Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

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(y 1 (t), y 2 (t)) = (ae t cos t − be t sin t, be t cos t + ae t sin t)
(x 1 (t), x 2 (t)) = ((a + b)e t cos t + (a − b)e t sin t, −be t cos t − ae t sin t).
Dado um sistema linear
X ′ = AX
podemos classificar a singularidade (0, 0) a partir do polinômio característico de
A.
p(λ) = λ 2 − (tra A)λ + det A
∆ = (tra A) 2 − 4 det A
∆ det tra (0, 0)
> 0 < 0 ∈ R SELA
> 0 > 0 < 0 NÓ AT RAT OR
> 0 > 0 > 0 NÓ REP ULSOR
< 0 ∈ R = 0 CENT RO
< 0 ∈ R < 0 F OCO AT RAT OR
< 0 ∈ R > 0 F OCO REP ULSOR
= 0 ∈ R > 0 NÓ REP ULSOR
= 0 ∈ R < 0 NÓ AT RAT OR
6.3 Noções de Estabilidade Local
Conside o sistema de EDO’s
{ x ′ = f(x, y)
y ′ = g(x, y)
(*)
onde f, g ∈ C 1 em um aberto U ⊂ R 2 .
Definição: Uma singularidade (x 1 , y 1 ) de (*) é dita:
a) ESTÁVEL se (∀ε > 0, ∃δ > 0)tal que
(||(x(0), y(0)) − (x 1 , y 1 )|| < δ ⇒ ||(x(t), y(t)) − (x 1 , y 1 )|| < ε, ∀t > 0)
b) INSTÁVEL se não for estável.
c) ASSINTOTICAMENTE ESTÁVEL se
∃ε > 0tal que
(||(x(0), y(0)) − (x 1 , y 1 )|| < ε ⇒ lim
t→+∞ (x(t), y(t)) = (x 1, y 1 ))
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