Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Se β < 0 o campo de vetores é do tipo
Se α < 0 a singularidade (0, 0) é chamada de FOCO ATRATOR, no sentido
anti-horário se β > 0 e no sentido horário se β < 0.
Se β > 0 o campo de vetores é do tipo
Se β < 0 então o campo de vetores é do tipo
Observe que o sinal de α determina se a singularidade é atratora ou repulsora.
Já o sinal de β está relacionado com o sentido da rotação.
Exemplos onde A não está na forma canônica:
1) Considere o seguinte sistema
[ ]
X ′ 1 −1
=
X.
−2 0
Seu polinômio característico é dado por p(λ) = λ 2 − λ − 2 , e as raízes
deste polinômio são 2 e −1. Os auto-vetores associados aos auto-valores são
respectivamente (1, −1) e (1, 2).
Consideramos a base formada por estes auto-vetores: B = {(1, −1), (1, 2)}.
Temos então
[ ]
[ ]
[ ]
y1
x1
Y = = P X = P , P −1 1 1
=
y 2 x 2 −1 2
[
Y ′ = P X ′ = P
Assim
1 −1
−2 0
]
X = P
[
1 −1
−2 0
(y 1 (t), y 2 (t)) = (ae 2t , be −t )
]
P −1 Y =
(x 1 (t), x 2 (t)) = (ae 2t + b −t , −ae 2t + 2be −t ).
2) Considere o seguinte sistema
X ′ =
[ 0 −2
1 2
]
X.
[ 2 0
0 −1
Seu polinômio característico é dado por p(λ) = λ 2 − 2λ + 2 e as raízes deste
polinômio são 1 + i e 1 − i. O auto-vetor complexo associado ao auto-valor 1 + i
é (1 + i, −i).
Consideramos a base formada pelas partes real e imaginária: B = {(1, 0), (1, −1)}.
Temos então
[
y1
]
Y = = P X = P
y 2
[
Y ′ = P X ′ 0 −2
= P
1 2
[
x1
]
x 2
]
X = P
[ ]
, P −1 1 1
=
0 −1
[ ] 0 −2
P −1 Y =
1 2
[ 1 −1
1 1
]
Y
]
Y.
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