Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

d) ASSINTOTICAMENTE INSTÁVEL se
∃ε > 0tal que
(||(x(0), y(0)) − (x 1 , y 1 )|| < ε ⇒ lim
t→−∞ (x(t), y(t)) = (x 1, y 1 ))
Exemplos:
{ x
1) A singularidade (0, 0) de
′ = 2x
y ′ = −4y é instável.
{ x
2) A singularidade (0, 0) de
′ = −y
y ′ é estável.
{
= x
x
3) A singularidade (0, 0) de
′ = −x − y
y ′ é assintoticamente estável.
{
= x − y
x
4) A singularidade (0, 0) de
′ = x − y
y ′ é assintoticamente instável.
{
= x + y
x
5)A singularidade (0, 0) de
′ = −2x
y ′ é assintoticamente estável.
= −y
Observação:
Dado o campo de vetores linear
X ′ = AX
temos que :
a) A singularidade (0, 0) é assintoticamente estável se e somente se os autovalores
de A tiverem partes reais negativas.
b) A singularidade (0, 0) é assintoticamente instável se e somente se os autovalores
de A tiverem partes reais positivas.
6.4 Sistemas de EDO’s não Lineares no Plano
Nesta seção vamos dar uma pequena noção do comportamento qualitativo
de alguns sistemas de edo’s não lineares no plano.
Definição: Dois campos vetoriais X, Y definidos em abertos U e V de R 2 ,
respectivamente, são ditos TOPOLOGICAMENTE EQUIVALENTES quando
existe um homeomorfismo h : U → V que leva órbitas de X em órbitas de Y
preservando a orientação.
Observações:
1) Se a aplicação h da definição acima for de classe C r dizemos que X e Y
são C r −EQUIVALENTES.
2) Denotando ϕ e ψ os fluxos de X e Y, respectivamente, dizemos que h é
uma CONJUGAÇÃO TOPOLÓGICA se h(ϕ(t, x, y)) = ψ(t, h(x, y)).
3) Se a aplicação h de 2) for de classe C r dizemos que X e Y são C r −CONJUGADOS.
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