Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Os pontos singulares do campo de vetores são (kπ, 0) , k ∈ Z.
A matriz jacobiana de X é dada por
[ ]
0 1
JX(x, y) =
− g l
0
Para (x, y) = (kπ, 0) , k ∈ Z, par, a singularidade (0, 0) é um centro da
jacobiana e para k ímpar a singularidade (0, 0) será uma sela.
Para visualizarmos o retrato de fase dividimos y ′ por x ′ e obtemos
dy
dx = − g l sin x
y
e assim concluímos que as soluções estão contidas nas curvas de nível de
V (x, y) = y2
2 − g l cos x
Teorema: Seja p um ponto singular isolado de um campo de vetores X ∈
C 1 . Se os auto-valores de JX(p) têm partes reais negativas então p é uma
singularidade assintoticamente estável e se houver um auto-valor com parte real
positiva então p é um ponto singular instável.
Exemplos:
1) Utilizando o teorema acima podemos classificar as singularidades de
X (x, y) = ( x 2 + y 2 − 6, x 2 − y ) .
Temos que os pontos singulares são (√ 2, 2 ) e ( − √ 2, 2 ) . Temos
(√ )
JX 2, 2
(
JX − √ )
2, 2
=
=
[ √ ]
2 2 4
2 √ 2 −1
[ √ ]
−2 2 4
−2 √ 2 −1
Como o determinante da primeira é negativo então JX (√ 2, 2 ) tem um autovalor
positivo e portanto a singularidade (√ 2, 2 ) é instável. Como o determinante
da segunda é positivo e o traço é negativo então JX (√ 2, 2 ) tem ambos
auto-valores com partes reais negativas e portanto a singularidade ( − √ 2, 2 ) é
assintoticamente estável.
2) Seja X : R 2 → R 2 o campo definido por
X (x, y) = ( −x, −y 3) .
Observe que a origem é a única singularidade de X e obtemos uma boa idéia
de como deve ser o retrato de fase.
A origem parece ser assintoticamente estável mas o teorema anterior permanece
mudo a respeito já que
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