Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

{
x
Exemplo:
′ = sin(x) + 2y
y ′ = x 2 + y 3
é autônomo.
Neste curso vamos estudar sistemas do tipo (*) com f, g ∈ C 1 em um
aberto U ⊂ R 2 . Uma solução de (*) é uma curva α : I ⊂ R → R 2 dada por
α(t) = (x(t), y(t)) satisfazendo
x ′ (t) = f(x(t), y(t)) e y ′ (t) = g(x(t), y(t)).
Observe que (f(x, y), g(x, y)) é o vetor velocidade da curva α em (x, y). De
fato, sendo α(t) = (x(t), y(t)) temos que
(f(x(t), y(t)), g(x(t), y(t))) = (x ′ (t), y ′ (t)) = α ′ (t).
Assim o par (f, g) define um campo de vetores.
{ x
Exemplo:
′ = 2x
y ′ = −y
As soluções são curvas que apresentam vetores tangentes como acima. Por
exemplo, α(t) = (exp(2t), exp(−t)) é uma solução que passa pelo ponto (1, 1)
quando t = 0. Note também que α(t) = (− exp(2t), exp(−t)) é uma solução que
passa por (−1, 1) quando t = 0.
Definição: Um PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) é um sistema
(∗) acompanhado de uma condição inicial : x(t 0 ) = x 0 , y(t 0 ) = y 0 .
Observe que no exemplo temos que fixado um ponto do plano existe uma
única curva que é solução do sistema e que passa por este ponto. Dizemos que
uma solução do PVI é uma ”trajetória” ou ”órbita” que em tempo t 0 passa
por (x 0 , y 0 ).
É fácil vermos que o traço da curva que passa por (x 0 , y 0 ) no tempo t 0 é
o mesmo que o da curva que passa por (x 0 , y 0 ) em um tempo t 1 . Desta forma
vamos considerar somente PVI’s com condição inicial
x(0) = x 0 , y(0) = y 0 . (**)
Teorema (Existência e Unicidade): Suponhamos que f, g ∈ C 1 em
U ⊂ R 2 aberto. Então, para qualquer (x 0 , y 0 ) ∈ U, existe uma única curva
α : I → R 2 , onde I é um intervalo contendo 0, dada por α(t) = (x(t), y(t))
satisfazendo (*) e (**).
Não iremos demonstrar este teorema neste curso.
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