Curso de EquaÃ§Ãµes Diferenciais OrdinÃ¡rias - Unesp

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{ x 2) Considere o seguinte sistema linear ′ = x y ′ = −y . Temos: ϖ(1, 0) = ∅, α(1, 0) = {(0, 0)} ϖ(0, 1) = {(0, 0)}, α(0, 1) = ∅ Algumas Propriedades: Se a semi-órbita positiva γ + (P ) é limitada então: conexo e invariante isto é ϖ(γ) ≠ ∅, é compacto; Q ∈ ϖ(γ) ⇒ ϕ(Q, t) ∈ ϖ(γ) Propriedades semelhante são satisfeitas pelo α−limite. Teorema (Poincaré-Bendixon): Se a semi-órbita positiva é limitada e o ϖ-limite não contém singularidades então ele é uma órbita periódica ( isto é, é o traço de uma curva fechada). Não iremos provar o teorema mas iremos dar um exemplo de aplicação. Ressaltamos também que este teorema somente é válido no plano. Indicamos [S 2 ]. Exemplo: Considere a seguinte edo de 2 a ordem x ′′ + (2x 2 + (x ′ ) 2 − 2)x ′ + x = 0. Observemos que esta equação sequer é linear. No entanto somos capazes de provar que existe uma solução periódica. Começamos transformando a equação em um sistema: y = x ′ y ′ = x ′′ = −(2x 2 + y 2 − 2)y − x { x ′ = y y ′ = −(2x 2 + y 2 − 2)y − x . Vamos provar que existe uma órbita periódica no anel Ω = {(x, y)|1 < x 2 + y 2 < 3}. A única singularidade do sistema é (0, 0). Assim em Ω não temos singularidades. Vamos provar que o anel é invariante pelo fluxo do sistema. Temos Assim temos d dt (x2 + y 2 ) = −2y 2 (2x 2 + y 2 − 2) (*) x 2 + y 2 = 3 ⇒ ∗ < 0 x 2 + y 2 = 1 ⇒ ∗ > 0 94
Logo, considerando P ∈ Ω, pelo Teorema de Poincaré-Bendixon, ϖ(P ) é uma órbita periódica. Exercícios 1) Faça um esboço do comportamento dos seguintes campos lineares a) [ 1 ] 2 2 b) [ −2 2 ] c) [ 0 1 0 0 d) [ 1 2 −2 2 0 e) [ 0 1 1 0 f) [ −1 −1 1 −1 ] ] ] ] g) ⎡ ⎣ 1 −1 0 ⎤ ⎦ h) ⎡ ⎣ 1 −2 2 ⎤ ⎦ i) ⎡ ⎣ 0 −1 0 ⎤ ⎦ j) ⎡ ⎣ −1 −1 1 −1 1 ⎤ ⎦ 95
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2 Equações Diferenciais Ordinári
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2) Da mesma forma como no anterior
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Exemplos: 1) { y ′ + 2ty = t y (0
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a) Desenhe um campo de direções.
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e obtemos o problema { v ′ + 3 t
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Observação: É comum escrevermos
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temos Escrevendo x ′ (t) = dx dt
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e assim V x = P, V y = Q. e) Basta
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Observação: É claro que ω = P d
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obtemos − y x 2 dx + 1 x dy = 0 q
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Método Prático Algumas diferencia
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Dada a equação ( ) x y ′ = f (x
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sobre eventuais problemas em t = 1.
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Como ∂f ∂y é contínua temos q
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1) Resolva a EDO: a)y ′ = x2 y b)
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Como segue que e assim y (0) = 30 =
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Assim 0 
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Calculando a primitiva dos dois lad
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4 Equações Diferenciais Ordinári
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