Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

A Equação de Euler é a seguinte equação
Inicialmente observemos que
x 2 y ′′ + αxy ′ + βy = 0.
x 0 = 0
é um ponto singular regular da EDO. Assim não esperamos encontrar uma
solução definida em um intervalo contendo a origem. Uma boa esperança é que
tenhamos soluções definidas em x > 0 ou em x < 0.
Busquemos uma solução do tipo
Assim
y = x r
y ′ = rx r−1
y ′′ = r (r − 1) x r−2
r (r − 1) x r + αrx r + βx r = 0
[r (r − 1) + αr + β] x r = 0
Verificamos que isso é possível desde que
r (r − 1) + αr + β = 0
(EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA)
temos
Ou seja
Denotando
√
r = (1 − α) ± (α − 1) 2 − 4β
.
2
∆ = (α − 1) 2 − 4β
1 o Caso: ∆ > 0
Neste caso existem r 1 , r 2 raízes distintas e assim
são soluções e como
temos que
y 1 = x r1
y 2 = x r2
W (y 1 , y 2 ) (x) = x r1+r2−1 (r 2 − r 1 ) ≠ 0
{x r1 , x r2 }
formam um conjunto fundamental de soluções.
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