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ANÁLISE DE MÉTODOS 

M 

MÁTEMÁTICOS 

TICOS 

PROGRESSÕES 

Leia e descubra que eu não vim 

do além 

ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO 

PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA 

1 

Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva

As seqüências numéricas estão estreitamente associadas aos 

processos de contagem e ao desenvolvimento dos sistemas de 

numeração. Por essa razão, encontramos registros de 

problemas envolvendo diversos tipos de seqüências nos 

principais documentos das civilizações antigas. 

Os babilônios (aproximadamente 2000 a.C) possuíam tábuas 

de cálculo onde era comum encontrar seqüências de 

quadrados e cubos de números inteiros. Nesse mesmo 

período, os egípcios utilizavam seqüências numéricas para 

fazer a decomposição de frações em somas de outras frações, 

como indicam os registros encontrados no papiro de Ahmés 

(entre 2000 e 1700 a.C.) 



2 


Na civilização grega, encontramos diversos exemplos de 

seqüências numéricas notáveis. Entre elas destacam-se 

aquelas estudadas pela escola Pitagórica (século VI a.C) que 

envolviam os números denominados figurados e o crivo de 

Eratóstenes, processo pelo qual se obtém a seqüência dos 

números primos. 

Também entre os chineses, hindus e árabes, encontramos 

diversos exemplos de estudos de seqüências numéricas. No 

século XIII, na Europa, o italiano Leonardo de Pisa (1175- 

1240), também conhecido como Fibonacci, publicou a obra 

Liber Abacci, na qual apresenta seqüências numéricas que 

também se tornaram notáveis. 



3 


Até hoje em dia, diversos matemáticos desenvolvem estudos 

sobre seqüências numéricas, aplicando-as aos mais diversos 

campos de atividade. 

Na natureza encontramos uma grande variedade de padrões 

geométricos e numéricos. Há muitos séculos o homem 

contempla e estuda a beleza desses padrões. 

Os padrões geométrico são diretamente observáveis na flora, 

na fauna e em diversos fenômenos naturais. As espirais 

encontradas nas conchas de moluscos e na flor do girassol, 

os favos hexagonais de um de uma colméia, o padrão 

hexagonal dos flocos de neve e as diversas simetrias 

poligonais que se observam nas carapaças de certos 

habitantes dos mares são exemplos de padrões geométricos. 



Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 

4

Os padrões numéricos, por sua vez, nem sempre são 

observação direta, pois dependem, em geral, de uma 

interpretação da natureza e de uma posterior associação de 

valores numéricos ao fenômeno estudado. Um bom exemplo 

de padrão numérico é a seqüência de Fibonacci: 

1,1,2,3,5,8,13,21,34,... 

Fibonacci em seu livro Liber Abacci (1202), propôs um 

problema que consiste em determinar de que forma varia o 

número de casais de coelhos que se originam de um casal 

inicial, supondo que este gere um casal a cada mês. Cada 

casal gerado dá origem a um novo casal, após dois meses de 

seu nascimento, e, assim, sucessivamente.. 



5 


A solução do problema proposto por Fibonacci 

deu origem à seqüência numérica que se tornou 

célebre: 1,1,2,3,5,8,13,... 

A lei de formação desta seqüência por ser escrita 

por: 

⎧a1 

= 1, a2 

= 1 

⎨ 

⎩a 

= a + a 

n+ 1 n n−1 

(n∈ Ν 

* 

e n 

≥ 

2 




6

Além do problema dos coelhos, a seqüência de 

Fibonacci pode ser associada a outros fenômenos 

naturais. A genealogia do zangão (macho da abelha), 

a disposição das folhas nos ramos das plantas para 

obtenção do máximo de iluminação para cada folha 

e o crescimento dos galhos de certas espécies 

botânicas são exemplos desses fenômenos: o caule 

inicial dá origem a 2 outros; estes desdobram-se em 

3, dos quais surgem 5, que originam 8, e assim por 

diante. 




7

Em relação às progressões temos registros que o 

termo foi utilizado pela primeira vez, em 1249, para 

designar determinados tipos de seqüências, por J. 

Holiwood – conhecido por Sacrobosco -, em sua obra 

Tractatus de Arte Numerandi, publicado somente em 

Apesar de o nome ter sido introduzido apenas no 

encontrando-se registros no papiro de Ahmés (século 

1488. 

século XIII, progressões elementares já eram 

conhecidas dos babilônios e dos egípcios, 

XVII a.C.). 




8

Os pitagóricos (século VII a.C.), estudando o 

comportamento de cordas vibrantes, descobriram que os sons 

por elas produzidos tinham freqüências de vibração que 

formavam seqüências matemáticas. 

Euclides (século III a.C.) apresentou no livro IX de Os 

Elementos uma regra que se destinava ao cálculo da soma 

dos termos de determinadas seqüências, que hoje são 

denominadas progressões geométricas. Diofanto de 

Alexandria (século III d.C.) desenvolveu uma fórmula para 

o cálculo da soma dos termos de progressões que hoje 

chamamos de progressões aritméticas. 



9 


Em 499 d.C., o matemático hindu Aryabhata 

publicou um livro intitulado Aryabhatiya no qual 

trata especificamente de progressões, sem justificar, 

contudo, as regras que propõe. 

No século XIII, Fibonacci, em seu livro Liber 

Abacci, também apresenta estudos sobre as 

progressões. Estudos mais completos, com 

fundamentações mais precisas, foram publicados 

durante o século XVIII pelo matemático francês: 

Abraham De Moivre e pelos suícos Daniel Bernonilli 

e Leonhard Euler. 




10

Não podemos esquecer do notável matemático 

alemão, Johann Friedrich Carl Gauss (1777-1885) 

que conforme registros históricos em 1787, em sua 

pequena escola da aldeia do principado alemão de 

Braunschweig, seu professor Büttner para desafiar 

seus alunos propôs-lhes um problema fácil, porém 

trabalhoso; pediu-lhes que obtivessem a soma dos 

100 primeiros números inteiros positivos: 

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 + 100 



11 


Com essa tarefa, esperava ele manter os alunos ocupados por um bom 

espaço de tempo. No entanto, após três minutos um menino de 10 anos 

aproximou-se da mesa do mestre e apresentou-lhe o valor correto da 

soma: 

5.050 

Para chegar a esse resultado, o menino não percorreu o trabalhoso 

caminho que consiste em dispor as parcelas um abaixo da outra e 

depois somá-las. Ao invés disso, raciocinando sobre o problema, ele 

percebeu que: 

somando o primeiro e o último número, obtinha: 1 + 100 = 101; 

somando o segundo e o penúltimo número, obtinha: 2 + 99 = 101; 

somando o terceiro e o antepenúltimo número, obtinha: 3+ 98 = 101; 

e assim por diante. 

Logo, o problema pede a soma de 50 parcelas iguais a 101, a última 

das quais é: 

50 + 51 = 101. Calculando-a, obtemos: 

50 . 101 = 5 050 




12

Embora aborrecido com o menino que 

sabotara seu estratagema, o professor Büttner 

percebeu seu invulgar talento e estimulou-o a 

estudar Matemática. 

Seus grandes feitos não parou por aí, em 1796 

foi o primeiro a construir um polígono regular 

de 17 lados com o auxílio de régua e compasso. 

Em 1798 doutorou-se em Matemática; em sua 

tese fazia a demonstração do teorema 

fundamental da álgebra, segundo o qual toda 

equação polinomial f(x) = 0 tem pelo menos 

uma raiz. 




13

No começo do século XIX optou por dedicar-se à Astronomia 

e passou a estudar as órbitas dos satélites, o que lhe valeu o 

cargo de diretor do observatório de Göttingen. Deixou 

também contribuições nos campos da Geodésia e do 

Eletromagnetismo. 

Em 1885, ano do falecimento de Gauss, o rei Jorge V de 

Hannover fez cunhar, em sua homenagem, uma moeda com 

os dizeres: Mathematicorum princeps (“príncipe dos 

matemáticos”). 

O brilhante raciocínio que Gauss empregou para obter a 

soma 1 + 2 + 3 + ...+ 99+ 100, pode ser generalizado para 

qualquer seqüência de um determinado tipo. Essas 

seqüências são denominadas progressões aritméticas. 




14


M 

MÁTEMÁTICOS TICOS I 

SUCESSÃO OU SEQÜÊNCIA 

NUMÉRICA 



15 


Seqüência 

Definição: Denomina-se seqüência qualquer 

função f cujo domínio é N * . 

(0,2,4,6,8,10,...) a n = 2n 

(1,3,5,7,9,11) a n =2n+1 

Existe uma lei de formação dos termos de 

uma seqüência 



16 


Duas formas diferentes de definir uma 

seqüência 

-Pelo termo geral – Nesse caso, a seqüência é 

definida por uma fórmula que dá o valor de 

cada termo a n em função de sua posição n na 

seqüência 

Exemplo: a n = (2n -1)/4 




17

Duas formas diferentes de definir uma 

seqüência 

-Por recorrência – 

Nesse caso, a seqüência é 

definida atribuindo determinado valor a um de seus 

termos (geralmente o primeiro) e indicando uma 

fórmula que permite calcular cada termo, 

conhecendo o valor do termo anterior da seqüência. 

Exemplo: a 1 = 5 e a n + 1 =a +2 , n ≥1 

n 




18


M 


PROGRESSÃO ARITMÉTICA 



19 


Representação matemática de uma progressão 

aritmética (P.A.) 

a 

n+1 

= 

a 

n 

+ 

r, ∀n∈ 

N 

* 

Razão de uma progressão aritmética é a quantidade que 

acrescenta-se a cada termo para obter o seguinte ou a 

diferença entre qualquer termo, a partir do segundo, e o 

anterior. 

a2 − a1 

= a3 

− a2 

= ... = an +1 − an 

= 




r 

20

Progressão Aritmética 

tica 

Definição: Progressão Aritmética ( PA ) é uma seqüência 

numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual 

ao anterior somado com um número fixo, chamado de 

razão da progressão ( r ). 

Termo Geral: 

an 

= a1 

+ ( n −1). 

r 

⎧an : n - ésimo termo. 

⎪ 

a1 : primeiro termo. 

onde : ⎨ 

⎪n 

: número de termos. 

⎪⎩ 

r : razão 




21

Soma de Termos: 

S 

n 

= 

( a + a 

2 

1 n). 

n 

Três termos em P.A.: x − r, x , x + r 




22


M 


Progressão Geométrica 



23 



Definição: é uma sequência de números não nulos em 

que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual 

ao anterior multiplicado por um número fixo chamado 

razão da progressão. 

Termo Geral: 

a 

n 

= 

a 

1 

. q 

n−1 

⎧a 

⎪ 

a 

onde : ⎨ 

⎪n 

⎪⎩ 

q 

n 

1 

: 

: 

termo geral 

primeiro termo 

: número de termos 

: razão 




24


Classificação de uma P.G. 

Crescente: Decrescente: 

Quando a 1 

>0 e q>1 Quando a 1 

>0 e 0


1 

2 

Soma de Termos de uma P.G. finita: 

o 

caso :q = 1 ⇒ Sn 

= n. 

a1 

n 

o 

a ( 1) 

caso :q 1 

1 q − 

≠ ⇒ Sn 

= 

S 

n 

( a 

= 

q −1 

n 

. q − a 

q −1 

` Obs. Quando a P.G. é infinita e −1 < q < 1 e q ≠ 0, a soma 

dos termos fica: 

a1 

S = 1 − q 

1 

ou 

) 




26

Aplicações 

1.Um pintor consegue pintar uma área de 5 m 2 no 

primeiro dia de serviço e, a cada dia, ele pinta 2 

m 2 a mais do que pintou no dia anterior. 

a) Quantos metros quadrados ele pintará no nono 

dia 

b) Em que dia ele terá conseguido pintar 31 m 2 

R: 21 m 2 e 14 º dia 




27

Aplicações 

2. Numa folha de papel cartão, estão desenhados n 

quadrados. No primeiro, colocam-se 3 grãos de 

arroz; no segundo, 7 grãos; no terceiro, 11 grãos e 

assim sucessivamente até o quadrado de ordem n. 

a) Qual o número de grãos do décimo segundo 

quadrado 

b) Qual o número de grãos do enésimo quadrado 

R: 47 grãos ; 4n - 1 




28

Aplicações 

3. Duas pequenas fábricas de calçados A e B, têm 

fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares 

de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a 

fábrica A aumentar sucessivamente a produção 

em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar 

sucessivamente a produção em 290 pares 

mensais, a partir de que mês a produção da 

fábrica B superará a produção da fábrica A. 




29

Resolução 

Fabrica A: a 1 = 3000; r = 70 e a Fabrica B: a 1 = 1100; r =290 

Para a fábrica f 

B superar a produção de A, devemos ter: 

a 

n B 

1100 

220 

que 

n 

Como 

≥ 

+ 

≥ 

a 

( 

n 

n 

n 

A 

2120 

∈ 

− 

equivale 

1). 

290 

N 

* 

⇒ 

, 

então 

ao 

n 

≥ 

≥ 

mês 

3000 

9 , 6 

n 

de 

= 




9 

+ 

, 

( 

n 

− 

setembro. 

1). 

70 

30

Aplicações 

4. O fichário da clinica médica de um hospital possui 

pesquisador, desejoso de saber a incidência de 

procuravam a clínica, fez um levantamento, 

analisando as fichas que tinham os números 

múltiplos de 15. Qual o número de fichas não 

10.000 clientes cadastrados em fichas 

numeradas de 1 a 10.000. Um médico 

hipertensão arterial entre as pessoas que 

analisadas 

R: 9.334 




31

Aplicações 

– Interpolação Aritmética 

tica 

5. Numa estrada existem dois telefones instalados 

no acostamento: um no km 3 e outro no km 88. 

Entre eles serão colocados mais 16 telefones, 

mantendo-se entre dois telefones consecutivos 

sempre a mesma distância. Determinar em quais 

marcos quilométricos deverão ficar esses novos 

telefones. 

R: 8,13,18,23,28,33,38,43,48,53,58,63,68,73,78 e 83 




32

Aplicações 

– Interpolação Aritmética 

tica 

6. Uma harpa deverá ser construída tendo 13 cordas 

eqüidistantes. Os comprimentos da maior e da 

menor são, respectivamente, 1,8 m e 0,6 m. 

Sabendo-se que os comprimentos das cordas 

estão em P.A., determine-os. 

R: 1,8 m; 1,7 m; 1,6 m;...; 0,7 m; 0,6 m 



33 


Aplicações 

– Soma dos termos de uma 

P.A. 

7. O dono de uma fábrica pretende iniciar a 

produção com 2000 unidades mensais e, a cada 

mês, produzir 175 unidades a mais. Mantidas 

essas condições, em um ano quantas unidades 

a fábrica terá produzida no total 

R: 35.550 



34 


Aplicações 


P.A. 

8. Um doente toma duas pílulas de certo remédio no 

primeiro dia, quatro no segundo dia, seis no 

terceiro dia e assim sucessivamente até terminar 

o conteúdo do vidro. Em quantos dias terá 

tomado todo o conteúdo, que é de 72 pílulas 

R: 8 dias 



35 


Aplicações 


P.A. 

9. Um ônibus de excursão percorre no primeiro dia 

de viagem uma distância x; no segundo dia, o 

dobro do que percorreu no primeiro; no terceiro 

dia, o triplo do primeiro dia e assim por diante. 

Ao final de 10 dias, percorreu 5500 km. Que 

distância o ônibus percorreu no primeiro dia 

R: 100 km 



36 


Aplicações 

10. Um agricultor precisa regar 30 árvores que se 

encontram em linha reta, situando-se 3 m uma da 

outra. A fonte d’água encontra-se alinhada com as 

árvores, situando-se 10 m antes da primeira. Ao 

encher seu regador na fonte, o agricultor só 

consegue regar 3 árvores de cada vez, 

considerando que o agricultor começou e 

terminou na fonte, determine o tipo de progressão 

que será constituída a partir da seqüência das 

distâncias percorridas a cada viagem, a distância 

percorrida na última viagem e o total percorrido, 

em metros, para regar todas as árvores. 

R: P.A. ; 194 m e 1130 m 




37

Aplicações 

11. Um painel luminoso circular contém 60 lâmpadas em sua 

moldura. Às 20 horas, quando o painel é ligado, são 

acesas as lâmpadas de números 1,5,9,13, ... A partir daí, 

para dar a impressão de movimento, a cada segundo 

apagam-se as lâmpadas acesas e acendem-se as 

lâmpadas seguintes a elas. Seja S a soma dos números 

correspondentes às lâmpadas que são acessas às 22h 

33 min 13 s. Calcule o valor de S/5. 

R: 90 




38

Resolução 

Às 22h 33 min 13 s, passaram-se 9193 s 

desde que o painel foi ligado. Conclui-se 

do enunciado que o painel apresenta 

quatro configurações distintas no decorrer 

do tempo: 




39

Resolução 

Tempo (s) 

N O das lâmpadas acesas 

0,4,8,...,9184,9188,9192 1,5,9,...,53,57 

1,5,9,...,9185,9189,9193 2,6,10,...,54,58 

2,6,10,...,9186,9190,9194 3,7,11,...,55,59 

3,7,11,...,9187,9191,9195 4,8,12,...,56,60 



40 


Resolução 

Logo, os números n 

das lâmpadas acesas em t= 9193 s 

forma uma P.A. com a 1 = 2 ; a n = 58 e r = 4 

58 = 2 

n = 15 

+ ( n 

⇒ 

−1). 

4 

( 2 58) 

+ . 15 S 450 

S15 = = 450∴ 

= = 

2 

5 5 

90 




41

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