Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Exemplos:
1) {
y ′ + 2ty = t
y (0) = 0
Aplicando a fórmula acima temos
y = e − R (∫ t
t
0 2sds e R )
s
0 2udu sds = 1 2 − 1 .
2 e−t2
0
2) { ty ′ + 2y = 4t 2
y (1) = 2
Inicialmente dividimos os dois lados da equação por t. O intervalo aberto
onde as funções p e g estão definidas e são contínuas é (0, +∞) (o maior aberto
contendo o ponto da condição inicial t 0 = 1).
Temos
y = e − R t 2
1
s ds (∫ t
1
e R s
1
3) {
y ′ − 2ty = 1
y (0) = 1
)
2
u du 4sds + 2 = t 2 + 1 t 2
Aplicando a fórmula deduzida acima obtemos
y = e − R (∫ t
t
0 (−2s)ds e R )
s
0 (−2u)du ds + 1 =
(∫ t
)
= e t2 e −s2 ds + 1 .
0
0
Observe que a função que aparece no integrando não possui primitiva elementar.
Definindo a função
temos que
Erf (t) = √ 2 ∫ t
e −s2 ds
π
y (t) = e t2 (√ π
2 Erf (t) + 1 )
Com a ajuda de métodos numéricos podemos esboçar seu gráfico:
Também podemos obter algumas informações sobre o comportamento da
solução. Por exemplo, calculemos o limite de y (t) quando t tende a infinito.
Para isso, inicialmente calculemos
lim Erf (t) = lim
t→+∞
t→+∞
∫
2 t
√ π
0
0
e −s2 ds = 2 √ π
7
lim
t→+∞
∫ t
0
e −s2 ds = ∗