Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

2 o Caso: ∆ = 0
Neste caso temos que a equação característica tem uma raiz real dupla
Assim
r = 1 − α
2
y 1 = x r
é uma solução.
Buscamos uma segunda solução na forma
Temos
y ′ 2 = rux r−1 + u ′ x r
y 2 = ux r
y ′′
2 = r (r − 1) ux r−2 + ru ′ x r−1 + u ′′ x r + ru ′ x r−1
e substituindo na equação obtemos
e portanto
(r (r − 1) + αr + β) ux r + (2r + α) u ′ x r+1 + u ′′ x r+2 = 0
u ′ x r+1 + u ′′ x r+2 = 0
u ′ + u ′′ x = 0
Fazendo
obtemos
v = u ′
xv ′ + v = 0
x dv
dx = −v
− dv
v
= dx x
− ln v = ln x
v = 1 x
u = ln x
Logo
é a segunda solução.
Como
y 2 = (ln x) x r
W (y 1 , y 2 ) (x) = x 2r−1 ≠ 0
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