4a LISTA DE EXERCÍCIOS DO CURSO DE EDP, AGO.-NOV ... - IMPA

6 4 A LISTA DE EXERCÍCIOS DO CURSO DE EDP, AGO.-NOV. 2007
e daí a
(38) z = u(x 1 , . . . , x n ) = x α nh( x 1
, . . . , x n−1
).
x n x n
A solução u satisfaz a equaçao funcional
u(λx 1 , . . . , λx n ) = λ α u(x 1 , . . . , x n )
para qualquer λ > 0, e assim é uma função homogênea de grau α.
Para α < 0 as soluções de (33) geralmente tornam-se singular na origem. Mais precisamente, a única
solução u de (33) de classe C 1 em uma vizinhança da origem é u ≡ 0. Pois, ao longo de qualquer raio
x i = c i t,
a partir da origem parametrizado por t temos por (33)
du
dt =
n
∑
k=1
i = 1, . . . , n
c k u xk (c 1 t, . . . , c n t) = α t u.
Daí ut −α é constante ao longo do raio, e assim u tende a ∞ quando t → 0, a menos que u se anule
identicamente ao longo do raio. Temos aqui um exemplo de uma EDP que tem somente uma única solução
simples se restrigirmos o dominio da solução como sendo um conjunto contendo a origem.
Exemplo 2.3. A solução u = u(x, y) da equação quasilinear
(39) u y + uu x = 0
pode ser interpretada como um campo velocidade sobre o eixo x variando com o tempo y. A equação (39)
então estabelece que toda partícula tem aceleração zero e daí, velocidade constante. Seja
(40) u(x, 0) = h(x)
a distribuição velocidade inicial, correspondendo a variedade Γ no espaço-xyz dada por
(41) x = s, y = 0, , z = h(s).
As equações diferenciais características
dx
(42)
dt = z, dy
dt = 1, dz
dt = 0
combinadadas com a condição inicial (41) para t = 0 nos dá a representação paramétrica
(43) x = s + zt, y = t, , z = h(s)
para a solução z = u(x, y) de (39) e (40). Eliminando s, t de (43) temos a equação implicíta
(44) u = h(x − uy)
para u como uma função de x, y.
A projeção característica C, no x, y-plano passndo através do ponto (s, 0) é a reta
(45) x = s + h(s)y
ao longo do qual u tem valor constante
u = h(s).
Fisicamente (45) para um s fixado representa o caminho do partícula localizada em x = s no tempo t = 0.
Agora, duas características se interceptam em um ponto (x, y) com
(46) y = − s 2 − s 1
h(s 2 ) − h(s 1 )
Se o y em (46) estiver definido, a função deve tomar valores distintos h(s 1 ) e h(s 2 ) em (x, y) e daí não
pode ser avaliada. Há sempre y positivo da forma (46), a menos que h(s) seja uma função não-decrescente