Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

2) Faça um esboço do comportamento dos seguintes campos polinomiais:
a)X (x, y) = ( −x 2 , −2y 2) d)X (x, y) = ( −4x 3 + 6x 2 − 2x, −2y )
b)X (x, y) = ( x 2 − y 2 , 2xy ) e)X (x, y) = ( x, −y + x 3)
c)X (x, y) = ( x, x 3)
3) Obtenha explicitamente a trajetória maximal de X : R n → R n por x 0 ∈
R n e t 0 ∈ R arbitrários, nos seguintes casos:
a)n = 1 e X (x) = x 2 d)n = 2 e X (x, y) = (2x, y)
b)n = 2 e X (x, y) = (−y, x) e)n = 2 e X (x, y) = ( x 2 , 2y )
c)n = 2 e X (x, y) = (−x, y) f)n = 3 e X (x, y, z) = ( −y, x, − 1 2 z)
4) Escreva a EDO de segunda ordem como sistema autônomo plano e ache
todos os pontos singulares:
a)x ′′ + 9 sin x = 0 d)x ′′ + (x ′ ) 2 + 2x = 0
b)x ′′ + x ′ (1 − x 3 ) − x 2 = 0 e)x ′′ + 4x
1+x
+ 2x ′ = 0
2
c)x ′′ + x = εx 3 , ε > 0
5) Encontre as trajetórias e esboce o retrato de fase dos seguintes campos
lineares:
[ ] 1 2
a)
4 3
[ ] −4 2
b)
− 5 2
2
[ ] 10 −5
c)
8 −12
[ ] 0 2
d)
8 0
[ 1
]
e) 2
9
1
f)
2
2
[ −6 2
−3 1
6) Usando coordenadas polares encontre as trajetórias dos campos dados,
passando pelos pontos dados. Descreva o comportamento geométrico.
(
a)X (x, y) = −y − x ( x 2 + y 2) 2 (
, x − y x 2 + y 2) ) 2
, p = (4, 0)
b)X (x, y) = ( y + x ( x 2 + y 2) , −x + y ( x 2 + y 2)) , p = (4, 0)
c)X (x, y) = ( −y + x ( 1 − x 2 − y 2) , x + y ( 1 − x 2 − y 2)) , p = (1, 0)
(
x (
d)X (x, y) = y − √ 4 − x 2 − y 2) y (
, −x − √ 4 − x 2 − y 2)) ,
x2 + y 2 x2 + y 2
p = (1, 0) e p = (2, 0)
]
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