4a LISTA DE EXERCÍCIOS DO CURSO DE EDP, AGO.-NOV ... - IMPA

4 4 A LISTA DE EXERCÍCIOS DO CURSO DE EDP, AGO.-NOV. 2007
Assim (19) garante que localmente (12) representa uma superfície Σ : z = u(x, y). Que Σ é uma superfície
integral está claro na representação paramétrica (12). Pois num ponto qualquer P as quantidades X t , Y t , Z t
dão a direção da tangente a uma curva s = const. sobre Σ, a qual estará no plano tangente de Σ em P . Assim,
(13) mostra que o plano tangente em qualquer ponto contém a direção característica (a, b, c) e, portanto, Σ
é uma superfície integral.
Pode-se também verificar analiticamente que a função u representada por (15) satisfaz a equação diferencial
(2) expressando-se primeiro u x , u y em termos de S x , S y , T x , T y e então expressando-se essas quatro
quantidades em termos de X s , X t , Y s , Y t usando (17).
Isso completa a prova da existência local da solução do problema de Cauchy, sob a condição (19). A unicidade
segue do Teorema 1.1: Qualquer superfície integral através de Γ terá de conter as curvas características
através dos pontos de Γ e, portanto, terá de conter a superfície representada parametricamente por (12), e,
assim, localmente, terá de ser idêntica à superfície.
A condição (20) é essencial para a existência de uma solução C 1 , u(x, y), do problema de Cauchy. Pois,
se J = 0, encontraríamos de () e (2) que em s = s 0 , x = f(s 0 ), y = g(s 0 ) as três relações
(21) bf ′ − ag ′ = 0, h ′ = f ′ u x + g ′ u y , c = au x + bu y
valem. Essas implicam que
gh ′ − cg ′ = 0, ah ′ − cf ′ = 0
e daí que f ′ , g ′ , h ′ são proporcionais a a, b, c. Portanto, J = 0 é incompatível com a existência de uma
solução, a menos que Γ seja uma característica em s 0 . A propósito, o problema de Cauchy terá infinitas
soluções para uma curva característica Γ, as quais são obtidas passando-se qualquer curva Γ ∗ satisfazendo
(20) através de um ponto P 0 de Γ e resolvendo-se o problema de Cauchy para Γ ∗ .
No caso especial de uma de EDP linear podemos escrever (2) na forma
(22) a(x, y)u x + b(x, y)u y = c(x, y)u + d(x, y)
Aqui, o sistema das três EDO’s características é reduzido ao par
(23)
ou equivalentemente,
(24)
dx
dt
= a(x, y),
dy
dt
dy b(x, y)
=
dx a(x, y)
= b(x, y)
As equações (24) ou (25) determinam um sistema de curvas no plano-xy, chamado de projeções características,
que são projeções sobre o plano-xy das curvas características no espaço-xyz. A curva característica
é obtida de sua projeção x(t), y(t) encontrando-se z(t) por meio da EDO linear
dz
(25)
= c(x(t), y(t))z + d(x(t), y(t))
dt
Indicaremos como proceder para obter no caso mais geral de uma equação quasilinear para uma função
u = u(x 1 , . . . , x n ) de n variavéis independentes. Uma tal equação tem a forma
n∑
(26)
a i (x 1 , . . . , x n , u)u xi = c(x 1 , . . . , x n , u)
i=1
Aqui, as curvas características no espaço-x 1 . . . x n z são dadas pelo sistema de EDO’s
dx i
(27)
dt = a dz
i(x 1 , . . . , x n , z)
dt = c(x 1, . . . , x n , z)
para i = 1, . . . , n. No problema de Cauchy, queremos passar uma superfície integral z = u(x 1 , . . . , x n ) em
R n+1 por uma variedade (n − 1)-dimensional Γ dada parametricamente por
(28) x i = f i (s 1 , . . . , s n−1 ), z = h(s 1 , . . . , s n−1 )