Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

e portanto
e decompondo em frações parciais
Y (s) = 2s3 + s 2 + 8s + 6
(s 2 + 1) (s 2 + 4)
Y (s) = 5 1
3 s 2 + 1 + 2 s
s 2 + 1 − 2 1
3 (s 2 + 4)
Calculando a transformada inversa
y (t) = 5 3 sin t + 2 cos t − 2 sin 2t
3
2) Consideremos o PVI
{
y (4) − y = 0
y (0) = 0, y ′ (0) = 1, y ′′ (0) = 0, y ′′′ (0) = 0
Denotemos
L (y) (s) = Y (s)
Assim
(
L y (4)) (s) = s 4 Y (s) − s 3 y (0) − s 2 y ′ (0) − y ′′′ (0) = s 4 Y (s) − s 2
Temos então
e portanto
s 4 Y (s) − s 2 − Y (s) = 0
Y (s) =
Calculando a transformada inversa
EXERCÍCIOS
s2
s 4 − 1 = 1
4 (s − 1) − 1
4 (s + 1) + 1
2 (s 2 + 1)
y (t) = 1 4 et − 1 4 e−t + 1 2
sin t =
sin t + sinh t
2
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI’s
{ y
a)
′′ − y ′ − 6y = 0
{ y (0) = 1, y ′ (0) = −1
y
b)
′′ + 3y ′ + 2y = 0
y (0) = 1, y ′ (0) = 0
{ y
c)
′′ − 2y ′ + 2y = 0
{ y (0) = 0, y ′ (0) = 1
y
d)
′′ − 4y ′ + 4y = 0
y (0) = 1, y ′ (0) = 1
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