Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

4.5.3 Soluções em Vizinhanças de Pontos Singulares Regulares
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Suponhamos que x 0 seja um ponto singular regular de
y ′′ + p (x) y ′ + q (x) y = 0
Assim
xp (x) =
x 2 q (x) =
∞∑
p n x n
n=0
∞∑
q n x n
n=0
Multipliquemos a equação por x 2
x 2 y ′′ + x [xp (x)] y ′ + [ x 2 q (x) ] y = 0
e vamos procurar uma solução da forma
y = x r
∞
∑
n=0
a n x n
Substituindo na equação obtemos
(
∞∑
∞
) (
∑
∞
)
∑
(n + r) (n + r − 1) a n x n+r + p n x n (n + r) a n x n+r +
n=0
n=0
n=0
( ∞
) (
∑
∞
)
∑
+ q n x n a n x n+r = 0
n=0
n=0
Efetuando os produtos acima obtemos
a 0 F (r) x r +
F (r) = r (r − 1) + rp 0 + q 0
[
]
∞∑
n−1
∑
a n F (r + n) + a k ((k + r)p n−k + q n−k ) x n+r = 0
n=0
Assim procuramos
k=0
F (r) = 0(Lembre da Equação de Euler)
n−1
∑
a n F (r + n) + a k ((k + r)p n−k + q n−k ) = 0
k=0
Ou seja , procuramos soluções da forma
y = x r (a 0 +
70
∞∑
a n x n )
n=1