Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

7) Classifique a singularidade (0, 0) dos campos:
[ ] [ ]
−5 3
−5 3
a)
d)
[
2 7
] [
2 −7
]
−5 3
−5 3
b)
e)
[
−2 5
] [
−7 4
]
−
3 1
3 1
c) 2 4
−1 − 1 g) 2 4
1
2
−1
2
8) Estabeleça condições sobre a constante µ de modo que (0, 0) seja um
centro [ ] −µ 1
.
−1 µ
9) Estabeleça condições sobre a constante µ de modo que (0, 0) seja um foco
atrator [
0 1
]
−1 µ
10) Prove que (0, 0) é sempre uma singularidade repulsora de
[
µ
]
1
−1 1
onde µ é uma constante real e µ ≠ 1. Quando é que (0, 0) é um ponto de sela
E foco repulsor
11) Seja γ = γ (t) uma trajetória do campo linear
[ ]
α −β
β
α
passando por um ponto p 0 . Estabeleça condições sobre α e β que garantam que
lim γ (t) = 0
t→+∞
12) Prove que (0, 0) é uma singularidade atratora do campo
X (x, y) = ( αx − βy + y 2 , βx + αy − xy ) .
13) Classifique as singularidades dos campos:
a)X (x, y) = (1 − 2xy, 2xy − y) e)X (x, y) = ( x 2 − y 2 − 1, 2y )
b)X (x, y) = ( y − x 2 + 2, x 2 − xy ) f)X (x, y) = ( 2x − y 2 , −y + xy )
c)X (x, y) = ( −3x + y 2 + 2, x 2 − y 2) g)X (x, y) = ( xy − 3y − 4, y 2 − x 2)
d)X (x, y) = ( −2xy, y − x + xy − y 3)
14) Prove que a equação diferencial não linear de 2 a ordem
(
1 + α 2 x 2) x ′′ +
(
β 2 + (x ′ ) 2) x = 0
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