Pequeno Teorema de Fermat Seja p um primo e a ∈ Z. Ent˜ao ap ...

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Teoremas Fundamentais da Aritmética Modular Pequeno Teorema de Fermat Demonstração (efectuada por Euler em 1730) : p = 2 a 2 ≡ a (mod 2) ⇔ 2 | a(a − 1) e a(a − 1) é par. p > 2 Para a = 0 e a = 1 a afirmação é verdadeira. Por hipótese de indução, suponhamos que, para certo a ∈ N 0 , a p ≡ a (mod p). Então, (a + 1) p ≡a p + ( p 1 )ap−1 + · · · + ( p p−1 )a + 1 (mod p) ≡a p + 1 (mod p) ≡a + 1 (mod p) Logo a p ≡ a (mod p), para todo a ∈ N 0 . Como p − 1 é par, então a p−1 = (−a) p−1 pelo que a afirmação é válida para todo o a ∈ Z. M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC
Teoremas Fundamentais da Aritmética Modular Pequeno Teorema de Fermat Exemplo 2 50 + 3 50 é divisível por 13. 2 50 =2 4·12+2 = (2 12 ) 4 · 2 2 logo 2 50 ≡2 2 (mod 13) 3 50 =3 4·12+2 = (3 12 ) 4 · 3 2 logo 3 50 ≡3 2 (mod 13) 2 50 + 3 50 ≡2 2 + 3 2 (mod 13) ≡0 (mod 13) M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC
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