Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

2)Consideremos a EDO
y ′′ − xy = 0
Não existem pontos singulares. Assim o teorema garante que existem soluções
da forma
convergentes em (−∞, +∞) .
Temos
y =
+∞∑
n=0
a n x n
y ′ =
y ′′ =
+∞∑
n=1
+∞∑
na n x n−1
n (n − 1) a n x n−2 =
+∞∑
n=2
n=0
(n + 2) (n + 1) a n+2 x n
Assim
logo
+∞∑
n=0
⇒ 2a 2 +
Temos então
(n + 2) (n + 1) a n+2 x n −
+∞∑
⇒ 2a 2 +
n=1
+∞∑
+∞∑
n=0
(n + 2) (n + 1) a n+2 x n −
n=1
a n x n+1 = 0 ⇒
+∞∑
n=1
a n−1 x n = 0 ⇒
[(n + 2) (n + 1) a n+2 − a n−1 ] x n = 0
a 2 = a 5 = a 8 = ... = 0
a n−1
a n+2 =
(n + 2) (n + 1)
a 3n =
a 3n+1 =
y = a 0
(
1 + 1
3.2 x3 + 1
6.5.3.2 x6 + ...
a 0
(3n) (3n − 1) (3n − 3) (3n − 4) ...6.5.3.2
a 1
(3n + 1) (3n) (3n − 2) (3n − 3) ...7.6.4.3
)
+ a 1
(
x + 1
4.3 x4 + 1 )
7.6.4.3 x7 + ....
Chamando
y 1 = 1 + 1
3.2 x3 + 1
6.5.3.2 x6 + ...
y 2 = x + 1
4.3 x4 + 1
7.6.4.3 x7 + ....
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