Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

1) Consideremos a EDO
y ′′ + y = 0
Não existem pontos singulares. Assim o teorema garante que existem soluções
da forma
convergentes em (−∞, +∞) .
Temos
y =
+∞∑
n=0
a n x n
y ′ =
y ′′ =
+∞∑
n=1
+∞∑
na n x n−1
n (n − 1) a n x n−2 =
+∞∑
n=2
n=0
(n + 2) (n + 1) a n+2 x n
Assim
e portanto
+∞∑
n=0
(n + 2) (n + 1) a n+2 x n +
+∞∑
n=0
+∞∑
n=0
a n x n = 0
[(n + 2) (n + 1) a n+2 + a n ] x n = 0
Observe que
Temos
e portanto
(n + 2) (n + 1) a n+2 + a n = 0, ∀n ∈ N
a n
a n+2 = −
(n + 2) (n + 1)
a 0 = y (0)
a 1 = y ′ (0)
a 2 = − a 0
2 , a 4 = a 0
4.3.2 , ..., a 2n = (−1) n a 0
(2n)!
a 3 = − a 1
3.2 , a 5 = a 1
5.4.3.2 , ..., a 2n+1 = (−1) n a 1
(2n + 1)!
∑
+∞
y = a 0 (−1) n x 2n
(2n)! + a 1
n=0
+∞∑
n=0
(−1) n x 2n+1
(2n + 1)! = a 0 cos x + a 1 sin x
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