Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
a)
L (af + bg) (s) = aL (f) (s) + bL (g) (s)
b) Se f for contínua , f ′ seccionalmente contínua e existirem constantes
k, a, M tais que
|f (t)| ≤ ke at , ∀t ≥ M
então existe L (f ′ ) (s) para s > a e
c)
L (f ′ ) (s) = sL (f) (s) − f (0)
L (f ′′ ) (s) = s 2 L (f) (s) − sf (0) − f ′ (0)
d)
(
L f (n)) (s) = s n L (f) (s)−s n−1 f (0)−s n−2 f ′ (0)−...−sf (n−2) (0)−f (n−1) (0)
A verificação das propriedades acima é imediata. Basta usar a definição e
efetuar o cálculo.
5.2 Utilização da Transformada de Laplace na Resolução
de PVI’s
Exemplos:
1) Consideremos o PVI
{ y ′′ + y = sin 2t
y (0) = 2, y ′ (0) = 1
Denotemos
Assim
L (y) (s) = Y (s)
L (y ′′ ) (s) = s 2 Y (s) − sy (0) − y ′ (0) = s 2 Y (s) − 2s − 1
L (sin 2t) (s) = 2
s 2 + 4
Temos então
s 2 Y (s) − 2s − 1 + Y (s) = 2
s 2 + 4
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