Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Se λ > 0 , a única singularidade (0, 0) é chamada de NÓ IMPRÓPRIO
REPULSOR:
[ ] α −β
iii) Vamos analisar o caso A =
.
β α
Vamos utilizar coordenadas polares para encontrarmos explicitamente as
soluções. Começamos com a mudança x = r cos θ e y = r sin θ .
As condições iniciais r 0 , θ 0 serão dadas por x 0 = r 0 cos θ 0 e y 0 = r 0 sin θ 0 .
Assim temos
x = r cos θ ⇒ x ′ = r ′ cos θ − rθ ′ sin θ (1)
y = r sin θ ⇒ y ′ = r ′ sin θ + rθ ′ cos θ
Multiplicando a primeira linha por (cos θ) e a segunda por (sin θ) e em
seguida somando as duas linhas obtemos
x ′ cos θ + y ′ sin θ = r ′ (**)
Multiplicando a primeira linha por (− sin θ) e a segunda por (cos θ) e em
seguida somando as duas linhas obtemos
Substituindo (*) em (**) e em (***) obtemos
{ r ′ = αr
θ ′ = β .
A solução do sistema acima é dada por
Voltando para x, y temos
−x ′ sin θ + y ′ cos θ = rθ ′ (***)
r = r 0 e αt
θ = θ 0 + βt
x(t) = e αt (x 0 cos βt − y 0 sin βt)
y(t) = e αt (y 0 cos βt + x 0 sin βt)
Se α = 0 a singularidade (0, 0) é chamada de CENTRO. Se β > 0 o campo
de vetores é do tipo
Note que a diferença entre este e o de cima está na orientação.
Se α > 0 a singularidade (0, 0) é chamada de FOCO REPULSOR, no sentido
anti-horário se β > 0 e no sentido horário se β < 0.
Se β > 0 o campo de vetores é do tipo
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