Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Definição: O retrato de fase do sistema (*) é a união de todos os traços
das trajetórias deste sistema.
Definição:Uma singularidade de (*) é um ponto que satisfaz
f(x, y) = g(x, y) = 0.
Exemplos: { x
1)
′ = 2x
y ′ apresenta como soluções α(t) = (x
= −y
0 e 2t , y 0 e −t ).
singularidade do sistema é o ponto (0, 0).
A única
2)
{ x ′ = αx
y ′ = βy
apresenta como soluções α(t) = (x 0 e αt , y 0 e βt ).
i) α = 0, β > 0 ou α = 0, β < 0 : Neste caso o eixo 0X é composto de
singularidades do sistema.
ii)α > 0, β = 0 ou α < 0, β = 0 : Neste caso o eixo 0Y é composto de
singularidades.
iii) α = β > 0 ou α > β > 0 ou 0 < α < β : Neste caso a origem (0, 0)
é a única singularidade. O primeiro é conhecido como FONTE e os seguintes
NÓS REPULSORES. Se α > β > 0 as trajetórias (exceto as que possuem traço
contido no eixo 0X) tangenciam o eixo 0Y e se 0 < α < β as trajetórias (exceto
as que possuem traço contido no eixo 0Y ) tangenciam o eixo 0X.
iv) α = β < 0 ou α < β < 0 ou β < α < 0 : Neste caso a origem (0, 0)
é a única singularidade. O primeiro é conhecido como POÇO e os seguintes
NÓS ATRATORES. Se α < β < 0 as trajetórias (exceto as que possuem traço
contido no eixo 0X) tangenciam o eixo 0Y e se β < α < 0 as trajetórias (exceto
as que possuem traço contido no eixo 0Y ) tangenciam o eixo 0X.
v) β < 0 < α ou α < 0 < β : Neste caso a origem (0, 0) é a única
singularidade. Este caso é conhecido como SELA. No primeiro caso as trajetórias
aproximam-se do eixo 0Y quando o parâmetro t aproxima-se de −∞ e
aproximam-se do eixo 0X quando o parâmetro t aproxima-se de +∞; no segundo
caso as trajetórias aproximam-se do eixo 0X quando o parâmetro t aproxima-se
de −∞ e aproximam-se do eixo 0Y quando o parâmetro t aproxima-se de +∞.
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