Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Nosso objetivo é estudar todos os tipos de sistemas lineares no plano. Para
isto é necessário que façamos uma classificação das matrizes 2 × 2. O polinômio
característico de A é o polinômio dado por
p(λ) =
∣ a − λ b
c d − λ ∣ = λ2 − (trA)λ + det A.
Assim as soluções de p(λ) = 0 podem ser: duas raízes reais e distintintas:
λ 1 , λ 2 ; uma raiz real dupla: λ; ou um par complexo conjugado: α + iβ, α − iβ.
No primeiro caso dizemos que λ 1 , λ 2 são auto-valores e podemos encontrar
uma base B do plano formada por auto-vetores de tal forma que
[ ]
λ1 0
[A] B
=
.
0 λ 2
No segundo caso temos duas possibilidades. Se a multiplicidade geométrica
de λ for igual a 2 então podemos encontrar uma base B do plano formada por
auto-vetores de tal forma que
[A] B
=
[ λ 0
0 λ
Se a multiplicidade geométrica de λ for igual a 1 então podemos encontrar uma
base B do plano formada por auto-vetores de tal forma que
[ ] λ 1
[A] B
= .
0 λ
No terceiro caso encontramos um vetor de C 2 satisfazendo A(u + iv) =
(α + iβ)(u + iv). Além disso B = {u, v} é uma base do plano satisfazendo
[ ] α −β
[A] B
=
.
β α
]
.
Considere o sistema (*). Temos:
[ ]
λ1 0
i) Se [A] =
então a solução de (*) é dada por (x(t), y(t)) =
0 λ 2
= (x 0 e λ1t , y 0 e λ2t ). Na seção anterior já esboçamos os possíveis retratos de fase.
[ ] λ 1
ii) Se [A] =
então a solução de (*) é dada por (x(t), y(t)) =
0 λ
= ((x 0 + y 0 t)e λt , y 0 e λt ).
Se λ < 0 , a única singularidade (0, 0) é chamada de NÓ IMPRÓPRIO
ATRATOR:
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