Pequeno Teorema de Fermat Seja p um primo e a ∈ Z. Ent˜ao ap ...

Teoremas Fundamentais da Aritmética Modular
Pequeno Teorema de Fermat
Demonstração (efectuada por Euler em 1730) :
p = 2 a 2 ≡ a (mod 2) ⇔ 2 | a(a − 1) e a(a − 1) é par.
p > 2 Para a = 0 e a = 1 a afirmação é verdadeira.
Por hipótese de indução, suponhamos que, para
certo a ∈ N 0 , a p ≡ a (mod p).
Então,
(a + 1) p ≡a p + ( p 1 )ap−1 + · · · + ( p
p−1
)a + 1 (mod p)
≡a p + 1 (mod p)
≡a + 1 (mod p)
Logo a p ≡ a (mod p), para todo a ∈ N 0 .
Como p − 1 é par, então a p−1 = (−a) p−1 pelo que a afirmação
é válida para todo o a ∈ Z.
M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC