Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

esolver vários tipos de EDO’s. É interessante lembrar, por exemplo, que a
função exponencial nasceu como solução do PC (Problema de Cauchy)
{ ẋ = x
x (0) = 1 .
Teorias desenvolvidas para resolver algumas equações, como a da Transformada
Integral, em particular a Transformada de Laplace, traduzem a EDO em
uma equação algébrica: se esta for solúvel então a Transformada Integral Inversa
produz as soluções da EDO. Abel (1802-1829), por exemplo, entre tantas outras
coisas, trabalhou em tais transformadas; acontece que se a equação algébrica
resultante da transformada for de grau maior ou igual a 5, Abel mostrou que
não se pode encontrar soluções explícitas por meio de radicais, o que invalida
o ataque. Inúmeros casos de EDO’s continuam sendo estudados até hoje, mas
foi POINCARÉ (1854-1912) que unificou enormemente a teoria das EDO’s, desenvolvendo
o que se passou a denominar a Teoria Qualitativa. O problema
de Poincaré era que para as EDO’s da Mecânica Celeste que estudadava, os
métodos quantitativos não eram suficientes sequer para começar o estudo. O
que Poincaré detectou é que, se por um lado a quantidade de EDO’s que se
pode resolver no sentido estrito é relativamente pequeno, por outro lado, em
compensação, com novos conceitos de análise, geometria e topologia, pode-se
resolver uma equação no sentido qualitativo; ou seja entender as leis gerais de
comportamento das soluções, mesmo quando estas não são obtidas explicitamente.
A partir de Poincaré, Liapunov e Birkhoff, a Teoria Qualitativa dos Sistemas
Dinâmicos tem ocupado a atenção de inúmeros matemáticos. Mas foi em anos
recentes que ela teve suas metas gerais estabelecidas, tomou forma e experimentou
um desenvolvimento marcante. Mais de duas décadas se passaram entre dois
pólos importantes: o trabalho de Andronov e Pontryagin (1937), introduzindo
o conceito básico de estabilidade estrutural, e os trabalhos de Peixoto (1958-
1962), provando a densidade de campos de vetores estáveis em superfícies. Foi
então que Smale enriqueceu substancialmente a teoria , definindo, como objetivo
central, a busca de propriedades genéricas e estáveis, obtendo resultados
e propondo problemas da maior relevância. Nesta mesma época , Hartman
e Grobman mostraram que a estabilidade local é uma propriedade genérica.
Logo a seguir , Kupka e Smale atacaram, com sucesso, o problema para órbitas
periódicas.
Definição: Um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias no plano é
dito AUTÔNOMO quando for do tipo
{ x ′ = f(x, y)
y ′ (*)
= g(x, y)
onde f, g estão definidas em um subconjunto U ⊂ R 2 .
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