Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

{
x
2) Considere o seguinte sistema linear
′ = x
y ′ = −y
. Temos:
ϖ(1, 0) = ∅, α(1, 0) = {(0, 0)}
ϖ(0, 1) = {(0, 0)}, α(0, 1) = ∅
Algumas Propriedades:
Se a semi-órbita positiva γ + (P ) é limitada então:
conexo e invariante isto é
ϖ(γ) ≠ ∅, é compacto;
Q ∈ ϖ(γ) ⇒ ϕ(Q, t) ∈ ϖ(γ)
Propriedades semelhante são satisfeitas pelo α−limite.
Teorema (Poincaré-Bendixon): Se a semi-órbita positiva é limitada e o
ϖ-limite não contém singularidades então ele é uma órbita periódica ( isto é, é
o traço de uma curva fechada).
Não iremos provar o teorema mas iremos dar um exemplo de aplicação.
Ressaltamos também que este teorema somente é válido no plano. Indicamos
[S 2 ].
Exemplo: Considere a seguinte edo de 2 a ordem
x ′′ + (2x 2 + (x ′ ) 2 − 2)x ′ + x = 0.
Observemos que esta equação sequer é linear. No entanto somos capazes de
provar que existe uma solução periódica. Começamos transformando a equação
em um sistema:
y = x ′
y ′ = x ′′ = −(2x 2 + y 2 − 2)y − x
{ x ′ = y
y ′ = −(2x 2 + y 2 − 2)y − x .
Vamos provar que existe uma órbita periódica no anel Ω = {(x, y)|1 <
x 2 + y 2 < 3}.
A única singularidade do sistema é (0, 0). Assim em Ω não temos singularidades.
Vamos provar que o anel é invariante pelo fluxo do sistema. Temos
Assim temos
d
dt (x2 + y 2 ) = −2y 2 (2x 2 + y 2 − 2) (*)
x 2 + y 2 = 3 ⇒ ∗ < 0
x 2 + y 2 = 1 ⇒ ∗ > 0
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