Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
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Os pontos singulares do campo <strong>de</strong> vetores são (kπ, 0) , k ∈ Z.<br />
A matriz jacobiana <strong>de</strong> X é dada por<br />
[ ]<br />
0 1<br />
JX(x, y) =<br />
− g l<br />
0<br />
Para (x, y) = (kπ, 0) , k ∈ Z, par, a singularida<strong>de</strong> (0, 0) é um centro da<br />
jacobiana e para k ímpar a singularida<strong>de</strong> (0, 0) será uma sela.<br />
Para visualizarmos o retrato <strong>de</strong> fase dividimos y ′ por x ′ e obtemos<br />
dy<br />
dx = − g l sin x<br />
y<br />
e assim concluímos que as soluções estão contidas nas curvas <strong>de</strong> nível <strong>de</strong><br />
V (x, y) = y2<br />
2 − g l cos x<br />
Teorema: Seja p um ponto singular isolado <strong>de</strong> um campo <strong>de</strong> vetores X ∈<br />
C 1 . Se os auto-valores <strong>de</strong> JX(p) têm partes reais negativas então p é uma<br />
singularida<strong>de</strong> assintoticamente estável e se houver um auto-valor com parte real<br />
positiva então p é um ponto singular instável.<br />
Exemplos:<br />
1) Utilizando o teorema acima po<strong>de</strong>mos classificar as singularida<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
X (x, y) = ( x 2 + y 2 − 6, x 2 − y ) .<br />
Temos que os pontos singulares são (√ 2, 2 ) e ( − √ 2, 2 ) . Temos<br />
(√ )<br />
JX 2, 2<br />
(<br />
JX − √ )<br />
2, 2<br />
=<br />
=<br />
[ √ ]<br />
2 2 4<br />
2 √ 2 −1<br />
[ √ ]<br />
−2 2 4<br />
−2 √ 2 −1<br />
Como o <strong>de</strong>terminante da primeira é negativo então JX (√ 2, 2 ) tem um autovalor<br />
positivo e portanto a singularida<strong>de</strong> (√ 2, 2 ) é instável. Como o <strong>de</strong>terminante<br />
da segunda é positivo e o traço é negativo então JX (√ 2, 2 ) tem ambos<br />
auto-valores com partes reais negativas e portanto a singularida<strong>de</strong> ( − √ 2, 2 ) é<br />
assintoticamente estável.<br />
2) Seja X : R 2 → R 2 o campo <strong>de</strong>finido por<br />
X (x, y) = ( −x, −y 3) .<br />
Observe que a origem é a única singularida<strong>de</strong> <strong>de</strong> X e obtemos uma boa idéia<br />
<strong>de</strong> como <strong>de</strong>ve ser o retrato <strong>de</strong> fase.<br />
A origem parece ser assintoticamente estável mas o teorema anterior permanece<br />
mudo a respeito já que<br />
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