Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

tem um ponto de sela em (0, 0) , quando β < 0.
15) Prove que o campo de vetores
X (x, y) = ( −αx + xy, 1 − βy − x 2)
tem uma única singularidade quando αβ > 1 e que essa singularidade é atratora
quando β > 0.
16) Prove que a solução do PVI
{ x ′′ + 2x − x 2 = 0
x (0) = 1, x ′ (0) = 0
é periódica.
17) O sistema {
x ′ = 3 ( x + y − 1 3 x3 − k )
y ′ = − 1 3
(x + 0.8y − 0.7)
é um caso especial das equações de Fitzhugh-Nagumo, que modelam a transmissão
de impulsos nervosos ao longo de um axônio. O parâmetro k é o estímulo
externo.
a) Para k = 0, mostre que existe apenas um ponto singular. Determine-o
e mostre que se trata de um foco atrator. Repita a análise para k = 0.5 e
mostre que a singularidade agora é um foco repulsor. Desenhe retratos de fase
do sistema para os dois valores de k.
b) Determine o valor k 0 para o qual a singularidade muda de atratora para
repulsora. Desenhe o retrato de fase do sistema para o valor k 0 .
c) Mostre que para k ≥ k 0 o sistema admite uma órbita periódica.
d) Verifique que a órbita periódica existe para uma faixa de valores de k
menores que k 0 . Determine o menor valor de k para o qual existe uma órbita
periódica.
18)
a)Utilizando o Teorema de Green prove que se U 0 ⊆ U é um aberto simplesmente
conexo e tal que div (X) não é identicamente nulo e nem troca de sinal
em U 0 então X não possui órbita periódica inteiramente contida em U 0 .
b) Prove que
X (x, y) = ( y − x 3 , −x 3)
não possui órbita periódica alguma. Esboce o retrato de fase e verifique que a
não existência de órbitas periódicas não é óbvia.
19) Verifique se a origem é uma singularidade estável ou até assintoticamente
estável de cada um dos campos seguintes:
a)X (x, y) = ( −2x − y 2 , −y − x 2)
b)X (x, y) = ( −x − 2y 2 , −y 3 + xy )
c)X (x, y) =
(−x + 2x (x + y) 2 , −y 3 + 2y 3 (x + y) 2)
d)X (x, y) = ( y − xy 2 , x 3)
e)X (x, y) = ( x 3 − x − y, x )
(
f)X (x, y) = −x − x3
3
− 2 sin y, −y −
y3
3
)
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