Curso de EquaÃ§Ãµes Diferenciais OrdinÃ¡rias - Unesp

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temos que y 1 e y 2 são soluções dos PVI’S { y ′′ − xy = 0 y (0) = 1, y ′ (0) = 0 { y ′′ − xy = 0 y (0) = 0, y ′ (0) = 1 respectivamente. 3) A EDO ( x 2 − 2x + 2 ) y ′′ + y ′ = 0 tem como pontos singulares 1 + i, 1 − i Assim x 0 = 0 é um ponto ordinário e podemos garantir a existência de uma solução na forma y = convergente em ( − √ 2, √ 2 ) . +∞∑ n=0 a n x n 4) A EDO ( 1 − x 2 ) y ′′ − 2xy ′ + y = 0 tem como pontos singulares 1, −1 Assim x 0 = 0 é um ponto ordinário e podemos garantir a existência de uma solução na forma y = convergente em (−1, 1) . +∞∑ n=0 a n x n 5) A EDO (1 + x 2 )y ′′ + 2xy ′ + 4x 2 y = 0 tem como pontos singulares i, −i 64
Assim x 0 = 1 2 é um ponto ordinário e podemos garantir a existência de uma solução na forma convergente em EXERCÍCIOS: y = +∞∑ n=0 ( 1 2 − √ 5 2 , 1 2 + √ ) 5 2 . ( a n x − 1 ) n 2 1) Encontre solução em série de potências: a) y ′′ − y = 0, x 0 = 0 b) y ′′ − xy ′ − y = 0, x 0 = 0 c) y ′′ − xy ′ − y = 0, x 0 = 1 2) Use um computador para plotar diversas somas parciais da solução em série em torno de 0 { y ′′ − xy ′ − y = 0 y (0) = 1, y ′ (0) = 0 3) Calcule as 4 primeiras derivadas da solução de: a) { y ′′ + xy ′ + y = 0 y (0) = 1, y ′ (0) = 0 b) { y ′′ + (sin x) y ′ + (cos x) y = 0 y (0) = 0, y ′ (0) = 1 4.5.2 Pontos Singulares Regulares e a Equação de Euler Dada a EDO vimos que x 0 é um ponto singular se P (x) y ′′ + Q (x) y ′ + R (x) y = 0 ou não são analíticas em x 0 . p (x) = Q (x) P (x) q (x) = R (x) P (x) 65
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2 Equações Diferenciais Ordinári
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2) Da mesma forma como no anterior
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Exemplos: 1) { y ′ + 2ty = t y (0
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a) Desenhe um campo de direções.
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e obtemos o problema { v ′ + 3 t
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