Transformada de Laplace

Resumo
Sinais e Sistemas
Transformada de Laplace
Luís Caldas de Oliveira
lco@ist.utl.pt
Instituto Superior Técnico
Definição da transformada de Laplace.
Região de convergência.
Propriedades da transformada de Laplace.
Sistemas caracterizados por equações diferenciais.
Estabilidade e causalidade.
Avaliação geométrica da CTFT a partir do mapa de
pólos e zeros.
Diagramas de Bode.
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.1/57
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.2/57
Resposta ao Sinal Exponencial
Transformada de Laplace
Vimos a resposta de um sistema contínuo, linear e
invariante no tempo ao sinal exponencial complexo:
∀t∈, x(t)=e jωt → y(t)=H( jω)e jωt
A transformada de Laplace bi-lateral define-se como:
∀s∈, X(s)=
∫ +∞
−∞
x(t)e −st dt
Podemos generalizar para qualquer sinal exponencial:
∀t∈, x(t)=e st → y(t)= H(s)e st
Em que H(s) se relaciona com a resposta impulsiva:
∀s∈, H(s)=
∫ +∞
−∞
h(t)e −st dt
ou seja:
x(t)−→
L
X(s)
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.3/57
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.4/57

Transformada de Fourier
Exemplo
A transformada de Fourier:
∀ω∈, X( jω)=
∫ +∞
−∞
x(t)e − jωt dt
É um caso particular da transformada de Fourier para
s= jω:
X(s)| s= jω = X( jω)
Calcular a transformada de Laplace do sinal:
∀t∈, x(t)=e −at u(t)
em que a∈, a>0eu(t) é a função escalão unitário.
Solução:
∀s∈{s∈|Re(s)>−a}, X(s)= 1
s+a
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.5/57
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.6/57
Exemplo
Região de Convergência
Calcular a transformada de Laplace do sinal:
∀t∈, x(t)=−e −at u(−t)
em que a∈, a>0eu(t) é a função escalão unitário.
A região de convergência (ROC) da transformada de
Laplace consiste nos valores de s=σ+ jω para os quais o
integral da definição converge.
Plano s
Im
Solução:
∀s∈{s∈|Re(s)

Exemplo
Pólos e Zeros
Calcular a transformada de Laplace do sinal:
Solução:
∀t∈, x(t)=e −2t u(t)+e −t cos(3t)u(t)
∀s∈{s∈|Re(s)>−1}, X(s)=
2s 2 + 5s+12
(s 2 + 2s+10)(s+2)
Nos exemplos anteriores, a transformada de Laplace é
racional, ou seja é um quociente de polinómios em s∈:
X(s)= N(s)
D(s)
Chamam-se zeros de X(s) às raízes do polinómio do
numerador.
Chamam-se pólos de X(s) às raízes do polinómio do
denominador.
À representação gráfica dos pólos e zeros no plano s,
chama-se mapa de pólos e zeros de X(s).
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.9/57
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.10/57
Pólos e Zeros no Infinito
Transformada de Fourier
Se a ordem do polinómio do denominador exceder a
do numerador:
Ordem(D(s))=Ordem(N(s))+k
a transformada X(s) tem k zeros no infinito.
Se a ordem do polinómio do numerador exceder a do
denominador:
Ordem(N(s))=Ordem(D(s))+k
a transformada X(s) tem k pólos no infinito.
Se a região de convergência (ROC) da transformada de
Fourier não incluir o eixo imaginário (Re(s)=0ou s= jω), a
transformada de Fourier não converge.
x(t)=e −t u(t)−→
L
X(s)= 1
s+1 , Re(s)>−1
x(t) tem transformada de Fourier
x(t)=−e −t u(−t)−→
L
X(s)= 1
s+1 , Re(s)

Propriedades da ROC
Exemplo
Propriedade 1: a ROC é composta por faixas
paralelas ao eixo imaginário.
Propriedade 2: para transformadas de Laplace
racionais, a ROC não contém pólos.
Propriedade 3: se x(t) for de duração finita e
absolutamente integrável, a ROC da sua
transformada é todo o plano s.
Calcular a transformada de Laplace do sinal:
Solução:
∀t∈, x(t)=
∀s∈, X(s)=
{ e −at , 0

Exemplo
Transformada de Laplace Inversa
Determinar o número de sinais que podem ser associadas
à transformada de Laplace:
∀s∈, X(s)=
1
(s+1)(s+2)
Solução: Podemos associar um sinal bi-lateral, um lateral
esquerdo e um lateral direito.
No caso geral a inversão da transformada de Laplace
exige o recurso a um integral de circulação.
No entanto, se a transformada for uma função
racional, pode ser expandida na forma:
X(s)=
m∑
i=1
A 1
s+a i
Em função da região de convergência, o sinal x(t)
será uma soma de exponenciais na forma A i e −a it u(t)
ou−A i e −ait u(−t).
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.17/57
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.18/57
Exemplo
Solução
Considere a equação de uma transformada de Laplace:
∀s∈ X(s)=
1
(s+1)(s+2)
Determine os sinais correspondentes à sua transformada
inversa considerando as seguintes regiões de
convergência:
1. Re(s)>−1
2. Re(s)

Linearidade
Deslocamento Temporal
ax 1 (t)+bx 2 (t)−→
L
aX 1 (s)+baX 2 (s), ROC⊃R 1 ∩ R 2
x(t−t 0 )−→
L
e −st0 X(s), ROC=R
A transformada de Laplace é uma operação linear.
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.21/57
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.22/57
Deslocamento no Domínio S
Escalamento Temporal
e s0t x(t)−→
L
X(s− s 0 ), ROC=R+Re(s 0 )
A ROC também é deslocada
x(at)−→
L
1
|a| X( s a ), ROC= R a
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.23/57
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.24/57

Conjugado
Convolução
x(t) ∗ −→
L
X ∗ (s ∗ ), ROC=R
Os pólos e os zeros aparecem em posições conjugadas.
x 1 (t)∗ x 2 (t)−→
L
X 1 (s)X 2 (s), ROC⊃R 1 ∩ R 2
A ROC pode ser maior se no produto houver cancelamento
de pólos com zeros.
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.25/57
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.26/57
Diferenciação no Tempo
Diferenciação no Domínio S
dx(t)
dt
−→
L
sX(s), ROC⊃R
−tx(t)−→
L
dX(s)
ds , ROC=R Sinais e Sistemas – p.28/57
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.27/57
Luís Caldas de Oliveira

Exemplo
Exemplo
Determinar a transformada de Laplace de:
Determinar a transformada de Laplace inversa de:
Solução:
X(s)=
∀t∈, x(t)=te −at u(t)
1
Solução:
∀s∈∧Re(s)>−1, X(s)= 2s2 + 5s+5
(s+1) 2 (s+2)
∀t∈, x(t)=[2te −t − e −t + 3e −2t ]u(t)
(s+a) 2, ROC=Re(s)>−a Sinais e Sistemas – p.29/57 Luís Caldas de Oliveira
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.30/57
Integração no Tempo
Valor Inicial e Final
∫ t
−∞
x(τ)dτ−→
L
1
s X(s), ROC⊃R∩{Re(s)>0} Sinais e Sistemas – p.31/57
Se x(t)=0para t

Exemplo
Função de Transferência
Utilize o teorema do valor inicial para verificar se as
seguintes funções constituem um par de Laplace:
∀t∈, x(t)=e −2t u(t)+e −t cos(3t)u(t)
∀s∈∧Re(s)>−1, X(s)=
2s 2 + 5s+12
(s 2 + 2s+10)(s+2)
As transformadas de Laplace da entrada e da saída de um
sistema linear e invariante no tempo relacionam-se por:
∀s∈, Y(s)=H(s)X(s)
A H(s) chama-se função de transferência e é a transformada
de Laplace da resposta impulsiva do sistema.
Solução:
x(0 + )=2
lim 2s 2 + 5s+12
s→∞ (s 2 + 2s+10)(s+2) = 2 Sinais e Sistemas – p.33/57 Luís Caldas de Oliveira
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.34/57
Pares de Transformadas de Laplace
Pares de Transformadas de Laplace
δ(t)
δ(t−t 0 )
−→
L
1, ∀s∈
−→
L
e st0 , ∀s∈
u(t) −→
L
1
s , Re(s)>0
−u(−t) −→
L
1
s , Re(s)0
−tu(−t)
1
−→
L s 2, Re(s)−a
−e −at u(−t) −→
L
1
s+a , Re(s)−a
−te −at 1
u(−t) −→
L (s+a) 2, Re(s)

Pares de Transformadas de Laplace
Causalidade
s
cos(ω 0 t)u(t) −→ , Re(s)>0
L s 2 +ω 2 0
ω 0
sin(ω 0 t)u(t) −→ , Re(s)>0
L s 2 +ω 2 0
e −at s+a
cos(ω 0 t)u(t) −→ , Re(s)>−a
L (s+a) 2 +ω 2 0
e −at ω 0
sin(ω 0 t)u(t) −→ , Re(s)>−a
L (s+a) 2 +ω 2 0
A reposta impulsiva de um SLIT causal é um sinal
lateral direito
Se a função de transferência é racional admite a
factorização em fracções simples.
A transformada inversa das fracções simples envolve
a função u(t).
Num SLIT com função de transferência racional, a causalidade
do sistema é equivalente à sua ROC ser o meio-plano
à direita do pólo mais à direita.
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.37/57
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.38/57
Exemplo
Exemplo
Determine a região de convergência da função de
transferência do sistema com a seguinte resposta ao
impulso:
Determine a região de convergência da função de
transferência do sistema com a seguinte resposta ao
impulso:
∀t∈, h(t)=e −t u(t)
∀t∈, h(t)=e −|t|
Solução:
Solução:
H(s)= 1
s+1 ,∀s∈{s∈|Re(s)>−1}
A função de transferência é racional e a ROC é a região à
direita do pólo mais à direita: o sistema é causal.
H(s)= −2
s 2 − 1 ,∀s∈{s∈|−1

Exemplo
Estabilidade
Considere um sistema linear e invariante no tempo com a
seguinte função de transferência:
H(s)= es
s+1 ,∀s∈{s∈|Re(s)>−1}
Determine a resposta ao impulso do sistema e verifique se
é causal.
Solução:
∀t∈, h(t)=e −(t+1) u(t+1)
O sistema não é causal apesar da ROC ser a região à
direita do pólo mais à direita: a função de transferência
não é racional.
Um sistema é estável se a sua resposta ao impulso
for absolutamente integrável.
Nesse caso sua a transformada de Fourier converge.
Para a transformada de Fourier convergir, a ROC da
transformada de Laplace tem de incluir o eixo
imaginário (s= jω).
Um SLIT é estável se e só se a ROC da função de transferência
H(s) incluir o eixo imaginário.
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.41/57
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.42/57
Exemplo
Causalidade e Estabilidade
Considere um sistema estável linear e invariante no tempo
com a seguinte função de transferência:
H(s)=
s−1
(s+1)(s−2)
Determine a resposta ao impulso do sistema.
Solução:
Apesar de não ser dada a região de convergência, é dito
que o sistema é estável, pelo esta inclui o eixo imaginário:
Um sistema causal com função de transferência H(s) racional
é estável se e só se todos os pólos de H(s) estiverem
no semi-plano esquerdo (todos os pólos têm parte real negativa).
{s∈|−1

Exemplo
Equações Diferenciais
Determine a região de convergência da função de
transferência do sistema com a seguinte resposta ao
impulso:
∀t∈, h(t)=e 2t u(t)
Comente a causalidade e estabilidade do sistema.
Solução:
H(s)= 1
s−2 ,∀s∈{s∈|Re(s)>2}
Muitos SLITs podem ser caracterizados por uma equação
diferencial de coeficientes constantes:
N∑
k=0
a k
d k y(t)
dt k =
M∑
k=0
b k
d k x(t)
dt k
Aplicando a propriedade da diferenciação:
H(s)= Y(s) ∑ M
X(s) = k=0 b k s k
∑ N
k=0 a ks k
O sistema é causal mas é instável porque tem um pólo no
semi-plano direito.
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.45/57
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.46/57
Exemplo
Exemplo
Considere um sistema linear e invariante no tempo em que
a entrada x(t) e a saída y(t) se relacionam pela equação
diferencial:
∀t∈,
dy(t)
dt
+ 3y(t)= x(t)
Verifique que a equação diferencial não especifica por completo
o sistema.
Solução:
H(s)= 1
s+3
Sem mais informação não conseguimos determinar a
região de convergência.
Se o sistema for causal:
H(s)= 1
s+3 ,∀s∈{s∈|Re(s)>−3}
a resposta ao impulso será:
∀t∈, h(t)=e −3t u(t)
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.47/57
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.48/57

Exemplo
Representação da Amplitude da TF
Considere que se conhecem os seguintes factos acerca
de um SLIT:
1. o sistema é causal;
2. a função de transferência é racional e tem dois pólos
em s=−2 e s=4;
3. se x(t)=1então y(t)=0;
4. a resposta impulsiva em t=0 + vale 4.
Determine a sua função de transferência.
Solução:
H(s)=
4s
A propriedade da transformada de Fourier da convolução
aplicada a um sistema linear e invariante no tempo:
Y( jω)=H( jω)X( jω)
Como é muitas vezes mais simples fazer somas em vez de
multiplicações, a amplitude da transformada de Fourier
representa-se muitas vezes na forma logarítmica:
20 log 10 (|Y( jω)|)=20 log 10 (|H( jω)|)+20 log 10 (|X( jω)|)
Esta escala de amplitudes refere-se à medida décibel
(dB).
(s+2)(s−4) , Re(s)>4 Sinais e Sistemas – p.49/57 Luís Caldas de Oliveira
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.50/57
Décibel (dB)
Escala de Frequências Logarítmica
|H( jω)| dB = 20 log 10 (|H( jω)|)
0 dB correspondem à resposta em frequência com
amplitude 1.
+20 dB corresponde a um ganho de 10 vezes.
−20 dB corresponde a uma atenuação de 0,1.
−6 dB corresponde a uma atenuação aproximada 0,5.
+6 dB corresponde a um ganho aproximada de 2.
A representação da escala de frequências numa
escala logarítmica na forma log 10 (ω) ou log 10 ( f ) é
comum em sistema contínuos.
Esta representação permite uma visualização mais
compacta de uma gama de frequências do que a
representação linear.
A escala logarítmica de frequências permite uma
aproximação assimptótica de sistemas contínuos,
lineares e invariantes definidos por uma equação
diferencial.
Aos gráficos de|H( jω)| dB e∠H( jω) numa escala de
frequências logarítmica dá-se o nome de diagramas
de Bode.
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.51/57
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.52/57

Determinação Geométrica da CTFT
Avaliação vectorial
As transformada de Laplace racionais podem ser
representadas na forma:
Fazendo s= jω:
X(s)= M ΠR i=1 (s−β i)
Π P i=1 (s−α i)
|X( jω)| = |M| ΠR i=1 | jω−β i|
Π P i=1 | jω−α i|
R∑
P∑
∠X( jω) = ∠( jω−β i )− ∠( jω−α i )
i=1
i=1
| jω−β i | é o módulo do vector desde o zeroβ i ao
ponto s= jω;
| jω−α i | é o módulo do vector desde o póloα i ao
ponto s= jω;
∠( jω−β i ) é ângulo que o vector desde o zeroβ i ao
ponto s= jω faz com o eixo real;
∠( jω−α i ) é o ângulo que o vector desde o póloα i ao
ponto s= jω faz com o eixo real.
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.53/57
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.54/57
Exemplo
Sistema de 1 a Ordem
Esboçar a transformada de Fourier correspondente ao
sinal com transformafa de Laplace:
X(s)= 1
s+1 , Re(s)>−1
|X( jω)| 2 1
=
ω 2 +(1) 2
∠X( jω) =− tan −1 (ω)
A transformada de Laplace:
Pólo:
H(s)=
h(t)= 1 τ e−t/τ u(t)
1
sτ+1 , Re(s)>−1 τ
s=− 1 τ
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.55/57
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.56/57

Conclusões
A transformada de Laplace pode ser vista como uma
generalização da transformada de Fourier.
Os sistemas e os sinais com transformada de Laplace
racional, podem ser caracterizados pelo seu mapa de
pólos e zeros.
A localização dos pólos e da região de convergência
permitem determinar características como a
causalidade e a estabilidade.
A partir do mapa de pólos e zeros permite obter
geometricamente a transformada de Fourier à parte
um factor de escala.
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.57/57