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4 a LISTA DE EXERCÍCIOS DO CURSO DE EDP, AGO.-NOV. 2007
1. Equações Quasilineares
A equação de primeira ordem geral para uma função u = u(x, y, . . . , z) tem a forma
(1) f(x, y, . . . , u, u x , u y , . . . , u z ) = 0.
Equações desse tipo ocorrem naturalmente no cálculo das variações, em mecânica das partículas, e em ótica
geométrica. O resultado principal é o fato de que a solução geral de uma equação do tipo (21) podem
ser obtida resolvendo-se sistemas de equações diferenciais ordinarias (EDO’s, abreviadamente). Isso não é
verdade para equações de ordens superiores ou para sistemas de equações de primeira ordem. No que segue,
nos limitaremos ao caso de duas variáveis independentes x, y. A teoria pode ser estendida para mais variavéis
independentes sem dificuldades.
Consideraremos primeiro o caso mais simples de equação quasilinear
(2) a(x, y, u)u x + b(x, y, u)u y = c(x, y, u).
Representamos a função u(x, y) por um superfície z = u(x, y) no espaço-xyz. Superfícies correspondendo
a soluções de uma EDP são chamadas superfícies integrais da EDP. As funções dadas a(x, y, z), b(x, y, z),
c(x, y, z) definem um campo vetorial no espaço-xyz (ou numa porção Ω daquele espaço). Obviamente,
somente a direção do vetor, a direção caracteristica se relaciona com a EDP (2). Como u x , u y , −1 são componentes
da direção normal à superfície z = u(x, y), vemos que (2) é justamente a condição de que a normal
de uma superfície integral em qualquer ponto é perpendicular a direção do vetor (a, b, c) correspondente
àquele ponto. Assim as superfície integrais são superfícies que em cada ponto são tangentes às direções
características.
Com o campo das direções características (a, b, c) associamos a família de curvas características que em
cada ponto são tangentes àquele campo de direções. Ao longo de uma curva característica vale a relação
(3)
dx
a(x, y, z) =
dy
b(x, y, z) =
dz
c(x, y, z) .
Considerando a curva parametrizada por t (ou denotando a razão comum em (3) por dt) podemos escrever a
condição que define as curvas características numa forma mais familiar de um sistema de equações diferenciais
ordinárias
dx
dy
dz
(4)
= a(x, y, z), = b(x, y, z), = c(x, y, z)
dt dt dt
O sistema é autônomo (o campo não depende da variável t explicitamente). A escolha do parâmetro
t em (4) é artificial. Usando-se qualquer outro parâmetro ao longo da curva implica em trocar a, b, c por
a ′ , b ′ , c ′ , com a = κa ′ , b = κb ′ , c = κc ′ , o que não muda a curva característica no espaço-xyz ou a EDP (2).
Assumindo que a, b, c são de classe C 1 em uma região Ω, sabemos da teoria das EDO’s que em cada ponto
de Ω passa exatamente uma curva característica.
Se uma superfície S : z = u(x, y) é uma união de curvas características, então S é uma superfície integral.
Pois, nesse caso, por cada ponto P de S passa uma curva característica γ contida em S. A tangente a γ em P
necessariamente está plano tangente de S em P . Como a tangente a γ tem a direção característica, a normal
a S em P é perpendicular a direção característica, o que torna S uma superfície integral. Reciprocamente,
podemos mostrar que toda superfície integral S é a união de curvas características, ou que em cada ponto
de S passa uma curva característica contida em S. Isso é consequência do seguinte teorema:
1

2 4 A LISTA DE EXERCÍCIOS DO CURSO DE EDP, AGO.-NOV. 2007
Teorema 1.1. Suponha que o ponto P = (x 0 , y 0 , z 0 ) está na superfície integral z = u(x, y). Se γ é uma
curva característica que passa por P , então γ está totalmente em S.
Proof. Seja γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) a solução de (4) com γ(t 0 ) = (x 0 , y 0 , z 0 ). A partir de γ e S formamos a
expressão:
(5) U(t) = z(t) − u(x(t), y(t)).
Obviamente U(t 0 ) = 0 já que P está sobre S. Por (4), temos:
dU
dt = dz
dt − u x(x(t), y(t)) dx
dt − u y(x(t), y(t)) dy
dt = c(x, y, z) − u x(x, y)a(x, y, z) − u y (x, y)b(x, y, z).
Isso pode ser reescrito como a equação diferencial ordinária:
(6)
dU
dt = c(x, y, U + u(x, y)) − u x(x, y)a(x, y, U + u(x, y)) − u y (x, y)b(x, y, U + u(x, y))
para U, onde temos que substituir x, y pelas funções x(t), y(t) da descrição de γ. Agora, U ≡ 0 é uma solução
particular de (7) já que u(x, y) satisfaz (2). Pelo teorema de unicidade para EDO’s, essa é a única solução
se anulando para t = t 0 . Segue que a função U(t) definida por (5) anula-se identicamente. Isso significa
exatamente que a curva γ está em S, como queríamos provar.
□
Como consequência do teorema, duas superfícies integrais que tem um ponto P em comum se intersectam
ao longo de toda a curva característica γ que passa por P . Reciprocamente, se duas superfícies integrais se
intersectam sem tangenciamento ao longo de uma curva γ, então, γ é característica. Para ver isso, sejam
π 1 , π 2 os planos tangentes a S 1 , S 2 no ponto P de γ. Cada um dos planos contém a direção característica
(a, b, c) em P . Como π 1 ≠ π 2 segue que a interseção de π 1 e π 2 tem direção (a, b, c). Como a tangente T
para γ em P também pertence a π 1 e π 2 , segue que T tem a direção (a, b, c) e, portanto, γ é característica.
2. O Problema de Cauchy para equações quasilineares
Agora temos uma descrição simples para a solução geral u de (2): A superfície integral z = u(x, y) é
a união de curvas características. Para se ter uma visão melhor da estrutura da variedade de soluções é
desejavel ter um método definitivo de gerar soluções em termos de um conjunto prescrito F de funções
chamadas “condições iniciais”. Idealmente temos uma aplicação F ↦→ u dos conjuntos de dados F sobre as
soluções u da EDP. O espaço das soluções é, portanto, descrito pelo usualmente mais simples espaço dos
dados. Uma boa parte da teoria das EDP’s está relacionada com o problema de encontrar a u pertecendo à
condição inicial F . (Aqui encontrar usualmente significa estabelecer a existência).
Uma maneira simples de selecionar uma única u(x, y) dentro do conjunto infinito de soluções de (2)
consiste em descrever uma curva Γ no espaço-xyz que está contida na superfície integral z = u(x, y). Seja Γ
representada parametricamente por
(7) x = f(s) y = g(s) z = h(s)
Estamos procurando por uma solução u(x, y) de (2) tal que a relação
(8) h(s) = u(f(s), g(s))
vale identicamente em s. Encontrar a função u(x, y) para os dados iniciais f(s), g(s), h(s) constitui o Problema
de Cauchy para (2). De fato, a mesma curva Γ tem muitas representações paramétricas (8) diferentes para
escolhas diferentes do parâmetro s. Introduzindo um parâmetro diferente σ por uma substituição s = φ(σ)
não mudará a solução u(x, y) do problema do problema de Cauchy.
Estaremos satisfeitos aqui com uma solução local u do nosso problema, definida para valores x, y próximos
de x 0 = f(s 0 ), y 0 = g(s 0 ). Em várias circunstâncias a variável y será identificada com o tempo e x com a

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posição no espaço. Assim é então natural se pôr o problema de encontrar a solução u(x, y) a partir de seus
valores no tempo y = 0:
(9) u(x, 0) = h(x)
Esse problema de valor inicial, obviamente, é o problema de Cauchy no qual a curva Γ tem forma
(10) x = s y = 0 z = h(s)
isto é, Γ está no plano-xz e possui x como parâmetro. Notamos que no problema de valor inicial prescrevemos
uma função simples h(x), que por sua vez é determinada unicamente pela u, enquanto no problema de Cauchy
geral muitas curvas Γ estão correspondem à mesma u. Uma superfície integral contém muitas curvas Γ mas
apenas uma interseção com o plano-x, z.
Sejam então as funções f(s), g(s), h(s), descrevendo Γ, de classe C 1 em uma vizinhança de um valor s 0 .
Seja
(11) P 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) = (f(s 0 ), g(s 0 ), h(s 0 )).
Assuma que os coeficientes a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z) em (2) são de classe C 1 em x, y, z próximo de P 0 .
É intuitivamente claro que a superfície integral z = u(x, y) passando por Γ terá de consistir das curvas
características passando pelos vários pontos de Γ. Assim sendo, formamos para cada s próximo de s 0 uma
solução
(12) x = X(s, t), y = Y (s, t), z = Z(s, t)
das equações características (4) que reduz-se a f(s), g(s), h(s) para t = 0. As funções X, Y, Z então satisfazem
(13) X t = a(X, Y, Z), Y t = b(X, Y, Z), Z t = c(X, Y, Z)
identicamente em s, t e também satisfazem as condições iniciais
(14) X(s, 0) = f(s), Y (s, 0) = g(s), Z(s, 0) = h(s)
Dos teoremas gerais sobre existência e sobre a dependência contínua em relação aos parâmetros das soluções
de EDO’s, segue que há um único conjunto de funções X(s, t), Y (s, t), Z(s, t) de classe C 1 para (s, t) próximo
de (s 0 , 0) que satisfazem (13) e (14).
As equações (12) representarão uma superfície Σ : z = u(x, y) parametrizada em s, t se pudermos resolver
as duas primeiras equações para s, t em termos de x, y na forma s = S(x, y), t = T (x, y). Então, a u definida
por
(15) z = u(x, y) = Z(S(x, y), T (x, y))
será a representação explícita de Σ. Por (11) e (14)
(16) x 0 = X(s 0 , 0), y 0 = Y (s 0 , 0).
Agora, o teorema da função implicíta afirma que podemos encontrar soluções s = S(x, y), t = T (x, y) de
(17) x = X(S(x, y), T (x, y)), y = Y (S(x, y), T (x, y))
de classe C 1 numa vizinhança de (x 0 , y 0 ) e satisfazendo
(18) s 0 = S(x 0 , y 0 ), 0 = T (x 0 , y 0 )
desde que o Jacobiano
(19) J =
∣ X s(s 0 , 0) Y s (s 0 , 0)
X t (s 0 , 0) Y t (s 0 , 0) ∣
não seja nulo. Por (13), (14) isso equivale à condição
(20) J =
f ′ (s 0 ) g ′ (s 0 )
∣ a(x 0 , y 0 , z 0 ) b(x 0 , y 0 , z 0 ) ∣ ≠ 0

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Assim (19) garante que localmente (12) representa uma superfície Σ : z = u(x, y). Que Σ é uma superfície
integral está claro na representação paramétrica (12). Pois num ponto qualquer P as quantidades X t , Y t , Z t
dão a direção da tangente a uma curva s = const. sobre Σ, a qual estará no plano tangente de Σ em P . Assim,
(13) mostra que o plano tangente em qualquer ponto contém a direção característica (a, b, c) e, portanto, Σ
é uma superfície integral.
Pode-se também verificar analiticamente que a função u representada por (15) satisfaz a equação diferencial
(2) expressando-se primeiro u x , u y em termos de S x , S y , T x , T y e então expressando-se essas quatro
quantidades em termos de X s , X t , Y s , Y t usando (17).
Isso completa a prova da existência local da solução do problema de Cauchy, sob a condição (19). A unicidade
segue do Teorema 1.1: Qualquer superfície integral através de Γ terá de conter as curvas características
através dos pontos de Γ e, portanto, terá de conter a superfície representada parametricamente por (12), e,
assim, localmente, terá de ser idêntica à superfície.
A condição (20) é essencial para a existência de uma solução C 1 , u(x, y), do problema de Cauchy. Pois,
se J = 0, encontraríamos de () e (2) que em s = s 0 , x = f(s 0 ), y = g(s 0 ) as três relações
(21) bf ′ − ag ′ = 0, h ′ = f ′ u x + g ′ u y , c = au x + bu y
valem. Essas implicam que
gh ′ − cg ′ = 0, ah ′ − cf ′ = 0
e daí que f ′ , g ′ , h ′ são proporcionais a a, b, c. Portanto, J = 0 é incompatível com a existência de uma
solução, a menos que Γ seja uma característica em s 0 . A propósito, o problema de Cauchy terá infinitas
soluções para uma curva característica Γ, as quais são obtidas passando-se qualquer curva Γ ∗ satisfazendo
(20) através de um ponto P 0 de Γ e resolvendo-se o problema de Cauchy para Γ ∗ .
No caso especial de uma de EDP linear podemos escrever (2) na forma
(22) a(x, y)u x + b(x, y)u y = c(x, y)u + d(x, y)
Aqui, o sistema das três EDO’s características é reduzido ao par
(23)
ou equivalentemente,
(24)
dx
dt
= a(x, y),
dy
dt
dy b(x, y)
=
dx a(x, y)
= b(x, y)
As equações (24) ou (25) determinam um sistema de curvas no plano-xy, chamado de projeções características,
que são projeções sobre o plano-xy das curvas características no espaço-xyz. A curva característica
é obtida de sua projeção x(t), y(t) encontrando-se z(t) por meio da EDO linear
dz
(25)
= c(x(t), y(t))z + d(x(t), y(t))
dt
Indicaremos como proceder para obter no caso mais geral de uma equação quasilinear para uma função
u = u(x 1 , . . . , x n ) de n variavéis independentes. Uma tal equação tem a forma
n∑
(26)
a i (x 1 , . . . , x n , u)u xi = c(x 1 , . . . , x n , u)
i=1
Aqui, as curvas características no espaço-x 1 . . . x n z são dadas pelo sistema de EDO’s
dx i
(27)
dt = a dz
i(x 1 , . . . , x n , z)
dt = c(x 1, . . . , x n , z)
para i = 1, . . . , n. No problema de Cauchy, queremos passar uma superfície integral z = u(x 1 , . . . , x n ) em
R n+1 por uma variedade (n − 1)-dimensional Γ dada parametricamente por
(28) x i = f i (s 1 , . . . , s n−1 ), z = h(s 1 , . . . , s n−1 )

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para i = 1, . . . , n. Para isso, passamos por cada ponto de Γ com parâmetros s 1 , . . . , s n uma curva característica
(solução de (28) igual a (f 1 , . . . , f n , h) em t = 0) representada por
(29) x i = X i (s 1 , . . . , s n−1 , t), z = Z(s 1 , . . . , s n−1 , t)
para i = 1, . . . , n. Essas equações formam uma representação paramétrica da superfície integral desejada
z = u(x 1 , . . . , x n ) desde que as relações (29) possam ser resolvidas para s 1 , . . . , s n−1 , t. Esse é o caso quando
o Jacobiano
∣ ∂f 1
∂f ∂s 1
· · ·
n ∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂s 1
(30) J =
.
.
∂f 1
∂f ∂s n−1
· · ·
n
∂s n−1
∣ a 1 · · · a n
não se anula.
Exemplo 2.1. Considere o problema de Cauchy:
(31) u y + cu x = 0, u(x, 0) = h(x).
com c constante. A curva inicial Γ para (31) é dada por:
x = s, y = 0, z = h(s).
As equações diferenciais características são dadas por:
(32)
Isso leva a representação paramétrica
dx
dt = c,
dy
dt = 1,
dz
dt = 0
x = X(s, t) = s + ct, y = Y (s, t) = t, z = Z(s, t) = h(s)
da superfície integral. Eliminando s, t encontramos para solução do problema de Cauchy (31) a representação
z = h(x − cy)
Exemplo 2.2. EDP de Euler para uma função homogênea u(x 1 , . . . , x n ):
n∑
(33)
x k u xk = αu (α = const. ≠ 0).
k=1
Como o jacobiano da equação (33) é nulo na origem, postulamos o problema de valor inicial
(34) u(x 1 , . . . , x n−1 , 1) = h(x 1 , . . . , x n−1 )
correspondendo a curva inicial Γ dada por:
{
si para i = 1, . . . , n − 1
(35) x i =
1 para i = n
Resolvendo a equação diferencial característica
(36)
dx i
dt = x i,
dz
dt = αz
, z = h(s 1 , . . . , s n−1 ).
para i = 1, . . . , n, somos levados a
{
si e
(37) x i =
t para i = 1, . . . , n − 1
e t , z = e αt h(s
para i = n
1 , . . . , s n−1 ).

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e daí a
(38) z = u(x 1 , . . . , x n ) = x α nh( x 1
, . . . , x n−1
).
x n x n
A solução u satisfaz a equaçao funcional
u(λx 1 , . . . , λx n ) = λ α u(x 1 , . . . , x n )
para qualquer λ > 0, e assim é uma função homogênea de grau α.
Para α < 0 as soluções de (33) geralmente tornam-se singular na origem. Mais precisamente, a única
solução u de (33) de classe C 1 em uma vizinhança da origem é u ≡ 0. Pois, ao longo de qualquer raio
x i = c i t,
a partir da origem parametrizado por t temos por (33)
du
dt =
n
∑
k=1
i = 1, . . . , n
c k u xk (c 1 t, . . . , c n t) = α t u.
Daí ut −α é constante ao longo do raio, e assim u tende a ∞ quando t → 0, a menos que u se anule
identicamente ao longo do raio. Temos aqui um exemplo de uma EDP que tem somente uma única solução
simples se restrigirmos o dominio da solução como sendo um conjunto contendo a origem.
Exemplo 2.3. A solução u = u(x, y) da equação quasilinear
(39) u y + uu x = 0
pode ser interpretada como um campo velocidade sobre o eixo x variando com o tempo y. A equação (39)
então estabelece que toda partícula tem aceleração zero e daí, velocidade constante. Seja
(40) u(x, 0) = h(x)
a distribuição velocidade inicial, correspondendo a variedade Γ no espaço-xyz dada por
(41) x = s, y = 0, , z = h(s).
As equações diferenciais características
dx
(42)
dt = z, dy
dt = 1, dz
dt = 0
combinadadas com a condição inicial (41) para t = 0 nos dá a representação paramétrica
(43) x = s + zt, y = t, , z = h(s)
para a solução z = u(x, y) de (39) e (40). Eliminando s, t de (43) temos a equação implicíta
(44) u = h(x − uy)
para u como uma função de x, y.
A projeção característica C, no x, y-plano passndo através do ponto (s, 0) é a reta
(45) x = s + h(s)y
ao longo do qual u tem valor constante
u = h(s).
Fisicamente (45) para um s fixado representa o caminho do partícula localizada em x = s no tempo t = 0.
Agora, duas características se interceptam em um ponto (x, y) com
(46) y = − s 2 − s 1
h(s 2 ) − h(s 1 )
Se o y em (46) estiver definido, a função deve tomar valores distintos h(s 1 ) e h(s 2 ) em (x, y) e daí não
pode ser avaliada. Há sempre y positivo da forma (46), a menos que h(s) seja uma função não-decrescente

4 a LISTA DE EXERCÍCIOS DO CURSO DE EDP, AGO.-NOV. 2007 7
em s. Para todos os outros h(s) a solução u(x, y) torna-se singular para algum y positivo.(Fisicamente,
uma partícula com uma alta velocidade eventualmente colidirá com uma a sua frente tendo uma velocidade
mais baixa). Em particular, u está limitada a ser singular se a distribuição velocidade inicial h tem suporte
compacto, exceto no caso trivial onde h ≡ 0. A natureza da singularidade torna-se mais clara à medida que
seguimos os valores da derivada u x (x, y) ao longo da característica (45). Nós obtemos de (43) que
(47) u x = h′ (s)
1 + h ′ (s)y
Portanto, para h ′ (s) < 0 obtemos que u x torna-se infinito em um tempo positivo y =
h ′ (s) . O menor y
para o qual isso acontece corresponde ao valor s = s 0 no qual h ′ (s) tem um minimo. No tempo T =
−1
h ′ (s 0)
a solução u experimenta uma ”catástrofe gradiente” ou ”explosão”. Assim, não há uma solução estrita u
de classe C 1 além do tempo T . Esse tipo de comportamento é típico para uma equação diferencial parcial
não-linear.
É possível, entretando, definir soluções fracas de (39) e (40) que existem além do tempo T . Para isso,
(39) deve dar significado a uma classe de funções u que não são necessariamente de classe C 1 nem mesmo
contínuas. Podemos escrever (39) na forma divergente
(48)
∂R(u)
∂y
onde R(u), S(u) são quaisquer funções tais que
+ ∂S(u)
∂x = 0.
(49) S ′ (u) = uR ′ (u)
A relação (48) implica, para qualquer a, b, y, a ”lei de conservação”
(50) 0 = d
dy
∫ b
a
R(u(x, y))dx + S(u(b, y)) − S(u(a, y)).
Reciprocamente, (48) segue de (50) para qualquer u ∈ C 1 . Agora, (50) faz sentido para u mais geral e pode
servir para definir soluções fracas de (48). Em particular, consideramos o caso onde u é uma solução C 1 de
(48) em cada uma das duas regiões no plano-xy separada por uma curva x = ξ(y), através da qual a solução
u dá um salto. Denotando os limites de u à esquerda e à direita, respectivamente, por u − e u + , obtemos de
(50) para a < ξ(y) < b
0 = S(u(b, y)) − S(u(a, y)) + d ∫ ξ
dy ( R(u)dx +
= S(u(b, y)) − S(u(a, y)) + ξ ′ R(u − ) − ξ ′ R(u + )
−
∫ ξ
a
∫
∂S(u) b
∂x
dx − ξ
∂S(u)
∂x
dx
= −(R(u + ) − R(u − ))ξ ′ − S(u − ) + S(u + ).
Daí, encontramos a relação(“condição de choque”)
(51)
referindo a velocidade de propagação dξ
dy
dξ
dy = S(u+ ) − S(u − )
R(u + ) − R(u − )
a
∫ b
ξ
R(u)dx)
da descontinuidade de u através do seu salto. Observemos que
(51) depende não apenas da equação diferencial parcial (39) mas também da escolha das funções R(u), S(u)
satisfazendo (49).
−1

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3. Exercícios
Exercício 3.1. Resolva os seguintes problemas de Cauchy
(1) u x + u y = u 2 , u(x, 0) = h(x).
(2) u y = xuu x , u(x, 0) = x.
(3) xu x + yu y + u z , u(x, y, 0) = h(x, y).
(4) xu y − yu x = u, u(x, 0) = h(x).
Exercício 3.2. Seja u uma solução de
a(x, y)u x + b(x, y)u y = −u
de classe C 1 na bola fechada B de R 2 . Suponha que a(x, y)x + b(x, y)y > 0 em ∂B. Prove que u se anula
identicamente. (Dica: Mostre que max B u ≤ 0 e min B u ≥ 0.)
Exercício 3.3. Seja u uma solução fraca localmente limitada de
u t + f(u) x = 0
para a < t < b, f contínua e assuma que u é de variação limitada para cada t fixo. Seja x(t) com a < t < b
uma função real Lipschitz. Prove que
para quase todo t ∈ (a, b).
f(u(t, x(t) + )) − f(u(t, x(t) − )) = x ′ (t)(u(t, x(t) + ) − u(t, x(t) − ).
Exercício 3.4. Mostre que a função u definida para y ≥ 0 por:
{
−
2
(52) u = 3 (y + √ 3x + y 2 ) para 4x + y 2 > 0
0 para 4x + y 2 < 0
é uma solução fraca de (39) para R(u) = u, S(u) = u2
2 .
Exercício 3.5. Defina uma solução fraca u(x, y) de (39) como uma função para a qual a relação
∫
R 2 (R(u)φ y + S(u)φ x ) dx dy
vale para qualquer função φ(x, y) ∈ C ∞ c (R 2 ). Mostre que essa nova definição implica a condição (51).
Exercício 3.6. Mostre que a solução u da equação diferencial parcial quasilinear
u y + a(u)u x = 0
com condição inicial u(x, 0) = h(x) é dada implicitamente por
u = h(x − a(u)y)
Mostre que a solução torna-se singular para algum positivo y, a menos que a(h(s)) é uma função nãodecrescente
de s.