Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Definição:Dizemos que x 0 é um PONTO ORDINÁRIO se p e q forem
analíticas em x 0 . Caso contrário x 0 é dito PONTO SINGULAR.
Exemplos:
1)
Todos os pontos são ordinários.
y ′′ + y = 0
2)
Assim
x 2 y ′′ + xy ′ = 0
y ′′ + 1 x y′ = 0
e x 0 = 0 é um ponto singular.
3) (
1 − x
2 ) y ′′ − 2xy ′ + x 2 y = 0
Assim
y ′′ −
e x 0 = 1 e x 0 = −1 são pontos singulares.
2x
1 − x 2 y′ + x2
1 − x 2 y = 0
Observação: Se P, Q, R são polinômios então p e q são analíticas em x 0
desde que
P (x 0 ) ≠ 0.
Teorema:
Se x 0 for um ponto ordinário da EDO
y ′′ + p (x) y ′ + q (x) y = 0
podemos sempre encontrar duas soluções LI na forma de série de potências
centradas em x 0
+∞∑
y = c n (x − x 0 ) n .
n=0
Além disso as séries convergem para uma solução em
|x − x 0 | < R
onde R é a menor distância entre x 0 e os pontos singulares de p e q.
Prova: Omitida.
Exemplos:
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