Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

onde r é raiz de
r (r − 1) + rp 0 + q 0 = 0.
Para sermos mais precisos deveríamos agora fazer uma analíse das raízes da
equação acima. No entanto vamos parar nossa discussão por aqui.
Exemplo:
Consideremos a EDO
Os únicos pontos singulares são
2x (x + 1) y ′′ + (3 + x) y ′ − xy = 0
0, −1
Então para x 0 ∈ R\{0, −1} encontramos soluções definidas em vizinhanças
de x 0 da forma
∞∑
y = a n (x − x 0 ) n
n=0
Verifique que x 0 = 0 é um ponto singular regular com p 0 = 3 2 e q 0 = 0.
Assim obtemos a equação
r (r − 1) + 3 2 r = 0
cujas raízes são 0 e − 1 2 .
Assim podemos procurar soluções da forma
)
∞∑
∞∑
y 1 = x
(a 0 0 + a n x n = a 0 + a n x n
y 2 =
1
√ x
(b 0 +
n=1
)
∞∑
b n x n
n=1
n=1
Verifique agora que x 0 = −1 é um ponto singular regular
q 0 = 0. Assim obtemos a equação
com p 0 = −1 e
r (r − 1) − r = 0
cujas raízes são 0 e 2.
Como as raízes diferem por um número inteiro podemos encontrar somente
uma solução que será da forma
)
∞∑
y = (x + 1)
(a 2 0 + a n x n
n=1
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