Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Exemplo: Consideremos os campos de vetores dados por X = (x, −y) e
Y = (x, −y + x 3 )
Seus fluxos são dados respectivamente por ϕ(t, x, y) = (xe t , ye −t ) e ψ(t, x, y)
= (xe t , (y − x3
4 )e−t + x3
4 e3t ) .
A aplicação h : R 2 → R 2 dada por h(x, y) = (x, y + x3
4
) define uma
C r −Conjugação.
Teorema do Fluxo Tubular: Sejam X : U → R 2 , U ⊂ R 2 aberto e p ∈ U
um ponto regular de X ∈ C k . Então existe um difeomorfismo de classe C k que
conjuga X em uma vizinhança de p com o campo constante Y = (1, 0) restrito
a uma vizinhança da origem (0, 0).
Demonstração: Daremos apenas uma idéia de como construir o difeomorfismo
. Como p é um ponto regular existe uma seção transversal ao campo por
p isto é, existe uma aplicação
satisfazendo
A difeomorfismo será dado por
ξ : (−δ, δ) → R 2
ξ (0) = p
Iξ ′ (s) ⊕ X (ξ (s)) = R 2 , ∀s ∈ (−δ, δ) .
h (t, s) = ϕ(t, ξ (s)).
Definição: Um ponto singular p de um campo vetorial X = (f, g) de classe
C 1 chama-se HIPERBÓLICO se os auto-valores de
[ ∂f
∂x
JX(p) =
(p) ∂f
∂y (p)
]
∂g
∂x (p) ∂g
∂y (p)
tem parte real diferente de zero.
É imediato verificarmos que (0, 0) é uma singularidade hiperbólica do campo
linear X ′ = AX se e somente se os auto-valores de A tem parte real não nula.
Como vimos anteriormente, as fontes, os poços, os nós , as selas e os focos
são hiperbólicos. Já o centro nos fornece um exemplo de singularidade não
hiperbólica.
Uma singularidade não deixa de ser hiperbólica se perturbarmos ligeiramente
o campo de vetores. O mesmo não ocorre com o centro, como vimos com o
exemplo
X(x, y) = (−x −
X(0, 0) = (0, 0)
y
ln √ (x 2 + y 2 ) , −y + x
ln √ (x 2 + y 2 ) )
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