Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

[
−1 0
JX (0, 0) =
0 0
]
.
Como provar que a origem é de fato assintoticamente estável
6.5 Funções de Lyapounov
Definição: Sejam X : U → R 2 um campo e V : U 0 → R uma função
diferenciável. Para cada x ∈ U ∩ U 0 definimos a derivada de V na direção de
X por
V X ′ (x) = V ′ (x) .X (x) = 〈gradV (x) , X (x)〉.
Definição: Sejam X : U → R n um campo de classe C 1 no aberto U ⊆ R n
com uma singularidade p ∈ U e V : U 0 → R uma função qualquer.
Dizemos que V é uma FUNÇÃO DE LYAPOUNOV para X em p se e
somente se:
a) p ∈ U 0 ∩ U e V é diferenciável no aberto U 0 ⊆ R n ;
b) Para todo x ∈ U 0 tem-se V (x) ≥ 0 com V (x) = 0 se e somente se x = p;
c) Para todo x ∈ U 0 tem-se V X ′ (x) ≤ 0.
Dizemos que V é uma FUNÇÃO DE LYAPOUNOV ESTRITA para X em
p se e somente se V é uma FUNÇÃO DE LYAPOUNOV para X em p e
∀x ∈ U ∩ U 0 : V ′ X (x) = 0 ⇔ x = p.
Teorema: Seja X : U → R 2 um campo de classe C 1 no aberto U ⊆ R 2
com uma singularidade p ∈ U.
a) Se existe uma FL para X em p então p é uma singularidade estável de
X.
b) Se existe uma FLE para X em p então p é uma singularidade assintoticamente
estável de X.
Exemplo: Seja
X (x, y) = ( −x − xy 2 , −xy 2 − y 3) .
É fácil verificar que a origem é a única singularidade de X. Como
[ ] −1 0
JX (0, 0) =
0 0
o primeiro teorema não se aplica.
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