4a LISTA DE EXERCÍCIOS DO CURSO DE EDP, AGO.-NOV ... - IMPA

8 4 A LISTA DE EXERCÍCIOS DO CURSO DE EDP, AGO.-NOV. 2007
3. Exercícios
Exercício 3.1. Resolva os seguintes problemas de Cauchy
(1) u x + u y = u 2 , u(x, 0) = h(x).
(2) u y = xuu x , u(x, 0) = x.
(3) xu x + yu y + u z , u(x, y, 0) = h(x, y).
(4) xu y − yu x = u, u(x, 0) = h(x).
Exercício 3.2. Seja u uma solução de
a(x, y)u x + b(x, y)u y = −u
de classe C 1 na bola fechada B de R 2 . Suponha que a(x, y)x + b(x, y)y > 0 em ∂B. Prove que u se anula
identicamente. (Dica: Mostre que max B u ≤ 0 e min B u ≥ 0.)
Exercício 3.3. Seja u uma solução fraca localmente limitada de
u t + f(u) x = 0
para a < t < b, f contínua e assuma que u é de variação limitada para cada t fixo. Seja x(t) com a < t < b
uma função real Lipschitz. Prove que
para quase todo t ∈ (a, b).
f(u(t, x(t) + )) − f(u(t, x(t) − )) = x ′ (t)(u(t, x(t) + ) − u(t, x(t) − ).
Exercício 3.4. Mostre que a função u definida para y ≥ 0 por:
{
−
2
(52) u = 3 (y + √ 3x + y 2 ) para 4x + y 2 > 0
0 para 4x + y 2 < 0
é uma solução fraca de (39) para R(u) = u, S(u) = u2
2 .
Exercício 3.5. Defina uma solução fraca u(x, y) de (39) como uma função para a qual a relação
∫
R 2 (R(u)φ y + S(u)φ x ) dx dy
vale para qualquer função φ(x, y) ∈ C ∞ c (R 2 ). Mostre que essa nova definição implica a condição (51).
Exercício 3.6. Mostre que a solução u da equação diferencial parcial quasilinear
u y + a(u)u x = 0
com condição inicial u(x, 0) = h(x) é dada implicitamente por
u = h(x − a(u)y)
Mostre que a solução torna-se singular para algum positivo y, a menos que a(h(s)) é uma função nãodecrescente
de s.