Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
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PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE<br />
a)<br />
L (af + bg) (s) = aL (f) (s) + bL (g) (s)<br />
b) Se f for contínua , f ′ seccionalmente contínua e existirem constantes<br />
k, a, M tais que<br />
|f (t)| ≤ ke at , ∀t ≥ M<br />
então existe L (f ′ ) (s) para s > a e<br />
c)<br />
L (f ′ ) (s) = sL (f) (s) − f (0)<br />
L (f ′′ ) (s) = s 2 L (f) (s) − sf (0) − f ′ (0)<br />
d)<br />
(<br />
L f (n)) (s) = s n L (f) (s)−s n−1 f (0)−s n−2 f ′ (0)−...−sf (n−2) (0)−f (n−1) (0)<br />
A verificação das proprieda<strong>de</strong>s acima é imediata. Basta usar a <strong>de</strong>finição e<br />
efetuar o cálculo.<br />
5.2 Utilização da Transformada <strong>de</strong> Laplace na Resolução<br />
<strong>de</strong> PVI’s<br />
Exemplos:<br />
1) Consi<strong>de</strong>remos o PVI<br />
{ y ′′ + y = sin 2t<br />
y (0) = 2, y ′ (0) = 1<br />
Denotemos<br />
Assim<br />
L (y) (s) = Y (s)<br />
L (y ′′ ) (s) = s 2 Y (s) − sy (0) − y ′ (0) = s 2 Y (s) − 2s − 1<br />
L (sin 2t) (s) = 2<br />
s 2 + 4<br />
Temos então<br />
s 2 Y (s) − 2s − 1 + Y (s) = 2<br />
s 2 + 4<br />
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