann
"
2, f(x'[) Ll.x
;~~!
e tomamos o limite dessa soma quando n --- = para obter a integral definida de a até b da
função f
r f(x) dx = lim i f(xr) Ll.x
• a n~-->oo i=!
No caso especial em que f(x) ~ O, a soma de Riemann pode ser interpretada como a soma
das áreas dos retângulos aproximadores (da área) da Figura 1, e J~ f(x) dx representa a
área sob a curva y = f(x) de a até b.
yr
FIGURA 1
o
at x! x2 1 x3
xj x.i xf
•
_u-! i X;
xj
X
Volumes e Integrais Duplas
De modo semelhante, vamos considerar uma função f de duas variáveis definida em um
retângulo fechado
R= [a,b] X [c,d] = {(x,y) E H;!' la,;; x,;; b, c,;; y,;; d}
FIGURA 2
e vamos inicialmente supor f(x, y) ;;;, O. O gráfico de f é a superfície com equação
z = f(x, y). SejaS o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de
f ou seja,
S = {(x, y, z) E G;l'l O ,;; z ,;; f(x, y), (x, y) E R}
(Veja a Figura 2.) Nosso objetivo é determinar o volume de S.

980 CJ CÁLCUlO Editora Thomson
O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso
dividindo o intervalo [a, b] em m subintervalos [xl'"l' x,.] de mesmo comprimento
Ll.x ~(h - a)/m e dividindo o intervalo [c, d] em n subintervalos iguais [Y;-" y;] de comprimento
Ll.y ~ (d- c)/n. Traçando retas paralelas aos eixos coordenados, passando pelos
extremos dos subintervalos, como na Figura 3, formamos os sub-retângulos
R, 1
~ [x,- 1 ,x,] X [))-l,y;] ~ {(x,y)ix,_, ,o; x,o; x,, Y 1
-; ,o;y ,o;y;}
FIGURA 3
Dividindo R em sub-retângulos
o Xj-1 X; b X
Se escolhermos um ponto arbitrário, que chamaremos ponto amostra, (.:rS, y ij) em
cada Rij, poderemos aproximar a parte de S que está acima de cada R;j por uma caixa retangular
fina (ou '"coluna") com base R;j e altura f(x;j, yt'J), como mostrado na Figura 4.
(Compare com a Figum 1.) O volume dessa caixa é dado pela sua altura vezes a área do
retângulo da base:
J(x,j, y,j) M
~
Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das
caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S:
m
'
V = 2: 2: f(x,), y,j) M
i=l j=l
(Veja a Figura 5.) Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o
valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo
e então adicionamos os resultados.
b
X ---
d
y
X
FIGURA4
FIGURA 5

James Stewart CAPÍTULO 15 iNTEGRAIS MÚLTIPL!\S 981
Nossa intuição diz que a aproximação dada em (3) Inelhora quando aumentamos os valores
de m e n, e portanto devemos esperar que
m "
V~ lim L Lf(x,)',y,j) LlA
/11.11-->X i~) j=l
r:1 O significado do 11m1te duplo na
Equação 4 é que podemos tornar o
somatório duplo tão próximo quanto
desejarmos do número V !para
qualquer escoiha (x,j, y,:>J tomando me
n suficientemente grandes
Usamos a expressão da Equação 4 para definir o volume do sólido S que corresponde à
região que está abaixo do gráfico de f e acima do retângulo R. (Pode ser mostrado que essa
definição corresponde à nossa fórmula de volume da Seção 6.2 do Volume L)
Limites do tipo que aparecem na Equação 4 ocorrem muito freqüentemente, não
somente quando estamos determinando volumes, como também em uma variedade de outras
situações- como será visto na Seção 15.5 -,mesmo f não sendo uma função positiva.
Podemos dar a seguinte definição:
[!] Definição A integral dupla de f sobre o retângulo R é
se esse limite existir.
j'i'J(x, y) dA ~ lim L L f(x,j, y,j) M
~;,· i!i.!l---•"- i~l j~!
CJ Observe a semelhança entre a
Definição 5 e a definição de integrai
s1mp!es na Equação 2
O significado preciso do limite da Definição 5 é que para todo e > O existe um inteiro
N tal que
para todos inteiros m e n maiores que N e para qualquer escolha de (x;j, y;j) em R; 1 .
Pode ser provado que o limite da Definição 5 existe sempre que f for uma função contínua.
(Esse limite pode também existir para algumas funções descontínuas que sejam
razoavelmente "bem comportadas".)
O ponto amostra (x;j, }\j) pode ser tomado como qualquer ponto no sub-retângulo R;J,
porém, se o escolhermos como o canto superior direito de RiJ [ou seja, (x;, y 1
), veja a Figura
3], então a expressão da soma dupla ficará mais simples:
Comparando as Definições 4 e 5, vemos que o volume pode ser escrito como uma
integral dupla:
Se f(x, y) ~ O, então o volume V do sólido que está acima do retângulo R e abaixo
da superfície z ~ f(x, y) é
A soma na Definição 5
v~ jJf(x,y)dA
R
"' "
L L f(x,j, y,j) M
j~J j=!
é chamada soma dupla de Riemann e é usada como uma aproximação do valor da integral
dupla, [Note a semelhança dessa soma com a soma de Riemann em (I) para funções
de uma única variáveL] Se f for uma função positiva, então a soma dupla de Riemann

982 C CÁlCUlO Editora Thomson
representa a soma dos volumes das colunas, como na Figura 5, e é uma aproximação do
volume abaixo do gráfico de f
y
2
FIGURA 6
(!, 2)
I
R, R,
!
I
(!, l)
R, R,
1\-,-
r
i
l)
1
!
") )
o 2
X
EXEMPlO 1 Estime o volume do sólido que está acima do quadrado
R ~ [0, 2] X [0, 2] e abaixo do parabolóide elíp!ico z ~ 16 - x 2 - 2y 2 Divida R em
quatro quadrados iguais e escolha o ponto amostra como o canto superior direito de cada
quadrado Rij· Faça um esboço do sólido e das caixas retangulares aproximadoras.
SOLUÇÃO Os quadrados estão iluslrados na Figura 6. O parabolóide elíptico é o gráfico
de f(x, y) ~ 16 - x 2 - 2y 2 e a área de cada quadrado vale L Aproximando o volume
pela soma de Riemann com m = n = 2, temos
2 2
V= L Lf(x,yJM
i=l j=l
~ /(1, l) M +/(I, 2) M + /(2, I) M + /(2, 2) M
~ 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1) ~ 34
Esse é o volume das caixas aproximadoras mostradas na Figura 7,
FIGURA 7
y
Obtemos melbor aproximação do volume no Exemplo 1, quando aumentaruos o
número de quadrados. A Figura 8 mostra como as colunas começam a parecer mais com
o sólido
(a)m=n=4, v"" 41,5
(b)m=n=8, V= 44,875 {c) m = n = 16, V= 46,46875
FIGURA 8 A aproximação pela soma de Riemann para o volume abaixo dez= 16 -:f- zy- fica melhor à medida quem e n aumentam.

James Stewart CAPÍTULO 15 INTEGRAIS MÚLTIPLAS I_J 983
verdadeiro e as aproximações correspondentes vão se tomando mais precisas quando usamo5 16,
64 e 256 quadrados. Na próxima seção mostraremos que o volume exalo é 48. ·
EXEMPlO 2 Cl
Se R= {(x, y) 1-1 ""x"" l, -2 ""y ""2}, calcule a integral
X
FIGURA 9
(I O. O) y
(0, 2. 0)
fr/1- x 2 dA
R
SOLUÇÃO Seria muito difícil calcular a integral diretamente da Definição 5, mas, como
~ ~ O, podemos computar a integral interpretando-a como volume. Se
z = -Jl - x 1 , então x 2 + z 2 = I e z ~O, logo a integral dupla dada representa o
volume do sólidoS que está abaixo do cilindro circular x 2 + z 2 = 1 e acima do
retângulo R (veja a Figura 9). O volume de Sé a área de um semicírculo com raio l vez
o comprimento do cilindro. Portanto
jJ y'!- x 2 dA = lrr(l)' X 4 = 2rr
R
Regra do Ponto Médio
Os métodos usados para aproximar as integrais de funções de uma variável real (a Regra do
Ponto Médio, a Regra dos Trapézios, a Regra de Simpson) têm seus correspondentes para
integrais duplas. Consideraremos aqui somente a Regra do Ponto Médio para integrais duplas.
Isso significa que usaremos a soma dupla de Riemann para aproximar a integral dupla, onde
o ponto amostra (x;j, y;j) em R 0 é tomado como o ponto central (ti, Y) de R, 1 . Em outras
palavras, x, é o ponto médio de [x,_ "x,] e y 1 é o ponto médio de [y 1 -" )) ].
Regra do Ponto Médio para Integrais Duplas
l
onde x, é o ponto médio de [x,_" x,] e y 1 é o ponto médio de [y 1 -t. y 1 ].
EXEMPlO 3 c Use a Regra do Ponto Médio com m = n = 2 para estimar o valor da
integralfJR(x- 3y 2 )dA,ondeR= {(x,y)IO~ x"" 2, I ""Y"" 2}.
y
2 ~---~·--r-~ (2, 2)
•'R.ti'
•:Rn.l
l f-'.-c--''4~~· . ,
2
·'Rnl ·B;_,I
...,.--~-~
I
I
o 2
X
FIGURA 10
SOLUÇÃO Usando a Regra do Ponto Médio com m = n = 2, calcularemos
f(x, y) = x - 3y 2 no centro de quatro sub-retângulos mostrados na Figura 10. Então
-1-3-5-árdd A
temos x1 = z, x2 = 2· Y1 = 4 e Y2 =;;.A ea e ca a sub-retangulo e '"'L
un = 2· ogo
2 2
[f (x- 3y 2 )dA = 2: Lf(x,,y 1 ) M
~R i= I i=!
Portanto, temos
= f(xj, y,) M + J(:t,, y,) M + f(x,, _y,) AA + J(x2, y,) M
=!(L l)M + J(l. nM + J(l, l)M + JG, l) M
=(-~)i+ (--~l)!
+(-~)i+(-\~)!
= -'t= -11,875
fJ (x - 3/) dA= -11,875
R

984 CÁLCULO Editora Thomson
I
Número de Aproximações
I sub-retângulos
i
pela Regra do
Ponto Médio
-11,5000
4 -11,8750
16 -11,9687
64 -1!,9922 I
256 -11,9980
I
1024 -11,9995
I
NOTA cc Na próxima seção desenvolveremos um processo eficiente para calcular integraís
duplas e veremos que o valor exato da integral dupla do Exemplo 3 é ~12. (Lembre-se de que
a interpretação da integral dupla como volume só é válida quando a função f é uma função positiva.
O integrando no Exemplo 3 não é uma função positiva, dessa forma, a integral dupla não
é um volume. Nos Exemplos 2 e 3 na Seção 15.2, discutiremos como interpretar integrais de
uma função que não é sempre positiva em termos de volumes.) Dividimos os sub-retângulos
da Figura 1 O em quatro menores, todos com o mesmo fonnato, e calculamos a aproximação
pela Regra do Ponto Médio. Repetimos sucessivamente o procedimento, dividindo em quatro
cada sub-retângulo e calculando a aproximação. Os resultados estão apresentados na tabela ao
lado. Observe como esses valores estão se aproximando do valor real da integral, -12.
Valor Médio
Na Seção 6.5 do Volume I, mostramos que o valor médio de uma função f de uma variável
definida em um intervalo [a, h] é
fmid~ -h_
I
j
'"
f(x) dx
a .a
De modo semelhante, definimos o valor médio de uma função f de duas variáveis em um
retângulo R contido em seu domínio como
onde A(R) é a área de R,
Se f(x, y) >-o O, a equação
1 ..
/méd ~ A(R) JJ f(x, y) d4
R
A(R) X /m" ~ ff f(x, y) dA
R
FIGURA 11
diz que a caixa com base R e altura!,"'d tem o mesmo volume que o sólido delimitado pelo
gráfico de f [Se z = f(x, y) descreve urna região montanhosa e você corta os topos dos
morros na altura !.,M, então pode usá-los para encher os vales de forma a tornar plana a
região, Veja a Figura 1 L]
EXEMPLO 4 o O mapa de contornos na Figura 12 mostra as quantidades da precipitação
de neve, em polegadas, no Estado do Colorado, em 24 de dezembro de 1982, (0 Estado
tem formato retangular com medidas 388 milhas na direção leste-oesLe e 276 milhas na
direção norte-sul.) Utilize o mapa de contornos para estimar a precipitação média no
Colorado em 24 de dezembro,
SOLUÇÃO Vamos colocar a origem no canto sudoeste do Estado. Então O ~ x ~ 388,
O ,;; y ,;; 276, e f(x, y) é a queda de neve, em polegadas, na localização x milhas para
leste e y milhas para norte da origem. Se R é o retângulo representativo do Estado do
Colorado, então a precipitação média do Colorado em 24 de dezembro foi
1 f'
fmód ~ A(R) j f(x, Y) dA
R

James Stewart CAPÍTULO 15 lNTEGR.AIS MÚLTIPLi~,S CJ 985
FIGURL\ 12
onde A(R) ~ 388 · 276 . Para estimar o valor dessa integral dupla, vamos usar a
Regrado Ponto Médio com m ~ n ~ 4. Em outras palavras, dividimos R em 16 subretângulos
de tamanhos iguais, como na Figura 13. A área de cada sub-retângulo é
FIGURA 13

986 n CÁLCUlO Editora Thomson
Usando o mapa de contornos para estimar o valor de f no ponto central de cada subretângulo,
obtemos
4 4
~· f(x, y) dA = ,~
1
~ f(x,, y) D.A
= AA[0,4 + 1,2 + 1,8 + 3,9 + O + 3,9 + 4,0 + 6,5
+ 0,1 + 6,1 + 16,5 + 8,8 + 1,8 + 8,0 + 16,2 + 9,4]
= (6693)(88,6)
Portanto
(6693)(88,6)
fmbJ = (388)(276) = 5 ' 5
Em 24 de dezembro de 1982, o Estado do Colorado recebeu uma média de 5l polegadas
de neve.
Propriedades das Integrais Duplas
Listaremos aqui três propriedades das integrais duplas que podem ser provadas como na
Seção 5.2 do Volume L Admitiremos que todas as integrais existam. As Propriedades 7 e
8 são referidas como linearidade da integraL
c Integrais duplas se comportam
assim porque as somas duplas que as
definem se comportam dessa forma.
IIJ
jJU(x,y) + g(x,y)]dA = jJf(x,y)dA + Jf g(x,y)dA
R R R
JJ cf(x, y) dA= c
R
R
fJJ(x, y) dA
Sef(x, y) ;;, g(x, y) para todo (x, y) em R, então
onde c é uma constante.
JJ f(x, y) dA;;, fJ g(x, y) dA
R
R
.Jti[J Exercícios
1. (a) Estime o volume do sólido contido abaixo da superfície
z = xy e acima do retângulo R= {(x, y) I O ,;;; x,;;; 6,
O ~ y .,-;;;; 4}. Utilize a soma de Riemann com m = 3, n = 2
e tome o ponto amostra como o canto superior direito de
cada sub-retângulo.
(b) Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do
sólido da parte (a).
2. Se R = [ -1, 3] X [O, 2], use a soma de Riemann com m = 4,
n = 2 para estimar o valor de JfR (y 2 - 2x 2 ) dA. Tome os
pontos amostra como os cantos inferiores esquerdos dos
sub~retãngulos.
3. (a) Use uma soma de Riemann com m = n = 2 para estimar o
valor de JJ,sen(x + y) dA, onde R= [0, 7T] X [O, Tj, Tome
como pontos amostrais os cantos inferiores esquerdos.
(b) Use a Regra do Ponto Médio para dar uma estimativa da
integral do item (a).
4. (a) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície
z = x + 2y 2 e acima do retângulo R= [0, 2] X [O, 4],
Use a soma de Riemann com m = n = 2, e escolha os
pontos amostrais como os cantos inferiores direitos.
(b) Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do
item (a).
5. É dada a tabela de valores de uma função f(x, y) definida em
R=[!, 3] X [0,4],
I~ o I 2 3 4
1,0 2 o -3 ~6 -5
I
!,5 3 l -4 -8 -6
2,0 4 o
I o I -5 -8
2,5 5
i
5 3 ~I
'
i ·-4
3,0 7 8 I 6 3 I o
'

James Stewart CAPÍTULO 15 INTEGRAIS MÚLTIPLAS ::__: 987
:;~-:"!•
(a) Estime Jj~, f(x, _v) dA ulilizando a Regra do Ponto Médio
com m = n = 2.
(b) Estime a integral dupla com m = n = 4 escolhendo os
pontos amostra o mais longe da origem.
6. Uma piscina de 20 por 30 pés é enchida com água.
A profundidade da piscina é medida a cada intervalo de 5 pés,
começando de um canto, e os valores foram anotados na
tabela. Estime o volume de água da piscina.
!
o ' i
5 10 15 !
' 20 25 30
I ------ I I
o 7
-
4 6
i ~' 7 g 8
I i
i
5 ' 3 j 7 8 I !O 8
'
I
i
10 2 i 4 6 8 10 12 10
' I
15 ' ! j
-
~' ! ' 5 I 6 8 7
!
20
7 i ' I 7
- -
' I 3 4 ~!
~~~~ ~ ~
------,--
'
'
Seja V o volume de um sólido contido entre o gráfico de
f(x,y) = -J52 x 2 y' e acima do retângulo dado por
2 ~ x ~ 4, 2 ~ y ~ 6. Usamos as r~tas x = 3 e y = 4 para
dividir R em sub-retângulos. Sejam L e U as somas de
Riemann computadas, utilizando como ponto amostra -o canto
inferior esquerdo e o canto superior direito, respectivamente.
Sem calcular os números V, L e U, arranje-os na seqüência
crescente de valores e explique suas razões.
8. A figura mostra curvas de nível da função f no quadrado
R~ [O, 1] X [0, 1]. Use~as para estimar fj~f(x,y)dA com
precisão nas unidades.
I
I
10. O mapa de contornos mostra a temperatura, em graus Fahrenhcít,
às 3 horas da tarde do dia l" de maio de 1996. no Estado do
Colorado. (O Estado mede 388 mi de leste a oeste e 276 ml de
norte a sul.) Utilize a Regra do Ponto Médio com m = n = 4
para estimar a temperatura média do Colorado nessa hora.
H-13 LJ Calcule a integral dupla, identificando-a antes como o
volume de um sólido.
11, jJ, 3 dA, R ~ {(x, y) I -2 ""x"" 2, I ""y ""6}
12, JJ, (5 - x) dA, R ~ {(x, y) I O"" x"" 5, O ""y"" 3}
1\'!~ ff, (4 - 2y) dA, R~ [0, I] X [0, I]
14~ A integral j}~ ../9 - y' dA, onde R~ [0, 4] X [0, 2],
representa o volume de um sólido. Esboce o desenho do sólido.
oi
'
A figura mostra o mapa de contornos de f no quadrado
R~ [0,4] X [0,4].
(a) Use a Regra do Ponto Médio com m = n = 2 para estimar o
valor de JS, f(x, y) dA~
(b) Estime o valor médio de f
x
15. Utilize uma calculadora programável ou computador (ou o
comando-soma de um CAS) para estimar
R
onde R~ [0, I] X [O, I]. Utilize a Regra do Ponto Médio com
os seguintes números de quadrados de tamanhos iguais: 1, 4,
16, 64, 256 e !.024~
16. Repita o Exercício 15 para a integral JJ~ cos(x 4 + y 4 ) dA.
Se f é uma função constante, j(x, y) = k e
R~ [a, b] X [c, d], mostre quejJ, kdA ~ k(b- a)(d- c)~
18~ Se R~ [0, l] X [0, l], mostre que O"" fj~sen(x + y) dA "" I.

988 O CÁLCULO Editora Thomson
Iteradas
Lembremos que geralmente é difícil calcular as integrais de funções de uma variavél real
diretamente da definição de integral, mas que o Teorema Fundamental do Cálculo fornece
um método mais fácil para calculá-las. O cálculo de integrais duplas pela definição é ainda
mais complicado, porém, nesta seção, veremos como expressar uma integral dupla como
uma integral iterada, cujo valor pode ser obtido calculando-se duas integrais de funções de
uma variável real.
Suponha que f seja uma função de duas variáveis contínua no retângulo R = [a, h J X
[c, d]. Usaremos a notação J: f(x, y) dy significando que x é mantido fixo e f(x, y) é in te·
grado em relação a y de y = c para y = d. Esse procedimento é chamado integração parcial
em relação a y. (Note a semelhança com a derivada parcial.) Como J: j(x, y) dy é um
número que depende do valor de x, ele define uma função de x:
r A(x) ~ J(x, y) dy
Se integrarmos a função A com relação à variável x de x = a a x = h, obteremos
J: A(x) dx ~ J: [fJ(x, y) dy J dx
A integral do lado direito da Equação I é chamada integral iterada. Em geral, os
colchetes são suprimidos. Então
'" rbJ'd J(x, y) dy dx ~ t ''[fd JJ(x, y) dy ] dx
significando que primeiro integramos com relação a y de c a d e depois em relação a x de
a até h.
Da mesma forma
(d 'b [d [ 'b ]
1 JJ(x, y) dx dy ~ ,, jJ(x, y) dx dy
significa que primeiro integramos com relação a x (fixando y) de x = a a x = h e em
seguida integramos a função de y resultante com relação a y de y = c a y = d. Note que
em ambas as Equações 2 e 3 trabalhamos de dentro para fora.
(a)
l ' ,.,
D • 1
· · x 2 y dy dx
Calcule o valor das integrais
SOLUÇÃO
(a) Olhando x como constante, obtemos
L o ~ [ 7 ) ·']y~l
l x"ydy ~ r-
2 y=l
(b) ,.,,., x 2y dx dy
~ l • o
~x'( ~')- x'( ~ 2 ) ~ lx 2
Portanto a função A da discussão precedente é dada por A(x) ~
neste exemplo.

James Stewart
CAPÍTUlO 15 lNTEGRA!S MÚLTIPLAS
989
Integramos agora essa função de x de O até 3:
J .,,., y x 2 dy dx = r [f' x'y dy] dx
o • l .o • l
27
2
(b) Aqui integraremos primeiro em relação a x:
f' f' x 2 y dx dy = f' [r x'y dx] dy = j'' [~ y]'.~J dy
,. l • O • l • O J 3 x=O
·z v']' 27
= J, 9y dy = 92 l = 2
Note que no Exemplo l obtemos a mesma resposta se integramos primeiro em relação
a y ou a x. Em geral acontece (ver o Teorema 4) de as duas integrais iteradas das Equações
2 e 3 serem sempre iguais, ou seja, a ordem da integração não é importante. (Isso é semelhante
ao Teorema de Clairaut sobre as igualdades das derivadas parciais mistas.)
O seguinte teorema fornece um método prático para calcular uma integral dupla,
expressando-a como uma integral iterada (em qualquer ordem).
·- O Teorema 4 tem o nome do
matemático italiano Guido Fubini
(1879~ 1943), que provou uma versão
geral desse teorema em 1907. Mas a
versão para as funções contínuas era
conhecida pelo menos um século
antes pelo matemático francês
Augustin-Louis Cauchy.
Teoreme do F"bini Se f for contínua no retângulo R= {(x, y) I a,; x,; b,
c ,; y ,; d}. então
ffJ(x, y) dA= f fJ(x,y) dydx =r f J(x,y) dxdy
R
Genericamente, esse resultado vale se supusenrios que f seja limitada em R, f possa
ser descontínua em um número finito de curvas lisas, e a integral iterada exista.
A prova do Teorema de Fubini foge ao escopo deste livro, mas podemos ao menos
fornecer uma justificativa razoável de sua validade quando J(x, y) ~ O. Lembremos que,
se f é positiva, podemos interpretar a integral dupla ff 8
f(x, y) dA como o volume V do
sólido que está acima de R e abaixo da superfície z = f(x. y). Contudo, temos outra fór·
mula usada para calcular volume no Capítulo 6 do Volume, que é
V= J: A(x) dx
onde A(x) é a área da secção transversal de S no plano que passa por x perpendicularmente
ao eixo x. Da Figura I podemos ver que A(x) é a área debaixo da curva C cuja equação é
z = f(x, y), onde x é mantida constante e c ,; y ,; d. Portanto
e temos
A(x) = f f(x, y) dy
FIGURA 1
JJ f(x, y) dA = V= J: A(x) dx = J: f J(x, y) dy dx
R

990 D CÁlCULO Editora Thomson
Uma argumentação semelhante, usando a secção transversal perpendicular ao eixo y como
na Figura 2, mostra que
.J.. rd fb
f(x, y) dA ~ ,, J(x, y) dx dy
1
R
X
EXEMPLO 2 = Calcule a integral dupla Jj~ (x- 3y 2 )dA, onde
Y R ~ {(x, y) I O ~ x ~ 2, l ~ y ~ 2}. (Compare com o Exemplo 3 da Seção 15.!.)
SOLUÇÃO 1 Pelo Teorema de Fubini, temos
FIGURA 2
CJ Note a resposta negat1va no
Exemplo 2; nada errado com isso. A
função f no exemplo não é positiva, e
a integral não representa um volume.
Da Figura 3 vemos que, se f for
sempre negativa em R, o valor da
integral é o negativo do volume que
está acima do gráfico de f e abaixo
de R.
f f (x- 3y 2 )dA ~ f 2 f 2 (x- 3y 2 )dy dx
. ~o • l
R
2 x-. ]2
~ L (x - 7) dx ~ - 1x ~ -12
- o
SOLUÇÃO 2 Novamente, aplicando o Teorema de Fubini, mas dessa vez integrando com
relação a x primeiro, temos
f . f' '2
j (x- 3y 2 )dA ~
1
R
Jo (x- 3y 2 )dxdy
~ f' [ ~ - 3xy']"~' dy
l
x=O
~ I (2 - 6y
]'
f2
2 )dy ~ 2y - 2y 3 ; ~ -]2
FIGURA 3
y
c Para uma função f com valores
positivos e negativos, .0~ f(x, y) dA é a
diferença dos volumes: V 1 ~ V2, onde
V 1
é o volume acima de R e abaixo do
gráfico de f e V 2 é o volume abaixo de
R e acima do gráfico. O fato de a
integral do Exemplo 3 ser o significa
que os dois volumes V1 e V: são iguais
(veja a Figura 4).
EXEMPlO 3 Li Calcule jJRysen(xy) dA, onde R~ (1, 2] X (O, 1r].
SOLUÇÃO 1 Se integrarmos primeiro em relação a x, obteremos
ff y sen(xy) dA ~ r f y sen(xy) dx dy
R
[' [ -cos(xy)];:: dy
.o
r (-cos2y + cosy)dy
= -}sen2y +seny]; =O
z -1
z = y sen(.cy)
o
y
FIGURA4
2
SOLUÇÃO 2 Se invertermos a ordem de integração, obteremos
JJ y sen(xy) dA ~ r r y sen(xy) dy dx
R
Para calcular a integral interna usamos a integração por partes com
u=y
du ~dy
dv ~ sen(xy) dy
v~
cos(xy)
X

e então
James Stewart CAPÍTULO 15 INTEGRAIS MÚLTIPLAS Ci 991
f
" . y cos(xy) ]'c•c I f"
O X }=O X o
y sen(xy) dy ~ - · . + -. cos(xy) dy
1TCOS 1TX 1
--- + [sen(xy)t.:~
X
7TCOS TrX
sen TrX
---+--c:--
X
Se agora integrannos o primeiro termo por partes com u = ~ 1/ x e dv = 7TCOS 1TX dx,
obteremos du = dx/x 2 , v= senTrx, e
Portanto
f(
f(
'J" [ sen11x]'
TrCOs TrX) senTrx f sen TrX
- dx ~ ---- ---dx
X X x 2
_:7T:_C::_o:_:s_r.::.:.xc_· sen 7r x ) sen 1T x
+ --,- dx = ~---
x .r x
:" No Exemplo 2, as soluçóes 1 e 2 são
igualmente diretas, mas no Exemplo 3
a primeira solução é muito ma1s e assim y sen(xy) dy dx ~ - x
f 1 0
simples que a segunda. Portanto, ao
1
calcular uma integral dupla. é
sen 27T
recomendável escolher a ordem
~ ---- + sen 7í =O
de integração que forneça integrais
2
mais simples.
EXEMPLO 4 Determine o volume do sólidoS que é delimitado pelo parabolóide elíptico
x 2 + 2y 2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2, e os três planos coordenados.
z 8
4
y
SOLUÇÃO Observemos primeiro que S é o sólido que está abaixo da superfície
z ~ 16 - x 2 - 2y 2 e acima do quadrado R ~ [0, 2] X [0, 2]. (Veja a Figura 5.) Esse
sólido foi considerado no Exemplo 1 da Seção 15.1, mas agora temos condições de
calcular a integral dupla, usando o Teorema de Fubini. Portanto
V~ Jí (16 - x 2 - 2y 2 )dA ~ j··z [' (16 - x 2 - 2y 2 )dx dy
• o ~o
R
FIGURA 5
~ ( 2 ('' T - 4y-') dy ~ ['' TY - 43Y 31' o ~ 48
,o
No caso especial em que f(x, y) pode ser fatorado corno o produto de uma função só de
x por uma função só de y, a integral dupla de f pode ser escrita de forma particularmente
simples. Para ser específico, suponha que f(x, y) ~ g(x)h(y) e R ~ [a, b] X [c, d]. Então
o Teorema de Fubini nos dá
~-f(x, y) dA ~r s: g(x)h(y) dx dy ~f [s: g(x)h(y) dx] dy
Na integral interna. y é uma constante, então h(y) é uma constante e podemos escrever
r [r g(x)h(y) dx J dy ~f [ h(y)(r g(x) dx) J dy
~ f' g(x) dx [" h(y) dy
~a ~c

992 o CÁlCULO Editora Thornson
já que J~ g(x) dx é uma constante. Portanto, neste caso, a integral dupla de f pode ser escrita
corno o produto de duas integrais de funções de urna variável real:
ff g(x)h(y) dA ~r g(x) dx r h(y) dy onde R~ [a, b] X [c, d]
R
Se R ~ [0, 1T/2] X [0, 'lT/2], então
J T senxcosydA ~ fc/Z senxdx (c12 cos ydy
~ .. o .o
R
[
"/2 [ ]"/2
= -cosxl 0 seny 0 =1·1=1
-~ A função f (x, y) = sen x cos y do
Exemplo 5 é positiva em R; assim, a
integral representa o volume do sólido
contido entre o gráfico de f e R como
mostrado na Figura 6.
FIGURA 6
Exercícios
1-2 u Determinej~'f(x,y)dxef,'J(x,y)dy.
1. f(x, y) ~ 2x + 3x'y 2. f(x,y)~ x:Z
r s: (1 + 4xy)dxdy
3-12 :J Calcule a integral iterada.
e
5. rrr -xsenydydx
0 0
foi (2x + yf!' dx dy
nt -+-y)
dydx
• ! • l )' X
['" 2 j''•5
4. f f~ (x2 + y2)dydx
7. 8. ('r -dydx xe'
11. Jo
0
e 2 "'-y dx dy
13-20 Ci Calcule a integral dupla.
6. r s:

James Stewart CAPiTUlO 15 INTEGRAIS MÚLTIPLAS ,.., 993
24. Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide
hiperbólico z = 4 + xc - y 2 e acima do quadrado
R~ [ -1, 1] X [0, 2),
-~. Determine o volume do sólido contido abaixo do parabolóide
elíptico x 2 /4 + )J/9 + z = 1 e acima do retângulo
R ~ ( -1, 1] X [ -2, 2],
26. Determine o volume do sólido delimitado pela superfície
z = l + ex sen y pelos planos X = :!::: L )' = O, y = 7T,
e z =O.
27. Determine o volume do sólido limitado pela superfície
z = x.../x 2 + _v e pelos planos x =O, x = L y =O.)' = I
ez =O.
28. Determine o volume do sólido linútado pelo parabolóide
elíptico z = 1 + (x - 1) 2 + 4y 2 , pelos planos x = 3 c y = 2 e
pelos planos coordenados.
29. Detennine o volume do sólido contido no primeiro octante
limitado pelo cilíndro z = 9 - y 2 e pelo plano x = 2.
30. (a) Detennine o volume do sólido limitado pela superfície
z = 6 - xy e pelos planos x = 2, x = -2, y = O, y = 3
ez =O.
(b) Use o computador para desenhar o sólido.
31. Utilize um sistema computacional algébrico para determinar o
valor exato da integral JJ, x'y'e'' dA, onde R ~ [O, 1] X [O, 1],
Em seguida use o CAS para desenhar o sólido cujo volume é
dado pela integraL
32. Desenhe o sólido contido entre as superfícies
z = e·x' cos(x 2 + y:) e z = 2- x 2 - y" para lx! ::s: 1,
I y I ::s: l. Utilize um sistema computacional algébrico para
aproximar o volume desse sólido até a quarta casa decimaL
Determine o valor médio de f sobre o retângulo dado.
33. f(x, y) ~ x'y, R tem vértices ( -1, 0), ( -1, 5), (I, 5), (!,O)
34, f(x, y) ~ e'.jx +e', R~ [O, 4] X [0, 1]
35. Utílizc seu CAS para calcular as integraís iteradas
.C .C (.::
dydx e dxdy
Suas respostas contradizem o Teorema de Fubini Explique o
que acontece.
36. (a) Em que aspectos os teoremas de Fubini e Clairaut são
semelhantes
(b) Se f(x, y) é contínua em [a, b] X [c, d] e
g(x, y) ~ f r J(s, t) dt ds
para a < x < b, c < y < d, mostre que 9xr = gy;. = f(x, y).
Para as integrais de funções de uma variável real, a região sobre a qual integramos é sempre
um intervalo. Porém, para integrais duplas, queremos integrar a função f não somente sobre
retângulos, como também sobre uma região D de forma mais geral, como a ilustrada na Figura
L Vamos supor que D seja uma região limitada, o que significa que D pode ser cercada por
uma região retangular R como na Figura 2. Definimos então uma nova função F com donúnio
R por
F(x, y) ~ {~(x, y) se (x, y) está em D
se (x, y) está em R, mas não em D
y
X
FIGURA 1 FIGURA 2

994 u CÁLCUlO Editora Thomson
X
FIGURA 3
'1
I
I
o
gráfico de f
C:zjy
-~
I
I -
I ! //
,/~Sci7 >
FIGURA 4
de F
Se a integral dupla de F sobre R existe, então definimos a integral dupla de f sobre D por
JJ f(x, y) dA ~ JJ F(x, y) dA onde F é dada pela Equação J.
D
R
A Definição 2 tem sentido porque R é um retângulo, e portanto JJR F(x, y) dA foi
definida de maneira precisa na Seção 15.1. O procedimento usado é razoável, pois os valores
de F(x, y) são O quando (x, y) está fora da região De dessa forma não contribuem para
o valor da integral. Isso significa que não importa qual o retângulo tomado R desde que
contenha D.
No caso em que f(x, y) ;;, O podemos ainda interpretar fl;x f(x, y) dA como o volume
do sólido contido acima de De abaixo da superfície z ~ j(x, y) (o gráfico de !J- Você pode
constatar que isso é razoável comparando os gráficos de f e F nas Figuras 3 e 4 e lembrando
que JJ~ F(x, y) dA é o volume abaixo do gráfico de F.
A Figura 4 mOstra também que F provavelmente tem uma descontinuidade nos pontos
de fronteira de D. Apesar disso, se f for contínua em De se a curva fronteira de D fOr "bem
comportada" (em um sentido que está fora do escopo deste livro), então pode ser mostrado
que JJ~ F(x, y) dA existe, e portanto JJ~ j(x, y) dA existe. Em particular, esse é o caso para
os tipos de regiões listados a seguir.
Uma região plana D é dita ser do tipo I, se está contida entre o gráfico de duas funções
contínuas de x, ou seja,
D ~ {(x,y)la ~ x ~ b, g 1 (x) ~ y ~ g 1 (x)}
onde g 1 e g; são contínuas em [a, b]. Alguns exemplos de regiões do tipo I estão mostrados
na Figura 5.
y
y
y
F!GUR.A 5
OI a b "
o a O i a
X
b
I
Algumas regiões do tipo I
)
Para calcular ffv j(x, y) dA quando D é do tipo I, escolhemos um retângulo R = [a, b]
X [c, d] que contenha D, como na Figura 6, e tomamos F a função definida como na Equação
l; ou seja, F coincide com f em De F é O fora da região D. Então, pelo Teorema de Fubini,
JJ f(x, y) dA ~ ff F(x, y) dA ~ f r F(x, y) dy dx
D
R
Observe que F(x, y) ~O se y < g,(x) ou y > g,(x) porque (x, y) nessas condições está
fora da região D. Assim,
FIGURA 6
j
'd F(x, y) dy ~ j"''''' F(x, y) dy ~ f'''' j(x, y) dy
c 9>\X) ~g,(x!

James Stewart CAPÍTULO 15 INTEGRAIS MÚLTIPLAS Cl 995
porque F(x, y) = f(x, y) quando g 1 (x) "' y "' g 2 (x). Portanto temos a seguinte fórmula que
nos permite calcular a integral dupla como uma integral iterada.
(]] Se f é contínua em uma região D do tipo !tal que
D = {(x, y) I a"' x"' b, g 1(x) "'y"' g,(x)}
então
f
' j'b J'g•\9[
f(x, y) dA =
J a g,\Xi
D
•. f(x, y) dy dx
A integral do lado díreíto de (3) é uma integral iterada semelhante às consideradas na
seção anterior, exceto que na integral de dentro enxergamos x como constante não só em
f(x, y), como também nos limites de integração g 1 (x) e g 2 (x).
Consideraremos também regiões planas do tipo 11, que podem ser expressas como
D = {(x, y) I c "'y "' d, h,(y) "' x "' h,(y)}
y~
I
d!--~
I
x~h,(y) [ D
I
X~ h,(y)
onde h 1 e h2 são contínuas. Dois exemplos de região do tipo II estão ilustrados na Figura 7.
Utilizando o mesmo método que usamos para estabelecer (3), podemos mostrar que
ff f(x, y) dA =r t~' f(x, y) dx dy
D
X
onde D é uma região do tipo li dada pela Equação 4.
FIGURA 7
Algumas regiões do tipo II
y
EXEMPLO 1 c Calcule Jj~ (x + 2y) dA, onde D é a região limitada pelas parábolas
y = 2x 2 e y = 1 + x 2
SOLUÇÃO As parábolas se interceptam quando 2x 2 = 1 + x 2 , ou seja, x 2 = 1, logo
x = ±I. Notamos que a região D, ilustrada na Figura 8, é do tipo I e não do tipo li, e
podemos escrever que
D = {(x,y)I-I "'x"' I, 2x 2 "'y"' I+ x 2 }
Como a fronteira de baixo é y = 2x 2 e a de cima é y =
1 + x 2 , a Equação 3 leva a
-I
FIGURA 8
X
fJ (x + 2y)dA = f,[''(x + 2y)dydx
D
J 'l !
']y~[,g2
= _ 1
xy + y y=lxl dx
= J', [x(l + x') + (l + x 2 ) 2 - x(2x 2 ) - (2x 2 ) 2 ]dx
=J' (-3x 4 -x 3 + 2x 2 +x + l)dx
~[
32
15

996 L1 CÁlCULO Editora Thomson
y::::: X~
NOTA o Quando montamos a integral dupla como no Exemplo 1, é essencial desenhar
um diagrama. Freqüentemente é útil desenhar uma seta vertical como na Figura 8. Assim
os limites de integração da integral de dentro podem ser lidos do diagrama como segue: a
seta começa na fronteira debaixo y = g1(x), que fomecc o extremo inferior da integral, e
termina na fronteira de cima y = g2(x), que dá o extremo superior de integração. Para uma
região do tipo II a seta é desenhada horizontalmente da fronteira esquerda para a fronteira
direita.
EXEMPUJ _f" - Determine o volume do sólido que está contido abaixo do parabolóide
z = x 2 + y 2 c acima da região D do plano :t)' limitada pela reta y = 2x c pela parábola
y = x2.
SOLUÇÃO 1 Da Figura 9 vemos que D é uma região do tipo I e
FIGURA 9
D corno uma região do tipo I
y
4 ,(;2,4)
'i
li
/!
jl
x=ty / /
I
'
I
I
/ I X
/v!
I /
D = {(x, y) I O"" x"" 2, x 2 ""y"" 2x}
Portanto, o volume debaixo dez = x 2 + y 2 e acima de D é
V= ff (x 2 + y 2 )dA = f' f'' (x 2 + y 2 )dy dx
~~ ~o • x
D
I '' [ , yY ] 1 ~ 2 ' l'2 [ (2x) 3 , (x 2 3
) J
..-o v=x2 ~o
x-y + 3 dx = x 2 (2x) + - 3
-- x 2 x'- - 3
- dx
I ''( x 6 4 14x 3 ) ·- x 7 x 5 7x 4 ---x +-- dx-----+--]
,0 3 3 21 5 6 o
2
216
35
X
SOLUÇÃO 2 Da Figura 10 vemos que D pode ser escrito como urna região do tipo I!
FIGURA 10
D como uma região do tipo II
c:: A Figura 11 mostra o sólido cujo
volume é calculado no Exemplo 2.
Ele está acima do plano xy, abaixo do
parabolóide z = x 2 + y 2 , e entre o
plano = 2x e o cilindro parabólico
y=
Logo, outra expressão para V é
V= ff (x' + y')dA = fo' s::(x 2 + y')dxdy
D .
4[xY
= f - + y'x
]'~;; 4(yYf2 y3
dy = f - +
YJ)
}'5/2 - - - - dy
Jo 3 ,~lf Jo 3 24 2
_1:_ 5/2 + :_ ,7/2- !l 4]4- 216
- 1sY 7) 96Y o - 3s
EXEIIilPUl 3 c. Calcule ffo xy dA, onde D é a região limitada pela reta y = x -
parábola y 2 = 2x + 6,
I e pela
SOLUÇÃO A região D está representada na Figura 12, Novamente D pode ser vista
tanto como uma região do tipo I como uma região do tipo H, mas a descrição de D como
região do tipo I é mais complicada, porque a fronteira inferior é constituída de duas
partes. Portanto preferimos expressar D como uma região do tipo II:
FIGURA 11
D = ( (x, y) I - 2 ""y"" 4, h' - 3 ""x ""y + 1}

James Stewart CAPÍTULO 15 INTEGRAIS MÚLTiPLAS iJ 997
Yj
I
(5, 4)
X
(-1, -2)
FIGURA 12
(a) D como região do tipo I
(b) D como região do tipo II
Logo (5) fornece
~· xy dA ~ J', J;:: t [
1 1
xy dx dy ~
3 ~2 y [,:
3
~ l J',y[(y + 1)2- (jy2- 3)'] dy
dy
(
~l_, -4+4y
y' )
f4 3 +2y 2 -8y dy
(0, O, 2)
4
I y6 yx
~- --+v 4 +2--4y 2 ~36
[
2 24 ' 3 ] -2
x=2y
x+2y+z=2
Se tivéssemos expressado D como uma região do tipo I usando a Figura 12(a),
obteríamos
fJ
' j'-l fjhl6 f' fjhl6
~ xydA = _ 3
-,,/lX+tixydydx + _
1
x-l xydydx
D
mas isso daria muito mais trabalho que o outro método.
FIGURA 13
X
EXEMPlO 4 c Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos
x + 2y + z ~ 2, x ~ 2y, x ~ O e z ~ O.
x+2v=2
(ouy~l-f)
D
y=~
(q)
X
SOLUÇÃO Em uma questão como essa, é prudente desenhar dois diagramas: um do sólido
tridimensional e outro da região plana D sobre a qual o sólido se encontra. A Figura 13
mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x ~ O, z ~ O, o plano vertical
x ~ 2y e o plano x + 2y + z ~ 2. Como x + 2y + z ~ 2 intercepta o plano xy (cuja
equação é z ~ O) na reta x + 2y ~ 2, vemos que Testá acima da região triangular D no
plano xy limitado pelas retas x ~ 2y, x + 2y ~ 2 ex~ O. (Veja a Figura 14.)
O plano x + 2y + z ~ 2 pode ser escrito como z ~ 2 - x - 2y, então o volume
pedido está sob o gráfico da função z ~ 2 - x - 2y e acima
FIGURA 14
D ~ {(x,y) I O,;; x,;; I, x/2,;; y,;; I- x/2)

998 c:~ CÁLCUlO Editora Thomson
Portanto
v~ JT (2- X- 2y)dA ~ [' f!-!/ 2 (2 -x- 2y)dydx
•.
.O ~x;2
D
I [
']y~h/2
.o [ 2y - xy - y- _r~x/2 dx
2
1 '' [ 2-x-x ( 1-"'z r) - ( 1- ~ t )' -x+~+4 t
]
dx
f' (x' - 2x + l) dx ~ .::':.:_- ' x 2 + x
]'
.·O 3 O
1
3
EXEMPlO 5 =Calcule a integral iterada J; f: sen(y 2 )dydx_
y
D
y=l
SOLUÇÃO Se tentarmos calcular a)ntegral como ela se apresenta, teremos inicialmente de
resolver o problema de calcular J sen(y 2 ) dy. Mas isso é impossível de fazer em termos
finitos, uma vez que f sen(y 2 )dy não é uma função elementar (veja o final da Seção 7.5
do Volume I). Precisamos então mudar a ordem de integração, o que pode ser
conseguido escrevendo-se inicialmente a integral iterada dada como uma integral dupla.
Usando (3) de trás para a frente, temos
o
FIGURA 15
D como uma região do tipo l
y
x=O
o
D
x=y
FIGURA 16
D como uma região do tipo II
X
X
f01
f:
sen(y 2 )dydx ~ jJ sen(y 2 )dA
onde D ~ {(x, y) I O~ x ~ I, x ~ y ~ I}
Esboçamos essa região D na Figura 15. Então, da Figura 16 vemos que um modo
alternativo de descrever D é
D~{(x,y)JO~y~ I, O~x'Sy}
Isso nos pennite usar (5) para exprimir a integral dupla como uma integral iterada na
ordem reversa:
f: f: sen(y 2 )dydx ~ fJ sen(y 2 )dA
D
/)
~ fo' t sen(y')dxdy ~ fo' [xsen(y 2 )];:~ dy
~ f>sen(y')dy ~ -lcos(y 2 )) 0
~ l

James Stewart CAPÍTUlO 15 INTEGRAIS MULTIPLAS o 999
Se f(x, y) ;;;, g(x, y) para todo (x, y) em D, então
FIGURA 17
)'
X
jJJ(x,y)dA;;;, JJ g(x,y) dA
O
A próxima propriedade de integral dupla é semelhante à propriedade de integral de uma
funcão de uma variável real dada pela equação rb J(x) d.x ~ f' f(x) dx + f" J(x) dx.
Se D = D1 U Dz, onde D 1 e D 2 não se sobrC~õem exceto. 'talvez nas f;~nteiras (veja a
Figura 17), então
D
o
(a) D não é região nem do tipo I
nem do tipo li.
)'
X
A Propriedade 9 pode ser usada para calcular integrais duplas sobre regiões D que não
sejam nem do tipo I nem do tipo IL A Figura 18 ilustra esse processo (veja os Exercícios
49 e 50).
A próxima propriedade de integrais diz que, se integrannos uma função constante
f(x, y) ~ I sobre uma região D, obteremos a área de D:
JJ I d4 ~ A(D)
D
X
A Figura 19 ilustra por que a Equação 10 é verdadeira: um cilindro sólido, cuja base é D
e altura I, tem volume A(D) , 1 = A(D), mas sabemos que também podemos escrever seu
volume como JL 1 d4.
Finalmente, podemos combinar as Propriedades 7, 8 e 1 O para provar a seguinte propriedade
(veja o Exercício 53):
(b) D ~ D, U D,,
D 1
é do tipo I, e D 2
é tipo do IL
FIGURA 18
ITIJ Sem ~ J(x, y) ~ M para todo (x, y) em D, então
mA(D) ~ JJ J(x, y) d4 ~ MA(D)
D
EXEMPLO 6 ~
o disco com centro na origem e raio 2.
Utilize a Propriedade 11 para estimar a integral JJ 0
e'"""$' d4, onde D é
SOLUÇÃO Como -1 ~ senx:::::; 1 e -1::::; cosy ~ 1, temos -1 ::s; senxcosy ::o;; 1 e
portanto
e-1::::; e"'"xcusy .::::; e!= e
X
FIGURA 19
(a) Cilindro com base D e altura 1.
Assim, usando m =e~' ~ l/e, M =e, e A(D) = 1r(2)' na Propriedade 11, obtemos
4
-~ 17' fi'
e c
D

1000 o CÁlCULO Editora Thomson
'l-S
Calcule as integrais iteradas.
1. [' r· (x + 2y) dy d.x
~O •. 1}
3. 1·' J .•• .r; c1.x dy
.i} y
5. [.,-/2 l'c

James Stewart CAPÍTULO 15 INTEGRAIS MÚLTIPLAS CJ 1001
40. ,
39. f: f(x, y) dx dy

1002 u CÁLCULO Editora Thomson
P(r, O)"" P(x, y)
e
--~------------~·~
o X X
FIGURA 2
y
Lembre-se da Figura 2 em que as coordenadas polares (r, 8) de um ponto estão relacionadas
com as coordenadas retangulares (x, y) pelas equações
x=rcosO
y=rsene
(Veja a Seção 10.3.)
As regiões da Figura 1 são casos especiais do retângulo polar
R ~ {(r, 8) I a ,; r,; b, a ,; O ,-s; {3}
que é apresentado na Figura 3. Para calcular a integral dupla JfR f(x, y) dA, onde R é o
retângulo polar, dividimos o intervalo [a, h] em m subintervalos [r,-~, r,] de larguras iguais
ó.r ~ (h - a)/m e dividimos o intervalo [a, {3] em n subintervalos [0 1
., OJ de larguras
iguais 6.0 ~ ({3- a)/n. Então os círculos r~ r, e os raios 8 ~ 8 1
dividem o retângulo
polar R nos retângulos polares menores mostrados na Figura 4.
r=b
FIGURA 3 Retângulo polar FIGURA 4 Dividindo R em sub-retângulos polares
O "centro" dos sub-retângulos polares
tem coordenadas polares
Calculamos a área de R;j usando o fato de a área de um setor de círculo de raio r e ângulo
central 8 ser ~r 2 0. Subtraindo as áreas de dois desses setores, cada um deles com
ângulo central 6.8 = 8j - Bj-1, descobrimos que a área de R;J é
dA;=~rT6.8-~rl-i
ô.B=~(r-d-1)6.0
~ l (r,+ r,_,)(r,- r,_,) /!.8 ~ rf ó.r 6.8
Apesar de termos definido a integral dupla ffR f(x, y) dA em termos de retângulos
convencionais, podemos mostrar que, para as funções contínuas f, obtemos a mesma resposta
usando os retângulos polares. As coordenadas retangulares do centro Ru são
(rt coser, r'! sen 6/), portanto uma soma de Riemann típica é
m n m n
[l] 2: 2, f(r't cos er, r't sen en ó.A, = 2: 2: f(r't cos 8t, rT senet) ri' !:,r ó.e
~~~~ ~lj=l
!i ;:&v_

James Stewart CAPÍTUlO 15 iNTEGRAIS MÚLTIPLAS O 1003
Se escrevermos g(r, O) ~ rf(rcos B, rsen O), então a soma de Riemann na Equação l pode
ser reescrita como
2: 2: g(rl'' en tlr 6. e
i=! j=l
que é a soma de Riemann para a integral dupla
Portanto, temos
f" p J'b "g(r, O) drd&
fJ f(x, y) dA ~ lim i: ± f(rl' cos er, ri' sen en t:.A,
R
m.n-4-x i=l j=l
~ f:fJ(rcos 8, r senO) rdrd8
L!J Mudança para Coordenadas Polares em uma Integral Dupla Se f é contínua no
retângulo polar R dado por O ,;;: a ,;;: r,;;: b, a ,;;: 8 ~ {3, onde O ~ {3 - a ,;;: 21r,
então
fi f(x,y) dA~ I: I: J(rcos 8, r sen 8) rdrdB
R
A fórmula em (2) diz que convertemos coordenadas retangulares para coordenadas
polares em uma integral dupla, escrevendo x = r cos fJ e y = r sen 8, usando os limites de
integração apropriados para r e 8, e substituindo dA por r dr dfJ. Cuidado para não esquecer
~ o fator adicional r no lado direito da Fórmula 2. Um método clássico para se lembrar
encontra-se na Figura 5, onde podemos pensar nos retângulos polares '"infinitesimais"
como retângulos convencionais com dimensões r dO e dr e portanto com "área"
dA~ rdrdB.
FIGURA 5
EXEMPUJ l CJ
Calcule fj~ (3x + 4y 2 )dA, onde R é a região no semiplano superior limitada
pelos círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4.
SOLUÇÃO A região R pode ser descrita como
R ~ {(x, y) I y ;, O, 1 ,;;: x 2 + y 2 ,;;: 4)
Ê a metade do anel mostrado na Figura l (b ), e em coordenadas polares é dado por
1 ~r~ 2,
.• h

1004 o CÁLCULO Editora Thomson
O ::::::; f} ::::::; 1T. Portanto, da Fórmula 2, segue
fi (3x + 4y 2 )dA = fo' t (3rcos O+ 4r 2 sen 2 0) rdrdO
R
= fo' t (3r 2 cos e + 4r 3 sen 2 e) dr dO
= Jo' [r 3 cos e + r' sen 2 e];:; dO = J; (7 cos 6 + 15 sen 2 &) dO
o Aqui usamos a identidade
trigonométrica sen'e = & (l cos 28).
Veja a Seção 7.2 !Volume !) para
informações sobre a integração
de funções trigonométricas.
I, f'[ 7 cos e + "; (1 - cos 20) l dO
, o
150 15 I
2 4 o
= 7 sen e + -- - - sen 28
157T
2
EXEMPlO 2 u Determine o volume do sólido limitado pelo plano z = O e pelo
parabolóide z = 1 - x 2 - y 2 •
SOLUÇÃO Se tomarmos z = O na equação do parabolóide, obteremos x 2 + y 2 = l. Isso
significa que o plano intercepta o parabolóide no círculo x 2 + y 2 = 1, e o sólido está
abaixo do parabolóide e acima do disco circular D dado por x 2 + y 2 ::::::; 1 [veja as
Figuras 6 e 1(a)]. Em coordenadas polares, D é dado por O "'r"' 1, O"' B"' 21r. Como
1 - x 2 - y 2 = 1 - r 2 , o volume é
FIGURA6
y
V= fj' (I - x 2 - y 2 )dA = j'''j'' (1- r 2 )rdrd6
J. .o o
D
= J'" doj'' (r- r 3 )dr = 21r[_C_- .!:'_]'
o o 2 4 o
Se trabalhássemos com coordenadas retangulares em vez de coordenadas polares,
obteríamos
V= JJ (1- x 2 - y 2 )dA = j'' J',_, .. (1- x 2 - y')dydx
~-1 -.,tl-x·
/)
que não é fácil de calcular porque envolve o cálculo das seguintes integrais:
dx
f J x 2 vl- x 2 dx
O que fizemos até aqui pode ser estendido para tipos de região mais complicados, como
mostrado na Figura 7. Isso é semelhante a uma região em coordenadas retangulares do tipo
li consideradas na Seção 15.3. De fato, combinando a Fórmula 2 desta seção com a Fórmula
15.3.5, obtemos o seguinte:
1T
2
FIGURA 7
D= {(r, li) I a"' e"' f3,h,(O)"' r

James Stewart CAPÍTULO 15 INTEGRAIS MÚLTIPLAS [i 1005
Em particular, tomando f(x, y) = !, h,(O) =O e h 2 (0) = h(B) nessa fónnu!a, vemos
que a área da região D limitada por e = a, O = f3 e r = h( O) é
,,, ·~ J'hiO)
A(D) = J IdA= L
0
D
rdrdO
= J'" [r' ]hW!dO = j'$ ![h( O)]' dO
o. 2 D ~"'
que é o mesmo que obteríamos usando a Fórmula 10.4.3.
EXEMI'l!l 3 '" Use a integral dupla para detenninar a área contida em um laço da
rosácea de quatro pétalas r = cos 20.
SOLUÇÃO Do esboço da curva na Figura 8 vemos que um laço da rosácea de quatro pétalas
corresponde à região
Sua área é
D = {

1006 o CÁlCUlO Editora Thomson
Exercícios
1-6 :; Urna região R é mostrada na figura. Decida se você deve
usar coordenadas polares ou retangulares c escreva JJ~ f(x, y} dA
como uma integral iterada, onde f é uma arbitrária qualquer
contínua em R.
1.
R
y
2
o
2
2. y
X 2
2
R
X
13. JJD dA, onde D é a região limitada pelo semicírculo
x = y4 - y 2 e o eixo y
14. Jj~ ye' dA, onde D é a região do primeiro quadrante contida
pelo círculo x 2 + y 2 = 16
15. JJ~ arctan(y/x) dA, onde
R ~ {(x, y) li

James Stewart CAPÍTUlO 15 INTEGRAIS MÚLTIPLAS C 1007
32. j'Z f~'2r-x' y x2 + y 2 dy dx
o .-o
33. Uma piscina circular tem 40 pés de diâmetro. Sua
profundidade é constante na direção leste-oeste e aumenta
linearmente de 2 pés no término sul para 7 pés no término
norte. Determine o volume de água da piscina.
34. Um aspersor distribui água em um círculo de raio de 100 pés.
Ele fornece água até uma profundidade e -r pés por hora em
uma distância de r pés do aspersor.
(a) Qual a quantidade total de água fornecida por hora para a
região dentro de um círculo de raio R centrado no
aspersor
(b) Detennine uma expressão para a quantidade média de água
por hora e por pés quadrados fornecida para uma região
circular de raio R.
±~ Utilize coordenadas polares para combinar a soma
f, "' f' =oxydydx + f" i' xydydx + I"' n f"""" xydydx
.!/,;~ ~,1 :< I O •-v2·0
em uma única integral dupla. Em seguida calcule essa integral dupla
36. (a) Definimos uma integral imprópria (sobre todo plano IR: 2 )
fJ
"'
"'
= lim (f e~(x"+y"J dA
a-"' ..
D"
I=~
r·r· ,o;
e-(x"+y 1 dA = .-oo ... -c,;e-\X-+y !Jydx
onde D, é o disco com raío a e centro na origem. Mostre
que
(b) Uma definição equivalente da integral imprópria da parte
(a) é
JJ e_,,,+,'l dA ~ !~~ JJ e-r,'+,'J dA
R' s,
onde Sa é o quadrado com vértices (:!:a, :!:a). Use esse
resultado para mostrar que
(c) Deduza que
f~_, e-x 2 dx J.~"" e·-Y" dy = 1r
J~"' e-x" dx = J;
(d) Fazendo a mudança de variável t = -/ix, mostre que
(Esse é um resultado fundamental para probabilidade e
estatística.)
37. Utilize o resultado do Exercício 36, parte (c), para calcular as
seguintes integrais:
(a) L"' x 1 e-x 2 dx
Aplicações das Integrais Duplas
Já vimos uma aplicação da integral dupla: cálculo de volumes. Outra aplicação geométrica
importante é a determinação de áreas de superfícies, o que será feito na próxima seção. Nesta
seção, vamos explorar as aplicações físicas, como no cálculo de massa, carga elétrica, centro
de massa e momento de inércia. Veremos ainda como essas idéias físicas são importantes
quando aplicadas a funções de densidade de probabilidade de duas variáveis aleatórias.
FIGURA 1
X
Densidade e Massa
Na Seção 8.3 do Volume I calculamos momentos e centro de massa de placas finas
ou lâminas de densidade constante, usando as integrais de funções de uma variável real.
Agora, com auX11io das integrais duplas, temos condições de considerar as lâminas com
densidade variável. Suponha uma lâmina colocada em uma região D do plano xy e cuja
densidade (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (x, y) em D é dada por
p(x, y), onde pé uma função continua sobre D. Isso significa que
!J.m
p(x, y) = lim !J.A
onde !J.m e !J.A são a massa e a área do pequeno retângulo que contém (x, y) e tomamos o
limite quando as dimensões do retângulo se aproximam de O (veja a Figura !).

1008 o CÁlCUlO Editora Thomson
}
);j·)
R,J
Para determinar a massa total m da lâmina, dividimos o retângulo R contendo D em subretângulos
R;J todos do mesmo tamanho (como na Figura 2), e consideramos p(x, y) como
O fora de D. Se escolhermos um ponto (x;'j, y;j) em R 1
, então a massa da parte da lâmina
que ocupa RiJ é aproximadamente p(xi), y;j') ô.A, onde LlA é a área de RíJ. Se somarmos
todas essas massas, obteremos uma aproximação do valor da massa total:
k
I
m = "' "' p(xf v*) !lA
..r::.. ..r::.. •),. lj
i= i j=!
FiGURA 2
X
Aumentando o número de sub-retângulos, obtemos a massa total m da lâmina como o valor
limite dessa aproximação:
k I , ,
m = lim 2: 2: p(xt. yt) M = li p(x, y) dA
k,/---•X t=\j=!
'ô
Físicos consideram ainda outros tipos de densidade que podem ser tratados da mesma
maneira. Por exemplo: se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região De a densidade
de carga (em unidades de carga por unidade de área) é dada por a-(x, y) em um
ponto (x, y) em D, então a carga total Q é dada por
Q = JJ a-(x, y) dA
D
)'
y=l
k--'---r--t (L l)
D
o
FIGURA3
y= 1- X
X
EXEI\IIPl!l 1 CJ Uma carga está distribuída sobre uma região D da Figura 3 de modo que
a densidade de carga em (x, y) seja a-(x, y) = xy, medida em coulombs por metro
quadrado (C/m 2 ). Determine a carga total.
SOLUÇÃO Da Equação 2 e Figura 3, temos
Q = [f a-(x, y) dA = f' f'- xy dy dx
·~ Jo 1 x
D
l y-
[ ']'~'
'l X • ~
= x2 dx = Jo z[l'- (l - x)']dx
fO
Logo, a carga total é f; C.
y=l~x
1( 1 2 3 1[2x 3 4
1
X ]
= 2 Jo (2x - x ) dx = 2 -3 - 4 o 24
5
Momentos e Centro de Massa
Na Seção 8.3 do Volume I, determinamos o centro de massa de uma lâmina de densidade
constante; aqui, consideramos uma lâmina com densidade variável. Suponha que a lâmina
ocupe uma região D e que tenha p(x, y) como função densidade. Lembre-se de que no
Capítulo 8 (Volume I) definimos o momento de uma patricula em tomo de um eixo como
o produto de sua massa pela distância (na perpendicular) ao eixo. Dividimos D em retângulos
pequenos como na Figura 2. Então a massa de Ru é aproximadamente p(xú, yú) AA,
e podemos aproximar o momento de Ru com relação ao eixo x por
[p(x;),y0)M]y0
Se somarmos essas quantidades e tomarmos o limite quando o número de sub-retângulos
cresce indefinidamente, obteremos o momento da lâmina inteira em torno do eixo x:

T
I
James Stewart CAPÍTUlO 15 INTEGRAIS MÚLTIPLAS LJ 1009
M, = li~. ~ i; y;'J p(x;'J, y(i) M ~ IT yp(x, y) dA
m,n - i= I j=l '/)
Da mesma forma, o momento em torno do eixo y é:
m
'
M, = lim L L x;) p(x;), y;'j) M
m,n->·oo i=ly~!
jJ xp(x, y) dA
D
FIGURA 4
Como anteriormente, definimos o centro de massa (X, J) de modo que mX = M,. e
mY = lvfx. O significado físico disso é que a lâmina se comporta como se toda sua massa
estivesse concentrada em seu centro de massa. Assim, a lâmina permanece horizontal
quando equilibrada em seu centro de massa (veja a Figura 4).
~As coordenadas (X, )í) do centro de massa de uma lâmma ocupando a região
I u e tendo função densidade p(x, v) são
M, 1 j'j' - M, 1 [I' ( )
x = -· = - xp(x, y) dA y = - = - yp x,) dA
onde a massa m é dada por
m m m m ·~
D
D
m = JJ p(x, y) dA
{)
EXEMPlO 2 = Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com
vértices (0, 0), (1, O) e (0, 2), se a função densidade é p(x, y) ~ 1 + 3x + y.
y
(0, 2)
y=2 -2t
~:~1
o
(1, O)
FIGURA 5
X
SOLUÇÃO O triângulo está mostrado na Figura 5, (Note que a equação da fronteira
superior é y = 2 - 2x.) A massa da lâmina é
Então, as fórmulas em (5) nos dão
m = fJ' p(x, y) dA= j'' c·h (1 + 3x + y) dy dx
~ o ~o
D
= L' [ y + 3xy + n:~:·l• dx
= 4 fo' (1 - x 2 +- I )dx = ~ 3 8
- 1 ff . ) 3 f' i2·2• ( . )
x = - xp(x, y dA = 8 x + 3r + xy dy dx
m ~
o o
D
P2·'·
3 I )'2 . ,
=-f xy+3x 2 y+x- dx
[ ]
8 o 2 ro
=-J 3 '' (x-x [x' x']'
3 )dx= ---
2 .o , 2 4 o
3
8
3

1010 o CÁLCULO Editora Tbomson
y = _J_J.f yp(x,y) dA= l f' j''-" (y + 3xy + y 2 )dydx
m ~ Jo o
D
o centro de massa é o ponto a' H;).
YA I
~'=a'
! J 2,) \
r I
FIGURA6
X
EXEIIIIPW 3 A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é
proporcional à distância do centro do círculo. Detennine o centro de massa da lâmina.
SOLUÇÃO Vamos considerar a lâmina como a metade superior do círculo x 2 + y 2 = a 2
(veja a Figura 6). Então a distância do ponto (x, y) ao centro do círculo (origem) é
.jx 2 + y 2 Portanto, a função densidade é
p(x, y) = K.jx 2 + y 2
onde K é alguma constante. Tanto a função densidade como o formato da lâmina
sugerem a conversão para coordenadas polares. Então .jx 2 + y 2 = r e a região D é dada
por O ~ r ~ a, O ~ O ~ 7T. Logo a massa da lâmina é
m = fJ p(x,y)dA = jJ K.jx 2 + y'dA
D
= J'" f' (Kr) rdrdO = K f" dO f" r 2 dr
o Jo ~o Jo
D
o Compare a localização do centro
de massa no Exemplo 3 com o
Exemplo 4 na Seção 8.3 (Volume 1),
onde encontramos o centro de massa
da lâmina com o mesmo formato,
mas a densidade uniforme a está
localizada no ponto (O, 4a/(37T)).
Tanto a lâmina como a função densidade são simétricas com relação ao eixo y, e assim
o centro de massa precisa estar sobre o eixo y, ou seja, X = O. A coordenada y é dada
por
y=- 1 f.J yp(x,y)dA=--. 3 i",., rsenO(Kr)rdrdO
m K1raj o .o
D
= ~ j'" senO dO f" r 3 dr =~[-cose];[~]"
7Taj o Jo 7TQ 4
0
3 2a' 3a
Portanto o centro de massa está localizado no ponto (O, 3a/(2rr)).
Momento de Inércia
O momento de inércia (também chamado segundo momento) de uma partícula de massa
m em torno de um eixo é definido como mr 2 , onde r é a distância da partícula ao eixo.
Estendemos o conceito a uma lâmina com função densidade p(x, y) e ocupando uma
região D pelo mesmo processo que fizemos para momentos simples. Dividimos D em

James Stewart CAPÍTULO 15 INTEGRAIS MÚLTIPLAS U 1011
pequenos retângulos, aproximamos o momento de inércia de cada sub-retângulo em tomo
do eixo x e tomamos o limite da soma quando o número de sub-retângulos aumenta
indefinidamente. O resultado é o momento de inércia da lâmina em tonto do eixo x:
jJ y 2 p(x, y) dA
D
Da mesma forma, o momento de inércia em torno do eixo y é:
I, ~ }!~, ,~ Jt, (x,j)'p(xi}, y,j) M = JJ x 2 p(x, y) dA
n
É de interesse, ainda, considerar o momento de inércia em torno da origem, também
chamado momento polar de inércia:
lo~}!~" tt, [(xt)' + (yi';) 2 ]p(xi';, Yt) M ~ JT (x 2 + y 2 )p(x, y) dA
D
Note que lo ~ /, + 1 2
•
EXEMPLO 4 Detennine os momentos de inércia lx, ly e 1 0 do discó homogêneo D com
densidade p(x, y) ~ p, centro na origem e raio a.
SOLUÇÃO A fronteira de D é o círculo x 2 + y 2 ~ a 2 , que em coordenadas polares D é
descrito como O ~ O ~ 21T, O ~ r ~ a. Vamos calcular 1 0 primeiro:
lo~ JJ (x 2 + y 2 )pdA ~ p J:'" J: r 2 rdrd8
D
~ p j''" d8 [" r 3 dr ~ 27Tp[~]' ~ 7Tpa'
o .,Q 4 o 2
Em vez de calcular lx e ly diretamente, vamos usar o fato de que lx + ly = / 0 e lx = ly (da
simetria do problema). Portanto
No Exemplo 4, note que a massa do disco é
m ~ densidade X área ~ p ( 7Ta 2 )
de modo que o momento de inércia do disco em torno da origem (como uma roda em torno
de seu eixo) pode ser escrito como
Portanto, se aumentarmos a massa ou o raio do disco, aumentaremos o momento de inércia.

1012 o CÁLCULO Editora Thomson
Em geral, o momento de inércia tem um papel em movimento de rotação semelhante ao
que a massa tem em um movimento linear. O momento de inércia de urna roda é o que
torna difícil começar ou parar a rotação da roda, assim como a massa do carro dificulta seu
movimento inicial e a freada.
O raio de rotação de uma lâmina em torno de um eixo é um número R tal que
mR 2 ~ l
onde m é a massa da lâmina e f é o momento de inércia em torno do eixo dado. A Equação 9
nos diz que, se a massa da lâmina estiver concentrada a uma distância R do eixo, então o
momento de inércia desse "ponto massa" seria o mesmo que o momento de inércia da
lâmina.
Em particular, o raio de rotação Y em tomo do eixo x e o raio de rotação X em tomo do
eixo y têm as equações
Então (X,}) é o ponto no qual podemos concentrar a massa da lâmina sem modificar o
momento de inércia em torno dos eixos coordenados resultantes. (Note a analogia com o
centro de massa.)
EXEMPLO 5 _:: Determine o raio de rotação em torno do eixo x do disco do Exemplo 4.
SOLUÇÃO Como notado, a massa do disco é m = p7ra 2 , e da Equação 10, temos
lx i1rpa 4 a 2
-~= ---~m
p1Ta2 4
Portanto, o raio de rotação em torno do eixo x é
que é metade do raio do disco.
- a
y~-
2
Probabilidade
Na Seção 9.5, consideramos a função densidade de probabilidade f de uma variável
aleatória contínua X. Isso significa que f(x) ;;, O para todo x, S:~ f(x) dx ~ 1, e a probabilidade
de que X esteja entre a e b é determinada integrando-se f de a até b:
P(a ~X~ b) ~ fb f(x) dx
·"
Consideremos agora um par de variáveis aleatórias X e Y, como o tempo de vida de dois
componentes de uma máquina ou a altura e o peso de uma mulher adulta escolhida ao
acaso. A função densidade conjunta de X e Y é uma função f de duas variáveis tais que
a probabilidade de que (X, Y) esteja em uma região D seja
P((X, Y) E D) ~ ff f(x, y) dA
D

T James
Stewart CAPÍTUlO 15 INTEGRAIS MÚLTiPLAS
1013
de que Y esteja entre c e d é
~b ~I
P(a ~ X~ b, c ~ Y ~ d) ~ t r f(x, y) dy dx
(Veja a Figura 7,)
FIGURA 7
A probabilidade de que X esteja
entre a e b e de que Y esteja entre c
e d é o volume do sólido acima do
retângulo D ~ [a, b] X [c, d] e
abaixo do gráfico da função
densidade conjunta.
Como as probabilidades não podem ser negativas e são medidas na escala de O a 1, a
função densidade conjunta tem as seguintes propriedades:
f(x, y) ;;;. O jJ f(x, y) dA ~ 1
Como no Exercício 36 da Seção 15.4, a integral dupla sobre IR 2 é uma integral imprópria
definida como o limite da integral dupla sobre o círculo ou retângulo expandido e podemos
escrever
jJ f(x,y) dA~ t tf(x,y) dtdy ~ 1
RJ
8'
EXEMPLO 6 ~
Se a função densidade conjunta de X e Y for dada por
x ) ~ {C(x + 2y) se O~ x ~ 10, O~ y ~ 10
(
f ' y O em caso contrário
determine o valor da constante C Em seguida calcule P(X ~ 7, Y;;;. 2).
SOLUÇÃO Determinamos o valor de C garantindo que a integral dupla de f seja igual a I,
Como f(x, y) ~O fora do retângulo [O, lO] X [0, 10], temos
IX '" fiO ro '10 >O
.J.J(x, y) dy dx ~ Jo Jo, C(x + 2y) dy dx ~C Jo [xy + y 2 ];:; dx
'lO
~C Jo (!Ox + 100) dx ~ 1500C
Portanto l500C = l, e então C ~ ,; 00
•

1014 o CÁlCULO Editora Thomson
Agora podemos calcular a probabilidade de X ser no máximo 7 e de Y ser no rrúnimo 2:
f
' J·~ ., ·w
~""' 2 o .l
P(X""' 7. Y"" 2) ~ f(x. y) dy dx ~ J I. t5~(x + 2y) dy dx
fo7 [xy + yz];::~o dx =
= ~5~ = 0,5787
f7 (8x + 96) dx
.o
Suponha que X seja uma variável aleatória com função densidade de probabilidade
ft(x) e Y seja uma variável aleatória com função densidade f,(y). Então X e Y são ditas variáveis
aleatórias independentes se a função densidade conjunta for o produto das
funções densidade individuais:
f(x. y) ~ f,(x)f,(y)
Na Seção 8.5 do Volume I. modelamos o tempo de espera utilizando a função densidade
exponencial
(t) ~ {o
. se t < o
f J..L- 1 e-ri/L se t ;;;:e O
onde J..L é o tempo médio de espera. No próximo exemplo consideraremos a situação com
dois tempos de espera independentes.
EXEMPUl 1 u O gerente de um cinema determina que o tempo médio de espera na fila
para as pessoas comprarem entrada para o filme da semana seja de dez minutos, e que
o tempo médio que levam para comprar pipoca seja de cinco minutos. Supondo que os
tempos de espera sejam independentes. detennine a probabilidade de um espectador
esperar menos que 20 minutos até se dírigir a seu assento.
SOLUÇÃO Supondo que os tempos de espera X para comprar a entrada e Y para comprar
pipoca possam ser modelados por funções densidade de probabilidade exponencial.
podemos escrever as funções densidade individual como
f,(x) ~ {~e-xilO :: :: ~ f,(y) ~ e y/5 :: ~: ~
Como X e Y são independentes. a função densidade conjunta é o produto:
fcie- 410 e-y 15 se x ;;;:e O, y ~O
f(x. y) ~ f,(x)f,(y) ~ { O em caso contrãrio
Perguntamos pela probabilidade de X + Y < 20:
P(X + Y < 20) ~ P((X. Y) E D)
onde D é a região triangular mostrada na Figura 8. Então
f.J
[20 f20-~ l 'o ,,
P(X + Y < 20) ~ f(x. y) dA ~ Jo Jo soe-'·' e-y, dy dx
D
1 J,'o [ _, 110 , _) _,, 5]y~2o-,d
= 5õ e · (-)e -' y=o x
o

T
i James Stewart CAPÍTUlO 15 INTEGRAIS MÚLTIPLAS CJ 1015
= iõ '~O e--x/10(1 - eíx-~0)/S)dx
.o
= rtJ ,. 20 (e--r/!0 ~ e- 4 exiJO)dx = 1 + e- 4 - 2e- 2 = 0.7476
.o
= I + e~ 4 - 2e~ 2 = 0,7476
Isso significa que cerca de 75% dos espectadores esperam menos que 20 minutos antes
de tomar seus assentos.
· Valor Esperado
Lembre-se da Seção 8.5 (Volume I) que, se X é urna variável aleatória com função densidade
de probabilidade{, então sua média é
p, ~ ( xj(x) dx
Se X e Y são variáveis aleatórias com função densidade conjunta f, definimos média X e
média Y, também chamadas valores esperados de X e f, como
/J-1 ~ fJ xj(x, y) dA
R'
JJ-z ~ fJ yf(x, y} dA
F.:'
Note como são parecidas as expressões de }.LJ e JL2 em (11) com os momentos Mx e My de
uma lâmina com função densidade p nas Equações 3 e 4. De fato, podemos pensar na probabilidade
como urna massa continuamente distribuída. Calculamos probabilidade da
mesma maneira que calculamos massa: integrando a função densidade. E, como a "probabilidade
de massa" total é I, as expressões de x e y em (5) mostram que podemos pensar
que os valores esperados de X e Y, J.L1 e J-L2 são as coordenadas do "centro de massa"
da distribuição de probabilidade.
No próximo exemplo trabalhamos com distribuição normal. Como na Seção 8.5
(Volume I). uma única variável aleatória tem distribuição nonnal se sua função densidade
de probabilidade é da forma
onde J.L é sua média e a- é seu desvio-padrão.
EXEI!Ilf'Hl " Uma fábrica produz rolamentos (de forma cilíndrica) que são vendidos
corno tendo 4,0 em de diâmetro e 6,0 em de comprimento. De fato, o diâmetro X tem
distribuição normal com média 4,0 em e desvío-padrão 0,01 em, enquanto o
comprimento Y tem distribuição normal com média 6,0 em e desvio padrão 0,01 em.
Supondo que X e Y sejam independentes, escreva a função densidade conjunta e faça
dela um gráfico. Deterntíne a probabilidade de um rolamento escolltído aleatoriamente
da linha de produção diferir dos valores médios em mais do que 0,02 em.
SOLUÇÃO Temos que X e Y têm distribuição normal com p,1 ~ 4,0, /J-2 = 6,0 e
0'1 = cr, ~ O, OL As funções densidade individuais para X e Y são
f,(x) ~ f,(y) ~ l e-1y-o)';o.ooo2
O,OI-/27T

1016 Lj CÁlCUlO Editora Thomson
Como X e Y são independentes, a função densidade conjunta é o produto:
FIGURA 9
= 5000 e-5000[(-

James Stewart CAPÍTULO 15 iNTEGRAIS MÚLTIPLAS U 1017
19~2.0 Utilize um sistema de manipulação algébrica para
determinar a massa, o centro de massa e os momentos de inércia
da lâmina que ocupa a região De tem a densidade dada.
19. D ~ {(x. y) I O "' y "" scnx, O "'x"" 17}; p(x, y) ~ xy
20. D é delimitada pela cardióide r= l + cos 8;
p(x, y) = yx2 + y2
21. Uma lâmina com densidade constante p{x, y) = p ocupa um
quadrado de vértices (0, O), (a, 0), (a, a) e {0, a). Determine os
momentos de inércia I, e Ir e os raios de rotação X e J.
22. Uma lâmina com densidade constante p(x, y) = p ocupa a
região abaixo da curva y = senx de x = O até x = 1T.
Detemtinc os momentos de inércia l, c l,- c raios de rotação X e J.
-23. A função densidade conjunta para um par de variáveis
aleatórias X e Y é
_, = {Cx(l + y) se O ~ x ~ 1, O ~ y ~ 2
f(x,)) 0 em caso contrário
(a) Determine a constante C.
(b) Determine P(X ~ 1, Y ~ 1).
(c) Deternlioe P(X + Y"" 1).
24. (a) Verifique que
f(x. y) ~ { ~xy
se O ~ x ~ I. O ~ y ~ 1
em caso contrário
é uma função densidade conjunta.
(b) Se X e Y são variáveis aleatórias cuja função densidade
conjunta é f da parte (a), determine
(i) P(X ~ D (ii) P(X "' l. y"" l)
(c) Determine os valores esperados de X e Y.
~ Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias com função
densidade conjunta
. _ {0,1e·-{n 5 '"'" 0 • 2 JJ se x :o O, y :o O
j(x, y) - o em caso contrário
(a) Verifique que fé de fato uma função densidade conjunta.
(b) Determine as seguintes probabilidades.
(i) P(Y"' l) (ii) P(X"" 2, Y"' 4)
(c) Determine os valores esperados de X e Y.
26. (a) Uma lâmpada tem dois bulbos de um tipo com tempo de
vida médio de 1000 horas. Supondo que possamos
modelar a probabilidade de falha desses bulbos por uma
função densidade exponencial com média J.L = 1000,
determine a probabilidade de que ambos os bulbos
venham a falhar demro de um período de 1000 horas.
(b) Outra lâmpada tem somente um bulbo do mesmo tipo dos
da parte (a). Se um bulbo se queima e é trocado por outro
do mesmo tipo, determine a probabilidade de que os dois
venham a falhar dentro de 1000 horas.
27. Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias, onde X tem
distribuição normal com média 45 e desvio-padrão 0,5 e Y
tem distribuição nonnal com média 20 e desvio-padrão O, I.
(a) Ache P(40 "'X,; 50, 20 "" Y"" 25)
(b) Encontre P(4(X - 45)' + !OO(Y- 20)' "" 2).
2-8. Xavier e Yolanda têm aulas que terminam ao meio-dia c
concordaram em se encontrar todo dia depois das aulas.
Eles chegam em um café separadamente. O tempo de chegada
de Xavier é X e o da Yolanda é Y, onde X e Y são medidos em
minutos após o meio-dia. As funções densidade individuais são
-Ly se O~ v~ lO
j,(y) ~ " . . ,
{ O em caso contrano
(Xavier chega algumas vezes depois do meio-dia, e é mais
provável que ele chegue na hora do que se atrase. Yolanda
sempre chega às l2hl0, e é mais provável que se atrase do que
chegue pontualmente.) Depois de Yolanda chegar, ela espera
até meia hora por Xavier, mas ele não espera por ela.
Determine a probabilidade de eles se encontrarem.
29. Quando estudamos uma contaminação epidêmica, supomos
que a probabilidade de um indivíduo infectado disseminar a
doença para um indivíduo não infectado seja uma função da
distância entre eles. Considere uma cidade circular com raio de
1 O mi na qual a população está uniformemente distribuída.
Para um indivíduo não infectado no ponto A(x 0 , y 0 ), suponha
que a função probabilidade seja dada por
j(P) ~ !,[20 - d(P, A)]
onde d(P, A) denota a distância de P a A.
(a) Suponha que a exposição de uma pessoa à doença seja a
soma das probabilidades de adquirir a doença de todos os
membros da população. Suponha ainda que as pessoas
infectadas estejam uniformemente distribuídas pela cidade,
existindo k indivíduos contaminados por milha quadrada.
Detennine a integral dupla que representa a exposição de
uma pessoa que reside em A.
(b) Calcule a integral para o caso em que A está no centro da
cidade e para o caso em que A está na periferia da cidade.
Onde você preferiria viver
Área de Superfície
:__:-: Na Seção 16.6, trataremos de
superfícies mais gera\s, chamadas
suporficios paramétricas. Assim, você
pode pu ia r esta seçâo, se for cobrir
a outra.
Nesta seção, vamos aplicar a integral dupla ao problema de se determinar a área de uma
superfície. Na Seção 8.2 (Volume I), determinamos a área de um tipo especial de superfície
- uma superfície de revolução - por métodos de cálculo de uma única variáveL
Calcularemos aqui a área de uma superfície cuja equação é dada por z ~ J(x, y), o gráfico
de uma função de duas variáveis.
SejaS a superfície com a equação z ~ f(x, y), onde f tem derivadas parciais contínuas.

1018 c CÁlCULO Editora Tbomson
Para simplificar a dedução da fórmula da área, vamos supor que f(x, y) ~ O e que o
domínio D de f seja um retângulo. Vamos dividir D em retângulos pequenos R, 1 com área
t.A ~ ilx ily. Se (x,, }")é o canto de R,J mais próximo da origem, seja P,J(x,. )j, f(x,. y,))
o ponto de S diretamente acima dele (veja a Figura 1). O plano tangente aS em P;; é uma
aproximação deSperto de P; 1 . Assim, a área fj.T,-J da parte desse plano tangente (um parale~
logramo) que está diretamente acima de R; 1 é uma aproximação da área ô.S;; da parte de S
que está diretamente acima de R,J· Então, a soma :LI ô.T; 1
é uma aproximação da área total
de S, a qual parece melhorar à medida que aumentamos o número de retângulos. Portanto
definimos a área de superfície de S como
FIGURA 1
A(S) ~ lim L L t.T, 1
m.n---•"-- i~l j=l
'1 P;J b
.~.
/ : b.T,j )'
r----~i /
i ... (
o
y
Para detenninar uma fórmula mais conveniente que a Equação 1 para propósitos computacionais,
tomamos a e b como os vetores que começam em P;J e conespondem aos
lados do paralelogramo com área t.T, 1 (veja a Figura 2). Então t.T, 1 ~ I a X b 1. Lembre·
se, da Seção 14.3, que f,(x;, })) e J,(x;, yJ são as inclinações das retas tangentes a Pü com
direções a e b. Portanto
e
a~ üx i+ i(x,,y;)üxk
b ~ üy j + J,(x;, y;) üy k
X
FIGURA 2
a x b~
üx
o
j k
o fAx;, Yi) Âx
ôy J,(x,, Yi) Ây
~ -,t;(x,. yJ Üx Ây i-J,(x,, y 1 ) Âx Ây j + üx Ây k
~ [ -J,(x,, Yi) i-J,(x,, }) ) j + k] ÃA
Logo
ÜT; 1
~ I a X bl = J[j;(x,, YJ)] 2 + [fy(x,, y;)] 2 + 1M
Da Definição 1, temos
A(S) ~ lim L L t.T, 1
m,l!--4'"' i~! j=l
m
m
n
n
~ lim 2: 2: )[,t(x,, yJ]' + [Jlx,, yJ]' + l M
m,n··•~i=lj=l
e por qualquer definição de integral dupla podemos obter a seguinte fórmula:
área da superfície com equação z ~ f(x, y), (x, y) E D, onde .h
contínm;s, é
A(S) ~ ff J[,t(x, y)] 2 + [J,(x, y)] 1 + I dA
~'•'
D

James Stewart CAPÍTUlO 15 iNTEGRAIS fv1ÚLTIPLAS 1":1 1019
Verificaremos na Seção 16.6 que essa fórmula é consistente com nossa fórmula prévia
para a área de uma superfície de revolução. Se utilizarmos a notação alternativa para
derivada parcial, podemos reescrever a Fórmula 2 como segue:
Note a semelhança entre a fórmula de área da superfície na Equação 3 e a fórmula do
comprimento de arco da Seção 8,1 (Volume!):
'b
L~
I (dy)'
l /1 + - dx
·" \ dx
'l
/
/
(1, 1)
I y~x /
I // T
/
(0, 0)1 (l, 0)
FIGURA 3
•
'
EXEM:'tü 1 - Determine a área de supetfície da parte da superfície z = x 2 + 2y que
está acima da região triangular T no plano .S x >S 1, O >Sy>S x}
Usando a Fórmula 2 com f(x, y) ~ x 2 + 2y, obtemos
A ~ jJ )(2x)' + (2)' + 1 dA ~ Jo' t ./4x 2 + 5 dy dx
T
c
.o
x)4x 2 + 5 dx ~ l, j(4x 2 + 5) 3 !2]; ~ f,(27 -
A Figura 4 mostra a porção da superfície cuja área acabamos de calcular.
s,JS)
FIGURA 4
EXEMLD 2 Determine a área da parte do parabolóide z = x 1 + y 1 que está abaixo
do plano z ~ 9,
SOLUÇÃO O plano intercepta o parabolóide no círculo x 2 + y 2 ~ 9, z ~ 9, Portanto a
superfície dada está acima do disco D com centro na origem e raio 3 (veja a Figura 5).
Usando a Fórmula 3, temos
r A ~ JJ ) 1 + o~ + (:~r dA ~ ~ )I + (2x) 2 + (2y)' dA
~ jJ )I + 4(x 2 + y 2 ) dA
D
Convertendo para coordenadas polares, obtemos
X
FIGURA 5
A ~ fo" f v I + 4r 2 r dr dO = J:' de J: l ~ l + 4r 2 (8r) dr
~ 21T j 3 l + 4r ,, ó ~ 6 37 v 37 - l
( ')'( ')''']' 1T ( = )

1020 lJ CÁlCULO Editora Thomson
1116 Exercícios
l~li -~ Detennine a área da superfície.
1. A parte do plano z = 2 + 3x + 4y que est;:í acima do
retângulo [0, 5] X [l, 4]
2. A parte do plano 2x + 5y + z = 10 que está dentro do
cilindro x 1 + y 1 = 9
3. A parte do plano 3x + 2y + z = 6 que está no primeiro octante
4. A parte da superfície z = 1 + 3x + 2y 2 que está acima do
triângulo com vértices (0, 0), (0, l) e (2, 1)
5. A parte do cilíndro y 2 + z 1 = 9 que está acima do retângulo
com vértices, (0, 0), (4, 0), (0, 2) e (4, 2)
6. A parte do parabolóide z = 4 - x 2 - y 2 que está acima do
plano xy
1. A parte do parabolóide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está entre
os cilindros x 1 + y 1 = 1 e x 2 + y 2 = 4
8. A superfície z = }(x 311 + y 311 ), O ~ x ~ 1, O ~ y ~ 1
'cll: A parte da superfície z ~ xy que está dentro do cilindro
xl + yz = l
10. A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está acima do plano z = l
11. A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que está dentro do
cilindro x 1 + y 2 = a..t e acima do plano ..:t)'
;'!t- A parte da esfera x 1 + y 2 + z 2 = 4z que está dentro do
parabolóide z = x 2 + y 2
13~·1 ti_. ::::; Determine a área de superfície com precisão de quatro
casas decimais, expressando a área em termos de integral de função
de uma variável real e use sua calculadora para estimar o valor da
integral.
13. A parte da superfície z = que está acima do círculo
x 2 + y 1 ~ 4
14. A parte da superfície z = cos(x 2 + y 2 ) que está dentro do
cilindro x 2 + y'- = 1.
16. (a) Use a Regra do Ponto Médio para as integrais duplas com
m = n = 2 para estímar a área da superfície
z = xy + x 2 + y 2 , O .%;; x ~ 2, O .%;; y ~ 2.
(b) Use um sistema de computação algébrica para aproximar a
área da superfície da parte (a) com precisão de quatro
casas decimais. Compare com sua resposta para a parte (a).
17. Dctcm1ine a área exata da superfície z = 1 + 2x + 3y + 4y 2 •
1 .%;; X ~ 4, Ü ~ }' ~ 1.
18. Determine a área exata da superfície
z = l +X + y + x 2 -2 ~ x .%;; ] , -1 ~ y s;: 1
Ilustre traçando o gráfico da superfície.
19. Determine, com precisão de quatro casas decimais, a área da
parte da superfície z = 1 + x 2 y 2 que está acima do disco
x2 + )'2 ~ L
20. Determine, com precisão de quatro casas decimais, a área da
parte da superfície z = (1 + x 2 )/(l + y 1 ) que está acima
do quadrado I x I + I y I s;: ("Ilustre, traçando o gráfico da
superfície.
21. Mostre que a área da parte da superfície do plano
z = ax + by + c com projeção sobre a região D no plano xy
com área A(D) é ,ja 1 +h'+ l A(D).
22. Se você tentar utilizar a Fórmula 2 para detenninar a área do
topo superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , terá problemas,
porque a integral dupla é imprópria. De fato, o integrando tem
uma descontinuidade infinita em todo ponto da fronteira
circular x 2 + y 2 = a 2 • Entretanto, a integral pode ser calculada
sobre o disco x 2 + y 2 ~ t 2 como t-------'). a . Use esse método
para mostrar que a área da esfera de raio a é 4Ta 2 •
23. Determine a área da parte do parabolóide y = x 2 + z 2 cortada
pelo plano y = 25. [Dica: Projete a superfície sobre o planoxz.]
24. A figura mostra a superfície criada quando o cilindro
y 2 + z 2 = 1 intercepta o cilindro x 2 + z 2 = L Determine a
área dessa superfície.
15. (a) Use a Regra do Ponto Médio para as integrais duplas (veja
a Seção 15.1) com quatro quadrados para estimar a área da
superfície da porção do parabolóide z = x 1 + y 2 que está
acima do quadrado [0, 1] X [O, !].
(b) Use um sistema de computação algébrica para aproximar a
área da superfície da parte (a) com precisão de quatro
casas decimais. Compare com sua resposta para a parte (a) .
...
.
. r
. - - - ' I~tegrais Triplas
Assim como definimos integrais para funções de uma única variável e duplas para funções
de duas variáveis, vamos definir integrais triplas, para funções de três variáveis. Inicialmente,
trataremos o caso mais simples, quando f é definida em uma caixa retangular:

T
James Stewart CAPÍTUlO 15 iNTEGRAIS MÚLTIPLAS tJ 1021
O primeiro passo é dividir Bem subcaixas. Fazemos isso dividindo o intervalo [a, b] em l
subintervalos [x;- r, x;] de comprimentos iguais Âx, dividindo [c, d] em m subintervalos de
comprimentos Lly, e dividindo [r, s] em n subintervalos de comprimento ô.z. Os planos
através dos pontos terminais desses subintervalos paralelos aos planos coordenados subdividem
a caixa B em lmn subcaixas
como mostrado na Figura 1. Cada subcaixa tem volume á V = Llx Lly Llz_
Assim formamos a soma tripla de Riemann
I "' "
2: 2: 2: f(xi), yJ, zt);) ~V
i=! j=l k=l
onde o ponto amostra (x/JK> y;jk, zt}k) está em B;jk- Por analogia com a definição da integral
dupla (15. L5), definimos a integral tripla como o limite das somas triplas de
Riemann em (2).
A integral tripla de f sobre a caixa B é
FIGURA 1
se o limite existir.
Jff J(x, y, z) dV = 1
,!i!"," i~
B
1
I m 11
~ ~~/(x;), y;'), z/)1) ~V
Novamente, a integral tripla sempre existe se f for contínua. Escolhemos o ponto
amostra como qualquer ponto de cada subcaixa, mas, se escolhermos o ponto (xi, y 1
, Zk ),
obteremos uma expressão com aparência menos complicada para a integral tripla:
l m '
JJJ f(x,y, z) dV =,}i,~~ i~J~ ,~,J

1022 o CÁlCULO Editora Thomson
Calcule a integral tripla .Lfj~
dl/, onde B é a caixa retangular dada por
B ~ {(x,y,z)IO"' x"' I, -1 "'y"' 2, O"' z"' 3}
SOLUÇÃO Podemos usar qualquer uma das seis possíveis ordens de integração.
Se escolhermos integrar primeiro em relação a x, depois em relação a y e então em
relação a z, obteremos
j_'j'j' xyz'dV~ I'JI'' I'' xyz 2 dxdydz ~ j'Jj'' [ x'yz']'-' dydz
~ . .o . 1 ~o ., 0
_ 1 2
B · x=O
L' J', 2 dy dz ~ { [ ~:'I~>z
ÍJ _3z 2 dz ~ z 2 ]
1
~ _27
.o 4 4 o 4
z
= u,(x, y)
Agora definiremos a integral tripla sobre uma região limitada genérica E no espaço
tridimensional (um sólido) pelo mesmo método usado para as integrais duplas (15.3.2).
Envolveremos E por uma caixa B do tipo dado pela Equação 1. Em seguida definiremos
uma função F de modo que ela coincida com f em E e seja O nos pontos de B fora de E.
Por definição,
J)J f(x, y, z) dV ~ JJJ F(x, y, z) dV
E
Essa integral existe se f for contínua e na fronteira de E for '"razoavelmente lisa". A integral
tripla tem essencialmente as mesmas propriedades da integral dupla (Propriedades
6-9 da Seção 15.3).
Vamos restringir nossa atenção às funções contínuas f e a certos tipos de regiões. Uma
região sólida E é dita ser do tipo 1 se está contida entre os gráficos de duas funções contínuas
de x e y, ou seja,
E~ ((x, y, z) I (x, y) E D, u 1 (x, y) ~ z ~ u,(x, y)}
B
X
FIGURA 2
Uma região sólida do tipo 1
y
onde D é a projeção de E sobre o plano xy, como mostrado na Figura 2. Note que a fronteira
superior do sólido E é a superfície de equação z = uz(x, y), enquanto a fronteira inferior
é a superfície z ~ u,(x, y).
Pelos mesmos argumentos que nos levaram a (15.3.3), podemos mostrar que, se E é
uma região do tipo 1 dada pela Equação 5, então
JJf j(x, y, z) dV ~ JJ [ j",V.~l j(x, y, z) dz] dA
E~ D .uJx,y,
Drna região sólida do tipo 1
O significado da integral de dentro do lado direito da Equação 6 é que x e y são mantidos
fixos, e assim u,(x, y) e u,(x, y) são vistas como constantes, enquanto f(x, y, z) é integrada
em relação a z.
Em particular, se a projeção D de E sobre o plano xy é uma região plana do tipo I (como
na Figura 3), então
E~ {(x, y, z) I a"' x"' b, g 1 (x) "'y "'g,(x), u,(x, y) "'z ~ u 2 (x, y)}

~
!
James Stewart CAPÍTULO 15 INTEGRAIS MÚLTIPLAS [] 1023
Zf
I
e a Equação 6 fica
[j'J' f(x, y, z) d\' = f' f'""' {".'' 51 [(x, y, z) dz dy dx
~ .-a ~g,,;;) Ju,,x,yl
E
Se, por outro lado, D é uma região plana do tipo H (como na Figura 4 ), então
E= {(x, y, z) I c,;; y,;; d, h,(y) ,;; x,;; h,(y), u,(x, y) ,;; z,;; u:(x, y)}
FIGURA 4
Outra região sólida do tipo 1
e a Equação 6 fica
fff J(x, y, z) d\' =
•••'
E
fd r,(y} f"'"''' J(x, y, z) dz dx dy
.c .-h,(y) .uJx,y)
FIGURA 5
Calcule JJl z d\', onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro
planos x = O, y = O, z = O e x + y + z = L
SOLUÇÃO Para montarmos a integral tripla, é recomendável desenhar dois diagramas: um da
região sólida E (veja a Figura 5) e outro de sua projeção D no plano xy (veja a Figura 6). A
fronteira inferior do tetraedro é o plano z = O e a superior é o plano x + y + z = 1 (ou
z = I - x- y), e então usamos u,(x, y) =O e u,(x, y) = I - x - y na Fórmula 7. Note
queosplanosx + y + z =I ez =Oseinterceptamnaretax + y =I (ouy =I -x)
no plano xy. Logo, a projeção de E é a região triangular da Figura 6, e temos
E = {(x, y, z) I O ,;; x ,;; I, O ,;; y ,;; I - x, O ,;; z ,;; I - x - y}
Essa descrição de E como região do tipo 1 nos pennite calcular a íntegra! como segue:
m
... h ooJo
E
z d\' = J'' j'h rh-y z dz dy dx
OI y=Ü I X
I
FIGURA6
z
=l['j'h(l- x- y)'dydx = lf' [-(I- x- y)']Fh dx
.. O O O 3 y=O
1
= 1 {' (1- x) 3 dx =!:_[-(I- x) 4 ]
6
Jo 6 4 24
0
Uma região sólida E é do tipo 2 se for da forma
E= {(x, y, z) I (y, z) E D, u,(y, z) ,;; x ,;; u 2 (y, z)}
onde D é a projeção de E sobre o plano yz (veja a Figura 7). A superfície de trás é
x = u:(y, z), e a superfície da frente é x = u,(y, z), e temos
X
FIGURA 7
=u,(y, z)
Uma região do tipo 2
Finalmente, urna região do tipo 3 é da forma
E= {(x, y, z) I (x, z) E D, u,(x, z) ,;; y ,;; u,(x, z)}

1024 cJ CÁlCULO Editora Thomson
onde D é a projeção de E sobre o plano xz, y = l-t 1(x, .::) é a superfície da esquerda. e
y = u~(x, z) é a superfície da direita (veja a Figura 8). Para esse tipo de região, temos
JJf J(x, y, z) dV ~ JJ [t,~.~) J(x, y, z) dy] dA
E
D
Em cada uma das Equações J O e 11 podem existir duas possíveis expressões para
a integral dependendo de D ser uma região plana do tipo I ou II (e correspondendo às
Equações 7 e 8).
FIGURA 8
Uma região do tipo 3
Calcule JJJ~ .J x 2 + z 2 dV, onde E é a região limitada pelo parabolóide
e pelo plano y ~ 4.
SOLUÇÃO O sólido E está mostrado na Figura 9. Se o olharmos corno uma região do tipo
1, então precisaremos considerar sua projeção Dt sobre o plano xy, que é a região
parabólica da Figura 10. (O traço de y ~ x 2 + z 2 no plano z ~ O é a parábola y ~ x 2 )
y
v=4
. I
o
X
FIGURA 9 FIGURA 10
Região de integração
Projeção sobre o plano xy
FIGURA 11
/ D
( 3
Projeção sobre o plano xz
X
De y = x 2 + z 2 obtemos z =
±.jy - x 2 , e então a superfície fronteira debaixo de E é
z = -.Jy- x 2, e a superfície de cima é z = .Jy - x 2 • Portanto a descrição de E como
região do tipo 1 é
e obtemos
E~ { (x, y, z) 1-2,; x,; 2, x 2 ,; y,; 4, -.Jy - x 2 ,; z,; .Jy - x 2 }
J 'JJ' .jx2 + z 2
E
dV~ J' f~J'y~,· . .Jx 2 + z 2 dzdydx
-2 ... x· ~-yy~x­
Apesar de essa expressão estar correta, é extremamente difícil calculá-la. Vamos, em
vez disso, considerar E como região do tipo 3. Como tal, sua projeção D 3 sobre o plano
xz é o disco x 2 + z 2 ~ 4 mostrado na Figura 11.
Então a superfície lateral esquerda de E é o parabolóide y ~ x 2 + z 2 e a superfície
lateral direita é o plano y ~ 4. Assim, tomando u1(x, z) ~ x 2 + z 2 e u,(x, z) ~ 4 na
Equação 11, temos
fJf ..;x 2 + z 2 dV ~ fJ [L,, .Jx' + z 2 dy] dA
E D,
~ fJ (4 - x 2 - z 2 ).jx 2 + z 2 dA
D;

James Stewart CAPÍTULO 15 INTEGRAIS MULTIPLAS CJ 1025
_ A maior dificuldade no cálculo de
urna Integrai tripla é estabelecer a
expressão para a regtão de integraçao
(corno na Equação 9 do Exemplo 2)
Lembre~se de que os limites de
integraçao da integral de dentro
contêm no máximo duas variáveis, os
limites de integração da integral do
meio contém no rnáxírno uma variável,
e os limites de integração de fora
precisam ser constantes
Apesar de essa integral poder ser escrita como
(4 - x 2 - z 2 ) dzdx
fica mais simples convertê-la para coordenadas polares no plano xz: x = r cos 8,
z = rsen 8. O que nos dá
JJJ )x 2 + z 2 dV ~ Jf (4- x 2 - z 2 )y'x 2 + z 2 d4
E {),
('"c (4 - r 2 )r rdr de~ f'" de r (4r 2 - r 2 ) dr
.O .O ~O ~O
~ 27T[~- ~]' ~ _12_8_7T
3 5 o 15
x=2y
x+2y+z=2
Aplicações da Integral Tripla
Lembre-se de que, se j(x)
O, então a integral J:; j(x) dx representa a área abaixo da
curva y ~ J(x) de a até b, e se j(x, y) O, então a integral dupla JJ~ j(x, y) d4 representa
o volume sob a superfície z = f(x, y) acima de D. A interpretação correspondente para a
integral tripla ,[11 f(x, y, z) dV, onde f(x, y, z) O, não é muito útil, porque seria um
"hipervolume" de um objeto de quatro dimensões e, é claro, de muito difícil visualização.
(Lembre-se de que E é somente o domínio da função f; o gráfico de f pertence ao espaço
quadridimensionaL) Apesar disso, a integral tripla JJJ~ j(x, y, z) dV pode ser interpretada
de forma diversa em diferentes situações físicas, dependendo das interpretações físicas de
x, y, z e J(x, y, z),
Vamos começar com o caso especial onde f(x, y, z) =
Nesse caso, a integral tripla representa o volume de E:
I para todos os pontos em E
)
V(E) ~ fjJ dV
E
FIGURA 12
X
Por exemplo: você pode ver isso no caso de uma região do tipo 1 colocando j(x, y, z) ~ l
na Fórmula 6:
JIJ 1 dV ~li [t:":,: dz] d4 ~li [u2(x, y) - u1(x, y)] d4
e, da Seção 15.3, sabemos que isso representa o volume que está entre as superfícies
z ~ u,(x, y) e z ~ u,(x, y),
FIGURA 13
X
EXEMPUl 4 = Utilize uma integral tripla para detenninar o volume do tetraedro T linútado
pelos planos x + 2y + z ~ 2, x ~ 2y, x ~ O e z ~ O.
SOLUÇÃO O tetraedro Te sua projeção D sobre o plano xy estão mostrados nas Figuras 12
e 13. A fronteira inferior de T é o plano z = O, e a superior é o plano x + 2y + z = 2, ou
seja, z = 2 - x - 2y. Portanto, temos

1026 CÁlCULO Editora Thomson
V(T) ~ JIJ dV ~ .fo' t~:,;z j~'
" 22 dz dy dx
T
f' f':' 12 (2- X- 2y)dydx ~ \
'o ~X-/~
pelo mesmo cálculo usado no Exemplo 4 da Seção 15.3.
(Note que não é necessário usar a integral tripla para calcular volumes.
Elas simplesmente fornecem um método alternativo para estabelecer os cálculos.)
Todas as aplicações de integrais duplas da Seção 15.5 podem ser imediatamente estendidas
para as integrais triplas. Por exemplo: se a função densidade de um objeto sólido que
ocupa a região E é p(x, y, z), em unidades de massa por unidade de volume, em qualquer
ponto (x, y, z), então sua massa é
m ~ .IJJ p(x, y, z) dV
e seus momentos em relação aos três planos coordenados são
E
M"~ JJJ xp(x, y, z) dV
f
M,~ JJJ yp(x, y, z) dV
E
M,, ~ jJJ zp(x, y, z) dV
O centro de massa está localizado no ponto (x, y, z), onde
E
~ Mx.:
v~ --
. m
- Mxy
z=-­ m
Se a densidade é constante, o centro de massa do sólido é chamado centróide de E. Os
momentos de inércia em relação aos três eixos coordenados são
I,~ fJJ (y 2 + z 2 )p(x, y, z) dV
E
I,~ JJJ (x 2 + z 2 )p(x, y, z) dV
E
l, ~ JTf (x 2 + y 2 )p(x, y, z) dV
f
Como na Seção 15.5, a carga elétrica total sobre um objeto sólido ocupando a região
E e tendo uma densidade de carga o-(x, y, z) é
Q ~ fJT u(x, y, z) dV
E
Se tivermos três variáveis aleatórias X, Y e Z, sua função densidade conjunta é uma
função das três variáveis tal que a probabilidade de (X, Y, Z) estar em E é
Em particular,
P((X, Y, Z) E E) ~ fff f(x, y, z) dV
E
~b ~d ,~,
P(a ~ X ~ b, c ~ Y ~ d, r ~ Z ~ s) ~ I j ,. f(x, y, z) dz dy dx
~a ~c ~r

1
I
James Stewart CAPÍTUlO 15 iNTEGRAIS MULTIPLAS o 1027
A função densidade conjunta satisfaz
f(x, y, z) "" O [ [ [f(x,y, z) dz dy dx ~ I
. . •.
'~XH·i!'J:J- Determine o centro de massa de um sólido com densidade constante que
é limitado pelo ciJindro parabólico x = }' 2 e pelos planos x = z, z = O e x = 1.
SOLUÇÃO O sólido E e sua projeção sobre o plano xy estão mostrados na Figura 14. As
superfícies inferior e superior de E são os planos z = O e z = x, e então descrevemos E
como uma região do tipo 1:
E
E~ {(x, y, z) 1-1 ,;; y,;; I, y 2 ,;; x,;; I, O,;; z,;; x}
Então, se a densidade é p(x, y, z) = p, a massa é
m ~ JfJ p dV ~ L J' fo" p dz dx dy
E -
~ p J' I {' x dx dy ~ p L [ ~' [ dy
p ~I "J
~ l L (I - y')dy ~ p Jo (I - y')dy
[ y']' -- 4p
~py-50 5
FIGURA 14
Por causa da simetria de E e p em relação ao plano xz, podemos dizer imediatamente que
Mx: = O e, portanto, Y = O. Os outros momentos são
M, ~ J.JJ xpdV ~ ,., J·: f" xpdz dx dy
E
• --1
1 - Jo
~ p L t x' dx dy ~ p I', [ ~ 3 [' dy
2p I
6
2p y
~-f 7
(I - v )dv ~- y - -
3 Jo ~ - 3 7
[ ]
I
0
Mn ~ JJJ zp dV ~ t L r zp dz dx dy
E
~ p t f,' [~,r: dxdy ~f t Dx'dxdy
~.f'._f'(l-y6)dy~ 2p
3 Jo - 7
Logo, o centro de massa é

1028 CJ CÁlCULO Editora Thomson
Jll;7 Exercícios
1. Calcule a integral do Exemplo 1, integrando primeiro em
relação a z, depois x e então y.
2. Calcule a integral JJ1 (xz- y') dV, onde
E~ {(x, y, z) 1-l ,; x,; l, O,;)',; 2, O,; z,; I}
utilizando três ordens diferentes de integração.
··--§ -- Calcule a integral iterada.
3. I''[' ['''6xzdydxdz
.o • () • o
Calcule a integral tripla.
7. JJJ, 2x dV, onde
4. [' f"[' 2xyz dz dy dx
-'Ü ,_,, .o
E= { (x, y, z) I O~ y ~ 2, O:;::::; x ~ )4- y 2 , O ,;s; z ~ y}
8. LJl yz cos(x 5 ) d\l, onde
E= {(x, y, z) I O -""S x ~ l, O >'S y ~ x, x ~ z ~ 2x}
·):S, JJl6xy dV, onde E está abaixo do plano z = l + x + y e
acima da região do plano A)' limitada pelas curvas y = Jx,
y=Oex= I
10. JJJ~ Y dV, onde E é limitado pelos planos x = O, y = O, z = O
e 2x + 2y + z = 4
11. JK xy dV, onde E é o sólido teu·aedro com vértices (O, O, 0),
(l, O, 0), (0, 2, O) e (O, O, 3)
12. ffJ~.xz dV, onde E é o sólido tetraedro com vértices (0, O, O),
(0, I, 0), (l, l, O) e (O, l, 1)
13. J]j~.x 1 eY dV, onde E é limitado pelo cilindro parabólico
z = 1 ~ y 1 e pelos planos z = O, x = 1, and x = -1
14. fffE (x + 2y) dV, onde E é limitado pelo cilindro parabólico
y = x 2 e pelos planos x = z, x = y e z =O
15. fffex dV, onde E é limitado pelo parabolóide x = 4y 2 + 4z 2 e
pelo plano x = 4
16. JJJ~. z dV, onde E é limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos
planos x = O, y = 3x e z = O no primeiro octante
H-2fl c; Use a integral tripla para detem1inar o volume do sólido
dado.
O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano
2x+y+z=4
18. O sólido limitado pelo cilindro y = x 2 e pelos planos z = O,
z=4ev=9
19. O sóli,do-limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 9 e pelos planos
y+z=5ez=l
20. O sólido limitado pelo parabolóide x = y 2 + z 2 e pelo plano
X~ \6
21. (a) Expresse o volume da cunha no primeiro octanle que é
cortado do cilindro y 2 + z 2 = I pelos planos y = x e
x = 1 como uma integral tripla.
(b) Utilize a Tabela de Integrais (na contracapa) ou um
sistema computacional algébrico para determinar o valor
exato da integral tripla da parte (a).
22. (a) Na Regra do Ponto Médio para as Integrais Triplas
usamos a soma tripla de Riemann para aproximar a
integral tripla sobre uma caixa B, onde f(x, y, z) é
calculada no centro (i,, Yh :Z,) da caixa B,JL Utilize a Regra
do Ponto Médio para estimar .11!~ e-x 2 2
--y -

James Stewart CAPÍTULO 15 iNTEGRAiS MULTIPLAS r·J 1029
Reescreva essa íntegra! como uma integral iterada equivalente
em cinco modos diferentes.
32. A figura mostra a região de integração para a integra!
Reescreva essa integral como uma integral iterada equivalente
em cinco modos diferentes.
X
33--34 Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à
integral iterada dada.
c~"
f' f' f' J(xc y, z) dz dx dy
Jo Jx Jo
34, [' ['' ['f(x, y, z) dz dy dx
~O .O ~O
35-38 ,--: Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E
com a função densidade dada p.
35. E é o sólido do Exercício 9; p(x, y, z) = 2
36. E é limitado pelo cilindro parabólico z = 1 y 2 e pelos
planos x + z = l, x = O e z = O; p(x, y, z) = 4
ZiJt EéocubodadoporO~x~a, O~y~a, O~z~a;
p(x, y, z) = x 2 + y 1 + z 1
38. E é o tetraedro limitado pelos planos x = O, y = O, z = O,
x + y + z ~ I; p(x, y, z) ~ y
39--40 c Estabeleça, mas não calcule, as expressões integrais para
(a) a massa, (b) o centro de massa e (c) o momento de inércia em
relação ao eixo z.
39. O sólido do Exercício 19; p(x, y, z) =
40. O hemisfério x 1 +
~0~
p(x, y, z) ~
41. Seja E um sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro
x 1 + y 2 = 1 e pelos planosy = z, x =O ez =O com função
densidade p(x, y, z) = l + x + y + z. Use um sistema
computacional algébrico para determinar os valores exatos das
y
seguintes quantidades para E.
(a) A massa
(b) O centro de massa
(c) O momento de inércia em relação ao eíxo z
42. Se E é o sólido do Exercício 16 com função densidade
p(x, }', z) = x 1 + y 1 , determine as seguintes quantidades, com
precisão de três decimais.
(a) A massa
(b) O centro de massa
(c) O momento de inércia em relação ao eixo z
43, Determine os momentos de inércia para um cubo com
densidade constante k e lados de comprimento L se um vértice
está localizado na origem e três arestas estão nos eixos
coordenados.
44. Determine os momentos de inércia do tijolo retangular de
dimensões a, b e c, massa Me densidade constante se o centro
do tijolo está na origem e suas arestas são paralelas aos eixos
coordenados.
45. A função densidade conjunta de variáveis aleatórias X, Y c Zé
f(x. y, z) = C.:ryz se O ~ x ~ 2, O ~ y ~ 2, O ~ z :o:; 2 e
f(x, y, z) = O em caso contrário.
(a) Determine o valor da constante C.
(b) Dcterrníne P(X .s I, Y .s 1, Z .s 1).
(c) Determine P(X + Y + Z ~ 1).
46. Suponha que X, Y e Z sejam variáveis aleatórias com função
• densidade COnjUnta f(X, )', z) = ce-IÜ.S.< !-ú. 2 yt-O.Ic) Se
x ~O, y ~O, z ~ O e f(x, y, z) = O em caso contrátio.
(a) Determine o valor da constante C.
(b) Determine P(X .s I, Y .s 1),
(c) Determine P(X ~ I, Y ~ 1, Z ~ I).
47-itB '~ O valor médio de uma função f(x, y, z) sobre uma região
sólida E é definido como
f," ~ V( I E) f.'' jJ f(x, . y, z) dV
E
onde V(E) é o volume de E. Por exemplo: se pé a função
densidade, então Pmé

1030 o CÁLCUlO Editora Thomson
Volumes de Hiperesferas
Nesse projeto determinaremos as fórmulas para o volume contido em uma hiperesfera em
um espaço n-dimensional.
1. Utilize uma integral dupla e substituições trigonométricas, juntamente com a Fórmula 64 da
Tabela de Integrais, para determinar a área do círculo de raio r.
2. Use uma integral tripla e substituições trigonométricas para detetminar o volume da esfera de
raio r.
3. Utilize uma integral quádrupla para determinar o hipervolume contido na hiperesfera
x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = r 2 em ~ 4 .-(ltse somente a su~stituição trigonométrica e~ redução das
fórmulas para f sen"x dx ou f cosnx dx ..)
4. u~.~ ,uma 'íÍltegral n-:upl,a para dí)tenninar o, voJÚrhe ~onti~Í-

James Stewart CAPÍTUlO 15 INTEGRAIS fv1ÚLTIPLAS ,--, 1031
Sabemos da Equação 15.7.6 que
Jií f(x, y, z) dV ~ JJ [J::,~".:' f(x, y, z) dz] dA
E
D
Mas também sabemos como calcular integrais duplas em coordenadas polares. De fato,
combinando a Equação 1 com a Equação 15.4.3, obtemos
FIGURA3
dz
Elemento de volume em coordenadas
cilíndricas: d\1 = r dz dr dO
z=4
, l ... i
E
•• l. j(x, y, z) dV ~ i'# i'luOl i'"Y'"' Oc ~"''f(rcos e, r SCU e, z) r dz dr de
.a .h,IJ}! ~u,lrcn>O,rseniJ)
A Fórmula 2 é a fórmula para a integração tripla em coordenadas cilíndricas. Ela nos
diz que convertemos uma integral tripla em coordenadas retangulares para coordenadas
cilíndricas escrevendo x = r·cos 8, y = rsen O e deixando z como está, utilizando os limites
apropriados de integração para z. r e e, e trocando dV por r dz dr dO. (A Figura 3
mostra como se lembrar disso.) É recomendável a utilização dessa fórmula quando E é
uma região sólida cuja descrição é mais simples em coordenadas cilíndricas, e especialmente
quando a função f(x, y, z) envolve expressões x 2 + y2.
Um sólido E está contido no cilindro x 2 + y 2 = 1, abaixo do plano z = 4 e
acima do parabolóide z ~ l - x 2 - y 2 (veja a Figura 4). A densidade em qualquer ponto é
proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de E
SOLUÇÃO Em coordenadas cilíndricas o cilindro é r ~ l e o parabolóide é z ~ l -
podemos escrever
r 2 , e
E~ {(r, O, z) I O~ e~ 27T, O~ r~ l, l - r'~ z ~ 4}
Como a densidade em (x, y, z) é proporcional à distância do eixo z, a função densidade é
J(x, y, z) ~ K v x 2 + y 2 ~ Kr
onde K é a constante de proporcionalidade. Portanto, da Fórmula 15.7.13, a massa
de E é
FIGURA 4
m ~ J"If K)x 2 + y 2 dV~ f'~J·' J'' , (Kr) rdzdrd8
• .O O ! -r-
E
= j''~ f' Kr 2 [4- (l- r 2 )]drde ~ K f'c dej'' (3r 2 + r')dr
o ~o ~o o
Calcule J',
(x 2 + y 2 )dzdydx.
SOLUÇÃO Essa integral iterada é uma integral tripla sobre a região sólida
E= { (x, y, z) 1-2 ~ x ~ 2,

James Stewart CAPÍTULO 15 INTEGRAIS fv1ÚLTIPLAS 1031
Sabemos da Equação 15.7.6 que
Mas também sabemos como calcular integrais duplas em coordenadas polares. De fato,
combinando a Equação 1 com a Equação 15.4.3, obtemos
b:.~,
i r _/ dr
r de
FIGURA 3
dz
Elemento de volume em coordenadas
cilíndricas: dV ~ r dz dr d()
'1'1' . I'# rh,(O! l'c.(ccc,S.>

1032 CÁLCULO Editora Thomson
e a projeção de E sobre o plano xy é o disco x 2 + y 2 ::S 4. A superfície inferior de E é o
cone z =
e a superfície superior é o plano z = 2. Essa região tem uma
descrição muito mais simples em coordenadas cilíndricas:
E = {(r, 8, z) I O ~ O ~ 2r., O ~ r~ 2, r~ z ~ 2}
.v·
Portanto temos
2
FIGURA 5
Coordenadas Esféricas
P(p. e.~~
Na Seção 12.7, definimos as coordenadas esféricas (p, 8, )de um ponto (veja a Figura 6) e
demonstramos as seguintes relações entre coordenadas retangulares e coordenadas esféricas:
X= p cencf>cos 8 y = pcencf>sen8 z=pcoscf>
.v
Nesse sistema de coordenadas, o correspondente à caixa retangular é uma cunha
esférica
X
FIGURA 6
Coordenadas esféricas de P
onde a :: O, f3 - a ~ 21T, e d - c ~ 11. Apesar de termos definido as integrais triplas
dividindo sólidos em pequenas caixas, podemos mostrar que, dividindo o sólido em pequenas
cunhas esféricas, obtemos sempre o mesmo resultado. Assim, dividiremos E em
pequenas cunhas esféricas E;p: por meio de esferas igualmente espaçadas p = pi, semiplanos
() = ()j e semicones cp = k- A Figura 7 mostra que E;Jk é aproximadamente uma
caixa retangular com dimensões !J.p, p; !J.cf> (arco de circunferência de raio p, e ângulo !J.cf>)
e p, sencf>, !J.O (arco de circunferência de raio p, sencf>;, e ângulo !J.O). Logo, uma aproximação
do volume de Eijk é dada por
De fato, pode ser mostrado, com a ajuda do Teorema do Valor Médio (Exercício 39), que
o valor exato do volume de Eijk é dado por
X
FIGURA 7
!J. vii, = ri sen , !J.p !J.O !J.cf>
onde (p;, Õj, cfjk) é algum ponto do interior de Eijk· Seja (x;jk, y;j~:, z1jk) as coordenadas
retangulares desse ponto. Então
Mas essa soma é uma soma de Riemann para a função
F(p, 8, ) = p 2 cen cf>f(p sen cos e, p sencf> '"n 8, p cos )
Conseqüentemente, chegamos à seguinte fórmula para a integração tripla em coordenadas
esféricas:

James Stewart CAPÍTULO 15 ir'.JTEGRA!S MÚLTIPLAS 1033
JJJ f(x, y, z) dV
E
= f: f: f: f(p sen

1034 ;::1 CÁlCUlO Editora Thomson
A Figura 1 O mostra uma visá o
diferente {desta vez, utilizamos o
MAPLE) do sólido do Exemplo 4.
FIGURA 9
- Utilize as coordenadas esféricas para determinar o volume de um sólido que
está acima do cone z = e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = z (veja a Figura 9).
-+
(0,0, !)
/- -~~ xz..l-v2+,.-2=~
/ I X •. - -
/ i \
- --- --- +- -~ -- ~ -----\
/ I )
"~
\ ' -----,
1~1
c;ê/ I
\ ~ J !!>_,y I--
'- ---"- t%'----7-.;. -
' '· /
X
-
I
SOLUÇÃO Note que a esfera passa pela origem e tem centro em ( O, O, 2 ). Escrevemos a
equação da esfera em coordenadas esféricas como
ou
p=cos
.
A equação do cone pode ser escrita corno
Ou seja, sen = cos ,ou= 7T/4. Portanto a descrição do sólido E em coordenadas
esféricas é
E= {(p, e,) 1 o "" e"" 27T, o"" q,"" 1T/4, o"" p"" cos e e ficam constantes.

T
James Stewart CAPÍTULO 15 INTEGRAIS MULTIPLAS L:- 1035
1-4 Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e
calcule essa integraL
1. -· rdzd8dr
1 ., ['' I"' 2. f' 1 ' [' ['·•' r dz dr dO
.o ~o ~, .o . o • o
3, r·:• (''' f 3 p' sen 1; dp dO d O) se
S tem densidade constante K.
23. Determine o volume do sólido que está acima do cone
cP = 1r/3 e abaixo da esfera p = 4 cos r:/>.
i;-~_4:
Determine o volume do sólido que está dentro da esfera
x 2 + y 2 + z 2 = 4, acima do plano X)' e abaixo do cone
z ~ .,)x' + y'.
25. Determine o centróide do sólido do Exercício 21.
26. Seja H um hemisfério sólido de raio a cuja densidade em qualquer
ponto é proporcional à distância ao centro da base.
(a) Detennine a massa de H.
(b) Determine o centro de massa de H.
(c) Determine o momento de inércia de H em relação a seu
eixo.
27. (a) Determine o centróide do hemisfério sólido homogêneo de
raio a.
(b) Determine o momento de inércia do sólido da parte (a) em
relação ao diâmetro de sua base.
28. Determine a massa e o centro de massa do hemisfério sólido
de raio a se a densidade em qualquer ponto for proporcional a
sua distância à base.
29-32. iJ Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a
que lhe parecer mais apropriada.
• Detennine o volume e o centróide do sólido E que está acima
do cone z = e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.
30. Detennine o volume da menor cunha esférica de uma esfera de
raio a cortada por dois planos que se interceptam ao longo de
um diâmetro com um ângulo de 7T/6.

1036 o CÁLCULO Editora Thomson
31. Calcule .(iJE z dV, onde E está acíma do parabolóide
z = x 2 + y 2 e abaixo do plano z = 2y. Utilize a Tabela de
Integrais (veja a contracapa) ou um sistema computacional
algébrico para calcular a integral.
32. (a) Determine o volume contido pelo toro p = scn cfl.
(b) Utilize um computador para desenhar o toro.
Calcule a integral, transformando para coordenadas
cilíndricas.
33. fi dz dy dx
xyz dz dx dy
Calcule a integral, transformando para coordenadas
esféricas.
(A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral
tripla sobre uma esfera sólida quando o raio aumenta
indefinidamente.)
39. (a) Utilize coordenadas cilíndricas para mostrar que o volume
do sólido limitado por cima pela esfera r 2 + z" = a 2 e por
baixo pelo cone z = cotg 0 (ou 1J =o/o), onde
O <

James Stewart CAPÍTULO 15 INTEGRAIS MÚLTIPLAS ;:J 1037
A en_ergia ciné~cà--paitl mesmas razões utilizadas no
Problema 1 m'ostram que 'v 1 = 2gy/(1 +-/*)a qualquer illsri:tiíté t. Utilize esse resultado para
mostrar que y satisfaz_ a 'equação diferencial
onde a é o ârigulo de inclinação da rampa.
dy ~2g )c
- = _ -. -. --(sena :VY
dt I + I*
3. Resolvendo a ~uação diferencial do Probleinà 2, mostre _que o tempo total de percurso é'
2h(l + I*)
gsen 1 a
Isso mostra que o objeto com menor I* _ganha a corrida.
4. Mos_tre qu~ 1* =_f para o cilindro s6Íi~9-_{! I* = 1 para o ~~Iindro oco.
5. Calcule I* para a -~Ia parciaMente oca· Com raio interio~ 4 é raio eX:terno r. EXJ{êsse spa
,respostaéiii termqS do coeficiente b =:-afr. O.que aconteç'~·quandÓ:a ~:O,eqijand(}a
' ' ' ~
:, \ ' :: "' ', 2:.' -_:,' '

1038 u CÁlCUlO Editora Thomson
~~IJ9
Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas
Em cálculo unidimensional, freqüentemente usamos a mudança de variável (uma substituição)
para simplificar uma integraL Revertendo os papéis de x e u, podemos escrever a
Regra da Substituição (5.5.6, dada no Capítulo 5 do Volume I) como
r =r f(x) dx f(g(u))g'(u) du
onde x = g(u) e a = g(c), b = g(d). Outro modo de escrever a Fórmula l é a seguinte:
~b 10 d dx
t f(x) dx = 1 f(x(u)) du du
Uma mudança de variáveis pode também ser útil em integrais duplas. Já vimos um
exemplo disso: a conversão para as coordenadas polares. As novas variáveis r e () estão
relacionadas às velhas variáveis x e y pelas equações
x=rcosO
y=rsen()
e a fónnula de mudança de variáveis (15.4.2) pode ser escrita como
f f f(x, y) dA = JJ f(rcos O, rsen O) rdr dO
R
S
onde Sé a região no plano r() que corresponde à região R no plano xy.
Genericamente, consideremos uma mudança de variável dada pela transformação T do
plano uv no plano xy:
T(u, v) = (x, y)
onde x e y estão relacionados com u e v pelas equações
ou, como às vezes escrevemos,
x = g(u, v) y = h(u, v)
x = x(u, v) y = y(u, v)
Vamos admitir que T seja uma transformação C', o que significa que g e h têm derivadas
parciais de primeira ordem continuas.
Uma transformação T é de fato somente uma função cujo domínio e imagem são
ambos subconjuntos de IR 2 Se T(u, v,) = (x,, y,), então o ponto (x:, y 1 ) é denontinado
imagem do ponto (u~, vJ). Se não existem dois pontos com a mesma imagem, T é

I
I
James Stewart
chamada um a um. A Figura 1 mostra o efeito de uma transformação Tem uma região S
do plano uv. T transforma S em uma região R no plano xy denominada imagem de S,
constituída das imagens de todos os pontos de S.
í
I
~
s
(u,,t';)
•
FIGURA 1
X
Se T é um a um, então existe uma transformação inversa r- 1 do plano xy para o plano
uv e é possível resolver as Equações 3 para u e v em termos de x e y:
u = G(x, y)
v= H(x,y)
EXEMPlO 1 --~
Uma transformação é definida pelas equações
y = 2uv
DetermineaimagemdoquadradoS= {(u,v)/0 >S u >S l, O >S v >S l}.
(0, I)
S,
s,
s
(I, 1)
s,
SOLUÇÃO A transformação leva a fronteira de S na fronteira da imagem. Assim,
começamos por determinar a imagem dos lados de S. O primeiro lado. S 1
, é dado por
v= O (O~ u ~ 1) (veja a Figura 2). Das equações dadas, temos x = u 2 , y =O, e portanto
O >S x >S 1. Então, S, é mapeado no segmento de reta que liga (O, O) a (l, O) no
plano xy. O segundo lado, S,, é u = l (O ,; v ,; l) e, substituindo u = l nas equações
dadas, temos
O,
' I
s,
(1. 0)
u
}' = 2v
1 T
Eliminando t; obtemos
que é parte de uma parábola. Da mesma forma, S 3 é dado por v = l (O ,; u ,; l), cuja
imagem é o arco parabólico
4
- l
FIGURA 2
X
Finalmente, s4 é dado por u = o (O "' v "' 1), cuja imagem é X = -v', y = O, ou seja,
-1 ~ x ~ O. (Note que quando nos movemos ao redor do quadrado no sentido
anti-horário, também nos movemos ao redor da região parabólica no sentido anti~
horário.) A imagem de Sé a região R (mostrada na Figura 2) limitada pelo eixo x e pelas
parábolas dadas pelas Equações 4 e 5.
c,xtl
$. ~- ;;t -tm
f& --0p à wv~t "\:..- >-+'-- +0 -~n
'*
F """"--~

1040 o CÁLCULO
Editora Thomson
Agora vamos ver como a mudança de variáveis afeta a integral dupla. Comecemos com
um retângulo pequeno S no plano uv cujo canto inferior esquerdo é o ponto (u 0 , vo) e cujas
dimensões são D..u e D..v (veja a Figura 3).
'[
I
u = u 0
r{u 0 , v)
T
yt
R
FIGURA 3
o
Oi
I
b
R
A imagem de S é a região R do plano xy, onde em um dos pontos da fronteira está
(xo, Yo) ~ T(uo, vol- O vetor
r(u, v) ~ g(u, v) i+ h(u, v)j
é o vetor de posição da imagem do ponto (u, v). A equação do lado inferior de Sé v= vo,
cuja curva imagem é dada pela função vetorial r(u, v 0 ). O vetor tangente em (x 0 , yo) a essa
curva imagem é
, . ) , ax • ay .
r, = g" ( u 0 , v 0 ) I+ h,(u 0 , v 0 j = - I+ - J
Da mesma forma, o vetor tangente em (xo, }'o) à curva imagem do lado esquerdo de S
(u ~ u 0 ) é
, • ax • Jy •
r, ~ g,(uo, Vo) I+ h,(IMJ, Vo) J ~ - I+ - J
Podemos aproximar a região imagem R ~ T(S) pelo paralelogramo determinado pelos
vetores secantes
a~ r(uo + t.u, vo) - r(uo, vo) b ~ r(uo, Vo + t.v) - r(uo, vo)
mostrados na Figura 4. Mas
au
av
au
av
FIGURA 4
_ _r_:c(u:::o_+_::t.:.:":.:.•..:."::co).__-_r_c(.:c"o:::.'..:."::.:..o)
ru =}!:o
D..u
e então
Da mesma forma
r(uo + t.u, vo) - r(uo, vo) = t.ur,
r(uo, Vo +Av)- r(uo, vo) = Avr,
Isso significa que podemos aproximar R por um paralelogramo determinado pelos
vetores D..u r, e Ll.v r v (veja a Figura 5). Portanto podemos aproximar a área de R pela área
desse paralelogramo, que da Seção 12.4 é
FIGURA 5
l(t.ur,) X (Avr,JI ~Ir, X r,IAuAv

1
I
Calculando o produto vetorial, obtemos
/L
r, X rv = Ou
ax
a v
j
ay
au
ay
a v
k 1,
CAPÍTULO 15 ltJTEGRAiS MULTiPLAS
1 ax
o =I au
1 dx
o I I a;
~I
au
ay
iJv ,
I ax
ax I
k= la; a,; I k
/ ay ay
IJ; J;/
1041
O determinante que aparece nesse cálculo é chamado jacobiano da transformação e tem
uma notação especial:
O jacobiano recebeu esse nome em
homenagem ao matemático alemão
Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851 l
Apesar de o matemático francês
Cauchy ter usado esse determinante
especwi envolvendo derivadas parciais
antes, Jacobi usou-os no método para
calcular as Integrais múltiplas.
O jacobiano da transformação T dada por x = g(u, v) e y = h(u. v) é
iJX éJX I
a(x, y) = au a v
a(u, v) ay ay
au
av
au av av au
Com essa notação podemos utilizar a Equação 6 para obter uma aproximação da área
MdeR:
1
a(x y) LI.A =. a(u: v)
I I Ll.u Ll.v
onde o jacobiano é calculado em (U{], v 0 ).
Em seguida dividimos a região S do plano uv em retângulos S;j e chamamos suas imagens
no plano xy de Ru (veja a Figura 6).
"t
I s,
ls
I
R /I
Av 'I
/ Au
I
i 1)2 I
I (u, V,)
"'
I/
j
Y!
I
FIGURA 6
u o X
Aplicando a aproximação (8) a cada Ru, apro-ximamos a integral dupla de f sobre R como
se segue:
~·f(x,y)dA = ,t~f(x,,yj)M
~ " . / a(x, y) I
=.:., '2.,j(g(u,, vi), h(u,, vj))/·-(--) I IJ.u!l.v
i=lj=! a u, v .

104.2: o CÁlCUlO Editora Thomson
onde o jacobiano é calculado em (u;, v;). Note que a soma dupla é a soma de Riemann para
a integral
.. I a(x v) I
J
I f(g(u, v), h(u, v)) -(
,~
',) Í du dv
1
a u, v 1
A argumentação precedente sugere que o seguinte teorema seja verdadeiro. (Uma prova
completa é dada em livros de cálculo avançado,)
Mv!da•np de Variáveis em uma
Suponha que T seja uma
transformação C 1 cujo jacobiano seja não nulo e leve uma região S do plano uv
para uma região R do plano xy, Suponha que f seja contínua sobre R e que R e S
sejam regiões planas do tipo I ou 11. Suponha ainda que T seja um a um, exceto
possivelmente nos pontos de fronteira de S. Então
f . ·r I a(x. :vl I
j f(x, y) dA~ j f(x(u, v), y(u, v)) _(_, -) du dv
~R • 5 ~ a u, v
O Teorema 9 diz que mudamos de uma integral em x e y para uma integral em u e v
escrevendo x e y em termos de u e y e escrevendo
dA ~ I il(x, y) I du dv
a(u, v) ,
'
Note a semelhança entre o Teorema 9 e a fórmula unidimensional da Equação 2. Em vez
da derivada dx/du, temos o valor absoluto do jacobiano, ou seja, I a(x, y)ja(u, v) I,
Como primeira ilustração do Teorema 9, vamos mostrar que a fórmula de integração em
coordenadas polares é um caso especial desta. Aqui a transformação T do plano r(} para o
plano xy é dada por
X ~ g(r, O) ~ r cos e
y ~ h(r, 8) ~ r sen e
e a geometria das transformações é mostrada na Figura 7. T mapeia um retângulo ordinário
do plano r8 no retângulo polar do plano xy, O jacobiano de T é
a(x. y)
~
ax
Jx
-;;; ao ~ I cos e
a(r, 8) ay _iJz, sen 8
ar ae
-r sen (}I = rcos 2 (} +r sen 2 8 =r> O
rcos 8
X
Logo, o Teorema 9 nos leva a
JJ . JJ il
f(x, y) dx dy =
a(x Y) I
, f(rcos 8, r sen 8) Í J(r: ) , dr d8 8
R S ' , '
Tt

CAPÍTULO 15 INTEGRAiS MÚLTIPL.t..S [] 1043
EXEMPLO 2. Utilize a mudança de variáveis x = u 1 - v 2 , }' = 2uv, para calcular a
integral D~ y dA, onde R é a região limitada .pelo eixo x e pelas parábolas y 2 = 4 - 4x
y 2 ~ 4 + 4x.
SOLUÇÃO A região R está mostrada na Figura 2. No Exemplo I descobrimos que
T(S) ~R, onde Sé o quadrado [0, I] X [0, I]. De fato, a razão que nos levou a fazer a
mudança de variável para calcular a integral é que S é urna região muito mais simples
que R. Vamos calcular o jacobiano:
a(x, y) ~
Portanto, pelo Teorema 9,
,f.f y dA~
ax
au
ax I
av l-/2u -2v I = 4u
2
+ 4v 2 >O
a(u, v) Jy dv · 2v 2u
a~ I 1 au
. j2uv
la(xv)j .,.,
·--··~> dA~ 1 J (2uv)4(u' +v'> du dv
f
R ~ 5 1a(u, V ~ ~O O
~ 8 J'' j'' (u 3 v + uv 3 ) du dv ~ 8 f' [lu 4 v + lu 1 v 3 ]": dv
o ~o Jo -. - u
f' (2v + 4v 3 )dv ~ [v 2 + v 4 J: ~ 2
,l)
NOTA o O Exemplo 2 não foi um problema muito difícil de resolver porque já conhecíamos
uma mudança de variáveis apropriada. Se não a conhecêssemos de antemão, então
o primeiro passo seria descobrir urna mudança de variáveis apropriada. Se f(x, y) é difícil
de integrar, então a forma de f(x, y) pode sugerir uma transformação. Se a região de integração
R é desajeitada, então a transformação deve ser escolhida para que a região S correspondente
no plano uv tenha urna descrição mais conveniente.
EXEMPlO 3 ::: Calcule a integral.[!~ e\x+yJ/(x~yJ dA, onde R é a região trapezoidal com
vértices (I, O), (2, O), (O, -2) e (O, -I).
SOLUÇÃO Como não é fácil integrar eix~-y)/ü-yJ, vamos fazer a mudança de variáveis sugerida
pela forma da função:
u=x+y
v=x-y
Essas equações definem a transformação T~ 1 do plano xy para o plano uv. O Teorema 9
diz respeito à transformação T do plano uv para o plano xy. Esta é obtida resolvendo-se
as Equações 1 O para x e y:
x~~(u+v) y ~ l(u- v)
O jacobiano de T é
ax ax
J(x, y) ~ au a v
~i ~ 1- --~
a(u, v) ay ay -~I- 2
au
a v

------------------------------------------
1044 CÁlCULO Editora Thomson
vj
(-2.2) lt!=2 (2,2)
' :;;: = v
(~1.1) pi)\ (l,l)
u = -;ç: s l ·.
o
v,;d
Para determinar a região S do plano LW correspondente a R, notamos que os lados de R
estão sobre as retas
e das Equações 1 O ou 11 as retas imagem do plano uv são
x-y=J
u=v v=2 u =-v v= 1
Então, a região Sé a região trapezoida1 com vértices (l, 1), (2, 2), ( -2, 2) e ( -1, 1)
mostrada na Figura 8. Como
o Teorema 9 leva a
S = {(u, v) /1 ~ v~ 2, -v~ u ~ v)
FIGURA 8
-2 I i
ff
R
yi dA = J'f e"''ll a(x, y) 1.
du dv
s
• â(u, v),
1
': ,., (I ) I f' [ l ,_,
e"' : du dv =: ve"' ,_,- dv
.l • -v • !
Integrais Triplas
Existe uma fórmula de mudança de variáveis semelhante para as integrais triplas. Seja Ta
transformação que leva uma região S no espaço uvw para uma região R no espaço xyz por
meio das equações
x = g(u, v, w) y = h(u, v, w) z = k(u, v, w)
O jacobiano de T é o seguinte determinante 3 X 3;
Jx Jx ax
au a v Jw
J(x, y, z) ay Jy ay
a(u, v, w) Ju Jv aw
az az az
au a v Jw
Das hipóteses semelhantes àquelas do Teorema 9, temos a seguinte fórmula para integrais
triplas:
;
J
'f J' ' a(x, y, z) '
J. J(x, y, z) dV = j) f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) I J(u, v, w) I du dv dw
- Utilize a Fórmula 13 para deduzir a fórmula para a integração tripla em
coordenadas esféricas.

James Stewart CAPÍTUlO 15 iNTEGRAIS fv1ULTIPLAS lJ 1045
SOLUÇÃO Aqui a mudança de variáveis é dada por
X= p SCl1fj>COS 0 y ~ p sen,Psen 8 z~pcos,P
Calculamos o jacobiano corno segue:
~cos.P 1
o(x, y, z)
a(p, e • .Pl
-psen ,Psen e pcos ,Pcos el
seu 1> cos e
sen 1> sen 8
cos 1>
-p sen .p sen e pcos ,Pcos 8 ·
p sen 1> cose pcos 1> sen e
O -psen.p
1
~ sen ,Pcos e -p sen 1> sen e
,-psen.P
p sen 1> c os O
~ cos .p (-p'sen .p cos ,Psen 2 8- p 2 sen .pcos ,Pcos 2 8)
1 r seu 1> cos e r c os .p sen 8 i · seu .p sen e
- psen .p (psen 2 ,Pcos 2 8 + psen 2 ,Psen 2 8)
~ - p 2 5en .p cos 2 ,P - p' sen sen 2 ,P ~ - p 2 seu .p
Como O ~ 1> ~ 7T, ternos sen 1> ~ O. Portanto
e a Fórmula 13 nos dá
' a(x, v, z) I I , I ,
Ia ( p, 8, .p
1
. · ) . ~ -p"seo ~ p-sen.P
f f f f(x, y, z) dV ~ f f f f(p sen 1> cos 8, p sen seu 8, p cos ) p' sen,P dp d8 d
R 5
que equivale à Fónnula 15.8.4.
~~~f9
Exercícios
í-6 - Determine o jacobiano da transformação.
1. x = u + 4v, y = 3u - 2v
u
3. x=--,
u +v
' .
y = u- + v~
v
v=--
. u- v
4. x=asen/3, y=acosfJ
X = UV, )' = VW, Z = UW
'
J-111 :: Detennine a imagem do conjuntoS sob a transfonnação dada.
S = {(u, v)! O ~ u ~ 3, O ~ v ~ 2};
x = 2u + 3v, y = u ~ v
8. Sé o quadrado limitado pelas retas u = O, u = 1, v = O,
v= 1; x=v, y=u(l + v 2 )
S. Sé a região triangular com vértices (0, 0), (1, I), (O, 1);
x = u 2 , y =v
10. Sé o disco dado por u 2 + v 2 ~ 1; x = au, y = bv
11-'l© ~
Utilize a transformação dada para calcular a integraL
11. L!~ (x - 3y) dA, onde R é a região triangular de vértices
(O, O), (2, 1), e (l, 2);
x ~ 2u + v, y ~ u + 2v
12. fJ~ (4x + 8y) dA, onde R é o paralelogramo com vértices
(-1, 3), (l, -3), (3, -!),e (l, 5);
x = hu + v), y =i( v - 3u)
f'-~;
fj~ x 2 dA, onde R é a região limitada pela elipse
9x 2 + 4y 2 = 36; x = 2u, y = 3v
14. JJ~ (x 2 - xy + y 2 )dA, onde R é a região limitada pela
elipse x 2 - xy + y 2 = 2;
x = -../2u - -./273v, y = -/iu + J2]3v
15. JJ" xy dA, onde R é a região do primeiro quadrante limitada
pelas retas y = x e y = 3x e pelas hipérboles xy = 1, xy = 3;
x = u/v, y =v

1046 c CÁLCUlO Editora Thomson
16. fj~ y 2 dA, onde R é a região limitada pelas curvas xy = I,
xy = 2. xy 2 = 1, xy 2 = 2; u = xy, v= xy 2 • Ilustre utilizando
uma calculadora gráfica ou um computador para traçar R.
17. (a) Calcule JJJ~ dV, onde E é o sólído contido pelo elipsóide
x 2 ja 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1. Utilize a transformação
x = au, y = bv, z = cw.
(b) A Terra não é perfeitamente esférica; como resultado da
rotação os pólos foram achatados. Assim, seu fornmto
pode ser aproximado por um elípsóide com a= b = 6378
km e c= 6356 km. Use o ilem (a) para estimar o volume
da Terra.
18. Calcule ffJEx 2 y dV, onde E é o sólido do Exercício l7(a).
Calcule a integral, fazendo uma mudança de variáveis
apropriada.
1S. f f x ~ dA, onde R é o paralelogramo delimitado pelas
.. 3x- v
R "
retas x- 2y =O, x ~ 2y = 4, 3x- y = 1, e 3x- y = 8
20. JJ~ (x + y)e-" 2 -y' dA, onde R é o retângulo delimitado pelas
retas x y =O, x ~ y = 2, x + y =O ex+ y = 3
21- fJ cos( ~ :; ) dA_ onde R é a região trapezoidal
' -
com vértices (1, O), (2, O), (O, 2) e (0, I)
22. JJR sen(9x 2 + 4y 2 )d4, onde R é a região do primeiro
quadrante limitada pela elipse 9x 2 + 4y 2 = l
23. K e'•' dA, onde R é dada pela inequação i x i + i y I "'
24. Seja f uma função contínua sobre (0, I] e seja R a
região triangular com vértices (0, O), (l, O) e
(O, 1). Mostre que
.IJ J(x + y) dA
R
C uf(u) du
.o
Revisão
1. Suponha que f seja uma função contínua definida sobre um
retângulo R~ [a, b] X [c, d].
(a) Escreva uma expressão para a soma dupla de Riemann de
f. Se f(x, y) :::;;. O, o que essa soma representa
(b) Escreva a definição de ff, f(x, y) dA como um limite.
(c) Qual é a interpretação geométrica de JJR f(x, y) dA se
f(x, y):::;;. O E se f tiver valores positivos e valores
negativos
(d) Como calcular JJ, f(x, y) dA
(e) O que a Regra do Ponto Médio para as integrais duplas diz
(f) Escreva uma expressão para o valor médio de f
2. (a) Como você define ffo f(x, y) dA se D é uma região
limitada que não é retangular
(b) O que é uma região do tipo I Como calcular
Jfo f(x, y) dA se D for uma região do tipo I
(c) O que é uma região do tipo ll Como calcular
Sfo f(x, y) dA se D for uma região do tipo li
(d) Quais as propriedades de uma integral dupla
3. Como transformar uma integral dupla em coordenadas
retangulares para uma integral em coordenadas polares
Por que você faria isso
4. Se uma lâmina ocupa uma região plana D e tem densidade
p(x, y), escreva expressões para cada um dos seguintes itens
em termos de integral dupla.
(a) A massa
(b) Os momentos em relação aos eixos
(c) O centro de massa
(d) Os momentos de inércia em relação aos eixos e à origem
VERIFICAÇÃO DE CONCEITOS
5. Seja f uma função densidade conjunta de um par de variáveis
aleatórias X e Y.
(a) Escreva uma integral dupla que represente a probabilidade
de X estar entre a e b c Y estar entre c e d.
(b) Que propriedades f possui
(c) Quais são os valores esperados de X e Y
6. Escreva uma expressão para a área de uma superfícíe com a
equação z ~ f(x, y), (x, y) E D.
7. (a) Escreva a definição da integral tripla sobre uma caixa
retangular B.
(b) Como calcular fJJ f(x, y, z) dV
'
(c) Como definir JJJ f(x, y, z) dV se E for uma região sólida
E
limitada diferente de uma caixa retangular
(d) O que é uma região sólida do tipo 1 Como calcular
JJJ f(x, y, z) dV se E for tal região
E
(e) O que é uma região sólida do tipo 2 Como calcular
JJJ f(x, y, z) dV se E for tal região
E
(f) O que é uma região sólida do tipo 3 Como calcular
J.IJ j(x, y, z) dV se E for tal região
E
8. Suponha que um objeto sólido ocupe uma região E e tenha
função densidade p(x, y, z). Escreva expressões para cada um
dos seguintes itens.
(a) A massa

1
(b)
Os momentos em relação aos planos coordenados
(c) As coordenadas do centro de massa
(d) Os momentos de inércia em relação aos eixos
S. (a) Como, em uma integral tripla, trocar de coordenadas
retangulares para cilíndricas
(b) Como, em uma integral tripla, trocar de coordenadas
retangulares para coordenadas esféricas
James Stewart CAPÍTULO 15 INTEGRAIS fv'lÚLTIPLAS O 1047
(c) Em que situações você deve trocar para coordenadas
cilíndricas ou esféricas
10. (a) Se uma transfonnação T é dada por x = g(u, v),
y = h(u, v), qual é o jacobiano de T
(b) Como você muda de variáveis em uma integral dupla
(c) Como você muda de variáveis em uma integral tripla
TESTES FALSO-VERDADEIRO
Determine se são falsas ou verdadeiras as seguintes afinnações_ Se verdadeiras,
explique por quê. Se falsa, explique por que ou dê um contra-Bxemp!o
1. _r_~ I L6
x
2
sen(x - y) dx dy = fot. r~! X~ sen(x - y) dy dx
5. Se D é um disco dado por x 2 + y 2 ::S 4, então
JJ ,14
D
2. j''i'',;x+y'dydx~ f'['vx+y'dxdy
o.o
Jo.o
6. J1
7. 5. A integral
r· f' [' dz dr de
~o Jo ,r
representa um volume contido pelo cone z =
plano z = 2.
e pelo
4
J0
1
(x
2
+ JY) sen(x 2 y 2 )dx dy ~ 9
senydxdy =O
8. A integral JJJ~ kr 3 dz dr d() representa o momento de inércia
em tomo do eixo z de um sólido E com densidade constante k.
EXERCÍCIOS
1. A figura mostra um mapa de contornos de uma função f sobre o
quadrado R~ [0, 3] X [O, 3]. Utilize a soma de Riemann com
nove termos para estimar o valor de JJ.., f(x, y) dA. Tome os
pontos amostra como sendo o canto superior direito dos quadrados.
y
7. L" L1
Ll=Y y sen x dz dy dx
J
-· ., i'
8. J 6xyz dz dx dy
o ~o
9-·w Escreva JJ~ f(x, y) dA como uma integral iterada, onde R é
a região mostrada e f é uma função arbitrária contínua em R.
x
9. 10.
-4 OI 4 X
I
11. Descreva a região cuja área é dada pela integral
L1t/2 fosen 26 r dr d8
2. Utilize a Regra do Ponto Médio para estimar a integral do
Exercício 1.
3-ft
., ['
J
Cakule a integral iterada.
3. (y + 2xe•) dx dy
' .o
4. f' f' ye'' dx dy
Jo ~o
12. Descreva o sólido Cltio volume é dado pela integral
e calcule essa integral.

1048 :-o CÁLCULO Editora Thomson
n--14 -- Calcule a integral iterada primeiro invertendo a ordem de
integração.
13. l"l ri cos(•,_, 2 )d.vdx
,I).,,
·1 -·1 ver
14. j j-· -, dxdy
.·O • ,'y X
33. Da cunha obtida pelo corte do cilindro x 2 + 9y 2 = a 2 pelos
planosz=Oez=mx
34. Acima do parabolóide z = x 2 + y~ e abaixo do semicone
z=)x~+y 2
15~28 Calcule o valor da integral múltipla.
15. JJ, ye'' dA, onde R~ {(x, y) I O-s x

T
(b)
Detcnninc P(X ~ 2, Y ;c 1).
(c) Determine P(X + Y s: 1).
46. Uma lâmpada tem três bulbos, cada um de um tipo, com vida
média de 800 horas. Se modelarmos a probabilidade de falha
dos bulbos por uma função densidade exponencial com média
800, determine a probabilidade dos três bulbos virem a falhar
dentro de um íntervalo de 1000 horas.
47. Reescreva a integral
., ,., r· 'f(x,y,z)dzdydx
• 1 -I , x', Ü
como uma integral iterada na ordem dx dy dz.
48. Dê outras cinco integrais iteradas iguais a
f' r· [:f(x, y, z) dz dx dy
• o • o • ~
49. Utilize a transformação u = x ~ y, v = x + y para calcular
Jj~ (x ~ y)/(x + y) dA, onde R é o quadrado com vértices
(0, 2), (l, l), (2, 2) e (1, 3).
50. Utilize a transformação x = uc, y = v 2 , z = w 2 para
determinar o volume da região limitada pela superfície
v/;; + ...,/} + ,rz = 1 e pelos planos coordenados.
51. Utilize a fórmula de mudança de variáveis e a transformação
apropriada para calcular JJ~ xy dA, onde R é o quadrado com
vértices (0, 0), (1. l), (2, O) e (1, -l).
52. O Teorema do Valor Médio para as Integrais Duplas diz
que, se f é uma função contínua em uma região plana D do tipo
I ou do tipo II, então existe um ponto (x 0 , y 0 ) em D, tal que
James Stewart CAPÍTUlO 15 INTEGRAIS MÚLTiPLAS 1049
l'f f(x, y) dA ~ f(xc, Yo)A(D)
,,
D
Utilize o Teorema do Valor Extremo (14.7.8) e a Propriedade
15.3.11 das integrais para provar esse teorema. (Use a prova da
versão unidimensional da Seção 6.5 do Volume I como guia.)
53. Suponha que f seja contínua sobre um disco que contém o
ponto (a, b). Seja D, um disco fechado com centro em (a, b) e
raio r. Utilize o Teorema do Valor Médio para as integrais
duplas (v~ja o Exercício 52) para mosu·ar que
jJ f(x, y) dA ~ f(a, b)
D,
54. (a) Calcule IJ ( ~
2
.. I
.·o dA, onde n é um inteiro e D
·~ r+ Y )"'-
é a região limitada por círculos com centro na origem e
raios r e R, O < r < R.
(b) Para que valores de na integral da parte (a) tem limite
quando r~> o+
(c) Detennine .OJ
dV, onde E é a região
E
limitada pelas esferas com centro na origem e raios r e R,
O< r< R.
(d) Para que valores de na integral da parte (c) tem limite
quando r~ o+

1. Se [xTI denota o maior inteiro contido em x, calcule a integral
JJ [x + y! dA
'
onde R ~ {(x, y) Í 1 "'x "' 3, 2 "'y "' 5}.
2. Calcule a integral
onde máx {x 2 , y 2 } significa o maior dos números x 2 e/'.
3. Determine o valor médio da função f(x) = J: cos(t 2 )dt no intervalo [0, I].
4. Se a, b e c são vetores constantes, r é o vetor de posição xi + :r j + z k e E é dado pelas
inequações O~ a· r~ a, O~ b ·r :s; {3, O :s; c· r :s; y, mostre que
r ...
• ,.
(a{3y)'
SI a· (b x c) I
11 (a·r)(b·r)(c·r)dV~ .
5. A integral dupla (' ( 1 1
-- - dx dy é uma integral imprópria e pode ser detlnida como
.·O.·OJ~xy
limite da integral dupla sobre o retângulo [0, t] X [0, t] quando t......,.. I-. Mas, se expandirmos
o integrando como uma série geométrica, podemos exprimir a integral como a soma de uma
série infinita. Mostre que
,, i' 1 ;; 1
~~dxdy~ L.
.noi-xy
1
,~t
6. Leonhard Euler determinou o valor exato da soma das séries do Problema 5. Em 1736, ele
provou que
Nesse problema, pedimos para você provar esse fatos calculando a integral dupla do Problema 5.
Comece fazendo a mudança de variável
u +v
v=--- , R
'"
Isso corresponde a uma rotação em torno da origem de um ângulo de 1r/ 4. Você precisa
esboçar a região correspondente no plano uv.
[Dica; se, calculando a integral, você encontrar uma das expressões ( 1 - sen fJ)/ c os fJ ou
(cos fJ)/(1 + sen 0), deve usar a identidade cos () = sen(( 11'/2) - 8) e a identidade
correspondente para sen 0.]
7. (a) Mostre que
' i' (' ---dx:dydz 1 =L; ;; 31
i
o o .,o 1 - X)'Z
,= 1 n
(Ninguém jamais foi capaz de determinar o valor exato da soma dessa série.)

(b) Mostre que
8. Mostre que
Use essa equação para calcular a integral tripla com precisão de duas casas decimais.
."' arctg 1rX ~ arctg x dx = .!!__In 7r
.-o 1 x 2
primeiro escrevendo a integral como uma integral iterada.
9. Se f é contínua, mostre que
J:,' t t f(t) dt dz dy ~ l J:' (x - t)'f(l) dt
10. (a) Uma lâmina tem densidade constante p e o fonuato de um disco com centro na.origem e
raio R. Utilize a Lei de Newton da Gravitação (veja a Seção 13.4) para mostrar que a
grandeza da força de atração que a lâmina exerce sobre um corpo com massa m colocado
em um ponto (0, O, d) sobre o lado positivo do eixo z é
f~ . 27TGmpd ( d l
~)
[Dica: divida o disco como na Figura 4 da Seção 15.4 e calcule primeiro o componente
vertical da força exercida pelo sub-retângulo polar R, 1
.]
(b) Mostre que a grandeza da força de atração da lâmina com densidade p que ocupa o plano
inteiro sobre um objeto de massa m localizado à distância d do plano é
F= 2nGmp
Note que essa expressão não depende de d.

16
Cálculo Vetorial
Os vetores podem representar
campos de velocidade, como
correntes oceânicas, velocidade
do vento durante um tornado ou
o fluxo de ar passando por um
aerofólio inclinado.

1
James
Stewart CAPÍTULO 16 CALCULO VETORIAL 1053
Neste capítulo estudaremos o cálculo de campos vetoriais. (Esses campos são
funções que associam vetores a pontos do espaço.) Em particular, definimos a
integral de linha (que pode ser utilizada para determinar o trabalho efetuado por
um campo de força agindo sobre um objeto que se move ao longo de uma curva).
Definimos a integral de superfície (que pode ser usada para determinar a taxa de
vazão de um fluido através de uma superfície). As conexões entre esses tipos
novos de integrais e as integrais de funções de uma variável real. duplas e triplas,
que já vimos, são dadas por versões de maior dimensão do Teorema Fundamental
do Cálculo: Teorema de Green, Teorema de Stokes e Teorema da Divergência.
Vetoriais
Os vetores da Figura 1 representam os vetores velocidade do ar e indicam a rapidez, a
direção e o sentido em pontos 10m acima da superfície na área da baía de São Francisco.
Dando uma olhada nas setas maiores da parte (a) vemos que a maior rapidez dos ventos
naquele instante ocorre quando os ventos entram na baía através da ponte Golden Gate. A
parte (b) mostra um aspecto bastante diferente em uma época posterior. Associado a cada
ponto no ar podemos imaginar o vetor velocidade do vento. Esse é um exemplo de um
campo de vetores velocidade.
(a) ll de junho de 2002, 12 horas
FIGURA. 1 Campo de vetores velocidade mostrando aspectos do vento na bala de São Francisco
(b) 30 de junho de 2002, 16 horas

1054 n c/ucuuJ EdítoHi TbomSOI'i
Outros exemplos de campos de vetores velocidade estão ilustrados na Figura 2: correntes
oceânicas e o fluxo por um aerofólio.
(a) correntes oceânicas em frente à costa de Nova Scotia
(a) Fluxo do ar passando por um aerofólio inclinado
FIGURA 2
Campos de vetores velocidade
FIGURA 3
Campo vetorial no IR 2
Outro tipo de campo vetorial, chamado campo de força, associa um vetor força a cada
ponto da região. Um exemplo é o campo de força gravitacional mostrado no Exemplo 4.
Geralmente um campo vetorial é uma função cujo domínio é um conjunto de pontos do
!R. 2 (ou IR 3 ) e cuja imagem é um conjunto de vetores em Vz (ou VJ).
~~~iJJ~;;;;;~;;;~···ss:~eJJ,·a~LDJ~u.~m;conjunto em IR 2 (uma região plana). Um campo vetorial
Silblre IR 2 é uma função F que associa a cada ponto (x, y) em Dum vetor
bidimensional
A melhor maneira de enxergar um campo vetorial é desenhar setas representando os
vetores F(x, y) começando em um ponto (x, y). É claro que é impossível fazer isso para
todos os pontos (x, y), mas podemos visualizar F fazendo isso para alguns pontos repre~
sentativos em D, como na Figura 3. Corno F(x, y) é um vetor bidimensional, podemos
escrevê-lo em termos de suas funções componentes P e Q, como segue:
F(x, y) ~ P(x, y) i + Q(x, y) j ~ (P(x, y), Q(x, y))
ou, simplificando,
F=Pi+Qj
Note que P e Q são funções escalares de duas variáveis e são chamadas, algumas vezes,
campos escalares, para distinguir dos campos vetoriais.
X
---
FIGURA 4
zl f l'(x, y, z)
J /(x,~
Campo vetorial no IR 3
I /
I /
----.!/
I
I
y
E um subconjunto do ~ 3 • Um campo vetorial sobre o IR 3 é
uma função F que associa a cada ponto (x, y, z) em E um vetor tridimensional
F(x, y, z).
Um campo vetorial F sobre IR 3 está ilustrado na Figura 4. Podemos escrevê·lo em ter·
mos das funções componentes P, Q e R como
F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
Como para funções vetoriais na Seção 13.1, podemos definir continuidade de campos
vetoriais e mostrar que F é contínua se e somente se suas funções componentes P, Q e R
são contínuas.
Às vezes identificamos o ponto (x, y, z) com seu vetor de posição x = (x, y, z) e
escrevemos F(x) em vez de F(x, y, z). Então F é uma função que associa um vetor F(x) ao
vetor JL

--r
I
!
FIGURA 5
Jame~ Stewart CAP~TUl.O H! C\LCiJLO VETORiAL Ci 1055
Um campo vetorial em !R 2 é definido por
F(x,y) ~ -yi + x,j
Descreva F desenhando alguns de seus vetores F(x, y), como na Figura 3.
X
SOLUÇÃO Como F(!, O)~ j, desenhamos o vetor j =(O, l) começando no oooto (i, O)
na Figura 5. Como F(O, 1) = -i, desenhamos o vetor ( -1, O) iniciando no ponto (0, l ).
Continuamos desse modo desenhando um número significativo de vetores para representar
o campo vetorial na Figura 5.
F(x,y)~ -yi +
5
" " ,. ~····I· ·· · ··,'
"/ /~ "-'-''\
I ;
Na Figura 5 parece que cada seta é tangente a um círculo com centro na origem. Para
confirmar isso, vamos tomar o produto escalar do vetor de posição x = x i + com o
vetor F(x) = F(x, y):
X • F(x) = (x i + y j) · ( -y i + X j)
= -xy + yx =O
Isso mostra que F(x, y) é perpendicular ao vetor de posição (x, y) e portanto tangente ao
círculo com centro na origem e raio I x I = -/ x 2 + y 2 • Note ta ... n1bém que
IF(x,y) I= ,j(-y)' + x 2 ~ v'x' + y' = lxl
e o comprimento do vetor F(x, y) é igual ao raio do círculo.
Alguns sistemas algébricos computacionais são capazes de plotar o campo vetorial em
duas ou três dimensões. Eles fornecem melhor visualização do catupo que aquela que fazemos
manualmente, pois o computador pode desenhar grande número de vetores representativos.
A Figura 6 apresenta uma saída de computador para o campo vetorial do Exemplo
1; as Figuras 7 e 8 mostram outros dois campos vetoriais. Note que o computador faz uma
mudança de escala no comprimento do vetor de forma que ele não seja muito comprido,
mantendo entretanto proporcionalidade com seu verdadeiro comprimento.
6 5
~~.~~.,~~·· //..-"--" ..->//)'
,///.--"-~////
//~'-.-"///
FIGURA 6
F(x, y) = {~y, x:i
FIGURA 7
-6
F(x, y) = (v, sen x)
I / - ~ / / / !
/ / -·:- / I I
/~ / / ~~ _;_...... / / /
FIGURA 8
/ _./'./~.~/ /./
-5
F(x, y) = {ln(1 + y 2 ), ln(l + x'))
5

1056 n CÁlCULO Editora Thomson
X
FIGURA 9
F'(x, y, z; =
z k
Desenhe o campo vetorial em IR 3 dado por F(x, y, z) = z k.
SOLUÇÃO O desenho está mostrado na Figura 9. Note que todos os vetores são verticais
apontando para cima, quando acima do plano xy, e para baixo, quando abaixo do plano
.t}'. O comprimento aumenta à medida que nos distanciamos do plano xy
Somos capazes de desenhar o campo vetorial do Exemplo 2 à mão, pois ele é especialmente
simples. Entretanto, é impossível desenhar à mão a maioria dos campos vetoriais
tridimensionais, e assim precisamos do auxílio de um sistema algébrico computacional.
Exemplos estão ilustrados nas Figuras 1 O, 11 e 12. Note que os campos vetoriais das
Figuras 1 O e ll têm fórmulas semelhantes, mas todos os vetores da Figura 1 l apontam na
direção negativa do eixo y, porque seu componente y vale -2. Se o campo vetorial
da Figura 12 representa um campo de velocidade, então uma partícula seria levada para
cima em uma espiral em torno do eixo z na direção dos ponteiros do relógio quando visto
de cima.
'
o '11 \.
..•...
-1 ~
I 1
~J
FIGURA 10
F(x,y,z)=yi+zj+xk
F(x,y,zl=yi~2j+xk
FIGURA12
)' X Z
F(x,y,z) =z i-z j+ 4 k
X
FIGURA B
Campo de velocídade de escoamento de
um líquido
EXEMPLO 3 :c Imagine um líquido fluindo uniformemente em um cano e seja V(x, y, z) o
vetor velocidade em um ponto (x, y, z). Então V associa um vetor a cada ponto (x, y, z)
de um certo domínio E (interior do cano), e assim V é um campo vetorial em IR. 3
chamado campo de velocidade. Um campo de velocidade possível está ilustrado na
Figura 13. A rapidez em qualquer ponto é indicada pelo comprimento da seta.
Campos de velocidade ocorrem em outras áreas da física. Por exemplo: o campo
vetorial do Exemplo 1 pode ser usado como o campo de velocidade descrevendo a
rotação no sentido horário de uma roda. Vimos outros exemplos de campo de velocidade
nas Figuras l e 2.
EXEMPLO 4 A Lei Gravitacional de Newlon estabelece que a amplitude da força
gravitacional entre dois objetos com massa m e M é
IFI ~ mMG
onde r é a distância entre os objetos e G é a constante gravitacional. (Esse é um exemplo
de uma lei de um inverso ao quadrado.) Vamos admitir que o objeto com massa !tf esteja
localizado na origem no IR: 3 • (Por exemplo, M poderia ser a massa da Tena e a origem
seria seu centro.) Seja x = (x, y, z) o vetor de posição do objeto com massa m. Então

James Stewart CAPÍTUlO 16 CÁLCULO VETORIAL 1057
r = I x I ou r 2 = I x 1 2 • A força gravitacionai exercida nesse segundo objeto age em
direção à origem, e seu versor é
X
lxl
Portanto, a força gravitacional agindo no objeto em x =
(x, }', z) é
FIGURA 14
Campo gravitacional
[Físicos freqüentemente utilizam a notação r em vez de x para o vetor posíção, de modo
que você possa conhecer a Fórmula 3 escrita como F~ -(mMG/r')r.J A função dada
pela Equação 3 é um exemplo de campo de velocidade, chamado campo gravitacional,
porque associa um vetor [a força F(x)] a todo ponto x do espaço.
A Fórmula 3 é um modo compacto de escrever o campo gravitacional, mas podemos
escrevê-lo em termos de suas funções componentes usando o fato de que
x = x i + y j + z k e I x J = J x 1 + y 2 + z2:
F(x,y, z) ~
-mMGx
-mMGy
' ' ')~') i + -(~.-=.="-,-}-'~ j +
( x· + y· + z· ~- x· + y' + z·) •·
-mMGz
O campo gravítacional F está ilustrado na Figura 14.
~;::~~~!H"; " Suponha que uma carga elétrica Q esteja localizada na origem. Pela Lei
de Coulomb, a força elétrica F(x) exercida por essa carga sobre uma carga q localizada
no ponto (x, y, z) com vetor posição x ~ (x, y, z) é
eqQ
F(x) ~~x
onde e é uma constante (que depende da unidade usada). Para cargas iguais utilizamos
qQ > O e a força é repulsiva; para cargas diferentes temos qQ < O e a força é atrativa.
Note a semelhança entre as Fórmulas 3 e 4. Ambas são exemplos de campos de força.
Em vez de considerar a força elétrica F, os físicos freqüentemente consideram a força
por unidade de carga:
I eQ
E(x) ~ -F(x) ~ -x
q
I xl'
Então E é um campo vetorial em IR 3 chamado campo elétrico de Q.

1058 CJ CÁLCULO
Editora Thomson
Campos Gradientes
Se fé uma função escalar de duas variáveis, sabemos da Seção 14.6 que seu gradiente V f
(ou grad f) é definido por
V f(x, y) ~ f,(x, y) i + f(x, y) j
4
Portanto, V f é realmente um campo vetorial em {R 2 c é denominado campo do vetor gradiente.
Da mesma forma, se jfor uma função escalar de três variáveis, seu gradiente é um
campo vetorial em IR 3 dado por
Vf(x, y, z) ~ J(x, y, z) i + J,(x, y, z) j + f(x, y, z) k
EXEN-WUJ Determine o vetor gradiente de f(x, y) = x 2 y y 3 . Desenhe o campo de
vetores gradientes juntamente com um mapa de contorno de f Co~o estão relacíonados
SOLUÇÃO O campo de vetor gradiente é dado por
-4
FIGURA 15
Vf(x,y) ~~f i+ daf j ~ 2xyi + (x'- 3y 2 )j
uX )'
A Figura 15 mostra o mapa de contorno de f com o campo de vetor gradiente. Note que
os vetores gradientes são perpendiculares às curvas de nível, corno devíamos esperar da
Seção 14.6. Note também que os vetores gradientes são mais longos onde as curvas de
nível estão mais próximas umas das outras e mais curtos quando elas estão mais
distantes entre si. Isso se deve ao fato de o comprimento do vetor gradiente ser o valor
da derivada direcional de f e a proximidade das curvas de nível indicar uma grande
inclinação do gráfico.
Um campo vetorial F é dito ser um campo vetorial conservativo se ele é o gradiente
de alguma função escalar, ou seja, se existe uma função f tal que F = V f. Nessa situação
f é dita ser uma função potencial de F.
Nem todos os campos vetoriais são conservativos, mas aparecem freqüentemente em
física. Por exemplo: o campo gravitacional F do Exemplo 4 é conservativo, pois, se
definimos
então
V f(x, y, z) =
Jf i + àf j + Jf k
dX Jy Jz
-mMGx
-mMGy'
----o-==~=i + -c(-c,c-=,='-,~3'7' j + ~c-==~=k
r+ y +r)''
= F(x,y, z)
Nas Seções 16.3 e 16.5 aprenderemos a determinar se um campo vetorial é conservatívo
ou não.

5
James Stewart CAPÍTULO 16 CALCULO VETOHiAL 1059
Exercícios
1-1D Esboce o campo vetorial F, desenhando um diagrama como
o da Figura 5 ou da Figura 9.
H
1. F(x, y) ~ j(i + j) 2. F(x,y) =i+ xj
3. F(x, y) ~ y i + ~ j 4. F(x. y) ~ (x y)i + xj
5. F(x, y) ~
yi + xj
-Jx2 + y2
6. F(x, y) ~
7. F(x, y, z) ~ j 8. F(x, y, z) ~ z j
9. F(x, y, z) ~ y j 10. F(x, y, z) ~ j -i
:o
-l
Case o campo vetorial F com a figura rotulada de I-IV.
Dê razões para suas escolhas.
U: F(x, y) ~ (y, x)
12. F(x,y) ~ (l,seny)
13. F(x,y) ~ (x- 2,x + 1)
14. F(x, y) ~ (y, 1/x)
3
~-~--
-3:....----..----~- ..:::. '
~~- ..... - -
:~----
'
J
' J
'
1
' J
'
'
!.......---..------ \ \
~- .-- .... \ 1
-3
I.
r 3
I
11
JV

1060 u CÁlCUlO Editora Tbomson
2':;~ os Case as funções/ com os desenhos de seus campos dê 29. f(x, y) = xy 30. f(x, y) ~ x' - Y 0
vetor gradiente (rotulados de· I-IV). Dê razões para suas escolhas. 31. f(x, y) ~ x' + y'
32. f(x, y) ~
4
/'
/
' '\ '
"''-,
'
-~-
-4 4
!"
-4
lll 4
' " (_' "'
( ' ; --,_ '•,"
~"' ,.· .' -_ ·--..
-4 ~-:- - ---~__:_ 4
-~-- '- - '- _, __ ,,
li 4
IV 4
-4
33. As linhas de ftuxo (ou linhas de correnteza) de um campo
vetorial são as trajetórias seguidas por uma partícula cujo
campo de velocidade é um campo vetorial dado. Assim, os
vetores do campo vetorial são tangentes a suas linhas de fluxo.
(a) Use um esboço do campo vetorial F(x, y) = x i - y j para
desenhar algumas línhas de fluxo. Desses seus esboços é
possível descobrir qual é a equação das línhas de fluxo
(b) Se as equações paramétricas de uma linha de fluxo são
x = x(t), y = y(t), explique por que essas funções
satisfazem a equação diferencial dx/dt = x e dy/dt = -_v.
Em seguida resolva as equações diferenciais para detennínar
uma equação para as linhas de fluxo que passe pelo
ponto(!, 1).
34. (a) Esboce o campo vetoríal F(x, y) = i + x j e algumas
linhas de fluxo. Qual é o formato que essas linhas de fluxo
parecem ter
(b) Se as equações paramétricas das línhas de fluxo são
x = x(t), y = y{t), que equações diferenciais essas funções
satisfazem Deduza que dy/dx = x.
(c) Se uma partícula está na origem no instante inicial e o
campo de velocidade é dado por F, determine uma
equação para a trajetória percorrida.
Integrais de Linha
~~~~"~~~~ ~~-~,~~,~~-o/~~"-"""~~~~,,~~~~~~~~~,,~~'"''~
Nesta seção definimos uma integral que é semelhante a uma integral de uma função de
uma variável real, exceto que, em vez de integrarmos sobre um intervalo [a, b ], integraremos
sobre uma curva C. Tais integrais são chamadas integrais de linha, apesar de
a expressão "integrais curvas" ser a mais adequada. Elas foram inventadas no começo
do século XIX para resolver problemas que envolviam escoamento de líquidos, forças,
eletricidade e magnetismo.
Começamos com uma curva plana C dada pelas equações paramétricas
x ~ x(t)
y ~ y(t)
y
o
a
FIGURA
X
b t
ou, o que é equivalente, pela equação vetorial r(t) = x(t) i + y(t) j, e admitiremos que C
seja uma curva lisa. [Isso significa que r' é contínua e r'(t) ,± O. Veja a Seção 13.2.] Se
dividirmos o intervalo do parâmetro [a, b] em n subintervalos [t,--h t 1 ] de igual tamanho e
se fizermos x, ~ x(t,) e y, ~ y(t,), então os pontos correspondentes P,(x,, y,) dividem C em
n subarcos de comprimento Lls 1 , .ó.s 2 , ••• , ásn (veja a Figura 1). Escolhemos um ponto
qualquer P;*(x't, y;*) no i-ésirno subarco. (Isso corresponde a um ponto t1 em [t;-t. ti}) Se
f é uma função de duas variáveis cujo domínio inclui a curva C, calculamos f no ponto
(x;*, yn, multiplicamos pelo comprimento Ó.s; do subarco e somamos
"
'JJ(x,*, yt) tis,
i=l
o que é semelhante à soma de Riemann. Em seguida tornamos o limite dessa soma e fazemos
a seguinte definição por analogia com a integral de função de uma variável real.

James Stewart CAPÍTUlO 16 CÁLCULO VETORIAL LJ 1061
Se f é definida sobre urna curva lisa C dada pelas Equações l, então
a integral de linha de f sobre C é
se esse limite existir.
Na Seção 10.3 achamos que o comprimento da curva C é
L'"'
fb ~(d')'
(dy)'
-+-dt
{1 dt dt
Argumentação semelhante pode ser usada para mostrar que, se f é uma função contínua,
· então o limite na Definição 2 sempre existe e a fórmula seguinte pode ser empregada para
calcular a integral de linha:
· .,. f(dx)' (dy)'
j J(x, y) ds'"' j 't(x(t), y(t)) \f - + - dt
.c "' dt dt
O valor da integral de linha não depende da parametrização da curva, desde que cada ponto
da curva seja atingido uma única vez quando t cresce de a para b.
Se s(t) é o comprimento de C entre r(a) e r(t), então
,-. A função comprimento de arco s
está ilustrada na Seção 13.3.
ds
dt
Um modo de guardar a Fórmula 3 é escrever tudo, em termos do parâmetro t. Usando a
pararnetrização para exprimir x e y em termos de t, temos ds como
ds'"' \
!(dx)' (dy)'
dt + dt dt
No caso especial onde C é um segmento de reta unindo (a, O) a (b, 0), tomando x como
parâmetro, escrevemos as equações paramétricas de C assim: x = x, y = O, a :S:: x :S:: b. A
Fórmula 3 fica
f
'b
.JCx, y) ds '"'JJCx, O) dx
X
FiGURA 2
e nesse caso a integral de linha se reduz a uma integral de função de uma variavél real.
Assim como para as integrais de funções de uma variável real, podemos interpretar a
integral de linha de uma função positiva como uma área. De fato, se f(x, y) ; O,
j~f(x, y) ds representa a área de um lado da "cerca" ou "cortina" da Figura 2 cuja base é
C e cuja altura acima do ponto (x, y) é f (x, y).
EXEMPlO 1
+ =L
Calcule fc (2 + x 2 y) ds, onde C é a metade superior do círculo unitário

1062 u CÁlCULO Editora Thomson
y
x2 +y::::: 1
(y ~· 0)
SOLUÇÃO Para usar a Fórmula 3 precisamos de equações paramétricas que representem a
curva C. Como já vimos, o círculo unitário pode ser parametrizado por meio das
equações
X= COS t y = sen t
e a metade superior do círculo é descrita pelo intervalo do parâmetro O ~ t ~ 7r (veja a
Figura 3). Logo, da Fórmula 3, temos
FIGURA 3
f , 'c , /(dx)'
(dv) 2
. 12 + x-y) ds ~ I (2 + consent) \i - + -·- dt
, c , o v dt dt
= 21T + ~
, cos-r ;]r,
[
(2 + coS'tsent) dt ~ 2t---
3 I)
Suponha agora que C seja uma curva lisa por trechos; ou seja, C é a união de um
número finito de curvas lisas C1, C1, ... , C,., onde, como ilustrado na Figura 4, o ponto inicial
de C,+ 1 é o ponto tenninal de C;. Então, definimos a integral de f ao longo de C como
a soma das integrais de f ao longo de cada trecho liso de C:
. r , .
j f(x, y) ds =
1 f(x, y) ás + 1 1
, f(x, y) ds + ' · · + j f(x, y) ds
JC .c, ~c, .1C 11
FIGURA 4
Curva lisa por trechos
EXEl\ilPUl 2 Caícule j~ 2x ds, onde C é formada pelo arco C 1 da parábola y ~ x 2 de
(0, O) a (1, I) seguido pelo segmento de reta vertical C 2 de (1, I) a (I, 2).
(0, 0)1
I
FIGURA 5
c,
c~ c, u c,
(l, 2)
(I, I)
X
SOLUÇÃO A curva C é mostrada na Figura 5. C, é o gráfico de uma função de x; então
podemos escolher x como parâmetro e as equações de C1 se tomam
Portanto
x=x
2
f 2xds~ ['zx,/(dx)' + (dy) dx
,c, ,o v dx
O~x~I
., 5./5- I
Jo 2x)l + 4x 2 dx ~ l· W + 4x 2 )312],~ ~
6
Em C2 escolhemos y como parâmetro, e as equações de C2 são
x~l
y=y
e I t '2 l(dx) 2 2x ds ~ j 2(!) \ - + . (dy)' - dy ~ f' • 2 dy ~ 2
.,c, l dy dy .!
Então
1 ,, 2x ds ~ r 2x ds + ,. 2x ds ~ .:. 5 ,:,__,::, + 2
~c ~c .c, 6
~---"'-

James Stewart CAPiTULO 16 CALCULO VETOR!;\L Cl 1063
Qualquer interpretação física da integral de linha LJ(x, y) ds depende da interpretação
física da função f Suponha que p(x, y) represente a densidade linear num ponto (x, y) de
um arame fino com o fonnato de uma curva C. A massa da parte do arame do ponto P,- ,
até P; na Figura 1 é aproximadamente p(x,*, .vn ~s,, e então a massa total do arame terá
valor aproximado de I p(xi, y;*) Lls;. Tomando mais pontos sobre a curva, obtemos o valor
da massa m do arame como o valor limite dessas aproximações:
m ~ lim i p(x,*,ynt.s, ~ r.p(x,y)ds
n--->x i= I ~(
[Por exemplo: se f(_r, y) = 2 + x\ representa a densidade de um arame semicircular,
então a integral do Exemplo 1 representa a massa do arame.] O centro de massa do arame
com função densidade p está localizado no ponto (X,}), onde
l .
x ~ - I xp(x, y) ds
m .. c
- l ,. . )
y ~- _yp(x,y ds
m .c
Outra interpretação física da integral de linha será discutida adiante neste capítulo.
fKEMPUJ 3 c::: Um arame com o formato de um semicírculo x 2 + y 2 = 1, y O, é mais
grosso perto da base do que perto do topo. Ache o centro de massa desse arame se a
função densidade linear em qualquer ponto é proporcional à sua distância à reta y = 1.
SOLUÇÃO Como no Exemplo 1, usamos a parametrização x = cos t, y = sen !,
O -,s; t ::s Tr, e determinamos que ds = dt. A densidade linear é
p(x, y) ~ k(l - y)
onde k é uma constante, e então a massa do arame é
Das Equações 4, temos
y ~ ~ j' yp(x, y) ds ~
m.c
m ~ J k(l- y)ds ~ J'k(l- sent)dt
c
o
~ k[t + cos t]~ ~ k(7T- 2)
1
f yk(l - y) ds
k(rr-2).c
I J'"( ') 1 [ , , ]"
~ --- sen t- sen-t dt = --- -cos t- 7f + 4 sen 2t 0
1T 2 o 1f-2 -
4- T
2(-rr - 2)
Por simetria vemos que X = O, e o centro de massa é
(Veja a Figura
i
4-1f)
1
O, " ) = (O, 0,38)
\
L\11-"""
FIGURA 6
X
Duas outras integrais de Unha são obtidas trocando-se Lls; por Ô.x; = x;- Xi-l ou
= y; - Yi---1 na Definição 2< Elas são chamadas integrais de liDhadefaolongodeC com
relação a x e y:

1064 CÁLCULO
Editora Thomson
f f(x, y) dy ~ lim i f(x,*, y;*) 6.y,
~c n---•x ,=:
Quando queremos distinguir a integral de linha original J::f(x, y) ds das Equações 5 e 6.
chamamos a mesma de integral de linha com relação ao comprimento do arco.
As fórmulas seguintes dizem que as integrais de linha com relação a x e y podem ser
calculadas escrevendo-se tudo em termos de 1: x = x(t), y ~ y(l), dx ~ x'(l) dt,
dy ~ y'(t) dt.
f f(x, y) dx ~ f' f(x(l), y(t))x'(l) dl
.,c L
r f(x, y) dy ~ fb f(x(t), y(l))y'(t) dl
•. c l,
Freqüentemente ocorre de as integrais de linha com relação a x e y aparecerem juntas.
Quando isso acontece, é costume abreviar escrevendo
J
. P(x, y) dx + j' Q(x, y) dv = f P(x, y) dr + Q(x, y) dv
c c ~ Jc •
Quando estamos nos organizando para resolver uma integral de linha, às vezes o mais
difícil é pensar em uma representação paramétrica para uma curva cuja descrição geométrica
é dada. Em particular, freqüentemente precisamos parametrizar um segmento de
reta, e portanto é útil lembrar que a representação vetorial do segmento de reta que inicia
em ro e termina em r 1 é dada por
(Veja a Equação 12.5.4.)
r(t) ~ (1 - r)ro + tr, o.::;;;t~I
Calcule Se y 2 dx + X dy, onde (a) c = c! é o segmento de reta de
EXEl\flPLú 4 ~
(-5, -3) a (0, 2) e (b) C~ C 2 é o arco de parábola x ~ 4- y 2 de (-5, -3) a (O, 2)
(veja a Figura 7).
SOLUÇÃO
(a) A representação paramétrica para o segmento de reta é
X~ 51- 5 y =51- 3
(-5, -3)
FIGURA 7
(Use a Equação 8 com r 0 ~ ( -5, -3) e r, ~ (O, 2).) Assim dx = 5 dt, dy ~ 5 dt, e a
Fórmula 7 nos dá
f y 2 dx +X dy ~ f' (51- 3) 2 (5 dt) + (51- 5)(5 dl)
JG
Jo
f' -
~ 5 Jo (251' - 25t + 4) dl
251 3 251 2 ] !
~s -----+41
[ 3 2 o
5
6

James Stewart CAPÍTULO 16 CALCULO VETORiAL :::::! 1065
(b) Como a parábola é dada em função de y, vamos usar y como parâmetro e escrever C2
como
X= 4- y 2 y=y -3 ,;y,; 2
Então dx = -2y dy, e pela Fónnula 7, temos
.,
f ,Y 2 dx+xdy~ I" y 2 (-2y)dy+(4-y 2 )dy
.,c, • -]
~r] (-2y 3 - y 2 + 4)dy
2
v' J
"
~ [ - 2 - 3 + 4y -3 ~ 402
Note que as respostas para os itens (a) e (b) do Exemplo 4 são diferentes, apesar de as
duas curvas terem as mesmas extremidades. Assim, em geral, o valor de uma integral de
linha depende não somente dos pontos extremos da curva, corno também da própria trajetória
(veja a Seção 16.3 para condições nas quais a integral independe da trajetória).
Note também que as respostas do Exemplo 4 dependem da orientação ou sentido em
que a curva é percorrida. Se -C 1 representa o segmento de reta que vai de (0, 2) a
(-5, -3), você pode verificar, usando a parametrização
X~ -St y ~ 2- St
que
B
Em geral, uma parametrização dada x ~ x(t), y ~ y(t), a ,; t ,; b, determina uma
orientação de uma curva C, com a orientação positiva correspondendo aos valores crescentes
do parâmetro t (veja a Figura 8, onde o ponto inicial A corresponde ao valor do
I
A
parâmetro a e o ponto terminal B corresponde a t = b ).
Se -C denota a curva constituída pelos mesmos pontos que C, mas com orientação
contrária (do ponto inicial B para o ponto terminal A na Figura 8), então temos
~
a
b
f f(x,y)dx ~-f f(x,y)dx J_J(x, y) dy ~ - JJ(x, y) dy
~~c ~c
B
I
Mas, se integrarmos em relação ao comprimento de arco, o valor da integral de linha não
I
mudará quando revertermos a orientação da curva:
A
I
FIGURA 8
f(x, y) ds ~ { f(x, y) ds
I
f ~c Jc
I
Isso é porque i:lsi é sempre positivo, enquanto dx; e i:ly; mudam de sinal quando revertemos
a orientação de C.
I
I
Integrais de Linha no Espaço
I
Suponhamos agora que C seja uma curva espacial lisa dada pelas equações paramétricas
x ~ x(t) )' ~ y(t) z ~ z(t)
I '

1066 ::-J CÁtCUI..O Editora Thomsc;n
ou pela equação vetorial r( I) = x(t) i + y(t) j + z(t) k. Se f é uma função de três variáveis
que é contínua em alguma região eontendo C, então definimos a integral de linha de/ ao
longo de C (com relação ao comprimento de arco) de modo semelhante ao feito para cur~
vas planas:
f f(x, y, z) ds = lim ± f(x(, yr, z,*) L\,s,
,L n---•"" i=!
Calculamos essa integral utilizando uma fórmula análoga à Equação 3:
[J(x, y, z) ds = I ., j(x(t), y(t), z(t)) \./(dx)' - + (dy)' - + (dz)' -d dt
J di v dt dt t
Observe que as integrais das Equações 3 e 9 podem ser escritas de modo mais compacto
com notação vetorial
f" f(r(t))l r'(t) I dt
,,
Para o caso especial quando f(x, y, z) = !, temos
L ds
.f:' I r'(t) I dt = L
onde L é o comprimento da curva C (ver a Seção 13.3.3).
Também podemos definir integrais de linha ao longo de C com relação a x, y e z. Por
exemplo,
r f(x, y, z) dz =
.C n-'-'-'' i=!
lim ±J(xt, yr. z/) ilz,
=
l 'b
j(x(t), y(t), z(t))z'(t) dt
,,
Portanto, como para as integrais de linha no plano podemos calcular integrais da forma
fc P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz
escrevendo tudo (x, y, z, dx, dy, dz) em termos do parâmetro I.
61
4
t \
2 2t } c
0
~1-
n--d'
1/l
o
---! / -I
o
FIGURA 9
_\'
X
1 1
EXEMPlO 5 ----- Calcule .1~ y sen z ds, onde C é a hélice circular dada pelas equações
x = cos t, y = sen t, z = t, O ::s; t ::s; 2'Tf (veja a Figura 9).
SOLUÇÃO A Fórmula 9 nos dá
Jcysenzds=t'(sent)sent · .,_ ~(dx)' dt + (dy)' dt + (dz)' dt dt
M 1'2c 1 .fi [ 1 'j'' FJ
= -v~ ,(1 - cos 2t) dt = - t - 2 sen21; = v 2rr
.o 2
Calcule Jc y dx + z dy + x dz, onde C consiste no segmento de reta C, que
EXEMPUl !í cc
une (2, O, O) a (3, 4, 5) seguido pelo segmento de reta vertical C 2 de (3, 4, 5) a (3, 4, O).

l
I
James Stewart CAPÍTUlO 16 CÁLCULO VETORIAL c 1067
SOLUÇÃO A Figura 10 mostra a curva C. Usando a Equação 8, escrevemos C 1 como
r(1) = íJ - 1)(2, O, O) + t(3, 4, 5) = (2 + t, 4t, 5t)
ou, na forma paramétrica, como
Então
x=2+t y = 41 z = 5t
FIGURA 10
t,, y dx + z dy + x dz =.C (41) dl + (51)4 dl + (2 + t)5 dt
Da mesma maneira, C 2 pode ser escrito na forma
f' (10 + 291)dl = !Ot + 29 t']' = 24,5
~O 2 O
r(t) =(I - 1)(3, 4, 5) + 1(3, 4, O) = (3, 4, 5 - St)
ou X= 3 z = 5- St
Então dx = O = dy, logo
r ydx + zdy + xdz = j'' 3(-S)dl = -15
.c,
o
Somando os valores das integrais, obtemos
[ y dx + z dy + x dz = 24,5 - 15 = 9,5
.c
o
FiGURA 11
y
Integrais de Linha de Campos Vetoriais
Lembre-se da Seção 6.4 do Volume I em que o trabalho feito por uma forçaj(x) que move
uma partícula de a até b ao longo do eixo x é W = f: f(x) dx. Depois, na Seção 12.3,
achamos que o trabalho feito por uma força constante F para mover um objeto de um ponto
__.,.
P para outro ponto Q do espaço é W = F · D, onde D = PQ é o vetor deslocaroento.
Suponha agora que F= P i + Q j +R k é um campo de força contínuo no ~ 3 • tal
como o caropo gravitacional do Exemplo 4 da Seção 16.1 ou o campo de força elétrica do
Exemplo 5 da Seção 16. J. (Um campo de força em ~ 2 pode ser visto corno um caso especial
onde R= O e P e Q dependem só dex e y.) Queremos calcular o trabalho exercido por
essa força movimentando uma partícula ao longo de uma curva lisa C.
Dividimos C em subarcos P;- 1 P; com comprimentos ds,. dividindo o intervalo do
parâmetro [a, b] em subintervalos de mesmo tamanho (veja a Figura 1 para o caso bidimensional
ou a Figura 11 para o caso tridimensional). Escolha P;*(xf, yf, zt) no i-ésímo
subarco correspondendo ao valor do parâmetro t't. Se As; é pequeno, o movimento da
partícula de P;-J para P,. na curva se processa aproximadamente na direção de T(tt), versor
tangente a Pt. Então, o trabalho feito pela força F para mover a particula de Pi -l para
P,. é aproximadamente
F(x,*. y(, z,*) · [ Lls, T(ti")] = [F(x 1 *, y,*, zT) · T(tt)] Lls;

1068 CÁLCULO Editora Thomson
e o trabalho total executado para mover a partícula ao longo de C é aproximadamente
"
L [F(x,*, y,*, z,*) · T(xl', y,*, zl')] D.s,
i:-'j
onde T(x, y, z) é o versor tangente ao ponto (x, y, z) sobre C. Intuitivamente podemos ver
que essas aproximações devem ficar melhores quando n aumenta muito. Portanto definimos
o trabalho W feito por um campo de força F como o limite da soma de Riemann dada
por (I I), ou seja,
W ~ fF(x, y, z) · T(x, y, z) ds ~Se F · T ds
A Equação 12 nos diz que o trabalho é a integral em (elação ao comprimento do arco da
componente tangencial da força.
Se a curva C é dada pela equação vetorial r(t) ~ x(t) i + y(t) j + z(t) k, então
T(t) ~ r'(t)/f r'(t) f, e. da Equação 9 podemos reescrever a Equação 12 como
~> [ r'(t) J
f
W~ ., F(r(t)) • fr'(t)f fr'(t)f dt =r F(r(t)) · r'(t) dt
Essa última integral é freqüentemente abreviada como J~. F · dr e ocorre também em outras
áreas da física. Portanto podemos definir a integral de linha para um campo vetorial
contínuo qualquer.
Seja F um campo vetorial contínuo definido sobre uma curva lisa C
dada pela função vetorial r(t), a "' t "' b. Então a integral de linha de F ao longo
de C é
fF·dr~ j'"F(r(t))·r'(t)dt~
~C .a • C
[ F·Tds
Quando usamos a Definição 13, devemos nos lembrar de que F(r(t)) é uma abreviação
para F(x(t), y(t), z(t)), e calculamos F(r(t)) tomando x ~ x(t), y = y(t) e z = z(t) na
expressão de F(x, y, z). Note também que podemos formalmente escrever que dr ~ r'(t) dt
A Figura 12 mostra o campo de
força e a curva do Exemplo 7. O
trabalho realizado é negativo porque o
campo impede o movimento ao longo
da curva.
;j
I
'
_\~, \ \ \, \.
'
I
'
"
I
'
\, ~
'-.
~
~ ~
I
o
1
X
~XEJV!f,.c'
Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x, y) ~ x 2 i - xy j para
mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo r(t) = cos ti + sen t j,
o "' t "' 1T/2.
SOLUÇÃO Como x = cos te y ~ sen t, temos
e
Portanto o trabalho realizado é
F(r(t)) ~ cos 2 ti - cos t sen t j
r'(t) =-senti+ cos tj
f F· dr ~ ["!' F(r(t)) • r'(t) dt = [" 12 ( -2 cos 2 t sent) dt
.,c Jo .o
2
3
FIGURA 12

------------------------
James Stewart CAPÍTULO 16 CÁLCULO VETORIAL c: 1069
NOTA c; Apesar de L F • dr = J~- F • T ds e as integrais em relação ao comprimento do
arco não trocarem de sinal quando a orientação do caminho é invertida, é verdade que
porque o versor tangente T é substituído por seu negativo quando C é trocado por ~C
· A Frgura í 3 mostra a cúbica torcrda
C do Exemplo 8 e alguns vetores
típicos ag;ndo em três pontos de C
EXEMPU2
retorcida dada por
Calcule fc F · dr, onde F(x, y, z) ~ xy i + vz j + zx k e C é a cúbica
X= t z =r' o~ t ~i
SOLUÇÃO Temos
r(t) ~ti+ t 2 j + t 3 k
r'(t) ~i+ 2tj + 3t 2 k
Então
t F· dr = J:' F(r(t)) · r'(t) dt
FIGURA 13
X
~~ _ t 1 5t 7 ]'
~ J (1~' + 5t 6 )dt ~- +-
o 4 7 o
27
28
Finalmente, notamos a relação entre as integrais de linha de campos vetoriais e as integrais
de linha de campos escalares. Suponha que um campo vetorial F em IR 3 seja dado
sob a forma de componentes pela equação F~ P i + Q j +R k. Usamos a Definição 13
para calcular sua integral de linha ao longo de C:
f F · dr ~ [' F(r(t)) · r'(t) dt
• C ~a
~ r (P i + Q j + R k) · (x'(t) i + y'(t) j + z'(t) k) dt
,,
=
,, f' [P(x(t), y(t), z(t))x'(t) + Q(x(t), y(t), z(t))y'(t) + R(x(t), y(t), z(t))z'(t)] dt
Mas essa última integral é precisamente a integral de linha de (10). Portanto, temos
f F · dr ~ f P dx + Q dy + R dz
.c .c
onde F~Pi + Qj +Rk
Por exemplo: a integral JcY dx + z dy + x dz do Exemplo 6 poderia ser expressa como
fcF · drondc
F(x, y, z) ~ y i + z j + x k

1070 CÁLCULO Editora Thomson
i-16 =:: Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
1. J~yds, C:x=t 2 , )'=t, O~t:;;:;;2
2. Jc(y/x)ds, C:x = ("', y = t 3 , ~:;::;; t ~I
3. Jc xy 4 ds. C é a metade direita do círculo xc + y 2 = 16
4. Jcye' ds, C é o segmento de reta que liga (l, 2) a (4. 7)
5 .. fr- Cry + ln x) dy,
C é o arco de parábola y = x" de (l, 1) a (3, 9)
18. A figura mostra um campo vetorial F e duas curvas. C. e C).
As integrais de linha de F sobre C e C:~ são positivas,
negativas ou nulas Explique.
6. J~.· xeY dx,
C é o arco de curva x =e-'" de (1, 0) a (e, I)
· 7. J~: xy dx + (x ~,V) dy, C consiste nos segmentos de reta de (0,
O) a (2, 0) e de (2, 0) a (3, 2).
8. Jcsenx dx + cos y dy, C consiste na metade superior da
circunferênciax 2 + y" = 1 de(l,O)a(-l,O)eosegmentode
reta de (-I, 0) a (-2, 3).
9 . . C~xy 3 ds, C: x = 4 sen t, y = 4 cos t, z = 3t, O~ t ~ n/2
10. fcx 2 z ds, C é o segmento de reta de (0, 6, ~I) a (4, 1, 5)
t1~ .C:::xeY" ds, C é o segmento de reta de (0, O, O) a (l, 2, 3)
12. Jc (2x + 9z) ds, C x = t, y = t 2 , z = t 3 , O :s; t ~ 1
13. J~x 2 y-/;dz, C: x = t 3 , )' = t, z = t 2 , O,:;: t ~ 1
14. Jc z dx + X dy + y dz, C: x = ! 2 , y = ! 3 , z = t 2 , O ~ t ~ 1
15. J~-· (x + yz) dx + 2x dy + xyz dz, C consiste nos segmentos de
reta de (1, O, 1) a (2, 3, 1) e de (2, 3, 1) a (2, 5, 2)
16. Jcx 2 dx + y 2 dy + z 2 dz, C consiste nos segmentos de reta de
(0, O, 0) a (1, 2, -1 ), e de (1, 2, -1) a (3, 2, O)
17. Seja F o campo vetorial mostrado na figura.
(a) Se C 1 é o segmento de reta vertical de ( -3, -3) a ( ~ 3, 3),
determine se L. F · dr é positivo, negativo ou zero.
(b) Se C 2 é o círculo de raio 3 c centro na origem percorrido
no sentido anti-horário, determine se L", F · dr é positivo,
negativo ou zero.
/'/',~~ -..~~"\.
I / / / 2 ' ~ ~ ~ ''
~
I I / /
-
i !
L2'- ~1
'
Qi
' " ' \
\ \ \
'
! 2 1 "''X
\ \ \ " '
-!~t / I I j
\ \ ' ' -1- / / I I
~2
'\ ' "" ~ -I o' / / I I
"--, ' ' "-.....~-+

James Stewart CAPÍTUlO '16 CALCULO VETORLli.l L: 1071
27. Detem1inc o valor exato de _i~_.x- 1 y 5 ds, onde C é a parte da
astróide x = cos 3 t, y = scn't no primeiro quadrante.
28. Determine o valor exalo de J~, F · dr, onde
F(x,y,z) =x\:,ri + lnzj + + keCéosegmentodc
reta entre (1, 2, I) a (6, 4, 5).
29. Se C é a curva com equações paramétJicas x· =In t, y =e __ ,,
l ~ t ~ 2, use uma calculadora ou CAS para calcular a integral
de linha Jc x sen y ds com precisão até a terceira casa decimaL
30. (a) Detemüne o trabalho realizado pelo campo de força
F(x. y) = x 2 i + xy j sobre uma partícula que dá uma
volta no círculo x 2 + y 2 = 4 no sentido anti-horário.
(b) Utilize um sistema algébrico computacional para desenhar
o campo de força e o círculo na mesma tela. Use essa
figura para explicar sua resposta da parte (a).
31. Um arame fino é enlürtado no formato de uma
semicircunferência x" + y" = 4, x :;;o: O. Se a densidade
linear for uma constante k, determine a massa e o centro de
massa do arame.
32. Determine a massa e o centro de massa de um arame tlno no
formato de um quarto de círculo x 2 + y 2 = r 2 , x :;;o: O,)-. o O,
se a função densidade for p(x, y) = x + y.
33. (a) Escreva fónnulas semelhantes à Equação 4 para o centro
de massa (i.}, Z) de um arame fino com função densidade
p(x, y, z) e forma da curva espacial C.
(b) Determine o centro de massa de um arame com formato da
hélice x = 2 sen t, y = 2 cos t, z = 3t, O ~ t ~ 21T, se a
densidade for uma constante k.
34. Determine a massa e o centro de massa de um arame com
formato da hélice x = t, y = cos t, z = sen t, O ~ t ~ 21T, se a
densidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da
distância do ponto à origem.
35. Se um arame com densidade linear p(x, y) está sobre uma
curva plana C, seu momento de inércia em relação aos eixos x
e y são definidos como
l, ~ J'. y'p(x, y) ds
c
1,. = t x 2 p(x, y) ds
Determine os momentos de ínércia do arame do Exemplo 3.
36. Se um arame com densidade linear p(x, y, z) está sobre uma
curva espacial C, seu momento de inércia em relação aos
eixos x, J" e z são definidos como
l" ~r (y' + z')p(x,y, z) ds
.c
l, ~ j' (x' + z')p(x, y, z) ds
,c
I, ~ j' (x' + y')p(x, y, z) ds
.c
Dete1mine os momentos de inércia do arame do Exercício 33.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y) = x i + (y + 2) j para movimentar um objeto sobre
um arco da ciclóide r(t) = (t- sent) i+ (i ~ cos t) j,
o ~ t ~ 27i.
38. Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y) = x sen y i + y j para movimentar um objeto sobre a
parábolay ~ x' de (-1, !) a (2, 4).
39. Detennine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y, z) = (v + z, x + z, x + y) sobre uma partícula que se
move ao longo do segmento de reta (l, O, O) a (3, 4, 2).
40. A força exercida pela carga elétrica colocada na origem sobre
uma partícula carregada em um ponto (x, y, z) com vetor
posição r =

1072 CÁlCUlO Editora Thomson
46. Experimentos mostram que uma corrente contínua I em um
fio comprido produz um campo magnético B que é tangente
a qualquer círculo em um plano perpendicular ao fio e cujo
centro seja o eixo do fio (corno na figura). A Lei de Ampàe
relaciona a corrente elétrica ao campo magnético criado e estabelece
que
İ
B · dr ~ Jkol
,ç
onde I é a corrente que passa por qualquer superfície limitada
por uma curva fechada C e J.Lo é uma constante chamada per~
meabilidade do espaço livre. Tomando C como um círculo com
raio r, mostre que a amplitude B = I B I do campo magnético à
distância r do centro do fio é
8 ~ Jkol
2trr
I
Teorema Fundamental para as Integrais de Linha
Lembre-se da Seção 5.3 do Volume I em que a Parte 2 do Teorema Fundamental do
Cálculo pode ser escrita como
r F'(x) dx ~ F(b) - F(a)
onde F' é contínua em [a, b]. A Equação 1 também é chamada Teorema da Variação Total:
a integral da taxa de variação é a variação total.
Se consideramos o vetor gradiente V f da função f de duas ou três variáveis como uma
espécie de derivada de f, então o teorema seguinte pode ser considerado uma versão do
Teorema Fundamental do Cálculo para as integrais de linha.
A
y
B (x,. y,)
Teorema Seja C uma curva lisa dada pela função vetorial r(t), a ,;; t ,;; b. Seja
fuma função diferenciável de duas ou três variáveis cujo vetor gradiente \/f é
contínuo em C. Então
L V f· dr = f(r(b)) - f(r(a))
c
X
NOTA o O Teorema 2 nos diz que podemos calcular a integral de linha de um campo
vetorial conservativo (o campo vetorial gradiente da função potencial/) sabendo apenas
o valor de f nos pontos terminais de C. De fato, o Teorema 2 diz que a integral de linha de
V f é a variação total de f Se f é uma função de duas variáveis e C, uma curva plana com
início em A(x" y;) e término em B(xz, yz), como na Figura l, o Teorema 2 fica
B (x,, y,. z,)
f. \/f· dr ~ f(x,,y,)- f(x:,y,)
.c
Se f é uma função de três variáveis e C. uma curva espacial ligando o ponto A(xJ. y:, Z1)
ao ponto B(x2, }'2, z2), então temos
FIGURA 1
Vamos provar o Teorema 2 nesse caso.
j. \/f· dr = f(xz,yz, zz)- f(x,,y,, z,)
c .

James Stewart CAPÍTt,HO 16 CALCULO VETORIAL C 1073
~:'ú'ic ,tõi&rr,, · Usando a Definição 16.2.13, temos
f V/· dr ~ j"' Vf(r(t)) · r'(t) dt
• (
• a
1 ax dt ay dt az dt
'h ( Jf dx Jf dv Jf dz)
~~+---'-+~-
•. d
~ j'-/(r(t)) dt
•" dt
~ f(r(b)) - J(r(a))
dt
O último passo segue do Teorema Fundamental do Cálculo (Equação 1).
Apesar de termos provado o Teorema 2 para curvas lisas, ele também vale para curvas
lisa por trecho. Isso pode ser visto subdividindo-se C em um número finito de curvas lisas
e somando as integrais resultantes.
Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional
ao mover uma partícula com massa m do ponto (3, 4, 12) para o ponto (2, 2, 0) ao longo
da curva lisa por trechos C (veja o Exemplo 4 da Seção 16.1).
SOLUÇÃO Da Seção 16.1 sabemos que F é um campo vetorial conservativo e, de fato,
F~ V f, onde
Portanto, pelo Teorema 2, o trabalho realizado é
W~ f F·dr~j· ílj·dr
.c c
~ /(2, 2, O) - /(3, 4, 12)
Independência do Caminho
Suponha que C, e C, sejam curvas lisas por trecho (chamadas caminhos) que têm o
mesmo ponto inicial A e o mesmo ponto terminal B. Sabemos do Exemplo 4 da Seção 16.2
que, em geral, J~, F · dr #- J~-, F · dr. Mas uma decorrência do Teorema 2 é que
V
f.
f· dr ~ J. V f· dr
c, c,
sempre que 'V f for contínuo. Em outras palavras, a integral de linha de um campo vetorial
conservativo depende somente dos pontos extremos da curva.
Em geral., se F for um campo vetorial contínuo com domínio D, dizemos que a integral
de linha Jc F • dr é independente do caminho se Se, F · dr ~ f c. F • dr para quaisquer

1074 CÁlCUlO
FIGURA 2
Um curva fechada
FIGURA 3
Editora Thomson
dois caminhos C1 e C2 em D que tenham os mesmos pontos iniciais e finais. Com essa terminologia,
podemos· dizer que as integrais de linha de campos vetoriais conservativos são
independentes do caminho.
Uma curva é dita fechada se seu ponto terminal coincide com seu ponto inicial, ou seja,
r(b) ~ r(a) (veja a Figura 2). Se J~ F· dr é independente do caminho em De C é uma
curva fechada em D, podemos escolher quaisquer dois pontos A e B sobre C e olhar C
como composta por um caminho C 1 de A a B seguido de um caminho C 2 de B a A (veja a
Figura 3). Então
l F· dr ~ J: F· dr + L, F· dr ~L F· dr J_c F· dr ~O
já que C1 e ~c~ têm os mesmos pontos iniciais e finais.
Por outro lado, se é verdade que f_ F · dr = O sempre que C for um caminho fechado
.é
em D, podemos demonstrar a independência do caminho, como segue. Tome quaisquer
dois caminhos C1 c c~ de A a Bem D c defina C como a curva constituída por C 1 seguida
por - C 2 . Então
O~ .C F · dr ~L F· dr + L. F · dr ~ Jc. F · dr ~ t F· dr
e J~, F · dr = Jc F · dr. Assim, provamos o seguinte teorema.
f .. F · dr é independente do caminho em D se e somente se
.é
TeoremR
· ~ O para todo caminho fechado C em D.
yl
I
'
I
I
or
FIGURA 4
X
Como sabemos que a integral de linha de qualquer campo vetorial conservativo F é
independente do caminho, segue-se que J~ F · dr = O para qualquer caminho fechado. A
interpretação física é que o trabalho realizado por qualquer campo de força conservativo
(tal como o campo gravitacional ou o campo elétrico da Seção 16. 1) para mover um objeto
ao redor de um caminho fechado é O.
O teorema a seguir fala que somente campos vetoriais independentes do caminho são conservativos.
Ele está estabelecido e provado para curvas planas, mas existe uma versão espacial
desse teorema. Admitiremos que D seja aberto, o que significa que para todo ponto P
em D existe uma bola aberta com centro em P inteiramente contida em D. (Portanto D não
tem nenhum ponto de sua fronteira.) Além disso, admitiremos que D seja conexo. Isso significa
que quaisquer dois pontos de D podem ser ligados por um caminho inteiramente
contido em D.
í4l Teorema Suponha que F seja um campo vetorial contínuo sobre uma região
aberta conexa D. Se Jc F · dr for independente do caminho em D, então F é
campo vetorial conservativo, ou seja, existe uma função f tal que V f= F.
Prova Seja A(a, b) um ponto fixo em D. Vamos construir a função potencial f desejada
definindo
f(x, y) ~ f'' ~l F · dr
Jia. h
para qualquer ponto (x, y) em D. Como Jc F · dr é independente do caminho, não k>teressa
qual o caminho de integração utilizado entre (a, b) c (x, y) para definirj(x, y). Como D é
aberto, existe uma bola aberta contida em D com centro em (x, y). Escolha qualquer ponto
(x" y) na bola aberta com x, < x e considere C como qualquer caminho C 1 de (a, b) a
(x" y) seguido pelo segmento de reta horizontal C 2 de (x 1 , y) a (x, y) (veja a Figura 4). Então
f(x,y) = Jc, F· dr + F·dr~ F·dr+ f F·dr
b) •. c,

James Stewart CAPÍTUlO 16 CÁLCULO VETORIAL 1075
Note que a primeira dessas integrais não depende de x, e assim
a a ·
-f(x,y)~O+-j
()x
dx ~C,
F·dr
Se escrevermos F = P i + Q j, então
fc.F · dr ~f, Pdx + Qdy
Sobre C:, y é constante, dy =O. Usando t como parâmetro, onde x 1 ~ t ::c; x, temos
a a · a ,
-f(x,y) ~ -j P dx + Qdy ~ -J P(t, y) dt ~ P(x,y)
ax dx c, ax x,
pela Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo (veja a Seção 5.3 no Volume !).
Uma argumentação semelhante, usando um segmento de reta vertical (veja a Figura 5),
mostra que
Então
-f(x,y)~a
ai
Pdx+Qdy~-af,
Q(x,t)dt~Q(x,y)
ay ay c, ay .,,
FIGURA 5
que mostra que F é conservativo.
Uma questão permanece: como é possível saber se um campo vetorial é conservativo
ou não Suponha que saibamos que F ~ P i + Q j seja conservativo, onde P e Q tenham
derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Então existe uma função f tal que F ~ '1/ f,
ou seja,
e
Portanto, pelo Teorema de Clairaut,
ay ayax àxày ax
simples,
não fechada
não simples,
não fechada
Se F(x, y) ~ P(x, y) i + Q(x, y) j é um campo vetorial conservativo,
onde P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre um dominío
D, então em todos os pontos de D ternos
simples,
fechada
FIGURA 6
Tipos de curvas
não simples,
fechada
O recíproco do Teorema 5 só é verdadeiro para um tipo especial de região. Para explicar
isso precisamos do conceito de curva simples, que é uma curva que não se intercepta em
nenhum ponto entre os pontos tenninais. [Veja a Figura 6; r(a) ~ r(b) para uma curva
simples fechada, mas r(t,) ,P r(t,) quando a < t, < t, < b.]
No Teorema 4 precisamos de região conexa. Para o próximo teorema precisaremos de
uma condição mais forte. Uma região simplesmente conexa em um plano é uma região

1076 c CÁLCULO Editora Thomson
região simplesmente conexa
conexa D tal que toda curva simples fechada em D contorna somente pontos que estão em
D. Note que, da Figura 7, intuitivamente falando, urna região simplesmente conexa não
contém buracos nem é constituída por dois pedaços separados.
Para regiões simplesmente conexas podemos estabelecer o recíproco do Teorema 5, que
fornece um processo conveniente para verificar se um campo vetorial em !R 2 é conservativo.
A demonstração será esboçada na próxima seção como conseqüência do Teorema de Greens.
FIGURA 7
regiões que não são
simplesmente conexas
10
"'".·.· Hm::, Seja F = P i + Q j um campo vetorial sobre uma região D aberta e
simplesmente conexa. Suponha que P c Q tenham derivadas parciais de primeira
ordem contínuas c que
:E~ntão
F é conservativo.
i!!_ ~ aQ
Jy ax
por toda a região D
w
-10 -'--'-'·"--· íf.-. 4=)'--•
-+;-·-. c_· -. 1-'- 1 o
FIGURA 8
c. ·I ..
·r
-10
As Figuras 8 e 9 mostram os campos
vetoriais dos Exemplos 2 e 3,
respectivamente. Os vetores da Figura
8 que começam na curva fechada C
parecem apontar basicamente para a
mesma direção que C Assim parece
que L- F· dr >O e portanto F não é
conservativo. Os cálculos no Exemplo 2
confirmam essa impressão_ Alguns dos
vetores perto das curvas C e C 2 na
F1gura 9 apontam aproximadamente
para a mesma direçáo que as curvas,
enquanto outros apontam para a
direçáo oposta. Portanto parece
razoável que as integrais de linha sobre
toda curva fechada sejam O. O Exemplo
3 mostra que de fato F é conservativo
2
é ou não conservativo.
Determine se o campo vetorial
F(x, y) ~ (x y) i + (x - 2) j
SOLUÇÃO Seja P(x, y) ~ x - y e Q(x, y) ~ x - 2. Então
aP
ay
-I
aQ
Jx
Como oP/Jy r" JQ/Jx, pelo Teorema 5, F não é conservativo.
EXHuiPUJ 3 _J
é ou não conservativo.
Determine se o campo vetorial
F(x, y) ~ (3 + 2xy) i+ (x 2 - 3y 2 )j
SOLUÇÃO Seja P(x, y) ~ 3 + 2xy e Q(x, y) ~ x 2 -
JP JQ
-~2x~­
Jy ax
3y 2 Então
Além disso, o domínio de F é o plano inteiro (D = !R 2 ), que é aberto e simplesmente
conexo. Portanto podemos aplicar o Teorema 6 e concluir que F é conservativo.
FIGURA 9
-2
No Exemplo 3, o Teorema 6 diz que F é conservativo, mas não mostra corno encontrar
a função (potencial) f tal que F ~ V f. A prova do Teorema 4 dá indícios de como encontrar/
Usamos '"'integração parcial", como no exemplo a seguir.
EXEMPLO 4 c:
(a) Se F(x, y) ~ (3 + 2xy) i+ (x 1 - 3y 2 )j, determine uma função f tal que F~ V f.
(b) Calcule a integral de linha J~ F· dr, onde C é a curva dada por
r(t) = e 1 senti + e 1 cos tj, O~ t ~ 11.

1
James Stewart
CAPÍTULO 16 CALCULO VETORi/\..L
1077
SOLUÇÃO
(a) Do Exemplo 3 sabemos que F é conservativo, e assim existe uma função f com
ílf= F, oo seja,
.t(x, y) = 3 + 2xy
f,(x, y) = x 2 -
3y'
Integrando (7) com relação a x, obtemos
f(x, y) = 3x + x'y + g(y)
Note que a constante de integração é uma constante em relação a x, ou seja, uma função
de y, que chamamos g(y). Em seguida diferenciamos ambos os lados de (9) em relação a y:
Comparando (8) e (lO), vemos que
f(x, y) = x 2 + g'(y)
g'(y) =
-3y'
Integrando com relação a y, obtemos
g(y) =
+ K
onde K é uma constante. Substituindo em (9), temos
corno a função potencial desejada.
f(x, y) = 3x + x 2 y - y 2 + K
(b) Para aplicar o Teorema 2 devemos conhecer os pontos inicial e final de C, ou seja,
r( O)= (O, I) e r(1r) = (0, -e"). Na expressão paraj(x, y) da parte (a), qualquer valor
da constante K serve. Então tomemos K = O. Assim temos
J " F· dr = J' c c
ílf· dr = f(O, -e")- /(0, I)
Esse método é mais curto que o método direto de cálculo para as integrais de linha que
aprendemos na Seção 16.2.
Um critério para determinar se um campo vetorial F em IR: 3 é ou não conservativo será
dado na Seção 16.5. Enquanto isso, o próximo exemplo mostra que a técnica para achar
funções potenciais é muito semelhante à utilizada para campos vetoriais em ~ 2 •
EXEMPLO 5 = Se F(x, y, z) = y' i + (2xy + e 3 ')j + 3ye 3 ' k, determine uma função f tal
que ílf= F.
SOLUÇÃO Se existe tal função f, então
fx(x, y, z) =
J;(x, y, z) = 2xy + e 3 '
I
'b;;;>'-:....:.~'t.&'
;J&;-
*il.'%-JI@fflll' í.,' -·l!i&.L~'"'*-'"-""'._j·J&L-"""'--$~·""' .,, __ ..._.,iii\~.!Q..~gwfu~gil

1078 c CÁlCUlO Editora Thomson
Integrando ( 11) em relação a x, obtemos
f(x, y, z) ~ xy 2 + g(y, z)
onde g(y, z) é uma constante em relação a x. Então, diferenciando (l4) em relação a y.
temos
e, comparando com (12), vem
Jy(x, y, z) ~ 2xy + g,(y, z)
g,(y, z) ~ e 3 '
Então, g(y, z) ~ ye 3 ' + h(z) e reescrevemos (14) como
f(x, y, z) ~ xy' + ye 3 ' + h(z)
Finalmente, diferenciando em relação a z e comparando com (13), obtemos h 1 (z) =O e,
portanto, h(z) ~ K, uma constante. A função desejada é
É fácil verificar que \1 f~ F.
f(x, y, z) ~ xy' + ye 3 ' + K
Conservação de Energia
Vamos aplicar as idéias deste capítulo para um campo de forças contínuo F que move um
objeto ao longo de uma trajetória C dada por r(t), a ,-s t ,-s b, onde r( a) ~A é o ponto inicial
e r(b) ~ B é o ponto terminal de C. Pela Segunda Lei do Movimento de Newton (veja
a Seção 13.4), a força F(r(r)) em um ponto de C está relacionada com a aceleração
a( r) ~ r"(t) pela equação
F(r(t)) ~ mr"(t)
Assim o trabalho realizado pela força sobre o objeto é
W ~ Jc F · dr ~ J: F(r(t)) · r'(t) dt
~ [b mr"(t) • r'(t) dt
·"
m Jb d
~ - - (r'(t) · r'(t)] dt
2 " dt
~ !!'. fb.!!... 1 r'(t) 1' dt
2 " dt
~ ; [I r'(t) I'J:
(feornml l3.2.3, fórmula ~t)
(Tsu;-c-rna fund3.mcnlai do Cáiculo)
~ ; (I r'(b) I' - I r'( a)!')

1
CAPÍTUlO 16 CÁLCULO VETORiAL [i 1079
Portanto
w~ lmJv(b)J' -lmJv(aJI'
onde v = r' é a velocidade.
A quantidade ~m I v(t) 1 2 , ou seja, metade da massa vezes o quadrado da rapidez, é
chamada energia cinética do objeto. Portanto podemos reescrever a Equação 15 como
W ~ K(B) -
K(A)
que diz que o trabalho realizado pelo campo de forças ao longo do caminho C é igual à
variação da energia cinética nos pontos terminais de C.
Agora vamos admitir que F seja um campo de forças conservativo; ou seja, podemos
escrever F ~ \1 f. Em física, a energia potencial de um objeto no ponto (x, y, z) é definida
como P(x, y, z) ~ -j(x, y, z), e temos F~ -VP. Então, pelo Teorema 2, temos
W ~ f F· dr ~ -j· \lP · dr
.c c
~ -[P(r(b)) - P(r(a))]
~ P(A)- P(B)
Comparando essa equação com a Equação 16, vemos que
P(A) + K(A) ~ P(B) + K(B)
que diz que, se um objeto se move de um ponto A para outro B sob a influência de um
campo de forças conservativo, então a soma de sua energia potencial e energia cinética permanece
constante. Essa é a chamada Lei de Conservação de Energia e é a razão pela qual
o campo vetorial é denominado conservativo.
Exercícios
1. A figura mostra uma curva C e um mapa de contorno de uma
função f cujo gradiente é contínuo. Determine f c 'V f· dr. '>z
o l
y
i
o i
'
6 4
'
1 3 5
2 g 2 9
'
2
7
2. É dada uma tabela de valores de uma função f com gradiente
contínuo. Determine J~ V f· dr, onde C tem equações
paramétricas x = t 2 + 1, y = t 3 + t, O ::s: t ::s: l.
3-HJ ~ Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo.
Se for, determine uma função f tal que F= V f<
3. F(x,y) ~ (6x + 5y)i + (Sx + 4y)j
4. F(x, y) ~ (x 3 + 4xy) i+ (4xy- y 3 )j
5. F(x, y) ~ xe' i + ye' j
6. F(x,y) = eYi + xeY j
7. F(x, y) = (2x cos y - y cos x) i + (-x 2 seny - senx) j
8. F(x,y) ~ (l + lxy + lnx)i +

1080 ll CÁlCUlO Editora Thomson
9. F(x, y) = (yex + sen _v) i + (e" + x cos _v) j
10. F(x, _v)= (xy cosh xy + senhxy) i+ (X" 1 cosh xy}j
11. A figura mostra o campo vetorial F(x, y) = "-._/ ./""
':- ',_:/'~-
/'\,_/·-(;'
/'
... _.S J
1'2
14. F(x v)~ -·--i+ 2v arctv xj',
'. 1 + x2 . o
C: r(t) ~ t'i + 2tj, O >S t >S l
15; F(x, y, z) ~ yz i + xz j + (xy + 2z) k,
C é o segmento de reta de (1, O, -2) a (4, 6, 3)
16. F(x,y,z) ~ (2xz + y')i + 2xyj + (x 2 + 3z 2 )k,
C: x = t 2 , y = t + l, z = 2t - 1, O ~ t ~ 1
17. F(x,y,z) = y 2 coszi + 2xycoszj- xy 2 senzk,
C: r(t) = t 2 i + sentj + tk, O :::s t :::s Tr
18. F(x,y,z) ~e' i+ xe'j + (z + l)e'k,
C: r(t) = ti + t 2 j + t 3 k, O ~ t ::o::; 1
J~;-2:3 __ Mostre que a integral de linha é independente do
caminho e calcule a integral.
19. Jc tg y dx + x sec 2 ydy, C é qualquer caminho de (1, O)
a (2, 1T/4)
20. fc(l- ye')dx + e-'dy, Céqualquercaminhode (O, I)
a (1, 2)
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial de
força F movendo um objeto de P a Q.
21. F(x, y) ~ 2y'i' i+ 3xyj j; P(l. 1), Q(2, 4)
22. F(x,y) ~ (v'/x')i- (2y/x)j: P(l,l), Q(4. -2)
23. O campo vetorial mostrado na figura é conservativo Explique.
V' t
_,I ~ "
__ , --i ,_
/ / / / /X
-1///
-~~=~ //
2-0~25 . A partir do gráfico de F você diria que ele é
conservativo Verifique se seu palpite Ctava correto.
24. F(x,y) ~ (2xy + seny)i + (x' + xcosy)j
(x - 2y) i + (x- 2) j
25. F(x, y) ~ _ ,
Vl+r+y 2
26. Seja F= V f, onde f(x. y) = sen(x 2y). Determine as curvas
C 1 e C 2 que não sejam fechadas e satisfaçam a equação.
(a) Se_ F· dr ~O (b) f F· dr ~ 1
.c,
L~~:· Mostre que, se um campo vetorial F = P i + Q j + R k é
conservativo e P, Q, R têm derivadas parciais de primeira
ordem contínuas, então
aP aQ aP aR aQ aR
ay ax az ax az ay
28. Use o Exercício 27 para mostrar que a integral de linha
fc y dx + x dy + xyz dz não é independente do caminho.
29-32 c Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b)
conexo e (c) simplesmente conexo.
!ljjí {(x,y) lx > O,y >O}
30. {(x,y)!x9"0)
31. {(x, y) ll < x 2 + y 2 < 4)
32. {(x, y) lx' + y' >S l ou 4 >S x' + y 2 >S 9)
-y i+ xj
Seja F(x, y) = x 2 + y 2
(a) Mostre que àP/ily ~ iJQ/Ux,
(b) Mostre que Se F· dr não é independente do caminho.
[Dica: Calcule t F • dr e Se F . dr, onde c1 e c2 são as
metades superior e inferior dO círculo x 2 + y 2 = 1 de
(1, O) a ( -1, O).] Isso contraria o Teorema 6

1
James Stewart CAPÍTULO 16 CÁLCULO VETORiAL 1081
34. (a) Suponha que F seja um campo vetorial quadrado inverso,
ou seja,
c r
F(r) ~ - -,-,
ri
para alguma constante c, onde r= x i + .r j + z k. Deter~
mine o trabalho realizado por F ao mover um objeto de um
ponto P 1 por um caminho para um ponto P-:; em termos da
dístância d 1 e d~ desses pontos à origem.
(b) Um exemplo de um campo quadrado inverso é o campo
gravitacional F= -(mMG)r/J r 1-' discutido no Exemplo 4
da Seção 16.1. Use a parte (a) para determinar o trabalho
realizado pelo campo gravitacional quando a Terra se move
1
do afélío (em uma distância máxima em relação ao Sol de
1,52 X 10 8 km) ao pcriélio (em uma distância
míni,ma
de I.47, X 10 8 km). (Use os vs,lores m = 5,97 X 10 24 kg,
M = L99 X 10 30 kg, c G = 6.67 X 10'" 11 N·m 2 /kg 2 .)
(c) Outro exemplo de um campo quadrado inverso é o campo
elétrico E= eqQr/1 r 1- 1 discutido no Exemplo 5 da Seção
16.1. Suponha que um elétron com carga de~ 1,6 X 10-- 19
C esteja localizado na origem. Urna carga positiva unitária
é colocada à distância de 10-- 12 m do elétron e se move
para uma posição que está à metade da distância original
do elétron. Use a parte (a) para determinar o trabalho realizado
pelo campo elétJico. (Use o valor e = 8,985 X 1 O w_)
'16:4 Teorema de Green
o
c
D
X
O Teorema de Green fornece a relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva
fechada simples C e uma integral dupla sobre a região D do plano cercada por C. (Veja a
Figura 1. Admitiremos que D consiste em todos os pontos dentro de C além dos pontos
sobre C.) Para enunciar o Teorema de Green usaremos a convenção de que a orientação
positiva de uma curva fechada simples C se refere a percorrer C no sentido anti-horário
apenas uma vez. Assim, se C for dado como urna função vetorial r(t), a ::s; t ::s; b, então a
região D está à esquerda quando o ponto r(t) percorrer C (veja a Figura 2).
FIGURA
c
X
X
FIGURA 2
(a) Orientação positiva
(b) Orientação negativa
Recorde-se de que o lado esquerdo
desta equação é outra forma de
escrever Jc F · dr. onde F = P i + Q j
Teonema d0 GrMf!: Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por trechos,
orientada positivamente, e seja D a região delimitada por C. Se P e Q têm
derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que
contenha D, então
I
NOTA o A notação
J , P dx + Q dy ~ JJ ( aQ -
c ilx ày
D
aP) dA
f Pdx + Qdy
.c
ou
é usada algumas vezes para indicar que a integral de linha é calculada usando-se a orientação
positiva da curva fechada C. Outra notação da orientação positiva da curva fronteira de
1

1082 !J CÁlCUlO Editora Thomson
D é CJD, assim a equação no Teorema de Green pode ser escrita corno
"("º aP)
li - -- dA ~ f P dx + Q dy
.,., (Jx ày ~oD
D
O Teorema de Green pode ser olhado corno a contrapartida do Teorema Fundamental
do Cálculo para de integrais duplas. Compare a Equação l com o estabelecido pelo
Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2, na seguinte equação:
f' F'(x) dx ~ F(b) - F(a)
.,,
-= O Teorema de Green recebeu esse
nome em homenagem ao cientista
inglês autodidata George Green (1793~
1841), que trabalhava período integral
na padaria do pai desde os 9 anos
e aprendeu matemática em livros de
biblioteca. Em 1828, Green publicou
An Essay on the Application o f
Mathematica! Ana!ysis to the Theories
of Electricity and Magnetism, contudo,
somente foram impressas 100 cópias,
a maioria presenteada a seus amigos.
Esse panfleto continha um teorema
equivalente ao que conhecemos como
Teorema de Green hoje, mas náo se
tornou conhecido na época.
Finalmente, com 40 anos, Green
entrou para a Universidade de
Cambridge como aluno de graduaçáo,
porém morreu quatro anos após ter se
formado. Em 1846, Willlam Thompson
{lorde Kelvin) localizou uma cópia dos
ensaios de Green, compreendeu sua
importância e os reimprimiu. Green foi
a primeira pessoa a tentar formular
uma teoria matemática da eletricidade
e do magnetismo_ Seu trabalho serviu
de base para os trabalhos de teoria do
eletromagnetismo subseqüentes de
Thomson, Stokes. Rayleigh e Maxwell.
= g,(x)
C,
Em ambos os casos existe uma integral envolvendo as derivadas (F', dQ/ ax e UP/ a.v) do
lado esquerdo da equação. E em ambos os casos o lado direito envolve valores da função
original (F, Q e P) somente sobre a fronteira da região. (No caso unidimensional, a região
é um intervalo [a, b] cuja fronteira é constituída apenas pelos dois pontos a e b.)
O Teorema de Green não é fácil de provar no caso gêral apresentado no Teorema I, mas
faremos uma prova para o caso especial onde a região é tipo I ou tipo ll (veja a Seção 15.3).
A essas regiões, vamos chamar regiões simples.
Pr::>vs ds T±HJH:Hile~
de Green estará provado se mostrarmos que
e
rle Gr&en rw Caso Onda D ~uma
J" aP
J, f Pdx~ -j-dA
c
ay
0
l
f. . aQ
Qdy~ l-dA
c • àx
Vamos provar a Equação 2 exprimindo D como uma região do tipo I:
D ~ {(x,y)la ,o;; x ,o;; b, g,(x) ,o;; y ,o;; g,(x)}
D
Note que o Teorema
onde 91 e 92 são funções contínuas. Isso nos permite calcular a integral dupla do lado
direito da Equação 2, como segue:
~ J'j' JP [&f.'''"' aP
l!J -dA~ ·. -(x,y) dydx
ay ~a g,(x) ay
D
[' [P(x, g,(x)) -
""
P(x, g 1 (x))] dx
onde o último passo segue do Teorema Fundamental do Cálculo.
Vamos agora calcular o lado esquerdo da Equação 2, quebrando C como a união de
quatro curvas C1, C2, C3 e C4 mostradas na Figura 3. Sobre C 1 tomamos como parâmetro
x e escrevemos as equações paramétricas como x = x, y = g 1 (x), a~ x ~ b. Assim
Se. P(x, y) dx ~r P(x, g 1 (x)) dx
Observe que C3 vai da direita para a esquerda, mas - C 3 vai da esquerda para a direita, e
podemos escrever as equações paramétricas de -CJ como x = x, y = g 2
(x), a ~ x :-s; b.
Portanto
FIGURA 3
fc. P(x, y) dx ~ - Lc, P(x, y) dx ~ - J: P(x, g 2 (x)) dx
te!& · ·* -h

1
James Stewart CAPÍTULO 16 CÁLCULO VETORIAL lJ 1083
Sobre C:c: ou C4 (qualquer uma delas pode se reduzir a um único ponto), x é constante, e
assim dx =O e
f P(x,y)dx~O= f.
~c, ~c
P(x,y)dx
Portanto
Jc P(x, y) dx = Jc. P(x, y) dx + J~,
L
~h ~b
P(x, g 1(x)) dx - 1 P(x, g 2 (x)) dx
Comparando essa expressão com a da Equação 4, vemos que
P(x, y) dx + Se, P(x, y) dx + J~. P(x, y) dx
· J.' aP I P(x,y)dx~ -l-dA
~c i> ay
A Equação 3 pode ser provada de forma semelhante, exprimindo D como região do típo li
(veja o Exercício 28), Então, somando as Equações 2 e 3, obtemos o Teorema de
Green.
FIGURA 4
D
(1, 0) X
EXEMPLO 1 Calcule fcx 4 dx + xy dy, onde C é a curva triangular constituída pelos
segmentos de reta de (0, O) a (I, 0), de (1, 0) a (0, I) e de (0, l) a (0, 0),
SOLUÇÃO Apesar de essa integral poder ser calculada pelos métodos usuais da Seção
16.2, o que envolveria estabelecer três integrais separadas sobre os três lados do triângulo,
vamos, em vez disso, usar o Teorema de Green. Note que a região D cercada por C
é simples e C tem orientação positiva (veja a Figura 4). Se tomarmos P(x, y) ~ x 4 e
Q(x, y) = xy, então teremos
r JJ (aQ aP) f' f~->
lcx 4 dx + xydy = -;};- ày dA= lo lo (y- O) dydx
D
f'[' ']'~h l j'' "
= Jo zY' ,~o dx = 2
0
(I - x)-dx
= -w - X) 3 ]; = l
EXEMPLO 2 Calcule Jic (3y - e""") dx + (7x + )y 4 + I) dy, onde C é o círculo
x 2 + y 2 = 9,
SOLUÇÃO A região D delimitada por C é o círculo x 2 + y 2 ,o; 9, então vamos mudar para
coordenadas polares depois de aplicar o Teorema de Green:
{ (3y- e""")dx + (7x + #+))dy
Jc
~..:; Em vez de utilizarmos as
coordenadas polares, podemos
simplesmente usar o fato de que D é
um círculo de raio 3 e escrever
JJ 4 d4 ~ 4 , r.(3)' ~ 36r.
D
=fi' r~ (7x + yy 4 + I) - ~ (3y - e""")] dA
• ax
ay
D
f'' [ 3 (7- 3) rdrd8
~o Jo
= 4 f'" de fl rdr = 361T
~o Jo

10S4 c CÁlCULO
Editora Thomson
Nos Exemplos 1 e 2 consideramos que a integral dupla era mais facilmente calculada
como uma integral de linha. (Tente escrever a integral de linha do Exemplo 2 e você ficará
convencido rapidamente!) Mas às vezes é mais simples calcular a integral de linha, c, nesse
caso, usamos o Teorema de Green na ordem inversa. Por exemplo: se sabemos que
P(x, y) = Q(x, y) = O sobre urna curva C. então o Teorema de Green nos dá
.. (aQ JP)
li
-_- - -':-----
~· c!x d}' .c
{) -
dA ~ [ P dx + Q dy ~ O
não interessando os valores das funções P e Q em D.
Outra aplícação da direção reversa do Teorema de Green está no cálculo de áreas. Como
a área de uma região D é JJv l dA, desejamos escolher P e Q de modo que
JQ
ax
âP
ay
---~1
Existem várias possibilidades:
P(x, y) ~O
P(x, y) ~ -y
P(x,y) ~
y
Q(x,y) ~ x
Q(x, y) ~O
Q(x, y) ~ lx
Então, o Teorema de Green dá as seguintes fórmulas para a área de D:
A ~ +_' x dy ~ -·{· y dx ~ l f x dy - y dx
Yc , c ~ Jc
, ,
UEMPL03 Determine a área delimitada pela elipse x: + }': = 1.
a' h-
SOLUÇÃO A elipse tem equações paramétricas x ~ a cos t e y ~ b sen f, onde
O ~ t :::;::; 27T. Usando a terceira fórmula da Equação 5 temos
A ~ ' j' x dv -
2 c ~ ~
v dx
~ l f'"(a cos t)(b cos t) dt - (b sen t)( -a sen f) dt
, Jo
c,
D,
FIGURA 5
D, C,
ab ['" ~- dt ~ -rrab
2 .o
Apesar de termos provado o Teorema de Green somente no caso particular onde D é
simples, podemos estendê-lo agora para o caso em que D é a união finita de regiões simples.
Por exemplo: se D é uma região como mostrado na Figura 5, então podemos escrever
D = Dt U D 2 , onde D 1 e D2 são ambas simples. A fronteira de D1 é Ct U C;~ e a fronteira
de D 2 é C 2 U (-C 3 )_ Assim, aplicando o Teorema de Green para D, e D, separadamente,
obtemos
1 · P dx + º dy ~ j'j' (-_- aQ - -. ap) dA
~c,uc ~· élx dy
D,
JP)
r ' f ,(aQ
p dx + Q dy ~ j -.- - - dA
.cu,-C,I ..,. dx iJy
D,

1
I
c
James Stewart CAPÍTUlO 16 CÁLCULO VETORii'l.L 1085
Se somarmos essas duas equações, a integral de linha sobre C 3 e -C 3 se cancelam e obtemos
' ,, ( JQ JP)
I P dx + Q d; ~ li -c - - dA
'c,uc, ..-. dx ay
que é o Teorema de Green para D = D 1 U D2, uma vez que sua fronteira é C= C 1 U C2.
O mesmo tipo de argumentação nos permite estabelecer o Teorema de Green para qualquer
união finita de regiões simples (veja a Figura 6).
D
FIGURA 6
EXEMPlO 4 - Calcule j~, y 2 dx + 3xy dy, onde C é a fronteira da região semi c anular D
contida no semiplano superior entre os círculos x 1 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4.
y
SOLUÇÃO Note que, apesar de D não ser simples, o eixo y divide-a em duas regiões simples
(veja a Figura 7). Com coordenadas polares, podemos escrever
FIGURA 7
FIGURA 8
FIGURA 9
X
Portanto o Teorema de Green fornece
D ~{(r, O) [1 ,o; r ,o; 2, O "" O ,o; 'lT}
· "[a a J
I y 2 dx + 3xydy ~ li -. (3xy)-- (y 2 )
.c ~· ax ay
D
JJ y dA~ L" J,' (rsen 8) r dr dO
D
dA
J 1'2 [ ] 7[1
= 'o sen 8 dO r 2 dr = ~cos 8 ~ 3 rj ~]2
~ = -14
o .! 3
O Teorema de Green pode ser aplicado para regiões com furos, ou seja, regiões que não
são simplesmente conexas. Observe que a fronteira C da região D na Figura 8 é constituída
por duas curvas fechadas simples C 1 e C> Admitiremos que essas curvas fronteiras são orientadas
de modo que a região D esteja à esquerda quando percorremos a curva C. Então a
orientação positiva é anti-horária na curva externa Ct mas é horária na curva interna C 2 • Se
dividirmos D em duas regiões D' e D" pela introdução das retas mostradas na Figura 9 e
então aplicannos o Teorema de Green a cada uma das regiões D' e D", Obteremos
ff ( JQ JP) J'l' ( aQ oP) fi' ( JQ JP)
• ax ay • ax ay • ax ay
---dA~ -~---dA+ ---dA
D D' D'
~ j' P dx + Q dy + [ P dx + Q dy
aD'
Jao"
Como a integral de linha sobre a fronteira comum são em sentidos opostos, elas se cancelam
e obtemos
ff (
aQ aP) • • ,
~~ ax ay c, ~c, c
D
- - - dA ~ J P dx + Q dy + I P dx + Q dy ~ J P dx + Q dy
que é o Teorema de Green para a região D.
EXEMPUJ5 c: Se F(x,y) ~ (-yi + xj)/(x 2 + y 2 ), mostre que fcF' dr ~ 21Tpara
todo caminho fechado simples que circunde a origem.
SOLUÇÃO Como C é um caminho fechado arbitrário contendo a origem em seu interior,
é difícil calcular a integral dada diretamente. Vamos então considerar um círculo,

1086 CÁLCULO
Editora Thomson
X
percorrido no sentido anti-horário C' com centro na origetn e raio a, onde a é escolhido
pequeno o suficiente para que C' esteja inteiramente contido em C (veja a Figura 10).
Seja Da região limitada por C e C'. Então a orientação positiva da fronteira é
CU (-C') e, aplicando a versão geral do Teorema de Green, temos
FIGURA 10
f P dx + Q dy + f P dx + Q dy = ff (-JQ - _aP) dA
·C •· ··C ~t)' ax ay
j
.,. [ v' - x' v' - J
= • (;' + y')' - C~'+ y'J' dA
D
=0
Portanto
tp dx + Q dy = Jcp dx + Q dy
ou seja,
. F·dr= 1·. F·dr
J c
~c'
Agora podemos calcular facilmente essa última integral usando a parametrização dada
por r(t) = acos ti+ asentj. O~ t ~ 27T. Então
( F · dr = J·. F · dr = j'h F(r(t)) · r'(r) dt
Jc C' o
2c (-a sent)( -a sent) + (a cos t)(a cos t)
(
2 ) "! ) dt
.o a cos-t + a- sen-t
f'" ,,· dt = 27T
.o
Terminaremos esta seção utilizando o Teorema de Green para discutir um resultado que
foi afirmado na seção anterior.
da Prova do Teorema 16.3.5 Estamos admitindo que F = P i + Q j é um campo
vetorial em uma região simplesmente conexa D, quePe Q têm derivadas parciais de
primeira ordem contínuas e que
JP
Jy
aQ
ax
em todo o D
Se C é um caminho fechado simples qualquer em D e R é a região envolvida por C, o
Teorema de Green nos dá
tF·dr=~.Pdx+Qdy= . " ff(JQ JP) s.·
-.--. dA= jodA=O
.,c c R ax dy R
Uma curva que não seja simples se intercepta em um ou mais pontos e pode ser
quebrada em um certo número de curvas fechadas simples. Mostramos que as integrais
de linha de F sobre essas curvas simples são todas O, e somando essas integrais
podemos ver que Jc F • dr = O para qualquer curva fechada C. Portanto, f c F · dr é
independente do caminho em D pelo Teorema 16.3.3. Segue-se então que F é um
campo vetorial conservativo.

1
Exercícios
James Stewart CAPÍTULO 16 CÁLCULO VETORIAL o 1087
1-4 :..:J Calcule a integral de linha por dois métodos: (a)
diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
1. Prxy 2 tir: + x 3 dy,
C é o retângulo com vértices (0, 0), (2, 0), (2, 3) e (0, 3)
2. ~cydx-xdy,
C é o círculo com centro na origem e raio 1

1088 c CÁlCUlO Editora Thomson
26. Utilize o Exercício 25 para achar o momento de ínércia de um
círculo de raio a com densidade constante p em relação a um
diâmetro. (Compare com o Exemplo 4 da Seção 15.5.)
:Wi Se F é o campo vetorial do Exemplo 5, mostre que
fc F · dr = O para todo caminho fechado simples que não
passa nem contém a origem.
28. Complete a prova do Teorema de Grcen provando a Equação 3.
29. Utilize o Teorema de Grecn para provar a fórmula de mudança
de variáveis para as integrais duplas (Fónnula 15.9.9) para o
caso onde f(x, y) = I:
·r .. I a( X y)
I I
dxdx ~li
"R ·s I a(u, v
i~.~·'~) I dudv
Aqui R é a região do plano xy que corresponde à região S do
plano uv sob a transformação dada por x = g(u, v), y = h(u, v).
[Dica: note que o lado esquerdo é A(R) e aplique a primeira
parte da Equação 5. Converta a integral de linha sobre aR para
uma integral sobre as e aplique o Teorema de Green no plano uv.]
lW15 Rotacional e Divergência
Nesta seção definimos duas operações que podem ser realizadas com campos vetoriais que
são básicas nas aplicações de cálculo vetorial à mecânica dos fluidos e à eletricídadc e
magnetismo. Cada operação lembra uma diferenciação, mas uma produz um campo vetorial
enquanto a outra gera um campo escalar.
Rotacional
Se F = P i + Q j + R k é um campo vetorial sobre !R 3 e as derivadas parciais de P, Q e
R existem, então o rotacional de F é um campo vetorial sobre IR 3 definido por
[j]
rot F ~ ( JR _ aQ) i + ( aP _ aR) j + ( aQ _ JP) k
ay az i!z ax ax ay
Como ajuda à nossa memória, vamos reescrever a Equação 1, usando notação de operador.
Introduziremos o operador diferencial vetorial í7 ("cten como
a a a
í7 ~i-+j-+kax
ay az
Ele tem a propriedade de, quando operando sobre uma função escalar, produzir o gradiente
de f
v 1
~ i ar + j aJ + k aJ ~ a f i + aJ j + a
ax ay az ax ay az
Se pensarmos em V como um vetor com componentes à/iJx, ajay e a jaz, podemos considerar
o produto vetorial formal de í7 pelo campo vetorial F, como segue:
'ilxF~
j
k
a a a
ax ay az
I P Q R I
f k
~ ( aR _ aQ) i + ( aP _ aR) J + ( aQ _ aP) k
~ ~ ~ ~ ~ ~
~rol
F

""r
I
James Stewart CAPÍTULO 16 CALCULO VETORiAL ~ 1089
Assim, o modo mais fácil de lembrar a Definição 1 é pela expressão simbólica
rotF='VXF
EXHVWUJ 1 - Se :F(x, y, z) = xz i + xyz j ~ y 2 k, detennine o rotacional de F.
l A maiona dos SiStemas algébncos
computac;onals tem um comando para
calcular rotacional e divergente de
campos vetoriaiS, Se você tem acesso
a um CAS, use esses comandos para
verificar as respostas dos exemplos e
exercícios desta seção.
SOLUÇÃO Usando a Equação 2. temos
rot F=vxF=Il
j
a
k
a
1 ax iiy iiz
I xz xyz -y2
-.
[ a (-y-)- , -(xyz) a ]· I- [a-(-y·)
,
dy iiz ax
[ a a J
+ -(xvz)- -(xz) k
ax , Jy
= ( -2y - xy) i - (O - x) j + (yz - O) k
= -y(2 + x) i + x j + yz k
_iJ__ (xz)] j
az
Lembre-se de que o gradiente de uma função f de três variáveis é um campo vetorial
sobre !R 3 de modo que podemos calcular seu rotacionaL O próximo teorema diz que o rotacional
do gradiente de um campo vetorial é O.
[!] Teorema Se f é uma função de três variáveis que tem derivadas parciais de
segunda ordem contínuas, então
rot (v f)= o
c Note a semelhança com o que
sabemos da Seção 12.4: a x a = O
para todo vetor tridimensional a.
Pmva Temos
a a a
rot (v f)= v X (v f)= ax Jy az
i! f Jf Jf
j
k
àx ay Jz
I
"*'""-:lib .. '_
:::: Compare isso com o Exercício 27 da
Seçào 16.3.
,.t'-'"'~--""6 ;Íli.·L• .. li*iil!ztió••"li"'""-.. s'-"' &lii&IJ.Iii"-li*'"'*li-;z·'-"M-"'"''lii""~-...ii&"'---'i"Yii---...
li'*lll'
pelo Teorema de Clairaut.
a' f a' f ) . ( a' f a' f ) , ( a' f a' f )
= -----
(
•+ ----- J+ ----- k
ay iiz az ay az ax ax Jz Jx ay ay ax
=Oi+Oj+Ok=O
Como um campo vetorial conservativo é tal que F = V f, o Teorema 3 pode ser reescrito
como segue:
Se F conservativo, então rot F = O.
E acabamos de obter um modo de verificar se um campo vetorial é conservativo ou não.
_.liS&~cc fs~*- "~-si.w-_3-"-*'
·._, .. F'-''--'-'k"'*"·.J!iliiil·k.· -""''M"iil.iiiWic•~~~J.li-llL-___

1090 u CÁLCULO
Editora Thomson
EXEMVtO i: --- Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = xz :i + xyz j - }' 2 k não
é conservativo.
SOLUÇÃO No Exemplo l mostramos que
rot F ~ -y(2 + x) i + x j + yz k
Isso mostra que rot F o:F O e portanto, pelo Teorema 3, F não é conservativo.
Em geral, o recíproco do Teorema 3 não é verdadeiro, mas o próximo teorema estabelece
que, se F for definido em todo o espaço, o recíproco vale. (Mais especificamente, o
recíproco vale se o domínio é simplesmente conexo, ou seja, "não apresenta furos".) O
Teorema 4 é a versão tridimensional do Teorema 16.3.6. Sua prova requer o Teorema de
Stokes, e um esboço dela será apresentado no final da Seção 16.8.
Ta;;;&m. Se F é um campo vetorial definido sobre todo IR 3 cujas funções
componentes têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas e rot F = O,
então F é um campo vetorial conservativo.
(a) Mostre que F(x, y, z) = y 2 z 3 i + 2xyz 3 j + 3xy 2 z 1 k é um campo vetorial conservativo.
(b) Determine uma função f tal que F ~ V f.
SOLUÇÃO
(a) Calculemos o rotacional de F:
a
rot F~VxF~
a a
ax ay az
y2zJ 2xyz 3 3xy 2 z 1
j
~ (6.t}'Z 2 - 6xyz 2 )i- (3y 2 z 2 - 3y 2 z 2 )j + (2yz 3 - 2yz 1 )k
~o
k
Corno rot F= O e o domínio de F é IR 3 , F é um campo vetorial conservativo pelo Teo~
rema4.
(b) A técnica para achar /foi dada na Seção 16.3. Temos
Integrando (5) em relação a x, obtemos
fix, y, z) ~ y 2 z 2
j,(x, y, z) ~ 2xyz 2
f(x, y, z) ~ 3xy 2 z 2
f(x, y, z) ~ xy 2 z 3 + g(y, z)
Diferenciando (8) em relação a y obtemos j,(x, y, z) ~ 2xyz 3 + g,(y, z), e comparando
corn (6) ternos g,(y, z) ~ O. Então, g(y, z) ~ h(z) e
fi(x, y, z) ~ 3xy 2 z 2 + h'(z)
+fv '\
>±y
>M*-4-:jb ,,
e
""2~-
-~-
,

l
i
'
\
. i
Então, de (7) temos h'(z) ~ O. Portanto
James Stewart CAPÍTUlO 16 CÁLCULO 'VETORiAL 1091
f(x, y, z) ~ xv 2 z 3 + K
~-~ ~
~\,rot F (x, y, :)
FIGURA 1
(x, }; z)
A razão para o nome rotacional é que o vetor rotacional está associado com rotações.
Uma conexão está explicada no Exercício 35. Outra ocorre quando F representa um
campo de velocidade em mecânica dos fluidos (ver Exemplo 3 na Seção 16.1 ). Partículas
perto (x, y, z) no fluido tendem a rodar em tomo do eixo que aponta na direção de rot .F
(x, y, z), e o comprimento do vetor rotacional é a medida de quão rápido as partículas se
movem em torno desse eixo (veja a Figura I). Se rot F= O no ponto P. então o fluido não
gira em P e F é chamado irrotacional em P. Em outras palavras, não existe redemoinho
ou sorvedouro em P. Se rot F ;:::: O, uma pequena roda com pás deslizaria com o fluido,
mas não rodaria em redor de seu eixo. Se rot F 1= O, a roda com pás giraria em torno de
seu eixo. Damos mais detalhes dessa explanação na Seção 16.8 como conseqüência do
'I:eorema de Stokes.
Divergência
Se F ~ P i + Q j + R k é um campo vetorial em iRl 3 c existem o P/ ox, iJQ/ oy e i! R/ Jz.
então a divergência de F é a função de três variáveis definida por
aP aQ aR -,1 1
divF~-+-+ax
ay az
Observe que rot F é um campo vetorial, mas di v F é um campo escalar. Em termos do ope~
rador gradiente V ~ (3/Jx) i+ (J/ily) j + (ii/Jz) k, a divergência de F pode ser escrita
simbolicamente como o produto escalar de \7 e F:
divF ~V· F
EXEMPlO 4 c Se F(x, y, z) ~ xz i + xyzj - y 2 k, ache div F.
SOLUÇÃO Pela definição de divergência (Equação 9 ou !0), temos
a a a
divF ~V· F ~-(xz) + -(xyz) + -(-y 2 )
ax ily az
= z + xz
Se F é um campo vetorial sobre IR 3 , então rot F também é um campo vetorial sobre IR: 3 .
Como tal, podemos calcular sua divergência. O próximo teorema mostra que o resultado é O.
[j] Teorema Se F~ P i + Q j +R k é um campo vetorial sobre iRl 3 e P, Q e R
têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então
divrotF=O

1092 :---, CÁlCUlO Editora Thomson
Prova Usando as definições de divergência e rotacional temos
c_:: Note a anaiogia com o produto misto
a· (a x bl =O
div rot ~, ~ V · (V x F)
~ :X ( : - :; ) + ~• ( :~ - :: ) + :z ( :; ~~)
a'R a'Q a'P a'R . a'Q a'P
~-----+--·---+-----
ax ay ax az ay az ay ax dz ax az ay
~o
porque os termos se cancelam aos pares pelo Teorema de Clairaut.
EXEMPlO 5 -~ Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = xz i + xyz j y. k não pode
ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial, ou seja, }~ # rot G.
SOLUÇÃO No Exemplo 4 mostramos que
div F= z + xz
c portanto div F#- O. Se fosse verdade que F= rot G, pelo Teorema 11, teríamos
di v F ~ div rol G = O
que contradiz div F '':- O. Portanto F não é o rotacional de outro campo vetorial.
c A razão para essa interpretação de div
F será explicada no final da Seçao 16.9
como conseqüência do Teorema da
Divergência.
Novamente, a razão para o nome divergência pode ser entendida no contexto da
mecânica dos fluidos. Se F(x, y, z) é a velocidade de um líquido (ou gás), então div F(x, y,
z) representa a taxa líquida de variação (com relação ao tempo) da massa do líquido (ou
gás) fluindo no ponto (x, y, z) por unidade de volume. Em outras palavras, di v F(x, y, z)
mede a tendência de o fluido diferir do ponto (x, y, z). Se div F ~ O, então F é dito incompressíveL
Outro operador diferencial aparece quando calculamos a divergência do gradiente de
um campo vetorial V f. Se f é uma função de três variáveis, temos
a' f a' f a' f
div(V f) ~ V · (V f) ~ -, + ---',;' + -"
ax~ ay~ az~
e essa expressão aparece tão freqüentemente que vamos abreviá-la como V 2 f. Esse operador
é chamado operador de Laplace ou laplaciano, por sua relação com a equação de
Laplace
Podemos também aplicar o laplaciano V 2 a um campo vetorial
F=Pi+Qj+Rk
em termos de seus componentes:
V 2 F ~ V 2 Pi + V'Qj + V 2 R k

1
f'ormas Vetoriais do Teorema de Green
James Stewart CAPÍTUlO 16 CÁLCULO VETORIAl~ u 1093
Os operadores divergência e rotacional nos permitem escrever o Teorema de Green em
uma versão que será útil em nosso trabalho. Suponha uma região plana D, sua curva fron~
teira C e as funções P e Q que satisfaçam as hipóteses do Teorema de Green. Então
podemos considerar o campo vetorial F= P i + Q j. Sua integral de linha é
e seu rotacional é
roi F=
a
j
a
' dx ay
I P(x, v) Q(x, y)
k
a
az
o
=(aQ_aP)k
ax ay
Portanto
(rot F) · k
aQ aP) aQ aP
= - ·· - -
(
k · k = - - -
ax Jy ax ay
e podemos reescrever a equação do Teorema de Green na forma vetorial
f F · dr =
~·c ~·~·
D
f f (rot F) · k dA
A Equação 12 expressa a integral de linha do componente tangencial de F ao longo de C
como uma integral dupla do componente vertical de rot F sobre a região D delimitada por
C. Vamos derivar agora uma fónnula semelhante, envolvendo o componente nonnal de F.
Se C é dado pela equação vetorial
r(t) = x(t) i + y(t) j
então o versar tangente (veja a Seção 13.2) é
T(t) =
x'(t) . y'(t) .
I r'(t) I' + I r'(t) I J
y
Você pode verificar que o versor normal a C é dado por
y'(t) . x'(t) .
n(t) = i r'(t) 1 1 - I r'(t) I J
(Veja a Figura 2.) Então. da Equação 16.2.3, temos
fc F . n ds = r (F . n)(l) i r'(t) I dt
FIGUR/\ 2
r, [ P(x(t). y(t))y'(t) _ Q(x(t), y(t))x'(t)] I r'(t) J dt
,, I lr'(t)i Jr'(t)l
=r P(x(t). y(t))y'(t) dt- Q(x(t), y(t))x'(t) dt
= · jPdy- Qdx = j'i' (- aP + -==. ao) dA
~c ' Ox dV
"D ~

1094 CÁLCULO Editora Thomson
pelo Teorema de Grecn. Mas o integrando na integral dupla é a divergência de F. Logo,
temos uma segunda forma vetorial do Teorema de Green:
jf·~ · n ds ~ jJ di v F(x. y) dA
~ [)
Essa versão diz que a integral de linha do componente normal de F ao longo de C é igual
à integral dupla da divergência de F sobre a região D delimitada por C.
Exercícios
1~5 . Determine (a) o rotacional e (b) a divergência do campo
vetoriaL
F(x, y, z) = X}'Z i - x\ k
2. F(x, y, z) = J:~yz i + xy 2 z j + xyz" k
3. F(x. y. z) ~ i + (x + yz) j + (xy - JZ) k
:11. Yt
i
~
~
4. F(x,y,z) = cosxzj -senxyk
5. F(x,y,z) = e'-senyi + e'cosyj + zk
o[
+-
•
X
7. F(x, y, z) ~ (In x, ln(xy), ln(xyz))
8. F(x, y, z) = (xe- Y, xz, zeY)
9-11 c O campo vetorial F é mostrado no plano :ty e é o mesmo
em todos os planos horizontais. (Em outras palavras, F é
independente dez e seu componente z é 0.)
(a) O div F será positivo, negativo ou nulo Explique.
(b) Determine se o rot F= O. Se não, em que direção rot F
aponta
9.
10. y
o
i
I 1/
I
I///
///~
-------»~-~---------
X
X
12. Seja f um campo escalar c F um campo vetorial. Diga se cada
expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê.
Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
(a) rotf
(b) gradf
(c) div F
(d) rot(gradj)
(e) grad F
(f) grad(div }')
(g) div(grad J) (h) grad( di v j)
(i) rot(rot F) Ul div(div F)
(k) (gradj) X (div F) (!) div(rot(gradj))
13-18 = Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se
conservativo, determine uma função f tal que F= V f.
13. F(x,y, z) ~ yzi + xzj + xyk
14. F(x, y, z) ~ 3z' i + cos y j + 2xz k
B F(x,y,z) ~ 2xyi + (x' + 2yz)j + y 2 k
16. F(x, y, z) ~e' i + j + xe' k
17. F(x, y, z) ~ ye-' i + e-' j + 2z k
18. F(x,y,z) = ycosxyi + xcosxyj -s.enzk
~~~ Existe um campo vetorial G em !R1 3 tal que
rot G = xy 2 i + yz 1 j + zx 1 k Explique.
20. Existe um campo vetorial G em !H; 3 tal que
rot G = yz i + xyz j + xy k Explique.
Mostre que qualquer campo vetorial da forma
F(x, y, z) ~ f(x) i + g(y) j + h(z) k
onde f, g e h são diferenciáveis, é irrotacionaL

1
I
22. Mostre que qualquer campo vetorial da forma
F(x, y, z) ~ f(y, z) i + g(x, z) j + h(x, y) k
é incompressível.
23~29 = Prove a identidade, admitindo que as derivadas parciais
apropriadas existam e sejam contínuas. Se f for um campo escalar e
F. G forem campos vetoriais, então fF, F · G e F X G são
definidos por
(/F)(x, y, z) ~ f(x, v, z)F(x, y. z)
(F · G)(x, y, z) ~ F(x, y, z) · G(x, y, z)
(F X G)(x, y, z) ~ F(x, y, z) X G(x, y, z)
23. div(F + G) ~ div F + di v G
24. rot(It + G) = rot F + rot G
25. div(/F) ~f di v F+ F· V/
26. rot(/F') ~f rot F + (V/) X F
27. div(F X G) ~ G · rol F - F · rot G
28. div(V/X Vg) ~O
29. rot (rot F) F = grad (di v F) - V 2 F
30-32 - Seja r = x i + y j + z k e r = I r 1-
30. Verifique as identidades.
(a) V · r ~ 3
(c) V 2 r 3 = 12r
Verifique as identidades.
(a) V r~ r/r
(c) V(!/ r)~ -r/r'
(b) V· (rr) ~ 4r
(b) v x r~ O
(d) VInr~r/r 2
32. Se F= rjrP, ache div F. Existe um valor de p para o qual
div F~ O
33. Use o Teorema de Greco na forma da Equação 13 para provar
a prímeira identidade de Green;
jJfv'gdA ~ fJ(Vg) · nds- JJ V f· VgdA
D
D
onde D e C satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as
derivadas parciais apropriadas de f e g existem e são contínuas.
(A quantidade V g • n = D"g aparece na integral de linha. Essa
é a derivada direcional na direção do vetor normal n e é
chamada derivada normal de g.)
34. Use a primeíra identidade de Grecn (Exercício 33) para provar
a segunda identidade de Green:
ff (fv'g - gv'f) dA ~ f (fv g - gV f) · n ds
~- .c
D
onde D e C satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as
derivadas parciaís apropriadas de f e g existem e são contínuas.
James Stewart CAPÍTULO 16 CÁLCULO VETOR!AL 1095
35. Este exercício demonstra a conexão entre vetor rotacional e
rotações. Seja B um corpo rígido girando em torno do eixo
z. A rotação pode ser descrita pelo vetor w = wk, onde w é a
rapidez angular de B, ou seja, a rapidez tangencial de qualquer
ponto P em B dividido pela distância d do eixo de rotação.
Seja r= (x, _V, z) o vetor posição de P.
(a) Considerando o ângulo () da figura, mostre que o campo
de velocidade de B é dado por v = w X r.
(b) Mostre que v= -wyi + tvxj.
(c) Mostre que rot v= 2w.
/
w
-0
/ d v '
I 1 . :'·
e
0 ·--------
' ----~
36. As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico E e o
campo magnético H quando eles variam com o tempo em uma
região que não contenha carga nem coJTente, como segue:
di v E~ O
·rot E=
1 aH
c a,
divH ~O
I aE
rot H=~c
dt
onde c é a rapidez da luz. Use essas equações para provar o
seguinte:
I a'E
(a) V X (V X E) ~ - -
at
2
1 a'H
(b)VX(VXH)~--,-,
c ar
(c)
mE ~ _!_ a'E
v [Dica: Use o Exercício 29.]
c 2 at 1
1 a'H
(dl v'H~--
c2 ót 1
37. Temos visto que todos os campos de vetores da forma F= Vg
satisfazem a equação rot F = O e que todos os campos de
vetores da forma F = rot G satisfazem a equação di v F = O
(supondo a continuidade das correspondentes derivadas
parciais). Isso sugere a pergunta: existem algumas equações
que todas as funções da forma f= di v G devem satisfazer
Mostre que a resposta para essa pergunta é "não", provando
que toda função continua f em IR 3 é o divergente de algum
campo de vetores. [Dica: Tome G(x, y, z) ~ (g(x, y, z), O, O),
onde g(x, y, z) ~ j~ f(t, y, z) dt.].]
~l-~~ ~.-.............''' ~----------,~-,-~'-"'"'

1096
CÁlCUlO
Editora Thomson
•• 6 Superfícies Paramétricas e Suas Áreas
Na Seção 8.2 (Volume I), descobrimos como calcular a área de uma superfície de revolução,
e na Seção 15.6 determinamos a área de uma superfície com equação z = f(x, y).
Aqui discutiremos superfícies mais gerais, chamadas supeifícies paramétricas, e calcu~
laremos suas áreas.
Superfícies Paramétricas
De modo muito semelhante à nossa descrição de curvas espaciais por uma função vetorial
r(t) de um parâmetro único t, podemos descrever uma superfície por uma função
vetorial r(u, v) de dois parâmetros u e v. Suponhamos que
r(u, v) ~ x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k
seja uma função com valor vetorial definida sobre uma região D do plano uv. Então x, y e
z, componentes de r, são funções das duas variáveis u e v com dorrúnio D. O conjunto de
todos os pontos (x, y, z) em IR 3 tais que
x ~ x(u, v) y ~ y(u, v) z~z(u,v)
e (u, v) variando sobre D, é denominado superfície paramétricaS, e as Equações 2 são
chamadas equações paramétricas de S. Cada escolha de u e v dá um ponto sobre S; ao
fazermos todas as escolhas, obtemos todo o S. Em outras palavras, a superfícieS é traçada
pela ponta do vetor posição r(u, v) quando (u, v) se move na região D (veja a Figura 1),
" I
FIGURA 1
Uma superfície paramétrica
u
-r
X
r(u, v)
J
EXEMPLO 1 c Identifique e esboce a superfície com equação vetorial
r(u,v) ~2cosui + vj + 2senuk
SOLUÇÃO As equações paramétricas para essa superfície são
x=2cosu y =v z=2senu
Para qualquer ponto (x, y, z) da superfície, temos
FIGURA 2
Isso significa que todas as seções transversais paralelas ao plano xz (isto é, com y constante)
são circunferências de raio 2. Como y = v e não existe restrição ao valor de v. a
superfície é um cilindro circular de raio 2 cujo eixo é o eixo y (veja a Figura 2).

1
I
i
I
FiGURA 3
James Stewart CAPÍTULO 16 CALCULD VETORIAL 1097
No Exemplo I não existiam restrições sobre os parâmetros u e v, e assim obtivemos o cilin­
.dro inteiro. Se, por exemplo, restringíssemos u e v, escrevendo o domínio dos parâmetros
como
O "" u ,; rr/2
então x ~ O, z ~ O, O ~ y ~ 3, e obteríamos o quarto do cilindro de comprimento 3
ilustrado na Figura 3.
Se uma superfície paramétricaS é dada por uma função vetorial r(u, v), então existem
duas famílias de curvas úteis contidas em S, uma família com u constante e outra com v
constante. Essas famflias correspondern a retas verticais e horizontais no plano uv. Se mantivermos
u constante impondo u = u 0
, então r(u 0
, v) se torna urna função vetorial com um
único parâmetro v que define uma curva C1 sobreS (veja a Figura 4).
v
v= tb
r
~+~~D-+U~=~u" -1--~u
FIGURA 4 !
X
Da mesma forma, se mantivem1os v constante tomando v = v 0
, obteremos a curva C 2
dada
por r(u, vo) contida em S. A essa curva chamaremos curva da grade. (No Exemplo I, as curvas
da grade obtidas tomando u constante são retas horizontais, enquanto as curvas da
grade obtidas com v constante são circunferências.) De fato, quando um computador traça
o gráfico de uma superfície paramétrica, ele geralmente retrata a superfície plotando essas
curvas da grade, como veremos no próximo exemplo.
EXEMPlO 2 u Use um sistema algébrico computacional para traçar o gráfico da superfície
r(u, v)~ ((2 + senv) cos u, (2 + senv) :senu, u + cos v)
Quais são as curvas da grade com u constante E com v constante
SOLUÇÃO Traçamos o gráfico do pedaço da superfície correspondente àjanela de
inspeção com os parâmetros delimitados por O :s::; u :

1098 Ci CÁlCUlO Editora Thomson
FIGURA 6
P
EXEMPlO 3 :_j Determine a função vetorial que representa o plano que passa pelo ponto
Po com vetor posição ro e que contenha dois vetores não paralelos a e b.
SOLUÇÃO Se Pé um ponto qualquer do plano, podemos ir de P 0 até P andando uma
distância orientada na direção do vetor a e outra distância orientada na direção do b,
~
Portanto existem escalares u e v tais que P 0 P = ua + vb. (A Figura 6 ilustra como isso
acontece, por meio da Regra do Paralelogramo, para o caso em que u e v são positivos.
Veja também o Exercício 38 da Seção 12.2). Se r é o vetor de posição de P, então
~ --'>
r ~ OP 0 + P 0 P ~ ro + ua + vb
A equação vetorial do plano pode ser escrita como
r(u, v) ~ r 0 + ua + vb
onde u e v são números reais.
Se escrevermos r= (x, y, z), ro ~ (x 0 , y 0 , zo), a = (a 1 , a 2 , a 3 ) e b ~ (h, hz, h;),
podemos escrever as equações paramétricas do plano através do ponto (x 0
, y 0 ,
como segue:
Um dos usos de superfícies
paramétricas está em fazer gráficos
com computador. A Figura 7 mostra o
resultado de tentar grafar a esfera
x' + y: + z' = 1 resolvendo a equaçao
separadamente para z e grafando o
topo e a base do hemisfério
separadamente. Parte da esfera parece
estar perdida por causa do sistema
retangular de grades usado pelo
computador. A Figura 8, muito
melhor, foi produzida por um
computador que usa as equaçóes
paramétricas encontradas no Exemplo 4
EXEMPlO 4
Determine uma representação paramétrica da esfera
x2+ +z2=a2
SOLUÇÃO A esfera tem uma representação simples p =a em coordenadas esféricas, e
então vamos escolher ângulos

1
James Stewart CAPÍTULO 16 CALCULO VETORiAL 1099
c a equação vetorial é
r(x,y) ~xi + yj + (x' + 2y')k
Em geral, uma superfície dada como o gráfico de uma função de x e y. ou seja, com
equação da forma z = f(x, y), pode sempre ser olhada como uma supeifície paramétrica
tomando x e y como parâmetros e escrevendo as equações paramétricas como
x=x y=y z ~ f(x, y)
Representações paramétricas (também chamadas parametrizações) de superfícies não
são únicas. O próximo exemplo mostra dois modos de parametrizar um cone.
EXEMPlO 7
Determine uma representação paramétrica para a superfície
z = 2yx 1 + y 1 , ou seja, a metade superior do cone z 2 = 4x 2 + 4y 2 •
SOLUÇÃO l Uma possível representação é obtida escolhendo-se x e y como parâmetros:
x=x y=y z = 2)x' + y'
Assim, a equação vetorial é
;:::: Para alguns propós:tos as
representações paramétricas das
Soluções 1 e 2 são igualmente boas,
mas a Solução 2 pode ser preferível
em certas situações. Se estivermos
interessados somente na parte do
cone que está abaixo do plano z = L
por exemplo, tudo que devemos fazer
na Solução 2 é mudar o domínio do
parâmetro para
r(x,y) =xi + yj + 2vx' + y 2 k
SOLUÇÃO 2 Outra representação resulta da escolha como parâmetro das coordenadas
polares r e 8. Um ponto (x, y, z) sobre o cone satisfaz x =r cosO, y = r senO, e
z = 2-../x 2 + y 2 = 2r. Assim uma equação vetorial para o cone é
onde r ;; o e o .::-s; e ~ 27T.
r( r, e) = r cos e i + r sen e j + 2r k
Superfícies de Revolução
y
Superfícies de revolução podem ser representadas na forma paramétrica e seus gráficos
podem então ser desenhados, usando-se um computador. Por exemplo: vamos considerar
a superfícieS obtida pela rotação da curva y = f(x), a ::'S; x ~ b, em torno do eixo x, onde
f(x) ;, O. Seja e o ângulo de rotação, como mostrado na Figura 9. Se (x, y, z) é um ponto
de S, então
x=x y ~ f(x) cose z = f(x)=e
Portanto, tomamos x e e como parâmetros e olhamos as Equações 3 como equações
paramétricas de S. O domínio do parâmetro é dado por a ~ x ~ b, O ~ O ,s; 27T.
FIGURA 9
EXEMPLO 8 '-::: Determine as equações paramétricas para a superfície gerada pela rotação
da curva y = sen x, O ,s; x ~ 27T, em tomo do eixo x. Use essas equações para traçar o
gráfico da superfície de revolução.
SOLUÇÃO Das Equações 3, as equações paramétricas são
x=x y = senxcos () z=senxsen8

1100 ,, CÁLCUlO Editora Thomson
e o domínio do parâmetro é O oS: x ~ 27T, O~ O~ 2Tr. Usando um computador para
plotar essas equações e girar a imagem, obtemos o gráfico da Figura 1 O.
Podemos adaptar as Equações 3 para representar uma superfície obtida pela revolução
em torno do eixo x ou do eixo y (veja o Exercício 28).
FIGURA 10
Planos Tangentes
v
Agora vamos determinar o plano tangente a uma superfície paramétrica S traçada por uma
função vetorial
(u,,t~,)
r(u, v) ~ x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k
o
D
u= no
u
em um ponto P 0 com vetor posição r(u 0 , v 0 ). Se mantivermos u constante tomando u = uo,
então r(u 0 , v) se torna uma função vetorial de um único parâmetro v e define uma curva da
grade C 1 sobreS (veja a Figura 11). O vetor tangente a C 1 em P 0 é obtido tomando-se a
derivada parcial de r em relação a v:
ax av az
r,~- (uo, vo)i + -·- (uo, vo)j +- (uo, vo) k
av av av
Da mesma forma, se mantivermos v constante tomando v = v 0 , obteremos a curva da
grade C2 dada por r(u, v 0 ) que está sobreS, e cujo vetor tangente em Po é
ax av az
r,~- (uo, vo)i + -·-· (uo, Vo)j +- (Uo, Vo)k
au au au
Se ru X rt. não é O, então a superfícieS é dita lisa (sem "bicos"). Para uma superfície lisa,
o plano tangente é o que contém os vetores tangentes r, e r v, e o vetor ru X rll é normal
ao plano tangente.
FIGURA 11
.__
A Figura 12 mostra a superfície que
se auto-intercepta do Exernpio 9 e seu
plano tangente ern (1, 1, 3).
FIGURA 12
y
EXEMPLD B Determine o plano tangente à superfície com equações paramétricas
x ~ u 2 , y ~ v 2 , z ~ u + 2v no ponto (1, I, 3).
SOLUÇÃO Primeiro vamos calcular os vetores tangentes:
ih av az
r,~ -i+ -·-j + -k ~ 2u i+ k
au au au
ax ay az
r,~- i + -j +-k ~ 2v j + 2 k
av av av
Assim, o vetor normal ao plano tangente é
j
k
r"Xr,~ 2u O l ~-2vi-4uj+4uvk
O 2v 2
Note que o ponto (l, I, 3) corresponde ao valor dos parâmetros u ~ I e v~ L Assim o
vetor normal lá é
-2i-4j+4k
Portanto uma equação do plano tangente em (l, !, 3) é
-2(x- 1) - 4(y - l) + 4(z - 3) ~O
ou x + 2y - 2z + 3 ~ O

James Stewart CAPiTUlO 16 C!\LCUL_O VETORIAL 1101
Área de Superfície
Definiremos agora a área de superfície de uma superfície paramétrica genérica dada pela
Equação 1. Para simplificar, vamos considerar inicialmente uma superfície cujo domínio
dos parâmetros D é um retângulo, que dividiremos em sub-retângulos R, • 1
Vamos escolher
(u;*, vt) como o canto inferior esquerdo do retângulo Ru (veja a Figura 13). O pedaço Slj
da superfícieS que corresponde a R,,~ é chamado de retalho e tem um ponto P;; com vetor
posição r(u;*, v/) como um de seus cantos. Seja
os vetores tangentes em P,, calculados pelas Equações 5 e 4.
e
FIGURA 13
A imagem do sub-retângulo
Ru é o retalho Su
(a)
I
X~-
A Figura 14(a) mostra como os dois lados do retalho que se encontram em 11
podem
ser aproximados por vetores. Esses vetores, por sua vez, podem ser aproximados pelos
vetores 6.u r~ e 6.v r; porque as derivadas parciais podem ser aproximadas pelos quo~
cientes de diferenças. Assim, aproximamos Su pelo paralelogramo determinado pelos
vetores 6.u r 1f e Llv r;. Esse paralelogramo está representado na Figura 14(b) e está contido
no plano tangente a S em PiJ· A área desse paralelogramo é
e então uma aproximação da área de S é
I (il.u r;) X (il.v r;) I ~ I r; X r; I il.u il.v
m "
L L I r: X r;' I il.u il.v
i=l j=l
Nossa intuição nos diz que essa aproximação fica melhor quando aumentamos o número
de sub-retângulos e reconhecemos a soma dupla como a soma de Riemann para a integral
dupla JJ~ I r, X r, I du dv. Isso motiva a definição seguinte:
(b)
FIGURA 14
Aproximando um retalho
por um paralelogramo
Se uma superfície paramétrica lisa S é dada pela equação
r(u, v) ~ x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k
(u, v) E D
e Sé coberto uma única vez quando (u, v) varre todo o domínio D dos parâme-tros,
então a área de superfície de S é
onde
ru =-·
ax. Jy.
+ -J
au
au
A(S) ~ JJ Ir, X r, I dA
àz
+-k
au
/)
Jx Jy az
r,~-i+-j+-k
av av av

1102 CÁLCULO Editora Thomson
FXEMPUJ 10 Determine a área de superfície da esfera de raio a.
SOLUÇÃO No Exemplo 4 achamos a representação paramétrica
x~aren
onde o donúnio dos parâmetros é
Vamos calcular o produto vetorial dos vetores tangentes:
j
k
Ax ay az j k
r,p X re = aq, aq, aq, a cos q, cos e a cos q, senO -a sen

1
I
Note a semelhança entre a fórrnuia
da área da superfície da Equação 9 e a
fórmula do comprimento do arco
L~f~t+(:Z)'cú
da Seção 8.1 do Volume I
Então, temos
James Stewart CAPÍTUlO 16 CÁLCULO VETORIAL 1103
1
Jf)' (af)
- + - + 1 ~ /j
/( + - + -
. I (az)' (az)'
\ ax ay V ax \ dy
e a fórmula de área de superfície na Definição 6 fica
A(S) ~ jJ ~~ +
D
(
az)' (az)'
- + - dA
ax ay
EXEMPLO 11 LJ Determine a área da parte do parabolóide z = x 2 + que está abaíxo
do plano z ~ 9.
SOLUÇÃO O plano intercepta o parabolóide na circunferência x 2 +
= 9, z = 9. Portanto
a superfície dada está acima do disco D com centro na origem e raio 3 (veja a
Figura 15). Usando a Fórmula 9, temos
A~ fi ~~ + (~r+ (:J dA~ {f )J + (2x)' + (2v)' dA
X
FIGURA 15
~ fJ J! + 4(x 2 + y 2 ) dA
D
Convertendo para as coordenadas polares, obtemos
A~ j''"j' 3 y'l + 4r 2 rdrdG ~ j''" dO (3 r)J + 4r 2 dr
~o ~o ~o Jo
~ z7T(mo + 4r')312]; ~ ; (37 ffi- 1)
Precisamos ainda verificar se nossa definição da área de superfície (6) é coerente com
a fórmula da área de superfície obtida no cálculo com uma única variável (8.2.4),
Consideremos a superfície S obtida pela rotação da curva y ~ f(x), a ,o; x ,o; b, em
tomo do eixo x, onde .f(x) ;;-, O e f' é contínua. Da Equação 3, sabemos que as equações
paramétricas de S são
x=x y ~ J(x)cos 8 z~f(x)=O
Para calcular a área da superfície S, precisamos dos vetores tangentes
Então
r,~ i + f'(x) cos 8 j + f'(x) senO k
r e ~ -J(x) sen e j + f(x) cos 8 k
j
r, X r o~ l f'(x) cose f'(x) senO
o -J(x) seu e f{x) cos e
~ J(x)f'(x) i - J(x) cos e j - J(x) sen e k
k

1104 CÁLCULO Editora Thomson
e então I r, X r,, I ~ v[/(x)]'[f'(x)]' + [!(x)] 2 cos 2 8 + [/(x)]=sen 2 8
porque f(x) O. Portanto, a área de S é
~ J[!(x)]'[l + (f'(x))'] ~ f(x)vl + [!'(x)] 2
A~ rr Ir, X rol dA~ f'" j"'J(x))l + [J'(x)]'dxd8
'' • o • (I
/)
2rr ft(x)y'l + [f'(x)]'dx
Isso é precisamente a fórmula que foi usada para definir a área de uma superfície de revolução
no cálculo com uma única variável (8.2.4).
Exercícios
,-;-Il ~ Identifique a superfície com equação vetorial dada.
>-

James Stewart CAPÍTULO 16 CÁLCULO VETORIAl 1105
19. A parte do hipcrbolóidc x 2 + ) ~ 2
plano x2
1 que está à direita do
20. A parte do parabolóide elíptico :r + y' + 22' = 4 que está em
frente ao plano x = O
21.
22. A parte da esfera x" + v~+ 2 2 = 16 que está entre os planos
z=~2ez=2
23. A parte do cilindro y" + 2 2
_:r=Oex=5
16 que está entre os planos
::24. A parte do plano z = x + 3 que está dentro do cilíndro
XC+ y' =i
25--26 Use um sistema algébrico computacional para produzir um
gráfico que se pareça com o que está dado.
25.
onde ~i ~ r~ J e O ~ e~ 2'TT, é chamada Tira de Mõbius.
Trace o gnitico dessa superfície com vários pontos de vista. O
que há de estranho nela
31-34 ~ Determine uma equação do plano tangente à superfícíc
paramétrica dada no ponto específico. Se você tiver um programa
que trace o gráfico de superfícies paramétricas, use um computador
para traçar a superfície e o plano tangente.
·31. x = u +v, y = Ju 2 , z = u- v; (2, 3, 0)
32. x = u 2 , y =v::, z = uv; u = l, v= 1
33. r(u, v)= u 2 i + 2usen vj + ucos vk; u =L v= O
34. r(u, v) = uv i + u scn v j + v cos u k; u = O, v·= rr
Determine a área da superfície.
35. A -parte do plano .t· + 2y + 2 = 4 que está dentro do cilindro
xl + yl = 4
36. A parte do plano com equação vetorial
r(u, v) = (I + v, u - 2v, 3 - 5u + v) que é dada por
O ~ u ~ 1, O ~ v ~ I
"3J. A parte da superfície 2 =
x1 + Y1 = I
xy que está dentro do cilindro
38. A parte da superfície z = l + 3x + 2y:: que está acima do
triângulo com vértices (0, O), (O. I), e (2, I)
26,
27. Determine as equações paramétricas da superfície obtida pela
rotação da curva y = e-x, O~ x ~ 3, em torno do eixo x e
use-as para traçar o gráfico da supetfície .
• 28. Determine as equações paramétricas da superfície obtida pela
rotação da curva x = 4y 2 - y 4 , -2 ~ y ~ 2, em torno do eixo
y e use-as para traçar o gráfico da superfície.
~~ 29. (a) O que acontecerá com o tubo espiral do Exemplo 2 (veja a
Figura 5) se substituirmos cos u por sen u e sen u porcos u
(b) O que acontecerá se substituirmos cos u porcos 2u e sen u
por sen 2u
30. A superfície com as equações pammétricas
x ~ 2 cos O+ r cos(0/2)
y ~ 2sen e+ rcos(0/2)
z ~ rsen(&/2)
39. A parte do parabolóide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está entre
os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4
40. A parte do parabolóide x = y 1 + 2 2 que está dentro do cilindro
)'2 + z2 = 9
41. A parte da superfície y = 4x + 2 2 que está entre os planos
x =O, x = 1, z = O e z = 1
42. A parte do cilindro x 2 + z 2 =a 2 que está dentro do cilindro
x2+y2=a2
43. A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que está dentro do
cilindro x 2 + y 2 = ax
44. A helicóide (ou rampa espiral) com equação vetorial
r(u, v) = u cos v i + usen v j + v k, O~ u ~ I, O ~ v ~ 'TT
A superfície com equações paramétricas x = uv, y = u + v,
z = u- v, u 2 + v 2 ~ 1
45--41 = Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas
decimais, expressando-a em termos de uma integral de função de
uma variável real e usando sua calculadora para estimar a integral.
46. A parte da superfície z = cos(x 2 + y 2 ) que está dentro do
cilindro x 2 + y 2 = 1.
47. A parte da superfície z = e-·'-y"que está acima do círculo
x2 + Y2 ~ 4
48. Determine, com precisão até a quarta casa decimal, a área da
parte da superfície z = ( 1 + x 2 )/ ( 1 + y 2 ) que está acima do
quadrado ) x I + I y I ~ 1. Ilustre, traçando o gráfico dessa
porção de superfície.

1106 CÁLCULO Editora Thomson
r.;;~
'"'
49. (a) Use a Regra do Ponto Médio para as integrais duplas (veja
a Seção 15.1) com quatro quadrados para estimar a área de
superfície da parte do parabolóide z = x 2 + y" que está
acima do quadrado [0, l] X [O, !J
(b) Use um sistema algébrico computacional para aproximar a
área de superfície da parte (a) até a quarta casa decimaL
Compare com sua resposta da parte (a).
50. Detcrrnine a área da superfície de equação vetorial
r(u, c) = ( cos'u cos 3 v, sen 'u cos 'v, sen-'v), O ~ u ~ 1r,
O ~ v ~ 2 1r. Estabekça sua resposta com precisão de quatro
casas decimais.
51. Determine com exatidão a área da superfície
z = I + 2x + 3y + 4y=', 1 ~ x ~ 4, O~ y :0::::: 1.
52. (a) Estabeleça, mas não calcule. a integral dupla da área da
superfície com as equações paramét1icas x = au cos v,
y = husenv,z = u 2 , O~ u ~ 2,0 os v OS·2n.
(b) Elimine os parâmetros para mostrar que a superfície é um
parabolóide elíptico e estabeleça outra integral dupla que
fomcce sua área.
(c) Use as equações paramétricas da parte (a) com a= 2 e
h = 3 para traçar o gráfico da superfície.
(d) Para o caso a = 2, h = 3, use um sistema algébrico
computacional para achar a área de superfície com
precisão até a quarta casa decimal.
;Jl3, (a) Mostre que as equações paramétricas x =a sen u cos v,
y = hsenuscnv, z =ecos u, O os u os 7r, O~ v~ 27r,
representam um elipsóide.
54. (a) Mostre que as equações paramétricas x = a cosh u cos v,
y = h cosh u scn v, z = c senh u, representam um hiper~
bolóide de uma folha.
(b) Use as equações paramétricas da parte (a) para traçar o
gráfico do hiperbolóide para o caso a= I, h= 2, c= 3.
(c) Estabeleça, mas não calcuk, a integral dupla que dá a área
de superfície da porção do hiperbolóide da pmte (b) que
está entre os planos z = ~3 e z = 3.
55. Determine a área da superfície do Exercício 7 com precisão até
a quarta casa decimaL
56. (a) Determine a representação paramétrica do toro obtido
girando em torno do eixo z o círculo do plano xz com
centro em (h, O, 0) e raio a < b. [Dica: tome como
parâmetros os ângulos ()e a mostrados na figura.]
(b) Use as equações paramétricas achadas na parte (a) para
lraçar o gráfico do toro para diversos valores de a e b.
(c) Use a representação paramétrica da parte (a) para achar a
área de superfície do toro.
(b) Use as equações paramétricas da parte (a) para traçar o
gráfico do elipsóide para o caso a= l, b = 2, c= 3.
X (h, O, O)
(c) Estabeleça, mas não calcule. a integral dupla que dá a área
de superfície da parte do elipsóide da parte (b).
Integrais de Superfície
A relação entre integral de superfície e área de superfície é semelhante àquela entre a integral
de linha e o comprimento de arco. Suponha que f seja uma função de três variáveis
cujo domínio inclui uma superfície S. Dividimos S em retalhos S;J com área áSiJ.
Calculamos f em um ponto Ptj de cada retalho, multiplicamos por ô.S 1 J e formamos a soma
m
n
L L f(Pij) !>S,i
i=! J~J
Então tomamos o limite quando o tamanho dos retalhos se aproxima de O e definimos a
integral de superfície de f sobre a superfície S como
Note a analogia com a definição de integral de linha (16.2.2) e também a analogia com a
definição da integral dupla (l5,L5),
tt '&t

FIGURA 1
- -M
James Stewart CAPÍTULO 16 CÁLCULO VETORIAL O 1107
Para calcular a integral de superfície da Equação 1 aproximamos a área do retalho !J.Sj
pela área b..T; 1
de um paralelogramo aproximante no plano tangente, e o limite é a integral
dupla. Explicaremos agora detalhes para dois tipos de superfícies: gráficos e superfícies
paramétricas.
Gráficos Se a superfície Sé o gráfico de uma função de duas variáveis, então ela
tem uma equação da forma z = g(x, y), (x, y) E D, ilustrada na Figura I. Vamos inicialmente
assumir que o domínio dos parâmetros D seja um retângulo e vamos dividir esse
retângulo em sub-retângulos pequenos Rij todos com o mesmo tamanho. O retalho S;; está
diretamente acima do retângulo Ru, e o ponto P;j de Su é da forma (x;*, y/, g(x;*, y,t)) _
Como para a área de superfície na Seção 15.6, aproximamos
!lS;; = !lT; 1 = ,f[g,{x;, y;)]' + [gy(x;, y;)] 2 + I !lA
De·fato, pode ser provado que, se f é contínua sobreS e g tem derivadas parciais contínuas,
então a Definição I fica
JJ!(x,y,z)dS =
s
lim 2: Lf(x;*,y/,g(x;*,y/)),f[g,(x;,y 1 )] 2 + [g 2
(x;,y;)] 2 +I !lA
m,n--->cx, ;=! j=l
~ fJ f(x, y, g(x, y)),f[g,(x, y)] 2 + [g,(x, y)]' + 1 dA
D
Essa fórmula, válida mesmo quando D não é retangular, é geralmente escrita da seguinte
maneira:
JJ f(x, y, z) dS = fJ f(x, y, g(x, y))
S
D
Fórmulas semelhantes se aplicam quando é mais conveniente projetar S sobre o plano
yz ou o plano xz. Por exemplo, se S for uma superfície com equação y ~ h(x, z) e D for
sua projeção no plano xz, então
fj f(x, y, z) dS = ~- f(x, h(x, z), z) ~ ( !~ )' + (:;r + 1 dA
dA
FIGURA 2
X
EXEMPLO 1 c Calcule jj~y dS, onde Sé a superfície z = x + y 2 , O~ x ~ 1, O~ y ~ 2
(veja a Figura 2).
SOLUÇÃO Como
a Fórmula 2 dá
az
-=1
ax
e
az
-=2y
ay
fj ydS= ~- y~l + (*)'+(!;)'dA
= fo' J: y,fl + 1 + 4y 2 dydx
= s; dx ..fi L' y,fl + 2y' dy
= ..fi(l)j(l + 2y')l!2]~ = 13;-
As integrais de superlície têm aplicações sernelliantes àquelas das integrais consideradas
previamente. Por exemplo: se uma folha fina (digamos, uma folha de aluminio) tem
o formato de uma superfície S e a densidade (massa por unidade de área) em um ponto
(x, y, z) for p(x, y, z), então a massa total da folha será

1108 CÁLCULO Editora Thomson
e o centro de massa será (X, y, Z), onde
1 ..
x ~ -I! xp(x, y, z) dS
m ... s
m ~ jJ p(x, y, z) dS
s
1 ..
y ~ -11 yp(x, y, z) dS
m •. s
1 , ,
z ~ -JI zp(x,y, z) dS
m. s
Momentos de inércia também podem ser definidos como anteriormente (veja o
Exercício 37).
Superfícies Paramétricas Suponha que a superfícieS tenha equação vetorial
r(u, v) ~ x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k (u, v) E D
Vamos admitir inicialmente que o domínio dos parâmetros D seja um retângulo e vamos
dividi-lo em sub-retângulos R; 1 com dimensões ilu e ilv. Então a superfícíe ficará
dividida em retalhos correspondentes SiJ com áreas tJ.S1h como na Figura 3.
-c
X
FIGURA 3
Admitimos que a superfície é
coberta somente uma vez quando (u, v)
varia em O. O valor da integral de
superfície não depende da
parametrização usada.
onde
Em nossa discussão sobre a área de superfície na Seção 16.6, fizemos a aproximação
Jx . ay . Jz
r,=-•+-J+-k
au au au
b.SiJ = I r, X r, I b.u b.v
Jx • ay . az
rv = -· + -J + -k
av av av
são os vetores tangentes em um canto de S;J· Se os componentes são contínuos e r, e r v são
não nulos e não paralelos no interior de D, pode ser mostrado da Definição 1, mesmo
quando D não seja retangular, que
jJ f(x, y, z) dS = JJ f(r(u, v))l r, X r, I dA
S
Isso deve ser comparado com a fórmula para a integral de linha:
D
Observe também que
JJ(x, y, z) ds ~ f J(r(tlll r'(t) I dt
jJ l dS = jJ I r, X r, I dA = A(S)
S
D
A Fórmula 3 nos permite calcular a integral de superfície, convertendo-a em uma integral
dupla sobre o donúnio dos parâmetros D. Quando usamos essa fórmula, precisamos
lembrar que J(r(u, v)) deve ser calculada escrevendo-se x = x(u, v), y = y(u, v) e
z ~ z(u, v) na fórmula de J(x, y, z).

James Stewart CAPÍTULO 16 CÁLCULO VETO!ill\l_ u 1109
s,
FIGURA 4
S,(x' + y' = 1)
Qualquer superfície S com equação z = g(x, .v) pode ser olhada como uma superfície
paramétrica com equações paramétricas
e da Equação 16.6.8 temos
x=x y=y z = g(x, y)
Ir, x r,l = )1 + (!:)' + u:r
Portanto, nesse caso. a Fórmula 3 se transforma na Fónnula 2.
E~EMPUJ l __,r-~ Calcule a integral de superfície JJ~. x 2 dS. onde S é a esfera unitária
x~ + y 2 + z"'" = 1.
SOLUÇÃO Como no Exemplo 4 da Seção 16.6, utilizamos a representação paramétrica
X= sen cpCOS e y = sencpsenO z=coscp
ou seja,
r(, O) = sen

1110 o CÁLCULO
Editora Thomson
Então, a integral de superfície sobre S t é
JJ z dS ~ fJ z I r, X r, i dA
S, D
1 (2" l
~ 2 [1 + 2cos O+ ,(1 + cos20)]dO
,o
Como S 2 está no plano z = O, temos
jJzds~ JJods~o
S, S:
A superfície do topo s3 está acima do círculo D e é parte do plano z = l + X. Portanto,
tomando g(x, y) = 1 + x na Fórmula 2 e transformando para coordenadas polares, temos
If zdS~ ~(1 +x)~l + (*)' + (*)'d4
~f:" Jo' (1 + rcos O).,! I+ 1 + OrdrdO
~ vlz f:" fo' (r + r 2 cos O) dr dO
~ vlz f'" G + l cose) dO~ v~z[l)_ + seno]'"~ vlzr.
,o 2 3 o
Portanto
f f z dS ~ jJ z dS + jJ z dS + ff z dS
s s, s, s.
~
3 ; +o+ vlzr. ~ (l + vlz)r.
FIGURA 5
Uma faixa de Mõbius
B
A
Superfícies Orientadas
Para definir as integrais de superfície de campos de vetores, precisamos desconsiderar as
superfícies não-orientáveis, tais como a faixa de MObius mostrada na Figura 5. [Ela recebeu
esse nome em homenagem ao geômetra alemão August Mõbius (1790-1868).] Você
pode construir uma faixa soziuho, tomando uma tira de papel retangular e comprida, dando
uma meia-volta (em uma de suas extrerrúdades) e grudando os lados mais curtos, como na
Figura 6. Se uma fonniga resolvesse camiuhar sobre a faixa de Mõbius partindo de um
ponto P, ela terminaria sobre o "outro lado" da faixa (isto é, com sua cabeça apontando na
direção oposta à de sua partida). E, mais ainda, se prosseguisse sua caminhada, conforme
c
D
A -

)
I
James Stewart CAPÍTUlO 16 CÁLCULO VETORLAL c_:; 1111
X
FIGURA 7
n,
iniciara, ela retomaria ao mesmo ponto P sem nunca ter cruzado uma borda. (Se você construir
uma faixa de Mübius, tente traçar com um lápis um caminho passando pelo meio dela.)
Portanto, urna faixa de Móbius realmente tem um lado só. Você pode fazer o gráfico da faixa
de Mübius usando as equações paramétricas do Exercício 30 da Seção 16.6.
Daqui para a frente consideraremos somente as superfícies orientáveis (com dois lados).
Começaremos com urna superfície S que tenha um plano tangente em todos os pontos
(x, y, z) sobreS (exceto nos pontos da fronteira), Em cada ponto (x, y, z) existem dois verseres
normais n 1 e n 2 = -n 1 (veja a Figura 7). Se for possível escolher um versar normal
nem cada ponto (x, y, z) de modo que n varie continuamente sobreS, então Sé chamada
superfície orientada, e a escolha dada de n fornece a S uma orientação. Existem duas
possíveis orientações para qualquer superfície orientada (veja a Figura 8).
FIGURA 8
As duas orientações de uma
superfície orientada
Para uma superfície z ~ g(x, y) dada como o gráfico de g, usamos a Equação 16,6_7 e
vemos que a orientação induzida é dada pelo versor normal
Como a componente na direção de k é positiva, isso fornece a orientação para cima da
superlície.
Se S for uma superfície orientada lisa dada na forma paramétrica pela equação vetorial
r(u, v), então ela está automaticamente suprida com a orientação do versor normaL
n~
ru X rv
Jr, X r,J
e a orientação oposta é dada por -n, Por exemplo: no Exemplo 4 da Seção 16,6 encontramos
a representação paramétrica
FIGURA 9
Orientação positiva
r(, O) ~a sen cos Oi + a sen senO j + a cos k
para a esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 • Então no Exemplo 10 da Seção 16.6 achamos que
r,p X ro = a 2 sen 2 cos Oi+ a 2 sen 2 sen8j + a 2 sencos c/Jk
X
FIGURA 10
Orientação negativa
y
e
Assim a orientação induzida por r(, O) é definida pelo versor normal
X
l
n ~ ~ sen

1112 o CÁLCUlO
Editora Thomson
Para uma superfície fechada, isto é, uma superfície que seja a fronteira de urna região
sólida E, a convenção é que a orientação positiva é aquela para a qual os vetores normais
apontam para fora de E, e os vetores normais que apontam para dentro correspondem à
orientação negativa (vejam as Figuras 9 e 10).
Integrais de Superfície de Campos Vetoriais
'l
FIGURA 11
Suponha que S seja uma superfície orientada com versor normal n, e imagine um fluido
com densidade p(x, y, z) e campo de velocidade v(x, y, z) fluindo através de S. (Pense em
S sendo uma superfície imaginária que não impeça a passagem do líquido, como urna rede
de pesca em uma corrente de água.) Então a taxa de vazão (massa por unidade de tempo)
por unidade de área é pv. Se dividirmos Sem pequenos retalhos SiJ, como na Figura 11
(compare com as Figuras l e 3), então S;j é aproximadamente plana, de modo que podemos
aproximar a massa de fluido que passa por S1j na direção da normal n por unidade de tempo
pela quantidade
(pv · n)A(S,;)
onde p, v e n são calculados em algum ponto de S,.;· (Lembre-se de que o componente do
vetor pv na direção do versar n é pv • n.) Somando essas quantidades e tomando o limite,
obtemos, de acordo com a Definição 1, a integral de superfície da função pv • n sobre S:
JJ pv · n dS ~ JJ p(x, y, z)v(x, y, z) · n(x, y, z) dS
s
s
e é interpretada fisicamente como a taxa de vazão através de S.
Se escrevermos F = pv, então F é também um campo vetorial em IR. 3 e a integral da
Equação 6 fica
[fF·ndS
s
Uma integral de superfície dessa forma aparece freqüentemente em física, mesmo quando
F não é pv, e é denominada integral de superfície (ou integral de fluxo) de F sobre S.
Definição Se F for um campo vetorial contínua definido sobre uma superfície
orientada S com versor normal n, então a integral de superfície de F sobre S é
ff F · dS ~ f F · n dS
s
s
Essa integral é também chamada flnxo de F através de S.
Em palavras, a Definição 7 diz que a integral de superfície de um campo vetorial sobre
Sé igual à integral de superfície de seu componente normal sobreS (como definido previamente).
Gráficos No caso da superfície S ser dada por um gráfico z ~ g(x, y ), podemos
detenninar n notando que S também é a superfície de nível .f(x, y, z) ~ z - g(x, y) ~O.
Sabemos que o gradiente \lf(x, y, z) é normal a essa superfície em (x, y, z) e assim o
versor normal é
'1/f(x, y, z)
I \l.f(x, y, z) I
-gAx, y) i - g,(x, y) j + k
.j[g,(x, y)]' + [g,(x, y)] 2 + I

l
James Stewart CAPÍTULO 16 CÁLCULO VETORI.l\L éJ 1113
Como o componente na direção k é positivo. o versor nonnal aponta para cima. Se usarmos
agora a Fórmula 2 para calcular a integral de superfície (7) com
obteremos
F(x, y, z) ~ P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
s
ou
s
ag. a 9 _
--·--J + k ,- , , , ,
1
/(i!JL)' + (i!JL)' + 1 V ax- + -ay} ~ l r A
~ JJ (P i + Q j + R k) •
ax ay !("g)· (iJg 1- ,
D
y ax
ay
jJ F · dS ~ f f (-P :: -c Q ;~
s ~ -
+ R) dA
Para um vetor normal apontando para baixo, multiplicamos por- J. Fórmulas semelhantes
podem ser obtidas se S for dada por y ~ h(x, z) ou x ~ k(r, z) (veja os Exercícios 33 e 34).
EXEMPLO 4 c Calcule JL F · dS, onde F(x, y, z) ~ y i + x j + z k e Sé a fronteira da
região sólida E contida pelo parabolóide z = 1 - x 1 - y 2 e pelo plano z = O.
SOLUÇÃO A superfícieS é constituída pela superfície parabólica do topoS, e pela superfície
circular do fundo S 2 (veja a Figura 12). Como Sé urna superfície fechada, usamos a
convenção de orientação positiva (para fora). Isso significa que S t é orientada para cima
e podemos usar a Equação 8 com D sendo a projeção de S 1 sobre o plano xy, ou seja, o
círculo x 2 + y 2 ~ 1. Como
FIGURA 12
sobre St e
temos
P(x,y,z) ~ y
Q(x,y, z) ~ x
iJ_2__ = -2x
ax
l'f F · dS ~ fi' (-P
iJ_2__ -
~ ~ ax av
~ D ~
R(x, y, z) ~ z ~ l - x 2 -
ag
-~ -2v
ay -
Q iJ_2__ + R) dA
~ jJ [-y(-2x)- x(-2y) + 1- x 2 - y 2 ]dA
D
~ JJ (I + 4xy- x 2 - y 2 )dA
D
~ j''" ('(I+ 4r 2 cos &senO r 2 )rdrd&
o • o
~ f'"(' (r- r 3 + 4r 3 cos e senO) drdO
Jo .o
f2r, ( l ) l 7T
~ Jo 4 + cos e sen e d8 = ,J2rr) + o ~ 2

1114 o CÁLCULO Editora Thomson
O círculo S 2 é orientado para baixo, então seu versar normal é n =
- k e temos
JJ F · dS ~ ff F· ( -k) dS ~ jJ ( -z) dA = jJ O dA ~O
S, S, D D
já que z ~ O sobre S 2 . Finalmente, calculamos. pela definição, Jj~ F · dS como a soma
das integrais de superfície de F sobre S1 e Sz:
J·r F · dS ~ 1 -r F · dS + r 1·
F · dS ~ ~ + o ~ r.
. .. .. 2 2
s s, s,
Superfícies Paramétricas Se Sé dada pela função vetorial r(u, v), então n é dada
pela Equação 5, e da Definição 7 e Equação 3, temos
1 .,. [F(r(u,v)) ·Ir, x r, Jrr, x r,[ dA
~~ ruXrv
1
/)
Compare a Equação 9 com a
expressão semelhante para o cálculo
da integral de linha de campos
vetoriais da Definição 16.2.13:
Jc ' F · dr = L f' F( r(!)) • r'(t) dt
onde D é o domínio dos parâmetros. Então, temos
jJ F· dS ~ fJ F· (r, X r,) dA
S
D
Note que, em vista da Equação 16.6. 7, temos
àg. àg .
r,Xry~--t--J+k
e a Fórmula 8 é um caso especial da Fórmula 9.
ax
ay
A Figura 13 mostra o campo vetorial
F do Exemplo 5 em pontos da esfera
unitária.
,, : · ·'" Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) ~ z i + y j + x k através
da esfera unitária x 2 + y 2 + z 2 = 1.
SOLUÇÁO Usando a representação paramétrica
r(

James Stewart CAPÍTULO 16 CALCULO VETORiAL 1115
c, pela Fórmula 9, o fluxo é
fJF·dS= jJF·(r.xr,)dA
s
o
= ['"j'r, (2sen 2 cos rpcos e+ sen 3 sen 2 8)drpd8
Jo u
pelos mesmos cálculos que no Exemplo 2.
3
Se, por exemplo, o campo vetorial do Exemplo 5 é um campo de velocidade descrevendo
o fluxo de um fluido de densidade 1, então a resposta 47T/3 representa a taxa de
vazão através da esfera unitária em unidade de massa por unidade de tempo.
Embora tenhamos usado como motivação para a integral de superfície de um campo de
vetores o exemplo de mecânica dos fluidos, esse conceito também aparece em outras situações
físicas. Por exemplo: se E é um campo elétrico (veja o Exemplo 5 da Seção l6.l).
então a integral de superfície
é chamada fluxo elétrico de E através da superfície S. Uma importante lei de eletrostática
é a Lei de Gauss, que diz que a carga contida por uma superfície Sé
onde Eo é uma constante (denominada perrrllssividade do espaço livre) que depende das
unidades usadas. (No sistema SI, e 0 = 8,8542 X 10· 12 C 2 /N·m 2 .) Portanto, se o campo
vetorial F do Exemplo 5 representa um campo elétrico, podemos concluir que a carga
envolvida por Sé Q = 47Teo/3.
Outra aplicação de integrais de superfície ocorre no estudo de fluxo de calor. Suponha
que a temperatura em um ponto (x, y, z) em um corpo seja u(x, y, z). Então o fluxo de
calor é definido como o campo vetorial
F= -K'Vu
onde K é uma constante detenninada experimentalmente, chamada conduthidade da
substância. A taxa de fluxo de calor através da superfícieS no corpo é então dada pela integral
de superfície
ff F·dS = -KJJ \lu· dS
s
s
A temperatura u em uma bola metálica é proporcional ao quadrado da
distância do centro da bola. Determine a taxa de fluxo de calor através de uma esfera S
de raio a e centro no centro da bola.

1116 CJ CÁLCULO Editora Thomson
SOLUÇÃO Tomando o centro da bola como a origem, temos
u(x, y, z) = C(x' + y' + z')
onde C é a constante de proporcionalidade. Então o fluxo de calor é
F(x,y,z) = -Kílu = -KC(2xi + 2yj + 2zk)
onde K é a condutivídadc do metal. Em vez de usar a parametrização usual da esfera
dada no Exemplo 5, observamos que o vetor normal para a esfera x 2 + y 2 + z 2 =a~
que aponta para fora no ponto (x, y, z) é
1
n = - (x i + y j + z k)
a
e então
Mas sobreS temos x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , e F· n =
calor através de 5 é
~2aKC Portanto, a taxa de fiuxo de
lí F · dS =

1
13.
il (x 2 z + v 2 z) dS,
.. :, . - ~
Sé o hemisfério r + y 2 + z" = 4, z ::>- O
14. Jlxyz dS,
Sé a parte da esfera x 2 + _v 2 + z 2 = I que está acima do cone
z=.yx 2 +y"
15. ff (x 2 y + z 2 )dS,
.... \ ~
Sé a parte do cilindro x· +_v c = 9 entre os planos z = O e
z~2
16. J\ (x 2 + y' + z 2 )dS.
S é formada pelo cilindro do Exercício 15, além dos círculos
que compõem o fundo e o topo.
17. j};yz dS,
Sé a superfície com equações paramétricas x = u 2 , y = u sen v,
z = u cos v, o~ u ~ 1, o~ 1.: :õS 1T/2
18. Jlvl + x 2 + y 2 dS,
5 é o helicóide com equação vetorial
r(u,v) = ucosvi + usenvj + vk,O~u:;:::::
I, O"" v~ 7T
19-28 Calcule a integral de superfície Jl F · dS para o campo
vetorial F e superfície orientada S. Em outras palavras, determine o
fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação
(para fora) positiva.
J9. F(x, y, z) =X)' i + yz j + zx k, Sé a parte do parabolóide
z = 4 ~ x" ~ }' 2 que está acima do quadrado O ~ x ~ 1,
O~ y ~ 1, com orientação para cima.
20. F(x, y, z) = xy i+ 4x 2 j + yz k, Sé a superfície z = xeY,
O ~ x ~ I, O ~ y ~ 1, com orientação para cima
21. F(x, y, z) = xzeYi- xzeY j + z k,
S é a parte do plano x + y + z =
orientação para baixo
l no primeiro octante, com
22. F(x, y, z) = x i + y j + z 4 k,
Sé a parte do cone z = vx 2 + y 1 abaixo do plano z = I com
orientação para baixo
23. F(x, y, z) ~ x i - z j + y k,
Sé a parte da esfera x" + y 2 + z 2 = 4 no primeiro octante
com orientação para a origem.
24. F(x, y, z) = xz i + x j + y k Sé o hemisfério
xz + y 2 + z 2 = 25, y ç O, orientado na direção do eixo
y positivó
F(x, y, z) ~ y j - z k,
Sé formado peJo parabolóide y = x 2 + z 2 , O :s;: y ~ 1, e pelo
círculo x 2 + z 2 ~ 1, y = 1
26. F(x, y, z) = x i + y j + 5 k, Sé a superfície do Exercício 12.
27. F'(x,y,z) = xi + 2yj + 3zk,
Sé o cubo com vértices (2::1, ±l, :::1)
28. F(x, y, z) = y i + x j + z 2 k,
Sé o helicóide do Exercício 18, com orientação para cima
29. Calcule Jfs xyz dS preciso até a quarta casa decimal, onde Sé a
superfície z = xy, O :s;: x ~ 1, O ~ y :s;: L
James Stewart CAPÍTUlO 16 CALCULO VETORI-A.L 1117
30. Determine o valor exato de JJ,x".vz dS. onde Sé a superfície
do Exercício 29.
31. Detemüne o valor de fL _-r'-v'"z 2 dS cmTeto até a quarta casa
•'• .~ - ~ .
decimal, onde Sé a parte do parabolóide z = 3 ~ 2x" ~ y-
que está acima do plano -l)'.
32. Detennine o fluxo de F(x, y, z) = sen(xyz) i + x 1 _r j + r' e' ·s k
através da parte do cilindro 4y" + z 2 = 4 que está acima do
plano .:t}' e entre os planos x = ~ 2 ex = 2 com orientação para
cima. Ilustre, usando um sistema algébrico computacional para
desenhar o cilindro e o campo vetorial na mesma tela.
33. Determine a fónnula para Jl· F · dS semelhante à Fómmla 8
para o caso onde Sé dada por y = h(x, z) e n é o versor
normal que aponta para a esquerda.
34. Determine a fónnula para J1· F · dS semelhante à Fónnula 8
para o caso onde Sé dada por x = k(y, z) e n é o vcrsor
normal que aponta para a frente (ou seja, para o observador,
quando os eixos estão desenhados na posição usual).
L35'. Determine o centro de massa do hemisfério x' + y 2 + z 2 =a',
z ç O, se ele tiver densidade constante.
36. Determine a massa de um funil fino com o formato do cone
z =
p(x,y, z) ~lO- z.
-Jx 2 + y 2 , 1 ~ z :s;: 4, se sua função densidade é
37. (a) Dê uma expressão integral para o momento de inércia/,
em tomo do eixo z de uma folha fina no formato da
supetfície S, se a função densidade é p.
(b) Determine o momento de inércia em torno do eixo z do
funil do Exercício 36.
38. A supeifície cônica z 2 = x 2 + y 2 , O~ z ~a tem densidade
constante k. Determine (a) o centro de massa e (b) o momento
de inércia em tomo do eixo z.
39. Um fluido com densidade 1200 fluí com velocidade
v = y i + j + z k. Determine a taxa de vazão do fluído através
do parabolóide z = 9- ~(x 2 + y 2 ), x 2 + y 1 ~ 36.
40. Um fluido com densidade 1500 e campo de velocídade
v= -y i+ xj + 2z k. Determine a taxa de vazão do fluido
saindo da esfera x 2 + y 1 + z 2 = 25.
41. Use a Lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério
sólido x 2 + y 2 + z 2 ~ a 2 , z;;:. O, se o campo elétrico é
E(x, y, z) ~ x i + y j + 2z k.
42. Use a Lei de Gauss para achar a carga dentro de um cubo com
vértices ( ::t 1, ± 1, .± 1) se o campo elétrico é
E(x, y, z) ~ x i + y j + z k.
A temperatura em um ponto (x, y, z) em uma substância com
condutividade K =
taxa de transmissão de calor nessa substância através da
superfície cilíndrica y 2 + z 2 = 6, O ~ x ~ 4.
6,5 é u(x, y, z) = 2y 2 + 2z 2 • Determine a
44. A temperatura em um ponto de uma bola com condutividade K
é inversamente proporcional à distância do centro da bola.
Detennine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera
S de raio a e centro no centro da bola_

1118 o CÁLCULO Editora Thomson
16.8
O Teorema de Stokes
X
o
y
O Teorema de Stokes pode ser visto como uma versão em dimensão maior do Teorema
de Green. Enquanto o Teorema de Green relaciona uma integral dupla sobre
uma região plana D com uma integral de linha ao redor de sua curva fronteira plana,
o Teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície sobre uma superfícieS com
uma integral ao redor da curva fronteira S (que é uma curva no espaço). A Figura l
mostra uma superfície orientada com seu versor normal n. A orientação de S induz a
orientação positiva da curva fronteira C mostrada na figura. Isso significa que, se
você andar na direção positiva ao redor da curva C com sua cabeça na direção e sentido
de n, então a superfície estará sempre à sua esquerda.
FIGURA
O Teorema de Stokes tem seu nome
em homenagem ao físico matemático
irlandês sir George Stokes (1819-1903).
Stokes era professor na Universidade
de Cambridge (de fato ele tinha a
mesma posição que Newton. Lucasian
Professor of Mathematics) e se
sobressaiu por seus estudos sobre
vazão de fluidos e luz. O teorema que
hoje chamamos Teorema de Stokes
foi, na verdade, descoberto pelo físico
escocês si r Wi!liam Thompson (1824-
1907, conhecido como lorde Kelvin)
Stokes soube desse teorema por uma
carta de Thomson em 1850 e pediu a
seus estudantes para prová-lo em um
exame em Cambridge, em 1854. Não
se sabe se algum de seus estudantes
foi capaz de fazê-lo.
feDren:s r] e Eli:DkB:-:
SejaS uma superfície orientada, lisa por trechos, cuja fronteira
é formada por uma curva C simples, fechada, lisa por trechos, com orientação
positiva. Seja F um campo vetorial cujos componentes têm derivadas parciais
contínuas na região aberta de IR 3 que contém S. Então
L F · dr ~ jJ rot F · dS
Como
e
jJ rotF·dS~ jJ rotF·nds
s 5
o Teorema de Stokes nos diz que a integral de linha ao redor da curva fronteira de S do
componente tangencial de F é igual à integral de superfície do componente normal do rotacional
de F.
A curva fronteira orientada positivamente da superfície orientada S é com freqüência
denotada por as, de modo que o Teorema de Stokes possa ser escrito como
JJ rot F · dS ~ L F · dr
s
Existe uma analogia entre o Teorema de Stokes, o de Green e o Teorema Fundamental do
Cálculo. Como anteriormente, existe uma integral envolvendo as derivadas do lado esquerdo
da Equação l (lembre-se de que o rot F é uma espécie de derivada de F) e do lado
direito, envolvendo valores de F, calculados somente na fronteira de S.
De fato, no caso especial em que a superfície S é plana e pertence ao plano xy com
orientação para cima, o versor normal é k, a integral de superfície se transforma em uma
integral dupla, e o Teorema de Stokes fica
fcF · dr ~ jJ rot F· dS ~ JT (rot F)· kdA
s
s
Esta é precisamente a forma vetorial do Teorema de Green dada pela Equação 16.5.12.
Então vemos que o Teorema de Green é, realmente, um caso especial do Teorema de Stokes.
Apesar de o Teorema de Stokes ser muito difícil de provar no caso geral, podemos fazer
uma prova quando S for um gráfico e F, Se C forem bem comportados.

l
James Stewart CAPÍTUlO 16 CÁLCULO VETORIAL o 1119
::=g(x,y)
::,:: ;u;;, Admitiremos que a equação de S seja
z ~ g(x, y), (x, y) .E D, onde g tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, e que
D seja uma região plana simples cuja fronteira C1 corresponde a C. Se a orientação de S
for para cima, então a orientação positiva de C corresponde à orientação positiva de C
(veja a Figura 2). É-nos dado que F ~ P i + Q j + R k, onde as derivadas parciais de P,
Q e R são contínuas.
Como Sé um gráfico de urna função, podemos aplicar a Fórmula 16.7.8 com F substituído
por rot F. O resultado é
X
FIGURA 2
JJrotF·dS
s
~ J'j' [_(i!!':_ _ aQ) az _ ( aP _ aR) az + ( aQ _ aP) J dA
, O)' az dX az dX ay dX d)'
D
onde as derivadas parciais de P, Q e R são calculadas em (x, y, g(x. x)). Se
x ~ x(t)
y ~ y(t)
é a representação paramétrica de C 1 , então a representação paramétrica de C é
x ~ x(t) y ~ y(t) z ~ g(x(t). y(r))
Isso nos permite, com ajuda da Regra da Cadeia, calcular a integral de linha como
segue:
· j'b ( dx dy dz)
j F·dr~ P-+Q-+R- dt
c " dt dt dt
f
b [
P-+Q-+R--+-- dx dy ( Jz d< az dy)] dt
'" dt dt ax dt ay dt
~ Jb [ (P + R '!!__) dx + (Q + R az) dy] dt
" axdt aydt
~f (p +R'!!_) dx + (Q +R'!!_) dy
c ax ay
~ JJ [~ (Q +R az) - ~ (P +R'!!_)] dA
ax ay ay ax
D
onde usamos o Teorema de Green no último passo. Então, utilizando novamente a Regra
da Cadeia e lembrando que P, Q e R são funções de x, y e z e que z é, por sua vez,
função de x e y, obtemos
. F . dr ~ JJ [ ( aQ + aQ '!!__ + aR '!!__ + aR '!!__ '!!__ + R a'z )
J
C ax dZ ax ax ay az Jx oy Jxay
D
aP aP az aR az aR az az a'z )] dA
- ( -;;y+az- Jy +-;;y ax +az- ay ax +R ayax
Quatro dos termos da integral dupla se cancelam, e os seis restantes podem ser arrumados
para coincidir com o lado direito da Equação 2. Portanto
Jc F • dr ~ fJ rot F · dS
s

1120 L:: CÁlCULO Editora Thomson
EXEMPLO 1 c Calcule J~ F · dr, onde F(x. r. z) = -y' i + x j + z' k e C é a curva da
interseção do plano y + z = 2 com o cilindro x 2 + y~ =
anti-horário quando visto de cima.)
] . (Oriente C para ter o sentido
c
-~- y + : :::0:: 1
SOlUÇÃO A curva C (uma elipse) está mostrada na Figura 3. Apesar de J~ F· dr poder
ser calculada diretamente, é mais simples usar o Teorema de Stokes. Vamos inicialmente
calcular
rol F=
j k
a a a I
=(I + 2y) k
ax ay az
zl
X
FIGURA 3
Apesar de haver muitas superfícies com fronteira C, a escolha mais conveniente é a
região elípticaS no plano y + z = 2 cuja fronteira é C. Se orientarmos S para cima,
então a orientação induzida em C será positiva. A projeção D de S sobre o plano xy é o
disco x 2 + y 2 ~ 1, e assim, usando a Equação 16. 7.8 com z = g(x, y) = 2 y, temos
f F · dr = f f rot F · dS = f f (I + 2y) dA
~ { ~ .. . .
s
o
= r
f'" f 1 (I+ 2rscne) rdrde
~o . o
[
~' + 2 ~l sen e I de= L,'~ G + l sen e) de
= l(27T) + o= 7T
X
FIGURA 4
----oi-~--\
\ _y
x2+y'=1
EXEMPLO 2 :J Use o Teorema de Stokes para calcular a integral JJs rot F • dS, onde
F(x, y, z) = yz i + xz j + xy k e Sé a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está dentro
do cilindro x 2 + l = 1 e acima do plano xy (veja a Figura 4).
SOLUÇÃO Para achar a curva fronteira C resolvemos as equações x 2 + y 2 + z 2 = 4 e
x' + y' = I. Subtraindo, obtemos z 2 = 3, e assim z = .j3 (uma vez que z > 0). Então, C
é a circunferência dada pelas equações x 2 + y 2 = 1, z = ,J3. A equação vetorial de C é
r(t) = cos ti + sen t j + .j3 k
e r'(t) = -senti + cos t j
Temos também
o~ t ~ 21T
F(r(t)) = .j3 senti + .j3 cos t j + cos t sent k
Portanto, pelo Teorema de Stokes,
JJ rot F · dS = Jc F · dr = fo'" F(r(t)) · r'(t) dt
s
= j'" ( -.j3 cos t sen t + .j3 sen t cos t) dt
o
=.f3todt=O
,o

James Stewart CAPÍTULO 16 C;\LCULO VETORIAL , 1 1121
Note que no Exemplo 2 calculamos a integral de superfície simplesmente sabendo os
valores de F na curva fronteira C. Isso significa que, se tivennos outra superfície orientada
com a mesma curva fronteira C, obteremos o mesmo valor para a integral de superfície!
Em geral, se S1 c S2 são superfícies orientadas com mesma curva fronteira orientada C
e ambas satisfazem as hipóteses do Teorema de Stokes, então
JJ rot F · dS ~ LF · dr ~ JJ rot F · dS
s, s.
Esse fato é muito útil quando for difícil integrar sobre urna superfície, mas é mais fácil
integrar sobre a outra.
Usaremos agora o Teorema de Stokes para tentar explicar o significado do vetor rotacional.
Suponha que C seja uma curva fechada orientada e v represente o campo de velocidade
de um fluido. Considere a integral de linha
(a)J v· dr >O, circulação positiva
c
ib )J v · dr < O, circulação ncgatíva
' c
FIGURA 5
~_:; Imagine urna roda pequena formada
por pãs colocadas em um fluido em
um ponto P, como na Figura 6; essa
roda vai girar mais rapidamente quando
seu eixo for paralelo a rot v.
FIGURA 6
T
fv·dr~ f v·Tds
.c .c
e lembre-se de que v · T é o componente de v na direção do versor tangente T. Isso significa
que, quanto mais próxima a direção de v está da direção de T, maior é o valor de v · T.
Assim, J~. v · dr é a medida da tendência de o fluido se mover ao redor de C e é chamada
circulação de v ao redor de C (veja a Figura 5).
Seja agora Po(xo, yo, zo) um ponto do fluido e seja S 11
um pequeno círculo com raio a e
centro Po. Então ( rot v )(P) = ( rot v )(Po) para todos os pontos P de S,, porque rot v é
contínuo. Então, pelo Teorema de Stokes, ternos a seguinte aproximação da circulação ao
redor do círculo fronteira C,:
Jc" v · dr ~ JJ rot v · dS ~ JJ rot v · n dS
Sa
= jJ rot v(P 0 ) • n(P 0 )dS = rot v(P 0 ) • n(P 0 )r.a 2
'"
Essa aproximação se toma melhor quando a -----7 O e temos
I .
rot v(P 0 ) • n(Po) ~ lim --, J v · dr
a---.0 1TQ- Ca
Sa
A Equação 4 fornece a relação entre o rotacional e a circulação. Ela mostra que ror v · n
é a medida do efeito da rotação do fluido ao redor do eixo n. O efeito de rotacionar é maior
em um eixo paralelo a rot v.
Finalmente, mencionamos que o Teorema de Stokes pode ser usado para provar o
Teorema 16.5.4 (que estabelece que. se rot F~ O sobre IR: 3 , então F é conservativo). De
nosso trabalho prévio (Teoremas 16.3.3 e 16.3.4) sabemos que F é conservativo se
f c F · dr ~ O para todo caminho fechado C. Dado C, suponha que possamos achar uma
superfície orientada S cuja fronteira seja C. (Isso pode ser feito, mas a prova requer técnicas
avançadas.) Então o Teorema de Stokes fornece
fcF·dr~ jJ rot F·dS~ fJ O·dS~O
s
s
Urna curva que não seja simples pode ser quebrada em um número finito de curvas simples,
e as integrais ao redor dessas curvas simples são todas O. Somando essas integrais,
obtemos fc F · dr ~ O para qualquer curva fechada C.

1122 CAlCUlO Editora Thomson
16.8 Exercícios
1. Um hemisfério H e uma parte P de um parabolóide estão
mostrados. Suponha que F seja um campo vetorial sobre IR 3
cujos componentes têm derivadas parciais contínuas. Explique
por quê
ff rot F · dS ~ JJ rot F · dS
H
;•
Use o Teorema de Stokes para calcular JJs rot F · dS.
2. F(x,y,z) = yzi + xzj + xyk,
Sé a parte do parabolóide z = 9 ~ x 2 ~ y 2 que está acima do
plano z = 5, com orientação para cima.
3. F(x, y, z) = x 2 ey; i + y 2 e-"' j + z 2 exy k,
Sé o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4, z ;3- O, com orientação
para cima
4. F(x. y, z) ~ x'y'z i +sen(xyz) j + xyz k
Sé a parte do cone y 2 = x 2 + z 2 que está entre os planos,
y = O e y = 3, orientado na direção positiva do eixo y
5. F(x,y,z) ~xyzi +xyj +x 2 yzk,
Sé fommda pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo
fundo) do cubo com vértices ( ± 1, ± l, ± 1), com orientação
para fora. [Dica: use a Equação 3.]
6. F(x,y,z) = exYcoszi + x 2 zj + xyk,
Sé o hemisfério x = Jt ~ y 2 -
z 2 orientado na direção positiva
do eixo x [Díca: use a Equação 3.]
Use o Teorema de Stokes para calcular Se F· dr. Em cada
caso, C é orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.
7. F(x,y,z) ~ (x +/)i+ (y + z')j + (z + x 2 )k,
C é o triângulo com vértices (1, O, 0), (0, 1, O) e (0, O, 1).
8. F(x, y, z) ~ e-• i + e' j + e' k,
C é a fronteira da parte do plano 2x + y + 2z = 2 no primeiro
octante
9. F(x, y, z) = yz i + 2xz j + exy k, C é a circunferência
x 2 + y 2 = 16, z = 5
10. F(x,)•,z) =xi + yj + (xc + y 2 )k,Céafronteiradaparte
do parabolóide z = I x 2 y 2 no primeiro octante
11. (a) Use o Teorema de Stokes para calcular jc F · dr, onde
F(x, y, z) = x 2 z i + xyc j + z 2 k
e C é a curva da interseção do plano x + y + z = 1 com o
cilindro x 2 + y 2 = 9 com orientação no sentido antihorário
quando visto de cima.
(b) Trace o gráfico do plano e do cilindro com janelas de
inspeção escolhidas de forma a ver a curva C c a supcrfícíe
que você usou na parte (a).
(c) Detennine as equações paramélricas para C e use-as para
traçar o gráfico de C.
12. (a) Use o Teorema de Stokes para calcular J~ F · dr, onde
F(x,y,z) =x 2 yi + }x 3 j +xykeCéacurvada
interseção do parabolóide hiperbólico z = y 2 x 2 com o
cilindro x 2 + y 2 = 1 com orientação no sentido antihorário
quando visto de cima.
(b) Trace o gráfico do parabolóide hiperbólico e do cilindro
com janelas de inspeção escolhidas de forma a ver a curva
C e a superfície que você usou na parte (a).
(c) Determine equações paramétricas para C e use-as para
traçar o gráfico de C.
Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o
campo vetorial dado F c a superfície S.
13. F(x,y,z) =y 2 i +xj + z 2 k
Sé a parte do parabolóide z = x 2 + y 2 que está acima do
plano z = 1, orientado para cima.
14. F(x, y, z) ~ x i + y j + xyz k
S é a parte do plano 2x + y + z = 2 que está no primeiro
octantc, orientada para cima.
15. F(x, y, z) ~ y i + z j + x k
Sé o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 =
direção positiva do eixo y.
16. Seja
1, y ;3- O, orientado da
F(x, y, z) = (ax 3 - 3xz 2 , x 2 y + by 3 , cz 3 }
Seja C a curva do Exercício 12 e considere todas as possíveis
superfícies lisas S cuja curva fronteira é C. Ache os valores
de a, h e c para os quais JJ 5
F · dS é independente da
escolha de S.
11. Calcule o trabalho realizado pelo campo de força
F(x,y,z) ~ (x' + z')i + (y' + x 2 )j + (z'+y 2 )k
quando urna partícula se move sob sua influência ao redor da

l James
Stewart CAPÍTUlO 16 CÁLCUL_() VETORIAL 1123
borda da parte da esfera x:- + y 2 + z: = 4 que está no primeiro
octante, na direção anti-horária quando vista por cima_
18. Calcule J:, (y + sen x) dx + (z 2 + cos :r) dy + x 3 dz, onde
Céacurvar(t} = (sent,cost,sen2t),O ~ f-"S; 27T.
20. Suponha que S e C satisfaçam as hipóteses do Teorema de
Stokes e f, g tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
Use os Exercícios 24 e 26 da Seção 16.5 para mostrar o
seguinte:
[Dica: observe que C está na superfície z = 2xy.l (a) J~(fílg) ·dr~ j};(ílfx ílg) ·dS
(b) J~(fílfl · dr ~O
19. Se Sé uma esfera c F satisfaz as hipóteses do Teorema de
Stokes, mostre que .11- rot F · dS = O. (c) J;. (fílg + gílf) · dr ~O
Três Homens e Dois Teoremas
A ilustração mostra um vitral da
Universidade de Cambridge em
homenagem a George Green_
Apesar de dois dos mais importantes teoremas em cálculo vetorial terem seus nomes em
homenagem a George Green e George Stokes, um terceiro homem, Wtlliam Thomson (também
conhecido como lorde Kelvin), teve um papel muito importante na formulação, disseminação e
aplicação dos dois resultados. Os três homens estavam interessados em como usar os dois teoremas
para explicar e predizer fenômenos físicos em eletricidade e magnetismo e em
escoamento de fluidos. Os fatos básicos da história são dados nas páginas 1070 e 1106.
Escreva um trabalho sobre as origens históricas dos Teoremas de Green e de Stokes. Explígue
as semelhanças e relações entre os teoremas. Discuta o papel que Green, Thomson e Stokes
tiveram na descoberta desses teoremas e em fazê-los conhecidos. Mostre como esses teoremas
apareceram de pesquisas em eletricidade e magnetismo e depois foram usados no estudo de uma
variedade de outros problemas físicos.
O dicionário editado por Gillispie [2] é uma boa fonte tanto para dados biográficos como para
informações científicas. O livro de Hutchinson [5] trata da vida de: Stokes, e o livro de Thompson
(8] é uma biografia de lorde Kelvin. Os artigos de Grattan-Guinness [3] e Gray [4] e o livro de
Cannell [1] fornecem subsídios da vida extraordinária e dos trabalhos de Green. Informações
adicionais históricas e matemáticas podem ser encontradas nos livros de Katz [6] e Kline [7].
1. CANNELL, D. M, George Green, Mathematician and Physicist 1793~1841: The Background
to His Life and Work. Filadélfia: Society for Indu$trial and Apgtied Mathematics. 2001 ..
2. GILLISPIE. C. C. (ed), Dictionary ofScientific Bi

1124 c CÁlCUlO Editora Thomson
O Teorema da Divergência
Na Seção 16.5, reescrevemos o Teorema de Green na versão vetorial
{F· nds ~ JJ divF(x,y)dA
/)
onde C é a curva fronteira da região do plano D, orientada positivamente. Se quisermos
estender esse teorema para campos vetoriais em IR 3 , podemos apostar que
JJ F · n dS ~ fJJ div F(x. y, z) dV
S
E
onde Sé a superfície fronteira da região sólida E. A Equação I é verdadeira sob hipóteses
apropriadas, e é chamada Teorema da Divergência. Note sua semelhança com os
Teoremas de Green e de Stokes no fato que ele relaciona a integral da derivada de uma
função ( div F, nesse caso) sobre uma região com a integral da função original F sobre a
fronteira da região.
Nesse estágio você pode fazer uma revisão dos vários tipos de regiões sobre os quais
calculamos uma integral tripla na Seção 15.7. Estabeleceremos e provaremos o Teorema
da Divergência para as regiões E que são simultaneamente dos tipos I, 2 e 3 e às quais
chamaremos regiões sólidas simples. (Por exemplo: regiões limitadas por elipsóides ou
caixas retangulares são regiões sólidas simples.) A fronteira de F é uma superfície
fechada e usaremos a convenção, introduzida na Seção 16.7, de que a orientação positiva
é para fora, ou seja, o vetor normal unitário n está apontando para fora de E.
r~J O Teorema da Divergência é
algumas vezes chamado Teorema de
Gauss, em homenagem ao grande
matemático alemão Karl Friedrich
Gauss {1777-1855}, que descobriu
esse teorema durante suas pesquisas
sobre eletrostática. Em muitos países
da Europa, o Teorema da Divergência é
conhecido como Teorema de
Ostrogradsky, em homenagem ao
matemático russo Míkhail
Ostrogradsky (1801~ 1862), que
publicou esse resultado em 1826.
Teorema da Divergência Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície
fronteira de E, orientada positivamente (para fora). Seja F um campo vetorial cujas
funções componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta que
contenha E. Então
Prova Seja F ~ P i + Q j + R k. Então
jJ F · dS ~ Jff div F dV
S
E
aP aQ aR
divF~-+-+ax
ay az
logo
Jff div F dV ~ Jff ~= dV + JJJ ~; dV + JJJ ~~ dV
E E E E
Se n é o versar da normal que saí de S, então a integral de superfície do lado esquerdo
do Teorema da Divergência é
f f F · dS ~ JJ F · n dS ~ JJ (P i+ Q j + R k) · n dS
s s s
~ ff Pi·ndS+ ff Qj·ndS+ JJ Rk·ndS
~ s ~s s
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a
•o,f dft tegwf)& -s
,, e t·· e
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l
James Stewart CAPÍTUlO 16 CALCULO VETORIAL C 1125
Portanto, para provar o Teorema da Divergência, é suficiente provar as três seguintes
equações:
.. ... aP
ax dV
JJ P i · n dS ~ JJJ
S
f f Q j · n ds ~ I} 'f aQ dV
·s ·E~ d)
ff f" aR
J. R k · n dS ~ JJJ i); dV
S
Para provar a Equação 4, usamos o fato de que E é uma região do tipo 1:
E~ {(x, y, z) I (x, y) E D, u,(x, y) oS z oS u,(x, y))
onde D é a projeção de E sobre o plano xy. Pela Equação 15.7.6, temos
aR
Jif 'f [J'"·'"· ., aR J
-.-dV~ I
" é!z ""' u,u:,y) dz
E
Portanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
fJ
aR ..
D
E
E
• · -.-(x,y,z)dz dA
. J a;dV~ JJ [R(x,y,u,(x,y))- R(x,y,u,(x,y))]dA
E
D
A superfície fronteiraS é formada por três peças: a superfície do fundo S1, a superfície
do topo S2 e possivelmente uma superfície vertical S 3 , que está acima da curva fronteira
de D. (Veja a Figura 1. Pode acontecer de S1 não existir, como no caso da esfera.)
Note que sobre 53 temos k · n = O, porque k é vertical e n é horizontal, e assim
fJRk·nds~ ffods~o
s_, s,
Logo, não interessando a existência de uma superfície vertical, podemos escrever
FIGURA 1
f f R k · n dS ~ f f R k · n dS + jJ Rk · n dS
s s, ~
A equação de S, é z ~ u 2 (x, y), (x, y) E D, e o vetor normal que sai de n aponta para
cima. Da Equação 16.7.8 (com F substituído por R k) temos
fJ R k · n dS ~ fJ R(x, y, u,{x, y)) dA
S, D
Sobre S1 temos z = uJ{x, y), mas aqui a nonnal n aponta para baixo, e então multiplicamos
por -1:
Jf R k · 11 dS ~ - fJ R(x, y, u 1 (x, y)) dA
S, D

1126 CÁLCULO Editora Thomson
Portanto a Equação 6 dá
JJ R k · n dS ~ JJ [R(x. y, u 2(x, y)) - R(x, y, uJ(x, y))] dA
s [)
Comparando com a Equação 5, temos que
Note que o método de prova do
Teorema da Divergência é muito
semeihante ao do Teorema de Green
.. ••· aR
li R k · n dS ~ 111 ~- dV
.. ... a,
S
As Equações 2 e 3 são provadas de modo análogo, usando as expressões para E como
uma região do tipo 2 ou do tipo 3.
E
Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = z i + y j + x k sobre a
esfera unitária x 2 + y 1 + z 2 = J.
SOLUÇÃO Primeiro calcularemos a divergência de F:
a a a
divF ~ -.-(z) + -. (y) + -(x)
ax dy az
A esfera unitáriaS é a fronteira da bola unitária B dada por x 2 + y 1 + z 1 ~ l. Então, o
Teorema da Divergência dá o fluxo como
A so!uçáo do Exemplo 1 deve ser
comparada com a solução do Exemplo 5
na Seção 16.7.
JJ F · dS ~ JJJ di v F dV ~ j}J 1 dV
S B B
4 3 41T
~ V(B) ~ j1r(l) ~
3
Calcule JJ F • dS, onde
s
F(x, y, z) ~ xy i + (y 2 + e"')j + sen (xy) k
e Sé a superfície da região E limitada pelo cilindro parabólico z =
planos z ~ O, y ~ O e y + z ~ 2 (veja a Figura 2).
1 - x 2 e pelos
(1, O,
FIGUR~ 2
SOLUÇÃO Deve ser extremamente difícil calcular a integral da superfície dada
diretamente. (Teríamos de calcular quatro integrais de superfícies correspondentes às
quatro partes de S.)

James Stewart CAPÍTUlO 16 CALCULO VETORiAL '1 1127
Além disso, a divergência de F é muito menos complicada que o próprio F:
a a J , a
div F~- (xy) + -,- (y" +e"")+~ (senxy)
()x Ô)' dZ
~ y + 2y ~ 3y
Portanto, usamos o Teorema da Divergência para transformar a integral da superfície
dada em uma integral tripla. O modo mais fácil de calcular a integral tripla é escrever E
como uma região do tipo 3:
Assim temos
E~{(x.v.z)j-1 >S;x>S; I. Q>S;z>S; 1-r, 0>S;y>S;2 z}
jJ F · dS ~ J)J di v F dV ~ J}J.3y dV
S E E
., " y dy dz dx
.o 1
., ., ·(2-z)'
= 3 J w! Jo r 2 dz dx
[- (2- z)3]h'dx
2 ' "' 3 o
~~f'
~ -l J', [(x' + 1) 3 - 8] dx
I ''

1128 n CÁlCULO Editora Thomson
onde S1 é uma esfera pequena com raio a e centro na origem. Você pode verificar que
di v E~ O (veja o Exercício 21). Portanto, da Equação 7 vem
jJ E · dS ~ JJ E · dS + jJJ div E dV
~' S, E
~ jJ E · dS ~ jJ E · n dS
S, S,
O ponto importante nesse cálculo é que podemos calcular a integral de superfície sobre S1
porque S 1 é uma esfera. O vetor normal em x é x/1 X 1. Portanto
E · n ~ 1 :~3 x · (I: I) ~ 1 :~4 x · x
EQ
EQ
~ lxl' ~7
já que a equação de S 1 é I x I = a. Logo, temos
ffE·dS~ jJE·ndS
s, s,
~ -, dS ~ ----z EQ A(St)
a- •• a
s
EQ [!'
Isso mostra que o fluxo elétrico de E é 47TEQ através de qualquer superfície fechadaS: que
contenha a origem. [Esse é um caso especial da Lei de Gauss (Equação 16.7.!0) para uma
carga simples. A relação entre E e Eo é E ~ l/(47TEo).]
Outra aplicação do Teorema da Divergência aparece em escoamento de fluidos. Seja
v(x. y, z) ) o campo de velocidade de um fluido com densidade constante p. Então a taxa
de vazão do fluido por unidade de área é F ~ pv. Se Po(xo, y 0 , z 0 ) é um ponto no fluido e
B, é uma bola com centro em Po e raio muito pequeno a, então div F(P) = di v F(P 0 ) para
todos os pontos de Ba, uma vez que div F é contínuo. Aproximamos o fluxo sobre a fronteira
esférica Sa, como segue:
ff F · dS ~ JJJ div F dV
Sa
Ba
= fJJ di v F(Po) dV
B,
~ div F(Po)V(B,)
Essa aproximação se torna melhor à medida que a --';>- O e sugere que
l J"
di v F(Po) ~ lim V(B ) j F · dS
a-.>0 a
s,
A Equação 8 nos diz que div F(P 0 ) é a taxa líquida do fluxo por unidade de voiume que
sai de Po. (Essa é a razão para o nome divergência.) Se div F(P) > O, a taxa líquida do
fluido está saindo de perto de P, e Pé chamado fonte. Se div F(P) < O, a taxa líquida
do fluido está entrando perto de P, e Pé denominado sorvedouro.

James Stewart CAPÍTULO 16 CÁLCULO VETORIAL 1129
Para o campo vetorial da Figura 4, parece que os vetores que terminam próximo de P 1
são menores que os vetores que iniciam perto do mesmo ponto Pt. Então o fluxo líquido
sai peito de P1, e assim di v F(P 1 ) > O e P1 é uma fonte. Por outro lado, perto de P 2
, os
vetores que chegam são maiores que os que saem. Aqui o fluxo líquido é na direção de
entrar, assim div F(P2 ) ~ x. Assim os pontos acima da reta y = - x são fontes e os pontos abaixo da
reta são sorvedouros.
'I
! ' /
/ /' f / /
p,
~-;-
~ é
----"• ----~
I
'
-~-~x
FIGURA 4
Campo vetorial F = x" i + y' j
•P,
/ / ! -
--~~
,.
' -~"
! f I r /
/ !
i
1
->

1130 CÁLCULO Editora Thomson
11. F(x, y, z) = xysn~ i + ~os~xz) j ,~ ~·c os z k
Sé o elipsóide x-jcr + y-/b" +r; c= 1
12. F(x, y, z) = x 2 y i + ."\)' 2 j + 2xyzk
Sé a superfície do tetraedro limitado pelos planos x = O,
y = O, z = O, c X + 2y + z = 2
13. F(x, y, z) = (cos z + xy 2 ) i + xe-' j + (seny + x 2 z) k
Sé a superfície do sólido limitado pelo parabolóide
z = x 2 + y" e o plano z = 4
14. F(x, y, z) = x~ i ~ x-'z 2 j + 4xy 2 zk
Sé a superfície do sólido limitado pelo cilíndro x; + y 2 =
os planos z = x + 2 e z = O
15. F(x,y,z) = 4.:c 1 zi + 4y 3 zj + ]z 4 k
Sé a esfera com centro na origem e raio R
16. F(x.y.z) = (x' + ysenz)i + (y' + zsenx)j + 3zk,
Sé a superfície do sólido limitado pelos hemisférios
z = '\:4 ~ x~ y2, z = jl x 2 y 2 e pelo plano z =O
'"+
17. F(x,y,z)=e'tg zi+y..,t . ~3 -x-J xseny k ,
Sé a superfície do sólido que está acima do plano xy e abaixo
da superfície z = 2 - x 4 ~ y~. -I :s; x :s; 1, -1 :s; y ~ l
18. Use um sistema algébrico computacional para plotar o
campo vetorial
F(x,y,z) = senxcos 2 yi +sen\·cos 4 zj + sen 5 zcos 6 xk
no cubo obtido cortando o primeiro octanle pelos planos
x = 'lf/2, y = 'lf/2, e z = 7i/2. Em seguida calcule o fluxo
através da superfície do cubo.
19. Use o Teorema da Divergência para calcular Jl F · dS, onde
:F(x,y, z) = z 2 xi + (}>· 3 + tg z)j + (x 2 z + y 2 )k
e Sé a metade de cima da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.
[Dica: note que S não é uma superfície fechada. Calcule
primeiro as integrais sobre S1 e S2, onde S1 é o círculo
x 2 + y 2 :s; l, orientado para baixo, e S2 = S U S1.]
20. Seja F(x, y, z) ~ z tg·• (y 2 ) i + z'ln(x 2 + 1) j + z k.
Determine o fluxo de F através da parte do parabolóide
x 2 + y 2 + z = 2 que está acima do plano z = I e está
orientada para baixo.
21. Verifique que div E= O para o campo elétrico
eQ
E(x) ~--x
lx I'
22. Use o Teorema da Divergência para calcular
JJ (2x + 2y + z 2 )dS
onde Sé aesferax 2 + y 2 + Z 2 = l.
1 c
Prove cada identidade, admitindo que Se E satisfaçam as
condições do Teorema da Divergência e que as funções escalares e
componentes do campo vetorial tenham derivadas parciais de
segunda ordem contínuas.
23. JJ a · n dS = O, onde a é um vetor constante
24. V(E) ~ \ J.j F· dS, onde F(x. y, z) ~ x i+ y j + z k
25. JJ rot • dL - O
26. JJ DofdS- JJJ 'V'fdV
S
E
27. jJ (f'Vg) · ndS ~ j}J (f'V 2 g +'V f· 'Vg)dV
) E
28. jJ (f'Vg g'Vf) · ndS- j)J (f'V 2 g- g'V 2 f)dV
2 E
29. Suponha que Se E satisfaçam as condições do Teorema da
Divergência e f seja uma função escalar com derivadas parciais
contínuas. Prove que
JJ fn dS- j]J 'VfdV
S
E
Essa superfície e a integral tripla da função vetorial são vetores
definidos integrando cada função componente.
[Dica: comece aplicando o Teorema da Divergência a F = jc,
onde c é um vetor constante arbitrário.]
30. Um sólido ocupa a região E com superfícieS e está imerso em
um líquido com densidade constante p. Estabelecemos um
sístema de coordenadas de modo que o plano xy coincida com a
superfície do líquido e valores positivos de z sejam medidos para
baixo adentrando no líquido. Então a pressão na profundidade z é
p = pgz, onde g é a aceleração da gravidade (veja a Seção 8.3).
A força de empuxo total sobre o sólido devida à distribuição de
pressão é dada pela integral de superfície
F- -jJ pndS
s
onde n é o versar normal apontando para fora. Use o resultado
do Exercício 29 para mostrar que F = - Wk, onde W é o peso
do líquido deslocado pelo sólido. (Note que F é direcionado
para cima porque z está direcionado para baixo.) O resultado é
o Principio de Archimedes: a força de empuxo sobre um objeto
é igual ao peso do líquido deslocado.

l
James Stewart CAPÍTULO 16 CÁLCULO VETORii\L 1131
11t10
Resumo dos Teoremas
Os principais resultados deste capítulo são versões em dimensão maior do Teorema
Fundamental do Cálculo. Para ajudá-lo, coletamos os teoremas (sem suas hipóteses) de
forma que você possa ver mais facilmente suas semelhanças essenciais. Note que em cada
caso temos uma integral de uma "derivada" sobre uma região do lado esquerdo, e do lado
direito temos os valores da função original somente na fronteira da região.
Teorema Fundamental do Cálculo
f' F'(x) dx ~F( h) -F( a)
·'
a b
Teorema Fundamental para as Integrais de Linha t \1 f· dr ~ f(r(h)) - f(r(a))
r(a)
c
r(h)
Teorema de Green
.. ("º aP)
JJ
D
---. dA~fP.ú+Qdy
ax dy .,c
c
~\
~}
Teorema de Stokes
JJ rot F·dS~ fcF·dr
s
Teorema da Divergência
Jif di v F dV ~ ff F · dS
E
S

1132 c; CÁlCUlO Editora Thomson
Revisão
1. O que é um campo vetorial Dê três exemplos com significado
físico.
2. (a) O que é um campo vetorial conservativo
(b) O que é uma função potencial
3. (a) Escreva a definição da integral de linha para uma função
escalar f ao longo de uma curva lísa C em relação ao
compiimento de arco.
(b) Como calcular tal integral
(c) Escreva expressões para a massa e o centro de massa para
um arame fino com o fonnato da curva C se o arame tiver
função densidade linear p(x, y).
(d) Escreva a definição das integrais de linha sobre C de uma
função escalar f com relação a x, y e z.
(e) Corno calcular essas integrais de linha
4. (a) Defina a integral de linha do campo vetorial F ao longo da
curva lisa C dada pela função vetorial r(t).
(b) Se F é um campo de força, o que essa integral de linha
representa
(c) Se F= {P, Q, R), qual a relação entre a integral de linha
de F e as integrais de linha dos componentes P, Q e R
5. Enuncie o Teorema Fundamental para as Integrais de Linha.
6. (a) O que significa dizer que fc F · dr é independente do
caminho
(b) Se você sabe que Jc F · dr é independente do caminho, o
que pode dizer sobre F
7. Enuncie o Teorema de Green.
8. Escreva expressões para a área delimitada pela curva C em
termos da integral de linha ao redor de C.
VERIFICAÇÃO DE CONCEITOS
(c) Se F for um campo de velocidade em um fluído, qual a
interpretação física de rot F e de di v F
10. Se F= P i + Q J como você detennina se F é conservativo
E se F for um campo vetorial em IR'
11. (a) O que é uma supetfície paramétrica O que são suas
curvas de grade
(b) Escreva uma expressão para a área de uma superfície
paramétrica.
(c) Qual é a área da superfície dada pela equação z = gLr,
12. (a) Escreva a definição da integral de superfície de uma
função escalar f sobre uma superfície S.
(b) Como calcular tal integral se S for uma superfície
paramétrica dada por uma função vetorial r{u, v)'
(c) E se S for dada pela equação z = g(x, y)
(d) Se uma folha fina tem o formato de uma superfícieS, e a
densidade em (x, y, z) é p(x, y, z), escreva expressões para
a massa e o centro de massa da folha.
13. (a) O que é uma superfície orientada Dê um exemplo de uma
superfície não-orientada.
(b) Defina a integral de superfície (ou fluxo) de um campo
vetorial F sobre uma superfície orientadaS com vetor
unitário normal n.
(c) Como calcular tal integral se S for uma superfície
paramétrica dada pela função vetorial r(u, v)
(d) E se S for dada por uma equação z = g(x, y)
14. Enuncie o Teorema de Stokes.
15. Enuncie o Teorema da Divergência.
9. Suponha que F seja um campo vetorial sobre IR 3 •
(a) Defina rot F.
(b) Defina dív F.
16. Quais as semelhanças entre o Teorema Fundamental para as
Integrais de Linha, o Teorema de Green, o Teorema de Stokes
e o Teorema da Divergência
TESTES FALSO-VERDADEIRO
Determine se as afirmações são falsas ou verdadeiras. Se verdadeiras,
explique por quê. Se falsas, explique por que ou dê um contra-exemplo.
1. Se F for um campo vetorial, então div F é um campo vetoriaL
2. Se F for um campo vetorial, então rot F é um campo vetorial.
3. Se f tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre
fi;l 3 , então dív(rot V/) ~O.
4. Se f tem derivadas parciais contínuas sobre IR 3 e C for um
círculo qualquer, então J~ V f· dr = O.
5. Se F= P i + Q j e Py = Qx em uma região aberta D, então F
é conservativo.
6. L f(x, y) ds ~ - fc f(x, y) ds
1. Se Sé uma esfera e F um campo vetorial constante, então
ff 5
F · dS ~O.
8. Existe um campo vetorial F tal que
rotF=xi+yj+zk

l
James Stewart CAPÍTUlO 16 C.Ó,LCULO VETORIAL 1133
EXERCÍCIOS
1. São mostrados um campo vetorial F, uma curva C e um ponto P.
(a) Jc F · dr é positivo, negativo ou zero Explique.
(b) di v F(P) é positivo, negativo ou zero Explique.
13~14 . Mostre que F é conservativo e use esse fato para calcular
Jc F · dr ao longo da curva dada.
13. F(x, y) ~ (4x'v'- 2xy') i+ (2x'y- 3x 2 y 2 + 4y')j,
C: r(t) = (t + sen rrt) i+ (2t + cos 1rt)j, O~ t:;:::; 1
14. F(x.y,z) =e" i+ (xeY + e=)j + ye'k
C é o segmento de reta de (0, 2, O) a (4, O, 3)
15. Velifique que o Teorema de Greco é verdadeiro para a integral de
linha Jcxy 2 dx - x 2 y d_v, onde C consiste na parábola y = x 2 ,
de (-1, 1) a(!, l) e do segmento de reta de (I, 1) a (-1, l).
16. Use o Teorema de Greco para calcular
2-9 ~ Calcule a integral de linha.
2 . . Cxds,
C é o arco de parábola y ~ x 2 de (0, 0) a (1, 1).
3. Lx 3 zds,
C: x = 2 sent, y = t, z = 2 cos t, O :s; t :s; r./2
4. Jc xy dx + y d)·, C é a senóide y = sen x,
0 ::'S X :::S: 1T/2
5. j~x 2 ydx- xdy,
C é o círculo x 2 + y~ =
6. J~ .J;Y dx + e·'' dy + xz dz, C é dada por
r(t) = t 4 i +-t 2 j + t 3 k, O~ t :s; L
1 orientado no sentido anti~horário.
7. J~ y dx + z dy + x dz,
C é formado pelos segmentos de reta que vão de (0, O, O) a
(1, 1, 2) e de (l, 1, 2) a (3, 1, 4).
8. J~F · dr, onde F(x,y) ~ xyi + x 2 j e C é dada por
r(t) ~senti+ (l + t)j, O"' t"' 'TT
9. J~F · dr, ondeF(x,y,z) = e:i + xzj + (x + y) k e c é dada
por li r(t) ~ t'i + t 3 j- tk,O"' '"'I.
10. Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x,y,z) =
zi + xj + yk
para mover uma partícula do ponto (3, O, O) para o ponto
(0, 'Tf/2, 3)
(a) por uma reta
(b) pelahélicex = 3cost, y = t, z = 3sent
11-12 c Mostre que F é um campo vetorial conservativo. Então
encontre a função f tal que F = V f
11. F(x, y) ~ (l + xy)e'' i+ (e'+ x'e'') j
12. F(x,y, z) = senyi + xcosyj- sen zk
onde C é o triângulo com vértices (0, 0), (I, 0) e (l, 3).
17. Use o Teorema de Green para calcular j~.x 2 y dx - xy 2 d_v, onde
C é o círculo x 2 + y 2 = 4 orientado no sentido anti-horário.
18. Determine rot F e div F se
F(x,y,z} = e·-xsenyi + e-ysenzj + e-zsenxk
19. Mostre que não existe um campo vetorial G tal que
rot G = 2xi + 3yzj- xz 2 k
20. Mostre que, sob alguma condições a serem estabelecidas
sobre os campos vetoriais F e G,
rot (F x G) ~F dív G- G dív F+ (G · V)F- (I'· V)G
21. Se C é uma curva simples fechada lisa por trechos, e f e g são
funções diferenciáveis, mostre que
L.J(x) dx + g(y) dy ~ O
22. Se f e g são funções duplamente diferenciáveis, mostre que
V'(fg) ~ jV'g + gV'f+ 2'1! · Vg
23. Se fé uma função harmônica, ou seja, 'V 2 f= O, mostre que a
integral de linha J J;. dx - .fx dy é independente do caminho em
qualquer região simples D.
24. (a) Esboce a curva C com equações paramétricas
x = cost y = sen t z = sen t O::::::t:s;2r.
(b) Determine
.C 2xe 2 Ydx + (2x 2 e 2 Y + 2y cotg z) dy - / cossec=z dz
25. Determine a área da parte da superfície z = x 2 + 2y que está
acima do triângulo com vértices {0, 0), (1, 0) e (1, 2).
26. (a) Determine urna equação do plano tangente ao ponto
(4, -2, 1) para a superfície paramétricaS dada por
r(u,v) =v 2 i- uvj + u 2 k, O:::s: u~3 ,-3 :s;v :-::::; 3
• ·jj ~-· ;,
iiio~ %
• ,, .... ":lii -~ ··.a • y ~ ih' '
.. ~' ~
"' .ia-..

1134 CÁLCULO Editora Tbomson
(b) Use um computador para traçar o gráfico da superfícieS c
do plano tangente achado na parte (a).
(c) Estabeleça, mas não calcule, uma integral que dê a área da
superfície S.
(d) Se
z 2 x"
F(x, y, z) =_;:_~i+ ---A j +
+ I + )'~ l +
ache jJ,. F · dS preciso até a quarta casa decimaL
k
37. Seja
F(x, y, z) = (3x~yz
~ 3y) i+ (x 3 z ~ 3x) j + (x 3 y + 2z) k
Calcule L- F · dr, onde C é a curva com início em (0, O, 2) e
término em (0, 3, 0). corno mostrado na figura.
27~30 i_ Calcule a integral de superfície.
27. JJ, z dS, onde Sé a parte do parabolóide z = x 2 + y 2 que está
abaixo do plano z = 4
28. JJ,. (x 2 z + y 2 z)dS, onde Sé a parte do plano z = 4 + x + y
que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4
29. H~ F· dS, onde F(x, y, z) = xz i - 2y j + 3x k e Sé a esfera
x 2 + y 1 + z 1 = 4 com orientação para fora
30. Jl F · dS, onde F(x, y, z) = x 1 i + xy j + z k e Sé a parte do
parabolóide z = x 1 + y 2 abaixo do plano z = 1 com
orientação para cima
31. Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo
vetorial
F(x,y,z) =x 2 i + y 2 j + z 2 k,
onde Sé a parte do parabolóide z = 1 - x 2 - y 1 que está
acima do plano xy, e S está orientado para cima.
32. Use o Teorema de Stokes para calcular SJ, rot F · dS, onde
F(x, y, z) = x 1 y2 i + y2 2 j + 2 3 e"':Y k, Sé a parte da esfera
x 2 + y 2 + 2 2 = 5 que está acima do plano z = 1, e S tem
orientação para cima.
33. Use o Teorema de Stokes para calcular f c F · dr, onde
F(x, y, z) = xy i + yz j + zx k e C é o triângulo com vértices
(1, O, 0), (0, 1, O) e (0, O, 1), orientado no sentido anti-horário
quando visto de cima.
34. Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de
superfície Sfs F · dS, onde F(x, y, 2) = x 3 i + y 3 j + z 3 k e Sé
a superfície do sólido delimitado pelo cilindro x 1 + )' 2 = 1 e
pelos planos z = O e z = 2.
35. Verifique que o Teorema da Divergência é verdadeiro para o
campo vetorial
F(x,y,z) ~xi + yj + zk,
onde E é a bola unitária x 2 + y 2 + z 1 ~ I.
36. Calcule o fluxo para fora de
38. Seja
Calcule ~C F · dr, onde C é como mostrado na figura.
39. Determine JJ~ F· n dS, onde F(x, y, z) = x i + y j + z k e Sé
a superfície mostrada na figura, com orientação para fora
(a fronteira do cubo com um cubo unitário removido).
(2. O,
40. Se os componentes de F têm derivadas parciais de segunda
ordem contínuas e S é a supçrfície fronteira de uma região
sólida simples, mostre que J]s rot F · dS = O.
X
y
através do elipsóide 4x 2 + 9i + 6z 2 = 36.

1. SejaS uma supetfície paramétrica lisa e seja P um ponto tal que cada raio que comece em P
intercepteS no máximo uma vez. O ângulo sólido !1(S) subtendido por Sem Pé o conjunto
dos raios que começam em P e passam por S. Seja S(a) a interseção de !1(S) com a superfície
da esfera com centro em P e raío a. Então a medida do ângulo sólido (estereo-radianos) é
definida como
I fl(S) I ~ área d~S(a)
a-
Aplique o Teorema da Divergência para a parte de f.!(S) entre S(a) e S para mostrar que
I fl(S) I ~ JJ r/ dS
s
onde r é o vetor radial de P a um ponto qualquer sobre r = I r I, e o sentido do vetor unitário
normal n é saindo de P.
Isso mostra que a definição de medida de um ângulo sólido é independente do raio a da
esfera. Assim, a medida do ângulo sólido é igual à área subtendida sobre uma esfera unitária.
(Note a analogia com a definição da medida em radianos.) O ângulo total sólido subtendido por
uma esfera em seu centro é, portanto, 4 7r esterco-radianos.
2. Ache uma curva simples fechada C para a qua1 o valor da integral de linha
f (y 5 -
.c
y)dx- 2x 5 dy
é máximo.
3. Seja C uma curva espacial simples fechada lisa por trechos que esteja contida em um plano com
vetor unitário nonnal n = (a, b, c) e orientada positivamente em relação a n. Mostre que a área
do plano contida por C é
j t (bz - cy) dx + (ex - az) dy + (ay -
bx) dz
1135

4. A Jigura retrata a seqüência de eventos em cada cilindro de um motor de quatro cilindros de
combustão interna. Cada pistão se move para cima e para baixo e está lígado por um braço-pivô
ao virabrequim. Seja P(t) e V(t) a pressão e o volume dentro de um cilindro no instante t, onde
a ~ t o:; b dá o tempo necessário para um ciclo completo. O gráfico mostra como P e V variam
durante um ciclo em um motor de quatro tempos.
p
,0
13 \ c
I
ollc:
v
Durante o estágio de indução (de G) a@) a mistura de ar e gasolina à pressão atmosférica é
aspirada para o interior do cilindro pela válvula de entrada à medida que o pistão se move para
baixo. Aí o pistão comprime rapidamente a mistura com a válvula fechada, no estágio de compressão
(de

Equações Diferenciais
de Segunda Ordem
A carga em um circuito elétrico
é influenciada pelas equações
diferenciais resolvidas na seção 17.3.
------~---- _, '"ygu;,_,~

1138 o CÁLCULO Editora Thomson
A idéia central das equações diferenciais está explicada no Capítulo 9, onde nos
concentramos nas equações de primeira ordem. Neste capítulo estudaremos as
equações diferenciais lineares de segunda ordem e aprenderemos como aplicá-las
para resolver problemas de vibrações de mola e circuitos elétricos. Veremos também
como séries infinitas podem ser usadas para resolver equações diferenciais.
Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma
d 2 v
dv
P(x)---";- + Q(x) -- + R(x)y = G(x)
dx" dx
onde P, Q, R e G são funções contínuas. Vimos na Seção 9.1 que equações desse tipo
surgem no estudo do movimento de uma mola. Na Seção 17.3 aprofundaremos essa aplicação
bem como a dos circuitos elétricos.
Nesta seção vamos estudar o caso onde G (x) = O, para todo x, na Equação L Tais
equações são chamadas equações lineares homogêneas. Assim, a forma de uma equação
diferencial linear homogênea de segunda ordem é
d 2 y
dv
P(x) dx' + Q(x) dx + R(x)y = O
Se G(x) "" O para algum x, a Equação 1 é não homogênea e será discutida na Seção 172_
Dois fatos básicos permitem-nos resolver equações lineares homogêneas. O primeiro
estabelece que, se conhecermos duas soluções y 1 e y 2 de tal equação, então a combinação
linear y = Cl)'t + C2)'2 é também uma solução.
Teorema Se y,(x) e y,(x) são soluções da equação linear homogênea (2) e c, e
c2 são constantes quaisquer, então a função
é também uma solução da Equação 2_
y(x) = c,y,(x) + c,y,(x)
Pnwa Uma vez que Y1 e )'2 são soluções da Equação 2, temos
P(x)y;' + Q(x)yí + R(x)y, = O
e
P(x)yf + Q(x)yí + R(x)y, = O
Portanto, usando as regras básicas para diferenciação, temos
P(x)y" + Q(x)y' + R(x)y
= P(x)(c 1 y 1 + c 2 y 2 )" + Q(x)(c 1 y 1 + c 2 y 2 )' + R(x)(c 1 y 1 + c 2 y 2 )
= P(x)(c,y;' + c 2 yf) + Q(x)(c,y; + c 2 yí) + R(x)(c 1 y 1 + c 2 y 2 )
= c,[P(x)y;' + Q(x)y; + R(x)y,] + c,[P(x)yf + Q(x)yí + R(x)y,]
= c,(O) + c,(O) =O
Assim, y = C1Yl + C2Y2 é uma solução da Equação 2.

James Stewart CAPÍTUlO 17 EQUAÇÕES OJFERENC!AIS DE SEGUi'WA ORDEM U 1139
O outro fato que precisamos é dado pelo seguinte teorema, provado em cursos mais
avançados. Dizemos que a solução geral é uma combinação linear de duas soluções lineares
independentes Yt e Y2- Isso significa que ne1n Yi nem Y::: é um múltiplo constante
do outro. Por exemplo: as funções f(x) = x 2 e g(x) = Sx' são linearmente dependentes,
mas f(x) = e" e g(x) = xe" são linearmente independentes.
Teorema Se Y1 e )'2 forem soluções linearmente independentes da Equação 2,
então a solução geral é dada por
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.
y(x) = c,yt(x) + C2)",(x)
O Teorema 4, muito útil; diz que, se conhecermos duas soluções particulares linearmente
independentes, então conheceremos todas as soluções.
Em geral, não é fácil descobrir soluções particulares para uma equação linear de
segunda ordem. Mas é sempre possível fazer isso se as funções coeficientes P, Q e R forem
funções constantes, isto é, se a equação diferencial tiver a forma
o
onde a, b e c são constantes e a ;F O.
Não é difícil pensar em alguns prováveis candidatos para as soluções particulares da
Equação 5 se enunciarmos verbalmente. Estamos examinando para uma função y tal que
uma constante vezes sua segunda derivada y" mais outra constante vezes y' mais a terceira
constante vezes y é igual a O. Sabemos que a função exponencial y = erx (onde ré uma constante)
tem a propriedade que sua derivada é uma constante múltipla dela mesma: y' = re'x_
Além disso, y" = r 2 e'x. Se substituirmos essas expressões na Equação 5 veremos que
y = e'x é uma solução se
ou (ar 2 + br + c)e'" =O
Mas erx é diferente de zero. Assim, y = erx é uma solução da Equação 5 se r é uma raiz
da equação
L__ ___ a_r_'~+ br + c ~ O ~~]
A Equação 6 é denominada equação auxiliar (ou equação característica) da equação
diferencial ay" + by' + cy = O. Note que ela é uma equação algébrica que foi obtida da
equação diferencial substituindo-se y" por r 2 • y' por r, e y por 1.
Algumas vezes as raízes r 1 e r 2 da equação auxiliar podem ser determinadas fatorando-se.
Em outros casos elas são encontradas usando-se a fórmula quadrática:
-b + vb 2 - 4ac
2a
-h- )b 2 -
Separamos em três casos de acordo com o sinal do discriminante b 2 -
2a
4ac
4ac.

1140 CÁlCUlO Editora Thomson
"' ,,,, c b 2 - 4ac > O
Nesse caso as raízes r1 e r 2 da equação auxiliar são reais e distintas; logo y 1 = e' 1 x e
Y2 = er 2 x são duas soluções lineannente independentes da Equação 5. (Note que e'"l não é
um múltiplo constante de er 1 x.) Portanto, pelo Teorema 4, temos o seguinte fato:
Na Figura 1 o gráfico das soluções
básicasj(x) =e"-' e g(x) =e __ ,_, da
equação diferencial do Exemplo 1
está em destaque_ Algumas das
outras soluções, combinaç6es
lineares de f e g, também
sao mostradas.
8
Se as raízes r 1 e r 1 da equação auxiliar ar 2 + br + c = O são reais e diferentes,
então a solução geral de ay" + by' + cy = O é
Resolva a equação y" + y' - 6y = O.
SOLUÇÃO A equação auxiliar é
r 2 + r - 6 ~ (r - 2)(r + 3) ~ O
cujas raízes são r ~ 2, -3. Portanto, por (8) a solução geral da equação diferencial dada é
Podemos verificar que isso é de fato uma solução diferenciando e substituindo na
equação diferencial.
FIGURA 1
d 2 y dy
dx 2 dx .
3-- + -- v~O.
SOLUÇÃO Para resolver a equação auxiliar 3r 2 + r -
quadrática:
-1 ± yT:l
r~
6
1 ~ O usamos a fórmula
Uma vez que as raízes são reais e distintas, a solução geral é
CASü J! o b 2 - 4ac = 0
Nesse caso r; = r2, isto é, as raízes da equação auxiliar são reais e iguais. Vamos denotar
por r os valores comuns r 1 e r2. Então, da Equação 7 temos
b
r=--
2a
logo 2ar + b = O
Sabemos que Yi = erx é uma solução da Equação 5. Agora verifiquemos que y 2 = xerx é
também uma solução:
~ (2ar + b)e'" + (ar 2 + br + c)xe'"
~ O(e'") + O(xe'") ~ O
O primeiro termo é O pela Equação 9; o segundo termo é O, pois r é uma raiz da

James Stewart CAPÍTULO 17 EQUAÇÕES DIFERENCIAiS DE SEGU~JDA ORDEM O 1141
equação auxiliar. Uma vez que )-' 1 =e r_, e )' 2 = xerr são soluções linearmente independentes,
o Teorema 4 nos fornece a s0lução geral.
Se a equação auxiliar ar 2 + br + c = O tem apenas uma raiz real r, então a
solução geral de a)-' 11
+ by' + cy = O é
A F1gura 2 apresenta as soluçóes
básicas f(x) = e-Jx/ e g(x) = xe" 3 '·n
do Exemplo 3 e alguns outros
membros da família de soluções
Note que todos eles se aprox1marn
de Ü quandO X ~-J. oo_
-2 f+
FIGURA 2
f g 8
f \
Resolva a equação 4y" + l 2y' + 9y = O.
SOLUÇÃO A equação auxiliar 4r 2 + !2r + 9 ~O pode ser fatorada como
logo a única raiz é r =
(2r + 3)' ~O
2
• Por (10) a solução geral é
~;ASlJ !I! o b 2 ~ 4ac < 0
Nesse caso as raízes r 1 e r 2 da equação auxiliar são números complexos. (Veja o Apêndice
G, Volume I, para informar-se sobre números complexos.) Podemos escrever
r 1 ~ a+ íf3 r2 = a - if3
onde a e f3 são números reais. [De fato, a~ -b/(2a), f3 ~ v4ac- b 2 /(2a).] Então,
usando a equação de Euler
CU!= COS 8 + i SC0 8
do Apêndice G, escrevemos a equação diferencial como
~ C,e"'(cos f3x + í sen f3x) + C,e"'(cos f3x - í sen f3x)
~ e"'[(C 1 + C 2 ) cos f3x + í(C, - C 2 )sen f3x]
~ e "'(c 1 c os f3x + c 2 sen f3x)
onde c, ~ C, + C,, c,~ í(C, - C 2 ). Isso nos dá todas as soluções (reais ou complexas)
da equação diferenciaL As soluções são reais quando as constantes c 1
e c 2
são reais.
Resumiremos a discussão como segue.
será
da equação auxiliar ar 2 + br + c = O forem os números com­
i/3, então a solução geral de ay" + b/ + cy = O
as
ri = a + if3, r2 = a -

1142 o CÁLCULO Editora Thomson
:__. A Figura 3 apresenta os gráficos das
soluçóes do Exemplo 4,
f(x) = e 3 x cos 2x e g(x) =e 1 'sen 2x,
junto com alguma combinação !ineaL
Todas as soluções tendem a O
quando x ____,. ~x.
3
EXEMPlO 4 Resolva a equação y" - 6y' + 13y = O.
SOLUÇÃO Uma equação auxiliar é r 2 -
as raízes são
6r + l3 = O. Pela fórmula quadrática,
6 :t: v'36 - 52 6 :t: J=l6
r = =3:±:2i
2 2
Por (11) a solução geral da equação diferencial é
y = e 3 x(c 1 cos 2x + Cz sen 2x)
Problemas de Valores Iniciais e de Contorno
-3
Um problema de valor inicial para urna equação de segunda ordem 1 ou 2 consiste em determinar
uma solução y da equação diferencial que satisfaça as condições iniciais da forma
FIGURA 3
y(xo) = Yo
onde Yo e Yt são constantes. Se P, Q, R e G forem contínuas em um intervalo onde
P(x) -:rf O, então o teorema encontrado em livros mais avançados garante a existência e a
unicidade de uma solução para esse problema de valor inicial. Os Exemplos 5 e 6 mostram
corno solucionar tal problema.
EXEMPLO 5 c Resolva o problema de valor inicial
y" + y'- 6y =o y(O) = J y'(O) =O
o A Figura 4 apresenta o gráfico da
solução do problema de valor inicial do
Exemplo 5. Compare com a Figura 1.
20
SOLUÇÃO Do Exemplo I sabemos que a solução geral da equação diferencial é
Diferenciando essa solução, obtemos
y'(x) = 2c1e 2 x -
3c 2 e- 3 x
Para satisfazer as condições iniciais exigimos que
-2 2
o
FIGURA 4
y(O) = c 1 + c, = I
y'(O) = 2c, - 3c, = O
De (!3) temos c, = jc,; logo, (12) resulta em
Ct +~C!= 1
3
C!= 5
2
Cz = 5
Assim, a solução requerida do problema de valor inicial é
EXEMPlO 6 c Resolva o problema de valor inicial
y" + y =o y(O) = 2 y'(O) = 3
SOLUÇÃO A equação auxiliar é r 2 + 1 = O, ou r 2 = -1, cujas raízes são :±:i. Assim a = O,
{3 = 1, e, uma vez que e 0 " = 1, a solução geral é

l
James Stewart CAPÍTULO 17 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM O 1143
-- A solução do Exemplo 6 tem seu
gráfico feito na Figura 5. Ela aparenta
ser uma senóide deslocada. Realmente
você pode verificar que outra maneira
de encontrar a solução é
y = sen(x + $) onde tg 4> = ~
5
y(x) = c1 cos x + c2senx
Uma vez que y'(x) = -c~ senx + c2 cos x
a condição inicial toma-se
y(O) ~c,~ 2 y'(O) ~ c 2 ~ 3
Logo, a solução do problema de valor inicial é
y(x) ~ 2cos x + 3senx
~ ln ~~\--~~t+---\--~~-L 2n Um problema de contorno para a Equação 1 consiste em determinar uma solução y da
equação diferencial que também satisfaça as condições de contorno da forma
FIGURA 5
-5
y(xo) ~ Yo
Em contraste com a situação para problemas de valor inicial, um problema de contorno
nem sempre tem unia solução. O método está ilustrado no Exemplo 7.
Resolva o problema de contorno
SOLUÇÃO A equação auxiliar é
11
)' + 2y' + y =o y(O) ~ l y(l) ~ 3
r 2 + 2r + 1 ~O ou (r + 1) 2 ~ O
cuja única raiz é r = -1. Além disso, a solução geral é
As condições de contorno são satisfeitas se
c A Figura 6 mostra o gráfico da
solução do problema de contorno no
Exemplo 7.
5
A primeira condição resulta em c 1 =
y(O) ~c, ~ l
1, logo a segunda condição toma-se
~~
-l ~5
I
-5
FIGURA6
Resolvendo essa equação para c 2 , primeiro multiplicando-se ambos os membros por e,
obtém-se
Assim, a solução do problema de contorno é
1 + c 2 ~ 3e logo c,~ 3e - 1
Resumo: Soluções do
+ by' +c= o
~~
~---- Raízes de ar 2 + br + c = O j Solução geral ~
I r 1, r 2 ;~~i~--;-di-stintas --~~ y ~ c 1 e''" + c 2 e' 2 " ~~
l i TJ = rz =r y = c 1en + c2xerx
o r 1 , r 2 complexas: o::!: i/3 y ~ e"'(c 1 cos {3x + c,sen{3x)
~~~~--~--~~~L-~~~~~.

1144 c CÁlCUlO Editora Thomson
;Jif~1
Exercícios
'í-B __
Resolva a equação diferencial.
1. y" - 6y + 8y ~o 2. y" - 4y' + Sy ~O
3. y" + 8y' + 4Iy ~o 4. 2y" y' - y-0
5. y" - 2y' + y=O 6. 3y" = Sy'
7. 4y" + y=O 8. I6y" + 24y' + 9y- o
9. 4y" + y' ~o 10. 9y" + 4y = o
d;;y dv
d'y - dy
11. 2~-v -o 12. 6-+4v-O
dt' dt '
dt 2 dt '
13.
d'v dy -· +- +y-0
dt 2 dt
Faça o gráfico das duas soluções básicas da equação
diferencial c de várias outras soluções. Que aspecto têm em comum
as soluções
d 2 v dv
14. 6-', - ~ 2y- o
dx" dx
d'v dy
15. -· - 8- + l6v -O
dx' dx .
d 2 r
dy
16. dx·, - 2 dx + 5y -o
11-24 :::: Resolva o problema de condição inicial.
:í7. 2y" + 5y' + 3y- O, y(O) ~ 3, y'(O) ~ -4
18. y" + 3y- O, y(O)- l, y'(O)- 3
19. 4y"- 4y' + y- O, y(O)- l, y'(O)- -1,5
20. 2y" + 5y' - 3y ~O, y(O) - l, y'(O) - 4
2:1. y" + 16y- O, y(1T/4)- -3, y'(u/4) ~ 4
22. y"- 2y' + 5y ~O, y(1r) ~O, y'(u)- 2
23. y" + 2y' + 2y ~ O, y(O) - 2. y'(O) ~ l
24. y" + l2y' + 36y- O, y(l) ~O. y'(l)- I
;.::;;~32 . Resolva o problema de contorno, se possível.
25. 4y" + y- O, y(O)- 3, y(1r)- -4
26. y" + 2y' ~ O, y(O) ~ l, y(l) ~ 2
27. y"- 3y' + 2y ~O, y(O)- l, y(3)- O
28. y" + lOOy- O, y(O) - 2, y( 1r) - 5
29. y"- 6v' + 25y ~O. v(O)- l, y(u)- 2
30. y"- 6y' + 9y- O, y(O) ~ l, y(l)- O
31. y" + 4y' + I3y- O. y(O)- 2, y(rr/2)- I
32. 9y" l8y' + !Oy- O, y(O)- O, y(1r)- l
33. Se L um número real não.nulo.
(a) Mostre que o problema de contorno y" + Ay = O, y(O) = O,
y(L) = O tem apenas a solução trivial y = O para o caso onde
À- O e A< O.
(b) Para o caso onde À > O, determine os valores de A para os
quais este problema tenha uma solução não-trivial e dê a
solução correspondente.
34. Se a, b e c são todos positivos constantes, y{x) é uma solução
da equação diferencial ay" + by' + cy = O, mostre que
lim, ~~ y(x) - O.
Equações Lineares Não-Homogêneas··~--~~~~~~~
Nesta seção vamos aprender como resolver equações diferenciais lineares não-homogêneas
com coeficientes constantes, isto é, equações da forma
ai' + hy' + cy = G(x)
onde a, b e c são constantes e G é uma função contínua. A equação homogênea correspondente
ay'' + by' + cy = O
é chamada equação complementar e desempenha um papel importante na solução da
equação não-homogênea original(!).

James Stewart CAPÍTUlO 17 EQUAÇÕES DiFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEfv1 1145
YttDH'WJB
escrita como
A solução geral da equação diferencial não-homogênea (1) pode ser
onde }'pé urna solução particular da Equação 1 e Yc é a solução geral da Equação
complementar 2.
'j'"Ih'2 Tudo que temos de fazer é verificar que, se y é qualquer solução da Equação 1,
então y - }'p é uma solução da Equação complementar 2. De fato,
a(y - }'p)" + b(y - )'p)' + c(y - Yr) = ay" - ay;' + by' - h):; + cy {}'"p
~ (ay" + by' + cy) - (ay;; + by; + cyp)
~ g(x) - g(x) ~ O
Sabemos da Seção 17,1 como resolver a equação complementar, (Lembre-se de que a
solução é Yc = C(V 1 + c 1 y 2 , onde y 1 e y 2 são soluções lineannente independentes da Equação
2.) Além disso, o Teorema 3 nos diz que conhecerem_os a solução geral da equação nãohomogênea
logo que conhecermos uma solução particular Yr· Há dois métodos para determinar
uma solução particular: o método dos coeficientes a serem determinados é fácil de compreender,
mas trabalha apenas para uma classe restrita de funções para toda função G; o método
de variação de parâmetros trabalha para toda função G, mas em geral é mais difícil aplicá-lo.
O Método dos Coeficientes a Serem Determinados
Vamos primeiro ilustrar o método dos coeficientes a serem detenninados para a equação
ay" + by' + cy ~ G(x)
onde G(x) é um polinômio. É razoável conjeturar que há uma solução particular
y 11
que é um polinômio de mesmo grau de G, pois, se y for um polinôntio, então
ay" + by' + cy é também um polinômio. Portanto substituímos yp(x) = -um polinômio
(de mesmo grau de G) na equação diferencial e determinamos os coeficientes.
Resolva a equação y" + y' -
SOLUÇÃO A equação auxiliar de y" + y' -
r 2 + r - 2 ~ (r -
2y = x 2 •
2y ~ O é
!)(r + 2) ~ O
com as raízes r= 1, -2. Logo, a solução da equação complementar é
Uma vez que G(x) = x 1 é um polinômio de grau 2, procuramos uma solução particular
da forma
yp(x) ~ Ax 2 + Bx + C
Então y; ~ 2Ax + B e y; ~ 2A, Assim, substituindo na equação diferencial dada, temos
(2A) + (2Ax + B) - 2(Ax 2 + Bx + C) ~ x 2
ou -2Ax 2 + (2A - 2B)x + (2A + B - 2C) ~
Polinôntios são iguais quando seus coeficientes são iguais. Assim,
-2A = l 2A + B- 2C ~O

1146 o CÁLCUlO Editora Thomson
~- A Figura 1 mostra quatro soluções
da equação diferencial do Exemplo 1
em termos da solução particular yp
e das funçóes f(x) =ex e g(x) = e
8
lp + 2f+3q~~. 1
r+3/r'v ..
. p ' ' ) .
• Vp + -}
-3~.
/ I ~
-5
FIGURA 1
· A Figura 2 mostra as soluçóes da
equação diferenciai do Exemplo 2
em termos de _1.'p e as funções
f(x) = cos 2x e g(x) = sen 2x. Note
que todas as soluçóes tendem a x,
quando x ____,. oc e todas as soluções
parecem com as funções seno
quando x é negativo
3
A solução desse sistema de equações é
Uma solução particular é portanto
e, pelo Teorema 3. a solução geral é
A= -J B = C=
yp(x) = ~~x 2 - ~x- §
Se G(x) (lado direito da Equação 1) é da forma Ce", onde C e k são constantes, então
tomamos como solução de prova uma função de mesma forma, Yr(x) = Aeh, pois as
derivadas de e h são múltiplas constantes de eb.
EXEMPlO
Resolva y" + 4}' = e 3 '.
SOLUÇÃO A equação auxiliar é r 2 + 4 =O com as raízes ±li, logo a solução da
equação complementar é
}\-(X) = c 1 cos 2x + c2 sen 2x
Para uma solução particular tentemos yp(x) = Ae 3 x. Então ~v;,= 3Ae 3 -' e y 1
',' = 9AeJ-'.
Substituindo na equação diferencial, temos
9Ae 3 ' + 4(Ae") ~ e 3 '
logo 13Ae 3 x = e 3 x e A = D. Assim, uma solução particular é
4
e a solução geral é
i ,,
Yp ( x ) = ue
y(x) = c 1 cos2x + c 2 sen2x + -&,e 3 x
FIGURA 2
-2
Se G(x) é Ccos kx ou Csenkx, então, por causa das regras de diferenciação para as
funções seno e cosseno, tentamos, como solução particular, uma função da forma
Resolva l' + y' -
yp(x) ~A cos kx + Bsenkx
2y = senx.
SOLUÇÃO Tentemos uma solução particular
yp(x) =A cos x + B senx
Então y; = -Asenx + Bcosx y;' = ~Acosx- Bsenx
logo, substituindo na equação diferencial, ternos
ou
(-Acosx- Bsenx) + (-Asenx + Bcosx)- 2(Acosx + Bsenx) ~ senx
Isso acontece se
A solução desse sistema é
(-3A + B)cosx +(-A- 3B)senx =senx
-3A + B =O e -A- 3B = l
A~

James Stewart CAPÍTULO 11 EOUAÇOES DIFERENCiAiS DE SEGUI-JDA ORDEM Ci 1147
logo uma solução particular é
)'p(x) = -/ocos x úl ' sen x
No Exemplo 1 determinamos que a solução da equação complementar é
Yc = c 1 e + c 2 e ·lx Assim, a solução geral da equação dada é
y(x) = c1e" + c2e- 2 -'- fo(cos x + 3 sen x)
Se G(x) for um produto de funções dos tipos precedentes, enlão tentamos a solução
como um produto de funções do mesmo tipo. Por exemplo: resolvendo a equação
diferencial
tentamos
y" + 2y' + 4y = x cos 3x
yl'(x) ~ (Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sen 3x
Se G(x) for uma soma de funções desses tipos, usamos o principio da superposição,
que é facilmente verificado e nos diz que, se. )'p 1
e y, 2
forem soluções de
ay" + by' + cy ~ G 1 (x)
respectivamente, então )'p 1
+ )'p 2
é uma solução de
ay" + by' + cy = G:(x)
ay" + by' + cy ~ G,(x) + G,(x)
EXEMPlO 4 :c Resolva y" - 4y ~ xe' + cos 2x.
SOLUÇÃO A equação auxiliar é r 2 - 4 = O com as raízes :':2, logo a solução da equação
complementar é y,(x) = c 1 e 2 x + c 2 e- 2 x_ Para a equação y" ~ 4y = xex tentamos
YP, (x) ~ (Ax + B)e'
Então y 1
;, ~ (Ax + A + B)e', y;, ~ (Ax + 2A + B)e'. Logo, substituindo na equação
dada,
(Ax + 2A + B)e' -
4C4x + B)e' ~ xe'
c_~ A Figura 3 apresenta a soluçao
particular )'p = yp, + .v~, da equaçào
diferencial do Exemplo 4_ As outras
soluções sao dadas em termos de
f(x) = e2< e g(x) =e-:._,
ou (-3Ax + 2A - 3B)e" ~ xe'
Assim, - 3A = 1 e 2A - 3B = O. Logo A = - ~, B = - ~ e
yp,(x) ~ (- \x - ~)e'
Para a equação y" - 4 y = cos 2x, tentamos
5
Substituindo, temos
y"(x) ~ C cos 2x + D sen 2x
FIGURA. 3
-2
ou
-4C cos 2x - 4D seu 2x- 4(Ccos 2x + D seu 2x) ~ cos 2x
Portanto, -8C ~ I, -8D ~O, e
-8Ccos 2x- 8D sen 2x ~ cos 2x
v (x) ~ -'·cos2x
, P2 8

1148 ll CÁLCUlO Editora Thomson
Pelo princípio da superposição, a solução geral é
Finalmente notamos que a tentativa recomendada Yr algumas vezes resulta em uma
solução da equação complementar e, portanto, não pode ser uma solução de uma equação
não-homogênea. Em tais casos multiplicamos a tentativa recomendada por x (ou por x 1 se
necessário) tal que nenhum termo em yp(x) é uma solução da equação complementar.
Resolva )' 11 + y = sen x.
SOLUÇÃO A equação auxiliar é r 2 + l = O com raízes ±i, logo a solução da equação
complementar é
Geralmente usaremos a tentativa
y,.(x) = c 1 cos x + c 2 sen x
y 1
(x) ~A cos x + B sen x
mas observe que ela é uma solução da equação complementar. Por exemplo, tentemos
y 1
,(x) ~ Ax cos x + Bx sen x
=- Os gráftcos das quatro soluções da
equação diferencial do Exemplo 5
estão apresentados na Figura 4.
4
Então
y;(x) =Acosx- Atsenx + Bsenx + Bxcosx
y/,'(x) = -2Asenx- Atcosx + 2Bcosx- Bxsenx
Substituindo na equação diferencial temos
y;,' + YP = -2Asenx + 2Bcosx =
senx
logo A ~ -j, B ~ O, e
FIGURA 4
A solução geral é
)'p(x) =
-~X COS X
y(x) = c 1 cosx + c 2 senx- ~xcosx
Resumimos o método dos coeficientes a serem detenninados como segue:
1. Se G(x) ~ e"P(x), onde Pé u, polinômio de grau n, então tente y,(x) ~ e"Q(x),
onde Q(x) é um polinômio de grau n (cujos coeficientes são determinados por
substituição na equação diferencial.)
2. Se G(x) ~ e"P(x) cos mx or G(x) ~ e"P(x) sen mx, onde Pé um polinômio de
grau n, então tente
yp(x) ~ e'"Q(x) cos mx + e"R(x) sen mx
Onde Q e R são polinômios de grau n.
Modificação: Se algum termo de YP é a solução da equação complementar, multiplique
YP por x (ou por x 2 se necessário).
EXEMPlO 6 :~ Determine a forma da candidata a solução para a equação diferencial
y"- 4y' + 13y = e 2 xcos3x.

James Stewart CAPÍTULO 17 EOUAÇÓES DIFERENCLA!S DE SEGUf\JDA ORDEM 1149
SOLUÇÃO Aqui G(x) tem a forma encontrada na parte 2 do resumo, onde k ~ 2, m ~ 3,
e P(x) = L Assim, à primeira vista, a forma da candidata a solução deveria ser
yp(x) ~ e"(A cos 3x + B seu 3x)
Mas a equação auxiliar é r 2 - 4r + 13 = O, com raízes r = 2 ::!::: 3i, portanto a solução
da equação complementar é
YcCr) = e 2 '(c 1 cos 3x + c2 sen 3x)
Isso significa que temos de multiplicar a candidata a solução sugerida por x. Assim, em
seu lugar, usamos
Yr(x) ~ xe''(A cos 3x + B sen 3x)
O Método das Variações dos Parâmetros
Suponha que, após resolver a equação homogênea ay" + by' + cy = O, escrevamos a
solução como
onde Yi e Y:: são soluções linearmente independentes. Vamos substituir as constantes (ou
parâmetros) c 1 e c 2 da Equação 4 pelas funções arbitrárias u 1 (x) e u2(x). Procuramos por
uma solução particular da equação não-homogênea ay" + by' + cy = G(x) da forma
y,,(x) ~ u,(x)y 1 (x) + u 2 (x)y 2 (x)
(Esse método é chamado variação dos parâmetros, pois variamos os parâmetros c1 e cz,
tomando-os funções.) Diferenciando a Equação 5, obtemos
Uma vez que u1 e u2 são funções arbitrárias, podemos impor duas condições sobre eles. Uma
condição é que YP é uma solução da equação diferencial e podemos escolher outra condição,
a fim de simplificar nossos cálculos. Considerando a expressão da Equação 6, vamos impor
a condição que
Então
Substituindo na equação diferencial, obtemos
ou
Mas }'1 e Y2 são soluções da equação complementar, logo
ay[' + hyí + cy1 = O e ayí' + by~ + cy2 = O
e a Equação 8 simplifica em
a(_u;yr + uíyí) = G

1150 u CÁlCUlO Editora Thomsoo
As Equações 7 e 9 formam um sistema de duas equações nas funções desconhecidas u; e
u~. Após resolver esse sistema, podemos integrar para encontrar u 1 eu:, e então a solução
particular é dada pela Equação 5.
EXEMPlO 7 c Resolva a equação y" + y ~ tg x, O< x < rr/2.
SOLUÇÃO A equação auxiliar é r 2 + 1 =O com as raízes ±i, logo a solução de
y" + y =O é c1 sen x + c~ cos x. Usando a variação dos parâmetros, buscamos uma
solução da forma
y,,(x) ~ uJ(x)sen x + u 2 (x) cos x
Então
Faça
u; senx + u2 cos x = O
Então
}' 1 ;' = u;cosx- u2senx- u 1 senx- u~cosx
Para yP ser uma solução devemos ter
Resolvendo as Equações lO e ll, obtemos
uí(sen 2 x + cos 2 x) = cos x tg x
u; = senx u,(x) ~ -cos x
(Procuramos uma solução particular, logo não precisaremos de uma constante de integração
aqui.) Então, da Equação lO, obtemos
, senx ,
u2 = ---u 1
COS X
COS X
COS X
= cosx- secx
::: A Figura 5 mostra quatro soluções
da equaçáo diferenciai do Exemplo 7.
Logo
u 2 (x) ~ sen x - ln(sec x + lg x)
2,5
(Note que sec x + tg x > O para O < x < 1T/2.) Portanto
yp(x) ~ -cos x senx + (sen x- ln(sec x + tg x)) cos x
~ -cos x ln(sec x + tg x)
e a solução geral é
FIGURA 5
y(x) ~ c, senx + c 2 cos x - cos x ln(sec x + tg x)

James Stewart CAPÍTUlO 17 EOUAÇÜE:S DIFERENCIAIS DE Sf:GUf'JDA ORDCtv'r 1151
1-10 - Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial
usando o método dos coeficientes indeterminado.
1. )' 11 -t- 3y' + 2y =X~
3. y" - 2y' = sen 4.:r
5. y"- 4y' + 5y =e-
2. y" + 9y = e·1 '
4. y" + 6y' + 9y = l + x
6. y" + 2y' + y = xe --_,
15 .. r"+ 9y' = I + xe 9 -'
16; y" + 3:v'- 4y = (x' + x)e'
17 .. v"+ 2y' + 10y = x'-e -, cos 3x
18. y" + 4y = e 3 ~ + xsen 2x
7. _-r'' + )' = e·' + x ', y(O) = 2. y'(O) = O H.!-22 Resolva a equação diferencial usando (a) coeficientes a
8. y" - 4_v = e·' cos x, y(O) = 1, _r'(O) = 2
9. _,.• - y' ~ xe', r( O) ~ 2. y'(O) ~ 1
10. y"-+- y' - 2y = x + sen 2x, y(O) = 1. y'(O) =O
H-li Faça o gráfico da solução particular c várias outras
soluções. Que características essas soluções têm em comum
serem detenninados c (b) variação dos parâmetros.
19. )' 11 -t- 4y =X 20. -., 3y' + 2) = scn.t
21. y"- 2_v' +_r= e 2 ' 22. y'' - y' = c-'
23~28 Resolva a equação diferencial usando o método da
variação dos parâmetros.
11. 4y" + Sy' + y =e' 23. y" + y = sec x, O < x < 'Tf/2
12. 2y" + 3y' + y = 1 + cos 2x 24. y" + y = cotg x, O < x < 'TT/2
13-12 Escreva uma tentativa para o método dos coeficientes a
serem determinados. Não determine os coeficientes.
13. y'' + 9y = e 2 ' + x 2 senx
14. y" + 9y' = xe--' cos 'TTX
25.: y" - 3y' + 2y ~ _.:.__
+e-'
26. y" --t 3y' + 2y = sen(e")
27. r" - v= __!_
~ , X
23. y" + 4y' + 4y
e 2;
Aplicações das Equações Diferenciais de Segunda Ordem
As equações diferenciais lineares de segunda ordem têm uma variedade de aplicações na
ciência e na engenharia. Nesta seção exploraremos duas de suas aplicações: a vibração das
molas e os circuitos elétricos.
FIGURA 1
posição de O
equilíbrio
de equilíbrio
Vibrando as Molas
Consideremos o movimento de um objeto com massa m na extremidade de uma mola que
está na vertical (como na Figura l) ou na horizontal sobre um nível da superfície (como
na Figura 2),
Na Seção 6.4, do Volume I, discutimos a Lei de Hooke, que nos diz que, se a mola
estiver esticada (ou comprimida) x unidades do comprimento natural, então ela exerce uma
força proporcional a x:
força restauradora = -kx
onde k é uma constante positiva (chamada constante da mola). Se ignorarmos qualquer
força de resistência externa (devido à resistência do ar ou atrito), então, pela Segunda Lei
de Newton (força é igual massa vezes aceleração), teremos
FIGURA 2
o
X
X
d'x
m-- =
dt 2
-kx
ou
d 2 x
m--+kx=O
dt 2

1152 CÁLCULO
Editora Thomson
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Sua equação auxiliar é mr 2 + k = O
com as raízes r = ± wi, onde w = Jklm. Assim, a solução geral é
que pode também ser escrita como
x(t) = c 1 cos wt + c 2 sen wt
x(t) ~ A cos( wt + 8)
onde
úJ = Jk/m !frcqüênci:ll
(:tmp!itud.::)
C•
cos 8 ~i sen 8 ~ Jóiio âng!o faseJ
(veja o Exercício 15). Esse tipo de movimento é chamado mo\imento harmônico simples.
EXEMPlO 1 :: Uma mola com uma massa de 2 kg tem um comprimento natural de 0,5 m.
Uma força de 25,6 N é necessária para mantê-la esticada a um comprimento de 0,7 m. Se
uma mola for esticada para um comprimento de 0,7 me então for solta com velocidade
inicial O, detennine a posição da massa em qualquer tempo r.
SOLUÇÃO Da Lei de Hooke, a força necessária para estender a mola é
k(0,2) ~ 25,6
logo k ~ 25,6/0,2 ~ 12S. Usando esse valor da constante da mola k, junto com m ~ 2
na Equação I, temos
d 2 x
2-+12Sx~O
dt 2
Como na discussão anterior, a solução dessa equação é
x(t) ~ c, cos St + c2 sen St
Estamos dando a condição inicial que x(O) = 0,2. Mas, da Equação 2, x(O) ~ c,. Assim,
c, ~ 0,2. Diferenciando a Equação 2, temos
x'(t) ~ -Sc 1 sen St + Se, cos 81
Uma vez que a velocidade inicial é dada como x'(O) ~ O, temos c 2 ~ O, e a solução é
x(t) ~ l cos 8t
Vibrações Amortecidas
FIGURA 3
A seguir, consideraremos o movimento de uma mola que está sujeita a uma força de atrito (no
caso da mola horizontal da Figura 2) ou a uma força de amortecimento (no caso de uma mola
vertical que se movimenta por meio de um fluido, como na Figura 3). Um exemplo é a força
de amortecimento proporcionada pelo choque absorvido em um carro ou uma bicicleta.
Vamos supor que a força de amortecimento seja proporcional à velocidade da massa e atue
na direção oposta ao movimento. (Isso tem sido confirmado, pelo menos aproximadamente,

l
James Stewart
para alguns experimentos físicos.) Assim
CAPÍTUlO 17 EQUAÇÕES DIFERt:NCLf\lS DE SEGUNIJA OflDEI\rl
força de amortecimento =
dx
-cdt
1153
onde c é uma constante positiva, chamada constante de amortecimento. Assim, nesse caso.
a Segunda Lei de Newton fornece
ou
d 2 x
dx
m --, =forca restauradora+ força de amortecimento =- kx ~ c -
dt' , dt
d 2 x dx
m--- +c-+kx=O
dt' dt
A Equação 3 é uma equação diferencial linear de segunda ordem, c sua equação auxiliar é
mr 2 + c r + k = O. As raízes são
-c + -./c' - 4mk
2m
-c - ~Jc 2 ~4;;~
2m
De acordo com a Seção 17.1, precisamos discutir três casos.
CASO ! o c 2 - 4mk > O (superamortecimento)
Nesse caso, r 1 e r 2 são raízes distintas reais c
Uma vez que c, me k são todas positivas, temos .Jc 2 4mk

1154 CÁLCULO Editora Thomson
onde
v!4mk- c~
2m
A solução é dada por
FiGURA 5
Subamottccido
Vemos que há oscilações amortecidas pelo fator e--(ci:l!/ 11 • Uma vez que c_"":> O c m >O.
temos -(e/2m)

l
James Stewart CAPÍTUlO 17 EQUi'IÇOES OIFEREf\JCIAIS DE SEGUi'WA OROU/I 1155
pela seguinte equação diferencial não-homogênea:
d 2 x dx
m -, + c- + kx = F(t)
dr- dt
O movimento da mola pode ser determinado pelos métodos da Seção 17 .2.
Uma força externa que ocorre comumente é uma função força periódica
F(t) = F 0 cos w 0 t onde Wo #- W = .ykjm
Nesse caso, e na falta de uma força de amortecimento (c = 0), é pedido no Exercício 9 que
você use o método dos coeficientes a serem determinados para mostrar
F o
X(f) = C1COS W{ + C]_SCtl W{ + , ") COS Wof
m(úF ~ w 0
Se w 0 = w, então a freqüência aplicada reforça a freqüência natural c o resultado são
vibrações de grande amplitude. Esse é o fenômeno da ressonância (veja o Exercício 10).
Circuito Elétrico
\ \ interruptor
l
®
L_
FIGURA 7
R
c
L
Nas Seções 9.3 e 9.6 usamos equações lineares e separáveis de primeira ordem para analisar
circuitos elétricos que contêm resistor e indutor ou resistor e capacitar. Agora que
sabemos como resolver equações lineares de segunda ordem, estamos em posição de analisar
o circuito mostrado na Figura 7, que contém uma força eletromotriz E (proporcionada
pela bateria ou gerador), um resistor R, um indutor L e um capacitar C, em série. Se a carga
no capacitar no instante t for Q = Q(t), então a corrente é a taxa de variação de Q em
relação a t: l ~ dQ/dt. Como na Seção 9.6, é conhecido da física que as quedas de voltagem
pelo resistor, indutor e capacitar são
RI
dl
L­ dt
Q
c
respectivamente. A lei de voltagem de Kirchhoff diz que a soma das quedas dessa voltagem
é igual à voltagem fornecida:
dl Q
L-+Rl+-=E(t)
dt
c
Uma vez que l = dQ/dt, essa equação toma-se
-----·,
d 2 Q dQ 1 ~
L-+R ..-. +-Q=E(t) .
dt 2 dt c .
que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Se a
variação Qo e a correhte lo forem conhecidas no instante O, então temos as condições iniciais
Q(O) = Qo
Q'(O) = I( O) = lo
e o problema de valor inicial pode ser resolvido pelos métodos da Seção 17 .2.

1156 CÁLCULO Editora Thornson
Uma equação diferencial para a corrente pode ser obtida diferenciando-se a Equação 7
em relação a I e lembrando que [ = dQ/dt:
d 2 ! dl l .
L-. + R~ + ~I = E'(t)
dl· dt c
EXEMPLO 3 Determine a carga e a corrente no instante t no circuito da Figura 7 se
R = 40 !1, L = 1 H, C = 16 X 10·' F, E(t) = !00 cos 101, e a carga e a corrente inicial
são ambas O.
SOLUÇÃO Com os valores dados de L, R, C e E(t), a Equação 7 toma-se
d 2 Q
dQ
~-. + 40- + 62SQ = 100 cos !Ot
dt" dl
A equação auxiliar é r 2 + 40r + 625 = O com raízes
-20 :t 15i
logo, a solução da equação complementar é
Para o método dos coeficientes a serem determinados, tentamos a solução particular
Qp(l) =A cos 10t + 8 sen 101
Então Q;(t) = -10Asen101 + 108cos 101
Q;'(l) = -lOOA cos 101 - 1008 sen JOt
Substituindo na Equação 8, temos
(-100A cos 10t - 1008 sen 101) + 40( -1 OA sen 101 + 108 cos 1 OI)
+ 625(A cos 101 + 8 sen 1 Ot) = 100 cos 101
ou
(525A + 4008)cos 101 + (-400A + 525B)sen!Ot = JOOcos lOt
Igualando os coeficientes, temos
525A + 4008 = 100 21A + 168 = 4
ou
-400A + 5258 = O -l6A + 218 =O
A solução desse sistema é A = 6 8 9~ e B = 6~1 , logo, uma solução particular é
e a solução geral é
Qp(l) = 6t7(84cos !01 + 64senl01)
Q(t) = Q/1) + Qp(t) = e- 20 '(c 1 cos 151 + c 2 sen 151) + 0 tJ(21 cos 101 + 16 sen lüt)

l
James Stewart CAPÍTULO 17 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM L: 1157
Impondo a condição inicial Q(O) = O obtemos
Q(O) ~c, +
Para impor a outra condição inicial primeiro, vamos diferenciar para detenninar a corrente:
dQ
I~-~ e 201 [( -20c 1 + 15c 2 ) cos 1St + ( -15c 1 - 20c 2 ) sen 15r]
dl
J(O) ~ -20c 1 + 15c 2 + &~~O
+ ~~( -21 sen l01 + 16 cos !Ot)
Assim, a fórmula para a carga é
4 [ 2(21
Q(l) ~- ~ (-63 cos 151 -
697 3
116 sen 15t) + (21 cos 101 + 16 sen 101) J
e a expressão para a corrente é
J(t) ~ [e' 20 '(-1920cos 151 + H060senl51) + 120(-2lsenl0t + 16cos 101)]
0,2
NOTA 1 o No Exemplo 3 a solução para Q(t) consiste em duas partes. Uma vez que
e- 201 __,..O quando t __;;,.co ecos 15t e sen 15t são funções limitadas,
QAI) ~ ,6 9 ie ~ 2111 ( -63 cos 151 - 116 sen 151) --" O quando t ____,.. =
Logo, para valores maiores de t,
Q(t) = Qp(t) ~ ,;, (21 cos lOt + 16 sen !Ot)
-0,2
FIGURAS
e, por essa razão, Qp(l) é denominada solução de estado estacionário. A Figura 8 mostra
uma comparação entre o gráfico de Q nesse caso e a solução de estado estacionário.
NOTA 2 o Comparando as Equações 5 e 7, vimos que matematicamente elas são idênticas.
Isso sugere a analogia dada na tabela a seguir entre situações físicas que, à primeira
vista, são muito diferentes.
~---------------
Sistema Mola
- -----------------------
Circuito Elétrico
--------
X deslocamento
carga
dx/dl velocidade I~ dQ/dt corrente
m massa L indutância
c constante de amortecimento R resistência
k constante da mola l/C elastância
F(t) força externa E(t) força eletromotriz
º
Podemos também transferir outras idéias de uma situação para outra. Por exemplo: a
solução do estado estacionário discutida na Nota 1 faz sentido no sistema mola. E o fenômeno
da ressonância no sistema mola pode ser proveitosamente transportado para circuitos
elétricos como ressonância elétrica.

1158 " CÁlCULO Editora Thomson
1. Uma mola com massa de 3 kg é mantida esticada 0.6 m além
de seu comprimento natural por uma força de 20 N. Se a mola
começar em sua posição de equilíbrio, mas um empurrão der
sua velocidade inicial de 1 ,2 mls, determine a posição da
massa depois de t segundos.
2. Uma mola com uma massa de 4 kg tem um comprimento
natural de l m e é mantida esticada até um comprimento de
1,3 m por uma força de 24,3 N. Se a mola for comprimida até
um comprimento de 0,8 m e for solta com velocidade zero.
dctennine a posição da massa em qualquer instante t.
·3. Uma mola com uma massa de 2 kg tem uma constante de
amortecimento 14. e uma força de 6 N é necessária para manter
a mola esticada 0,5 m além de seu comprimento naturaL A mola
é esticada l m além de seu comprimento natural e então solta
com velocidade zero. Determine a posição da massa em
qualquer instante t.
4. Uma mola com uma massa de 3 kg tem uma constante de
amortecimento 30, e a constante da mola é 123.
(a) Detenníne a posição da masa no instante t se ele começar
em uma posição de equihbrio com uma velocidade de 2 m/s.
(b) Faça o gráfico da função posição da massa.
5. Para a mola do Exercício 3, determine a massa que deve
produzir amortecimento crítico.
6. Para a mola do Exercício 4, determine a constante de
amortecimento que deve produzir amortecimento crílico.
7. Uma mola tem uma massa de 1 kg e sua constante da mola
é k = 100. A mola é solta em um ponto 0.1 m acima de sua
posição de equilíbrio. Faça os gráficos da função posição para
os seguintes valores da constante de amortecimento c: 10, 15,
20, 25, 30. Que tipo de amortecimento ocorre em cada caso
8. Uma mola tem uma massa de I kg e sua constante de
amortecimento é c = 1 O. A mola começa de sua posição de
equilíbrio com uma velocidade de l rn/s. Faça os gráficos da função
posição para os seguintes valorc. da constante da mola k: I O, 20,
25, 30, 40. Que tipo de amortecimento ocorre em cada caso
Suponha que uma mola tenha massa m e constante da mola k e
seja w = ... /[/;;;. Suponha uma constante de amortecimento tão
pequena que a força de amortecimento seja negligenciada. Se
uma força externa F(t) = Focos wot for aplicada. onde w 0 ,P w,
use o método dos coeficientes a serem determinados para mostrar
que o movimento da massa é descrito pela Equação 6.
10. Como no Exercício 9, considere uma mola com massa m,
constante da mola k e constante de amortecimento c = O, e
seja w = v~· Se uma força externa
F(t) = F 0 cos wt for aplicada (a freqüência aplicada é igual à
freqüência natural), use o método dos coeficientes a serem
determinados para mostrar que o movimento da massa é dado
por x(t) = c 1 cos wt + c 1 senwt + (Fo/(2mw))tsenwt.
11. Mostre que se w 0 ,P w, mas w/wo é um número racional, então
o movimento descrito pela Equação 6 é periódico.
12. Considere uma mola sujeita a uma força de atrito ou de
amortecimento.
(a) No caso de amortecimento crílico, o movimentn é dado por
x = c1en + c2te 0 . Mostre que o gráfico de t cruza o eiX~)
t sempre que c1 e c2 tiverem sinais contrários.
(b) No caso de superamortccimento, o movimento i dado por
x = c 1e''' + c 2 e~"'', onde r 1 > r 2 • Determine uma condição
sobre as magnitudes relativas de c 1 e c 2 sob a qual o gráfico
de x cruza o eixo t para um valor positivo de t.
13. Um circuito em série consiste em um rcsistor com R = 20 f!.
um indutor com L = 1 H, um capacitar com C = 0,002 F e
uma bateria de 12 V Se a carga inicial e a corrente forem O,
encontre a carga e a corrente nó ínsrante t.
14. Um circuíto em série contém um rcsistor com R = 24 n, um
indutor com L = 2 H, um capacitar com C = 0,005 f e uma
bateria de 12 V. A carga inicial é Q = 0,001 C c a corrente
inicial é O.
(a) Detem1ine a carga e a corrente no instante r.
(b) Faça o gráfico das funções carga e corrente.
15. A bateria no Exercício 13 é substituída por um gerador
produzindo uma voltagem de Eft) = l2sen lüt. Determine a
carga no instante t.
16. A bateria no Exercício 14 é substituída por um gerador
produzindo uma voltagem de E(t) = 12 sen lO r.
(a) Determine a carga no instante t.
(b) Faça o gráfico da função carga.
J1l~
Verifique que a solução para a Equação I pode ser escrita na
forma x(t) =A cos(wt + 8).
18. A figura mostra um pêndulo com comprimento L e o ângulo (}
a partir da vertical ao pêndulo. Pode ser mostrado que 8. como
uma função do tempo, satisfaz a equação diferencial não-linear
d'e 9
--~ + ~sen 8= O
dt" L
onde g é a aceleração devida à gravidade. Para valores
pequenos de e podemos usar a aproximação linear sen fJ = 8,
e então a equação diferencial torna-se linear.
(a) Determine a equação do movimento de um pêndulo com
comprimento J m se fJ for inicialmente 0,2 rad e a
velocidade angular for dO/dt = 1 rad/s.
(b) Qual o ângulo máximo que o pêndulo pode fazer a partir
da vertical
(c) Qual o período do pêndulo (isto é, o tempo necessário para
uma oscilação completa)
(d) Quando o pêndulo estará pela primeira vez na vertical
(e) Qual a velocidade angular do pêndulo quando ele está na
vertical
!I/ I I I I I 1// I I I! /e! I i I! I !!I I I!//
i\
te\
1-'-"\ L
\

James Stewart CAPÍTUlO 17 EC2Ui'c,ÇOES DIFEiiENCI.AIS DF SE:GUND.A OiiDEiv1 1159
!!lf~4 Soluções em Série
,,- -~~~ ""'"""-c_=~~-~="='-=~"'-~='-'"=~~='"-''"'=---~---p·~- -=='"'==cç=w='"' -~-~"~~===o:,=~"-'=····-=·---=
Muitas equações diferenciais não podem ser resolvidas explicitamente em termos de combinações
finitas de funções usuais simples. Isso é verdade mesmo para uma equação com
aparência bem simples, como
y" - 2xy' + y = O
Todavia é importante você poder resolver equações como a que foi dada acima, pois elas
surgem de problemas físicos em particular, em conexão com a equação de SchrOdinger da
mecânica quântica. Em tal caso vamos usar o método das séries de potência, isto é, procuraremos
por uma solução da forma
y = f(x) = L c,x'' =Co + C: X+ C::_X 2 + c3x 3 + ...
,.--()
O método é para substituir essa expressão na equação diferencial e determinar os valores
dos coeficientes c 0 • c~, c 2 , • Essa técnica assemelha-se ao método dos coeficientes a
serem determinados, discutido na Seção 17.2.
Usando antes as séries de potência para resolver a Equação 1, ílustraremos o método
sobre uma equação mais simples y" + y = O no Exemplo 1. Realmente já sabemos como
resolver essa equação pelas técnicas da Seção 17.1, contudo é mais fácil entender o método
da série de potência quando ele é aplicado para essa equação mais simples.
EXEMPLO 1 ~:-' Use a série de potência para resolver a equação y" + y = O.
SOLUÇÃO Assumiremos que haja uma solução da forma
Podemos diferenciar a série de potências termo a termo, logo
".!..J CnX ·"
·O
y' = c1 + 2c2x + 3c3x 2 + · · · = 2: nc 11 x"" 1
fj=l
2: n(n - 1 )c"x"
n=2
o Escrevendo os primeiros termos
de {4) você verá que são iguais a (3).
Para obter (4) substituímos
n por n + 2 e começamos
o somatório em O em vez de 2_
A fim de comparar as expressões de y e y" mais facilmente, reescrevemos y" como segue:
n=O
Substituindo as expressões nas Equações 2 e 4 na equação diferencial, obtemos
ou
n=O
n=O
2: [(n + 2)(n + I )c,, + c,]x" ~O
n=O

1160 o CÁLCULO Editora Thomson
Se duas séries de potências forem iguais, então os coeficientes correspondentes devem
ser iguais. Portanto os coeficientes de xn da Equação 5 devem ser 0:
(n + 2)(n + l)c,+2 + c, ~O
c,+, ~ - -;(n_+_l:cc)c-(n-+-::2c-) n ~O, I, 2, 3,
A Equação 6 é chamada relação de recursão. Se c 0 e c 1 forem conhecidos, essa
equação permite-nos determinar os coeficientes restantes recursivamente, pondo
n = O, 1, 2, 3, ... em sucessão.
Pondo n ~ 0:
Pondo n ~ 1:
Pondo n ~ 2:
Pondo n ~ 3:
Co
, I · 2
c~=---
c,
C3 = ---
2·3
c,
C4 = - -- ~ _ __:::::_ __
3·4 1·2·3·4
C3
C1
cs=---~
4·5 2·3·4·5
Co
4'
c,
5!
Pondo n ~ 4:
Pondo n ~ 5:
C4 Co Co
c6=---~
5. 6 4! 5. 6 6!
C! C!
C7 =- = -~
6·7 5!6·7 7'
Até agora vemos o seguinte padrão:
para os coeficientes pares, c,, ~ (-I)" ( )
2n!
para os coe fi cientes . 1mpares, • ( I)" c,
Czn + 1 = - ( )
2 n+l!
Pondo esses valores na Equação 2, escrevemos a solução como
(
x 2 x 4 x 6 x 2 ' )
~Co I - 2J + 4! - 6J + .. · + (-I)" ( 2
n)! + .. ·
(
x3 xs x7 x2n+l )
+C X--+---+"·+ (-1)" __::___ + "•
' 3! 5! 7! (2n + l)!
Note que há duas constantes arbitrárias, c 0 e c 1 •

' I
James Stewart CAPÍTULO 17 EQUAÇÕES DIFERENCI.A.IS DE SEGUNDA ORDEtv1 1161
NOTA 1 c Reconhecemos a série obtida no Exemplo 1 como sendo a série de Maclaurin
para cos x e sen x. (Veja as Equações l L !0.16 e 1 L 1 0.15.) Portanto, podemos escrever a
solução como
y(x) =cocos x + c 1 senx
Entretanto, em geral não somos capazes de expressar soluções das equações diferenciais
em série de potência em termos de funções conhecidas.
EXEMPLO 2 c: Resolva y" - 2xy' + y - O.
SOLUÇÃO Vamos assumir que haja urna solução da forma
y =
L c,x"
n=O
Então y' = 2:, nc,x"- 1
n=J
e y"- L n(n - l)c,x" 2 - L (n + 2)(n + 1Jc,~:x"
n=2 n=O
como no Exemplo l. Substituindo na equação diferencial, obtemos
L (n + 2)(n + l)c,nx" - 2x L nc,x' 1 + L c,x" -O
n=O n=l n=O
L (n + 2)(n + 1)c,+,x" - L 2nc,x" + L c,x" - O
n=l
n=O
2: 2nc,x-· = 2: 2nc,x
,--"1>
L [(n + 2)(n + l)c,+l - (2n - l)c,]x"- O
n=O
Essa equação estará satisfeita se o coeficiente de x" for 0:
(n + 2)(n + I )c,+, - (2n - l)c,- O
2n - 1
Cn+ 2 = -,-----,-.,----,- C
(n + l)(n + 2) "
n = O, 1, 2, 3, ...
Resolvemos essa relação de recursão pondo n = O, 1, 2, 3, ... sucessivamente na
Equação 7:
Pondo n- 0:
Pondo n- 1:
Pondon- 2:
3 3 3
C4 = ~ C2 = - l • 2
• 3
, 4
Co = -
41 Co
Pondo n- 3:

1162 ,--1 CÁLCULO Editora Thomson
Pondo
Pondo
7 3 . 7 3·7
n = 4: co= -_--c4 = c- ---c
) . 6 4! 5 '6 G- 6! -0
9 l . 5 . 9 l . 5. 9
n ~ 5: c7 =--c'i =
~
6. 7 .
c, c,
5'6. 7 7!
li 3. 7. I J
Pondo n ~ 6: Cs = 7:sc6 = Co
8'
Pondo
13 I . 5. 9. 13
n ~ 7: c9 =wc7 = CJ
9'
Em geral, os coeficientes pares são dados por
Cz, =
3 • 7 · li · · · · · ( 4n - 5)
(2n)!
Co
e os coeficientes ímpares são dados por
I • 5 · 9 • · · · · (411 - 3)
(211 + l)l
A solução é
I · 5
5'
+ l . 5. 9
7!
- .. ·)
I · 5 · 9 · 13 9 •• ·)
+ ·x +
9!
ou
y ~ co(! - l
2!
- 3 • 7 •...• (411 - 5) • )
- 2: x'"
,., (2n)'
NOTA 2 o No Exemplo 2, supusemos que a equação diferencial tinha uma solução em
série. Mas agora podemos verificar diretamente que a função dada pelo Equação 8 é de
fato uma solução.
NOTA 3 o Ao contrário da situação do Exemplo 1, a série de potência que surge na
solução do Exemplo 2 não define funções elementares. As funções
1 • ' 3 · 7 · · · · · (4n - 5) ,
y 1 (x) ~ I - - x· - 2: x-"
2! ,., (2n)!
e y,(x) ~ x + i; l · 5 • 9 · · · · · (4n - 3)
,.1 (2n + !)!
--Ai

James Stewart CAPÍTUlO 17 EQUAÇÕES DIFERENCiAIS DE SEGUNDf\ ORDE!Vl Cl 1163
-8
são perfeitamente boas, entretanto não podem ser expressas em termos das funções familiares.
Podemos usar essas expressões de série de potência para y 1 e y 2 para computar os valores
aproximados das funções e até mesmo seus gráficos. A Figura 1 mostra as duas primeiras
somas parciais T 0 , T 2 , T 4 , •.• (polinômios de Taylor) para y 1 (x), e vemos como eles convergem
para y 1 • Dessa maneira podemos fazer ambos os gráficos y 1 e Y2 na Figura 2.
NOTA 4 o Se formos solicitados a resolver o problema de valor inicial
FIGURA 1 y" - 2xy' + y = O y(O) ~O y'(O) ~ 1
15 devemos observar, do Teorema 11.10.5, que
Co~ y(O) ~O c, ~ y'(O) ~ 1
Isso deve simplificar os cálculos no Exemplo 2, uma vez que todos os coeficíente pares
devem ser O. A solução para o problema de valor inicial é
FIGURA 2
~15
y(x) = x + 2:
1]=1
1 · 5 · 9 · · · · · (4n - 3)
(2n + 1)!
x2"+J
l-i ·j Use as séries de potência para resolver a equação diferenciaL 11. y" + x'y' + xy ~O. y(O) ~O. y'(O) ~ I
1. y' - )' = o
2. y' = xy
12. A solução do problema de valor inicíal
··r:-'3~5 y' = x 1 y
4. (x - 3)y' + 2y ~ O
y(O) ~ 1
5. y"+xy' +y=O
6. y" = y
y'(O) ~ O
7. (x' + l)y" + xy' - y ~ O
8. y"=xy
é chamada função de Bessel de ordem O.
(a) Resolva o problema de valor inicial para determinar uma
expansão em série de potêncía da função de Bessel.
y" - xy' - y ~O, y(O) ~ I, y'(O) ~ O
(b) Faça o gráfico de vários polinômios de Taylor até atingir
um que pareça uma boa aproximação para a função de
10. y" + x 2 y ~ O, y(O) ~ !. y'(O) ~ O
Bessel em um intervalo [-5, 5] .
.....
VERIFICAÇÃO
DE CONCEITOS
1. (a) Escreva a forma geral de uma equação diferencial linear de
segunda ordem com coeficientes constantes.
(b) Escreva a equação auxiliar.
(c) Como você usaria as raízes da equação auxiliar para
resolver a equação diferencial Escreva a forma da solução
para cada um dos três casos que podem ocorrer.
2. (a) O que é um problema de valor inicial para uma equação
diferencial de segunda ordem
(b) O que é o problema de contorno para tal equação
3. (a) Escreva a forma de uma equação diferencial linear de segunda
ordem não~homogênea com coeficientes constantes.
(b) O que é uma equação complementar Como ela pode
ajudar a resolver a equação diferencial original
(c) Explique o funcionamento do método dos coeficientes a
serem determinados.
( d) Explique o funcionamento do método da variação dos
parâmetros.
4. Discuta duas aplicações das equações diferenciais lineares de
segunda ordem.
5. Como você usaria as séries de potência para resolver uma
equação diferencial

1164 L::J CÁlCUlO Editora Thomson
TESTES FALSO-VERDADEIRO
Determine se o enunciado é fa!so ou verdadeiro_ Se for verdadeiro, explique por
quê. Se for falso, explique por que ou dê um exemplo que invalide o enunciado
1. Se )'1 e y 2 forem soluções y" + y =O, então }'1 + }'2 também é
uma solução da equação.
2. Se y 1 e y 2 forem soluções de y" + 6y' + 5y = x, então
c1 J' 1 + c 2 y 2 também é uma solução da equação.
3. A solução geral de y" ~ y = O pode ser escrita como
y = C! cosh x + c 2 senhx
4. A equação y" - y = e' tem uma solução particular da fonna
Yr = Ae"
EXERCÍCIOS
Resolva a equação diferencial.
1. y" - 2y' - 15y = o
2. y" + 4y' + !3y ~ o
3. y" + 3y =o
4. 4y" + 4y' + y = o
d 2 v dy •
5. d;' - 4 dx + 5y ~e"'
d 2 v dy
6. -·-, + ~ - 2y = x 2
dx" dx
d\· dv
7. -·-- 2-· +v= xcosx
dx 2 dx -
d"y
8. -- + 4y = scn 2x
dx 2
d 2 y dy -h
9. -- - - - 6v ~ l + e
dx 2 dx -
d'y
10. dx 2
+ y = cossecx, O< x < 1r/2
~--14 - Resolva o problema de valor iniciaL
11. y" + 6y' ~ O, y(l) ~ 3, y'(l) ~ 12
12. y" - 6y' + 25y ~ O, y(O) ~ 2, y'(O) ~ l
13. y" - 5y' + 4y ~ O, y(O) ~O, y'(O) ~ l
14. 9y" + y ~ 3x +e-', y(O) ~ l, y'(O) ~ 2
15. Use a série de potência para resolver o problema de valor inicial.
y"+xy'+y=O y(O) ~ O y'(O) ~ l
16. Use a série de potência para resolver a equação
y" - xy' ~ 2y = O
17. Um circuito em série contém um resistor com R'= 40 !1, um
indutor com L = 2 H, um capacitar com C = 0,0025 F e uma
bateria de 12 V. A carga inicial é Q = 0,01 C e a corrente
inicial é O. Detennine a carga no instante t.
18. Uma mola com uma massa de 2 kg tem uma constante de
amortecimento 16, e uma força de 12,8 N mantém a mola
esticada 0,2 m além de seu comprimento originaL Determine
a posição da massa no instante t se ela iniciar na posição de
equilíbrio com velocidade de 2,4 m/s.
19. Suponha que a Terra seja uma esfera sólida de densidade
uniforme com massa Me raio R = 3,960 mi. Para uma
partícula de massa m a uma distância r a partir do centro da
Terra e dentro dela, a força gravitacional que atrai a partícula
para o centro é
-GM,m
Fr = ,
r-
onde G é a constante gravitacional e Mr é a massa de Terra
dentro de uma esfera de raio r.
-GMm
(a) Mostre que Fr =--R-,- r.
(b) Suponha que um buraco seja perfurado na Terra ao longo
do diâmetro. Mostre que, se uma partícula de massa m for
deixada cair a partir do repouso desde a superfície para
dentro do buraco, então a distância y = y(t) da partícula a
partir do centro da Terra no instante t é dada por
y"(t) ~ -k 2 y(t)
onde k' ~ GM/ R' ~ g/R.
(c} Conclua a partir da parte (b) que a partícula está submetida
a um movimento harmônico simples. Encontre o período T.
(d) Com que velocidade a partícula passa através do centro
da Terra

1
1
Apêndices
F
G
H
Provas de Teoremas A2
Números Complexos A5
Respostas dos Exercícios de Números Ímpares A13

A2 CÁlCUlO Editora Thomson
Provas de Teoremas
W:>JS.~S.':':::SY!f, C_io'S!!§-'S:ikSOUMYXBF:ú '-!-FYCC!/'_-;_c;,_-,_,x;.
'L8
A fim de provar o Teorema 11.8.3, precisamos primeiro dos seguintes resultados:
1. Se uma série de potência I cnx" convergir quando x = b (onde b r" 0), então
ela converge quando I x I < I h 1.
2. Se uma série de potência 2: c ,xn divergir quando x = d (onde d # O), então ela
diverge quando I x I > I dJ.
lJ;-- "''- 1 E :í2 Suponhamos que L cnb 11 convirj·a. Então, pelo Teorema 11.2.6, temos
limn-4"' c,bn =O. De acordo com a Definição 11.1.2 com e= 1, existe um inteiro positivo
N tal que I c, h" I < I sempre que n ;;, N. Assim, para n ;;, N, temos
c x"l ~ lc,b"x" I~ I c b"ll/!.::_[" n ] dI, então L CnX" não pode convergir, pois, pela parte 1, a convergência de L c,x"
implicaria a convergência de 2: c,d". Portanto, :Z c,x" diverge quando I x I > I dI·
Pn:Pia
Para uma série de potência L c,x" há apenas três possibilidades:
A série converge somente quando x = O.
2. A série converge para todo x.
3. Existe um número positivo R tal que a série converge se J x I < R e diverge se
lxl >R.
Suponhamos que não ocorram os casos 1 e 2. Então existem números não nulos b e
d tais que 2 cnx" converge para x = b e diverge para x = d. Portanto o conjunto
S = {x] L c,x" converge} é não vazio. Pelo teorema precedente, a série diverge se
I x I > I d I, assim, I x I ,; I d I para todo x E S. Isso nos diz que I dI é um limite superior
para o conjunto S. Então, pelo Axioma da Completitude (veja a Seção 11.1), S tem um
limite superior mínimo R. Se I x I > R, então x $ S, assim, 2: c,x" diverge. Se I x I < R,
então j x I não é um limite superior paraS, e, portanto, existe b E S tal que b > I x j. Como
b E S, 2: cnb'~ converge, e assim, pelo teorema precedente, L cnx" converge.
[1] TtHuema Para uma série de potência 2 c,;(x - at temos somente três
possibilidades:
1. A série converge somente quando x = a.
2. A série converge para todo x.
3. Existe um número positivo R tal que a série converge se I x - a j < R e diverge
se lx-ai> R.

James Stewart APÊNDiCE F PROVAS DE TEOREMAS LJ A3
Prova Se fizermos a mudança de variável u = x -
a, então a série de potência fica
I. C nu" e podemos aplicar nela o teorema precedente. No caso 3, temos convergência
para I u I < R e divergência para I u I > R. Assim, temos convergência para I x ~ a I < R
e divergência para I x ~ a I > R.
T0orem8 de Clairawt Suponhamos que f seja definida em urna bola aberta D que
contenha o ponto (a, b). Se as funções fq e fyx forem ambas contínuas em D,
então f,,( a, b) ~ J;ia, b).
P>"üVZ Para valores pequenos de h, h oi=- O, considere a diferença
D.(h) ~[!(a + h, h + h) ~f( a + h, b)] ~ [f( a, b + h) ~f( a, h)]
Observe que, se fizermos g(x) ~ f(x, b + h) ~ f(x, b), então
!;.(h) ~ g(a + h) ~ g(a)
Pelo Teorema do Valor Médio, existe um número c entre a e a + h tal que
g(a + h) ~ g(a) ~ g'(c)h ~h[};( c, b + h) ~h( c, b)]
Aplicando o Teorema do Valor Médio, novamente, dessa vez em fx, , obtemos um
número d entre b e b + h tal que
Combinando essas equações, obtemos
j;(c, h +h) ~ j;(c, b) ~ j;,(c, d)h
!;.(h) ~ h'j;y(c, d)
Se h-> O, então (c, d)-> (a, b), assim, da continuidade de j;, em (a, b) resulta
Analogamente, escrevendo
. !;.(h) .
hm -,- ~ hm f,,( c, d) ~ j;y(a, h)
h--->0 Jz~ (c.d)~->(a,h)
D.(h) ~[!(a + h, b + h) ~ f(a, b + h)] ~ [!(a + h, b) ~f( a, b)]
e usando o Teorema do Valor Médio duas vezes, bem como a continuidade de f,x em
(a, b), obtemos
Segue que j;,(a, h) ~f,,( a, b).
. !;.(h)
hm -h, ~ J,ia, h)
h~o
[!] TtmrBms Se as derivadas parciais fx e h existirem próximo de (a, b) e
cot1tín.uas em (a, b), então fé diferenciável em (a, b).
fimva Seja
D.z ~f( a + fu:, b + D.y) ~ f(a, b)

A4 o CÁLCULO Editora Thomson
De acordo com (14.4.7), para provar que fé diferenciável em (a, b), temos de mostrar
que podemos escrever Llz na forma
Ll.z ~ JAa, h) Ll.x + J;(a, h) Ll.y + Et Ll.x + e, Ll.y
onde e 1 e e 2 --> O quando (Ll.x, Ll.y) -> (0, 0).
Com referência à Figura 4, escrevemos
Ll.z ~ [J(a + Ll.x, h + Ll.y) -f( a, b + Ll.y)] + [f( a, b + Ll.y) -f( a, h)]
{a+8x,b+.cly)
(u.b+8y)
FIGURA 4
Observe que a função de uma única variável
g(x) ~ f(x, h + Ll.y)
está definida no intervalo [a, a + Ll.x] e g'(x) ~ j;(x, b + Ll.y). Se aplicarmos o Teorema
do Valor Médio para g, obteremos
g(a + Ll.x) - g(a) ~ g'(u) Ll.x
onde u é algum número entre a e a + ó.x. Em tennos de f, essa equação toma-se
f( a + Ll.x, b + Ll.y) -f( a, b + Ll.y) = /Au, h + Ll.y) Ll.x
Essa equação nos fornece uma expressão para a primeira parte do lado direito da
Equação 3. Para a segunda parte, fazemos h(y) ~ f(a, y). Então h é uma função de uma
única variável definida em um intervalo [b, b + Ll.y] e h'(y) ~ J;(a, y). Uma segunda
aplicação do Teorema do Valor Médio nos dá
h(b + Ll.y) -
h(b) ~ h'(v) Ll.y
onde v é algum número entre h e b + Ll.y. Em termos de f, isso fica
f( a, h + Ll.y) - J(a, h) ~ f,(a, v) Ll.y
Substituímos agora essas expressões na Equação 3 e obtemos
Ll.z ~ f,(u, b + Ll.y) Ll.x + f,(a, v) Ll.y
= j;(a, b)Ll.x + [.f;(u, b + Ll.y) - fla, b)] Li.x +f,( a, b) Ll,y
+ [f,( a, v) - f,(a, b)] Ll.y
~};(a, b) Ll.x + f,(a, b) Li.y + s, Ll.x + Ez Ll.y

James Stewart APENDICE G NÚMEROS COMPLEXOS [:; A5
onde
s, ~ f,(u, b + Li.y) - üa, b)
e 2 ~ f(a, v) - fJa, b)
Uma vez que (u, b + Li.y)--;. (a, b) e (a, v)-+ (a, b) quando (Li.x, Li.y) ->(O, O) e como f, e
}; são contínuas em (a, b), vemos que e, -+O e e,--;. O quando (Li.x, Li.y) --;.(O, O).
Portanto fé diferenciável em (a, b).
~'fr',G
Números Complexos
" ~4 +- 2i
o
0 2 + 3i
,-, 3 2i
R c
Um número complexo pode ser representado por uma expressão da forma a+ hi, onde a
e b são números reais e i é um símbolo com a propriedade de que i 2 = ~ 1. O número
complexo a + bi pode também ser representado pelo par ordenado (a, b) e desenhado como
um ponto em um plano (chamado plano Argand), como na Figura 1; assim, o número com~
plexo i~ O + I , i está identificado como o ponto (0, 1).
A parte real do número complexo a + bi é o número real a, e a parte imaginária é o
número real b. Assim, a parte real de 4 -
3i é 4 e a parte imaginária é -3. Dois números
complexos a + bi e c + di são iguais se a = c e b = d, isto é, se suas partes reais forem
iguais e suas partes imaginárias forem iguais. No plano de Argand, o eixo horizontal é
chamado eixo real, ao passo que o eixo vertical é denominado eixo imaginário.
A soma e a diferença de dois números complexos são definidas pela soma ou
subtração de suas partes reais e imaginárias:
(a + bi) + (c +di) ~ (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) ~ (a - c) + (b - d)i
FIGURA 1
Números complexos como pontos
no plano de Argand
Por exemplo,
(I - i) + (4 + 7i) ~ (I + 4) + ( -1 + 7)i ~ 5 + 6i
O produto de números complexos é definido de forma que as propriedades comutativa e
distributiva usuais se mantenham:
(a + bi)(c + di) ~ a(c + di) + (bi)(c + di)
= ac + adi +hei + bdi 2
Uma vez que i 2 =
-1, isso fica
(a + bi)(c +di)~ (ac - bd) + (ad + bc)i

A6 '-' CÁLCULO Editora Thomson
(-l + 3i)(2- Si)= (-l)(2- Si)+ 3i(2- Si)
= -2 + Si + 6i - lS( -l) = 13 + I li
A divisão entre números complexos se parece muito com a racionalização do denominador
de uma expressão racionaL Para um número complexo z = a + bi, definimos seu
complexo conjugado como Z = a - bi. Para encontrar o quociente de dois números
complexos, multiplicamos o numerador e o denominador pelo complexo conjugado
do denominador.
EXEMPLO 2 -
Expresse o número
-1 + 3i
2 +Si
na forma a + bi.
SOLUÇÃO Multiplicando-se o numerador e o denominador pelo complexo conjugado de
2 + Si, isto é, 2 - Si, e levando-se em conta o resultado do Exemplo l:
-1 + 3i
2 +Si
-1 + 3i
2 +Si
11
29
Im
z =a+ bi
A interpretação geométrica do número complexo está na Figura 2: Z é a reflexão z em
torno do eixo real. Uma lista das propriedades do complexo conjugado é apresentada a
seguir. As provas seguem da definição e serão requisitadas no Exercício 18.
o
-i
"Z=a-bi
R e
Propriedades dos Conjugados
z+w=Z+W
zw = z w
FIGURA 2
lml
bi I
'
o
FIGURA 3
z =a+ bi
i
ib
I
a
O módulo, ou valor absoluto, I z I de um número complexo z = a + bi é sua distância
até a origem. Da Figura 3, vemos que, se z = a + bi, então
Observe que
e portanto
zZ = (a + bi)(a - bi) = a 2 + abi- abi- b 2 i 2 = a 2 + b'
Isso explica por que o processo de divisão no Exemplo 2 funciona em gerai:
z zw zw
-=--=--
w ww I wl'
Uma vez que i 2 = -1, podemos pensar i como a raiz quadrada de -1. Note, porém, que
também temos ( -i)Z = i 2 = -1. e portanto -i é igualmente uma raiz quadrada de -1.

James Stewart APÊNDICE G NWAEROS COMPLEXOS r::: A7
Dizemos que i é a raiz quadrada principal de -1 e escrevemos j=T = i. Em geral, se c
for um número positivo, escrevemos.
Com essa convenção, a dedução usual e a fórmula para as raízes de urna equação
quadrática ax 2 + bx + c = O são válidas mesmo que b 2 - 4ac < 0:
x=
-h± yb' 4ac
2a
Ache as raízes da equação x 2 + x + l = O.
SOLUÇÃO Usando a fórmula quadrática, temos
-1:':,;=3
2
-1 :': /3i
2
Observamos que as soluções da equação no Exemplo 3 são conjugadas complexas uma
da outra. Em geral, as soluções de qualquer equação quadrática ax 2 + bx + c = O com
coeficientes reais a, b e c são sempre conjugadas complexas. (Se z for real, Z = z, logo z
é a sua própria conjugada.)
Vimos que, se permitirmos números complexos como soluções, então toda equação
quadrática possui uma solução. Mais geralmente, é verdade que toda equação polinomial
de grau no mínimo 1 tem uma solução entre os números complexos. Esse fato é conhecido
como Teorema Fundamental da Álgebra e foi provado por Gauss.
Forma Polar
lm
Sabemos que qualquer número complexo z = a + bi pode ser considerado como um ponto
(a, b) e que tal ponto pode ser representado em coordenadas polares (r, O) com r ~ O. De fato,
a= rcos e b=rsene
como na Figura 4. Portanto, temos
o a Re
FIGURA 4
z =a+ bi = (rcos O)+ (rsen O)i
Assim, podemos escrever qualquer número complexo z na forma
z = r(cos 8 + isen 8)
onde r= lzl = e
b
tg e=­ a
O ângulo e é chamado argumento z, e escrevemos 8 = arg(z). Note que arg(z) não é
único; quaisquer dois argumentos dez diferem entre si por um múltiplo inteiro de 21T.

A8 CÁLCULO Editora Thomson
EXfMPLO 4
(a) z ~ I + i
Escreva os números a seguir na forma polar.
(b) w ~ ,/3 - i
SOLUÇÃO
(a) Temos que r = lz I = -J F + F = /2 e tg () = 1; assim, podemos tomar (} = 7T/4<
Logo, a forma polar é
~( 7T 7T)
z = \2 cos 4 +i sen 4
(b) Aqui temos r= I U} I = v''J+l = 2 e tg e= -1/\:3. Uma vez que w está no
quarto quadrante, tomamos e = - ír/6 c
FIGURA 5
A forma polar dos números complexos nos dá uma interpretação interessante para a
multiplicação e a divisão. Sejam
dois números complexos escritos na forma polar. Então
Z1Z2 = r1r2(cos 8 1 + i sen 81 )(cos 82 + i scn 8:)
~ r,r,[(cos e, cose, - sen e, sen e,) + i(sen e, cose, + cose, sen e,)]
Portanto, usando as fórmulas de adição para seno e cosseno, temos
R e
w
L__ ___ z,_z_,_~ __ r,_~_[_co_s_

l
James
Stewart APÊNDICE G NÚMEROS COMPLEXOS A9
Ache o produto dos números complexos 1 + i e J3 - i na forma polar.
SOLUÇÃO Do Exemplo 4, temos
~ ( 7T
l+i=,i2 cos 4 + isen ; )
e
Assim, pela Equação I,
(I + i) ( ,3 i- - i ) ~ 2,2 '[ c os (7T ~ - ~ 7T). + i sen (7! --
4 6 ,4 ;)]
Is.so está ilustrado na Figura 7.
= 2,.'2 ~( cos U 7T + i sen -")
12
O uso repetido da Fónnula I mostra como computar as potências de um número complexo. Se
z ~ r(cos e + i sen e)
então z 2 ~ r 2 (cos 2e + i sen 2e)
e z 3 ~ zz 2 ~ r 3 (cos 3e + i sen 3e)
Em geral obtemos o seguinte resultado, cujo nome é uma homenagem ao matemático
francês Abraham De Moivre (1667-1754),
Se z = r(cos 8 + i sen O) e n for um inteiro positivo, então
z" ~ [r(cos e+ i senO)]"~ r"(cos ne + i sen nO)
Isso nos diz que, para elevar à n-ésima potência um número complexo ..
n-ésima potência o módulo e multiplicamos o argumento por n.
elevamos à
SOLUÇÃO Uma vez que l + li ~ l (l
forma polar
+ i), segue do Exemplo 4(a) que l + li tem a
I I
2 2
-+-i~
Assim, pelo Teorema de De Moivre:
(
7T 1T)
cos- + isen ~
2 4 4
(±+±r~(;r(cos ~~7T + isen ~~1T)
= ~ (cos 571 + i sen Sr,) ~ - 1 - i
2' 0 2 2 32

A10 CÁLCULO Editora Thomson
O Teorema de De Moivre também pode ser usado para encontrar as raízes n-ésimas de números
complexos. Uma raíz n-ésima de um número complexo z é um número complexo w tal que
Escrevendo esses dois números na forma polar como
w = s(cos q, + i sen ) e z = r(cos e + i sen e)
e usando o Teorema de De Moivre, obtemos
s"(cos n + i sen n) = r(cos e + i sen O)
A igualdade desses dois números complexos mostra que
s" =r ou
s = rl-'n
e cos n

James Stewart
APÊNDICE G NÚMEROS COMPLEXOS
A11
!m
FIGURA 8
As seis raízes sextas de z = ---8
o
wü
Obtemos as seis raízes sextas de -8 fazendo k =O, 1, 2, 3, 4 e 5 nesta fórmula:
w0 ~ 8 11'(cos; + isen ;) ~ j2( j: + };)
w 1 = 8 'i , '( cos - 7T + i sen- 7T) = !2 ~ i
2 2 '
w~ = gut cos- 57T
( + isen- 57T)
~ 6 6
+ 1 i)
2 2
w,
, ( 771' 771')
= 8 1· 6 cos6 + isen6
w., t'o( 371' , 31T) r,
= 8' cos 2 + 1scn2 = ~,.'21
ws = 8 ''( ;. cos- ll7T - + isen- ll1T) - = J2 '(!3 l ')
6 6 2
- 2i
Todos esses pontos estão sobre a circunferência de raio J2, como na Figura 8.
Exponencial Complexa
Precisamos também dar um significado para a expressão e' quando z = x + iy for um
número complexo. A teoria das séries infinitas desenvolvida no Capítulo li pode ser estendida
para o caso onde os termos são números complexos. Usando a série de Taylor para ex
(I LIO,ll) corno guia, definimos
z2
zJ
+z+-+-+
2' 3!
e resulta que essa função exponencial complexa tem as mesmas propriedades que a função
exponencial real. Em particular, é verdade que
Se fizermos z = iy, onde y é um número real, na Equação 4, e usarmos o fato de que
obteremos e 'Y = 1
, (iy)' (iy)l (iy)' (iy)'
+ 'Y + -- + -- + -- + -- +
2! 3! 4! 5!
~ 1 + iy- -i
2! 3!
~ (]- 2! + 4!
= cosy + iseny
y6
--+
6!

A12 ':J CÁLCULO Editora Thomson
Usamos aqui as séries de Taylor para cos y e sen y (Equações ll.l0.16 e 11.10.15). O
resultado é uma famosa fórmula chamada fórmula de Euler:
e'Y = cosy + isenJ'
Combinando a fórmula de Euler com a Equação 5, obtemos
Calcule:
(a) e''
SOLUÇÃO
(a) Da Equação de Euler (6), temos
(b) Usando a Equação (7), obtemos
e''~ cos 7T + i sen 7T ~ -1 + i( O) ~ -1
Podíamos ter escnto o resultado do
Exempio 8(a) como
e'"+ I
Essa equação relaciona os cinco
números mais famosos em toda a
matemática: O, 1, e, i e 1r
O
1 i
~-(O + i(l)] ~-
e
e
Finalmente, notamos que a equação de Euler nos fornece um meio mais fácil de provar
o Teorema de De Moivre:
[r(cos 8 + i sen 8)]" ~ (re")" ~ r"e'" 8 ~ r"(cos n8 + i sen n8)
Exercícios
Calcule a expressão e escreva sua resposta na forma
a+ bi,
l, (5 - 6i) + (3 + 2i)
3. (2 + 5i)(4 - i)
5. 12 + 7i
7. 1 + 4i
3 +li
9.-l-
1 + i
11. i 3
13 . .j -15
dado.
2. ( 4 - li) - (9 + li)
4. (l - 2i)(8 - 3i)
6. li(j - i)
8.
10.
3 +li
l - 4i
3
4- 3i
14. A.J-!2
Determine o complexo conjugado e o módulo do número
15.11-5i 16. -I+ 1./ii 17. -4i
18. Prove as seguintes propriedades dos números complexos:
(a) z + w = Z + W (b) zw = Z W
(c) zn = 2", onde n é um inteiro positivo
[Dica: escreva z =a + bi, w =c + di.]
'~&~2.t:, :..::: Determine todas as soluções da equação.
19. 4x 2 + 9 =O 20. x 4 = 1
21. x 2 + lx + 5 ~ O
23. z 2 +z+2=0
22. 2< 2 - lx + 1 ~ O
24. z 1 + }z + 1 = O
25~28 :_:Escreva o número na fonna polar com argumento entre O e 27f,
25. -3 + 3i 26. I - }3i 27. 3 + 4i 28. Si
_ Determine a forma polar para zw, z/w e 1/z colocando
-zr;~.:;;:
primeiro z e w na forma polar,
29. z = J3 + i, w = 1 + Jji
30. z ~ 4}3- 4i, w = 8i
31. z = 2J3- 2i, w = -1 +i
32. z~4(.j3 +i), w = -3- 3i

James Stewart APÊNDICE H RESPOSTAS DOS EXEP.CfCIOS DE NUfVIEROS ifvWf\Rr:.S A13
33-35 --::: Determine as potências indicadas, usando o Teorema de
De Moivre.
33. O +i)'" 34. (I - ,!3W 35. (2,/3 + 2i)' 36. (I - iJ'
37-40 :::3 Determine as raízes indicadas. Esboce as raízes no plano
complexo.
37, As raízes oitavas de 1 38. As raízes quintas de 32
39. As raízes cúbicas de i 40. As raízes cúbicas de 1 +
forem funções diferenciáveis de x, então a derivada deu está
definida como u'(x) = f'(x) + ig'(x). Use isso junto com
a Equação 7 para provar que, se F(xJ =e''. então F'(.Y) ·= re"
quando r = a + bi for um número complexo.
48. (a) Seu for uma função a valores complexos de uma variável
real, sua integral indefinida J u(x) dx será uma antiderivada
de u. Calcule
41-46 Escreva o número na fonna a + bi.
41. e • • 42. e •.,
44. e m 45. e
43. e •'
46. e
(h) Considerando as partes real e imaginária da integra! da
parte (a), calcule as integrais reais
J e'cosxdx e f e' scnxdx
47. Se u(x) = j(x) + ig(x) for uma função a valores complexos de
uma variável real x e as partes real e imaginária .f(x) e g(x)
(c) Compare com o método usado no Exemplo 4 da Seção 7. i
do Volume I.
Respostas dos Exercícios de Números Ímpares
Capítulo 9
Exercícios 9,1 u
3. (a) :':3 5. (b)e(c)
7. (a) Deve ser O ou decrescente
(c) y ~O (d) y ~ I/(x + 2)
9. (a) O < P < 4200
(b) >4200
(c) P ~ o. P ~ 4200
13. (a) No começo, fica positivo, mas depoís decresce
(c)
p::l--
PiO;
o L_ ________ ~
Exercícios 9.2 rJ
1. (a)
(ii)
'-""'":::~
""""''""''
"'''"""'
(b) y ~o. y ~ 2,
y~ -2
3. IV
7.
11.
I S.
'
'
-I
'
'
'
'
5. Ili
' ' '3
' ' ' ' '
''
'
(b)
I /- ..._
'/'
/-' '
' '
-
·.
-+-+>-
~
' ' ' ' '
' ' '
' ' '
X
9.
13.
' '
\ \ \ -
' ' -
'"
•. :;;=~l+\ \
I I / - \
/ /'
I I
~-~~-+--+-----+---~
-}.//~--{_'. .... \\~X
I • I --\_H-
///////// ~~///////
f!' I f/! {J f! J 'I! f I
I -'-3
(iii)

A14 c CÁLCULO Editora Tbomson
17. -2 ::0::::: c :s:; 2: -2, o. 2
(b) y ~ sen(x 3 ),
~,,/Tf/2 ~X~ \/71"/2 r=senx'
lI lI
I\ I I I
I I I J I I I;
1 ~ c=- 3
(c) Não
23. cosy = cosx ~
19. (a) (i) 1.4 (ii) 1,44 (iii) 1.4641
(b) Yj ,_,c' Subestimado
.I
=0,1
ur
- lt =0.2
!,4+
I)+
12 f
::~T
"'h= 0.4
25. (a), (c)
-· 2.5 '----
0
L.----' 2.S
O 0.1 0.2 0.3 OA
(c) (i) 0.09!8 (ii) 0,0518 (iii) 0,0277
Evidencia-se que o erro é também dividido pela metade
(aproximadamente).
21. -1, -3, -6,5,-12,25
25. (a) (i) 3 (ii) 2,3928 (iii)
(c) (i) -0,6321 (ü) -0,0249
(iv) -0,0002
23. 1,7616
2,3701 (i v) 2,3681
(iii) -0,0022
Evidencia-se que o erro é também dividido por 10 (aproximadamente).
27. (a), (d) (b) 3
Q
6 I ' I
(c) Sim; Q ~ 3
(e) 2,77 C
29. y 3 ~ 3(x + C)
\ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \
11//1//
2 I I I ! I I I I
I I I I I I
I I I
I I I
OI I
Exercícios 9,3 o
L y = Kx 3. y = Kvx 1 + 1
S. y + 1n I sec y I ~ \x 3 + x + C
7. y ~ :ty'[3(te' e' + C)]'/ 3
9. u = Ae 2 '+t"/2 -
11. y ~ tg(x - l)
13. cosx + x senx = y 2 + ~e 3 >' + ~
15. u = -Jt 2 + tg t + 25
4a
U. y=J3senx-a
19. v~ 7c
21. (a) sen- 1 y ~ x 2 +C
31. Q(t) ~ 3 - 3e- 3 '; 3 33. P(t) ~ M - Me "; M
35. (a) x ~a - 4/(kt + 2//Q)'
(b) t ~ , 2 (tg'
1
I b - to-
1
I b -X)
kia - b V a - b " V a - b
37. (a) C(r) ~ (C 0
- r/k)e' 1 ' + r/k
(b) r/k; a concentração tende a r/k independentemente do valor de Co-
39. (a) 15e-' 1100 kg (b) 15e- 0 • 2 = 12,3 kg 4!. g/k
43. (a) dA/dt ~ ky'A (M-A)
(b) A(t) ~ M[(CeJM"- 1)/(Ce!"'' + 1)] 2 , onde
C~ (JM + ,fAo)/(JM- A) e A 0
~ A(O)
Exercícios 9.4 D
1. Em torno de 235
3. (a) 500 X 16'~' (b) =20,159
(c) 18,631 células/h (d) (3 ln 60)/ln 16 = 4,4 h
S. (a) 1508 milhões, (b) 1871 milhões, (c) 216! milhões

------------------------ ------------
James Stewart APÊNDICE H RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE NÚMEROS ÍMPARES U A15
(d) 3972 milhões; guerra na primeira metade do século. expectativa
de vida cresceu na segunda metade.
7. (a) ce- 0·000 " (b) -2000 In 0,9 = 2!! s
9. (a) 100 X 2 __ ,_ ·0 mg (b) = 9,92 mg (c) = 199,3 anos
! 1. =2500 anos
13. (a) = 137 "F
15. (a) !3,3"C
(b) =!16min
(b)
=67.74 mio
17. (a) =64,5 kPa (b) =39,9kPa
19. (a) (i) $ 3828,84 (ii) $ 3840,25 (iii) $ 3850,08
(iv) $3851,61 (v) $3852,01 (vi) $3852,08
(b) dA/dt = 0,05A, A(O) = 3000
. 250 - 750ke' ''
(e) P{t) = "- onde k = fi-, - ij
1 - ke'· --'
13. (b) p,
1400
!200
o'--"~--~-_) 120
21. (a) P(t) = (m/k) + (P 0 - m/k)e'' (b) m < kP 0
(c) m = kP 0
, m > kP 0
(d) Declinando
Exercícios 9.5 o
I. (a) 100; 0,05
(b) Onde P está perto de O ou 100; sobre a reta P =50;
O< P 0
< !00; P 0 > 100
(c)
O < P 0
< 200: P ~ O; P 0 = 200: P ~ 200; Po > 200: P ---+ 1000
m(K- p) + K(P ~ m_)eiK-m)\k/K)r
( ) P(t) = o o
_c K Po + (Po- m)eiK m)(k/K)!
15. (a) P(t) = Poeu,:r)(scn(o-J"sen.P] (b) Não existe
As soluções tendem a 100; algumas crescem e outras decrescem;
algumas têm um ponto de inflexão, mas outras não; soluções
com P 0
= 20 e P 0
= 40 têm pontos de inflexão em P = 50
(d) P = O, P = 100; outras soluções afastam-se de P =O e na
direção P = 100
3. (a) 3,23 X !O' kg (h) =1,55 anos
5. (a) dP/dt = Jl,P(I - P/!00), P em bilhões
(b) 5,49 bilhões (c) Em bilhões: 7,81. 27,72
(d) Em bilhões: 5,48, 7,61, 22,41
7. (a) dy/dt = ky(l - y)
(b) y = Yo/[yo +(I - Yo)e-"]
(c) 3h36 da tarde
11. (a) Peixes são pescados a uma taxa de 15 por semana.
(b) Veja a parte (d) (c) P = 250, P = 750
(d)
p
1200
Exercícios 9.6 r;
l. Não 3. Sim 5. y =}e-'+ ce·-2x
7, y = x 2 1n I x I + Cx' 9. y = jJ;: + C/x
11. y =~X+ Ce-x'- ~e-"' 1 J e-' 2 dx
13. u = (t' + 2t + 2C)/[2(t + I)]
15. y = -x- I + 3e'
19. y= -xcosx~x
21. y = sen x + (cos x)/x + C/x 6
;,.,-,----=------------,
25. y = :':[Cx' + 2/(5x)]-' 12
27. (a) I(t) = 4- 4e " (b) 4- 4e-V 2 = 1,57 A
29. Q(t) = 3(1 -e·''), l(t) = l2e""
31. P(t) = M + ce-''
o
33. Y = looo + 21)- 4o.oooooo + ztt' 1 '; o,2275 kg/L
O< P 0 < 250: P ~O; P 0 = 250: P----> 250; P 0 > 250: P----> 750 35. (b) mg/c (c) (mg/c)[t + (m/c)e"o!m] _ m'g/c'

------------------------------------
A16 o CÁLCULO Editora Thomson
Exercícios 9.7 o
1. (a) x = predadores, y = presa; o crescimento está restrito
apenas pelos predadores, que se alimentam somente das presas.
(b) x = presas, y = predadores; o crescimento está restrito pela
capacidade de produção e pelos predadores, que consomem
apenas as presas.
3. (a) A população de coelhos, no início em aproximadamente
300, cesce até 2400 e então decresce, voltando para 300.
A população de raposas, no início com 100, decresce até
aproximadamente 20, cresce até por volta de 315 c decresce
para 100. O ciclo então recomeça.
(b) R;
:zsoof
2ooof
!500 I
wool
l
5001\
Exercícios
1, (a)
ll
(iv) 4 ::::: :::::
(iíi)
(b) O "' c "'4: y ~O, y ~ 2, y ~ 4
3. (a) y(0,3) = 0,8
S. Espécies 2
200
150
100
50
t= 2
t=O,S
r=l
o 50 100 !50 200 250 Espécies J
9. (a) A população estabiliza-se em 5000.
(b) (i) W ~O, R~ 0: Populações zero.
(i i) W = O, R = 5000: Na ausência de lobos, a população de
coelhos é sempre de 5000.
(iii) W = 64, R= 1000: Ambas as populações são estáveis.
(c) As populações estabilizam-se em 1000 coelhos e 641obos.
(d) RI ;w
!500! w
500
o
Capitulo 9 Revisão o
Testes Falso-Verdadeiro
1. Verdadeiro
3. Falso
S. Verdadeiro
1. Verdadeiro
R
80
60
40
20
(b) 0,75676
(c) y = x e y =
-x; há um máximo e um mínimo locais.
S. y = Gx 2 + c)e-senx 7. y 3 + y 2 = cosx +X senx +c
9. y ~ .j(lnx)' + 4 11. y ~ e·•Gx'~' + 3)
13. y' - 2ln I y I + x' ~ C
15. (a) 1000 X 3' (b) 27.000
(c) 27.000 In 3 = 29.663 bactérias por hora
(d) (In 2)/ln 3 = 0,63 h
17. (a) C 0
e-" (b) = 100 h
19. (a) L(t) ~ L" - [L. - L(O)V''
(b) L(t) ~ 53 - 43e- 02 '
21. 15dias 23. k!nh +h~ (-R/V)t +C
25. (a) Estabiliza-se em 200.000.
(b) (i) x ~ O, y ~ 0: populações zero
(ii) x = 200.000, y = 0: na ausência de pássaros,
a população de insetos é sempre de 200.000.
(iii) x = 25.000, y = 175: ambas as populações são estáveis.
(c) A população estabiliza-se em 25.000 insetos e 175 pássaros.
(d)
45.000
35.000
25.000
15.000
5.000
o,
(insetos)
(pássaros) t y
+ 250
27. (a) y ~ (!/k) cosh kx +a - 1/k ou
y ~ (l/k) cosh lo; - (1/k} cosh kb + h
(b) (2/k} senh kb

James Stewart APÊNDICE H RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE NÚMEROS ÍMP.li,RES 11 A17
Problemas Quentes o
l. f(x) ~ :': !Oe'
S. 20"C
7. (b) f(x) ~ (x' -L')/(4L) - (L/2) ln(x/L) (c) Não
9. (a) 9,8 h
(b) 3L900rr = 100.000 pés'; 6283 pés'/h
(c) 5,1 h
ll. x' + (y - 6)' ~ 25
Capítulo 10
Exercícios 10.1 o
I.
I~" 5
il + ,·s, 51
3. (bi
15. (a) y ~ l/x,x >O
17. (a) r
(b)
/ = 0 -J
~
'
5. (a)
{-2,3)
r=J
{!, Sj
t=2
(b) )'=~X+ }-
5 x 19. Move-se no sentido anti-horário sobre a circunferência xc + y" = l
de (-I, 0) a (1, O)
21. Dá uma volta completa no sentido horário sobre a elipse
(x 2 /4) + (y~/9) = 1, começando e tcnnínando em (0, 3)
23. Está contido no retângulo descrito por 1 ~ x ~ 4 e 2 ;S; y ~ 3.
25.
7. (a)
9. (a)
(-2.5)
I~" 0
;-8,-l)
r=-1
yt
I
o
{7 'lli
r= --3
5
r=:z
{2, -3]1 CC' 4
l J. (a) x 2 + y' ~ I, x"" O
(b)
";[i)~-·
o
y
I '
(0 li!
!!4,-31
r=4
(b) x~j(y -5)'- 2,
-3~y~ll
(b) y~ l-x',x"'O
13. (a) X + )' ~ !, Ü

A18 l"l CÁLCULO Editora Thomson
41.
'. 27. (a) dsenO/(r-dcosO) 29. (-5.6),(-'J'f.'/)
31. 7rab 33. (ecil- 1)/2 35. 27Tr 2 + 7rd 1
~
' ---
37. J7 Jl+4t2 dt 39. J~"' sen t - 2 cos t dt
Oi x
41. 4)2- 2
43. (a) Dois pontos de interseção. 43. -JW/3 + ln(3 + ji(j) +fi- In( I + fi)
45. )'l(ec-1)
(b) Um ponto de colísão em ( ~3, O) quando t = 3r./2 47. e 3 + 11 - e- 8 21
(c) Há ainda doís pontos de interseção, mas nenhum ponto de colisão. ([-------,
45. Para c = O, há um cúspidc; para c > O, há um laço cujo
tamanho aumenta quando c cresce.
o o 15
·I 2!
·I
-2 -I
47. Quando n cresce, o número de oscilações sobe; a e b determinam
o comprimento e a altura.
49. 612,3053 SI. 6/i,fi
SS. (a)
t E [0, 47r] (b) =294
Exercícios 10.2 o
1. 5/(31 2 - l) 3. y ~ -x
S. y ~ -(2/e)x + 3 7. y = -2x + 3
9. y ~ (J3/2)x -l
57. J\ 2 ~r.t 3 i2JI+4!2 dt
61. 67ra 1 /5 63. 59,101
71. 1
59. 2rr(247 Jj3 + 64)/1215
65. 247r(949}26 + 1)/5
-2,5
ll. 1 + lt, 3/(41), t >O 13. -e-•, e-'/(1 -e'), t

James Stewart APÊNDICE H RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE f'-lÚMEROS ÍMPARt:S U A19
(b)
(c)
(O, 3)
(-2, 2)
39.
( l,f)'
I
I
I
5. (a) (i) (.)2, 1T/4) (íí) ( -.)2, 51T/4)
(b) (i) (4, Jl7T/6) (ii) ( -4, 51T/6)
7. 9.
43.
45. 9=
r=2
r= J
11.
47.
2
49.
r=
O=~]!..
'
13. jJ40 + 6,/6- 6.)2
15. Circunferência, centro O, raio 2
17. Circunferência, centro (0, D, raio i
19. Reta horizontal, 1 unidade acima do eixo x
21. r= 3 sec 8 23. r= -cotg (} cossec O
2S. r= 2c cosO
27. (a) 8 ~ 1r/6 (b) x ~ 3
29.
3!. 33.
o
51, I
I
I
I
I
O
~
I
I
I
I
'
53. (a) Para c< -1, o laço começa em e= sen~ 1 ( -l/c) e termina
em 8 = r.- sen- 1 ( -l/c); para c > 1, ele começa em
(}=r.+ sen- 1 (1/c) e termina em O= 27r- sen- 1 (1/c).
55. j3 57. -1T 59. -I
61. Horizontal em (3/,!2, 1T/4), (-3/.)2. 311'/4);
vertical em (3, O), (O, 1T/2)
63. Horizontal em G. r./3 ), (i, 57r/3 ), e o pólo;
vertical em (2. O). (l. 21T/3), (l, 4r./3)
65. Horizontal em(!, 37T/2), (1, 7T/2). (í, a). (l, 1r- a).
(j, 7T +a), (l. 27T- a), onde a~ sen~'(l/{6);
vertical em (I, 0), (!, 17), (- \, /3), (- j, r.- f3), (-j, r.+ /3),
(-j, 27T- 13), onde f3 ~ cos~ 1 (l/,/6)
67. Centro (b/2, a/2), raio ,)a'+ b'/2

A20 i_: CÁLCULO Editora Thomson
69. 2,6 71.
lU]
3.4 I ~~--~ -~ !
I
73.
l
I
,!:i I
-}
l
J
-2.6 -2,5
l
t
I
J
41. (/3/2. 1T/3). (J3/2, 217/3). e o pólo
43. Interseção {j = 0,89, 2,25; área = 3,46
45. " 47. w .,, + !)''' - l] 49. 29,0653
51. 9,6884
53. -T
55. (b) 2rr(2 - J2)
-I
Exercícios 10.5 c
'I )
I. (0, O).(,, o, X~
3. (O, O), (o, -!c). v~ ,',
75. Girando no sentido horário através dos ângulos 1r/6, 'lr/3, ou
a em tomo da origem
77. (a) Uma rosácea com n pétalas se n for ímpar e 2n pétalas se
n for par
(b) Número de pétalas é sempre 2n
79. Para O< a< l, a curva é uma oval, que desenvolve uma
pequena cavidade quando a -0-1-. Quando a> 1, a curva divide-se
em duas partes, uma das quais tem um laço.
Exercícios 10.4 o
1. 7T'/64
9. 97r/4
13. 7T
()
I
3. 7r/l2 + j3j8
r''-}cosO
S. 7r 3 /6 7. 417T/4
11. 4 I
I S. 37T
~
I
Yi!
(}o)
I
--~:f''~----------~
I
•!
~""-~i i
5. ( -2, 3), ( -2, 5), y ~ l
7. (-2,-l),(-5,-l),x~ l
l
I
(-5, -!j.
o
/
/
1-2,-ll
I
I
I
i X= l
9. X= -y 2 , foco (-L o), diretriz X= 1
11. (:t3. o). (:t2, o) 13. (o. :t4), (o. :t2J3)
Y\
y
4
l
~]
o
] X
-2
o
2
-.Js
I
-4
17. 7r/8 19. 917/20 21. 7T- (3)3/2)
23. (4.,./3) + 2)3 25. 4)3 -l17 27. 7f
29. ( 1T- 2)/8 3!. ( 17/2) - 1
33. (1917/3) - (ll J3/2)
35. (.,.+ 3)3)/4 37. (l/J2.,./4)eopólo
39. (l, 17/3). (l, 51T/3). e o pólo
15. (!, :':3), (l. :ty's)
'' '! (L3)
IL-3j
] X

James Stewart APÊNDICE H RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE NÚMEROS ÍMPARES LJ A21
x2 v2 ,-
17. 4+9~ l.focos(O,:':v5)
19. (='= 12. o).(:>: 13, o), 21. (o. :>:2). (o. :>:2.[2).
. .
'
y = ±-&x y = :!:x
',,~,/,'
/'y=x
13. (a) l (b) Elipse (c) x ~ i
(d)
23. (2 :': )6, 1), (2 :': Jl5. 1),
y ~ 1 ~ :>:(J6/2)(x ~ 2)
15. (a) 2 (b) Hipérbole (c) x ~ ~\
(d)
25. Parábola, (0, ~!). (0, ~l) 27. Elipse, (2:.[2, 1), (:':1, 1)
29. Hipérbole, (O, 1), (O. 3); (o. ~J 2: )5)
31. x 2 ~ ~8y 33. y 2 ~ ~ 12(x + !) 35. y 2 ~ 16x
37. (x 2 /25) + (y'/21) ~ 1 39. (x'/12) + [(y ~ 4) 2 /16] ~ 1
41. [(x ~ 2)'/9] + [(y ~ 2)'/5] ~ 1 43. y 2 ~ (x 2 /8) ~ 1
45. [(x ~ 4) 2 /4] ~ [(y ~ 3) 2 /5] ~ 1
47. (x'/9) ~ (y'/36) ~ I
49. (x 2 /3.763,600) + (y'/3,753,196) ~ 1
51. (a) (12lx 2 /1,500,625) ~ (12ly 2 /3,339,375) ~ 1
(b) ~248 mi
55. (a) Elipse (b) Hipérbole (c) Nenhuma curva 57. 9,69
Exercícios 10.6 o
1. r~ 42/(4 + 7 sen O)
5. r~ 8/(1 ~senO)
9. (a) 1 (b) Parábola
(d)
(HJI
~ ~~~~~-:J~~~ !.""L
3. r~ 15/(4 ~ 3 cosO)
7. r~ 4/(2 + cosO)
(c) y ~ 1
17. (a) e =L diretriz x = - ~
(b) r~ 1/[4 ~ 3 cos(O ~ 1f/3)]
19. A elipse aproxima-se de um círculo
quando e está perto de O e torna-se mais
alongada quando e _,. 1-. Em e = 1,
a curva torna-se uma parábola.
25. (b) r~ (1,49 X 10 8 )/(l ~ 0,017 cosO) 27. 35,64AU
29. 7,0 X 10 2 km 31. 3,6 X 10 8 km
Capítulo 10 Revisão o
11. (a) l
(d)
(b) Elipse
I
lr4_ :::)
j3ff)cDI30•
(c) y ~ ~ 12
Testes Falso~Verdadeiro
L Falso 3. Falso S~ Verdadeiro 7. Falso
Exercícios
l. X~ y 2 ~ Sy + !2
•t
1(0,6),t"'-4
I
(5, 1\,
t=l
3. y ~ 1/x
'[~
\I~
9. Verdadeiro

A22 u CÁlCUlO Editora Thomson
s. x = t, y = vi, r ~ o; x = r~, y = r 2 :
X = tg 2 t, )' = tg t, Ü OS:: f < !f
7. 9.
!2,7T)
I
•2·."'~
... ·~· •':,;'
~
'I
29. 18 31. (2, ±7T/3) 33. (7T- 1)/2 35. 2(50- 1)
.2:..''-/.:.7T_ 2 _+.....cl_-_,,_1.:.4:.:"_ 2 _+_.-'-
( 2n + vi" 4-7T,,-+c-cl )
37. ~ + In , .
2rr r,+ v'1Tc + 1
39. 47!.295JT/l024
4 L Todas as curvas têm a assíntota vertical x = L Para c < ---L a
curva forma um volume protubcrante à direita. Em c = 1,
a curva é a reta x = I. Para -l < c < O. o volume é à esquerda. Em
c = O existe uma cúspide em (0, 0). Para c > O, há um laço.
43. (±I, O), (±3, O) 45. j], 3), (-I, 3)
11. 13.
~~,;t, -J+~-
1
I X= 1
15. r~ 2/(cos 8 + sen 8)
17.
47. x 2 ~ 8(y - 4)
49. Sx' - 20y' ~ 36
SI. (x'/25) + ((8y- 399)'/I60,80I) ~ I
53. r~ 4/(3 + cos 8)
55. x = a(cotg () + scn 13 cos O), y =a {I + sen 2 0)
Problemas Quentes o
19. 2 21. -l
23. (sen t + t cos t)/(cos t - t sen t), (t 2 + 2)/(cos t - t sen t)-'
25. (';/.l)
27. Tangente vertical em Y t
(3a(2, ±J3a/2),(-3a,O);
tangente horizontal em
(a, O), (-a/2, ±3v'} a/2) (-3a. O) 'a. O)
o'
1. In(7T/2) 3. [-j,/3, JJ3] X [-I, 2]
S. (a) Em (0, 0) e (l. l)
(b) Tangentes horizontais em (0, O) e (\/2, ~/4);
tangentes verticais em (0, O) e ( 04, ~12)
(d) '! (g) l
Capítulo 11
Exercícios 11.1 o
Abreviações: C, convergente; D, divergente
1. (a) Uma seqüência é uma lista ordenada de números. Pode
também ser definida como uma função cujo domínio é o conjunto
dos inteiros positivos.
{b) os tennos an tendem a 8 quando n toma-se grande.
(c) os tennos a, tornam-se grandes quando n toma-se grande.
3. 0,8; 0,96; 0,992; 0,9984; 0,99968
7. 3, 5, 9, I7, 33
9. a. ~ l/2" 11. a. ~ Sn - 3
S. -3,~, -Lt, -~
15. D 17. 5 !9. o 21. o
23. D 25. o 27. o 29. o 3!. o
33. J 35. l 37. D 39. D 41. D
43. 1T/4 45. o 47. o
49. (a) !060, 1!23,60, 1!91,02, 1262,48, 1338,23 (b) D
51.-l

James Stewart APÊNDICE H RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE NUMEROS lfvW6.RES A23
Exercícios 11.2 :--
1. (a) Uma seqüência é uma lista ordenada de números, ao passo
que uma série é a soma de uma lisla de números.
(b) Uma série é convergente se a seqüência de somas parciais
for uma seqüência convergente. Uma série é divergente se
e1a não convergir.
3. -2,40000, -1,92000
-2,01600, -1,99680,
-2,00064, -1,99987
-2.00003, -1,99999
-2,00000, -2,00000
;S,,,' '
Convergente, soma = -2 '
Exercícios 11.3 o
1. c
o:
3. C 5. D 7. C 9. D 11. C 13. C 15. c
23.C 25.p>l
17. D 19. C 21. D
27. p < -1 29. (I, x)
31. (a) 1,54977, erro"" 0,1
(c) n > 1000
33. 2.61 39, b < l/e
(b) l ,64522, erro "' 0,005
5. 1,55741, -0,62763,
-0,77018, 0,38764
-2,99287, -3,28388
-2,41243, -9,21214
-9,66446, -9,016!0
Divergente
OE·:~
~·li()
[~···~~{·,}~· J
Exercícios 11.4
1. (a) Nenhum
9. C 11. D
21. D 23. C
(b) c
13. c
25. D
33. 0,567975, erro "" 0.0003
45. Sim
3. C S. C 7. D
15. C 17. D 19. C
27. C 29. C 31. D
35. 0,76352, erro< 0,001
7. 0,64645, 0,80755,
0,87500. 0.9!056,
0,93196, 0,94601,
0,95581, 0,96296,
0,96838, 0,97259
Convergente, soma = l
9. (a) C (b) D
11. 9 13. D 15. 15
17. ~ 19. D 21. D
23. i 25. D 27. ~
29. D 31. D 33. l
~-w
1
~ {.•}
35. ~ 37. 1313~8 39. 41.111/333.000
o
~{a-'-j ~~t
41. -3 < x < 3;x/(3- x) 43. -J

A24 CÁLCUlO Editora Thomson
Exercícios 11.8 c
1. Uma série da forma L;;- __ - 0 c"(x ~ a)"'. onde x é uma variável e a e
c,'s são constantes.
3. l,[~l, I) 5. 1,[~1.1] 7. x,(~oo,x)
9.l.(~l,l) !Ll,H.l] !3.4.(~4.4]
15. 1, (O. 2) 17. 2, ( ~4. O] 19. x, x)
21. h, (a b, a+ h) 23. o. 11 l 25. i.[~ l-o]
27. x,(-cc,-x) 29. (a) Sim (b) Não
31. k' 33. (a) ( ~x, x)
(b), (c)
21. ± lx'"'' R~ I
,, __ ,o 2n + I '
s, = s
s, = s~
4
,.---------l----:-tf'/---ís 1 -- s}
f f
"' !Sn-2 '"-'
23. c+ L~~; I 25. c+ L(~!)"''~'.~~;!
n=O 8n + 2 ,,o~ l 4n- -- l
27. O, 199989 29. 0,000065 31. 0,09531
33. (b) 0,920 37. [ ~ !, !], [ ~ 1, 1], ( -1, 1)
35. (~1, IJ,f(x) ~ (1 + 2x)/(1 ~ x') 39. 2
Exercícios 11.10 o
Exercícios 11.9 :::
1. lO 3. L ( ~ l)"x", ( 1, 1) 5. Lx'",(~l,l)
,,-o
' 1
7. ~.~, 5"'' x", ( ~5, 5)
, l
9. L (~l)" 9 ,,,x'"'',(~3,3)
,~o
, [(~!)"" J
11. L ~,~,,~ ~ l x', (~l, 1)
n~O 2
13. (a) L ( ~ l)"(n + l)x", R ~ I
l ,
(b) 7 L ( ~ 1)"(n + 2)(n + 1)x", R ~ l
- "~"o
l '
(c) ~ L ( ~ l)'n(n ~ 1)x'', R~ I
2 ~-2
"' x"
I S. In 5 ~ L~-- R~ 5
11~1 n5 11 '
, n- 'J
17. L ---x". R ~ 2
=3 2n=l .
11
, (~l)"''
19.1n3+L ---~x".R~3
n=l n3" ·
n~O
5. ± ( ~ 1)" (n + 1~.n + 2) x", R~ I
,,_,_0 -
11. 7 + 5(x- 2) + (x- 2)'. R~ x
"' e 3 "' 1
13. L - (x ~ 3)", R ~ x 15. L (~Ir' -- tx - 1rr . R ~ x
n•=O n! n=O (2n)!
' 1 · 3 · 5 .. · .. (2n ~ 1)
17. L (~li'' . (x ~ 9)" R ~ 9
""-o • 2" · 3~"~' · n! '
- 1
25. L (~I)"~~- x•··•, R ~ l
n=O ' 2n + 1
1~
---- 10
·· '·' '-'-----;; 0
-----..J
-1,2
" 1
35. 2; H)"-~ x'" R ~ oo
.~o' (2n)' '

James Stewart APÊNDICE H RESPOSTA-S DOS [XEFtCiC!OS DE NUfvlEROS l!v1FARES A25
Exercícios 11.12 c·
l. (a) I~(x) ~ l ~ T,(x). 7Jx) ~ l - ~ T/tl.
14(x) = I - + 2~x-1 = T5 (x)~ 7~(x) = l - 2x 2 +
T,~L
Jr. --r,
37. 0,81873
x""":
39. c+ L (-Jr~-"---
n~ü (6n + 2)(2n)~
x·! -, .1_·:'3_·~5:__·_·_·_·_·~(":2:-n_-__::3:-_)
41.C+x+-+L(-I)"'-
x''"
8 ,.~: 2"n!(3n + 1)
43. 0,440 45. 0.09998750 47. ; 49. ,),
51. I - jx 2 + ~jx~ 53. 1 + + 3~ox~
57. 1/ j2 59. e'- 1
Exercícios 11,11 c
X " 1·3·5····•
1.1+2+.~,(-1)' 2'n! x'',R= l
(b)
T,.
'
X f T, = T; J', ~ T, 1~ = T, '/6
"
4
.,
'
..... , .. ·-
0,7071 0,6916 0,7074 0.7071
o
2
-0.2337 0,0200 0.0009
rr 'l -~ 3,9348 0.1239 -l.2ll4
······
(c) Quando n cresce, T;,(x) é uma boa aproximação de f(x) sobre um
intervalo muito amplo.
3. (x - l) - l (x - ll' + : (x - 1 )' J(x - 1 )'
3. L (-1)" (n + ~:.~~ + 2 ) x',R ~ 2
n=O -
S. l - 2x -
' 3 · 7 · · · · · (4n - 5) · 2'
L x", R =
1
,,~2 n.
~
" 1 · 3 • 5 · · · · · (2n - 1)
7 l +L (-1)" . x'''' R~2
• :X li--: n!2-"'~: ,
·5
11. (a) 1 + f .::1_·.::.3:'·.::.5:'·~~· _o:(2:::.n:_-__::!_J) x"'
n~l
2"n!
" 1 · 3 · 5 · · · · • (2n - 1)
2 ,.,
(b) x + .~, (2n + 1)2'n1 x
I,
' r,
•,
fi f
I
x ' . 2 · 5 · 8 · · · · · (3n - 4)
13. (a) 1 + - + L ( -1r' " I x'
3 n~2 3 n.
(b) 1,0033
7. X+
.I
I
Li
~i
it
(
---,--~-------~2
I
15. (a) I nx" (b) 2
n~i
x 2 " . l · 3 · 5 · · · · · (2n - 3)
17. (a) í +'-+I (-1)'··•
2 , • x''
2 n-~ n.
1
(b) 99.225
f~~~~~~~~_J
,6

A26 u CÁLCUlO Editora Thomson
11. T 8 (x) ~I + jx' +
Exercícios
1. l 3. D 5. O 7. e"
15. D 17. C 19. C 21. C
27. 8 29. 17/4 31. e ' 35.
37. O,I8976224, I erro I< 6,4 X 10 _,
43. 0,5, [2,5, 3,5)
45. _I_ Í (-I)'[-'~ (x- 2)'' +
2 n~ü (2n)! 6
9. 2 11. c 13. c
23. CC 25. AC
0,972I
41. 4, [ -6, 2)
Ii (
(2n + !)! ~1: 6
")''' ']
13. (a) 2 + l\x- 4) - /:,(x- 4) 2 (b) I,5625 X 10-'
15. (a) I + j(x- I) - l\x I)'+ ,",(x- I)' (b) 0,000097
17. (a) x + \x 3 (b) 0,058
19. (a) I + x 2 (b) 0,00006
21. (a) x 2 - ix' (b) 0,042
23. 0,57358 25. Quatro
27. -1.037 < X < J.Q37
29. 21m, não
35. (c) Eles diferem aproximadamente por 8 X lO-- 9 km.
Capítulo 11 Revisão c
Testes Falso· Verdadeiro
1. Falso
S. Falso
3. Verdadeiro
7. Falso
9. Falso 11. Verdadeiro
13. Verdadeiro 1 S. Falso 17. Verdadeiro
49. -L '---, R ~ I
!1-·-l n
CC t"
00
S'l c4
51. L (-I)" X I 'R ~ ~
,_, (2n + 1).
l ' l · 5 · 9 · · · · · (4n 3)
53. 2+ .~, n'l'"" x',R~ 16
"" x"
55. C+ ln/x/ +L--,
,~1 n · n.
57. (a) I + l (x- l) -j(x- I)'+ ~~-(x- 1)1
(b) ':-·'-------=
(c) 0,000006
59. -
f
Problemas Quentes o
1. 15'/5' ~ 10.897.286.400
3. (b) O se x =O, (1/x) - colg x se x # krr, k for um inteiro.
5. (a) 5, ~ 3 · 4', I,~ l/3",p, ~ 4'/3" 1 (c) 2../3/5
9. (-I, I), (x 3 + 4x' + x)/(l - x)' 11. In l
Capítulo 12
==~~~~-~-~~
Exercícios 12.1 o
1. (4, O, -3) 3. Q;R
S. Um plano vertical que
intercecta o plano
na retay = 2- x, z =O
(veja o gráfico à dírcita)
9. (a) sim (b) não
'=2-x,z=O
11, (x - l)' + (y + 4)' + (z - 3)' ~ 25; (x - 1) 2 + (z - 3) 2 ~ 9,
y = O (uma circunferência)
13. (x - 3)' + (y - 8) 2 + (z - !)' ~ 30
15. (3, -2, I), 5 17. (l, j, l) . ../3/2 19. (b) j, jj94, j,/85
21. (a) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + (z - 6) 2 ~ 36
(b) (x- 2) 2 + (y + 3) 2 + (z- 6) 2 ~ 4
(c) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + (z - 6) 2 ~ 9
23. Um plano paralelo ao plano xz-unidades à frente dele.
25. Uma metade do espaço consistindo em todos os pontos x = 3.
27. Todos os pontos sobre e entre os1 planos horizontais z = O e z = 6.
29. Todos os pontos fora da esfera com raio l e centro O.

James Stewart APÊNDICE H RESPOSTAS DOS EXERC f CIOS DE NUMEROS !ívlPARES U A27
31. Todos os pontos de dentro da esfera com raio 2 e centro (0, O, 1).
33. Todos os pontos sobre c dentro do cilindro circular de raio 3
tendo por eixo o eixo y. ~ , "
7
35. y < O 37. r' < r + y~ + r ) / (d)s~j,t~'i
~/ ~
''ri ·- ~ ··~-~_.../
tb .........
l
I
J
41. I4x ~ 6)' ~ lO::= 9, um plano perpendicular aAB
Exercícíos
v
12.2 n
1. (a) Escalar (b) Vetor (c) Vetor (d) Escalar
~ ~~ ~_.__:;. ~~ ~
3. AB ~ DC, DA ~ CB, DE ~ EB, EA ~ CE
5. (a) v
v+ w
~~w
v"'J
7. a~ (-4, -2)
yt
y
A!2.J:
8~2,1)
Ü
X
a
11. a~ (2,0, -2)
'l
XA:t:
I .4{0,3.1)
15. (0, 1, -l)
i:i ~
B
(d) *~
w
w+v+u u
9. a~ (-2,5)
17. 5, (2, 5), ( -10, 1), ( -8, 6), (12, 17)
19, 7, (5, 7, 1)' (7, -3, 5), (12, 4, 6), (14, 26, l )
2Lj6, i- j + 3k, i- 3j- k, 2i- 4j + 2k, 31- 2j + ll k
39. Uma esfera com raio I, centrado em (x 0 , )'o, z 0 )
Exercícios 12.3
1. (b), (c), (d) são sígnificatívos 3. 6 5. -5
7. 32 9. 90/3 11. u· v=Lu·w= -1
15. cos '(1;) = 14° 17. coç'(l/.,f238) = 86°
19. cos '(-l/(2)7)) = 101' 21, 45°,45°, 90°
23, (a) Nenhum (b) Ortogonal
(c) Ortogonal (d) Paralelo
25. Sim 27. (i- j- k)//3 [ou H+ j + k)/fl]
29
3 4 1 .
650 ~ 60 0
· s,J2' 5)2' v'2' ') ' 45
31. ~. ~, -~; 73°, 65", 149°
33, lj.,f3, 1//3, 1//l; 55', 55°, 55' 35. 3, (1, -'J,)
37. 3/.,fS, (U, o)
39. J/[2,(1 + k)/2
43. (o, O, -2 .. /10) ou qualquer vetor da forma
(s, t, 3s- 2/IÕ), s, tE !R
45. 38 J 47, 250 cos 20o = 235 pés~lb 49. n
51, cos'(1//3) = SSO
Exercícios 12.4
I, 2i- j + 3k 3. 3i- 4j + 2k
S. 21 + 13j- 8k 7. t'i- 2t 3 j + t'k
9. (a) Escalar (b) Sem sentido (c) Vetor
(d) Sem sentido (e) Sem sentido (f) Escalar
11. 24; dentro da página
13. (5,-3,1),(-5,3,-1)
15. (-2//6, -l/)6, l//6), (2/,16, 1//6, -1//6)
23. 16 25. (a) (6, 3, 2) (b) l
27. (a) (13, 14, 5) (b) j.,f39õ
29. 82 31. 3 35. !0,8 sen 80° = l 0,6 J
37. =417 N 39. (b) )97/3
45. (a) Não (b) Não (c) Sim
Exercícios 12.5
1. (a) Verdadeiro (b) Falso (c) Verdadeiro (d) Falso (e) Falso
(f) Verdadeiro (g) Falso (h) Verdadeiro (i) Verdadeiro
(j) Falso (k) Verdadeiro
3. r~ ( -21 + 4j + !Ok) + t(3i + j - 8k);
X ~ -2 + 3t. y ~ 4 + t, Z ~ lO - 81

A28 CÁLCULO Editora Thomson
5. r~ (i+ 6k) + t(i + 3j + k); x ~ l +I, y ~ 3t, z ~ 6 + I
x~l z~2
]. X ~ J - 51, V~ 3, Z ~ 2 - 21; ---=5 ~ ~· )' ~ 3
9. X= 2 + 2t, )' = 1 + !t, Z = ~3 ~ 4t;
(x- 2)/2 ~ 2y- 2 ~ (z + 3)/(-4)
11. X = I + t, y = -1 + 2t, z = 1 + t:
X- I ~ Í\' + I)/2 ~ z - I
13. Sim
15. (a) x/2 ~ (y- 2)/3 ~ (z + l)/(-7)
(b) (-\,'2'.oJ.(-j,o.'C),(o,z, I)
17. r(t) ~ (2i- j + 4k) + 1(2i + 7j- 3k), O"' t"' I
19. Paralela 21. Reversa 23. -2x + y + Sz = 1
25. x + y - z ~ -I 27. 2x - y + 3z ~ O 29. 3x - 7z ~ -9
3l.x+y+z~2
33.-I3x+l7y+7z~-42
35. 33x + lOy + 4z ~ 190 37. x- 2y + 4z ~ -I
39. (2, 3, 5) 41. (2, 3. I) 43. I, O, -I
45. Perpendicular 47. Nenhum dos dois. = 70,5°
49. Paralela
SI. (a) x- 2 ~ v/(-8) ~ z/(-7)
(b) cos·'( -;6;s) ~ 119° (ou 6n
53. X = 6t, )' = -l + t, Z = -I; + 7r 55. X= Z
57. (x/a) + (v/b) + (z/c) ~ I
59. X ~ 31, y ~ I - t, z ~ 2 - 21
61. P 1 c P 3 são paralelos, P 2 e P~ são idênticos
63. )22/5 65. ~· 67. 7)6/18 71. 1/)6
Exercícios 12.6
1. (a) Parábola
(b) Cilíndro parabólico com diretriz paralela ao eixo z
(c) Cilindro parabólico com diretriz paralela ao eixo x
3. Cilindro elíptico 5. Cilindro parabólico
ll. x~k,y' + 4z'~4 -4k'/9,elipse(lkl < 3)
y ~ k, x' + 9z 2 ~ 9 - 9k'/4, elipse (I k I < 2)
z ~ k. 4x' + 9y' ~ 36(1 - k 2 ), elipse (I k i < l)
Elipsóide :t
líO,O.I
+~~-­
-;~(L -.....
/I I --
r 3. O. O'· ~'4:Z::::::=~
,!0. o _,
(· 3,0.0,
13. x ~ k, y'- z' ~ k', hipérbole (k r" 0)
y = k, x 2 + z~ = k 2 , circunferência (k # O)
z = k, y 2 - x 2 = k'-,
hipérbole (k ,é O)
x = O,y = ±z, retas
z = O, y = ±x, retas
Cone
15. x ~ k, 4y 2 z' ~ 4 + k', hipérbole 'I
y = k, x 2 + z 2 = 4e - 4.
circunferência (I k I > 1)
z = k, 4y 2 - x 2 = 4 + k 2 ,
hipérbole
Hiperbolóide de duas folhas
17. x = k, y = 4z 2 + k 2 , parábola
y ~ k, x' + 4z 2 ~ k, elipse (k > O)
z = k, y = x 2 + 4k 2 , parábola
Parabolóide elíptico tendo por
eixo o eixo y.
1
7. Superfície cilíndrica
19. x = k, y = z 2 - k 2 , parábola
y ~ k, z 2 - x 2 ~ k, hipérbole (k ,é O)
z = k, y =e - x 2 , parábola
Parabolóide hiperbólico
'
i
'
C--
'
9. (a) x ~ k, y 2 - z 2 ~ I - k', hipérbole (k ,é±!);
y = k, x 2 - z 2 = 1 -e, hipérbole (k # ±l);
z = k, x 2 + z 2 = l + k 2 , circunferência
(b) O hiperbolóide é rotacionado de modo que ele tenha como eixo y.
(c) O hipcrbolóide é deslocado em uma unidade na direção
negativa do eixo y.
21. VII 23. 11 25. VI 27. VIl!
z'
+-~ l
4 36
Hiperbolóide de duas folhas tendo por
eixo o eixo z.

James Stewart
APÊNDICE H RESPOSTAS DOS EXERCIC!OS DE NUrv1EROS 11"/WA.HES
A29
Parabolóide elíptico com vértice
(0, O, O) tendo por eixo
o eixo x.
Íy- )'
33. x 2 + · - + (z - 3)' ~ I
4
Elipsóide com centro (0, 2, 3)
35.
(y + I)'~ (x- 2)' + (z- I) 2
Cone circular com vértice
(2,-I,I)
e eixo paralelo ao eixo y.
I/
~0~_·.--..
X "'
i
Exercícios 12.7
l. Veja a Seção 839-40.
3. "'
I
'
1 . , i
O· .-+-_
5.
A
. , I ,
I
l {3.0. -6,
'! -~-----

A30
CÁLCUlO
Editora Thomson
57.
z "-- 2
59.
19. -4x + 3v + z- -14 21. (l. 4.4)
23. Revcrsa 25. 22/ v26
27. Plano 29. Cone
61.
63. Coordenadas cilíndricas:
6 :s; r :s 7, O~ (J ~ 271',
o~ z ~ 20
----.....
31. Hiperbolóide de duas folhas
~'
65. o~

James Stewart APÊNDICE H HESPOSTAS DOS EXERCÍCiOS DE NÚMEROS IMPARES C A31
17. ríl) ~ (31 + I. 21 !, 51+ 2), O"" 1"" I;
X= 3t + 1, )' = 2t- 1, z ~ St + 2, o~ t :-=; 1
19. VI 2!. IV 23. V
27.
"/i'
300
29. ~----
~
z !+
I
OI
o
20
lO
_j
35. r(1)~1i + )(1 2 - l)j + j(t' + I)k
37. x = 2cos t,y = 2 sen t, z = 4cos 2 t
39. sim
I
I
I
3. (a). (c) (b) r'(t) = \ -sen t, cos !)
5. (a), (c)
'!
(b) r'(1) ~i+ 21j
c(';)
7. (a), (c)
(b) r'(l) ~e' i+ 3e''j
9. r'(l) ~ (21, :_ l, l/(2,[!)) 11. r'(1) ~ 4e'' k
13. r'(1) ~ 21e'' i + [3/(l + 31)] k 15. r'(l) ~ b + 21c
17. (15//262,6/)262, l/J262) 19. li+ 'k
21. (l, 21, 31'). (l//í4. 2/Jl4, 3/v'l4), (0, 2, 61), (61 2 , 61, 2)
23. X= 1 + St, y = I + 4t, z = I + 3t
25. X = 1 t, )' = t, Z = 1 - t
27. X = ~ 1T + t, y = I - t, z = 1 + t
29. (a) Não suave (b) Suave (c) Não suave
31. 66' 33. 4 i - 3 j + 5 k 35. i + j + k
37. e' i+ 1 2 j + (1 In 1- l)k +C
39. it 3 i + (1 4 + l)j- jt 3 k
45. 1- 4tcos t + llt 2 sen t + 3t 1 cos t
Exercícios 13.2 o
1. (a)
(b), (d)
'! I
'I
I
o,
I
-r(4,5J-f\4)
'r/4.2)- r;4J
p
~~/4 ) ~ lim r(4 + h) - r(4)
h---'>0
r'(4)
T( 4 l ~ I r'(4l I
h
Exercícios 13.3 o
1. 20/29 3. e- e· 1 S. i\(!3 3 !2- 8) 7. 9,5706
9.r(l(s))~ ~si+(l- ~s)j+(5+ ~ 9 s)k
,;29 v29 ,;2
11. r(l(s)) ~ 3 sen(s/5)i + (4s/5)j + 3 cos(s/5)k
13. (a) ((2/J29) cosI, 5/i29, ( -2/ [29) sen 1),
( -sen 1, O, -cos 1)
(b) 2~
1
15 (a) ( fie l) 1 21 ·cc-c-:·( I - e 11 , J2e 1 , f2e 1 )
• e 2 ' + l ' 'e ' - ' + 1 ' v L
(b) /2e'1(e'' + 1) 2
17. 2/(41 2 + 1) 312 19. fl 21. ),/TI
23. 6ixl/(l +9x') 312 25. l5J,:/(l + l00x 2 ) 2 n
27. (-lln2, 1//l);tendcaO 29. (a) P (b) 1,3,0,7
31.
Y"",K(xl
-0,5

A32 CÁlCUlO Editora Thomson
33. a é y ~ f(x). b é y ~ K(x)
"' ~-..... ~ .
6vi4 cos 2 t
12 cos t + U
(l7 12cm;t)'
i\AJU~
o:
37. 1/(/le') 39. (;, ' \, ' ' ,),
'
41. y = 6x + 7T, x + 6y = 61r
43. (x +~r+ y" = : 1 1
,.c~::' + (y- ir'= ,;·
45. (-!, -3.1) 53. 2/(t' + 4t' +I)
SS. 2,07 X IO" Á = 2m
múltiplos inteiros de 21T
9. (2t,3t',2t), (2.61,2), ltk9r' + 8
H. v/2i + e'j- e--'k,e'j + e-'k.e' +e
13. e'((cos t- sen t)i + (sen t + cos t)j + (t + l)k],
e 1 [-2scnti + 2costj + (t + 2)k], +
15. v(t) =i-- j + t k, r(t) =ti- t j + 1t"k
17. (a) r(t) ~ (1 + lt')i + t' j +(I + {t')k
(b)
19. t ~ 4
21. r(t)=ti-tj+
23. (a) =22 km (b)
25. 30 m/s
27. =I 0,2', = 79,8'
29. (a) 16m
20
k. 1 vtr) 1 =,/'1st' + 2
=3,2 km (c) 500 m/s
(b)
=23,6" rio acima
-1 1
I
I
I
"~"'
o i-10
I
_::,:-----------.-...../
Exercícios 13.2
1. (a) 1,81- 3,8j- 0,7k, 2,01- 2,4j 0,6k,
2,81 + 1,8j - 0,3k, 2,81 + 0,8j 0,4k
(b) 2,41 - 0,8j - 0,5k, 2.58
3. v(t) ~ (21, 1)
a(t) ~ (2, O)
I v(tl I ~ v4t' + 1
31. 61, 6 33. O, 1 35. e' - e ' • .fi
37. 4,5 cm/s'. 9,0 cm/s' 39. t ~ 1
Capítulo 13 Revisão o
Testes Falso~Verdadeiro
1. Verdadeiro 3. Falso S. Falso
7. Falso 9. Verdadeiro
S. v(t) = e' i - e-' j
a(t) ~e' i+ e~'j
lv(t)! = _.je21 +e 1r
'l
a;OJ
Exercícios
1. (a)
7. v(t) = costi + j- sentk
a(tl =-senti- costk
I v(tl 1 ~ /2
(b) r' (t) = i - 1r sen 11t j + 11 cos 7rt k,
r"(t) = -7r 2 cos 7rtj- w 2 sen 7rtk
3. p(t} = 4cos ti+ 4sentj + (5- 4cost)k, O~ t ~ 21r
5. \i- (2/,.')j + (2/7T)k 7. 15.924! 9, 1T/2
11. (a) (t', t, 1)/Vt' + t' + l
(b) (2t, I - t\ -2t 3 - t)/J'""t'~+-4'"'t 7 '-c,-~ '2,c;•_1-+~5cct'
(c) )t 8 + 4t 6 + 2t~ + 5t 2 /(t 4 + t 2 + 1)2

James Stewart APÊNDICE H RESF-'OSTAS DOS E\ERCICIOS DE hJU1'v1 ::ROS IM PARES A33
13. 12/17' · 15. x ~· 2v + 2rr ~O
17. v(t) ~ (l + lnt!i + j ~ e-•k.
lv(t)l = ,/2 + 2lnt + (lntF + e·-'',a(t) = (l/t)i + e-'k
19. (a) Em torno de 3,8 pés acima do solo, 60.8 pés a partir do
atleta (b) =2!,4pés (c) =64,2pésdoatleta
21. (c) ~2e- 1 v

A34 CÁLCULO Editora Thomson
35. 37. xy ~ k
47.
./
;))~
~. - . k~O
-~---
~~~
49.
51.
39. 2
o
o
41....;x+y=k
4
53. (a) B
55. (a) F
57. (a) D
(b) IH
(b) v
(bJ rv
59. Famílías de planos paralelos.
61. Familias de hiperbolóides de uma ou dua~ folhas com o eixo y.
63. (a) Deslocando para címa o gráfico da f 2 unidadês.
(b) Estica verticalmente o gráfico da f por um fator de 2.
(c) Reflete o gráfico da f pelo plano xy.
(d) Reflete o gráfico da f pelo plano xy e depois desloca-o
2 unidades para cima.
65.
20
2
43. X~ y 2 + k
f parece ter um valor mínimo de cerca de 15. Há 2 pontos máximos
locais, mas nenhum ponto mínimo local.
67. 10 --------~.
Os valores da função tendem a O quando x, y torna-se grande; quando
(x, y) tende à origem, f aproxima-se de ::too ou O, dependendo da
direção de aproximação.
69. Se c = O, o gráfico é uma superfície cilíndrica. Para c > O, as curvas
de nível são elipses. O gráfico das curvas ascende quando deixamos
a origem e o grau de inclinação cresce quando c cresce. Para c < O, as
curvas de nível são hipérboles. O gráfico das curvas ascende na direção

James Stewart
APÊNDICE H RESPOSTAS DOS EXERCI CiOS DE NU MEROS IM PARES
A35
y e descende, aproximam-se do plano X)' na direção x. dando uma
aparência da forma sela próximo de (0, O, 1 ).
71. (b) y ~ 0,75x + 0,0!
Exercícios 14.2 u
1. Nenhum; se f for contínua. f(3, 1) = 6. 3.
5. 2025. 7. Não existe. 9. Não existe.
11. O. 13. Não existe. 15. 2. 17. L
19. Não existe.
21. O gráfico mostra que a função aproxima~se de números
diferentes ao longo de retas diferentes.
23. h(x, y) ~ 4x 2 + 9v 2 + 12xv- 24x 36y + 36
+ ~ + 3v - 6; {ix, y) j2x + 3y ;;, 6}
25. Ao longo da reta y = x
27. {(x, y) I v >F ±e'''} 29. {(x, y) I y "' O}
31. {(x,y)jx' + y' > 4} 33. {ix,y,z)jy;;, O,y >F .jx 2 + z'}
35. {(x, Y) I (x, y) >F (O, O)} 37. O 39. O
11. fx = 2x + 2xy, fr = 2y + x 2 63. 4/(y + 2z)', O 65. =12,2, =16,8, =23,25 77. R 2 /Rf
13. f(x, y) ~ 3, f.(x. y) ~ -Sy'
15. (Jz/dx = e 3 \ az/d}' = 3xe 1 )
17. f(x, y) ~ 2y/(x + y)', f.(x, y) ~ -2x/(x + y)'
19. awjaa =cosa cos {3, aw/d{3 = ~sen a sen f3
2r 2
2rs
Exercícios 14.3
21. j;(r. s) ~ + 1n(r 2 + s'), f,(r, s) ~ ~=~
+ +
1. (a) A taxa da variação da temperatura quando varia a longitude, 23. au/ot ~ e"''(l - w/t), aujaw ~e"''
com latitude e tempo fixados; a taxa de variação quando varia apenas
a latítude; a taxa de mudança quando varia apenas o tempo.
z 2 + 3y
25. J;. = , h= 2xyz- 1 + 3z, j; = 3xy
(b) Positivo, negativo, positivo.
27. awjiJx ~ 1/(x + 2y + 3z), awjay ~ 2/(x + 2y + 3z),
3. (a) Jr( ~ 15, 30) = 1,3; para uma temperawra de~ l5°C e awjaz ~ 3/(x + 2y + 3z)
velocidade do vento de 30 km/h, o índice do resfriamento da 29. aujax =e"·' sen 8, du/dt = -xe-' sen 8, aujae = xe"' cosO
superfície realizado pelo vento aumenta I ,3 DC para cada aumento 31. f, ~ yz' tg(yt), J, ~ xyz't scc 2 (yt) + xz' tg(yt),
de grau da temperatura. j~( ~ 15, 30} = -0,15; para uma
fz = 2xyz tg(yt), fr = xy 2 z 2 sc.c 2 (yt)
temperatura de -15DC e velocidade do vento de 30 km/h, o índice 33. aujax, = xJyxf + xi + · · · + x,; 35. ~ 37. ~!
do resfriamento da supetfície realizado pelo vento decresce
39. f(x, y) ~ 2x - y, J,(x. y) ~ 4y - x
~O,l5DC para cada aumento em km/h da velocidade do vento.
(b) Positivo, negativo. (c) O
41. az ~ 3yz - 2x i!!_ 3xz - ly
5. (a) Positivo. (b) Negativo
ax 2z- 3xy' ay 2z- 3xy
7. c~ f, b ~f, a~ f 9. j;\1, 2) ~ -8 ~inclinação de C,, 43. az ~ __ 1 _+~~7. az -z
,t;(l, 2) ~ -4 ~inclinação de c,
ax 1 + y + ay I + y + y 2 z 2
45. (a) f'(x), g'{y) (b) f'(x + y),f'(x + y)
47. /u ~ 12x 2 - 6y', j;, ~ -18xy' ~ fn /,_ ~ -18x 2 y
49. Zu ~ -2y/(x + y)', Zq ~ (x - y)/(x + y) 3 ~ Zu,
Zn ~ lx/(x + y) 3
Sl. u" = e-s sen t, lts1 = -e-"' cos t = u 1 , u" = -e-s sen t
57. 12xy, 72xy
59. 24 sen(4x + 3y + 2z), 12 sen(4x + 3y + 2z)
61. 8erf'(2 senO+ BcosB + r8sen8)
83. Não
9!. (a)
85. X ~ J + /, )' ~ 2, Z ~ 2 - 2t 89. -2
J

A36 CÁlCULO Editora Thomson
(c) O, O (e) Não, uma vez que j;_, e}_;._, não são contínuas.
Exercícios 14.4
1. z = -8x- 2y 3. X ~ 2y + Z = 4 S. z = y
7.
9.
av óv àp- àv aq ' éiv ar
+---r---.
ày àp ()y óq ày Or ày
dv élv dp dv av ar
-=-~-+- +-
àz àp az aq az ar az
21. 85. m. 54 23. U 25. 36, 24, 30
4(xy)_l:2 - y sen(x- y) +e'
27.
29.
x- 2x2"i_:ry sen(x - _y) - xe'
3yz 2x 3xz - 2y
31. ~---c-- ~-"--c-'-'-
2z - 3x:r · 2z -- 3x.v
1 + y 2 z 2 z
33 • I + y + y 2 z"' l + y + y~z 2
35. 2'C/s
37. = -0,33 m/s por minuto
39. (a) 6 m 1 /s (b) lO mc/s (c) O m/s 41. --0.27 L/s
43. (a) azjar = (dz/àx) cosO+ (az/ay) senO,
azjfJ()= -(rJz/àx)rsen () + (azjay)rcos o
49. 4rs ;{-z/ àx 2 + (4r 2 + 4s 2 )iJ 2 z/ dx dy + 4rs a:'zjay-' + 2
11. 2x + }y - 1 13. X+ I
17. -h - ~y + 2 f; 2,846
21. 4T +H- 329; l29'F
19.
15. ~-x + y + 17r-}
23. dz ~ 3x 2 In(y 2 )dx + (2x 2 /y) dy
25. du =e' sen Odt +e' cos Od8
27. dw = (x 2 + yc + zcr 1 (xd:r + _vdy + zdz)
+ lv + jz;6,99I4
29 . .élz ~ 0,9225, dz ~ 0,9 31. 5,4 em' 33. 16 em'
35. !50 37. /, ~ 0,059 !1 39. e, ~ C.x, e, ~ .é\y
Exercícios 14.5
1. 4(2xy + y 2 }t 3 - 3(x 2 + 2xy)t~
3. 7TCOsxcosy- (senxsen:v)/(2,!Í)
S. e' 1 T2t- (x/z)- (2xy/z')]
7. azjas = 2x + y + xt + 2yt. óz/dt = 2x + y + xs + 2ys
iJz 4st + In t Uz 2s 2 +
9. ~~~~~ccc.
as J + (2x + Jt I + (2x +
11. :: ~e·(rcosO- s seno).
~z = er(s cos e- ' ~
1
, , sen e)
dt
,;s--r-t-
13. 62 15. 7, 2
du àu àx àu d\ Ou du iJx Ou a-v
17. ~~~~+~~ ~~~~+~~
ar ax ar ay dr' as dx as ay as
au au ax iJu av
~=~-+-____::;__
dt ax at ay iJt
av iJv úp av aq av àr
19.- = -~ + -- + ~-.
a.-r àp ax aq ih ar ax
Exercícios 14.6
1. =-0,1 milibar/mi 3. =0.778 5. -1 ~ v:J 1-
7. (a) 'iif(x.y) ~ (5y'- 12x'y, IOxy- 4x')
(b) ( -4, 16) (c) 172/13
9. (a) (e'•, 2xze 2 ", 2xye'') (b) (I, 12, O) (c) ,
11. 23/10 13. 4,/2 15. 4/9
17. 9/(2)5) 19. 2/5 21. 4,/z, (-I, I) 23. L (0, I)
25 . .;3,(1,-I,-I) 27. (b) (-12,92)
29. Todos os pontos da reta y = x + I 31. (a) --40/(3"/3)
33. (a) 32/./3 (b) (38, 6, 12) (c) 2,;4o6 35. ','7
x-4 y+l z-1
39. (a) 4x - 2y + 3z ~ 21 (b) ~~ ~ -· ~ ~-~~~-
8 -4 6
41. (a) 4x- Sy- z ~ 4
43. (a) x + y - z ~ I
45,
x-2 v-I z+l
(b) -4- ~ "'=5 ~ ~
(b) x- l = y = -z
47. (4, 8),x + 2y ~ 4
'Vfi2.ll
53. (zt,/6/3, +2,/6/3, zt,/6/2)
59. x~ -1-IOt,y~ I-I6t,z~2 -I2t
63. Seu~ (a, b) c v~ (c, d), então af + bf e cf, + dJ;
são conhecidas; logo, vamos resolver as equações lineares
para f, e ,t;.

James Stewan APÊNDICE H RESPOSTAS DOS EXERCICIOS DE f'JUív'IEf-WS !ív'IPi'.FlES _j A37
Exercícios 14.7
L (a) f tem um mínimo local em (1, 1 ).
(b) f tem um ponto de sela em (!. 1).
3. Mínimo local em (1, 1), ponto de sela em (0, 0)
S. Máximo J( -1, !) - ll
7. Mínimo fíl, l)- O, f( -1, -!I- O, pontos de sela em (0, O)
9. Pontos de sela em (1, 1), (-L I)
1 L f !em um valor máximo local de 1 em todos os pontos da
forma (xo, .t·o).
13. Nenhum 15. Pontos de sela (0, f11i). num inteiro
17. ivlínimo f( O, O)= O, pontos de sela em (:!::L 0)
19. Máximo /(0, O) - 2, mínimo fiO, 2) - --2,
pontos de sela(:!::: I, I)
21. Máximo/( Tr/3, Tr/3) - 3-/3/2,
mínimo f(5n/3, Sn/3) = -3,/3/2
23. Mínimos f( -1,714, O)- -9,200, /(!,402, 0) = 0,242.
ponto de sela (0,312, 0), ponto mais baixo (-l ,714, O, -9,200)
25. Máximos f(-1,267,0) = 1,310, f(l,629, :':1,063) = 8,105,
pontos de sela (-0,259, 0), (1,526, O),
pontos de máximo (I ,629, :!::: I ,063, 8, I 05)
27. Máximo /(2, O)- 9, mínimo f( O, 3) = -14
29, Máximo f(:t I, I) - 7, mínimo f(O, O) - 4
31. Máximo /(3, O) - 83, mínimo /(1, I) - O
33. Máximo f(l, O)- 2, mínimo f( -1, O)- -2
35.
37. -/3 39. (O, O, 1), (O, O, -I) 41. "/'- ~ 00 , ''!"
43. 16j..J3 45. 1 47. Cubo, aresta de comprimento G/12
49. Base quadrada de lado 40 em, altura 20 em SI. L 3 /(3,/3)
Exercícios 14.8
1. =59, 30 3. Máximosf(:t1, O)- 1, rrúnimosf(O, :tl)- -1
5. Máximos f(:t2, I)- 4, rrúnimos f(:t2. -1)- -4
7. Máximo f (I, 3, 5) - 70, mínimo f( -1, -3, -5) - -70
9. Máximo 2/ ./3, mínimo ~2;../3
1 ] . Máximo ,/3, mínimo 1
13. Máximo f( l.l.l. l) - 2,
núnimof(-5. -!,-i,-~)= -2
15. Máximo f(!. ;2, -~12)- l + 2/2,
rrúnimo f( I, -/2./2)- l - 2/2
17. Máximo 5, mínimo i
19. Máximos f(:tl//2. +l/(2,J2))- e'",
rrúnimosJ(:tl//2, :tl/(2/2))- e·'i'
25-37. Veja os Exercícios 37-51 na Seção 14.7.
39. Mais próximo n, i, D. mais afastado ( -1, -1, 2)
41. Máximo =9,7938. mínimo -= -5,3506
43. (a) c/n {b) Quando x 1 =X:= · · · = x,,
Capítulo 14 Revisão :·,
Testes Falso-Verdadeiro
1. Verdadeiro 3. Falso 5. Falso 7. Verdadeiro
9. Falso 11. Verdadeiro.
Exercícios
I. {(x,y)/-1-sx"' I} 3.
i '1 .
, I i I
----m,---:
I I ' . I
5.
y~
7. ) t
~ -I
(©)
2
I
-..- ->-­
'
(©)
(©) (©)
I 2
9. }
11. (a) =3,5°C/m, -3,0'C/m (b) = 0,35'C/m pela Equação
14.6.9 (A Definição 14.6.2 fornece =I,I'C/m.) (c) -0,25
13. ;: - l/,j2x + y', f 1
- y/,j2x + y'
15. g,- tg-'v. g,- u/(1 + v 2 )
17. T, ~ ln(q + e'), T, - p/(q + e'), 1; ~ pe'/(q + e')
19. fu - 24x,f, 1 - - 2y -f,, f, - - 2x
21. fu = k(k- l)x,(- 2 y 1 zm, j_,_... = kL-.J--ly!-IZm = f•x,
fxz = kmxk- 1 y 1 zm--i = fH, j~T = l(l- 1)xky1- 2z"',
f~.,= lmxkyf-lzm--J = f,x, fzr = m(m- l)xkylzm---2
x-1 v+2
25. (a) z- 8x + 4y + l (b) -
8 - -7- I - z
x-2 y+J z l
27. (a) 2x- 2y- 3z- 3 (b) -
4
v + j z
------=4- ----=6
29. (a) x + 2y + 5z - O (b) x - 2 - 2-5
31. (:tl2fj, :tl/l!4. +3/li4)
33. 60x + ~y + ~z- 120; 38,656
35. e'+ 2(y/z)(3t' + 4) - 2t(y 2 /z') 37. -47. 108
43. ze'h(z/Y, xz/(2/Y), 2) 45. 'f 47. Jf45/2, (4,l)
49. ""'Í nós/mi SL h1ínimo f( -4, 1) = -11
53. Máximo f(l,!)- l; pontos de sela (0, 0), (0, 3), (3, O)
ih
3%1&

A38 O CÁlCULO Editora Thomson
55. Máximo f(l, 2) ~ 4, mínimo f(2, 4) ~ -64
57. Máximoj(-1,0) = 2, mínimosf(l, ::tl) = -3,
pontos de sela ( -!, :': l), (I, O) ·
59. Máximo f(±,/2/3, 1/J:l) ~ 2/(3/3),
mínimo f(:':/:273, -1/J:l) ~ -2/(3/3)
61. Máximo 1, mínimo -I
63 (+" '" 3 +"' ') 1'_+3 '' _,_,_,fi =:3'')
• _.) '. __ 1 ' - , - -v ' ,•
óS. P(2- /J), P(3 - v'l)/6, P(2/'3- 3)/3
Problemas Quentes 1-J
1. L2W2, lL2W~
9. /6/2, 3 .fi/2
3. (a) x ~ w/3, base ~ w/3 (b) Sim
Capítulo:.,:l~S------~
Exercícios 15.1 o
I. (a) 288 (b) 144 3. (a) rr'/2 = 4,935 (b) O
5. (a) -6 (b) -3,5 7. U < V< L
9. (a) =248 (b) 15,5 11. 60
13. 3 15. 0,6065, 0,5694, 0,5606, 0,5585, 0,5579, 0,5578
37. J~ J,', f(x, v) dx dy 39. e l',if(x )') dv dx
.-].0 ' -
4
9
Exercícios 15.2
I. 9 + 27y, 8x + 24x' 3. lO 5. 2 7. 261,632/45
9,,,'ln2 11.6 13.'! 15.9ln2
!7.'((/3- l)/2]- (rr/12) 19. he'- 3)
21.
41. ,1;:"' f.f(x, y) dx dy
43. (e 9 - l)/6 45. l sen 81
51. O~ JJ 0
Jx 3 + y3 dA ~ -/2
47. (2./i- 1)/3 49. 1
55. 8rr 57. 2rr/3
21. t,(z.fi- 1) 29. 36
Exercícios 15.4
1. fob Jd f(r cos 8, r sen e) r dr de
5. foln- J~ 5 J(r cos e, r sen e) r dr de
7. 337r/2
3. [ f' f(x, y) dy dx
• 2 eX
33. ~
35. O teorema de Fubini não se aplica. O integrando tem uma
descontinuidade infinita na origem.
Exercícios 15.3
1. 2~ 3. ~e 312 - ~1 S. e - 1
11. }e' - 2e !3. (I - cos l)/2
19. fg 2L ~ 23. k 2S. W
27. 1 29. O, 1,213, 0,713 3L

1 • , _ { e' + l 4(e' - l))
l. i(e - l), \ 2(e'- l)' 9(e'- l)
9. ';',(l,i) ll. (l.h/16)
13. (2a/5, 2a/5) se o vértice for (Ü, 0) e os lados estiverem ao
longo dos eixos positivos.
15. ~~(e~- l), he 2 - 1), Tt;(e 4 + 2e 2 - 3) 17. 1 2 8 0 1, 1 -~~2,
' -- (27T 1 16) '/
19. m ~ 'fl'-/8, (x,y) ~ ~"~- ~, -
9
, I,~ 37T- 64,
_, 7f 7f
I,~ (7T'- 3'fl'')/16, lo~ 7T'/16- 9'fl''/64
21. pa'/3, pa'/3; a/ .,í3, a/ .;3
23. (a) i (b) 0,375 (c) A= 0,!042
25. (b) (i) e-o• = 0,8187
(ii) 1 + e·-1.8 -- e-o.s- e- 1 = 0,3481 (c) 2, 5
27. (a) =0,500 (b) =0,632
29. (a) Jf,, (k/20)(20 v"(x-----x--o~J'-+'C"7(_y ___ J_'o"'F] dA, onde D é o
disco com raio lO mi centrado no centro da cidade.
(b) 200'fl'k/3 = 209k, 200(7T/2- !)k = 136k, sobre a aresta
Exercícios 15.6
1.15y% 3.3jl4 5. l2sen-· 1 j
1. (7r/6)(17/U- s)S) 9. (27r/3l(2)2- 1)
11. a'('fl'- 2) 13. 13,9783 15. (a) =1,83 (b) =1,8616
17. if)j4 + ~ ln[(11)5 + 3}7õ)/(3)5 + jjü)J
19. 3.3213 23. (7r/6)(101 .jjOl- 1)
Exercícios 15.7
3.1 5.\(e 3 -l) 7.4 9.í1
13. 8/(3e) 15. l6'fl'/3 17. ''
21. (a) J~ f~ J;"-•' dz dy d>: (b) l1r -\
23. 60,533 25. •
1
I•
James Stewart APÊNDICE H RESPOSTAS DOS EXERCIC!OS DE NÚMEF\OS !fv1PAfiES U A39
11. io
19. 36'fl'
31. J: f. 3 J~ 'f(x, y, z) dz dy dx
= J~ .U: 'f(x, y, z) dz dx dv
= J~ J~ Ji;J(x, y, z) dx dy dz
~ J~ _1~-, J~f(x,y, z) d

A40 CÁlCULO Editora Thomson
Exercícios 15.9
I. ~ 14 3. O 5. 2uvw
7. O paralelogramo com vértices (0. 0), (6, 3), (l2, l), (~. ~2)
9. A região limitada pelas retas )' = l, o eixo y e y = ,/x
11.-3 13. 61r 15. 21n3
17. (a) habc (b) L083 X IO'' km'
19. ~ In 8 21. ~ sen I 23. e - e
9. J; J~l f(r c os e. r sen e) r drd(}
H. A região interior ao laço da rosa de quatro pétalas r= sen 28
no primeiro quadrante.
13. ~sen I 17. ~In 2
19. 8 21. Slr./5 23. 40,5 25. 1r/96
27. t~ 29. 176 31. t 33. 2maj9
Capítulo 15 Revisão ;·
Testes Falso~ Verdadeiro
J. Verdadeiro 3. Verdaddro 5. Verdadeiro
7. Falso
35. (a) j (b) (\. , 8 ;)
(c) I, = ,\,I, = ,\; y = 1/ y'3, x = !/ /6
37. (a) (O, O, h/4) (b) ua'h/!0 39. In( fi+ /3) + fi/3
41. 97,2 43. 0,0512 45. (a) /, (b) 1 (c) ;,
47. J~ J; ,o f(x, y, z) dt dy dz 49. -In 2 51. O
Exercícios
Problemas Quentes .::-,
1. =64,0 3. 4e'- 4e + 3 5. iscn 1
7. 3
1. 30 3.~senl 7. (b) 0,90
Capítulo 16
Exercícios 16.1 19. A retay = 2x
1. 3.
-4.5
5. 7.
9.
I 2
2!. 'i!f(x,y) =--i+
X+ 2y X+ 2y
23. 'i!f(x, y, z)
X
-r~~~ i
-Jx2 + y2 + 2 2
+ y "+ z k
{x 2 + y 2 + z 2 J y'x 2 + y' + z 2
25. 'i!f(x.y) ~ (y- 2)i + xj
w
o
4 6 X
ll. ll 13. I 15. IV 17. lll

James Stewart APÊNDICE H RESPOSrAS DOS EXERCÍCIOS DE NÚMEROS ÍMPARES ll A41
27.
Exercícios 16.3 8
1. 40 3. f(x,y) ~ 3x 2 + 5xy + 2y 2 + K
S. Não~conservativo 7. f(x,y) = x 2 cosy ~ ysenx + K
9. f(x,y) ~ ye' + xseny + K 11. (b) 16
13. (a) f(x, y) ~ )x'y' (b) 4
29. IV
33. (a)
31. li
(b) )' ~ 1/ X, X > 0
15. (a) f(x, y, z) ~ xyz + z' (b) 77
17. (a) f(x, y, z) ~ xy' cos z (b) O
19. 2 21. 30 23. Não 25. Não
29. (a) Sim (b) Sim (c) Sim
31. (a) Sim (b) Sim (c) Não
Exercícios 16.4 n
I. 6 3. 2 J 7. e 9. j li. -241T
13. 21T 15. ~1T 17. ~12 '
19. 31T 21. (c) 23. (l,j)
i
j
J
y ~ C/x
Exercícios 16.2 c
I. (17.Ji7- 1)/12 3. 1638,4
9. 320 11. Jl4 (e' - 1)/12
17. (a) Positivo (b) Negativo
21. ~ - cos I - sen I
23. 31T + ~ 1,5
-2,5[1 N:
~; :::m
r 1
I i': ~JJ 2,5
l I t • - ~ -.. \. \.
. ' '
2,5
S.~}'!+ 9ln3
13. } 15. ~1
19. - Ms
25. (a) ~- I/e (b) '('·'------,
F7
/í+(+j.)
~ \ ...;2
~
/
o t·~/:::::::F::i'::'":::"===:J 1,6
--0.2
27. 29. 0,052 31. 27Tk, (4/7r, O)
33. (a) x ~ (l/m) );.xp(x, y, z) ds,
y ~ (l!m) fc yp(x, y, z) ds,
z ~ (l/m) j~ zp(x, y, z) ds, onde m ~ j~ p(x, y, z) ds
(b) 2.jj3 krr, (0, O, 31T)
35. I,~ k((1T/2) -1). I,~ k((1T/2) -l)
37. 27T 2 39. 26 41. !,67 X 10' pés-lb
43. (b) Sim 43. =22 J
Exercícios 16.5 cJ
I. (a) -x'i + 3xyj- xzk
(b) yz
3. (a) (x - y) i - y j + k (b) I - l/(2v'Í)
5. (a) O (b) I
7. (a) (l/y, 1/x, 1/x) (b) 1/x + 1/y + I/z
9. (a) Negativo (b) rot F= O
11. (a) Zero (b) rot F aponta na direção do eixo z, no
sentido negativo
13. f(x, y, z) ~ xyz + K
17. Não-conservativo
Exercícios 16.6 o
15. f(x, y, z) ~ x 2 y + y 2 z + K
19. Não
1. Parabolóide circular tendo por eixo o eixo z.
3. Cilindro circular tendo por eixo o eixo x
5.
constante v
7. 9.
ll. IV 13. l 15. ll
}]. X= 1 + U +V,)'= 2 + U- V, Z = -3 - U +V
]'J. X= X, Z = Z, y = y 1 x2 + z1

A42 o CÁLCUlO Editora Thomson
21. X = 2 scn c/J COS 8, _V = 2 SCfl 4; sen 8,
z=2cos$,0~ $~ r./4,0 ~ 8~ 21r
[ou x = x, y = y, z = {4 - x 2 ~ yz, 2 ~ x 2 + y 2 ~ 4]
23. x = x, y = 4 cos 8, z = 4 sen 8, O ~ x ~ 5, O ~ 8 ~ 21r
27. X = X,)' = e-x COS 0.
Z = e---x sen 8, O~ x ~ 3,
o ~ 8 :"S; 27T
35. (0. O, a/2)
37. (a)/,= í'Lfx' + y')p(x,y,z)dS (b) 4329J27T/5
39. 194,400,;: 41. 81Ta 3 e1/3 43. 124877
Exercícios 16.8 c
3. o 5. o 7. -1
9. 8077
11. (a) 8177/2 (b)
29. {-a) Direções reversas (b) Números de espirais duplas
31. 3x- y + 3z ~ 3 33. -x + 2z ~ 1 35. 4J61T
37. (21T/3J(2/:1- 1) 39. (1T/6J(l7/17 s,JS)
41. (ffi/2) + '}[1n(2 + ffi)- 1n )17] 43. 2a'(1T- 2)
45. 1T(2y'6- j) 47. 13,9783
49. (a) =1.83 (b) =1.8616
SI. TJíA + rtin[(ll,J5 + 3)70)/(3)5 + /70)]
53. (b)
(c) x = 3 cos t, y = 3 sen t,
z = I - 3(cos t + sen t),
O~r:s;27T
'=2---:::=::=~~ôo
o 2
y
12
17. 16
Exercícios 16.9 c
(c) t"' J~rr ,/36 sen 4 u cos 2 v + 9 sen 4 u sen 2 v + 4 cos 2 u sen 2 u du dv
ss. 4,4506
Exercícios 16.7 a
1. 8(1 +Fi+ J3) = 33,17 3. 9001T S. 171 Jl4
7. ,/3/249. 364J21T/3 11. (7T/60)(391/17 + 1)
13. 167T 15. 161T 17. 5,;5/48 + 1/240
19. Hó 21. -~ 23. -}1r
25. o 27. 48 29. 0,1642 31. 3,4895
33. ffsF · dS ~ J} 0
[P(ahjax)- Q + R(ahjaz)]dA,
onde D = projeção sobre o plano xz
1. Negativo em P 1 , positivo erri P 2 7. 2 9. 91T/2
7.~~ 9.H-4/e 11.0
13. 3277/3 15. o
17. 341 Í2/60 + l~ arcsen([3/3) 19. 131T/20
Capítulo 16 Revisão c
Testes Falso-Verdadeiro
1. Falso 3. Verdadeiro
Exercícios
5. Falso 7. Verdadeiro
1. (a) Negativo (b) Positivo 3. 4,;5 5. -r, 7. I_Z
9. fl- 4/e 11. f(x,y) ~e'+ xe" 13. O 17. -87T
25. 1(27- s,JS) 21. ,.(391/17 + 1)/60
29. -64,./3 33. 37. -4 39. 21
Capítulo 17
Exercícios 17.1 o
1. y = c 1e 4 x + 3. y = e--4x(cl cos 5x + c 2 sen 5x)
5. y = c1ex + c2xe-' 7. y = c1 cos(x/2) + c2 sen(x/2)
9. y = Ct + 11. y = CJe(I+/2J, + c2ell --./2lr
13. y = e-' 12 [c, cos({3tj2) +c, sen(ht/2)]
15.
40 g
-40

i
1
Íi
James Stewart
APÊNDICE H RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE NÚMEROS ÍMPARES
A43
Todas as soluções aproximam-se de O quando x -----+ -x· e
aproximam-se de ±oo quando x-----+ cc_
17. y = 2e~Jxjl +e-' 19. )' = ex/2 2xe'' 2
21. y=3cos4x-sen4x 23. )'=e-x(2cosx+3senx)
25. y ~ 3 cos(lx) - 4 sen(lx)
29. Sem solução
31. y = e-· 2-'(2 cos 3x- e" sen 3x)
e"+3
27. v=---+
< e 3 - 1 l -
33. (b) À = n 2 1r 2 / L 2 , n um inteiro positivo; y = C sen(mrx/ L)
Exercícios 17.2 o
1. y = Cte- 2 " + c2e x + ix 2 - ~x +}
3. y = C1 + c1e 2x + :fo cos 4x - dó sen 4x
5. y = e 2 "(c 1 cos x + c 2 sen x) + ~e-x
7. y = ~cosx + lfsenx +±e-'+ x 3 - 6x
9. y ~ dlx 2 - x + 2)
11. As soluções sãO todas assintóticas
a YP = e"/10 quando
x -----+ oo. Exceto para )'p,
todas as soluções aproximamse
ou de oo ou de -oo quando
-4
13. y, ~ Ae" + (Bx 2 + Cx + D) cos x + (Ex 2 + Fx + G) sen x
15. y, ~ Ax + (Bx + C) e"
17. y, ~ xe-'[(Ax 2 + Bx +C) cos 3x + (Dx 2 +Ex+ F)sen 3x]
19. y=c 1 cos2x +c 1 sen2x + lx
21. y = c 1 e" + c 1 xe' + e2.t
23. y = (c 1 + x) senx + (c 1 + lncosx)cosx
25. y ~[c, +In( I + e·•)]e• + [c 2 - e-• +In(! + e-')]e"
27. y ~[c, - lJ (e'/x) dx]e·• + [c,+ lJ (e-•jx) dx]e'
Exercícios 17.3 o
1. x ~ 0,36 sen(!OI/3)
7. ç"'JO
0,02 / c-!5
-0,11
11. Q(t) ~ ( -e-"'/250)(6 cos 20t + 3 sen 201) + ,J 5 ,
I(t) = ~e-- 10 ' sen 20t
13. Q(t) = e- 10 r[io cos 20t - sÕJ sen 20t]
- ~ cos lOt + rls sen lOt
. .
Exercícios 17.4 o
1. co 2: .:::___ = coe-'
n~o n!
s. Hkg
Capítulo 17 Revisão o
Testes Falso-Verdadeiro
1. Verdadeíro 3. Verdadeiro
Exercícios
1. y = c 1e 5 -" + c 1 e 3 -" 3. y = c 1 cos(,i3x) + c2 sen(,/:3-x)
S. y = e2x(c 1 cosx + c 2 senx + 1)
7. y = c1ex + c2xe-" ~ i cos x - ~(x + 1) sen x
9. y = c1e 3 -" + c2e-2x- ~ ~ ~xe-h
11. y = 5- 2e- 61 "- 11 13. y = (e 4 ~- e'')/3
15. ~ (-2)'nl x2'"'
"~o (2n + I)!
17. Q(t) ~ -0,02e-"'(cos !01 + sen 101) + 0,03
19. (c) 2r./k = 8S min (d) =17.600 mi/h
Apêndices
Exercícios G o
1.8~4i ·3.13+18i S.12~7i 7.:-j+:~i
9. j- ji 11. -i 13. Si 15. 12 +Si; 13
17. 4i, 4 19. =~i 21. -1 = 2i
23. -l :': (J7/2)i 25. 3[2[cos(31T/4) + isen(31r/4)]
27. 5(cos[tg'(j)] +i sen[tg-•mlJ
29. 4[cos(,./2) +i sen(r./2)], cos( -,./6) +i sen( -,./6).
Hcos(-r./6) + isen(-7r/6)]
31. 4[2 [cos(71T/12) +i sen(h/12)],
(ÚZ)[ cos(lh/12) + i sen(l311'/12)], Hcos( 1r/6) + i sen( 77/6)]
33. -1024 35. -512)3 + 512i
37. :':I, :':i, (1/fl)(:':l, :':i) 39. :>:(fl/2) +li, -i
41. i 43. l + (fl/2)i
Im;
---co;t--~Re
,j

lndice Analítico
A
Aberta, região, 1061
Absolutamente, série, convergente, 738
Absoluto, máximo e mínimo, 951
valores, 952
Aceleração, 870
Adição de vetores, 798
Afélio, 692
Algébrica, função,
Alternadas
séries, 733, 738
séries harmônicas, 735
Teorema da Estimativa das Séries. 736
Testes das Séries, 734
Amortecedor de choque, li 56
Amortecidas, vibrações, 1152
Amortecimento, constante de, 1153
Angular, momento, 878
Ângulos diretores, 809
Ângulos entre vetores, 807, 808
Apolúnio, 686
Aproximação
pela Desigualdade de Taylor, 762
Aproximação Linear, 927
Aproximação para um plano tangente, 921,
922
Arco
comprimento de, 658, 678, 861
Área
da superfície, 661
de um setor de um círculo, 675
de uma superfície de revolução, 658
em coordenadas polares, 1084
pelo Teorema de Grenn, 1 084
sobre uma curva paramétrica, 658
Argumento de um número complexo, A 7
Aritmética-geométrica, média, 710
Árvore, grafo da, 932
Assíntota de uma hipérbole, 684
Astróide, 655
Autônoma, equação diferencial, 592
Auxiliar, equação, 1139
Axioma da complctitividade, 707
B
Bactérias, crescimento das, 624
Bactérias, crescimento das, 607
Base padrão, 803
Beisebol
posição para revezamento, 580
velocidade de arremesso, 612
Beisebol c Cálculo, 618
Bernoulli
equação diferencial de, 633
James, 633
John,597,650
Besscl
Friedrich, 748
função de, 7 48
Bézier, curvas de, 650-664
Bézier, Pierre, 664
Bifólío, 674
Binomial
série, 770, 771
Binomial
Teorema, 770
descoberta por Newton, 773
Binomml
vetor, 866
Brahe, Tycho, 875
Braquistócrona, problema da, 650
Bruxa de Maria Agncsi, 654
c
C 1 ' transformação, 1038
Cadeia, regra da, para várias variáveis, 929
Calculadora gráfica, 649, 672
Calor
índice de, 907, 924
condutividade do, 1102
equação de condução do calor, 919
fluxo de, 1102
Caminho, 1080
Campo
conservativo, 1078
elétrico, 1057
força, 1057
gradiente, 1058
gravitacional, I 057
velocidade, 1 057
vetor, 1054
Campos
escalares, 1054
Canônica, base, dos vetores, 793
Cantor
conjunto, 720
Georg, 720
Capacidade de suporte, 619
Característica, equação, 1139
Carbono-14, datação de, 617
Cardióide. 668
Carga, 996, 1014
densidade de, IOI4
densidade de, 996
para um circuito, 1124
Cassini, Giovanni, 675
Cauchy. Augustin-Louís, 989
Cauchy-Schwarz, Desigualdade de, 813
CCntro de massa, 1026, 1063, l094
Centróide de um sólido, I 026
Choque absorvido, 1 124, 1152
Ciclóide, 654
Cilíndricas, coordenadas, 838, l 030
Cilindro, 831
parabólico, 831-832
Circulação de um campo vetorial, ll 08
Círculo de curvatura, 866
Cissóide, 654, 674
Clairaut
Alexis, 914
Teorema de, 914
Cobb, Charles, 887, 916
Cobb-Douglas, função produção de, 887,
916,969
Cocleóide, 693
Coeficiente de atrito estático, 846
Coeficiente de atrito, 846
Coeficiente de uma série de potência, 747
Cometas, órbitas dos, 692
Comparação,
Teste da, 728
para séries, 729
Complementar, equação, 1144
Completitividade, Axioma da, 707
Complexo conjugado, A6
Componente
função, 1042
de um vetor, 800, 810
Componentes
funções, 848
Composição de funções, 904
Composição de funções, continuidade da,
903
Compostos, juros, 614
Comprimento
de um vetor, 801
J
J
A45

A46 ÍNDICE ANALÍTICO Editora Thomson
de uma curva no espaço. 861
de uma curva paramétrica. 660
de uma curva polar, 678
Computacionais,
sistemas algébricos, 650, I 089
para fazer gráfico de seqüência, 968
Computador,
fazendo gráfico com, 672, 851
Conchóidcs, 651, 674
Condicionalmente, série, convergente, 739
Condutividade, ll 02
Cone, 835
Conexa, região, 1061
Confronto, Teorema do. para uma
seqüência, 703
Cônica,
seção
equação polar, 689
seções
deslocadas, 685
Cônicas,
seções, 680, 687
excentricidade, 688
diretriz, 688
foco, 688
Cônicas transladadas, 689
Conjugados, propriedades dos, A6
Conjunto fechado, 957
Conjunto limitado, 959
Conservação de energia, I 078
Conservativo, campo vetorial, 1058
Constantes da mola, 1155
Contínua( s)
composição de juros, 618
Contínuas
expansão em frações, 71 O
Continuidade
de uma função, 849
de uma função de duas variáveis, 904
de uma função de três variáveis, 905
Continuidade de função vetorial, 850
Contorno
curva de, 1105
problema de, ll43
Convergência
absoluta, 738
condicional, 739
de uma seqüência, 701
de uma série, 712
intervalo de, 749
raio de, 749
Convergente
seqüência, 701
série, 712
propriedades da, 717
Coordenada(s), 794
cilíndrica, 838, 1030
esférica, 839, !030
X, 794
y, 794
Z, 794
polar, 665
Coordenadas cilíndricas.
equações de conversão para, 831
Coordenado( s)
eixo(s), 793
planos, 793
Coplanares, vetores, 818
Coriolis, aceleração de, 881
Cornu, espiral de, 663
Corpo negro, 782
Corrída de patins, 1024
Corrida na rampa, 1036
Cosseno, função, 692
Crescente, seqüência, 706
Crescímento, Lei do, Natural, 608
Crítico, ponto, 951, 962
Crítico, vibração, amortecimento, 1153
Cunha esférica, 1032
Curva(s)
abena, 1061
comprimento da, 861
conexa, 1061
de Bézier, 650, 664
de catástrofe em forma de rabo de
andorinha, 654
de contorno, 1121
de nível, 890
do aprendizado, 588
do aprendizagem, 633
de fronteira, 1121
fechada, 1081
Curvatura, 863
no ponto P, 663
Cúspide, 651, 857
D
De Moivre, Abraham, A9
Decaimento
Lei do,
Natural, 608
radioativo, 611
Decrescente,
seqüência, 706
Definida, integral, de uma função a valores
vetoriais, 847
Densidade
de um sólido, 1026
de uma lâmina, l 008
Dependente, variável, 885, 932
Derivada(s)
de ordem maior, 913
de uma função a valores vetoriais, 837
direcional, 938, 943
de uma série de potência, 746
domínio da,
maximizando a, 944
normal, 1095
notação, 909
parcial, 907, 909
segunda, 857
Desigualdade de Cauchy-Schwarz, 813
Deslocamento, de um vetor, 811
Determinante, 804
Diferenciação
de uma função vetorial, 858
de uma série de potência, 753
implícita, 934
parcial, 907, 915
termo a telmo, 753
Diferencial
equação, 581, 585
de Bemoulli, 633
de primeira ordem, 597
de segunda ordem, 585, ll38
linear, 628
logística, 711
não-homogênea, 1138
ordem da, 585
parcial, 915
separável, 597
homogênea, 1138
solução da, 585
solução geral da, 585
autônoma, 592
Diferencial, 925
Diferenciável, função, 923
Direção
campo de, 619
números que dão a, 823
Direcional, derivada, 939, 943, 944
de uma função temperatura, 940
maximizando a, 944
Direções
campo de, 590
Direita, regra da mão, 793, 815
Diretores, cossenos, 809
Direlriz, 680, 688
Distância
entre planos, 828
entre ponto e plano, 821, 827
entre ponto e reta, 820
entre pontos no espaço, 795
fónnula da, em três dimensões, 795
Divergência
de um campo vetorial, 1090, 1124
de uma seqüência, 701
de uma série infinita, 712
Teorema da, 1124
Teste para, 716
Divergente
seqüência, 701
série, 712
Divisão de sétie de potência, 767
DNA, 850
Donúnio de uma função, 905
Doug1as, Paul, 887, 916
Dupla
integral, 993, 994
propriedades de, 986, 998
regra do ponto médio para, 983
sobre regiões genéricas, 993

James Stewart ÍNDICE ANAlÍTICO A47
E
sobre retângulos, 981
mudança de variável na, 1042
em coordenadas polares, l 001
soma de Riemann, 981
Eixo(s)
coordenados, 793
X, 793
y. 793
z. 793
Elétrica, carga, l 026
Elétrico
campo de força, 1057
carga sobre um circuito, 1137
ftuxo, 1!02
circuito,63I, 1155
Eliminação constante do remédio, 642
Elipse, 682, 688
diretriz, 689
eixo principal, 682
equação polar, 689
excentricidade, 688
focos, 682, 688
propriedade da reflexão, 683
vértice, 682
Elipsóide, 833
Elíptico, parabolóide, 833
Energia
cinética, 618, 1079
conservação da, 1078
potencial, 1079
Epiciclóide, 655
Equação(s)
coelho-lince, 580, 638
de Laplace, 915, !092
de um plano, 825
de uma esfera, 796
de uma reta no espaço, 822, 823
diferencial (ver Diferencial, equação)
logística, 619
do calor, 9!9, 920
linear, 825
logística, 584
diferencial, 711
Lotka-Volterra, 635
onda,915
paramétrica, 647, 822, 849, 1096
polar, 667
predador-presa, 635
da Onda, 915
escalar de um plano, 835
Equilíbrio
ponto de, 636
soluções de, 584, 635
Equipotenciais, curvas, 898
Erro(s)
estimados para séries alternadas, 736
na aproximação de Taylor, 775
Escalar, 799
múltiplo, de um vetor, 799
produto, 806
em fonna de componente, 806
propriedades do, 807
equação, 825
pr~jeção, 810
Escalares, 1054
campos, 1 054
Escoadouro, 1115
Esfera, equação da, 796
Esférica, coordenada, 839, 1032
Espaço
tridimensional, 793
curva no, 849, 851
Esperados, valores, lO 14
Estacionário, estado da solução, 1157
Estimando a soma de uma série, 731, 736,
74L 724
Estratégia para testar séries, 745
Estrofóides, 694
Euler
constante de, 728
método de, 592, 621
Excentricidade, 688
Exponencial (ais)
crescimento, 607
decaimento, 607
função série de potência para, 760
complexas, Ali
Extremo, Teorema do Valor, 957
F
Família
de hipociclóides, 655
de soluções, 584
de superfícies, 843
Fase
Plano de, 636
trajetórias de, 636
retrato de, 636
Fechada, superfície, 1099
Fibonacci, 71 O
seqüência de, 700
Final
ponto, de uma curva, 648
Floco de neve, 789
curva, 779
Fluido, fluxo do, !044
Fluxo, 1!02
linha de, 1060
elétrico, 11!8
Foco
de uma elipse, 688
de uma parábola, 680
de uma seção cônica, 688
Focos
de uma elipse, 682
de uma hipérbole, 684
Foguetes, ciência dos, 970
Pólio de Descartes, 696
Fonte, 1128
Força, campo de, 1057
Forçadas, vibrações, 1154
Forma de andorínha, curva catastrófica
em, 654
Formas vetoriais do Teorema de Green,
1095, 1096
Fónnula de Euler, A 1 1
Frenet-Serret, fórmulas de, 869
fronteira, 1131
lisa,857
lisa por partes, 857
lisa por trechos, 1062
malha, 1084
no espaço, 837, 838
orientação da, 1082
paramétrica. 641, 838
polar, 667
simples, 1082
Fubini
Guido, 989
Teorema de, 989, l 021
Função(ões),
componente, 848
composta, 905
comprimento de arco, 862
contínua, 849, 903
de duas variáveis, 885
de Gompertz, 627
de n variáveis, 894
de três variáveis, 894, 942
de várias variáveis, 885, 894, 927
densidade conjunta, l012, 1026
densidade de probabilidade, 1 O 12
diferenciável, 923
donúnio de, 885
gradiente de, 942
gráfico de, 888, 889
harmônica, 915
homogênea, 937
implícita, 934
limite de, 900, 903
linear, 888
polinomial, 904
potência, 752, l 058
produção Cobb, 9!6, 969
Cobb-Douglas, 887
racional, 904
representações como uma série de
potências de, 752
valor máximo ou mínimo da, 951, 956
valor médio de, 984, 1029
valor vetorial, 848
variação da, 885
vetor, 848
Bessel, 698, 748, 1!63
imagem de, 887
Fundamental, Teorema, do Cálculo, versões
para dimensões superiores, 1131

A48 LJ ÍNDICE ANAlÍTICO Editora Thomson
G
Galileu, 649, 650
Gases, lei dos, 908
Gause, G. F, 624
Gauss
Karl Friedrich, 1124
lei de, 904
Teorema de, 1124
Gauss, óptica de, 780
Geometria do tetraedro, 821
Geométrica, série, 712
Geratriz de uma superfície, 831
Gompertz, função, 627
Gourdon, Xavier, 762
Grad-, 941
Gradiente
campo do vetor, 1058
vetor, 941,943
importância do veto[, 947
Gráfica, calculadora, 658, 672
Gráfico(s)
de uma curva paramétrica, 648
de uma superfície, 1093
polar, 667, 6 72
de uma função, 888, 889
por computadores, 672, 851
Gravitacional, campo, 1057
Green
George, !082, lll O
identidades de, 1095
Teorema de, 1081
formas vetoriais, 1093, 1094
Gregory
James, 755
série de, 755
H
Harmônica
função, 915
série, 715
Hecht, Eugene, 779
Hélice, 849
Helicóide, ll08
Hipérbole, 683, 688
assíntota, 684
diretriz da, 688
equação da, 684
equação polar da, 689
excentricidade da, 688
focos da, 684, 688
ramos da, 684
reflexão, propriedades da, 687
vértices da, 684
Hiperbólico, parabolóide, 834
Hiperbolóidc, 835
Hiperesfem, 1030
Hipociclóide, 655
Homogênea, Equação diferencial, 1138,
1154
Hooke, lei de, i 151
Horizontal. plano, 794
Huygens, 650
I
i (número imaginário), AS
i, 802, 822
Imagem, 1038
Implícita
diferenciação, 934
função, 934
Teorema da Função, 934
Importância do, 947
Impulso de uma força, 619
InclinaçõeS, campo de, 590
Incompressível, campo de velocidade, 1092
Incremento, 923, 927
Independência de caminho, l 080
Independente, variável, 885, 932
Indeterminados, coeficientes, 1132, 1136
Índice de sensação térmica, 888, 919, 948
Inércia, momento de, 1010, 1026, 1058
Infinita (seqüência) (ver Seqüência)
Infinita, série (ver Série)
Inicial
condição, 587
ponto, de uma curva paramétrica, 648
Problema de Valor, 587, 1142
Integração,
de uma série de potência, 753
revertendo a ordem da, 998
termo a termo, 753
parcíal, 988
Integral(is)
dupla, 981, 993, 994
iterada, 988
superfície, 1093, !099
tabela de, contracapa
Teste(s) da, 721
tripla, 1020, !021, 1022
linha, 1053, 1060, !061, 1064
múltipla, 1038
de uma função vetorial, 847, 859
definida de funções a valores vetoriais,
860
definida, 84 7, 979
Integrante, fator, 628
Intermediária, variável, 932
Intersecção
de gráficos polares, 677
de três cilindros, 966, 1037
Intervalo de convergência, 749
Inversa
transformação, l 039
da função trigonométrica, envolvente, 654
Involuta, 664
Irrotacional, campo de vetores, 1091
Isotermas, 898
Isotérmicas, 891
Iterada, integral, 988
J
j, 802
Jacobi, Cad, 1041
Jacobiano, 1041, 1044
Juros, compostos continuamente, 614
K
k, 802
Kepler
Johannes, 875
leide,688,875, 879
Kírchhoff, leis de, 620, 633, 1155
L
Lagrangc
Joseph, 964
multiplicadores de, 963, 964, 967
Lâmina, I 008
Laplace
equações de, 915, 1092
operador de, I 092
Pierre, 915
Lei
da Conservação de Energia, 1079
do crescimento natural, 608
do decaimento natural, 608
de conservação do momento angular, R78
Leibniz, Gottfried Wilhelm, 597, 690, 773
Limaçons, 672
Limitada, seqüência, 706
Limitado, conjunto, 957
Limite(s)
de duas variáveis, 903
de três variáveis, 904
de uma função a valor vetorial, 848
de uma função, 900
de uma seqüência, 701
leis de, para seqüência, 702
superior mínimo, 707
Teste da Comparação do, 730
Linear
aproximação, 922, 923, 927
equação, 825
diferencial, 628, 1138
função, 888
combinação, 1138
Linearidade, 986
Linearização, 923
Lineannente, solução, independente, 1139
Linha (as)
aerodinâmica, 104 7
de con·enteza, I 060
integral de, 1060, 1061, 1064
de campos vetoriais, 1054
Teorema Fundamental para, 1059
com relação ao comprimento do arco,
!064
no espaço, 1052

James Stewart ÍNDICE ANAlÍTICO :~j A49
i
Lisa
curva, 857
superfície, 1100
Lissajous, figuras de, 654
Litotripsia, 683
Local, máximo e mínimo, 951
Logística
equação de diferença, 711
equação de diferencial, 584, 619
seqüências, 711
Logístico, modelo, 619
LOR.t...N, sistema de, 686
Lotka-Vo!tcrra, equações de, 635
M
Maclaurin
Co1in. 759
série de, 759
Magnitude de um vetor, 799
Malhas, curvas de, I 084
Marginal, propensão, a consumir ou a
economizar, 719
Massa, !008, !026, !063, !094
centro de, !008, !026, !063, 1094
Matemática, indução, 708
Máximo e mínimo absoluto, 957
Máximo e mínimo, valores, 951, 956
Médio
Teorema do Valor, para integrais duplas,
1049
valor, de uma função, 984, 1029
Meia-vida, 61 2
Método
dos Mínimos Quadrados, 961
dos Multiplicadores de Lagrange, 96 7
Misturas, problemas de, 605
MObius, tira de, 1105
Modelando
com equações diferenciais, 581
crescimento da população, 581, 608, 619,
625,642
custo de produção, 887, 916, 969
movimento de uma mola, 584
vibração da membrana, 698, 748
Modelo(s), matemático(s),
comparação do crescimento natural
versus logístico, 618
crescimento sazonal, 627
predador-presa, 635
von Bertalanf:fy, 642
Gompertz, função de, 627
Módulo, A6
Mola, constante da, 584, 1151
Momento
de inércia, 1010, !026, !058
de um objeto, 619
de um sólido, 1026
de uma lâmina, 1008
em torno de um eixo, 1008
em torno de um plano, 1026
polar, 10!1
segundo, I O lO
Monótona
Monotônica
seqüência, 706
Teorema da Seqüência, 707
Movimento
no espaço. 869, 875
das luas e planetas, 847
de satélites, 847
Mudança de variáveis
em integrais duplas, 1003, I 042
em integrais múltiplas, 1038
em integrais triplas, I 044
Múltipla, integral, I 038
Multiplicação de séries de potências, 767
Multiplicador
de Lagrange, 964, 967
efeito, 719
N
Não-homogênea, equação diferencial, 1138,
1144
Natural, Lei do Crescimento, 608
Newton
Lei da Gravitação de, 875, 1044
Lei de Resfriamento de, 588, 613
sir Isaac, 690, 773, 875
Segunda Lei de, 872, 875, 1151
Nicomedes, 651
Nível(is)
de uma pressão barométrica, 872, 948
de curva( s ), 890
de temperatura média do mundo, 891
de uma intensidade magnética, 872
superfície de, 895
plano tangente à, 945
Nó trevo, 851
Normal
componente, da aceleração. 873
derivada, 1095
plano, 866
reta, 946
vetor, 825, 866
Número(s) complexo(s), AS
argumento de, A 7
forma polar de, A 7
igualdade de, A5
módulo de, A6
multiplicação de, AS, AS
parte imaginária de, A5
parte real de, A5
potências de, A9
raiz quadrada principal de, A6
raízes de, A 1 O
divisão de, A6, AS
o
Octanle, 793
Onda, equação da, 915
Óptica
de Gauss, 780
de primeira ordem, 780
Órbita, 875
Ordem
de uma equação diferencial, 585
revertendo da integração, 998
Ordem maior, derivadas. 913
Ordenada tripla, 794
Oresme, Nicole, 716
Orientação
de uma curva, I 081
de uma superfície, 1098, 1099
Orientada, superfície, 1098
Ortogonal(is)
vetores, 809
trajetória, 600
superfície, 950
projeção, 812
Osculador
círculo, 866
plano, 866
Ostrogradsky, Mikhail, 1124
Ótipca de terceira ordem, 780
Ovais de Cassini, 675
p
Padrão de ventos na baía de São Francisco,
1053
para Integral de linha, 1059
Parábola, 680, 688
diretriz da, 680
eixo da, 680
equação da, 681
equação polar da, 689
foco da, 680, 688
vértice da, 680
Parabólico, cilindro, 831-832
Parabolóide, 833
Paralelepípedo, 818
Paralelogramo, Lei do, 799, 813
Paralelos, planos, 826
Paralelos, vetores, 799
Paramétrica(s)
curva, 647, 849
equações, 641
da reta, 822
de uma curva espacial, 849
de uma reta no espaço, 862
de uma superfície, 1096
superfície, !094, l 096, 1099
Parametrização de uma curva no espaço, 862
Parâmetro, 647, 822, 849
Parcial(is)
derivada, 907, 910
de uma função com três ou mais
variáveis, 894
notações para, 9ú9
regras para determinar, 91 O
segunda,913
_;,. :.._..___..____._..._..;:......_LL.-.......__...;_....,.y.._. ...;,;::...l·.:·•~!!l'·'---"'-~--""~~-"'--"--- · + .;,f!:•_;c;,_lll~LL .••....• 41& .. ·'*·· u$& ,;i&

A 50 ÍNDICE ANAlÍTICO Editora Thomson
equação diferencial, 915
integração, 989
soma(s), de uma série, 712
Periélio,692
Perilúnio, 686
Perpendiculares, vetores, 809
Planck, Lei de, 783
Planetário, movimento, 875
Plano(s), 825
coordenados, 793
equação do, 822, 825
horizontal, 794
normal, 866
paralelo, 826
langente a supertície, 921. 945, 946, 1099
recortados, 832
Polar(es)
coordenadas, 665
eixo, 665
equação(ões),
gráfico de, 667
de cônicas, 665, 689
Polar, forma, de um número complexo, A 7
retângulo, 1002
Polinomial, função, de duas variáveis, 904
Polinômio de Taylor de grau n. 760
Pólo, 665
Ponto
amostra, 980
Ponto médio, regras do,
para integral dupla, 983
para integral tripla, 1028
População, crescimento da, 609
da bactéria, 624
de peixe, 580, 626
de modelos, 581
do mundo, 61 O
de bactérias, 607
Por partes, curva lisa, 857
Por trechos, curva lisa, 1062
Posição vetor, 800
Positiva
função, 981
orientação
de uma curva, 1105, 1081
de uma superfície, 1099
Potência
Potência série de, 7 4 7
coeficientes de, 747
divisão de, 767
integração de, 753
intervalo de convergência, 749
multiplicação de, 767
raio de convergência, 749
diferenciação de, 753
representações de funções como, 752
Potencial
energia, 1079
função, 1058
Predador, 634
Predador-presa, modelo, 635
Presa, 634
Primeira
Equação diferencial de, ordem, 628
ordem, óptica de, 780
Primeiro octante, 793
Principal eixo da elipse, 682
Principal vetor nonnal unitário, 866
Princípio da superposição, 1147
Princípio de Arquimedes, 1133
Probabilidade, 1012
função densidade, lO 12
Produto
escalar, 806, 807
Produto misto, 818
triplo, 818
escalar, 817
vetorial, 818
Produto vetorial, propriedades do, 817
Projeção, 794, 810
Projétil, 654, 872
Projeto de um grande receptáculo para lixo,
minimizando o custo de construção, 949
p-série. 723
Q
Quadrática, aproximação, 962
Quádrica, superfície, 832
gráfico da, 834
R
Racional, função, 905
Radiação das estrelas, 782
Radiação de corpo negro, 782
Radioativo, decaimento, 611
Raio
de convergência., 749
de rotação, I O 12
Raiz quadrada principal de um número
complexo, A6
Raiz, Teste da, 742
Raízes de um número complexo, AlO
Ramos da hipérbole, 684
Rayleigh~Jeans Lmv, 783
Razão, Teste da, 740
Rearranjo de uma série, 743
Reflexão, propriedades da
de uma elipse, 683
de uma hipérbole, 687
Região
aberta, 1061
conexa, 1061
do tipo I, 994
do tipo ll, 995
fechada, 957
simple.'!, 1082
sólida simples, ] 124
simplesmente conexa, 1062
Regra da mão direita, 793, 815
Regrada, superfície, 837
Relação de recursão, 1160
Relativo, taxa de crescimento, 609
Representações de um vetor, 800
Ressonância, 1155
Resto de uma série de Taylor, 761
Resto, estimativa do
para o Teste da Integral, 725
para o Teste da Razão, 741
para o Teste de comparação, 732
para uma série alternada, 736
Reslrição, 965, 969
Resultante, força, 803, 804
Reta(s)
Reta(s) no espaço
normal, 946
tangente, 855
transversas, 834
equações paramétricas de, 822
equações simétricas de, 823
no plano
equação vetorial de, 822
Retangular, sistema de coordenada, 794
Reversa(s)
ordem, da integração, 998
retas, 848
Riemann, soma(s) de, para integral múltipla,
969
Riemann, soma(s) de, para integral tripla,
1021
Roberval, Gilles de, 658
Rosa de quatro pétalas, 669
Rotacional de um campo vetorial, 1088
s
Sazonal, modelo de crescimento, 627
Secções trJnsversais, 831
Segunda
derivada, 857
parcial, 913
ordem, equação diferencial de, 585
Segundo, momento de inércia, 1 O 1 O
Sela do cachorro, 898
Sela do macaco, 898
Sela, ponto de, 952
Semi-espaço, 894
Seno, função, série de potência da, 763
Seno, série de potências para a função,
763
Separável, equação diferencial, 597
Seqüências, 699
Seqüência
convergente, 701
crescente, 706
de Fibonacci, 700
de somas parciais, 712
decrescente, 706
divergente, 701
gráfico da, 704
limitada, 706
limite de, 701

James Stewart iNDICE ANAlÍTICO :::J A51
monotônica, 706
termos da, 699
Série, 711
absolutamente convergente, 738
alternada, 733
binomial, 770, 771
coeficiente da, 747
condicionalmente convergente, 739
convergente, 712
de Gregory, 755
de potência, 7 4 7
divergente, 712
estratégia para teste, 745
geométrica, 712
harmônica, 715
infinita, 711
Maclaurin, 7 59
p-série, 723
rearranjo da, 743
soma da, 712
soma parcial da, 712
Taylor, 759
tenno da. 704
série de potência da, 760
harmônica alternada, 735, 738
trigonométrica, 747
Setor de um círculo, 675
Sierpinski, carpete de, 720
Simetria em gráfico polar, 669
Simétricas, equações, de uma reta, 823
Simples
curva, 1063
movimento harmônico, 1152
região, l 082
sólida, 1124
Simplesmente conexa, região, l 062
Simpson, Thomas, 977
Sólida, região, 1127
Sólido
volume do, 1036, 1037
ângulo, 1138
Solução
curva, 589
soluções da, 1130
da equação predador-presa, 635
de uma equação diferencial em série, 1159
Soma
de uma série geométrica, 713
de uma série infinita, 712
de vetores, 798
Telescópica, 71 5
Sorvedouro, 1131
Stokes
Stokes, sir George, 1118
Stokes, Teorema de, 1119
Suave
Subamortecido, vibração, 1153
Superamortecido, vibração, 1153
Superfície
área da
de uma superfície paramétrica, 658
T
de uma superfície z = f(x, v), 1017
de uma esfera, 1089 " . .
de nível, 895
de revolução, representação paramétrica
da, 1099
fechada, 1099
gráfico da, 1093
integral de, 1093
de campo de vetores, 1099
lisa, I 100
orientada, 932
paramétrica, 1094, 1096, I 100
quádrica, 832
de nível, 895
T' 1 Transfom1ação inversa, l 039
Tangencial, componente, da aceleração, 873
Tangente plano
a uma superfície de nível, 946
a uma superfície ftx, y, z) = k, 1087
a uma superfície paramétrica, li 00
a uma superfície z = ftx, y), 921, 923
aproximação, 923
Tangente reta
a uma curva paramétrica, 656
a uma curva no espaço, 844
a uma curva polar, 670
vetor, 855
Tautócrona, problema, 650
Taylor
Brook, 759
desigualdade de, 761
polinômio de, 760, 962
série de, 759
Telescópica, soma, 715
Temperatura-umidade, índice da, 896, 907
Teorema de De Moivre, A9
Teorema do Confronto para seqüências, 705
Terminal
ponto, de um vetor, 798
velocidade, 604
Termo
a termo, diferenciação e integração, 753
de uma seqüência, 699
de uma série, 704
Teste da segunda derivada, 954
Testes para Convergência e Divergência de
Série
da Comparação do Limite, 730
da Integral, 722
da Razão, 741
da Série Alternada. 735
da Raiz, 742
para Divergência, 716
resumos dos testes, 745
Tetraedro, 821
Thomson, WiHiam (lorde Kelvin). 1082,
lll8
Tímpano, vibração do, 692, 748
Tipo
L, região sólida do, 1Q22
2~ região sólida do, I 023
3, região sólida do, 1023
I, região do plano do, 994
II~ região do plano do, 995
Torção, 857
Torcida, cúbica, 851
Toro, 1093
Toróide, espiral, 851
Torque, 819
Torricelli, Evangelísta, 650
Total, diferencial, 925
Trabalho, 811, 1055
Traços, 831
Trajetória, 872
Transferência, curva, 881
Transformação, 1038
jacobíano da, 1041
um a um, 1039
Triangular
desigualdade, para vetores, 813
Triângulo, Lei do, 799
Tridimensional, sistema coordenado, 794
Trigonométrica, Série, 747
Tripla
soma, de Riemann. 1021
Tripla integral, 1020, 1021
sobre uma região geral limitada, l 022
em coordenadas esféricas, 1030
ponto médio, regra do, para, 1028
aplicações da, 1025
em coordenadas cilíndricas, 1030
Triplo, produto, 818
Trocóide, 653
Turbina hidráulica, otimização da, 971
u
Ultravioleta, catástrofe do, 783
Um a um, transformação, 1039
Unitário, vetor, 803
normal, 866
v
Valor Absoluto, A6
Variação
de parâmetros, 1149
Variável(is)
aleatória independente, ] O 14
dependente, 885, 932
independente, 885, 932
intermediária, 932
Velocidade, 869
campo, 1056
padrão de vento, 1053
correntes oceânicas, 1054
fluxo do ar, 1054
vento, 1053
vetorial, 857
padrão dos ventos, 782, 1054

A52 n ÍNDICE ANALÍTICO
Editora Thomson
Verhulst, 584
V értice(s)
de urna elipse, 682
de urna hipérbole, 684
de urna parábola, 680
Vetor força, 1056, 1059
i,jek,802
gradiente, 930, 941, 947
magnitude do, 801
multiplicação de, 799
múltiplo escalar do, 799
negativo, 799
nonnal, 848
normal unitário. 866
normal unitário principal, 866
ortogonal, 809
paralelo, 799
perpendicular, 809
posição, 801
produto escalar, 806, 807
produto triplo, 819
produto vetorial de, 813, 819
projeção, 810
propriedades do, 802
representações de, 800
soma de, 798
subtração de, 799
tangente, 855
tangente unitário, 855
tridimensional, 800
unitário, 803
unitário (versar), 803
unítário normal (versor normal), 867
unitário nom1al principal, 867
unitário tangente (versar tangente), 866
velocidade. 869
zero, 798
Vetor(es), 798
aceleração, 870
adição de, 798
ângulos entre, 807, 808
base, 803
base padrão, 803
bidimensional, 800
binonnal, 866
componentes do, 800
comprimento do, 80 I
coplanares, 818
deslocamento, 811
diferença de, 799
equivalentes, 798
força, 1044
Vetorial(is)
projeção, 81 O
equação
de um plano, 825
de uma reta, 822
produto(s), 813
triplo, 818
campo, 1054, 1057
conservativo, 1058, 1079
divergente do, I 088
ftuxo do, 1136
gradiente, l 05 8
incompressível, 1092
in·otaci onal, I 091
rotacional do, I 088
velocidade, 1056
função a valores, 848
contínua, 849
derivada da, 855
integral da, 847
limite da, 848
Vibração(ões), I 152, 1 !54
da mola, l J 52
de uma membrana de botTacha,
modelo da, 692
da membrana do tambor, 700, 748
Vínculos, 951, 955
Volterra, Vito, 635
Volume,
de hiperesferas, I 030
de um sólido. 981
por integral dupla, 981
por integral tripla, l 025
de hiperesferas, I 030
Von Bertalanffy, modelo de, 642
w
Wren, sir Christopher, 660
z
Zero, vetor, 798

Tabelas
»~------:.....;

d
1. -(c)=O
(Ú
d
3. - [f(x) + g(x)] F(x) + g'(x)
(b:
d
5. - 1
[f(x)g(x)] = f(x)g'(xj + g(x)f'(x) (Regra do Produto)
"
d
1. dx f(g(x)) = f'(g(x))g'(x) (Regra da Cadeia)
d ..
2. - [

41.~-·~=
• a+ bu
1 (a+bu--d!nja+bui)+C
56 .I
u 2 du
v 1 a + bu
o
~(8a 2 + 3h 2 u 2 ~ 4abu)\/a + bu +C
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·• u 2 du l
48. J ---=-_,[ia+ !m) 2 - 4a(a + bu) + 2ac ln I a+ buj] + C
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49.
da
• I' u(a + bu)
du
50.
• İ u 2 (a -"" bu)
1 u ' i
=-ln---'+C
a a -1- bu I
I
-+
au
51
~· udu
a I
· •. (a+ bu) 2 b-:.{a + hu) b-
du
52. .
İ
h In---+ la+hul C
"
+ ---;-In I a + bu I + C
• u(a + bu)' a(a + ba) - :, In I a : ha I + C
=~(a+ bu- _a_'_- 2a In I a+ bu 1)
b- a+ bu
. '
54. I Uv~ du = :., (3bu- 2a)(a + huV'' -1- C
~ l:Jb'
ss.
J . u du
v a + hu
+C
51. ,. İ - -~de::"=~
u,./a -1- bu
I • 61 ..
u"du
- ,Ja + bu
2
tg :~a=abu
+C se a< O
o [ •
h(2n '3J
•
= ~, _- u"(a + bu)J.2- na I u"
2u'\i~ 2na r u"- 1 du
b(2n + l) + 1) • v: a + bu
-....-~
a(n - l)un
1 v'a + budu]
64. J cos'-udu = ;u + ~sen2u +C
65. J tg 2 udu= tgu-u+C
66. fcotg 2 u du = -cotg u- u + C
+sen"u) cos u +C
69. J tg 3 udu =& tg'-u + lnjcosui +C
70
J
" ' c '
. cotg'u du = -2 co~u~ ln! senu I+ C
'
71. Jsec 1 udu=}secu tgu+&lnlsecu+ tguj+C
72. fcossec'u du =-i o:::mx:ucctgu +i In i cossecu~cctgu I + C
13. fsen' 1 udu = _J_sen" 1 ucosu + ~ ,.sen"~ 2udu
• n n •
r
74. cos"udu = ~cos"-- I n- I r
1 usenu + -- cos"- 1 udu
• n n ~
1 2
77. ,. sec"u du = - - tg u sec""' 2 u + n - J" sec"- 2 u du
• n - 1 n - 1
18. J'a::s::ei'udu= ~cctgucosseé'' 2 u+ n- 2 J• cossec"- 1 udu
n- 1 n- 1
79. f sen au sen bu du
80. J cos au cos bu du
81. J senaucosbudu =
'
sen(a ~ b)u sen(a + b)u
- +C
2(a-b) 2(a+b)
sen(a- b)u + sen~a + b)u +C
2(a - b) 2la + b)
cos(a- b)u
2(a - h)
82. J u senu du = senu - u cos u + C
83. Jucosudu=cosu+usenu+C
84. J u"senudu = -u"cos u + n f u,-- 1 cos udu
'
J 85. u"cosudu=u"senu-n U 11 1 senudu
-
86. f sen''u cos"'u du =
J'
cos(a + b)u
+C
2(a + h)

1.
J f udv = uv- vdu
,.1
6. Jsenudu= ~~cos u + C
J cos udu = scn'J
J SCC 2 1! du """
2. Ja du = -"-- +c. nT" 1 7. +C
11 T 1
f du = ln lu I
3. • u
+C 8. tg u+C
4. Je"du=e~+c 9.
J cossec2 u du = ---cotg u +C
• 1
5. j a"du = --tl" + c
• In a
.•
10. scc u tgudu=secu+C
J
11. cosscc u cotg u du = ---cossec u + C 16. =sen '-+c
f a
12.
J
J a 2 ~tu 2 =; --
tgudu=Jnjsecuj +C 17. tg I li '
a
13.
1 a
Jcotgudu = ln [scnuj +C 18. = ~sec-
J
1 -
a a
14.
f secudu=lnjsecu+ tg ui+ C
15.
J
J cossecu du= In I cossec u~cotg uI+ C 20.
a
19. f~=J_Inl~!
~ a2 - u2 2a j u a I
I .
• _du 1 u-a/
---=~Jn ---
j u 1 -a 2 +
2a u+ar
c
' c
'
c
c
22.
23. ~-v'~ --- /!a+,/~!
1 du=..,'a 2 +u'-aln
j!+C
• u i u
u
2
a2 ~
-In(u +- ..,la 2 + u~) +C
2
+C
24.
-'~l~a_'_+_u_2 du =
• İ u" a
+ ln(u + ,,/a 2 + u 2 ) +C
-~~"~=o+ C
a"val + u2
30. f -/a 2 - u 1 du = !:!_
• 2
a2 t!:!_ +C
+ Tsen a
31.
f u\la2 - u 2 du =.!:!... (2u2- a 2)..,ra 2 - u 2 + ~sen
. 8 8
du I la+~/
35.
f =--lnl +C
• uJa2- ul a u I
33. ,.• v~ du = -~
~ u· u
u
sen- 1 -+C
a
u
2
a2 u
+-sen- 1 -+C
2 a
39. f -/u 2 -a 2 du=f
a2 ,
--Inlu+vlu 2 -a"/+C
2 .
43.
r du =in/ u + ·../u 2 - a 2 1 + C
40.
f
,lu 2 -a 2
41. du =
li
a
-acos· 1--+C
I a I
+C
44. f 2
=!!:... •.ju2- a" + a In I u + ~ / + C
2 2
45. J +C
42 f ,/~ du =
-"-'"--=- + ln I u + ,./u 2 - a 2 j +C
u
46. J u +c
a\lu'- a 2

87. J sen- 1 udu = usen 1 u + ,i~+ C
92.
~ , ~~~ + 1
j u tg-'udu = ~- 2 - , ' 1.1"'
88. J coÇ 1 udu = ucos" 1 u ~-v' I~ u 2 +C
89. J tg- 1 udu = u tg --lu-~ ~ln(l + u") +C
93.
1
du J
nr'
u- l--r== .
~v'!-~u'
91. J LI COS
2u'~J u,!!-u 2
1 u du = ~-4 ~- COS- 1 11 - "-~4 c--=-- + C
c
94.
r u"cos- 1 u du = ~- 1 - [u"' 1 cos- 1 u +
• n + l
95. J u" tg -lu du 'u- J ~"~~~~].
n
• l
96. j uefl~du = (_au- l)eau +C
100. J In u du u In 11 ~ 11 + C
98. J e""scnbudu =
+
(asenhu bcoshu) +C
I • eau
99 .• e a" cos bu du = _,.:_..,-,(a cos bu + h sen hu) + C
+
r
u'
101 .. u"lnudu=-'"-~[(n + l)!nu- l] -1 C
- (n +
102. f- 1 -du=lnllnuj +C
• u In u
103. J senh u du = cosh u + C
164. f cosh u du = senhu +C
105. f tgh udu = lncoshu +C
106. f cotghu du =In I senhu I +C
107. f sechudu = tg-- 1 1 senhuj +C
108. f CC6sa.tw&.t:::: In I tgh ±uI + C
109. f sechiu du = tgh u + C
110. f cossech 1 u du:::: -cotgh u + C
111. f sech u rgh u du = ~sech u + C
112. f cossech u cotg u du :::: - cossec u + C
113. f y'2au- u 1 du = u ~a
• 2
f (a- u)
u
0
f (a- u)
u a •
115. = ,J2nu - u 2 +a cos-1 -
-- + C
116. ~ cos·-l --- + C
117. f du (a- u)
= cos- 1 --a- +C
118.
f (a- udu + acos- u)
1 -a- +C
f u 2 du u + 3a
119. ~ ---2--y2au uz + 3a' (a -u)
2 cos-1 -a-- +C
120. J +C
au