Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

{ x
2) Consideremos o seguinte sistema
′ = −y − x √ (x 2 + y 2 )
y ′ = x − y √ (x 2 + y 2 )
coordenadas polares temos
. Utilizando
r ′ cos θ − r sin θθ ′ = x ′ = −r sin θ − r 2 cos θ
r ′ sin θ + r cos θθ ′ = y ′ = r cos θ − r 2 sin θ
r ′ = −r 2
rθ ′ = r
e assim nosso sistema fica { r ′ = −r 2
θ ′ = 1
Assim
r(t) = 1 , θ(t) = t + θ 0
t + c
Claramente vemos que o retrato de fase apresenta um foco atrator com
sentido anti-horário na origem. Note que a parte linear do sistema apresenta
um centro na origem.
3) ( O Pêndulo Simples sem Atrito)
Consideremos um corpo de massa m preso na haste de um pêndulo.
Suponhamos que a haste tenha comprimento l. Vamos descrever o movimento
do corpo em cima da circunferência de raio l. Se o ângulo que a haste faz
com a posição de equilíbrio é θ então o comprimento de circunferência percorrido
é
s (t) = lθ (t)
A aceleração será dada por
s ′′ (t) = lθ ′′ (t)
Vamos supor que a única força que atua no corpo seja a componente tangencial
da gravidade g:
F (s, s ′ ) = −mg sin s l
Assim temos, pela segunda Lei de Newton
mlθ ′′ = −mg sin θ
e portanto a equação diferencial que descreve o movimento do corpo é
θ ′′ + g l
sin θ = 0.
Fazendo
obtemos o sistema
x = θ, y = θ ′
{
x ′ = y
y ′ = − g l sin θ .
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