Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Note que a parte linear na origem é um centro e no entanto a origem é um
foco do sistema acima.
Teorema de Grobman & Hartman : Sejam X = (f, g) : U → R 2 ,
U ⊂ R 2 aberto , um campo vetorial de classe C 1 e p ∈ U um ponto singular
hiperbólico. Existem vizinhanças V de p em U e W de (0, 0) em R 2 tais que
X|V é topologicamente conjugado a JX(p) restrito a W.
Exemplos:
⎧
⎨ x ′ = −x −
1) Consideremos o seguinte sistema
⎩ y ′ = −y +
√ y
ln (x 2 +y 2 )
√ x
ln (x 2 +y 2 )
Vamos utilizar coordenadas polares para entender seu retrato de fase:
x = r cos θ
y = r sin θ
Assim temos
r ′ cos θ − r sin θθ ′ = x ′ = −r cos θ − r sin θ
ln r
r ′ sin θ + r cos θθ ′ = y ′ = −r sin θ + r cos θ
ln r
Multiplicando a primeira equação por (cos θ) e a segunda por (sin θ) e finalmente
somando as duas obtemos
r ′ = −r.
Multiplicando a primeira equação por (− sin θ) e a segunda por (cos θ) e
finalmente somando as duas obtemos
rθ ′ =
θ ′ =
r
ln r
1
ln r
e assim nosso sistema fica
{ r ′ = −r
θ ′ = 1
ln r
e temos
r(t) = c exp(−t), c > 0
θ ′ (t) =
1
ln c − t
Claramente vemos que o retrato de fase apresenta um foco atrator com
sentido horário na origem. Note que a parte linear do sistema apresenta um nó
atrator na origem.
89