Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

{
x
3)
′ = y
y ′ = 8xy
. Temos que
x ′ = y, y ′ = 8xy ⇒ y′ dy
= 8x ⇒
x
′
dx = 8x ⇒ y = 4x2 + C
Assim as trajetórias possuem seus traços contidos nos gráficos das funções
da família acima. Além disso é fácil verificar que o eixo 0X é composto de
singularidades.
Definição (FLUXO OU SISTEMA DINÂMICO): Uma família de
funções
ϕ t : R 2 → R 2 , t ∈ R
satisfazendo
a) ϕ t é contínua,
b) ϕ 0 = id,
c) ϕ t+s = ϕ t ◦ ϕ s
é um FLUXO ou SISTEMA DINÂMICO no plano.
Exemplo: Suponhamos que as soluções de
{
x ′ = f(x, y)
y ′ = g(x, y)
(*)
estejam globalmente definidas.
Seja ϕ a aplicação
ϕ : R 2 × R → R 2
(P, t) ↦→ ϕ(P, t) = (x(t), y(t))
onde (x(t), y(t)) é a solução de (∗) satisfazendo (x(0), y(0)) = P. É fácil verificar
que a família ϕ t dada por ϕ t (P ) = ϕ(P, t) satisfaz a definição de fluxo.
6.2 Sistemas de EDO’S Lineares no Plano
——-
{ x
Um sistema de edo’s lineares no plano é um sistema da forma
′ = ax + by
y ′ = cx + dy ,
com x(0) = x 0 , y(0) = y 0 onde a, b, c, d ∈ R. Para simplificarmos a notação representaremos
estes sistemas na forma matricial:
[ ] [ ]
x a b
X = A = X ′ =
y c d
X ′ = AX, X(0) =
[
x0
y 0
]
[ x
′
y ′ ]
(∗)
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