Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

segue as soluções formam um conjunto fundamental.
3 o Caso: ∆ < 0
Neste caso temos que a equação característica possui um par complexo conjugado
de raízes
λ + µi, λ − µi
Assim temos
x λ+µi = x λ x µi = x λ e ln xµi = x λ e (µ ln x)i =
As nossas duas soluções serão
= x λ (cos (µ ln x) + i sin (µ ln x))
y 1 = x λ cos (µ ln x)
y 2 = x λ sin (µ ln x)
Deixamos como exercício a verificação de que as duas funções acima formam
um conjunto fundamental de soluções.
Exemplo:
2x 2 y ′′ + 3xy ′ − y = 0, x > 0
A equação caracteristica é
2r 2 + r − 1 = 0
cujas raízes são
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1
2 , −1
y 1 = √ x
y 2 = 1 x
EXERCÍCIOS:
1) Determinar os pontos singulares e verificar se são regulares ou não:
a)xy ′′ + (1 − x) y ′ + xy = 0 d)xy ′′ − 3 (sin x) y ′ + ( 1 + x 2) y = 0
b) (x + 3) y ′′ − 2xy ′ + ( 1 − x 2) y = 0 e) (sin x) y ′′ + xy ′ + 4y = 0
c) ( x 2 + x − 2 ) y ′′ + (x + 1) y ′ + 2y = 0 f) (x sin x) y ′′ + 3y ′ + xy = 0
2) Resolva as equações:
a)x 2 y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0 c)x 2 y ′′ − 3xy ′ + 4y = 0
b) (x + 1) 2 y ′′ + 3 (x + 1) y ′ + 0.75y = 0 d)x 2 y ′′ + 3xy ′ + 5y = 0
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