Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Nosso objetivo é estudar todos os tipos <strong>de</strong> sistemas lineares no plano. Para<br />
isto é necessário que façamos uma classificação das matrizes 2 × 2. O polinômio<br />
característico <strong>de</strong> A é o polinômio dado por<br />
p(λ) =<br />
∣ a − λ b<br />
c d − λ ∣ = λ2 − (trA)λ + <strong>de</strong>t A.<br />
Assim as soluções <strong>de</strong> p(λ) = 0 po<strong>de</strong>m ser: duas raízes reais e distintintas:<br />
λ 1 , λ 2 ; uma raiz real dupla: λ; ou um par complexo conjugado: α + iβ, α − iβ.<br />
No primeiro caso dizemos que λ 1 , λ 2 são auto-valores e po<strong>de</strong>mos encontrar<br />
uma base B do plano formada por auto-vetores <strong>de</strong> tal forma que<br />
[ ]<br />
λ1 0<br />
[A] B<br />
=<br />
.<br />
0 λ 2<br />
No segundo caso temos duas possibilida<strong>de</strong>s. Se a multiplicida<strong>de</strong> geométrica<br />
<strong>de</strong> λ for igual a 2 então po<strong>de</strong>mos encontrar uma base B do plano formada por<br />
auto-vetores <strong>de</strong> tal forma que<br />
[A] B<br />
=<br />
[ λ 0<br />
0 λ<br />
Se a multiplicida<strong>de</strong> geométrica <strong>de</strong> λ for igual a 1 então po<strong>de</strong>mos encontrar uma<br />
base B do plano formada por auto-vetores <strong>de</strong> tal forma que<br />
[ ] λ 1<br />
[A] B<br />
= .<br />
0 λ<br />
No terceiro caso encontramos um vetor <strong>de</strong> C 2 satisfazendo A(u + iv) =<br />
(α + iβ)(u + iv). Além disso B = {u, v} é uma base do plano satisfazendo<br />
[ ] α −β<br />
[A] B<br />
=<br />
.<br />
β α<br />
]<br />
.<br />
Consi<strong>de</strong>re o sistema (*). Temos:<br />
[ ]<br />
λ1 0<br />
i) Se [A] =<br />
então a solução <strong>de</strong> (*) é dada por (x(t), y(t)) =<br />
0 λ 2<br />
= (x 0 e λ1t , y 0 e λ2t ). Na seção anterior já esboçamos os possíveis retratos <strong>de</strong> fase.<br />
[ ] λ 1<br />
ii) Se [A] =<br />
então a solução <strong>de</strong> (*) é dada por (x(t), y(t)) =<br />
0 λ<br />
= ((x 0 + y 0 t)e λt , y 0 e λt ).<br />
Se λ < 0 , a única singularida<strong>de</strong> (0, 0) é chamada <strong>de</strong> NÓ IMPRÓPRIO<br />
ATRATOR:<br />
83