Pequeno Teorema de Fermat Seja p um primo e a ∈ Z. Ent˜ao ap ...

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Teoremas Fundamentais da Aritmética Modular Teorema de Euler Exercícios 1 Prove que existe uma infinidade de números primos usando a função φ. 2 Escreva uma função no Mathematica que calcule φ(n), para n ∈ N. 3 Teste a função definida no exercício anterior calculando φ(120) e φ(225). 4 Determine os valores de n para os quais φ(n) = 6. 5 Determine os valores de n para os quais φ(n) = n − 2. M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC
Teoremas Fundamentais da Aritmética Modular Teorema de Euler Teorema de Euler Se a e m são inteiros tais que m.d.c.(a, m) = 1, então a φ(m) ≡ 1 (mod m). Demonstração: Se r 1 , . . . , r φ(m) são os elementos invertíveis módulo m num sistema completo de resíduos, então ar 1 , . . . , ar φ(m) são invertíveis e incongruentes dois a dois módulo m. ar 1 · · · ar φ(m) = a φ(m) (r 1 · · · r φ(m) ) ≡ r 1 · · · r φ(m) (mod m). Como m.d.c.(r i , m) = 1, então a φ(m) ≡ 1 (mod m). M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Números Computacional LCC
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