Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
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1) Consi<strong>de</strong>remos a EDO<br />
y ′′ + y = 0<br />
Não existem pontos singulares. Assim o teorema garante que existem soluções<br />
da forma<br />
convergentes em (−∞, +∞) .<br />
Temos<br />
y =<br />
+∞∑<br />
n=0<br />
a n x n<br />
y ′ =<br />
y ′′ =<br />
+∞∑<br />
n=1<br />
+∞∑<br />
na n x n−1<br />
n (n − 1) a n x n−2 =<br />
+∞∑<br />
n=2<br />
n=0<br />
(n + 2) (n + 1) a n+2 x n<br />
Assim<br />
e portanto<br />
+∞∑<br />
n=0<br />
(n + 2) (n + 1) a n+2 x n +<br />
+∞∑<br />
n=0<br />
+∞∑<br />
n=0<br />
a n x n = 0<br />
[(n + 2) (n + 1) a n+2 + a n ] x n = 0<br />
Observe que<br />
Temos<br />
e portanto<br />
(n + 2) (n + 1) a n+2 + a n = 0, ∀n ∈ N<br />
a n<br />
a n+2 = −<br />
(n + 2) (n + 1)<br />
a 0 = y (0)<br />
a 1 = y ′ (0)<br />
a 2 = − a 0<br />
2 , a 4 = a 0<br />
4.3.2 , ..., a 2n = (−1) n a 0<br />
(2n)!<br />
a 3 = − a 1<br />
3.2 , a 5 = a 1<br />
5.4.3.2 , ..., a 2n+1 = (−1) n a 1<br />
(2n + 1)!<br />
∑<br />
+∞<br />
y = a 0 (−1) n x 2n<br />
(2n)! + a 1<br />
n=0<br />
+∞∑<br />
n=0<br />
(−1) n x 2n+1<br />
(2n + 1)! = a 0 cos x + a 1 sin x<br />
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